224 TORIA OA ElASTICIDADE

Lembrando que E e as derivadas au/ax .... awlaz sao quantidades pequenas cujos quadrados e produtos podem seT desprezados . e usando a [2 + m! + n ! = I, a Eq. (d) se lorna

t: = II au + m! au + nl iJw + lm (au + au) + In (au ,... ott') ax iJy c1Z iJy ax iJz \ ax

+ mn + aw) (116) a. ay

Portanto, 0 aJongamento de urn elemento , pode ser calculado, desde que as expressOes

226 TEORIA DA ELASTICIDADE

Se os eixos coordenadosx. y. z coincidirem com os eixos principais de de-fonna~o. a Equa~ao (119) se escreve .

Neste case, 0 alongamento de urn elemento linear qualquer de co-senos diretores I, m, n se toma, pela Eq, (117),

(120)

e a deformac;ao angular correspondente a duas dire~Oes perpendiculares r e " se toma, pela Eq. (118),

(121)

Pode desta forma ser visto que a deforma~o em urn ponto fica completamente determinada se forem conhecidas as dire~6es dos eixos principais de deforma~ao e os vaJores dos aJongamentos unitarios principais. A determina~o dos eixos principais de defonna~o e dos alongamentos principais pode ser feita da ma-neira indicada no Art . 77. Pode tambem ser demonstrado que a soma E ... + E. + E.r pennanece constante quando se efetua uma rota~ao do sistema de eixos coor-denados. Esta soma tern , como sabemos, urn significado fisico simples: repre-senla a expansao volumetrica unitaria causada pela defonna~o. em urn ponto.

83 Rota~o

Em geral . durante a deforma~o de urn corpa, urn elemento qualquer sofre va-ria~ao de forma. transla~o e rota~o. Em virtude da deforma~o angular, as arestas nao apresentam a mesma rota~ao e se toma necessario considerar de que forma a rota~o do elemento pode ser especificada. Urn elemento de faces para-lelas aos eixos x, y, z Pexte ser )evado it forma, posic;ao e orientac;ao finais, mediante as tres eta pas seguintes. partindo do elemento no corpo indeformado: I. Sao aplicadas ao elemento as deforma~6es E .... Ell' E.r. Y"'II' YIIZ> Y ... " e, em se-

guida, 0 elemento e orientado de tal modo que as dire~6es das deforma~6es principais nao apresentern rota~Oes .

2. 0 elemento e transladado, ate que seu centro\ocupe a posic;a,o final. 3. 0 elemento e girado. ate que assuma sua orientar;ao final.

A rOlac;a,o indicada na terceira elapa e, evidentemente. a rota~a das dirc-C6es principais de deformac;ao. e, consequentemente. independe da escalha dos eixos x, y, z. Deve ser passlvel calcula-Ia quando os deslocamentos u, v, Ii' forem conhecidos. Por outro lado, ela c1aramente independe das cornponentes de deformar;ao.

Uma vez que a translac;ao do elemento nao apresenta aqui interesse, pode-mas considerar 0 deslocamento de urn ponto 0 1 tal como no Art. 81 e na Fig. 128. em relacao ao centro 0 do elemento. Este deslocamento relativo e fome-cido pelas Eqs. (b) do Art . 81 como sendo

au au iJu Ul - U = - lix + - ay + - az

ax iJy az au av av

VI - V = - ox + - liy + - 4z ax iJy iJz (}w iJw dto

WI - to = - ax + - liy + - 6z ax iJy tlz

(a)

ANALISE DE TENSOES E DEFORMACOES EM TR~S DlMENSOES 227

lntroduzindo a notayao (e) do Art . 81 para as componentes de deforma~ao. e tambem a notac;aol

= w~ - - - - ~ '" (122) 1 (av au) 2 ax ay podemos escrever as Eqs. (a) na forma

Ul - u = E., Ox + ~'Yrl' oy + "~1'lU OZ - w, oy + WII OZ v,-v-K~b+~b+K~b-~b+~b

w,-w~K~b+K~b+~b-~b +~b

(b)

que exprimem 0 deslocamento relativo em duas partes, uma dependendo apenas das componentes de deformayao, e a cutra dependendo somente das quantidades Wz W II w,.

Podemos agora mostrar que Wn WII' W z sao, de fato, as componentes da rotacrao 3. Consideremos a superficie dada peJa Eq. (I 19) . 0 quadrado do raio em urna dire~o qualquer e inversamente proporcional ao alongamento unilario de urn elemento linear nessa dire~ao. A Eq. (119) e da forma

F(x,y,z) = const. (e)

Se considerannos urn ponto vizinho x + dx, y + dy, Z + dz situado sobre a superjicie, temos a rela~o

aF aF aF -dx + -dy + -dz ~ 0 ~x ay az

(d)

A varia~ao de posi~ao dx. dy, dz se efetua numa dire~o cujos co-senos diretores sao proporcionais a dx. d.\', dz. As tres quantidades aFlax, iJF/iJy, iJF/al. tambCm especificam urna dire~aa. ja que podemos considerar co-senos direlorc~ propor-cionais a elas. 0 membra da esquerda da Eq. (d) e. entao, proporcional ao co-sena do angulo entre estas duas dire~Oe s. Como ele se anula , as duas dlre~Ocs sao perpendiculares e. urna vez que dx. dy. dz representam urna dire~o contida no plano tangente a superficie no ponto x, y. Z, a dire~ao representada par iJF/iJx, iJF/iJ)" iJF/a;. e normal a superficie dada pela Eq (c).

Considerando agora que , neste caso. F(x,y. :::, ) e a flln~ao do membra da di-reita da Eq. (119), tcmos

aF iJx "'" 2tJ[x + 'Y"I/Y + )' ... Z aF iJy = 'YrvX + 2EIIY + 1'1/'Z (e) aF iJz = '1%.% + 'YlI.y + 2t.z

Ipclo exame da Fig. 6, vcriftca.-se que iWlax c - iJulay, que apareccm oa exp"cssio de w . sao as ~s, em scntKlo horirio, dos elementos lineares O'A'. O'B'. a partir de suas pos~Oes Iniciai s OA, DB. ~anto, w. c a media dcstas rotacs. C WJ[ C w~ tern significado anlilogo nos pianos ),Z C Xl.. respecllvamentc.

r

.-,...

