TI P04 Zast Kodiranje I Dio

7/27/2019 TI P04 Zast Kodiranje I Dio

1/50

Zatitno kodiranje IZatitno kodiranje I

Teorija informacije


2/50

Teorija informacije 2 od 50

Sadraj predavanjaSadraj predavanja

Uvod Komunikacijski sustav; Cilj zat. kodiranja; Podjela zatitnih

kodova.

Blok kodovi Uvod Paritetno kodiranje

Linearno binarni blok kodovi Generirajua matrica G i njen standardni oblik

Kodiranje Dekodiranje (dekodiranje preko sindroma) Proraun vjerojatnosti ispravnog dekodiranja

Hammingovi kodoviCiklini kodovi


3/50


Komunikacijski sustavKomunikacijski sustav

Koder informacije Formira poruku (tzv. kodirana poruka) minimalne duljine koja

opisuje sadraj na izvoru;

Koder kanala

Dijeli kodiranu poruku na fragmente koje u okviru ovog poglavljanazivamo porukama; Definira zatitni kd kojim se provodi pridruivanje zatitnih kodnih

rijei porukama. Nazivlje: zatitne kodne rijei kodne rijei (engl. code words).


4/50


to kada otkrijemo pogreku?

Cilj zatitnog kodiranjaCilj zatitnog kodiranja

Cilj zatitnog kodiranja je iskoristiti onaj zatitni kd koji: Uvodi najmanje mogue poveanje prosjene duljine kodnih rijei u

odnosu na prosjenu duljinu poruka; Osigurava prihvatljivo malu vjerojatnost da pogreke simbola

zatitno kodirane poruke ostanu neotkrivene.

Pokree se neki od postupaka otklanjanja pogreke (engl.error correction).

Ispravljanje pogreki u dekoderu kanala (FEC engl. forward errorcorrection);

Koriste se kodovi za otkrivanje i ispravljanje pogreaka (engl. errorcorrecting codes).

Ispravljanje pogreki ponovnim slanjem (BEC engl. backwarderror correction).

Koriste se kodovi za otkrivanje pogreaka (engl. error detection codes).


5/50


Dvije glavne skupine zatitnih kodova, i to: Blok kodovi (engl. block codes);

Konvolucijski kodovi (engl. convolutional codes). Glavne razlike se odnose na nain izvedbe kodera.

Blok kodovi: k-bitna poruka potpuno se preslikava u n-bitnu kodnurije, tj. generiranje nekog bita u kodnoj rijei funkcija je trenutanog

stanja ulaza kodera; Konv. kodovi: generiranje nekog bita u kodnoj rijei funkcija je

trenutanog stanja ulaza kodera kao i nekolicine prethodnih stanja.

Druga podjela zatitnih kodova napravljena je na osnovu

strukture i svojstava kodnih rijei, i to na: Linearane (engl. linear).

Blok, konvolucijski i turbo kodovi.

Nelinearne (engl. nonlinear).

Podjela zatitnih kodovaPodjela zatitnih kodova


6/50


Blok kodoviBlok kodovi


7/50


Definicija: abeceda kodaDefinicija: abeceda koda

Abeceda koda: Kodne rijei koda K sastoje se od simbolaizabranih iz konanog skupa simbola Fqs q elemenata kojeg

nazivamo abeceda koda.

Primjer: U digitalnim komunikacijskim sustavima koristi se

abeceda F2={0, 1}. Simbolu abecede F2 su binarne znamenke0 i 1, dok se kodovi koji koriste ovu abecedu zovu binarnikodovi.

Napomena: U okviru kolegija Teorija informacije prouavate se iskljuivo zatitni binarni kodovi!


8/50


0 0 ;

0 1 ;=1 0 ;

1 1 .

A

BPC

D

1

0 0 0 ;

0 1 1 ;

= 1 0 1 ;

1 1 0 .

A

B

K C

D

2

0 0 0 0 0 ;

0 1 1 0 1 ;

= 1 0 1 1 0 ;

1 1 0 1 1 .

A

B

K C

D

Kd K1 formiran dodavanjem

jednog redundantnog simbola

Kd K2 formiran dodavanjem tri

redundantna simbola

Primjer: zatitno kodiranjePrimjer: zatitno kodiranje

Primjer: Izvor informacije generira etiri razliita simbola: A,B, Ci D, a koder informacije kodira ih kao:

Koder kanala


9/50


Blok kd:Kd K zove seblok-kdukoliko su duljine svihnjegovih kodnih rijei jednake. Ako kodne rijei koda K imaju

duljinu n, onda je Kblok-kd duljinen.

