1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA SƯ PHẠM

Tiểu luận:

TOÁN HỌC QUANH TA

GVHD: PGS.TS NGUYỄN PHÚ LỘC

Người thực hiện: BÙI SANG THỌ

Cần Thơ, tháng 10 năm 2013

2

LỜI NÓI ĐẦU

Trong cuộc sống của chúng ta đâu đâu cũng có bóng dáng của toán học. Từ những tính toán đơn giản hàng ngày như tính điểm trung bình, tính tiền chợ,...cho đến những vấn đề phức tạp hơn như thị trường chứng khoán, thiên văn,...Do đó toán học vô cùng quan trọng trong cuộc sống của con người. Vì thế trên thế giới môn Toán luôn được ưu tiên hàng đầu trong chương trình giáo dục của các quốc gia.

Tuy nhiên, nhiều học sinh lại cảm thấy rất khó tiếp cận môn Toán vì cho rằng nó rất khô khan hoặc cũng có bạn cho rằng học toán nhiều cũng chẳng thấy có ích lợi gì…

Một phần nguyên nhân dẫn đến tình trạng này cũng là vì môn toán được giảng dạy một cách cứng nhắc, hàn lâm thiếu tính thực tiễn. Nhằm giúp các bạn học sinh cảm thấy thích thú hơn khi tiếp cận với môn Toán, chúng tôi biên soạn tiểu luận này để các bạn thấy rằng Toán học không khô khan và khó khăn như chúng ta tưởng.

Hi vọng với tiểu luận nhỏ này sẽ giúp các bạn học sinh tìm thấy sự hứng thú trong khi học toán.

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Phú Lộc đã tận tình hướng dẫn chúng tôi thực hiện tiểu luận này. Chúng tôi cũng cảm ơn sâu sắc đến các bạn học viên cao học K20 lớp Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán trường đại học Cần Thơ đã đọc bản thảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu để tiểu luận.

Nước muôn sông cũng không đủ rửa tai để nghe những lời cao luận!

1. CÂU CHUYỆN “THOÁT CHẾT”

3

“Chơi với vua giống như chơi với hổ” điều này đã được minh chứng nhiều lần trong lịch sử. Trong câu chuyện dưới đây chúng ta sẽ chứng kiến một vị quan thông minh đã biết lợi dụng toán học để thoát chết thần kỳ và dạy cho tên quốc vương tàn bạo một bài học.

Tương truyền thời cổ có một vương quốc do tôn sùng mê tín nên đã đặt ra một pháp quy kỳ lạ: phàm ai là tử tù, trước khi bị hành hình đều phải rút một lần “thăm sống – chết”, tức là viết riêng hai chữ “sống” và “chết” lên hai tờ giấy, do quan chấp pháp giám sát, để cho phạm nhân rút thăm trước đám đông. Nếu phạm nhân rút phải thăm “chết”, lập tức bị hành hình, còn nếu trúng thăm “sống” thì sẽ coi là ý trời, cho được miễn hành hình lập tức.

Một lần Quốc vương muốn xử chết viên quan đại thần vì bất mãn với sự thống trị tàn bạo của Quốc vương nên đã nói mấy lời bảo vệ sự công bằng cho dân chúng, do vậy đã làm cho Quốc vương tức giận. Quốc vương quyết tâm không để kẻ hạ thần dám “phạm thượng” có cơ hội được miễn hình phạt hành hình. Cho nên Quốc vương đã bày mưu tính kế ngầm với mấy tên tâm phúc, cuối cùng đã nghĩ ra một kế sách thâm độc: ngầm dặn quan chấp pháp đem hai tờ giấy làm thăm đều viết cùng chữ “chết”. Như vậy, cho dù phạm nhân rút được thăm nào cũng không thoát khỏi bị hành hình.

Trên đời này không có bức tường nào không bị lọt gió, quỷ kế của Quốc vương rồi cũng sẽ bị người khác phát hiện. Rất nhiều văn võ bá quan biết nội tình, tuy rất đồng tình với người đồng liêu thường ngày chính trực, nhưng sợ hãi sự lộng quyền của Quốc vương nên chỉ dám tức giận, không dám nói.