228 TEORIA DA ELASTICIDADE

Sendo a superficie definida pela Eq. (119) tra~ada com centro no ponto 0 (Fig. 128). podemos idenlificar /Ix. ~y. &. nas Eqs. (b). comx. y. l. nas Eqs. re).

Consideremos agora 0 caso particular em que CtJ.l" W", W z sao nulos. Entao, os membros da direita das Eqs. (e) e das Eqs. (b) sao identicos. exceto pela presen~a de .um rator 2. Em consequencia, 0 deslocamento correspondente as Eqs. (b) e normal it superficie definida pela Eq. (119). Islo significa que, se con-siderannos 0 ponto 0 1 (Fig. 128) como pertencente a superficie, 0 sell desloca-mento se faz perpendicularmente it mesma. Portanto, se 00 1 for urn dos eixos principais de defonna~o. ou seja, urn dos eixos principais da supemcie, 0 des-locamento de 0 1 se efelua na dire!rao de 00" a qual, conseqiientemente, nao sofre rotar;ao. 0 deslocamento em questao correspondern. entao, a primeira etapa acima descrita .

A fim de completar a deslocamenta, devemas restituir as Eqs. (b) os termos wz , W II , w". Entretanto, estes termas correspondem a uma pequena rata~a de corpo rigida , de componentes w z , W II , W" segundo os eixosx, y, z. Cansequente-mente, estas quantidades, fornecidas por (122), exprimem a rota~o da terceira etapa, ista e, a rota~o dos eixos principais de deforma~ao. no ponto O. Etas sao denominadas simplesmente componentes de rota,iio .

PROBLE~AS

1. Qual e a equacao, do tipo ftx.y,z) = 0, da superficie com centro ern 0, que se toma urna esferax'5 + y'l + Z'I = r op6s a defonnacao hornogenea do Art. 80? Que tipo de superficie e ela?

2. Mostre que, se a rotacio for nula ern lodos os pontos do corp (deformacao inutacio-nal), 0 vetor deslocamento e 0 gradiente de urna funcio escalar.

Indique urn ou rnais exemplos desla defonnayao irrotacional, dentre os problemas analisados no texto .

Teoremas Gerais

84 Equa~Oes diferenciais de equilibria

No desenvolvimento do Art. 74, consideramos a tensao em urn ponto de urn corpo elastico. Vamos considerar agora a varia~ao da tensao quando rnudamos a posi~o do ponto. Com este objetivo, as condi~6es de equilibrio de urn pequeno paralelepipedo relangulo de arestas &X, liy. liz (Fig. 129) devem ser estudadas. As componentes de ten sao atuando nas faces deste pequeno elemento e seus senti-dos positivos sao indicados na figura . Tomaremos, aqui, em considera~ao as pequenas varia'rOes das componenles de tensao devidas aos pequenos incremen-tos &X, liy. liz. das coordenadas. Entao, designando os pontos medios das faces do elemento por I. 2. 3. 4, 5 e 6, como na Fig. 129, distinguimos entre 0 valor de fIz no ponto I, e seu valor no ponto 2, designando-os por (fIr)L e (fIr)z, respectiva-mente . E claro que 0 simbolo fIr designa 0 valor desta componente de tensao no )X)nto x, y. z.. No calculo dasjor,as que atuam no elemento, consideremos as faces muito pequenas, e a for~a como obtida peJa multiplica~o da ten sao no centr6ide da face peJa area da me sma.

Deve ser nOlado que a for'ra de volume atuando no elemento - desprezada como um infinitesimo de ordem superior na discussao do equillbrio do tetraedro

(uz ls

I' 610 I (~7:ls l";yzJs I (j ) 7r,."),, /-Y T3U l ~ #Ih-"'i (O'Y)3 - 0(' I I X 6, 4 , I 3 t ' ) (r:~),)1 ~)'),) ;!!!JC.!J ____

/ /

/ / - -61' Y

Fig. 129

230 TEORIA DA ElASTICIDADE

(Fig. 126) - precisa agora seT leva~ considera~~, porgue e da mesm~ ordem de ~ndeza que os termos devidos as varia~Oes das componentes de teo sao, que agora sao considerados. Designando por X, Y. Z as componentes desta for~a por unidade de volume do eJemento. en lao a equa~o de equilibrio obtida pela soma de todas as fOf!r3S que atuam neste elemento na dire~o x e

[(")' - ( ).[ Iy Iz + [(Tq). - (T.,).I Ix !, [(T .. ). - (T .. ).1 Ix;y +Xlxlylz=O

As duas outras equa~Oes de equilibria 520 obtidas do mesmo modo. Depois de se dividir por &X, 6y, liz e estabelecer 0 limite pela contra9ao do clemen to ate 0 ponto x, y, z, encontra-se

oas + dTs" + OTs. + X = 0 ox oy az

oa" + Ur~1I + OT". + Y = 0 ay dX az

(123)

aa. + drs.. + aT". + z = 0 ilz dX ay

As Eqs, (I23) devem ser satisfeitas em todos os pontos ao {ongo do volume do sOlido, As tensOes variam neste volume e, quando chegamos ao contomo, elas devem ser tais que estejam em equilibrio com as fon;as extemas na superfi-cie do solido, Estas condi~Oes de equilfbrio na superficie podem ser obtidas a partir das Eqs. (108). Considerando urn tetraedro OBCD (Fig. 126) tal que a face BCD coincida com a superficie eo solido, e designando por X , y, t as compo-nentes das for~as de superficie por unidade de area neste ponto, as Eqs. (108) se tomam

x = a.t + T"lIm + Tun Y = allm + TII,n + T~lIl Z = a,n + Tul + TII.m

(124)

nas quais I, m, II sao os co-senos direlores da normal exterior a superficie do corpo no ponto em cons idcrar.;ao.