Definicija: blok kDefinicija: blok kdd

Primjer:

1

0 0 0 ;0 1 1 ;

=1 0 1 ;

1 1 0 .

A

BK

C

D

2

0 0 0 0 0 ;0 1 1 0 1 ;

=1 0 1 1 0 ;

1 1 0 1 1 .

AB

KC

D

Blok kod n= 3 Blok kod n= 5


10/50


Hammingova udaljenost:Hammingova udaljenost izmeu dvije kodne rijeije broj pozicija na kojima se kodne rijei razlikuju, tj. broj pozicija na kojimakodne rijei imaju razliite simbole.

Oznaka Hammingove udaljenosti izmeu dviju kodnih rijeix iyje d(x, y).

Definicija: Hammingova udaljenostDefinicija: Hammingova udaljenost

Za kodne rijei i x,y i z blok-koda K, Hammingova udaljenost ima sljedeasvojstva: d(x,y)=0 ako i samo ako je x = y; d(x,y)=d(y,x) za sve x,y K; d(x,y) d(x,z) + d(z,y) za sve x,y,z K(nejednakost trokuta).

Primjer:


11/50


OZNAKA BLOK-KODA:

( n, M, d)

Udaljenost koda:Udaljenost koda K, s oznakom d(K), je najmanjaHammingova udaljenost svih parova kodnih rijei koda K, tj.

DULJINA KODA

BROJ KODNIH RIJEI U KODU

DISTANCA KODA

( ),

( ) = min ( , )K

d K d

x y

x y x y

Definicija: Udaljenost blokDefinicija: Udaljenost blok--koda ikoda injegova oznakanjegova oznaka Dekodiranje kodne rijei se provodi na nain da se kao primljena kodna

rije odabire ona koja od primljene rijei ima najmanju Hammingovuudaljenost princip dekodiranja najbliim susjedom.

Sposobnost koda da otkrije ili ispravi pogreke ovisi o najmanjojHammingovoj udaljenosti izmeu svih parova kodnih rijei nekog koda K.


12/50


Otkrivanje i ispravljanje pogreakaOtkrivanje i ispravljanje pogreaka(1/2)(1/2)

Ako zatitni kd Kima distancu d(K) i ako sedekodiranje provodi principom najblieg susjeda,

onda vrijedi sljedee:Kd Kmoe otkriti najvie d(K)1 pogreaka u jednoj

kodnoj rijei, tj. ako je najvei broj pogreaka koje kd moe

otkriti s, onda mora biti zadovoljen izraz d(K)s+1.

Primjer (blok kd n= 3, M= 4, d(K) = 2 s= 1):

1

0 0 0 ;

0 1 1 ;=1 0 1 ;

1 1 0 .

A

BKC

D


13/50


Otkrivanje i ispravljanje pogreakaOtkrivanje i ispravljanje pogreaka(2/2)(2/2)

Ako zatitni kd Kima distancu d(K) i ako sedekodiranje provodi principom najblieg susjeda,onda vrijedi sljedee: ...

Kd Kmoe ispraviti najvie (d(K)1)/2 pogreaka ujednoj kodnoj rijei, gdje je x oznaka za najvei cijeli brojmanji od x. Drugim rijeima, ukoliko se s toznai najvei

broj pogreaka koje kd Kmoe ispraviti u jednoj kodnojrijei, onda mora biti zadovoljen izraz d(K)2t+1.(Napomena: Objanjenje slijedi u nastavku!)


14/50


10011101 1111

0001 11000101

0101 0111 00110100 0000

0110

0 1 2d d d

= = =

Kugla kodne rijeiKugla kodne rijei

Kugla kodne rijei x radijusa rsu sve rijei (vektori) duljine nsaskalarima 0 i 1 ija je Hammingova distanca od x manja ilijednaka r.

{ }2( , ) = | ( , )nS r F d r x y x y

Primjer: (x = [0101], Kugla S(x, 2))


15/50


Primjer: kugla kodne rijeiPrimjer: kugla kodne rijei

Primjer: Dan je kd s etiri kodne rijei x1, x2, x3 i x4 i d(K)2t+1.


16/50


n d= 3 d= 5 d= 7

5 4 2 -

6 8 2 -

7 16 2 2

8 20 4 2

9 40 6 2

10 72-79 12 2

11 144-158 24 4

12 256 32 4

13 512 64 8

14 1024 128 16

15 2048 256 32

16 2560-3276 256-340 36-37

Osnovni zadatak teorije kodiranjaOsnovni zadatak teorije kodiranja

Za definiranu duljinu kodne rijei nkoda Ki definiranu distancu d, odrediti najveimogui broj kodnih rijei M= A(n, d).


