جامعة الملك سعود آلية العلوم

قسم اإلحصاء وبحوث العمليات

طرق التنبؤ اإلحصائي )الجزء األول (

عدنان ماجد عبدالرحمن بري. تأليف د أستاذ اإلحصاء وبحوث العمليات المشارك

٢

بسم اهللا الرحمن الرحيم

الحمد هللا رب العالمين والصالة والسالم على اشرف خلق اهللا سيدنا ونبينا محمد .وعلى آله وصحبه وسلم

.أما بعد .هذه هي المسودة األولى لكتاب طرق التنبؤ اإلحصائي لطالب مرحلة البكالوريوس

دة إلى ماشاء اهللا ألني وبإذن اهللا تعالى سوف أقوم بتطويره هذا الكتاب سيظل مسووتجديده وتحسينه بشكل مستمر وسيظل بشكله اإللكتروني هذا ألني أعتقد ان العلوم والتقنية تتطور يوميا وبشكل متسارع بحيث ان وضعها في آتاب جامد ستاتيكي

.ات واإلنترنتاليتناسب مع ديناميكية الموضوع وخاصة في عصر ثورة المعلوميغطي الجزء األول من الكتاب األساسيات األولية للموضوع ويتطرق إلى موضوع

والتي آانت اول معالجة رياضية جادة ARIMAالتنبؤ اإلحصائي بإستخدام نماذج آما تطرقت Time Seriesومحكمة للتنبؤ اإلحصائي بإستخدام المتسلسالت الزمنية

التقليدية الهورستيكية للتنبؤ اإلحصائي وفي جميع في آخر الكتاب إلى بعض الطرق أجزاء الكتاب قمت بتوضيح األمثلة والحاالت الدراسية بإستخدام الحزمة اإلحصائية

Minitab وهي برامج حاسب طورت خاصة لتعليم علم اإلحصاء بجميع فروعه .وهذه الحزمة متوفرة للطالب بالمجان

الدراسات العليا سوف يتطرق بإذن اهللا الجزء الثاني من الكتاب وموجه لطالب ونماذج دالة التحويل Intervention Analysisلمواضيع مثل تحليل التدخل

Transfer Function Models ونماذج المتسلسالت الزمنية المتعددة Multivariate Time Series Models ونماذج المتسلسالت الزمنية الموجهه

Vector Time Series Models ونماذج فضاء الحالة ومرشح آالمن State Space Models and Kalman Filtering ونماذج الحد Threshold Time

Series Models ونماذج ARCH ونماذج GARCH وتطبيقاتها في التنبؤ آما سنتطرق إلى الشبكات Finantial Time Series Forecastingالمالي

.امها في التنبؤ اإلحصائي وإستخدNeural Networksالعصبية هذا وارجوا من اهللا ان يوفقني في إنجاز هذا العمل لوجهه الكريم وإلثراء المكتبة

.العربية الفقيرة إلى مثل هذا الكتابسيكون هذا الكتاب مجاني ألي طالب علم وهو سيكون متواجد على شبكة اإلنترنت

١book٢٢١or/or/net.abarry.www://http.pdfفي الموقع .واهللا الموفق

المؤلف عدنان ماجد عبد الرحمن بري. د

جامعة الملك سعود

هـ١٤٢٢ ذو القعدة م٢٠٠٢ يناير

٣

المحتويات

مقدمة ١٠..................................................................مقدمة وتعاريف: الفصل األول -١

١٠.......................................................أمثلة على المتسلسالت الزمنية ١-١ ١٠................................. الغرض من دراسة وتحليل المتسلسالت الزمنية ٢-١ ١٠................................................ . تخذة لبناء نموذج تنبؤ الخطوات الم٣-١

١٠................................................................... .. تعيين النموذج ١-٣-١ ١١............ .......................................................تطبيق النموذج ٢-٣-١ ١١......................................................تشخيص وإختبار النموذج ٣-٣-١ ١١.....................................................................توليد التنبؤات ٤-٣-١ ١١... ........................................إستخدام التنبؤات ووضع القرارات ٥-٣-١

١١..................................................................... تعاريف ومبادئ أولية ٤-١

١١............................................. تعريف ماضي أو تاريخ الظاهرة ١-٤-١ ١١......................................................... ن تعريف الحاضر أو اآل٢-٤-١ ١١......................................................... تعريف أخطاء التطبيق ٣-٤-١ ١٢............. ................................................ تعريف أخطاء التنبؤ ٤-٤-١ ١٢................................................................. تعريف اإلستقرار ٥-٤-١ ١٢......................................................... تعريف الضجة البيضاء ٦-٤-١

١٢................................................... المشي العشوائي : ١ مثال٧-٤-١ ١٣.................................................... تعريف دالة التغاير الذاتي ٨-٤-١

١٣...... .............................................تعريف دالة الترابط الذاتي ٩-٤-١ ١٣......................... دالة الترابط الذاتي للضجة البيضاء : ٢مثال ١٠-٤-١ ١٤...................................... تعريف دالة الترابط الذاتي الجزئي ١١-٤-١ ١٥..................دالة الترابط الذاتي الجزئي للضجة البيضاء : ٣مثال ١٢-٤-١ ١٦.........................................تي للعينة تعريف دالة الترابط الذا ١٣-٤-١ ١٧.............................. تعريف دالة الترابط الذاتي الجزئي للعينة ١٤-٤-١ ١٨......... دالة الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي للعينة : ٤مثال ١٥-٤-١

وإستخداماتها في ARMA المتوسط المتحرك-نماذج اإلنحدار الذاتي: الفصل الثاني -٢

٢٢................................................................................................التنبؤ ٢٢ ........ (p,q)المتوسط المتحرك من الدرجة -تعريف نماذج اإلنحدار الذاتي ١-٢ ٢٢.........................................................تعريف عامل اإلزاحة الخلفي ٢-٢ ٢٢..................................................... تعريف عامل اإلزاحة األمامي ٣-٢ ٢٢..................................................................تعريف عامل التفريق ٤-٢ ٢٢................................... ..............................تعريف عامل التجميع ٥-٢ ٢٣..................................................................................... أمثلة ٦-٢ ٢٤............................. المتوسط المتحرك -خصائص نماذج اإلنحدار الذاتي ٧-٢

٢٤...................................................... .....(٠،٠)ARMA نموذج ١-٧-٢ ٢٧ .................................................................................. (١)AR نموذج ٢-٧-٢

٣١................ ....................................................(٢)AR نموذج ٣-٧-٢

٤

٣٦ ..................................................................... (١)MA نموذج ٤-٧-٢ ٣٩ .................................................................... (٢)MA نموذج ٥-٧-٢ ٤٠ ............................................................. (١،١)ARMA نموذج ٦-٧-٢

٤٧ ................................................ ARMA(p,q)خواص نماذج ٧-٧-٢ ٤٩...................................... نماذج المتسلسالت الزمنية غير المستقرة : الفصل الثالث-٣

٤٩.............................................................. ر في المتوسط عدم اإلستقرا ١-٣ ٥٠................................................................ عدم اإلستقرار في التباين ٢-٣ ٥٢ ...... (p,d,q)المتوسط المتحرك من الدرجة -التكاملي-نماذج اإلنحدار الذاتي ٣-٣

٥٢ ....................................................... (١،١،٠)ARIMA نموذج ١-٣-٣ ٥٢ ........................................................ (٠،١،١)ARIMAنموذج ٢-٣-٣ ٥٣................................................. نموذج المشي العشوائي بإنجراف ٣-٣-٣

)دالة األوزان ٤-٣ )By وتمثيل نماذج ARMA(p,q) ............................... ٥٣

( )By

٥٤..................................................... امثلة لدالة األوزان لبعض النماذج ٥-٣ ٥٤ .................................................... (١)ARدالة األوزان لنموذج ١-٥-٣ ٥٥ .................................................... (١)MAدالة األوزان لنموذج ٢-٥-٣ ٥٥ .................................................... (٢)ARدالة األوزان لنموذج ٣-٥-٣ ٥٦ ................................................... (٢)MAدالة األوزان لنموذج ٤-٥-٣ ٥٦ ........................................... (١،١)ARMA األوزان لنموذج دالة ٥-٥-٣ ٥٧ ................................................... (١)ARIدالة األوزان لنموذج ٦-٥-٣ ٥٧ .................. (١،٠،١)ARIMAدالة األوزان لنموذج المشي العشوائي ٧-٥-٣

ن ٥٨ .................................................... بعض خواص دالة األوزا ٦-٣ ٥٩ ....... ARMA(p,q)التنبؤات ذات متوسط مربع الخطأ األدنى لنماذج : الفصل الرابع-٤ ٦١........ .................................................................أخطاء التنبؤ : ٢ نظرية ١-٤ ٦٢ ................................................. Information Sets مجموعة المعلومات ٢-٤ ٦٢............................................ المتنبئ ذا متوسط مربع الخطأ األدنى : ٣ نظرية ٣-٤ ٦٢...................................................... .......................................٢ قاعدة ٤-٤ ٦٢................................................................................. تعريف دالة التنبؤ ٥-٤ ٦٢..... .................................................. ARIMA(p,d,q) دوال التنبؤ لنماذج ٦-٤ ٦٣ ............................................................... (١)AR دالة التنبؤ لنموذج ١-٦-٤ ٦٣............................................................................ شرط اإلستمرار ٢-٦-٤ ٦٤........................................................ ...... (٢)AR دالة التنبؤ لنموذج ٣-٦-٤ ٦٥ ................................................. (٠،١،١)ARIMA دالة التنبؤ لنموذج ٤-٦-٤ ٦٦ .............................................................. (١)MA دالة التنبؤ لنموذج ٥-٦-٤ ٦٦ .............................................................. (٢)MA دالة التنبؤ لنموذج ٦-٦-٤ ٦٧ ..................................................... (١،١)ARMA دالة التنبؤ لنموذج ٧-٦-٤ ٦٨.................................................... ..................................... حدود التنبؤ ٧-٤

٦٨..................................................... تعريف فترة تنبؤ للقيمة المستقبلية ١-٧-٤ ٦٩........................................................................................ مثال ٢-٧-٤

٧١............................................ تصميم وبناء نظام تنبؤ إحصائي : لخامس الفصل ا-٥ ٧١....................................................................... تعيين أو تحديد النموذج ١-٥

٧١..................................... ......................................... تثبيت التباين ١-١-٥ ٧١ ................................................................ d إختيار درجة التفريق ٢-١-٥

٥

٧١ ............................................................................... p,q تحديد ٣-١-٥ ١ ٧١................................................................... إضافة معلم إنجراف ٤--٥ ٥-

-

٥-

٥-

ل-٦٦-

٦- ٦-

٦-

٦-

٦- ١٢٥.......................... ة وحاالت دراسة للمتسلسالت الزمنية الموسمية

٧٢.............................................................................. تقدير النموذج ٢ ٧٢................... .....................................................طريقة العزوم ١-٢-٥ ٧٣....................................................... تقدير العزوم لبعض النماذج ٢-٢-٥

٧٣ .............................................................. (١)AR لنموذج ١-٢-٢-٥ ٧٤....................... .................................. (١)MAلنموذج ٢-٢-٢-٥ ٧٤ .......................................................... (٢)ARلنموذج ٣-٢-٢-٥ ٧٤ ......................................................... (٢)MAلنموذج ٤-٢-٢-٥ ٧٥ ................................................ (١،١)ARMAلنموذج ٥-٢٢-٥ ٧٥.............................................. ة المربعات الدنيا الشرطية طريق ٣-٢-٥

٧٦......................... تقديرات المربعات الدنيا الشرطية لبعض النماذج ٤-٢ ٧٦......................................................... (١)ARلنماذج ١-٤-٢-٥ ٧٧......................................... .............. (١)MAلنماذج ٢-٤-٢-٥

٧٨......................................................... تشخيص وإختبار النموذج ٣-٥ ٧٨.................................................................... فحص البواقي ١-٣-٥

٧٩.................................................. المتوسط للبواقي إختبار ١-١-٣-٥ ٧٩................................................. إختبار العشوائية للبواقي ٢-١-٣-٥ ٧٩..... .............................. إختبار الترابط أو اإلستقالل للبواقي ٣-١-٣-٥ ٧٩.................................................... إختبار طبيعية البواقي ٤-١-٣-٥ ٧٩............................. بعض المعايير االخرى إلختيار نموذج مناسب ٢-٣ ٧٩....... ....................................إحصائية آيو للجنق وبكس ١-٢-٣-٥ ٨٠ ......................................... AICمعيار اإلعالم الذاتي ٢-٢-٣-٥ ٨٠.......................................................... أمثلة وحاالت دراسة ٣-٣-٥

١١٣...... المتوسط المتحرك الموسمية -التكاملي-نماذج اإلنحدار الذاتي: الفص السادس ١١٤..... لترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي لبعض النماذج الموسمية دوال ا ١

١١٤ ......................................... ١٢(١،١)(٠،١)SARMAلنموذج ١-١ ١١٥.................................. دوال الترابط الذاتي لبعض النماذج الموسمية ٢١-٢-٦ SARIMA(٠,d,٠)(٠,D,١)s.......... ...................................١١٥ ٢-٢-٦ SARIMA(٠,d,٠)(١,D,١)s ........................................... ١١٥ ٣-٢-٦ SARIMA(٠,d,١)(٠,D,١)s ............................................ ١١٥ ٤-٢-٦ SARIMA(٠,d,٠)(١,D,١)s ........................................... ١١٦ ٥-٢-٦ SARIMA(٠,d,١)(١,D,٠)s ........................................... ١١٦

٦-٢ SARIMA(٠,d,٢)(٠,D,١)s ............................................ ١١٦ ١١٨.................... دالة الترابط الذاتي الجزئي للنموذج الموسمي التضاعفي ٣-٦ ١١٩....................................... أمثلة على المتسلسالت الزمنية الموسمية ٤-٦

١٢٣.......... إشتقاق دوال تنبؤ لبعض نماذج المتسلسالت الموسمية التضاعفية ٥ ١٢٣ .................... ١٢(٠،١،١)(٠،٠،٠)SARIMAدالة التنبؤ للنموذج ١-٥-٦

١٢٤ .................... ١٢(٠،١،١)(٠،١،١)SARIMAدالة التنبؤ للنموذج ٢-٥أمثل ٦-٦

:الجزء العمليالمتوسط -سطة نماذج اإلنحدار الذاتيورقة تدريب عملي على التنبؤ بوا: الفصل السابع-٧

١٤٢............................................................................................ المتحرك

٦

١٥٥.................. مثال تحليل البواقي ومعيير إختيار نموذج مناسب : الفصل الثامن-٨ ١٦٢..................... ك المتسلسلة الزمنية إلى مرآبات تحليل أو تفكي: الفصل التاسع-٩ الت-١٠

المو

٢١٠..................................................... مثال آخر لبناء نموذج تنبؤ ٤-١٣

٢١٩........................................... ................................................مراجع

١٧٨........................................... مهيد والتنبؤ بواسطة المتوسط المتحرك ١٨١............................................................. الوسيط الجاري ١-١٠

١٨٤............. مهيد والتنبؤ بواسطة التمهيد األسي البسيط الت: الفصل الحادي عشر-١١ ١٩٠........... التمهيد والتنبؤ بواسطة التمهيد األسي المزدوج : الفصل الثاني عشر-١٢ ١٩٠........................................................................ طريقة براون ١-١٢ ١٩٠........................................................................ هولت طريقة٢-١٢ ١٩١.................................................................................. أمثلة ٣-١٢ للمتسلسالت التمهيد األسي الثالثي والتنبؤ بواسطة طريقة ونترز: الفصل الثالث عشر-١٣

١٩٨............................................................................. سمية المنجرفة ١٩٩............................................................... النموذج اإلضافي ١-١٣ ٢٠١..................... .........................................النموذج التضاعفي ٢-١٣ ٢٠٤........................................................... مثال لبناء نموذج تنبؤ ٣-١٣

ال

٧

الفصل األول مقدمة وتعاريف

نية : ١تعريف م Time Seriesالمتسلسلة الز

) او مرتبة مع المكان ( متتابعة من القيم المشاهدة لظاهرة عشوائية مرتبة مع الزمن

:امثلة على المتسلسالت الزمنية .سعر اقفال سهم بنك الرياض يوميا -١ .عدد الوحدات المطلوبة اسبوعيا من انتاج سلعة معينة -٢ .حجم المبيعات شهريا من سلعة ما -٣ . حجم اإلنتاج اليومي للنفط الخام بالمملكة -٤

:والغرض من دراسة وتحليل المتسلسالت الزمنية هو .فهم ونمذجة عشوائية الظاهرة المشاهدة -١ .لمستقبلية للظاهرة العشوائيةالتنبؤ عن القيم ا -٢ .التحكم بالظاهرة العشوائية إذا امكن ذلك -٣

الشكل التالي لمتسلسلة زمنية مشاهدة وهي عبارة عن اإلنتاج اليومي للحليب بالرطل لبقرة ما

70605040302010

850

750

650

550

Index

C1

:الخطوات المتخذة لبناء نموذج تنبؤاهدة يعتبر من المهام الصعبة والتي تحتاج إن إيجاد نموذج مناسب تنطبق علية متسلسلة زمنية مش

سوف نستعرض بعض الخطوات العريضة لبناء نموذج رياضي . الى الكثير من البحث والخبرة :للتنبؤ عن متسلسلة زمنية ما

وهذا يتم برسم : Model Identificationتعيين النموذج أو تحديد النموذج -١حيث يكون اإلحداثي االفقي هو الزمن والرأسي حجم Time Plotالمتسلسلة الزمنية فيما يسمى

الظاهرة المشاهدة ومن ثم إختيار نموذج رياضي معتمدين علي بعض المقاييس اإلحصائية التى .تميز نموذج عن آخر وعلى الخبرة المستمدة من الدراسات واالبحاث

٨

ب لوصف بعد ترشيح نموذج او اآثر آنموذج مناس: Model Fittingتطبيق النموذج -٢المتسلسلة المشاهدة نقوم بتقدير معالم هذا النموذج من البيانات المشاهدة بإستخدام طرق

التقدير اإلحصائي الخاصة بالمتسلسالت الزمنية وهذا النموذج المرشح يؤخذ آنموذج .اولي قابل للتعديل الحقا

على إجراء إختبارات تفحصية : Model Diagnostics النموذج وإختبارتشخيص -٣ لمعرفة مدى تطابق المشاهدات مع القيم المحسوبة من Fitting Errorsأخطاء التطبيق

في حالة إجتياز النموذج المرشح لهذه . النموذج المرشح ومدى صحة فرضيات النموذجاإلختبارات نقوم بإعتمادة على انه النموذج النهائي ويستخدم لتوليد تنبؤات للقيم

.لخطوة االولى لتعيين نموذج جديدالمستقبلية وإال نعود ل يستخدم النموذج النهائي لتوليد تنبؤات عن : Forecast Generation توليد التنبؤات -٤

آلما استجدت قيم Forecast Errorsالقيم المستقبلية ومن ثم حساب أخطاء التنبؤ ت جديدة مشاهدة من المتسلسلة الزمنية ومراقبة هذه األخطاء فى ما يسمى بمخططا

والتي توضع للقبول بنسبة خطأ معين إذا تجاوزتة أخطاء Control Chartsالمراقبة .التنبؤ يعاد النظر في النموذج وتعاد الدورة من جديد بتحديد نموذج مرشح آخر

: Implementation and Decision makingإستخدام التنبؤات ووضع القرارات -٥ .لنظر في إستخدامها بالشكل المناسبتقدم التنبؤات فى تقرير لصانعي القرار ل

:تعاريف ومبادئ اولية

سوف نرمز للظاهرة العشوائية أو العملية العشوائية التي تولد المتسلسلة الزمنية بالرمز { }1 0 1 2, , , , ,Z Z Z Z−L L ارا{ }{ او اختص }, , 1, ,1,2,tZ t∈ −L L او ببساطة { 0}tZ

}الزمنية المشاهدة بالرمز وللمتسلسلة }1 2 1, , , ,n nz z z z−L

n ة Historyى

1القيم : ٢تعريف 2, , ,z z z −L1 تسم بالماضى او تاريخ الظاهر

والتاريخ مهم جدا في عملية النمذجة

n تسمى الحاضر او اآلنzالقيمة : ٣تعريف

.ة وهي المشاهدة األخير

ˆأخطاء التطبيق تعطى بالعالقة : ٤تعريف , 2,...t t te z z t n= − ,1 هي القيم tzˆ حيث = ,

وتسمي ) القيم التي نتحصل عليها من النموذج( لمطبقة Residualsأيضا الرواسب ا

.ويالحظ ان اخطاء التطبيق نحصل عليها دفعة واحدة بعد تقدير النموذج 2سوف نرمز للمشاهدات المستقبلية بالرموز : حظةمال 3, ,.nz+ بشكل عام +

, 0nz + ≥l lونرمز لتنبؤات 1,n nz z+ او

(..

(ها بالرمز ( ) ( )1 , 2 3 ,...n n nz z z او بشكل عام ,( ) , 0n

z ≥l l

٩

( ) ) أخطاء التنبؤ تعطى بالعالقة : ٥تعريف ) , 0n nz+ − ≥l l lne z=l

الحقيقية الواحدة تلو االخر آلما تق لتنبؤ تنتج وأخطاء

دم الزمن وشوهدت القيم ى ا

}يقال ان المتسلسلة: ٦تعريف 1{ الزمنية المشاهدة 2 1, , , ,n nz z z z−L مستقرة Stationary : إذا حققت الشروط التالية

( )

( ) ( )cov ,, , ,sz z 0constant , , ,

2)

t

t

t s t s

1) constant ,E z tµ= = ∀

γ= ∀ ∀ =⎧ f s t t s t s

= ⎨ − ∀ ∀ ≠⎩

uilding Blocksاآلن سوف نعرف متسلسلة زمنية مهمة جدا لكونها حجرة او طوب البناء لجميع النماذج التي سوف ندرسها

B

اوعملية الضجة البيضاء White Noise Seriesمتسلسلة الضجة البيضاء : ٧تعريف White Noise Process { }ta ن متتابعة من المشاهدات العشوائية غير هي عبارة ع

واحيانا نفترض انها متتابعة من المتغيرات العشوائية التي تكون مستقلة ولها ( المترابطة طابقة توزيعات م بمتوسط صفري ) Independent, Identically Distributed (IID)ت

2 : أيσوتباين ثابت ( )

( )2

1) 0,

, , ,2) cov ,

0 , , ,

t

t s

E a t

t s t sa a

t s t sσ

= ∀

⎧ ∀ ∀ == ⎨

∀ ∀ ≠⎩

)ويرمز لها بالرمز )20,ta WN σ

kمتسلسلة المشي العشوائ : ١ مثال :Random Walي

}وف نبني عملية }Zآالتالي : ZZ a a

عشوائية tس

1 1

2 1 2

1 2t

a

tZ a

== +

= + +M

أو t

a a+L

1t tZ Z a−= + j فان jtZ هو حجم الخطوة التي تؤخذ الي االمام او الخلف عند الزمنaأي لو اعتبرنا ان

الميةهذه العملية او المتسلسلة من النماذج الهامة جدا التي تصف اسواق المال الع: مالحظة: ر

tهي موقع ماشي عشوائي عند الزمن

)اوجد )tE Z و ( )cov ,t sZ Zلجميع ,t sين قيم وهل العملية مستقرة؟ تم

١٠

: وتعرف آالتالي Autocovariance Functionدالة التغاير الذاتي : ٨تعريف ( )( ) ( )

, cov , , ,

, ,t s t s

t s

Z Z t s

E Z Z t

γ

µ µ

= ∀ ∀

= − − ∀⎡ ⎤⎣ ⎦

s∀kا عرفنا التخلف t وبين tZ علي انه الفترة الزمنية التي تفصل بين وإذ kZ t أو − kZ فإن +

دالة التغاير الذاتي تعط :ى بالعالقة( )( ) ( )

cov , , 0, 1, 2,k = ± ± L

, 0,k t t k

t t k

Z Z

E Z Z k

γ

µ µ−

−

=

= − − = ±⎡ ⎤⎣ ⎦ 1, 2,± L

دائماسوف نستخدم التعريف الثاني : مالحظة

: وتعرف آالتالي Autocorrelation Function (ACF)دالة الترابط الذاتي : ٩تعريف

0

, 0, 1, 2,kk kγρ

γ= = ± ± L

ول :ها الخواص التالية

01. 12.3. 1

k k

k

ρρ ρρ−

==

≤

:٢ال سوف نشتق اآلن دالة الترابط الذاتي لعملية الضجة البيضاءمث : البيضاء هيلة التغاير الذاتي لعملية الضجة

kkσ

γ⎧

دا

( )2 , 0

cov ,0 , 0t t ka a

k−

== = ⎨

≠⎩

: ومنها نجد دالة الترابط الذاتي٧عريف وذلك من الت

0

1 , 00 , 0

k kγ

==k k

γρ⎧

= ⎨

:ولها الشكل التالي

≠⎩

9865432 710

1.0

0.5

0.0

Autoco

rr

Autocorrelation function of White Noise

Lag

١١

ريف ع Partial Autocorrelation Functionدالة الترابط الذاتي الجزئي : ١٠ت(PACF)

t و tZوتعطي مقدار الترابط بين kZ بعد إزالت تأثير الترابط الناتج من المتغيرات −1 2, ,...,t t t kZ Z Z 1− − − k kk الواقعة بينهما ويرمز لها عند التخلف+ وأحد طرق φبالرمز

kkامل اإلنحدار الجزئيحسابها تقوم علي حساب مع φفي التمثيل : 1 1 2 2t k t k t kk t k tZ Z Z Z aφ φ φ− − −= + + + +L

11φ:

t

حساب 11 1t tZ Z aφ −= +

1tZبضرب طرفي العالقة بـ وأخذ التوقع نجد −( ) ( ) ( )1 11 1 1 1t t t t t tE Z Z E Z Z E Z aφ− − −= + −

أي 01 11γ φ γ=

)حيث )1 0t tE Z a− )بشكل عام ( = ) 0, 1,2,...t k tE Z a k− = ) آما سنبين الحقا =0وبالقسمة نجد γعلي

11 1φ ρ=

:بشكل عام تعرف دالة الترابط الذاتي الجزئي آالتالي: ١١تعريف

1

1 2 1

1 3 2

1 2 1

1 2 1

1 3 2

1, 0=, 1

11

11

k

k

kk k k k

k k

k k

k

kkρ

ρ ρ ρρ ρ ρ

φ ρ ρ ρ ρρ ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ

−

−

− −

− −

− −

−

=

=

L

L

M M L M M

L

L

L

M M L M M

1 2 1

, 2,3,...

1k

k

ρ ρ−

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

L

ترمز الي محددة مصفوفة حيث

الكبيرة ولهذا سوف نعطي تعريف آخر لحساب دالة kعريف السابق صعب اإلستخدام ل

قيم الت :الترابط الذاتي الجزئي تكراريا

١٢

kk: ب١١تعريف تكراريا من العالقاتφتحسب 00 1, by definitionφ = 11 1φ ρ=

1

1,11

1,1

, 2,3,...1

k

k k j k jj

k

k j jj

kρ φ ρ

φφ ρ

−

− −=−

−=

−= =

−

∑

∑ kk

حيث 1, 1, 1, 1,2,...,kj k j kk k k j k 1φ φ φ φ− − −= − = −

:22φحساب م : ب١١ن تعريف

22 11 1 2 1

22 211 1 11 1

ρ φ ρ ρ ρφφ ρ ρ− −

= =− −

11وذلك ألن 1φ ρ=.

:٣ال : سوف نشتق اآلن دالة الترابط الذاتي الجزئي لعملية الضجة البيضاءمثيف ب ١١من تع

1, by definitionر

00φ = 11 1 0φ ρ= =

السابق١وذلك من مثال دkk ب ١١وبالتعويض في تعريف نجφعن

22 33 0φ φ= = =L :ذاوهك

kk

kφ

=⎧= ⎨

من دالتي الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي لعملية الضجة البيضاء الوهذه خاصية جميع المتغيرات العشوائية غير المترابطة او . ساوي الصفر من التخلف األول

.بط بين قيم مشاهدة لمتغير عشوائي تستخدم دالة الترابط الذاتي لذلكإلختبار عدم الترا. المستقلة

1, 00, 0k ≠⎩

:ولها الشكل التالي

الحظ أن آل: حظة مت

9876543210

1.0

0.5

0.0

PACF

Lag

Partial Autocorrelation function of White Noise

١٣

Sample Autocorrelation Function SACFدالة الترابط الذاتي للعينة : ١٢تعريف

nz1لمسلسلة زمنية مشاهدة 2 1, , , ,nz z z −L, 0,1,2kr k ..., ويرمز لها بالرمز وتعطى = :بالعالقة

( ) ( )

( )1

2

1

, 0,1,2,

n k

t t kt

k n

tt

z z z zr k

z z

−

+=

=

− −= =

−

∑

∑ ...

حيث 1

tt

z zn =∑ 1

=n

ˆ لدالة الترابط الذاتي أي atorEstimر قدوهي م , 0,1,2,...k kr kρ = ر قد وبما انها م=

:فهي إذا تتغير عشوائيا من عينة الخرى ولهذا فإن لها الخواص العينية التالية0,k k q ρإذا آانت -١ = فإن <

( ) 2

1

1 1 2 ,q

k kk

V r k qn

ρ=

⎛ ⎞≅ + >⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

,0وفي الحالة الخاصة عندما 0k kρ = ) فإن < ) 1 , 0kV r kn

≅ >

٢- n 0k ρالكبيرة و لقيم = krوبالتالي نستطيع القيام يكون لها تقريبا توزيع طبيعي :باالختبار التالي

فإن

0

1

: 0: 0

k

k

HH

ρρ

=≠

: وذلك بإستخدام اإلحصائة

12

kk

rn r

n−=

0.051.96knذلك عند r مستوى معنوية < αو إذا آانت 0H وترفض =0ضية تحت الفر -٣ k: 0,H kρ = ∀( ), 0,k k scorr r r s− ≅0 فإن ≠ :ر التباينات لدالة الترابط الذاتي للعينة آالتاليقدت -٤

( ) 2

1

1ˆ 1 2 ,q

k kk

V r r k qn =

⎛ ⎞≅ + >⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

Sample Partial Autocorrelationدالة الترابط الذاتي الجزئي للعينة : ١٣تعريف Function SPACF 1 2 1, , , ,n nz z z z−L اهدة لمسلسلة زمنية مش ويرمز لها بالرمز

, 0,1,2,...kkr k :تعطى بالعالقة =

١٤

1

0, 1

kr k

1 2 1

1 3 2

1 2 1

1 2 1

1 3 2

1,

11

11

k

k

kk k k k

k k

k k

k

r r rr r r

r r r r rr r r

r r r

r

−

−

− −

− −

− −

−

==

=

L

L

L

L

L

M M L M M

M M L M M

1 2 1

, 2,3,...

k

k

r−

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎪⎨ =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

L

⎪⎪

⎪

1r

:و لحساب دالة الترابط الذاتي الجزئي للعينة تكراريا

ريف kkع تكراريا من العالقاتrتحسب: ب١٣ت

00 1, by definitionr = 11 1r r=

1

1,11

1,1

, 2,3,1

k

k k j k j

...kk

k j jj

r r rr k

r r

−

− −

−

−=

−= =

−

∑

∑ j

k=

حيث 1, 1, 1, 1,2,..., 1kj k j kk k kr r r r j k− − −= − = −

لدالة الترابط الذاتي الجزئي للعينة أي Estimator مقدروهي ايضاا فإن ر فهي إذا تتغير عشوائيا من عينة الخرى ولهذقد وبما انها م

:وا العينية التالية

(

ˆ , 0,1,2,...kk kkr kφ = =ص لها الخ

١- ) 1 , 0kkkV rn

≅ >

٢- n الكبيرة kkr يكون لها تقريبا توزيع طبيعي وبالتالي نستطيع القيام باالختبار :التالي

: 0: 0

kk

kk

HH

فإن لقيم

φφ

=≠

: اإلحصائةوذلك بإستخدام

0

1

١٥

12

kkkk

rn r

n−=

1.96kkn r > 0H ض إذا آانت 0.05αوذلك عند مستوى معنوية وترف=0 تحت الفرضية -٣ : 0,kkH kφ = )0 فإن ∀ ),, 0,kk k s k scorr sφ φ − − ≅ ≠

:اينات لدالة الترابط الذاتي للعينة آالتالير التبقد ت-٤

( ) 1ˆ , 0kkV r kn

≅ >

ت منتج معين يوميا:٤مثال : الب

58 222 248 216 226 239 206 178 169

:أحسب الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي للعينة وارسمهما

مثل الطلب علي يانات التالية 1

)نحسب المتوسط : اوال )1

1 1 158 222 169 206.899

n

tt

z zn =

= = + + + =∑ L

رانحسب الت: ثانيا بط الذاتي من العالقة

( ) ( )

( )1

2

1

, 0,1,2,...k =

n k

t t kt

k n

tt

z z z zr

z z

−

+=

=

− −=

−

∑

∑( )( )1

158 222 222 248 178 1690.265116

158 158 222 222 169 169r

× + × + + ×= =

× + × + + ×L

L

( )( )2

158 248 222 216 206 169-0.212

158 158 222 222 169 169r

× + × + + ×= =

× + × + + ×L

L

( )( )3

158 216 222 226 239 1690.076

158 158 222 222 169 169r

× + × + + ×= =

× + × + + ×L

L −

8 7 6 5 40.230, 0.104, 0.242, 0.387, 0.183r r r r r= = = − = − = − نحسب التباينات من : ثا

وهكذا ثال

( ) 2

1

1ˆ 1 2 ,q

k kk

V r r k qn =

⎛ ⎞≅ + >⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

( )11ˆ9

V r ≅

( ) ( ) ( )( )222 1

1 1ˆ 1 2 1 2 0.265 0.12679

V r rn

≅ + = + =

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )2 22 23 1 2

1 1ˆ 1 2 1 2 0.265 0.212 0.13679

V r r rn

≅ + + = + + − =

١٦

( )4ˆ 0.138V r ≅ ( )5

ˆ 0.1454V r ≅ ( )6ˆ 0.1787V r ≅

…الخ :نحسب الترابط الذاتي الجزئي للعينة: رابعا

نحسب باقي الترابطات من العالقات التكرارية

00 1, by definitionr = 11 1 0.265r r= =

ثم1

1,11

1,1

, 2,3,1

k

k k j k jj

kk k

k j jj

r r rr k

r r

−

− −=−

−=

−= =

−

∑

∑ ...

حيث 1, 1, 1, 1,2,..., 1kj k j kk k kr r r r j k− − −= − = −

( ) ( ) ( )( ) ( )

1

2 1, 21 2 11 1

22 111 1

1,1

0.212 0.265 0.265 0.2822251 1 0.265 0.265 0.9297751

0.30354

j jj

j jj

r r rr r rr

r rr r

−=

=

−− −− −

= = = =− −−

= −

∑

∑

الى وتحسب من21r نحتاج 33rلحساب ( ) ( )21 11 22 11 0.265 0.303 0.265 0.345295r r r r= − = − − =

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

2

3 2, 31 3 21 2 22 1

33 121 1 22 2

2,11

1

0.092

j jjk

j j

r r rr r r r r

rr r r rr r

−=−

−− +

= =− +−

=

=

∑

∑

وهكذا نحسب

ولها جميعا التباينات

1

0.076 0.345 0.212 0.303 0.2650.345 0.265 0.303 0.212

j=

− − − + −

− + − −

باقي الترابطات الجزئية للعينة 88 77 66 55 440.042, 0.013, 0.207, 0.294, 0.298r r r r r= = = − = − = −

تساوي تقريبا

١٧

1 0.11119 = رسم دوال الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي للعينة: خامسا

87654321

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0Au

toco

rrelatio

n

LBQTCorrLagLBQTCorrLag

13.66

1 60 1.50 0.87 0.52

0 21-0.59 0.80 0.23

0 08-0.21 0.27 8

321

Autocorrelation Function for Demand

87654321

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Parti

al A

utoc

orre

latio

n

TPACLagTPACLag

0.13 0.80 0.04 0.27 81

0.04

-0.91

0.01

-0.30

7

2

Partial Autocorrelation Function for Demand

-0.62-0.88-0.89 0.27

-0.21-0.29-0.30 0.09

6543

١٨

الثانيMoving -Autoregressiveالمتوسط المتحرك _ذج اإلنحدار الذاتي

الفصل نما

Average Modelsوإستخداماتها في التنبؤ :

المتوسط المتحرك _هناك عائلة آبيرة من النماذج التي يطلق عليها نماذج اإلنحدار الذاتيAutoregressive-Moving Average Models والتي اثبتت األبحاث الكثيرة في مختلف

التقليدية في التنبؤ .الميادين التطبيقية علي تفوقها الهائل علي الط

رق

)المتوسط المتحرك من الدرجة _نموذج اإلنحدار الذاتي: ١٤تعريف ),p q ويرمز له ( ),ARMA p q لمتسلسلة زمنية مشاهدة { }1 2, ,z z 1, ,n nz z−Kيكتب علي الشكل:

1 1 2 1 1 2 2t t q t qa a a2t t t p t p tz z z z aδ φ φ θ θ θ− − − −+ − − − = + φ− −+ + + −L L

)حيث )2

و δ−∞ < < ي معلم ثابت يمثل المستو∞ 0,ta WN σ ضجة بيضاء و متسلسلة

1 2, , , pφ φ φK هي معالم اإلنحدار الذاتي Autoregressive Parameters و

1 2, , , qθ θ θK هي معالم المتوسط المتحركMoving Average Operators

هذه النماذج لكي Operators Algebraسوف نستعين بجبر العمال سهي لتبسي ل التعامل معهاط

الخواص وله Bله ويرمز Backshift Operatorعامل اإلزاحة الخلفي : ١٥تعريف :التالية

( ) ( )( )1

1 2

t t

m m mt t t m

1

2

3 , is a constantt

Bz z

B z

Bc c c

B Bz B B Bz z−

− −−

− =

− =

− =

= = =L

الحقا هي :باإلضافة الي عامل اإلزاحة الخلفي توجد عمال اخري نحتاج الي

: ب١٥تعريف

ها

: ويعرف آالتاليF ويرمز له Forewardshift Operator عامل اإلزاحة األمامي -١1F B−= : ويعرف آالتالي∇له ويرمز Difference Operator عامل التفريق -٢

( )1 B∇ = − : ويعرف آالتاليS ويرمز Sum Operatorالتجميع عامل -٣ له

( ) 11 1S B −−= ∇ = −

( ),p q الدرجة المتوسط المتحرك من_ن نعود الي نموذج اإلنحدار الذاتياآل ونكتبه علي :الشكل

١٩

( ) (

1 1 2 2

)

1 2 2

2 21 2 1 2

2 21 2 1 21 1

t t t p t p t t t q t q

p qt t t p t t t

p qp t

z z z z a a a a

z Bz B z B z a Ba B

B B B z B B B a

1

t t qa B a

q t

φ φ φ δ θ θ

φ φ φ δ θ θ

φ φ φ δ θ θ θ

− − − − − −− − − − = + − − − −

− − − − = + − −

− − − − = + − − − −

L L

L L

L L

θ

θ− −

أو( ) ( )p tB z q tB aφ δ= +θ

)حيث ) 21 21 p

p pB B Bφ φ φ= − − − −L مل اإلنحدار الذاتي Autoregressive هو

Bφعا

Operator و( ) 21 21q q

qB B Bθ θ θ θ= − − − −L هو عامل المتوسط المتحرك Moving Average Operator

B

:أمثلة) ويرمز له Constant Mean Modelنموذج المتوسط الثابت -١ )0,0ARMA ويكتب

:علي الشكل( ) ( )0 0t tB z B aφ δ θ= +

او( ) ( )

( )2

1 1

, 0t t

t t t

z a

z a a WN

δ

,δ σ

= +

= +

)درجة االولي اإلنحدار الذاتي من النموذج -٢ ) ( )1,0 1ARMA AR≡وهو علي الشكل : ( ) ( )1 0t tB z B aφ δ θ= +

( )( )

1

21 1

1

, 0t t

t t t t

B z a

z z a a WN

φ δ

,δ φ σ−

− = +

= + +

( ) ( )0,1 1ARMA MA≡رك من الدرجة االولي نموذج المتوسط المتح -٣ : وهو علي الشكل( ) ( )0 1t tB z B aφ δ θ= +

( )( )

1

21 1

1

, 0t t

t t t t

z B a

z a a a WN

δ θ

,δ θ σ−

= + −

= + −

)نموذج ا - ) ( )2,0 2ARMA AR≡إلنحدار الذاتي من الدرجة الثانية ٤ : وهو علي الشكل( ) ( )2 0t tB z B aφ δ θ= +

( )( )

21 2

21 1 2 2

1

, 0

t t

t t t t t

B B z a

z z z a a WN

φ φ δ

,δ φ φ σ− −

− − = +

= + + +

)المتوسط المتحرك _نموذج اإلنحدار الذاتي - )1,1ARMA١و١(من الدرجة ٥ : ونكتبه علي الشكل (

( ) ( )1 1t tB z B aφ δ θ= + ( ) ( )

( )1 1

21 1 1 1

1 1

, 0t t

t t t t t

B z B a

z z a a a WN

φ δ θ

,δ φ θ− −

− = + −

= + + − σ

٢٠

:المتوسط المتحرك_صائص نماذج اإلنحدار الذاتي خ

المتوسط المتحرك ومعرفة آيفية التعرف _وف ندرس الخصائص اإلحصائية التي تميز نماذج اإلنحدار الذاتي .ي احد هذه النماذج من عينة مشاهدة وذلك لتعيين او تحديد نموذج مناسب يصف المشاهدات

:ARMA)٠،٠(نموذج المتوسط الثابت: الو

سعل أ

وي كتب علي الشكل ( ) ( )0 0t tB z B aφ δ θ= +

او( )2, 0t t tz a a WN ,δ σ= +

ودالتي الترابط ) المتوسط(سوف نشتق الخواص اإلحصائية لهذا النموذج وذلك بإيجاد التوقع :الذاتي والترابط الذاتي الجزئي آالتالي

( ) ( )t tE z Eδδ= +

=

a

( )20,ta WN σوذلك ألن )سوف نرمز لمتوسط )tE zµ ) وبالتالي= )tE z بالرمزµ يكون المتسلسلة أي δ µ=

:ويكتب النموذجt tz aµ− =

التي الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي نضرب طرفي المعادلة السابقة في إلشتقاق دt ونأخذ التوقع أي kz µ− −

( ) ( ) ( )t k t t k tE z z E zµ µ µ− −− − = −⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣ a ⎤⎦( ) ( )t k tE z z kµولكن µ γ− − − =⎡ ⎤⎣ إذا٨ من تعريف ⎦

عالقة تكراريا :ونحل هذه( ) , 0, 1, 2,k t k tE z a kγ µ−= − = ± ±⎡ ⎤⎣ ⎦ L

ال( )00 : t tk E zγ µ= = − a⎡ ⎤⎣ ⎦

tإليجاد الطرف األيمن نضرب طرفي tz aµ− = ta في ونأخذ التوقع أي( ) ( ) 2

t t t tE z a E a aµ σ− = =⎡ ⎤⎣ ⎦

)وذلك ألن )20,ta WN σ إذا

( ) 200 : t tk E z aγ µ σ= = − =⎡ ⎤⎣ ⎦

( )1 11: 0t tk E z aγ µ−= = −⎡ ⎤⎣ ⎦ =و ألن ذلك

( ) ( )1 1

1 1 0t t

t t t t

z a

E z a E a a

µ

µ− −

− −

− =

− =⎡ ⎤⎣ ⎦

=ف ي الحقيقة فإن

٢١

( ) ( ) 0, 1,2,k

a E a a k

, 1,2,t k t

t k t t k t

z a k

E z

µ

µ− −

− −

− = =

−⎡⎣ ⎦

K

أي

= = =⎤ K

: ١قاعدة

( ) ( )2 , 0

0, 1,2,..t k t t k tk

E z a E a ak

σµ− −

⎧ =− = =⎡ ⎤ ⎨⎣ ⎦ =⎩

أي

:وتوضع علي شكل دالي

0kkσ

γ⎧ =

≠⎩

2

0

0, 1, 2,k kγ σγ

== = ± ± K

2 , 00, k

= ⎨

2وبالقسمة علي0 γ σ= نجد

0

1, 00, 0

kk

kk

γργ

=⎧= = ⎨ ≠⎩

نجد١١ريف

:ولها الشكل التالي

9876543210

1.0

0.5

0.0

Auto

corr

Lag

Autocorrelation function of Constant Mean Model

نشتق اآلن دالة الترابط الذاتي الجزئي من التع

٢٢

00

11 1

11

1

1 222

1

1

1, by definition, by definition

01 1 0

0 00

1 1 01 0 1

φφ ρφ

ρρ ρ

φρ

ρ

===

= =

=

1 1

1 2

2 1 333

1 2

1 1

2 1

1 1

1 2

1 2

1 1

1 2

1 2

1 1 0 01 0 1 0

0 0 00

1 1 0 01 0 1 0

1 0 0 1

1 1 0 01 0 1 0

0 0 0 0 0, 2,3,1 0 01 10 1 01

0 0 11

k k k

k

k

k

kkk

k

ρ ρρ ρρ ρ ρ

φρ ρ

ρ ρρ ρ

ρ ρρ ρ

ρ ρ ρφ

ρ ρρ ρ

ρ ρ

− −

−

−

= = =

= = = = =

M

L L

L L

M M M M M M M M

L LL

LL

LL

M M M MM M M M

LL

:وتوضع علي شكل داليk

φ=⎧

= ⎨⎩

:ولها الشكل التالي

ج نموذ: الحظة

− −

1, 0kk 0, 0k ≠

المتوسط الثابت اليفترق عن نموذج الضجة البيضاء اال في ان له متوسط غير صفري9876543210

1.0

0.5

0.0

PACF

Lag

Partial Autocorrelation function of Constant Mean Model م

٢٣

ARMA)١،٠ = (AR)١(نموذج اإلنحدار الذاتي من الدرجة االولي : نيا ثا

و :هو علي الشكل( ) ( )1 0t tB z B aφ δ θ= +

( )( )

1

21 1

1

, 0t t

t t t t

B z a

z z a a WN

φ δ

,δ φ σ−

− = +

= + +

آال :ودالتي الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي) المتوسط(نموذج السابق سوف نوجد التوقع ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

11

1

11

1

1

11

11

t t

t t

t t

B z a

z B a

E z E B a

φ δδ φφδ φφ

−

−

− = +

= + −−

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦− ال حد الثاني في الطرف األيمن هو

( ) 11 1

0

1 j jt t

j

E B a E B aφ φ∞

−

=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤− = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∑

1ن تكون المتسلسلة الآلنهائية 0

j j

j

Bφ∞

=

< متقاربة وذلك ∑∞

يتحقق

إلدخال التوقع علي المجموع الآلنهائي يجب ا

1 إذا آانت 1φ Complex اآلن يلعب دور متغير مرآب Bالعامل وذلك إذا اعتبرنا >Variab 1 له الشكلB B في الحقيقة البد ان نتطلب ان تكون جزور او = a ib= + le وله القياس

)اصفار )11 0Bφ− 1Bخارج دائرة الوحدة أي = أي <

1

1

11

1 01

11 1

B

B

B 1

φ

φ

φφ

− =

=

> ⇒ > ⇒ <

و نعود الي العالقة . هذا هو شرط اإلستقرار

( )

( )

11 1

0

10

1

=

=0,

j jt t

j

j jt

j

E B a E B a

B E a

t

φ φ

φ

∞−

=

∞

=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤− = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∀

∑

∑

وي كون

٢٤

( ) ( )11tE z δφ

=−

او

( )( )

1

1

1

1

δµφ

δ µ φ

=−

∴ = −

لنموذج نجد في صيغة اδعن

ta

وبالتعويض

( )( )

( ) ( )

1 1

1 1 1

1 1

1 1

1t t t

t t

t t

t t

z z az a

z a

z z

δ φµ φ φ

µ φ µ

µ φ µ

−

−

−

−

= + +

= − + +

= + − +

− − − =

kztنضرب طرفي المعادلة السابقة في µ− ونأخذ التوقع أي −( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0ta kµ− =⎤⎦1 1 , 1, 2,t k t t k t t kE z z E z z E zµ µ φ µ µ− − − −− − − − − = ± ±⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ L

أي

( )1 , 0, 1, 2,k k t kz a kγ φ γ µ− −− = − = ± ±⎡ ⎤⎣ ⎦ L : و تحل هذه العالقة تكراريا آما يلي٨ك من تعريف

1 tE وذل

γم إل ي

( )0 : t tk E z aφ γ µ= − = −⎡ ⎤⎣ ⎦ بالتالي :جاد الطرف األيمن نقو

0 1 1

( ) ( ) ( )( ) ( ) 2

1 0

( )

1 1

2

t t t t t t

t t

t t

E a z E a z E a a

E a z

z

µ φ µ

µ σ

−− − − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦−⎡⎣ µ φ σ− × =⎤⎦

E a∴ − =⎡ ⎤⎣ ⎦ إذا

20 1 1γ φ γ σ− =

( )1 1 0 11: 0t tk E zγ φ γ µ−= − = −⎡ ⎤⎣ ⎦ a = في الحقيقة

1 1 0, 1,2,k k kγ φ γ −− = = L نجد0γبقسمة المعادلة األخيرة علي

1 1 0, 1,2,k k kρ φ ρ −− = = L أو

1 1, 1,2,k k kρ φ ρ −= = L 10ρوبما ان : فإن=

1 1 0 12

2 1 1 1

ρ φ ρ φ

ρ φ ρ φ

= =

= =

٢٥

1k

kρ φ=

M

أو بشكل دالة1 0, 1, 2,k

k k= = ± ± k,وذلك ألن k kρ ρ− = سوف ننظر من اآلن∀

,ρ φ L

أيkρ وصاعدا للشق الموجب من

:ة لها الشكل التالي1عندما 0

1 , 0,1,2,kk kρ φ= = L

هذه الدالφ تكون -١ >

109876543210

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Lag

ACF

Autocorrelation function of AR(1) Model

1عندما تكون -٢ 0φ <

نشتق اآلن دالة الترابط الذاتي الجزئي نجد١١من تعريف

109876543210

0.3

0.2

0.1

0.0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

ACF

Autocorrelation function of AR(1) Model

Lag

٢٦

00

11 1 1

1 12

1 2 1 122 2

1 1 1

1 1

1 1 1 12

1 2 1 1

1 21 2 1 1 1

1 1 1 11

1 2 1 1

11 1

11 1

1

k k kk k k

kk

kk

k1 2 1

1, by definition, by definition

1 10 0

1 1 11 1

1

1kk

k k

φφ ρ φ

ρ φρ ρ φ φ

φρ φ φ

ρ φ

φ

− −

== =

= = = =−

M

ρ ρ φ φρ ρ φ φ

ρ ρ ρ φ φ φρ ρ φ φ

ρ ρ φ φ

ρ ρ φ

− −− −

−

−−

= =

L L

L L

M M L M M M L M

L L

L L

L L

M M L M M M L M

L 1 2

00

1kφ− −

=>

L

1

1ن العامود األخير يساوي العامود األول مضروبا حددة البسط تساوي صفرا أل

في ونكتب φم

: الذاتي الجزئي علي الشكل الدالي

:ها الشكل التالي1عندما - 0

دالة الترابط

1

1, 0, 1

0, 2kk

kkk

φ φ=⎧

⎪= =⎨⎪ ≥⎩

ولφ تكون ١ >

1عندما - 0

φ تكون ٢ <

109876543210

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Lag

PACF

Partial Autocorrelation function of AR(1) Model

٢٧

1دائما الترسم أي م: مالحظة

109876543210

0.0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

Lag

PACF

Partial Autocorrelation function of AR(1) Model

0ρ 00ن او = 1φ . في األشكال البيانية= :مناقشة النموذج

1 تكون عندما -١ 1φ ) فإن ) شرط اإلستقرار (> ) ( )11tE z δ φ= t وهوثابت لجميع − t فقط والتعتمد علي الزمنk دالة الترابط الذاتي دالة للتخلف -٢

قيم

1 عندما تكون 1ρدالة الترابط الذاتي تتخامد اسيا في إتجاه واحد إبتداءا من -٣ 0φ وتتخامد <0سالبة عندما تكون 1φاسيا مترددة بين القيم الموجبة وال <

00مع عدم النظر( قيمة واحدة غير صفرية ويكون ) φ الي دالة الترابط الذاتي الجزئي لها -٤1إتجاهها حسب 1φ ومقدارها يساويφإشارة

:ARMA)٢،٠ = (AR)٢( نموذج اإلنحدار الذاتي من الدرجة الثانية : ثالثا : ويكتب علي الشكل

( ) ( )( )

( )

2 0

21 2

21 1 2 2

1

, 0

t t

t t

t t t t t

B z B a

B B z a

z z z a a WN

φ δ θ

φ φ δ

,δ φ φ σ− −

= +

− + = +

= + + +

تي والترابط الذاتي الجزئي الذا :توسط ودالتي الترابط آالسابق نوجد الم( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

21 2

121 2

1 2

121 2

1 2

1

11

11

t t

t t

t t

B B z a

z B B a

E z E B

φ φ δ

δ φ φφ φ

δ φ φφ φ

−

−

− − = +

= + − −− −

⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥⎣ ⎦− −

B a

٢٨

ف األيمن مجموع حد الثاني في الطر0

j t jj

E aψ∞

−=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ولكي ندخل التوقع ∑

خل التجميع الالنهائي 0

j t jj

aψ∞

النهائي على الشكل

البد ان تكون

ال

−= متقاربة في المتوسط المربع وهذا يتحقق إذا ∑

2

0j

j

ψ∞

=

< :ار الذاتي الشروط التالية وهذا يتحقق إذا حققت معالم اإلنحد∑∞

دا

وفقط إذا آان

2 1

2 1

2

11

1 1

φ φφ φ

φ

− <+ <

− < <

هذه الشروط تنتج ايضا من آون جزور او أصفار ( والتي تسم بشروط اإلستقراري( )2

1 21 0B Bφ φ− − إذا تحققت شروط اإلستقرار فإن ) . خارج دائرة الوحدة =

( ) ( ) ( )1 12 21 2 1 21 1t t 0,E B B a B B E aφ φ φ φ

− −⎡ ⎤ ⎡− − = − − = ∀⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ t⎤

⎥⎦وي كون

( ) ( )

( )1 2

1 2

1

1

tE z δµφ φ

δ φ φ µ

= =− −

= − −

عن بالتعويض في صيغة النموذج نجدδو ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 2 2t t tz z aφ µ φ µ− −− − − − =

1 2 1 1 2 2

1 1 2 2

1t t t t

t t t

t

z z z a

z z a

z

φ φ µ φ φ

µ φ µ φ µ

µ

− −

− −

= − − + + +

= + − + − +

−

t kz −µالسابقة في نضرب المعادلة : ونأخذ التوقع نجد−( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2t t k t t kz z z z

( ) , 0, 1, 2,...t t k

t t k

E z z

E a z k

µ µ

µ−

−

− − −⎡ ⎤⎣ ⎦= − = ± ±⎡ ⎤⎣ ⎦

أي

φ µ µ φ µ µ− − − −− − − − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )1 1 2 2t k t t kz z

, 0, 1, 2,...t t k t

t t k

E z z E z E z

E a z k

µ µ φ φ

µ− −

−

− − − −⎡ ⎤ ⎤⎦ ⎣ ⎦ ⎦= − = ± ±⎡ ⎤⎣ ⎦

ا آما يلي٨ن تعريف ع : اآلن نحل ه

µ µ µ µ− − −− − − −⎡⎣⎡ ⎤⎣

أو( )1 1 2 2 , 0, 1, 2,...k k k t t kE a z kγ φ γ φ γ µ− − −− − = − = ± ±⎡ ⎤⎣ ⎦

القة تكراريوذلك م ذه ال

٢٩

( ) 2 20 1 1 2 2 0 1 1 2 20 : t tk E a zγ φ γ φ γ µ σ γ φ γ φ γ σ− −= − − = − = ⇒ = − +⎡ ⎤⎣ ⎦

١وذلك من قاعدة 1 1 0 2 1 1 1 0 2 11: 0k γ φ γ φ γ γ φ γ φ γ= − − = ⇒ = − 2 1 1 2 0 2 1 1 22 : 0k 0γ φ γ φ γ γ φ γ φ γ= − − = ⇒ = −

2

وبشكل عام 1 1 21: k k kk γ φ γ φ γ− −≥ = +

نجد0γبقسمة الطرفين علي ...