Se 0 problema consiste em delcrminar 0 cstado de tens..;'o em urn solido submetido a a~o de forr.;as dadas, e necessario resolver as Eqs. ( 123)~lu r.;:ao deve ser tal que sati sfar.;a as condie;Oes de contorno (124). Estas equae;6es, contendo seis componentes de tensao. U.r, . . . , Til: nao sao suficientes para a delerminar.;ao destas componentes. 0 problema e estaticamente indeterminado, e. a tim de obtermos a solu~ao, devemos proceder como no caso dos problemas bidimensionais, i.e., as deforma~6e s elasticas do corpo precisam tambem ser consideradas.

85 Condi~Oes de compatibilidade

Deve ser notado que as seis componentes de deformac;ao em cada ponto sao completamente determinadas pelas tres fun~6es u, v, w, representando as com-

TEOREMAS GERAIS 231

ponentes do deslocamento. Logo, as componentes de defonnac;ao nao podem seT tomadas arbitrariamente como fun~Oes de x, y, ~, mas estaa sujeitas as rela~6es obtidas a partir das Eqs . (2) ,'

Entao.

das quais

(a)

Mais duas rela~6es do mesmo tipo podem ser obtidas por permuta~o dclica das letras x, y, z.

A partir das re la~6es difere,neiais

encontramos que

iJ'YlI~ = ~ + a'w iJx dX az ax ay

ayrv _ iJiu + iJ2u Tz - ay ilz ax ilz

(b)

OUlras duas rel a~6es do tipo (b) podem ser obtidas pela pennuta~o das letras x, v, z. Chegamos entao as se is 'seguintes rela~Oe s diferenciais entre as componen-'tes de dcforma~ao , as quais devem ser sat isfeitas em virtude das Eqs. (2):

a!i'~: ay dz ( 125)

Estas equar.;6es diferenciais l sao denominadas condiroes de compalibilidade. Usando a lei de Hooke [Eqs. (3)], as condi~Oes (l25) podem ser transforma

das em relae;Oes entre as corpponentes de ten sao. Seja, por exemplo. a condie;ao

'A demonst~ao dt: que estas St:is t:qua~cX:S sao suficientt:s para assegurar a existencia de urn desloca mento correspondente a um conjunto dado de fun~0e5 ( .. , . ,'Y ..... ,pede ser encontrada em A. E. H. Love, Mat'u'maticaf Th~ory 0/ Elasticity. 4.- ed., p. 49, Cambridge University, New York, 1927, e em 1. S. Sokolnikoff, Mathmuuicol Th~ory 0/ Elasticity, p. 2S, 19.s6, As pr6prias equa~s roram dadas pelf B. de Saint-Venant em sua edi~ do livre de C. L. M. H. Navier, Risumi d~s uroftJ sur I'Applicatiofl d~ la Micafliqu~. ap. 3, Cari1ian-Goeury, Paris, 1864.

,..

232 TfORIA OA EUSTICIOAOE

(c)

A partir das Eqs. (3) e (4), usando a nota~o (7), encontramos

1 .. = E [(I + ')" - .e]

1 ' . = E [(I + ,) . - .e]

2(1 + ,)T,. 1'1/0 = E

Substituindo estas express6es em (e), obtemos

(I + ,) (a'., + a',,) _ ,{a'6 + 3-'6) = 2(1 + ,) a". .. az! ely! azl iJyt iJy at (d)

o membra do lade direito desta equa~o pode ser transformado usando-se as equar;6es de equilibria (123). Destas,obtemos

ih". _ . _ iJrZI _ Z -ay= az ax ~ = _ au" _ dTZJI _ Y at. ay ax

Derivando a primeira destas equa~Oes em re la~o a Z, a segunda em rela~ao a y, e somando os resultados das deriv~6es. encontramos

2 a;"111 = _ alul _ alu, _ ~ (a-ru. + O-rZll) _ az _ aY ay al. al.I ayl ax al. ay al. ay

ou, usando a prime ira das Eqs. (123),

Substituindo esta na Eq . (d) e usando, para simplificar a escrila, 0 simbolo

encontramos

(I + ,) (V's _ V'" _ a's) _ , (V's _ a's) ax! ax' = (I + ,) (ax _ aY _ az) te)

ax ay al. Duas equar;Oes amilogas podem ser.obtidas a partir das duas outras condilrOes de compatibilidade do tipo (c).

TfOREMAS GERAIS 233

Adicionando as tres equa!;Oes do tipo (e) encontramos

(f)

Substituindo esta expressao para vze na Eq. (e),

V'. + _ 1_ a's = _ _ '_ (ax + aY + az) _ 2 ax '" 1 + .. ax! 1 - II ax ely az ax tg)

Podernos obt~r tres equa~6es deste tipo, co rrespondentes as tres primeiras das Eqs. (125). Do mesmo modo, as restantes tres condi~6es (125) JXJdem ser trans-farmadas em equar;6es do seguinte tipo:

V'" . + _ 1_ a's = _ (az + ay) 1/ l+voyoz elyaz

(h)

Se nao existem foq;as de massa, ou se estas sao constantes, as Eqs. (g) e (II) se {amam

a's (I + ,)V'" + ax' = 0 a's (I + ,)v". .. + ay az = 0

a's (1 + ,)V'" + ay' = 0 a's (I + .)V"." + ax az = 0 (126)

a's (I + , )V' + az' = 0 a's (I + ,)V"'~ + ax ay = 0

Vemos que, em adi~o as equa~Oes de equillbrio (123) e as condir;oes de contomo (124), as componentes de tensao em urn corp isOtropo precisam sat is-fazer as seis condir;6es de compatibilidade (g) e (h) ou as seis condir;Oes (126). Este sistema de equar;oes e geralmente suficiente para determinar as cemponen-tes de tensao, sem ambigiiidade (ver Art. 96).

As condir;Oes de compatibilidade contem somente derivadas segundas das componentes de ten sao. Logo, se as for~s extemas sao tais que as equar;6es de equilibrio (123) juntamente com as condir;Oes de contomo (124) podem ser satis-feitas temando as componentes de ten sao como constantes ou como funr;6es lineares das coordenadas. as equar;6es de compatibilidade sao identicamente sa-ti sfeitas , sendo este sistema de tensOes a solu~o correta do problema . Varios exemplos de tais problemas serao considerados no Cap. 9.