17/50


Neperfektan kd i ogranienje sfernog

pakiranja

Perfektan kd sve sfere pokrivaju

sve vektore!

2

...0 1 2

n

Mn n n n

t

=

+ + +

PERFEKTAN KD

2

...0 1 2

n

Mn n n n

t

+ + +

HAMMINGOVA MEA

(SPHERE-PACKING BOUND)

Hammingova mea zaHammingova mea za AA((nn,, dd) i) iperfektan kperfektan kdd


18/50


1 2

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 0 0 0 1 1= =1 0 1 1 0 1 1 0 0 0

1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

K K

Ekvivalentni kodovi:Dva binarna blok-koda su ekvivalentna ukoliko se jedan izdrugog mogu dobiti:(1) postupkom invertiranja simbola nad jednom ili vie pozicija koda,(2) zamjenom dviju ili vie pozicija koda prije ili nakon (1).

Ekvivalencija blok kodovaEkvivalencija blok kodova

Primjer: Kod K2 nastao iz koda K1.

(1) zamjena simbola (0 1 i

1 0) na treoj poziciji ukodu K1;(2) zamjena pozicija 2 i 4 svih

kodnih rijei.

Hammingova udaljenost


19/50


1 2

1 2

( ),

1 ( ).

k

k

R x x x parni paritet

R x x x neparni paritet

= + + +

= + + + +

Paritetno kodiranje (1/2)Paritetno kodiranje (1/2)

Koristi se iskljuivo za otkrivanje pogreaka u kodnoj rijei. Na poruku se dodaje jedan zalihosni simbol (bit) koji se naziva paritetni bit (engl. parity

check).

U praksi se koristi parni paritet (engl. even parity) ili neparni paritet (engl. odd parity).

Primjer: Proraun vjerojatnosti neotkrivenih pogreaka (pnp) za paritet.

Napomena: Paritetni bit Rse izraunava zbrajanjem aritmetikom modulo 2.

n -duljina kodne rijei; p- vjerojatnost pojave pogreke na jednom bitu.

neparno)1(1

...)1(4

)1(2

parno...)1(4)1(2

14422

4422

++

+

=

++

+

=

nppn

npp

npp

np

npn

n

pp

n

pp

n

p

nnnnp

nnn

np


20/50


1 2 , 1, ...,i i i m iC x x x i k = + + + =

1 1 2 ,k mC R R R+ = + + +

Paritetno kodiranje (2/2)Paritetno kodiranje (2/2)

Vertikalna i horizontalna provjera zalihosti. Uvoenje zajednikih paritetnih bitova za vie uzastopnih poruka. Formiranje posebne kodne rijei s bitovima C1,..., Ck.


21/50


Linearno binarni bLinearno binarni bloklok kodovikodovi


22/50


x1 x2 x1+ x2 x1 x20011

0101

0110

0001

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3

, , , ..., , , , ..., , , , ..., ,

, , , ..., , , , ..., ,

n n n n

n n

x x x x y y y y x y x y x y x y

a a x x x x a x a x a x a x

+ = + = + + + +

= =

x y

x

Vektorski prostor: definicijaVektorski prostor: definicija

Linearno binarni blok kodovi definiraju se preko skupa vektora (vektorski prostor) nadkojim su definirane odreene operacije.

Kodnu rije opisujemo binarnim vektorom x = [ x1 x2 xn ]; xisu iz abecede F2 = {0, 1}.

Na skupom F2 = {0, 1} definiraju se operacije zbrajanja i mnoenja u aritmetici modulo 2.

Neutralni element s obzirom na zbrajanje je 0, a s obzirom na mnoenje je 1. U aritmetici modulo 2 zadovoljene su jednakosti: -1 = 1 i 11-1 = 1. Neka je V(n) skup svih binarnih vektora duljine nnad kojim su definirane operacije

zbrajanja vektora i mnoenja vektora skalarom na sljedei nain:

a, xi, yisu skalari iz F2; x, y su vektori iz V(n)

S ovako definiranim operacijama skup V(n) je VEKTORSKI PROSTOR!


23/50


Linerani binarni blok kd:Neka je blok-kd K potprostor vektorskog prostora V(n): KV(n). Neka sux iy kodne rijei koda K i neka je a {0,1}. Ako je za svex , y i aispunjeno:x+y K, ax K,onda je K linearan binarni blok-kd.

