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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción . . . . . . . . Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac . . . Análisis Bibliografía . . Tight-binding y emergencia de la ecuación de Dirac en el grafeno Andrea Santamaría García Universidad Autónoma de Madrid Mayo 2013

Tight-binding y emergencia de la ecuación de Dirac en …kfubuki.github.io/docs/Grafeno.pdf · Alótropos del carbono Alotropía: propiedad de algunos elementos químicos de poseer

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

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Tight-binding y emergencia de la ecuación de Diracen el grafeno

Andrea Santamaría GarcíaUniversidad Autónoma de Madrid

Mayo 2013

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Outline

...1 IntroducciónAlótropos del carbonoEstructura electrónica del grafeno

...2 Aproximación tight bindingVectores de redFunciones de onda BlochResoluciónBandas de energía πGrafeno: semiconductor de gap cero

...3 Deducción de la ecuación de Dirac

...4 AnálisisQuiralidadAlgunas consecuencias

...5 Bibliografía

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Alótropos del carbono

Alotropía: propiedad de algunos elementos químicos de poseerestructuras químicas diferentes, en el mismo estado de agregación dela materia.

Alótropos del carbono:

Diamante: cada átomo está unido covalentemente a otros 4átomos de carbono, dispuestos en un tetraedro → forman unared tridimensional de anillos de carbono hexagonales

Grafito: cada átomo usa sólo 3 de sus 4 electrones de valenciaen enlaces covalentes a otros 3 átomos de carbono en un plano.

Grafeno: Una sola capa de grafito

Carbono amorfo: conocido como carbón u hollín

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Alótropos del carbono

Alotropía: propiedad de algunos elementos químicos de poseerestructuras químicas diferentes, en el mismo estado de agregación dela materia.

Alótropos del carbono:

Diamante: cada átomo está unido covalentemente a otros 4átomos de carbono, dispuestos en un tetraedro → forman unared tridimensional de anillos de carbono hexagonales

Grafito: cada átomo usa sólo 3 de sus 4 electrones de valenciaen enlaces covalentes a otros 3 átomos de carbono en un plano.

Grafeno: Una sola capa de grafito

Carbono amorfo: conocido como carbón u hollín

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Alótropos del carbono

Alotropía: propiedad de algunos elementos químicos de poseerestructuras químicas diferentes, en el mismo estado de agregación dela materia.

Alótropos del carbono:

Diamante: cada átomo está unido covalentemente a otros 4átomos de carbono, dispuestos en un tetraedro → forman unared tridimensional de anillos de carbono hexagonales

Grafito: cada átomo usa sólo 3 de sus 4 electrones de valenciaen enlaces covalentes a otros 3 átomos de carbono en un plano.

Grafeno: Una sola capa de grafito

Carbono amorfo: conocido como carbón u hollín

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Alótropos del carbono

Alotropía: propiedad de algunos elementos químicos de poseerestructuras químicas diferentes, en el mismo estado de agregación dela materia.

Alótropos del carbono:

Diamante: cada átomo está unido covalentemente a otros 4átomos de carbono, dispuestos en un tetraedro → forman unared tridimensional de anillos de carbono hexagonales

Grafito: cada átomo usa sólo 3 de sus 4 electrones de valenciaen enlaces covalentes a otros 3 átomos de carbono en un plano.

Grafeno: Una sola capa de grafito

Carbono amorfo: conocido como carbón u hollín

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Alótropos del carbono

Alotropía: propiedad de algunos elementos químicos de poseerestructuras químicas diferentes, en el mismo estado de agregación dela materia.

Alótropos del carbono:

Diamante: cada átomo está unido covalentemente a otros 4átomos de carbono, dispuestos en un tetraedro → forman unared tridimensional de anillos de carbono hexagonales

Grafito: cada átomo usa sólo 3 de sus 4 electrones de valenciaen enlaces covalentes a otros 3 átomos de carbono en un plano.