Một ngày trước khi hành hình, một người coi ngục tốt bụng đã nói một cách kín đáo với quan đại thần rằng: “Ông xem có việc hậu sự nào cần bàn giao, tôi sẽ ráng sức lo cho”. Vẻ ấp úng của người coi ngục làm cho quan đại thần sinh nghi, hỏi mãi, cuối cùng mới biết được bên trong bức màn âm mưu. Người coi ngục tưởng rằng quan đại thần đành chịu số phận, cho nên vẻ mặt ủ ê. Nào ngờ quan đại thần đang chìm đắm vào suy tư, chốc lát trên trán ông lại ngời lên ánh sáng của sự hưng phấn, điều này làm cho người cai ngục kinh ngạc vô cùng.

Còn Quốc vương thì nghĩ rằng cái chết của kẻ phản nghịch là tất nhiên, bởi vì cái điều kiện tiền đề là bọn họ nghĩ là việc rút thăm chỉ là rút một trong hai cái chết mà thôi. Song quan đại thần thông minh đã tìm ra cách để lợi dụng điều này mà thoát chết.

Sau khi quan chấp pháp tuyên bố cách rút thăm, chỉ thấy quan đại thần nhanh chóng rút một thăm rồi nhét vội vào miệng. Đợi khi quan chấp pháp kịp phản ứng quay lại thì mảnh giấy thăm đã kịp nuốt vào bụng. Quan chấp pháp cật vấn rằng: “Ngài rút được thăm có chữ “chết” hay thăm có chữ “sống”?”. Quan đại thần cố làm ra vẻ thở dài nói: “Ta nghe theo ý Trời, nếu Trời cho rằng ta có tội thì cái quả đắng mình làm mình chịu này ta đã nuốt rồi, chỉ cần xem thăm còn lại kia là biết rõ thôi”. Lúc này, dân chúng có mặt nhao nhao tán đồng.

Thăm còn lại đương nhiên là viết chữ “chết”, có nghĩa là quan đại thần đã rút được thăm “sống”. Quốc vương và quan chấp pháp khó ăn khó nói, nhưng sợ đụng tới sự phẫn nộ của dân chúng nên đành phải tha ngay cho quan đại thần.

4

Phân tích: Vốn dĩ quan đại thần rút được thăm “sống” hay thăm “chết” là sự việc ngẫu nhiên, khả năng rút được mỗi loại đều chiếm một nửa (xác suất 50%). Nhưng do Quốc vương đã tính “mưu thâm kế độc”, muốn biến sự việc ngẫu nhiên có một nửa khả năng “chết” thành sự việc tất nhiên “nhất định chết”, nên cuối cùng đã tự “ném đá vào chân mình”.

2. CHIẾN CÔNG THẦN KỲ

Địch Thanh – một danh tướng thời Tống với những chiến công lẫy lừng. Tuy

nhiên để có được điều đó đòi hỏi một cái đầu minh mẫn, luôn biết lợi dụng hoàn

cảnh để chiến thắng. Câu chuyện dưới đây ta sẽ chứng kiến Địch Thanh làm

một “trò bịp khoa học” để húy lạo quân sĩ trước khi ra trận.

Thời Bắc Tống, thủ lĩnh tộc Man ở châu Quảng

Nguyên là Nùng Trí Cao không ngừng mở rộng thế

lực, đã lập chính quyền “Nam Thiên quốc”. Tháng 4

– 1052, Nùng Trí Cao dấy binh đánh Tống. Tháng 5

– 1052, Nùng Trí Cao vây hãm Ung Châu (Nam

Ninh – Quảng Tây), tự xưng là “Nhân Huệ hoàng

đế” và từ Ung Châu đánh dọc theo sông xuống phía

nam, đến đâu thắng đó, chấn động khắp nơi.

Năm 1053, đại tướng Địch Thanh phụng chỉ chinh phục Nùng Trí Cao. Lúc

đó miền nam có tục sùng bái quỷ thần, nên đại quân vừa đến nam Quế Lâm,

Địch Thanh liền cho quân lập đàn cúng tế thần. Ông lấy 100 đồng tiền bằng

đồng rồi khấn: “Nếu lần ra trận này đánh bại được kẻ địch thì khi gieo 100

đồng tiền này lên mặt đất, toàn bộ mặt đồng tiền này ngửa lên”

Các quan tả hữu hoảng sợ, cố khuyên chủ tướng bỏ

ý nghĩ ấy đi, vì không thể có trường hợp cả 100

đồng tiền đều ngửa cả. Nhưng Địch Thanh vẫn mặc

kệ, cứ giữ ý của mình. Trước mắt muôn vạn quân

lính, ông đột nhiên vung tay, gieo tất cả 100 đồng

tiền trên mặt đất. Vậy mà như “ma xui quỷ khiến”,

tất cả mặt tiền đều ngửa! Lúc đó toàn quân hoan hô,

tiếng vang dội cả đất trời.