Definicija: linearni binarni blok kDefinicija: linearni binarni blok kdd

Svi vektori duljine nine vektorski prostor V(n). Ako je Kpotprostor od V(n),onda je KLINEARAN BLOK KD!

Zbrajanjem dvije kodne rijei nastaje neka nova rije koda K.

Mnoenjem neke kodne rije

i s konstantom nastaje neka nova rije

koda K. Kodna rije0 pripada kodu K. Linerani blok kodovi: proraun udaljenosti koda preko teine kodnih rijei.


24/50


d(K)=2

Teina kodne rijei: Teina kodne rijeix koda K je broj pozicijakodne rijei na kojima se nalazi simbol1. Oznaka teine kodne

rijeixje w(x).

000

011101

110

K: 22

Definicija: teina kodne rijeiDefinicija: teina kodne rijei

Primjer: w(101011) = 4, w(001000) = 1.

Kod linearnih blok kodova vrijedi:d(x, y) = w(x y)

Budui da je svaka razlika dvije kodnerijei neka kodna rije linearnog blok-koda, distancu koda odreujemo kao:

d(K) = mini w(x) uz x 0


25/50


x = a [0 1 1] + b [1 0 1], a, b {0, 1}

[0 0 0] = 0 [ 0 1 1] + 0 [ 1 0 1 ] [1 0 1] = 0 [ 0 1 1] + 1 [ 1 0 1 ]

[0 1 1] = 1 [ 0 1 1] + 0 [ 1 0 1 ] [1 1 0] = 1 [ 0 1 1] + 1 [ 1 0 1 ]

000

011

101110

K: 22011

101BAZA

dimenzija potprostora:

k= 2 (broj vektora u bazi)

M= 2k (broj kodnih rijei)

Vektorski prostor: baza prostoraVektorski prostor: baza prostora

Baza vektorskog prostora/potprostora: Skup svih linearno nezavisnih vektora. Svi vektori nekog prostora/potprostora mogu se dobiti kao linearna kombinacija vektora

baze.

Primjer:


26/50


1 1 2 2=

k ka a a + + + x b b b

Generirajua matrica koda: Matrica dimenzija kniji se reci sastoje odvektora baze koda(n,M,d) se zove generirajua matrica. Oznaka G.

K=

0 0 0 0 0

1 1 1 0 00 0 1 1 1

1 1 0 1 1

0 0 1 1 1

1 1 0 1 1

M= 4k= 2

G =

Definicija: generirajua matricaDefinicija: generirajua matrica GG

Ako znamo bazu linearnog blok-koda (tj. vektorskog potprostora), ondasvaku kodnu rije moemo izraziti kao linearnu kombinaciju vektora baze:

Iz razlga jednostavnosti generiranja kodnih rijei vektore baze stavljamo umatricu.


27/50


0 0 0 0 0

1 1 1 0 0

= 0 0 1 1 1

1 1 0 1 1

K

0 0 1 1 1

= 1 1 0 1 1

G

0 [ 0 0 1 1 1 ] + 0 [ 1 1 0 1 1 ]

0 [ 0 0 1 1 1 ] + 1 [ 1 1 0 1 1 ]

1 [ 0 0 1 1 1 ] + 0 [ 1 1 0 1 1 ]

1 [ 0 0 1 1 1 ] + 1 [ 1 1 0 1 1 ]

= [ 0 0 0 0 0 ]

= [ 1 1 1 0 0 ]

= [ 0 0 1 1 1 ]

= [ 1 1 1 0 0 ]

Primjer: generiranje kodnih rijeiPrimjer: generiranje kodnih rijei

Binarni kd K=(5, 4, 3)

D fi i ij k li g bl kD fi i ij k li g bl k


28/50


d(K) = min w(x) = 3

Oznaka linearnog blok koda: Ako je kd K vektorski k-dimenzionalnipotprostor vektorskog prostoraV(n), onda kd K ima oznaku[n, k]. Ukoliko jepoznata udaljenost koda d, onda je oznaka koda[n, k, d].

0 0 0 0 0

1 1 1 0 0=0 0 1 1 1

1 1 0 1 1

K

n = 5

M= 4 k= log2(4)=2 [5, 2] = (5,4).

[5, 2, 3] = (5, 4, 3).