Grafeno: Una sola capa de grafito

Carbono amorfo: conocido como carbón u hollín

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Alótropos del carbono

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Estructura electrónica del grafeno

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Estructura electrónica del grafeno

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Vectores de red

Red cristalina

a1 =a2(3,

√3) ; a2 =

a2(3,−

√3)

Primeros vecinos

δ1 =a2(1,

√3) ; δ2 =

a2(1,−

√3)

δ3 =−a(1,0)

Para pasar a red recíproca en 2D:

a1∗= b1 = 2π

a2 × n|a1 × a2|

; a2∗= b2 = 2π

n× a1

|a1 × a2|con ai

∗. aj = 2πδij

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Vectores de red

Red cristalina

a1 =a2(3,

√3) ; a2 =

a2(3,−

√3)

Primeros vecinos

δ1 =a2(1,

√3) ; δ2 =

a2(1,−

√3)

δ3 =−a(1,0)

Para pasar a red recíproca en 2D:

a1∗= b1 = 2π

a2 × n|a1 × a2|

; a2∗= b2 = 2π

n× a1

|a1 × a2|con ai

∗. aj = 2πδij

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Vectores de red

Red cristalina

a1 =a2(3,

√3) ; a2 =

a2(3,−

√3)

Primeros vecinos

δ1 =a2(1,

√3) ; δ2 =

a2(1,−

√3)

δ3 =−a(1,0)

Para pasar a red recíproca en 2D:

a1∗= b1 = 2π

a2 × n|a1 × a2|

; a2∗= b2 = 2π

n× a1

|a1 × a2|con ai

∗. aj = 2πδij

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Vectores de red

Red cristalina

a1 =a2(3,

√3) ; a2 =

a2(3,−

√3)

Primeros vecinos

δ1 =a2(1,

√3) ; δ2 =

a2(1,−

√3)

δ3 =−a(1,0)

Para pasar a red recíproca en 2D:

a1∗= b1 = 2π

a2 × n|a1 × a2|

; a2∗= b2 = 2π

n× a1

|a1 × a2|con ai

∗. aj = 2πδij

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Vectores de red

Puntos K: esquinas de laprimera zona de Brillouin(puramente cristalográfico)

Puntos de Dirac: puntos dondelas bandas π y π∗ se tocan→ aquí coinciden

Red recíproca: b1 =2π3a

(1,√

3) ; b2 =2π3a

(1,−√

3)

Puntos K: K =2π3a

(1,

1√3

); K ′ =

2π3a

(1,− 1√

3

)

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Vectores de red

Puntos K: esquinas de laprimera zona de Brillouin(puramente cristalográfico)

Puntos de Dirac: puntos dondelas bandas π y π∗ se tocan→ aquí coinciden

Red recíproca: b1 =2π3a

(1,√

3) ; b2 =2π3a

(1,−√

3)

Puntos K: K =2π3a

(1,

1√3

); K ′ =

2π3a

(1,− 1√

3

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Vectores de red

Puntos K: esquinas de laprimera zona de Brillouin(puramente cristalográfico)

Puntos de Dirac: puntos dondelas bandas π y π∗ se tocan→ aquí coinciden

Red recíproca: b1 =2π3a

(1,√

3) ; b2 =2π3a

(1,−√

3)

Puntos K: K =2π3a

(1,

1√3

); K ′ =

2π3a

(1,− 1√

3

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Vectores de red

Puntos K: esquinas de laprimera zona de Brillouin(puramente cristalográfico)

Puntos de Dirac: puntos dondelas bandas π y π∗ se tocan→ aquí coinciden

Red recíproca: b1 =2π3a

(1,√

3) ; b2 =2π3a

(1,−√

3)

