THÈSE - présentée et soutenue par Pauline BAILET Arrangements d'hyperplans Thèse dirigée par Alexandru DIMCA soutenue le 11 Juin 2014 Membres du jury et rapporteurs M. A. Dimca

Université de Nice - Sophia Antipolis - UFR Sciences

Ecole Doctorale Sciences Fondamentales et Appliquées

THÈSE

pour obtenir le titre de

Docteur en Sciencesde l'Université de Nice - Sophia Antipolis

Spécialité : Mathématiques

présentée et soutenue par

Pauline BAILET

Arrangements d'hyperplans

Thèse dirigée par Alexandru DIMCA

soutenue le 11 Juin 2014

Membres du jury et rapporteurs

M. A. Dimca Professeur, Nice Directeur de thèse

M. M. Granger Professeur, Angers Examinateur

M. S. Papadima Directeur de Recherche, Bucarest Examinateur

M. A. Parusinski Professeur, Nice Président du jury

M. J. Vallès Professeur, Pau Examinateur et rapporteur

M. A. Suciu Professeur, Boston Rapporteur

Remerciements

Avant tout, je voudrais exprimer toute ma gratitude à mon Directeur de thèse,Alexandru Dimca, pour avoir dirigé mes recherches et m'être toujours venu en aidequand j'en avais besoin. Je le remercie aussi bien pour ses qualités humaines, sagrande gentillesse et sa disponibilité, que pour m'avoir fait conance en me don-nant la chance de commencer la recherche à ses côtés. Il m'a appris énormément dechoses, m'a fait découvrir le monde de la recherche, m'a donné l'occasion d'aller àde nombreuses conférences, et surtout m'a conforté dans mon envie de poursuivredans cette voie. Je garderai toujours un très bon souvenir de mon doctorat, et c'estessentiellement grâce à lui.

Je tiens ensuite à remercier chaleureusement mes rapporteurs : Alexandru Su-ciu, de Northeastern University, qui s'est intéressé à mon travail et a toujours étédisponible pour m'aider quant à mes projets professionnels ; Jean Vallès, qui estaussi un membre du jury, et qui a consacré beaucoup de temps à la lecture de mathèse et m'a aidé à l'améliorer en la corrigeant méticuleusement.

J'aimerais également remercier les autres membres du jury, qui m'ont fait l'hon-neur de juger mon travail et d'assister à ma soutenance : Michel Granger, AdamParusinski, et Stefan Papadima, de l'Institut de Mathématique de l'Académie Rou-maine, qui a accepté de se déplacer jusqu'à Nice malgré la distance.

Je souhaiterais remercier Masahiko Yoshinaga, de l'Université d'Hokkaido, pouravoir porté un grand intérêt à mes recherches et accepté que j'inclue nos résultatsdans cette thèse. C'est avec grand plaisir que j'ai travaillé avec lui.

Mes remerciements vont aussi vers Daniela Anca M cinic, de l'Institut de Ma-thématique de l'Académie Roumaine, et Graham Denham, de Western University,pour leurs suggestions quant à mes recherches. Merci à Gabriel Sticlaru pour sonaide en informatique.

Un grand merci aussi aux Professeurs de mon groupe de travail qui se sontimpliqués dans mes recherches, notamment en assistant à toutes mes présenta-tions : Alexandru Dimca, Adam Parusinski, et Michel Merle, à qui j'aimerais par-ticulièrement exprimer toute ma reconnaissance, pour m'avoir toujours rassuréesubtilement et permis d'évoluer grâce à de longues conversations durant toutes cesannées. Je pense aussi à Philippe Maisonobe et André Hirschowitz, qui se sontmontrés disponibles pour moi.Je ne vais pas énumérer ici tous les Professeurs du Laboratoire J.A. Dieudonné qui

2

se sont montrés présents, mais je les remercie tous également.

Je remercie également tout le personnel du Laboratoire J.A. Dieudonné quirend quotidiennement ce lieu de travail très convivial, et bien sûr l'Ecole Docto-rale, qui m'a oert l'opportunité d'entreprendre un doctorat.

J'aimerais exprimer à mes proches combien leur soutien m'a été précieux.Cyril, tu sais ce que je pense de nous ; Lenna, ta joie de vivre me remonte toujoursle moral ; Saloua, ta douceur m'a toujours réconfortée.

J'ai une pensée pour mes amis du Laboratoire, tout particulièrement pour Bien-venu, Giovanni, Jean-Baptiste, François et Jean-Marc, que je remercie pour leurbonne humeur et leur gentillesse. Merci JB+ pour m'avoir expliqué beaucoup dechoses sur la bration de Milnor !

Nancy, je ne suis pas très démonstrative mais tu vois, je te réserve un para-graphe : même si tu ne t'en rends pas toujours compte, ta simple présence au labo-ratoire a rendu ces trois années de thèse encore plus motivantes, car non seulementnous partageons toujours de très bons (et drôles) moments quand nous sommesensemble, mais aussi car tu as la main sur le coeur et tu as toujours été là pour moi.

Yoann, je suis tellement heureuse de t'avoir rencontré... Merci pour ta patience,je sais que je suis parfois insupportable ! Ton amour me comble de bonheur et cesdernières années ne seraient pas si belles sans toi.

Je souhaite remercier du fond du coeur mes parents, sans qui je ne seraisrien. L'amour et le soutien que vous m'avez oerts ont fait de moi ce que je suisaujourd'hui. Vous m'avez aidé dans tout ce que j'ai voulu entreprendre, et aveztoujours su me rendre heureuse.

3

Résumé

Cette thèse est dédiée à l'étude des arrangements d'hyperplans complexes. Elleintroduit les objets de base et les résultats classiques de la théorie des arrange-ments d'hyperplans. Puis elle se consacre à l'étude de la bre de Milnor F d'un ar-rangement d'hyperplans complexe et central, munie de la monodromie h : F → F,qui induit un opérateur de monodromie h∗ : H∗(F,C)→ H∗(F,C) sur les groupesde cohomologie. On s'intéresse à la problématique suivante : peut-on déterminerh∗, ou au moins les nombres de Betti bq(F ) = dimHq(F,C), à partir de l'informa-tion contenue dans le treillis d'intersection L(A) de l'arrangement, qui codie sacombinatoire ?Il y a de nombreux moyens d'aborder cette question : en utilisant la cohomologiedu complémentaire projectif de l'arrangement à coecients dans certains systèmeslocaux, en considérant l'algèbre d'Orlik-Solomon et les variétés de raisonance, ouencore en utilisant la théorie de Hodge. Nous parcourerons ces diérents points devue tout au long de cette thèse. En fait, les résultats obtenus donneront à chaquefois des situations où l'opérateur de monodromie h∗ est l'identité. Ils répondentdonc à notre problématique dans certaines situations, car dans ce cas le groupede cohomologie correspondant H∗(F,C) est complètement déterminé par le treillisd'intersection L(A).

Le premier résultat principal donne une large classe d'arrangements pour les-quels h1 : H1(F,C) → H1(F,C) est l'identité. On construit un nouveau graphed'arrangement, dont la connexité va impliquer l'annulation du premier groupede cohomologie d'un certain complexe d'Aomoto, ce qui va nous permettre deconclure.Le deuxième résultat, obtenu avec M. Yoshinaga, est un théorème du même type,mais qui s'applique à des arrangements de droites dans l'espace projectif P2

C pourlesquels il existe une droite ayant un seul point de multiplicité supérieure ou égaleà trois. On construit deux nouveaux homomorphismes d'algèbre d'Orlik-Solomon,et on donne l'annulation de certains sous-espaces propres de h1, avec des conditionssur les valeurs propres de la monodromie et les multiplicités des points d'intersec-tion de l'arrangement.Enn, le troisième résultat principal considère un arrangement central et essentieldans C4, et la structure de Hodge mixte des groupes de cohomologie de sa brede Milnor. Il donne l'équivalence entre la trivialité de h∗ sur tous les groupes decohomologie H∗(F,C), la nullité des coecients non entiers du spectre de l'arran-gement, et la nullité des nombres de Hodge mixte ha,b(Hq(F,C)), a 6= b.

mots-clés : arrangement d'hyperplans, treillis d'intersection, bre de Milnor,monodromie.

5

Abstract

This Ph.D. thesis studies complex hyperplane arrangements. It introduces thebasic tools and results of the hyperplane arrangements theory. Then, it focuses onthe Milnor ber F and the monodromy h : F → F, which induces a monodromyoperator h∗ : H∗(F,C) → H∗(F,C) at cohomology levels. Our aim is to studythe following open question : is it possible to determinate h∗, or at least the Bettinumbers bq(F ) = dimHq(F,C), just using the information contained in the inter-section lattice L(A) of the arrangement, which codies its combinatorics ?This question is related to many topics : cohomology of the projective complementof the arrangement with coecients in certain local systems, Orlik-Solomon alge-bra and resonance varieties, mixed Hodge theory. We will use all of these points ofview, and give three main theorems. In fact, our results describes situations wherethe action of the monodromy on the Milnor ber is trivial. Hence they answer ourquestion in special cases, because for such a situation the corresponding cohomo-logy group of the Milnor ber is completely determined by the intersection lattice.

Our rst result gives a large class of arrangements such that h1 is the identity.We construct a new graph, whose connectivity implies the nullity of the cohomo-logy of a certain Aomoto complex.The second result, obtained through a joint work with M. Yoshinaga, applies toprojective line arrangements in P2

C, such that there exists a line containing exactlyone point with multiplicity greater or equal to three. We construct two new de-generation homomorphisms of Orlik-Solomon algebras, and give conditions on theintersection point multiplicities in the arrangement and the eigenvalues of the mo-nodromy, such that the corresponding eigenspaces are zero.Finally, the third result considers the mixed Hodge stucture of the cohomologyof the Milnor ber of a central and essential arrangement in C4. It establishes anequivalence between triviality of the monodromy, Tate properties, and the nullityof the non integer spectrum's coecients.

Keywords : hyperplane arrangement, intersection lattice, Milnor ber, mono-dromy.

Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonné, Parc Valrose, 06108 Nice Cedex 2

6

Table des matières

1 Introduction 9

2 Arrangements d'hyperplans anes et projectifs 122.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Treillis d'intersection et ses propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Algèbre d'Orlik-Solomon d'un arrangement d'hyperplans . . . . . . 22

2.4.3 Algèbre d'Orlik-Solomon d'un arrangement ane . . . . . . 232.4.15 Structure de l'algèbre d'Orlik-Solomon . . . . . . . . . . . . 292.4.18 Cohomologie du complémentaire d'un arrangement d'hyper-

plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.22 Variétés de résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5 Classes de Chern-Schwartz-MacPherson d'un arrangement d'hyper-plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Fibre de Milnor des arrangements d'hyperplans 413.1 Systèmes locaux et arrangement d'hyperplans . . . . . . . . . . . . 413.2 Fibre de Milnor d'un arrangement d'hyperplans . . . . . . . . . . . 483.3 Fonction Zeta de la monodromie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Calculs explicites et deux théorèmes d'annulation 604.1 Fibre de Milnor de l'arrangement des tresses . . . . . . . . . . . . . 604.2 Le premier groupe d'homologie H1(FA) pour les arrangements gra-

phiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3 Un premier théorème d'annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4 Un deuxième théorème d'annulation pour un arrangement de droites

dans P2C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5 Structure de Hodge de la bre de Milnor des arrangements d'hy-perplans 945.1 Structure de Hodge de la bre de Milnor . . . . . . . . . . . . . . . 94

7

5.2 Le spectre d'un arrangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6 Conclusion 120

8

Chapitre 1

Introduction

Les arrangements d'hyperplans sont devenus un objet central en Mathéma-tiques depuis les travaux de V.I. Arnold, E. Brieskorn, P. Deligne, P. Orlik et L.Solomon, voir par exemple l'exposé Bourbaki [8] fait par P. Cartier en 1980. Le butprincipal de cette théorie est d'exprimer certains invariants topologiques ou géo-métriques (par exemple l'algèbre de cohomologie du complémentaire M(A) d'unarrangement d'hyperplans complexe A) en fonction du treillis d'intersection L(A)de l'arrangement A, qui codie la combinatoire de l'arrangement.

Le Chapitre 2 introduit les notions et les résultats de base concernant le treillisd'intersection L(A), le polynôme caractéristique χ(A, t), le polynôme de Poincaréπ(A, t), l'algèbre d'Orlik-Solomon A∗(A) et les variétés de résonance Rq

k(A).La Proposition 2.4.12 donne la description de l'algèbre d'Orlik-Solomon A∗(A)

pour un arrangement projectifA. Ce résultat est bien connu, mais la preuve donnéeici est originale, car elle n'utilise pas la relation des algèbres d'Orlik-Solomon avecla cohomologie du complémentaire.

A la n de ce chapitre on discute des classes de Chern-Schwartz-MacPerson d'unarrangement complexe A, suivant un article de P. Alu. Le résultat principal estle Théorème 2.5.3 qui met en évidence encore une fois le rôle clef du polynômecaractéristique χ(A, t) dans toute question qui implique des invariants additifs. LaRemarque 2.5.5 montre que ces classes caractéristiques sont bien diérentes desclasses de Chern usuelles, donc elles doivent être utilisées avec précaution.

Le Chapitre 3 commence l'étude de la bre de Milnor F = FA et de l'operateurde monodromie h : F → F associés à un arrangement complexe et central A. Ondiscute d'abord des systèmes locaux et des connexions intégrables sur le complé-mentaireM(A), on introduit les variétés caractéristiques et on explique la relationavec les variétés de résonance dans le Théorème 3.1.14. La relation bien connueentre les espaces propres de l'operateur de monodromie h∗ : H∗(F,C)→ H∗(F,C)et la cohomologie tordue H∗(M(A),L) est donnée dans le Théorème 3.2.5.

9

Ensuite on rappelle le Théorème de Kohno 3.2.8 qui donne des conditions denon-résonance pour certains systèmes locaux sur M(A). Ce résultat s'appliqueen général seulement si l'arrangement A est essentiel. A l'aide d'une constructiongéométrique classique (projection linéaire à partir d'un sous-espace linéaire), nousexpliquons comment ce résultat peut être utilisé pour les arrangements qui ne sontpas essentiels, voir le Théorème 3.2.11.

Ce chapitre s'achève par un rappel de résultats d'annulation de la cohomologietordue dus à Cohen-Dimca-Orlik, voir le Théorème 3.2.15 et la Remarque 3.2.16,qui seront utilisés plus tard.

Le Chapitre 4 a pour but de montrer la diculté de la question ouverte prin-cipale suivante :peut-on déterminer l'operateur de monodromie h∗ : H∗(F,C) → H∗(F,C), ou aumoins les nombres de Betti bq(F ) de la bre de Milnor F, à partir de l'informationcontenue dans le treillis d'intersection L(A) ?En dépit d'importants progrès récents, voir [45] et [46], nous sommes encore loind'avoir la réponse complète à cette question.

La première section de ce chapitre présente les résultats de S. Settepanella surla bre de Milnor de l'arrangement des tresses, voir la Remarque 4.1.4 pour lescas en petite dimension et le Théorème 4.1.5 pour un résultat général de stabilitéet d'annulation. La deuxième section présente les résultats de A. M cinic et S.Papadima sur le premier nombre de Betti des arrangements graphiques.

Un premier résultat original principal de cette thèse est présenté dans la troi-sième section : il s'agit d'un résultat d'annulation assez technique mais qui couvreun large nombre de cas, voir le Théorème 4.3.1. L'idée centrale de la preuve estd'abord la construction d'un graphe à partir de l'information contenue dans letreillis d'intersection L(A) qui nous permet d'aller au-delà de la classe des arran-gements graphiques. Ensuite, nous utilisons un résultat clef dû à S. Papadima etA. Suciu sur les variétés de résonance à coecients dans un corps ni, voir 4.2.8,ainsi que certains résultats d'annulation dus à Cohen-Dimca-Orlik. Dans le Co-rollaire 4.3.7 nous appliquons ce théorème aux arrangements des tresses et nousretrouvons les résultats de S. Settepanella et de A. M cinic et S. Papadima sur lepremier nombre de Betti b1(F ) dans ce cas particulier.

Le deuxième résultat original principal de cette thèse est le Théorème 4.4.5,obtenu lors d'un travail en commun avec M. Yoshinaga, voir [3]. C'est un résultatd'annulation du même type que celui du Théorème 4.3.1, mais qui s'applique auxarrangements de droites projectives A′ ⊂ P2

C pour lesquels il existe une droiteL ∈ A′ ayant un seul point d'intersection de multiplicité ≥ 3. Le cas où il existeune droite L n'ayant aucun point d'intersection de multiplicité ≥ 3 a été traité parA. Libgober en 2002, voir [25]. La preuve du Théorème 4.4.5 utilise le résultat deS. Papadima et A. Suciu mentionné ci-dessus et notre Théorème 4.4.9 qui donne

10

un résultat d'annulation pour la cohomologie de certains complexes d'Aomoto.

Le Chapitre 5 considère la théorie de Hodge de la bre de Milnor F . En eet,F étant une variété algébrique lisse, sa cohomologie rationnelle H∗(F,Q) admetune structure de Hodge mixte canonique d'après P. Deligne. On peut donc se poserla question de calculer, par exemple, les nombres de Hodge mixtes ha,b(Hq(F,C)).La monodromie h étant donnée par un morphisme algébrique, on en déduit queh∗ est compatible avec cette structure de Hodge mixte. Il y a déjà bon nombrede résultats ici, dus à A. Dimca, G. Lehrer et S. Papadima, voir par exemple leThéorème 5.1.10 et la Proposition 5.2.5. Les résultats les plus précis sont reliés àla notion du spectre d'une singularité et sont dus à N. Budur et M. Saito, voir leThéorème 5.2.6 qui dit que le spectre d'un arrangement A est déterminé par letreillis L(A) et le Théorème 5.2.7 qui donne une formule pour calculer ce spectrepour les arrangements de droites dans le plan projectif.

En utilisant cette formule, nous avons déterminé les spectres pour un arran-gement de droites de degré 6 (correspondant à l'arrangement de tresses A3) etun arrangement de droites de degré 9 (l'arrangement de Ceva), voir les Corol-laires 5.2.9 et 5.2.13. En ajoutant des informations sur l'action de la monodromieh∗ sur H∗(F,C), nous avons déterminé tous les nombres de Hodge équivariantsha,b(Hq(F )λ) dans ces deux cas, voir les Corollaires 5.2.11 et 5.2.14.

Cela nous a permis de découvrir et de corriger une erreur dans l'article [17]concernant les nombres de Hodge équivariants de l'arrangement de Ceva.

La dernière partie de ce chapitre considère un arrangement A ⊂ C4 central etessentiel, et discute de l'équivalence entre la trivialité de la monodromie h∗ sur sabre de Milnor F, la nullité des coecients non entiers de son spectre, et la nullitédes nombres de Hodge mixtes ha,b(Hq(F,C)), ∀a 6= b. Cette question a déjà étéconsidérée par A. Dimca dans le cas d'un arrangement central et essentiel de C3,voir [16, Théorème 1.1], en utilisant les formules 5.2.7 données par N. Budur et M.Saito. Plus récemment, Y. Yoon a obtenu des formules pour calculer les coecientsdu spectre d'un arrangement central dans C4, voir [44].

Le troisième résultat principal de cette thèse est le Théorème 5.2.16, qui établitcette équivalence pour un arrangement central et essentiel de C4, en utilisant lesnouvelles formules de Y. Yoon. Ce résultat est intéressant, car il a été prouvé dans[16] que cette équivalence ne peut avoir lieu que pour des arrangements A ⊂ Cn+1

en petite dimension, n ≤ 6.

11

Chapitre 2

Arrangements d'hyperplans anes

et projectifs

2.1 Notions de base

Dénition 2.1.1 Soit V un K - espace vectoriel de dimension n+ 1.

1. On dit que H ⊂ V est un hyperplan si H est un sous-espace vectoriel de Vde dimension n.

2. Un ensemble ni A = Hii∈I d'hyperplans est un arrangement d'hyperplans.

3. On dit que H ⊂ V est un hyperplan ane si il existe v ∈ V et H0 ⊂ V unsous-espace vectoriel de dimension n tels que H = v +H0.

4. On dit que A = Hii∈I est un arrangement ane si les Hi sont des hyper-plans anes.

5. On dit que l'arrangement ane A est central si⋂i∈I

Hi 6= ∅. Par translation

on supposera alors que 0 ∈⋂i∈I

Hi.

6. On dit que l'arrangement central A est essentiel si⋂i∈I

Hi = 0.

7. On dit qu'un arrangement central A est générique si pour toute familleHi1 , ... , Hip ⊂ A on a :

codimHi1 ∩ · · · ∩Hip = minp, n+ 1.En particulier, si p ≥ n+ 1 on a Hi1 ∩ · · · ∩Hip = 0.

Exemple 2.1.2 1. L'arrangement de Boole dans Kn+1 est l'arrangement consti-tué des hyperplans coordonnées : xi = 0, 1 ≤ i ≤ n+ 1. C'est un arrange-ment central de n+ 1 hyperplans qui est essentiel.

12

2. L'arrangement des tresses dans Kn+1 est l'arrangement constitué des hyper-plans Hij : xi − xj = 0, 1 ≤ i < j ≤ n + 1. C'est un arrangement centralde(n+1

2

)hyperplans qui n'est pas essentiel car ∩Hij = D, où D est la droite

dénie par x1 = x2 = · · · = xn+1.

3. L'arrangement de K3 déni par l'équation xyz(x+y+ z) = 0 est un exempled'arrangement générique.

Dénition 2.1.3 (Espace projectif)Soit V un K−espace vectoriel. L'espace projectif P(V ) = V \0/K∗ est l'ensembledes droites de V passant par l'origine, donc l'ensemble quotient pour la relationd'équivalence sur V \0 :

u ∼ v ⇔ ∃ a ∈ K∗ | u = a · v.

On notera P(Kn+1) = PnK.Soit H ⊂ V un hyperplan. Alors H ′ = H\0/K∗ ⊂ P(V ) est un hyperplan projectifdans P(V ). La correspondance H → H ′ établit une bijection entre les arrangementscentraux dans V et les arrangements projectifs dans P(V ).

Exemple 2.1.4 On a par exemple :

P0C = C\0/C∗ = point.

P1C = C2\0/C∗ ' S2 = C t ∞.

Plus généralement, on a le résultat suivant :

Théorème 2.1.5 L'espace projectif PnK est une compactication de l'espace vec-toriel Kn et PnK \Kn = Pn−1

K .

Il y a une relation étroite entre un arrangement centralA et l'arrangement projectifassocié A′. Par exemple on a le résultat suivant :

Proposition 2.1.6 Soient A ⊂ Kn+1 un arrangement d'hyperplans central nonvide, et A′ ⊂ PnK l'arrangement projectif associé. On pose

M(A) = Kn+1 \⋃H∈A

H et M(A′) = PnK \⋃

H′∈A′H ′.

Alors il existe un isomorphisme naturel de variétés algébriques

f : M(A) → M(A′)×K∗.

13

Démonstration de la Proposition 2.1.6 :

Soient H ∈ A et lH(x) = a1x1 + a2x2 + · · · + an+1xn+1 une équation linéairetelle que H := x ∈ Kn+1 | lH(x) = 0. On dénit f et g par :

f : M(A) −→ M(A′)×K∗ , f(x) = ([x], lH(x)), etg : M(A′)×K∗ −→ M(A) , g([x], a) = a

lH(x)x,

où [x] est la classe de x dans PnK.On a que g est bien dénie, car g(x) ne dépend pas du représentant de la classede x. En eet, si [x]′ est un autre représentant de la classe de x, alors il existe unu dans K∗, tel que [x]′ = u · [x] et on a bien g([x]′, a) = g(u · [x], a) = g([u · x], a)= a

lH(u·x)u · x = a

lH(x)x.

Enn, on a g f = Id et f g = Id donc g = f−1 et on a bien une bijection entreles deux variétés.

Notations : Soit A un arrangement d'hyperplans dans V . On pose

L(A) = X = Hi1 ∩ · · · ∩ Hip | Hi1 , ..., Hip ∈ A , X 6= ∅ .

Si X ∈ L(A), alors on dénit

AX = H ∈ A | X ⊂ H .

Si A est central, on notera VA =⋂H∈A

H.

2.2 Treillis d'intersection et ses propriétés

On munit L = L(A) d'une relation d'ordre≤ telle que pour tousX, Y ∈ L(A) :

X ≤ Y ⇔ X ⊇ Y.

On pose aussi :

X < Y ⇔ (X ≤ Y et X 6= Y ).

Dénition 2.2.1 Un treillis L est un ensemble ordonné possédant un plus petitélément 0, un plus grand élément 1, et tel que les bornes inférieure x ∧ y et supé-rieure x ∨ y existent pour tous x et y dans L.On appelle atome un élément minimal de L distinct de 0.

14

Exemple 2.2.2 Soit A ⊂ V un arrangement central. Alors L(A) muni de larelation d'ordre ≤ est un treillis tel que 0 = V, 1 = VA, les atomes sont les

hyperplans de A, X ∨ Y = X ∩ Y, et X ∧ Y =⋂

H ⊃X∪YH∈A

H, ∀X, Y ∈ L(A).

Dénition 2.2.3 (Treillis d'intersection)Si A ⊂ V est un arrangement central, alors L(A) muni de la relation d'ordre ≤est un treillis. On l'appelle treillis d'intersection de l'arrangement A.

Dénition 2.2.4 (Treillis géométrique)On dit qu'un treillis L est géométrique si

1. ∀x ∈ L, ∃ a1, a2, ..., ar des atomes tels que x = a1 ∨ a2 ∨ · · · ∨ ar= (· · · ((a1 ∨ a2)∨ a3) · · · ∨ ar). Le r minimal est appelé rang de x, noté r(x),et on dénit r(L) = r(1).

2. x < y ⇒ r(x) < r(y).

3. r(x ∨ y) + r(x ∧ y) ≤ r(x) + r(y), ∀x, y ∈ L.

Proposition 2.2.5 Soit A un arrangement d'hyperplans central dans V = Kn+1.Alors L(A) est un treillis géométrique tel que :

r(X) = codim(X) = dim(V )− dim(X).

En particulier,

r(L(A)) = r(VA) = codim(VA).


1. Les atomes sont les hyperplans de A. Si X = Hi1 ∩ · · · ∩ Hip ∈ L(A),alors X = Hi1 ∨ · · · ∨ Hip et 1. de la Dénition 2.2.4 est vérié.

De plus, p est minimal si et seulement siHi1 ! Hi1 ∩Hi2 ! · · · ! Hi1 ∩ · · · ∩Hip . Or codim(Hi1) = 1 donccodim(Hi1 ∩Hi2) = 2, ... , codim(Hi1 ∩ · · · ∩Hip) = p.On a donc bien r(X) = codim(X).

2. X < Y ⇔ Y X donc dim(X) > dim(Y ) ⇒ r(X) < r(Y ).

3. On démontre ce point à partir de l'inégalité :

dim(X)+dim(Y ) = dim(X∩Y ) + dim(X+Y ) ≤ dim(X∨Y ) + dim(X∧Y ).

15

Dénition 2.2.6 (Semi-treillis)Un semi-treillis L est un ensemble partiellement ordonné tel que la borne inférieurex ∧ y existe pour tous x, y dans L.

Exemple 2.2.7 Si A ⊂ V est un arrangement ane, alors L(A) est un semi-treillis ayant pour plus petit élément 0 = V.

Lemme 2.2.8 Un semi-treillis ni qui admet un unique élément maximal est untreillis.

Démonstration du Lemme 2.2.8 :

Soient x et y dans L. Il sut de prendre x ∨ y =∧x≤zy≤z

z qui existe bien car

l'ensemble x ≤ z, y ≤ z est ni et non vide.

Proposition 2.2.9 Soit A un arrangement. Alors L(A) est un semi-treillis.En particulier pour tous X, Y dans L(A), [X, Y ] = Z ∈ L(A) | X ≤ Z ≤ Y estun treillis. En outre, L(A) est un treillis si et seulement si A est central.


On a que L(A) est un ensemble partiellement ordonné, et si X et Y sont

dans L(A), alors X ∧ Y =⋂

H ⊃X∪YH∈A

H 6= ∅ car X ∧ Y ⊃ X 6= ∅. Ainsi, L(A)

est un semi-treillis. De plus, [X, Y ] est un semi-treillis ni admettant pour uniqueélément maximal Y et c'est donc un treillis d'après le Lemme 2.2.8.Montrons enn : L(A) est un treillis ⇔ A est central.

⇐ : si A est central, alors⋂H∈A

H est non vide, et c'est le plus grand élément

de L(A). Ainsi, L(A) = [0, 1] est un treillis (avec 0 = V et 1 =⋂H∈A

H ).

⇒ : L(A) est un treillis ⇒ ∃X ∈ L(A) un élément maximal

⇒ H ⊃ X, ∀H ∈ A ⇒⋂H∈A

H ⊃ X ⇒ A est central.

16

2.3 Polynôme caractéristique

Dénition 2.3.1 Soit L un ensemble ni ordonné par une relation ≤ .On pose x < y ⇔ x ≤ y et x 6= y.Soient x, y ∈ L, x ≤ y, et p ≥ 0. On appelle chaîne de longueur p de x à y toutesuite x0, x1 , ... , xp d'éléments de L telle que

x = x0 < x1 < · · · < xp = y.

On note Cp(x, y) le nombre de chaînes de longueur p de x à y.

Remarque 2.3.2 C0(x, x) = 1, C0(x, y) = 0, si x < y et Cp(x, x) = 0, si p ≥ 1.

Dénition 2.3.3 Soient x, y ∈ L, x ≤ y. On dénit la fonction de Möbius-Rotade L par la formule :

µL(x, y) =∑p

(−1)pCp(x, y), et µL(x, y) = 0, si x y.

Le lemme suivant caractérise totalement la fonction de Möbius-Rota :

Lemme 2.3.4 Il existe une unique fonction µL : L× L→ Z telle que

µL(x, x) = 1, (2.1)

et ∑x≤z≤y

µL(x, z) = 0 =∑x≤z≤y

µL(z, y), si x < y. (2.2)

Notation : Si 0 existe, on note µL(x) = µL(0, x).

Remarque 2.3.5 La même dénition s'applique aussi si L est un semi-treillis.

Exemple 2.3.6 (Le treillis des parties d'un ensemble)Soient S un ensemble ni et P(S) l'ensemble des parties de S. Soit ≤ la relationd'ordre telle que

A ≤ B ⇔ A ⊆ B.

On montre facilement par récurrence que µ(A,B) = (−1)|B| − |A|.

Proposition 2.3.7 (Formule d'inversion de Möbius-Rota)Soient G un groupe abélien, f : L → G, et g la fonction sommatoire associée :

17

g : L → G

x 7→∑y≤x

f(y).

Alors on a la formule d'inversion suivante :

f(x) =∑y≤x

µL(y, x) · g(y), ∀x ∈ L.

De même, si g(x) =∑y≥x

f(y), alors on a la formule :

f(x) =∑y≥x

µL(x, y) · g(y), ∀x ∈ L.

Dénition 2.3.8 (Polynôme caractéristique et polynôme de Poincaré)Soit L un treillis géométrique. On dénit le polynôme caractéristique combinatoirede L par la formule :

p(L, t) =∑x∈L

µL(x) · tr(L)−r(x).

Si L = L(A), on utilise la notation p(A, t).On appelle polynôme caractéristique de A le polynôme :

χ(A, t) =∑

x∈L(A)

µL(A)(x) · tdim(x).

Enn, on dénit le polynôme de Poincaré de l'arrangement A par :

π(A, t) =∑

x∈L(A)

µL(A)(x) · (−t)r(x).

Remarque 2.3.9 1. Si e = dim(VA), alors on a que χ(A, t) = tep(A, t),et p(A, 0) = µL(1) = µL(VA).

En particulier, si A est essentiel on a χ(A, t) = p(A, t).2. Les polynômes χ(A, t) et π(A, t) peuvent être dénis pour un arrangement

ane quelconque en utilisant les mêmes formules et le semi-treillis L(A).

3. Les polynômes χ(A, t) et π(A, t) sont reliés par les formules suivantes :

π(A, t) = (−t)n+1χ(A,−t−1), et χ(A, t) = tn+1π(A,−t−1).

4. Soit R un anneau principal. On a que l'homologie H∗(M(A), R) du complé-mentaire M(A) à coecients dans R est un R−module de type ni.On dénit le qe nombre de Betti de M(A) par :

18

bq(M(A)) = rangRHq(M(A), R).

Comme cas particulier, si R = K est un corps alors le qe nombre de Betti deM(A) est :

bq(M(A)) = dimKHq(M(A),K).

En général, dans toute cette thèse, on ne précisera pas l'anneau ou le corpscorrespondant pour les rangs et les dimensions lorsque aucune confusion n'estpossible.Soit P (M(A), t) le polynôme de Betti-Poincaré de M(A) :

P (M(A), t) =∑q≥0

bq(M(A)) · tq.

On a le théorème suivant :

Théorème 2.3.10 ([33]) Les polynômes P (M(A), t) et π(A, t) coïncident.