Bản thân Địch Thanh cũng vui mừng khôn xiết. Ông lệnh cho tả hữu mang

đến 100 cái đinh đóng chặt các đồng tiền xuống đất, cầu khấn rằng: “Đợi khi

khải hoàn trở về nhất định sẽ hậu tạ thần linh, thu hồi các đồng tiền”.

5

Do quân lính ai cũng tin rằng thần linh phù hộ nên trong chiến đấu dũng

mãnh xông lên phía trước, Địch Thanh nhanh chóng bình định được Ung Châu.

Khi trở về, theo lời hứa trước, Địch Thanh cho quân thu hồi các đồng tiền,

các thuộc hạ của ông nhìn xem, thì ra các đồng tiền ấy có hai mặt đều đúc ngửa.

Phân tích: Bản thân Địch Thanh là đại tướng quân làm sao không hiểu được

rằng, khi gieo một đồng tiền thì việc xuất hiện mặt ngửa hay sấp là tùy lúc (ngẫu

nhiên). Cụ thể:

1 đồng có 2 khả năng sấp (S) hoặc ngửa (N)

2 đồng có 4 khả năng (SS), (NN), (SN), (NS)

3 đồng có 8 khả năng (NNN), (NNS), (NSN),…

………………………………

Sau đó mỗi lần gieo thêm một đồng tiền thì khả năng phối hợp sẽ tăng lên một

lần nữa. Vì vậy hi vọng gieo 100 đồng tiền để xuất hiện một trường hợp đặc biệt

toàn ngửa là cực kỳ ảo tưởng. Các thuộc hạ của Địch Thanh cũng đều hiểu điều

này, nên đã cố khuyên nhủ chủ tướng không làm thể nghiệm này.

Địch Thanh thông minh, khi để ý thấy lính quan sát hiện tượng theo thời, thường rất tin vào kinh nghiệm bản thân, mà bỏ qua điều kiện tiền đề. Vì thế, ông đã dùng biện pháp “thay xà đổi cột”, khéo léo thay đổi tiền đề. Tiền đề có hai mặt chính – phụ nhưng lại đúc hai mặt đồng tiền như nhau. Lúc đó đối với Địch Thanh thì 100 đồng tiền đều ngửa, là một việc tất nhiên, nhưng với tướng sĩ thì không thể có được. Song việc lại xảy ra như một kỳ tích!

3. VẤN ĐỀ BỐC THĂMAi trong chúng ta cũng có lần thắc mắc giữa bốc thăm trước và bốc thăm sau cái nào có lợi hơn? Hôm nay chúng ta sẽ trả lời câu hỏi đó.

Khi cần giải quyết chọn một phương án trong nhiều phương án

đưa ra, người ta hay dùng biện pháp bốc thăm. Thí dụ trong

trận thi đấu bóng bàn, người ta dùng biện pháp bốc thăm để

chọn vận động viên giao bóng trước. Trong cuộc thi đấu,

người ta hay chọn cách bốc thăm để xếp thứ tự các trận đấu.

Thế thì việc bốc thăm trước hoặc sau liệu có thể đưa đến các cơ hội trúng

cách như nhau không? Ví dụ cần chọn một trong ba bạn đi tham dự một cuộc

sinh hoạt nghệ thuật nào đó, người ta dùng biện pháp bốc thăm xem là cách

chọn công bằng nhất. Trước hết người ta chọn ba mảnh giấy nhỏ, đánh một ký

(6)

(5)

(4)

(3)

(2)

(1)

CBThứ tự bốc thăm của A

Lần thứ baLần thứ haiLần thứ nhất

O2

*

O1

O1

*

O1

*

O2

O2

*

O1

O2

O2

O1

*

6

hiệu riêng vào một mảnh giấy, sau đó xáo trộn & để mỗi người bốc một mảnh

giấy. Có bạn nhỏ cho rằng bốc thăm trước có lợi hơn nên tranh quyến bốc trước.

Phân tích: Chúng ta hãy xem xác suất để mỗi người có thể nhận được mảnh

giấy có ghi ký hiệu. Giả sử cho 3 bạn nhỏ A, B, C bốc thăm theo thứ tự: A thứ

nhất, B thứ nhì, C thứ ba. Một trong ba mảnh giấy có đánh dấu (*) còn hai mảnh

kia đánh dấu “O1” và “O2”.