86 Determina~o dos deslocameotos

Quando as componentes de tensao sao encontradas a partir das equar;6es ante-riores , as componentes de deformar;ao podem ser calculadas usando-se a lei de Hooke [Eqs. (3) e (6)]. Entao . as Eqs. (2) sao usadas para a determinar;ao dos deslocamentos u, v, w. Derivando as Eqs. (2) em relar;.ao ax, y, Z podemos obler 18 equar;6es contendo 18 derivadas segundas de u, v. w. a partir das quais todas estas derivadas podem ser determinadas. Para u, por exemplo, obtemos

234 TEO RIA OA ELAST1CIOAOE

As derivadas segundas para as outras duas componentes de deslocamento. v e w, podem ser obtidas por permu~o dciica, nas Eqs. (a). das tetras x, y, ,.

Agora, u, v, w podem ser obtidos por inte~ao dupla destas derivadas segundas. A introdu~o de constantes arbitnirias de integra~io resultari. em adi-dooar aos valores de u, v, w fun~6es lineares em x, y, l . porquanto e evidente que tais fun~6es podem ser somadas au. v, w sem afetar as equa~Oes tais como (a). Para termos as componentes de deforma~o (2) inalteradas par tal acres-cimo, as fun90es lineares adicionais devem ter a forma

u,_a+bY-CZ] v'=d-bx+ez.

Wi =J+cx. -ey

(b)

Isla signlfica que as deslocamentos nao sao inteiramente determinados pelas tens6es e defonnat;6es. Aos deslocamentos encontrados a partir das equa~6e s diferenci.is (123), (124) e (126) um deslocamento de corpo rigido pode ser super-posto. As constantes a, de/ nas Eqs. (b) representam urn movirnento de trans-lat;io do solido, e as constantes h, c e e sao as tres rota!;Oes de corpo rigido em torno dos eixos coordenados. Quando existem suficientes vlnculos para impedir o movimento de corpo rigido, as seis conslantes nas Eqs.IbLpodem facilmente ser obtidas de forma que satisfat;am as condit;Oes de restrit;ao. Varios exemplos dos referidos calculos serno mostrados posteriormente . ---

87 Equa~Oes de equilibrio em termos de deslocamentos

Urn metodo de solut;3,o de problemas elasticos consiste em eliminar as compo-nentes de tensao das Eqs. (123) e (124), usando a lei de Hooke. e exprimir as componentes de defonnar;ao em termos dos deslocamentos , usando as Eqs. (2). Desta mane ira, chegamos a tres equac;6es de equilibrio con tendo somente as Ires func;Oes desconhecidas u, v, w. Substituindo na primeira das Eqs. (123), de (II),

e de (6),

encontramos

au u, ~ Xe + 2G -ax

(au av) T ... , = G"Yr, = G ay + ax T .... = G"Yr. = G - + -(aw au') ax az

(a)

(b)

TEOREMAS GERAIS 235

As duas outms equ3!Y-oes podem ser transformadas da mesma maneira . Entao, usando 0 simbolo '\71 (ver p. 232). as equa~6es de equilibrio (123) se tomam

ae (X + G) ax + G V'u + X - 0

ae (X + G) - + G V'v + Y - 0 ay

(X + G) ~ + G V'w + Z - 0

e, Quando nao ha for~as de volume,

(X + G) ae + G V'u - 0 ax (X + G) ae + G v'v ~ 0

ay

(X + G) ~ + G v'w - 0 a,

(127)

(128)

Derivando estas equac;6es, a primeira em relacao a x, a segunda em relar;a,o a y, e a terceira em relac;ao a z. . e somando 0 resultado das derivat;6es, encontramos

(X+2G)V'e-0

i.e., a expansao volumetrica unitaria e satisfaz a equao diferencial

(129)

A mesma conclus3.o e valida tambem quando as fon;.as de massa sao constantes ao longo do vo lume do s6lido.

Pela substituic;ao das equac;.oes tais como (a) e (b) nas condic;Oes de con-torno (124), encontramos

x - Xel + G' - I + - m + - n + G - I + - m + - n -, (au au, au) (au av aw) ax ay Oz. ax ax ax

(130)

As Eqs. (l27)juntamente com as condic;6es de contomo (130) dcfinem com-pletamente as tres fun!;Oes u, v, w. A partir destas, as componentes de deforma-~o sao obtidas usando-se as Eqs. (2), e as componentes de tensao usando as Eqs. (9) e (6). Aplicac;6es destas equat;6es serno mostradas no Cap. 14 .

88 Solu""o geral para os deslocamentos

E facilmente verificado, por substitui~o. que as equac;Oes diferenciais de equili-

236 TEORIA DA ELASnClDADE

brio (128), em lennos dos deslocamentos, sao satisfeitas pori

a u = 4>, - a ax (4). + x4>, + y4>. + z4>,)

a v = 4>. - a oy (4). + x4>, + y4>. + z4>,)

a 10 = 4>, - a a. (4). + x4>, + y4>. + z4>,)

oode 4a = 1/(1 -v) e as quatro fun~6es CPo. 4>2. 4>3 sao harmonicas, i. e.,

V'lq,o = 0

Pode ser mostrado que esta solu~o e geral. rnesmo quando ~o e ornitida. Z Esta fonna de sotu~o foi adaptada a coordenadas curvilineas JX)r Neuber e

apJicada por ele a resolu~o de problemas de solidos de revolu~a03 gerados por hiperboles (entalhe hiperbOlico em urn cilindro) e elipses (cavidade em forma de urn elipsoide de revolu~o) transrnitindo tra~o . flexao. tor~o. ou fo~a cortante transversal ao eixo combinadas com flexao .

89 Principio de superposif;iio

A solu~o de urn problema de urn dado solido elastico, com fo~s de superficie e de ' volume dadas. exige-nos a detennina~o de componentes de tensao, ou deslocamentos, que satisfa~arn as equa~6es diferenciais e as condi~6es de con-torno. Se escolhennos trabalhar com as componentes de tensao. temos que satis fazer: (I) as equacr6es de equilibrio (123); (2) as equa~6es de compatibilidade (125); (3) as condicr6es de contomo (124). Sejam U;e'''' Tn'" as componentes assim detenninadas, e devidas as fo~as de superficie X. Y, teas forcras de massa X, Y, Z.