Puntos K: K =2π3a

(1,

1√3

); K ′ =

2π3a

(1,− 1√

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Funciones de onda Bloch

Cada celda unidad contribuyecon dos orbitales 2pz

|ΨA⟩= ∑n

eik RAn

√N

CA(k)|ϕA(r − RAn )⟩

|ΨB⟩= ∑n

eik RBn

√N

CB (k)|ϕB (r − RBn )⟩

⇒ |Ψk⟩= |ΨA⟩+ |ΨB⟩

N=no de celdas unidad

ϕ (r)=f.d.o de los orbitales pz

Rn = n1a1 +n2a2 = vector posición

Tomamos Rn = RAn y RB

n = Rn + δ3

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Funciones de onda Bloch

Cada celda unidad contribuyecon dos orbitales 2pz

|ΨA⟩= ∑n

eik RAn

√N

CA(k)|ϕA(r − RAn )⟩

|ΨB⟩= ∑n

eik RBn

√N

CB (k)|ϕB (r − RBn )⟩

⇒ |Ψk⟩= |ΨA⟩+ |ΨB⟩

N=no de celdas unidad

ϕ (r)=f.d.o de los orbitales pz

Rn = n1a1 +n2a2 = vector posición

Tomamos Rn = RAn y RB

n = Rn + δ3

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Funciones de onda Bloch

Cada celda unidad contribuyecon dos orbitales 2pz

|ΨA⟩= ∑n

eik RAn

√N

CA(k)|ϕA(r − RAn )⟩

|ΨB⟩= ∑n

eik RBn

√N

CB (k)|ϕB (r − RBn )⟩

⇒ |Ψk⟩= |ΨA⟩+ |ΨB⟩

N=no de celdas unidad

ϕ (r)=f.d.o de los orbitales pz

Rn = n1a1 +n2a2 = vector posición

Tomamos Rn = RAn y RB

n = Rn + δ3

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Hamiltoniano de tight binding

Calculemos los elementos del Hamiltoniano de tight binding (sóloprimeros vecinos):

HAA =1N ∑

RA

∑R′

A

eik(RA′−RA)⟨ϕA(r − RA

n )|H|ϕA(r − RAn′)⟩

HAA =1N ∑

RA

∑R′

A

⟨ϕA(r − RAn )|H|ϕA(r − RA

n )⟩= EA ; HBB = EB

HAB =1N ∑

RA

∑RB

eik(RB−RA)⟨ϕA(r − RAn )|H|ϕB (r − RB

n )⟩

HAB =−Vppπ(1+e−ik a1 +e−ik a2) = Vppπ f (k) ; HBA =−Vppπ f ∗(k)

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Hamiltoniano de tight binding

Calculemos los elementos del Hamiltoniano de tight binding (sóloprimeros vecinos):

HAA =1N ∑

RA

∑R′

A

eik(RA′−RA)⟨ϕA(r − RA

n )|H|ϕA(r − RAn′)⟩

HAA =1N ∑

RA

∑R′

A

⟨ϕA(r − RAn )|H|ϕA(r − RA

n )⟩= EA ; HBB = EB

HAB =1N ∑

RA

∑RB

eik(RB−RA)⟨ϕA(r − RAn )|H|ϕB (r − RB

n )⟩

HAB =−Vppπ(1+e−ik a1 +e−ik a2) = Vppπ f (k) ; HBA =−Vppπ f ∗(k)

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Resolución

Nos queda:(EA −Vppπ f (k)

−Vppπ f ∗(k) EB

)(CA(k)CB (k)

)= E (k)

(CA(k)CB (k)

)(

EA −E (k) −Vppπ f (k)−Vppπ f ∗(k) EB −E (k)

)(CA(k)CB (k)

)= 0

Diagonalizando y resolviendo para E (k):

E (k) =EA +EB

√(EA −EB

2

)2

+Vppπ2|f (k)|2

Como los átomos A y B son equivalentes: E (k) = Ep ±Vppπ |f (k)|

Elegimos Ep = 0: E (k) =±Vppπ |f (k)|

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Resolución

Nos queda:(EA −Vppπ f (k)

−Vppπ f ∗(k) EB

)(CA(k)CB (k)

)= E (k)

(CA(k)CB (k)

)(

EA −E (k) −Vppπ f (k)−Vppπ f ∗(k) EB −E (k)

)(CA(k)CB (k)

)= 0

Diagonalizando y resolviendo para E (k):

E (k) =EA +EB

√(EA −EB

2

)2

+Vppπ2|f (k)|2

Como los átomos A y B son equivalentes: E (k) = Ep ±Vppπ |f (k)|

Elegimos Ep = 0: E (k) =±Vppπ |f (k)|

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Resolución

Nos queda:(EA −Vppπ f (k)