Ta sẽ biểu diễn các tình huống bốc thăm trên hình vẽ ở trên, vì hình vẽ có

dạng giống như một cái cây cho nên người ta gọi hình vẽ này là “cây tình

huống”.

Theo hình vẽ A, B, C theo thứ tự bốc thăm có thể có 6 tình huống, xác suất xuất hiện các tình huống hoàn toàn như nhau. Trong các tình huống (1) và (2), A

trúng cách với xác suất Trong các tình huống (3) và (4), B bốc được thăm

trúng cách cũng với xác suất Trong các tình huống (5) và (6), thì C trúng

cách cũng với xác suất Vậy bốc thăm trước hay sau cũng như nhau!

4. TRÒ ĐÁNH BẠC GIEO CON SÚC SẮC, NHÀ CÁI LUÔN THẮNG?

Mỗi khi đến Tết chúng ta thường rất háo hức vì những ngày đó ta luôn có quần

áo đẹp, thức ăn ngon và được chơi “Bầu – Cua – Tôm – Cá” (tất nhiên chỉ để

giải trí thôi). Vậy làm thế nào chúng ta sẽ là người chiến thắng? Các bạn hãy

tìm hiểu trò đánh bạc tương tự dưới đây để tìm

cho mình câu trả lời nhé!

Nhiều người cho rằng trò đánh bạc theo kiểu gieo

con súc sắc, việc thắng bại là do thời vận, điều đó

lôi cuốn nhiều bạn trẻ tham gia. Nhìn qua trong

trò đánh bạc này cơ hội được là như nhau, thậm

7

chí còn cơ lợi cho người tham gia đánh bạc (con bạc). Sự thực thì trong trò đánh

bạc kiểu gieo con súc sắc, cơ hội được bạc không như nhau, mà kết cục là nhà

cái có lợi thế & bao giờ cũng thắng. Ta thử xem xét tại sao vậy?

Trò đánh bạc này dựa trên quy tắc sau: Mỗi người tham gia phải bỏ 1đ đặt

cọc, sau đó gieo 3 con súc sắc đồng thời. Bạn có thể nhận một điểm số nào đó,

nếu bạn chọn số đánh là “1” điểm. Nếu 3 con súc sắc có xuất hiện một điểm “1”,

nhà cái phải trả 1đ đặt cọc, đồng thời còn trả thêm 1đ nữa. Nếu xuất hiện hai

điểm “1”, nhà cái phải trả 1đ đặt cọc, đồng thời còn trả thêm 2đ nữa; nếu cả ba

con súc sắc đều xuất hiện số “1” thì ngoài tiền đặt cọc, nhà cái phải trả thêm 3đ.

Mới xem ra thì với điểm một con súc sắc, sự xuất hiện khi gieo thì khả

năng xuất hiện số “1” là khi gieo hai con súc sắc thì khả năng xuất hiện số

“1” là khi gieo ba con súc sắc thì khả năng xuất hiện số “1” là tức khả

năng đặt cọc 1đ để nhận được thêm 1đ hoặc mất 1đ đặt cọc là như nhau, huống

chi lại có khả năng gấp đôi, gấp ba và với người tham gia chơi sẽ là có lợi. Thực

ra đó chỉ là nhìn bề ngoài.

Phân tích: Ta thử xem xét sự xuất hiện các tình huống khi gieo 3 con súc sắc

một lần? Khi gieo một con súc sắc ta có thể nhận được sáu khả năng xuất hiện

các số điểm, với con súc sắc thứ hai cũng có 6 loại khả năng và với con súc sắc

thứ ba cũng vậy và với ba con súc sắc thì có thể có 6.6.6 = 216 loại kết quả.

Trong 216 loại khả năng, xác suất để ba con súc sắc xuất hiện các số điểm

không giống nhau là 6.5.4 = 120, và để ba con súc sắc xuất hiện số điểm hòan

toàn giống nhau là 6 loại kết quả, là đồng thời xuất hiện các số “1”, “2”,…,”6”.

Như vậy còn lại 216 – 120 – 6 = 90 loại khả năng để cho 3 con súc sắc xuất hiện

hai điểm số giống nhau.

Giả sử người chơi nào đó thử vận may với con số “1”. Nếu anh ta đánh đố

216 lần thử xem anh ta sẽ được bạc bao nhiêu lần?

Trước hết ta xét số tình huống để con súc sắc xuất hiện “1” điểm. Việc xuất

hiện con điểm “1” có thể chỉ ở một con súc sắc, ở 2 con súc sắc hoặc cả ba con

súc sắc, tức là có 3 loại khả năng; ngoài ra số tình huống để hai con súc sắc còn

lại không xuất hiện số “1” là 5.5 = 25 loại, tổng cộng có 3.25 = 75 loại khả năng.