1 1 2 2 , 1,2,k k k kρ φ ρ φ ρ− −= + =

علي الشكل 1 بوضع المعادلة السابقة : مالحظة( 1 2 2 0, 1,2,...k k k kρ φ ρ φ ρ− −− − = =تخدام طر

:لطريقة التكرارية والتي تحتاج الي قيمتين اوليتينل العالقة السابقة با

ق حل ونجد انها معادلة فر قية من الدرجة الثانية والتي يمكن حلها بشكل مغلق بإس )قية ولكن هذا خارج نطاق المقرر الحاليوالمعادالت الفر

سوف نح0

11 1 0 2 1 1

2

1 1

21

ρφρ φ ρ φ ρ ρφ−

− =

− = + ⇒ =−

ومنها نجد2

12 1 1 2 0 2

21φ

2ρ φ ρ φ ρ ρ φφ

= + ⇒ = +−

…هكذا الخ

ألشكال التالية هي لدوال الترابط الذاتي

و

) لعملية )2AR

1 20.4, 0.4ا

) ١(الشكل - ١φ φ= = 1 21.5, 0.8 φ) ٢( الشكل - φ= = − 1 20.5, 0.6

٢) ٣( الشكل - ٣φ φ= = −

)١(كل ش

20100

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Lag

ACF

ACF

٣٠

)٢(شكل

آلن نشتق

)٣(شكل

( )2ARدالة الترابط الذاتي الجزئي لعملية : آالتالي ا

00

11 1

1, by definition, by definition

φφ ρ

==

12

1 2 2 122 2

1 1

1

1

01 1

1

ρρ ρ ρ ρφ

ρ ρρ

−= =

− ≠

20100

1.0

0.5

0.0

-0.5

Lag

ACF

ACF

20100

0.5

0.0

-0.5

Lag

ACF

ACF

٣١

1 1 1 1 1 2 1

1 2 1 2 1 1 2

2 1 3 2 1 3 1 2 2 133

1 2

1 1

2 1

1 11 1

01 0

11

ρ ρ ρ ρ φ φ ρρ ρ ρ ρ φ ρ φρ ρ ρ ρ ρ ρ φ ρ φ ρ

φρ ρ

ρ ρρ ρ

= += += +

= =>

=

و ذلك ألن العمود األخير في محددة البسط هو ترآيب خطي من العمودين األول والثاني، آذلك1 1 1 1 1 0 2 1

1 2 1 2 1 1 2 0

1 2 1 2 1 1 2 2

1 1

0,1 0kρ ρ −

=>L

1 2

1 2

1 11 1

3,4,...

1

1

k k k k k k k kkk

k

k k

ρ ρ ρ ρ φ ρ φ ρρ ρ ρ ρ φ ρ φ ρ

ρ ρ ρ ρ ρ ρ φ ρ φ ρφ

ρ ρ

ρ ρ

− − − − − −

−

− −

= += +

= += = =

L L

L L

M M L M M M L M

L L

L

M M L M

L

k

إذا. وذلك ايضا لنفس السبب السابق

12

2 121

1, 0, 1

, 21

0, 3

kk

kk

k

k

ρφ ρ ρ

ρ

=⎧⎪ =⎪⎪= −⎨ =⎪ −⎪

≥⎪⎩

) لعملية جزئياألشكال التالية هي لدوال الترابط الذاتي ال )2AR

1 20.4, 0.4φ φ= = 1 21.5,

) ٤(الشكل -٤0.8φ) ٥( الشكل -٥ φ= = −

1 20.5, 0.6φ) ٦( الشكل -٦ φ= = −

)٤(شكل

20100

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Lag

PACF

PACF

٣٢

)٥(شكل

:ARMA)٠،١ = (MA)١( األولي نموذج المتوسط المتحرك من الدرجة : بعا

20100

1

0

-1

Lag

PACF

PACF

)٦(شكل

20100

0.3

0.2

0.1

0.0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

-0.6

Lag

PACF

PACF

را

وت :كتب علي الشكل( ) ( )

( )( )

0 1

1

21 1

1

, 0

t t

t t

t t t t

B z B a

z B a

z a a a WN

φ δ θ

δ θ

,δ θ σ−

= +

= + −

= + −

اآلن نوجد :المتوسط ودالتي الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي

( ) ( )1 1t t tE z E a aδ θ δµ δ

−= + − =

∴ =

كتب النموذج ta

ون1 1t tz aµ θ −− = −

tضرب هذه المعادلة في kz µ− ب وأخذ التوقع نجد−( ) ( ) ( ) ( )1 1 , 0, 1, 2,...t t k t k t t k tE z z E z a E z a kµ µ µ θ µ− − − −− − = − − − = ± ±⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

٣٣

او ( ) ( )1 1 , 0, 1, 2,...k t k t t k tE z a E z a kγ µ θ µ− − −= − − − = ± ±⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

وب حلها تكراريا( ) ( )0 10 : t t t tk E z a E zγ µ θ µ −= = − − − 1a⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

)جد آل من )t tE z aµ−⎡ ⎤⎣ ) و ⎦ ) 1t tE z aµ −−⎡ ⎤⎣ نو : آاآلتي⎦

( ) ( ) ( ) 21 1t t t tE a a E a at tE z aµ θ σ−− = − = ⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) 21 1 1 1 1t t t t t tE z a E a a E a a 1µ θ θ− − − −− = − = −⎡ ⎤⎣ ⎦ σ

( ) ( )2 2 20 1 1 1 2

1γ σ θ θ σ σ θ∴ = − − = +

( ) ( )1 1 1 1

2 1 11 1 1 2

0 1

1:

1

t t t tk E z a E zγ µ θ µ

γ θγ θ σ ργ θ

− −= = − − −⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣−

∴ = − ⇒ = =+

1a − ⎤⎦

و ١ذلك بإستخدام القاعدة ( ) ( )2 2 1 2 12 : t t t tk E z a E z aγ µ θ µ− − −= = − − −

2 20 0γ ρ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

وبشك١دة ∴ = ⇒ =

ل عام فإنأيضا من قاع2 : 0 0k kk γ ρ= ⇒ =

ذا ≥

ي لنموذج المتوسط المتحرك من الدرجة ) ا )1 لذات األولي فإن دالة الترابط هي علي MAوهك:ل الشك

12

1

1, 0

, 11

0 2

k

k

k

k

θρθ

⎧ =⎪ −⎪= =⎨ +⎪⎪ ≥⎩

:ها الشكل التالي1 0.8

ولعندما - ١θ =

20100

0.0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

Lag

ACF

ACF

٣٤

عندما - ٢1 0.8θ = −

)آلن نشتق دالة الترابط الجزئي لنموذج المتوسط المتحرك من الد )1

20100

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Lag

ACF

ACF

MA رجة األولي ا

00

11 1

1, by definition, by definition

φφ ρ

==

( )

( )

1 12 22 2

1 11 2 1 1 122 2 2 2 4 6

1 1 1 1 1 1

1

1 1 1 1

1 2 13 23

1 12 1 3 1 133 2 8

1 2 1 1 1

1 1 1 11 1

2 1 1

1 110

1 1 1 1 11

1 11 1 0

10 01 1 0 1 2 1

1 0 1

ρ ρθ θρ ρ ρ ρ θφ

ρ ρ ρ θ θ θρ

ρ ρ ρ ρρ ρ ρ

θ θρ ρ ρ ρ ρφρ ρ ρ ρ θ

ρρ ρ ρ

− −− −= = = = =

− − + + −

− −= = = =

− −

وبشكل عام

ρ ρ ρ

( )( )

21 1

2 11

1, 0

1

k

kk k kθ θ

φθ +

− −= >

−

1

:ولها الشكل التالي

θ 0.8عندما عندما -١ = −

٣٥

٣٦

1 0.8

20100

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

-0.1

-0.2

-0.3PA

CF

PACF

Lag

ما θعند -٢ =

:ARMA)٠،٢ = (MA)٢(متحرك من الدرجة الثانية نموذج المتوسط ال: خامسا

20100

0.0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

Lag

PAC

F

PACF

,

:وتكتب علي الشكل( ) ( )

( )( )

0 2

21 2

21 1 2 2

1

, 0

t t

t t

t t t t t

B z B a

z B B a

z a a a a WN

φ δ θ

δ θ θ

δ θ θ σ− −

= +

= + − −

= + − −

:اآلن نوجد المتوسط ودالتي الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي

( ) ( )1 1 2 2t t t tE z E a a aδ θ θµ δ

− −= + − − = δ=

∴

ب النموذج t

ونكت1 1 2 2t t tz a a aµ θ θ− −− = − −

tب هذه kz −µالمعادلة في بضر وأخذ التوقع نجد−( ) ( ) ( ) ( )

( )1 1

2 2 , 0, 1, 2,...t t k t k t t k t

t k t

E z z E z a E z a

E z a k

µ µ µ θ µ

θ µ− − −

− −

− − = − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣− − = ± ±⎡ ⎤⎣ ⎦

− ⎤⎦

او ( ) ( ) ( ) 2 , 0, 1t k ta kµ− −− = ±⎤⎦1 1 2 , 2,...k t k t t k tE z a E z a E zγ µ θ µ θ− − −= − − − − ±⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

ا نجد

0 1 2

21 1 1 2

2 2

1

0, 2

وبحلها تكراري( )( )

2 2 2

2

k k

γ θ θ σ

γ θ θ θ σ

γ θγ

= + +

= − +

= −= >

0وبالقسمة

σ

نجدγعلي 1 1 2

1 2 21 2

22 2

1 2

1

10, 2k k

2

θ θ θρθ θθρ

θ θρ

− +=

+ +−

=+ +

= >

وتكتب علي شكل دالة

1 1 22 2

1 2

22 2

1 2

1, 0

, 11

, 21

0, 2

k

k

k

k

k

θ θ θθ θ

ρθ

θ θ

=⎧⎪ − +⎪ =

+ +⎪= ⎨ −⎪ =⎪ + +⎪ >⎩

)األشكال التالية هي لدوال الترابط الذاتي لعملية )2MA

1 20.4, 0.4 ) ٧(الشكل - ٧θ θ= = 1 21.5, 0.8 )٨ (θ θ= = − 1 20.5, 0.6

الشكل -٨) ٩( الشكل - ٩θ θ= = −

٣٧

)٧(شكل

)٨(شكل

20100

0.0

-0.1

-0.2

-0.3

Lag

ACF

ACF

0.2

0.1

0.0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

)٩(شكل

20100

-0.6

-0.7

Lag

ACF

ACF

0.4

0.3

20100

0.2

0.1

0.0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

Lag

ACF

ACF

٣٨

من الصعب جدا إيجاد شكل مغلق لدالة الترابط الذاتي الجزئي لنموذج المتوسط المتحرك من لحسابها ورسمها تكراريا لقيم ١١ف

)١٠ (0.4, 0.4

)الدرجة الثانية )2MAب ولهذا سوف نستخدم تعري :عالم التاليةلما

1الشكل -١٠ 2θ θ= = 1 2 ,1.5) ١١(شكل ال -١١ 0.8θ θ= = −

,20.5) ١٢( الشكل -١٢ 0.61θ θ= = −

١٠(شكل

)١١(شكل

(

20100

0.0

-0.1

-0.2

-0.3

Lag

PACF

PACF

20100

0.2

0.1

0.0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

-0.6

-0.7

Lag

PACF

PACF

٣٩

)١٢(شكل

:ARMA)١،١(اإلنحدار الذاتي من الدرجة -نموذج المتوسط المتحرك: سادسا

20100

PACF 0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

-0.1

-0.4

-0.5

-0.2

-0.3

Lag

PACF

:ويكتب على الشكل( ) ( )

( ) ( )

( )

1 1

1 1

1 1 1 1

21 1 1 1 1 1

1 1

, 0, ,

t t

t t

t t t t

t t t t t

B z B a

B z B az z a a

z z a a a WN

φ δ θ

φ δ θφ δ θ

δ φ θ σ φ− −

− −

= +

θ

= + −

− = + −

+ − ≠

−

= +

1شرط اإلستقرار 1φ 1 وشرط اإلنقالب > 1θ وهناك شرط آخر يسمى شرط اإلمتساخ >Degeneracy Condition 11 وهوφ وهذا الشرط يضمن عدم إمتساخ النموذج إلى نموذج θ≠

عالقة 1أقل درجة ففي حالة آون 1φ θ=فمن ال ( ) ( )1 11 1t tB z B aφ δ θ− = + وبالقسمة على −

( )11 Bφ− أن النموذج يصبح نجدt tz aδ ′= حيث +11

δδφ

′ =−

) وهو )0,0ARMA

:نوجد المتوسط آالتالي( ) ( )1 11 1t tB z B

( )( )

( ) ( )( ) ( )

1

1 1

1

1 1

11 1

11 1

t t

t t

a

Bz a

B

BE z E a

B

θδφ φ

θδφ φ

−= +

− −

−= +

− −

φ δ θ− = + −

1 1φ وذلك ألن وهكذا >

( )11tE z δφ

=−

)أي )11tE z δµφ

= =−

) أو )11δ µ φ= نجدδعن وبالتعويض −

1 1 1 1 11 t t

t

z z a a

z

µ φ φ θ( )(

t t

) ( )1 1 1 1t t tz a aµ φ µ θ− −+ + −

−

= −

− −− − = −

)طرفي المعادلة بالحد وبضرب ) , 0, 1, 2,...t kz kµ− − = ± وأخذ التوقع للطرفين نجد±( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 ,t t t k tE z aµ θ µ− − −− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 1

0, 1, 2,...t k t t k t kE z z E z z E z a

k

µ µ φ µ µ− − −− − − − − = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ± ±

ومنها

٤٠

( ) ( )1 1 1 1t k t k t− − −⎣ ⎦جد وبحلها تكرار

, 0, 1, 2,...tE z a E z a kγ φ γ µ θ µ− − − − = ± ±⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ يا ن

k k− =

( ) ( )0 1 1 1 10 t t t t−

نوجد اآلن آل من k E z a E z aγ φ γ µ θ µ= − = − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )t tE z a− µ⎡ ⎤⎣ ) و ⎦ ) 1t tE z aµ− −⎡ ⎤⎣ بضرب العالقة⎦

t ( ) ( )1 1 1 1t t tz z a aµ θµ φ − −− − =

1t− التوقع− −

من وأخذ aي آل و taف( ) ( ) [ ] [ ]1 1 1 1t t t t t t t tE z a E z a E a a E a aµ φ µ θ− −− − − = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

نجد١ومن القاعدة ( ) ( ) (( )

21 1

2

0 0t t

t t

E z a

E z a

µ φ σ θ

µ σ

− − = − )⎤⎦− =⎡ ⎤⎣ ⎦

و

⎡⎣

( ) ( ) [ ] [ ]( )( ) ( )

1 1 1 1 1 1 1

2 21 1 1

21 1 1

0t t t t t t t t

t t

t t

E z a E z a E a a E a a

E z a

z a

µ φ µ θ

µ φ θ σ

µ σ φ θ

− − − − − −

−

−

− − − = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦− − = −⎡ ⎤⎣ ⎦

∴ − = −⎡ ⎤⎣ ⎦

1

σ

E

وبالتعويض في الصيغة السابقة نجد

( )( )

2 20 1 1 1 1 1

20 1 1 1 1 1

0

1

k γ φ γ σ θ σ φ θ

γ φ γ σ θ φ θ

= − = − −

∴ − = − −⎡ ⎤⎣ ⎦

و ( ) ( )1 1 0 1 1 1 1

21 1 0 1

و

1 t t t tk E z a E z aγ φ γ µ θ µ

γ φ γ θ σ− − −= − = − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∴ − = −

( ) ( )a E z aµ θ µ− − − =⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦2 1 1 2 1 2 12 0t t t tk E zγ φ γ − − −− = ⎡⎣ ⎦∴

0 1 1 1 1 1

=

1 12 0k kk γ φ γ −≥ − =

ومن المعادالت2 1 ( )γ φ γ φ− = ⎣ ⎦σ θ θ− −⎡ ⎤

و 2

1 1 0 1γ φ γ θ σ− = − نجد

( ) ( )

221 1 1

0 21

21 1 1 1φ θ1 2

1

1 21

11

θ φθγ σφ

φθγ σ

φ

+ −=

−

− −−

ومن العالقتين السابقتين نجد

=

( )( )1 1 1 111 2

0 1 1

11 2 1

φθ φ θγργ θ φθ

− −= =

+ −

٤١

ومن العالقة1 1 0, 2k k kγ φ γ −− = ≥

على نجد0γلقسمة وبا1 1 0, 2k k kρ φ ρ −− = ≥

2kويمكن حل هذه المعادلة تكراريا لجميع قيم 0 بإستخدام القيم≤ ρ األولية 1 و =( ) ( )1 1 1 1

1 21 1 1

11 2φθ φ θ

ρθ φθ

− −=

+ − فمثال

12 1ρ φ ρ= ( ) ( )1 1 1 1

2 1 21 1 1

11 2φθ φ θ

ρ φθ φθ

− −=

+ −

3 1 2ρ φ ρ= ( )( )2 1 1 1 1

3 1 21 1 1

11 2φθ φ θ

ρ φθ φθ

− −=

+ −

.وهكذا)نكتب دالة الترابط )1,1ARMAالذاتي لنموذج على الشكل

( ) ( )1 1 1 12

1 1 1

1 1

1, 01

, 11 2

2

k

k

k

k

k

φθ φ θρ

θ φθφ ρ −

=⎧⎪ − −⎪= =⎨ + −⎪⎪ ≥⎩

1 يعطي دالة١٣شكل 10.9, 0.5φ θ= = الترابط الذاتي لقيم − )١٣(شكل

1 51 050

1 .00 .9

A C F o f A R M A ( 1 , 1 )

0 .80 .70 .60 .50 .40 .30 .20 .10 .0

L a g

C1

طي دالة الترابط الذا ,0.9 يع١٤شكل 0.5 1تي لقيم 1φ θ= − = −

٤٢

)١٤(شكل

1 51 050

0 .5

0 .0

-0 .5

L a g

C1

A C F o f A R M A (1 ,1 )

الذاتي لنموذج ظ ان دالة الترابط )نالح )1,1ARMA تتخامد اسيا في إتجاه واحد أو متردد بين )لذاتيالقيم الموجبة والسالبة وهي في هذا تشبه تماما دالة الترابط ا )1ARلنموذج ماعدى ان

1برهن أن ( 1ρالتخامد يبدأ من , 2k kρ φ ρ−1 1k = ≥(

زئي ج :ب آالتالي١١ أو ١١ تحسب من تعريف kkφدالة الترابط الذاتي النوجد تكرارياkkφب ١١من تعريف

( ) ( )00

1 1 1 111 1 2

1 1 1

2 11 122

11 1

3 21 2 22 133 21 11 22 11

21 1 22 2

1,11 2

1

,1

by definitionφφθ φ θ

φ ρθ φθ

ρ φ ρφφ ρ

ρ φ ρ φ ρφ φφ ρ φ ρ

=

− −= =

+ −−

=−− −

=− −

قي0.9, 0.5

φ φ φ= −

م تكراريا .وهكذا تحسب بقية ال1فمثال للقيم 1φ θ= = نجد−

88 99

0.944186 -0.384471 0.183710-0.908462 0.4529790.113154 -0.5

11 22 33

44 55 66 -0.22633765702 0.28283477

φ φ φφ φ φφ φ φ

= = == = == =

١٥ونرسم هذه القيم في شكل =

١٥شكل

1 51 050

1 .0

0 .5

0 .0

L a g

C2

P A C F o f A R M A ( 1 , 1 )

٤٣

ط الذاتي الجزئي لقيم 1 يبين دالة التراب١٦شكل 10.9, 0.5φ θ= − = − ١٦شكل

1 51 050

0 .3

0 .2

0 .1

0 .0

-0 .1

-0 .2

-0 .3

-0 .4

-0 .5

-0 .6

L a g

C2

P A C F o f A R M A ( 1 , 1 )

لنموذج )ي نالحظ ان دالة الترابط الذاتي الجزئ )1,1ARMA تتخامد اسيا في إتجاه واحد

جبة أو متردد

والسالبة وهي في هذا تشبه تماما دالة الترابط الذاتي الجزئي )بين القيم المو )1 MA لنموذج 11د القيمةعدى ان التخامد يبدأ بع 1φما األولية ρ=.

A:

q,p(RMA(خواص نماذج

p(AR(نموذج : أوال

:بالتالي

. دالة ترابط ذاتي تمتد النهائيا وتتكون من خليط من التخامدات االسية والتخامدات الجيبية-١k دالة ترابط ذاتي جزئي تتكون من أصفار لقيم ال-٢ p>أي

ويتميز

تخلفات 11 22 33

1, 1 2, 2

00

pp

p p p p

φ φ φ φ

φ φ+ + + +

= = = = ≠

= = =

L

L

kويسمى هذا قطعا في دالة الترابط الذاتي الجزئي بعد التخلف p>.

:q(MA(نموذج : ثانيا

kتتك q>أي :ويتميز بالتالي

ت ون من أصفار لقيم التخلفا-١ دالة ترابط ذاتي 1 2 3

1, 1 2, 2

00

q

q q q q

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ+ + + +

= = = = ≠

= = =

L

L

kويسمى هذا قطعا في دالة الترابط الذاتي بعد التخلف q>. هائيا وتتكون من خليط من التخامدات االسية والتخامدات

.MA و AR بين نموذجي Dualityالحظ اإلزدواجية

:q,p(ARMA(لمختلط النموذج ا: ثالثا

دالة ترابط ذاتي جزئي تمتد الن-٢ .الجيبية

دوال الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي للنموذج المختلط تم النهائيا وتتكون من خليط من عندما تكون . kمدات االسية والتخامدات الجيبية التي تنتهي إلى الصفر آلما زاد التخلف

فإن دالة الترابط الذاتي تتحدد من جزء اإلنحدار الذاتي للنموذج و عندما تكون . الجزئي تتحدد من جزء المتوسط المتحرك للنموذج

: ويتميز بالتاليتد

التخا k q p> − k p q> فإن دالة الترابط الذاتي−

٤٤

الفصل الثالث Nonstationar Timeنماذج المتسلسالت الزمنية غير المستقرة

s Models Serie: :عدم اإلستقرار في المتوسط: اوال

إلستقرار متسلسلة زمنية نرى ان الشرط األول لإلستقرار ٦من تعريف ( ) constant tE z tµ= = يتطلب أن يكون متوسط المتسلسلة ثابت على طول الزمن، فمثال ∀لنموذج اإلنجراف الخطي

( ) ( )20 1 0 1, 0, , , ,−∞ ∞

نجد ان المتوسطt t tz b b t a a WN b bσ+ ∈

هو = +

( ) 0 1tE z b b t= +

.وهو غير ثابت بالنسبة للزمن، اي ان شرط اإلستقرار األول غير متحقق في هذه الحالةالتحويل وذلك بتطبيق عامل التفريق على النموذج نجد∇tzلنحاول

( )

( )

1 0 1 0 1

1 1 1

21

1 =

, 0,

t t t t t

t t t

t t t

w z z z b b t 1tb b t ab a a b c

w b c c WN ν

− −

−

= ∇ = − = + + − − − −

+ − = +

∴ = +

a

)2σ و 2νأوجد العالقة بين : تمرين( twاآلن نجد متوسط المتسلسلة الجديدة

( ) 1 constant tE w b t= = ∀ )أي ان تطبيق التحويل )1 B∇ = −

ى متسلسلة مستقرة) للمتسلسلة .حولها إريق األول ي أخذ التف( على المتسلسلة غير المستقرة

ل آمثال آخر نموذج اإلنجراف التربيعي

أ

( ) ( )2 20 1 2 0 1 2, 0, , , ,t t tz b b t b t a a WN b b bσ ,+ + ∈ −∞ ∞ = +

بإيجاد المتوسط( ) 2

0 1 2tE z b b t b t= + + 2بأخذ . وهو يعتمد على الزمن، أي ان النموذج غير مستقر

tz∇ ) انيأخذ التفريق الث ( نجد

التحويل

( )( ) ( ) ( )

{ } ( ) ({ }( ) ( ){ }

{ }

2 2 20 1 2

2 2 20 1 2

0 0 0 1 1 1

2 222 2 2

1 2

1 2 1 2

2 2 1 2

2 1 2

2

t t

t t

t

t t t

z b b t b t a

B B z B B b b t b t a

w b b b b t b t b t

b t b t b t

a a a− −

∇ = ∇ + + +

− + = − + + + +

= − + + − − + −

− − + − +

− +

{ }( )

2 1 2

2

2 2

= , 0,t t t

t t

b a a a

b h h WN τ− −= + − +

′ +

) +

وهكذا

٤٥

( )(

t

)

2 2, 0,

constant t t t

t

w z b h h WN

E w b t

τ′= ∇ = +

′= = ∀

2تطبيق التحويل على المتسلسلة غير المستقرة حولها الى ) أي اخذ التفريق الثاني (∇أي ان .مستقرة

2 ).2σ و τأوجد العالقة بين : تمرين(

بشكل عام إذا آان النموذج غير المستقر على الشكل

( ) ( )20 1 0 1, 0, , , , ,d

t d t t dz b b t b t a a WN b b bσ= + + + + ∈ −∞ ∞L L ,

dفإن tz∇،يحوله إلى نموذج مستقر d

t tw z= . هو نموذج مستقر∇

غير المستقرة في المتوسط : ١٦تعريف

أي ان التحويل

للمتسلسلة( ) ( )2

0 1 0 1, 0, , , , ,dt d t t dz b b t b t a a WN b b bσ= + + + + ∈ −∞ ∞L L ,

dالتحويل tz∇وهو التفريق للدرجة dللمتسلسلة يحولها إلى متسلسلة مستقرة .

:عدم اإلستقرار في التباين: ثانيا

الشرط الثاني إلستقرار متسلسلة زمنية،٦من تعريف

,

( ) 0 constant tV z tγ= = ∀ .tيتطلب أن يكون التباين ثابت لجميع قيم

فمثال لنموذج المشي العشوائي( )2

1 , 0t t t tz z a a WN σ−= + من التعويض المتكرر

+ +L توقع والتباين

نجد 1 2t tz a a a= +

وبإخذ ال( )( ) 2

0 constant t

t

E z t

V z tσ

= = ∀

=

يعتمد على tالزمن ونالحظ أن التباي .ن بأخذ التفريق األول

ta وبإخذ التوقع والتباين

1t t t tw z z z −= ∇ = − =

( )( ) 2

0 constant

constant t

t

E w t

V w tσ

= = ∀

= = ∀

.إذا التفريق األول حول المتسلسلة غير المستقرة في التباين إلى متسلسلة مستقرة غير على الشكلمت) متوسط(بشكل عام لو آان التباين دالة لمستوى

( ) ( )t tV z cf µ= ( )f ⋅ 0cحيث توسط يتغير tµ دالة معروفة تعطى قيمة غير سالبة و بت و ثا< مستوى أو

يعتمد على الزمن وهنا نحاول إيجاد )تحويل التباين )tT z أي إيجاد دالة م

مع الزمن و بالتالي فإن ( )T . إلستقرار التباين⋅

٤٦

التحويل

( ) 1tt t

zy T zλ

λ−

= =

( ), ∋λ يعطي متسلسلة مستقرة في التباين حيث −∞ ي ∞معلميم األآثر إستخداما لل

يعطيالجدول التال. هو معلم التحويل λالق : مع التحويالت المقابلة لها

-0.1 -0.5 0.0 0.5 1.0 λ

ty 1

tz 1 ln z t tz tz

tz

:مثالمستقرة في ) الشكل لمتسلسلة غير المتوسط والتباينا( tz

9 08 07 06 05 04 03 02 01 0

4 0 0

3 0 0

2 0 0

1 0 0

In d e x

z(t)

O r ig in a l S e r ie s

t t

lnyالمتسلسلة بعد تثبيت التباين بإجراء التحويل ) ب(الشكل z=

9 08 07 06 05 04 03 02 01 0

6 .0

5 .5

5 .0

In d e x

ln z

(t)

T ra n s f o rm e d S e r ie s

1tإجراء بعد tyالمتسلسلة المحولة) ج(شكل ty y y −∇ = t التفريق األول − ال

٤٧

908070605040302010

0 .2

0 .1

0 .0

-0 .1

-0 .2

Index

y(t)-

y(t-1

)

D if fe re nc e d a nd T ra nsfo rm e d S e rie s

.حظ آيف اصبحت المتسلسلة مستقرة في آل من المتوسط والتباين

)q,d,p(المتوسط المتحرك من الدرجة -التكاملي-ماذج اإلنحدار الذاتي

ال

نMoving Average Models -Integrated-Autoregressive

)q,d,p(ARIMA dة المستقرة كن نمذجة المتسلسل

t tw z= متوسط متحرك من - على شكل نموذج أنحدار ذاتي∇( ),

يمpالدرجة qآالتالي :

( ) ( ) ( ) ( )2, 0dp t p t q t tB w B z B a a WN ,φ φ δ θ= ∇ = + σ

أو( ) ( ) ( ) ( )21 ,d

p t q t tB B z B a a WN 0,φ δ θ σ− = + )المتوسط المتحرك -مليالتكا-وهذا النموذج يسمى نموذج اإلنحدار الذاتي ), , pمن الدرجة d q

( ),δ ∈ −∞ . معلم اإلنجراف∞)المتوسط المتحرك -التكاملي-أمثلة على نماذج اإلنحدار الذاتي ), ,

حيث pمن الدرجة d q:

ARIMA)١،١،٠ (أو ) ١،١(التكاملي من الدرجة -نموذج اإلنحدارالذاتي: اوال)١،١(ARI=:

ويكتب على الشكل( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ){ }

21 0

1

21 1

1 ,

1 1

1 1

t t t

t t

t t

B B z B a a WN

B B z a

B B z a

0,φ δ θ σ

φ δ

φ φ δ

− = +

− − = +

− + + = +

أي( ) ( )2

1 1 1 2 11 , 0, ,t t t t tz z z a a WNδ φ φ σ φ− −= + + − + < 1

)١،١(المتوسط المتحرك من الدرجة -نموذج التكاملي: ثانيا :ARIMA)٠،١،١ = (IMA)١،١( أو

ويكتب على الشكل( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

20 1

21 1

21 1 1

1 , 0,

1 1 , 0, ,

, 0, ,

t t t

t t t

t t t t t

B B z B a a WN

B z B a a WN

z z a a a WN

φ δ θ σ

δ θ σ θ

δ θ σ θ−

− = +

− = + − <

− = + − <

1

1

أي

٤٨

( )21 1 ,t t t tz z a aδ θ−= + + −

Random Walk أو 10, , 1ta WN σ θ <

with Trend Model نموذج المشي العشوائي بإنجراف : ثالثا)٠،١،٠(ARIMA:

ويكتب على الشكل( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

20 0

2

1 ,

1 , 0,

t t t

t t t

B B z B a a WN

B z a a WN

0,φ δ θ σ

δ σ

− = +

− = +

ي,t t tz z a

أ0,ta WN ( )2

1δ σ

دالة ا

−= + +

)ألوزان )Bψ وتمثيل نماذج )q,p(ARMA: )سبق ),ARMA pأن آتبنا نماذج على الشكل q

( ) (( ) )2, 0,p t tB a WNt qz B aφ δ θ= +

أو بشكل اإلنحراف عن المتوسطσ

( ) ( ) ( ) ( )2, 0p t q t tB z B a a WN ,φ µ θ σ− = )في آلتا الحالتين بالقسمة على عامل اإلنحدار الذاتي )p Bφنجد

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )2, 0,

p p

qt t t

p

Bz a a WN

B

2, 0,1

qt t t

Bz a a WN

Bθδ σ

φ φ= +

θµ σ

φ− =

)الحظ ان للنماذج المستقرة ) ة النسب( )

q

p

BB

θتشكل مسلسلة متقاربة وذلك ( ) 0p Bφ =

تقع خارج دائرة ( )

φ ألن جذور

الوحدة ايضا 1p

δ µφ

ولهذا سوف نكتفي بشكل اإلنحراف عن المتوسط في =

قشتنا التالية( )

منا

( ) ( )2, 0qt t t

p

,z a a WNBBθ

µ σφ

− =

المسلسلة المتقاربة ( )( )( ) q

p

BB

Bθ

ψφ

=

والتي تكتب على الشكل

( ) ( )( )

0 1 2 30 1 2 3 0, 1q

p

BB B B B B

Bθ

ψ ψ ψ ψ ψ ψφ

= = + + + +L =

. تسمى دالة األوزان

٤٩

( ),ARMA p وزان لنموذج : ١٧ف المستقر تعطى ألدال ا بالعالقةqةتعري

( ) ( ))(

( ) ( )( )

0 10 1 0

q

p

BB B B

Bθ 2 3

2 3 , 1

, 1q j

B B

BB B

ψ ψ ψ ψ ψ ψφ

حيث األوزان هي

00

jjp B

θψ ψ ψ

φ =

∞

+ +

= = =∑

L

= = + + =

0 1 2 31, , , ,ψ ψ ψ ψ= L

ى ح ن( )

الشكل : ظة موذج الذي عل )ال ) ( 2,q Bz a a WN

θ ), 0t t tp B

µ σ− مال يس تمثيل =φ

مى

)المتوسط المتحرك الالنها ),ARMA p q. لنماذج ي ئ

:لنماذجأمثلة لدالة األوزان لبعض ا :AR)١(دالة األوزان لنموذج

يكتب على الشكل(١)ARنموذج ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

21 0

11 B

1

, 0,

11

t t t

t t

t t

t t

B z B a a WN

z a

z aB

z B a

φ µ θ σ

µ

µφ

µ ψ

− =

− − =

− =−

− =

حيث

φ

( ) ( )111B

Bψ

φ−=

1سوف 2 3, , , ψ نوجد األوزان ψ ψ Lبالطريقة التالية

( ) ( )( )( )

( ) ( )

11 B

1

2 31 2 3 1

1

1 1

1 1 1

B B

B B B B

Bψφ

ψ φ

ψ ψ ψ φ

−

− ≡

+ + + + − ≡L

j معا

=

مالت . على طرفي العالقة متساويةBالحظ أن العالقة األخيرة هي عالقة تكافؤ أي ان على طرفي العالقة نجدjBوبمساواة معامالت

( )( )2 31 2 31 1B B Bψ ψ ψ+ + + −L

( ) ( )0

1

: 1 1 1

: 0

B

B ψ φ ψ φ

≡

− ≡ ⇒ =

1 1

1 1 1 1

2 1 1

3 2 1 1

1 1 1 1 1

1, 1

: 0j jj j j j

B

B

φ φ

ψ ψ φ

ψ ψ φ φ

ψ ψ φ ψ ψ φ φ− −

+ ≡ <

⇒ = =

⇒ = =

− ≡ ⇒ = =

M

هي(١)ARأي ان األوزان لنموذج

2 22 1 1 1

3

: 0B ψ ψ φ φ− ≡ 3

3 2 1: 0B ψ ψ φ− ≡

٥٠

1 1, 1jjψ φ φ= <

:MA)١(دالة األوزان لنموذج يكتب على الشكل(١)MAنموذج

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 tz B a

( )tz B a

20 1

1

, 0,t t t

t

B z B a a WN

t

φ µ θ σ− =

حيث

µ θ− = −

µ ψ− =

( ) 11B B( )ψ θ jبمساواة معا

= −

Bمالت على طرفي العالقة نجد1 1 2 3, 0ψ θ ψ ψ= − = = =L

أي

, 10, 2

j jj

1,

1

0jψ θ

⎧⎪= − =⎨⎪ ≥⎩

:AR)٢(دالة األوزان لنموذج

=

يكتب على الشكل(٢)ARنموذج

) ( ) ( ) ( )(

( )( )

( )

2

21 2

21 2

1

1

B B a

B B

2 0 , 0,t t tB z B a a WNφ µ θ σ− =

t tz

1z at t

( )t tz B a

φ φ µ

φ φ

− − − =

− −

حيث

µ− =

µ ψ− =

( ) ( )21 2

11

BB B

ψφ φ− −

1و 2 3, , ,

=

ψ نوجد األوزان ψ ψ Lبالطريقة السابقة

)

2

1

0j j j j j j

B B B

B B B B B

BB

B

( ) ( )( )(

21 2

2 3 21 2 3 1 2

11 1 1 1

2 22 1 1 2 2 1 1 2 1 2

33 1 2 2 1 3 1 2 2 1

1 1 2 2 1 1 2

1 1

1 1

: 0: 0

: 0

ψ φ φ

ψ ψ ψ φ φ

ψ φ ψ φ

ψ φψ φ ψ φψ φ φ φ

ψ φψ φψ ψ φψ φψ

:jB ψ φψ φψ ψ φψ φψ− − − −

− − ≡

+ + + + − − ≡

− = ⇒ =

− − = ⇒ = + = +

− − = ⇒ = +

− = ⇒ = +

L

M

هي(٢)ARأي ان األوزان لنموذج −

٥١

1

1, 0, 1

jjφ

21 2

1 1 2j 2

, 2, 3j

jj

jψφ φ

ψ −

+ =⎪

:MA)٢(دالة األوزان لنموذج

=⎧⎪ =⎪= ⎨

φψ φ−⎪ + ≥⎩

يكتب على الشكل(٢)MAنموذج ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

20 2

21 2

, 0

1

t t t ,

t

t

B z B a a WN

z B B a

B at

tz

φ µ θ σ

µ θ θ

µ ψ

− =

− = − −

حيث − =

( ) ( )21 21B B Bψ θ θ= − −

على طرفي العالقة نجدjBبمساواة معامالت 1 1 2 2 3 4 5, , 0ψ θ ψ θ ψ ψ ψ= − = − = = =L

أي

1

, 2j2

0, 2

1, 0, 1

j =⎧jθjj

ψθ

= ⎨− =⎪

⎪− =⎪

:ARMA)١،١(دالة األوزان لنموذج ⎪ ≥⎩

يكتب على الشكل(١،١)ARMAنموذج

( )( )( ) ( )( )( ) ( )

( ))(

( )

2

1 1

,

t t

t t

t t

WN

z B a

1 1 , 0

1 1t t tB z B a a

B z B a

φ µ θ

φ µ θ

− =

− − = −

11 Bz a

11 B

σ

µ ψ

−

− =

حيث

θµ

−=

φ−

( )( ) ( )1

111 B

BB

θψ

φ=

− −

1و 2 3, , , ψ نوجد األوزان ψ ψ Lبالطريقة السابقة ( )( )1 1( )

( )( )

( )( )

1 1

1 1 1 1 1

1 2 1 1 1 1

22 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

: 0

j j j j

B B B

( )2 31 2 3 1 1

11

1 1 1

:

ψ

( )

3 1 2 3 1

1: 0j j

22 1 1

3 : 0

B B B B B

B

φ θ

φ θ ψ φ θ

ψ φψ ψ φψ φ φ θ

φψ φ φ θ

B

B

B

ψ ψ ψ φ θ

ψ

ψ φψ ψ

ψ φψ ψ φψ φ −− = ⇒ = =

M

φ θ− −

−

− = − ⇒ = −

− = ⇒ = = −

⇒ −

−

هي(١،١)ARMAأي ان األوزان لنموذج

− ≡

+ + + + − ≡ −L

− = = =

٥٢

( )11 1 1 1 1 11,j

j 1 1 , 1,j jψ φψ φ φ φ θ−−= = < ≠ φ θ− ≥

:ARI)١(دالة األوزان لنموذج الشكل(١)ARIنموذج على يكتب

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )tz B a

21

1

1 , 0,

1 1

t t t

t

B B z a a WN

B B1

t tz a

φ µ σ

φ

− − =

− −

حيث

)

µ− =

µ ψ− =

( ) ( ) (1

1B1 1B B

ψφ− −

1و 2 3, , ,

=

ψ نوجد األوزان ψ ψ Lبالطريقة السابقة ( )( )( )

( )( )(

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 3 23

1 1

222 1 1 1 2 1 1 1 1 1

33 1 2 1 1 3 1 2 1 1

1 1 1 2 1 1

1

1 1

0 1

: 1 0 1 1

: 1 0 1

: 1 0 1j j j j j

B

B

B

B

)

( ) ( )( )

1

2 31 2 3 1

1 1 1

1 1 1

B B B

B B B B B

ψ φ

ψ ψ ψ φ

( )11 1: 1B1 2 1 11 1B B B B

j

ψ ψ φ φψ

ψ φψ φ

ψ φ ψ φ ψ φ ψ φ φ φ

ψ φ ψ φψ ψ φ ψ φψ

ψ φ ψ φψ ψ φ ψ− − −

≡

+ −

= ⇒ = +

− + + = ⇒ = + + = + +

− + + = ⇒ = + −

− + + = ⇒ = + −

L

1 2jφψ −

هي(١)ARIأي ان األوزان لنموذج

− − ≡

+ + + + − −L

+ + + + + ≡

− +

M

( )( )

2

1, 0

1 , 2

j

1 1, 1jφ

1 1

1 , 31 1 1 2j j

j jj

ψφ φ

=⎧

⎨+ + =

وأخ lدالة األوزان لنموذج المشي العشوائي

φ ψ φψ⎪⎪ + − ≥⎩

⎪ + =⎪=

− −

يرا نوجد Random Walk Mde ١،٠،١( أو(ARIMA

ويكتب على الشكل),WN ( 2

1 , 0t t tz z a at σ أي

−= +

( )( )

( )

21 , 0,

11

t t t t

t t

z z a a WN

B z a

1t tz aB

σ−− =

− =

حيث

=−

( ) ( )1

1B

Bψ =

−

٥٣

1جد األوزان 2 3, , ,ψ ψ ψ Lبالطريقة السابقة ( ) (1 1B

و نو)

( )( )2 311 12 3

22 1 2 1

1 1

1

: 0 11

0 1j j

B

B B B B

B

ψ

ψ ψ1

1 1: 1 0 1B

33 2 3 2: 0B

:jj jB

ψ

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ− −

− ≡

+ + + − ≡

− = ⇒ = =

− = ⇒ = =

L

أي ان األوزان لنموذج

+

ψ ψ− = ⇒ =

ψ ψ ψ ψ− = ⇒ = =M

ψ

( )0,1,0ARIMAالمشي العشوائي هي 1, 1j jψ = ≥

)األوزان ة بعض خواص دال )Bψ:

نموذج اإلنحدار الذاتيآتبنا لدرجة -سبق أن MA(p,q)المتوسط المتحرك( ) ( )2, 0,t t tz B a a WN

على الشكلAR من اµ ψ σ− =

وبكتابة هذه العالقه على الشكل

1 1 2 2 3 3

0 = , 1

t t t t t

j t ja

z a a a aµ ψ ψ ψ− = + + + +L

0j

ψ ψ

− − −

∞

− =∑

=

2وإذا افترضنا ان األوزان تتقارب اي 0 jjψ∞

=< ه يمكن إثبات النظرية التالية∑∞ إن : ف

:١نظرية

ي يكتب ARMAالمتوسط المتحرك من - اإلنحدار الذاتي ذ(p,q)الدرجة لنموذج المستقر والعلى الشكل

( )2 20 0

0

= , 0, , 1,t j t j t jjj

z a a WNµ ψ σ ψ ψ∞

∞− =

− = < ∞∑ ∑ =

هو -١ المتوسط( ) ,tE z µ= ∀t

دالة الترابط الذاتي تعطى بالعالقة-٢

0

2

0j=

, 0,1,2,j j k

j

j

kψ

ρψ

∞

+=

∞= =∑

∑L

ψ

k

وجدنا سابقا دالة األوزان(١)ARلنموذج اإلنحدار الذاتي من الدرجة : مثال

1 1, 1jjψ φ φ= <

دالة الترابط الذاتي

٥٤

1k

j j k φψ ψ φ φ∞ ∞

+∑ ∑ 1 1 21

12 2

2110 0

1 , 0,1,2,11

j j kj k

jj

j

kφ

ψ φφ

+=

∞ ∞

−= = = =

−

L

وهي نفس النتيجة السابقة لتاليةأوجد دوال الترابط الذاتي للنماذج ا) (٢بأستخدام نظرية : تمرين

A(٢،١), ARMA(١،٢)

0 0jρ φ==k

j= =∑ ∑

٢AR(٢), MA(١), MA(٢), ARMA(١،١), ARM

٥٥

الفصل الرابع q,p(ARMA(التنبؤات ذات متوسط مربع الخطأ األدنى لنماذج

Minimum Mean Square Error Forecasts for Models) q,p(ARMA

RMA(p,q)Aالمتوسط المتحرك من الدرجة -نحدار الذاتيفي الفقرة السابقة كتبنا نموذج اإل

المستقر على الشكل

t j t jz aµ ψ∞

−− ∑

t t t t t

( )2 20 0

, 0, , 1,t jja WN σ ψ ψ∞

== < ∞∑ =

0j=

أوz a a a a1 1 2 2 3 3µ ψ ψ ψ− = + + + +L

00

j t jj

= , 1aψ ψ∞

=∑

− − −

.ل عام

−=

بشكARIMA(p,d,q)هذا ينطبق أيضا على نماذج : مالحظة}لمتسلسلة زمنية مشاهدة }1 2 1, , , ,n nz z z z−L التنبؤات ( ) , 1nz ≥l lللقيم المس

, 1nz + ≥l lيمكن ان ت تقبلية كتب على الشكل

( ) 0 1 1 2 2 , 1n n n nz a a aξ ξ ξ− −= +

n n n nz a a a a

+ + ≥l L l , القيم المستقبلية 1nz + ≥l lتكتب بداللة النموذج كالتالي

1 1 , 1n na1 1 1 1µ ψ ψ ψ+ + + − − +− = + + + +l l l l lL L

ψ + −+ + ≥l l

)٥أنظر تعريف (متوسط مربع الخطأ يعطى بالعالقة

( ) ( ) 2E a a a a aψ ψ ψ ξ ψ ξ+ + + + − + − +⎡ ⎤L L( )

( ) ( )

2

E z z− =⎡ ⎤l

تج من تصغير العالقة السابقة بالنسبة لألوزان

1 1 1 1 0 1 1 1

22 2 2 21 1

0

= 1

n n n n n n n

j jj

ψ ψ σ ψ ξ σ

+ + + − − + + −

∞

− +=

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ + + + −∑

l l l l l l

l lL

jξ لجميع قيم j متوسط مربع الخطأ األدنى ين العالقة التا ليةjξوهذا يمكن إذا وفقط إذا حققت األوزان

, 0,1,2, , 1j j jξ ψ += = ≥l L l تعطى MMSE Forecasts فإن التنبؤات ذات متوسط مربع الخطأ األدنى وعليه

( ) 1 1 2 2 , 1n n n na a aψ ψ ψ+ − + −= + + + ≥l L l بالعالقة

l l l

:٢نظرية

z

عالقة التنبؤ تعطى بال :أخطاء ( ) , 1e a a a aψ ψ ψ= + + + + ≥l ( ) 1 1 2 2 1 1n n n n+ + − + − − +l l l lL ln n nz z+= −l l

وتباين أخطاء التنبؤ : تعطى بالعالقة( ) ( )1 2 1 , 1ψ ψ ψ2 1nV e σ 2 2 2

−=⎡ ⎤⎣ ⎦l + + + + ≥lL l

٥٦

)الصيغة ) 1 1 2 2 , 1n n n nz a a aψ ψ ψ+ − + −= + + + ≥l L lغير عملية إليجاد الت l l l

,المستقبلية 1z ≥l وذلك ألننا نحتاج إلى معرفة القيم {نبؤات للقيم

}1 2, , , ,na a a a−L. 1 n n+l

}مجموعة المعلومات : ١٨تعريف }( )1 2 1, , , ,n nI z z z z−Lتكافئ مجموعة المعلومات

{ }( )1 2 1n n, , , ,I a a a aLالمعنى أن المجموعة وذلك ب{ }1 2 1n n−, , , ,a a a aLس − تحتوى على نف

{ 1{المعلومات عن المتسلسلة الزمنية 2 1, , ,n n,z z z z−L.