−Vppπ f ∗(k) EB

)(CA(k)CB (k)

)= E (k)

(CA(k)CB (k)

)(

EA −E (k) −Vppπ f (k)−Vppπ f ∗(k) EB −E (k)

)(CA(k)CB (k)

)= 0

Diagonalizando y resolviendo para E (k):

E (k) =EA +EB

√(EA −EB

2

)2

+Vppπ2|f (k)|2

Como los átomos A y B son equivalentes: E (k) = Ep ±Vppπ |f (k)|

Elegimos Ep = 0: E (k) =±Vppπ |f (k)|

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Bandas de energía π

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Resolución

También puede expresarse como:

E (k)=±Vppπ

√1+4cos2

(√3

2ky a

)+4cos

(√3

2ky a

)cos

(32

kxa

)

Si expandimos esta expresión alrededor de los puntos de Dirack = p+ K (K ′) con ayuda de:

E (p+ K (K ′))≈ E (K (K ′))+E ′(K (K ′)).p+O

[(p

K

)2]

Obtenemos:

E (p)≈±32

aVppπ |p| −→︸︷︷︸vF=

32h aVppπ

E (p)≈±hvF |p|

a = 1.42×10−10m ; Vppπ = 2.8eV → vF ≈ 9×107cm/s

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. . .Análisis Bibliografía

Resolución

También puede expresarse como:

E (k)=±Vppπ

√1+4cos2

(√3

2ky a

)+4cos

(√3

2ky a

)cos

(32

kxa

)Si expandimos esta expresión alrededor de los puntos de Dirack = p+ K (K ′) con ayuda de:

E (p+ K (K ′))≈ E (K (K ′))+E ′(K (K ′)).p+O

[(p

K

)2]

Obtenemos:

E (p)≈±32

aVppπ |p| −→︸︷︷︸vF=

32h aVppπ

E (p)≈±hvF |p|

a = 1.42×10−10m ; Vppπ = 2.8eV → vF ≈ 9×107cm/s

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Grafeno: semiconductor de gap cero

Se debe a que el cristal tiene simetría de inversiónV (−x ,y) = V (x ,y) (átomos A y B iguales)Si V (−x ,y) = V (x ,y) gap no nulo: Eg = |EA −EB|

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Deducción de la ecuación de Dirac

Llegamos a que: E (p)≈±hvF |p|, donde |p|=√

p2x +p2

y

Podemos escribirlo en función de las matrices de Dirac, ya que:

(p2x +p2

y)

(1 00 1

)=

(0 px − ipy

px + ipy 0

)(0 px − ipy

px + ipy 0

)σx =

(0 11 0

); σy =

(0 −ii 0

)→

√(p2

x +p2y)I = pxσx +py σy

Usando la expresión de operador cuántico: p → −i h∇|p|= pσ =−i hσ∇

Ec. de Dirac 2D: −i h2vF σ .∇Ψ(r) = EΨ(r)

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Deducción de la ecuación de Dirac

Llegamos a que: E (p)≈±hvF |p|, donde |p|=√

p2x +p2

y

Podemos escribirlo en función de las matrices de Dirac, ya que:

(p2x +p2

y)

(1 00 1

)=

(0 px − ipy

px + ipy 0

)(0 px − ipy

px + ipy 0

)σx =

(0 11 0

); σy =

(0 −ii 0

)→

√(p2

x +p2y)I = pxσx +py σy

Usando la expresión de operador cuántico: p → −i h∇|p|= pσ =−i hσ∇

Ec. de Dirac 2D: −i h2vF σ .∇Ψ(r) = EΨ(r)

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Deducción de la ecuación de Dirac

Llegamos a que: E (p)≈±hvF |p|, donde |p|=√

p2x +p2

y

Podemos escribirlo en función de las matrices de Dirac, ya que:

(p2x +p2

y)

(1 00 1

)=

(0 px − ipy

px + ipy 0

)(0 px − ipy

px + ipy 0

)σx =

(0 11 0

); σy =

(0 −ii 0

)→

√(p2

x +p2y)I = pxσx +py σy

Usando la expresión de operador cuántico: p → −i h∇|p|= pσ =−i hσ∇

Ec. de Dirac 2D: −i h2vF σ .∇Ψ(r) = EΨ(r)