5. Voyons maintenant M(A) comme une variété R−orientable de R2n+2.Soit bcq(M(A)) = dimCH

qc (M(A),C), où Hq

c (M(A),C) est la limite inductivede Hq(M(A) , M(A)−K) sur les K compacts.Considérons le polynôme de Betti-Poincaré à supports compacts :

Pc(M(A), t) =∑q≥0

bcq(M(A))tq.

Alors le Théorème de dualité de Poincaré qui arme que

Hqc (M(A),C) ' H2n+2−q(M(A),C), ∀q ≥ 0,

montre que

bcq(M(A)) = b2n+2−q(M(A)), ∀q ≥ 0.

Finalement on trouve :

Pc(M(A), t) =∑q≥0

b2n+2−q(M(A))tq

=∑q≥0

bq(M(A))t2n+2−q

= t2n+2∑q≥0

bq(M(A))t−q

= t2n+2π(A, 1t).

Exemple 2.3.11 1. Si A est l'arrangement de Boole dans Rn+1 ou Cn+1, alors

χ(A, t) = p(A, t) = (t− 1)n+1.

19

2. Si A est l'arrangement des tresses dans Rn+1 ou Cn+1, alors

p(A, t) = (t− 1)(t− 2) · · · (t− n) et χ(A, t) = t(t− 1)(t− 2) · · · (t− n).

3. Si A = H1, ... , Hd est un arrangement générique dans Rn+1 ou Cn+1, alors

χ(A, t) =n+1∑k=0

(d

k

)(−1)ktn+1−k +

d∑k=n+2

(d

k

)(−1)k. (2.3)

Démonstration de 3. Exemple 2.3.11 :

Distinguons deux cas : si 1 ≤ d ≤ n+ 1, alors on a un isomorphisme de treillis :φ : (L(A),≤) −→ (P(S),⊆), où S = 1, ... , d,tel que φ(∩i∈IHi) = I, φ(Rn+1) = ∅, et φ(H1 ∩ · · · ∩Hd) = S.En eet, ∩i∈IHi = ∩i∈JHi ⇔ I = J et ∩i∈IHi ≤ ∩i∈JHi ⇔ I ⊆ J.Ainsi si X = ∩i∈IHi, alors µL(A)(X) = µP(S)(φ(X)) = (−1)|I| = (−1)codim(X)

d'après l'Exemple 2.3.6 et on a :

χ(A, t) =∑

X∈L(A)

µL(A)(X)tdimX =d∑

k=0

∑X∈L(A)

dim(X)=n+1−k

(−1)ktn+1−k

=d∑

k=0

(dk

)(−1)ktn+1−k = tn+1−d(t− 1)d.

Si d > n + 1, cette fois-ci nous ne pouvons pas trouver un isomorphisme detreillis entre L(A) et P(S) car l'écriture de 0 n'est plus unique.Cependant L(A) = 0 t L(A)1 , avec L(A)1 = Hi1 ∩ · · · ∩Hik | k ≤ n .Soit E = B ⊆ S | |B| ≤ n.On a une bijection entre les ensembles L(A)1 et E. En eet, à un élémentHi1 ∩ · · · ∩Hik de L(A)1 correspond un unique B = i1, ... , ik de E. Ainsi,χ(A, t) =

∑X∈L(A)

µL(A)(X)tdimX = µL(A)(0) +∑

X∈L(A)1

µL(A)(X)tdimX

= µL(A)(0) +n∑k=0

∑X∈L(A)1

dim(X)=n+1−k

(−1)ktn+1−k

= µL(A)(0) +n∑k=0

(dk

)(−1)ktn+1−k.

Reste à calculer µL(A)(0).On a que µL(A)(0) = µL(A)(0, 0) = µL(A)(0, 1). Or

∑0≤z≤1

µL(A)(0, z) = 0

20

d'après le Lemme 2.3.4. Ainsi µL(A)(0, 0) +(d1

)µL(A)(0, Hi)

+(d2

)µL(A)(0, Hi∩Hj) + · · ·+

(dn

)µL(A)(0, Hi1 ∩ · · ·∩Hin) + µL(A)(0) = 0.

On trouve nalement µL(A)(0) = −[µL(A)(0, 0) +(d1

)µL(A)(0, Hi)

+(d2

)µL(A)(0, Hi∩Hj) + · · ·+

(dn

)µL(A)(0, Hi1 ∩ · · · ∩Hin)] = −

n∑k=0

(dk

)(−1)k

=d∑

k=n+1

(dk

)(−1)k.

Remarque 2.3.12 Le Théorème 2.3.10 montre que les nombres de Betti du com-plémentaire d'un arrangement d'hyperplans A ⊂ Cn+1 peuvent être trouvés encalculant le polynôme de Poincaré π(A, t) et sont donc entièrement déterminéspar la combinatoire de A. Par exemple, pour un arrangement A ⊂ C2 contenantd hyperplans on trouve :

b0(M(A)) = 1, b1(M(A)) = d, b2(M(A)) =∑k≥2

nk(k − 1),

où nk est le nombre d'intersections X ∈ L(A) vériant |AX | = k.Plus généralement, si A ⊂ Cn+1 alors on a toujours :

b0(M(A)) = 1, b1(M(A)) = d, b2(M(A)) =∑k≥2

nk(k − 1),

où nk est le nombre d'intersections X ∈ L(A) de codimension 2 vériant |AX | = k.

Démonstration de la Remarque 2.3.12 :

Soit A = H1, ... , Hd ⊂ C2. L'élément de rang nul dans L(A) est 0 = C2,et µL(A)(0) = 1. Les éléments de rang 1 sont les hyperplans de A, vériantµL(A)(Hi) = −1. Les intersections de rang 2 sont les intersections non vides d'aumoins deux hyperplans de A. Soit X une telle intersection. Comme C1(0, X) = 1et C2(0, X) = |AX |, on a que µL(A)(X) = |AX | − 1. Soit k ≥ 2. Notons nk lenombre d'intersections X ∈ L(A) telles que |AX | = k. Avec cette notation, ontrouve le polynôme de Poincaré suivant :

π(A, t) = 1 + d · t+

(∑k≥2

nk(k − 1)

)t2.

On conclut ensuite avec le Théorème 2.3.10.

21

2.4 Algèbre d'Orlik-Solomon d'un arrangement d'hy-

perplans

Soient V un K−espace vectoriel (K corps), et A un arrangement d'hyperplansdans V. Indexons les hyperplans de A par la famille Hii∈1,...,|A|. On dénit unefamille de symboles eHi, qui à chaque hyperplan Hi ∈ A associe un symbole eHi .

Soit R un anneau commutatif unitaire.On construit E1 comme le R−module libre engendré par la famille eHiHi∈A :

E1 =⊕Hi∈A

R · eHi = |A|∑i=1

kieHi | ki ∈ R.

On dénit maintenant E∗ comme étant l'algèbre extérieure de E1.

E∗ = E∗(A) =∧

(E1) =

|A|⊕q=0

q∧(E1).

C'est une algèbre graduée, et si on note |A| = d, Eq =∧q(E1), on a :

E∗ =d⊕q=0

Eq.

Pour q 6= 0, Eq désigne le R-module libre engendré par les eHi1 ∧ · · · ∧ eHiq . Onconvient que E0 = R. Pour simplier les notations, on notera eHieHj le bivecteureHi ∧ eHj . Le produit extérieur étant antisymétrique, on a :

eHieHj = −eHjeHi et (eHi)2 = 0, ∀i, j.

Dénition 2.4.1 On dénit l'application R−linéaire ∂ : E∗ → E∗ par ∂(1) = 0,∂(eHi) = 1, ∀ i, et pour q ≥ 2 :

∂(eHi1 · · · eHiq ) =

q∑k=1

(−1)k−1eHi1 · · · eHik · · · eHiq ,

où eHi1 · · · eHik · · · eHiq désigne eHi1 · · · eHik−1eHik+1

· · · eHiq .

Dénition 2.4.2 On pose S = ∪q≥0Sq, où Sq désigne l'ensemble des q-upletsd'hyperplans.

22

Soit S = (Hi1 , Hi2 , . . . , Hiq) un q−uplet d'hyperplans.On pose ∂eS = ∂(eS), |S| = q, eS = eHi1 · · · eHiq et ∩S = Hi1 ∩ · · · ∩Hiq .Par convention, si q = 0, on note S = ( ) le p−uplet vide de cardinal nul, eS = 1Ret ∩S = V.

2.4.3 Algèbre d'Orlik-Solomon d'un arrangement ane

Dénition 2.4.4 (Dépendance et indépendance de q-uplets d'hyperplans)Soit S ∈ S. On dit que S est dépendant si ∩S 6= ∅ et r(∩S) < |S|. Dans le cascontraire on dit qu'il est indépendant.

Dénition 2.4.5 (Algèbre d'Orlik-Solomon d'un arrangement ane)Soit I = I(A) l'idéal engendré par l'ensemble

∂eS | S est dependant ∪ eS | ∩ S = ∅.

On appelle algèbre d'Orlik-Solomon de A à coecients dans R l'algèbre quotient :

A = AR(A) = E∗/I.

Proposition 2.4.6 L'idéal I est homogène : I =⊕q≥0

Iq, où Iq = I ∩ Eq, et l'al-

gèbre d'Orlik-Solomon est graduée. On notera donc à partir de maintenant A∗, I∗.En notant φ : E∗ → A∗ la projection canonique, Aq = φ(Eq) = Eq/Iq,aH = φ(eH), et aS = φ(eS), ∀H ∈ A, ∀S ∈ S, on a :

A∗ =

|A|⊕q=0

Aq.

Remarque 2.4.7 Si l'arrangement A est central, alors ∂(I∗(A)) ⊂ I∗(A) et l'ap-plication ∂ induit donc une application sur le quotient ∂ : A∗R(A)→ A∗−1

R (A).

Proposition 2.4.8 1. Si |A| = d, alors Aq = 0 pour tout q > d.

2. Si A est un arrangement dans Kn+1, alors Aq = 0 pour tout q > n+ 1.

Exemple 2.4.9 Soit A2 ⊂ K3 l'arrangement des tresses : A2 = H12, H13, H23.Notons eij = eHij et aij = aHij . La seule famille dépendante est S = H12, H13, H23,et ∂eS = e13e23 − e12e23 + e12e13 ∈ I2.Finalement on a I0 = I1 = 0, et I2 = K < e13e23 − e12e23 + e12e13 > .De plus E3 = R < e12e13e23 > et e12e13e23 ∈ I, car e12e13e23 = e12 ∂eS.Ainsi E3 = I3 et on a :

23

A0R(A2) = R,

A1R(A2) = R < a12, a13, a23 >,

A2R(A2) =

R< aijakl, 1≤i<j≤3, 1≤k<l≤3 >

R< a13a23− a12a23 + a12a13 >= R < a12a13, a13a23 >,

AqR(A2) = 0, ∀q ≥ 3.

Traitons maintenant le cas plus général de d droites de K2 passant par l'origine.

Exemple 2.4.10 Soit A = H1, ... , Hd ⊂ K2 un arrangement constitué de ddroites passant par l'origine, d ≥ 2. Notons ei = eHi et ai = aHi .On sait déjà d'après 2.4.8 que Aq(A) = 0, ∀q > 2.Les familles Hi, Hj, Hk sont toutes dépendantes pour 1 ≤ i < j < k ≤ d.Ainsi I2 est engendré par les ∂(eiejek), 1 ≤ i < j < k ≤ d. On a même que I2 estengendré par les ∂(eiejed), 1 ≤ i < j ≤ d− 1 car :

∂(∂(eiejeked)) = ∂(ejeked)− ∂(eieked) + ∂(eiejed)− ∂(eiejek) = 0.

Ainsi on a I0 = I1 = 0, I2 = R < ejed − eied + eiej, 1 ≤ i ≤ j ≤ d− 1 > .Finalement on trouve :

A0R(A) = R,

A1R(A) = R < a1, ... , ad >,

A2R(A) =

R< aiaj , 1≤i<j≤d >

R< ajad−aiad+aiaj , 1≤i<j≤d−1 >= R < aiad, 1 ≤ i ≤ d− 1 >,

AqR(A) = 0, ∀ q ≥ 3.

Dénition 2.4.11 Soit A = H1, ... , Hd un arrangement central de Kn+1.On appelle algèbre d'Orlik-Solomon projective de l'arrangement A le noyau :

K∗R(A) := ker∂ : A∗R(A)→ A∗R(A).

C'est une sous-algèbre graduée de A∗R(A).

Soit x1, ... , xn+1 un système de coordonnées de Kn+1 tel que H1 := x1 = 0 .Prenons H ′1 l'hyperplan à l'inni dans PnK. On a un isomorphisme de variétésalgébriques :

Kn → PnK\H ′1(x2, ... , xn+1) 7→ (1 : x2 : · · · : xn+1).

24

L'arrangement projectif A′ = H ′2, ... , H ′d peut donc être vu comme l'arrange-ment ane de Kn déni par :

H ′i := (x2, ... , xn+1) ∈ Kn | li((1, x2, ... , xn+1)

)= 0 , ∀i 6= 1,

où Hi := (x1, ... , xn+1) ∈ Kn+1 | li(x1, ... , xn+1) = 0. Avec cette identicationon peut donc considérer son algèbre d'Orlik-Solomon A∗R(A′), et on notera e′i l'élé-ment de E1(A′) associé à H ′i , ∀ 2 ≤ i ≤ d.

Proposition 2.4.12 Soient A = H1, ... , Hd ⊂ Kn+1 un arrangement central,et A′ ⊂ PnK l'arrangement projectif associé. On a que K∗R(A) et A∗R(A′) coïncident.


1. On a K∗R(A) = Im ∂ : A∗R(A) → A∗R(A) , autrement dit (A∗R(A), ∂) estun complexe de chaîne acyclique.

Il est clair que Im ∂ : A∗R(A)→ A∗R(A) ⊂ K∗R(A) car ∂ ∂ = 0.Réciproquement, si x ∈ A∗R(A) est tel que ∂x = 0, alors pour b = aj ∧ x ona que ∂b = x− aj ∧ ∂x = x. Ainsi x ∈ Im ∂ : A∗R(A)→ A∗R(A) .

2. On a que K∗R(A) est engendré par le sous-ensemble de A1R(A) :

d∑i=2

αi(ai − a1), αi ∈ R .

En eet, si x ∈ K∗R(A), alors il existe un y ∈ A∗R(A) tel que x = ∂y d'après1. Soit i1 < i2 < · · · < ik. On utilise ensuite

∂(ai1 · · · aik) = (−1)k−1(ai1 − ai2) ∧ (ai2 − ai3) ∧ · · · ∧ (aik−1− aik),

et on écrit chaque (aij − aij+1) tel que ij 6= 1 sous la forme

((aij − a1)− (aij+1− a1)).

3. Avec les étapes précédentes on en déduit qu'on a un morphisme surjectifd'algèbres graduées :

f : E∗(A′) → K∗R(A)e′i 7→ ai − a1

4. Montrons que I∗(A′) ⊂ ker f.Rappelons que I∗(A′) est l'idéal engendré par

∂(e′S) | S est une famille dépendante de A′ ∪ e′S | ∩ S = ∅ .

25

(a) Soient S = H ′i1 , ... , H ′ik une famille dépendante de A′,1 < i1 < i2 < · · · < ik, et ∂(e′S) l'élément de I∗(A′) correspondant. Ona alors que ∂(e′S) = ∂(e′i1 · · · e

′ik

) = (−1)k−1(e′i1 − e′i2

) · · · (e′ik−1− e′ik).

Ainsi f(∂(e′S)) = (−1)k−1(ai1 − ai2) · · · (aik−1− aik) = ∂(ai1 · · · aik).

Or si H ′i1 , ... , H ′ik est une famille dépendante deA′, alors Hi1 , ... , Hikest une famille dépendante de A et ∂(ei1 · · · eik) ∈ I∗(A). On a donc bienque ∂(ai1 · · · aik) = 0 dans K∗R(A) ⊂ A∗R(A).

(b) Soient S = H ′i1 , ... , H ′ik, tel que H ′i1 ∩ · · · ∩H ′ik = ∅,et e′S = e′i1 · · · e′ik l'élément de I∗(A′) correspondant.On a que Z = Hi1 ∩ · · · ∩Hik ⊂ H1. Notons r = codimZ ≤ k.On a alors codimH1 ∩ Z = codimZ = r < k + 1, et H1, Hi1 , ... , Hikest une famille dépendante de A. On a donc que ∂(e1ei1 · · · eik) ∈ I∗(A).Ainsi ∂(a1ai1 · · · aik) = (ai1−a1) · · · (aik−a1) = f(e′S) = 0 dans K∗R(A).

(c) Soit x ∈ I∗(A′). Ecrivons :

x =∑

S dependante

αS ∂(e′S) +∑

S | ∩S=∅

βS e′S.

En utilisant la linéarité de f et les considérations précédentes on endéduit que f(x) = 0 dans K∗R(A).

5. D'après la propriété universelle des algèbres on en déduit l'existence d'unmorphisme d'algèbres surjectif

f : A∗R(A′) = E∗(A′)/I∗(A′) → K∗R(A).

Considérons maintenant P (A∗R(A′), t) =∑q≥0

dimAqR(A′) · tq,

et P (K∗R(A), t) =∑q≥0

dimKqR(A) · tq, les polynômes de Betti-Poincaré de

A∗R(A′) et K∗R(A).

6. Montrons que (1 + t)P (K∗R(A), t) = π(A, t). Comme (A∗R(A), ∂) est un com-plexe de chaîne acyclique d'après 1., on a la suite exacte courte d'espacesvectoriels gradués suivante :

0→ KqR(A)→ AqR(A)→ Kq−1

R (A)→ 0.

Cette suite exacte implique que dimAqR(A) = dimKqR(A) + dimKq−1

R (A), ∀q,et on en déduit directement en utilisant 2.3.9 et le Théorème 2.4.19 que

π(A, t) = P (A∗R(A), t) = (1 + t)P (K∗R(A), t).

7. Montrons que (1 + t)π(A′, t) = π(A, t).Pour démontrer cette égalité, nous allons utiliser le Théorème de Whitney.

26

Théorème 2.4.13 (Whitney) Soit A ⊂ Kn+1 un arrangement d'hyper-plans ane. Alors on a :

χ(A, t) =∑B⊂AB central

(−1)|B|tn+1−r(B),

où r(B) = codim ∩H∈B H est le rang de B.

Avec 2.3.9 3. et le Théorème de Whitney on a

π(A, t) = (−t)n+1χ(A,−t−1) =∑B⊂AB central

(−1)|B|(−t)n+1(−1

t)n+1−r(B),

π(A, t) =∑B⊂AB central

(−1)|B|+r(B)tr(B). (2.4)

Rappelons que nous regardons A′ comme l'arrangement ane de Kn obtenuen prenant H ′1 l'hyperplan à l'inni.Pour B ⊂ A central, notons c(B) = ∩H∈BH le centre de B. On a :

π(A, t) =∑B⊂AB centralc(B)⊂H1

(−1)|B|+r(B)tr(B) +∑B⊂AB centralc(B)6⊂H1

(−1)|B|+r(B)tr(B).

Commençons par calculer∑B⊂AB centralc(B)6⊂H1

(−1)|B|+r(B)tr(B).

Soit B ⊂ A, B central. Alors on a c(B) 6⊂ H1 ⇔ c(B′) 6= ∅ ⇔ B′ central,car c(B′) = c(B)∩(PnK\H ′1). De plus, si B ⊂ A est central et vérie c(B) 6⊂ H1,alors on a |B| = |B′|, r(B) = n+ 1− dim c(B) = r(B′). On en déduit que∑

B⊂AB centralc(B)6⊂H1

(−1)|B|+r(B)tr(B) =∑B′⊂A′B′ central

(−1)|B′|+r(B′)tr(B

′) = π(A′, t).

Calculons à présent ∑B⊂AB centralc(B)⊂H1

(−1)|B|+r(B)tr(B). (2.5)

Soit donc B ⊂ A, B central, tel que c(B) ⊂ H1. Nous allons distinguer deuxcas : Si H1 /∈ B, considérons B = B ∪ H1. Alors on a :

c(B) = c(B), r(B) = r(B), et |B| = |B|+ 1.

27

Les termes correspondants à B et à B s'annulent donc entre eux dans lasomme (2.5). Il est donc susant de considérer dans la somme (2.5) lessous-arrangements centraux B ⊂ A, c(B) ⊂ H1, tels que H1 ∈ B, et Bn'est pas du type B0, où B0 = B\H1 est un sous-arrangement central deA ne contenant pas H1 et de centre c(B0) contenu dans H1. Notons donc

Bres = B ⊂ A, B central, c(B) ⊂ H1, H1 ∈ B, et c(B\H1) 6⊂ H1.

Soit B ∈ Bres. Alors B0 = B\H1 6⊂ H1 et B′0 ⊂ A′ est central.Réciproquement, soit B′0 ⊂ A′ central. Alors B0 ⊂ A est central et vériec(B0) 6⊂ H1, et on a B = B0 ∪ H1 ∈ Bres.On a donc une bijection entre Bres et l'ensemble des sous-arrangementscentraux de A′, en associant à chaque B ∈ Bres, le sous-arrangement cen-tral B′0 ⊂ A′ correspondant. De plus, r(B) = r(B0) + 1 = r(B′0) + 1,et |B| = |B′0|+ 1.

Nous pouvons donc maintenant calculer notre somme (2.5) :∑B⊂AB centralc(B)⊂H1

(−1)|B|+r(B)tr(B) =∑B∈Bres

(−1)|B|+r(B)tr(B)

=∑B′0⊂A′B′0 central

(−1)|B′0|+1+r(B′0)+1tr(B

′0)+1 = t ·

∑B′0⊂A′B′0 central

(−1)|B′0|+r(B′0)tr(B

′0)

= tπ(A′, t) d'après (2.4).Finalement on a bien π(A, t) = (1 + t)π(A′, t).

Ainsi (1 + t)π(A′, t) = (1 + t)P (K∗R(A), t), d'où :

π(A′, t) = P (K∗R(A), t).

8. D'après précédemment dimAqR(A′) = dimKqR(A), ∀q, et l'application f est

donc bijective, ce qui achève la démonstration :

A∗R(A′) ' K∗R(A).

Exemple 2.4.14 Calculons l'algèbre d'Orlik-Solomon projective de l'arrangementA = H1, ... , Hd ⊂ K2 de l'Exemple 2.4.10. Avec les notations précédentes on aque A′ = H ′2, ... , H ′d ⊂ K est constitué de d−1 points distincts. On trouve alors :

A0R(A′) = R, A1

R(A′) = R < a2, ... , ad > , AqR(A′) = 0, ∀ q > 1.

28

Appliquons maintenant la Dénition 2.4.11. On a que K0R(A) = R, et que

K1R(A) = ker ∂ : R < a1, ... , ad > → R

= −(α2 + · · ·+ αd)a1 + α2a2 + · · ·+ αdad ' A1R(A′).

Calculons K2R(A) = ker ∂ : A2

R(A) → A1R(A) .

Avec l'Exemple 2.4.11 on a A2R(A) = R < aiad | 1 ≤ i ≤ d− 1 > .

Soit alors x = α1a1ad + · · ·+ αd−1ad−1ad ∈ A2R(A). On a que ∂x = −α1a1 − · · ·

−αd−1ad−1 + (α1 + · · ·+ αd−1)ad, et ∂x = 0 ⇔ αi = 0, ∀ 1 ≤ i ≤ d− 1.Ainsi on a bien K2

R(A) = 0 et A∗R(A′) ' K∗R(A).

2.4.15 Structure de l'algèbre d'Orlik-Solomon

Soit A ⊂ V un arrangement ane. A tout X ∈ L(A) on associe le sous-arrangement AX ⊂ A, où AX := H ∈ A |X ⊆ H. Nous allons maintenantcalculer l'algèbre d'Orlik-Solomon de l'arrangement A à partir de son treillis d'in-tersection L(A).

Théorème 2.4.16 ([33], Décomposition de Brieskorn) Pour tout q ≥ 0, ona la décomposition en somme directe suivante :

Aq =⊕

X∈Lq(A)

AqX ,

où Lq(A) est le sous-ensemble de L(A) constitué des éléments de rang q, et A∗Xest l'algèbre d'Orlik-Solomon de AX .

Exemple 2.4.17 Soit A ⊂ C2 l'arrangement ane constitué des six droites re-présentées sur le dessin ci-dessous :

29

L2

LLLLLLLLLLLLLLLLL

SSSSSSSSSS

• •

• •

•

•

•L5

S

T

W

U

V

P Q

L6

L1 L3

L4

A ⊂ C2

Figure 2.1

Calculons l'algèbre d'Orlik-Solomon A∗ = A∗R(A) de l'arrangement A. On no-tera ei = eLi , ai = aLi .On a que A0

R(A) = R. Les éléments de codimension 1 dans L(A) sont les hyper-plans Li, de sous-arrangement correspondant Li. On a

A1Li

= R < ai >, ∀ 1 ≤ i ≤ 6,

et ainsi on vérie bien que

A1 =⊕

1≤i≤6

A1Li

= R < a1, a2, a3, a4, a5, a6 >

est un R−module libre de rang 6.Les éléments de codimension 2 dans L(A) sont de deux types :

Les points W,U, et T de multiplicité 2.On a AW = L1, L2, AU = L4, L6, AT = L3, L5, et :

A2W = R < a1a2 >, A

2U = R < a4a6 >, A

2T = R < a3a5 > .

Les points P,Q, S et V de multiplicité 3. Calculons par exemple A2P .

On a que AP = L2, L5, L6 est dépendante car codimL2 ∩L5 ∩L6 = 2 < 3.Ainsi I2(AP ) est engendré par ∂(e2e5e6) = e5e6 − e2e6 + e2e5.On a que E2(AP ) = R < e2e5, e2e6, e5e6 > . Finalement on trouve :

A2P = R < a2a5, a5a6 > .

On trouve de la même manière :A2Q = R < a2a3, a3a4 >, A

2S = R < a1a4, a4a5 >, A

2V = R < a1a3, a3a6 > .

En utilisant la formule de Brieskorn 2.4.16 on obtient :

30

A2 = A2W ⊕ A2

U ⊕ A2T ⊕ A2

P ⊕ A2Q ⊕ A2

S ⊕ A2V

= R < a1a2, a4a6, a3a5, a2a5, a5a6, a2a3, a3a4, a1a4, a4a5, a1a3, a3a6 >

est un R−module libre de rang 3 · 1 + 4 · 2 = 11.Enn Aq = 0, ∀q ≥ 3, d'après la Proposition 2.4.8.

2.4.18 Cohomologie du complémentaire d'un arrangement

d'hyperplans

Le théorème suivant, dû à Orlik et Solomon, est un des résultas fondamentauxen théorie des arrangements d'hyperplans.

Théorème 2.4.19 ([32]) Soient A = H1, ... , Hd ⊂ Cn+1 un arrangement d'hy-perplans et R un anneau commutatif unitaire. Soient Hj := lj = 0, ∀j, et aj legénérateur de A1

R(A) correspondant à l'hyperplan Hj. L'application

φ : A∗R(A)→ H∗(M(A), R)

aj 7→ 12iπ

d ljlj

induit un isomorphisme d'algèbres graduées :

A∗R(A) ' H∗(M(A), R).

Ainsi, l'algèbre de cohomologie H∗(M(A), R) du complémentaire d'un arran-gement d'hyperplans est entièrement déterminée par le treillis d'intersection L(A).

En utilisant la Remarque 2.3.9 et le Théorème 2.4.16 on déduit le corollairesuivant :

Corollaire 2.4.20 On a rangRAq(A) =

∑X∈Lq(A)

(−1)qµL(A)(X).

Exemple 2.4.21 Revenons à notre Exemple 2.4.9.On a que π(A2, t) = 1 + 3t+ 2t2, et on retrouve bien rangRA

0(A2) = 1,rangRA

1(A2) = 3, et rangRA2(A2) = 2.

2.4.22 Variétés de résonance

Soient A = H1, ... , Hd un arrangement d'hyperplans, et A∗ = A∗R(A) sonalgèbre d'Orlik-Solomon avec coecients dans un anneau commutatif unitaire R.Soit ω =

∑di=1 ωiai ∈ A1. Notons ω∧ l'application :

ω∧ : A∗ → A∗+1

x 7→ ω ∧ x.

31

Considérons le complexe de cochaînes suivant, appelé complexe d'Aomoto del'arrangement A :

(A∗, ω∧) = A∗ ω∧ // A∗+1 ∗≥0.

On dénit la variété de résonance de degré q de l'arrangement A comme suit :

Dénition 2.4.23 (Variété de résonance)Pour q ≥ 0, on appelle variété de résonance de degré q de l'arrangement A l'en-semble de A1 :

Rq(A) = ω ∈ A1 | Hq(A∗, ω∧) 6= 0.

Pour tout k ≥ 1, notons Rqk(A) = ω ∈ A1 | dimHq(A∗, ω∧) ≥ k.

Remarque 2.4.24 On a que Rq(A) = Rq1(A), ∀q ≥ 0.

Si Aq = 0, alors Rqk(A) = ∅, ∀k ≥ 1.

On a que R01(A) = 0 et R0

k(A) = ∅, ∀k > 1. Si on s'intéresse à la variété de résonance de degré 1 :

A0 f // A1 g // A2

En utilisant le Théorème du rang on a que :R1k = ω ∈ A1 | rang(Mg) ≤ dim(A1)− k − 1,

où Mg est la matrice de l'application g.

Dans cette section nous décrirons tout particulièrement la variété de résonanceR1(A) de degré 1. Cette description provient d'un cours sur les arrangements d'hy-perplans [9].

Proposition 2.4.25 Soit A un arrangement d'hyperplans central.Si ω ∈ A1 et ∂ω 6= 0R, alors H

∗(A∗, ω∧) = 0.


Soient ω ∈ A1, et ∂ω = c ∈ R\0R. Pour q > 0, la situation est la suivante :

Aq−1ω∧=f // Aqω∧=g// Aq+1 .

On sait déjà que Imf ⊂ ker g. Montrons l'inclusion inverse.Soit y ∈ ker g ⊂ Aq, alors ω ∧ y = 0 et ∂(ω ∧ y) = cy − ω ∧ ∂y = 0.Ainsi y = c−1 · ω ∧ ∂y ∈ Imf et on a bien Hq(A∗, ω∧) = 0, ∀q ≥ 0.

32

Remarque 2.4.26 On a que ω ∈ R1(A) si et seulement si il existe b ∈ A1 nonproportionnel à ω tel que ω ∧ b = 0 (et dans ce cas b ∈ R1(A) également).

Le théorème suivant décrit R1(A) pour un arrangement A de rang 2, cas traitédans l'Exemple 2.4.10.

Théorème 2.4.27 Supposons A central et de rang 2. Alors :

R1(A) = A1R(A′) = ω =

d∑i=1

ωiai ∈ A1 |d∑i=1

ωi = 0R, si |A| ≥ 3,

R1(A) = 0 sinon.

Démonstration du Théorème 2.4.27 :

Soit ω ∈ R1(A). Alors H1(A∗, ω∧) 6= 0 et ∂ω =d∑i=1

ωi = 0R d'après 2.4.25.

Ainsi, R1(A) ⊂ A1R(A′). Prenons donc ω dans A1

R(A′). Comme A est de rang 2,on a que A2

R(A′) = 0, et ω ∧ b = 0, ∀ b ∈ A1R(A′). On sait que si ω ∧ b = 0R,

alors b ∈ A1R(A′) d'après la Remarque 2.4.26. De plus, dimA1

R(A′) = |A| − 1.Ainsi, si |A| ≥ 3, alors |A1

R(A′)| ≥ 2 et il existe un b non proportionnel à ω telque ω ∧ b = 0 et ω ∈ R1(A). Par contre si |A| ≤ 2, alors |A1

R(A′)| ≤ 1 et il nepeut pas exister de b non proportionnel à ω tel que ω ∧ b = 0, si ω 6= 0.

Soient X ∈ L(A) et ω ∈ A1. On notera ωX :=∑

i |X ⊆Hi

ωiai.

En appliquant le théorème précédent ainsi que la décomposition de Brieskorn 2.4.16on obtient le corollaire suivant :

Corollaire 2.4.28 Soient A un arrangement central, et ω, b ∈ A1.Alors ω ∧ b = 0 si et seulement si pour tout X ∈ L2(A) on a :

ωX et bX sont proportionnels, (2.6)

ou

|AX | ≥ 3 et ∂ωX = ∂bX = 0R. (2.7)

Démonstration du Corollaire 2.4.28 :

Comme ω et b sont des éléments de A1, on a que ω ∧ b est dans A2.La décomposition de Brieskorn 2.4.16 donne ensuite :

33

ω ∧ b = 0 si et seulement si (ω ∧ b)X = ωX ∧ bX = 0, pour tout X ∈ L2(A).

Or pour un tel X ∈ L2(A) on a que ωX ∧ bX = 0 si et seulement si

ωX et bX sont proportionnels,ou

ωX et bX ne sont pas proportionnels et sont des éléments de R1(A).