}المتسلسة الزمنية : مالحظة }1 2 1, , , ,n nz z z −L يمكن مشاهدتها وقياسها ولكن المتلسلة z

{ }1 2 1, , , ,n na a a a−Lو قياسها اليمكن مشاهدتها أ

المتنبئ : ٣نظرية

.

يعطى بالعالقةMMSE Forecastsذا متوسط مربع الخطأ األدنى ( ) ( )1, , ,n n n nz E z z z+ −= ≥ll L 1l

,توقع الشرطي للقيمة المستقبلية 1nz + ≥l l أي هو ال معطى{ }1 2, 1, , ,n nz z. z z−L

دال من الصيغة عمليا إليجاد قيم التنبؤات ب٢تستخدم

L l .وذلك تبعا للمالحظة السابقة

نظرية( ) 1 1 2 2 , 1n n n nz a a aψ ψ ψ+ − + −= + + + ≥l l ll

:٢قاعدة

( )

( ) ( )

1

1

, 01 , ,

0, 0j >

, 02 , ,

, 0

n jn j n n

n jn j n n

n

a jE a z z

z jE z z z

z j j

++ −

++ −

≤⎧− = ⎨

⎩≤⎧

− = ⎨ >⎩

L

L

ة إليجاد تن

:١٩تعريف

بؤات للقيم المستقبلية٢ مع القاعدة ٣نظرية تعطي طريقة عملية وسهل, 1nz + ≥l l

)الدالة ) , 1z ≥l l 1 كدالة لزمن التقدم≥lعند نقطة n دالة االصل للزمن nالتنبؤ .تسمى

:(١)ARدالة التنبؤ لنموذج : اوال

}ض اننا

دوال التن :ARIMA(p,d,q)بؤ لنماذج

1{منية 2 1, , , ,n nz z z z−L حتى الزمن n والتي نعتقد انها والذي يكتب على الشكل(١)ARبع نموذج تت

شاهدنا المتسلسلة الز لنفتر

٥٧

( ) ( ) ( )21 1 10, , 1, ,a WNφ µ σ φ µ−= − + < ∈ −∞ ∞

نبأ عن القيم المستقبلية 1نريد أن 2 3, , ,n n nz z z+ + +

,t t t tz z aµ−

.Lzنت نجد٣من نظرية

, أو بشكل عام 1n+ ≥l l

( ) ( )( )

1

1 1 1

, , , 1

= + , , , 1

n n n n

n n n n

z E z z z

E z a z zµ φ µ

+ −

+ − + −

= ≥

⎡ ⎤− + ≥⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦

l

l l

l L l

L l

( )( )

1 1 1 1

1

= + , , , , , 1

+ E ,

n n n n n nE z z z a z zµ φ µ

µ φ

+ − − + −− + ≥⎡ ⎤⎣ ⎦

=

l lL L l

أي

1 1 1, , , , 1n n n n n nz z z E a z zµ+ − − + −⎡ ⎤− + ≥⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦l lL L l

( ) ( )1 1 1 1+ E , , , , ,n n n n n n nz z z z E a z zµ φ µ+ − − 1−⎡ ⎤= − + ≥⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦l ll L L l ٢نحل هذه العالقة تكراريا وبإستخدام القاعدة

+

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

1 1 1 1

1

1 1 1 2 1

1

1 2 1 3

1: 1 + E , , , ,

+

2 : 2 + E , , , ,

+ 1

3: 3 + E , , ,

n n n n n n n

n

n n n n n n

n

n n n n n n

z z z z E a z z

z

z z z z E a z z

z

z z z z E a z z

µ φ µ

µ φ µ

µ φ µ

µ φ µ

µ φ µ

− +

+ − + −

+ − +

⎡ ⎤= = − +

n

n

−⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦= −

⎡ ⎤= = − + ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦= −⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤= = − +⎣ ⎦

l L L

l L L

l L

( )1

1

,

+ 2nzµ φ µ

−⎡ ⎤⎣ ⎦

= − ⎤⎦

L

وهكذا بشكل عام1≥l

(١)ARوهي دالة التنبؤ ذات متوسط مربع األخطاء األدنى لنموذج

: ٠تعريف

⎡⎣

( ) ( )1+ 1 ,n nz zµ φ µ= − −⎡ ⎤⎣ ⎦l l

٢ن تكو فإنl=1 يتطلب أنه عندما Continuity Conditionاإلستمرار شرط

( ) ( )1 0n n nz z z− = =l

تباين أخطاء التنبؤ تعطى من العالقة٢من نظرية 1l

موذج وهي(١)ARسبق أن اشتققنا دالة األوزان ( ) ( )2 2 2 2

1 2 11 ,nV e σ ψ ψ ψ −= + + + + ≥⎡ ⎤⎣ ⎦ ll L لن

1 1, 1jjψ φ φ= <

جد وبالتعويض في صيغة التباين

) ن

( ) ( )( 2 12 2 41 1 1

22 1

21

1 ,

1 , 11

nV e σ φ φ φ

φσφ

−= + + + + ≥⎡ ⎤⎦

−= ≥

−

l

l

l L l

l

:مثال

1⎣

تبع النموذج ت متسلسلة زمنية مشاهده وجد انها

٥٨

( ) ( )10.97 0.85 0.97 , 0,0.024t t t tz z a a WN−− = − + 156إذا كانت المشاهدة األخيرة هي 0.49z 157 ، أوجد تنبؤات للقيم المستقبلية = 158 159, ,z z z

.وأوجد أخطاء التنبؤ لها,n nz zµ µ )من الصيغة : الحل ) ( )1+ 1 1φ= − − ≥⎡ ⎤⎣ ⎦l lنجد

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )

156 156

156 156

1 156

1 0.97+0.85

0.97+0.85 0.49 0.97 0.56

2 0.97+0.85 1 0.97

0.97+0.85 0.56 6

3 0.97+0.85 2 0.97

0.97+0.85 0.62 0.97 0.68

z z

z z

z z

= −

= − =

= −

=

= −

= − =

والتباينات

l

( ) ( )0.97

0.97 0. 2− =

56

( )

( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

22 1

21

156

4

156 2

6

156 2

1 , 11

1 0.024

1 0.852 0.024 0.041

1 0.85

1 0.852 0.024 0.054

1 0.85

nV e

V e

V e

V e

φσφ

−= ≥⎡ ⎤⎣ ⎦ −

=⎡ ⎤⎣ ⎦

−= =⎡ ⎤⎣ ⎦ −

−= =⎡ ⎤⎣ ⎦ −

l

l l

A :(٢)Rدالة التنبؤ لنموذج : ثانياتسلسلة الزمنية }لنفترض اننا شاهدنا }1 2 1, , , ,n nz z z z−L ى الزمن والتي نعتقد انها nحت

كل والذي يكتب على الش(٢)ARتتبع نموذج الم

( ) ( ) ( ) ( )21 1 2 2

2 1 2 1 2

, 0, ,

1, 1, 1t t t t tz z z a a WNµ φ µ φ µ σ µ

φ φ φ φ φ− −= + − + − + ∈ −∞ ∞

− < + < <

, ,

1 2 3, , ,n n nz z z+ + + L , 1nz + ≥l l. نجد٣من نظرية

أو بشكل عام نريد أن نتنبأ عن القيم المستقبلية

( ) ( )( ) ( )

1

1 1 2 2 1

, , , 1

= + ,

n n n n

n n n n n

z E z z z

E z z zµ φ µ φ

+ −

+ − + − + −

= ≥

⎡ ⎤− + , , 1a zµ− +⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦

l

l l l

l L l

L l

( )≥

( )( ) ( )

1 1

1 1 1 2 2 1 1

= + 1

+ E , , E , , , , , 1

n n

n n n n n n n n n

E z

z z z z z z E a z z

µ φ

µ φ µ φ µ

−

+ − − − − + −

⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − + ≥⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦l l lL L L l

أي

1 2 2 1 1, , , , , , ,n n n n n n nz z z z z a z zµ φ µ+ − + − − + −− + − + ≥l l lL L L l

+

٥٩

( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 1 1+ E , , E , , , ,n n n n n n n n n nz z z z z z z E a z zµ φ µ φ µ+ − + − − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − + ⎡⎣⎣ ⎦ ⎣ ⎦l l ll L L L , 1− ≥⎤⎦ l

٢اريا وبإستخدام القاعدة نحل هذه العالقة تكر

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 2 1 1 1 1

1 2 1

1: 1 + E , , E , , , ,

+

2 : 2 ,

+

n n n n n n n n n n

n n

n n

z z z z z z z E a z z

z z

z z

µ φ µ φ µ

µ φ µ φ µ

µ φ

µ φ

− − − + −

−

+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − + − + ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦= − + −

⎡ ⎡= = ⎤⎦⎣ ⎣=

l L L L

l L

( ) (1 1 1 2 1 2 1+ E , , E , , ,n n n n n n n nz z z z z E a z zµ φ µ− − + −⎤ ⎤− + − + ⎡⎣⎦ ⎦L L

)( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2

3 1

1

1 3 1 2 2 1 4

1

, ,

4 : 4 + E , , E , , ,

n n

n n

n

n n n n n n n n n n

z z

z z

z z z z z z z E a z

µ φ

µ φ µ φ µ

+ −

+ − + − +

− + −⎡ ⎤⎣ ⎦ µ

1 2 1 2 1 13 : 3 + E , , E , ,

+

n n n n n n n nz z z z z z z E a

z

µ φ µ φ µ

µ φ

+ − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − + − +

22 + 1nzµ φ µ− −⎤ ⎡ ⎤⎦ ⎣ ⎦

z

⎡ ⎤⎦

⎣⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

L

l L L

⎣⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⎡

l L L

( ) ( )1 2 + 3 + 2n nz zµ φ µ φ µ= − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1,

−⎡ ⎤⎣ ⎦L

وهكذا بشكل عام

( ) ( ) ( )1 2+ 1 2 , 1n n nz z zµ φ φ µ= − + − − ≥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦l l l l (وهي دالة التنبؤ ذات متوسط مربع األخط األدنى لنم

٢ويمكن حساب تباينات أخطاء التنبؤ م نظرية

µ−

وذج ٢)ARاء ودالة األوزان ن

012

, 3

j

j j

jjjj

φ12

1 2

1 1 2 2

1, ,

, ψ

φφψ φψ− −

=⎧⎪ =⎪= ⎨ =⎪⎪ + ≥⎩

:(٠،١،١)ARIMAتنبؤ لنموذج دالة ال: ثالثا

φ+

}لنفترض اننا شاهدنا المتسلسلة الزمنية }1 2 1, , , ,n nz z التي نعتقد انها والذي يكتب على الشكل(٠،١،١)ARIMAتتبع نموذج

t t tz z a

z z−L حتى الزمن nو

( )21 1 1, 0,t ta a WNθ σ−= + −

1 2 3n n n+ + +

−

,نريد أن نتنبأ عن القيم المستقبلية , ,z z z L,z ≥l l. دمن

+1nأو بشكل عام

نج٣ نظرية ( ) ( )

( ) ( ) (1

1 1 1 1 1 1

,

= , , , , , ,n n n n

n n n n n n n n n

z E z z z

E z z z E a z z E a z zθ+ −

+ − − + − + − −

=

+ −

l

l l l

l

L L l

٢نحل هذه العالقة تكراريا وبإستخدام القاع) , 1≥L

, , 1≥L l

دة

٦٠

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 1 12 : 2 = , , , , , ,

n n n n n n n n n nz E z z z E a z z E a z zθ+ − + − += + −l L L L

( )

1 1 1

1 1 1 1 1

1

= , , , ,

1: 1 = , , , , , ,

n n n n n n n

n n n n n n n n n n

n n

z E z z z E a z z

z E z z z E a z z E a z z

z a

θ

θ

+ − − + −

− + − −

−

+

= + −

= −

l ll L L

l L L L

( )

1 1 1, , , 1n n nE a z zθ + − −− ≥l L l

( ) ( ) ( )( )

2 1 3 1 1 1 13 : 3 = , , , , , ,

2

n

n n n n n n n n n n

n

z E z z z E a z z E a z z

z

θ+ − + − + −= + −

=

l L L L

وهكذا بشكل عام

1z=

( ) ( )1 , 2n nz z= − ≥l l l تعطى (٠،١،١)ARIMAوذج وهكذا فإن دالة التنبؤ ذات متوسط مربع األخطاء األدنى لنم

بالعالقة

:(١)MAدالة التنبؤ لنموذج : رابعا }لنفترض اننا شاهدنا

( ) ( )1 , 11 , 1

n nn

n

z az

zθ− =⎧

= ⎨ − >⎩

ll

l l

1{ المتسلسلة الزمنية 2 1, , , ,n nz z z −L حتى الزمن n والتي نعتقد انها والذي يكتب على الشكل(١)MAتتبع نموذج ,

z

( )21 1, 0t t t tz a a a WNµ θ −= + − σ

1 2, ,n nz z z+ + L , 1nz + ≥l l. نجد٣من نظرية

أو بشكل عام +n,3ريد أن نتنبأ عن القيم المستقبلية ن

( )( ) ( )

( ) 1, , , 1

1n n nE z z z+ −= ≥l L l

1 1 1 1 = , , , , ,

n

n n n n n n

z

E a z z E a z zµ θ+ − + − −+ − ≥l l

l

L L l

دة ٢نحل هذه العالقة تكراريا وبإستخدام القاع( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 1

1 1 1n n n n− 1

1

2 1 1 1 1

3 1 1

= , , , ,

1: 1 , , , ,

2 : 2 = , , , ,

3 : 3 = , ,

n n n n n n n

n n n

n

n n n n n n n

n n n n n

z E a z z E a z z

z E a z z E a z z

a

z E a z z E a z z

z E a z z E a

µ θ

µ θ

µ θ

µ θ

µ

µ θ

+ − + − −

+ −

+ − + −

+ −

+ −

= + −

= −

+ −

=

= + −

l ll L L

l L L

l L L

l L

, 1≥l

=

=

( )2 1, ,

n nz z+ − L

ام 2

تعطى بالعالقة(١)MAوهكذا فإن دالة التنبؤ ذات متوسط مربع األخطاء األدنى لنموذج

nz =≥

:(٢)MAدالة التنبؤ لنموذج : خامسا

µ=وهكذا بشكل ع( ) ,nz µ= ≥l l

( ) 1 , 1, 2

naµ θµ− =⎧

⎨⎩

ll

l

٦١

}لنفترض اننا شاهدنا المتسلسلة الزمنية }1 2 1, , , ,n nz z z −L حتى الزمن n ها والتي نعتقد والذي يكتب على الشكل(٢)MAتتبع نموذج

zان

( )21 1 2 2 , 0t t t t tz a a a a WN ,µ θ θ σ− −= + − −

د أن نتنبأ عن القيم المستقبلية 1ن 2 3, , ,n n nz z z+ + + , Lري 1z ≥l l. نجد٣من نظرية

+nأو بشكل عام

( ) ( )( ) ( ) ( )

1

1 1 1 1 2 2 1

, , , 1

= , , , , , , , 1n n n n

n n n n n n n n n

z E z z z

E a z z E a z z E a z zµ θ θ+ −

+ − + − − + − −

= ≥

+ − − ≥l l l

l L l

L L L l

٢نحل هذه العالقة تكراريا وبإستخدام القاعدة

l

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 1 1 1 1 22 : 2 = , , , ,n n n n n n n n nz E a z z E a z z E a zµ θ θ+ − + −= + − −l L L

1 1 1 1 2 2 1

1 1 1 1 2 1 1

1 2 1

1: 1 = , , , , , ,

n n n n n n n n n

n n n n n n n n n n

n n

z E a z z E a z z E a z z

a a

µ θ θ

µ θ θ

+ − + − − + − −

+ − − − −

−

= + − −

= − −

l l l

L L L

= , ,nz E a z z Eµ θ+ −l L

l

, , , , , 1a z z E a z zθ− ≥L L l

( )1, ,nz − L

( ) ( ) ( ) ( )3 1 1 2 1 2 1 13 : 3 = , , , , , ,n n n n n n n n n nz E a z z E a z z E a z zµ θ θ+ − + − + −+ − −L L L

2

aµ θ

µ

= −

=

=

l

وهكذا بشكل عام

MAتعطى بالعالقة

:(١،١)ARMAدالة التنبؤ لنموذج : سادسا {

n

( ) , 3nz µ= ≥l l (٢)وهكذا فإن دالة التنبؤ ذات متوسط مربع األخطاء األدنى لنموذج

( )1 2 1

2

, 1, 2

, 3

n n

n n

a az a

µ θ θµ θµ

−− − =⎧⎪= − =⎨⎪ ≥

l

l l

l

⎩

1{لنفترض اننا شاهدنا المتسلسلة الزمنية 2, , 1, ,n nz z L حتى الزمن n والتي نعتقد انها شكل

z z−

والذي يكتب على ال(١،١)ARMAتتبع نموذج ( ) ( )2

1 1 1 1 1 1 1, 0, , ,t t t t tz z a a a WNµ φ µ θ σ φ θ φ− −= + − + − ≠ < 1

1ن نتنبأ 2 3, , ,n n nz z z+ + + L , 1nz + ≥l l. نجد٣من نظرية

أو بشكل عام عن القيم المستقبلية نريد أ

( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 = , , , , , , ,n n n n n n n n nE z z z E a z z E a z zµ φ µ θ+ − − + − + − −+ − + −⎡ ⎤⎣ ⎦l l lL L L l

1, , 1n nz z+ − ≥l l,

1n nz E z=

≥

l L

٢نحل هذه العالقة تكراريا وبإستخدام القاعدة

٦٢

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

= , , , , , , ,

1: 1 = , , , ,n n n n n n n n n

n n n n n n n n n n

E z z z E a z z E a z z

z E z z z a z z E

a

µ φ µ θ

µ φ µ θ

µ θ

+ − − + − + − −

− + − −

+ − + −⎡ ⎤⎣ ⎦= + − −⎡ ⎤⎣ ⎦

− −

l l lL L L l

L L

1 1

1

, ,

n

n n

z

E a z z

zµ φ

≥

+

= +

l

l L

( ) ( )1 1 1 22 : 2 = , ,n n n n nz E z z z E a zµ φ µ+ − += + − +⎡ ⎤⎣ ⎦l L ( ) (( )

)

( ) ( ) ( ) (3 1 1 2 1, , , ,n n n n nz z E a z zθ− + −−L L)1 2 1

3 : 3 = ,

n n n n nz E z z zµ φ µ+ − += + −⎡⎣ ⎦l

وهكذا بشكل عام

1 1 1 1

1

, , , ,

1

,

n n n n n

n

z E a z z

z

E a

θ

µ φ µ− + −−

= + −⎡ ⎤⎣ ⎦+⎤

L L

L

( )1 2nzµ φ µ= + −⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )1 1 ,n nz zµ φ µ= + − − ≥⎡ ⎤⎣ ⎦l l 2l

تعطى (١،١)ARMAوهكذا فإن دالة التنبؤ ذات متوسط مربع األخطاء األدنى لنموذج العالقة

≥

: تمرين كل

ب

( ) ( )( )

1 1

1

, 11 , 2

n nn

n

z az

zµ φ µ θµ φ µ+ − − =⎧⎪= ⎨ + − −⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩

ll

l l

ARMلنموذج والذي يكتب على الش١،١( )

A( )( )2

1 1 1 1 1, 0, , , 1t t tz a a a WNµ φ µ θ σ φ θ φ−= + − + − ≠ <1 1t tz − 1برهن ان عندما تؤول 1φ ARMA(1,1) فإن → IMA(1,1)→ ثم أوجد دالة التنبؤ ومن

.(١،١)IMAلنموذج :تمرينلية :أوجد دوال التنبؤ وتباين أ

ARIMA(١،١،١), ARIMA(٢،١،٠), ARIMA(٠،١،٢), ARIMA(١،٢،٠)ARIMA(٠،٢،١), ARIMA( ،٢،٠).

:recasting Limitsحدود التنبؤ

لكل من النماذج التا خطاء التنبؤ,

٠

Fo بؤ )التندالة ) , 1nz ≥l lطي مايسمى بتنبؤ النقطة عند قيمة معينة تعPoint Forecast والذي

الظاهرة ال ذ قرا عشوائية المدروسة ألن ي

nz m+ = =

نها تساوي القيمة أي ب .المعطاة من دالة التنبؤ تساوي الصفر أي اننا غير متأكدين إطالقا وبالتالي الفائدة من التنبؤ

Interval Forecastنبؤ الفترة

رات إحصائية عن فيد في إتخا اليكفي اوe 0m > ( )( ) 0, for somn mP Z

ؤ ع) أو إحتمال( أن مقدار تأكدنا من أن القيمة المستقبلية المراد التن

التنبؤات نستخدم مايسمى بتللتغلب على ذلك وأإلستفادة من[ ],a b وهي عبارة عن فترة مثل على خط األعداد الحقيقية بحيث يكون

( ) ( )1n mP a Z b α+≤ ≤ = − aيم تطيع أن نحدد درجة تأكدنا من أن القيمة المستقبلية المراد التنبؤ عنها تقع بين الق وبهذا نس

) بدbو )100 1 %α× 0.05αفمثال لو كانت ) − 1رجة تأكد أو إحتمال فإننا= α− ) أو

.b و a ان القيمة المستقبلية تقع بين القيم ٪٩٥نكون متأكدين وبإحتمال

٦٣

)على إفتراض أن : ٢١تعريف )20,ta N σ 100 فإن حدود 1 %α× ) فترة تنبؤ للقيمة − ),المستقبلية 1nz + ≥lتعطى بالعالقة l

( ){ }1 2( ) 2n nz u V eα± ⎡ ⎤⎣ ⎦l l

100 المئين 2uحيث 1 αα2

⎛ ⎞−⎜ ) للتوزيع ⎟ )0,1N.⎝ ⎠

0.05α عندما فمثال 0.025 فإن = 1.96u =.

)في التعريف إفترضنا أن متسلسلة الضجة البيضاء : حظةمال )20,a Nt σوهذا ممكن .إعتمادا على نظرية نهاية مركزية متسلسلة زمنية مشاهده وجد انها تتبع النموذج:مثال

( ) ( )− = − + 10.97 0.85 0.97 , 0,0.024t t t tz z a a N−

156انت المشاهدة األخيرة هي 0.49z 157 ، أوجد تنبؤات للقيم المستقبلية =إذا ك 158 159, ,z z z :

ت

. للقيم المستقبلية٪٩٥وأوجد أخطاء التنبؤ لها ومن ثم أوجد فترات تنبؤ لتاليسبق أن حسبنا في مثال سابق التنبؤات و أخطاء التنبؤ كا: الحل

التنبؤا( ) ( ) ( )156 1561 0.56, 2 0.6z z= = 1562, 3 0.68z =

=⎤⎦

157 ٪٩٥فترات تنبؤ 158 159, ,z z z ٢١ نوجدها من صيغة تعريف

والتباينات

( ) ( ) ( )156 156 1561 0.024, 2 0.041, 2V e V e V e= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 0.054

للقيم المستقبلية

( ) ( ){ }( ) ( ){ }( ) ( ){ }( ) ( ){ }

1 2

2

1 2

156 0.025 156

1 2

156 0.025 156

1 2

156 0.025 156

1 1 1 0.56 1.96 0.024 0.56 0.304

2 2 2 0.62 1.96 0.041 0.62 0.397

3 3 3 0.68 1.96 0.054 0.68 0.455

n nz u V e

z u V e

z u V e

z u V e

α± ⎡ ⎤⎣ ⎦

− ± = ± = ±⎡ ⎤⎣ ⎦

− ± = ± = ±⎡ ⎤⎣ ⎦

− ± = ± = ±⎡ ⎤⎣ ⎦

l l

( )157 0.256,0.864z )أي أن و وكذلك ٠,٩٥بإحتمال ∋ )158 0.223,1.017z و كذلك أيضا ∋

9 0.225,1.135z ∈.

( )15

٦٤

٦٥

الفصل الخامس

تصميم وبناء Designing and Building إحصائي نظام تنبؤStatistical Forec: asting System

عملية بناء نموذج إن .سبق أن ذآرنا ان الخطوة األولى لتصميم نظام تنبؤ هي بناء نموذج ونقصد بها (النموذج ، تقدير النموذج

.و إختبار النموذج) تقدير معالم النموذج

: Specification(Model Identification(تعيين أو تحديد النموذج

تتكون من تحديد Iterativeإحصائي هي عملية تكرارية

واي معلومات اخرى ) التاريخ( لسابقة في مرحلة تحديد النموذج نستخدم البيانات أو المشاهدات ا

ويتم تعيين أو . عن الكيفية التي تولدت بها المتسلسلة وذلك إلقتراح مجموعة من النماذج المناسبة :تحديد النموذج حسب الخطوات العريضة التالية

تحويل : الخطوة االولى :stabilizing Transformation-Varianceتثبيت التباين وإجراء بعض اإلختبارات اإلحصائية لمعرفة Time Plotطط زمني

فيما إذا آان التباين ثابت، وفي حالة عدم ثبات التباين المتسلسلة فإننا نطبق التحويل اللوغارتمي على المتسلسلة ونفحصها

إلي تطبيق أحد التحويالت التي ذآرناها في جدول التباين وإال نلجأ :dإختيار درجة التفريق : الخطوة الثانية

سلة في مخبعد رسم المتسلاو إذا آان التباين يتغير مع مستوى

من جديد فإذا تم تثبيت .٤١صفحة

إذا آانت المتلسلسة أو تحويلها غير مستقرة في المتوسط فيجب علينا تحديد درجة

:نفحص التاليتجعل الممتلسلسة أو تحويلها مستقرة في المتوسط ونقوم بأخذ التفريق األول ثم المخططات الزمنية للممتلسلسة أو -١SPACF و SACF مخططات دالتي الترابط الذاتي العيني والترابط الذاتي الجزئي العيني -٢ إج-٣

في المستوى ودالة ترابط ذاتي عيني خامدة ببطء آما ان دالة الترابط الذاتي الجزئي العيني تعطي قيمة واحدة قريبة من الواحد

. وبقية القيم قريبة جدا من الصفر )إلشارة .٢ او ١ او ٠غالبا ما تكون dدرجة التفريق : مالحظة

:q و p تحديد: الخطوة الثالثة

التي dالتفريق

.تحويلها.

. السابقتين٢ و ١راء تفريق آخر إذا احتاج األمر وإعادة الخطوات المخططات الزمنية للمتسلسالت غير المستقرة تبين تغير

متبغض النظر عن ا(الصحيح

بعد ان نحصل على متسلسلة مستقرة في آل من التباين والمتوسط نقوم بتحديد درجة اإلنحدار

وذلك بمقارنة أنماط دالتي الترابط الذاتي العيني والترابط q ودرجة المتوسط المتحرك pالذاتي تيالذاتي الجزئي العيني مع األنماط النظرية لدالتي الترابط الذاتي والترابط الذا

و٣٨ المذآورة في صفحة ARMA(p,q)مسترشدين بخواص نماذج :الخواص لبعض النماذج الشائعة

ACF النموذج

الجزئي الجدول التالي يعطي هذه

PACF (١,d,٠) و AR(١) 0 ي أواسي متردد تخامد اس, 1kk kφ = >

(٢,d,٠) و AR(٢) 0ي او تخامد جيبتخامد اسي, 2kk kφ = > kk,0او تخامد جيبي/ خامد اسي و k p (p,d,٠) و AR(p) ت φ = >

١)0, 1k k (٠,d و MA(١) ρ = يسيطر عليها تخامد اسي <0,k k

,(٠,d,٢) و MA(٢) 2ρ = يسيطر عليها تخامد اسي او جيبي <

٦٦

(٠,d,q) و (q)0,k k q MA ρ = او جيبي/ يسيطر عليها تخامد اسي و <(١,d,١) و ARMA(١،١) تتناقص وتتخامد اسيا تتناقص ويسيطر عليها تخامد اسي

١ من التخلف ١ من التخلف (p,d,q) و ARMA(p,q) تتناقص بعد التخلفq - pوتتخامد تتناقص بعد التخلف

سيطر وي q – p p – qاو جيبيا بعد التخلف / اسيا و عليها تخامد اسي

او جيبي بعد / و p – q التخلف

:إضافة معلم إنجراف: الخطوة الرابعة

إذا آانت المتسلسة تحتاج إلى تفريق فيجب علينا التأآد فيما إذا آان علينا إضافة إنجراف معلوم δة متوسط العإلى النموذج وهذا يتم بمقارن للمتسلسلة المفرقة المستقرة مع الخطأ wينة

المعياري لهذا المتوسط

( ) ( )1 2c⎡ ⎤0

1 2. 1 2 2 2 Ks e w r r rn

≅ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦L

0 ويكون اإلختبار. Kبطات الذاتية العينية المعنوية للدرجة 0

: 0HH

cˆيث , و =γح ,1 Kr rLهي الترا 0

1

: 0δδ ±

ونرفض

=

0H 0.05 عندα إذاآانت =( )

1.96.

ws e w

>.

:Model Estimationتقدير النموذج

,p1 و δ بعد تحديد شكل النموذج البد من تقدير معالم النموذج ,φ φ1, , q K و θ θK2 وذلك σ و .بإستخدام البيانات التاريخية المتوفرة لدينا

1لنفترض ان لدينا المتسلسلة 2 1, , , ,n nz z z z−K الزمنية المشاهدة والنموذج المقترح ( ) ( ) ( )2, 0,p t q t tB w B a a Nφ δ θ σ= +

أو( ) ( ) ( )2, 0,p t q t tB z B a a Nφ δ θ σ= +

)حيث )p Bφ و ( )q Bθاليوجد بينها جذور مشترآة وجذور ( ) 0p Bφ تقع جميعها =

خل ضمن نطاق هذا المقرر نها هنا فقط طريقتين تد .وهما طريقة العزوم وطريقة المربعات الدنيا الشرطية

f Momentsطريقة العزوم : أوال

المعادلة ).شرط اإلستقرار( خارج دائرة الوحدة

هناك طرق آثيرة لتقدير المعالم سنذآر م

The Method o: k بالعزوم r والترابطات الذاتية للعينة zوتعتمد على مساوات عزوم العينة مثل متوسط العينة

وس للمعالم المراد kρ ودالة الترابط الذاتي µط ظرية مثل المتالن وحل المعادالت الناتجة بالنسبة

: آالتاليAR(p)سوف نستعرض الطريقة للنموذج يقدر المتوسط-١

.تقديرها

µ بالمقدر z اي 1

ˆ nii

z z nµ=

= =∑ ,1 لتقدير -٢ , pφ φKنستخدم العالقة :

٦٧

1 1 2 2 , 1k k k p k p kρ φ ρ φ ρ φ ρ= + + + >L R

− − −

tبالحد (p)والتي تنتج من ضرب المعادلة المعرفة لنموذج kz Aµ− في. وأخذ التوقع−المعادلة ال

1,2, ,k p =سابقة بوضع K نحصل على نظام المعادالت المسمى معادالت يول و

Yule-التالي : p p

Walkerووآر 1 1 2 1 1ρ φ φ ρ φ ρ

2 1 1 2 2p pρ φ ρ φ φ ρ

1 1 2 2p p p pρ φ ρ φ ρ φ

−= + + +L

kو بالتعويض

−= + + +L

M

− −= + + +L

kr 1 نحصل على مقدرات العزوم للمعالم, , pˆ ˆφ φKعن :التالي آρ بالمقدر

ووآر :على الشكل المصفوفي2 1

3 2 2

ˆ

ˆp p

p p

p

r rr r

بوضع معادالت يول و 1φ

φ1 1 21r r r

2 1 11r r r

1 2p p p p 3 1 1 ˆr r r r r φ

− −

− −

⎛ ⎞⎞⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

L

M M M M

وبحل هذه المعادلة للمعالم

2r⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

L

L

M MM

L

2

⎛ ⎞ ⎛ L⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜=

− −⎝ ⎠ ⎝ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎠L

⎜ ⎟ ⎜M M M M

11 1 2 2 1 1

1 1 3 22

1 2 3 1

ˆ 1ˆ 1

1ˆ

p p

p p

p p p pp

r r r r rr r r r

r r r r r

φ

φ

φ

−− −

− −

− − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟M M M M M

آالتاليσتقدر ( )2

0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1 p pr r rσ γ φ φ φ= − − −L

حيث

( )20

1

1ˆn

tt

z zn

γ=

= −∑

.هو تباين العينة :دير العزوم لبعض النماذجتق (١)AR نموذج -١

( ) ( )21 1 , 0,t t t tz z a a Nµ φ µ σ−− = − +

هو 1φمقدر العزوم للمعلم 1 1ˆ rφ =

هو µمقدر العزوم للمعلم

مقدر العزˆ zµ =

هو 2σوم للمعلم ( )2 ˆ

0 1 1ˆ ˆ 1 rσ γ φ= − حيث

( )21ˆ z zγ = −∑ n

01

ttn =

٦٨

MA(١) نموذج-٢ ( )2

1 1, 0,t t t tz a a a Nµ θ σ−− = − نستخدم العالقة 1θإليجاد مقدر العزوم للمعلم

11 2

11θρθ

−=

+

وبتعويض المعالم بمقدراتها1r1 2ˆ1θ

1θ−

= +

1ادلة للمقدر نجدθوبحل المع1

1θ = 1 1 4r− ± −

12r

ˆيعطي قيمتين للمقدر 1 نأخذ القيمة التي تحقق 1θهذا الحل 1θ 0.4rفمثال لو آانت . > = ن فإ− 1

( )1 3.27θ 1 وبالتالي يكون مقدر العزوم للمعلم = ( )1θ و θ 1 هو 0.77θ = −. 0.77= −2 1

AR(٢) نموذج-٣ ( ) ( ) ( )2, 0,z z z a a N1 1 2 2t t t t tµ φ µ φ µ σ− = − + − + − −

1معادالت يول ووآر مقدرات العزوم للمعالم هي2φ و φبإستخدام 1

1 1 1ˆ 1 r rφ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛

1 221r rφ

⎟⎜ ⎟⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠

ومنها نجد⎝ ⎠⎝ ⎠

21 1 2 2 1

1 22 21 1

ˆ ˆ,1 1r r r r r

r rφ φ− −= =

− −

هو µمقدر العزوم للمعلم ˆ zµ =

هو 2σمقدر العزوم للمعلم ( )2

0 1 1 2ˆ ˆˆ ˆ 1 r rσ γ φ φ= − − 2

حيث

( )20

1

1ˆn

tt

z zn

γ=

= −∑

(٢)MA نموذج -٤

( )21 1 2 2 , 0,t t t t tz a a a a Nµ θ θ σ− −− = − −

لم نستخدم الع القات 2θ و 1θإليجاد مقدرات العزوم للمعا ( )1 2 2

1 22 2 2 21 2 1 21 11

,θ θ θρ ρθ θ θ θ

− − −= =

+ + + +

1r2r 2θ و 1θالم نحصل على مقدرات العزوم للمع و وبتعويض المقدرات ( )1 2

ˆ ˆ1θ θ2

2 2 2, ˆ ˆr r1 2 2ˆ ˆ1 1 2

ˆ

1θ− −

1 2θ θ+ + θ θ−

+ += =

٦٩

2θق ونأخذ الحلول التي تحق 2 و 1θونحل لكل من 1 21, + 1 21, 1θ θ< <

(١،١)ARMA نموذج -٥

θ θ θ− <.

( ) ( )21 1t t t 1 1, 0,t ta a a Nz zµ φ µ θ σ−− = − + −

1إليجاد مقدرات العزوم للمعالم

−

1φنستخدم العالقات θ و ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 11 1φθ φ θ φθ φ 1

1 2 12 2,θ

1 1 1 1 1 11 2 1 2ρ ρ φ= =

− − − −θ φθ θ φθ+ − + −

1φ و 1θى مقدرات العزوم للمعالم و نحصل عل1r2rوبتعويض المقدرات( )( ) ( )( )1 1 1 1 1 1 1 11 1 ˆφθ φ θ φθ φ θ

1 2 12 2,ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆr r

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

1 1 1 1 1 11 2 1 2φ

− − − −

θ φθ θ φθ+ − + −= =

نجد 1rالمعادلة المعرفة للمقدر على 2rوبقسمة المعادلة المعرفة للمقدر 2r 1φ1r

=

1وهو مقدر العزوم للمعلم φ .1در العزوم للمعلم إليجاد مقθ 1 نعوض عنφ في المعادلة المعرفة نجد1rللمقدر

2 2ˆ ˆ1 r r1 1r rθ θ

⎛ ⎞⎛ ⎞− −

1 11r r2 2ˆ ˆ

1 11 2r1

θ θ+ −

⎜ ⎟

1ون

⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠=

1 و نأخذ القيمة التي تحقق θحل المعادلة التربيعية الناتجة للمقدر

أوجد مقدرات العزوم : تمارين),

مقدرات العزوم تست: مالحظة

Conditional Least Squareالدنيا الشرطية

ˆ 1θ <. لمعالم النماذج التالية

ARIMA(١،١،١), ARIMA(٢،١،٠), ARIMA(٠،١،٢), ARIMA(١،٢،٠ARIMA(٠،٢،١), ARIMA(٠،٢،٠).

.خدم آقيم أولية إليجاد مقدرات أآثر دقة

طريقة المربعات : ثانياMethod:

والتي تكتب على الشكلARMA(p,q)لنماذج ( )20,( ) ( ) ( ) σ ,t q t tB z B a a Npφ µ θ− =

)حيث )p Bφ و ( )q Bθ اليوجد بينها جذور مشترآة وجذور المعادلة ( ) 0q Bθ تقع جميعها =بإعادة آتابة النموذج السابق). شرط اإلنقالب( دائرة الوحدة : آالتاليta لألخطاء خارج

( )( ) ( )p B

a zφ

t t µBqθ

= −

}بارة آدالة في المعالم }1 2, , , pφ φ φ=φ K و { }1 2, , , qθ θ θ=θ K µ و الطرف األيمن يمكن إعت و يكتب

( ) ( )( ) ( ), , pB

zφ p2

1 21 B Bφ φ21t tpB B B

a µ µ−

= −− − −L

1 2 pθ θ θ− −φ θ

− −L

٧٠

}معطاة }1 2, , , nz z z=z K تعتمد طريقة المربعات الدنيا الشرطية و لمشاهدات على تصغيرال دالة

( ) (2min , , ,c tS aµ

)1

,n

t p, ,µ µ

= +θ

θ z

. الناتجة التالية بالنسبة للمقدراتNormal Equationsوحل المعادالت الطبيعية

= ∑φ θ φφ

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

ˆ ˆ1 ˆ

ˆ

2

ˆ ˆ1ˆ ˆ

ˆ ˆ

, , 0

, , , , 0

n

t p

n

c tt p

a

S a

µ µ

µ µ µ µ

µ

µ µµ µ

= == + =

, ,c tS µ∂ ∂

ˆˆµ µ

=

2, , , , 0S aµ µˆ ˆc t= =1ˆ ˆt p= += =ˆ ˆµ µ µ µ

n

= =

= =

= == += =

= =

= =∂∂

∂ ∂= =

∂ ∂

∂ ∂= =

∂ ∂

∑

∑

φ φ φ φθ θ

φ φ φ φθ θ θ θ

φ θ zφ φ

φ θ φ θ z

1هذه المقدرات تسمى شرطية ألننا هنا نشترط ان القيم 1 0p p p qa a a− + −= = = =L أي مساوية 1tالحظ أن التجميع في المعادالت السابقة يبدأ. ( لتوقعها p= +.(

2يقدر

φ θθ θ

∑φ θ φ θ z φ φ φ φθ θθ θ θ θ

من القيمة منσالتباين

( )( )

2ˆˆ , ,

ˆ1

cS

n p q

µσ =

− + +

φ θ

:تقديرات المربعات الدنيا الشرطية لبعض النماذج (١)AR نموذج -١

( ) ( )21 1 , 0,t t t tz z a a Nµ φ µ σ−− = − +

µلتبسيط اإلشتقاقات سوف نستبدل z بمقدرها

( ) ( )21 1 , 0,t t t tz z z z a a Nφ σ−− = − +

}لمشاهدات معطاة }1 2, , , nz z z=z Kنكتب األخطاء ( ) ( ) ( )1 1 1 , 2,3, ,t t ta z z z z tφ φ −= − − − = L n

وتربيع الطرفين والجمع على آل الم شاهدات ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

221 1 1

221 1 1 1

2 2

, 2,3, ,t t t

n n

c t t tt t

a z z z z t

S a z z z

φ φ

φ φ φ

−

−= =

= − − − =⎡ ⎤⎣ ⎦

= = − − −⎡ ⎤⎣ ⎦∑ ∑

L

n

z

1وهذه دالة للمعلم φ 1 فقط ، نشتق المعادلة السابقة بالنسبة للمعلمφ وتكون النتيجة مساوية للصفر 1 1 φعندما φ=أي

٧١

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 12 2

21 1 1

2

1 1 1 = 2

c t tt t

n

c t tt

n

t t t

S

S z z z z

z z z z z z

φ

φ φφ

φ

= =

−=

− −

22n n

a z zφ= = − 1 1tz zφ −− −

1 1φ

2t=

⎡ ⎤⎣ ⎦

∂ ∂= − − −⎡ ⎤⎣ ⎦∂ ∂

− − − − −⎡ ⎤⎣ ⎦

∑

∑

∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 1 1ˆ21

t t ttφ φφ − −

= =⎣ ⎦∂ 1cS φ

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )21 1 1

ˆ 0t t tz z z z z zφ− −− − − − =∑ ∑

1 1 1ˆ

n

t t tz z z z z zφ− −⎡ ⎤∴ − − − −⎣ ⎦∑

2

2

ˆ2 0

0t

n

t

z z z z z zφ

=

=

⎡ ⎤= − − − − − =

=

∑

أي

n∂

n

2t=

( ) ( )1t tz z z z− − −∑n

( )2

1t

nφ == 2z z−∑ 1

2t

t−

=

1نيا الشرطية للمعلموهو مقدر المربعات الد φ. 1قارن بين هذا المقدر ومقدر العزوم للمعلم: تمرين φ.