Sejam U z', ... T ;ell' as componentes de tensao no mesmo corpo elastico devidas as for~s de superficie X', }". Z: e as forcras de massa X', Y', Z' . Entao, as componentes de tensao U,z + uz' ... T,zll + Tr/ ... representariio as tens6es devidas as forcras de superficie X + X' ... e as fo~as de massa X + X' ... . Isto e valido porque todas as equacr6es diferenciais e condicr6es de contorno sao iineares. Entao. adicionando a primeira das Eqs. (123) a equacrao correspondente

du/ + a-rzv' + a-ru' + X ' = 0 ax ay az

'Esta sol~o roi dada indc:pendcnlcmcntc por p~ F. PapkovilCh, CampI. R~nd., vol. 19!i, pp. !ill c 754, 1932 e por H. Neube.r, z. Ang~. Millh. M~ch., vol. 14, p. 203, 1934. Outral sol~s SCl1lis foram dadas por B. Galerkln, CampI. R~nd., vol. 190. p. 1047, 1930, e por Boussinesq e Kelvin _ veja Todhunter e Pearson, . History of Elasticity", vol . 2. pl. 2. p. 268. Veja tambem R. D. Mindlin Bull. Am . Milth. Soc .. 1936. p. 373. IPaB discuslio do DUmero de rU~0e5 neces:s&riu 1 complcteza, veja P. M. Nashdi e C. S. Hsu, 1. Millh. M~ch., vol.. 10, pp. 23),246, 1961 , e as referincias citadas oeste arti&o. IH . Neuber, X~rbsptlnlUtn,li~hr~. 2.- ed., Sprinaer-Verlaa; OHG, Serlim, 1958. Elte livro conh~m tambem aoIu~ de problemas bidimeosionais . Vu Cap. 6.

TEOREMAS GERAIS 237

encontmmos

:x ( .. + .:) + OOy (T., + T~ ') + :. (T + T.:) + X + X' = 0 e de forma similar, da primeira das Eqs. (124) e de sua correspondente. temos por adi~ao

51: + 51:' = ( + .:)1 + (T~ + T~')m + (T~ + T.:)n

As condi~6es de compatibilidade podem seT Gombinadas de forma semelhante. 0 conjunto completo de equa~6es mostra que CTz + u/, ... "XII + Tz ./ '" satisfa-zem a todas as equa~Oes e tondi~Oes que detenninam as tensOes devidas as foryas X + X', ... x + X', .... Este e urn exemplo do principia de superposi-~o, que pode seT estendido a outros tipos de condi~Oes de contoma, como deslocamentos prescritos .

Na dedu~o das equa~Oes de equilibrio (123) e das condiyOes de contomo (124), nao fizemos nenhuma distin~o entre a posi~o e fonna do elemento antes do carregamento, e sua posi~ao e fonna depois do mesmo. Como consequencia, essas equa~6es, e as conclusoes delas deduzidas. sao validas someote se os pe~ quenos deslocamentos produzidos na defonna~o nao afetarem substancialrnente a a~o das for~s extemas. Existem casos, contudo. nos quais a deforma~o precisa ser levada em considera~o. Nestes. a justificativa do principio de su~ perposi~o, dada acima, nao e valida. A viga sob compressao axial e carrega mento lateral simultaneos fornece urn exemplo deste tipo. e muitos outros apare cern na considera~o da estabilidade elastica de estruturas de paredes fmas.

90 Energia de derorma~ao

Quando uma barra unifonne e carregada em tra~o simples, as forc;as em suas extremidades realizam uma certa quantidade de trabalho quando a barra e dis tend ida. Ent30, se 0 elemento mostrado na Fig. 130 e submetido somente a ten sOes normais u z , temos uma forcra uzdy dz que realiza trabalho em uma eXlen sao Ez dx. A relac;ao entre estas duas quantidades durante 0 carregamento e representada por uma linha reta como OA na Fig. BOb, e 0 trabalho realizado durante a deformac;ao e fomecido pela area 72 (u,z dy dz) (Ez dx) do triangulo OAB. Designando por dV este trabalho,. temos

dV = ~ dxdydz (a)

E evidente que a mesma quantidade de trabalho e realizada em todos os elemen lOS, se os seus volumes forem os mesmos. Indagamos agora em que se trans forma este trabalho - em que tipo de energia ele e convertido?

d dx Vi ~ d~x

o B t:xt:ix (a) (6)

fig. 130

238 TEO RIA DA ELASTICIDAOE

No caso de urn gas. a compressao adiabatica produz urn aumento de tempe-ratura. Quando urna barra de 3'rO comum e adiabaticamente comprimida, existe urn analogo, porem muito pequeno, aumento de temperatura. A temperatura ori-ginal pode entao seT restaurada retirando-se calof. Esla varia~o de temperatura a1tera a deforma~o, mas somente em urna pequena fra~o da deformac;ao adia-batica. Se iSIO nao ocorresse, existiria significativa diferenc;a entre 0 mOdulo de elasticidade "adiahatico e 0 isotermico. As diferenc;as reais para os metais co-muns sao insignificantes. 1 Por exemplo, 0 mOdulo de Young adiabatico para 0 ferro excede 0 modulo isotermico de somente 0,26 por eeolo. Aqui. serao des-prezadas estas diferenc;as.2 0 trabalho realizado em urn elemento, e nele arma-zenado, sera denominado energia de deforma~o . E suposto que 0 elemento permanece elastico e que nenhuma energia cinetica e desenvolvida.

As mesmas considera~6es se aplicam quando 0 elemento tern todas as seis componentes de tensao, U z , 0"1." U Z "ZII' '(liZ' "zz nele atuando (Fig. 3). A conser-va~o de energia requer que 0 trabalho nao dependa da ordem na qual as for~as sao aplicadas, mas somente de suas grandezas finais. De outra forma. poderia-mos carregar segundo uma ordem e descarregar segundo oulra, correspondendo a uma maior quantidade de trabalho. Entao. uma quantidade liquida de trabalho seria obtida do elemento em urn cicio completo.