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Deducción de la ecuación de Dirac

Llegamos a que: E (p)≈±hvF |p|, donde |p|=√

p2x +p2

y

Podemos escribirlo en función de las matrices de Dirac, ya que:

(p2x +p2

y)

(1 00 1

)=

(0 px − ipy

px + ipy 0

)(0 px − ipy

px + ipy 0

)σx =

(0 11 0

); σy =

(0 −ii 0

)→

√(p2

x +p2y)I = pxσx +py σy

Usando la expresión de operador cuántico: p → −i h∇|p|= pσ =−i hσ∇

Ec. de Dirac 2D: −i h2vF σ .∇Ψ(r) = EΨ(r)

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Quiralidad

La descripción de dos componentes en el grafeno (subredes A yB) es muy similar a la de spinores en QED(

ΨA

ΨB

)↔

(Ψ↑Ψ↓

); ↑,↓= pseudospin

En la banda de conducción en K los dos vectores son paralelos(helicidad positiva)Para partículas sin masa se usa el término quiralidad (proyeccióndel pseudo-spin en la dirección de movimiento)

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Quiralidad

La descripción de dos componentes en el grafeno (subredes A yB) es muy similar a la de spinores en QED(

ΨA

ΨB

)↔

(Ψ↑Ψ↓

); ↑,↓= pseudospin

En la banda de conducción en K los dos vectores son paralelos(helicidad positiva)

Para partículas sin masa se usa el término quiralidad (proyeccióndel pseudo-spin en la dirección de movimiento)

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Quiralidad

La descripción de dos componentes en el grafeno (subredes A yB) es muy similar a la de spinores en QED(

ΨA

ΨB

)↔

(Ψ↑Ψ↓

); ↑,↓= pseudospin

En la banda de conducción en K los dos vectores son paralelos(helicidad positiva)Para partículas sin masa se usa el término quiralidad (proyeccióndel pseudo-spin en la dirección de movimiento)

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Algunas consecuencias

Supresión del "backscattering": debido a la conservación delpseudo-spin, un potencial de largo alcance no puede dispersarun electrón en sentido contrario al de su movimiento (cambiar laquiralidad)

⇒ Da lugar a una movilidad de portadores muy grande hasta atemperatura ambiente (interesante para sustituir al silicio)

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Algunas consecuencias

Supresión del "backscattering": debido a la conservación delpseudo-spin, un potencial de largo alcance no puede dispersarun electrón en sentido contrario al de su movimiento (cambiar laquiralidad)

⇒ Da lugar a una movilidad de portadores muy grande hasta atemperatura ambiente (interesante para sustituir al silicio)

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Algunas consecuencias

Tuneleo Klein: en el grafeno no hay gap debido a laconservación del pseudo-spin → posible transmisión a través deuna barrera npn

⇒ Da pie a posible diseño de "transistores de carbono"

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. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Algunas consecuencias

Tuneleo Klein: en el grafeno no hay gap debido a laconservación del pseudo-spin → posible transmisión a través deuna barrera npn

⇒ Da pie a posible diseño de "transistores de carbono"

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía

Bibliografía

WALLACE, P.R.The band theory of graphitePhysical Review, volume 71, number 9 (1947)

CASTRO NETO, A.H., GUINEA, F., PERES, N.M.R.,NOVOSELOV, K.S., GEIM, A.K.The electronic properties of graphenePreprint arXiv: 0709.1163v2 (2008)

REICH, S., MAULTZSCH, J., THOMSEN, C.Tight binding description of graphenePhysical Review B 66, 035412 (2002)

BENA, C., MONTAMBAUX, G.Remarks on the tight binding model of grapheneNew Journal of Physics 11 (2009) 095003

https://courses.cit.cornell.edu/ece407/Lectures/Lectures.htm

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. . . .Introducción

. . . . . . . .Aproximación tight binding Deducción de la ecuación de Dirac

. . .Análisis Bibliografía