Trong 75 loại khả năng xuất hiện này thì có khả năng con bạc nhận được 2đ, và

tổng số tiền anh ta nhận được trong trường hợp này là 75.2 = 150đ. Như vậy khả

8

năng xuất hiện số “1” có thể từ số lần nhận được ở một con súc sắc, tổng số của

số lần xuất hiện ở một con và hai con, tổng số lần ở một con súc sắc, hai con súc

sắc, ba con súc sắc cũng như số lần xuất hiện ở hai con súc sắc cộng số lần xuất

hiện ở cả ba con súc sắc. ngoài ra với mỗi con súc sắc có 5 loại khả năng không

xuất hiện số “1” và ở cả ba con súc sắc thì tất cả có 15 loại khả năng. Nên với

mỗi lần nhận được ba con súc sắc với ba số “1” thì số tiền anh ta nhận được là

45đ. Cuối cùng số tình huống để ba con súc sắc chỉ chỉ xuất hiện một điểm “1”

chỉ có 1 loại khả năng, bấy giờ anh ta chỉ nhận được 4đ.

Như vậy trong 216 lần gieo , con bạc chỉ nhận được 150 + 45 + 4 = 199đ.

Trong khi anh ta phải đặt cọc 216đ nên rốt cuộc con bạc bị lỗ 216 – 199 = 17đ.

Bây giờ ta xét các tình huống của nhà cái.

Giả sử có 6 người tham gia đánh bạc, đánh cược với các số “1”, “2”,…,”6”,

giả sử họ cũng tiến hành 216 lần gieo súc sắc. Nhà cái mỗi lần nhận được 6đ đặt

cọc và số tiền đặt cọc cho 216 lần chơi sẽ là 6.216 = 1296đ. Thử xem nhà cái sẽ

thu được bao nhiêu?

Theo như phân tích đã trình bày ở trên, trong 216 lần gieo, có 120 lần số

điểm ở ba con xúx xắc không giống nhau. Ví như ở các con súc sắc xuất hiện

các số “1”, “2”, “3” thì các con bạc đánh cược cho ba số “4”, “5”, “6” bị thua.

Nhà cái phải trả cho các con bạc thắng là 2.3 = 6đ, và với 120 lần nhà cái phải

trả cho các con bạc ở tình huống này là 6.120 = 720đ. Ngoài ra còn có 90 lần các

con súc sắc xuất hiện số điểm giống nhau ở hai con súc sắc ví như xuất hiện các

điểm “1”, “1”, “2” , thế thì con bạc đánh cược số “4”, “5”, “6” bị thua cuộc,

người đánh cược số “2” được 2đ, người đánh cược số “1” được 3 đồng , nhà cái

chung tổng cộng 5đ, 90 lần nhà cái chi ra 5.90 = 450đ. Cuối cùng sáu lần cả ba

con súc sắc có số điểm giống nhau ví như đều nhận được số “1”, bấy giờ người

đánh cược số “1” thắng và nhận được 4đ, 6 lần được 24đ.

Cuối cùng nhà cái phải chi ra 720 + 450 + 24 = 1194đ. Kết quả là nhà cái

lãi được 1296 – 1194 = 120đ (tứ 7.9%).

Bây giờ chắc các bạn đã thấy các con bạc không hề thu được lợi lộc gì vì vậy đừng có bao giờ tham gia đánh bạc.

5. LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI VÀ CUỘC ĐẤU TAY BA

9

Chúng ta đều biết vì sao nhà toán học tài ba Galois chết khi mới 21 tuổi vì một

cuộc đấu súng tay đôi. Bây giờ ta tìm hiểu một “trò chơi” bạo lực tương tự

nhưng mà số người tham gia lại là ba.

Một buổi sáng , ông Black, ông

Grey và ông White quyết định giải

quyết một mâu thuẫn xung đột bằng

một cuộc đấu súng tay ba cho tới

khi chỉ còn một người sống sót.

Ông Black là người bắn kém nhất,

trung bình chỉ bắn trúng mục tiêu

một trong ba phát bắn (3 trúng 1).

Ông Grey bắn tốt hơn, trúng hai trong ba phát. Ông White bắn tốt nhất, luôn

luôn bắn trúng. Để cho cuộc đấu được công bằng hơn, ông Black được phép bắn

trước, sau đó đến ông Grey (nếu ông ta còn sống), tiếp theo là ông White (nếu

ông này còn sống), và quay vòng lại đến chừng nào chỉ còn sống sót một trong

ba người.

