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TI-Ciências

TI-Ciências Abril 2002

Editorial

education.ti.com/portugal � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Índice

Editorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

A Parábola como Lugar Geométrico, com o GeoMaster™ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Estudo de Assímptotas,Usando a TI-83 Plus Silver Edition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–5

Estudo da Lei de Boyle-Mariotte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Programa VIP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Partilha de Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Calculadoras Autorizadas e Recomendadas

para o 3º Ciclo e Secundário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Bibliografia Disponível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

T3 – Teachers Teaching with Technology™ . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Programa de Empréstimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Vivemos num mundo em constantemudança, movimento e crescimento. Estasmodificações criam em nós, a necessidadede conhecer e compreender as velocidadescom as quais elas se produzem. No entanto,estas velocidades não são uniformes, elasalteram-se, por vezes bastante rapidamente,em função de transformações produzidasno próprio universo.

Há dezenas de séculos, que o Homem tenta compreender as leis que regem ouniverso. Cada geração aproveita todas as descobertas científicas herdadas dasgerações precedentes e alarga este domíniodo conhecimento, através da junção dassuas próprias contribuições.

As extraordinárias descobertas realizadas ao longo dos séculos, sobre as quais nosfalam os livros e que agora usamos com um objectivo didáctico, não resultaramsomente de golpes de génios, mas depacientes esforços e reflexões daqueles que as conceberam. No entanto deve-serealçar que, ao longo dos tempos, a grandemaioria dos problemas práticos dos homenssempre foram resolvidos com recurso aosconhecimentos matemáticos da época.Assim, a Matemática tem-se desenvolvidocom a civilização e tornou-se a chave dequase todas as actividades dos homens e é ela que nos dá uma ajuda preciosa na vida quotidiana.

É essencialmente na relação entre daMatemática com as outras ciências que se encontram surpreendentes e eficazesresultados, ao nível da modelação dosfenómenos (naturais e sociais) que nosrodeiam. É interessante observar que é raroexistir um desenvolvimento concomitantedos conceitos em todas as ciências.Contudo existe um espaço central onde as diversas ciências se encontram com a Matemática, dando origem a algunsimportantes momentos históricos eprivilegiados, nos quais o desenvolvimentode processa de uma forma paralela.Presentemente, nós vivemos um desses momentos.

Isabel Cleto dos Santos

José Alberto Rodrigues

2 TI-Ciências

A Parábola como Lugar Geométrico, com o GeoMaster™

Como se sabe, a parábola é, por definição, o lugar geométricodos pontos do plano que distam igualmente de uma recta ede um ponto que não lhe pertença. Convencer um aluno do 10º ano de que esta definição leva àquele ”desenho”parabólico não é normalmente uma tarefa trivial. Ascapacidades dinâmicas de algum software de geometriapodem constituir uma enorme ajuda. No entanto, nem sempre é possível dispor de computadores na sala de aula, pelo que pode haver alguns limites inultrapassáveisquanto à utilização desse software.

Uma excelente forma de resolvereste problema é a aplicação”GeoMaster” disponibilizada pelaTexas Instruments, para as suascalculadoras gráficas comtecnologia FLASH, como é o caso da já vulgar TI-83 Plus.

Ora vejamos como se pode utilizar o ”GeoMaster” para proporcionar ao aluno a compreensão do lugargeométrico referido.

Será provavelmente mais interessante desenvolver o trabalhoa partir de um problema simples e motivador. Por exemplo,pode colocar-se a questão de encontrar a trajectória maissegura para um barco passar entre uma rocha localizada nomar e uma costa igualmente rochosa, rectilínea.

Comecemos por traçar uma recta (costa) e um ponto exteriorà recta (rocha), utilizando, no menu DRAW , as funções Line e Point, respectivamente. De seguida, consideremos um ponto livre na recta, utilizando no mesmo menu a função Point on Object.