Enn, avec le Théorème 2.4.27 on a que ωX ∧ bX = 0 si et seulement si

ωX et bX sont proportionnels,ou

|AX | ≥ 3 et ∂ωX = ∂bX = 0R.

Nous appliquerons résultats à l'arrangement des tressesAn ⊂ Cn+1 au Chapitre

4. On prendra alorsR = Fp un corps de caractéristique p, on prendra ω1 =∑H∈An

aH ,

et on utilisera le corollaire suivant dû à A.D. Macinic et S. Papadima :

Corollaire 2.4.29 ([28]) Soient A un arrangement central, p un nombre pre-

mier, et b =∑H∈A

bHaH . Alors ω1 ∧ b = 0 si et seulement si pour tout X ∈ L2(A)

on a :∂bX = 0Fp , si p divise |AX |, (2.8)

ou

bH = bK , ∀H 6= K ∈ AX , si p ne divise pas |AX |. (2.9)

Démontrons que les Corollaires 2.4.29 et 2.4.28 sont équivalents

pour R = Fp :

D'après le Corollaire 2.4.28, ω1 ∧ b = 0 si et seulement pour tout X ∈ L2(A)on a (2.6) ou (2.7). Soit donc X ∈ L2(A). Traitons une à une les deux conditions :

(2.6) : On a que ω1X et bX sont proportionnels si et seulement sibH = bK , ∀H 6= K ∈ AX .

Si de plus p divise |AX |, alors on a ∂bX = |AX |bK = 0Fp . (2.7) : On a que p divise |AX | si et seulement si ∂ω1X = 0Fp . La deuxièmecondition est donc équivalente à :

|AX | ≥ 3, p divise |AX |, et ∂bX = 0Fp .

1. Si AX = H, alors p ne divise pas |AX |, ω1X ∧ bX = 0Fp et (2.9) est vérié.

34

2. Si AX = H,K, alors ω1X ∧ bX = 0Fp si et seulement si bH = bK .Si p ≥ 3, alors un tel bX est une solution de (2.9).Si p = 2, alors ∂bX = 2bH = 0Fp et bX vérie (2.8).

3. Si |AX | ≥ 3, on remarque déjà que les solutions de

ω1X et bX sont proportionnels et p divise |AX |

sont incluses dans les solutions de

|AX | ≥ 3, p divise |AX | et ∂bX = 0Fp .

Ainsi ω1X ∧ bX = 0 si et seulement si (2.8) ou (2.9) est vérié.Ces considérations prouvent que les Corollaires 2.4.28 et 2.4.29 sont équiva-lents pour R = Fp.

2.5 Classes de Chern-Schwartz-MacPherson d'un

arrangement d'hyperplans

Dans toute cette section, nous travaillerons sur C. On considèrera un arran-gement d'hyperplans A′ = H ′1, ... , H ′d ⊂ PnC, ainsi que l'arrangement central

A = H1, ... , Hd ⊂ Cn+1 correspondant. On regarderad⋃i=1

H ′i comme une hy-

persurface réduite et singulière de PnC, et on s'intéressera aux complémentaires

M(A) = Cn+1\d⋃i=1

Hi et M(A′) = PnC\d⋃i=1

H ′i.

Rappelons que M(A) est une C∗-bration triviale sur M(A′), étant donné que

M(A) ' M(A′)× C∗ ,

d'après la Proposition 2.1.6.

Remarque 2.5.1 Comme M(A) ' M(A′) × C∗, si on utilise les formules deKünneth on obtient :

Hq(M(A),C) '⊕k+l=q

Hk(M(A′),C)⊗Hl(C∗,C), ∀q ≥ 0,

P (M(A), t) = P (M(A′), t) · P (C∗, t).

35

Comme P (C∗, t) = 1 + t, on trouve avec le Théorème 2.3.10 :

π(A′, t) = π(A, t)/ (1 + t) .

Avec Remarque 2.3.9, 3. on en déduit que :

χ(A′, t) = χ(A, t)/(t− 1).

Rappelons qu'en théorie des classes de Chern développée par Macpherson [29],il existe un homomorphisme c∗ du groupe des fonctions constructibles F(X) surune variété X vers le groupe d'homologie H∗(X) à coecients dans Z (ou encorevers le groupe de Chow A∗(X)) :

c∗ : F(X) → H∗(X)1X 7→ c∗(X).

Ceci nous donne une classe de Chern-Schwartz-MacPherson en homologie pourtoute variété algébrique complexe X.

Si f : X −→ Y est un morphisme propre entre deux variétés X et Y, lediagramme suivant est commutatif :

F(X)c∗ //

f∗ %%

H∗(X)

f∗

F(Y ) c∗// H∗(Y )

Rappelons aussi qu'on peut passer, en utilisant la dualité de Poincaré, de l'ho-mologie à la cohomologie en intersectant avec la classe fondamentale [X] dès queX est lisse et compacte :

∩[X] : H∗(X) → H∗(X).

De plus, si X est lisse, alors la classe totale de Chern du bré tangent TX,notée c(TX) = c∗(X), est dans la cohomologie H∗(X) et on a :

c∗(X) ∩ [X] = c∗(X) ∈ H∗(X). (2.10)

Nous allons appliquer cette théorie à X = PnC.Soit Y une sous-variété de PnC. Notons i l'inclusion i : Y → PnC. Avec les considé-rations précédentes on a :

c∗(Y ) ∈ H∗(Y ).i∗c∗(1Y ) = c∗(i∗1Y ) = c∗(1Y ) ∈ H∗(PnC).

36

Ceci motive la dénition suivante.

Dénition 2.5.2 Soit Y une sous-variété de PnC.On appelle classe de Chern-Schwartz-MacPherson de Y, et on note cSM(Y ), laclasse dénie comme suit :

cSM(Y ) := c∗(1Y ) ∈ H∗(PnC).

D'après l'article de P. Alu [1] on a le théorème suivant, dont nous donneronsune démonstration détaillée :

Théorème 2.5.3 ([1], Théorème 3.1) Soit A′ ⊂ PnC un arrangement d'hyper-plans. Avec les notations précédentes on a :

cSM(M(A′)) = χ(A′, t+ 1),

où le terme de droite est vu comme une classe dans H∗(PnC) obtenue en remplaçanttk par la classe fondamentale [PkC] ∈ H2k(PnC), k = 0, ... , n.


Soient x ∈ L(A), et x = x\⋃y>x

y. On a alors que y =∑x≥y

x, et en utilisant la

formule d'inversion de Möbius on obtient que y =∑x⊆y

µL(A)(y, x)x.

Ainsi si on considère l'application du treillis d'intersection L(A) vers le groupe desfonctions constructibles sur Cn+1, qui à un x ∈ L(A) associe la fonction 1x, onobtient :

1y =∑x≥y

1x,

1y =∑x⊆y

µL(A)(y, x)1x,

1M(A) =∑

x∈L(A)

µL(A)(x)1x.

Enn,

1M(A′) =∑

x∈L(A)

µL(A)(x)1x′ ,

37

où x′ ∈ L(A′) est le projectivisé de x.

Ainsi, en utilisant l'additivité de c∗ on trouve :

cSM(M(A′)) =∑

x∈L(A)

µL(A)(x)cSM(x′).

Nous devons maintenant calculer les cSM(x′) pour x′ ∈ L(A′).Pour chaque k ∈ 0, ... , n, on peut écrire PkC comme l'intersection de n − khyperplans de A′ en position générale : PkC = Hi1 ∩ · · · ∩Hin−k .Ainsi, pour chaque x ∈ L(A) de dimension k + 1 on prendra x′ = PkC.Posons donc x′ = PkC, et notons i l'inclusion i : PkC → PnC. Nous devons calculer

cSM(x′) := c∗(1x′) ∈ H∗(PnC).

Soit α ∈ H2(PkC) un générateur. Selon la théorie classique des classes de Chern [4,p. 280], on a que c∗(x′) = (1 + α)k+1 ∈ H∗(PkC).Passons maintenant à l'homologie en faisant le cap produit avec [PkC] et en utilisantla dualité de Poincaré :

∩[PkC] : H2k−2l(PkC) → H2l(PkC)αk−l 7→ [PlC].

On trouve alors :

cSM(x′) = (1 + α)k+1 ∩ [PkC] = [PkC] +(k+1

1

)[Pk−1C ] + · · ·+

(k+1k

)[P0C] ∈ H∗(PkC),

et comme cSM(x′) = c∗(i∗1x′) = i∗c∗(1x′) ∈ H∗(PnC) on a :

cSM(x′) = [PkC] +(k+1

1

)[Pk−1C ] + · · ·+

(k+1k

)[P0C] ∈ H∗(PnC).

Or on peut montrer que

[PkC] +(k+1

1

)[Pk−1C ] + · · ·+

(k+1k

)[P0C] = ((1 + α)k+1αn−k) ∩ [PnC],

avec (1 + α)k+1αn−k ∈ H∗(PnC).

D'autre part, si on écrit le polynôme caractéristique sous la forme

χ(A′, t+ 1) =∑akt

k,

alors on trouve :

χ(A′, [P1C] + 1) =

∑ak[PkC] dans H∗(PnC),

αn χ(A′, 1α

+ 1) =∑ak α

n−k dans H∗(PnC).

38

Enn, en faisant le cap produit avec [PnC] on trouve :

(αn χ(A′, 1α

+ 1) ) ∩ [PnC] =∑ak [PkC], puis

(αn+1 χ(A, 1α

+ 1) ) ∩ [PnC] =∑ak [PkC],

car (t− 1)χ(A′, t) = χ(A, t). D'où

(αn+1 χ(A, 1

α+ 1) ) ∩ [PnC] = χ(A′, t+ 1), (2.11)

où le terme de droite est vu comme un polynôme où les tk sont remplacés par [PkC].Ainsi,

cSM(M(A′)) =∑

x∈L(A)

µL(A)(x)cSM(x′),

cSM(M(A′)) =∑

x∈L(A)

µL(A)(x)(1 + α)dimx αn+1−dimx ∩ [PnC],

cSM(M(A′)) = (αn+1∑

x∈L(A)

µL(A)(x)(1

α+ 1)dimx) ∩ [PnC],

cSM(M(A′)) = (αn+1χ(A, 1α

+ 1) ) ∩ [PnC],

et ceci achève la démonstration d'après (2.11).

Remarque 2.5.4 En utilisant les formules qui relient le polynôme caractéris-tique :

π(A, t) = (−t)n+1χ(A,−1t),

le Théorème 2.5.3 peut se formuler de la façon suivante :

cSM(M(A′)) = (αn+1χ(A, 1α

+ 1) ) ∩ [PnC],cSM(M(A′)) = ( (α + 1)n+1π(A, −α

α+1) ) ∩ [PnC],

cSM(M(A′)) = (π(A, −αα+1

) ∪ c(TPnC)) ∩ [PnC],

cSM(M(A′)) = π(A, −αα+1

) ∩ c∗(PnC),

car c(TPnC) ∩ [PnC] = c∗(PnC) avec (2.10).

Remarque 2.5.5 1. Si A′ n'est pas vide, on peut prendre H ′ ∈ A′ de tellesorte que Cn = PnC \H ′. On a les inclusions successives

M(A′) ⊂ Cn = PnC \H ′ ⊂ PnC.

39

On a que TPnC|M(A′) = TM(A′) → M(A′) est la restriction à M(A′)du bré TPnC|Cn → Cn qui est trivial, Cn étant contractile. Par conséquent,le bré tangent TM(A′) → M(A′) est trivial et donc sa classe de Chernusuelle vaut 1. Les formules obtenues ci-dessus montrent bien que les classescSM(M(A′)) sont diérentes des classes Chern usuelles du bré tangent. Cesnouvelles classes de Chern-Schwartz-Macpherson apportent donc davantaged'informations que les classes de Chern classiques.

2. Lorsque l'arrangement A est libre au sens de P. Orlik et H. Terao, voir [33,Chapitre 4], alors le faisceau Ω1

PnC(logA) des 1-formes diérentielles à pôles

logarithmiques le long de l'union A des hyperplans de A′ est locallement libre,et la classe de Chern totale du bré dual coïncide avec la classe de Chern-Schwartz-MacPherson du complémentaire M(A′). En eet, en combinant leThéorème 2.5.3 et un résultat dû à M. Mustaµà et H. Schenck [30, Théorème5.1] on obtient [1, Théorème 4.1] :

cSM(M(A′)) = c∗(Ω1PnC

(logA)∨) ∩ [PnC].

Exemple 2.5.6 En utilisant 2.5.3 et 2.3.11 on peut donner les exemples suivants.

1. Soit B ⊂ Cn+1 l'arrangement de Boole, alors

χ(B, 1α

+ 1) = ( 1α

)n+1 etcSM(M(B′)) = (αn+1χ(B, 1

α+ 1) ) ∩ [PnC] = 1 ∩ [PnC] = [PnC].

2. Soit A ⊂ Cn+1 un arrangement générique constitué de d hyperplans,d ≤ n+ 1, alors :

χ(A, 1α

+ 1) = ( 1α

+ 1)n+1−d( 1α

)d etcSM(M(A′)) = (αn+1χ(A, 1

α+ 1) ) ∩ [PnC] = (1 + α)n+1−d ∩ [PnC].

40

Chapitre 3

Fibre de Milnor des arrangements

d'hyperplans

3.1 Systèmes locaux et arrangement d'hyperplans

Dans cette partie on supposera connue la notion de faisceau, voir par exemple[36]. Nous allons aborder les systèmes locaux de trois manières diérentes. Rap-pelons tout d'abord que si (X,OX) est un espace annelé (par exemple une variétéanalytique complexe munie de son faisceau structural), alors on dénit les faisceauxde modules comme suit :

Dénition 3.1.1 On appelle OX−module un faisceau F tel que pour toutouvert U de X, F(U) est un OX(U)−module, les èches de restriction étant li-néaires.

La première façon de dénir un système local est la suivante.

Dénition 3.1.2 Soit A un anneau commutatif (en général A = Z,Q ou C).Soit X un espace topologique. Le faisceau constant sur X associé à A est noté AX ,et la catégorie abélienne des faisceaux de AX−modules est notée mod(AX).On appelle A−système local sur X un faisceau F ∈ mod(AX) localement constant,c'est à dire tel qu'il existe un recouvrement ouvert (Ui) de X et des A−modulesMi tels que F|Ui 'Mi, oùMi est le faisceau constant sur Ui associé à Mi.De plus, quand tous les Mi sont libres de rang r on dit que le système local est derang r.

Exemple 3.1.3 Le système local constant AX est appelé système local trivial.

41

Remarque 3.1.4 Lorsque l'espace topologique X est connexe, on peut remplacerles Mi par un unique A−module M.

Remarque 3.1.5 Supposons que A est un corps, X est un CW-complexe ni, etL est un A−système local sur X de rang r. Alors on a (voir [14, p. 49]) :

r · E(X) =∑q≥0

(−1)qdimAHq(X,L),

où E(X) =∑

q≥0(−1)qbq(X) désigne la caractéristique d'Euler de X,avec bq(X) = dimHq(X,Q).

Rappelons également quelques opérations sur les faisceaux de modules :

Dénition 3.1.6 Soit f : X → Y une application continue entre deux es-paces topologiques. Alors le foncteur image directe f∗ : mod(AX)→ mod(AY )est déni par :

(f∗F)(V ) = F(f−1(V )), ∀F ∈ mod(AX), ∀V ⊂ Y ouvert.Ce foncteur est covariant, additif et exact à gauche.

On appelle ie foncteur dérivé de f∗ le foncteur Rif∗ déni comme suit :∀i ∈ N, ∀F ∈ mod(AX), Rif∗(F) est le faisceau associé au préfaisceau

V 7→ H i(f−1(V ),F).

Dénition 3.1.7 (Image réciproque)Soit φ : X → Y un morphisme de variétés sur un corps A.

Soit G un AY−module et U un ouvert de X. On dénit une relation d'équivalencesur les couples (V, s), où V est un ouvert de Y contenant φ(U) et s ∈ G(V ), enposant :

(V, s) ∼ (V ′, s′) si et seulement si s et s′ coïncident sur un ouvert V ′′ contenantφ(U) et contenu dans V ∩ V ′.

L'ensemble des classes d'équivalence pour cette relation est noté φ−10 G(U). Ceci

dénit un préfaisceau sur X et on note φ−1(G) le faisceau associé.

Lorsque l'espace X vérie certaines hypothèses (connexe par arc, séparé, locale-ment contractile) on sait, comme il est démontré dans le livre [14], que la catégoriedes A−systèmes locaux sur X est équivalente à celle des représentations

ρ : π1(X, x0)→ Aut(M),

42

où π1(X, x0) est le groupe fondamental de X basé en un point x0, et M est unA−module.

A partir de maintenant on travaillera dans le cas complexe A = C,X sera une variété analytique complexe qui vérie toutes ces hypothèses, et onprendra M = Cd. Ceci nous amène à la deuxième manière d'aborder un systèmelocal sur X : un C−système local de rang d peut être décrit par une représentation

ρ : π1(X, x0)→ Gld(C)[γ] 7→ ρ([γ]).

Exemple 3.1.8 Comme π1(C∗) = Z, un système local sur C∗ est complè-tement déterminé par ρ(1), où 1 = [γ] est la classe du lacet élémentairet 7→ exp(2iπt), t ∈ [0, 1].

Prenons X = Cn+1\d⋃j=1

Hj le complémentaire d'un arrangement d'hyper-

plans, les Hj étant dénis par une équation linéaire Hj := lj = 0.Un système local de rang 1 sur X est décrit par une représentation

ρ : π1(X, x0)→ C∗.En factorisant par l'abélianisé de π1(X, x0) et en utilisant le Théorème d'Hu-rewicz qui assure que si X est un espace topologique connexe par arcs, alorsAb(π1(X, x0)) ' H1(X,Z), on obtient :

π1(X, x0)ρ //

p&&

C∗

H1(X,Z)

p

::

Nous savons de plus que le groupe d'homologie H1(X,Z) = Z[γ1, ... , γd] estle Z−module libre engendré par les lacets élémentaires γj tournant dans lesens positif autour des hyperplans Hj, appelés méridiens, voir [33].Ainsi, un système local de rang 1 sur X est entièrement déterminé par lesimages p(γj) = λj ∈ C∗.

On sait, comme il est expliqué dans [38], que la catégorie des brés vectorielsπ : E −→ X holomorphes de rang d sur X est équivalente à celle des faisceaux Ede OX−modules localement libres de rang d. La troisième manière d'aborder lessystèmes locaux utilise les connexions sur les brés vectoriels.

Dénition 3.1.9 Une connexion holomorphe ∇ sur un bré vectorielholomorphe π : E → X est un homomorphisme C−linéaire de faisceaux :

∇ : E → Ω1X ⊗OX E

43

vériant la règle de Leibniz :

pour tout ouvert U de X, pour toute section s ∈ Γ(U, E), et pour toute fonctionholomorphe f ∈ OX(U), on a :

∇(f · s) = f∇(s) + df ⊗ s ∈ Γ(U,Ω1X ⊗OX E).

Ici Ω1X désigne le faisceau des 1−formes diérentielles holomorphes, et E le

OX−faisceau localement libre associé au bré E.

Proposition 3.1.10 Deux connexions holomorphes ∇ et ∇′ sur un bré E dif-fèrent par un homomorphisme OX−linéaire Ω : E → Ω1

X ⊗OX E .Réciproquement, l'adjonction d'un tel homomorphisme Ω à une connexion ∇ donneune nouvelle connexion ∇′.

Dénition 3.1.11 On peut étendre l'action d'une connexion ∇ sur les sectionsde Ω1

X ⊗OX E par la formule :

∇(ω ⊗ s) = dw ⊗ s− ω ∧∇(s).

On dit alors qu'une connexion est intégrable si ∇ ∇ = ∇2 = 0.

Exemple 3.1.12 Le bré trivial de rang 1 est muni de la connexion diérentielled : OX → Ω1

X . Cette connexion est intégrable car d2 = 0 équivaut à

∂2f

∂zi∂zj=

∂2f

∂zj∂zi, ∀ f ∈ OX , ∀i, j,

où les zi sont les coordonnées dans une carte de X. Or le Théorème de Schwarzassure que cette hypothèse est vériée. D'après la Proposition 3.1.10 toute autreconnexion ∇ sur le bré trivial de rang 1 s'écrit sous la forme ∇ = d+Ω, où Ω estune section globale de Ω1

X , et on peut montrer que ∇ est intégrable si et seulementsi dΩ = 0. Ainsi, Ω dénit une classe de cohomologie [Ω] dans H1(X,C).On sait que si ∇′ = d + Ω′, alors les brés à connexion (OX ,∇) et (OX ,∇′) sontisomorphes si et seulement si [Ω] = [Ω′] dans H1(X,C).

Voici maintenant le théorème central de cette partie :

Théorème 3.1.13 (Cauchy-Kowalevski)Soit ∇ : E → Ω1

X⊗OX E une connexion holomorphe intégrable sur un bré vectorielE de rang d.

1. Le faisceau E∇ = ker∇ est un faisceau localement constant de C−espacevectoriel de rang d, i.e localement isomorphe au faisceau constant CdX .

44

2. Le faisceau OX ⊗CX E∇ est un faisceau localement libre de OX−modules, laconnexion ∇ sur ce faisceau dénie par ∇(f ⊗ s) = s⊗ df est intégrable, et(OX ⊗CX E∇)∇ = E∇.

3. L'homomorphisme naturel OX ⊗CX E∇ → E est un isomorphisme de brésà connexions intégrables.

Ce théorème prouve que la catégorie des brés vectoriels de rang d sur X àconnexions intégrables est équivalente à celle des systèmes locaux de rang d sur X.Sous cette équivalence, le bré vectoriel associé à un système local L est OX⊗CXL,et la connexion associée est l'unique connexion intégrable telle que ker∇ = L.

Retournons à notre Exemple 3.1.8 :

X = Cn+1\d⋃j=1

Hj, Hj := lj = 0.

Les systèmes locaux sur X de rang 1 sont paramétrés par

Hom(π1(X),C∗) = (C∗)d = H1(X,C∗).

Soient donc λ = (λ1, ... , λd) ∈ (C∗)d, et Lλ le système local de rang 1 sur Xcorrespondant. On sait, d'après 3.1.12, que les connexions sur OX sont de la forme :

∇ω : OX → Ω1X

u 7→ du+ u⊗ ω

et qu'une telle connexion est intégrable si et seulement si dω = 0.Ainsi ω dénit une classe de cohomologie dans le groupe H1(X,C). Ce groupe estun C−espace vectoriel de dimension d ayant comme base la famille des 1-formes

fermées dljljj∈1,...,d. On peut donc écrire ω =

d∑j=1

αjdljlj, avec (α1, ... , αd) ∈ Cd.

Si de plus on choisit (α1, ... , αd) tel que λj = exp(−2iπαj), ∀j ∈ 1, ... , d, onpeut montrer que Lλ = ker∇ω.

Nous venons ainsi de construire une application exponentielle

exp : H1(X,C) → H1(X,C∗)ω 7→ ker∇ω.

Le résultat suivant explique notre intérêt pour les variétés de résonance.

Théorème 3.1.14 Il existe un voisinage U de 0 ∈ H1(X,C) tel que

45

exp : U → exp(U)

est un isomorphisme analytique qui envoie la variété de résonance

Rqk(A) ⊂ A1

C(A) = H1(X,C)

dans la variété caractéristique

Vqk(X) = L ∈ H1(X,C∗) | dimHq(X,L) ≥ k .

De plus, si ω ∈ Rqk(A), alors pour le système local associé Lλ = ker∇ω on a :

dimHq(X,Lλ) ≥ k.

Pour la preuve de ce théorème voir [20, Corollaire 6.7], pour une généralisationvoir [19].

Nous allons maintenant rappeler une égalité bien connue entre la cohomologiede la bre de Milnor d'un arrangement d'hyperplans central, et la cohomologie deson complémentaire à coecients dans un certain système local que nous décrirons.

Soient A = H1, ... , Hd ⊂ Cn+1 un arrangement central et A′ ⊂ PnC l'arran-gement projectif associé.

Notons M(A) = Cn+1\d⋃i=1

Hi et M(A′) = PnC\d⋃i=1

H ′i.

Comme nous l'avons vu dans la Proposition 2.1.6, on a un isomorphisme naturelde variétés algébriques :

f : M(A) → M(A′)× C∗.

Rappelons qu'en restreignant la bration de Hopf p : Cn+1\0 → PnC au complé-mentaire on obtient la bration triviale p : M(A)→M(A′).Pour a ∈M(A), notons a′ = p(a). La bration p induit l'application :

p# : π1(M(A), a)→ π1(M(A′), a′).

On note γ1, ... , γd les lacets élémentaires autour des hyperplans de A. Ce sont desgénérateurs de π1(M(A), a), et γ′1 = p#γ1, ... , γ

′d = p#γd sont des générateurs de

π1(M(A′), a′).Soit L un système local de rang 1 sur M(A) associé à la représentation :

ρ : π1(M(A), a)→ C∗γi 7→ ai.

46

Dans cette situation on dénit l'opérateur de monodromie totale T (L) ∈ C∗ par leproduit des monodromies ai, i ∈ 1, ... , d. On aimerait dénir la représentation :

ρ′ : π1(M(A′), a′)→ C∗γ′i 7→ ai.

On a que H1(M(A′),Z) = H1(M(A),Z)/ < γ′1 + · · ·+γ′d > . La relation vériéepar les lacets γ′i dans H1(M(A′),Z) :

γ′1 + · · ·+ γ′d = 0,

se traduit par ρ′(γ′1 + · · ·+ γ′d) = ρ′(γ1) · · · ρ′(γd) = a1 · · · ad = 1.On en déduit que T (L) = 1 si et seulement si on peut dénir la représentation ρ′,et donc un système local L′ = p∗(L) de rang 1 sur M(A′).

Dénition 3.1.15 (Produit tensoriel extérieur)Soient X et Y deux espaces topologiques, A un corps.Soient LX ∈ mod(AX), LY ∈ mod(AY ).Soient la projection p1 : X × Y → X et la projection p2 : X × Y → Y.Alors le produit tensoriel extérieur est déni par :

LX LY = p−11 LX ⊗ p−1

2 LY .

Proposition 3.1.16 Supposons que T (L) = 1. Alors via l'isomorphisme naturelf : M(A) → M(A′) × C∗, le système local L correspond au produit tensorielextérieur L′ CC∗ . En particulier on a :

H∗(M(A),L) ' H∗(M(A′),L′)⊗H∗(C∗,C).

La démonstration de cette proposition repose sur un théorème de Künneth,voir [14, Théorème 4.3.14] qui assure que :

H∗(M(A′)× C∗,L′ CC∗) ' H∗(M(A′),L′)⊗H∗(C∗,C).

Corollaire 3.1.17 Soit L un système local de rang 1 sur M(A). Alors on a :

1. Soit T (L) 6= 1, et dans ce cas H∗(M(A),L) = 0,

2. Soit T (L) = 1, et dans ce cas

dimHq(M(A),L) = dimHq(M(A′),L′) + dimHq−1(M(A′),L′), ∀q ≥ 0.

En particulier, si L′ est non résonant (i.e. Hq(M(A′),L′) = 0, ∀ q 6= n),alors

Hq(M(A),L) = 0, ∀ q /∈ n, n+ 1.

47


1. Si T (L) 6= 1, alors T (L) n'admet pas 1 comme valeur propre.Avec [14, Corollaire 6.4.4] on a :

dimHq(M(A),L) ≤ bq(M(A)) d(L, 1),

où d(L, 1) est le nombre de blocs de Jordan ayant 1 comme valeur propre del'opérateur de monodromie totale T (L), et bq(M(A)) est le q e nombre deBetti de M(A).

2. Si T (L) = 1, alors en utilisant la Proposition 3.1.16 on obtient :

Hq(M(A),L) =⊕k+l=q

Hk(M(A′),L′)⊗H l(C∗,C),

Hq(M(A),L) = Hq(M(A′),L′)⊗H0(C∗,C)⊕Hq−1(M(A′),L′)⊗H1(C∗,C).

On en déduit que :

dimHq(M(A),L) = dimHq(M(A′),L′) + dimHq−1(M(A′),L′).

Remarque 3.1.18 Le cas T (L) 6= 1 du Corollaire 3.1.17 correspond aucas ∂ω 6= 0 de la Proposition 2.4.25 via l'application exponentielle.

3.2 Fibre de Milnor d'un arrangement d'hyperplans

Soit A = H1, ... , Hd ⊂ Cn+1 un arrangement d'hyperplans central constituéde d hyperplans Hi := li = 0. Soit M(A) son complémentaire dans Cn+1 qui estune variété ane lisse, un complexe cellulaire de dimension n+ 1.Notons A′ l'arrangement projectif associé et M(A′) son complémentaire dans PnC.Ce complémentaire est aussi une variété ane lisse dès que A 6= ∅.Soit la bration triviale p : M(A) → M(A′). Comme dans la section précédenteon prendra a ∈M(A) et on notera a′ = p(a) ∈M(A′).Soit p# : π1(M(A), a)→ π1(M(A′), a′) l'application induite par p.Notons γ1, ... , γd les lacets élémentaires autour des hyperplans de A générateursde π1(M(A), a), et γ′1 = p#γ1, ... , γ

′d = p#γd ceux de π1(M(A′), a′).

Remarque 3.2.1 En utilisant les formules de Künneth pour la bration p onobtient l'isomorphisme d'algèbres graduées suivant :

H∗(M(A),C) ' H∗(M(A′),C)⊗H∗(C∗,C).

48

Soit fA : Cn+1 → C le polynôme homogène de degré d qui dénit A :

fA(x) = l1(x) · · · ld(x).

Dénition 3.2.2 On appelle bre de Milnor de A sur C l'hypersurface ane lisse

FA = x ∈ Cn+1 | fA(x) = 1.

On appelle bration de Milnor associée à A la bration

fA : M(A)→ C∗.

C'est une bration globale d'espace total M(A) et de bre FA.

Exemple 3.2.3 Si B ⊂ Cn+1 est l'arrangement de Boole, alors on a :

FB = (x0, ... , xn) ∈ Cn+1 |x0 · · · xn = 1= ((x1 · · · xn)−1, x1, ... , xn) ∈ Cn+1 ' (C∗)n.

Un des résultats fondamentaux en théorie des arrangements d'hyperplans estque la cohomologie du complémentaire M(A) est entièrement déterminée par letreillis d'intersection L(A) de par l'isomorphisme 2.4.19, qui codie la combina-toire de l'arrangement. On peut alors se demander s'il en est de même pour lacohomologie de la bre de Milnor FA. Il se trouve que la question est toujours ou-verte, même pour H1(FA,C), même si de nombreux progrès on été faits (voir parexemple les résultats de A. Macinic et S. Papadima [28] décrits dans le chapitresuivant pour le premier nombre de Betti des arrangements graphiques, ceux deS. Settepanella [41, 40] pour l'arrangement des tresses rappelés également dans lechapitre suivant, ou encore les résultats de M. Yoshinaga pour les arrangementsréels [45, 46]). Nous allons tenter d'exhiber des cas pour lesquels la réponse estarmative.

Soit λ = exp(2iπ/d). Si on pose λt = exp(2iπt/d) pour t ∈ [0, 1], alors on a

fA(λtx) = λtdfA(x), ∀x ∈ Cn+1.

Ainsi l'homomorphisme

h : FA → FAx 7→ λx

est une monodromie de la bration de Milnor.Cet homomorphisme induit des morphismes sur les groupes de cohomologie

hq : Hq(FA,C)→ Hq(FA,C), ∀q ∈ Z,

49

et comme (hq)d = IdHq(FA,C), ∀q ∈ Z, ces morphismes sont tous diagonalisablesavec valeurs propres dans µd = λk, 0 ≤ k ≤ d− 1.

Remarque 3.2.4 Le groupe cyclique < h > d'ordre d agissant librement sur labre FA, on a que

FA/ < h >' M(A′).

En particulier, E(FA) = d · E(M(A′)).

Notons maintenantHq(FA)λk = ker(hq−λkId) le sous-espace propre deHq(FA,C)associé à la valeur propre λk. On a la décomposition en somme directe suivante :

Hq(FA,C) =d−1⊕k=0

Hq(FA)λk .

Considérons la projection p : FA → FA/ < h >' M(A′), et le faisceauL′ = p∗CFA . En utilisant la suite spectrale de Leray pour la brationp : FA →M(A′) on obtient :

Eq,i2 : Hq(M(A′),Rip∗CFA)⇒ Hq+i(FA,CFA).

En utilisant le fait que Eq,i2 = 0 pour i 6= 0, on obtient :

Hq(FA,C) = Hq(FA,CFA) = Hq(M(A′),R0p∗CFA).

Or R0p∗CFA est le faisceau associé au préfaisceau

V 7→ H0(p−1(V ),CFA), ∀V ∈M(A′).

Ce faisceau est un système local de rang d sur M(A′), et de bre en a′ ∈M(A′) :

(R0p∗CFA)a′ = H0(p−1(a′),CFA),

où p−1(a′) = (a, λa, ... , λd−1a).Les bres de p étant nies, on a queR0p∗CFA = p∗CFA = L′, carRip∗ = 0, ∀i > 0.On va donc pouvoir calculer la cohomologie de la bre FA en utilisant la cohomo-logie de M(A′) à coecients dans L′.