D calculo do trabalho executado e mais simples se todas as fo~as ou ten-s6es aumentam simultaneamente na me sma ra:z.ao. Entao. a rela~o entre cada for~ e 0 deslocamento correspondente e ainda linear, como na Figura I3

240 TEORIA DA ELAsnCIDADE

na qual

e= E.,+t,.+f~ E.

(1 + ,)(1

Esta forma mostra imediatamente que Vo e sempre positivo. E facil mostrar que a derivada de VOl como dada por (132), em rela~ao a

uma componente de deforma~ao quaJquer. forneee a correspondente compo-Dente de tensao. Logo, tamando a derivada em relaca,o a Er e usando a Eq . (11) , encontramos

avo ~

)..e + 2GEa = U" (g)

Para 0 caso de estado plano de tensao, no qual (J, = T z , = Til l = 0, temos, a partir de (131 ).

(133)

ou, em termos das componentes de deforma~o ,

(1 34)

A energia de deforma~ao total V de urn corpo elastico deformado e obtida a partir da energia de deforma~o por unidade de volume, Vo, por integi-a~o . Es-crevendo dT para 0 elemento de volume, temos

(135)

Esta equa~ao representa 0 trabalho total executado em OpoSi9aO as for~as inte r-nas durante 0 carregamento. Se imaginannos 0 corpo como constituido de urn numero muito grande de particulas interconcctadas por molas, V represcntaria 0 trabalho executado em distender ou comprimir as rnolas. Para 0 trabalho rcali-zado sobre as particulas pel as for~as intemas, devemos trocar 0 sinal.

A quantidade de energia de deformacao armarenada por unidade de volu me do male-rial e as vezes utilizada como base para a determinacao do estado limite de ten sao no qua l OCOITe a ruptu ra desle materiaL I Com 0 objetivo de conduzir esta tcoria em concord fmcia com 0 fato de que materiais is6tropos podem suportar uma enorme pressao hidrostatica scm escoamento, foi proposto dividir a energia de deformar;:a,o em duas partes - uma devida a varia~o de volume e outra dcvida a distorcao - e considerar somenle a segunda parte na determina~o da re sistencia .!

Sabemos que a varia~o de volume e proporcional a soma das IreS componentes nor-mais de tensao (Eq. (8; logo , se esta soma e I)ula , a deforma~o e unicamente de distor-

IVirias teorias de resistincia sao discutidas em S. Timoshenko, " Resistincia dos Materiais", vol. 2, AD Livro TCcnico S. A., 1969. 'M. T . Huber, Cvuopismo Techni1.M, Lw6v, 1904. Veja tambCm R. von Mises, Gottingen Nachrich-Un, Marh .-Phys. Klasse, 1913, p. 582, e F. Schleicher, Z. Anre"". Math. Mech ., vol. 5, p. 199, 1925. Para

242 lEORIA OA ELASTICIDADE

(0 diametro, p:>r exemplo) da parte solicitada, as componentes de deformar;ao sao da ordem de pIE. e os deslocamentos re lativos na parte solicitada sao da ordem de pa lE. 0 traballlO executado e da ordem de pa'Z(pa/E) ou p 1a 31E.

Por outro lado, as componentes de tensao da ordem de p implicam em energia de deformacao da ordem de plfE IXlr unidade de volume. 0 trabalho executado e consequen-t~mente relativo somente a urn volume da ordem de 0 ' , em concordancia com 0 estabele-cido no principia de Saint-Ve.nant.

Considerou-se. ate aqui, que 0 corpo obedece a lei de Hooke e e de forma madc;a . A primeira restricao pode ser dispensada, considerando-se E, na assert iva acima . denotando meramente a ordem de grandeza das inclina~s das curvas tensao-deformacao do mate-ria1. Se 0 corp

--,

246 "!fORIA DA ELASnCIDADE

menlO de segunda ordem, positivo, desde que Vo em (134) seja positivo para quaisquer valores de Ez, Ell' "I;r;I/'

Na energia potencial total representada pelos termos entre colcbetes em (137'), sob as condi~Oes I e 2 formuladas acima. nao existe incremento de se-gunda ordem proveniente de for~as de massa e de cQnlomo. Seu incremento de primeira ordem se anula. vista que os deslocamentos reais Bu, Sv, 8w na pertur-ba~o podem seT tornados como deslocamentos virtuais. Sendo 0 incremento de segunda ordem necessariamente positivo, temos estabi/idade no sentido ja defi-nido. Sera vista que esta conclusao depende do uso da lei de Hooke,l como tambem das condic;oes 1 e 2. Para relac;Oes tensao-deformac;ao nao lineares, a s incrementos de ordem superior conduziriam a lennos alem dos de segunda or-dem o

Considera90es gerais da energia potencial total do sistema Coram aplicadas por A. A. Griffith no desenvolvirnento de sua teoria de ruptura de rnateriais frageis .1 E sabido que os materiais rnostrarn sernpre urna resistencia rnuito abaixo daquela que poderia ser esperada a partir das for9as rnoleculares. Para urn certo vidro. Griffith encontrou urna resistencia te6rica a tra-;ao da ordern de 1,10 x 101 N/rn2 enquanto que os ensaios de tra9ao com barms deste mate-rial deram somente O,.()18 x 101 N/m1 Ele mostrou que esta discrepancia entre a teoria e os experimentos pode ser explicada imaginando-se que, em tais mate-riais, como 0 vidro por exemplo, existem fissuras e defeitos microscopicos que produzem elevadas concentra~Oes de tensao e consequentemente propaga~o das fissuras. Com fmalidade de calculo, Griffith tomou urna fissura na forma de urn orificio eifptico rnuito estreito, cujo eixo maior era perpendicular a dire-;ao da forc;a. de tra9ao. Consideremos urna chapa fixada ao longo dos lados ab e cd, e submetida a urna distribui-;ao unifonne de forc;a.s de tra9iio S. agindo ao longo dos rnesrnos lados (Fig. 131). Se urn orificlo eJiptico microsc6pico AB, de com-prirnento I , e feito na chapa (ab e cd permanecendo fixos), a energia de deforma--;ao inicial , devida a tensao S de tra9iio. sera reduzida. Esta redu9ao pode ser