(١)MA نموذج -٢( )2

1 1, 0,t t t tz a a a Nµ θ σ−− = − للمتوسط المعدلة على المتسلسلة ونعمل z بمقدرها µ اإلشتقاقات سوف نستبدللتبسيط

t tx z z= النموذجفيصبح −( )2

1 1, 0,t t t tx a a a Nθ σ−= − المعادلة األخيرة على الشكلوبكتابة

1 1t t ta x aθ −= − 1و 2, , , n x معطاة لمشاهدات x xK 0و 0a األخطاء نكتبشرطيا = بوضع

θθ

−

== −= −

=M

السابقة غير خطية في المعلمالدالة

1 1

2 2 1 1

3 3 1 2

1 1n n n

a xa x aa x a

a x aθ−وب التالي

( ) 21

1

n

c tt

S aθ=

= ∑

1θ 1قيمة يمكن إيجاد وθ تصغروالتي ( )1cS θ البحث بطرق نيوتن والتي تتلخص - إستخدام طريقة جاوسأو (١،١-)مجال البحث الشبكي في ال العددية مثل

( )1t ta a أيمثال θ* قيمة أولية حول 1θخطية للمعلم بدالة =θ تقريبفي

٧٢

( ) ( ) ( ) ( )*da* *1 1

1

tt ta a

dθ

θ θ θ θθ

≈ + −

) مشتقة )*

1

tdadθθ

1 حسابها تكراريا وذلك بإشتقاقيمكن 1t ta x a tθي المعادلة طرف −= بة بالنس − ال

علىلنحصل 1θللمعلم

( ) ( ) ( )1 1tad d

1 1 1 1t tda daθ θ θ

1 1

θθ θ −= + −

( )0 1da θو بقيمة أولية المعادلة . =

1

0dθ

( ) ( ) ( ) ( )** * tda

1 1t ta adθ

1

θ θ θ θθ

≈ + −

1المعلم مكان تصغير مجموع المربعات وبالتالي باالθخطية في

( )1c tS aθ =∑ 2n

1t= 1صل علي مقدر جديد وأفضل للمعلم بالمقدر θ* ونكرر هذه العملية بإستبدال θتحليليا لنح

موع المربعات ستمر حتى يصبح الفرق بين مقدرين تاليين صغير جدا أو النقص في مج الجديد ون لكي نحصل على تقارب θ*ولية ألقيمة أممكن إستخدام طريقة العزوم إليجاد ال. جداصغير طب. سريع

يالحظ أنتحوي علولهذا تحتاسوف نكتف

ي تقدير ف طريقة-١ طريقة-٢ طرق -٣

:osticsModel Checking and Diagnشخيص وإختبار النموذج

.عا الطريقة السابقة التتم يدويا بل تحتاج إلى حاسب لذلكتلطة التي تقدير المعالم للنموذج في حالة نماذج المتوسط المتحرك او النماذج المخ

ى متوسط متحرك تشكل تعقيدا ألنها تحوى معالم المتوسط المتحرك بشكل غير خطي . وهو أبسطها جميعا(١)MAج إلى طرق عددية لحلها آما شاهدنا في حالة النموذج

ي في مقررنا هذا على الطريقتين السابقة ولكن نذآر بعض الطرق االخرى المستخدمة :معالم النموذج مثل

Maximum Likelihood Method األرجحية العظمى Unconditional Least Squares Method المربعات الدنيا غير الشرطية

Nonlinear Estimation Methodsالتقديرغير الخطية

ت

لنرى مدى مطابقة النموذج للمتسلسلة المشاهدة ، ويفترض ) ٤ريف ترض انها موزعة طبيعيا بمتوسط والتي نفtaأن البواقي هي مقدرات لمتسلسة الضجة البيضاء

2صفري

بعد التعرف على نموذج مبدئي وتقدير معالم هذا النموذج نجري بعض التشخيصات على البواقيانظر تع(أو أخطاء التطبيق

البواقي تعطى بالعالقة . σوتباين

ˆˆ , 1,2,...,t t t te z z a t n= − = = .أي ان البواقي هي القيم المشاهدة ناقص القيم المطبقة

يقوم التشخيص واإلختبارات على فحص البواقي والنظر في مدى تحقيقها لفرضيات النموذج :ي هيوالت متوسط صفري -١ العشوائية-٢

٧٣

عدم الترابط-٣2مستقل ومتطابق بمتوسط صفري ( موزعة توزيع طبيعي-٤ σوتباين

( ta,20(أي IIDN σ( وهو مجموعة من اإلختبارات علي البواقي لنري فيما إذا آانت تحقق شخيصلهذا فإننا نجري ت

ط وفي هذه الحالة نعتبر النموذج المطبق مقبوال أما إذا فشل احد هذه اإلختبارات هذه الشرو فيجب علينا إعادة النظر وإقتراح نموذج آخر

:إختبار المتوسط: أوال ( )( )

0

1

: 0

: 0t

t

H E a

H E a

=

≠

وهو إختبار بذيلين ونستخدم فية اإلحصائة ( )eu

se e قياسي فعند والتي لها توزيع طبيعي=

0.05( ) 0tE a = αمستوى معنوية 1.96u إذا آانت نعتبر ان = ن ( > هذا علي إعتبار )متسلسالت الزمنية التي ندرسها

ا وحدة وهذا دائما متحقق لل٣٠حجم العينة اآبر من

:عشوائيةالر اختبإ: نيا ثا حول المتوسط وحول الصفر Runs test البواقي بواسطة إختبار الجري عشوائيةنختبر

يوجد آثير من اإلختبارات للعشوائية يدرسها الطالب في ( وهو احد اإلختبارات الالمعلمية ). بحث ولكن نكتفي هنا بهذا اإلختبار٢٤١المقرر :ستقاللاإلترابط أو الر اختبإ: ثالثا

Autocorrelation البواقي بواسطة إختبار الترابط الذاتي ليختبر ترابط أو إستقالtest وذلك بحساب ورسم الترابطات الذاتية العينية SACF للبواقي ومقارنتها مع دالة

.الترابط الذاتي لمتسلسة الضجة البيضاء اإلختبار

0 1

1 1

: 0: 0

HH

ρρ

=≠

حيث اإلحصائة ( )1ruα مستوى معنوية 0.05توزيع طبيعي قياسي فعند لها = نعتبر =

1se r1ان 0ρ 1.96u إذا آانت = <. :إختبار طبيعية البواقي: رابعا

: وذلك بعدة طرق مثلنختبر في ما إذا آانت البواقي موزعة طبيعيا إختبار حسن التطابق -١

. سميرنوف -آولموجوروفal Probability Plot مخطط اإلحتمال الطبيعي -٢ .Q-Q Plotالربيعات - مخطط الربيعات-٣

:ختيار نموذج المناسبإل االخرىمعاييربعض ال

Goodness of Fit Testختبار الالمعلمي ونستخدم اإلKolmogorov-Smirnov TestNorm.

١ (Ljung-Box Q statistc LBQ وتستخدم

:إلختبار الفرضيةوتختصر بوآس -لجنقـ إحصائية آيو ل

0 1 2 K: 0H ρ ρ ρ= = = =L : وتعطى بالعالقة

٧٤

( ) ( )22 krQ n n K mχ= + −∑ 2K

1k n k= − عدد المعالم المقدرmحيث

ia

. ة في النموذج

Automatic Information Criter وتختصر AIC معيار اإلعالم الذاتي ) ٢ وتعطى :بالعالقة

( ) 2ln 2aAIC m n mσ= + mذج ونختار النموذج الذي يعطي عدد المعالم المقدرة في النمو ( )min حيث

mAIC m

:ase StudiesExamples and Cأمثلة وحاالت دراسة

البيانات التالية لمت-١

0.1815 59.5257 58.9275 56.4828 56.1346 57.2318 60.7196 59.9315

1.2223 61.4761 61.1856 60.9225 59.3054 58.3755 59.5353 60.5777 1483 58.4174 60.1325 59.6004 59.9086

8.1690 54.5045 6.7437 55.8451 3.8189 59.3572 9.3402 61.8956 9.9246 59.7252 7.9624 58.4651 7.8803 61.2797

2185 58.0143 60.9805 62.1362 60.0855 60.3843 60.8605 62.3728 57.0642 56. 57.5151 58.4221 60.6919 63.5907 61.4451 60.1458 57.39 59.2145 60.8962 61.1852 58.1711 53.8560 57.5307 59.32 58.5278 60.3030 60.6201 59.9346 59.4119 61.5614 61.1107 59.6266 60.3550 60.7021 60.7227 58.0 59.4242 58.5790 58.6501 55.4010 59.3839 60.8256 62.1957 61.9152 60.3319 57.1459 59.0970 59.0997 59.8597 59.0780 56.9972 59.0778 61.5555 60.9815 60.3563 59.5097 58.3583 63.1777 61.8685 58.2759 59.7755 60.2052 60.2513 59.2927 56.1494 56.0309 56.6666 59.5015 59.4755 60.9013 61.2179 61.1168 61.7218 59.2298 60.7356 63.4124

MINITAB بإستخدام الحزمة اإلحصائية Time Plotاوال نرسم المتسلسلة في مخطط زمني

:آالتاليMTB > TSPlot 'z(t)'; SUBC> Index; SUBC> TDisplay 11;

d Time Series".

سلسلة زمنية مشاهدة z(t) 6 61.0640 61.4230 63.1547 63.9622 63.5049 64.6886 62.8556 61.0344 58.0059 58.7108 57.9813 59.1721 62.4654 60.5820 59.3191 60.6643 6 61.9753 62.1789 61.8108 58. 60.4833 61.7008 59.1609 59.4554 59.0903 58.0151 59.1455 62.2658

0.9492 61.9013 63.4411 60.5918 65.1325 61.7122 58.8802 59.5333 6 59.3478 59.4444 62.6899 61.6708 63.7261 55.7339 5 56.7241 57.3334 57.9363 58.5870 61.8370 58.9585 5 58.1281 62.1017 59.9443 60.2990 61.6337 61.1520 6 61.7840 57.3292 54.7163 58.2273 58.7564 59.0087 5 60.9021 63.1070 60.0538 63.6776 60.8942 60.5289 5 60.7001 58.1895 54.5550 54.6083 56.5413 59.1567 5 61.9462 61.9205 63.3933 62.3827 61.4310 60.3373 5 61.9448 56.2599 59.9569 57.8763 59.2086 55.4219 54.

6085 40 56.8697 36 57.2961

423 59.3488 60.0377 58.7336 58.1105

SUBC> Symbol; SUBC> Connect; SUBC> Title "An obseve

٧٥

2 0 01 5 01 0 05 0

6 5

6 0

5 5

In d e x

z(t)

A n o b s e v e d T im e S e r ie s

ثانيا نحسب ونرسم الترابط الذاتي العيني بإستخدام األمر

MTB > %ACF 'z(t)'; SUBC> MAXLAG 20;

es".SUBC> TITLE"SACF of observed Time SeriExecuting from file: H:\MTBWIN\MACROS\ACF.MAC

2 01 51 05

1 .00 .80 .60 .40 .20 .0

-0 .2-0 .4-0 .6-0 .8-1 .0

Auto

corre

latio

n

L B QTC o rrL a gL B QTC o rrL a gL B QTC o rrL a g

1 1 4 .8 61 1 3 .9 81 1 0 .6 31 0 1 .3 3 9 4 .8 6 9 1 .2 3

9 0 .2 7 9 0 .0 5 8 9 .9 7 8 8 .7 3 8 7 .7 3 8 6 .1 4 8 1 .7 6

7 7 .5 8 6 9 .9 2 6 2 .8 2 6 1 .3 4 6 0 .7 8 6 0 .7 8 5 2 .4 8

0 .6 1 1 .2 1 2 .0 6 1 .7 5 1 .3 3 0 .6 8

0 .3 2-0 .2 1-0 .7 9-0 .7 1-0 .9 0-1 .5 2-1 .5 0

-2 .0 9-2 .0 5-0 .9 5-0 .5 9-0 .0 1 2 .3 2 7 .1 9

0 .0 6 0 .1 2 0 .2 0 0 .1 7 0 .1 3 0 .0 7

0 .0 3-0 .0 2-0 .0 8-0 .0 7-0 .0 9-0 .1 4-0 .1 4

-0 .1 9-0 .1 8-0 .0 8-0 .0 5-0 .0 0 0 .2 0 0 .5 1

2 01 91 81 71 61 5

1 41 31 21 11 0 9 8

7 6 5 4 3 2 1

S A C F o f o b se rve d T im e S e rie s

سب ونرسم الترابط الذاتي الجزئي العيني بإستخدام األمرثالثا نحMTB > %PACF 'z(t)'; SUBC> MAXLAG 20; SUBC> TITLE"SPACF of obseved Time Series". Exe

cuting from file: H:\MTBWIN\MACROS\PACF.MAC

٧٦

2015105

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Parti

al A

utoc

orre

latio

n

TPACLagTPACLagTPACLag

0 .52-0 .45 0 .86 1 .20 1 .28-0 .23

0 .32 0 .39-1 .34-0 .60 0 .16-1 .63-0 .12

-0 .50-2 .34-0 .73 0 .04-1 .38-1 .07 7 .19

0 .04-0 .03 0 .06 0 .08 0 .09-0 .02

0 .02 0 .03-0 .09-0 .04 0 .01-0 .12-0 .01

-0 .04-0 .16-0 .05 0 .00-0 .10-0 .08 0 .51

201918171615

1413121110 9 8

7 6 5 4 3 2 1

S P A C F o f obseved T im e S eries

لسلة تتبع نموذج الجزئي العيني نالحظ ان المتس

AR(١)ولهذا نطبق النموذج المقترح علي المشاهدات بإستخدام األمر MTB >MTB >SUBC> Constant; SUBC> Forecast 5 c4 c5 c6; SUBC> GACF; SUBC> GPACF; SUBC> GHistogram; SUBC> GNormalplot.

4 685.054 0.507 5 685.054 0.507 Relative change in each estimate less than 0.0010 Final Estimates of Parameters Type Coef StDev T AR 1 0.5073 0.0611 8.30 Constant 29.4429 0.1309 224.98 Mean 59.7571 0.2656 Number of observations: 201 Residuals: SS = 685.020 (backforecasts excluded) MS = 3.442 DF = 199 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 10.8(DF=11) 27.6(DF=23) 35.9(DF=35) 45.0(DF=47) Forecasts from period 201 95 Percent Limits Period Forecast Lower Upper Actual 202 59.7079 56.0707 63.3451 203 59.7322 55.6537 63.8106

الترابط الذاتي و الترابط الذاتي من أنماط

Name c7 = 'RESI1' ARIMA 1 0 0 'z(t)' 'RESI1';

ARIMA Model ARIMA model for z(t) Estimates at each iteration Iteration SSE Parameters 0 839.667 0.100 53.870 1 746.819 0.250 44.876 2 695.840 0.400 35.883 3 685.086 0.502 29.769

29.458 29.443

٧٧

204 59.7445 55.5600 63.9290 205 59.7507 55.5394 63.9620 206 59.7539 55.5357 63.9721

:ونستنتج التالي هو النموذج المقترح -١

( )159.76 0.51( 59.76) , 0,3.44t t t tz z a a WN−= + − + : لها هيt المعالم المقدرة وإنحرافها المعياري و قيمة -٢

:رابعا نفحص البواقي إختبار متوسط البواقي-

MTB > ZTest 0.0 1.855 'RESI1'; SUBC> Alternative 0;

SUBC> GBoxplot. Z-Test Test of mu = 0.000 vs mu not = 0.000

med sigma = 1.85

ال

إختبار عشوائية البواقيMTB > Runs 0 'RESI1'. Runs Test RESI1 K = 0.0000 The observed number of runs = 94 The expected number of runs = 101.0796 107 Observations above K 94 below The test is significant at 0.3149 Cannot reject at alpha = 0.05

النرفض الفرضية الصفرية بأن البواقي عشوائية الترابط الذاتي للبواقي-٣

( )( )

( )

1 1

2

ˆ ˆ0.51, . . 0.061, 8.3

ˆ ˆ59.76, . . 0.66ˆ ˆ29.44, . . 0.131, 224.98

ˆ 3.44, . . 199

s e t

s e

s e t

with d f

φ φ

µ µ

δ δ

σ

= = =

= =

= = =

= =

١

SUBC> GHistogram; SUBC> GDotplot;

The assu Variable N Mean StDev SE Mean Z P RESI1 201 -0.002 1.851 0.131 -0.01 0.99

نرفض الفرضية الصفرية بأن المتوسط يساوي الصفر

٢-

٧٨

5045403530252015105

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Auto

corr

elat

ion

ACF of Residuals for z(t)(with 95% confidence limits for the autocorrelations)

الترابط الذاتي الجزئي للبواقي-٤

5045403530252015105

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.6

-0.8

-1.0

-0.4

Lag

Pa A

utoc

orre

l

PACF of Residuals for z(t)(with 95% confidence limits for the partial autocorrelations)

atio

nrti

al

نالحظ ان أنماط الترابط الذاتي والترا بط الذاتي الجزئي تتبع أنماط متسلسلة الضجة البيضاء

:ار طبيعية البواقي إختب-٥ نرسم المضلع التكراري للبواقي-ا

50-5

Histogram of the Residuals(response is z(t))

30

20

10

0

Residual

Freq

uenc

y

٧٩

نالحظ أنه متناظر ولة شكل التوزيع :وهذا اليكفي بل يجب ان ننظر الى. الطبيعي تقريبا Normal Probability Plot رسم االحتمال الطبيعي -ب

5.0 2.5 0.0-2.5-5.0

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

Data

Perc

ent

StDev: 1.Mean:

85070-1.6E-03

SI1

واضح من الرسم أن البواقي طبيعية ولل عية البواقي لطبيK-S Test بإختبار -ج

\NormPlot.MAC

Normal Probability Plot for RE

:تأآد نقوم

MTB > %NormPlot 'RESI1'; SUBC> Kstest;

uals". SUBC> Title "Normal Test for Residecuting from file: H:\MTBWIN\MACROSEx

Approximate P-Value: 0.074D+: 0.045 D-: 0.060 D : 0.060

Kolmogorov-Smirnov Normality Test

N: 201StDev: 1.85070

Normal Test for Residu

Average: -0.0016272

50-5

.999

.99

.95

.80

.50

.20

.05

.01

.001

Prob

abilit

y

RESI1

als

:ونالحظ التالي اإلختبار هو

( ): Residuals N 0,3.44H

( ): Residuals N 0,3.44H §0 1

سميرنوف اعطى-إختبار آولموجوروفD D= = =

0.05 وهي٠٫٠٧٤ لإلختبار هي P-Valueالـ 0.045, 0.06, 0.06D+ −

النرفض الفرضية أآبر من α أي اننا = .الصفرية

:توليد تنبؤات

٨٠

قيم مست٥استخدمنا النموذج للتنبؤ عن mits Upper Actual

07 63.3451 6537 63.8106

63.9721

ونرسمها باألمر التالي

BC> Title "Forecast of 5 future value with 95% limits"; y.

قبليةForecasts from period 201 95 Percent Li

r Period Forecast Lowe02 59.7079 56.07 2

203 59.7322 55. 204 59.7445 55.5600 63.9290

63.9620 205 59.7507 55.5394 06 59.7539 55.5357 2

Plot C4*C8 C5*C8 C6*C8; SUBC> Connect; SUBC> Type 1; SUBC> Color 1; SUBC> Size 1; SUSUBC> Overla

5432

Fo

64

1

C8

63

62

61

60

C4

59

58

57

56

55

recast of 5 future value with 95% limits

. وفترات التنبؤوالرسم التالي يعطي الجزء األخير من المتسلسلة مع التنبؤات

20019180 0

64

63

62

61

60

59

58

57

56

55

C8

C9

Forecast of 5 future value with 95% limits

البيانات التالية لمت-٢

سلسلة زمنية مشاهدة

٨١

z(t) 499.148 496.650 511.026 488.539 498.440 507.382 496.208 494.948

493.057 506.459 502.545 497.785 506.329 496.665 49 499.890 494.559 503.107 502.891 498.598 500.074 507.416 500.508 496.830 491.981 516.373 492.286 500.356 503.506 498.090 498.319 507.020 493.161 499.217 508.489 494.033 496.062 504.877 498.304 495.355 505.581 495.000 504.965 497.393 501.521 494.918 501.527 504.712 501.064 492.352 500.664 495.431 507.886 499.173 494.833 504.072 497.883 495.423 507.0 496.765 504.129 495.737 500.744 482.567 507.594 503.580 493.866 500.989 498.294 501.700 495.868 501.175 503.852 499.783 497.642 501.331 496.932 507.582 494.885 504.666 498.380 496.181 51 489.314 504.394 50 502.720 499.982 50

89 498.640 500.484 493.552 501.417 504.785 497.943 501.634 9 499.611 7 500.388 7 505.987 3 493.858 0 494.857 1 497.861 9 493.017 8 498.931 3 497.794 3 513.900

491.726 496.063 499.779 504.012 501.542 496.680 499.134 504.717 489.032 505.709 497.956 497.231 507.590 491.202 503.1 500.024 493.502 502.681 505.234 497.647 495.699 504.1 505.194 497.421 502.823 496.877 504.640 492.716 501.701 501.387 499.574 497.048

مشاهدة من هذه المتسلسلة٥٠سوف نرسم فقط : اوال

503.975 501.649 489.348 506.040 496.678 502.233 498.429 503.170 498.758 502.969 498.229 501.605 493.371 505.884 496.227 496.806

1.923 504.340 499.260 496.372

72 496.285 506.345 505.577 485.991 507.673 507.735 501.819 500.921 503.415 497.295

0.287 1.928 494.814 509.407 498.060 497.133 496.029 3.325 495.954 504.408 500.199 494.878 503.134

502.4 495.691 502.173 502.066 497.130 492.318 505.517 499.29 496.252 504.346 501.082 497.626 496.757 505.475 498.78 499.279 504.913 493.843 506.259 498.403 497.462 499.46 498.169 500.712 498.571 504.085 491.707 504.817 502.93 497.015 504.204 501.703 490.683 505.429 504.336 495.43 503.195 506.403 498.599 487.344 514.220 490.887 511.74 500.252 502.721 500.256 494.614 502.414 503.465 501.99 498.158 503.746 497.643 507.438 491.418 506.649 496.07 500.409 506.001 490.619 512.122 496.150 505.218 497.41 496.225 501.827 500.324 505.367 498.016 498.477 495.35

30 502.209 74 497.992

5040302010

510

500

490

Index

z(t)

:نحسب ونرسم الترابط الذاتي العيني: ثانيا

٨٢

2015105

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Auto

corre

Autocorrelation Function for z(t)

LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag

119.93118.81117.65114.85113.47113.33

112.61108.97108.35105.32 96.64 91.01 87.98

85.52 83.33 80.08 75.83 75.39 71.68 71.03

-0.73 0.75-1.16 0.82-0.26 0.60

-1.36 0.56 1.25-2.16 1.77-1.31 1.19

-1.13 1.39-1.61 0.52 1.52-0.64-8.38

-0.06 0.07-0.10 0.07-0.02 0.05

-0.12 0.05 0.11-0.18 0.15-0.11 0.10

-0.09 0.11-0.13 0.04 0.12-0.05-0.53

201918171615

1413121110 9 8

7 6 5 4 3 2 1

:نحسب ونرسم الترابط الذاتي الجزئي العيني: ثالثا

latio

n

2015105

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Pato

corre

latio

nrti

al A

u

TPACLagTPACLagTPAC

-2.09 0.49

-1.09 0.65

838

-0.13 0.03

-0.07 0.04

.46

.531615

9 8

Lag

-2.07 0.44-1.32 1.01

-0.59

-1.15 1.94

-1.08-4.52-7.2-8.

-0.13 0.03-0.08 0.06

-0.04

-0.07 0.12

-0.07-0.29-0-0

20191817

1110

4 3 2 1

Partial Autocorrelation Function for z(t)

وبتطبيق ه(١)MAمن األنماط المشاهدة نالحظ ان المتسلسة قد تتبع نموذج

TB > Name c7 = 'RESI1' ' 'RESI1';

BC> Constant;

BC> GHistogram;

ameters 100 500.046

4 0.250 500.004 2 4615.22 0.400 499.980

4109.70 0.550 499.967 3766.60 0.700 499.960

5 3727.32 0.841 499.959 0.797 499.963

1.19-0.71

0.30-1.71

0.08-0.04

0.02-0.11

1312

6 5

-1.36-0.09 14 7

ذا النموذج نجدMMTB > ARIMA 0 0 1 'z(t)SUSUBC> Forecast 5 c4 c5 c6; SUBC> GACF; SUBC> GPACF; SUSUBC> GNormalplot.

ARIMA Model ARIMA model for z(t) timates at each iteration Es

Iteration SSE Par 0. 0 6081.19

1 5265.3 3 4 6 3687.70

٨٣

7 3687.08 0.790 499.962 499.962

0.0010

nal Estimates of Parameters T

ox) Chi-Square statistic

2 24 36 48 i-Square 26.7(DF=11) 35.9(DF=23) 63.1(DF=35) 82.8(DF=47)

period 250 95 Percent Limits

Lower Upper Actual 494.700 509.812

330 509.593 9.593 .593 .593

:ونستنتج التالي

8 3687.07 0.791 9 3687.07 0.790 499.962 Relative change in each estimate less than FiType Coef StDev MA 1 0.7905 0.0386 20.50 Constant 499.962 0.051 9708.40 Mean 499.962 0.051 Number of observations: 250 Residuals: SS = 3684.13 (backforecasts excluded) MS = 14.86 DF = 248

Modified Box-Pierce (Ljung-BLag 1Ch Forecasts from Period Forecast 251 502.256 252 499.962 490. 253 499.962 490.330 50 254 499.962 490.330 509 255 499.962 490.330 509

النموذج المقترح هو -١( ) 1499.962 0.7905 , 0,1t t t tz a a a WN−= + − 4.86

: لها هيtحرافها المعياري و قيمة المعالم المقدرة وإن-٢( )1 10.7905, . . 0.0386, 20.50s e tθ θ= = =ˆ ˆ

( )ˆ ˆˆ 499.962, . . 0.051s eµ δ δ= = =2

, 9708.40

14.86, . . 248

t

with d f

=

= =

:رابعا نفحص البواقي إختبار متوسط البواق-١

RESI1';

SE Mean Z P 0.98

النرف ئية البواقي إختبار عشوا-٢

RESI1

σ

يMTB > ZTest 0.0 3.847 'SUBC> Alternative 0. Z-Test Test of mu = 0.000 vs mu not = 0.000 The assumed sigma = 3.85 riable N Mean StDev Va

RESI1 250 -0.007 3.847 0.243 -0.03

ض الفرضية الصفرية بأن المتوسط يساوي الصفر

MTB > Runs 0 'RESI1'. Runs Test

٨٤

K = 0.0000 The observed number of runs = 134

5.9920

= 0.05

النرفض الفرضية ٣-

The expected number of runs = 12 126 Observations above K 124 below The test is significant at 0.3103 Cannot reject at alpha

الصفرية بأن البواقي عشوائية

الترابط الذاتي للبواقي

6 05 5

A C F o(w ith 9 5 % c o n f id e n

f R es idu a ls

5 04 54 03 53 02 52 01 51 05

1 .0

0 .4

-0 .2

-0 .4

-0 .8

0 .8

0 .6

0 .2

0 .0

-0 .6

-1 .0

L a g

fo r z(t)c e l im its fo r th e a u to c o r re la t io n s )

الترابط الذاتي الجزئي للبواقي-٤

Auto

coon

rrel

ati

6 05 55 04 54 03 53 02 52 01 51 05

P A C F o f R e s id u a ls fo r z (t)(w ith 9 5 % c o n f id e n c e l im its fo r th e p a r t ia l a u to c o r re la t io n s )

1 .0

0 .8

0 .6

0 .4

0 .2

0 .0

-0 .2

-0 .4

-0 .6

-0 .8

-1 .0

L a g

Parti

al A

utoc

orre

latio

n

نالحظ ان أنماط الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي تتبع أنماط متسلسلة الضجة البيضاء :اقي إختبار طبيعية البو-٥ نرسم المضلع التكراري للبواقي-ا

٨٥

100-10

H istogram of(resp

30

20

10

0

Residual

the Residualsonse is z(t))

الNormal Probability P

yeq

uenc

rF

ن :وهذا اليكفي بل يجب ان ننظر الى. حظ أنه متناظر ولة شكل التوزيع الطبيعي تقريبا

lot رسم االحتمال الطبيعي -ب

10 5 0 -5-10

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

Data

Perc

ent

StDev:Mean:

3.84651-6.9E-03

Normal Probability Plot for RESI1

:واضح من الرسم أن البواقي طبيعية وللتأآد نقوم

لطبيعية البواقيK-S Test بإختبار -جMTB > %Qqplot 'RESI1'; SUBC> Conf 95; SUBC> Ci. Executing from file: H:\MTBWIN\MACROS\Qqplot.MAC Distribution Function Analysis Normal Dist. Parameter Estimates Data : RESI1 Mean: -6.9E-03 StDev: 3.84651 MTB > %NormPlot 'RESI1'; SUBC> Kstest. Executing from file: H:\MTBWIN\MACROS\NormPlot.MAC

٨٦

Approximate P-Value: 0.105D+: 0.034 D-: 0.051 D : 0.051

Kolmogorov-Smirnov Normality Test

N: 250StDev: 3.84651Average: -0.0069004

100-10

.999

.99

.95

.80

.50

.20

.05

.01

.001

Prob

abilit

y

RESI1

Normal Probability Plot

سميرنوف اعطى-إختبار آولموجوروف

0.05 وهي٠٫١٠٥ لإلختبار هي P-Valueالـ 0.034, 0.051, 0.051D D D+ −= = =

α أآبر من أي اننا النرفض الفرضية ان = .البواقي موزعة طبيعيا

:توليد تنبؤات

قيم مستقبلية٥استخدمنا النموذج للتنبؤ عن Forecasts from period 250 95 Percent Limits Period Forecast Lower Upper Actual 251 502.256 494.700 509.812 252 499.962 490.330 509.593 253 499.962 490.330 509.593 254 499.962 490.330 509.593 255 499.962 490.330 509.593

تنبؤ٩٥%والرسم التالي يعطي التنبؤات مع فترات

54321

510

500

490

C8

C4

Forecast of 5 future values with 95% limits

البيانات التالية لمتسلسلة زمنية مشاهدة -٣

٨٧

z(t) 229.574 227.346 230.260 224.077 225.772 22

229.903 226.778 226.641 226.760 224.678

230.713 234.323 23

9.359 229.331 229.564 230.102 232.432 4.668 231.319 231.633 231.121 228.189

227.075 226.765 224.927 225.721 225.734 227.982 229.848 231.718

223.571 222.523 225.196 226.724 228.198 234.561 232.976 231.266 227.812 224.928 225.447 228.163 230.455 232.473 232.067 233.891 233.841 234.707 234.825 232.232 233.640 231.653 230.148 230.327 228.922 231.665 235.224 236.562 233.725 230.146 227.077 227.032 227.089 229.575 233.044 233.427 233.089 233.444 233.256 232.820 228.954 224.747 224.207 225.484 228.655 230.076 231.062 232.461 232.152 226.865 222.819 220.782 220.958 221.171 224.050 228.727 232.135 232.027 232.315 232.030 231.531 230.582 232.032 231.411 232.684 233.852 233.127 230.938 231.363 232.344 233.622 233.799 235.038 232.160 229.733 229.757 228.285 224.880 223.599 225.273 223.994 224.258 227.948 230.636 229.320 227.449 229.100 231.898 228.203 228.606 227.046 230.713 235.587 239.660 242.860 243.963 239.883 234.243 230.662 230.360 228.729 225.860 225.123 225.070 229.486 231.265 234.107 234.625 232.700 229.792 230.082 227.643 230.342 233.628 238.762 241.821 240.884 235.112 228.468 223.381 223.795 226.994 230.499 230.865 236.017 238.292 235.623 230.088 226.271 225.616 225.771 226.222 229.321 227.805 226.745 225.447 223.250 225.291 225.358 225.985 228.141 230.794 229.727 227.934 228.920 230.296 229.369 229.352 228.958 231.092 232.891 235.210 235.339 236.029 232.881 228.837 226.114 225.020 224.096

3.390 222.482 221.562 222.515 224.063 227.500 6.033 236.488 232.308 229.136 225.663 221.632

215.405 213.619 217.433 223.408 232.653 239.577 238.463 234.178 228.758 221.484 217.123 218.067 222.156 227.621 232.209 233.005 234.678 236.419 235.744 22 234.155 233.918 235.767 23

230.421 228.200 228.472 230.888 230.122 227.859 223.115 222.468 224.663 225.799 228.227 229.851 228.225 228.618 228.418 231.163 233.335 236.399 236.659 235.024 235.122 228.989 224.483 226.479

229.792 232.738 234.207

MINITAB بإستخدام الحزمة اإلحصائية Time Plotاوال نرسم المتسلسلة في مخطط زمني

) مشاهدة فقط٥٠: (آالتالي

5 04 03 02 01 0

2 4 2

2 3 2

2 2 2

In d e x

z(t)

ثانيا نحسب ونرسم الترابط الذاتي العيني

٨٨

2 01 51 05

1 . 00 . 80 . 60 . 40 . 20 . 0

- 0 . 2- 0 . 4- 0 . 6- 0 . 8- 1 . 0

Auto

corre

latio

n

L B QTC o r rL B QTC o r rL a g L a gL B QTC o r rL a g

4 0 3 . 0 54 0 1 . 3 7

3 7 6 . 3 2

3 6 5 . 0 43 6 1 . 2 53 6 1 . 1 73 5 5 . 1 63 4 1 . 4 83 2 7 . 2 43 2 2 . 0 5

3 2 1 . 9 53 1 1 . 2 32 8 3 . 7 52 5 6 . 2 12 4 9 . 7 12 4 4 . 2 91 7 8 . 2 1

0 . 6 1 0 . 0 2 - 1 . 6 5

- 0 . 9 6 0 . 1 5 1 . 2 2 1 . 8 8 1 . 9 5 1 . 1 8 - 0 . 1 7

- 1 . 7 3 - 2 . 8 7 - 2 . 9 8 - 1 . 4 6 1 . 3 5 5 . 2 0

1 3 . 2 7

0 . 0 8 0 . 0 0- 0 . 1 0- 0 . 1 8- 0 . 2 2- 0 . 2 1

- 0 . 1 2 0 . 0 2 0 . 1 5 0 . 2 3 0 . 2 3 0 . 1 4- 0 . 0 2

- 0 . 2 0- 0 . 3 3- 0 . 3 3- 0 . 1 6 0 . 1 5 0 . 5 1 0 . 8 4

2 01 91 81 71 61 5

1 41 31 21 11 0 9 8

7 6 5 4 3 2 1

A u t o c o r r e la t io n F u n c t io n f o r z

ي الجزئي العينيثالثا نحسب ونرسم الترابط الذات

( t )

4 0 1 . 3 73 9 8 . 8 13 8 9 . 9 3

- 0 . 7 6- 1 . 4 2- 1 . 7 9

2 0511 05

1 .00 .80 .60 .40 .20 .0

-0 .2-0 .4-0 .6-0 .8-1 .0

Parti

al A

utoc

orre

latio

n

TP A CL a gTP A CL a gTP AL a g

- 1 . 1 4 0 . 6 0 - 0 . 9 3 0 . 6 7

- 1 . 1 8 0 . 7 3 - 1 . 1 2 1 . 0 6

- 0 . 2 2 2 . 1 8 1 . 7 8 - 1 . 0 0 - 1 . 1 3

- 1 0 . 3 9 1 3 . 2 7

- 0 . 0 7 0 . 0 4- 0 . 0 6 0 . 0 4

0 . 0- 0 . 1 0 . 0- 0 . 0 7 0 . 0 5- 0 . 0 7 0 . 0 7

- 0 . 0 1 0 . 1 4 0 . 1 1- 0 . 0 6- 0 . 0 7- 0 . 0 .

1 81 71 61 5

1 41 31 21 11 0 9 8

7 6 5 4 3 2 1

P a r t ia l A u to c o r r e la t io n F u n c t io n f o r z ( t )

ني نالحظ ان المتسلسلة تتبع نموذج

MTB > Name c7 = 'RESI1' MTB > ARIMA 2 0 0 'z(t)' 'RESI1'; SUBC> Constant; SUBC> Forecast 10 c4 c5 c6; SUBC> GACF; SUBC> GPACF; SUBC> GHistogram; SUBC> GNormalplot. ARIMA Model ARIMA model for z(t) Estimates at each iteration Iteration SSE Parameters 0 4257.23 0.100 0.100 183.784 1 3528.31 0.250 0.012 169.535 2 2889.23 0.400 -0.076 155 3 2338.97 0.550 -0.165 141.201 4 1877.39 0.700 -0.253 127.051 5 1504.46 0.850 -0.342 112.913 6 1220.13 1.000 -0.430 98.789

C

6 68 4

- 1 . 3 9 1 . 4 4

0 . 1 8 - 2 . 4 1 0 . 9 0

- 0 . 0 9 0 . 0 9

156

2 01 9

الترابط الذاتي و الترابط الذاتي الجزئي العيمن أنماط AR(٢) ولهذا نطبق النموذج المقترح علي المشاهدات

.360

٨٩

9 894.38 1.402 -0.668 61.154 10 894.31 1.408 -0.672 60.670 11 894.31 1.408 -0.672 60.646 Relative change in each est Final Estimates of Parameters Type Coef StDev T AR 1 1.4079 0.0473 29.78 AR 2 -0.6720 0.0474 -14.19 Constant 60.6458 0.1203 504.11 Mean 229.638 0.456 Number of observations: 250 Residuals: SS = 893.567 (backforecasts excluded) MS = 3.618 DF = 247 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 17.5(DF=10) 27.2(DF=22) 49.7(DF=34) 67.7(DF=46) Forecasts from peri Peri

255 231 256 257 258 230.442 221.327 239.558 259 229.833 220.600 239.067 260 229.372 220.090 238.655

:ونستنتج التالي النموذج المقترح هو-١

7 1024.34 1.150 -0.519 84.690 8 916.97 1.300 -0.608 70.623

imate less than 0.0010

od 250 95 Percent Limits od Forecast Lower Upper Actual

251 224.939 221.211 228.668 252 226.747 220.308 233.186 253 228.725 220.642 236.808 254 230.296 221.546 239.045

.177 222.311 240.044 231.363 222.494 240.233 231.033 222.070 239.996

( )1 260.6458 1.4079 0.672 , 0,3.618t t t t tz z z a a WN− −= + − + : لها هيt المعالم المقدرة وإنحرافها المعياري و قيمة -٢

( )( )( )

( )

1 1

2 2

2

ˆ ˆ1.4079, . . 0.0473, 29.78

ˆ ˆ0.672, . . 0.0474, 14.19

ˆ ˆ229.638, . . 0.456ˆ ˆ60.6458, . . 0.1203, 504.11

ˆ 3.618, . . 247

s e t

s e t

s e

s e t

with d f

φ φ

φ φ

µ µ

δ δ

σ

= = =

= − = = −

= =

= =

= =

=

:رابعا نفحص البواقي إختبار متوسط البواقي-١

MTB > ZTest 0.0 3.618 'RESI1'; SUBC> Alternative 0. Z-Test Test of mu = 0.000 vs mu not = 0.000 The assumed sigma = 3.62 Variable N Mean StDev SE Mean Z P RESI1 250 -0.005 1.894 0.229 -0.02 0.98

٩٠

الصفر

ة البواقي إختبار عشوائي-MTB > Runs 0 'RESI1'. Runs Test

النرفض الفرضية الصفرية بأن المتوسط يساوي ٢

RESI1 K = 0.0000 The observed number of runs = 125 The expected number of runs = 125.8720 129 Observations above K 121 below The test is significant at 0.9119 Cannot reject at alpha = 0.05

النرفض الفرضية الصفرية بأن البواقي عشوائية

الترابط الذاتي للب-٣ واقي

6 05 55 04 54 03 53 02 52 01 51 05

1 .0

0 .8

0 .6

0 .4

0 .2

0 .0

-0 .2

-0 .4

-0 .6

-0 .8

-1 .0

L a g

Auto

corr

elat

ion

A C F o f R e s id u a ls fo r z ( t)(w ith 9 5 % c o n f id e n c e l im its fo r th e a u to c o r re la t io n s )

للبواقي الترابط الذاتي الجزئي-٤

6 05 55 04 54 03 53 02 52 01 51 05

1 .0

0 .8

0 .6

0 .4

0 .2

0 .0

-0 .2

-0 .4

-0 .6

-0 .8

-1 .0

L a g

Parti

al A

utoc

orre

latio

n

P A C F o f R e s id u a ls fo r z (t)(w ith 9 5 % c o n f id e n c e l im its fo r th e p a r t ia l a u to c o r re la t io n s )

٩١

نالحظ ان أنماط الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي تتبع أنماط متسلسلة الضجة البيضاء : إختبار طبيعية البواقي -٥ نرسم المضلع التكراري للبواقي-ا

50-5

30

20

10

0

Residual

Freq

uenc

y

H istogram of the Residuals(response is z(t))

وهذا اليكفي بل يجب ان ننظر الى. نالحظ أنه متناظر ولة شكل التوزيع الطبيعي تقريبا :

Normal Probability Plot رسم االحتمال الطبيعي -ب

4 2 0-2-4-6

9 9

9 5

9 0

8 0

7 06 05 04 03 0

2 0

1 0

5

1

Data

Perc

ent

S tD ev:M ean:

1.89436-4.6E-03

N orm al P robability P lot for R ES I1

:واضح من الرسم أن البواقي طبيعية وللتأآد نقوم

لطبيعية البواقيK-S Test بإختبار -ج

٩٢

Approximate P-Value > 0.15D+: 0.020 D-: 0.029 D : 0.029

Kolmogorov-Smirnov Normality Test

N: 250StDev: 1.89436Average: -0.0046305

50-5

.999

.99

.95

.80

.50

.20

.05

.01

.001

Prob

abilit

y

RESI1

Normal Probability Plot

وهي أآبر من ٠٫١٥ لإلختبار هي P-Valueسميرنوف اعطى الـ -ار آولموجوروفإختب

0.05α .أي اننا النرفض فرضية طبيعية البواقي =

:توليد تنبؤات قيم مستقبلية١٠استخدمنا النموذج للتنبؤ عن

Forecasts from period 250 95 Percent Limits Period Forecast Lower Upper Actual 251 224.939 221.211 228.668 252 226.747 220.308 233.186 253 228.725 220.642 236.808 254 230.296 221.546 239.045 255 231.177 222.311 240.044 256 231.363 222.494 240.233 257 231.033 222.070 239.996 258 230.442 221.327 239.558 259 229.833 220.600 239.067 260 229.372 220.090 238.655

فترات تنبؤ٩٥%والرسم التالي يعطي التنبؤات و

240

230

220

C4

Forecast of 10 future values with 95% limits

109876543210

C8

٩٣

2001000

245

235

225

215

C8

C9

Forecast of 10 future values with 95% limits

6050403020100

240

230

220

C8

C9

Forecast of 10 future values with 95% limits

الشكل األول يبين المتسلسلة الزمنية بكاملها مع التنبؤات والشكل الثاني للخمسين قيمة األخيرة مع

.التنبؤات لتوضيح شكل دالة التنبؤ

:حالة دراسةإقرأ سطرا (لتلفزيونات المعيبة في خط إنتاج مصنع ما المتسلسلة التالية المتوسط اليومي لعدد ا

)بسطرDefects 1.20 1.50 1.54 2.70 1.95 2.40 3.44 2.83 1.76 2.1.89 1.80 1.25 1.58 2.25 2.50 2.05 1.46 1.54 1.42 1.57 1.40 1.51 1.08 1.27 1.18 1.39 1.42 2.08 1.85 1.2.32 1.23 2.91 1.77 1.61 1.25 1.15 1.37 1.79 1.1.84

00 2.09

82 2.07 68 1.78

المخطط الزمني للمتسلسلة

٩٤

3 .5

4 03 02 01 0

3 .0

2 .5

2 .0

1 .5

1 .0

Def

ects

In d e x

الت اتي الجزئيرابط الذاتي والذ

1110987654321

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Auto

corre

LBQTCorrLagLBQTCorrLag

17.5017.4117.4117.25

16.5714.1813.8913.5013.1812.18 8.84

-0.19-0.04-0.27-0.57

-1.10-0.39-0.46 0.43 0.77 1.49 2.88

-0.04-0.01-0.05-0.11

-0.21-0.07-0.09 0.08 0.14 0.26 0.43

1110 9 8

7 6 5 4 3 2 1

Autocorrelation

Function for Defects

latio

n

1110987654321

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8

0-1.

Parti

toco

rrela

tion

TC

0.447

PALagTPACLag

-0.23 0.09 0.35

-1.19 0.02-1.07 0.00-0.01 0.63 2.88

-0.03 0.01 0.05 0.0

-0.18 0.00-0.16 0.00-0.00 0.09 0.43

1110 9 8

7 6 5 4 3 2 1

Partial Autocorrelation Function for Defects

al A

u

٩٥

AICالذاتي معيار اإلعالمإلختيار النموذج المناسب سوف نستخدم :عطى بالعالقةالذي ي و ( ) 2ln 2aAIC m n mσ= +

mعدد المعالم المقدرة في النموذج ونختار النموذج ( )minm

AIC الذي يعطيحيث m

:سوف نطبق النماذج علي التوالي

MTB > ARIMA 1 0 0 'Defects' 'RESI1'; SUBC> Constant; ARIMA Model ARIMA model for Defects Final Estimates of Parameters Type Coef StDev T AR 1 0.4421 0.1365 3.24 Constant 0.99280 0.06999 14.19 Mean 1.7795 0.1254

mber of observations: 45 Residuals: SS = 9.47811 MS = 0.22042

d fiLag

0 0 'Defects' 'RESI2';

ARIMA Model

oef StDev T 0.1533 2.61 0.1531 0.65 0.07047 12.63

an 1.7762 0.1406

rvations: 45 esiduals: SS = 9.38567 (backforecasts excluded)

2347 DF = 42

x) Chi-Square statistic 36 48

DF=22) 28.8(DF=34) * (DF= *)

I3';

Nu

(backforecasts excluded) DF = 43

Mo i ed Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic

12 24 36 48 .9(DF=23) 30.9(DF=35) * (DF= *) Chi-Square 4.9(DF=11) 8

MTB > ARIMA 2 SUBC> C son tant;

ts ARIMA model for Defec

s of Parameters Final Estimate

Type CAR 1 0.3999 AR 2 0.0989 nstant 0.89019 Co

Me Number of obseR MS = 0.2 Modified Box-Pierce (Ljung-BoLag 12 24 Chi-Square 4.0(DF=10) 8.1( MTB > ARIMA 1 0 1 'Defects' 'RESSUBC> Constant; ARIMA Model

ARIMA model for Defects nal Estimates of Parameters Fi

Type Coef StDev T AR 1 0.5983 0.2691 2.22 MA 1 0.1926 0.3294 0.58 Constant 0.71334 0.05693 12.53

٩٦

Mean 1.7759 0.1417 Number of observations: 45 Residuals: SS = 9.39423 (backforecasts excluded) MS = 0.22367 DF = 42 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic

36 48 F= *)

ded)

stic 36 48 =35) * (DF= *)

MTB > ARIMA 0 0 2 'Defects' 'RESI5'; SUBC> Constant; ARIMA Model

R A model for Defects Final Estimates of Parameters

Coef StDev T 0.3869 0.1516 -2.55

1.20 15.96

0.1118

of observations: 45 esiduals: SS = 9.61059 (backforecasts excluded) MS = 0.22882 DF = 42

tatistic 24 36 48

)

SUB

for Defects

inal Estimates of Parameters Coef StDev T

1 0.4134 1.5680 0.26

Lag 12 24 Chi-Square 4.1(DF=10) 8.3(DF=22) 29.1(DF=34) * (D

MTB > ARIMA 0 0 1 'Defects' 'RESI4'; SUBC> Constant; ARIMA Model ARIMA model for Defects Final Estimates of Parameters Type Coef StDev T MA 1 -0.3409 0.1431 -2.38 Constant 1.78480 0.09651 18.49 Mean 1.78480 0.09651 Number of observations: 45 Residuals: SS = 10.0362 (backforecasts exclu MS = 0.2334 DF = 43 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statiLag 12 24 Chi-Square 8.0(DF=11) 13.2(DF=23) 35.7(DF

A IM

Type MA 1 -MA 2 -0.1816 0.1516 -

0.1118 Constant 1.7839 an 1.7839 Me

Number R

Box) Chi-Square sModified Box-Pierce (Ljung-g 12 La

Chi-Square 4.6(DF=10) 9.2(DF=22) 31.0(DF=34) * (DF= * MTB > ARIMA 2 0 1 'Defects' 'RESI6';

C> Constant; ARIMA Model RIMA modelA FType AR

٩٧

AR 2 0.0929 0.7113 0.13 1 0.0136 1.5749 0.01 nstant 0.87675 0.07036 12.46

d)

Modified Box-PieLag 12 24 36Chi-Square 4.0(DF= 9) 8.1(DF=21 MTB > ARIMA 1 0 2 'Defects' 'RESI7'; SUBC> Constant; ARIMA Model ARIMA model for Defects * ERROR * Model cannot be estimated with these data MTB > ARIMA 2 0 2 'Defects' 'RESI8'; SUBC> Constant; ARIMA Model ARIMA model for Defects Final Estimates of Parameters Type Coef StDev T AR 1 1.6720 0.1165 14.35 AR 2 -0.7263 0.1251 -5.80 MMConstant 0.096224 0.003323 28.95 Mean 1.77238 0.06121 Number of observations: 45 Residuals: SS = 8.33225 (backforecasts excluded) MS = 0.20831 DF = 40 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 4.7(DF= 8) 8.9(DF=20) 29.7(DF=32) * (DF= *)

:ونلخص ذلك بالجدول التالي

MACoMean 1.7761 0.1425 Number of observations: 45 Residuals: SS = 9.38561 (backforecasts exclude MS = 0.22892 DF = 41

rce (Ljung-Box) Chi-Square statistic 48

) 28.8(DF=33) * (DF= *)

A 1 1.3199 0.0184 71.63 A 2 -0.3196 0.0731 -4.37

( )( )( )( )( )( )( )( )

2ˆ__________ ________ ___ _________

1 0.22042 3 62.04992 0.22347 4 59.43151 0.23340 3 59.47512 0.22882 4 58.36691,1 0.22367 4 59.39132,1 0.22892 5 56.34721,22,2 0.20831 6 58.5928

Model m AIC

ARARMAMA

ARMAARMAARMAARMA

σ

−−−−−−

− − −−

٩٨

( )min 62.0499

mAIC m = −

.(١)ARأي ان أفضل نموذج هو .يترك للطالب آتمرين فحص البواقي وتوليد تنبؤات

:حالة دراسة

المتسلسة التالية هي دخل المبيعات السنوية بماليين الرياالت لشرآة ماSales 3.49 5.74 5.51 3.99 3.45 4.77 4.14 4.60 3.80 5.43 3.96 2.54 4.05 6.16 3.78 5.07 5.42 3.91 4.30 3.88 2.89 4.61 4.08 4.05 3.28 2.65 1.22 3.98 3.45 3.57 2.52 1.58 4.00 5.14 3.84 4.40 3.08 5.43 4.80 2.75 5.77 4.99 4.31 6.46 6.11 4.79 5.65 5.52 6.12 6.06 3.20 5.05 6.23 6.12 4.99 4.89 4.78 5.67 6.08 5.80

7.20 6.87 7.56 6.57 6.08 4.72 6.09 6.6 7.26 7.22 6.69 7.49 9.01 7.27 5.62 7.5 6.42 8.22

زمني للمتسلسلة

5.13 7.07 8.02 6.36 5.75 5.70 5.61 5.63 5.71 5.16 4 7.49 6.64 9 7.53 6.43

6 7.67 7.53 7.23 8.50 8.27 8.75 7.50 7.8

مخطط

1 0 09 08 07 06 05 04 03 02 01 0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

In d e x

Sale

s

دوال الترابط الذاتي والذاتي الجزئي العينية

٩٩

25155

Autocorrelation Function for Sales1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Auto

corre

latio

n

LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag

583.43574.90568.77565.04

558.52550.11537.81521.52510.68499.04483.85

464.06439.91422.60401.71371.67344.49317.32

282.61253.97215.72177.75134.64 89.85 51.97

0.750.640.500.67

0.770.951.110.920.971.131.32

1.501.291.461.821.791.872.22

2.122.632.833.363.944.267.10

0.250.210.170.22

0.260.310.360.300.310.350.41

0.450.380.420.510.490.490.56

0.510.590.590.640.650.600.71

25242322

21201918171615

1413121110 9 8

7 6 5 4 3 2 1

25155

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Parti

al A

utoc

orre

latio

n

TPACLagTPACLagTPACLagTPACLag

0.34 1.55-1.00-1.68

0.04-0.44 1.43-0.10-0.84-0.96 0.32

0.39 0.25-1.52 0.34 1.44-1.70 1.93

-1.27 1.03 0.92 1.49 3.53 1.99 7.10

0.03 0.15-0.10-0.17

0.00-0.04 0.14-0.01-0.08-0.10 0.03

0.04 0.02-0.15 0.03 0.14-0.17 0.19

-0.13 0.10 0.09 0.15 0.35 0.20 0.71

25242322

21201918171615

1413121110 9 8

7 6 5 4 3 2 1

Partial Autocorrelation Function for Sales

. دالة الترابط الذاتي العيني تدل على تخامد بطيئ مما قد يدل على عدم إستقرار في المتوسط

tلنجرب التفريق األول tw z =للمتسلسلة ونرسمها∇

1 0 09 08 07 06 05 04 03 02 01 0

3

2

1

0

- 1

- 2

- 3

In d e x

w(t)

ي الجزئي للمتسلسلة المست. تبدو المتسلسلة مستقرة اآلن قرةدوال الترابط الذاتي والذا ت

١٠٠

22122

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Auto

corre

latio

n

LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag

55.5555.4451.22

50.9050.7450.7345.6542.9942.4042.37

42.3739.8537.6737.1234.0833.5833.07

29.0222.8020.8020.6320.4919.32 9.26

0.20-1.28 0.35

-0.25 0.05 1.48-1.09-0.52 0.13 0.00

1.10-1.04-0.53 1.27-0.52-0.53 1.53

-1.98 1.15-0.33 0.31 0.90-2.86-3.00

0.03-0.18 0.05

-0.04 0.01 0.20-0.15-0.07 0.02 0.00

0.15-0.14-0.07 0.16-0.07-0.07 0.19

-0.24 0.14-0.04 0.04 0.11-0.31-0.30

242322

21201918171615

1413121110 9 8

7 6 5 4 3 2 1

Autocorrelation Function for w(t)

22122

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Parti

al A

utoc

orre

latio

n

TPACLagTPACLagTPACLagTPACLag

-0.55-1.53 0.80

0.85-0.95-0.31-1.65-0.32 0.70 0.59

-0.71-0.17-0.59 0.93-0.60-1.59 1.17

-2.55 0.59-1.72-2.05-2.23-4.41-3.00

-0.05-0.15 0.08

0.09-0.10-0.03-0.17-0.03 0.07 0.06

-0.07-0.02-0.06 0.09-0.06-0.16 0.12

-0.26 0.06-0.17-0.21-0.22-0.44-0.30

242322

21201918171615

1413121110 9 8

7 6 5 4 3 2 1

Partial Autocorrelation Function for w(t)

:عطى بالعالقةالذي ي وAICمعيار اإلعالم الذاتي ج المناسب سوف نستخدم إلختيار النموذ ( ) 2ln 2aAIC m n mσ= +

) عدد المعالم المقدرة في النموذج ونختار النموذجmحيث min( الذي يعطيm

AIC m

1 0 'Sales'; ant.