Soit T la permutation cyclique d'ordre d de GL(Cd) dénie par

T (e1) = e2, ... , T (ed) = e1,

où (e1, ... , ed) est la base canonique de Cd. Montrons que le système local L′ apour représentation :

50

ρ′ : π1(M(A′), a′)→ GL(Cd)γ′i 7→ T.

Tout d'abord, on sait que l'action de π1(M(A′), a′) sur la bre p−1(a′) est

γ′i · (a, λa, ... , λd−1a) = (λa, ... , λd−1a, a).

En eet, la projection p : FA → FA / < h >' M(A′) est un revêtement et on aque le groupe fondamental π1(M(A′), a′) est isomorphe à < h > .Rappelons que H0(p−1(a′),CFA) = H0(p−1(a′),C) est l'espace vectoriel des appli-cations dénies sur p−1(a′) à valeurs dans C. Notons [x] la fonction φ : p−1(a′)→ Ctelle que

φ(x) = 1 et φ(y) = 0, ∀y ∈ p−1(a′), y 6= x.

L'application :

[a] 7→ e1, [λa] 7→ e2, ... , [λd−1a] 7→ ed

permet alors d'identier H0(p−1(a′),CFA) à Cd. On a donc bien que l'action dechaque générateur γ′i ∈ π1(M(A′), a′) sur la bre en cohomologie est donnée parla permutation T, c'est à dire que ρ′(γ′i) = T. Comme T est diagonalisable avecvaleurs propres 1, λ, ... , λd−1, la représentation ρ′ se décompose en la somme directe

ρ′ =d−1⊕k=0

ρ′λk ,

où les ρ′λk

sont les représentations dénies par :

ρ′λk

: π1(M(A′), a′)→ C∗γ′i 7→ λk.

Enn, si on note L′λk

le système local de rang 1 sur M(A′) associé à ρ′λk

on a :

L′ =d−1⊕k=0

L′λk , et

H∗(FA,C) = H∗(M(A′),d−1⊕k=0

L′λk) =d−1⊕k=0

H∗(M(A′),L′λk).

Nous venons de voir que Hq(FA,C) = Hq(M(A′),L′). On peut donc considérerla monodromie (qui agit sur le système local L′ )

h∗ : Hq(M(A′),L′)→ Hq(M(A′),L′).

Or la monodromie h restreinte à la bre p−1(a′) permute cycliquement les points :

51

h((a, λa, ... , λd−1a)) = (λa, ... , λd−1a, a).

Si maintenant on passe à la cohomologie via l'identication H0(p−1(a′),CFA) ' Cdcomme vu plus haut, on voit que h∗ correspond à la permutation T.

Maintenant, l'espace propre en cohomologie associé à la valeur propre λk est

Hq(FA)λk = Hq(M(A′),F ′λk

),

où F ′λk

est le sous-faisceau de L′ correspondant à l'espace propre ker(h∗ − λkId).Enn, comme on vient de voir que h∗ correspondait à la permutation T, on

a que le système local F ′λk

est isomorphe à L′λk. Ces considérations nous mènent

au théorème suivant, énoncé dans le livre de A. Dimca [14, p. 211], qui décrit lessous-espaces propres cohomologiques de la bre FA en fonction de la cohomologietordue de M(A′).

Théorème 3.2.5 Avec les notations précédentes, on a que :

Hq(FA)λk ' Hq(M(A′),L′λk

), ∀ 0 ≤ k ≤ d− 1.

Exemple 3.2.6 La représentation ρ′1 étant triviale on a :

Hq(FA)1 = Hq(M(A′),L′1) = Hq(M(A′),C), ∀q.

Remarque 3.2.7 Supposons n = 1. Les singularités étant isolées dans C2 ona avec [14, Exemple 6.4.11] les sous-espaces propres suivants (déterminés par letreillis d'intersection de A) :

H0(FA,C) = H0(FA)1 ' C,

H1(FA)1 ' Cd−1, H1(FA)λk ' Cd−2, ∀λk 6= 1.

En particulier, H1(FA,C) ' C(d−1)2.

Si n ≥ 3, les singularités ne sont plus isolées et on ne peut pas conclure. Cepen-dant nous allons voir dans la suite de cette section qu'il y a annulation de certainssous-espaces propres de la monodromie h∗ selon certains critères.

Commençons par énoncer un autre théorème, dû à T. Kohno, et cité d'unefaçon incomplète dans un article de D. Cohen et A. Suciu [11, Théorème 2.1] : onpeut appliquer le Théorème de Kohno à un arrangement A ⊂ Cn+1 s'il est centralet essentiel.

52

Théorème 3.2.8 ([23], Théorème 1) Soient A′ ⊂ PnC un arrangement d'hyper-plans, et ρ′ : π1(M(A′), a′)→ C∗ une représentation de rang 1 vériant :

1. Pour tout lacet élémentaire γ′i ∈ π1(M(A′), a′), on a ρ′(γ′i) 6= 1.

2. Pour tout sous-arrangement H ′i1 , ... , H′ir tel que codim(H ′i1∩· · ·∩H

′ir) < r,

et H ′i1 ∩ · · · ∩H′ir 6= ∅, on a

r∏j=1

ρ′(γ′ij) 6= 1.

Alors si L′ est le système local correspondant à la représentation ρ′, on a que

Hq(M(A′),L′) = 0, si q 6= n, et dimHn(M(A′),L′) = (−1)nE(M(A′)).

Supposons que A est un arrangement central de Cn+1. Si A est essentiel, onpeut donc essayer d'appliquer le Théorème de Kohno à l'arrangement projectifassocié A′ ⊂ PnC et aux représentations ρ′

λkde rang 1 du Théorème 3.2.5.

Si λk est une racine de primitive de l'unité, alors on a que ρ′λk

(γ′i) = λk 6= 1, pourtout lacet élémentaire γ′i ∈ π1(M(A′)). De plus, pour tout sous-arrangement de A′d'intersection non vide comportant N hyperplans on a N < d, donc λkN 6= 1. Onen déduit le corollaire suivant :

Corollaire 3.2.9 ([11], Corollaire 2.2) Soit A ⊂ Cn+1 un arrangement d'hy-perplans central et essentiel tel que |A| = d. Si λk est une racine de primitive del'unité, alors on a :

Hq(FA)λk ' Hq(M(A′),L′λk

) = 0, si q 6= n, etbn(FA)λk = dimHn(FA)λk = (−1)nE(M(A′)).

Comme cas particulier, si on choisit d premier, alors λk est une racine de pri-mitive de l'unité pour tout 1 ≤ k ≤ d− 1. On déduit donc du Corollaire 3.2.9 quepour tout 1 ≤ k ≤ d− 1 on a :

Hq(FA)λk = 0, si q 6= n, et bn(FA)λk = (−1)nE(M(A′)).

L'Exemple 3.2.6 donne :

Hq(FA)1 = Hq(M(A′),C), ∀q.

Ainsi, en utilisant la décomposition Hq(FA,C) =d−1⊕k=0

Hq(FA)λk , on obtient le

corollaire suivant :

Corollaire 3.2.10 ([11], Corollaire 2.3) Soit A ⊂ Cn+1 un arrangement d'hy-perplans central et essentiel avec |A| = d. Si d est premier, alors pour 1 ≤ k ≤ d−1on a :

53

bq(FA)λk = 0, si q 6= n, et bn(FA)λk = (−1)nE(M(A′)).

De plus les nombres de Betti de la bre de Milnor FA vérient :

bq(FA) = bq(M(A′)), si q 6= n, etbn(FA) = bn(M(A′)) + (d− 1)(−1)nE(M(A′)).

Notons VA l'intersection des hyperplans de A. Supposons que VA est de codi-mension r < n + 1. Alors VA 6= 0 et A n'est pas essentiel ; on ne peut donc pasappliquer le Théorème de Kohno directement. En eet, si A = H1, ... , Hd, onpeut supposer que H ′d := zn+1 = 0 est l'hyperplan à l'inni.Soit B ⊂ Cn l'arrangement ane obtenu de par l'isomorphisme PnC\H ′d ' Cn.Soient L′ un système local de rang 1 sur M(A′), et L le système local sur M(B)correspondant. On a alors Hq(M(A′),L′) ' Hq(M(B), L), et si on veut appliquerle Théorème de Kohno [23, Théorème 1] à l'arrangement ane B, on a que laconnexion intégrable Ω associée au système local L n'est pas générique par rap-port aux hyperplans de A si ces derniers ne sont pas linéairement indépendants.Nous allons faire maintenant une construction qui va nous permettre d'appliquerle Théorème de Kohno, même si l'arrangement n'est pas essentiel.

Si les hyperplans de A sont linéairement indépendants, alors d = r et onpeut choisir les coordonnées x1, ..., xd telles que :

H1 := x1 = 0, ... , Hd := xd = 0.De plus, codimH ′i1∩· · ·∩H

′iv = v, ∀ H ′i1 , ... , H

′iv ⊂ A

′. Ainsi les hypothèsesdu Théorème 3.2.8 sont vériées si ρ′(γ′i) 6= 1, ∀i.

Supposons que les hyperplans de A ne sont pas linéairement indépendants.Comme VA est de codimension r, on peut choisir r < d hyperplans linéaire-ment indépendants Hi1 , ... , Hir de A tels que VA = Hi1 ∩ · · · ∩Hir .Notons lij la forme linéaire dénissant l'hyperplan Hij :

Hij := lij = 0.Notons V ′A = P(VA). Soient

q : PnC\V ′A → Pr−1C

x 7→ (li1(x) : · · · : lir(x))la projection linéaire associée, et A′ l'arrangement d'hyperplans de Pr−1

Cobtenu en prenant les images des hyperplans de A′, de complémentaireM(A′) ⊂ Pr−1

C . Alors q induit une bration localement trivialeq : M(A′) → M(A′),

de bre Pn−r+1C \V ′A isomorphe à Cn−r+1. Montrons que cette bration est

même triviale, donc qu'on a un isomorphisme naturel de variétés algébriques :M(A′) 'M(A′)× Cn−r+1.

Soit z1, ... , zn+1 un système de coordonnées de Cn+1 tel que :z1 = li1 , ... , zr = lir .

54

On a alors :Cn+1 = VA ⊕ E,

avec VA = (0, ... , 0, zr+1, ... zn+1), et E = (z1, ... , zr, 0, ..., 0).De plus, M(A′) ⊂ (z1 : · · · : zr : zr+1 : · · · : zn+1) | z1 6= 0, ... , zr 6= 0 et M(A′) ⊂ (z1 : · · · : zr) | z1 6= 0, ... , zr 6= 0 ⊂ Pr−1

C .

Soient maintenantH un hyperplan quelconque de A′, et lH =r∑i=1

aizi l'équa-

tion linéaire dénissant H. Soient alors α, β les applications :α : M(A′) −→ M(A′)× Cn−r+1,

α((z1 : · · · : zn+1)

)=(

(z1 : · · · : zr) , 1lH((z1:···:zr))(zr+1, ... , zn+1)

).

β : M(A′)× Cn−r+1 −→ M(A′)β( (

(z1 : · · · : zr) , (x1, ... , xn−r+1)) )

= (z1 : · · · : zr : lH((z1 : · · · : zr))x1 : · · · : lH((z1 : · · · : zr))xn−r+1).On a que α et β sont bien dénies et vérient : α β = Id, β α = Id.Notons L′ le système local de rang 1 sur M(A′) induit par L′ :

L′ = q∗(L′).On peut montrer que

α∗L′ = L′ CCn−r+1 ,et en utilisant une formule de Künneth [14, p. 117] on obtient :

H∗(M(A′),L′) = H∗(M(A′), L′)⊗H∗(Cn−r+1,CCn−r+1),H∗(M(A′),L′) = H∗(M(A′), L′).

Enn, avec le Corollaire 3.1.17 on a le théorème suivant :

Théorème 3.2.11 Avec les notations précédentes on a :H∗(M(A′),L′) = H∗(M(A′), L′).

En particulier, si L′ est non résonant alorsHq(M(A′),L′) = 0, ∀ q 6= r − 1, et

Hq(M(A), p−1L′) = 0, ∀ q /∈ r − 1, r,où p désigne la bration triviale p : M(A)→M(A′).

Remarque 3.2.12 On peut appliquer le Théorème de Kohno à l'arrange-ment ane A ⊂ Cr associé à l'arrangement projectif A′ ⊂ PrC qui est essen-tiel.

Nous allons maintenant donner une généralisation du Théorème de Kohno.Soit B′ ⊂ PnC un arrangement d'hyperplans projectif.On appellera arête de B′ toute intersection non vide d'hyperplans de B′.On dira qu'une arête X est dense si le sous-arrangement B′X constitué des hyper-plans qui contiennent X est irréductible, c'est à dire que si on note QX le polynôme

55

homogène dénissant l'union des hyperplans de B′X , alors on ne peut pas choisirles coordonnées x sur Cn+1 telles que

QX(x1, ... , xn+1) = QX1(x1, ... , xu)QX2(xu+1, ... , xn+1),

pour un certain 1 ≤ u ≤ n, et des polynômes homogènes non constants R1 et R2.

Exemple 3.2.13 Soit B′ un arrangement de P2C. Soit O un point de multiplicité

m de cet arrangement. Alors on a que O est dense si et seulement si m ≥ 3.

Notons D(B′) l'ensemble des arêtes denses de B′. Les résultats énoncés par lasuite ont été obtenus en écrivant M(B′) comme le complémentaire d'un diviseurà croisements normaux dans une variété complexe projective. Cependant, l'uniondes hyperplans de B′, qu'on notera N, est un diviseur de PnC qui n'est pas toujoursà croisements normaux.

Exemple 3.2.14 Reprenons notre Exemple 3.2.13.Si m ≥ 3, alors dans un voisinage de O on a que N n'est pas à croisementsnormaux. On doit donc éclater le point O, ainsi que tous les autres points demultiplicité supérieure ou égale à trois.

Dans le cas général, après des étapes successives qui consistent à éclater lesarêtes denses de B′ et qui sont décrites dans le livre de A. Dimca [14, p. 218-219],on obtient une résolution r : Z → PnC. On a alors que D = r−1(N) est un diviseurà croisements normaux de Z, de composantes irréductibles lissesDX correspondantaux arêtes denses X ∈ D(B′), et tel que Z\D 'M(B′).

Soit maintenant L′ un système local de rang r sur le complémentaire M(B′),associé à une représentation :

ρ′ : π1(M(B′)), b′)→ GLr(C).

A chaque composante irréductible DX correspond une classe de conjugaisonTX ∈ GLr(C) obtenue comme la monodromie du système local L′ le long d'unlacet γ′X tournant dans le sens positif autour de l'hypersurface DX .Soient γ′i les lacets élémentaires tournant autour des hyperplans H ′i de l'arrange-ment B′. On peut montrer que :

TX = ρ′(γ′i1) · · · ρ′(γ′iv), si X = H ′i1 ∩ · · · ∩H′iv . (3.1)

Le théorème suivant généralise le Théorème de Kohno, voir [10, 25].

Théorème 3.2.15 ([14], Théorème 6.4.18) Supposons qu'il existe un hyper-plan H ′ ∈ B′ tel que pour toute arête dense X ∈ D(B′), avec X ⊂ H ′, l'opérateurde monodromie TX correspondant n'admet pas 1 comme valeur propre. Alors

56

Hq(M(B′),L′) = 0, ∀ q 6= n.

En utilisant le Théorème de Zariski-Lefschetz ane, voir [15, p. 25], et en in-tersectant avec des sous-espaces linéaires génériques on obtient le résultat suivant.

Remarque 3.2.16 ([14], Remarque 6.4.20.) Supposons qu'il existe un hyper-plan H ′ ∈ B′ tel que pour toute arête dense X ∈ D(B′), avec X ⊂ H ′

et codimX ≤ c , l'opérateur monodromie TX correspondant n'admet pas 1 commevaleur propre. Alors

Hq(M(B′),L′) = 0, ∀ 0 ≤ q < c.

Nous utiliserons ces résultats au Chapitre 4 pour démontrer notre premier théo-rème d'annulation.

3.3 Fonction Zeta de la monodromie

Soit A ⊂ Cn+1 un arrangement d'hyperplans central constitué de d hyperplans,de bre de Milnor FA. Soit λ = exp(2iπ/d). Considérons la monodromie de labration de Milnor

h : FA → FAx 7→ λx,

ainsi que les morphismes induits sur les groupes de cohomologie

hq : Hq(FA,C)→ Hq(FA,C),

qui sont diagonalisables avec des valeurs propres dans µd = λk, 0 ≤ k ≤ d− 1.

Dénition 3.3.1 (Fonction Zeta de la monodromie)On dénit la fonction Zeta de la monodromie h comme le polynôme suivant :

Z(h)(t) =∏q≥0

∆q(t)(−1)q ,

où les ∆q(t) = det(t · IdHq(FA,C) − hq) sont les polynômes d'Alexander de l'hy-persurface ∪H′∈A′H ′ ⊂ PnC.

57

Si on note α(λk)q = dimHq(FA)λk la multiplicité d'une valeur propre λk ∈ µd dehq, on a alors :

∆q(t) =d−1∏k=0

(t− λk)α(λk)q ,

d'où

Z(h)(t) =d−1∏k=0

(t− λk)∑q≥0(−1)qα(λk)q .

Les systèmes locaux L′λk

étant de rang 1, la Remarque 3.1.5 donne :E(M(A′)) =

∑q≥0(−1)qdimHq(M(A′),L′

λk) =

∑q≥0(−1)qα(λk)q. Finalement on

a :

Z(h)(t) =d−1∏k=0

(t− λk)E(M(A′)) = (td − 1)E(M(A′)), (3.2)

où E(M(A′)) =∑

X∈Lq(A′)

µL(A′)(X) est entièrement déterminé par le treillis d'in-

tersection L(A′) avec le Théorème 2.3.10.

Exemple 3.3.2 Soit A ⊂ C3 l'arrangement d'hyperplans déni par

xyz(x− y)(x− z)(y − z) = 0.

En choisissant z = 0 l'hyperplan à l'inni dans P2C, on peut regarder A′ comme

l'arrangement ane B = H1, H2, H3, H4, H5 de C2, avec H1 := x = 0,H2 := y = 0, H3 := x− y = 0, H4 := x− 1 = 0, et H5 := y− 1 = 0. Avec2.3.12 on trouve

E(M(A′)) = E(M(B)) = 2,

d'où, avec la formule (3.2) :

Z(h)(t) = (t6 − 1)2.

La fonction Zeta étant dénie par

Z(h)(t) =∆0(t) ·∆2(t)

∆1(t),

on peut exprimer ∆2(t) en fonction de ∆0(t) et de ∆1(t). Comme h0 = IdH0(FA,C)

(car H0(FA,C) ' C est connexe), on a ∆0(t) = (t− 1) et

∆2(t) =∆1(t) ·

∏5k=0(t− λk)2

(t− 1).

58

On montrera au Chapitre 4 que H1(FA,C) = H1(FA)1 ⊕H1(FA)λ ⊕H1(FA)λ2 ,avec H1(FA)1 ' C5, et H1(FA)λ ' H1(FA)λ2 ' C.Ainsi ∆1(t) = (t− 1)5(t− λ)(t− λ2) et on trouve :

∆2(t) = (t− 1)6(t− λ)3(t− λ2)3(t− λ3)2(t− λ4)2(t− λ5)2.

On obtient donc les sous-espaces propres suivants : H2(FA)1 ' C6,H2(FA)λ3 ' H2(FA)λ4 ' H2(FA)λ5 ' C2, et H2(FA)λ ' H2(FA)λ2 ' C3.

De manière générale, si A ⊂ Cn+1 il sut de calculer les n − 1 polynômes∆1(t), ... ,∆n−1(t) pour déterminer ∆n(t) et on a la formule suivante :

∆n(t)(−1)n = (td − 1)E(M(A′)) ·n−1∏q=0

∆q(t)(−1)q+1

. (3.3)

59

Chapitre 4

Calculs explicites et deux théorèmes

d'annulation

4.1 Fibre de Milnor de l'arrangement des tresses

Dans cette section, nous proposons d'étudier la bre de Milnor

Fn :∏

1≤i<j≤n+1

(xi − xj) = 1

de l'arrangement des tresses An ⊂ Cn+1.Le polynôme homogène fAn associé à An est de degré d = |An| =

(n+1

2

).

Proposition 4.1.1 L'arrangement des tresses An ∈ Cn+1 n'est pas essentiel.L'arrangement essentiel associé An ⊂ Cn est déni par le polynôme :

Q(x1, ... , xn) = x1 · · ·xn∏

1≤i<j≤n

(xi − xj).


Notons FAn la bre de Milnor de l'arrangement An ⊂ Cn.Soient D = (x1, ... , xn+1) ∈ Cn+1 | x1 = · · · = xn+1,et E = (x1, ... , xn+1) ∈ Cn+1 | xn+1 = 0. Comme C4 = D ⊕E, on a un isomor-phisme :

u : Cn+1 → D ⊕ E(x1, ... , xn+1) 7→ (z, (y1, ... , yn)),

60

tel que x1 = z + y1, ... , xn = z + yn, et xn+1 = z.

Notons Q(y1, ... , yn) = y1 · · · yn∏

1≤i<j≤n

(yi − yj).

Comme fAn(x1, ... , xn+1) = Q(y1, ... , yn), on a un isomorphisme de variétés algé-briques

u : Fn → F ,

où F = Q−1(1) ⊂ D ⊕ E est la bre de Milnor de l'arrangement obtenu enchangeant les coordonnées. Soit maintenant p la projection

p : D ⊕ E → E.

On a alors que p induit une bration triviale :

p : F = D × F0 → F0,

où F0 = Q−1(1) ⊂ E. De plus, cette bration est une équivalence d'homotopie carD ' C est contractile, et F0 ' FAn . Les bres de Milnor Fn et FAn sont donchomotopiquement équivalentes.

Corollaire 4.1.2 La bre de Milnor Fn a le type d'homotopie d'un CW-complexede dimension n− 1. En particulier,

Hq(Fn,Q) = 0, ∀q ≥ n.


La Proposition 4.1.1 implique que Fn = FAn×C, où FAn : Q(x1, ... , xn) = 1.La bre Fn a donc le type d'homotopie d'une variété ane de dimension n − 1.En utilisant des résultats classiques, voir [15, p. 26], on en déduit que Fn a le typed'homotopie d'un CW-complexe de dimension n− 1.

Soit maintenant λ = exp(2iπ/d).An d'étudier les groupes d'homologieHq(Fn,Q),on va utiliser l'action de la monodromie sur la bre

h : Fn → Fnx 7→ λx

qui induit des morphismes sur les groupes d'homologie :

61

hq : Hq(Fn,Q)→ Hq(Fn,Q), ∀ q ≥ 0.

Pour tout q ≥ 0 , Hq(Fn,Q) a une structure de Q[t]−module, où l'action de t estdonnée par :

t · c = hq(c), ∀c ∈ Hq(Fn,Q).

Comme hdq = Id, on a td − 1 =∏m|d

φm = 0, où φm désigne le me polynôme

cyclotomique.

Exemple 4.1.3 On peut calculer par exemple :

φ1 = t− 1, φ2 = t+ 1, φ3 = t2 + t+ 1, φ4 = t2 + 1.

En utilisant le théorème de structure des modules de type ni sur un anneauprincipal on obtient la décomposition en somme directe suivante :

Hq(Fn,Q) =⊕m|d

(Q[t]

φm

)bqm(An)

. (4.1)

Le nombre bqm(An) est la multiplicité d'une valeur propre λk de hq d'ordre m.

Remarque 4.1.4 Comme bq1(An) correspond à la dimension du sous-espace propreassocié à la valeur propre 1, l'Exemple 3.2.6 montre que les nombres bq1(An) cor-respondent au nombres de Betti bq(M(A′n)) de l'arrangement projectif A′n.En particulier, b11(An) =

(n+1

2

)− 1. Pour les autres sous-espaces propres, le cal-

cul des bqm(An) a fait l'objet de nombreuses recherches et reste une question trèsdicile.

On a H0(Fn,Q) = Q = Q[t]φ1, ∀n ≥ 0, et Hq(Fn,Q) = 0, ∀q ≥ n, avec le Co-

rollaire 4.1.2. Dans son article [41], S. Settepanella calcule les dimensions bqm(An)dans les cas particuliers 1 ≤ n ≤ 7. Nous énumérons ici ses résultats :

1. n = 1 :

H0(F1,Q) = Q.

2. n = 2 :

H0(F2,Q) = Q, H1(F2,Q) =(Q[t]φ1

)2 ⊕ Q[t]φ3.

62

3. n = 3 :

H0(F3,Q) = Q, H1(F3,Q) =(Q[t]φ1

)5 ⊕ Q[t]φ3,

H2(F3,Q) =(Q[t]φ1

)6 ⊕ Q[t]φ3⊕i | 6 , i 6=1

(Q[t]

φi

)2.

4. n = 4 :

H0(F4Q) = Q, H1(F4,Q) =(Q[t]φ1

)9,

H2(F4,Q) =(Q[t]φ1

)26 ⊕(Q[t]φ2

)2,

H3(F4,Q) =(Q[t]φ1

)24 ⊕(Q[t]φ2

)8 ⊕i | 10 , i 6=1,2

(Q[t]

φi

)6.

5. n = 5 :

H0(F5,Q) = Q, H1(F5,Q) =(Q[t]φ1

)14,

H2(F5,Q) =(Q[t]φ1

)71 ⊕ Q[t]φ3,

H3(F5,Q) =(Q[t]φ1

)154 ⊕(Q[t]φ3

)14 ⊕(Q[t]φ5

)6,

H4(F5,Q) =(Q[t]φ1

)120 ⊕(Q[t]φ3

)37 ⊕(Q[t]φ5

)30 ⊕(Q[t]φ15

)24.

6. n = 6 :

H0(F6,Q) = Q, H1(F6,Q) =(Q[t]φ1

)20,

H2(F6,Q) =(Q[t]φ1

)155 ⊕ Q[t]φ3,

H3(F6,Q) =(Q[t]φ1

)580 ⊕(Q[t]φ3

)20,

H4(F6,Q) =(Q[t]φ1

)1044 ⊕(Q[t]φ3

)121,

H5(F6,Q) =(Q[t]φ1

)720 ⊕(Q[t]φ3

)222 ⊕i | 21 , i 6=1,3

(Q[t]

φi

)120.

7. n = 7 :

63

H0(F7,Q) = Q, H1(F7,Q) =(Q[t]φ1

)27,

H2(F7,Q) =(Q[t]φ1

)295,

H3(F7,Q) =(Q[t]φ1

)1665,

H4(F7,Q) =(Q[t]φ1

)5104 ⊕(Q[t]φ2

)2,

H5(F7,Q) =(Q[t]φ1

)8028 ⊕(Q[t]φ2

)140 ⊕(Q[t]φ7

)120,

H6(F7,Q) =(Q[t]φ1

)5040 ⊕(Q[t]φ2

)858 ⊕(Q[t]φ7

)840⊕i | 28 , i 6=1,2,7

(Q[t]

φi

)720.

Dans l'article [40] elle donne également un théorème de stabilité des groupesde cohomologie de la bre Fn :

Théorème 4.1.5 ([40], Théorème 1.1) On a que

Hq(Fn,Q) = Hq(Fn)1, si n ≥ 3q + 1.

4.2 Le premier groupe d'homologie H1(FA) pour les

arrangements graphiques

Dans un article de A.D. Macinic et S. Papadima [28], un théorème permet decalculer le premier groupe d'homologie de la bre de Milnor d'un arrangementd'hyperplans graphique AΓ à coecients dans Q. Commençons par dénir un telarrangement.

Soit Γ un graphe vériant : Deux arêtes au maximum peuvent relier deux sommets distincts. Chaque sommet peut être doté d'une boucle au maximum. Chaque arête est dotée du signe + ou −.Notons [n+ 1] l'ensemble des points 1, ... , n+1. On dira que Γ est un graphe

dans [n+ 1] si l'ensemble des ses arêtes E(Γ) se décompose :

E(Γ) = E1(Γ) t E2(Γ),

où E1(Γ) ⊂ [n+ 1] désigne l'ensemble des boucles, et E2(Γ) l'ensemble des arêtesdotées d'un signe, constitué des éléments de la forme ijε, avec ε ∈ 1,−1,et i 6= j ⊂ [n+ 1].

On peut maintenant dénir l'arrangement associé à un graphe Γ :

64

Dénition 4.2.1 (Arrangement graphique)Soit Γ un graphe dans [n+ 1]. L'arrangement associé à Γ, noté AΓ, est l'arran-gement de Cn+1 dont les hyperplans sont donnés par les équations :

xi + εxj = 0, ∀ ijε ∈ E2(Γ),xi = 0, ∀ i ∈ E1(Γ).

Exemple 4.2.2 L'arrangement des tresses An ⊂ Cn+1 est un arrangement gra-phique. C'est l'arrangement associé au graphe Γn constitué des

(n+1

2

)arêtes ij−,

i < j ⊂ [n+ 1].

Dénition 4.2.3 On appelle Dn+1 l'arrangement graphique associé au grapheconstitué des doubles arêtes ij+, ij−, i < j ⊂ [n+ 1].L'arrangement Dn+1 ⊂ Cn+1 est donc constitué des 2

(n+1

2

)hyperplans :

xi ± xj = 0, ∀ 1 ≤ i < j ≤ n+ 1.

Figure 4.1 Les graphes des arrangements A3 et D3

Remarque 4.2.4 Notons FD3 ⊂ C3 la bre de Milnor de l'arrangement D3.Soient D = (x1, x2, x3, x4) ∈ C4 | x1 = x2 = x3 = x4,et E = (x1, x2, x3, x4) ∈ C4 | x4 = x1 + x2 + x3. Comme C4 = D ⊕ E, on a unisomorphisme :

u : C4 → D ⊕ E(x1, x2, x3, x4) 7→ (z, (y1, y2, y3)),

tel que x1 = z + y1, x2 = z + y2, x3 = z + y3, et x4 = z + y1 + y2 + y3.Notons Q(y1, y2, y3) = (y1 ± y2)(y1 ± y3)(y2 ± y3).Comme fA3(x1, x2, x3, x4) = −Q(y1, y2, y3), on a un isomorphisme de variétés al-gébriques

u : F3 → F ,

65

où F = Q−1(1) ⊂ D ⊕ E est la bre de Milnor de l'arrangement obtenu en chan-geant les coordonnées. Soit maintenant p la projection

p : D ⊕ E → E.

On a alors que p induit une bration triviale :

p : F = D × F0 → F0,

où F0 = Q−1(1) ⊂ E. De plus, cette bration est une équivalence d'homotopiecar C est contractile, et F0 ' FD3 . Les bres de Milnor FD3 et F3 sont donchomotopiquement équivalentes.

Théorème 4.2.5 ([28], Théorème B) Soit AΓ un arrangement graphique derang supérieur ou égal à 3. Notons FΓ sa bre de Milnor, et d = |AΓ|.

1. S'il y a un isomorphisme de treillis entre AΓ et un arrangement de type D3

ou D4, alors

H1(FΓ,Q) =(Q[t]t−1

)d−1 ⊕( Q[t]t2+t+1

).

2. Sinon,

H1(FΓ,Q) =(Q[t]t−1

)d−1.

Nous allons maintenant énoncer un théorème très important de S. Papadimaet A. Suciu [35] que nous utiliserons fréquemment dans cette thèse. Commençonspar dénir les caractères rationnels équimonodromiques.

Dénition 4.2.6 Soient A ⊂ Cn+1 un arrangement d'hyperplans quelconque,et k = (kH)H∈A une collection d'entiers premiers entre eux. Soit u ∈ C∗ une racineprimitive de l'unité d'ordre m. Le caractère ρ ∈ Hom(H1(M(A)),C∗) déni parρ(γH) = ukH est dit rationnel.Si k = 1, où 1 = (1, ... , 1), on dit qu'il est rationnel et équimonodromique dedénominateur m.

Pour un tel caractère, posons bq(A, 1m) := dimCHq(M(A),L), où L est le sys-tème local sur M(A) associé à la représentation ρ.

Remarque 4.2.7 Pour k = 1 et u = λk, avec λ = exp(2iπ/d), d = |A|, on a quebq(A, 1m) = dimHq(M(A),Lλk), où Lλk est le système local de rang 1 sur M(A)tel que la monodromie autour de chaque hyperplan de A est λk.Comme M(A) 'M(A′)× C∗, on a

dimHq(M(A),Lλk) = dimHq(M(A′),L′λk) + dimHq−1(M(A′),L′λk),

où L′λk

est déni comme au chapitre 3. On a également, pour m | d :

66

bq(A, 1m) = bq m(A) + bq−1 m(A),

où les nombres bq m(A), bq−1m(A) sont dénis comme dans (4.1).