Definicija: oznaka linearnog blokDefinicija: oznaka linearnog blokkodakoda

Generirajue matrice ekvivalentnihGenerirajue matrice ekvivalentnih


29/50


0 0 0 0

0 1 0 1

= 1 0 1 1

1 1 1 0

K

0 0 1 0

0 1 1 1

= 1 0 0 1

1 1 0 0

eK

EKVIVALENTAN

KD

Generirajue matrice ekvivalentnih linearnih blok kodova: Dva ekvivalentnalinearna binarna blok-koda [n, k], K1 i K2, imaju generirajue matrice G1 i G2koje se jedna iz druge mogu dobiti sljedeim operacijama:

(1) Zamjena redaka;(2) Dodavanje jednog retka drugom retku;(3) Zamjena stupaca.

Generirajue matrice ekvivalentnihGenerirajue matrice ekvivalentnihlinearnih blok kodovalinearnih blok kodova

Primjer: ekvivalentan kd (zamjena 0 1, 1 0 na treoj poziciji)

Ekvivalentan kd linearnog blok koda nije nuno i linearan! Mora postojati

kodna rije0. Sljedee pravilo definira nain dobivanja ekvivalentnih linearnih blok kodova:

Definicija: standardni oblikDefinicija: standardni oblik


30/50


Standardni oblik generirajue matrice: Generirajua matricaG nekog kodaK ima standardni oblik ako ima strukturu

G = [ Ik | A ],

gdje je Ikjedinina matrica reda k, a A matrica dimenzija k(nk).

01

01

10

11

11

G = 10

01

01

11

11

G =

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1G =

Definicija: standardni oblikDefinicija: standardni oblikgenerirajue matricegenerirajue matrice GG

Primjer: Binarni kd K=(5, 4, 3) Generirajue matrice

Kodiranje linearnim blok kodovimaKodiranje linearnim blok kodovima


31/50


1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 1 1 0 0

0 1 0 1 0 1 0

1 1 0 1 0 0 1

[ 0 1 0 1 ]

1 1 0 1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0

0 1 0 0 1 0 1

+

[ 1 0 1 1 ]

G =

1 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 1 0

1 1 0 1 0 0 1

0 1 1 0 0 1 1

+

Kodiranje linearnim blok kodovimaKodiranje linearnim blok kodovima(1/2)(1/2)

Ideja kodiranja kodirana poruka odreuje vektore baze (retke matrice G)koji ulaze u linearnu kombinaciju s koeficijentom 1 kako bi dali kodnu rije.

Na primjer: Ako je poruka [ 0 1 0 1 ], to znai da e se toj poruci pridruiti

kd dobiven zbrajanjem 2. i 4. vektora baze.

Kodiranje linearnim blok kodovimaKodiranje linearnim blok kodovima


32/50


1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 1 1 0 0

0 1 0 1 0 1 0

1 1 0 1 0 0 1

[ 1 0 1 1 ]

=

1

2

k

r

rG

r

=1= = .

k

i

i

m ix r m G

= [ 0 1 1 0 0 1 1 ]

Kodiranje linearnim blok kodovimaKodiranje linearnim blok kodovima(2/2)(2/2)

Nain formiranja kodne rijei x odgovara mnoenju vektor-retka kodiraneporuke m duljine ki generirajue matrice G u aritmetici modulo 2.

PROBLEM gdje su bitovi kodirane poruke a gdje zatitni bitovi?

Nesistematian kd.

Kodiranje s matricomKodiranje s matricom GG uu


33/50


G =1 0

0 1

0 1 1

1 1 1

1 0

0 1

0 1 1

1 1 1

[ ]| = { , }. k

m I A m m A

I2

A

[ 0 1 ] = [ 0 1 ] [ 0 1 ] = [ 1 1 1 ]

poruka zatitni bitovi

1 0 0 1 1[ 0 1 ] = [ 0 1 1 1 1 ].

0 1 1 1 1

poruka zatitni bitovi

Kodiranje s matricomKodiranje s matricom GG uustandardnom oblikustandardnom obliku

Kada je generirajua matrica u standardnom obliku, generiranje kodne rijeise pojednostavljuje, a kd postaje sistematian.


34/50


Dekodiranje linearnog blok kodaDekodiranje linearnog blok koda

Primjer: Kd (5, 4, 3) = [5, 2, 3] otkriva dvostruku i ispravlja jednostrukupogreku koritenjem principa dekodiranja najbliim susjedom.

0 0 0 0 0

1 1 1 0 0=

0 0 1 1 1

1 1 0 1 1

K

Dekodiranje po principu pronalaenja kodne rijei koja od primljene kodnerijei ima najmanju Hammingovu distancu. Sloenost postupka raste s brojem kodnih rijei M; Za velike kodove ovaj postupak zahtijeva veliko optereenje procesora prijemnika. Razvijene su druge metode brzog dekodiranja linearnih blok kodova (Na primjer: Sindromsko

dekodiranje). Sindromsko dekodiranje.