Estamos agora prontos a construir um ponto nas condiçõespretendidas, ou seja, na trajectória mais segura, que é omesmo que dizer, um ponto equidistante da ”rocha” e da”costa”. Começamos por construir o lugar geométrico dospontos equidistantes da ”rocha” e do ponto livre sobre a”costa”. Para tal constroí-se a mediatriz do segmento de rectadefinido por estes pontos. Para o fazer, utilizamos novamenteo menu DRAW e as funções, Midpoint e Perpendicular. Ora,se traçarmos uma perpendicular à ”costa” a passar por esteponto, ela vai intersectar a mediatriz num ponto, a seguirdesignado por P, que dista igualmente da ”rocha” e da

”costa”, pois como é obvio, a distância de P à ”costa” éobtida na perpendicular a esta. Para fazer estas construções,voltamos a utilizar o menu DRAW e, desta vez, as funçõesPerpendicular e Intersection.

Note-se que ao movimentar o ponto livre sobre a ”costa”,como a construção é dependente, vamos obter diferentesposições para o ponto P, sempre satisfazendo as condições de equidistância, pelo que, desta forma é gerado o lugargeométrico pretendido.

O Geomaster tem uma função, emMISC , Trails On/Off, que marca assucessivas posições de um objectoque é arrastado. Outra função, no mesmo menu, Pointer, arrastaum objecto.

Para evitar uma sobrecarga deobjectos traçados, podemosesconder os que são menosimportantes para traçar o lugargeometrico, e fazê-mo-lo com afunção Hide/Show do menu MISC .

Ora, activando a função Trails On/Offno ponto P e arrastando o pontolivre na ”costa”, após activar afunção Pointer, obtemos o esboçode uma curva (a parábola) nascondições pretendidas (os pontos

equidistantes de uma recta e de um ponto exterior).

É possível fazer explorações, por exemplo: analisar o efeito da variação da posição da ”rocha”em relação à ”costa”, no traçado da parábola. Será deixado aocuidado do leitor, a construção

dos desenhos necessários a esta exploração, no entanto será conveniente referir que sempre que se pretenda guardar um desenho na memória da calculadora, o podemos fazerrecorrendo à função Save File do menu FILE .

Raul Apar íc io GonçalvesEscola Secundár ia de Paredes

TI-Ciências 3

Pretendemos, através de um conjunto de quatro actividades,estudar a existência de assímptotas verticais e/ou horizontais,a partir da análise do gráfico de uma função racional e levar oaluno a conjecturar sobre a relação existente entre asassímptotas horizontais e os graus dos polinómios, queconstituem a expressão analítica da função.

Uma função racional f pode ser definida pelo quociente de dois polinómios:

f(x)5}pq

((xx))} .

Se p(x)≠0, então a função racional f fica definida quandoq(x)≠0.

Como sabemos as assímptotas são rectas que orientam o traçado do gráfico de uma função e este ou parte deleaproxima-se da assímptota, de tal forma que acaba por se confundir com a própria assímptota, quando a distância à origem do referencial tende para infinito.

Nos exemplos seguintes exploraremos a relação existenteentre a ”divisão por zero” e as assímptotas verticais.

Tomemos, como exemplo, a função racional

f(x)5 }

1x}

A partir da observação do gráfico verifica-se que existem doistipos de assímptotas ao gráfico desta função: uma vertical eoutra horizontal, cujas equações são respectivamente: x5 0e y5 0.

Analisemos o gráfico de uma outrafunção racional definida por:

g(x)5}x2

11}

Constata-se facilmente que também existe uma assímptotavertical de equação x51 e uma assímptota horizontal deequação y5 0.

Um outro caso interessante para seranalisado é o exemplo da funçãoracional

h (x)5}x 2

12 1}

É bastante visível, partindo da observação do gráfico, umaalteração no número de assímptotas verticais, existindo nestecaso duas, a saber: x5 21 e x5 1. Este aumento no númerode assímptotas verticais está directamente relacionado com onúmero de zeros do polinómio x 2

2 1.