RIMA Model

r Sales

ameters pe Coef StDev T

9 -3.25

r differencing 99 d)

:ماذج علي التواليسوف نطبق النMTB > ARIMA 1 SUBC> NoConst A ARIMA model fo Final Estimates of ParTyAR 1 -0.3114 0.095 Differencing: 1 regular difference Number of observations: Original series 100, afteResiduals: SS = 133.134 (backforecasts exclude

١٠١

MS = 1.359 DF = 98 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic

48 5) 81.0(DF=47)

MTB > ARIMA 0 1 1 'Sales'; SUBC> NoConstant.

R MA Model ARIMA model for Sales

tes of Parameters T 11.78

ncing: 1 regular difference of observations: Original series 100, after differencing 99

esiduals: SS = 101.411 (backforecasts excluded) MS = 1.035 DF = 98

re statistic 24 36 48

)

SUB

for Sales

inal Estimates of Parameters Coef StDev T

1 0.5756 0.0990 5.81 0.0998 2.03

fferencing: 1 regular difference s 100, after differencing 99

xcluded)

Lag 12 24 36Chi-Square 31.9(DF=11) 51.2(DF=23) 62.8(DF=3 MTB > ARIMA 2 1 0 'Sales'; SUBC> NoConstant. ARIMA Model ARIMA model for Sales Final Estimates of Parameters Type Coef StDev T AR 1 -0.4532 0.0897 -5.05 2 -0.4656 0.0901 -5.17 AR

Differencing: 1 regular difference

fferencing 99 Number of observations: Original series 100, after diasts excluded) Residuals: SS = 104.715 (backforec

MS = 1.080 DF = 97 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 21.8(DF=10) 40.9(DF=22) 49.4(DF=34) 59.9(DF=46)

A I

Final EstimaType Coef StDev

0.0648MA 1 0.7636 DiffereNumber R

g-Box) Chi-SquaModified Box-Pierce (Ljung 12 La

Chi-Square 12.6(DF=11) 27.8(DF=23) 35.9(DF=35) 48.5(DF=47 MTB > ARIMA 0 1 2 'Sales';

C> NoConstant.

RIMA Model A

RIMA modelA FType MAMA 2 0.2029 DiNumber of observations: Original serieResiduals: SS = 99.2463 (backforecasts e MS = 1.0232 DF = 97

١٠٢

MLC

'; BC> NoConstant.

RIMA Model

fference

Original series 100, after differencing 99 (backforecasts excluded) DF = 97

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48

8.2(DF=46)

ARIMA Model ARIMA model for Sales * WARNING * Back forecasts not dying out rapidly Final Estimates of Parameters Type Coef StDev T AR 1 -1.1389 0.0987 -11.53 AR 2 -0.1440 0.0983 -1.47 MA 1 -0.9889 0.0002 -3987.49 Differencing: 1 regular difference Number of observations: Original series 100, after differencing 99 Residuals: SS = 134.250 (backforecasts excluded) MS = 1.398 DF = 96 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 35.1(DF= 9) 53.5(DF=21) 66.6(DF=33) 83.2(DF=45) MTB > ARIMA 1 1 2 'Sales'; SUBC> NoConstant. A ARIMA model for Sales Final Estimates of Parameters Type Coef StDev T AR 1 -0.3476 0.4077 -0.85 MA 1 0.2422 0.3771 0.64 MA 2 0.4506 0.2656 1.70 Differencing: 1 regular difference

odified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic ag 12 24 36 48 hi-Square 14.3(DF=10) 28.3(DF=22) 36.5(DF=34) 47.0(DF=46) MTB > ARIMA 1 1 1 'SalesSU A ARIMA model for Sales Final Estimates of Parameters Type Coef StDev T AR 1 0.1283 0.1334 0.96 MA 1 0.8027 0.0799 10.04

Differencing: 1 regular diNumber of observations: Residuals: SS = 100.421 MS = 1.035

Chi-Square 13.3(DF=10) 27.9(DF=22) 36.1(DF=34) 4 MTB > ARIMA 2 1 1 'Sales'; SUBC> NoConstant.

RIMA Model

١٠٣

Number of observations: Original series 100, after differencing 99 Residuals: SS = 97.2357 (backforecasts excluded) MS = 1.0129 DF = 96 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 11.9(DF= 9) 25.0(DF=21) 32.1(DF=33) 41.8(DF=45) MTB > ARIMA 2 1 2 'Sales'; SUBC> NoConstant. ARIMA Model ARIMA model for Sales Final Estimates of Parameters Type Coef StDev T AR 1 -0.0691 0.3618 -0.19 AR 2 -0.2941 0.1450 -2.03 MA 1 0.5637 0.3737 1.51 MA 2 0.0840 0.3266 0.26 Differencing: 1 regular difference Number of observations: Original series 100, after differencing 99 Residuals: SS = 93.6368 (backforecasts excluded) MS = 0.9857 DF = 95 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 11.0(DF= 8) 23.4(DF=20) 30.1(DF=32) 36.5(DF=44)

:ونلخص ذلك بالجدول التالي

( )( )

2ˆ__________ ________ ___ _________

1,1 1.359 2 34.3682,1 1.080 3 13.6191,1 1.035 2 7.40571,2 1.023 3 8.27061,1,1 1.035 3 9.4057

1,1,2 1.013 4 9.26892,1,2 0.986 5 8.57

Model m AIC

ARIARIIMAIMA

ARIMAAARIMAARIMA

σ

( )( )( )( )( )( )2,1,1 1.398 4 41.169RIMA

41

أي ان أف

( )min 7.406AIC m =

m

.يترك للطالب آتمرين فحص البواقي وتوليد تنبؤات . (١،١)IMAضل نموذج هو

١٠٤

١٠٥

الفصل السادس نماذج اإلنحدار الذاتي التكاملي المتوسط المتحرك الموسمية

Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average Models المتسلسالت الزمنية الموسمية تعطي انماط متشابهة تتكرر على فترات زمنية متساوية البعد مثل . يتكرر النمط آل اربعة وعشرون ساعة او آل سبعة ايام او آل شهر او ثالثة اشهر او سنة

شكال التالية تبين مثل هذه المتسلسالت

اناأل

1 5 01 0 05 0

7 0

6 0

5 0

In d e x

z(t)

S e a s o n a l T im e S e r ie s

1 5 01 0 05 0

1 0 0 0

9 0 0

8 0 0

7 0 0

6 0 0

In d e x

z(t)

S e a s o n a l T im e S e r ie s

لفصل سوف نستعرض خواص المتسلسالت الزمنية الموسمية وطرق نمذجتها بواسطة في هذا ا فمثال SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)sنماذج اإلنحدار الذاتي التكاملي المتوسط المتحرك

يكتب على الشكل١٢(١،١،٠)(٠،١،١)SARIMAالنموذج ( )( ) ( ) ( )2

1 11 1 1 , 0,st t tB B z B a a WNθ σ−Φ − = −

١٠٦

لتكاملي المتوسط المتحرك باوبشكل عام فإن نموذج اإلنحدار الذاتي اSARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s يكتب على الشكل

s(P,D,Q)(p,d,q)لدرجة

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 21 1 , 0,Dds s s

p P t q Q t tB B B B z B B a a WN )φ δ θ σΦ − − = + Θ )حيث )p Bφ و ( )q Bθ عمال اإلنحدار الذاتي والمتوسط المتحرك غير الموسمية والتي مرت

)علينا سابقا ) 21 1و 2s s s Ps

P PB B B BΦ = +Φ +Φ + +ΦL عامل اإلنحدار الذاتي الموسمي و

( ) 21 21s s s Qs

Q QB B B BΘ = + Θ + Θ + + ΘLسط المتحرك الموسمي ويسمى هذا عامل المتوبالنموذج الموسمي التضاعف .Multiplicative Seasonal Modelsي

)في جميع النماذج القادمة سيكون مفهوما ضمنيا أن : مالحظة )20,ta WN σ :دوال الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي لبعض النماذج الموسمية

Dd ) سوف نستخدم المتسلسلة الموسمية المستقرة ) ( )1 1 stw B B z= − −

SARMA(p,q)(P,Q)sوالتي تتبع النموذج tفي اإلشتقاقات التالية

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2, 0,sq Q t tB B a a WNs

p P tB B wφ δ θ+ σΘ ١٢(١،١)(٠،١)SARMAلنموذج الموسمي التضاعفي وف نشتق دالة الترابط الذاتي ل

Φ =

س( )2

12 1 12 13, 0t t t t t t tw w a a a a a WN ,θ θ σ− − − −= Φ + − −Θ + Θ وأخذ التوقع نجدtwبضرب طرفي المعادلة المعرفة في

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2 20 12

2 2 212

2 212

= 1 1

= 1 1

2γ γ σ θ σ σ θ θ θ σ

γ σ θ θ

γ σ θ

= Φ + + −Θ Φ −Θ + Θ −Φ + Θ

⎡ ⎤Φ + + + Θ Φ −Θ +⎣ ⎦

Φ + + + Θ Φ −Θ⎡ ⎤⎣ ⎦

12twوبضرب طرفي المعادلة المعرفة في وأخذ التوقع نجد−( )

( )2 2

12 0

2 20 = 1

γ γ σ θ θ

γ σ θ

= Φ −Θ + Θ −

Φ −Θ +

σ

وبحل العالقتين السابقتين نجد

( )

( ) ( )

22 2

0 2

22 2

12 2

1 211

11

γ σ θ

γ σ θ

+ Θ − ΦΘ= +

−Φ⎡ ⎤Φ Θ−Φ

= + Φ −Θ+⎢ ⎥−Φ⎢ ⎥⎣ ⎦

أيضا

)

( )( ) (( )

1 1

211 12 1 13 1

2 211

=

=

t t

t t t t

E w w

E a w E a w

γ

γ θσ θ

γ θσ θ σ

−

− − − −

=

Φ − −Θ + Θ

Φ − + Θ Φ −Θ

و( ) 2

11 11 1t tE w wγ γ θσ−= = Φ +Θ و بحل العالقتين السابقتين نجد

١٠٧

( )

( )

22 1γ θσ⎡ Θ−

= − +⎢1 2

22

11 2

1

1γ θσ

⎤Φ⎥

−Φ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤Φ Θ−Φ

= Θ−Φ −⎢ ⎥−Φ⎢ ⎥⎣ ⎦

وبنفس الطريقة يمكن إثبات أن

3

2 3 10

13 11

12

0

, 1k k k

γ γ γγ γγ γ −

= = = === Φ >

L

و جميع العالقات السابقة نوجد دالة الترابط الذاتيمن

( ) ( )

( ) ( )

2

2k

kρ γ= = ⎨ 2

2

1, 0

, 1 1

0, 2,...,101

, 11

1, 12

1 2

k

k

k

k

k

θθ

γ θ

=

− =+

=

Θ−Φ −ΦΘ=

Θ−Φ −ΦΘ− =

+ Θ − ΦΘ11

12

, 13 , 13 k

kk

ρρ −

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

=⎪⎪ Φ >⎩

:وال الترابط الذاتي لبعض النماذج الموسمية

0 1 1 2θ+ + Θ − ΦΘ⎪

د

) d,٠)sSARIMA(١,D,٠)(٠, نموذج )1 st tw B= −Θ ١-a

2

1, 0

,1

0,

k

k

k s

otherwise

ρ

=⎧⎪ Θ⎪= − =⎨ + Θ⎪⎪⎩

)s(١,D,١)(٠, نموذج -٢ )1 st t SARIMA(٠,d B w a−Φ =

1, 0 , ,2 ,...

0,

k sk

kk s sotherwise

ρ=⎧

⎪= Φ =⎨⎪⎩

)s(١,D نموذج - ) SARIMA(٠,d,١)(٠, ( )1 1 st tw B Bθ= − −Θ ٣a

١٠٨

( )( )

21 θ+⎪

2 21 1θρ + + Θ= ⎨

1, 0

, 1

k

k

θ

=⎧

⎪ − =

⎪ Θ

θ⎪

, 1 k s= −⎪⎪k

2 , k s⎪ − =⎪ Θ

11s−⎪, 1 k sρ⎪ = +

0, otherwise⎪⎩

+ Θ

s(١, نموذج -٤

⎪

SARIMA(٠, ( ) ( )1 1s s d,١)(٠,Dt tB w B a−Φ = −Θ 1, 0 k =⎧

( )( ) 121 2k + Θ − ΦΘ⎪

1 ks−Θ −Φ −ΦΘ⎪ , ,2 ,...k s s= − Φ =⎨

s(٠,D نموذج -٥

⎪ρ

0, otherwise⎪⎩SA ( RIMA(٠,d,١)(١,) ( )1 1t t

sB w B aθ−Φ = − 1, 0 k =

21 θ+⎪, 1 kθ⎪− =

2 , 1 k k s− = −⎪

1s−⎪

0, 2,..., 2k s= −⎪

1 θ

⎧

⎪

+

٦- (٠,d,٢)(٠,D,١)s

⎪

ρ θ⎪= Φ⎨

, k s⎪Φ =, 1 k sρ⎪ = +

⎪

, 1 k sρΦ > +⎪⎩ k s−

SARIMA ( )( )2 121 1w B B B aθ θ= − − −Θ 1نموذج 2t t

١٠٩

( )

( )( )( )

( )( )

1 2

22 2

1 2

22 2 2

1 2

1, 0

, 1

, 2 1

, 2 1

11

k

k

k

k

k s

k s

k s

θ θ

θθ θθ

θ θρ

θ θ

=

−− =

− =+ +

Θ= −

+ + Θ=

Θ −= −

=

1

2

, 1s

s

k sρ −

−

⎧⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎪= +⎪

⎪

الت

١٢(٠,D,١)(١,d,٠)IMAلتالية لنموذج األشكال ا

) ١(شكل

12 2

1 21 θ θ+ +⎪⎪

1+⎪⎪

1 2 ,⎪⎪ 2 2 2

1 21 1θ θ+ + + Θ⎪

2 , 1Θ

−+Θ

⎪⎪

, 2k sρ⎪ = +0, otherwise⎪⎩

رابط الذاتي للمتسلسالت الزمنية الموسمية ألعطاء سوف نستعرض بعض الرسومات لدالة

.فكرة عن أشكالها

SAR:

0.6, 0.5θΦ = =

5 04 0

0 . 5

3 02 01 00

L a g

0 . 0C1

- 0 . 5

A C F o f S A R I M A ( 0 , d , 1 ) ( 1 , D , 0 ) 1 2

) ٢(شكل

0.6, 0.5θΦ = = −

5 04 03 02 01 00

0 . 7

0 . 6

0 . 5

0 . 4

0 . 3

0 . 2

0 . 1

0 . 0

L a g

C1

A C F o f S A R I M A ( 0 , d , 1 ) ( 1 , D , 0 ) 1 2

١١٠

0.6, 0.5θΦ = − ) ٣(شكل =

5 04 03 02 01 00

0 . 5

0 . 0

- 0 . 5

L a g

C1

A C F o f S A R I M A ( 0 , d , 1 ) ( 1 , D , 0 ) 1 2

0.6, 0.5 θΦ) ٤(شكل = − = −

5 04 03 02 01 00

0 . 5

0 . 0

- 0 . 5

L a g

C1

A C F o f S A R I M A ( 0 , d , 1 ) ( 1 , D , 0 ) 1 2

:دالة الترابط الذاتي الجزئي للنموذج الموسمي التضاعفي

ط دالة الترابط الذاتي الجزئي للنماذج الموسمية التضاعفية ن الصعوبة إشتقاق وتفسير أنماتي تنمذج المتوسط المتحرك

ي لموسمية وفي النماذج الت .cut offتحوي إنحدار ذاتي فإن الترابطات الذاتية الجزئية تعطي قطعا

:األشكال التالية إلعطاء فكرة عن بعض دوال الترابط الذاتي الجزئي لبعض النماذج شكل دالة الترابط -

مولكنها وبشكل عام فإن أجزاء النموذج الموسمية وغير الموسمية والتعطي تخامدات اسية وتخامدات جيبية عند التخلفات الموسمية وغيرا

)الذاتي الجزئي لنموذج )121t tw B= −Θ 0.6Θ =

١a

)ا

١١١

5 04 03 02 01 00

0 . 0

- 0 . 1

- 0 . 2

- 0 . 3

- 0 . 4

- 0 . 5

- 0 . 6

L a g

C1

A C F o f S A R I M A ( 0 , d , 0 ) ( 0 , D , 1 ) 1 2

=0.6Θ) ب −

5 04 03 02 01 00

0 . 6

0 . 5

0 . 4

0 . 3

0 . 2

0 . 1

0 . 0

- 0 . 1

- 0 . 2

L a g

C1

A C F o f S A R I M A ( 0 , d , 0 ) ( 0 , D , 1 ) 1 2

) شكل دالة الترابط - )121 t t الذاتي الجزئي لنموذج ٢B w a−Φ =

0.6Φ )ا =

5 04 03 02 01 00

0 . 6

0 . 5

0 . 4

0 . 3

0 . 2

0 . 1

0 . 0

L a g

C1

A C F o f S A R I M A ( 0 , d , 1 ) ( 0 , D , 0 ) 1 2

0.6Φ) ب = −

١١٢

5 04 03 02 01 00

0 . 0

- 0 . 1

- 0 . 2

- 0 . 3

- 0 . 4

- 0 . 5

- 0 . 6

L a g

C1

A C F o f S A R I M A ( 0 , d , 1 ) ( 0 , D , 0 ) 1 2

)في جميع األمثلة التالية إقرأ سطرا بسطر(للمتسلسلة الزمنية الموسمية : أمثلة

z(t) 56.3 55.7 55.8 56.3 57.2 59.1 71.5 72.2 72.7 61.5 57.4 56.9 55.3 54.9 54.9 54.9 54.6 57.7 68.2 70.6 71.0 60.0 56.0 54.4 53.3 52.8 53.0 53.4 54.3 58.2 67.4 71.0 69.8 59.4 55.6 54.6 53.4 53.0 53.0 53.2 54.2 58.0 67.5 70.1 68.2 56.6 54.9 54.0 52.9 52.6 52.8 53.0 53.6 56.1 66.1 69.8 69.3 61.2 57.5 54.9 53.4 52.7 53.0 52.9 55.4 58.7 67.9 70.0 68.7 59.3 56.4 54.5 52.8 52.8 53.2 55.3 55.8 58.2 65.3 67.9 68.3 61.7 56.4 53.9 52.6 52.1 52.4 51.6 52.7 57.3 65.1 71.5 69.9 61.9 57.3 55.1 53.6 53.4 53.5 53.3 53.9 52.7 61.0 69.9 70.4 59.4 56.3 54.3 53.5 53.0 53.2 52.5 53.4 56.5 65.3 70.7 66.9 58.2 55.3 53.4 52.1 51.5 51.5 52.4 53.3 55.5 64.2 69.6 69.3 58.5 55.3 53.6 52.3 51.5 51.7 51.5 52.2 57.1 63.6 68.8 68.9 60.1 55.6 53.9 53.3 53.1 53.5 53.5 53.9 57.1 64.7 69.4 70.3 62.6 57.9 55.8 54.8 54.2 54.6 54.3 54.8 58.1 68.1 73.3 75.5 66.4 60.5 57.7 55.8 54.7 55.0 55.6 56.4 60.6 70.8 76.4 74.8 62.2

شكل المتسلسلة هو

1 5 01 0 05 0

7 0

6 0

5 0

In d e x

z(t)

لة الترابط الذاتي دا

١١٣

4 23 22 21 22

1 .0

0 .0

-0 .6

0 .80 .60 .40 .2

-0 .2-0 .4

-0 .8-1 .0

Aurre

toco

latio

n

L B QTC o r rL a g

1 9 2 5 .3 01 8 9 7 .0 51 8 4 9 .4 11 7 9 5 .0 01 7 4 9 .0 61 7 2 4 .4 31 7 2 1 .7 01 7 0 9 .3 6

-1 .0 4 -1 .3 7 -1 .4 8 -1 .3 8 -1 .0 2 -0 .3 4 0 .7 3 1 .8 2

-0 .3 4-0 .4 5-0 .4 8-0 .4 4-0 .3 3-0 .1 1 0 .2 3 0 .5 7

4 44 34 24 14 03 93 83 7

c o r r e la t io n F u n c t io n f o r z ( t )

رابط الذاتي الجزئيوالت

A u to

L B QTC o r rL a gL B QTC o r rL a gL B QTC o r rL a g

1 6 3 6 .4 91 1 4 0 .9 0 6 0 3 .8 7 2 .3 7 3 .1 0 4 .8 6 0 .7 2 0 .7 9 0 .8 8 3 62 41 21 5 2 0 .8 91 4 5 5 .7 9

1 0 1 1 .3 1 9 3 5 .3 7

4 5 3 .5 8 3 6 2 .0 8

1 .8 2 0 .6 6

2 .4 6 0 .9 5

4 .1 5 1 .7 6

0 .5 4 0 .1 9

0 .6 1 0 .2 3

0 .6 9 0 .2 9

3 53 4

2 32 2

1 11 0

1 4 4 7 .3 41 4 4 2 .7 1

9 2 4 .2 4 9 2 0 .3 9

3 4 6 .2 5 3 4 3 .7 1

-0 .4 9 -1 .2 3

-0 .5 6 -1 .5 4

-0 .7 1 -2 .3 9

-0 .1 4-0 .3 6

-0 .1 4-0 .3 7

-0 .1 2-0 .3 8

3 33 2

2 12 0

9 8

1 4 1 4 .0 8 8 9 2 .3 6 3 1 6 .8 0 -1 .6 5 -2 .1 0 -3 .5 0 -0 .4 8-0 .4 9-0 .5 2 3 11 9 71 3 6 4 .7 21 3 0 8 .3 2

8 4 3 .0 4 7 8 6 .2 8

2 6 6 .5 5 2 0 7 .2 4

-1 .8 0 -1 .6 7

-2 .3 3 -2 .2 1

-4 .1 6 -4 .2 2

-0 .5 1-0 .4 7

-0 .5 3-0 .4 9

-0 .5 6-0 .5 2

3 02 9

1 81 7

6 5

1 2 6 1 .2 9 7 3 8 .3 0 1 5 6 .8 3 -1 .2 4 -1 .6 5 -3 .2 8 -0 .3 4-0 .3 6-0 .3 8 2 81 6 41 2 3 5 .9 81 2 3 3 .1 8

7 1 2 .4 3 7 0 9 .8 2

1 2 9 .7 4 1 2 7 .3 4

-0 .4 2 0 .9 1

-0 .5 3 1 .3 0

-0 .9 9 2 .9 3

-0 .1 1 0 .2 5

-0 .1 2 0 .2 8

-0 .1 1 0 .3 3

2 72 6

1 51 4

3 2

1 2 2 0 .0 7 6 9 4 .2 8 1 0 8 .1 0 2 .3 0 3 .3 4 1 0 .3 1 0 .6 1 0 .6 8 0 .7 7 2 51 3 1

4 23 22 21 22

1 .00 .80 .60 .40 .20 .0

-0 .2-0 .4-0 .6-0 .8-1 .0

Parti

al A

utoc

orre

latio

n

TC

-0 .4 2 -0 .6 4 0 .6 6 -0 .6 3

2 -0 .7 4

0 .1 9 -0 .3 4

-0 .1 1 0 .9 5 -5 .5 5

-0 .0 3-0 .0 5 0 .0 5-0 .0 5

.0 6

0 .0 1-0 .0 3

.0 1 0 .0 7-0 .4 2

4 44 34 24 1

3 02 91 7 5

e la t io n F u n c t io n f o r z ( t )

نالحظ األنماط الموسمية واض

P a r t ia l A u to c o r r

P AL a gTP A CL a gTP A CL a gTP A CL a g

-03 7

0 .0 0 0 .1 7 -0 .6

-1 .3 0 0 .5 0

-0 .9 2 0 .1 6

0 .0 7 -0 .8 2

0 .0 0 0 .0 1-0 .0 5

-0 .1 0 0 .0 4

-0 .0 7 0 .0 1

0 .0 1-0 .0 6

4 03 93 8

2 82 7

1 61 5

4 3

-0 .0 5 -1 .7 5

3 .8 9 -5 .6 2

-9 .0 1 1 0 .3 1

-0 .0 0-0 .1 3

0 .2 9-0 .4 2

-0 .6 8 0 .7 7

2 62 5

1 41 3

2 1

0 .9 0 0 .3 7 2 .1 6 0 .0 7 0 .0 3 0 .1 6 3 62 41 2 -0 .3 2 -0 .3 5 3 .5 0 -0 .0 2-0 .0 3 0 .2 6 3 52 31 1 0 .1 5 -0 .5 2

1 .3 8 -1 .1 1

7 .6 5 2 .3 9

0 .0 1-0 .0 4

0 .1 0-0 .0 8

0 .5 7 0 .1 8

3 43 3

2 22 1

1 0 9

-0 .5 5 0 .0 7

-0 .7 2 -1 .1 5

-2 .9 6 -0 .0 4 0 .0 1

-0 .0 5.0 9

-0 .2 2 3 23 1

2 0 8 -1 .4 8 -2 .4 5

-0-0

-0 .1 1-0 .1 8

1 91 8

7 6

.حة في األشكال السابقة مثال آخرz(t) 589 561 640 656 727 697 640 599 568 577 553 58673 742 716 660 617 583 587 565 598 628 618 688 705 770 736 67 639 604 611 594 634 65621 602 635 677 635 736 75713 667 762 784 837 817 767 722 681 687 660 698 717 696 775 796 858 826 783 740 701 706 677 711 801 764 725 723 690 734 750 707 807 747 711 751 8

894 855 809 810 766 805 821 773 883 84 791 760 802 828 778 889 902 969 947

8 867 815 812 773 813 834 782 892 903 966 937 896 858 817

شكل المتسلسلة

2 600 566 653

8 8 622 709 722 782 756 702 653 615 5 811 798 735 697 661 667 645 688

734 690 785 805 871 845 824 886 859 819 783 740

04 756 860 878 942 913 869 834 790 800 763 800 826 799 890 900 961 935898 957 924 881 837 790827 797 843

١١٤

1 5 01 0 05 0

1 0 0 0

9 0 0

8 0 0

7 0 0

t)

6 0 0

z(

In d e x

الترابط الذاتي

4 23 22 21 22

1 . 00 . 80 . 60 . 40 . 20 . 0

- 0 . 2- 0 . 4- 0 . 6- 0 . 8- 1 . 0

Auto

corre

latio

n

L B QTC o r rL a gL B QTC o r rL a gL B QTC o r rL a gL B QTC o r rL a g

1 8 2 5 . 6 21 8 2 5 . 5 61 8 2 4 . 6 71 8 2 1 . 6 81 8 1 0 . 6 01 7 8 4 . 1 7

1 7 4 2 . 9 51 6 8 5 . 2 71 6 4 1 . 5 71 6 1 0 . 3 51 5 9 3 . 6 21 5 8 5 . 5 21 5 7 9 . 5 51 5 7 5 . 4 41 5 6 8 . 2 01 5 5 6 . 4 51 5 3 0 . 9 91 4 8 3 . 1 1

1 4 1 5 . 2 91 3 2 5 . 5 11 2 5 3 . 8 11 1 9 9 . 1 31 1 6 5 . 4 21 1 4 5 . 5 91 1 2 9 . 7 61 1 1 7 . 3 91 0 9 9 . 6 81 0 7 4 . 8 51 0 3 0 . 0 9 9 5 4 . 6 8

8 5 2 . 4 1 7 2 1 . 7 2 6 1 4 . 2 7 5 2 9 . 0 7 4 7 2 . 3 7 4 3 5 . 5 4 4 0 5 . 0 2 3 8 0 . 0 9 3 4 7 . 9 7 3 0 6 . 7 2 2 4 0 . 1 3 1 3 5 . 9 4

0 . 0 5 0 . 1 8 0 . 3 3 0 . 6 4 1 . 0 0 1 . 2 7

1 . 5 3 1 . 3 5 1 . 1 5 0 . 8 5 0 . 6 0 0 . 5 1 0 . 4 3 0 . 5 7 0 . 7 3 1 . 0 9 1 . 5 2 1 . 8 6

2 . 2 1 2 . 0 3 1 . 8 1 1 . 4 4 1 . 1 2 1 . 0 1 0 . 9 0 1 . 0 9 1 . 3 1 1 . 7 9 2 . 4 1 2 . 9 6

3 . 6 1 3 . 5 2 3 . 3 4 2 . 8 7 2 . 4 0 2 . 2 5 2 . 1 0 2 . 4 7 2 . 9 5 4 . 1 2 6 . 2 7

1 1 . 5 6

0 . 0 20 . 0 60 . 1 20 . 2 20 . 3 50 . 4 3

0 . 5 20 . 4 50 . 3 80 . 2 80 . 2 00 . 1 70 . 1 40 . 1 90 . 2 40 . 3 50 . 4 90 . 5 8

0 . 6 70 . 6 00 . 5 30 . 4 20 . 3 20 . 2 90 . 2 50 . 3 10 . 3 60 . 4 90 . 6 40 . 7 4

0 . 8 40 . 7 70 . 6 90 . 5 60 . 4 50 . 4 10 . 3 80 . 4 30 . 4 90 . 6 20 . 7 80 . 8 9

4 24 14 03 93 83 7

3 63 53 43 33 23 13 02 92 82 72 62 5

2 42 32 22 12 01 91 81 71 61 51 41 3

1 21 11 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1

A u t o c o r r e la t io n F u n c t io n f o r z ( t )

ترابط الذاتي الجزئي وال

4 23 22 21 22

1 .00 .80 .60 .40 .20 .0

- 0 .2- 0 .4- 0 .6- 0 .8- 1 .0

Parti

al A

utoc

orre

latio

n

TP A CL a gTP A CL a gTP A CL a gTP A CL a g

0 .0 8 -1 .0 6 -0 .4 2 0 .5 1 -0 .2 2 -1 .3 7

0 .0 9 0 .0 3 0 .3 8 -0 .1 8 -0 .1 1 -0 .7 2 0 .0 2 -0 .4 7 -0 .4 4 0 .7 3 1 .0 6 -2 .3 6

0 .5 9 0 .6 0 0 .6 7 0 .4 6 0 .3 8 -0 .6 0 -0 .4 9 -1 .1 2 -0 .5 2 0 .9 5 -0 .2 1 -8 .1 9

2 .8 8 0 .8 1 3 .9 5 5 .1 7 1 .1 9 3 .6 7 -1 .0 7 4 .5 4 0 .4 2 -3 .6 5 -1 .0 6

1 1 .5 6

0 .0 1-0 .0 8-0 .0 3 0 .0 4-0 .0 2-0 .1 1

0 .0 1 0 .0 0 0 .0 3-0 .0 1-0 .0 1-0 .0 6 0 .0 0-0 .0 4-0 .0 3 0 .0 6 0 .0 8-0 .1 8

0 .0 5 0 .0 5 0 .0 5 0 .0 4 0 .0 3-0 .0 5-0 .0 4-0 .0 9-0 .0 4 0 .0 7-0 .0 2-0 .6 3

0 .2 2 0 .0 6 0 .3 0 0 .4 0 0 .0 9 0 .2 8-0 .0 8 0 .3 5 0 .0 3-0 .2 8-0 .0 8 0 .8 9

4 24 14 03 93 83 7

3 63 53 43 33 23 13 02 92 82 72 62 5

2 42 32 22 12 01 91 81 71 61 51 41 3

1 21 11 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1

P a r t ia l A u to c o r r e la t io n F u n c t io n f o r z ( t )

١١٥

مثال آخرz(t) 302 262 218 175 100 077 043 047 049 069 152 205 246 294 242 181 107 056 049 047 047 071 151 244 280 230 185 148 098 061 046 045 055 048 115 185 276 220 181 151 083 055 049 042 046 074 103 200 237 247 215 182 080 046 065 040 044 063 085 185 247 231 167 117 079 045 040 038 041 069 152 232 282 255 1035 056 097 210 260 257 210 125 080 042 0256 250 198 136 073 039 032 030 031 045

ها الشكل

61 107 053 040 039 034 35 031 032 050 092 189

ول

1 0 09 08 07 06 05 04 03 02 01 0

3 0 0

2 0 0

1 0 0

0

In d e x

z(t)

ود الة الترابط الذاتي

2 51 55

1 . 00 . 80 . 60 . 40 . 20 . 0

- 0 . 2- 0 . 4- 0 . 6- 0 . 8- 1 . 0

Auto

corre

latio

n

L B QTC o r rL a gL B QTC o r rL a gL B QTC o r rL a g

9 4 2 . 4 69 2 8 . 4 18 7 9 . 4 28 0 8 . 9 77 5 6 . 9 8

7 4 2 . 3 87 4 2 . 2 17 2 4 . 1 76 7 8 . 3 66 2 0 . 2 25 7 4 . 0 75 5 6 . 1 8

5 5 6 . 1 05 3 8 . 8 44 7 6 . 2 23 8 9 . 7 23 2 8 . 2 23 1 0 . 8 83 1 0 . 6 6

2 8 9 . 3 32 3 5 . 1 71 6 6 . 3 71 1 3 . 1 3

0 . 8 0 1 . 5 5 1 . 9 3 1 . 7 1 0 . 9 2

- 0 . 1 0- 1 . 0 5- 1 . 7 2- 2 . 0 3- 1 . 8 8- 1 . 1 9- 0 . 0 8

1 . 2 0 2 . 4 2 3 . 1 0 2 . 8 2 1 . 5 4- 0 . 1 8- 1 . 7 8

- 3 . 0 9- 3 . 9 9- 4 . 0 3- 2 . 7 0

0 . 3 1 0 . 5 9 0 . 7 1 0 . 6 1 0 . 3 3

- 0 . 0 4- 0 . 3 7- 0 . 5 9- 0 . 6 7- 0 . 6 0- 0 . 3 8- 0 . 0 3

0 . 3 7 0 . 7 1 0 . 8 4 0 . 7 1 0 . 3 8- 0 . 0 4- 0 . 4 3

- 0 . 6 8- 0 . 7 8- 0 . 6 9- 0 . 4 3

2 62 52 42 32 2

2 12 01 91 81 71 61 5

1 41 31 21 11 0 9 8

7 6 5 4

A u t o c o r r e l a t i o n F u n c t i o n f o r z ( t )

الة الترابط الذاتي الجزئي

L B QTC o r rL a g

7 2 . 2 2 8 . 3 8 0 . 8 1 1

9 2 . 4 0 9 2 . 3 2

- 0 . 1 7 2 . 8 9

- 0 . 0 3 0 . 4 3

3 2

ود

2 51 55

1 . 00 . 80 . 60 . 40 . 20 . 0

- 0 . 2- 0 . 4- 0 . 6- 0 . 8- 1 . 0

Parti

al A

utoc

orre

latio

n

TP A CL a gTP A CL a gTP A CL a gTP A CL a g

1 . 0 1- 0 . 2 3- 0 . 7 2 0 . 7 0 0 . 1 5

0 . 4 6- 0 . 2 9

- 1 . 5 2- 0 . 9 9

0 . 0 4- 0 . 0 3

- 0 . 1 5- 0 . 1 0

10

1 41 3

- 0 . 2 2 0 . 3 9 1 . 1 0 0 . 8 4 1 . 9 3

0 . 7 4 1 . 8 2 2 . 7 6 1 . 9 1- 0 . 3 1

- 1 . 6 0- 3 . 2 9- 1 . 6 1- 2 . 2 8- 2 . 9 8- 7 . 1 7 8 . 3 8

0 . 1 0- 0 . 0 2- 0 . 0 7 0 . 0 7 0 . 0 1

- 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 1 1 0 . 0 8 0 . 1 9

0 . 0 7 0 . 1 8 0 . 2 7 0 . 1 9- 0 . 0 3

- 0 . 1 6- 0 . 3 2- 0 . 1 6- 0 . 2 2- 0 . 2 9- 0 . 7 0 0 . 8 1

2 62 52 42 32 2

221 91 81 71 61 5

1 21 11 0 9 8

7 6 5 4 3 2 1

P a r t i a l A u t o c o r r e l a t i o n F u n c t i o n f o r z ( t )

١١٦

.آل هذه المتلسالت تبدي انماط موسمية واضحة

:شتقاق دوال تنبؤ لبعض نماذج المتسلسالت الزمنية الموسمية التضاعفية

و إ

فإن طرق ARIMAا ان نماذج المتسلسالت الزمنية الموسمية هي حالة خاصة من نماذج عامل معها هي نفس الطرق السابقة من حيث التعرف علي شكل النموذج وتقدير معالم النموذج

جميع الطرق والمعادالت التي درسناها سابقا للنماذج غير . إلختبارات التفحصية ومن ثم التنبؤ . سوف نشتق دوال التنبؤ لبعض النماذج للتوضيح فقط. موسمية تنطبق هنا

:١٢(٠،١،١)(٠،٠،٠)SARIMAللنموذج دالة التنبؤ - كتب النموذج على الشكل

بملتاواال١وي

( ) ( )12 121 1t tB z B− = − Θ a

ن المعادلة الفروقية

كن الحصول على التنبؤات آالتالي

م12 12n n n nz z a a+ + − + + −= + −Θl l l l

يم( )( )

( )( ) ( )

11 11

10 10

1

2

12

12 , 12

n n n

n n n

n n n

n n

z z a

z z a

z z a

z z

− −

− −

= − Θ

= −Θ

= −Θ

= − ≥

M

l l l

ضح أن

أو

( ) ( )12 12, 1,2,...,12

12 , 12 n n

nn

z az

z+ − + −− Θ =⎧

= ⎨ − >⎩

l l ll

l l

وا( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 13 25

2 14 26

12 24 36

n n n

n n n

n n n

z z z

z z z

z z z

= = =

= = =

= = =

L

L

M

L

ين أخطاء التنبؤ

)برهن ذلك(دالة األوزان تعطى بالعالقة

تبا( ) ( )2 2 2

1 11nV e σ ψ ψ −= + + +⎡ ⎤⎣ ⎦ ll L و

1 , 12,24,...0, j

jotherwise

ψ−Θ =⎧

= ⎨⎩

وب تعويض األوزان في صيغة تباين أخطاء التنبؤ نجد

( ) ( )22 11 112nV e σ −⎧ ⎫⎢ ⎥= + −Θ⎡ ⎤ ⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

ll

⎢x حيث ⎥⎣ .x تعني الجزء الصحيح من ⎦ :١٢(٠،١،١)(٠،١،١)SARIMAالة التنبؤ للنموذج د-٢

ويكتب النموذج على الشكل( ) ( ) ( ) ( )12 121 1 1 1t tB B z B B aθ− − = − −Θ

١١٧

من المعادلة الفروقية1 12n n n nz z z z 13 1 12 13n n n na a a aθ θ+ + − + − += + −l l l − + + − + − + −l l l l l

يمكن الحصول على التنبؤات آالتالي+ − −Θ + Θ

10 11 10 11

1

2 1

12 11

13 12 1

n n

n n n n n n

n n n n

n n n n

z z

z z z z a a

z z z

z z z z a

θ

θ

− − − −

=

= + − −Θ + Θ

= + −

= + − Θ

M

( ) ( ) ( )

2 1

13 12 1

n n

n

n n n n n

z

z z z

z

z z z z aθ

= + − −Θ

= + − + Θ

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

11 13 11 12n n n n nz z a a aθ θ− − − −+ − − −Θ + Θ

1 1n nz a aθ− −− Θ + Θ

( ) ( ) ( ) ( )1 12 13n n n n n

z z z z= − + − − −l l l l

+

وهكذا بقيم أولية( ) 11 13 11 12

10 11 10 11

1n n n n n n n

n n n n

z z z a a a

z a a

θ θ

θ− − − −

− − − −

= + − − −Θ + Θ

+ Θ( ) ( )

( ) ( ) 1 112 11n n n n nz z z a aθ− −= + − −Θ + Θ

M

ة تكراريةوعالق( ) ( ) ( ) ( )1 12 13 ,n n n nz z z z= − 13− − − >l l l l l

.يمكن توليد العدد المطلوب من التنبؤات

زمنية المو ل حاالت درا

+

سمية متسلسالت ال سة لبعض ا :أمثلة و

:على المشاهدات التالية ينطبق SARIMAسوف نحاول إيجاد نموذج من عائلة ) : ١(مثال z(t) 589 561 640 656 727 697 640 599 568 577 553 582 600 566673 742

645 688 696 775

7 711 734 690 785 805 871 845 34 750 707 807 824 886 859 819 783 740

860 878 942 913 869 834 790 800 763 800 935 894 855 809 810 766 805 821 773 883

837 784 791 760 802 828 778 889 902 969 947 773 813 834 782 892 903 966 937 896 858 817

827 797 843 مخطط الزمني للمشاهدات

653 716 660 617 583 587 565 598 628 618 688 705 770 736

722 782 756 702 653 615 678 639 604 611 594 634 658 622 709 621 602 635 677 635 736 755 811 798 735 697 661 667

2 681 687 660 698 717713 667 762 784 837 817 767 72701 706 67796 858 826 783 740

3 690 7801 764 725 72747 711 751 804 756

961826 799 890 900898 957 924 881 908 867 815 812

وال

١١٨

1 5 01 0 05 0

1 0 0 0

9 0 0

8 0 0

z(t)

7 0 0

6 0 0

In d e x

يالحظ ان المتسلسلة غير مستقرة في التباين والمتوسط لذلك نثبت التباين أوال بتحويل لوغارثمي

( )lnt ty z=أي زمني لها ونرسم المخطط ال

1 5 01 0 05 0

6 . 9

6 . 8

6 . 7

6 . 6

6 . 5

6 . 4

6 . 3

I n d e x

y(t)

نالحظ ان المتسلسلة استقرت في التباين ولكن التزال غير مستقرة في المتوسط لذلك نأخذ الفرق )األول ) ( ) ( )1 1 lnt t tx B y B z= − = ولها الشكل التالي−

1 5 01 0 05 0

0 . 1 5

0 . 1 0

0 . 0 5

0 . 0 0

- 0 . 0 5

- 0 . 1 0

I n d e x

y(t)-

y(t-1

)

المتسلسلة اآلن مستقرة في آل من التباين والمتوسط

الذاتي الجزئي لهالننظر إلى دوال الترابط الذاتي والترابط .