Posons βq p(A) = dimFpHq(A∗Fp(A), ω1∧), où (A∗Fp(A), ω1∧) est le complexe

d'Aomoto associé à l'algèbre d'Orlik-Solomon A∗Fp(A) à coecients dans le corps

Fp = Z/pZ, et ω1 =∑H∈A

aH . Avec les notations précédentes on a le théorème

suivant :

Théorème 4.2.8 ([35], Théorème C) Soient A ⊂ Cn+1 un arrangement d'hy-perplans, et ρ un système local rationnel équimonodromique sur M(A) de dénomi-nateur m = ps, p premier, et s ≥ 1. Alors

bq(A, 1m) ≤ βq p(A), ∀q.

Remarque 4.2.9 Ce théorème peut s'énoncer également en projectif.En eet, si A′ = H ′1, ... , H ′d ⊂ PnC, alors en choisissant par exemple H ′1 l'hyper-plan à l'inni on peut dénir A∗Fp(A

′) comme étant l'algèbre d'Orlik-Solomon de

l'arrangement ane A′ = H ′2, ... , H ′d ⊂ Cn. Si on note ω′1 =d∑i=2

a′Hi , on a alors

l'inégalité suivante :

dimHq(M(A′),L′λk) ≤ dimFpHq(A∗Fp(A

′), ω′1∧).

4.3 Un premier théorème d'annulation

Retournons à notre arrangement central A ⊂ Cn+1 constitué de d hyperplans.Dans cette section, nous exhiberons des cas pour lesquels l'action de la monodromiesur la bre de Milnor FA est l'identité, c'est à dire tels que H1(FA)6=1 = 0. Pourune version en anglais de cette section, voir [2]. Commençons par dénir un grapheG(A) comme suit :

Les sommets de G(A) sont donnés par les hyperplans H ∈ A. Deux sommets distincts H et H ′ sont reliés par une arête (et on noteraH −H ′) si et seulement si |AX | = 2, où X = H ∩H ′.

Un tel graphe est dit connexe si pour tous sommets H,H ′ ∈ A, il existe une suited'arêtes reliant H et H ′.

Enonçons notre premier théorème d'annulation :

Théorème 4.3.1 Supposons que les hypothèses suivantes sont vériées :(i) Pour tout X ∈ L(A) de codimension 2, on a |AX | ≤ 9.(ii) Soit d n'est pas un multiple de 6,soit il existe un hyperplan H ∈ A tel que :

67

si X ∈ L(A) vérie codimX = 2 et X ⊂ H, alors |AX | 6= 6.

(iii) Le graphe G(A) est connexe.Alors H1(FA,C) = H1(FA)1.

Remarque 4.3.2 1. Avec l'Exemple 3.2.6 on a que si les hypothèses du Théo-rème 4.3.1 sont vériées, alors H1(FA,C) = H1(M(A′),C) ' Cd−1 est en-tièrement déterminé par le treillis d'intersection L(A).

2. En prenant un sous-espace générique E ⊂ Cn+1 de dimension 3 et en rempla-çant A′ par l'arrangement correspondant dans P(E) = P2

C, on peut considérerdepuis le début que n = 2. C'est une conséquence du Théorème de Zariskide type Lefschetz dû à Hamm, Hamm-Lê et Goresky-MacPherson, voir parexemple pour la version la plus simple [15, p. 25].De plus, dans le cas d'un arrangement de droites A′ ⊂ P2

C, l'action de h1

détermine l'action de h2 selon la formule de la fonction Zeta de la mo-nodromie de la bre de Milnor d'un polynôme homogène comme il est ex-pliqué dans le Chapitre 3. Avec la formule (3.3) on voit clairement que si

H1(FA,C) = H1(FA)1, alors ∆2(t) = (t − 1)d−2 .d−1∏k=1

(t− λk)E(M(A′)) et avec

la Remarque 2.3.12 les sous-espaces propres sont déterminés par le treillisd'intersection L(A) :

dimH2(FA)1 = d− 2 + E(M(A′)), dimH2(FA)λk = E(M(A′)), ∀λk 6= 1.

3. Si un arrangement A ⊂ Cn+1 constitué de d > n + 1 hyperplans est tel quetous les hyperplans distincts H, H ′ de A sont reliés par une arête, alors ilest générique et on a directement H1(FA,C) = H1(FA)1 avec [11, Théorème3.2].

Pour démontrer le Théorème 4.3.1 nous aurons besoin des deux lemmes sui-vants, du Théorème 4.2.8 de A. Suciu et S. Papadima, et du résultat d'annulation3.2.16 de D.Cohen, A.Dimca et P.Orlik.

Le Lemme 4.3.3 utilise le complexe d'Aomoto (A∗R(A), ω1∧) associé à l'algèbred'Orlik-Solomon A∗R(A) dans un anneau commutatif unitaire R,

avec ω1 =∑H∈A

aH ∈ A1R(A). Ce lemme montre toute l'importance du graphe G(A)

dans notre résultat.

Lemme 4.3.3 Supposons que le graphe G(A) est connexe.Alors H1(A∗R(A), ω1∧) = 0, pour tout anneau commutatif unitaire R.

68


Soit b =∑H∈A

bHaH ∈ A1R(A).

Rappelons que pour toutX ∈ L(A), on note ω1X =∑

H |X⊆H

aH , bX =∑

H |X⊆H

bHaH .

Comme ω1 ∧ b ∈ A2R(A), on a avec la décomposition de Brieskorn 2.4.16 :

ω1 ∧ b = 0 si et seulement si ω1X ∧ bX = 0, ∀X ∈ L2(A).

Supposons ω1 ∧ b = 0. Montrons alors que bH = bH′ , ∀ H 6= H ′ ∈ A.

Soient H, H ′ deux hyperplans distincts de A. On a que X = H ∩H ′ ∈ L2(A),et deux cas se présentent alors :

Si H et H ′ sont reliés par une arête, c'est à dire si |AX | = 2,alors AX = H,H ′ et on a donc :

ω1X ∧ bX = 0,

(aH + aH′) ∧ (bHaH + bH′aH′) = 0,

(bH′ − bH) aH ∧ a′H = 0,

bH′ = bH . Si H et H ′ ne sont pas reliés par une arête, c'est à dire si |AX | > 2,alors si on note AX = H,H ′, Hj1 , ... , Hjk on a :

ω1X ∧ bX = 0

⇒ (aH+aH′+aHj1 +· · ·+aHjk )∧(bHaH+bH′aH′+bHj1aHj1 +· · ·+bHjkaHjk ) = 0

; bH′ = bH .On ne peut donc pas conclure directement. Cependant comme G(A) estconnexe, il existe des hyperplans Hi1 , ... , Him tels que :

H et Hi1 , Hi1 et Hi2 , ... , Him et H ′ sont reliés.On applique alors la même méthode que dans le premier cas et on en déduitque :

bH = bHi1 , bHi1 = bHi2 , ... , bHim = bH′ , et donc quebH = bH′ .

On vient de montrer que si ω1 ∧ b = 0, alors pour tous H 6= H ′ ∈ A, on abH = bH′ , i.e. b et ω1 sont proportionnels. On en déduit que H1(A∗R(A), ω1∧) = 0,ce qui achève la démonstration.

Une démonstration plus rapide peut s'obtenir avec le Corollaire 2.4.28, ou encore[27, Lemme 3.3] (pour un corps R inni de caractéristique diérente de 2), selon

69

lesquels si ω1 ∧ b = 0, alors pour toute intersection X = H ∩H ′ ∈ L2(A) telle queH −H ′ , on a bH − bH′ = 0. On conclut ensuite avec la connexité du graphe. PourR = Fp, p premier, on peut aussi utiliser [28, Lemme 4.9] et on a que si ω1∧ b = 0,alors pour tout X = H ∩H ′ ∈ L2(A) tel que H −H ′ , on a :(1) bH + bH′ = 0, si p = 2,(2) bH = bH′ , si p 6= 2.Ainsi on a toujours bH = bH′ , et on conclut avec la connexité du graphe.

Remarque 4.3.4 En fait, on a une version plus générale du Lemme 4.3.3 :Soit ω =

∑H∈A ωHaH satisfaisant ωH ∈ R×, ∀H ∈ A. On a que si G(A) est

connexe, alors H1(A∗R(A), ω∧) = 0 pour tout anneau commutatif unitaire R.En eet, supposons ω ∧ b = 0R et G(A) connexe.

Si H et H ′ sont reliés par une arête, alors(ωHaH + ωH′aH′) ∧ (bHaH + bH′aH′) = 0R ⇒ ωHbH′ − ωH′bH = 0R

⇒ ∃t ∈ R |

bH = tωHbH′ = tωH′

.

Si il existe Hi1 , ... , Him ∈ A tels que H et Hi1 , Hi1 et Hi2 , ... , Him et H ′

sont reliés par une arête, alors de la même manière on en déduit qu'il existet, t1, ... , tm ∈ R tels que :

bH = tωHbHi1 = tωHi1

,

bHi1 = t1ωHi1bHi2 = t1ωHi2

, ... ,

bHim = tmωHimbH′ = tmωH′

.

Par identication on voit clairement que t = t1 = · · · = tm.Ainsi b et ω sont bien proportionnels et H1(A∗R(A), ω∧) = 0.

Le second lemme dont nous aurons besoin est le suivant (on l'utilisera avecR = Fp, p premier, p|d) :

Lemme 4.3.5 Soit ω1 ∈ A∗R(A) comme ci-dessus. Supposons ∂ω1 = d = 0 ∈ R.Alors H1(A∗R(A), ω1∧) = H1(A∗R(A′), ω1∧).


Comme A∗R(A′) = ker A∗R(A) ∂ // A∗R(A) ⊂ A∗R(A), il est clair que

H1(A∗R(A′), ω1∧) ⊂ H1(A∗R(A), ω1∧). Soit maintenant b ∈ ker A1R(A)

ω1∧ // A2R(A) .

On a : ∂(ω1 ∧ b) = d · b− ω1 · ∂b = −ω1 · ∂b = 0 ⇒ ∂b = 0 dans R.

Ainsi b ∈ ker A1R(A) ∂ // A0

R(A) = A1R(A′), et on a

ker A1R(A)

ω1∧ // A2R(A) ⊂ ker A1

R(A′) ω1∧ // A2R(A′) , d'où

H1(A∗R(A), ω1∧) ⊂ H1(A∗R(A′), ω1∧).

70

Remarque 4.3.6 Si on prend H ′1 l'hyperplan à l'inni, on peut dénir A∗R(A′)comme l'algèbre d'Orlik-Solomon de l'arrangement ane A′ = H ′2, ... , H ′d ⊂ Cn.Soit ω′1 =

∑di=2 a

′i ∈ A1

R(A′), où a′i ∈ A1R(A′) est l'élément de A1

R(A′) correspon-dant à l'hyperplan H ′i. On a en fait que a′i = ai− a1, ∀ 2 ≤ i ≤ d (voir la démons-tration de la Proposition 2.4.12). Ainsi, si R est un corps ni de caractéristiquep, p premier, p | d, alors on a ω′1 =

∑di=2(ai − a1) =

∑di=2 ai − (d− 1)a1

=∑d

i=1 ai = ω1. Ainsi H1(A∗R(A′), ω′1∧) = H1(A∗R(A′), ω1∧).

Nous pouvons maintenant démontrer notre théorème principal.


1. Si d est un multiple de 6, alors il existe H ∈ L(A) tel que :

si X ∈ L2(A), X ⊂ H, alors |AX | 6= 6.

L'hyperplan projectif associé H ′ ∈ A′ vérie donc :si X ∈ L2(A′), X ⊂ H ′, alors |A′X | 6= 6.

Soit λk 6= 1 une racine de de l'unité. On a que H ′ est la seule arête dense deA′ de codimension 1 contenue dans H ′, et l'opérateur monodromie de L′

λk

correspondant est TH′ = λk 6= 1 d'après (3.1).Soit maintenant X ∈ D(A′) une arête dense de A′ contenue dans H ′ decodimension 2. On a alors toujours d'après (3.1) que l'opérateur monodromiede L′

λkcorrespondant est TX = λk|A

′X |, avec |A′X | ∈ 3, 4, 5, 7, 8, 9.

Avec la Remarque 3.2.16 appliquée à L′λk

on a :

ord(λk) /∈ 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 ⇒ H1(FA)λk = 0.

D'autre part, le Théorème 4.2.8 et sa Remarque 4.2.9 avec nos Lemmes 4.3.3et 4.3.5 ainsi que la Remarque 4.3.6 pour un corps ni R = Fp montrentque si ord(λk) = ps, avec p premier et s ≥ 1, alors on a encore une foisH1(FA)λk = 0. On en déduit que H1(FA,C) = H1(FA)1.

2. Supposons que d n'est pas est un multiple de 6, et soit X ∈ D(A′) une arêtedense de A′ de codimension 2. Avec les mêmes considérations que dans le casprécédent et avec la Remarque 3.2.16 on trouve :

ord(λk) /∈ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ⇒ H1(FA)λk = 0.

Or 6 ne divise pas d par hypothèse. L'ordre d'une valeur propre λk divisantd, on a ord(λk) ∈ 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 et on peut conclure comme dans le casprécédent.

71

Nous allons maintenant appliquer notre Théorème 4.3.1 à l'arrangement destresses et retrouver les résultats de S. Settepanella, A. Macinic et S. Papadimadans ce cas particulier.

Corollaire 4.3.7 Soit An ⊂ Cn+1 l'arrangement des tresses. Alors G(An) estconnexe pour n ≥ 4, et on a que H1(Fn,C) = H1(M(A′n),C), ∀n ≥ 4.


Les X ∈ L(An) de codimension 2 sont de deux types :

1. Type 1 :Les X = xi = xj, xk = xl, 1 ≤ i < j < k < l ≤ n+ 1 ,de sous-arrangements correspondant AX = Hij, Hkl.

2. Type 2 :Les X = xi = xj = xk, 1 ≤ i < j < k ≤ n+ 1 ,de sous-arrangements correspondant AX = Hij, Hik, Hjk.

Soient alors deux hyperplans distincts Hij , Hkl , i < j , k < l.Notons X = Hij ∩ Hkl ∈ L2(A). Supposons i ≤ k.

Si i, j ∩ k, l = ∅, alors X est de type 1 et le sous-arrangement corres-pondant AX est Hij , Hkl. On a donc que Hij et Hkl sont reliés par unearête.

Si i, j ∩ k, l 6= ∅ alors trois cas se présentent :

(a) Si j = k, alors l'ensemble I = i, j, k, l possède trois éléments. Orl'ensemble 1, 2, ... , n+ 1 est constitué d'au moins cinq élémentscar n ≥ 4, donc il contient deux éléments p < q tels que I ∩ p, q = ∅.On a alors que Hij ∩Hpq et Hjl ∩Hpq sont deux intersections de type1 et on en déduit comme précédemment que Hij est relié à Hpq, et queHpq est relié à Hjl.

(b) Si i = k, on trouve de manière analogue qu'il existe p < q tel que Hij

est relié à Hpq et Hpq est relié à Hil.

(c) Si j = l, on trouve de manière analogue qu'il existe p < q tel que Hij

est relié à Hpq et Hpq est relié à Hkj.

On a donc bien que G(An) est connexe pour n ≥ 4.Enn, il est clair que An vérie les hypothèses du Théorème 4.3.1 et on en déduitque :

72

H1(Fn,C) = H1(M(A′n),C), ∀n ≥ 4.

Remarque 4.3.8 Pour n = 3, le graphe G(A3), qui a 3 composantes connexes,n'est pas connexe. On a d'ailleurs que H1(F3,C)6=1 = H1(F3)λ2 ⊕ H1(F3)λ4 estde dimension 2, comme on l'a vu au début du Chapitre. Le graphe G(A2) a troiscomposantes connexes et H1(F2,C)6=1 = H1(F2)λ ⊕H1(F2)λ2 est de dimension 2.En ce qui concerne l'arrangement de Ceva, le graphe G(A) a 9 composantes connexes(il n'y a pas d'arête). On a d'ailleurs que H1(F,C)6=1 = H1(F )λ3 ⊕H1(F )λ6 est dedimension 4 , voir [5].De plus, notons que si A′ est un arrangement de droites de P2

C provenant d'unpinceau ayant k ≥ 3 bres complètement réductibles, voir [22], alors le graphecorrespondant G(A) a au moins k composantes connexes.

Figure 4.2 Les graphes G(A3) et G(A2)

Corollaire 4.3.9 Supposons que A′ est un arrangement de droites dans P2C ayant

seulement des points doubles et triples. Supposons de plus qu'on a :(i) ou bien le graphe G(A) est connexe,(ii) ou bien il existe une droite de A′ contenant exactement un point triple, et dest pair.Alors H1(FA,C) = H1(FA)1.

Démonstration du Corollaire 4.3.9 : :

Le cas (i) se déduit directement du Théorème 4.3.1.(ii) Soit H ∈ A un hyperplan contenant exactement un point triple p.Soient H1, H2 ∈ A tels que Ap = H,H1, H2. Chaque hyperplan Hi /∈ Ap estrelié par une arête à H et on a que G(A) n'est pas connexe si et seulement siH1 ou H2 contient seulement des points triples. Par exemple, si H1 contenaitseulement des points triples, on pourrait compter les hyperplans deA de la manièresuivante : H1, (Hi1 , Hj1), (Hi2 , Hj2), ... , (Hi(d−1)/2

, Hj(d−1)/2), où les paires (Hi, Hj)

73

correspondent aux points d'intersection de multiplicité 3 sur H1. Finalement onaurait d = 2 · (d− 1)/2 + 1 impair, ce qui est contradictoire avec notre hypothèse.Ainsi G(A) est connexe et on conclut avec le Théorème 4.3.1.

Le Corollaire 4.3.9 est une conséquence directe du Théorème 4.3.1. Le résultatsuivant est plus général, c'est une conséquence de [26, Théorème 1.2] :si H1(FA,C) 6= H1(FA)1, alors A′ provient d'un pinceau de courbes donc G(A)n'est pas connexe et on a que (ii) de la Proposition 4.3.10 n'est pas vérié, exceptépour d = 3. On donne ici une nouvelle preuve similaire à celle du Théorème 4.3.1.

Proposition 4.3.10 Supposons que A′ est un arrangement de droites de P2C ayant

seulement des points doubles et des points triples. Supposons qu'on a :(i) ou bien le graphe G(A) est connexe,(ii) ou bien il existe une droite contenant exactement un point triple.Alors H1(FA,C) = H1(FA)1.


Le cas (i) se déduit directement du Théorème 4.3.1.(ii) Soit H ′ ∈ A′ l'hyperplan contenant exactement un point triple p.Soient H ′1, H

′2 ∈ A′ tels que A′p = H ′, H ′1, H ′2. Soit λk 6= 1 une racine de de

l'unité. La seule arête dense de A′ de codimension 1 contenue dans H ′ est H ′, etl'opérateur monodromie de L′

λkcorrespondant est TH′ = λk 6= 1. La seule arête

dense de codimension 2 contenue dans H ′ est le point p, et l'opérateur monodromiecorrespondant de L′

λkest Tp = λ3k. Avec la Remarque 3.2.16 appliquée à L′

λkon

a : ord(λk) 6= 3⇒ H1(FA)λk = 0.Montrons maintenant que H1(A∗F3

(A), ω1∧) = 0.

Soit b =∑

H∈A bHaH ∈ ker A1F3

ω1∧ // A2F3. Si Hk ∈ A\Ap, alors X = H ∩ Hk

est tel que AX = H,Hk et avec les mêmes considérations que dans la preuve duLemme 4.3.3 on a : ω1X ∧ bX = 0⇔ bHk = bH .Maintenant nous allons montrer que bH1 = bH2 = bH . Soient Hk ∈ A\Ap,et X1 = H1∩Hk , X2 = H2∩Hk , les intersections avec H1 et H2 correspondantes.On va considérer plusieurs cas.

Si |AX1 | = 2 et |AX2| = 2, alors ω1X1∧ bX1 = 0 et ω1X2

∧ bX2 = 0⇔ bH1 = bHk et bH2 = bHk . Comme bHk = bH on obtient bH1 = bH2 = bH .

Si |AX1| = 3 et |AX2| = 2, alors AX1 = H1, Hk, Hj, avec Hj 6= H,H2 (siHj = H ou H2 , alors X1 = p et Hk ∈ Ap), et AX2 = H2, Hk.En choisissant aH1aHk , aH1aHj comme éléments d'une base de A2

F3(A) on

a : ω1X1∧bX1 = 0⇔ aH1aHk(2bHk−bH1−bHj)+aH1aHj(2bHj−bH1−bHk) = 0

74

⇔ bH1 + bHk + bHj = 0 (∗) (dans F3). Avec bHk = bH et bHj = bH , on obtient(∗) ⇔ bH1 = bH . Enn, ω1X2

∧ bX2 = 0 ⇔ bH2 = bHk . Finalement on trouvebien bH1 = bH2 = bH .

Si |AX1 | = 3 et |AX2| = 3, alors AX1 = H1, Hk, Hj, avec Hj 6= H,H2,et AX2 = H2, Hk, Hl, avec Hl 6= H,H1. Avec les mêmes considérationsque dans le cas précédent on a : ω1X1

∧ bX1 = 0⇔ bH1 + bHk + bHj = 0 (∗)et ω1X2

∧ bX2 = 0 ⇔ bH2 + bHk + bHl = 0 (∗∗). Avec bHk = bHj = bHl = bH ,on obtient (∗)⇔ bH1 = bH et (∗∗)⇔ bH2 = bH . Finalement bH1 = bH2 = bH .

Ainsi b et ω1 sont proportionnels et H1(A∗F3(A), ω1∧) = 0.

Enn, le Théorème 4.2.8 avec nos Lemmes 4.3.3 et 4.3.5 ainsi que la Remarque4.3.6 pour R = F3 donnent : ord(λk) = 3⇒ H1(FA)λk = 0.

Les exemples suivants montrent la diculté du problème dans le cas général.On commence avec un exemple où G(A) n'est pas connexe, montrant que lesconditions (i) et (ii) de notre Théorème 4.3.1 ne sont pas susantes.

Exemple 4.3.11 Soit A′ ⊂ P2C l'arrangement déni par le polynôme homogène

Q(x : y : z) = xyz(x4 − y4)(y4 − z4)(x4 − z4). Les hyperplans de A′ sont :x = 0, y = 0, z = 0, d1, d2, d3, d4, d5, d6, d7, d8, d9, d10, d11, d12, où d1, d2, d3, d4

sont de la forme x = αy, d5, d6, d7, d8 sont de la forme y = αz, et d9, d10, d11, d12

sont de la forme x = αz, avec α4 = 1. Les points d'intersection de d1, d2, d3, d4

avec z = 0 sont des points d'intersection de multiplicité 2, et il en est de mêmepour d5, d6, d7, d8 avec x = 0, et pour d9, d10, d11, d12 avec y = 0. Les autrespoints d'intersections de A′ sont des points de multiplicité 3 ou 6. En eet, pouri ∈ 1, 2, 3, 4 et j ∈ 5, 6, 7, 8, on a di ∩ dj := x = αiy ∩ y = αjz avec(αiαj)

4 = 1. Donc di ∩ dj = di ∩ dj ∩ dk où dk := x = αiαjz, k ∈ 9, 10, 11, 12.De la même manière, on obtient un point de multiplicité 3 si on prend i ∈ 1, 2, 3, 4et j ∈ 9, 10, 11, 12, ou si on prend i ∈ 5, 6, 7, 8 et j ∈ 9, 10, 11, 12. On a aussitrois points de multiplicité 6 :d1 ∩ d2 ∩ d3 ∩ d4 ∩ x = 0 ∩ y = 0, d5 ∩ d6 ∩ d7 ∩ d8 ∩ y = 0 ∩ z = 0,et d9 ∩ d10 ∩ d11 ∩ d12 ∩ x = 0 ∩ z = 0. Ainsi G(A), qui a 3 composantesconnexes, n'est pas connexe. Il est clair que A vérie (i) et (ii) de notre Théorème4.3.1, et on a que H1(FA,C) 6= H1(FA)1 avec [18, Remarque 3.4 (iii)].

En général, lorsque les hypothèses de notre Théorème 4.3.1 ne sont pas véri-ées, les situations peuvent être très complexes et on doit utiliser d'autres résultatspour conclure.

75


Q(x : y : z) = xyz(x2 − y2)(y2 − z2)(x2 − z2). Avec le même type d'arguments quedans l'Exemple 4.3.11 on peut montrer que G(A) n'est pas connexe et que A vérie(i) et (ii) du Théorème 4.3.1. Ici cependant nous avons H1(FA,C) = H1(FA)1 avec[18, Remarque 3.4 (ii)]. L'arrangement A′ et le graphe G(A) sont représentés dansla gure ci-dessous, où H1 := x = 0, H2 := y = 0, H3 := z = 0,H4 := x− y = 0, H5 := x+ y = 0, H6 := y − z = 0, H7 := y + z = 0,H8 := x− z = 0, H9 := x+ z = 0.

Figure 4.3 A′ : xyz(x2 − y2)(y2 − z2)(x2 − z2) ⊂ P2C et le graphe G(A).


Q(x : y : z) = xy(x+ y)(x− y)(x+ 2y)(x− 2y)(2x+ y + z)(2x+ y + 2z)×(2x+y+3z)(2x+y−z)(2x+y−2z)(2x+y−3z). Ici d = 12 et on a deux pointsd'intersection dans L2(A) de multiplicité 6 : x = y = 0, et y = −2x∩z = 0.On peut vérier rapidement que chaque hyperplan contient une de ces deux inter-sections et que G(A) est connexe. En eet, chaque hyperplan de x = 0,y = 0, x + y = 0, x − y = 0, x + 2y = 0, x − 2y = 0 est relié par unearête aux hyperplans de 2x + y + z = 0, 2x + y + 2z = 0, 2x + y + 3z =0, 2x + y − z = 0, 2x + y − 2z = 0, 2x + y − 3z = 0. Ainsi les points (i)et (iii) de notre Théorème 4.3.1 sont vériés, mais pas (ii).Il faut au minimum deux hyperplans de A′ pour contenir tous les points de multi-plicités supérieures ou égales à 3 : un tel arrangement est dit de classe C2.

76

Soit λk 6= 1. Avec [31, Théorème 1.1] on en déduit l'existence d'un ω =∑

H∈A′ ωHdlHlH

de H1(M(A′),C) (où lH est la forme linéaire dénissant l'hyperplan H), tel quedimH1(FA)λk = dimH1(M(A′),L′

λk) = dimH1(H∗(M(A′),C), ω∧). De plus on

sait que exp(−2iπωH) = λk pour tout H (comme on l'a vu au chapitre 3), doncque ωH 6= 0, pour tout H. Supposons dimH1(H∗(M(A′),C), ω∧) 6= 0.Alors ω ∈ R1(A′) = α ∈ H1(M(A′),C) | dimH1(H∗(M(A′),C), α∧) ≥ 1. Avecla description des composantes irreductibles de la première variété de résonanced'un arrangement de classe C2, voir [21, Théorème 4.3], on a une contradictionavec le fait que ωH 6= 0, pour tout H. Ainsi H1(H∗(M(A′),C), ω∧) = 0 et on endéduit nalement que H1(FA,C) = H1(FA)1.


Q(x : y : z : t) = xy(x− y)(x+ y)(x− 2y)(x+ 2y)zt(z − t)(z + t)(z − 2t)(z + 2t).Ici d = 12 et on a deux points d'intersection dans L2(A) de multiplicité 6 :x = y = 0, et z = t = 0. On peut vérier rapidement que chaque hyper-plan contient une de ces deux intersections et que G(A) est connexe. En eet,chaque hyperplan de x = 0, y = 0, x − y = 0, x + y = 0, x − 2y =0, x + 2y = 0 est relié par une arête aux hyperplans de z = 0, t =0, z − t = 0, z + t = 0, z − 2t = 0, z + 2t = 0. Ainsi les points(i) et (iii) de notre Théorème 4.3.1 sont vériés, mais pas (ii). On peut dé-composer A en deux arrangements de variables distinctes : A = A1 × A2, oùA1 est déni par Q1(x, y, z, t) = xy(x − y)(x + y)(x − 2y)(x + 2y), et A2 parQ2(x, y, z, t) = zt(z − t)(z + t)(z − 2t)(z + 2t). Soit λk 6= 1. Notons F1 et F2 lesbres de Milnor des sous-arrangements A1 et A2. Alors avec [16, Théorème 1.4(i)] on a H1(FA)λk = ⊕a+b+c=1H

a(T,C)⊕Hb(F1)λk ⊕Hc(F2)λk = 0,d'où H1(FA,C) = H1(FA)1.

En fait, on a une version plus générale du Corollaire 4.3.7.Soient Γ un graphe simple (i.e. ne contenant ni boucle, ni arête double), et AΓ

l'arrangement graphique correspondant constitué des arêtes ij− ∈ E(Γ) = E2(Γ).En d'autres termes, AΓ est un sous-arrangement de l'arrangement des tresses An.On note |Γ| le nombre de sommets de Γ. On dit que Γ est connexe si on peut relierdeux sommets distincts par une suite d'arêtes.Soit ω1 =

∑ij−∈E(Γ) aij ∈ A1

R(AΓ). On a le résultat suivant :

Lemme 4.3.15 Supposons que Γ est connexe et que |Γ| ≥ 5.Alors H1(A∗R(AΓ), ω1∧) = 0, pour tout anneau commutatif unitaire R.


Soit b =∑

ij−∈E(Γ) bijaij ∈ A1R(AΓ) tel que ω1 ∧ b = 0. Montrons que b et ω1

sont proportionnels. Le Corollaire 2.4.28 donne :

77

(i) Pour toute intersection de type 1 Hij ∩Hkl, i < j < k < l, on a bij = bkl.(ii) Pour toute intersection de type 2 Hij ∩Hik ∩Hjk, i < j < k, on a :bij = bik = bjk si 3 6= 0R, ou bij + bik + bjk = 0 si 3 = 0R.On supposera donc que 3 = 0R, et on prendra Hij ∩ Hik ∩ Hjk, i < j < k, uneintersection de type 2. On va montrer que bij = bik = bjk.Comme |AΓ| ≥ 5, il existe deux sommets s etm, donc deux arêtes supplémentaires,et comme Γ est connexe, ces deux arêtes peuvent êtres reliées à Γ directement avec :(1.) ou bien avec un seul sommet du triangle ijk, (2.) ou bien deux sommetsdiérents du triangle ijk, (3.) ou bien une de ces arêtes est reliée à un sommetdu triangle ijk et l'autre est reliée au nouveau sommet de la première arête. Parsymétrie, on peut supposer qu'on est dans un des cas suivant (ici on a choisii < j < k < s < m mais bien sûr l'ordre n'est pas important) :

1. Si is−, im− ∈ Γ :

(a) Si js−, km− /∈ Γ, alors Hij −His−Hjk−Him−Hik, et bij = bik = bjk.

(b) Si js−, km− ∈ Γ, alors Hij −Hkm −Hjs −Hik −Hjs −Him −Hjk, etbij = bik = bjk.

(c) Si js− ∈ Γ, km− /∈ Γ, alors Hik − Him − Hjk, donc bik = bjk, et avecbij + bik + bjk = 0on obtient que bij = −2bik = bik ∈ R.

(d) Si js− /∈ Γ, km− ∈ Γ, par symétrie on conclut avec le cas précédent.

2. Si is−, jm− ∈ Γ, alors Hik −Hjm −His −Hjk, donc bik = bjk,et bij + bik + bjk = 0 implique que bij = bik.

3. Si is−, sm− ∈ Γ, alors Hij, Hik et Hjk sont reliés par une arête à Hsm dansG(AΓ) et on peut conclure directement.

Figure 4.4

78

Remarque 4.3.16 (i) Le fait que Γ soit connexe et que |Γ| ≥ 5 n'implique pasque G(AΓ) est connexe.Par exemple, l'arrangement graphique AΓ = H12, H13, H14, H15, H23, H34, H35 esttel que Γ est connexe et |Γ| ≥ 5, cependant G(AΓ) n'est pas connexe.En eet, H13 n'est relié à aucun des hyperplans de AΓ et on ne peut donc pasappliquer notre Lemme 4.3.3.(ii) Si Γ est connexe et |Γ| ≥ 5, alors on retrouve le résultat de D.A. M cini et S.Papadima énoncé dans le Chapitre 3 pour les arrangements graphiques. En eet,avec le même raisonnement que dans la démonstration du Théorème 4.3.1 et enutilisant le Lemme 4.3.15 à la place du Lemme 4.3.3 on a :

H1(FAΓ,C) = H1(FAΓ

)1.

Si le graphe Γ n'est pas connexe, mais est tel que chacune de ses composantesconnexes Γi satisfait |Γi| ≥ 5, alors AΓ est un produit d'arrangements AΓi et onpeut conclure en utilisant [16, Théorème 1.4 (i)].