Estudo de Assímptotas,Usando a TI-83 Plus Silver Edition

Actividade 1

Introdução ao estudo das assímptotas verticais ao gráfico de uma função.

1. Introduz, na calculadora TI-83 Plus Silver Edition, a expressão analítica de cada uma das funções indicada na primeira colunado quadro e a partir da análise dos respectivos gráficos completa-o:

Expressão analítica Número de zeros Número de zeros Número de Equações das da função racional do numerador do denominador assímptotas verticais assímptotas verticais

2. Com base na análise dos dados do quadro anterior, explica que relação podes estabelecer entre o número de zeros dos polinómios do numerador e do denominador e o número de assímptotas verticais ao gráfico de uma função.

3. Escreve as equações das assímptotas horizontais ao gráfico de cada uma das funções referenciadas no quadro.

NOTA: Nas actividades 2, 3 e 4 consideremos sempre as funções racionais definidas pelo quociente de dois polinómios,

isto é, na forma: f(x)5}qp(

(xx))} .

y5}x 2

12 4}

y5}x22

19}

y5}xx

2

2

2

24}

y5}xx

2

1

2

39}

Isabel Cleto Santos

4 TI-Ciências

Actividade 2

y5}12

3x}

y5}21

xx 3}

y5}1x 3

1

1

x2

4}

y5}x 21

5xx2 10}

Grau de p(x),,,, grau de q(x) e a relação com as assímptotas horizontais.

Nesta actividade vamos analisar os graus dos polinómios do numerador e do denominador e estudar a sua relação com a existência de assímptotas horizontais.

1. Completa o quadro seguinte, começando por introduzir as expressões analíticas das funções na calculadora gráfica e analisando os gráficos obtidos:

Expressão analítica Equação da Grau de Grau de da função racional assímptota horizontal (numerador) (denominador)

2. Em funções racionais em que o grau do numerador é inferior ao grau do denominador, descreve a localização dasassímptotas horizontais.

3. O gráfico de uma função racional em que o grau de p(x), grau de q(x) cruza sempre a assímptota horizontal?

Actividade 3

Grau de p(x)5 grau de q(x) e a relação com as assímptotas horizontais.

Pretendemos explorar o estudo de funções racionais do tipo f(x)5}qp(

(xx))} , onde p(x)5 am xm

1am -1x m -11…1a0 e

q(x)5 bm xm1bm -1x m -1

1…1b0 são polinómios com o mesmo grau, mas com os coeficientes dos termos de maior grau diferentes, ao nível da localização das assímptotas horizontais.

1. Recorrendo à calculadora e com base na análise da representação gráfica de cada uma das funções indicadas, completa o quadro:

Expressão analítica am : coeficiente do termo bm : coeficiente do Equação da assímptota da função racional de ordem m de p(x) termo de ordem m de q(x) horizontal

y5}x 2

x2

2

5}

y5}142xx

2

2

2

2

28x}

y5}1x2

2

22x}

y5}2xx1

1

13}

y5}x 3

x2

3

1}

y5}x 21

22xx

2

2 1}

Estudo de Assímptotas,Usando a TI-83 Plus Silver Edition cont inuação

TI-Ciências 5

2. Na alínea 1. o grau do numerador é igual ao grau do denominador e observa-se que cada um dos gráficos admite umaassímptota horizontal. A equação da assímptota horizontal relaciona-se com o quociente coeficientes dos termos de maiorgrau de p(x) e de q(x). Estabelece esta relação.

3. O gráfico de uma função racional em que o grau de p(x)5 grau de q(x) cruza sempre a assímptota horizontal?

Grau de p(x).... grau de q(x) e a relação com as assímptotas horizontais.