Za razumijevanje ovog naina dekodiranja potrebno je poznavanje sljedeihpojmova: vektor pogreke, standardni niz, razred, matrica provjere pariteta isindrom.


35/50


Predajnik alje x = [ 1 1 0 1 1 ]

Vektor pogreke: Vektor pogrekee za poslanu kodnu rijex =[x1, x2, , xn] i primljenu kodnu rijeiy =[ y1, y2, , yn ] se

definira kao razlika vektora:1 2= = [ ].ne e ee y x

Prijemnik prima y = [ 1 0 1 1 1 ]

Vektor pogreke e = [ 0 1 1 0 0 ]

Definicija: vektor pogrekeDefinicija: vektor pogreke


36/50


Standardni nizStandardni nizK=

0 0 0 0 01 1 1 0 0

0 0 1 1 1

1 1 0 1 1

0 0 0 0 10 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 1 0 0 0

1 0 0 0 0

1 1 1 0 11 1 1 1 0

1 1 0 0 0

1 0 1 0 0

0 1 1 0 0

0 0 1 1 00 0 1 0 1

0 0 0 1 1

0 1 1 1 1

1 0 1 1 1

1 1 0 1 01 1 0 0 1

1 1 1 1 1

1 0 0 1 1

0 1 0 1 1

Definicija: standardni niz i razredDefinicija: standardni niz i razred

Standardni niz je tablica koja se formira na sljedei nain: U prvom retku su kodne rijei koda K; Prva kodna rije je 0; Prvi stupac je stupac vektora pogreki;

U ostalim redcima nalaze se razredi koda Knastali dodavanjem vektora pogreke e kodnim rijeima koda K.

lanovi nekog retka predstavljaju jedan razred (engl. coset) skupa kodnih rijei koda K. Svaki razred koda Kje blok kd nastao dodavanjem nekog vektora pogreke svim kodnim rijeima koda K.

Primjer: dekodiranje koritenjemPrimjer: dekodiranje koritenjem


37/50

Teorija informacije 37 od 50y = [ 1 1 1 1 0 ]

0 0 0 0 10 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 1 0 0 01 0 0 0 0

1 1 1 0 11 1 1 1 0

1 1 0 0 0

1 0 1 0 00 1 1 0 0

0 0 1 1 00 0 1 0 1

0 0 0 1 1

0 1 1 1 11 0 1 1 1

1 1 0 1 01 1 0 0 1

1 1 1 1 1

1 0 0 1 10 1 0 1 1

0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1

PRIMLJENO:

e = [ 0 0 0 1 0 ]

VEKTOR POGREKE:

x = [ 1 1 1 0 0 ]

DEKODIRANO:

Ako je primljeno[ 1 0 1 0 1 ] ?

Primjer: dekodiranje koritenjemPrimjer: dekodiranje koritenjemstandardnog niza (1/2)standardnog niza (1/2)

Neka je primljena kodna rijey = [ 1 1 1 1 0 ]

Pronai primljenu kodnu rijey u standardnom nizu; Ako y postoji tada je prvi element retka vektor pogreke, a prvi element

stupca je poslana kodna rije; Ako y ne postoji tada je pogreka otkrivena, ali se ne moe ispraviti!

Primjer: dekodiranje koritenjemPrimjer: dekodiranje koritenjem


38/50


Primjer: dekodiranje koritenjemPrimjer: dekodiranje koritenjemstandardnog niza (2/2)standardnog niza (2/2)

Dekodiranje pomoi standardnog niza je procesorski zahtijevan postupak utablicama velikih dimenzija to rezultira skupom i sloenom izvedbomdekodera kanala.

Ubrzavanje postupka dekodiranja preko matrice provjere pariteta H. Potrebno je definirati sljedee pojmove: ortogonalnost, dualni kd i linearnost

dualnog koda!

ORTOGONALNOST Pretpostavimo da postoji linearni blok kd s oznakom K ije su sve kodne rijei

ortogonalne na sve kodne rijei koda K. to je ortogonalnost? Skalarni umnoak svih vektora kodnih rijei iz Ki K

jednak je nula. Na primjer: [ 1 1 0 0 0 ] [ 0 0 1 1 1 ] = 0.