Chúng ta hãy xét những khả năng lựa chọn của ông Black.

Trước tiên, ông Black có thể nhằm vào mục tiêu là ông Grey. Nếu ông ta

thành công thì lượt bắn tiếp theo là của ông White (ông Grey đã chết). Ông

White chỉ còn một đối thủ là ông Black và vì ông White là một xạ thủ trăm phát

trăm trúng nên ông Black chết chắc.

Lựa chọn tốt hơn cho ông Black là nhắm thẳng vào ông White. Nếu như

ông thành công thì lượt bắn tiếp theo sẽ thuộc về ông Grey. Nhưng ông Grey

bắn ba phát chỉ trúng hai nên ông Black có cơ hội sống sót để bắn trở lại ông

Grey và có thể là người chiến thắng.

Dường như lựa chọn thứ hai là chiến lược mà ông Black nên chọn. Tuy

nhiên, có một phương án thậm chí còn tốt hơn. Ông Black có thể bắn chỉ thiên.

Ông Grey bắn lượt tiếp theo và ông sẽ nhằm vào ông White, bởi vì đó là đối thủ

nguy hiểm hơn. Nếu ông White sống sót thì ông ta sẽ lại nhắm bắn ông Grey vì

ông Grey cũng là đối thủ nguy hiểm hơn là ông Black. Như vậy, bằng cách bắn

chỉ thiên, ông Black để cho ông Grey trừ khử ông White hoặc ngược lại.

Phân tích: Đó là chiến lược tốt nhất của ông Black. Cuối cùng thì ông Grey hoặc ông White sẽ chết và sau đó thì ông Black sẽ nhắm bắn người còn sống

10

sót. Như vậy, ông Black đã xoay chuyển được tình thế, thay vì là người bắn phát đầu tiên trong cuộc đấu tay ba, ông trở thành người bắn đầu tiên trong cuộc đấu tay đôi.

6. NGHỊCH LÝ MONTY HALLChúng ta đều rất thích thú khi xem các gamesshow của VTV3 như “Hãy chọn giá đúng”, “Chiếc nón kỳ diệu”,…Rất nhiều người chơi đã nghĩ rằng ở đây vấn đề may rủi quyết định đến việc có thưởng hay không. Tuy nhiên, thực tế có như vậy không?

Tại châu Âu, từng thịnh hành trò chơi truyền hình mang tên “Dốc sức”, trong đó ở phần kết thúc, người chơi được chỉ một trong ba ô cửa kín mà phía sau một trong ba cửa đó có để phần thưởng chính.

Sau khi người chơi chọn một trong ba ô cửa, người dẫn chương trình (MC) mở một trong hai ô cửa còn lại mà thông thường ô cửa đó không có phần thưởng (Điều này người dẫn chương trình đã biết trước).

Tiếp theo, người dẫn MC thông báo chương trình cho phép người chơi có thể thay đổi việc chọn ô cửa. Theo dõi thì thấy Phần lớn người chơi không thay đổi ô cửa đã chọn lúc ban đầu, bởi vì họ nghĩ rằng xác suất để có phần thưởng sau ô cửa là đúng 50% (lý do là hai ô cửa vẫn chưa được mở). Do vậy, việc đổi cửa hay không đổi cửa là không có ý nghĩa gì.

Tuy nhiên, theo phương pháp của toán xác suất thì:Việc người chơi thay đổi ô cửa lại có lợi hơn. Khả năng để phần thưởng chính nằm sau ô cửa đã chọn lần đầu chỉ là khoảng 33,3% (không phải là 50%). Ngược lại xác suất nhận được phần thưởng sau khi đổi ô cửa là 66,6%.

Điều này có vẻ như vô lí nhưng thật ra nó có cơ sở toán học. Đó là nghịch lý toán học có tên gọi là nghịch lý “Monty Hall”. Do không biết về nghịch lý “Monty Hall” nên trong nhiều trường hợp người chơi để tuột mất phần thưởng của mình. Và rồi cũng vui vẻ tự an ủi là “mình chưa nhiều may mắn”

Hình minh họa dưới đây sẽ cho ta hiểu hơn tại sao lần thứ hai lựa chọn nếu người chơi đổi cửa thì xác suất trúng thưởng tăng lên từ 1/3 (nếu không đổi) thành 2/3 (nếu đổi lựa chọn).