Depois de termos analisado a localização das assímptotas horizontais ao gráfico de uma função racional, quando grau de p(x)≤ grau de q(x), pretendemos nesta actividade explorar a localização do mesmo tipo de assímptotas, mas no caso em que grau de p(x). grau de q(x).

1. Recorre à calculadora gráfica para esboçares e analisares o gráfico de cada uma das funções indicada na primeira coluna do quadro, completando-o:

Expressão analítica Equação da Grau de p(x) Grau de q(x) da função racional assímptota horizontal (numerador) (denominador)

2. Tendo como base o quadro da alínea anterior, que se pode concluir acerca da existência de assímptotas horizontais, quando grau de p(x). grau de q(x)?

3. Utilizando os resultados obtidos nas actividades 2, 3 e na alínea 1 desta actividade e os conhecimentos matemáticos sobre as assímptotas verticais e horizontais ao gráfico de uma função, completa as seguintes frases:

Se o grau de p(x) for inferior ao grau de q(x), então .............................................................

Se o grau de p(x) for igual ao grau de q(x), então..................................................................

Se o grau de p(x) for superior ao grau de q(x), então.............................................................

Bibliografia.LIMA, Iolanda, GOMES, Francelino, XEQMAT – Matemática 12º ano, Editorial O Livro, Lisboa, 2001.

Actividade 3 – continuação

Actividade 4

y5}x1

53}

y5}1

x1

2

x}

y5}2

21

x 3

x 2}

y5}1

x2

3

x}

y5}2x1

1

x2

3

}

Estudo de Assímptotas,Usando a TI-83 Plus Silver Edition cont inuação

6 TI-Ciências

Pretende-se com esta actividade estudar a relação entre a pressão e o volume de um gás contido numa seringa.

1. Na TI-83 Plus, execute o programa ou a aplicaçãoDataMate™. Aparece o ecrã principal.

2. No ecrã principal, prima 1 SETUP.

3. Utilize } ou para se deslocar para CH1 e prima ∏Aparece o ecrã SELECT SENSOR. Prima 4-PRESSURE.Prima 2 – PRESSURE SENSOR. Prima 2-PRESSURE(ATM)O programa começa a detectar o sensor pretendido.

4. Utilize } ou para se deslocar para z e prima ∏. Seleccione 3- EVENTS WITH ENTRY e prima ∏.

5. Abra a torneira da seringa e puxe o êmbolo para a marca 20 cc . Feche a torneira.

– Prima OK e depois 2-START A calculadora começa a ler a pressão. Prima ∏ para guardar a pressãoregistada. A calculadora pede-lhe agora o volume, que neste caso é 20 cc. Introduza 20 e prima ∏.

6. Coloque a seringa em 15 cc e prima ∏. A calculadorapede-lhe o volume. Introduza 15cc e prima ∏. Repita o processo para 10 cc. e 5 cc.

Deve ter obtido o seguinte gráfico:

Vá para o editor estatístico e poderá visualizar o volume na lista L1 e a pressão na lista L2, em atm.

Actividades:

1. No editor estatístico visualize os dados e complete a tabela seguinte:

Volume (cc) Pressão (atm) Produto da pressão

pelo volume

2. Encontre uma relação que dê o volume em função da pressão.

3. Como verificou existe uma relação inversamenteproporcional entre a pressão e o volume. Qual é a constante de proporcionalidade?

4. Faça uma regressão potência. Compare esta função com a que obteve na alínea dois, sobrepondo o gráfico da função ao diagrama de dispersão. Que conclui?

ReferênciasBrueningsen, Bower, Antinone, and Brueningsen-Kerner;Real-World Math with the CBL System: Activities Using the TI-83 and TI-83 Plus: Activity 6. [TI Explorations™ Series book, Texas Instruments]

Estudo da Lei de Boyle-MariotteAbel Eça

Escola Secundár ia de Amares

TI-83 Plus

CBL 2™

Sensor de pressão

Tubo de ar

Seringa

}

}

TI-Ciências 7

Programa VIP

✂

Programa VIP – Cupão de Registo

SIM, sou Professor e desejo ter acesso Gratuito a Software para a TI-83 Plus SE!