Definicija: dualni kDefinicija: dualni kd i njegovad i njegova


39/50


Dualni kd: Neka sux vektori koda K(x K). Skup svih vektoray vektorskogprostora V(n) koji su ortogonalni na svex Kini dualni kd koda K i imaoznaku K:

gdje jexy skalarni produkt vektora u aritmetici modulo 2.

{= ( ) | , = 0 ,K V n K y x y x

00000

11100 10111,

10111 01011

01011

K

= =

G

00000 01110

10100 01101

11010 00011

11001 10111

K

=

Linearnost dualnog koda: Neka je K linearni blok-kd[n, k]. Dualni kd

koda K jelinearanblok-kd[n, n - k].

Definicija: dualni kDefinicija: dualni kd i njegovad i njegovalinearnostlinearnost

Generirajue matrice kodovaGenerirajue matrice kodova Ki


40/50


= [ 0 0 0 ]x H

aj a aaj a aK

Dualni kd je linearan posjeduje bazu i generirajuu matricu koju emooznaavati s H.

Skalarni produkti izmeu svih parova redaka matrica G (kd K) i H (kd K)

jednaki su 0 te vrijedi jednadba:

Vano: Za provjeru ispravnosti primljene kodne rijei x dovoljno je skalarno

pomnoiti primljenu kodnu rije sa svim vektorima generirajue matricedualnog koda kojih ima nk.

=G H 0

Matrica pro jere pariteta kodaMatrica pro jere pariteta koda KK


41/50


1 0 1 1 0=

0 1 1 0 1

G

1 1 1 0 0

= 1 0 0 1 0

0 1 0 0 1

H

[ ]1 2 3 4 5 1 2 3 1 4 2 5

1 1 0

1 0 1

[ ] ( ) ( ) ( ) [ 0 0 0 ]1 0 0

0 1 0

0 0 1

y y y y y y y y y y y y

= + + + + =

Matrica H praktiki odreuje pozicije u kodnoj rijei iji zbroj u aritmetici modulo2 mora biti 0, odnosno pozicije na kojima mora biti zadovoljen PARNI PARITET.Matricu H zbog toga nazivamo MATRICA PROVJERE PARITETA!

Matrica provjere pariteta kodaMatrica provjere pariteta koda KK

Primjer: Sljedei par matrica G i H zadovoljava jednadbu GHT=0.

Ukoliko je primljena kodna rijey primljena ispravno, onda njenim mnoenjem s HT

moramo dobiti nul-vektor.

Matrica provjere paritetaMatrica provjere pariteta HH i njeni njen


42/50


Proraun matrice provjere pariteta: Neka jeG generirajua matrica linearnogbinarnog koda K u standardnom obliku:

Generirajua matrica dualnog koda K zadovoljava jednadbuGH =0 ijednaka je

[ ]= | .kG I A

= | .n k

H A I

Matrica provjere pariteta: Neka jeH generirajua matrica dualnog koda K. MatricaHse naziva matrica provjere pariteta(engl. parity-check matrix) ili paritetna matrica kodaK. U svakom retku matriceHjedinice odreuju pozicije unutar ispravne kodne rijei nakojima zbroj vrijednosti simbola mora biti paran broj. UkolikoH ima strukturu:

gdje jeB kvadratna matrica, onda je paritetna matricaH u standardnom obliku.

[ ]= | ,n kH B I

p j pp j p jjstandardni oblikstandardni oblik

Primjer: proraun matrice provjerePrimjer: proraun matrice provjere


43/50


0 0 0 0 0

1 0 1 1 0 1 0 1 1 0= =

0 1 1 0 1 0 1 1 0 1

1 1 0 1 1

K

G

2

1 0 1 1 0= , =

0 1 1 0 1

I A

3= |

H A I

1 1 1 0 0

= 1 0 0 1 0 .0 1 0 0 1

H

j p p jj p p jparitetapariteta HH

Primjer: Dekodiranje pomouPrimjer: Dekodiranje pomou


44/50


1 1 0

1 0 1

[ 1 1 0 1 1 ] 1 0 00 1 0

0 0 1

Primljena kodna rije y=[ 1 1 0 1 1 ]

= [ 0 0 0 ].

Primljena kodna rije y=[ 1 0 0 1 1 ]1 1 0

1 0 1

[ 1 0 0 1 1 ] 1 0 00 1 0

0 0 1

= [ 1 0 1 ].

?