4.4 Un deuxième théorème d'annulation pour un

arrangement de droites dans P2C

Dans cette section, nous nous placerons dans le cas n = 2, et nous considèreronsdonc un arrangement projectif A′ = H ′1, ... , H ′d ⊂ P2

C constitué de d hyperplans,

de complémentaire M(A′) = P2C\⋃di=1 H

′i. Soit li(x, y, z) la forme linéaire dénis-

sant l'hyperplan Hi ⊂ C3, et fA(x, y, z) =∏d

i=1 li(x, y, z) le polynôme homogènede degré d dénissant l'arrangement A ⊂ C3. Comme dans la section précédente,nous allons nous intéresser à la bre de Milnor FA et à la décomposition en sous-espaces propres du Théorème 3.2.5 :

H1(FA,C) =d−1⊕k=0

H1(FA)λk ,

où H1(FA)λk = kerh1 : H1(FA,C)→ H1(FA,C) − λk · IdH1(FA,C) est le sous-espace propre associé à la valeur propre λk, et λ = exp(2iπ/d).

Lorsque l'arrangement A′ est générique, c'est à dire qu'il ne possède que despoints doubles, alors on a directement l'annulation de H1(FA)6=1 avec le théorèmesuivant de Orlik, Randell et Hattori.

79

Théorème 4.4.1 ([33]) Supposons que A′ ⊂ P2C est générique.

Alors H1(FA,C) = H1(FA)1.

Figure 4.5 Un arrangement générique

On a même mieux avec le théorème suivant dû à A. Libgober.

Théorème 4.4.2 ([25]) Supposons qu'il existe un hyperplan H ′i ∈ A′ ne conte-nant que des points doubles. Alors H1(FA,C) = H1(FA)1.

Figure 4.6 L'hyperplan à l'inni ne contient que des points doubles

En fait, on est même capable de dire si H1(FA) 6=1 = 0 pour un arrangementA′ ⊂ P2

C n'ayant que des points doubles ou triples, et les conditions sont entière-ment déterminées par la combinatoire de l'arrangement. Il s'agit d'un théorème dûà A. Libgober [26, Théorème 1.2], qui assure que H1(FA)6=1 6= 0 si et seulement siA′ provient d'un pinceau de courbes.Des résultats encore plus précis ont été récemment trouvés par S. Papadima et

80

A. Suciu pour des arrangements A ⊂ Cn+1, voir [34]. Si L2(A) ne possède quedes intersections doubles et triples, [34, Théorème 1.2] donne l'expression du po-lynôme d'Alexander ∆1(t) de la monodromie et montre que la multiplicité d'unevaleur propre d'ordre 3 dépend de L(A) et vaut 0, 1, ou 2. Aussi, [34, Théorème1.3] donne les cas où cette multiplicité est nulle en fonction de la combinatoire del'arrangement. Enn, [34, Théorème 1.5] discute des valeurs propres d'ordre 2 et 4.

En général, dès que des points de multiplicité supérieure à trois apparaissent, onne peut pas conclure directement et la question est beaucoup plus dicile. L'ordred'une valeur propre λk 6= 1 étant lié aux multiplicités des points d'intersectionssur une droite H ′i, posons la dénition suivante.

Dénition 4.4.3 Soit m > 1 un entier strictement supérieur à 1. Notons

µ(H ′i,m) := |P ∈ H ′i | m divise |A′P ||,

où |A′P | = |H ′i ∈ A′ | P ∈ H ′i| est la multiplicité du point P dans l'arrangementA′. En d'autres termes, µ(H ′i,m) est le nombre de points sur H ′i dont la multiplicitéest divisible par m.

Dans [25] A. Libgober donne le théorème suivant :

Théorème 4.4.4 ([25]) Soit λk 6= 1 une racine de l'unité d'ordre m > 2.

Si µ(H ′i,m) = 0 pour un certain H ′i ∈ A′, alors H1(FA)λk = 0.

Nous donnons ici un théorème d'annulation, résultat d'un travail en collaborationavec le Professeur M. Yoshinaga, qui est une généralisation du théorème précédentau cas µ(H ′i,m) = 1. Pour cela on va utiliser le Théorème 4.2.8 de S. Papadima etA. Suciu, et l'annulation du premier groupe de cohomologie d'un certain complexed'Aomoto sur des corps nis, obtenue grâce à un procédé original utilisant deshomomorphismes de dégénérescence. Le résultat principal de cette partie est lethéorème suivant :

Théorème 4.4.5 Soient p ∈ Z un nombre premier et m = ps, s ≥ 1, tels quem|d. Soit λk 6= 1 une racine de l'unité d'ordre m. Supposons que A′ est essentiel,c'est à dire que A′ a au moins deux points d'intersection dans P2

C. Alors on a :

si µ(H ′i, p) ≤ 1 pour un certain H ′i ∈ A′, alors H1(FA)λk = 0.

Remarque 4.4.6 1. L'arrangement essentiel A3 ∈ C3 de la Proposition 4.1.1vérie µ(H ′i, 3) = 2, ∀ H ′i ∈ A′3, et on a H1(FA3

)e2πi/3 ' C. Ainsi, en gé-néral, des sous-espaces propres non triviaux peuvent apparaître dès lors queµ(H ′i, p) ≥ 2 pour tout hyperplan H ′i ∈ A′. L'hypothèse " µ(H ′i, p) ≤ 1 " denotre Théorème 4.4.5 est donc optimale.

81

2. Ce théorème montre que si il existe un hyperplan contenant exactement unpoint de multiplicité supérieure à trois, et si cette multiplicité est une puis-sance d'un nombre premier, alors l'action de la monodromie sur la bre estl'identité. On conjecture que ce résultat est vrai pour une multiplicité quel-conque.

Remarque 4.4.7 Dans le cas où A′ est déni sur R, une version plus forte duThéorème 4.4.5 a déjà été prouvée par M. Yoshinaga dans [45, Corollaire 3.15] :soit λk 6= 1 une racine de l'unité d'ordre m > 1.Si µ(H ′i,m) ≤ 1 pour un certain H ′i ∈ A′, alors H1(FA)λk = 0.Ce résultat utilise un algorithme pour calculer les dimensions des sous-espacespropres H1(F )λk à partir de représentations réelles des arrangements, procédé quine peut pas être appliqué dans le cas complexe.

Remarque 4.4.8 Le cas où A ⊂ C3 n'est pas essentiel se déduit de la Remarque3.2.7. En eet, dans ce cas les droites projectives de A′ se coupent toutes en unpoint de P2

C. Avec un bon choix de coordonnées on peut alors supposer que cepoint est (0 : 0 : 1) et que le polynôme fA(x, y, z) de l'arrangement A s'écritQ(x, y, z) = Πd

i=1(cix+diy), où Hi := cix+diy = 0. Soit A0 ⊂ C2 l'arrangementconstitué des d hyperplans cix+ diy = 0. On a alors que F ' F0 × C,où F0 = (x, y) ∈ C2 |Πd

i=1(cix+diy) = 1 est la bre de Milnor de A0. On conclutensuite en utilisant la Remarque 3.2.7 appliquée à l'arrangement A0.

Commençons par rappeler les outils essentiels que nous utiliserons pour démon-trer notre théorème principal. Tout d'abord, si l'on choisit H ′1 l'hyperplan à l'innidans P2

C, on a un isomorphisme de variétés algébriques C2 ' P2C\H ′1. Par cet iso-

morphisme, on obtient un arrangement ane que l'on notera A = H2, . . . , Hd⊂ C2, où Hi = H ′i∩C2. Si on noteM(A) = C2\

⋃di=2Hi son complémentaire, alors

on a que M(A) ' P2C \⋃di=1 H

′i = M(A′). On peut donc appliquer les notions de

la section 3.2 à notre arrangement A ⊂ C3 et on obtient avec le Théorème 3.2.5 :

H1(FA)λk ' H1(M(A′), L′λk

) ' H1(M(A),Lλk),

où L′λk

(respectivement Lλk ) est le système local de rang 1 sur M(A′) (respec-tivement sur M(A)) tel que la monodromie autour de chaque hyperplan de A′(respectivement de A) est λk.

A partir de maintenant nous allons donc travailler avec l'arrangement A ⊂ C2.Soit R un anneau commutatif unitaire. Notons comme habituellement A∗R(A) sonalgèbre d'Orlik-Solomon. Avec les notations de la section 2.4 on a :

A0R(A) = R

A1R(A) = R < a2, ... , ad >

82

A2R(A) =

<aiaj , 2≤i<j≤d>I2

, où I2 est l'idéal engendré par :

1. eiej | Hi//Hj, 2 ≤ i < j ≤ d 2. eiej − eiek + ejek | Hi ∩Hj ∩Hk 6= ∅, 2 ≤ i < j < k ≤ d

AqR(A) = 0, ∀q ≥ 3.

Soient ω1 =∑d

i=2 ai ∈ A1R(A), et (A∗R(A), ω1∧) le complexe d'Aomoto de

l'arrangement A. Pour démontrer le Théorème 4.4.5, on a besoin du Théorème4.2.8 de S. Papadima et A. Suciu et du théorème suivant :

Théorème 4.4.9 Soit p ∈ Z un nombre premier. Supposons que A′ est essentiel,c'est à dire que A′ a au moins deux points d'intersection dans P2

C. On a que :

si µ(H ′1, p) ≤ 1, alors H1(A∗Fp(A), ω1∧) = 0.

Le Théorème 4.4.5 se déduit facilement du Théorème 4.4.9 et du Théorème4.2.8. En eet, supposons que les hypothèses du Théorème 4.4.5 sont vériées. Alorson peut supposer que le H ′i tel que µ(H ′i, p) ≤ 1 est H ′1, et avec le Théorème 4.4.9on a queH1(A∗Fp(A), ω1∧) = 0. Ainsi avec les notations du Théorème 4.2.8 on a que

β1 p(A) = 0 et on en déduit que b1(A, 1m

) = dimH1(M(A),Lλk) = dimH1(FA)λk= 0.

Le point délicat de cette section reste la démonstration du Théorème 4.4.9 (An'étant pas central), qui ramène notre problème algébrique à un problème topo-logique (la topologie du complémentaire M(A)). Toute la diculté réside dans lefait que l'algèbre d'Orlik-Solomon peut devenir très vite compliquée dès qu'on aun nombre élevé d'hyperplans. C'est là qu'entrent en jeu les homomorphismes dedégénérescence que l'on va décrire un peu plus tard, et qui vont permettre, parprojection, de se ramener à des cas beaucoup plus simples : le cas d'un arrange-ment central et le cas d'un arrangement de droites presque toutes parallèles, pourlesquels on va pouvoir faire des calculs sur leurs algèbres d'Orlik-Solomon plusfacilement et prouver notre Théorème 4.4.9.

Retournons à notre arrangement ane A = H2, ... , Hd ⊂ C2.Soient ξ = r2a2 + · · · + rdad ∈ A1

R(A), et le complexe d'Aomoto (A∗R(A), ξ∧).Dénissons un sous-module A1

R(A)0 de A1R(A) de la manière suivante :

A1R(A)0 := η = c2a2 + · · ·+ cdad ∈ A1

R(A) | c2 + · · ·+ cd = 0. (4.2)

Remarque 4.4.10 Ici, on ne confondra pas avec l'algèbre d'Orlik-Solomon pro-jective ker∂ : A1

R(A)→ R car l'arrangement A n'est pas central.

83

On a le lemme suivant :

Lemme 4.4.11 Si∑d

i=2 ri ∈ R×, alors

H1(A∗R(A), ξ∧) ' kerA1R(A)0

ξ∧−→ A2R(A). (4.3)


Soient i : kerA1R(A)0

ξ∧→ A2R(A)−→ kerA1

R(A)ξ∧→ A2

R(A) l'inclusion natu-

relle, et q : kerA1R(A)

ξ∧→ A2R(A)−→H1(A∗R(A), ξ∧) =

kerA1R(A)

ξ∧−→A2R(A)

<ξ>l'ho-

momorphisme natutrel quotient. Posons f = q i. Montrons que f est surjective :Soit y = α2a2 + · · ·+ αdad ∈ H1(A∗R(A), ξ∧).Comme

∑di=2 ri ∈ R×, a que y = q(x),

où x = α2a2 + · · ·+ αdad − (α2+···+αd)∑di=2 ri

ξ

= (α2 − (α2+···+αd)∑di=2 ri

r2)a2 + · · ·+ (αd − (α2+···+αd)∑di=2 ri

rd)ad ∈ A1R(A)0,

car (α2 − (α2+···+αd)∑di=2 ri

r2) + · · ·+ (αd − (α2+···+αd)∑di=2 ri

rd) = 0.

Ainsi y = f(x) et f est surjective. Montrons que f est injective :Soit x ∈ ker(f). Comme x ∈ A1

R(A)0, on a directement x = f(x) = 0.

Nous allons maintenant nous intéresser au complexe d'Aomoto dans deux casparticuliers : le cas d'un arrangement Cl central, puis le cas d'un arrangement Pvconstitué de droites toutes parallèles entre elles, et d'une autre droite qui leurest transversale. Dans ces deux cas on va montrer, sous certaines hypothèses, queH1(A∗R(Cl), ξ∧) = 0 = H1(A∗R(Pv), ξ∧).

1. Soit Cl = H1, ... , Hl ⊂ C2 un arrangement central constitué de l droitescomme dans la Figure 4.7.

r r r r JJJJJJJJJJ

H1 H2 H3 Hl

Figure 4.7 Arrangement central Cl

84

Soit ξ = r1a1 + · · ·+ rlal ∈ A1R(Cl). On a le résultat suivant :

Proposition 4.4.12 Supposons que∑l

i=1 ri ∈ R×,alors H1(A∗R(Cl), ξ∧) = 0.


Si∑l

i=1 ri ∈ R×, alors avec le Lemme 4.4.11 on a que H1(A∗R(Cl), ξ∧)

' kerA1R(Cl)0

ξ∧−→ A2R(Cl).

Or A1R(Cl)0 = η = c1a1 + · · ·+ clal ∈ A1

R(Cl) | c1 + c2 + · · ·+ cl = 0= η = c1a1 + · · ·+ cl−1al−1− (a1 + · · ·+al−1)al est un module libre de rangl− 1. De plus, tout élément η = c1a1 + · · ·+ clal ∈ A1

R(Cl)0 peut s'écrire sousla forme : η = c1(a1 − a2) + (c1 + c2)(a2 − a3) + (c1 + c2 + c3)(a3 − a4) + · · ·+(c1 + · · ·+cl−1)(al−1−al), et la famille génératrice ai−ai+1, 1 ≤ i ≤ l−1est une base de A1

R(Cl)0.Avec l'Exemple 2.4.10 on a que A2

R(Cl) est un module libre de rang l − 1.Soit aiaj ∈ A2

R(Cl). Si j > i+ 1, alors il existe un entier m > 1tel que j = i+m. En utilisant le fait que ∂(aiai+1ai+m) = 0,on a aiai+m = aiai+1 + ai+1ai+m. En appliquant successivement le mêmecalcul sur les termes ai+1ai+m, puis sur ai+2ai+m, ... , ai+m−2ai+m, on trouvenalement :

aiai+m = aiai+1 + ai+1ai+2 + · · ·+ ai+m−1ai+m.

Ainsi la famille génératrice aiai+1, 1 ≤ i ≤ l − 1 est une base de A2R(Cl).

On a l'égalité suivante :

ξ ∧ (ai − ai+1) = −(r1 + · · ·+ rl)aiai+1. (4.4)

En eet, on peut vérier en développant que ξ ∧ (ai − ai+1)= r1(a1ai − a1ai+1) + · · ·+ ri−1(ai−1ai − ai−1ai+1)− riaiai+1 − ri+1aiai+1

−ri+2(aiai+2 − ai+1ai+2)− · · · − rl(aial − ai+1al) = −(r1 + · · ·+ rl)aiai+1.

Soit maintenant x =∑l−1

i=1 γi(ai − ai+1) ∈ kerA1R(Cl)0

ξ∧−→ A2R(Cl).

On a : ξ∧x =∑l−1

i=1 γi · ξ∧ (ai−ai+1) =∑l−1

i=1−γi(r1 + · · ·+rl)aiai+1 d'après

(4.4). Comme aiai+1, 1 ≤ i ≤ l−1 est une base de A2R(Cl) et

∑li=1 ri ∈ R×,

on a : ξ ∧ x = 0 ⇒ γi = 0, ∀ i.

2. Soit Pv = H1, ... , Hv, Hv+1 ⊂ C2 un arrangement constitué de v droitesparallèles et d'une autre droite Hv+1 qui leur est transversale comme dans laFigure 4.8 ci-dessous.

85

r r r QQQ

QQQ

QQQ

QQQ

Q

H1 H2 Hv Hv+1

Figure 4.8 Pv

Soit ξ = r1a1 + · · ·+ rvav + rv+1av+1 ∈ A1R(Pv). On a le résultat suivant :

Proposition 4.4.13 Supposons que rv+1 ∈ R×, alors H1(A∗R(Pv), ξ∧) = 0.

Pour démontrer cette proposition, nous avons besoin du lemme suivant :

Lemme 4.4.14 Supposons que rv+1 ∈ R×,alors H1(A∗R(Pv), ξ∧) ' kerR · a1 ⊕ · · · ⊕R · av

ξ∧−→ A2R(Pv).


Soient i : kerR · a1 ⊕ · · · ⊕ R · avξ∧→ A2

R(Pv)−→ kerA1R(Pv)

ξ∧→ A2R(Pv)

l'inclusion naturelle, et q : kerA1R(Pv)

ξ∧→ A2R(Pv)−→H1(A∗R(Pv), ξ∧) l'ho-

momorphisme natutrel quotient. Posons f = q i. Montrons que f est sujective :Soit y = α1a1 + · · ·+ αv+1av+1 ∈ H1(A∗R(Pv), ξ∧).Comme rv+1 ∈ R×, on a que y = q(x),où x = α1a1 + · · ·+ αv+1av+1 − αv+1

rv+1ξ

= (α1 − αv+1

rv+1r1)a1 + · · ·+ (αv − αv+1

rv+1rv)av ∈ R · a1 ⊕ · · · ⊕R · av.

Ainsi y = f(x) et f est surjective. Montrons que f est injective :Soit x ∈ ker(f). Comme x ∈ R · a1 ⊕ · · · ⊕R · av, on a que x = f(x) = 0.


Supposons rv+1 ∈ R×. Alors avec le Lemme 4.4.14 il sut de montrer que

kerR · a1 ⊕ · · · ⊕R · avξ∧−→ A2

R(Pv) = 0.On a que I2(Pv) =< eiej, 1 ≤ i < j ≤ v >, et doncque A2

R(Pv) =< aiav+1, 1 ≤ i ≤ v > .Soit maintenant x =

∑vi=1 γiai ∈ R ·a1⊕· · ·⊕R ·av. Un calcul rapide montre

que ξ ∧ x = −rv+1

∑vi=1 γiaiav+1, les termes aiaj, 1 ≤ i < j ≤ v étant tous

86

nuls. Enn, comme rv+1 ∈ R× on a :

x ∈ kerR · a1 ⊕ · · · ⊕R · avξ∧−→ A2

R(Pv) ⇒ γi = 0, ∀ i.

Revenons maintenant à notre arrangementA = H2, ... , Hd ⊂ C2.Nous allonsformer une partition A = A1tA2t · · ·tAl en l familles de droites parallèles, telleque deux droites Hi, Hj ∈ A sont parallèles si et seulement si elles appartiennentà une même classe Aβ, 1 ≤ β ≤ l.Nous allons montrer l'existence de deux homomorphismes surjectifs. Le premierest la dégénérescence totale :

∆tot : A∗R(A)→ A∗R(Cl).

Fixons maintenant une classe Aβ. Notons v le nombres de droites qu'ellecontient. Alors le deuxième homomorphisme, appelé dégénérescence directionnellepar rapport à Aβ, est le suivant :

∆dir : A∗R(A)→ A∗R(Pv).

Détaillons ces deux homomorphismes.

1. Dégénérescence totale

Soit A = A1 t A2 t · · · t Al la décomposition de A en l familles de droitesparallèles. Si on translate les droites de A de telle sorte qu'elles passent parl'origine, on obtient un arrangement central Cl constitué de l droites. Notonsa1, ... , al les éléments de A1

R(Cl) correspondant aux droites de Cl. On a alorsle résultat suivant :

Théorème 4.4.15 Il existe un homomorphisme de R−algèbres

∆tot : A∗R(A)→ A∗R(Cl)

tel queai 7→ aβ

si Hi ∈ Aβ, 1 ≤ β ≤ l (voir la Figure 4.9 par exemple).

87

H2

H3

H4 H5 H6

-

A1 = H2, H3A2 = H4A3 = H5, H6

H1

H2 H3

Figure 4.9 Dégénéscence totale de A en C3


Soit π la surjection :π : E1(A)→ E1(Cl)

telle queei 7→ eβ

si Hi ∈ Aβ, 1 ≤ β ≤ l.

On a que E∗(A) = ∧E1(A) et E∗(Cl) = ∧E1(Cl), donc π induit un homo-morphisme surjectif π de R−algèbres :

π : E∗(A)→ E∗(Cl).

Soit maintenant la projection naturelle p1 : E∗(Cl)→ E∗(Cl)I∗(Cl)

= A∗R(Cl),où I∗(Cl) est l'idéal engendré par les éléments de∂(ei1 · · · eim) , 1 ≤ i1 < · · · < im ≤ l, m ≥ 3.Si on note φ = p1 π, on a un homomorphisme surjectif de R−algèbres :

φ : E∗(A)→ A∗R(Cl).

Montrons maintenant que I∗(A) ⊂ ker(φ).On a que I∗(A) est l'idéal engendré par les familles :f1 = ∂(ei1 · · · eim) | Hi1 ∩ · · · ∩Him 6= ∅, 2 ≤ i1 < · · · < im ≤ d, m ≥ 3,et f2 = ei1 · · · eim | Hi1 ∩ · · · ∩Him = ∅, 2 ≤ i1 < · · · < im ≤ d .

(a) Soit x = ∂(ei1 · · · eim) ∈ f1. On a que Hi1 ∩ · · · ∩Him 6= ∅, donc il existeβ1, ... , βm tous distincts tels que Hi1 ∈ Aβ1 , ... , Him ∈ Aβm ,et π(x) = π(∂(ei1 · · · eim)) = ∂(π(ei1 · · · eim)) = ∂(eβ1 · · · eβm) ∈ I(Cl).On en déduit que φ(x) = p1 π(x) = 0.

(b) Soit x = ei1 · · · eim ∈ f2.

88

Si il existe une classe Aβ contenant au moins deux hyperplans parmiHi1 , ... , Him , alors comme eβ eβ = 0, on a que π(x) = 0et φ(x) = p1 π(x) = 0.

Sinon, il existe β1, ... , βm tous distincts tels queHi1 ∈ Aβ1 , ... , Him ∈ Aβm . De plus on a que ∂(eβ1 · · · eβm) ∈ I∗(Cl).Finalement, π(x) = eβ1 · · · eβm = eβ1∂(eβ1 · · · eβm) ∈ I∗(Cl) = ker(p1).On en déduit que φ(x) = p1 π(x) = 0.

Comme π est linéaire, on a donc π(I∗(A)) ⊂ I∗(Cl) , d'où I∗(A) ⊂ ker(φ).Avec la propriété universelle des algèbres on en déduit l'existence de l'homo-morphisme de R−algèbres surjectif ∆tot du Théorème 4.4.15.

Donnons maintenant un lemme que nous utiliserons plus tard.

Lemme 4.4.16 Soient ξ =∑d

i=2 riai ∈ A1R(A) et η ∈ A1

R(A)0.

Supposons∑d

i=2 ri ∈ R×, et ξ ∧ η = 0. Alors on a que η ∈ ker(∆tot).


Par dénition de ∆tot, les hypothèses impliquent que ∆tot(η) ∈ A1R(Cl)0,

et ∆tot(ξ) =∑l

β=1(∑

Hi∈Aβ ri)aβ vérie :∑l

β=1(∑

Hi∈Aβ ri) =∑d

i=2 ri ∈ R×.De plus, comme ∆tot est un homomorphisme d'algèbres extérieures, on a :

∆tot(ξ)∧∆tot(η) = ∆tot(ξ ∧ η) = 0, et ∆tot(η) ∈ kerA1R(Cl)0

∆tot(ξ)∧−→ A2R(Cl).

Avec le Lemme 4.4.11 on en déduit que ∆tot(η) ∈ H1(A∗R(Cl),∆tot(ξ)∧), puisnalement que ∆tot(η) = 0 avec la Proposition 4.4.12.

2. Dégénérescence directionelle

Reprenons notre décomposition A = A1tA2t· · ·tAl en l familles de droitesparallèles. Fixons une classe Aβ. Notons v = |Aβ|, et Aβ = Hi1 , ... , Hiv.Avec ce choix, on va associer à l'arrangement A un arrangement Pv consti-tué de v droites parallèles H1, ... , Hv (correspondant aux droites de Aβ), etd'une autre droite Hv+1 qui leur est transversale. Notons a1, ... , av, av+1 leséléments de A1

R(Pv) correspondants. On a alors le résultat suivant :

Théorème 4.4.17 Il existe un homomorphisme de R−algèbres :

∆dir : A∗R(A)→ A∗R(Pv),

89

tel que

∆dir(ai) =

au , si Hi ∈ Aβ et i = iu (1 ≤ u ≤ v),av+1 , si Hi /∈ Aβ.

(voir par exemple la Figure 4.10).

H2

H3

H4 H5 H6

-

A1 = H2, H3A2 = H4A3 = H5, H6(i1 = 5, i2 = 6) H3

H1 H2

Figure 4.10 Dégénérescence directionnelle de A en P2 par rapport à A3


La preuve de ce théorème est basée sur le même principe que celle du Théo-rème 4.4.15.Soient π : E1(A)→ E1(Pv) la surjection telle que

ei 7→eu , si Hi ∈ Aβ et i = iu (1 ≤ u ≤ v),ev+1 , si Hi /∈ Aβ,

π : E∗(A) → E∗(Pv) l'homomorphisme surjectif induit, et p1 la projection

naturelle p1 : E∗(Pv)→ E∗(Pv)I∗(Pv)

= A∗R(Pv), où I∗(Pv) est l'idéal engendré parles éléments ej1 · · · ejm | Hj1 ∩ · · · ∩ Hjm = ∅, 1 ≤ j1 < · · · < jm ≤ v + 1 .Notons encore une fois φ = p1 π : E∗(A) → A∗R(Pv) l'homomorphismesurjectif de R−algèbres et montrons que I∗(A) ⊂ ker(φ).

Soient f1 et f2 les familles génératrices de I∗(A) comme dans la démonstra-tion du Théorème 4.4.15.

(a) Soit x = ∂(ei1 · · · eim) ∈ f1. Il existe β1, ... , βm tous distinctstels que Hi1 ∈ Aβ1 , ... , Him ∈ Aβm , et comme m ≥ 3, il y a forcémentdeux classes parmi Aβ1 , ... ,Aβm distinctes de Aβ. On en déduit queπ(ei1 · · · eim) = 0, et donc que π(x) = 0, puis enn que φ(x) = p1 π(x)= 0.

90

(b) Soit x = ei1 · · · eim ∈ f2. Si m ≥ 3.Ou bien les hyperplans de Hi1 , ... , Him appartiennent à des classestoutes diérentes, et comme m ≥ 3, au moins deux de ces classessont distinctes de Aβ et π(x) = 0. Ou bien il existe une classe Aβ′contenant au moins deux hyperplans de Hi1 , ... , Him. Si β′ 6= β,alors encore une fois on a que π(x) = 0. Si β′ = β, alors les hyperplansde Pv image des hyperplans Hi1 , ... , Him de A ont une intersectionvide et donc π(x) ∈ I∗(Pv).

Si m = 2.Ou bien les deux hyperplans Hi1 , Hi2 sont dans Aβ et dans ce cas leurimage dans Pv sont deux hyperplans parallèles et π(x) ∈ I∗(Pv).Ou bien Hi1 , Hi2 sont dans une autre classe et dans ce cas π(x) = 0.

Comme π est linéaire, on a π(I∗(A)) ⊂ I∗(Cl) , et donc I∗(A) ⊂ ker(φ). Avecla propriété universelle des algèbres on en déduit l'existence de l'homomor-phisme de R−algèbres surjectif ∆dir du Théorème 4.4.17.

Nous pouvons maintenant passer à la démonstration du Théorème 4.4.9.


Soit A = A1 t A2 t · · · t Al la décomposition de A en classes de droitesparallèles. Chaque classe Aβ correspond à un point Pβ ∈ H ′1 de multiplicité dansA′ égale à |A′Pβ | = |Aβ|+ 1. Notons mβ = |Aβ|.Supposons que µ(H ′1, p) = 1, c'est à dire qu'il y a un seul point de multiplicitédivisible par p sur H ′1. Quitte à changer l'ordre des classes de droites parallèles, onpeut supposer que ce point est P1, correspondant à la classe A1. On a donc :

p | m1 + 1, et p - mβ + 1, ∀ β ≥ 2. (4.5)

91

Figure 4.11 Un exemple pour p = 5

L'ordre d'une valeur propre λk divisant d, on a que p | d, d'où d−1 = −1 ∈ F×p .On peut donc appliquer le Lemme 4.4.11 et on en déduit :

H1(A∗Fp(A), ω1∧) ' kerA1Fp(A)0

ω1∧−→ A2Fp(A).

Montrons que kerA1Fp(A)0

ω1∧−→ A2Fp(A) = 0.

Soit η =∑d

i=2 ciai ∈ A1Fp(A)0, tel que ω1 ∧ η = 0. On va montrer que η = 0.

Considérons tout d'abord la dégénérescence totale ∆tot : A∗Fp(A) → A∗Fp(Cl), telque ∆tot(ai) = aβ, si Hi ∈ Aβ, 1 ≤ β ≤ l.

On a ∆tot(η) =l∑

β=1

(∑Hi∈Aβ

ci) aβ. Avec le Lemme 4.4.16 on a que η ∈ ker(∆tot), et

donc que : ∑Hi∈Aβ

ci = 0, ∀ 1 ≤ β ≤ l. (4.6)

Considérons ensuite la dégénérescence directionnelle par rapport à une classeAβ. Notons Aβ = Hi1 , ... , Himβ

. On a :

∆dir : A∗Fp(A)→ A∗Fp(Pmβ),

tel que ∆dir(aij) = aj, ∀ 1 ≤ j ≤ mβ

∆dir(ak) = amβ+1, Hk /∈ Aβ.

On calcule donc ∆dir(ω1) = a1 + · · ·+ amβ + (d− 1−mβ)amβ+1,

et ∆dir(η) = ci1 a1 + · · · + cimβ amβ +∑γ 6=β

(∑

Hk∈Aγ

ck)amβ+1 = ci1 a1 + · · · + cimβ amβ

92

d'après (4.6). Si β ≥ 2, alors avec (4.5) on a p - d− 1−mβ.Pour les dégénérescences directionnelles relatives aux classes Aβ 6= A1, on a doncque ∆dir(ω1) = a1 + · · ·+ amβ + (d− 1−mβ)amβ+1 est tel que d− 1−mβ ∈ F×p ,et ∆dir(η) ∈ Fp · a1⊕ · · · ⊕ Fp · amβ . On a aussi : ∆dir(ω1)∧∆dir(η) = ∆dir(ω1 ∧ η)

= 0. Ainsi ∆dir(η) ∈ kerFp · a1 ⊕ · · · ⊕ Fp · amβ∆dir(ω1)∧−→ A2

Fp(Pmβ).Avec le Lemme 4.4.14 et la Proposition 4.4.13 on a ∆dir(η) = 0, ∀ β ≥ 2,d'où ci = 0, ∀Hi ∈ Aβ, β ≥ 2.

Il reste maintenant à montrer la nullité des coecients ci correspondants à laclasseA1. Par commodité, on poseram1 = l, et on supposera :A1 = H2, ... , Hl+1.Comme A′ possède au moins deux points d'intersection, on a que l < d−1. Ecrivonsdonc η = c2a2 + · · ·+ cl+1al+1 ∈ A1

Fp(A)0, et ω1 = a2 + · · ·+ al+1 + al+2 + · · ·+ ad.Un calcul rapide donne :

ω1 ∧ η = −d∑

j=l+2

l+1∑i=2

ciaiaj. (4.7)

Montrons que les éléments aiaj, 2 ≤ i ≤ l+1, l+2 ≤ j ≤ d sont linéairementindépendants dans A2

Fp(A).Avec la décomposition de Brieskorn du Théorème 2.4.16 on a :

A2Fp(A) =

⊕X∈L2(A)

A2X ,

où L2(A) est l'ensemble des points d'intersection de l'arrangement A.Or lesXij = Hi∩Hj, 2 ≤ i ≤ l+1, l+2 ≤ j ≤ d, sont de tels points d'intersection.Soit donc un tel Xij :

Si la multiplicité de Xij est 2, alors AXij = Hi, Hj et A2Xij

=< aiaj > . Si la multiplicité de Xij est égale à m ≥ 3, alorsXij = Hi∩Hj∩Hj1∩· · ·∩Hjm−2 , et AXij = Hi, Hj, Hj1 , ... , Hjm−2 est cen-tral. D'après l'Exemple 2.4.10 on a : A2

Xij=< aiak, k ∈ j, j1, ... , jm−2 > .

Ainsi aiaj est un élément d'une base de A2Fp(A). L'indépendance de ces éléments

et la formule (4.7) donnent : ω1 ∧ η = 0⇒ η = 0, ce qui achève la démonstration.