11

7. LIỆU ACSIMET CÓ THỂ NHẤC BỔNG TRÁI ĐẤT?

“Hãy cho tôi một điểm tựa, tôi sẽ nhấc bổng trái đất lên!” -tục truyền đó là lời của Acsimet, một nhà cơ học thiên tài thời cổ, người đã khám phá ra các định luật về đòn bẩy. Nhưng bạn có biết muốn nâng một vật nặng bằng trái đất lên cao dù chỉ 1 cm thôi, Acsimet sẽ mất bao nhiêu thời gian không? Không dưới ba mươi nghìn tỷ năm!

Có lần Acsimet viết thư cho vua Hieron ở thành phố Xiracudo, là người đồng hương và cũng là bạn thân của ông rằng, nếu dùng đòn bẩy, thì với một lực dù nhỏ bé đi nữa, cũng có thể nâng được một vật nặng bất kỳ nào: chỉ cần đặt vào lực đó một cánh tay đòn rất dài của đòn bẩy, còn vật nặng thì cho tác dụng vào tay đòn ngắn. Và để nhấn mạnh thêm điều đó, ông viết thêm rằng nếu có một trái đất thứ hai, thì bước sang đấy ông sẽ có thể nhấc bổng trái đất của chúng ta lên.

Nhưng, giá như nhà cơ học thiên tài thời cổ biết được khối lượng của trái đất lớn như thế nào thì hẳn ông đã không “hiên ngang” thốt lên như thế nữa. Ta hãy thử tưởng tượng trong một lát rằng Acsimet có một trái đất thứ hai, và có một điểm tựa như ông đã muốn; rồi lại tưởng tượng thêm rằng ông đã làm được một đòn bẩy dài đến mức cần thiết. Nhưng kể cả khi đã có mọi thứ, muốn nâng trái đất lên cao dù chỉ 1 cm thôi, Acsimet sẽ phải bỏ ra không dưới ba vạn tỷ năm! Sự thật là như thế đấy. Khối lượng của trái đất, các nhà thiên văn đã biết, tính tròn là:

60 000 000 000 000 000 000 000 000 N

Nếu một người chỉ có thể trực tiếp nâng bổng được một vật 600 N, thì muốn “nâng trái đất” lên, anh ta cần đặt tay của mình lên tay đòn dài của đòn bẩy, mà tay đòn này phải dài hơn tay đòn ngắn gấp:

100 000 000 000 000 000 000 000 lần!

Làm một phép tính đơn giản bạn sẽ thấy rằng khi đầu mút của cánh tay đòn ngắn được nâng lên 1cm thì đầu mút kia sẽ vạch trong không gian một cung “vĩ đại”, dài: 1 000 000 000 000 000 000 km. Cánh tay Acsimet tỳ lên đòn bẩy phải đi qua một đoạn đường dài vô tận như thế chỉ để nâng trái đất lên 1 cm ! Thế thì ông sẽ cần bao nhiêu thời gian để làm công việc này? Cho rằng Acsimet có đủ sức nâng một vật nặng 600 N lên cao một mét trong một giây (khả năng

12

thực hiện công gần bằng 1 mã lực!) thì muốn đưa trái đất lên 1 cm, ông ta phải mất một thời gian là:

1 000 000 000 000 000 000 000 giây, hoặc ba vạn tỷ năm!

Acsimet dành suốt cả cuộc đời dài đằng đẵng của mình cũng chưa nâng được trái đất lên một khoảng bằng bề dày của một sợi tóc mảnh….

Không có một thứ mưu mẹo nào của nhà phát minh thiên tài lại có thể nghĩ ra cách rút ngắn khoảng thời gian ấy được. “Luật vàng của cơ học" đã nói rằng bất kỳ một cái máy nào, hễ làm lợi về lực thì tất phải thiệt về đường đi. Vì thế, ngay như Acsimet có cách để làm cho cánh tay mình có được vận tốc lớn nhất có thể trong tự nhiên là 300.000 km/s (vận tốc ánh sáng) thì với cách giả sử quãng đường này, ông cũng phải mất 10 vạn năm mới nâng được trái đất lên cao 1 cm!

8. NEWTON CŨNG THUA CHỨNG KHOÁN

Các bạn đã nghe câu nói lạ lẫm này của Newton chưa? "Tôi có thể tính toán được sự chuyển động của các vì sao, nhưng chẳng thể nào đo được sự điên rồ của con người". Ta cùng tìm hiểu xem Newton thốt lên câu nói đầy thất vọng này khi nào nhé.