١١٩

4 03 02 01 0

1 .00 .80 .60 .40 .20 .0

-0 .2-0 .4-0 .6-0 .8-1 .0

Auto

corre

latio

n

L B QTC o rrL a gL B QTC o rrL a g

7 3 9 .5 17 3 8 .8 67 2 2 .4 57 2 2 .0 67 1 3 .1 6

7 1 3 .1 45 8 9 .8 55 8 9 .8 45 8 2 .5 85 8 2 .0 55 6 3 .1 65 6 3 .0 55 2 7 .1 45 2 6 .4 55 0 7 .1 65 0 6 .5 04 9 7 .3 5

-0 .2 4-1 .2 1-0 .1 9 0 .9 0 0 .0 5

3 .6 3 0 .0 2 0 .8 9-0 .2 4-1 .4 7-0 .1 2-2 .0 9-0 .2 9-1 .5 7-0 .2 9 1 .1 0 0 .0 8

-0 .0 5-0 .2 7-0 .0 4 0 .2 0 0 .0 1

0 .7 6 0 .0 0 0 .1 8-0 .0 5-0 .3 0-0 .0 2-0 .4 2-0 .0 6-0 .3 1-0 .0 6 0 .2 1 0 .0 2

4 14 03 93 83 7

3 63 53 43 33 23 13 02 92 82 72 62 5

F u n c t io n f o r y ( t ) - y ( t

A u to c o r re la t io n

L B QTC o rrL a gL B QTC o rrL a g

4 9 7 .3 03 6 3 .5 8

2 6 1 .4 11 1 2 .3 2

4 .7 6 0 .0 8

7 .7 4 0 .1 1

0 .8 2 0 .0 1

0 .9 0 0 .0 1

2 42 3

1 21 1

3 6 3 .5 51 1 2 .2 9 1 .2 0 2 .0 1 0 .2 1 0 .2 3 2 21 03 5 5 .3 63 5 4 .9 6

1 0 2 .8 01 0 2 .3 7

-0 .2 6-1 .9 3

-0 .4 3-3 .3 0

-0 .0 5-0 .3 2

-0 .0 5-0 .3 5

2 12 0

9 8

3 3 4 .8 83 3 4 .6 7

8 0 .1 9 7 9 .9 7

-0 .2 0-2 .8 8

-0 .3 3-5 .4 1

-0 .0 3-0 .4 6

-0 .0 4-0 .5 0

1 91 8

7 6

2 9 4 .4 52 9 3 .7 3

3 6 .2 8 3 5 .6 0

-0 .3 9-2 .1 8

-0 .6 8-4 .4 8

-0 .0 6-0 .3 4

-0 .0 6-0 .3 7

1 71 6

5 4

2 7 2 .3 0 1 1 .8 8 -0 .4 7-1 .0 1 -0 .0 7-0 .0 8 1 5 32 7 1 .2 92 6 1 .4 7

1 0 .7 0 0 .0 2

1 .5 1 0 .1 2

3 .2 3 0 .1 2

0 .2 3 0 .0 2

0 .2 5 0 .0 1

1 41 3

2 1

4 03 02 01 0

1 .00 .80 .60 .40 .20 .0

-0 .2-0 .4-0 .6-0 .8-1 .0

Parti

al A

utoc

orre

latio

n

TP A CL a gTP A CL a g

-0 .2 0 0 .8 1 0 .4 8 0 .3 0-0 .5 1

0 .1 3 0 .3 9 0 .8 0-1 .3 1-0 .0 9 0 .9 3 0 .3 4-0 .9 4 0 .0 5 0 .8 4-0 .6 1-1 .6 7

-0 .0 2 0 .0 6 0 .0 4 0 .0 2-0 .0 4

0 .0 1 0 .0 3 0 .0 6-0 .1 0-0 .0 1 0 .0 7 0 .0 3-0 .0 7 0 .0 0 0 .0 6-0 .0 5-0 .1 3

4 14 03 93 83 7

3 63 53 43 33 23 13 02 92 82 72 62 5

o n F u n c t io n f o r y ( t ) - y ( t

يالحظ من دالة الترابط الذاتي ان المتسلسلة غير مس

تتخامد ببطء ٣٦ و ٢٤

P a r t ia l A u to c o r r e la t i

TP A CL a gTP A CL a g

-0 .4 8 0 .1 2 -0 .0 4 0 .0 1 1 3 1

1 .0 4 0 .2 9

8 .0 8-7 .5 5

0 .0 8 0 .0 2

0 .6 3-0 .5 8

2 42 3

1 21 1

-0 .5 3 0 .2 9

-2 .9 9-5 .3 6

-0 .0 4 0 .0 2

-0 .2 3-0 .4 1

2 22 1

1 0 9

0 .9 8-1 .0 4

-6 .2 6-1 .8 2

0 .0 8-0 .0 8

-0 .4 8-0 .1 4

2 01 9

8 7

1 .0 6 0 .0 7

-4 .5 2-0 .2 2

0 .0 8 0 .0 1

-0 .3 5-0 .0 2

1 81 7

6 5

2 .2 9 0 .0 6

-5 .9 7-1 .2 0

0 .1 8 0 .0 0

-0 .4 6-0 .0 9

1 61 5

4 3

-4 .2 6 3 .2 3 -0 .3 3 0 .2 5 1 4 2

و ١٢تقرة موسميا ألن قيمها عند التخلفات )ألول ) )لذلك نأخذ الفرق الموسمي ا )

ونرسمها بعد هذا التفريق( )121 1 lnt tw B B z= − −

1 5 01 0 05 0

0 . 0 5

0 . 0 0

- 0 . 0 5

In d e x

y(t)-

y(t-1

)12

نوجد دوال الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي لها

١٢٠

3 52 51 55

A u to c o r re la t io n F u n c t io n f o r y ( t ) - y ( t1 .00 .80 .60 .40 .20 .0

-0 .2-0 .4-0 .6-0 .8-1 .0

Auto

orre

latio

nc

L B QTC o rrL a gL B QTC o rrL a gL B QTC o rrg

7 3 .8 87 3 .7 1

7 2 .9 97 2 .3 67 0 .8 37 0 .8 37 0 .7 47 0 .7 47 0 .4 17 0 .4 06 8 .5 86 8 .3 86 7 .6 76 7 .6 7

6 6 .8 26 6 .5 26 4 .4 56 3 .1 26 3 .0 46 2 .9 16 0 .5 86 0 .5 85 8 .1 05 7 .9 75 7 .5 45 6 .6 4

1 8 .5 01 8 .4 91 5 .7 51 5 .3 11 4 .9 51 2 .7 71 2 .6 71 1 .2 0 8 .6 3 7 .1 7 7 .1 5

0 .2 6-0 .5 4

-0 .5 1 0 .8 0 0 .0 3 0 .1 9 0 .0 4 0 .3 8 0 .0 8-0 .9 0 0 .3 0-0 .5 7-0 .0 2 0 .6 2

-0 .3 8 0 .9 9-0 .8 0-0 .2 0 0 .2 5-1 .0 8-0 .0 2 1 .1 3 0 .2 6-0 .4 8-0 .7 0 1 .8 0

0 .5 4 1 .3 3-0 .2 8

-2 .6 5 0 .0 3-0 .0 6

-0 .0 6 0 .0 9 0 .0 0 0 .0 2 0 .0 0 0 .0 4 0 .0 1-0 .1 0 0 .0 3-0 .0 6-0 .0 0 0 .0 7

-0 .0 4 0 .1 1-0 .0 9-0 .0 2 0 .0 3-0 .1 1-0 .0 0 0 .1 2 0 .0 3-0 .0 5-0 .0 7 0 .1 8

0 .0 5 0 .1 2-0 .0 2

-0 .2 13 83 7

3 63 53 43 33 23 13 02 92 82 72 62 5

2 42 32 22 12 01 91 81 71 61 51 41 3

8 7 6

1

L aL B QTC o rrL a g

-1 .1 1-1 .4 9 1 .1 4-0 .1 3

-0 .1 0-0 .1 3 0 .1 0-0 .0 1

5 4 3 2

5 0 .8 8-4 .9 0-0 .4 41 2-0 .0 9 1 .4 5-0 .5 8

-0 .0 1 0 .1 3-0 .0 5

1 11 0 9

3 52 51 55

1 .00 .80 .60 .40 .20 .0

-0 .2-0 .4-0 .6-0 .8-1 .0

Pn

artia

l Aut

ocor

rela

tio

TP A CL a gTP A CL a gTP A CL a gT

-0 .7 9 1 .2 3

-2 .5 7 2 .2 1-0 .1 9-0 .1 2 0 .1 9-0 .6 0-0 .5 3 0 .4 4-0 .9 1-1 .4 4-0 .1 5 1 .5 1

-3 .4 1 0 .9 1 0 .3 2-0 .3 1-0 .3 5-0 .5 2 0 .1 2 0 .4 7-1 .4 0 0 .0 0-0 .2 5-0 .0 3

-5 .2 3 0 .5 9

1 .4 1-1 .1 9-1 .8 2-1 .1 6 1 .0 6-0 .7 3-2 .6 5

-0 .0 6 0 .1 0

-0 .2 1 0 .1 8-0 .0 2-0 .0 1 0 .0 2-0 .0 5-0 .0 4 0 .0 4-0 .0 7-0 .1 2-0 .0 1 0 .1 2

-0 .2 7 0 .0 7 0 .0 3-0 .0 3-0 .0 3-0 .0 4 0 .0 1 0 .0 4-0 .1 1 0 .0 0-0 .0 2-0 .0 0

-0 .4 2 0 .0 5

0 .0 8-0 .0 6 3 8

3 7

3 63 53 43 33 23 13 02 92 82 72 62 5

2 42 32 22 12 01 91 81 71 61 51 41 3

1 21 1

3 2

P a r t ia l A u to c o r r e la t io n F u n c t io n f o r y ( t ) - y ( t

نماط دوال الترابط الذاتي والترامن ا

P A CL a g

-0 .2 1 1

0 .8 0-0 .5 1 1 .4 2

0 .0 6-0 .0 4 0 .1 1

1 0 9 8

0 .1 1-0 .1 0-0 .1 5-0 .0 9

7 6 5 4

)بط الذاتي الجزئي للمتسلسلة )( ) الممكنة هq و pنجد ان قيم

( )121 1 lnt tw B B z= − − اي نطبق النموذج ٠ و ٠ي

( )( ) ( ) ( )12 121 1 ln 1t tB B z B− − = − Θ a

MINITABيطبق هذا النموذج

NoConstant. الحظ

١٢ األمر التالي في (٠،١،١)(٠،١،٠)SARIMAهو

ARIMA 0 1 ٠ 0 1 1 12 'y(t)' ;

)اننا استخدمنا )lnt ty z=وللحصول على النتائج النهائية نجر :النتائج

tyي التحويل tz e=

MTB > Name c14 = 'RESI3' c15 = 'FITS3' MTB > ARIMA 0 1 0 0 1 1 12 'y(t)' 'RESI3' 'FITS3'; SUBC> NoConstant; SUBC> Forecast 24 c7 c8 c9; SUBC> GACF; SUBC> GPACF; SUBC> GHistogram; SUBC> GNormalplot. ARIMA Model

١٢١

ARIMA model for y(t) Estimates at each iteration Iteration SSE Parameters 0 0.0228597 0.100 1 0.0204943 0.250 2 0.0187066 0.400 3 0.0174234 0.550 4 0.0169841 0.684 5 0.0169841 0.683 6 0.0169841 0.683 Relative change in each estimate less than 0.0010

SMA 12 0.6831 0.0610 Differencing: 1 regular, 1 seasonal of order 12 Number of observations: Original series 168, after differencing 155 Residuals: SS = 0.0165799 (backforecasts excluded) MS = 0.0001077 DF = 154 Modified Box-Pierce (Ljung-Box)Lag 12 Chi-Square 9.0(DF=11) 29.9(DF=23) 44.5(DF=35) 59.4

Actual 169 6.76750 6.74716 6.78784 170 6.70901 6.68024 6.73778 171 6.83815 6.80292 6.87338 172 6.85381 6.81313 6.89450 173 6.92288 6.87739 6.96836 174 6.89349 6.84366 6.94331 175 6.84654 6.79272 6.90035 176 6.80008 6.74255 6.85761 177 6.74395 6.68293 6.80497 178 6.75028 6.68596 6.81461 179 6.70664 6.63918 6.77410 180 6.75999 6.68952 6.83045 181 6.79052 6.71514 6.86590 182 6.73203 6.65203 6.81203 183 6.86117 6.77680 6.94554 184 6.87684 6.78832 6.96535 185 6.94590 6.85342 7.03838 186 6.91651 6.82023 7.01279 187 6.86956 6.76962 6.96950 188 6.82310 6.71963 6.92657

أي أن النموذج المقترح لهذه المتسلسلة هو

Final Estimates of Parameters Type Coef StDev T

11.20

Chi-Square statistic 24 36 48

(DF=47)

eriod 168 Forecasts from p 95 Percent Limits Period Forecast Lower Upper

189 6.76697 6.66009 6.87385 190 6.77330 6.66312 6.88349 191 6.72966 6.61627 6.84305 192 6.78301 6.66649 6.89952

( )( ) ( ) ( ) ( )12 121 1 ln 1 0.683 , 0,0.0001077t t tB B z B a a N− − = − الحظ ان

t= = أي ان المعلم عالي المعنوية

:فحص البواقي

( )0.683, . .s eΘ = Θ 0.061, 11.2

.

إختبار المتوسط> Alternative 0.

MTB > ZTest 0.0 0.0103778 'RESI3'; SUBC

١٢٢

Z-Test Test of mu = 0.000000 vs mu not = 0.000000

0.0104

Variable N Mean StDev SE Mean Z P RESI3 155 -0.000111 0.010375 0.000834 -0.13 0.89

اي النرفض أن متوسط البواقي صفرا٠٫٠٥ وهي اآبر من ٠٫٨٩=P-valueالحظ ان الـ إختبار عشوائية البواقي

The assumed sigma =

MTB > Runs 0 'RESI3'. Runs Test RESI3 K = 0.0000 The observed number of runs = 70 The expected number of runs = 78.1097 72 Observations above K 83 below The test is significant at 0.1893 Cannot reject at alpha = 0.05

اي اننا النرفض فرضية عشوائية البواقي٠٫١٨٩٣إلختبار معنوي عند :ختبار إستقالل البواقي

ا إ

د وال الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي

3 93 63 33 02 72 42 11 81 51 2963

A C F o f R e s id u a ls f o r y ( t )( w it h 9 5 % c o n f id e n c e l im it s f o r t h e a u t o c o r r e l a t io n s )

1 .0

0 .8

0 .6

0 .4

0 .2

0 .0

- 0 .2

- 0 .4

- 0 .6

- 0 .8

- 1 .0

L a g

Auto

corr

elat

ion

١٢٣

P( w it h 9 5 % c

3 93 63 33 02 72 42 11 81 51 2963

1 .0

0 .8

0 .6

0 .4

0 .2

0 .0

-

- 0 .2

- 0 .4

- 0 .6

- 0 .8

1 .0

L a g

Parti

al A

uto

tion

corr

ela

A C F o f R e s id u a ls f o r y ( t )o n f id e n c e l im it s f o r t h e p a r t ia l a u t o c o r r e l a t io n s )

.نالحظ انها تعطي انماط الضجة البيضاء أي انها غير مترابطة وإذا آانت طبيعية فهي مستقلة

:إختبار طبيعية البواقي

0.040.030.020.010.00-0.01-0.02-0.03

30

20

10

0

Residual

Freq

uenc

y

Histogram

of the Residuals(response is y(t))

3210-1-2-3

0.04

Normal Probability Plot of the Residuals(response is y(t))

0.03

0.02

ual

0.01

ides 0.00R

-0.01

-0.02

-0.03

Normal Score

١٢٤

Approximate P-Value: 0.041D+: 0.074 D-: 0.045 D : 0.074

Kolmogorov-Smirnov Normality Test

N: 155StDev: 0.0103754Average: -0.0001115

0.030.020.010.00-0.01-0.02-0.03

.999

.99

.95

.80

.50

.20

.05

.01

.001

Prob

abilit

y

RESI3

K-S test for Residuals

ال اذا اإلختبار معنوي عند ٠٫٠٥ وهي اقل من ٠٫٠٤١ يعطي K-Sر إلختباP-valueحظ ان الـ

0.05α . اي النرفض فرضية طبيعية البواقي= :التنبؤ بإستخدام النموذج

ن فترات تنبؤ ونرسمها بالرسم ٩٥% قيمة مستقبلية مع ٢٤عفي المخرجات السابقة قمنا بالتنبؤ :التالي

2 52 01 51 050

1 1 5 0

T im e

1 0 5 0

tas

9 5 0

Fore

c

8 5 0

7 5 0

لسلة مع التنبؤات وحدود التنبؤوالرسم التالي للمتس

١٢٥

200100

1150

0

Time

1050

950

850

750

650

550

Fore

cast

:١حالة دراسة ينطبق على الSARIMAوف نحاول إيجاد نموذج من عائلة

z(t) 56.3 55.7 55.8 56.3 57.2 59.1 71.5 72.2 72.7 61.5 57.4 56.9 55.3 54.9 54.9 54.9 54.6 57.7 68.2 70.6 71.0 60.0 56.0 54.4 53.3 52.8 53.0 53.4 54.3 58.2 67.4 71.0 69.8 59.4 55.6 54.6 53.4 53.0 53.0 53.2 54.2 58.0 67.5 70.1 68.2 56.6 54.9 54.0 52.9 52.6 52.8 53.0 53.6 56.1 66.1 69.8 69.3 61.2 57.5 54.9 53.4 52.7 53.0 52.9 55.4 58.7 67.9 70.0 68.7 59.3 56.4 54.5 52.8 52.8 53.2 55.3 55.8 58.2 65.3 67.9 68.3 61.7 56.4 53.9 52.6 52.1 52.4 52.7 57.3 65.1 71.5 69.9 61.9 57.3 55.1 53.6 53.4 53.3 53.9 52.7 61.0 69.9 70.4 59.4 56.3 54.3 53.5 53.2 52.5 53.4 56.5 65.3 70.7 66.9 58.2 55.3 53.4 52.1 51.5 51.5 52.4 53.3 55.5 64.2 69.6 69.3 58.5 55.3 53.6 52.3 51.5 51.7 51.5 52.2 57.1 63.6 68.8 68.9 60.1 55.6 53.9 53.3 53.1 53.5 53.5 53.9 57.1 64.7 69.4 70.3 62.6 57.9 55.8 54.8 54.2 54.6 54.3 54.8 58.1 68.1 73.3 75.5 66.4 60.5 57.7 55.8 54.7 55.0 55.6 56.4 60.6 70.8 76.4 74.8 62.2

مخطط الزمني

س :مشاهدات التالية

51.6 53.5 53.0

ال

1 5 01 0 05 0

7 0

6 0

5 0

I n d e x

z(t)

١٢٦

)إلستقرار المتوسط )1t tw B z= بأخذ الفرق األول نجد−

1 5 01 0 05 0

1 0

0

- 1 0

I n d e x

y(t)

ولها دوال ترابط ذاتي وترابط ذاتي جزئي

423222122

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Auto

corre

latio

n

LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag

950.82941.37935.55930.47923.75913.29896.54896.48

860.42745.11714.93714.89697.63686.56679.93674.14667.77656.89638.60638.60

602.75475.10439.24439.21419.89407.71400.68395.15388.04375.77354.69354.69

318.37176.37135.48135.47115.89102.29 94.41 87.92 80.10 65.83 40.67 40.60

-0.83-0.65-0.61-0.71-0.89-1.14 0.07 1.72

3.27 1.70-0.06-1.31-1.06-0.83-0.78-0.82-1.08-1.43-0.01 2.06

4.28 2.35-0.06-1.76-1.42-1.09-0.97-1.12-1.49-2.00-0.03 2.76

6.71 3.91-0.02-2.85-2.46-1.92-1.77-2.00-2.82-4.10-0.22 6.32

-0.20-0.16-0.15-0.17-0.21-0.27 0.02 0.40

0.72 0.37-0.01-0.28-0.23-0.17-0.16-0.17-0.23-0.29-0.00 0.41

0.79 0.42-0.01-0.31-0.25-0.19-0.17-0.19-0.25-0.33-0.01 0.43

0.86 0.46-0.00-0.32-0.27-0.21-0.19-0.21-0.28-0.37-0.02 0.47

4443424140393837

363534333231302928272625

242322212019181716151413

121110 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Autocorrelation Function for y(t)

423222122

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Parti

al

rrela

tion

Auto

co

TPACLagTPACLagTPACLagTPACLag

-0.35 0.38

-0.74-0.33

-0.17-3.62

-0.03 0.03

-0.06-0.02

-0.01-0.27

3837

2625

1413

Partial Autocorrelation Function for y(t)

0.43-0.00 0.35-0.56 0.23-0.17

-0.60-0.26-0.05 0.99

0.24-0.16-0.95 0.13

-3.33-3.05 1.22-4.00

0300

0.03-0.04 0.02-0.01

-0.04-0.02-0.00 0.07

0.02-0.01-0.07 0.01

-0.25-0.23 0.09-0.30

42414039

30292827

18171615

6 5 4 3

0.61-1.17 0.06-0.25 0.37 0.20

-0 6-0 6-1 2 0.89 0.44

5.42-2.18-4.11-8.56-5.67-2.09

-4.21 6.32

0.-0.

0.05-0.09 0.00-0.02 0.03 0.01

0.13-0.06-0.02-0.12 0.07 0.03

0.41-0.16-0.31-0.64-0.43-0.16

-0.32 0.47

4443

363534333231

242322212019

121110 9 8 7

2 1

1.74.8.2.6

)أي ١٢نرى انها تحتاج إلى تفريق موسمي من الرتبة )( )121 1t tw B B z= − المتسلسلة وينتج−

التالية

١٢٧

1 5 01 0 0

5

5 0

0

-5

In d e x

ولها دوال ترابط ذاتي وترابط ذاتي جزئي

w(t)

4 03 02 01 0

1 .00 .80 .60 .40 .20 .0

-0 .2-0 .4-0 .6-0 .8-1 .0

Au

L B QTC o rrL a gL B QTC o rrL a gL B QTC o rrg

1 2 7 .8 41 2 4 .6 71 2 4 .5 91 2 4 .5 21 2 2 .4 0

1 2 1 .7 71 1 1 .2 41 0 9 .1 91 0 3 .2 0 9 6 .0 1 9 5 .8 0 9 4 .4 7 8 9 .9 4 8 7 .0 7 8 6 .3 3 8 6 .2 8 8 3 .0 9

8 1 .7 8 7 8 .0 2 7 6 .0 5 7 5 .9 4 6 8 .2 4 6 8 .2 3 6 7 .2 4 6 5 .2 2 6 5 .0 7 6 5 .0 1 6 2 .5 0 6 0 .6 9

-1 .0 1-0 .1 6 0 .1 5 0 .8 4 0 .4 6

-1 .9 2-0 .8 6 1 .4 9 1 .6 6-0 .2 8-0 .7 2-1 .3 6 1 .0 9 0 .5 6-0 .1 3-1 .1 8-0 .7 6

1 .3 0 0 .9 5-0 .2 3-1 .9 4-0 .0 5 0 .7 0 1 .0 1-0 .2 8-0 .1 7 1 .1 5 0 .9 8-0 .8 4

-0 .1 2-0 .0 2 0 .0 2 0 .1 0 0 .0 5

-0 .2 2-0 .1 0 0 .1 7 0 .1 9-0 .0 3-0 .0 8-0 .1 5 0 .1 2 0 .0 6-0 .0 1-0 .1 3-0 .0 8

0 .1 4 0 .1 0-0 .0 2-0 .2 0-0 .0 1 0 .0 7 0 .1 0-0 .0 3-0 .0 2 0 .1 2 0 .1 0-0 .0 8

4 14 03 93 83 7

3 63 53 43 33 23 13 02 92 82 72 62 5

2 42 32 22 12 01 91 81 71 61 51 41 3

c o r re la t io n F u n c t io n f o r w ( t )

A u to

torre

latio

nco

L aL B QTC o rrL a g

5 9 .4 0-4 .6 3-0 .4 21 2 2 8 .3 7 2 7 .1 3

0 .9 3 1 .1 6

0 .0 8 0 .1 0

1 11 0

2 5 .2 6 2 .5 6 0 .2 2 9 1 6 .8 3 1 6 .7 1

-0 .3 1-0 .4 9

-0 .0 3-0 .0 4

8 7

1 6 .4 1 1 6 .1 0

-0 .5 0 0 .0 3

-0 .0 4 0 .0 0

6 5

1 6 .1 0-0 .0 3-0 .0 0 4 1 6 .1 0 6 .3 1

-2 .9 7-2 .4 8

-0 .2 4-0 .1 9

3 2

0 .0 4-0 .1 9-0 .0 1 1

4 03 02 01 0

1 .00 .80 .60 .40 .20 .0

-0 .2-0 .4-0 .6-0 .8-1 .0

Parti

otio

n

TP A CL a gTP A CL a gTP A CL a gTP A CL a g

-0 .3 6 0 .6 3 0 .4 4-1 .0 6 0 .2 4

-1 .1 8 0 .9 5 2 .3 1-0 .0 9-1 .2 9-0 .2 9-1 .3 9 0 .8 7-0 .3 6-0 .3 2-0 .9 7-1 .4 9

0 .0 9 2 .5 0 0 .6 3-0 .6 8-0 .4 2 0 .6 2 0 .7 8-0 .2 3-0 .3 3-0 .5 0 0 .1 5-0 .6 9

-0 .8 5

-0 .1 9

-0 .0 3 0 .0 5 0 .0 3-0 .0 8 0 .0 2

-0 .0 9 0 .0 7 0 .1 8-0 .0 1-0 .1 0-0 .0 2-0 .1 1 0 .0 7-0 .0 3-0 .0 3-0 .0 8-0 .1 2

0 .0 1 0 .1 9 0 .0 5-0 .0 5-0 .0 3 0 .0 5 0 .0 6-0 .0 2-0 .0 3-0 .0 4 0 .0 1-0 .0 5

-0 .0 7

-0 .0 1

4 14 03 93 83 7

3 63 53 43 33 23 13 02 92 82 72 62 5

4321098

1 654

1 3

4

1

l A u to c o r r e la t io n F u n c t io n f o r w ( t )

من األنماط المشاهدة لدوال الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئ

SARIMA(١،١،١)(٠،١،١)أي ١٢

P a r t ia

rrela

al A

utoc

- 3 .2 8-2 .4 8

-0 .2 6-0 .1 9

11

3 2

-4 .0 8-0 .3 2 21 2 2 .1 9 0 .9 5

0 .1 7 0 .0 7

22

1 11 0

1 .7 6 0 .1 4 2 9-1 .6 6-1 .4 6

-0 .1 3-0 .1 1

21

8 7

-1 .8 4-1 .4 3

-0 .1 4-0 .1 1

11 7

6 5

ي قد يكون النموذج المناسب هو

١٢٨

( ) ( )( ) ( ) ( )12 121 1 t1 1 1 tB B B zφ− − − = B B aθ− − Θ :لنموذج على المتسلسلة آالتالينطبق هذا ا

12 'z(t)' 'RESI2';

ARIMA model for z(t) Estimates at each iteration Iteration SSE Parameters 0 307.653 0.100 0.100 0.100 1 281.217 0.100 0.100 0.250 2 262.275 0.226 0.231 0.400 3 262.027 0.376 0.381 0.401 4 261.770 0.526 0.531 0.401 5 261.426 0.675 0.681 0.402 6 260.905 0.824 0.831 0.403 7 260.036 0.970 0.981 0.405 8 227.926 0.835 0.980 0.536 9 221.838 0.748 0.980 0.576 10 221.665 0.738 0.980 0.586 11 221.637 0.738 0.980 0.589 12 221.610 0.737 0.980 0.589 13 221.585 0.737 0.980 0.590 Relative change in each estimate less than 0.0010 Final Estimates of Parameters Type Coef StDev T AR 1 0.7374 0.0620 11.89 MA 1 0.9796 0.0017 582.86 SMA 12 0.5898 0.0736 8.01 Differencing: 1 regular, 1 seasonal of order 12 Number of observations: Original series 178, after differencing 165Residuals: SS = 214.393 (backforecasts excluded) MS = 1.323 DF = 162 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 15.7(DF= 9) 30.9(DF=21) 61.6(DF=33) 67.1(D

النموذج المقترح لهذه المتسلسلة هو

MTB > ARIMA 1 1 1 0 1 1 SUBC> NoConstant; SUBC> GACF; SUBC> GPACF; SUBC> GHistogram; SUBC> GNormalplot. ARIMA Model

F=45) أي أن

( )( ) ( ) ( )( ) ( )12 121 0.74 1 1 1 0.98 1 0.59 , 0,1.323t t tB B B z B B a a N− − − = − − الحظ ان

.أي ان المعالم عالية المعنوية:فحص البواقي

( )( )( )

0.74, . . 0.062, 11.89

0.96, . . 0.0017, 582.86

0.59, . . 0.074, 8.01

s e t

s e t

s e t

φ φ

θ θ

= = =

= = =

Θ = Θ = =

إختبار المتوسطMTB > ZTest 0.0 1.15 'RESI1'; SUBC> Alternative 0. Z-Test

١٢٩

Test of mu = 0.0000 vs mu not = 0.0000 The assumed sigma = 1.15 Variable N Mean StDev SE Mean Z P RESI1 165 -0.0144 1.1433 0.0895 -0.16 0.87

اي النرفض أن متوسط البواقي صفرا٠٫٠٥ وهي اآبر من ٠٫٨٧=P-valueحظ ان الـ اقيوائية البو

ال إختبار عش

MTB > Runs 0 'RESI1'. Runs Test RESI1 K = 0.0000 The observed number of runs = 67 The expected number of runs = 82.4061 73 Observations above K 92 below The test is significant at 0.0149

اي اننا نرفض فرضية عشوائية البواقي وهذا يحتاج إلى إجراء ٠٫٠٥وي عند :وسيط التالي

MTSU Sign Sign test of median = 0.00000 versus not = 0.00000 N N* Below Equal Above P Median RESI1 165 13 92 0 73 0.1611 -0.08139

ط التالي

MS Wilcoxon Signed Rank Test

Test Number N Missing Test Statistic P Median RESI1 165 13 165 6321.0

:إختبار إستقالل البواقي

معناإلختبار غير على الSign Testإختبار آخر أآثر قوة من إختبار الجري مثل إختبار اإلشارة

B > STest 0.0 'RESI1'; BC> Alternative 0.

Test for Median

وللتأآد نجري إختبار ولكوآسون إلشارات الرتب على الوسي٠٫١٦١١واإلختبار معنوي عند

TB > WTest 0.0 'RESI1'; UBC> Alternative 0.

of median = 0.000000 versus median not = 0.000000

N for Wilcoxon Estimated

0.392 -0.05940

٠٫٣٩٢واإلختبار ايضا معنوي عند

دوال الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي

١٣٠

3 93 63 33 02 72 42 11 81 51 296

A C F o f R e s id u a ls f o r z ( t) t h e a u t o c o r r e la t io n s )

3

1 .0

0 .2

-0 .4

0 .8

0 .6

0 .4

0 .0

-0 .2

-0 .6

-0 .8

-1 .0

L a g

Aula

tion

toco

rre

( w it h 9 5 % c o n f id e n c e l im it s f o r

3 93 63 33 02 72 42 11 81 51 2963

1 .0

0 .8

0 .6

0 .4

0 .2

0 .0

-0 .2

-0 .4

-0 .6

-0 .8

-1 .0

L a g

P

P A C F o f R e s id u a ls f o r z ( t)( w ith 9 5 % c o n f id e n c e l im it s f o r t h e p a r t ia l a u to c o r r e la t io n s )

artia

l Aut

ocor

rela

tion

.نالحظ انها تعطي انماط الضجة البيضاء أي انها غير مترابطة وإذا آانت طبيعية فهي مستقلة

:إختبار طبيعية البواقي

43210-1-2-3-4-5-6

50

40

30

20

10

0

Residual

Freq

uenc

y

Histogram of the Residuals(response is z(t))

١٣١

3210-1-2-3

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

Normal Score

Re

Normal Probability Plot o he Residuals(response is z(t))

f t

ual

sid

Approximate P-Value < 0.01D+: 0.117 D-: 0.140 D : 0.140

Kolmogorov-Smirnov Normality Test

N: 165StDev: 1.14327Average: -0.0144171

3210-1-2-3-4-5

K-S Test for Residuals

.999.99.95

.80

.50

.20

.05

.01.001

Prob

abilit

y

RESI1

0.05 اذا اإلختبار ٠٫٠١من أقل K-S إلختبار P-valueحظ ان الـ

αمعنوي عند اي = .رفض فرضية طبيعية البواقي

:نبؤ بإستخدام النموذج

الالن الت

Forecasts from period 178 95 Perc t Lower Upper Actual

179 57.7885 55.5332 60.0437 180 55.8516 53.0220 58.6812 181 54.7429 51.6264 57.8594 182 54.1820 50.9063 57.4578 183 54.6298 51.2601 57.9994 184 54.9152 51.4875 58.3430 185 55.6640 52.1986 59.1294 186 59.3778 55.8869 62.8688 187 68.6924 65.1833 72.2015 188 74.0698 70.5472 77.5925 189 73.9650 70.4317 77.4983 190 63.5866 60.0447 67.1286 191 58.9095 55.1843 62.6347 192 56.7768 52.9407 60.6128 193 55.5237 51.6169 59.4305

فترات تنبؤ٩٥% قيمة مستقبلية مع ٣٦سنقوم بالتنبؤ عن en Limits

Period Forecast

١٣٢

194 54.8564 50.9022 58.8105 195 55.2256 51.2380 59.2131 196 55.4531 51.4409 59.4653 197 56.1592 52.1278 60.1905 198 59.8416 55.7947 63.8885 199 69.1329 65.0729 73.1929 200 74.4932 70.4217 78.5647 201 74.3758 70.2940 78.4575 202 63.9881 59.8968 68.0793 203 59.3041 55.0418 63.5664 204 57.1663 52.7962 61.5364 205 55.9095 51.4676 60.3514 206 55.2394 50.7472 59.7315 207 55.6066 51.0774 60.1357 208 55.8326 51.2749 60.3903 209 56.5376 51.9568 61.1184 210 60.2191 55.6189 64.8194 211 69.5099 64.8927 74.1270 212 74.8697 70.2374 79.5021 213 74.7520 70.1057 79.3983 214 64.3640 59.7046 69.0235

: ونرسمها بالرسم التالي

4 03 02 01 00

8 0

7 0

6 0

5 0

T i m e

Fore

cast

ملها مع التنبؤات وفترات التنبؤالرسم التالي للمتسلسلة بكا

2 0 01 0 00

8 0

7 0

6 0

5 0

T im e

Fore

cast

١٣٣

١٣٤

١٣٥

اإلنحدار -ورقة تدريب عملي علي التنبؤ بواسطة نماذج المتوسط المتحرك

الفصل السابع

الذاتي Forecasting By ARMA Models

المشاهدات التالية لظاهرة عشوائية مسجلة علي شكل متسلسلة زمنية12.0 20.5 21.0 15.5 15.3 23.5 24.5 21.3 23.5 28.0 24.0 15.5 17.3 25.3 25.0 36.5 36.5 29.6 30.5 28.0 26.0 21.5 19.7 19.0 16.0 20.7 26.5 30.6 32.3 29.5 28.3 31.3 32.2 26.4 23.4 16.4

:ولها الشكل التاليMTB > TSPlot C1; SUBC> Index; SUBC> TDisplay 11; SUBC> Symbol; SUBC> Connect.

اوال نوجد دوال الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي

302010

30

20

10

Index

C1

١٣٦

MTB > %ACF C1.

MTB > %PACF C1. Executing from file: E:\MTBWIN\MACROS\PACF.MAC

)نالحظ من انماط الدالتين ان المشاهدات قد

987654321

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Auto

corre

latio

n

LBQTCorrLagLBQTCorrLag

32.1031.42

29.4026.7122.7120.1720.0719.2715.62

-0.44-0.78

-0.94-1.22-1.01-0.20 0.59 1.35 3.79

-0.12-0.20

-0.24-0.30-0.24-0.05 0.14 0.30 0.63

98

7654321

Autocorrelation Function for C1

987654321

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Parti

al A

utoc

orre

latio

n

TPACLagTPACLag

0.29-0.39

0.12-0.23-1.09-1.20 0.22-0.98 3.79

0.05-0.07

0.02-0.04-0.18-0.20 0.04-0.16 0.63

98

7654321

Partial Autocorrelation Function for C1

1,1ARMA( تكون من نموذج نطبق النموذج المقترح

MTB > Name c17 = 'RESI1' MTB > ARIMA 1 0 1 C1 'RESI1'; SUBC> Constant; SUBC> Forecast 5 c14 c15 c16; SUBC> GACF; SUBC> GPACF; SUBC> GNormalplot.

ARIMA Model ARIMA model for C1 Estimates at each iteration Iteration SSE Parameters 0 1337.71 0.100 0.100 21.918 1 936.95 0.250 -0.049 18.193 2 849.78 0.211 -0.199 19.106 3 751.53 0.215 -0.349 18.941 4 658.66 0.266 -0.499 17.594 5 592.30 0.372 -0.649 14.890 6 580.80 0.433 -0.699 13.314 7 579.30 0.455 -0.714 12.698 8 579.11 0.464 -0.719 12.470 9 579.08 0.467 -0.721 12.386 10 579.08 0.468 -0.722 12.356 11 579.08 0.468 -0.722 12.345 Relative change in each estimate less than 0.0010 Final Estimates of Parameters Type Coef StDev T AR 1 0.4684 0.1755 2.67 MA 1 -0.7221 0.1380 -5.23 Constant 12.345 1.154 10.70 Mean 23.221 2.170 Number of observations: 36 Residuals: SS = 523.365 (backforecasts excluded) MS = 15.860 DF = 33

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 7.2(DF=10) 15.9(DF=22) * (DF= *) * (DF= *) Forecasts from period 36 95 Percent Limits Period Forecast Lower Upper Actual 37 14.7649 6.9578 22.5720 38 19.2606 7.1228 31.3985 39 21.3663 8.4715 34.2610 40 22.3524 9.2975 35.4074 41 22.8143 9.7245 35.9041

:النموذج المقترح هو( )1 112.345 0.4684 0.7221 , 0,15.86t t t t tz z a a a WN− −= + + − t∀

حيث ( )( )

( )

1 1

1 1

2

ˆ ˆ0.4684 0.1755 2.67

ˆ ˆ0.7221 0.1380 5.23

ˆ ˆ12.345 1.154 10.70

ˆ 15.86 33

se t

se t

se t

df

φ φ

θ θ

δ δ

σ

= = =

= − = = −

= = =

= =

0.05αونالحظ ان جميع المقدرات معنوية عند فمثال الفرضية =

١٣٧

0 1

1 1

: 0: 0

HH

φφ

=≠

( )1

1

ˆ 0.4684 2.6689ˆ 0.1755t

seφφ

= = 0.05وهي = α نختبرها باإلحصائة معنوية عند أي =

1اننا 0 φنرفض ان وبالمثل لجميع القدرات االخرى = ثانيا فحص البواقي :إختبار متوسط البواقي

هواإلختبار00 1: 0, :a aH Hµ µ= ≠

MTB > TTest 0.0 'RESI1'; SUBC> Alternative 0.

T-Test of the Mean Test of mu = 0.000 vs mu not = 0.000 Variable N Mean StDev SE Mean T P RESI1 36 0.344 3.851 0.642 0.54 0.60

0.54t 0.05 و0.6لها P-Value والـ = هي اآبر من هي انالحظ

١٣٨

α أي ان اإلختبار = غير معنوي أي يمكن إعتبار متوسط البواقي يساوي الصفر

:عشوائية البواقيإختبار Runs Test إختبار الجريونستخدم لذلك

MTB > Runs 'RESI1'.

Runs Test RESI1 K = 0.3443

اليمكننا

The observed number of runs = 21 The expected number of runs = 19.0000 18 Observations above K 18 below The test is significant at 0.4989 Cannot reject at alpha = 0.05

0.05α رفض عشوائية البواقي عند =

:ترابط البواقي

إختبارونستخدم إختبار الترابط الذاتي لذلك

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

corr

elat

ion

ACF of Residuals for C1(with 95% confidence limits for the autocorrelations)

١٣٩

تظهر انماط تتمشي نالحظ انه سلسة ضجة بيضاءمع آونها مت

Normal Probability Plotواخيرا نختبر طبيعية البواقي بالـ

210-1-2

10

0

-10

Normal Score

Res

idua

l

Normal Probability Plot of the Residuals(response is C1)

وجد أي ترابط من أي درجة بين القيم المختلفة للبواقي أي انها ي ال

PACF of Residuals for C1

987654321

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Parti

al A

utoc

orre

latio

n

(with 95% confidence limits for the partial autocorrelations)

١٤٠

)نوعا ( وهو مقبول إذا يمكن إعتبار النموذج المقترح مناسبا

تنبؤ لها%95الرسم التالي للتنبؤات لخمسة قيم مستقبلية

MTB > TSPlot C14 C15 C16; SUBC> Index; SUBC> TDisplay 11; SUBC> Symbol; SUBC> Connect; SUBC> overlay.

:مثال آخر

وفترات

المشاهدات التالية لظاهرة عشوائية مسجلة علي شكل متسلسلة زمنية

908070605040302010

12

11

10

9

8

7

6

Index

C10

3530252015105

36

26

16

6

Time

C1

Time Series Plot for C1(with forecasts and their 95% confidence limits)

10.38 11.86 10.97 10.80 9.79 10.39 10.42 10.82 11.40 11.32 11.44 11.68 11.17 10.53 10.01 9.91 9.14 9.16 9.55 9.67 8.44 8.24 9.10 9.09 9.35 8.82 9.32 9.01 9.00 9.80 9.83 9.72 9.89 10.01 9.37 8.69 8.19 8.67 9.55 8.92 8.09 9.37 10.13 10.14 9.51 9.24 8.66 8.86 8.05 7.79 6.75 6.75 7.82 8.64 10.58 9.48 7.38 6.90 6.94 6.24 6.84 6.85 6.90 7.79 8.18 7.51 7.23 8.42 9.61 9.05 9.26 9.22 9.38 9.10 7.95 8.12 9.75 10.85 10.41 9.96 9.61 8.76 8.18 7.21 7.13 9.10 8.25 7.91 6.89 5.96 6.80 7.68 8.38 8.52 9.74 9.31 9.89 9.96

MTB > TSPlot C10; SUBC> Index; SUBC> TDisplay 11; SUBC> Symbol; SUBC> Connect.

١٤١

نفحص دوال الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي

)نالحظ ان األنماط تقترح نموذج إنحدار ذاتي من الد

22122

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Auto

corre

latio

n

LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag

203.24198.12194.02

192.63192.60192.26191.91191.78191.78191.63

191.39191.19191.09190.87189.86186.14178.83

171.23163.68155.04143.87129.56107.90 69.92

0.89 0.81 0.47

0.07-0.24-0.24-0.15 0.02 0.16 0.21

0.19 0.13 0.20 0.43 0.84 1.21 1.26

1.28 1.40 1.65 1.95 2.56 3.91 8.24

0.20 0.18 0.10

0.01-0.05-0.05-0.03 0.00 0.04 0.05

0.04 0.03 0.04 0.09 0.18 0.26 0.26

0.26 0.28 0.33 0.37 0.46 0.61 0.83

242322

21201918171615

1413121110 9 8

7 6 5 4 3 2 1

Autocorrelation Function for C10

22122

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Parti

al A

utoc

orre

latio

n

TPACLagTPACLagTPACLagTPACLag

-0.65 0.59 0.51

2.03 0.20 0.60-0.26-0.73-0.25-0.15

0.34 0.12 0.09 0.19-1.98 0.03 0.45

0.91-0.21 0.61 0.34 1.29-2.64 8.24

-0.07 0.06 0.05

0.21 0.02 0.06-0.03-0.07-0.03-0.01

0.03 0.01 0.01 0.02-0.20 0.00 0.05

0.09-0.02 0.06 0.03 0.13-0.27 0.83

242322

21201918171615

1413121110 9 8

7 6 5 4 3 2 1

Partial Autocorrelation Function for C10

2AR(رجة الثانية نطبق النموذج المقترح

MTB > Name c17 = 'RESI1' MTB > ARIMA 2 0 0 C10 'RESI1'; SUBC> Constant;

SUBC> Forecast 5 c14 c15 c16; SUBC> GSeries; SUBC> GACF; SUBC> GPACF; SUBC> GNormalplot.

ARIMA Model ARIMA model for C10 Estimates at each iteration Iteration SSE Parameters 0 126.398 0.100 0.100 7.283 1 103.515 0.250 0.043 6.434 2 84.535 0.400 -0.014 5.586 3 69.407 0.550 -0.071 4.738 4 58.132 0.700 -0.128 3.887 5 50.724 0.850 -0.184 3.030 6 47.212 1.000 -0.239 2.163 7 46.918 1.053 -0.256 1.838 8 46.916 1.054 -0.255 1.816 9 46.916 1.054 -0.255 1.814 10 46.916 1.054 -0.255 1.814 Relative change in each estimate less than 0.0010 Final Estimates of Parameters Type Coef StDev T AR 1 1.0542 0.0992 10.63 AR 2 -0.2547 0.0993 -2.56 Constant 1.81360 0.07092 25.57 Mean 9.0480 0.3538 Number of observations: 98 Residuals: SS = 46.7518 (backforecasts excluded) MS = 0.4921 DF = 95 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 7.2(DF=10) 13.7(DF=22) 21.3(DF=34) 28.8(DF=46) Forecasts from period 98 95 Percent Limits Period Forecast Lower Upper Actual 99 9.7950 8.4198 11.1703 100 9.6033 7.6050 11.6016 101 9.4432 7.1234 11.7629 102 9.3232 6.8446 11.8018 103 9.2375 6.6825 11.7925

النموذج المقترح هو

( )1 21.8136 1.0542 0.2547 , 0,0.4921t t t t tz z z a a WN− −= + − + t∀قيم لها هيtمقدرات المعالم وإنحرافاتها المعيارية و

( )( )

( )

1 1

2 2

2

ˆ ˆ1.0542 0.0992 10.63

ˆ ˆ0.2547 0.0993 2.56

ˆ ˆ1.8136 0.07092 25.57

ˆ 0.4921 95

se t

se t

se t

df

φ φ

φ φ

δ δ

σ

= = =

= − = = −

= = =

= =

ية عند معنو 0.05αنالحظ ان جميع المقدرات =

١٤٢

١٤٣

لكي نقبل بهذا النموذج علي انه مناسب للتنبؤ نجري إختبارات علي البواقيMTB > TTest 0.0 'RESI1'; SUBC> Alternative 0.

T-Test of the Mean Test of mu = 0.0000 vs mu not = 0.0000 Variable N Mean StDev SE Mean T P RESI1 98 -0.0082 0.6942 0.0701 -0.12 0.91

هي إحتمال ان الفرضية الصفرية P-Valueمالحظة الـ ( واضح جدا ان األختبار غير معنوي

)صحيحة نختبر عشوائية البواقي

MTB > Runs 'RESI1'. Runs Test RESI1 K = -0.0082 The observed number of runs = 47 The expected number of runs = 49.9184 47 Observations above K 51 below The test is significant at 0.5529 Cannot reject at alpha = 0.05

أي اليمكننا رفض فرضية عشوائية البواقي

بط الذاتي والترابط الذاتي الجزئينفحص الترا 24222018161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Auto

corr

elat

ion

ACF of Residuals for C10(with 95% confidence limits for the autocorrelations)

١٤٤

واضح جدا انماط الضجة البيضاء

يبقي فحص طبيعية البواقي

)ونستطيع انالرسم التالي

SUBC> Index;

SUBC> Symbol; SUBC> Connect; SUBC> overlay.

24222018161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Parti

al A

utoc

orre

latio

n

PACF of Residuals for C10(with 95% confidence limits for the partial autocorrelations)

) أي( نقول ان البواقي لها توزيع طبيعي )0,0.4921ta IIDN تنبؤ لها%95ة وفترات للتنبؤات لخمسة قيم مستقبلي

MTB > TSPlot C14 C15 C16;

SUBC> TDisplay 11;

3210-1-2-3

2

1

0

-1

-2

Normal Score

Res

idua

l

Normal Probability Plot of the Residuals(response is C10)

908070605040302010

12

11

10

9

8

7

6

C10

Time Series Plot for C10(with forecasts and their 95% confidence limits)

) نموذج طبق علي المشاهدات السابقة: تمرين )1ARئج وقارن بين النتا

١٤٥

١٤٦

١٤٧

الفصل الثامن تحليل البواقي ومعايير إختيار النموذج المناسبمثال على

Example on Residual Analysis and Model Selection Criteria :

ة لقد عرفنا سابقا البواقي علي انها القيم المشاهدة ناقص القيم المطبقة فمن مشاهدات معطا1 ونموذج مطبق ينتج 2ˆ ˆ ˆ, ,..., nz z zوتكتب البواقي :

nˆوالبواقي هي مقدرات , 1,2,...,i ia e i= ولهذا يجب ان تحقق =

:النموذج والتي منهاالشروط المفروضة علي األخطاء في هذا متوسط األخطاء يساوي الصفر -١وفي آثير من النماذج نفترض ان األخطاء ( األخطاء عشوائية و غير مترابطة أو مستقلة -٢

لها توزيع طبيعي مستقل ومتطابق بمتوسط

1 2, ,..., nz z z لدينا قيم مطبقةˆ , 1,2,...,i i ie z z i= − =

n األخطاء في النموذج أي

) أي 2σصفري وتباين )20,ta IIDN σ( ال وهو مجموعة من اإلختبارات علي البواقي لنري فيما إذا آانت تحقق هذه لهذا فإننا نجري تحلي

الشروط وفي هذه الحالة نعتبر النموذج المطبق مقبوال أما إذا فشل احد هذه اإلختبارات فيجب علينا إعادة النظر وإقتراح نموذج آخر

إختبار المتوسط: أوال

ونستخدم وهو إختبار بذيلين

( )( )

0

1

: 0

: 0t

t

H E a

H E a

=

≠

فية اإلحصائة ( )eu

se e والتي لها توزيع طبيعي قياسي فعند =

0.05( ) 0tE a = αمستوى معنوية 1.96u إذا آانت نعتبر ان = هذا علي إعتبار ان ( > ) متحقق للمتسلسالت الزمنية التي ندرسها وحدة وهذا دائما٣٠حجم العينة اآبر من

: مثال Metalsسوف نعود الي مثال تطبيق متوسط متحرك من الدرجة الثالثة علي المتغير

MTB > RETR 'E:\Mtbwin\DATA\EMPLOY.MTW'. Retrieving worksheet from file: E:\Mtbwin\DATA\EMPLOY.MTW Worksheet was saved on 6/ 5/1996 MTB > TSPlot 'Metals'; SUBC> Index; SUBC> TDisplay 11; SUBC> Symbol; SUBC> Connect.

MTB > Name c4 = 'AVER1' c5 = 'FITS1' c6 = 'RESI1'

605040302010

50

45

40

Index

Metals

١٤٨

MTB > %MA 'Metals' 3; SUBC> Averages 'AVER1'; SUBC> Fits 'FITS1'; SUBC> Residuals 'RESI1'. Executing from file: E:\MTBWIN\MACROS\MA.MAC

Moving average Data Metals Length 60.0000 NMissing 0 Moving Average Length: 3 Accuracy Measures MAPE: 1.55036 MAD: 0.70292 MSD: 0.76433

الحظ اننا خزنا البواقي في العمود السادس والقيم المطبقة في العمود الخامس MTB > print c3 c6 c5

Data Display Row Metals RESI1 FITS1 1 44.2 * * 2 44.3 * * 3 44.4 * * 4 43.4 -0.90000 44.3000 5 42.8 -1.23333 44.0333 6 44.3 0.76667 43.5333 7 44.4 0.90000 43.5000 8 44.8 0.96667 43.8333 9 44.4 -0.10000 44.5000

Actual

PredictedActual Predicted

6050403020100

50

45

40

Metals

Time

MSD:MAD:MAPE:

Length:Moving Average

0.764330.702921.55036

3

Moving Average

10 43.1 -1.43333 44.5333 11 42.6 -1.50000 44.1000 12 42.4 -0.96667 43.3667 13 42.2 -0.50000 42.7000 14 41.8 -0.60000 42.4000 15 40.1 -2.03333 42.1333 16 42.0 0.63333 41.3667 17 42.4 1.10000 41.3000 18 43.1 1.60000 41.5000 19 42.4 -0.10000 42.5000 20 43.1 0.46667 42.6333 21 43.2 0.33333 42.8667 22 42.8 -0.10000 42.9000 23 43.0 -0.03333 43.0333 24 42.8 -0.20000 43.0000 25 42.5 -0.36667 42.8667 26 42.6 -0.16667 42.7667 27 42.3 -0.33333 42.6333 28 42.9 0.43333 42.4667 29 43.6 1.00000 42.6000 30 44.7 1.76667 42.9333 31 44.5 0.76667 43.7333 32 45.0 0.73333 44.2667 33 44.8 0.06667 44.7333 34 44.9 0.13333 44.7667 35 45.2 0.30000 44.9000 36 45.2 0.23333 44.9667 37 45.0 -0.10000 45.1000 38 45.5 0.36667 45.1333 39 46.2 0.96667 45.2333 40 46.8 1.23333 45.5667 41 47.5 1.33333 46.1667 42 48.3 1.46667 46.8333 43 48.3 0.76667 47.5333 44 49.1 1.06667 48.0333 45 48.9 0.33333 48.5667 46 49.4 0.63333 48.7667 47 50.0 0.86667 49.1333 48 50.0 0.56667 49.4333 49 49.6 -0.20000 49.8000 50 49.9 0.03333 49.8667 51 49.6 -0.23333 49.8333 52 50.7 1.00000 49.7000 53 50.7 0.63333 50.0667 54 50.9 0.56667 50.3333 55 50.5 -0.26667 50.7667 56 51.2 0.50000 50.7000 57 50.7 -0.16667 50.8667 58 50.3 -0.50000 50.8000 59 49.2 -1.53333 50.7333 60 48.1 -1.96667 50.0667

اآلن نختبر متوسط البواقي

MTB > TTest 0.0 'RESI1'; SUBC> Alternative 0.