Texas Instruments • c/o SITEL • Woluwelaan 158 • 1831 Diegem • Bélgicaou por Fax: 21 424 51 30

800 832 627 ti-cares@ti.com education.ti.com/portugalOs dados recolhidos serão processados informáticamente e destinam-se à gestão do seu pedido. Garantimos ao subscritor, nos termos da lei, o direito de acesso e rectificação

de qualquer dado que lhe diga respeito. A Texas Instruments reserva-se o direito de terminar este Programa ou alterar as suas regras sem proceder a aviso prévio.

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Bom Trabalho!

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Geometria Dinâmica

Inequações e Domínios Planos

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Partilha de Actividades

Já está online a nossa web page de Partilha de Actividadescom a calculadora gráfica. Nesta página poderá consultartrabalhos de colegas relacionados com a utilização de novastecnologias (calculadoras gráficas) na sala de aula.

Se quiser colocar as suas actividades com calculadoras no nosso site, basta enviá-los para:

x0amaral@ti.com ou t-meneses@ti.com

Para explorar os trabalhos existentes consulte:

www.ti.com/calc/portugal/PartilhadeActividades.htm

TI-Ciências 9

Calculadoras Autorizadas e Recomendadas para o 3º Ciclo e Secundário

3º CICLO”...Utilização das tecnologias na aprendizagem da Matemática – Todos os alunos devem aprender a utilizar não só a calculadora

elementar, mas também, à medida que progridem na educação básica, os modelos científicos e gráficos...”

-citação retirada do Currículo Nacional do Ensino Básico – DEB

SECUNDÁRIO”...As calculadoras gráficas (...), ferramentas que cada vez mais se utilizarão correntemente devem ser entendidas não só como instrumentos de cálculo mas também como meios incentivadores do espírito

de pesquisa. O seu uso é obrigatório neste programa”.

-citação retirada do Programa Homologado Matemática A – DES

”Advoga-se o uso de calculadoras gráficas familiar aos alunos pela sua utilização permanente nas aulas da disciplina de Matemática. É necessário retirar peso à memorização e à resolução repetitiva de exercícios,

privilegiando-se estratégias de compreensão, técnicas de abordagem e de resolução de problemas”.

-citação retirada do Programa Homologado Física e Química A – 10º Ano – DES

Na internet no endereço http://epsstore.ti.com/webs/home.asp pode escolher os vários títulos de bibliografia deapoio à calculadora, da qual escolhemos apenas alguns livros:

Em português:

• Análise – TI-80, TI-82, TI-83, TI-92

• Estatística – TI-80, TI-82, TI-83, TI-92

• Equações – TI-80, TI-82, TI-83, TI-92

• Modelação TI-92 – Da geometria às funções passando pela estatística (Joaquim Pinto)

• Programação no ensino secundário – TI-80, TI-82, TI-83, TI-86 (César Viana)

Acções de Formação e Pedidos de Apoio:

Organizam-se acções de formação gratuitas sobre a utilização e aprendizagem de calculadoras. Para pedidos de apoio a outros projectos e maisesclarecimentos, contacte:

Texas Instruments Programa Educacional Rua 25, 1774500-281 Espinho

Tel.: 22 763 91 95Fax: 22 763 38 22E-mail: x0amaral@ti.com

Bibliografia Disponível

10 TI-Ciências

O projecto T3 tem como principal objectivo a formação de professores no uso das calculadoras gráficas, acessórios,tais como o CBL 2™, CBR™, TI-GRAPH LINK™ e Software de geometria para as calculadoras (Aplicações paracalculadoras com Tecnologia FLASH) no ensino eaprendizagem da Matemática e da Físico-Química. Todos os cursos são dados por professores formadores com elevada experiência na utilização da tecnologia na sala de aula. Em Portugal o projecto decorre desde 1997 em parceria com uma entidade ligada ao ensino e aos professores.