Sir Issac Newton là nhà toán học, vật lý học lỗi lạc, người

đặt nền móng cho vật lý cổ điển, là một trong những tượng

đài vĩ đại của khoa học thế giới. Sau khi gặt hái những

thành công khoa học rực rỡ, Issac Newton đầu tư tài sản

của mình vào South Sea (Anh), một công ty cổ phần được

độc quyền hoạt động giao thương với khu vực Nam Mỹ (vì

vậy được đặt tên là South Sea) được thành lập năm 1711.

Thời điểm đầu năm 1720, South Sea là cổ phiếu “nóng” hàng đầu ở Anh

và có giá 128 bảng. Cổ phiếu South Sea liên tục được mua vào do hoạt động đầu

cơ trước triển vọng giao thương với Thế giới mới (New World), và giá được đẩy

lên 175 bảng vào tháng 2, sau đó là 330 bảng vào tháng 3 và lên đến 550 vào

cuối tháng 5.

Lúc này, mọi người đều đổ xô đi săn lùng cổ phiếu này. Giá cổ phiếu

South Sea đạt mức khoảng 1.000 bảng vào tháng 8, nhưng sau đó đạt đỉnh và

bong bóng bắt đầu vỡ. Đến tháng 12/1720, giá cổ phiếu này trượt dài về mức

128 bảng.

13

Isaac Newton khôn ngoan bán cổ phiếu South Sea vào tháng 4, lời gần

như gấp đôi và kiếm được 7.000 bảng. Nhưng sau đó vài tháng, ông đã không

thể cưỡng lại khi nhìn thấy bạn bè và đám đông giàu lên một cách khủng khiếp.

Newton dồn tất cả vốn liếng kể cả tiền lời, tiền vay mượn thêm để mua lại cổ

phiếu South Sea tại mức giá đỉnh.

Khi bong bóng cổ phiếu South Sea tan vỡ, Isaac Newton đã thua lỗ tổng

cộng khoảng 20.000 bảng (tương đương với khoảng 3 triệu USD giá trị ngày

nay). Sau khi mất gần hết gia sản, Isaac Newton cấm tất cả mọi người không

được nhắc tới từ “South Sea” trước mặt ông.

Người ta còn ghi lại câu nói nổi tiếng của Isaac Newton về sự việc này:

"Tôi có thể tính toán được sự chuyển động của các vì sao, nhưng chẳng thể nào

đo được sự điên rồ của con người". (I can calculate the movement of stars, but

not the madness of men).

Trong báo cáo GMO Quarterly

Letter tháng 01/2011, Jeremy

Grantham, Chủ tịch của công ty

quản lý tài sản Grantham Mayo

Van Otterloo (GMO), đã trích

dẫn lại hình vẽ minh họa của

Marc Faber về thương vụ đầu tư

vào cổ phiếu South Sea của

Isaac Newton.

Tài liệu tham khảo

1. Lịch sử Toán học (2008) – Nguyễn Phú Lộc – NXB GD.

2. Mười vạn câu hỏi vì sao (2010) – Lô Gia Thích (chủ biên) – NXB GD.

3. Định lý cuối cùng của Fermat (2004) – Simon Singh – NXB Trẻ.4. Kể chuyện về những nhà toán học – NXB Khoa học và kỹ thuật 1974.5. Các phát minh toán học (2008) – DENISE MEUNIER – NXB GD.6. Truyện kể về các nhà thiên văn học (2009) – Nguyễn Thị Vượng - NXB GD.

14

7. Các trang web: + http://diendantoanhoc.net (24/09/2013)+ http://vi.wikipedia.org (25.09.2013)

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU……………………………………………………………………………….2

1. CÂU CHUYỆN THOÁT CHẾT………………………………………………………….3

2. CHIẾN CÔNG THẦN KỲ………………………………………………………………..4

3. VẤN ĐỀ BỐC THĂM……………………………………………………………………..5

4. TRÒ ĐÁNH BẠC GIEO CON SÚC SẮC,……………………………………………….6

5. LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI VÀ CUỘC ĐẤU TAY BA…………………………………...9

6. NGHỊCH LÝ MONTY HALL…………………………………………………………...10

7. LIỆU ACSIMET CÓ THỂ NHẤC BỔNG TRÁI ĐẤT?……………………………….11

8. NEWTON CŨNG THUA CHỨNG KHOÁN...................................................................12

TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………………………..14

MỤC LỤC……………………………………………………………………………………14