93

Chapitre 5

Structure de Hodge de la bre de

Milnor des arrangements

d'hyperplans

5.1 Structure de Hodge de la bre de Milnor

Commençons par présenter quelques notions de base de la théorie de Hodge.Pour plus de précision, on pourra se référer aux ouvrages de P. Deligne [12]et C. Voisin [43].

Dénition 5.1.1 Une structure de Hodge pure de poids q est une paire (H,F ),où H est un Q−espace vectoriel de dimension nie, F est une ltration décrois-sante (dite ltration de Hodge) sur l'espace vectoriel complexe HC = H⊗QC (munide la conjugaison v ⊗Q α 7→ v ⊗Q α ), tel que :

(i) F est une ltration nie, c'est à dire qu'il existe s, t ∈ Z, s < t, tels queF sHC = HC et F tHC = 0,

(ii) HC = F aHC ⊕ F q−a+1HC, ∀a ∈ Z.

Si on pose Ha,b = F aHC ∩ (F bHC) pour tout (a, b) tel que a+ b = q, alors ona les relations suivantes :

(α) HC =⊕a+b=q

Ha,b,

(β) Ha,b = Hb,a.

94

Réciproquement, si on a une décomposition en somme directe de HC vériant(α) et (β), alors H admet une structure de Hodge pure de poids q, où la ltrationde Hodge F est donnée par :

F aHC =⊕s≥a

Hs,q−s.

Dénition 5.1.2 On appelle nombres de Hodge les dimensions

ha,b(H) = dimCHa,b.

Dénition 5.1.3 Soit (H,F ) une structure de Hodge pure de poids q.Alors on dit qu'une application linéaire f : H → H est un morphisme de structuresde Hodge, si le morphisme induit f : HC → HC vérie :

f(Ha,b) ⊂ Ha,b, pour tout couple (a, b) tel que a+ b = q.

Remarque 5.1.4 Supposons qu'un tel morphisme de structures de Hodge a unevaleur propre λ, et notons Ha,b

λ = ker( f − λId|Ha,b ). Alors on a que :

Ha,bλ = Hb,a

λet ha,b(Hλ) = hb,a(Hλ),

où ha,b(Hλ) = dimHa,bλ .

Exemple 5.1.5 Soit X une variété algébrique projective lisse. Alors les groupesde cohomologie Hq(X,Q) ont une structure de Hodge pure de poids q, pour toutq ≥ 0.

La structure de Hodge mixte a par la suite été introduite par P. Deligne an degénéraliser la structure de Hodge pure aux variétés algébriques complexes quasi-projectives.

Dénition 5.1.6 Une structure de Hodge mixte (MHS) est un triplet (H,W,F )tel que :

(i) H est un Q−espace vectoriel de dimension nie,

(ii) W est une ltration croissante nie de H dite "ltration par le poids",

(iii) F est une ltration décroissante nie de HC appelée ltration de Hodge, telleque (GrWq H,F ) est une structure de Hodge pure de poids q pour tout q,

oùGrWq H = WqH/Wq−1H,

et la ltration induite est donnée par :

F a(GrWq H)C = (F aHC ∩WqHC +Wq−1HC)/Wq−1HC.

Pour une structure de Hodge mixte (H,W,F ) on note

95

Ha,b = GraF GrWa+bHC,

et on dénit les nombres de Hodge mixtes comme les dimensions

ha,b(H) = dimCHa,b.

Dénition 5.1.7 Soit (H,W,F ) une structure de Hodge mixte.Soient f : H → H une application linéaire, et f : HC → HC l'application linéaireinduite. Alors on dit que f : H → H est un morphisme de structures de Hodgemixtes si :

f(WqH) ⊂ WqH, et f(F aHC) ⊂ F aHC, ∀ (q, a).

Si c'est le cas, alors il existe un morphisme induit f : Ha,b → Ha,b tel que :

f(Ha,b) ⊂ Ha,b, ∀ (a, b).

Remarque 5.1.8 Supposons qu'un tel morphisme de structures de Hodge mixtesa une valeur propre λ, et notons Ha,b

λ = ker( f − λId|Ha,b ). Alors on a :

Ha,bλ = Hb,a

λet ha,b(Hλ) = hb,a(Hλ),

où ha,b(Hλ) = dimHa,bλ .

Exemple 5.1.9 1. Soit X une variété algébrique quasi-projective sur C de di-mension n+1. Alors les groupes de cohomologie Hq(X,Q) sont des structuresde Hodge mixtes pour tout q ≥ 0, tels que ha,b(Hq(X,Q)) = 0,si b > min(q, n+ 1).

Si X est lisse, alors ha,b(Hq(X,Q)) = 0, si a+ b < q.On utilisera ces propriétés dans la Remarque 5.2.3.

2. Soit A ⊂ Cn+1 un arrangement d'hyperplans de bre de Milnor FA.Alors Hq(FA,Q) est une structure de Hodge mixte pour tout q ≥ 0, et lamonodromie h : FA → FA étant une application régulière, induit des mor-phismes de structures de Hodge mixtes :

hq : Hq(FA,Q)→ Hq(FA,Q).

Si on considère l'application induite

hq : Hq(FA,C)→ Hq(FA,C),

on peut dénir GraFHq(FA,C) et il existe une application linéaire induite :

hq : GraFHq(FA,C)→ GraFH

q(FA,C).

On note GraFHq(FA,C)λ le sous-espace propre associé la valeur propre λ de

cette application linéaire.

96

A partir de maintenant on considère A = H1, ... , Hd ⊂ Cn+1, d > n+ 1,et n ≥ 1, un arrangement d'hyperplans central déni par un polynôme fA ho-mogène de degré d. Comme habituellement, on notera A′ ⊂ PnC l'arrangementprojectif associé.Tout d'abord, on sait que Hq(FA,C)1 et H

q(FA,C)−1 sont des structures de Hodgemixtes dans Hq(FA,Q), ∀q ≥ 0. De plus, pour β ∈ µd, β 6= 1,−1, il en est demême pour les sous-espaces suivants :

Hq(FA,C)β,β := Hq(FA,C)β ⊕Hq(FA,C)β = ker((hq)2 − 2Re(β)hq + Id)

(qui sont en réalité dénis sur R).Par convention, pour β = −1, on pose Hq(FA,C)β,β = Hq(FA,C)−1.

Dans l'article de A. Dimca et G. Lehrer [17] on trouve le théorème suivant :

Théorème 5.1.10 ([17], Théorème 1.3) Soit FA la bre de Milnor d'un arran-gement d'hyperplans central A ⊂ Cn+1. Alors

GrW2qHq(FA,Q)6=1 = 0, ∀ 0 < q ≤ n.

On y trouve également la remarque suivante :

Remarque 5.1.11 ([17], Remarque 1.4) Soit A ⊂ Cn+1 un arrangement d'hy-perplans central. Alors Hq(M(A′),Q) = Hq(FA,Q)1 est une structure de Hodgepure de type (q, q), ∀q ≥ 0 (voir [24]).

Remarque 5.1.12 Avec le Théorème 5.1.10 et la structure de Hodge mixte Hq(FA,Q)on trouve :

ha,b(Hq(FA)6=1) = 0, pour tout (a, b) tel que a+ b = 2q.

La Remarque 5.1.11 donne ensuite :

hq,q(Hq(FA,C)) = hq,q(Hq(FA)1) = dimHq(FA)1 = bq(M(A′)). (5.1)

5.2 Le spectre d'un arrangement

Nous allons à présent dénir le spectre, qu'on notera Sp(fA), d'un arrangementcentral A ⊂ Cn+1 déni par un polynôme homogène fA, et qui va nous être trèsutile par la suite.

97

Dénition 5.2.1 Le spectre d'un arrangement central A ⊂ Cn+1 est le polynôme

Sp(fA) =∑α∈Q

nfA,α tα,

dont les coecients sont donnés par :

nfA,α =∑q

(−1)q−ndimGrpF Hq(FA,C)λ, avec p = bn+ 1−αc, λ = exp(−2iπα),

où Hq(FA,C)λ = Hq(FA,C)λ, ∀q 6= 0, H0(FA,C)λ = 0 est la cohomologie réduitedu sous-espace propre Hq(FA,C)λ, et bβc := maxk ∈ Z | k ≤ β.

Remarque 5.2.2 Il est important de noter que dans la dénition du spectre lessous-espaces propres Hq(FA,C)λ sont calculés par rapport à l'opérateur de mono-dromie T = (h∗)−1 = h∗, et donc Hq(FA,C)Tλ = Hq(FA,C)h

∗

λ.

Remarque 5.2.3 Pour calculer les dimensions dimGraF Hq(FA,C)λ, q 6= 0, on

utilise la structure de Hodge mixte Hq(FA,Q) et le fait que

dimF aHq(FA)λ =∑

a≤a′≤min(q,n)q−a′≤s≤min(q,n)

ha′,s(Hq(FA)λ).

On obtient nalement la formule suivante :

dimGraF Hq(FA,C)λ = ha,q−a(Hq(FA)λ) + ha,q−a+1(Hq(FA)λ) + · · ·

+ ha,min(q,n)(Hq(FA)λ), si a ≤ min(q, n),

0 sinon. (5.2)

Remarque 5.2.4 D'après [6, Proposition 5.2] on a :

nfA,α = 0, si α /∈]0, n+ 1[.

Nous allons voir maintenant que certains coecients de Sp(fA) vérient unesymétrie particulière, comme il l'est expliqué dans [16].Pour un point x ∈ ∪H∈AH, x 6= 0, soit Lx = ∩H∈A,

x∈HH. Notons Ax l'arrangement

central induit par A sur un sous-espace linéaire Tx passant par x, et transversal àLx. Choisissons dimTx = codimLx et identions x avec l'origine de Tx. Notons Fxla bre de Milnor de l'arrangement Ax, et h∗x l'opérateur de monodromie

h∗x : H∗(Fx,C) → H∗(Fx,C).

98

Proposition 5.2.5 ([16], Proposition 4.1) Soit β ∈ µd, β 6= 1, une racine de

de l'unité qui n'est une valeur propre pour aucune monodromie h∗x,avec x ∈ ∪H∈AH, x 6= 0. Alors l'espace propre correspondant Hn(FA,C)β,β a unestructure de Hodge pure de poids n. En particulier, si β = exp(−2iπα), α ∈ Q,alors les coecients apparaissant dans Sp(fA) vérient la symétrie suivante :

nfA,α = nfA,n+1−α.

La dénition du spectre d'un arrangement que nous venons de voir utilise lathéorie de Hodge. Dans l'article [7] de N. Budur et M. Saito on trouve le théorèmesuivant.

Théorème 5.2.6 ([7], Théorème 1) Le spectre Sp(fA) d'un arrangement cen-tral et essentiel A est déterminé par le treillis d'intersection L(A).

On y trouve également le théorème suivant, qui donne une formule pour cal-culer les coecients nfA,α de manière combinatoire pour un arrangement central

et essentiel A ⊂ C3. Notons ν(2)m le nombre de points de L(A′) de multiplicité

m, m ≥ 3.

Théorème 5.2.7 ([7], Théorème 3) Soit A ⊂ C3 un arrangement d'hyperplanscentral et essentiel. Alors on a que nfA,α = 0, si αd /∈ Z,et pour α = j

d∈ ]0, 1], avec j ∈ [1, d] ∩ Z, on a :

nfA,α =(j−1

2

)−∑m

ν(2)m

(djm/de − 1

2

),

nfA,α+1 = (j − 1)(d− j − 1)−∑m

ν(2)m (djm/de − 1)(m− djm/de),

nfA,α+2 =(d−j−1

2

)−∑m

ν(2)m

(m− djm/de

2

)− δj,d,

où dβe := mink ∈ Z | k ≥ β, et δj,d = 1, si j = d, 0 sinon.

Donnons à présent quelques exemples de calculs de spectre.

Exemple 5.2.8 Soit A3 ⊂ C3 l'arrangement déni par

xyz(x− y)(x− z)(y − z).

C'est l'arrangement essentiel associé à l'arrangement des tresses A3 ⊂ C4 de laProposition 4.1.1. L'arrangement projectif A′3 est représenté ci-dessous. Par abusde notations, on notera donc A3 cet arrangement, fA3 le polynôme associé, et F3

sa bre de Milnor.

99

LLLLLLLLLLLLLLLLL

SSSSSSSSSS

• •

•

•

Ici d = 6, et on a 4 points de multiplicité égale à 3. Le seul coecient à prendreen compte est donc ν

(2)3 = 4. Les singularités sont soit des points doubles, soit des

points triples. Comme F3 ⊂ C3 est une surface algébrique lisse, les Hq(F3,Q),avec q ∈ 0, 1, 2, sont des structures de Hodge mixtes, de ltration de Hodge

Hq(F3,C) = F 0 ⊃ F 1 ⊃ · · · ⊃ F q ⊃ 0,

et de ltration par le poids

0 ⊂ Wq ⊂ · · · ⊂ W2q = Hq(F3,Q).

Calculons le spectre de l'arrangement A3 avec le Théorème 5.2.7.

1. Pour la valeur propre λ = 1, α = 1, 2 et on trouve :

nfA3,1 = 6, nfA3

,2 = −5.

2. Pour la valeur propre d'ordre 2, λ = −1, α = 12, 3

2, 5

2et on trouve :

nfA3, 12

= 1, nfA3, 32

= 0, nfA3, 52

= 1.

3. Pour la valeur propre d'ordre 3, λ3 = exp(−2iπ/3), α = 13, 4

3, 7

3et on trouve :

nfA3, 13

= 0, nfA3, 43

= 3, nfA3, 73

= −1.

4. Pour la valeur propre d'ordre 3, λ3 = exp(2iπ/3), α = 23, 5

3, 8

3et on trouve :

nfA3, 23

= 3, nfA3, 53

= −1, nfA3, 83

= 0.

5. Pour la valeur propre d'ordre 6, λ6 = exp(−iπ/3), α = 16, 7

6, 13

6et on trouve :

nfA3, 16

= 0, nfA3, 76

= 0, nfA3, 13

6= 2.

100

6. Pour la valeur propre d'ordre 6, λ6 = exp(iπ/3), α = 56, 11

6, 17

6et on trouve :

nfA3, 56

= 2, nfA3, 11

6= 0, nfA3

, 176

= 0.

On obtient nalement le spectre suivant :

Corollaire 5.2.9

Sp(fA3) = t5/2 − t7/3 + 2t13/6 − 5t2 − t5/3 + 3t4/3 + 6t+ 2t5/6 + 3t2/3 + t1/2.

Utilisons maintenant dans chaque cas la Dénition 5.2.1 ainsi que la formule (5.2)pour obtenir des informations sur les dimensions ha,b(Hq(FA3)λ).

1. Pour la valeur propre λ = 1 :D'après la Remarque 5.1.11 et l'égalité (5.1) on sait que H1(F3)1 et H2(F3)1

sont de type (1, 1) et (2, 2) respectivement. Finalement on obtient : nfA3

,1 = 6 ⇒ h2,2(H2(F3)1) = 6. nfA3

,2 = −5 ⇒ h1,1(H1(F3)1) = 5.

2. Pour la valeur propre d'ordre 2, λ = −1 :On sait que H1(F3)−1 = 0 en utilisant le Théorème de Kohno 3.2.8. En eet,si p est un point triple, alors Tp = (−1)3 6= 1. nfA3

, 12

= 1

⇒ dimGr2FH

2(F3)−1 − dimGr2FH

1(F3)−1 = 1⇒ h2,0(H2(F3)−1) + h2,1(H2(F3)−1) + h2,2(H2(F3)−1) = 1⇒ h2,0(H2(F3)−1) + h2,1(H2(F3)−1) = 1, car h2,2(H2(F3)−1) = 0 d'après5.1.12.

nfA3, 32

= 0

⇒ dimGr1FH


1(F3)−1 = 0⇒ h1,1(H2(F3)−1) + h1,2(H2(F3)−1) = 0⇒ h1,1(H2(F3)−1) = h1,2(H2(F3)−1) = 0⇒ h2,1(H2(F3)−1) = 0 d'après la Remarque 5.1.8.On en déduit que h2,0(H2(F3)−1) = 1.

nf3,52

= 1

⇒ dimGr0FH


1(F3)−1 = 1⇒ h0,2(H2(F3)−1) = 1.

3. Pour la valeur propre d'ordre 3, λ3 = exp(−2iπ/3) :On sait, comme on l'a vu au chapitre 3, que H1(F3)λ3 est de dimension 1. nfA3

, 13

= 0

⇒ dimGr2FH

2(F3)λ3 = 0⇒ h2,0(H2(F3)λ3) + h2,1(H2(F3)λ3) = 0⇒ h2,0(H2(F3)λ3) = h2,1(H2(F3)λ3) = 0.

101

nfA3, 43

= 3

⇒ dimGr1FH

2(F3)λ3 − dimGr1FH

1(F3)λ3 = 3⇒ h1,1(H2(F3)λ3) + h1,2(H2(F3)λ3)− h1,0(H1(F3)λ3) = 3.

nfA3, 73

= −1

⇒ dimGr0FH

2(F3)λ3 − dimGr0FH

1(F3)λ3 = −1⇒ h0,2(H2(F3)λ3)− h0,1(H1(F3)λ3) = −1.Or on a que h0,1(H1(F3)λ3) ≤ 1, on en déduit donc que

h0,1(H1(F3)λ3) = 1, et h0,2(H2(F3)λ3) = 0.Comme dimH1(F3)λ3 = 1, on a aussi que h1,0(H1(F3)λ3) = 0.

Finalement seules deux dimensions sont encore indéterminées, elles véri-ent :

h1,1(H2(F3)λ3) + h1,2(H2(F3)λ3) = 3. (5.3)

Pour conclure nous allons utiliser la valeur propre conjuguée λ3.

4. Pour la valeur propre d'ordre 3, λ3 = exp(2iπ/3), de manière analogue ondéduit des coecients : nfA3

, 23

= 3

⇒ h2,0(H2(F3)λ3) + h2,1(H2(F3)λ3

) = 3.Or h2,0(H2(F3)λ3

) = h0,2(H2(F3)λ3) = 0, et on en déduit que :h2,1(H2(F3)λ3

) = 3.En utilisant (5.3) on trouve nalement :

h1,1(H2(F3)λ3) = 0. nfA3

, 53

= −1

⇒ h1,1(H2(F3)λ3) + h1,2(H2(F3)λ3

)− h1,0(H1(F3)λ3) = −1.

Or, par conjugaison on a que h1,1(H2(F3)λ3) = 0 et h1,0(H1(F3)λ3

) = 1.On en déduit que h1,2(H2(F3)λ3

) = 0.A ce stade on a bien déterminé toutes les dimensions.

nfA3, 83

= 0.

Remarque 5.2.10 Avec [13, Théorème 1] on obtient directement :

h0,1(H1(F3)λ3) = h1,0(H1(F3)λ3) = 1.

5. Pour la valeur propre d'ordre 6, λ6 = exp(−iπ/3) :On sait que H1(F3)λ6 = 0 d'après le Corollaire 3.2.9. nfA3

, 16

= 0

⇒ h2,0(H2(F3)λ6) + h2,1(H2(F3)λ6) = 0⇒ h2,0(H2(F3)λ6) = h2,1(H2(F3)λ6) = 0.

nfA3, 76

= 0

⇒ h1,1(H2(F3)λ6) + h1,2(H2(F3)λ6) = 0⇒ h1,1(H2(F3)λ6) = h1,2(H2(F3)λ6) = 0.

102

nfA3, 13

6= 2

⇒ h0,2(H2(F3)λ6) = 2.On obtenait même directement la nullité de h1,2(H2(F3)λ6), h2,1(H2(F3)λ6),et de h2,2(H2(F3)λ6) avec la Proposition 5.2.5 qui assure que H2(F3,C)λ6,λ6

est pure de poids 2.

6. Pour la valeur propre d'ordre 6, λ6 = exp(iπ/3) :On déduit directement du cas précédent.

Corollaire 5.2.11 Regroupons les dimensions non nulles trouvées dans le tableausuivant (par rapport à la monodromie h∗) :

H1(F3,C) H2(F3,C)

λ = 1 h1,1(H1(F3)1) = 5 h2,2(H2(F3)1) = 6

λ = −1 h2,0(H2(F3)−1) = h0,2(H2(F3)−1) = 1

λ3 h0,1(H1(F3)λ3) = 1 h1,2(H2(F3)λ3) = 3

λ3 h1,0(H1(F3)λ3) = 1 h2,1(H2(F3)λ3

) = 3

λ6 h0,2(H2(F3)λ6) = 2

λ6 h2,0(H2(F3)λ6) = 2

Traitons maintenant un second exemple.

Exemple 5.2.12 Soit A ⊂ C3 l'arrangement de Ceva déni par

fA = (x3 − y3)(x3 − z3)(y3 − z3) = 0.

Ici d = 9, et on a 12 points de multiplicité égale à 3. Le seul coecient àprendre en compte est donc ν

(2)3 = 12. Calculons comme dans l'exemple précédent

le spectre de l'arrangement A en utilisant le Théorème 5.2.7 :

103

1. Pour la valeur propre λ = 1, α = 1, 2 et on trouve :

nfA,1 = 16, nfA,2 = −8.


9, 19

9et on

trouve :

nfA, 19= 0, nfA, 10

9= 0, nfA, 19

9= 9.


9, 26

9et on trouve :

nfA, 89= 9, nfA, 17

9= 0, nfA, 26

9= 0.


9, 20

9et on

trouve :

nfA, 29= 0, nfA, 11

9= 6, nfA, 20

9= 3.


9, 25

9et on trouve :

nfA, 79= 3, nfA, 16

9= 6, nfA, 25

9= 0.


9, 21

9et on

trouve :

nfA, 39= 1, nfA, 12

9= 10, nfA, 21

9= −2.


9, 24

9et on trouve :

nfA, 69= 10, nfA, 15

9= −2, nfA, 24

9= 1.


9, 22

9et on

trouve :

nfA, 49= 3, nfA, 13

9= 0, nfA, 22

9= 6.


9, 23

9et on trouve :

nfA, 59= 6, nfA, 14

9= 0, nfA, 23

9= 3.

Corollaire 5.2.13 Le spectre Sp(fA) est donné par :

Sp(fA) = t1/3 + 3t4/9 + 6t5/9 + 10t2/3 + 3t7/9 + 9t8/9 + 16t + 6t11/9 + 10t4/3 −2t5/3 + 6t16/9 − 8t2 + 9t19/9 + 3t20/9 − 2t7/3 + 6t22/9 + 3t23/9 + t8/3 − t3.

Utilisons dans chaque cas la Dénition 5.2.1 ainsi que la formule (5.2) pourobtenir des informations sur les dimensions ha,b(Hq(FA)λ).

1. Pour la valeur propre λ = 1 :D'après la Remarque 5.1.11 et l'égalité (5.1) on sait que H1(FA)1 et H

2(FA)1

sont de type (1, 1) et (2, 2) respectivement. Finalement on obtient :

104

nfA,1 = 16 ⇒ h2,2(H2(FA)1) = 16. nfA,2 = −8 ⇒ h1,1(H1(FA)1) = 8.

2. Pour la valeur propre d'ordre 9, λ1 = exp(−2iπ/9) : les singularités étantdes points triples on a d'après la Proposition 5.2.5 que

h1,2(H2(FA)λ1) = h2,1(H2(FA)λ1) = 0.

nfA, 19= 0

⇒ h2,0(H2(FA)λ1) = 0.

nfA, 109

= 0

⇒ h1,1(H2(FA)λ1)− h1,0(H1(FA)λ1) = 0. nfA, 19

9= 9

⇒ h0,2(H2(FA)λ1)− h0,1(H1(FA)λ1) = 9.

3. Pour la valeur propre d'ordre 9, λ1 = exp(2iπ/9) : nfA, 89

= 9

⇒ h2,0(H2(FA)λ1) = 9.

nfA, 179

= 0

⇒ h1,1(H2(FA)λ1)− h1,0(H1(FA)λ1

) = 0. nfA, 19

9= 0

⇒ h0,2(H2(FA)λ1)− h0,1(H1(FA)λ1

) = 0⇒ h0,1(H1(FA)λ1

) = 0.

Par conjugaison, on obtient que les seules dimensions non nulles sonth0,2(H2(FA)λ1) = h2,0(H2(FA)λ1

) = 9.

4. Pour la valeur propre d'ordre 9, λ2 = exp(−4iπ/9) : nfA, 29

= 0

⇒ h2,0(H2(FA)λ2) = 0.

nfA, 119

= 6

⇒ h1,1(H2(FA)λ2)− h1,0(H1(FA)λ2) = 6. nfA, 20

9= 3

⇒ h0,2(H2(FA)λ2)− h0,1(H1(FA)λ2) = 3.


= 3

⇒ h2,0(H2(FA)λ2) = 3.

nfA, 169

= 6

⇒ h1,1(H2(FA)λ2)− h1,0(H1(FA)λ2

) = 6.

105

nfA, 259

= 0

⇒ h0,2(H2(FA)λ2)− h0,1(H1(FA)λ2

) = 0.

Par conjugaison, on obtient que les seules dimensions non nulles sonth1,1(H2(FA)λ2) = 6, h0,2(H2(FA)λ2

) = 3.


= 1

⇒ h2,0(H2(FA)λ3) + h2,1(H2(FA)λ3) = 1. (5.4)

nfA, 129

= 10

⇒ h1,1(H2(FA)λ3) + h1,2(H2(FA)λ3 − h1,0(H1(FA)λ3) = 10. nfA, 21

9= −2

⇒ h0,2(H2(FA)λ3)− h0,1(H1(FA)λ3) = −2.


= 10

⇒ h2,0(H2(FA)λ3) + h2,1(H2(FA)λ3

) = 10.

nfA, 159

= −2

⇒ h1,1(H2(FA)λ3) + h1,2(H2(FA)λ3

− h1,0(H1(FA)λ3) = −2.

nfA, 249

= 1

⇒ h0,2(H2(FA)λ3)− h0,1(H1(FA)λ3

) = 1. (5.5)

Avec (5.5) on a que h0,2(H2(FA)λ3) = h2,0(H2(FA)λ3) ≥ 1.

On en déduit ensuite avec (5.4) que

h2,0(H2(FA)λ3) = h0,2(H2(FA)λ3) = 1,

h2,1(H2(FA)λ3) = h1,2(H2(FA)λ3) = 0, et

h0,1(H1(FA)λ3) = h1,0(H1(FA)λ3) = 0.

D'après [13, Théorème 1], l'arrangement de Ceva vérie :

h0,1(H1(FA)λ3) = h1,0(H1(FA)λ3) = 2.

On trouve nalement :

h0,2(H2(FA)λ3) = h2,0(H2(FA)λ3) = 0,

h1,1(H2(FA)λ3) = h1,1(H2(FA)λ3) = 0, et enn

h1,2(H2(FA)λ3) = h2,1(H2(FA)λ3) = 10.


= 3

⇒ h2,0(H2(FA)λ4) = 3.

106

nfA, 139

= 0

⇒ h1,1(H2(FA)λ4)− h1,0(H1(FA)λ4) = 0. nfA, 22

9= 6

⇒ h0,2(H2(FA)λ4)− h0,1(H1(FA)λ4) = 6.


= 6

⇒ h2,0(H2(FA)λ4) = 6.

nfA, 149

= 0

⇒ h1,1(H2(FA)λ4)− h1,0(H1(FA)λ4

) = 0. nfA, 23

9= 3

⇒ h0,2(H2(FA)λ4)− h0,1(H1(FA)λ4

) = 3.

Par conjugaison, on obtient que les seules dimensions non nulles sonth2,0(H2(FA)λ4) = 3, h0,2(H2(FA)λ4

) = 3 ,h0,2(H2(FA)λ4) = 6, h2,0(H2(FA)λ4

) = 6.

Corollaire 5.2.14 Regroupons les dimensions non nulles trouvées dans le tableausuivant (par rapport à la monodromie h∗) :

107

H1(FA,C) H2(FA,C)

λ = 1 h1,1(H1(FA)1) = 8 h2,2(H2(FA)1) = 16

λ1 h0,2(H2(FA)λ1) = 9

λ1 h2,0(H2(FA)λ1) = 9

λ2 h0,2(H2(FA)λ2) = 3

λ2 h2,0(H2(FA)λ2) = 3

λ3 h0,1(H1(FA)λ3) = 2 h2,0(H2(FA)λ3) = 1, h1,2(H2(FA)λ3) = 10

λ3 h1,0(H1(FA)λ3) = 2 h0,2(H2(FA)λ3

) = 1, h2,1(H2(FA)λ3) = 10

λ4 h2,0(H2(FA)λ4) = 3, h0,2(H2(FA)λ4) = 6

λ4 h0,2(H2(FA)λ4) = 3, h2,0(H2(FA)λ4

) = 6

Dans l'article de A. Dimca et G. Lehrer [17], une approche diérente est utiliséean de calculer les nombres de Hodge de l'arrangement de Ceva A du Corollaire5.2.14. Les calculs de [17, Exemple 5.1] sont utilisés dans [17, Exemple 5.3].Dans la suite de cette partie, nous proposerons tout d'abord une démonstrationde [17, Exemple 5.1 (iii)] qui est donné sans aucune démonstration dans l'ar-ticle, puis nous apporterons une correction à [17, Exemple 5.3], où la dimensionh1,2(H2(FA)λ3

) = 7, λ3 = exp(2iπ/3) (par rapport à la monodromie habituelle h∗)est en contradiction avec la valeur obtenue ci-dessus, c'est à dire 10.

Soit Y ⊂ P3C une surface lisse dénie par

108

xd + yd + zd + td = 0, d > 1,

et notons U = P3C\Y son complémentaire.

Soit λ = exp(2iπ/d). On considère l'action de la monodromie sur P3C donnée par :

λ · (x : y : z : t) = (x : y : z : λ−1t),

pour tout (x : y : z : t) ∈ P3C.

Soit l'inclusion i : Y → P3C, et dénissons la cohomologie primitive de Y par :

H∗0 (Y ) := cokeri∗ : H∗(P3C,Q)→ H∗(Y,Q).

On a que H20 (Y ) est une structure de Hodge pure de poids 2 :

H20 (Y ) = H2,0(H2

0 (Y ))⊕H1,1(H20 (Y ))⊕H0,2(H2

0 (Y )).

Remarque 5.2.15 Comme H20 (Y ) = H2(Y,Q)

Imi∗:H2(P3C,Q)→H2(Y,Q) ,

avec H2(P3C,Q) = C1,1, on a :

ha,b(H20 (Y )) = ha,b(H2(Y,Q)), si (a, b) 6= (1, 1), eth1,1(H2

0 (Y )) = h1,1(H2(Y,Q))− 1.

Nous allons maintenant utiliser l'isomorphisme de Résidu de Poincaré, de typeHodge (−1,−1), an de calculer les dimensions h2,0(H2

0 (Y )), h1,1(H20 (Y )),

et h0,2(H20 (Y )), à partir des dimensions h3,1(H3(U)), h2,2(H3(U)), et h1,3(H3(U)) :

H3(U)(−1,−1)

R // H20 (Y ).

Notons f le polynôme homogène de degré d : f(x, y, z, t) = xd + yd + zd + td,

et M(f) = C[x,y,z,t](xd−1,yd−1,zd−1)

l'algèbre de Milnor.

Si on considère la ltration de Hodge F de H3(U) :

H3(U) = F 1H3(U) ⊃ F 2H3(U) ⊃ F 3H3(U) ⊃ F 4H3(U) = 0,

on a l'identication suivante, comme il est expliqué dans le livre de A. Dimca, voir[15, p. 193-194] :

M(f)t d−4 = F sH3(U)/F s+1H3(U), pour t = 3− s+ 1.

De plus, à un monômexv1yv2zv3tv4 ∈M(f)t d−4

correspond la classe de cohomologie

xv1yv2zv3tv4Ω

f s∈ H3(U),

avec Ω = ∆(dx∧dy∧dz∧dt) = xdy∧dz∧dt−ydx∧dz∧dt+zdx∧dy∧dt−tdx∧dy∧dz.Comme H3(U) = H3,1(H3(U))⊕H2,2(H3(U))⊕H1,3(H3(U)), on déduit de précé-demment les égalités de dimensions suivantes :

109

h3,1(H3(U)) = dimM(f)d−4 (t = 1, s = 3),h2,2(H3(U)) = dimM(f)2d−4 (t = 2, s = 2).

Nous allons donc calculer successivement les dimensions de M(f)d−4 et deM(f)2d−4.

1. Calcul de M(f)d−4 :

Comme d− 4 ≤ d− 2, on a

M(f)d−4 = G0 ⊕G1 · t⊕ · · · ⊕Gd−4 · td−4,

où Gv désigne le sous-espace vectoriel de C[x, y, z, t] engendré par les mo-nômes en x, y, z de degré d− 4− v.