Temas abordados nos cursos:

• Modelação Matemática

• Probabilidades, simulações, distribuições e testes com a calculadora gráfica

• Experimentar a matemática com a TI-92 Plus

• Estatística e Calculadoras Gráficas

• Física e Matemática

• Cabri Géomètre II™

Sessões práticas com calculadoras gráficas e sensores de 4 horas, 25 horas e 35 horas.

Preços Muito Especiais de calculadoras (apenasversão retroprojectável) e acessórios para osprofessores participantes!

Para mais informações e pedidos de acções contacte com:

APM (Associação de Professores de Matemática)

Rua Dr.João Couto,27A1500-236 LisboaTel.: 21 716 36 90Fax: 21 716 64 24E-mail: apm@netcabo.ptInternet: www.apm.pt

(Professores ensinam com tecnologia)

T3 – Teacher Teaching with Technology™

www.ti.com/calc/portugal/t3.htm

TI-Ciências 11

Programa de Empréstimo

A Texas Instruments oferece empréstimos gratuitos WOLOPde calculadoras e acessórios para professores de matemática.Os pedidos deverão ser feitos com um mês de antecedência e terão uma duração máxima de duas semanas. Osempréstimos têm como objectivo principal a realização de acções de formação e workshops. Quandofizer o seu pedido de empréstimo, por favor mencione:

• Razão da Acção de Formação.

• Enuncie a data e o local do workshop.

• Quantidades, tipo de calculadora(s) e acessóriosnecessários.

• Endereço de entrega e número de telefone.

• O dia de entrega preferencial.

Os seguintes produtos estão disponíveis no Programa de Empréstimo de Calculadoras:

• TI-83 Plus

• TI-89

• Voyage™ 200

• CBL™ (Calculator-Based Laboratory™ Systems probes)

• CBL 2™ (Calculator-Based Laboratory)*

• CBR™ (Calculator-Based Ranger™ System)

• Cabri Géomètre II™

• TI-Presenter™ *

* Disponibilidade de produtos limitada em quantidades.

NOTA: Os empréstimos estão sujeitos à disponibilidade do material, sendo dada prioridade aos cursos do T3.

Peça um Painel ViewScreen™, pois este é opcional. Peçasensores para a sua acção com o CBL. Peça posters,transparências e literatura para distribuir aos participantesdurante a sua acção.

Para fazer o pedido de empréstimo pode enviar uma carta para:

CSC – Centro de Suporte ao ClienteC/O Sitel BelgiumWoluwelaan 1581831 DiegemBelgiumTelefone (numero gratuito): 800 832 627Envie um fax: 21 424 51 30Contacte por e-mail: ti-loan@ti.com

Enquanto a Texas Instruments e os seus agentes tentam garantir a validade dos comentários e das afirmações escritos nesta publicação, não será aceite qualquer responsabilidade em nenhuma circunstânciapor imprecisões de conteúdo, artigos ou reclamações efectuadas pelos colaboradores. As opiniões publicadas podem não ser necessariamente as opiniões da Texas Instruments. Todas as calculadoras disponíveisna Europa são fabricadas de acordo com a certificação ISO 9000. Cabri Géomètre II é uma marca comercial da Université Joseph Fourier. Todas as outras marcas comerciais são propriedade dos respectivosproprietários. A Texas Instruments reserva-se o direito de alterar produtos, especificações, serviços e programas sem aviso prévio. Impresso em papel isento de cloro 100% reciclável por Thamesdown ColourLimited, Inglaterra. Composiçião – Cloud 9 Publishing Limited, Inglaterra.

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DISMELRua Coronel Ferreira do Amaral, 9 C 1900 LisboaTel.: 21 816 03 20 • Fax: 21 816 03 29E-mail: info@dismel.pt • www.dismel.pt

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