Dekodiraj pomou standardnog niza!Rje: e = [0 1 0 0 0] i x = [1 1 0 1 1]

j j pj j pmatrice provjere paritetamatrice provjere pariteta HH

Definicija: sindromDefinicija: sindrom


45/50


0 0 1

Sindrom: Sindrom primljene kodne rijeiy koda K s paritetnom matricomHjevektor dobiven umnokom:

S(y) =yH.

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 1 0 0 0

1 0 0 0 0

1 1 1 0 1

1 1 1 1 0

1 1 0 0 0

1 0 1 0 0

0 1 1 0 0

0 0 1 1 0

0 0 1 0 1

0 0 0 1 1

0 1 1 1 1

1 0 1 1 1

1 1 0 1 0

1 1 0 0 1

1 1 1 1 1

1 0 0 1 1

0 1 0 1 1

0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1

S(y)e

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 0 1

1 1 0

JEDAN VEKTOR POGEKE JEDAN SINDROM

Definicija: sindromDefinicija: sindrom

Sindromsko dekodiranjeSindromsko dekodiranje


46/50


e 00000 00001 00010 00100 01000 10000

S(y) 000 001 010 100 101 110

POSTUPAK DEKODIRANJA: izraunaj sindrom S(y) primljene kodne rijei y; iz tablice preslikavanja odredi vektor pogreke e; poslana kodna rije je x = y e.

PRIMLJENO:

y=[ 1 1 0 0 0 ]

SINDROM:

y HT =[ 1 0 0 ]

VEKTOR e:

e =[ 0 0 1 0 0 ]

DEKODIRANO:

x= y-e =[ 1 1 1 0 0 ]

Sindromsko dekodiranjeSindromsko dekodiranje

Sindrom jedinstveno odreuje vektor pogreke. Stoga moemo formirati tablicupreslikavanja izmeu sindroma S(y) i vektora pogreke e!

Ukoliko se pojavi sindrom [011] ili [111], dolo je do viestruke pogreke koju nijemogue ispraviti!

Vjerojatnost ispravnog dekodiranja (1/3)Vjerojatnost ispravnog dekodiranja (1/3)


47/50



Promatramo prijenos poruke preko BSC-a.Dogaaji pogrenog prijenosa simbola iste kodne rijei

su neovisni omoguen jednostavan proraunvjerojatnosti pojave pogreke na kpozicija unutarkodne rijei duljine nsimbola.

Primjer: Neka je tono kunaprijed odreenih

pozicija simbola neke kodne rijei, duljine n,pogreno preneseno. Vjerojatnost ovog dogaajaje:

Dobiveni izraz predstavlja vjerojatnost pojave bilokojeg vektora pogreke s kpogrenih simbola.

kng

kg pp

)1(



48/50



Primjer: Za kd [n, k, d] = [5, 2, 3] vrijedi:p(00001)=p(00010)=p(00100)=p(01000)=p(10000)=

Vjerojatnost p(K) da e rije dobivena dekodiranjempomou standardnog niza biti jednaka poslanoj

rauna se iz:

4

).1( gg pp =

ing

ig

n

i

i ppNKp

=

= )1()(0

Nije broj vektora pogreke s ijedinica koji pripadajustandardnom nizu blok koda Kduljine n.Primjer (kd [5, 2, 3]): {00000} N0 = 1; {00001, 00010, 00100,

01000, 10000} N1 = 5; N2 = N3 = N4 = N5 = 0.



49/50



Ukoliko je poznata udaljenost koda d(K) tada kd Kmoe ispravitinajvie t-struku pogreku d(K) 2t+ 1. U standardnom nizu se zasigurno nalaze svi vektori pogreke s 0 it

jedinica.

=

inNi

Openito gledano, u standardnom nizu se mogu nalaziti i vektori pogreke svie od tjedinica. Ne postoji jednostavan nain prorauna N

i

.

Ako je kd Kperfektan tada su sve rijei unutar kugli radijusa t. U standardnom nizu tada se nalaze iskljuivo vektori pogreke s ti manje

jedinica.

Vjerojatnost ispravnog dekodiranja u tom sluaju je:

ing

ig

t

i

ppi

nKp

=

= )1()(

0

Definicija: Kodna brzina zatitnog kodaDefinicija: Kodna brzina zatitnog koda


50/50


Definicija: Kodna brzina zatitnog kodaDefinicija: Kodna brzina zatitnog koda

Oznaka: R(K) = udio informacijskih bitova u kodnoj rijei. K= [n,k] - linearni binarni blok kd; n duljina kodne rijei; k broj informacijskih bitova u kodnoj rijei.

1)( =nkKR

Documents

TI P04 Zast Kodiranje I Dio