Soit un monôme gv ∈ Gv.On peut alors écrire gv sous la forme gv = xv1yv2zv3 ,avec v1 + v2 + v3 = d− 4− v, et 0 ≤ v1, v2, v3 ≤ d− 4− v.Il y a donc d−4−v+1 valeurs possibles pour v1. Si v1 = k, 0 ≤ k ≤ d−4−v,alors v2 + v3 = d − 4 − v − k, et v2 peut donc prendre d − 4 − v − k + 1valeurs comprises entre 0 et d− 4− v− k. Finalement on a d− 4− v− k+ 1couples (v2, v3) = (v2, d− 4− v− k− v2) possibles. Ainsi, les diérents choixpossibles pour le triplet (v1, v2, v3) sont :

v1 = 0 v1 = 1 ... v1 = d− 4− vv2 + v3 = d− 4− v v2 + v3 = d− 5− v v2 + v3 = 0v2 = 0 v2 = 0 v2 = 0...

...v2 = d− 5− v

v2 = d− 4− vLa dimension de Gv est :

d−4−v∑k=0

(d−4−v−k+1) = (d−4−v+1)+(d−4−v)+ · · ·+1 =

(d− 2− v

2

).

Enn, l'action de la monodromie h∗λ sur H3,1(H3(U)) est décrite par l'action

de la monodromie sur les formes diérentielles gvΩf3 . Or on a que

h∗λ(gvΩf3 ) = λd−(v+1) gvΩ

f3 , ∀gv ∈ Gv,

et on en déduit que

H3,1(H3(U)) =d−4⊕v=0

C(d−2−v2 )

λd−(v+1) ,

110

ou encore, en posant k = d− (v + 1) :

H3,1(H3(U)) =d−1⊕k=3

C(k−12 )

λk,

ce qui coïncide bien avec [17, Exemple 5.1 (i)].

2. Calcul de M(f)2d−4 :

Comme 2d− 4 ≥ d− 2 pour d ≥ 2, on a que

M(f)2d−4 = G0 ⊕G1 · t⊕ · · · ⊕Gd−2 · td−2,

où Gv désigne le sous-espace vectoriel de C[x, y, z, t] engendré par les mo-nômes de type xv1yv2zv3 de degré 2d− 4− v, avec 0 ≤ v1, v2, v3 ≤ d− 2.Soit gv = xv1yv2zv3 ∈ Gv un tel monôme.On doit alors avoir v1 + v2 + v3 = 2d− 4− v, et 0 ≤ v1, v2, v3 ≤ d− 2.Comme 2d−4−v ≥ d−2, v1 peut prendre n'importe quelle valeure compriseentre 0 et d− 2. Fixons v1 = k. Alors on a v2 + v3 = 2d− 4− v − k,avec 2d− 4− v − k ≥ d− 2⇔ k ≤ d− 2− v. Si 0 ≤ k ≤ d− 2− v, alors v2 + v3 = 2d− 4− v− k ≥ d− 2. On doit donctoujours veiller à ce que 0 ≤ v2, v3 ≤ d− 2.Or v3 = 2d− 4− v − k − v2 ≤ d− 2⇔ v2 ≥ d− 2− v − k. On peut doncchoisir d − 2 − v − k ≤ v2 ≤ d − 2, et on a nalement v + k + 1 couples(v2, v3) possibles.

Si d− 2− v < k ≤ d− 2, alors v2 + v3 = 2d− 4− v − k < d− 2, et cettefois-ci on peut choisir 0 ≤ v2 ≤ 2d−4−v−k. Il y a donc 2d−4−v−k+1couples (v2, v3) possibles.

On trouve donc la dimension suivante :

dimGv =d−2−v∑k=0

v + 1 + k +d−2∑

k=d−2−v+1

2d− 4− v − k + 1,

dimGv =(d+ v)(d− 1− v)

2+

(2d− 3− v)v

2.

Enn, l'action de la monodromie h∗λ sur H2,2(H3(U)) est décrite par l'action

de la monodromie sur les formes diérentielles gvΩf3 . Or on a que

h∗λ(gvΩf2 ) = λd−(v+1) gvΩ

f2 , ∀gv ∈ Gv,

et on en déduit que

H2,2(H3(U)) =d−2⊕v=0

Cµvλd−(v+1) ,

111

avec µv = (d+v)(d−1−v)2

+ (2d−3−v)v2

.

En posant k = d− (v+ 1) et en remarquant que µd−1−k = µk−1, on obtient :

H2,2(H3(U)) =d−1⊕k=1

Cµk−1

λk.

Soit maintenant λk, 0 ≤ k ≤ d− 1. On a :

h3,1(H3(U)λk) =

(k − 1

2

),

h1,3(H3(U)λk) = h3,1(H3(U)λd−k) =

(d− k − 1

2

),

h2.2(H3(U)λk) = µk−1.

Enn, un calcul rapide achève la démonstration de [17, Exemple 5.1 (iii)] envériant que : (

k−12

)+(d−k−1

2

)+ µk−1 = d2 − 3d+ 3.

Après ces considérations, l'Exemple 5.3 propose de calculer les nombresde Hodge de l'arrangement de Ceva A ⊂ C3, en particulier la dimensionh1,2(H2(FA)λ3

). D'après [17, Corollaire 1.2] on a :

h1,2(H2(FA)λ3) = h0,1(H2

0 (X)λ3),

où X est la compactication (singulière) de la bre de Milnor FA :

X : fA(x, y, z)− t9 = 0 ⊂ P3C.

Avec [17, Corollaire 3.3] on a ensuite :

h0,1(H20 (X)λ3

) =∑s∈Σ

h1,2(H2(Fs)λ3)− h2,1(H3

0 (X)λ3),

où Σ = s1, ... , s12 désigne l'ensemble des singularités de X, et Fs la brede Milnor de la singularité (X, s).Comme il est expliqué au début de l'Exemple, les dimensions h1,2(H2(Fs)λ3

)sont connues :

h1,2(H2(Fs)λ3) = 1, ∀s.

Enn, en utilisant de nouveau [17, Corollaire 1.2] on obtient

h2,1(H30 (X)λ3) = h0,1(H1(FA)λ3) = 2,

et la dimension cherchée vaut

h1,2(H2(FA)λ3) = 12− 2 = 10,

ce qui correspond bien avec nos résultats du Corollaire 5.2.14.

112

Dans la n de ce chapitre, nous continuons à nous intéresser aux nombres deHodge mixtes ha,b(Hq(F,C)) de la bre de Milnor F d'un arrangement centralA ⊂ Cn+1. Nous cherchons à savoir si la bre de Milnor F vérie la propriétésuivante :

ha,b(Hq(F,C)) = 0, ∀a 6= b, ∀q, (5.6)

et quels sont les liens de cette propriété avec la monodromie h∗ et les coecientsdu spectre de l'arrangement.La propriété (5.6) a fait l'objet de nombreuses recherches en théorie des arran-gements d'hyperplans, et on sait depuis longtemps que le complémentaire d'unarrangement d'hyperplans A quelconque la vérie, voir [24] :

Hq(M(A),C)) est une structure de Hodge pure de type (q, q).

En conséquence, si h∗ est triviale sur tous les groupes de cohomologie H∗(F,C),alors Hq(F,C) = Hq(F )1 = Hq(M(A′),C) = Hq,q(Hq(M(A′),C)), et F vérie(5.6). On peut se demander si la réciproque est vraie. Tout d'abord, on sait quec'est le cas pour un arrangement A ⊂ C2 avec la Remarque 5.1.12. La réciproqueest également vraie pour un arrangement central et essentiel A ⊂ C3 : il s'agit d'unrésultat de A. Dimca, voir [16, Théorème 1.1]. Dans ce même article, A. Dimcadonne un exemple d'arrangement dans C8 pour lequel la réciproque est fausse,mais la question reste encore ouverte pour 3 ≤ n ≤ 6. Nous proposons ici d'étu-dier le cas n = 3.

Soit donc A = H1, ... , Hd ⊂ C4 un arrangement central constitué de dhyperplans, déni par un polynôme homogène Q(x, y, z, t) ∈ C[x, y, z, t] de degréd, et de bre de Milnor F = Q−1(1) ⊂ C4.Rappelons qu'une arête X ∈ L(A) est dense si le sous-arrangement correspondantAX est irréductible, c'est à dire qu'on ne peut pas choisir les coordonnées sur C4

telles que

QX(x, y, z, t) = QX1(x, y, z)× t, ou QX(x, y, z, t) = QX1(x, y)×QX2(z, t),

oùQX est le polynôme homogène qui dénitAX , etQX1, QX2 sont deux polynômeshomogènes non constants.Pour simplier les notations on adoptera à partir de maintenant les notationssuivantes :

S désignera l'ensemble des arêtes denses excepté les hyperplans de A, et S (c)

l'ensemble des arêtes denses de S de codimension c. On notera nα = nQ,α le coecient du spectre de la Dénition 5.2.1 associé ànotre arrangement A.

Remarquons aussi que les arrangements centraux réductibles de C4 sont dedeux types (après changement de coordonnées) :

113

Type 1 : Q(x, y, z, t) = Q1(x, y, z)× t Type 2 : Q(x, y, z, t) = Q1(x, y)×Q2(z, t),

où les Qi sont des polynômes homogènes non constants.

Notre résultat principal est le suivant :

Théorème 5.2.16 Soit A ⊂ C4 un arrangement central et essentiel, constitué ded hyperplans. Les hypothèses suivantes sont équivalentes :

(i) La monodromie h∗ est triviale sur tous les groupes de cohomologie H∗(F,C).(ii) Les nombres de Hodge mixtes vérient ha,b(Hq(F,C)) = 0, ∀a 6= b, ∀q.(iii) Les coecients du spectre nα sont nuls pour tout α /∈ Z.

Pour démontrer notre théorème, nous aurons besoin du résultat suivant :

Théorème 5.2.17 ([39], Théorème 5) Soit A ⊂ Cn+1 un arrangement centralet essentiel. Alors :

A est réductible si et seulement si E(M(A′)) = 0,

où E(M(A′)) =∑

q(−1)qdimHq(F )β, ∀β ∈ µd, est la caractéristique d'Euler ducomplémentaire M(A′).

Nous utiliserons également des formules données par Y.Yoon (du type Théo-rème 5.2.7 généralisé à la dimension supérieure) permettant de calculer les coe-cients du spectre de manière combinatoire pour un arrangement central dans C4,voir [44, Théorème 1.1]. Enn, nous aurons besoin des deux lemmes suivants.

Lemme 5.2.18 Soit A ⊂ C4 un arrangement central de type 2.Notons A = A1 ×A2 sa décomposition en produit de deux arrangements irréduc-tibles, avec A1 : Q1(x, y) = 0, et A2 : Q2(z, t) = 0.Notons d1 = |A1|, d2 = |A2|, d = d1 + d2. Supposons d1 ≥ 3 et d2 ≥ 3.Alors les coecients du spectre de l'arrangement A sont donnés par les formulessuivantes :

n1 = (d1 − 1)(d2 − 1), n2 = 1− d1d2, n3 = d1 + d2 − 1,

et pour 1 ≤ j ≤ d− 1 on a :

nj/d =

0 si d - jd1

−(djd1/de − 1)(djd1/de − j + 1) sinon,

n4−j/d =

0 si d - jd1

(bjd1/dc − 1)(bjd1/dc − j + 1) sinon,

114

n1+j/d =

0 si d - jd1

3djd1/de2 + (−d1 + d2 − 3j)djd1/de+ (−1 + j)d1 − d2 + j + 1 sinon,

n3−j/d =

0 si d - jd1

−3bjd1/dc2 + (d1 − d2 + 3j)bjd1/dc+ (1− j)d1 + d2 − j − 1 sinon.


Pour un tel arrangement, on remarque que S (3) = ∅ et S (2) = V1, V2,où V1 := x = y = 0 est une arête dense de codimension 2 de multiplicité d1,et V2 := z = t = 0 est une arête dense de codimension 2 de multiplicité d2.On utilise ensuite les formules de [44, Théorème 1.1] :

nj/d =(j−1

3

)−(j−3)

(djd1/de−12

)+2(djd1/de−1

3

)−(j−3)

(djd2/de−12

)+2(djd2/de−1

3

),

n1+j/d = (d− j − 1)(j−1

2

)− (djd1/de − 1)b(d− j)d1/dc(j − 2)

−(d− j − 1− 2b(d− j)d1/dc)(djd1/de−1

2

)− (djd2/de − 1)b(d− j)d2/dc(j − 2)

− (d− j − 1− 2b(d− j)d2/dc)(djd2/de−1

2

),

pour j ∈ 1, ... , d, et

n4−j/d =(j−1

3

)− (j−3)

(bjd1/dc2

)+2(bjd1/dc

3

)− (j−3)

(bjd2/dc2

)+2(bjd2/dc

3

)+δ0,j,

n3−j/d = (d− j − 1)(j−1

2

)− bjd1/dc(d(d− j)d1/de − 1)(j − 2)

−(d− j − 1− 2(d(d− j)d1/de − 1) )(bjd1/dc

2

)−bjd2/dc(d(d−j)d2/de−1)(j−2)−(d−j−1−2(d(d−j)d2/de−1) )

(bjd2/dc2

).

pour j ∈ 0, ... , d− 1.

Les coecients n1 et n2 s'obtiennent en prenant j = d, et n3, n4 en prenantj = 0. Soit maintenant j ∈ 1, ... , d− 1.On trouve le coecient nj/d en utilisant djd2/de = j − bjd1/dc et en factorisantpar j + 1− djd1/de − djd2/de.

On trouve n4−j/d en utilisant bjd2/dc = j − djd1/de et en factorisantpar j − 1− bjd1/dc − bjd2/dc.

115

Avec d(d− j)d1/de = d1 − bjd1/dc, d(d− j)d2/de = d2 − bjd2/dc, et en facto-risant par bjd1/dc+ bjd2/dc − j + 1, on trouve n3−i/d.

Enn, on trouve n1+j/d en utilisant b(d− j)d1/dc = d1 − djd1/de,b(d− j)d2/dc = d2 − djd2/de, et en factorisant par djd1/de+ djd2/de − j − 1.

Remarque 5.2.19 Les coecients du spectre pour un arrangement central de type2 avec pgcd(d1, d2) = 1 ont déjà été calculés, voir [44, Corollaire 1.6].

Lemme 5.2.20 Soit A ⊂ C4 un arrangement central de type 2.Notons A = A1 ×A2 sa décomposition en produit de deux arrangements irréduc-tibles, d1 = |A1|, d2 = |A2|, d = d1 + d2.Supposons d1 ≥ 3, d2 ≥ 3, et pgcd(d1, d2) = e > 1.Alors il existe α ∈]0, 1[, tel que nα est non nul.


D'après [16, Théorème 1.4], la monodromie h∗ est d'ordre e.Soit donc β = exp(−2iπk/e), 1 ≤ k ≤ e, une racine ee de l'unité.Notons d′1 ≥ 1, d′2 ≥ 1, et d′ ≥ 2 les entiers tels que d1 = d′1e, d2 = d′2e, et d = d′e.Alors β = exp(−2iπkd′/d), d′ ≤ kd′ ≤ d, et avec le Lemme 5.2.18 on peut calculerle coecient nα, α = kd′/d, du spectre de A.

Si e ≥ 3, alors en choisissant 1 < k < e et en appliquant le Lemme 5.2.18avec j = kd′, d′ < j < d, on obtient :

nkd′/d = (kd′1 − 1)(kd′2 − 1),

car kd′d1 = kd′1d est divisible par d. Comme kd′1, kd′2 > 1, le coecient nkd′/d

est strictement positif. Si e = 2, alors pour k = 1 et j = d′, on trouve cette fois-ci :

nd′/d = (d′1 − 1)(d′2 − 1).

Or d′1, d′2 ≥ 2 (car d1, d2 ≥ 3 par hypothèse), donc nd′/d est bien strictement

positif.

116

Nous pouvons maintenant démontrer notre théorème principal.


(i)⇒ (ii) est clair, comme on en a discuté précédemment.

(ii)⇒ (i) : Supposons que (ii) est vérié. Alors pour tout β ∈ µd, β 6= 1, ona :

H1(F )β = H1,1(H1(F )β) = 0,

H2(F )β = H1,1(H2(F )β), et H2(F )β = 0 si β est une racine de primitive del'unité, d'après le Corollaire 3.2.9 du Théorème de Kohno.

H3(F )β = H2,2(H3(F )β), et h2,2(H3(F )β) = −E(M(A′)) si β est une racinede primitive de l'unité.

Si β 6= 1, et si α ∈]0, 1[ est tel que β = exp(−2iπα), alors on peut vérieravec la Dénition 5.2.1 que pour un arrangement central quelconque de C4

on a :E(M(A′)) = −nα − n1+α − n3−α − n4−α,

et que dans le cas particulier où F vérie (ii) on a :

h1,1(H2(F )β) = −n3−α, h2,2(H3(F )β) = n1+α.

Choisissons donc β = λ = exp(2iπ/d), α = (d−1)/d. Comme λ est primitive,on a dimH2(F )λ = −n3− d−1

d= 0.

Utilisons ensuite les formules de Y.Yoon [44, Théorème 1.1] :

1. n3− d−1d

= −∑

W∈S (3)(dmW/de − 1)(b(d−1)mW /dc

2

)−∑

V ∈S (2)

(b(d−1)mV /dc(dmV /de−1)(d−3) + (2−2dmV /de)

(b(d−1)mV /dc2

) )+∑

V ∈S (2)

∑W∈S (3)

W⊂V

(b(d−1)mV /dc(dmV /de−1)(b(d−1)mW/dc−b(d−

1)mV /dc) + (dmW/de − 1)(b(d−1)mV /dc

2

) ).

2. n1+ d−1d

= −∑

W∈S (3)bmW/dc(d(d−1)mW /de−1

2

)−∑

V ∈S (2)

((d(d−1)mV /de−1)bmV /dc(d−3)− 2bmV /dc

(d(d−1)mV /de−12

) )

117

+∑

V ∈S (2)

∑W∈S (3)

W⊂V

((d(d−1)mV /de−1)bmV /dc(d(d−1)mW/de−d(d−

1)mV /de) + bmW/dc(d(d−1)mV /de−1

2

) ).

En utilisant le fait que

dmV /de = bmV /dc+ 1,

etd(d− 1)mV /de = b(d− 1)mV /dc+ 1,

on voit rapidement que n3− d−1d

= n1+ d−1d

= 0.

Ainsi E(M(A′)) = −h2,2(H3(F )λ) = −n1+ d−1d

= 0 et A est réductible

d'après le Théorème 5.2.17.

Comme A est réductible, A est de type 1 ou 2.

1. Si A est de type 1, alors A = A1 × A2, où A1 : Q1(x, y, z) = 0 estconstitué de d− 1 hyperplans, et A2 de l'hyperplan t = 0.Comme pgcd(|A1|, |A2|) = 1 on en déduit avec [16, Théorème 1.2] queh∗ est triviale.

2. Si A est de type 2, alors A = A1 ×A2, avec A1 : Q1(x, y) = 0,et A2 : Q2(z, t) = 0. Notons d1 = |A1|, d2 = |A2|, et e = pgcd(d1, d2).

(a) Si e = 1, on conclut comme précédemment.

(b) Si e > 1, alors d'après [16, Théorème 1.4] la monodromie h∗ estd'ordre e, et pour toute valeur propre β = exp(−2iπk/e)dans µe, 1 ≤ k ≤ e, on a

H2(F )β = H0(T,C)⊗H1(F1)β ⊗H1(F2)β,

où F1 et F2 sont les bres de Milnor de A1 et A2.Si on note d′1 = d1/e, d

′2 = d2/e ∈ N∗, alors β = exp(−2iπkd′1/d1)

= exp(−2iπkd′2/d2), avec d′1 ≤ kd′1 ≤ d1 et d′2 ≤ kd′2 ≤ d2.Si e > 2, alors en choisissant 1 < k < e, on a 1 < kd′1 < d1

et 1 < kd′2 < d2. Avec [44, Corollaire 1.3] on obtient les dimensions :h1,0(H1(F1)β) = kd′1 − 1 > 0, et h1,0(H1(F2)β) = kd′2 − 1 > 0.Il existe donc ω1 ∈ H1(F1)β et ω2 ∈ H1(F2)β. Ainsi H

2,0(H2(F,C))est non vide car il contient ω1 ⊗ ω2, ce qui contredit notre hypo-thèse.Si e = 2, alors d′1, d

′2 > 1. On peut donc en conclure comme précé-

demment que ce cas est exclu en prenant k = 1.

118

(i)⇒ (iii) : trivial.

(iii)⇒ (i) :

Supposons (iii) et prenons α ∈]0, 1[.Alors E(M(A′)) = −nα − n1+α − n3−α − n4−α = 0 et A est réductible.Si A est de type 1 ou de type 2 avec pgcd(d1, d2) = 1, alors h∗ est triviale.Le cas où A est de type 2 avec d1 = 2 ou d2 = 2 est aussi un arrangementde type 1.Enn, le cas où A est de type 2 avec pgcd(d1, d2) > 1, d1, d2 ≥ 3, est excluavec le Lemme 5.2.20.

119

Chapitre 6

Conclusion

Les résultats donnés dans cette thèse sont des éléments de réponse à notreproblématique, qui est de savoir si l'opérateur de monodromie h∗ et les groupesde cohomologie H∗(F,C) sont complètement déterminés par la combinatoire d'unarrangement d'hyperplans central. La question reste encore ouverte, mais l'on peutespérer progresser dans cette voie.

Par exemple, en ce qui conserne nos résultats, on pourrait essayer d'étentrela construction du graphe G(A) du Théorème 4.3.1 à un complexe simplicial quicontiendrait l'information sur les groupes de cohomologie de la bre de Milnor dedegrés supérieurs.On peut aussi espérer que les homomorphismes de dégénerescence des Théorèmes4.4.15 et 4.4.17 nous permettrons de généraliser d'autres résultats consernant desarrangements d'hyperplans dénis sur R, à des arrangements complexes. On peutégalement tenter de généraliser ces homomorphismes en dimensions supérieures.

Cependant, le plus gros obstacle à nos deux Théorèmes 4.3.1 et 4.4.5, est quedans le cas d'une valeur propre de la monodromie dont l'ordre n'est pas de la formeps, s ≥ 1, avec p premier, on ne peut pas conclure en utilisant le résultat clef 4.2.8de S. Papadima et A. Suciu. Si l'on souhaite améliorer nos résultats, la prochaineétape est donc de se pencher sur la question ouverte suivante : existe-t-il un arran-gement de droites tel que la monodromie h1 admet une valeur propre d'ordre pq,avec p et q premiers ?

120

Our results partially answer the question to know if the monodromy operatorand the cohomology groups of the Milnor ber are completely determined by theintersection lattice of a central hyperplane arrangement. This question is still open,even if we can hope to progress in this way.

As far as the new tools introduced in this thesis are concerned, we could tryto extend the construction of the graph G(A) of Theorem 4.3.1 to a simplicialcomplex containing information on the higher cohomology groups of the Milnorber. This involves perhaps nding a way to relate the intersection lattice of ahyperplane arrangement and a class of good coverings for its complement.Then, we can hope that the two degeneration homomorphisms of Orlik-Solomonalgebras of 4.3.1 and 4.4.5 can be used to generalize some results concerning hy-perplane arrangements dened over R to the complex case, or can be generalizablein higher dimensions.

But the the main problem is that we can't use the modular bound of the localsystem cohomology groups 4.2.8 given by S. Papadima and A. Suciu (which isneeded to prove our Theorems 4.3.1 and 4.4.5), if an eigenvalue of the monodromyhas an order dierent from ps, s ≥ 1, with p prime. So, the next step is to studythe following open question : does there exist a line arrangement such that the mo-nodromy operator h1 admits an eigenvalue of order pq, where p and q are distinctprimes ?

121

Bibliographie

[1] P. Alu : Grothendieck classes and Chern classes of hyperplane arrangements.Int. Math. Res. Notices (2013) 1873-1900.

[2] P. Bailet : On the monodromy of Milnor bers of hyperplane arrangements,arXiv :1401.6042

[3] P. Bailet, M. Yoshinaga : Degeneration of Orlik-Solomon algebras and Milnorbers of complex line arrangements, arXiv :1312.1771

[4] R. Bott, L. Tu : Dierential forms in algebraic topology. Graduate Texts inMathematics, Springer-Verlag.

[5] N. Budur, A. Dimca and M. Saito : First Milnor cohomology of hyperplanearrangements. 'Topology of Algebraic Varieties and Singularities', Contempo-rary Mathematics 538(2011), 279-292.

[6] N. Budur, M. Saito : Multiplier ideals, V-ltration, and spectrum. J. AlgebraicGeom. 14 (2005), no. 2, 269282.

[7] N. Budur, M. Saito : Jumping coecients and spectrum of a hyperplane ar-rangement. Math. Ann. 347 (2010), no. 3, 545579.

[8] P. Cartier : Les arrangements d'hyperplans : un chapitre de géométrie combi-natoire. Séminaire Bourbaki vol. 1980/81 Exposés 561-578, Lecture Notes inMathematics, 1981, Volume 901/1981, p. 1-22.

[9] D. Cohen, G. Denham, M. Falk, H. Schenck, A. Suciu, H. Terao, S. Yuzvinsky :Complex Arrangements : Algebra, Geometry, Topology. Draft of September4, 2009.

[10] D. Cohen, P. Orlik, A. Dimca : Nonresonance conditions for arrangements.Ann. Institut Fourier (Grenoble), 53, 18831896 (2003).

[11] D. Cohen, A. Suciu : On Milnor brations of arrangements. J. London Math.Soc. (2) 51 (1995), no. 1, 105119.

[12] P. Deligne : Theorie de Hodge, II and III. Publ. Math. IHES 40 (1971), 5-58and 44 (1974),5-77.

[13] A. Dimca : Monodromy of triple point line arrangements.

122

[14] A. Dimca : Sheaves in topology. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2004.

[15] A. Dimca : Singularities and topology of hypersurfaces. Universitext. Springer-Verlag, New York, 1992.

[16] A. Dimca : Tate properties, polynomial-count varieties, and monodromy ofhyperplane arrangements. (English summary) Nagoya Math. J. 206 (2012),7597.

[17] A. Dimca, G. Lehrer : Hodge-Deligne equivariant polynomials and mono-dromy of hyperplane arrangements. Conguration Spaces CRM Series 2012,pp 231-253.

[18] A. Dimca, S. Papadima : Finite Galois covers, cohomology jump loci, formalityproperties, and multinets. (English summary) Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl.Sci. (5) 10 (2011), no. 2, 253268.

[19] A. Dimca, S. Papadima, A. Suciu : Topology and geometry of cohomologyjump loci. Duke Math. Journal 148 (2009), no. 3, 405457.

[20] A. Dimca, S. Yuzvinsky : Lectures on Orlik-Solomon Algebras. Progress inMathematics Volume 283, 2010, pp 83-110.

[21] T. A. T. Dinh : Characteristic varieties for a class of line arrangements. (En-glish) [J] Can. Math. Bull. 54, No. 1, 56-67 (2011).

[22] M. Falk, S. Yuzvinsky : Multinets, resonance varieties, and pencils of planecurves. Compositio Math. 143 (2007), no. 4, 10691088.

[23] T. Kohno : Homology of a local system on the complement of hyperplanes.Proc. Japan Acad. Ser. A 62 (1986), 144147.

[24] G. I. Lehrer : The l-adic cohomology of hyperplane complements. Bull. LondonMath. Soc. 24(1992), 76-82.

[25] A. Libgober : Eigenvalues for the monodromy of the Milnor bers of arrange-ments. In : Libgober, A., Tib r, M. (eds) Trends in Mathematics : Trends inSingularities. Birkhäuser, Basel (2002).

[26] A. Libgober : On combinatorial invariance of the cohomology of Milnor berof arrangements and Catalan equation over function eld. Arrangements ofhyperplanes, Sapporo 2009, 175187, Adv. Stud. Pure Math., 62, Math. Soc.Japan, Tokyo, 2012.

[27] A. Libgober, S. Yuzvinsky : Cohomology of the Orlik-Solomon algebras andlocal systems. Compos. Math. 21 (2000) 337-361.

[28] A. M cinic, S. Papadima : On the monodromy action on Milnor bers ofgraphic arrangements. Topology Appl. 156 (2009), no. 4, 761774.

[29] R. D. MacPherson : Chern classes for singular algebraic varieties. Annals ofMathematics. Second Series 100 (1974) : 42332.

123

[30] M. Mustaµà, H. Schenck : The module of logarithmic p-forms of a locally freearrangement. J. Algebra 241 (2001), no. 2, 699719.

[31] S. Nazir, R. Zahid : Admissible local systems for a class of line arrangements.(English summary) Proc. Amer. Math. Soc. 137 (2009), no. 4, 13071313.

[32] P. Orlik, L. Solomon : Combinatorics and topology of complements onf hy-perplanes. Invent. Math.56(1980) 167-189.

[33] P. Orlik, H. Terao : Arrangements of Hyperplanes. Springer-Verlag, BerlinHeidelberg New York, 1992.

[34] S. Papadima, A. Suciu : The Milnor bration of a hyperplane arrangement :from modular resonance to algebraic monodromy, arXiv :1401.0868

[35] S. Papadima, A. Suciu : The spectral sequence of an equivariant chain complexand homology with local coecients. Trans. Amer. Math. Soc. 362 (2010),2685-2721.

[36] D. Perrin. Géométrie algébrique. Une introduction. Savoirs Actuels. InterEdi-tions, Paris ; CNRS Editions, Paris, 1995.

[37] S. Roberts : On gures formed by the intercepts of a system of straight lines ina plane, and on analogous relation in space of three dimensions. Proc. LondonMath. Soc. 19 (1889), 405-422.

[38] C. Sabbah : Déformations isomonodromiques et variétés de Frobenius. Savoirsactuels. Série mathématiques. Les Ulis : Paris : EDP Sciences ; CNRS, 2002.

[39] V. Schechtman, H. Terao, A. Varchenko : Local systems over complements ofhyperplanes and the Kac-Kazhdan conditions for singular vectors. Journal ofPure and Applied Algebra 100 (1995) 93-102.

[40] S. Settepanella : A stability-like theorem for cohomology of pure braid groupsof the series A, B and D. (English summary) Topology Appl. 139 (2004), no.1-3, 3747.

[41] S. Settepanella : Cohomology of pure braid groups of exceptional cases. (En-glish summary) Topology Appl. 156 (2009), no. 5, 10081012.

[42] R. P. Stanley : An Introduction to Hyperplane Arrangements. Park City Ma-thematics Series, volume 14 : Geometric Combinatorics (2004).

[43] C. Voisin : Théorie de Hodge et Géométrie algébrique complexe. Société ma-thématique de France 2002.

[44] Y. Yoon : Spectrum of hyperplane arrangements in four variables,arXiv :1211.1689

[45] M. Yoshinaga : Milnor bers of real line arrangements. J. Singul. 7 (2013),220237.

[46] M. Yoshinaga : Resonant bands and local system cohomology groups for realline arrangements, arXiv :1301.1888

124

Arrangements d'hyperplans

Résumé. Cette thèse étudie la bre de Milnor d'un arrangement d'hyperplanscomplexe central, et l'opérateur de monodromie sur ses groupes de cohomologie.On s'intéresse à la problématique suivante : peut-on déterminer l'opérateur de mo-nodromie, ou au moins les nombres de Betti de la bre de Milnor, à partir del'information contenue dans le treillis d'intersection de l'arrangement ?On donne deux théorèmes d'annulation des sous-espaces propres non triviaux del'opérateur de monodromie. Le premier résultat s'applique à une large classe d'ar-rangements, le deuxième à des arrangements de droites projectives tels qu'il existeune droite contenant exactement un point de multiplicité supérieure ou égale àtrois. Dans le dernier chapitre, on considère la structure de Hodge mixte desgroupes de cohomologie de la bre de Milnor d'un arrangement central et essentieldans l'espace complexe de dimension quatre. On donne ensuite l'équivalence entrela trivialité de la monodromie, la nullité des coecients non entiers du spectre del'arrangement, et la nullité des nombres de Hodge mixtes des groupes de cohomo-logie de la bre de Milnor.

mots-clés : arrangement d'hyperplans, treillis d'intersection, bre de Milnor,monodromie.

Hyperplane arrangements

Abstract. This Ph.D.thesis studies the Milnor ber of a central complex hy-perplane arrangement, and the monodromy operator on its cohomology groups.Our aim is to study the following open question : is it possible to determinate themonodromy operator, or at least the Betti numbers of the Milnor ber, just usingthe information contained in the intersection lattice of the arrangement ?We give two vanishing results on the non trivial eigenspaces of the monodromy. Therst one applies to a large class of arrangements, and the second one to projectiveline arrangements with a line containing exactly one point of multiplicity greateror equal to three. Then we consider the mixed Hodge structure of the cohomologygroups of the Milnor ber, for a central and essential hyperplane arrangement inthe complex space of dimension four. In this case, we give the equivalence betweentriviality of the monodromy, Tate properties, and nullity of the non integer spec-trum's coecients.

Keywords : hyperplane arrangement, intersection lattice, Milnor ber, mono-dromy.

Documents

THÈSE - présentée et soutenue par Pauline BAILET Arrangements d'hyperplans Thèse dirigée par Alexandru DIMCA soutenue le 11 Juin 2014 Membres du jury et rapporteurs M. A. Dimca