T-Test of the Mean

١٤٩

Test of mu = 0.000 vs mu not = 0.000

Variable N Mean StDev SE Mean T P RESI1 57 0.158 0.868 0.115 1.37 0.17

غير ) او التباين ( يستخدم برنامج عام عندما يكون اإلنحراف المعياري Minitabفي : مالحظة

أي ١٫٩٦ وهي اقل من ١٫٣٧=Tالحظ ان قيمة اإلحصائة هي . Ttestمعروف ويطلق عليه النرفض الفرضية الصفرية

صفر حول المتوسط وحول ال Runs testنختبر عشوائية البواقي بواسطة إختبار الجري : ثانيا :تابع المثال

MTB > Runs 'RESI1'.

Runs Test RESI1 K = 0.1579 The observed number of runs = 17 The expected number of runs = 29.4211 30 Observations above K 27 below The test is significant at 0.0009 MTB > Runs 0 'RESI1'.

Runs Test RESI1 K = 0.0000 The observed number of runs = 17 The expected number of runs = 28.7895 33 Observations above K 24 below The test is significant at 0.0013

تا الحالتين النرفض عشوائية البواقينالحظ انه في آل

Autocorrelation testنختبر ترابط أو إستقالل البواقي بواسطة إختبار الترابط الذاتي : ثالثا :تابع المثال

MTB > %ACF 'RESI1'. Executing from file: E:\MTBWIN\MACROS\ACF.MAC

١٥٠

١٥١

1 أي اننا ٤٫٢٤التخلف األول تساوي للترابط الذاتي عند Tالحظ ان الـ 0

1494

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Autoco

rrelatio

nLBQTCorrLagLBQTCorrLag

38.9938.9038.7135.6731.3625.2124.17

24.0722.7222.4222.4022.3222.3118.93

0.17 0.25 1.05 1.30 1.64 0.68-0.22

-0.81-0.38 0.11 0.21-0.06 1.39 4.24

0.03 0.05 0.20 0.24 0.29 0.12-0.04

-0.14-0.07 0.02 0.04-0.01 0.24 0.56

1413121110 9 8

7 6 5 4 3 2 1

Autocorrelation Function for RESI1

ρنرفض ان أي = يوجد ترابط بين البواقي من الدرجة االولى في اإلختبار

0 1

1 1

: 0: 0

HH

ρρ

=±

حيث اإلحصائة هي ( )1

1

4.24rse r

=

نختبر في ما إذا آانت البواقي موزعة طبيعيا: رابعا : التابع المث

MTB > %NormPlot 'RESI1'; SUBC> Kstest. Executing from file: E:\MTBWIN\MACROS\NormPlot.MAC

أي النرفض فرضية التوزيع ٠٫٠٥ وهي اآبر من ٠٫١٥ الناتجة تساوي P-Valueالحظ الـ 0.05

Approximate P-Value > 0.15D+: 0.054 D-: 0.084 D : 0.084

Kolmogorov-Smirnov Normality Test

N: 57StDev: 0.867525Average: 0.157895

10-1-2

.999

.99

.95

.80

.50

.20

.05

.01

.001

Probability

RESI1

Normal Probability Plot

αالطبيعي عند والذي يبين مدي Q-Q Plotعية هو الـ هناك ايضا إختبار آخر للطبي= تطابق مشاهدات ما مع توزيع معين

MTB > %Qqplot 'RESI1'; SUBC> Table; SUBC> Conf 95; SUBC> Ci. Executing from file: E:\MTBWIN\MACROS\Qqplot.MAC

١٥٢

Distribution Function Analysis Normal Dist. Parameter Estimates Data : RESI1 Mean: 0.157895 StDev: 0.867525

الحظ ان في آلتا الحالتين فإننا النرفض ان البواقي لها توزيع طبيعي

يبدو ان البواقي تحقق معظم الشروط فيما عدي الترابط الذي يوجد بين القيم : مالحظة اخيرةتطبيق لطريقة المتوسط المتحرك من الدرجة الثالثة حيث المتتالية وهذا يجعلنا نرفض جودة ال

.ادي الي بواقي مترابطة

2 1 0-1-2

99

95

90

80

70

605040

30

20

10

5

1

Data

Percen

t

StDev:Mean:

0.8675250.157895

Normal Probability Plot for RESI1

الفصل التاسع : Decomposition Methodتحليل او تفكيك المتسلسلة الي مرآبات

ينظر إلى المتلسلسة الزمنية على انها مكونة من عدة مرآبات أو اجزاء متحدة مع بعضها لتكوين سلة،هذه المتسل

1 المتسلسلة نفترض ان لدينال 2, ,..., nz z z. لقد وجد بالتجربة أنه يمكن نمذجتها على الشكل

مرآبة اإلنجراف وهي التي تنمذج اإلتجاه العام الذي Ttالمتسلسلة الزمنية المشاهدة و Ztحيث وهو ) إذا وجد(مرآبة موسمية وتنمذج التأثير الموسمي St المتسلسلة و تنحي أو تنجرف اليه

مرآبة Ctالتغير الذي يحدث للمتسلسلة نتيجة التأثيرات الموسمية مثل الشهرية والسنوية و Etو تنمذج منحى أو إتجاة يتكرر بعد فترات زمنية طويلة غير موسمية و ) إذا وجدت(دورية

يع العوامل االخرى التي تؤثر على المتسلسلة والتي اليمكن نمذجتها مرآبة الخطأ وتشمل جم Additiveالنموذج السابق يسمي بالنموذج اإلضافي . ضمنيا أو التي اليمكن مشاهدتها او قياسها

Modelهناك أشكال اخرى مثل. وذلك ألن آل المرآبات تدخل بشكل إضافي في النموذج n

.Multiplicative Modelsلتي تسمى بالنماذج التضاعفية واوذلك ألن المرآبة الدورية نادرا ماتكون tCفي هذا المستوى سوف نهمل المرآبة ال

موجودة في المتسلسالت القصيرة أو الطويلة نسبيا ألنها تحتاج الى مشاهدات طويلة جدا على .ن العقودمدي عدد آبير م

ونكتفي بالنماذج علي الشكل n

للمؤلفين FORECASTING: METHODS AND APPLICATIONSأنظر آتاب MAKRIDAKIS/ WHEELWRIGHT/ McGEE ١٤١-١٣١ ص

سوف نستعرض في المثال التالي طرق التحليل اإلضافية والتضاعفية بدون المرآبة الدورية أي

اذجالنمn

١٩٦٠ في مدينة اونتاريو بكندة من سنة البيانات التالية هي الطلب علي البنزين بماليين اللترات

١٩٧٥وحتى سنة GasDemand MONTHLY GASOLINE DEMAND ONTARIO GALLON MILLIONS 1960-1975 87695 86890 96442 98133 113615 123924 128924 134775 117357 114626 107677 108087 92188 88591 98683 99207 125485 124677 132543 140735 124008 121194 111634 111565 101007 94228 104255 106922 130621 125251 140318 146174 122318 128770 117518 115492 108497 100482 106140 118581 132371 132042 151938 150997 130931 137018 121271 123548 109894 106061 112539 125745 136251 140892 158390 148314 144148 140138 124075 136485 109895 109044 122499 124264 142296 150693 163331 165837 151731 142491 140229 140463 116963 118049 137869 127392 154166 160227 165869 173522 155828 153771 143963 143898 124046 121260 138870 129782 162312 167211 172897 189689 166496 160754 155582 145936 139625 137361 138963 155301 172026 165004 185861 190270 163903 174270 160272 165614 146182 137728 148932 156751 177998 174559 198079 189073 175702 180097 155202 174508

ه المشاهدالزمنية

, 1,2,...,t t t t tz T S C E t n= + + + =

, 1,2,...,, 1,2,...,

t t t t t

t t t t t

z T S C E tz T S C E t n= + + == + =

دورية

, 1,2,...,, 1,2,...,

t t t t

t t t t

z T S E tz T S E t n= + + == + =

, 1,2,...,, 1,2,...,

t t t t

t t t t

z T S E tz T S E t n= + + == + =

١٥٣

١٥٤

154277 144998 159644 168646 166273 190176 205541 193657 182617 189614 174176 184416 158167 156261 176353 175720 193939 201269 218960 209861 198688 190474 194502 190755 166286 170699 181468 174241 210802 212262 218099 229001 203200 212557 197095 193693 188992 175347 196265 203526 227443 233038 234119 255133 216478 232868 221616 209893 194784 189756 193522 212870 248565 221532 252642 255007 206826 233231 212678 217173 199024 191813 195997 208684 244113 243108 255918 244642 237579 237579 217775 227621

أوال نرسم المتسلسلة في مخطط زمنيMTB > TSPlot 'GasDemand'; SUBC> Index; SUBC> TDisplay 11; SUBC> Symbol; SUBC> Connect.

SUBC> Additive ; SUBC> Forecasts 24; SUBC> Title "Forecast of Gasoline Demand"; SUBC> Start 1.

Time Series Decomposition Data GasDeman Length 192.000 NMissing 0

Trend Line Equation Yt = 96.4074 + 0.680579*t Seasonal Indices Period Index 1 -20.5625 2 -26.8125 3 -14.8958 4 -11.0625 5 9.89583 6 11.8958 7 22.7708 8 25.1875 9 5.64583 10 7.27083 11 -4.81250 12 -4.52083

نالحظ ان المتسلسلة الزمنية موسمية ومنجرفة الى االعلى , :تطبيق النموذج اإلضافي: اوال 1,2,...,t t t tz T S E t n= + + =

MTB > %Decomp 'GasDemand' 12;

15010050

250

200

150

100

Index

Gas

Dem

and

١٥٥

Accuracy of Model MAPE: 3.6952 MAD: 5.6622 MSD: 52.7851 Forecasts

11 203 229.753 12 204 230.725 13 205 215.364 14 206 209.794 15 207 222.391 16 208 226.905 17 209 248.544 18 210 251.225 19 211 262.780 20 212 265.878 21 213 247.017 22 214 249.322 23 215 237.919 24 216 238.892

)١(شكل

121110987654321

30

20

10

0-10

-20

-30

Seasonal Indices

121110987654321

10

5

0

Percent Variation, by Seasonal Period

121110987654321

250

200

150

100

Original Data, by Seasonal Period

121110987654321

30

20

10

0

-10

-20

-30

Residuals, by Seasonal Period

Forecast of Gasoline Demand

Row Period Forecast

1 193 207.197 2 194 201.627 3 195 214.225 4 196 218.738 5 197 240.377 6 198 243.058 7 199 254.614 8 200 257.711 9 201 238.850 10 202 241.155

١٥٦

)٢(شكل

)٣(شكل :قشة النتائجمنا

2001000

250

200

150

100

Original Data

2001000

250

200

150

100

Seasonally Adjusted Data

2001000

5040302010

0-10-20-30-40

Detrended Data

2001000

30

20

10

0

-10

-20

-30

Seasonally Adj. and Detrended Data

Forecast of Gasoline Demand

Actual

Predicted

Forecast Actual PredictedForecast

2001000

250

200

150

100

Time

Gas

Dem

an

MSD:MAD:MAPE:

52.7851 5.6622 3.6952

Forecast of Gasoline Demand

، فالشكل األعلى من اليسار يبين Seasonal Indices يوضح المؤشرات الموسمية )١(شكل

يحدث نقص ٤ و ٣ و ٢ و ١ و ١٢ و ١١تأثرالطلب في األشهر المختلفة من السنة ففي األشهر ثم يتزايد حتى يصبح ٢في الطلب إذ يتناقص تدريجيا حتى يصل إلى أقل معدل له في الشهر

ثم ينقص بشكل آبير ٨ ويتزايد حتى يصل اقصى قيمة موجبة في الشهر ٥وجبا في الشهر م للمشاهدات األصلية موزعة Box Plotالشكل األعلى من اليمين يعطي رسم الصندوق . بعدئذ

. Out Liersعلى األشهر وهو يوضح توزيع وإنتشار المشاهدات على آل شهر والقيم الخارجة الشكل ). األشهر(اليسار يعطي التغير النسبي المئوي على الفترات الموسمية الشكل األسفل من

.األسفل األيمن يعطي رسم الصندوق للبواقي أو األخطاء موزعة على األشهر الشكل األعلى من اليمين يعطي المشاهدات األصلية، الشكل األعلى من اليسار يعطي )٢(شكل

أيالمشاهدات بعد إزاحة مرآبة اإلنجراف n, 1,2,...,

= , 1,2,...,t t t

t t

w z T tS E t n= − =

+ =

الشكل األسفل من اليسار يعطي المشاهدات األصلية بعد إزاحة المرآبة الموسمية أيn

أو البواقي بعد إزاحة مرآبتي اإلنجراف Etالشكل األسفل األيمن يعطي مرآبة الخطأ والموسمية من المشاهدات األصلية أي

n

. المستقبلية مع مقاييس دقة التطبيق٢٤يعطي التنبؤات للقيم ) ٣(شكل

, 1,2,..., = , 1,2,...,

t t t

t t

y z S tT E t n= − =

+ =

, 1,2,..., = , 1,2,...,

t t t t

t

e z T S tE t n

= − − ==

,n :التضاعفينموذج التطبيق : ثانيا 1,2,...,t t t tz T S E t= + = MTB > %Decomp 'GasDemand' 12; SUBC> Forecasts 24; SUBC> Title "Forecast of Gasoline Demand"; SUBC> Start 1. Executing from file: D:\MTBWIN\MACROS\Decomp.MAC Macro is running ... please wait

Time Series Decomposition

Data GasDeman Length 192.000 NMissing 0 Trend Line Equation Yt = 96.4074 + 0.680579*t Seasonal Indices Period Index

1 0.860355 2 0.828555 3 0.892431 4 0.936273 5 1.06124 6 1.07274 7 1.15775 8 1.17075 9 1.03409 10 1.05059 11 0.966300 12 0.968923 Accuracy of Model MAPE: 3.6338 MAD: 5.7720 MSD: 56.8996 Forecasts Row Period Forecast 1 193 195.954 2 194 189.275

١٥٧

١٥٨

3 195 204.474 4 196 215.156 5 197 244.596 6 198 247.977 7 199 268.415 8 200 272.227 9 201 241.154 10 202 245.718 11 203 226.660 12 204 227.935 13 205 202.980 14 206 196.042 15 207 211.762 16 208 222.803 17 209 253.263 18 210 256.738 19 211 277.870 20 212 281.789 21 213 249.599 22 214 254.298 23 215 234.552 24 216 235.848

)٤(شكل

)٥(شكل

2001000

250

200

150

100

Original Data

240220200180160140120

Seasonally Adjusted Data

2001000

1.3

1.2

1.1

1.0

0.9

0.8

Detrended Data

20

10

0

-10

-20

Seasonally Adj. and Detrended Data

Forecast of Gasoline Demand

121110987654321

1.2

1.1

1.0

0.9

0.8

Seasonal Indices

121110987654321

14121086420

Percent Variation, by Seasonal Period

121110987654321

250

200

150

100

Original Data, by Seasonal Period

121110987654321

20

10

0

-10

-20

-30

Residuals, by Seasonal Period

Forecast of Gasoline Demand

١٥٩

)٦(شكل

:مناقشة النتائج ).٣(و ) ٢(و ) ١(نفس التفسير آما في األشكال لها ) ٦(و ) ٥(و ) ٤(األشكال

بما اننا طبقنا نموذجين على المتسلسلة المشاهدة فيجب أن نختار افضل نموذج، وهنا يأتي دور :مقاييس دقة التطبيق والتي تنتج من البرنامج، لدينا ثالثة مقاييس دقة

MAPE أو Mean Absolute Percentage Error متوسط الخطأ النسبي المطلق -١ ويعطى بالعالقة

Actual

Predicted

Forecast Actual PredictedForecast

2001000

280

180

80

Time

Gas

Dem

an

MSD:MAD:MAPE:

56.8996 5.7720 3.6338

Forecast of Gasoline Demand

1

ˆ

100, 0

nt t

t tt

z zz

MAPE zn

=

−

= ×∑

≠

ويعطى بالعالقةMAD أو Mean Absolute Deviation متوسط اإلنحراف المطلق -٢

1

ˆn

t tt

z zMAD

n=

−=∑

ويعطى بالعالقة ) MSEأو (MSD) أو متوسط الخطأ المربع( متوسط أإلنحراف المربع -٣

( )2

1

ˆn

t tt

z zMSD

n=

−=∑

بإختيار أحد هذة المقاييس نختار النموذج الذي يعطي أقل قيمة لهذا المقياس، المقياس األآثر . وهو الذي سوف هناMSE أو MSDإستخداما وشيوعا هو

: للنموذج اإلضافي مقاييس الدقة هي

MAPE: 3.6952

١٦٠

MAD: 5.6622 MSD: 52.7851

: و للنموذج التضاعفيMAPE: 3.6338 MAD: 5.7720 MSD: 56.8996

ولذلك نقرر إستخدام هذا النموذج MSDنالحظ أن النموذج اإلضافي اعطى اقل قيمة للمقياس .للتنبؤ عن القيم المستقبلية لمتسلسلة الطلب

Decompositionتحليل او تفكيك المتسلسلة الي مرآبات توضيح طريقة Method :

البيانات التالية إنتاج . وضح بالمثال التالي طريقة تحليل أو تفكيك المتسلسلة إلى مرآباتسوف ن يوما للحليب في أحد المزارع بالكيلو جرام١٦٨

MTB > Read "E:\Mtbwin\milk.dat" c1. Entering data from file: E:\Mtbwin\milk.dat 168 rows read. MTB > name c1='MilkProd' MTB > print c1

Data Display MilkProd 589 561 640 656 727 697 640 599 568 577 553 582 600 566 653 673 742 716 660 617 583 587 565 598 628 618 688 705 770 736 678 639 604 611 594 634 658 622 709 722 782 756 702 653 615 621 602 635 677 635 736 755 811 798 735 697 661 667 645 688 713 667 762 784 837 817 767 722 681 687 660 698 717 696 775 796 858 826 783 740 701 706 677 711 734 690 785 805 871 845 801 764 725 723 690 734 750 707 807 824 886 859 819 783 740 747 711 751 804 756 860 878 942 913 869 834 790 800 763 800 826 799 890 900 961 935 894 855 809 810 766 805 821 773 883 898 957 924 881 837 784 791 760 802 828 778 889 902 969 947 908 867 815 812 773 813 834 782 892 903 966 937 896 858 817 827 797 843

:وامرألونرسم البيانات السابقة باMTB > TSPlot 'MilkProd'; SUBC> Index; SUBC> TDisplay 11; SUBC> Symbol; SUBC> Connect.

15010050

1000

900

800

700

600

Index

Milk

Prod

١٦١

:تطبيق النموذج اإلضافي: اوالnz, 1,2,...,t t t tz T S E t= + + لكي =

: ممكنةتينقينقوم بتفكيك هذه المتسلسلة الزمنية الي المرآبات السابقة سوف نستعرض طر :الطريقة االولي

: أيtTنطبق إنحدار خطي بسيط للمشاهدات علي الزمن لتقدير مرآبة االنجراف -١

:أيMTB > set c2 DATA> 1:168 DATA> end MTB > name c1='MilkProd' c2='Time' c3='Trend' c5='Detrend' c6='Index' c8='Fitted' c9='Resid' MTB > regr c1 1 c2; SUBC> fits c3.

Regression Analysis The regression equation is MilkProd = 612 + 1.69 Time Predictor Coef StDev T P Constant 611.682 9.414 64.97 0.000 Time 1.69262 0.09663 17.52 0.000 S = 60.74 R-Sq = 64.9% R-Sq(adj) = 64.7%

Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 1 1132003 1132003 306.83 0.000 Error 166 612439 3689 Total 167 1744443

وشكل اإلنجراف هو نطرح مرآبة اإلنجراف من المشاهدات االصلية فنحصل علي مايسمي بالمتسلسلة مزالة -٢

ˆˆ , 1,2,...,1t t t tz z z T t− = − = MTB > let c5=c1-c3

:ولها الشكل التالي

1لمشاهدات 2, ,...,z zالشكل نكتب النموذج على n

ˆ ˆ , 1,2,...,168t tT z a bt t≡ = + =

15010050

900

800

700

600

Index

Tren

d

68 أي Detrended Seriesاإلنجراف

١٦٢

ˆ , 1,2,...,1t t t tz T S E t− = + = : آالتالي Seasonal Indicesلتقدير المرآبة الموسمية نوجد المؤشرات الموسمية -٣

,لنرمز للمؤش 1,2,...,12sI s

15010050

100

0

-100

Index

Det

rend

68نالحظ انها اصبحت موسمية فقط ألن

المؤشر الموسمي للشهر 1I حيث =رات الموسمية بالرمز 2األول ˆسمي المؤشر الموI و , 1,2,...,168t t td z T t= − =

:تقدر هذه المؤشرات آالتالي

للشهر الثاني وهكذا ولنرمز بـ

( )

( )

( )

1 1 13 25 157

2 2 14 26 158

12 12 24 36 168

1141

14

114

I d d d d

I d d d d

I d d d d

= + + + +

= + + + +

= + + + +

L

L

M

L

:ويتم ذلك بإستخدام األوامر التالية

MTB > set c4 DATA> 14(1:12) DATA> end MTB > stat c5; SUBC> by c4; SUBC> mean c6. MTB > Stack 'Index' 'Index' 'Index' 'Index' 'Index' 'Index' 'Index' & CONT> 'Index' 'Index' 'Index' 'Index' 'Index' 'Index' 'Index' c7. MTB > let c8=c3+c7 MTB > let c9=c1-c8 MTB > set c10 DATA> 1:12 DATA> end MTB > print c10 c6

Data Display

Row Season Index 1 1 -18.328 2 2 -57.806 3 3 34.716 4 4 49.595 5 5 110.616 6 6 82.281 7 7 32.517 8 8 -9.747 9 9 -52.297 10 10 -48.775 11 11 -79.754 12 12 -43.018

:التنبؤات تولد آالتالي -٤

هو ١٦٩فمثال التنبؤ عند اليوم ( ) ( ) ( )168 mod 12612 1.69 168 , 1,2,...z I= + + + =

ll l l

( ) ( )( )

168 11 612 1.69 169

=897.61 18.328 879.282

z I= + +

+ − =

:الطريقة الثانية :Minitabوهي التي يستخدمها برنامج

ي الزمن لتقدير مرآبة االنجراف نطبق إنحدار خطي بسيط للمشاهدات علآالطريقة االولى -١ )١(فنحصل على نفس النتيجة آما في الطريقة االولى

نطرح مرآبة اإلنجراف من المشاهدات االصلية فنحصل علي المتسلسلة مزالة ايضا هنا -٢ Detrended Seriesاإلنجراف

ا احتاج االمر نطبق اآلن متوسط متحرك من درجة الموسم ونوسطه اذ -٣ نطرح المتوسطات المتحرآة من نظيراتها في المتسلسلة مزالة اإلنجراف فنحصل علي -٤

متسلسلة تحوي المرآبات الموسمية :تقدر المرآبات الموسمية آالتالي -٥

tT

( )( )

( )

1 1 13 25 157

2 2 14 26 158

12 12 24 36 168

, , , ,

, , , ,

, , , ,

I Median d d d d

I Median d d d d

I Median d d d d

=

=

=

L

L

M

L

تولد التنبؤات آالسابق -٦ :وسوف نستعرض هذا آالتالي

MTB > Read "E:\Mtbwin\milk.dat" c1. Entering data from file: E:\Mtbwin\milk.dat 168 rows read. MTB > name c1='MilkProd' MTB > set c2 DATA> 1:168 DATA> end MTB > name c2='Time' MTB > regr c1 1 c2; SUBC> fits c3.

Regression Analysis

١٦٣

The regression equation is MilkProd = 612 + 1.69 Time Predictor Coef StDev T P Constant 611.682 9.414 64.97 0.000 Time 1.69262 0.09663 17.52 0.000 S = 60.74 R-Sq = 64.9% R-Sq(adj) = 64.7% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 1 1132003 1132003 306.83 0.000 Error 166 612439 3689 Total 167 1744443 Unusual Observations Obs Time MilkProd Fit StDev Fit Residual St Resid 113 113 942.00 802.95 5.44 139.05 2.30R 125 125 961.00 823.26 6.11 137.74 2.28R R denotes an observation with a large standardized residual MTB > name c3='Trend' MTB > let c4=c1-c3 MTB > name c4='Detrend' MTB > Name c5 = 'AVER1'

: ونوسطه١٢في الخطوة التالية نطبق متوسط متحرك من الدرجة MTB > %MA 'Detrend' 12; SUBC> Center; SUBC> Averages 'AVER1'. Executing from file: E:\MTBWIN\MACROS\MA.MAC Macro is running ... please wait

Moving average Data Detrend Length 168.000 NMissing 0 Moving Average Length: 12 Accuracy Measures MAPE: 111.68 MAD: 52.36 MSD: 3564.77

لسلة المزال إنجرافها نطرح المتوسطات المتحرآة الموسطة من المتس

MTB > let c6=c4-c5 MTB > name c6='DeSeason' MTB > set c2 DATA> 14(1:12) DATA> end MTB > stat c6; SUBC> by c2; SUBC> median c7. MTB > name c7='SeasInx' Data Display Row Season SeasInx

١٦٤

1 1 -20.750 2 2 -58.958 3 3 35.625 4 4 50.083 5 5 109.542 6 6 81.292 7 7 33.917 8 8 -10.000 9 9 -52.792 10 10 -50.250 11 11 -79.958 12 12 -44.375

:اجريناها مع البرنامج األصلينقارن الحسابات التي

MTB > %Decomp 'MilkProd' 12; SUBC> Additive ; SUBC> Start 1. Executing from file: E:\MTBWIN\MACROS\Decomp.MAC Macro is running ... please wait

Time Series Decomposition Data MilkProd Length 168.000 NMissing 0 Trend Line Equation Yt = 611.682 + 1.69262*t

Seasonal Indices

Period Index 1 -20.1979 2 -58.4062 3 36.1771 4 50.6354 5 110.094 6 81.8437 7 34.4687 8 -9.44792 9 -52.2396 10 -49.6979 11 -79.4063 12 -43.8229 Accuracy of Model MAPE: 1.583 MAD: 12.088 MSD: 244.406

.وبمقارنة النتيجتين نجد انهما تقريبا متساويتان : آالتاليDecomp%سوف نولد تنبؤات باستخدام البرنامج

MTB > %Decomp 'MilkProd' 12; SUBC> Additive ; SUBC> Forecasts 12; SUBC> Start 1.

:والتي تعطي التنبؤاتForecasts

١٦٥

Row Period Forecast 1 169 877.54 2 170 841.02 3 171 937.30 4 172 953.45 5 173 1014.60 6 174 988.04 7 175 942.36 8 176 900.13 9 177 859.04 10 178 863.27 11 179 835.25 12 180 872.53

ولد تنبؤات إلنتاج الحليب اليومي بإستخدام الطريقتين المعطاة وقارنها بالقيم األخيرة : تمرين

الناتجة من البرنامج

١٦٦

الفصل العاشر Using Movingالتمهيد و التنبؤ بواسطة المتوسط المتحرك

Average Smoothing for Forecasting

هيد المشاهدات وذلك بتقليل تباين األخطاء فمثال لو آان لدينا يستخدم المتوسط المتحرك لتم1 2 3 2 1, , , , , ,n nz z z z z z− −K المتحرك من الدرجة المتوسطفm

من العالقة يحسبللمشاهداتnمشاهدات من متسلسلة زمنية

( )1 2 11ˆ , , 1,...,t t t t t mz z z z z t m mm − − − += + + + + = +L n

أو

( )11ˆ ˆ , , 1,...,t t t t mz z z z t m mm− −= + − = + n

1nالحظ ان عدد المشاهدات اصبح m −عد التمهيد ب +. فإن المتوسط المتحرك من الدرجة الثالثة هو٣=mفمثال لو آانت

( )

( ) ( )

( ) ( )

3 3 2 1

4 4 3 2 4 3 4 1

1 2 1

1ˆ31 1ˆ ˆ ˆ3 3

1 1ˆ ˆ ˆ3 3n n n n n n n n

z z z z

z z z z or z z z z

z z z z or z z z z− − − −

= + +

= + + = + −

= + + = + −

M

3

ولكي نرى آيف يعمل التمهيد لتقليل تباين األخطاء لنفترض ان المشاهدات تتبع النموذج( )2, 0, , 1,2,...,t t tz a a WN tµ σ= + = n

فيكون ( ) 2,tV z tσ= ∀

وبالتالي

( )2

ˆ , , 1,...,tV z t m m nmσ

= = +

ضعف من المشاهدات األصلية وهذا التمهيد mأي ان المشاهدات الممهدة اصبح تباينها أصغر بـ .لألخطاء يظهر أي نمط في المتسلسلة آان مدفونا او مغطى من تأثير األخطاء

. الممهدة دائما فردية وذلك لنتجنب توسيط القيمm تؤخذ :مالحظة

:التنبؤ بإستخدام المتوسط المتحرك :يؤخذ آمتنبئ للقيم المستقبلية المتوسط المتحرك

( ) 1ˆ , 0n nz z −= >l l

:مثال EMPLOY.MTWحمل البيانات من ورقة العمل نMINITABبإستخدام الحزمة األحصائية

MTB > Retrieve 'E:\Mtbwin\DATA\EMPLOY.MTW'.

ي من متغيراتننظر ماذا تحو MTB > info

١٦٧

١٦٨

Information on the Worksheet Column Count Name C1 60 Trade C2 60 Food C3 60 Metals

Metalsتغير مللسوف نستخدم المشاهدات Metals 44.2 44.3 44.4 43.4 42.8 44.3 44.4 44.8 44.4 43.1 42.6 42.4 42.2 41.8 40.1 42.0 42.4 43.1 42.4 43.1 43.2 42.8 43.0 42.8 42.5 42.6 42.3 42.9 43.6 44.7 44.5 45.0 44.8 44.9 45.2 45.2 45.0 45.5 46.2 46.8 47.5 48.3 48.3 49.1 48.9 49.4 50.0 50.0 49.6 49.9 49.6 50.7 50.7 50.9 50.5 51.2 50.7 50.3 49.2 48.1

:نرسم هذه المشاهدات

MTB > TSPlot 'Metals'; SUBC> Index; SUBC> TDisplay 11; SUBC> Symbol; SUBC> Connect.

ونوجد تنبؤات ٣=mنطبق اآلن تمهيدا لهذه المشاهدات بإستخدام المتوسط المتحرك من الدرجة : قيم مستقبليه٦لـ

MTB > %MA 'Metals' 3; SUBC> Forecasts 6; SUBC> Title "Smoothing and Forecasting Metals". Executing from file: E:\MTBWIN\MACROS\MA.MAC

Moving average Data Metals Length 60.0000 NMissing 0 Moving Average Length: 3 Accuracy Measures MAPE: 1.55036

605040302010

50

45

40

Index

Met

als

١٦٩

MAD: 0.70292 MSD: 0.76433 Row Period Forecast Lower Upper 1 61 49.2 47.4865 50.9135 2 62 49.2 47.4865 50.9135 3 63 49.2 47.4865 50.9135 4 64 49.2 47.4865 50.9135 5 65 49.2 47.4865 50.9135 6 66 49.2 47.4865 50.9135

مناقشة: ثانيا في المثال الحالي

النتائج

5950.3 49.2 48.1 147.6ˆ 49.2

3 3z + +

= = =

1تؤخذ التنبؤات للقيم الـ 2, ,...,n nz z z+ هذا المثال أو في+ :آالتالي+6n المستقبلية أي للقيم ٦

61 62 66, ,...,z z z ( ) ( ) ( )60 60 601 2 6 4z z z= = = =L 9.2

)لحساب ( نحسب الكميات%95فترات تنبؤ ˆ1.96 , 0nz σ± >⎡ ⎤⎣ ⎦l l أي [ ]ˆ49.2 1.96σ± 0.76433 لجميع قيم التنبؤات المستقبلية ، نأخذ القيمةMSD آمقدر لـ =

2σ 2 أيˆ 0.76433σ ˆ فيكون = 0.8743σ لجميع القيم %95 وعليه تكون فترة تنبؤ = :المستقبلية هي

( ) [ ] [ ]49.2 1.96 0.8743 49.2 1.7135 47.4865,50.9135± = ± =⎡ ⎤⎣ ⎦

:أي [ ]60 47.4865,50.9135 , 0 0.95z with probability+ ∈ >l l

آاآلتيMSDتحسب : ةمالحظ

Actual

Predicted

Forecast Actual PredictedForecast

6050403020100

50

45

40

Met

als

Time

MSD:MAD:MAPE:

Length:Moving Average

0.764330.702921.55036

3

Smoothing and Forecasting Metals

( )1

2 2

ˆˆ

2

n

i ii

z zMSD

nσ

−

=

−= =

−

∑

:تمرين

علي المشاهدات السابقة وقرر ايها افضل للتنبؤ ٧ و ٥طبق متوسطات متحرآة من الدرجات .عن القيم المستقبلية؟

Running Medianالوسيط الجاري ة فالقيمة المتطرفة او المتطرفOutliersالمتوسط المتحرك يتأثر آثيرا بالمشاهدات الخارجة

من المتوسطات المتحرآة المتتالية فمثال لوآانت لدين المشاهدات mالواحدة تؤثر علي z(t) 5 7 3 8 9 6 10 12 1500 11 15 13 18 20

ولها الشكل

1 05

1 5 0 0

1 0 0 0

5 0 0

0

In d e x

z(t)

نجد٣بأخذ متوسط متحرك من الدرجة

A c tu a l

P r e d ic te dA c tu a l P r e d ic te d

1 51 050

1 5 0 0

1 0 0 0

5 0 0

0

z(t)

T im e

M S D :M A D :M A P E :

L e n g th :M o v in g A v e r a g e

2 6 8 8 1 1 2 7 3

1 0 8 1

3

M o v in g A v e ra g e

.ناتج تأثرت فية ثالثة قيم بالقيمة المتطرفةالحظ ان المتوسط المتحرك ال

للتغلب على مثل هذه الصعوبات يستخدم الوسيط الجاري ذا الطول الفردي آممهد غير خطي . والذي اليتأثر باقيم المتطرفة2 الفرديالوسيط الجاري ذا الطول 1j i= n1 لمشاهدات+ 2 3 2 1, , , , , ,n nz z z z z z− −K يحسب

العالقةمن( ),..., ,..., , 2 1t t i t t iz med z z z j i− += =% +

١٧٠

3jفمثال لقيمة ) تصبح العالقة = )1 1, ,t t t tz med z z z− ٣ وبأخذ وسيط جاري ذا الطول %=+ للمشاهدات السابقة نجد

1 21 08642

1 5

1 0

5

In d e x

smoo

thz(

t)

الحقيقية لها الشكل التالي فإن المشاهدات ١٥٠٠ وليس ١٥ هي 9zواذا آانت القيمة الحقيقية لـ

105

20

15

10

5

Index

z(t)

.قارن بين النتيجتين

١٧١

١٧٢

الفصل الحادي عشر Using Singleالتمهيد و التنبؤ بواسطة التمهيد االسي البسيط

Exponential Smoothing for Forecasting : التمهيد بواسطة المتوسط المتحرك يعطي جميع البيانات نفس األهمية وبالتالي فإن القيم القديمة

نوعا تؤثر نفس التأثير آالقيم الحديثة وهذا قد اليكون من الناحية العملية صحيحا، التمهيد االسي على العكس يعطي القيم األآثر

فمثال لو آان لدينا . حداثة أهمية أآبر والقيم االخري تعطى اهمية تتناقص اسيا مع قدمها1مشاهدات من متسلسلة زمنية 2 3 2 1, , , , , ,n n nz z z z z z− −K المتحرك من الدرجة المتوسطفm

من العالقة يحسبللمشاهدات

( )1 2 11ˆ , , 1,...,t t t t t mz z z z z t m m nm − − − += + + + + = +L

والتي يمكن آتابتها

1 2 1

1 2 1

1 1 1 1ˆ , , 1,...,

1ˆ , , 1,..., ,

t t t t t m

t t t t t m

z z z z z t m m nm m m m

z z z z z t m m nm

β β β β β

− − − +

− − − +

= + + + + = +

= + + + + = + =

L

L

βأي ان المتوسط المتحرك يعطي جميع البيانات نفس الوزن آالتاليnz بعد المشاهدات عن القيمة الحاضرة اآلن لو أعطينا البيانات اوزان تتناقص اسيا مع

( ) ( )21 21 1 , 1,2,..., , 0 1t t t ts z z z t nα α α α α α− −= + − + − + = < <L

هي متوسط موزون بأوزان تتناقص اسيا لجميع القيم السابقة وهذا مايسمى بالتمهيد tsالقيمة االسي البسيط ويكتب بشكل تكراري

( ) 1 01 , 1,2,..., ,t t ts z s t n s zα α −= + − = = وتؤخذ التنبؤات

( ) , 1n nz s= ≥l l

:مثال

EMPLOY.MTWتحمل البيانات من ورقة العمل MTB > Retrieve 'E:\Mtbwin\DATA\EMPLOY.MTW'.

Metalsسوف نستخدم المشاهدات في التغير Metals 44.2 44.3 44.4 43.4 42.8 44.3 44.4 44.8 44.4 43.1 42.6 42.4 42.2 41.8 40.1 42.0 42.4 43.1 42.4 43.1 43.2 42.8 43.0 42.8 42.5 42.6 42.3 42.9 43.6 44.7 44.5 45.0 44.8 44.9 45.2 45.2 45.0 45.5 46.2 46.8 47.5 48.3 48.3 49.1 48.9 49.4 50.0 50.0 49.6 49.9 49.6 50.7 50.7 50.9 50.5 51.2 50.7 50.3 49.2 48.1

:نرسم هذه المشاهداتMTB > TSPlot 'Metals'; SUBC> Index; SUBC> TDisplay 11; SUBC> Symbol;

١٧٣

SUBC> Connect.

0.2α ثابت تمهيد نطبق اآلن تمهيدا لهذه المشاهدات بإستخدام التمهيد االسي البسيط ونأخذ = :تقبليه قيم مس٦ونوجد تنبؤات لـ

MTB > %SES 'Metals'; SUBC> Weight 0.2; SUBC> Forecasts 6; SUBC> Title "Smoothing and Forecasting Metals"; SUBC> Initial 6. Single Exponential Smoothing Data Metals Length 60.0000 NMissing 0 Smoothing Constant Alpha: 0.2 Accuracy Measures MAPE: 2.17304 MAD: 1.00189 MSD: 1.45392 Row Period Forecast Lower Upper 1 61 49.7216 47.2670 52.1763 2 62 49.7216 47.2670 52.1763 3 63 49.7216 47.2670 52.1763 4 64 49.7216 47.2670 52.1763 5 65 49.7216 47.2670 52.1763 6 66 49.7216 47.2670 52.1763

605040302010

50

45

40

Index

Metals

Actual

Predicted

Forecast Actual PredictedForecast

6050403020100

50

45

40

Metals

Time

MSD:MAD:MAPE:

Alpha:Smoothing Constant

1.453921.001892.17304

0.200

Smoothing and Forecasting Metals

١٧٤

مناقشة النتائج: ثانيا1يحسب التمهيد االسي البسيط لمشاهدات -١ 2 1 2, , , ,n nz z z z− −K 0.2 بثابت تمهيدα =

:من العالقة التكرارية( ) 11 , 1,2,...,i i is z s i nα α −= + − =

والتي تحسب 0sلكي نبدأ العالقة التكرارية لحساب القيم الممهدة اسيا نحتاج الي القيمة االولية مساوية للمتوسط 0sبعدة طرق، أحد هذه الطرق والتي سنستخدمها هي وضع

( )10 , 6 or n, if n<6

m

ii

zs m

m== =∑

ففي مثالنا

044.2 44.3 44.4 43.4 42.8 44.3 43.9

6s + + + + += =

وبالتالي يكون ( ) ( ) ( )1 1 01 0.2 44.2 0.8 43.9 8.84 35.12 43.96s z sα α= + − = + = + =

( ) ( ) ( )2 2 11 0.2 44.3 0.8 43.96 8.86 35.168 44.028s z sα α= + − = + = + = :وهكذا نستمر حتي آخر مشاهدة فينتج التالي

Time Metals SMOO1 FITS1 RESI1 1 44.2 43.9600 43.9000 0.30000 2 44.3 44.0280 43.9600 0.34000 3 44.4 44.1024 44.0280 0.37200 4 43.4 43.9619 44.1024 -0.70240 5 42.8 43.7295 43.9619 -1.16192 6 44.3 43.8436 43.7295 0.57046 7 44.4 43.9549 43.8436 0.55637 8 44.8 44.1239 43.9549 0.84510 9 44.4 44.1791 44.1239 0.27608 10 43.1 43.9633 44.1791 -1.07914 11 42.6 43.6906 43.9633 -1.36331 12 42.4 43.4325 43.6906 -1.29065 13 42.2 43.1860 43.4325 -1.23252 14 41.8 42.9088 43.1860 -1.38601 15 40.1 42.3470 42.9088 -2.80881 16 42.0 42.2776 42.3470 -0.34705 17 42.4 42.3021 42.2776 0.12236 18 43.1 42.4617 42.3021 0.79789 19 42.4 42.4494 42.4617 -0.06169 20 43.1 42.5795 42.4494 0.65065 21 43.2 42.7036 42.5795 0.62052 22 42.8 42.7229 42.7036 0.09642 23 43.0 42.7783 42.7229 0.27713 24 42.8 42.7826 42.7783 0.02171 25 42.5 42.7261 42.7826 -0.28264 26 42.6 42.7009 42.7261 -0.12611 27 42.3 42.6207 42.7009 -0.40089 28 42.9 42.6766 42.6207 0.27929 29 43.6 42.8613 42.6766 0.92343 30 44.7 43.2290 42.8613 1.83875 31 44.5 43.4832 43.2290 1.27100 32 45.0 43.7866 43.4832 1.51680 33 44.8 43.9892 43.7866 1.01344 34 44.9 44.1714 43.9892 0.91075 35 45.2 44.3771 44.1714 1.02860

١٧٥

36 45.2 44.5417 44.3771 0.82288 37 45.0 44.6334 44.5417 0.45830 38 45.5 44.8067 44.6334 0.86664 39 46.2 45.0853 44.8067 1.39331 40 46.8 45.4283 45.0853 1.71465 41 47.5 45.8426 45.4283 2.07172 42 48.3 46.3341 45.8426 2.45738 43 48.3 46.7273 46.3341 1.96590 44 49.1 47.2018 46.7273 2.37272 45 48.9 47.5415 47.2018 1.69818 46 49.4 47.9132 47.5415 1.85854 47 50.0 48.3305 47.9132 2.08683 48 50.0 48.6644 48.3305 1.66947 49 49.6 48.8515 48.6644 0.93557 50 49.9 49.0612 48.8515 1.04846 51 49.6 49.1690 49.0612 0.53877 52 50.7 49.4752 49.1690 1.53101 53 50.7 49.7202 49.4752 1.22481 54 50.9 49.9561 49.7202 1.17985 55 50.5 50.0649 49.9561 0.54388 56 51.2 50.2919 50.0649 1.13510 57 50.7 50.3735 50.2919 0.40808 58 50.3 50.3588 50.3735 -0.07353 59 49.2 50.1271 50.3588 -1.15883 60 48.1 49.7216 50.1271 -2.02706

, يحوى القيم الممهدة أي SMOO١العمود الرابع 1,2,...,60is i FITS١العمود الخامس =

ˆ1يحوى القيم المطبقة أي , 1,2,...,60i iz s i−= يحوي األخطاء RESI١ العمود الخامس=ˆأي ) Residualsالبواقي ( , 1,2,...,60i i ie z z i= − = : يؤخذ آمتنبئ للقيم المستقبلية آخر قيمة ممهدة أي-٢

( ) , 0n nz s= >l l ففي المثال الحالي

( )60 49.7216, 0z = >l l 1 المستقبلية أي للقيم ٦تؤخذ التنبؤات للقيم الـ 2 6, ,...,n n nz z z+ + أو في هذا المثال +

61 62 66, ,...,z z zآالتالي : ( ) ( ) ( )60 60 601 2 6 49.7216z z z= = = =L

) نحسب الكميات%95 لحساب فترات تنبؤ-٣ ) ˆ1.96 , 0nz σ± >⎡ ⎤⎣ ⎦l l أي [ ]ˆ49.7216 1.96σ± 1.45392 لجميع قيم التنبؤات المستقبلية ، نأخذ القيمةMSD آمقدر =

ˆ2 أي 2σلـ 1.45392σ ˆ فيكون = 1.205786σ لجميع %95 وعليه تكون فترة تنبؤ = :القيم المستقبلية هي

( ) [ ] [ ]49.7216 1.96 1.205786 49.7216 2.3633 47.35826,52.08494± = ± =⎡ ⎤⎣ ⎦ :أي

[ ]60 47.3582,50.0849 , 0 0.95z with probability+ ∈ >l l آاآلتيMSDتحسب : مالحظة

١٧٦

( )2 1

ˆˆ

1

n

i ii

z zMSD

nσ =

−= =

−

∑

:تمرين0.3,0.4,0.5αطبق تمهيد اسي بسيط علي المشاهدات السابقة مستخدما وقرر ايها افضل =

.تنبؤ عن القيم المستقبلية؟لل

١٧٧

الفصل الثاني عشر Using Doubleالتمهيد و التنبؤ بواسطة التمهيد االسي المزدوج

Exponential Smoothing for Forecasting :

: Brown’s Methodطريقة براون : أوال1لمشاهدات 2 1 2, , , ,n nz z z z− −K0ثابت تمهيد ول 1α< : نوجد التالي>

( ) ( ) ( )1 111 , 1,2,...,t t ts z s t nα α −= + − =

)حيث )1ts تمهيد اسي بسيط ( )1

t ts s=) و ) انظر التمهيد االسي البسيط( ترمز الي درجة هذا 1( التمهيد

( ) ( ) ( ) ( )2 1 211 , 1,2,...,t t ts s s t nα α −= + − =

)حيث )2ts تمهيد اسي مزدوج و ( ترمز الي درجة هذا التمهيد 2(

( ) ( )1 22 , 1,2,...,t t ta s s t n= − = ( ) ( )( )1 2 , 1,2,...,

1t t tb s s t nαα

= − =−

تحسب القيم المطبقة من المعادلة ˆ , 1,2,...,t t tz a b t t n= + =

,مستقبلية وتحسب التنبؤات للقيم ال 0nz + >l lمن ( ) , 0n n nz a b= + >l l l

)حساب القيم االولية )10s و ( )2

0s : من العالقات السابقة نجد ( )

( )

10 0 0

20 0 0

1

12

s a b

s a b

αα

αα

−= −

−= −

, بإنحدار المشاهدات علي الزمن 0b و 0aنوجد 1,2,...,t tz t e t nα β= + + ويكون =

0 ˆa α= 0 وˆb β=

: Holt’s Methodطريقة هولت : ثانيا

1لمشاهدات 2 1 2, , , ,n nz z z z− −K 0 ولثابتي تمهيد 1α< 0 و > 1γ< : نوجد التالي>( ) ( )

( ) ( )1 1

1 1

1 , 1,2,...,

1 , 1,2,...,t t t t

t t t t

s z s b t n

b s s b t n

α α

γ γ− −

− −

= + − + =

= − + − =

نحسب القيم المطبقة منˆ , 1,2,...,t t tz s b t t n= + =

والتنبؤات للقيم المستقبلية من( ) , 0n n nz s b= + >l l l

من0b و 0sنحسب القيم االولية

١٧٨

0 1s z=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 2 1

2 1 3 2 3 10

2 1 3 2 4 3 4 10

or

or2 2

3 3

b z zz z z z z z

b

z z z z z z z zb

= −

− + − −= =

− + − + − −= =

:مثال EMPLOY.MTWتحمل البيانات من ورقة العمل

MTB > Retrieve 'E:\Mtbwin\DATA\EMPLOY.MTW'. Metalsسوف نستخدم المشاهدات في التغير

Metals 44.2 44.3 44.4 43.4 42.8 44.3 44.4 44.8 44.4 43.1 42.6 42.4 42.2 41.8 40.1 42.0 42.4 43.1 42.4 43.1 43.2 42.8 43.0 42.8 42.5 42.6 42.3 42.9 43.6 44.7 44.5 45.0 44.8 44.9 45.2 45.2 45.0 45.5 46.2 46.8 47.5 48.3 48.3 49.1 48.9 49.4 50.0 50.0 49.6 49.9 49.6 50.7 50.7 50.9 50.5 51.2 50.7 50.3 49.2 48.1

:نرسم هذه المشاهداتMTB > TSPlot 'Metals'; SUBC> Index; SUBC> TDisplay 11; SUBC> Symbol; SUBC> Connect.