~rl~ c d

Fig. 131

INa leona da estabilidad.e. 0 material pode obcdeccr a lei de Hooke e mcsmo assim uma coluna ou cha~ sob ~ga de compressio que exccda 0 valor critico de Euler MO lera ~Slabifidad, no presenle scnt.ido. N.ao obslante, os problemas de estabiJidadc sao exclufdos da leoria da elasticidadc /in..-ar, devido 1 hlp6tese de pcqucnas defonna~Ocs. Por Citemplo, as condi~s de contomo do problema da FIB. 37. para os bordos Yerticais, sio tomadas como fJ"z - Tn =- 0 em x _ ~ I. As cond~Ocs de con-lomo exatas seriam as de bordos d..-[ormados liyfCS de carregamcnto normal e langcncial . 2J"rorlS. Roy. Soc. (London), Sir. A . vol. 221 . pp. 163198, 1921; e Pro

r

248 TEORIA DA ELASTICIDADE

determinar as componentes de teosao. Podemos encontrar muitas distribui~6es de tensOes diferentes satisfazendo as equ3\rOes de eQuilibrio e as cond ilrOes de contomo, dando origem it questiio: 0 que distingue a verdadeira di stribuicy3.o de tens6es de todas as demais distribuic;:Oes estaticamente possiveis?

Consideremos U;,;. etc, as verdadeiras componentes de tensao corresponden-les a posicao de equilibrio , e wz etc, peQuenas variac;:Oes destas componentes, lais que as novas componentes de tensao u z + &r J'" etc, satisfac;:am as mesmas equ3C;:Oes de equilibrio (123). Entao, subtraindo estas equ390es aplicadas as componentes ,reais de teo sao. das mesmas aplicadas as novas componentes. en-contramos que as varia90es nas componentes de tensao sati sfazem a tres equa ~s do tipo

(a)

Correspondendo a esta varia~ao de componentes de tensao, haveni urna certa varia~o nas for~s de superticie. Sejatn &t, 8f, e lii as pequenas rnodifica'!;Oes destas for~as; logo, a partir das condi~Oes de contomo (124) , encontramos tres equa~6es do tipo

(b)

Consideremos, agora, a varia

250 TORlA OA ELASTICIOAOE

Ik. Ocr. + t'li &T. + t. 00. + l'zv OTJ'lI + 'YV' &rll + 'Yo:< OT.,..) dT ~ f(u oX + v of + w oZ) dS (k)

o membro da eSQuerda desta equ~ao e 6V. como em (d). Entao a vari~ao de energia de deforma~ao na forma (131) , correspondendo as varia~Oes das compo-nentes de lensao Que preservam 0 equilibrio, e dada por

ov ~ f(uoX +vof +woZ)dS (139)

As tensOes reais sao aquelas que sati sfazem a esta equac;ao. Tais varia~6es sao matematicas e nao fisicas. Varia'!;Oes fisicas de tensOes, provocadas por varia~6es de carregamento de ccnlorne, sao sujcitas a Qutras reslri~Oes alem das de equillbrio expressas por (a). Entrelanto , matematicamente. a integral em (136), com Vo expresso em fun~ao de scis va riavcis - as se is componenles. de tensao em (131 ) - sofre urna varia

252 TEO RIA OA ELASnCIDADE

Pode ser notado que para urn conlorna simplesmente conexo, tal como (emos no presente caso, a distribui~o de tensOeS depende das constaDtes elAsticas do material (ver pagina 133) e os c:ilculos podem assim ser simplificados tamanda 0 coeficiente de Poisson" nulo. En~o. considerando a fum;ao de tensao 4>. e substituindo em (b)

". Tk' -- a:z;iJy , - 0 encontramos

1 If [( . ). ( . ). ( ". ).] V- 2E - + - +2 -- dzdy iJyl clz l iJziJy (0) A expressao correta para a fun~ao de tensao e a que satisfaz as condi/iOes (a) e lorna minima a energia de deforma~ao (e).

Se aplicarmos cciIculo variacional para determinar 0 minima de (e), encontraremos a Eq. (30) para a CunCio de tensao cPo Em vez disso, adotemos 0 seguinte procedimento' que conduz a uma soluCao aproximada do problema. Tomemos a fu~o de lensao na forma de uma sene,

(d)

tal que as condi~Oes de contomo (a) sejam satisfeitas, e a .. a!t aJ, . .. sejam constantes a serem detenninadas posterjonnente. Substituindo esta sene na expressao (e), encontramos V como uma fun~o de segundo grau em a" at, a" ... . Os vaJores destas constantes podem enta~ ser calculados a partir das cond~6es.

aV _ 0

aV _ 0

' .. que seriio equac6es lineares em ah at, as ....

aV _ 0

(,)

Por uma escolha adequada das fu~6es 4>" 4>" podemos geralmente obter uma solucao aproximada satisfat6ria utilizando apenas poucos termos da sene (d). No nosso caso, as condic6es de contomo (a) sao satisfeitas usando-se

que fomece

'., a' .po =---= 0 ax a" ( y.)

.,~ - af/I - 8 1 - bi

As demrus func6es 4>" 4>2 ... devem ser escolhidas trus que as tens6es correspondentes a elas se anulem no contomo. Para assegurat" este fato. tomemos a expressao (x~ - a' )' (y' _ b~)t como um fator em todas estas funC6es ; a derivada segunda desta expressao em relaCao a x se anula nos bordos y = :!: b, e a denvada segunda em relacao a y se anula nos extremos x "":!: a; a derivada segunda at/iJxay se anula em todos os qualro bordos da chapa. Pode-se entao es~rever a funcao de lensao como

(f)

Somenle potencias pares de x e y sao tomadas na serie, porque a distribuiCao de tens6es e simelrica ~m relacao aos eixos x e y. Limitando nossa escolha apenas ao primeiro {ermo a,

'Metodo de Ritz. au de Rayleigh. Rilz. Veja W. Ritz. 1. R~jn~ .Ang~w. Math . vol. I3S. pp. 1-61, 1908; au W. Ritz, G~sammdu W~rA:~ , Gauthier-Villan. Paris, pp. 192-250, 1911.