605040302010

50

45

40

Index

Met

als

١٧٩

نستخدم اآلن ،طريقة براون بنطبق اآلن تمهيدا لهذه المشاهدات بإستخدام التمهيد االسي المزدوج بأوزان متساوية سوف نأخذها WEIGHTي مع االمر الفرع DES% (Macro)البرمج

0.2 MTB > %DES 'Metals'; SUBC> Weight 0.2 0.2; SUBC> Forecasts 6; SUBC> Title "Brown's Double Exponential Smoothing"; SUBC> Table.

Double Exponential Smoothing Data Metals Length 60.0000 NMissing 0 Smoothing Constants Alpha (level): 0.2 Gamma (trend): 0.2 Accuracy Measures MAPE: 2.16187 MAD: 0.97032 MSD: 1.62936 Time Metals Smooth Predict Error

1 44.2 41.7739 41.1674 3.03257 2 44.3 42.4976 42.0470 2.25303 3 44.4 43.1686 42.8607 1.53927 4 43.4 43.5546 43.5933 -0.19330 5 42.8 43.7373 43.9716 -1.17163 6 44.3 44.1459 44.1074 0.19257 7 44.4 44.4990 44.5238 -0.12377 8 44.8 44.8575 44.8719 -0.07189 9 44.4 45.0620 45.2275 -0.82751 10 43.1 44.9391 45.3989 -2.29891 11 42.6 44.6673 45.1841 -2.58407 12 42.4 44.3271 44.8088 -2.40884 13 42.2 43.9378 44.3723 -2.17229 14 41.8 43.4769 43.8962 -2.09617 15 40.1 42.7011 43.3514 -3.25142 16 42.0 42.3565 42.4456 -0.44557 17 42.4 42.1465 42.0831 0.31694 18 43.1 42.1286 41.8857 1.21426 19 42.4 42.0132 41.9164 0.48355 20 43.1 42.0763 41.8204 1.27964 21 43.2 42.1877 41.9347 1.26533 22 42.8 42.2374 42.0967 0.70327 23 43.0 42.3396 42.1745 0.82549 24 42.8 42.4078 42.3098 0.49024 25 42.5 42.4181 42.3976 0.10244 26 42.6 42.4495 42.4119 0.18809 27 42.3 42.4207 42.4509 -0.15090 28 42.9 42.5129 42.4161 0.48394 29 43.6 42.7420 42.5276 1.07245 30 44.7 43.1797 42.7996 1.90036

١٨٠

31 44.5 43.5507 43.3133 1.18668 32 45.0 43.9854 43.7317 1.26826 33 44.8 44.3338 44.2172 0.58280 34 44.9 44.6511 44.5889 0.31112 35 45.2 44.9749 44.9187 0.28133 36 45.2 45.2430 45.2538 -0.05376 37 45.0 45.4157 45.5197 -0.51967 38 45.5 45.6373 45.6716 -0.17162 39 46.2 45.9491 45.8863 0.31368 40 46.8 46.3285 46.2106 0.58938 41 47.5 46.7909 46.6136 0.88637 42 48.3 47.3492 47.1115 1.18850 43 48.3 47.8339 47.7173 0.58266 44 49.1 48.4002 48.2253 0.87469 45 48.9 48.8413 48.8267 0.07332 46 49.4 49.2966 49.2707 0.12930 47 50.0 49.7849 49.7311 0.26890 48 50.0 50.1841 50.2302 -0.23017 49 49.6 50.4162 50.6202 -1.02022 50 49.9 50.6292 50.8114 -0.91145 51 49.6 50.7104 50.9880 -1.38797 52 50.7 50.9509 51.0137 -0.31368 53 50.7 51.1334 51.2417 -0.54169 54 50.9 51.3019 51.4024 -0.50244 55 50.5 51.3407 51.5509 -1.05093 56 51.2 51.4782 51.5477 -0.34770 57 50.7 51.4770 51.6712 -0.97120 58 50.3 51.3649 51.6311 -1.33115 59 49.2 51.0127 51.4659 -2.26587 60 48.1 50.4384 51.0230 -2.92300 Row Period Forecast Lower Upper 1 61 50.3318 47.9545 52.7091 2 62 50.2252 47.7984 52.6520 3 63 50.1186 47.6384 52.5987 4 64 50.0120 47.4749 52.5490 5 65 49.9054 47.3080 52.5027 6 66 49.7988 47.1381 52.4594

Actual

Predicted

Forecast Actual PredictedForecast

6050403020100

50

45

40

Met

als

Time

MSD:MAD:MAPE:

Gamma (trend):Alpha (level):Smoothing Constants

1.629360.970322.16187

0.2000.200

Brown's Double Exponential Smoothing

١٨١

:0b و 0aإيجاد MTB > set c4 DATA> 1:60 DATA> end MTB > regr c3 1 c4

Regression Analysis The regression equation is Metals = 41.0 + 0.152 C4

0إذا 41.0a 0 و = 0.152b منها نحسب و=( ) ( )

( ) ( )

10 0 0

20 0 0

1 0.841.0 0.152 41.6080.2

1 0.82 41.0 2 0.152 42.2160.2

s a b

s a b

αα

αα

−= − = − =

− ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

11

21

1

1

1

0.2 44.2 0.8 41.608 42.1264

0.2 42.1264 0.8 42.216 42.19808

2 42.1264 42.19808 42.05472

0.242.19808 42.05472 0.03584

0.8

ˆ 42.05472 0.03584 1 42.09056

s

s

a

b

z

= + =

= + =

= − =

= − =

= + =

…وهكذا الخ . آما في األمثلة السابقةMSDتحسب فترات التنبؤ بإستخدام

: مثال

WEIGHT مع االمر الفرعي DES% (Macro)لتطبيق طريقة هولت نستخدم اآلن البرمج 0.2αبأوزان مختلفة سوف نأخذ 0.3γ و = =

MTB > RETR 'E:\Mtbwin\DATA\EMPLOY.MTW'. Retrieving worksheet from file: E:\Mtbwin\DATA\EMPLOY.MTW Worksheet was saved on 6/ 5/1996 MTB > %DES 'Metals'; SUBC> Weight 0.2 0.3; SUBC> Forecasts 6; SUBC> Title "Holt's Double Exponential Smoothing"; SUBC> Table. Double Exponential Smoothing Data Metals Length 60.0000 NMissing 0

١٨٢

Smoothing Constants Alpha (level): 0.2 Gamma (trend): 0.3 Accuracy Measures MAPE: 2.15656 MAD: 0.96328 MSD: 1.56274 Time Metals Smooth Predict Error 1 44.2 41.7739 41.1674 3.03257 2 44.3 42.5461 42.1076 2.19238 3 44.4 43.2891 43.0113 1.38868 4 43.4 43.7501 43.8376 -0.43760 5 42.8 43.9779 44.2724 -1.47237 6 44.3 44.3895 44.4118 -0.11184 7 44.4 44.7334 44.8167 -0.41671 8 44.8 45.0685 45.1356 -0.33560 9 44.4 45.2405 45.4506 -1.05057 10 43.1 45.0676 45.5595 -2.45952 11 42.6 44.7113 45.2391 -2.63911 12 42.4 44.2595 44.7244 -2.32443 13 42.2 43.7466 44.1332 -1.93322 14 41.8 43.1634 43.5043 -1.70426 15 40.1 42.2751 42.8188 -2.71884 16 42.0 41.8139 41.7674 0.23263 17 42.4 41.5361 41.3202 1.07985 18 43.1 41.5057 41.1072 1.99283 19 42.4 41.4371 41.1964 1.20365 20 43.1 41.5799 41.1999 1.90008 21 43.2 41.8054 41.4568 1.74322 22 42.8 41.9895 41.7869 1.01314 23 43.0 42.2254 42.0317 0.96829 24 42.8 42.4205 42.3257 0.47431 25 42.5 42.5395 42.5493 -0.04933 26 42.6 42.6522 42.6653 -0.06528 27 42.3 42.6793 42.7741 -0.47413 28 42.9 42.7982 42.7728 0.12724 29 43.6 43.0394 42.8993 0.70070 30 44.7 43.4861 43.1826 1.51743 31 44.5 43.8762 43.7202 0.77977 32 45.0 44.3257 44.1571 0.84285 33 44.8 44.6858 44.6573 0.14275 34 44.9 45.0007 45.0259 -0.12590 35 45.2 45.3066 45.3333 -0.13327 36 45.2 45.5449 45.6312 -0.43116 37 45.0 45.6749 45.8436 -0.84361 38 45.5 45.8384 45.9230 -0.42295 39 46.2 46.0888 46.0610 0.13895 40 46.8 46.4159 46.3199 0.48014 41 47.5 46.8406 46.6757 0.82428 42 48.3 47.3799 47.1499 1.15014 43 48.3 47.8665 47.7582 0.54181 44 49.1 48.4419 48.2774 0.82265 45 48.9 48.9016 48.9020 -0.00205 46 49.4 49.3693 49.3617 0.03832 47 50.0 49.8653 49.8317 0.16832 48 50.0 50.2702 50.3378 -0.33779

١٨٣

49 49.6 50.4979 50.7224 -1.12240 50 49.9 50.6862 50.8827 -0.98275 51 49.6 50.7296 51.0121 -1.41206 52 50.7 50.9166 50.9708 -0.27079 53 50.7 51.0532 51.1415 -0.44152 54 50.9 51.1813 51.2516 -0.35162 55 50.5 51.1869 51.3586 -0.85860 56 51.2 51.2901 51.3127 -0.11267 57 50.7 51.2673 51.4092 -0.70916 58 50.3 51.1350 51.3438 -1.04381 59 49.2 50.7591 51.1489 -1.94889 60 48.1 50.1448 50.6560 -2.55603 Row Period Forecast Lower Upper 1 61 49.8884 47.5283 52.2484 2 62 49.6319 47.1597 52.1041 3 63 49.3755 46.7803 51.9707 4 64 49.1190 46.3915 51.8466 5 65 48.8626 45.9946 51.7306 6 66 48.6061 45.5908 51.6215

يتوقع عدم تطابق : مالحظة( تحقق من صحة الحسابات السابقة بتتبع بعض القيم يدويا : تمرينالحسابات تماما وذلك إلختالف طريق تمثيل األعداد بين الحاسب واآللة الحاسبة وآذلك في

)ت آل منهمااتخزين األرقام في ذاآر

Actual

Predicted

Forecast Actual PredictedForecast

6050403020100

50

45

40

Met

als

Time

MSD:MAD:MAPE:

Gamma (trend):Alpha (level):Smoothing Constants

1.562740.963282.15656

0.3000.200

Holt's Double Exponential Smoothing

١٨٤

الفصل الثالث عشراسطة طريقة ونترز للمتسلسالت و التنبؤ بو االسي الثالثيالتمهيد

الموسمية المنجرفة -Three' Winters: Triple Exponential Smoothing

Parameter Trend and Seasonality Smoothing Method

جميع الطرق السابقة التي درسناها في هذا الفصل ال تنفع لتحليل الظواهر الموسمية ماعدى Winters' trend and وطريقة ونترز Decomposition Methodطريقة التفكيك

seasonal smoothing التي سوف نستعرضها هنا طريقة ونترز للمتسلسالت الموسمية المنجرفة

تمهد المشاهدات تمهيدا آليا بالعالقة: أوال

( )( )1 11 , 1,2,...,tt t t

t s

zs s b t nS

α α − −−

= + − + =

تمهيد اإلنجراف: ثانيا( ) ( )1 11 , 1,2,...,t t t tb s s b t nγ γ− −= − + − =

لموسميةتمهيد ا: ثالثا

( )1 , 1,2,...,tt t s

t

zS S t ns

β β −= + − =

هي دورة الموسمية s و i هي المرآبة الموسمية عند الزمن iSحيث القيم المطبقة تعطي بالعالقة

( )ˆ , 1,2,...,t t t t sz s b t S t n−= + = والتنبؤات من العالقة

( ) ( ) , 0n n n n sz s b S − += + >ll l l

من الصعب جدا تتبع طريقة ونترز بالحسابات اليدوية حيث ان القيم االولية تحسب بخوارزمات .غير خطية بإستخدام الحاسب ولهذا لن نستعرضها هنا ونكتفي بالنتائج المخرجة من الحاسب

:مثال

EMPLOY.MTW تحمل البيانات من ورقة العمل MTB > Retrieve 'E:\Mtbwin\DATA\EMPLOY.MTW'.

Foodسوف نستخدم المشاهدات في التغير

Food 53.5 53.0 53.2 52.5 53.4 56.5 65.3 70.7 66.9 58.2 55.3 53.4 52.1 51.5 51.5 52.4 53.3 55.5 64.2 69.6 69.3 58.5 55.3 53.6 52.3 51.5 51.7 51.5 52.2 57.1 63.6 68.8 68.9 60.1 55.6 53.9 53.3 53.1 53.5 53.5 53.9 57.1 64.7 69.4 70.3 62.6 57.9 55.8 54.8 54.2 54.6 54.3 54.8 58.1 68.1 73.3 75.5 66.4 60.5 57.7

١٨٥

ونرسم المشاهدات

:نطبق اآلن طريقة ونترز آالتالي ١٢نالحظ ان الظاهرة موسمية بدورة Additive Modelللنموذج اإلضافي : أوال

, 1,2,...,t t t tz b S e t n= + + =

MTB > %Wintadd 'Food' 12; SUBC> Weight 0.2 0.2 0.2; SUBC> Forecasts 12; SUBC> Title "Wintrs' Trend and Seasonal Smoothing"; SUBC> Table.

Winters' additive model Data Food Length 60.0000 NMissing 0 Smoothing Constants Alpha (level): 0.2 Gamma (trend): 0.2 Delta (seasonal): 0.2 Accuracy Measures MAPE: 1.94769 MAD: 1.15100 MSD: 2.66711

605040302010

75

70

65

60

55

50

Index

Food

١٨٦

Time Food Smooth Predict Error 1 53.5 48.7755 49.4303 4.06965 2 53.0 49.6020 50.4197 2.58027 3 53.2 51.0736 51.9944 1.20556 4 52.5 52.0733 53.0424 -0.54244 5 53.4 53.5117 54.4591 -1.05914 6 56.5 57.4851 58.3901 -1.89013 7 65.3 66.2299 67.0593 -1.75932 8 70.7 71.7852 72.5443 -1.84430 9 66.9 71.8932 72.5785 -5.67851 10 58.2 62.3206 62.7787 -4.57874 11 55.3 57.5208 57.7958 -2.49577 12 53.4 55.1544 55.3296 -1.92957 13 52.1 55.0393 55.1373 -3.03734 14 51.5 53.6493 53.6258 -2.12584 15 51.5 53.1185 53.0100 -1.50996 16 52.4 52.2661 52.0971 0.30287 17 53.3 52.6528 52.4960 0.80401 18 55.5 55.7616 55.6369 -0.13695 19 64.2 63.8483 63.7181 0.48187 20 69.6 68.8787 68.7678 0.83218 21 69.3 68.0386 67.9610 1.33902 22 58.5 59.2825 59.2585 -0.75851 23 55.3 55.0979 55.0435 0.25650 24 53.6 53.0432 52.9991 0.60092 25 52.3 53.0377 53.0177 -0.71765 26 51.5 52.1394 52.0907 -0.59067 27 51.7 51.9889 51.9165 -0.21651 28 51.5 51.7214 51.6403 -0.14031 29 52.2 52.1875 52.1009 0.09913 30 57.1 55.0750 54.9923 2.10774 31 63.6 63.7515 63.7531 -0.15314 32 68.8 68.8427 68.8382 -0.03822 33 68.9 68.0160 68.0099 0.89007 34 60.1 58.9061 58.9356 1.16436 35 55.6 55.3220 55.3981 0.20190 36 53.9 53.4419 53.5262 0.37384 37 53.3 53.3084 53.4076 -0.10757 38 53.1 52.6717 52.7666 0.33345 39 53.5 52.9095 53.0177 0.48233 40 53.5 52.9745 53.1020 0.39803 41 53.9 53.7952 53.9386 -0.03858 42 57.1 57.2065 57.3484 -0.24838 43 64.7 65.2747 65.4066 -0.70661 44 69.4 70.4039 70.5076 -1.10758 45 70.3 69.6200 69.6794 0.62065 46 62.6 60.5655 60.6497 1.95031 47 57.9 57.0392 57.2014 0.69858 48 55.8 55.3721 55.5623 0.23773 49 54.8 55.2403 55.4399 -0.63993 50 54.2 54.6681 54.8422 -0.64220 51 54.6 54.8138 54.9622 -0.36218 52 54.3 54.7366 54.8705 -0.57048 53 54.8 55.3001 55.4112 -0.61119 54 58.1 58.5310 58.6176 -0.51765 55 68.1 66.4168 66.4827 1.61731 56 73.3 71.8806 72.0112 1.28878 57 75.5 71.8794 72.0616 3.43843 58 66.4 63.7240 64.0437 2.35629 59 60.5 60.3141 60.7281 -0.22810

١٨٧

60 57.7 58.6397 59.0446 -1.34455 Row Period Forecast Lower Upper 1 61 58.6167 55.7968 61.4366 2 62 58.3236 55.4449 61.2023 3 63 58.8195 55.8775 61.7614 4 64 58.9840 55.9746 61.9935 5 65 59.8723 56.7913 62.9532 6 66 63.4804 60.3243 66.6365 7 67 72.0757 68.8410 75.3104 8 68 77.4486 74.1321 80.7651 9 69 77.7540 74.3528 81.1552 10 70 68.9067 65.4180 72.3954 11 71 64.6434 61.0647 68.2221 12 72 62.7731 59.1020 66.4441

Multiplicative Modelج التضاعفي للنموذ: ثانيا, 1,2,...,t t t tz b S e t n= + =

MTB > %Wintmult 'Food' 12; SUBC> Weight 0.2 0.2 0.2; SUBC> Forecasts 12; SUBC> Title "Winters' Trend and Seasonal Smoothing"; SUBC> Table.

Winters' multiplicative model Data Food

Actual

Predicted

Forecast Actual PredictedForecast

706050403020100

80

70

60

50

Food

Time

MSD:MAD:MAPE:

Delta (season):Gamma (trend):Alpha (level):Smoothing Constants

2.667111.151001.94769

0.2000.2000.200

Wintrs' Trend and Seasonal Smoothing

١٨٨

Length 60.0000 NMissing 0 Smoothing Constants Alpha (level): 0.2 Gamma (trend): 0.2 Delta (seasonal): 0.2 Accuracy Measures MAPE: 1.88377 MAD: 1.12068 MSD: 2.86696 Time Food Smooth Predict Error 1 53.5 48.7870 49.3853 4.11470 2 53.0 49.6755 50.4303 2.56966 3 53.2 51.1521 52.0132 1.18677 4 52.5 52.1675 53.0746 -0.57458 5 53.4 53.6181 54.5132 -1.11323 6 56.5 57.6509 58.5541 -2.05414 7 65.3 66.6199 67.5607 -2.26072 8 70.7 72.4105 73.3280 -2.62800 9 66.9 72.5679 73.3777 -6.47768 10 58.2 62.7837 63.2634 -5.06337 11 55.3 57.9154 58.1732 -2.87320 12 53.4 55.5108 55.6485 -2.24849 13 52.1 54.4920 54.5392 -2.43920 14 51.5 53.2117 53.1621 -1.66212 15 51.5 52.8118 52.6957 -1.19573 16 52.4 52.0929 51.9302 0.46985 17 53.3 52.5894 52.4439 0.85611 18 55.5 55.7388 55.6209 -0.12087 19 64.2 63.7189 63.5782 0.62178 20 69.6 68.7087 68.5838 1.01617 21 69.3 67.9722 67.8890 1.41104 22 58.5 59.4594 59.4361 -0.93606 23 55.3 55.4037 55.3468 -0.04680 24 53.6 53.4103 53.3536 0.24639 25 52.3 52.6818 52.6356 -0.33562 26 51.5 51.8659 51.8071 -0.30705 27 51.7 51.8002 51.7290 -0.02902 28 51.5 51.6271 51.5549 -0.05492 29 52.2 52.1643 52.0890 0.11103 30 57.1 55.0424 54.9676 2.13244 31 63.6 63.6079 63.6199 -0.01988 32 68.8 68.6702 68.6823 0.11774 33 68.9 67.9561 67.9727 0.92727 34 60.1 59.1021 59.1487 0.95133 35 55.6 55.6210 55.7003 -0.10032 36 53.9 53.7881 53.8609 0.03912 37 53.3 53.0479 53.1211 0.17892 38 53.1 52.4502 52.5294 0.57055 39 53.5 52.7444 52.8467 0.65329 40 53.5 52.8747 53.0029 0.49714 41 53.9 53.7689 53.9188 -0.01879 42 57.1 57.2790 57.4374 -0.33743 43 64.7 65.4702 65.6357 -0.93567 44 69.4 70.6713 70.8095 -1.40954

١٨٩

45 70.3 69.8908 69.9719 0.32815 46 62.6 60.7552 60.8370 1.76302 47 57.9 57.1925 57.3348 0.56523 48 55.8 55.5181 55.6775 0.12253 49 54.8 54.8764 55.0383 -0.23826 50 54.2 54.3244 54.4749 -0.27486 51 54.6 54.5372 54.6769 -0.07694 52 54.3 54.5298 54.6661 -0.36612 53 54.8 55.1925 55.3155 -0.51551 54 58.1 58.6054 58.7141 -0.61410 55 68.1 66.7739 66.8698 1.23016 56 73.3 72.4056 72.5622 0.73784 57 75.5 72.3385 72.5236 2.97638 58 66.4 63.6729 63.9378 2.46217 59 60.5 60.0395 60.3781 0.12191 60 57.7 58.3023 58.6338 -0.93381 Row Period Forecast Lower Upper 1 61 57.8102 55.0645 60.5558 2 62 57.3892 54.5864 60.1921 3 63 57.8332 54.9687 60.6977 4 64 57.9307 55.0005 60.8609 5 65 58.8311 55.8313 61.8309 6 66 62.7415 59.6686 65.8145 7 67 72.1849 69.0354 75.3344 8 68 78.1507 74.9215 81.3798 9 69 78.5092 75.1976 81.8208 10 70 68.6689 65.2721 72.0657 11 71 63.9258 60.4414 67.4103 12 72 61.8189 58.2446 65.3933

:مالحظات ثابت γ ثابت التمهيد الكلي و αلتطبيق طريقة ونترز نحتاج الي إختيار قيم ثالثة معالم هي

في ثالثة Optimizationذه عملية أفضلية ثابت تمهيد الموسمية وهβتمهيد اإلنجراف و

Actual

Predicted

Forecast Actual PredictedForecast

706050403020100

80

70

60

50

Food

Time

MSD:MAD:MAPE:

Delta (season):Gamma (trend):Alpha (level):Smoothing Constants

2.866961.120681.88377

0.2000.2000.200

Winters' Trend and Seasonal Smoothing

١٩٠

إما أن نترك للبرنامج اإلحصائي المستخدم حسابها تلقائيا بإستخدام ) فضاء المعالم ( ابعاد .خوارزمات غير خطية مبنية داخل البرنامج أو نقوم نحن بإمداد البرنامج بتلك القيم

0.2αفي األمثلة السابقة اخذنا : تمرين γ β= = ثبت في آل مرة معلمين وغير الثالث . = MSDحتي تحصل علي أقل

:مثال عملي لبناء نموذج تنبؤ

MINITAB من مجموعة البيانات للبرنامج CPI.MTWسوف نستخدم ورقة العمل

MTB > Retrieve 'C:\MTBWIN\STUDENT9\CPI.MTW'.

CPIChangeسوف نأخذ المتغير

CPIChnge 1.7 1.0 1.0 1.3 1.3 1.6 2.9 3.1 4.2 5.5 5.7 4.4 3.2 6.2 11.0 9.1 5.8 6.5 7.6 11.3 13.5 10.3 6.2 3.2 4.3 3.6 1.9 3.6 4.1 4.8 5.4 4.2 3.0

نرسم المتسلسلة ونوجد التربطات الذاتية والترابطات الذاتية الجزئية العينيةMTB > TSPlot

MTB > %acf c2

30252015105

14

12

10

8

6

4

2

0

Index

CPI

Chn

ge

87654321

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Auto

correl

atio

n

LBQTCorrLagLBQTCorrLag

41.23

40.0740.0538.9736.2433.5930.3222.42 -0.51

-0.06 0.52 0.86 0.88 1.02 1.77 4.53 -0.16

-0.02 0.16 0.26 0.26 0.29 0.46 0.79 8

7654321

Autocorrelation Function for CPIChnge

١٩١

MTB > %pacf c2

(١،١)ARMAالتربطات الذاتية والترابطات الذاتية الجزئية العينية قد يكون النموذج من انماط تنبؤات للقيم المستقبلية٥ى المتسلسلة، األوامر التالية تطبق النموذج المقترح وتولد ينطبق عل

MTB > arima 1 0 1 c2; SUBC> fore 5 c3 c4 c5; SUBC> gser; SUBC> gacf; SUBC> gpacf; SUBC> ghist; SUBC> gnormal.

ARIMA Model

ARIMA model for CPIChnge Estimates at each iteration Iteration SSE Parameters 0 323.251 0.100 0.100 4.522 1 200.616 0.250 -0.050 3.745 2 182.146 0.184 -0.200 4.067 3 163.067 0.135 -0.350 4.308 4 142.864 0.107 -0.500 4.434 5 121.402 0.111 -0.650 4.407 6 99.668 0.150 -0.800 4.197 7 77.036 0.268 -0.950 3.590 8 67.550 0.418 -0.956 2.828 9 62.802 0.568 -0.964 2.062 10 62.108 0.637 -0.973 1.687 11 62.030 0.644 -0.979 1.619 12 62.003 0.647 -0.982 1.584 13 61.996 0.651 -0.985 1.549 14 61.996 0.651 -0.986 1.539 Unable to reduce sum of squares any further

Final Estimates of Parameters

87654321

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Parti

al A

utoc

orre

latio

n

TPACLagTPACLag

-0.52

-0.29-1.62 0.43-0.24 2.01-2.44 4.53 -0.09

-0.05-0.28 0.08-0.04 0.35-0.42 0.79 8

7654321

Partial Autocorrelation Function for CPIChnge

١٩٢

Type Coef StDev T AR 1 0.6513 0.1434 4.54 MA 1 -0.9857 0.0516 -19.11 Constant 1.5385 0.4894 3.14 Mean 4.412 1.403

Number of observations: 33 Residuals: SS = 61.8375 (backforecasts excluded) MS = 2.0613 DF = 30 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 9.6(DF=10) 17.0(DF=22) * (DF= *) * (DF= *) Forecasts from period 33 95 Percent Limits Period Forecast Lower Upper Actual 34 3.1362 0.3216 5.9507 35 3.5810 -1.8180 8.9801 36 3.8708 -2.3061 10.0476 37 4.0594 -2.4192 10.5380 38 4.1823 -2.4201 10.7848

أي ان النموذج المقترح هو( )1 11.54 0.65 0.99 , 0,2.06t t t t tz z a a a N− −= + + −

هي tفاتها المعيارية وقيمة إختبار مقدرات المعالم وإنحرا( )( )

( )

1 1

1 1

2

ˆ ˆ0.6513, . . 0.1434, 4.54

ˆ ˆ0.9857, . . 0.0516, 19.11

ˆ ˆ1.5385, . . 0.4894, 3.14

ˆ 2.0613, . . 30

s e t

s e t

s e t

with d f

φ φ

θ θ

δ δ

σ

= = =

= − = = −

= = =

= =

.نالحظ ان جميع المعالم معنوية

:اآلن نفحص البواقي

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Auto

corr

elat

ion

ACF of Residuals for CPIChnge(with 95% confidence limits for the autocorrelations)

١٩٣

أنماط الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي للبواقي تدل على أن البواقي تتبع توزيع ضجة :مترابطة، لنفحص طبيعية البواقيبيضاء أي غير

رسم المدرج التكراري

87654321

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Parti

al A

utoc

orre

latio

n

PACF of Residuals for CPIChnge(with 95% confidence limits for the partial autocorrelations)

8

7

6

5

4

3

2

1

Freq

uenc

y

Histogram of the Residuals(response is CPIChnge)

١٩٤

.يبدو متناظر بعض الشيئ :لننظر إلى مخطط اإلحتمال الطبيعي للبواقي

.نستطيع أن نقول ان البواقي طبيعية تقريبا .ة تنبؤات للقيم المستقبلي٥الرسم التالي للمتسلسة مع

210-1-2

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

Normal Score

Res

idua

l

Normal Probability Plot of the Residuals(response is CPIChnge)

10

5

0

CPI

Chn

ge

Time Series Plot for CPIChnge(with forecasts and their 95% confidence limits)

١٩٥

: على المتسلسلة آالتالي(٢)ARدعنا نحاول تطبيق نموذج

MTB > arima 2 0 0 c2 Type Coef StDev T AR 1 1.1872 0.1625 7.31 AR 2 -0.4657 0.1624 -2.87 Constant 1.3270 0.2996 4.43 Mean 4.765 1.076

Number of observations: 33 Residuals: SS = 88.6206 (backforecasts excluded) MS = 2.9540 DF = 30 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 19.8(DF=10) 25.4(DF=22) * (DF= *) * (DF= *)

أي ان النموذج المقترح هو

( )1 11.33 1.187 0.4657 , 0,2.95t t t t tz z z a a N− −= + − +

هي tمقدرات المعالم وإنحرافاتها المعيارية وقيمة إختبار ( )( )

( )

1 1

2 1

2

ˆ ˆ1.1872, . . 0.1625, 7.31

ˆ ˆ0.4657, . . 0.1624, 2.87

ˆ ˆ1.327, . . 0.2996, 4.43

ˆ 2.954, . . 30

s e t

s e t

s e t

with d f

φ φ

φ θ

δ δ

σ

= = =

= − = = −

= = =

= =

لننظر إلى اإلختبار0 2

1 2

: 0: 0

HH

φφ

=±

اإلحصائة

( )2

02

ˆ 0.4657 2.8676ˆ 0.1624. .t

s eφφ

−= = = −

لها باألمرP-valueنوجد الـ MTB > cdf -2.8676; SUBC> t 30.

Cumulative Distribution Function

١٩٦

Student's t distribution with 30 DF x P( X <= x) -2.8676 0.0037

2 أي النرفض ان ٠٫٠٥ وهي أقل من ٠٫٠٠٣٧ لها تساوي P-valueالـ أي 0φ وبالتالي = .(٢)ARذج نرفض النمو

: تمرين

حاول تطبيق نماذج اخرى مناسبة على المتسلسلة السابقة وإختار أفضل نموذج، أجري .AICاإلختبارات المناسبة واستخدم ايضا المعيار

:مثال عملي آخر لبناء نموذج تنبؤ سوف نحاول بناء نموذج للمتسلسلة

z(t) -2.5 -9.1 -19.2 -33.1 -52.8 -76.7 -103.2 -132.4 -165.9 -204.0 -246.0 -291.3 -339.9 -391.4 -446.4 -504.8 -566.7 -631.6 -698.2 -766.7 -836.1 -905.3 -975.1 -1044.2 -1111.3 -1177.4 -1242.9 -1307.3 -1371.8 -1436.5 -1500.0 -1561.5 -1620.8 -1679.0 -1736.9 -1794.5 -1851.1 -1906.9 -1960.6 -2010.0 -2055.4 -2097.5 -2136.4 -2173.3 -2210.8 -2250.5 -2290.6 -2328.5 -2363.4 -2398.7 -2437.6 -2482.0 -2533.0 -2589.5 -2651.9 -2721.4 -2797.6 -2880.4 -2968.6 -3060.8 -3156.1 -3253.4 -3353.3 -3456.9 -3564.3 -3675.0 -3788.7 -3906.6 -4028.2 -4153.0 -4281.7 -4412.0 -4542.3 -4673.3 -4805.0 -4937.2 -5068.7 -5197.8 -5323.6 -5444.4 -5558.0 -5663.8 -5760.6 -5848.8 -5931.6 -6011.8 -6090.4 -6167.9 -6244.3 -6317.8 -6387.3 -6453.5 -6518.9 -6584.6 -6649.0 -6711.8 -6773.3 -6834.5 -6896.0 -6957.1 -7015.6 -7073.1 -7131.7 -7193.3 -7259.9 -7332.9 -7411.2 -7495.3 -7586.4 -7683.2 -7784.7 -7891.4 -8004.6 -8124.0 -8249.2 -8379.1 -8512.3 -8649.8 -8791.2 -8936.4 -9086.3 -9239.6 -9394.6 -9552.0 -9713.3 -9878.4 -10047.2 -10219.0 -10392.1 -10564.0 -10734.0 -10903.2 -11071.9 -11238.9 -11402.0 -11560.2 -11713.8 -11863.9 -12011.7 -12157.5 -12302.5 -12447.5 -12593.4 -12740.8 -12889.7 -13039.8 -13190.3 -13339.6 -13486.3 -13629.3 -13769.9 -13910.1 -14051.7 -14196.3 -14345.9 -14499.7 -14657.5 -14819.8 -14986.4 -15158.3 -15335.9 -15518.4 -15705.0 -15895.8 -16091.5 -16290.9 -16492.7 -16697.1 -16904.2 -17113.5 -17324.4 -17535.7 -17745.2 -17951.5 -18155.6 -18360.1 -18564.2 -18766.2 -18965.1 -19161.7 -19356.3 -19547.0 -19733.5 -19919.5 -20107.3 -20294.5 -20478.0 -20655.7 -20827.7 -20993.7 -21154.4 -21310.9 -21463.7 -21614.0 -21762.1 -21908.3 -22053.2 -22195.6 -22335.1 -22474.4

:ولها الرسم الزمني التالي

١٩٧

2 0 01 5 01 0 05 0

0

- 1 0 0 0 0

- 2 0 0 0 0

In d e x

z(t)

O r ig in a l T im e S e r ie s

:الترابطات الذاتية والترابطات الذاتية الجزئية هي

5040302010

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Auto

corre

latio

n

LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag

4607.244589.24

4569.484547.904524.434498.994471.524441.934410.164376.144339.794301.044259.814216.02

4169.594120.444068.474013.613955.763894.843830.743763.383692.673618.503540.783459.42

3374.323285.393192.543095.672994.692889.512780.052666.222547.942425.142297.732165.64

2028.811887.171740.661589.231432.851271.471105.06 933.59 757.06 575.44 388.73 196.91

0.56 0.59

0.62 0.65 0.68 0.71 0.74 0.77 0.81 0.84 0.87 0.91 0.94 0.98

1.01 1.05 1.09 1.13 1.17 1.21 1.26 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50

1.56 1.62 1.68 1.75 1.82 1.89 1.97 2.06 2.15 2.25 2.37 2.49

2.62 2.78 2.95 3.15 3.39 3.68 4.04 4.50 5.15 6.15 8.00

13.930.260.27

0.280.300.310.320.340.350.360.380.390.410.420.43

0.450.460.470.490.500.520.530.550.560.580.590.61

0.620.640.650.670.680.700.720.730.750.760.780.80

0.810.830.840.860.880.890.910.920.940.950.970.98

5049

484746454443424140393837

363534333231302928272625

242322212019181716151413

121110 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Autocorrelation Function for z(t)

5040302010

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Parti

al A

utoc

orre

latio

n

TPACLagTPACLagTPACLagTPACLagTPACLag

-0.14 -0.14

-0.13 -0.13 -0.13 -0.12 -0.12 -0.12 -0.11 -0.11 -0.10 -0.10 -0.09 -0.09

-0.09 -0.09 -0.08 -0.08 -0.08 -0.08 -0.08 -0.08 -0.08 -0.09 -0.09 -0.09

-0.09 -0.09 -0.09 -0.10 -0.10 -0.11 -0.11 -0.11 -0.11 -0.12 -0.12 -0.13

-0.13 -0.14 -0.14 -0.15 -0.15 -0.15 -0.16 -0.16 -0.16 -0.17 -0.17 13.93

-0.01-0.01

-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01

-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01

-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01

-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01-0.01 0.98

5049

484746454443424140393837

363534333231302928272625

242322212019181716151413

121110 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Partial Autocorrelation Function for z(t)

. غير مستقرة في المتوسطtzواضح جدا ان المتسلسلة 1tنأخذ الفروق االولى t tw z z −= ونرسمها−

١٩٨

20015010050

0

-100

-200

Index

w(t)

F irs t D if fe re nc e s w (t)= z (t)-z (t-1 )

:الجزئية للمتسلسلة المفرقة هيالترابطات الذاتية والترابطات الذاتية

453525155

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Auto

corre

latio

n

LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag

3399.16

3374.173347.553319.593290.643260.993230.813200.213169.333138.423107.683077.323047.50

3018.342989.822961.852934.322907.032879.792852.352824.462795.842766.162734.992701.91

2666.482628.222586.612541.232491.572437.132377.422311.992240.332161.982076.381983.03

1881.491771.421652.581524.831388.101242.441087.93 924.81 753.55 574.74 389.03 197.10 0.76

0.79 0.82 0.84 0.85 0.87 0.88 0.89 0.90 0.90 0.90 0.90 0.90

0.89 0.89 0.89 0.89 0.90 0.91 0.92 0.94 0.96 1.00 1.03 1.08

1.13 1.19 1.26 1.33 1.41 1.50 1.60 1.70 1.81 1.93 2.07 2.21

2.38 2.56 2.76 2.98 3.25 3.56 3.94 4.43 5.10 6.12 7.98

13.93 0.31

0.320.330.330.340.340.350.350.350.350.350.350.34

0.340.340.340.340.340.340.340.350.360.370.380.39

0.410.430.450.470.490.520.540.570.600.630.660.69

0.720.750.780.810.830.860.890.910.930.950.970.99 49

484746454443424140393837

363534333231302928272625

242322212019181716151413

121110 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Autocorrelation Function for w(t)

4 53 52 51 55

1.00.80.60.40.20.0

-0 .2-0 .4-0 .6-0 .8-1 .0

Parti

al A

utoc

orre

latio

n

TP ACLagTP ACLagTP ACLagTP ACLagTP ACLag

-0 .48

-0 .76 -0 .56 -0 .18 0 .08 -0 .07 -0 .42 -0 .55 -0 .54 -0 .60 -0 .63 -0 .29 -0 .07

-0 .07 0 .04 0 .15 0 .18 0 .16 0 .22 0 .34 0 .56 0 .55 0 .47 0 .62 0 .52

0 .27 0 .31 0 .35 0 .16 0 .11 0 .12 0 .10 0 .25 0 .23 0 .10 -0 .02 -0 .16

-0 .22 -0 .34 -0 .37 -0 .37 -0 .48 -0 .78 -0 .97 -0 .90 -0 .96 -1 .51 -1 .97 13.93 -0 .03

-0 .05-0 .04-0 .01 0 .01-0 .00-0 .03-0 .04-0 .04-0 .04-0 .04-0 .02-0 .01

-0 .00 0 .00 0 .01 0 .01 0 .01 0 .02 0 .02 0 .04 0 .04 0 .03 0 .04 0 .04

0 .02 0 .02 0 .03 0 .01 0 .01 0 .01 0 .01 0 .02 0 .02 0 .01-0 .00-0 .01

-0 .02-0 .02-0 .03-0 .03-0 .03-0 .06-0 .07-0 .06-0 .07-0 .11-0 .14 0 .99 49

484746454443424140393837

363534333231302928272625

242322212019181716151413

121110 9 8 7 6 5 4 3 2 1

P a rtia l A uto co rre la tio n F unc tio n fo r w (t)

. التزال غير مستقرة في المتوسطtwواضح جدا ان المتسلسلة

1tنأخذ الفروق االولى t ty w w −= ونرسمها) الحظ ان هذا الفرق الثاني للمتسلسلة األصلية (−

١٩٩

2 0 01 5 01 0 05 0

1 0

5

0

- 5

I n d e x

y(t)

F i r s t D i f f e r e n c e s y ( t ) = w ( t ) - w ( t - 1 )

:جزئية لهذه المتسلسلة المفرقة هيالترابطات الذاتية والترابطات الذاتية ال

453525155

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Auto

corre

latio

n

LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag

2017.77

1956.811903.361860.921831.091810.081793.441778.551765.201755.141749.701748.291748.28

1746.421740.511728.631708.461677.441632.421572.451500.631418.061324.281224.051124.21

1030.79 948.00 876.73 818.29 774.40 743.30 722.16 708.51 700.34 696.12 694.31 693.85

693.82 692.41 687.71 677.66 659.84 632.35 593.77 542.93 479.62 401.81 303.36 173.62 1.56

1.49 1.34 1.13 0.96 0.86 0.82 0.78 0.68 0.50 0.26 -0.03 -0.30

-0.53 -0.76 -1.00 -1.25 -1.53 -1.80 -2.01 -2.22 -2.44 -2.62 -2.72 -2.73

-2.67 -2.57 -2.40 -2.13 -1.83 -1.53 -1.24 -0.97 -0.70 -0.46 -0.23 0.06

0.41 0.75 1.11 1.50 1.90 2.32 2.77 3.26 3.89 4.89 6.83

13.08 0.48

0.45 0.40 0.34 0.28 0.25 0.24 0.23 0.20 0.15 0.08-0.01-0.09

-0.16-0.22-0.29-0.36-0.43-0.50-0.55-0.59-0.63-0.66-0.66-0.64

-0.60-0.56-0.51-0.44-0.37-0.31-0.25-0.19-0.14-0.09-0.05 0.01

0.08 0.15 0.22 0.29 0.36 0.43 0.50 0.56 0.62 0.70 0.80 0.93 49

484746454443424140393837

363534333231302928272625

242322212019181716151413

121110 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Autocorrelation Function for y(t)

453525155

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Parti

al A

utoc

orre

latio

n

TPACLagTPACLagTPACLagTPACLagTPACLag

1.00

-1.24 -0.17 0.79 0.92 -0.10 -1.95 -0.66 -0.74 0.52 0.51 1.56 1.16

0.50 0.46 0.49 -0.05 0.88 2.17 -0.56 -0.14 1.13 0.04 -0.44 -0.46

-2.12 -0.87 -0.93 -2.12 -1.50 -1.71 -1.11 -0.55 -1.30 -0.95 0.67 -0.75

-1.21 -0.58 -0.55 -1.11 -0.81 0.01 -1.78 1.72 -1.97 4.71 -6.44 13.08 0.07

-0.09-0.01 0.06 0.07-0.01-0.14-0.05-0.05 0.04 0.04 0.11 0.08

0.04 0.03 0.04-0.00 0.06 0.15-0.04-0.01 0.08 0.00-0.03-0.03

-0.15-0.06-0.07-0.15-0.11-0.12-0.08-0.04-0.09-0.07 0.05-0.05

-0.09-0.04-0.04-0.08-0.06 0.00-0.13 0.12-0.14 0.33-0.46 0.93 49

484746454443424140393837

363534333231302928272625

242322212019181716151413

121110 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Partial Autocorrelation Function for y(t)

نالحظ من شكل المتسلسلة و الترابطات الذاتية والترابطات الذاتية الجزئية انها اصبحت مستقرة .٢=dفي المتوسط اي ان

من انماط الترابطات الذاتية والترابطات الذاتية الجزئية نرى انها تتخامد من التخلف األول مما وسوف نطبق هذا النموذج باألمرtz للمتسلسلة األصلية (١،٢،١)ARIMAيرشح نموذج

MTB > ARIMA 1 2 1 'z(t)' 'RESI2' 'FITS2'; SUBC> NoConstant; SUBC> Forecast 10 c4 c5 c6; SUBC> GACF; SUBC> GPACF; SUBC> GHistogram;

٢٠٠

SUBC> GNormalplot.

ARIMA Model ARIMA model for z(t) Estimates at each iteration Iteration SSE Parameters 0 2462.77 0.100 0.100 1 1345.58 0.250 -0.050 2 1170.63 0.203 -0.200 3 984.83 0.182 -0.350 4 782.47 0.200 -0.500 5 560.15 0.278 -0.650 6 363.93 0.428 -0.765 7 259.20 0.578 -0.814 8 202.76 0.728 -0.842 9 185.51 0.861 -0.859 10 185.36 0.873 -0.860 11 185.36 0.875 -0.860 12 185.36 0.875 -0.860 Relative change in each estimate less than 0.0010 Final Estimates of Parameters Type Coef StDev T AR 1 0.8749 0.0353 24.75 MA 1 -0.8599 0.0357 -24.12 Differencing: 2 regular differences Number of observations: Original series 200, after differencing 198 Residuals: SS = 183.717 (backforecasts excluded) MS = 0.937 DF = 196 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 3.9(DF=10) 13.0(DF=22) 33.1(DF=34) 46.0(DF=46) Forecasts from period 200 95 Percent Limits Period Forecast Lower Upper Actual 201 -22615.2 -22617.1 -22613.3 202 -22757.2 -22764.6 -22749.9 203 -22900.4 -22917.2 -22883.5 204 -23044.5 -23075.3 -23013.7 205 -23189.5 -23238.8 -23140.1 206 -23335.2 -23407.8 -23262.6 207 -23481.5 -23582.1 -23380.9 208 -23628.4 -23761.8 -23495.0 209 -23775.8 -23946.7 -23605.0 210 -23923.7 -24136.6 -23710.7

النموذج المقترح هو( )1 10.875 0.859 , 0,0.937t t t t tz z a a a N− −= + −

هي tمقدرات المعالم وإنحرافاتها المعيارية وقيمة إختبار و

٢٠١

( )( )

1 1

1 1

2

ˆ ˆ0.8749, . . 0.0353, 24.75

ˆ ˆ0.8599, . . 0.0357, 24.12

ˆ 0.937, . . 196

s e t

s e t

with d f

φ φ

θ θ

σ

= = =

= − = = −

= =

.نالحظ ان المعالم معنوية :اآلن نفحص البواقي

45403530252015105

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Auto

corr

elat

ion

ACF of Residuals for z(t)(with 95% confidence limits for the autocorrelations)

45403530252015105

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Parti

al A

utoc

orre

latio

n

PACF of Residuals for z(t)(with 95% confidence limits for the partial autocorrelations)

توزيع ضجة أنماط الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي للبواقي تدل على أن البواقي تتبع

:بيضاء أي غير مترابطة، لنفحص طبيعية البواقي رسم المدرج التكراري

٢٠٢

210-1-2-3

20

10

0

Residual

Freq

uenc

y

Histogram of the Residuals(response is z(t))

.يبدو متناظر بعض الشيئ

:لننظر إلى مخطط اإلحتمال الطبيعي للبواقي

3210-1-2-3

2

1

0

-1

-2

-3

Normal Score

Res

idua

l

Normal Probability Plot of the Residuals(response is z(t))

.نستطيع أن نقول ان البواقي طبيعية تقريبا

. فترات تنبؤ٪٩٥ تنبؤات للقيم المستقبلية مع ١٠الرسم التالي لـ

109876543210

-22500

-23000

-23500

-24000

Time

z(t)

Forecast of 20 Future values with 95% limits

٢٠٣

٢٠٤

:المراجع

١- Abraham, B. and Ledoter, J. (1983). Statistical Methods for Forecasting, John Wiley, New York.

٢- Anderson, T. W. (1971). The Statistical Analysis of Time Series, John Wiley, New York.

٣- Box, G. E. P. and Jenkins, G. M. (1976). Time Series Analysis Forecasting and Control, 2P

ndP ed., Holden-Day, San Francisco.

٤- Brillinger, D. R. (1975). Time Series: Data Analysis and Theory, Holt, Rinehart and Winston, New York.

٥- Fuller, W. A. (1976). Introduction to Statistical Time Series, John Wiley, New York.

٦- Granger, C. W. J. and Newbold, P. (1977). Forecasting Economic Time Series, Academic Press, New York.

٧- Hannan, E. J. (1970). Multiple Time Series, John Wiley, New York.

٨- Harvey, A. C. (1980). Time Series Models, Halsted Press, New York.

٩- Montgomery, D. C., Johnson, L. A. and Gardiner, J. S. (1990). Forecasting and Time Series Analysis, 2P

ndP ed.,

McGraw-Hill International Edition. ١٠- Makridakis, S., Wheelwright, S. C. and McGee, V.

E. (1983). Forecasting Methods and Applications, 2 P

ndP ed.,

John Wiley, New York. ١١- Shumway, R. H. (1988). Applied Statistical Time Series

Analysis, Prentice-Hall, New York. ١٢- Wei, W. W. S. (1990). Time Series Analysis Univariate and

Multivariate Methods, Addison Wesley. ١٣- Minitab Reference Manual, Release 11 for Windows.

(1998).

لألسف الشديد التوجد حسب علمي مراجع عربية تغطي آل أو جزء من محتوى المادة المغطاة في هذا الكتاب وأرجوا من أي طالب أو باحث أو مدرس يعلم بمثل

:هذا المرجع او الكتاب أن يرسل لي مالحظة على البريد اإللكتروني Tabarry@ksu.edu.saT أو Tabarry@abarry.netT

.وشكرا