TEOREMAS GERAIS 253

entre parenteses. temos

Entao, a primeira das Eqs. (e) se loma

Para uma chapa quadrada (0 = b), encontramos

e as componentes de tensao se escrevem

" ( 3%') ( y.), -O,li02S 1 - Qi" 1 -;;. - 0 GS058 - 1 - - 1 - -ry ( %.) ( ) , at 0.1 0.1

A distribuiCao de CTz na seCao transversal x = 0 e representada pela curva IP (Fig. 133). Para uma maior aproximacao, tomaremos agora tres termos na serie (/). Entao. as

Eqs. (e) para 0 cruculo das constantes al> at. as. se escre!em

(64 256 ~ ~ ~) (~ ~ ~) (~ ~ ~ ~~) S

0'1 l' + 49 at + 7 a~ + O',a 77 + 49 0.1 + (I"~a 49 0.1 + 77 a' = alb'

(64 64 b ~) ,(192 256 b' 192 b~) (64. bl 64 b')

0' 1 fi +"7 ' + ata 143 + TI (it + 7 ' + 0,0. 77 (it + n Qf s

= (l 'b' (g)

(64 64 b') . (64 64 b')

0'1 "7 + 11 0' + o,a- ;; + n ' (192 h' 256 b' 192 b~) + a~a """7 Qi + 77 ~ + 143 a'

o 0 02 04 06 08 , 0

0,2 b 1/ J I

0,4b

0,6 b

0,8 b V W I

b I J[m

y Fig. 133

'A curva I representa a distribui~io panb61ica de tensQeS nas extremidades da chapa.

254 TEORIA OA ELASTICIDAOE

Para a chapa quadrada, estas equa~Oes fomecem

S a! - al :::: 0.011744'

A distribui~ao de U z oa se~ao transversal x :::: 0 e dada por

(0-"),, . 0 - S (1 - ~) - 0,1616S (I - 3~) + 0,0235 (1 - 12 ~ + 15~) Na Fig. 133 esta distribuic;ao de tensOeS e moslrada pela curva lIP .

A medida que 0 comprimento da chapa e aumentado , esta distribuic;ao de tensOes ao longo da sec;ao transversal x "" 0 se toma cada vez mais uniforme. Se lomarmos, por exemplo. a = 2b, encontraremos, a partir das Eqs. (8),

S 0.1 = 0,07983 alb'

S 0., -= 0,1250 a'b l

Logo, os correspondentes vaJores de U z ao longo da ~ao transversa] x labela abaixo:

o serna as da

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0"" - O,690S 0,6848 O,669S 0,6538 0.6498 0.6758

Esta distribuiya.o de tens6es e representada oa Fig. 133 pela linha interrompida. Vemos que oeste caso 0 afastamenlo em relac;ao a tensao media - %8 - e muito pequeno.

Para 0 tratamento de outras distribuiC;Oes simetricas de forc;as ao longo das extremida-des x = ::ta, temos somente que trocar a forma da func;ao

256 TEO RIA OA ELASTICIOAOE

Para tamar 0 problema tao simples quanta possivel. e suposto que temos uma viga continua infmita com apoios equidistantes. Todos as 'laos sao igualmentc carregados com carps simetricas, em rela~o ao seu meio . Urn dos apoios, como mostrado ria Fig. 135, e tornado como origem das coordenadas, com 0 eixo x coincidente com 0 eixo da viga. Devido a simetria. somente urn 'lao e uma metade do flange, como, jX)r exemplo. as que correspondem ao sentido positivo de y, precisam ser considerados. Admitese que a lar-gura do flange e infmila, e que sua c'spessura h e muito pequena em compara~o com a altura da viga. A fledo do flange como uma placa fina pade ser desprezada, supondo-se que, durante a flexao da viga, for~as sao transmitidas ao flange em seu plano medio, de tal forma que a sua dislribui~ao de tens6es seja a de urn problema bidimensional; A corres-pondente fun~o de tensao M t .... sao calculados a partir das condi~6es de carregamento. Sendo N a for~ de compressao no flange (Fig. 13Sc). 0 mo-menta fletor M pode ser dividido em duas partes: M' - absorvida pela alma - eM" , igual a Nt', devida as for~as longitudinais N na alma e no flange , Pelo equilibria estatico, as lensOeS normais em qualquer se~ao transversal de viga completa fomecem 0 conjugado M: logo,

11/' - 2he /0'" (f~d!l "" At onde - VIe I: O"zdy = /'.1" e a parte do momento fletor absorvida pelo flange . A energia de dcforma~ao da alma :.e escreve sob a forma

(21 Nldx (21 M'ldx (h) V I "' }o 2AE + 10 -m--

A partir da primeira das Eqs. (g) encontramos

/. . /. _ .'. I~O N _ -2h (f~d!l - -2h .dy - 2h. o oay y ... A cxpres~o (d) para a fun~ao de lensao fomece

Logo .

N '" 2h \' TlR" n .. x L T4 .. COST ._1

( ) L n.. n .. z - .. - ! A .. cos T .y .-. _ I

r" \' nr n .. x !If' = M + 2hc)o a~ dy = .f!1 - Ne - At - 2he L T A" cos T

ou, usando a notacao

podemos escrever

N G \'. nrz L .\"COST ._1

2h n;-- A .. = X ..

~ nrX ~ /tf' - M-e L X.COST - M.+ L

" ~ I "-1

._1

n

258 TEORIA OA ELASnCIOAOE

Substiluindo em (h), e notanda que

{21 1Iu 10 cos r [ dx '" l ('1.1 11,..% m,...:t

10 cos -1- 00. - 1- dz - 0 obtemos

v, - 2AIE ~ X I + ~ + _1_ \' ~ ~ EJ 2E/ ~ ~ l __ I

Adicionando eSla ullima exp",ssao a ene.-gia de deConna,.o Ie) do flange, e ulilizando as nola~6es

enCOniramos a seguinle eXpressao para a ene rgia IOlal de defonna~o

v ~ ':E I "IY,' + (I + ' )X.Y. + (I + .)X.'J + 2~E i x.' + ftf~'1 11"') " _ I

. + 2:1 I w. - 'X.l' (I) ...

As quanlidades M" X. Y. sao detenninadas a pani, da condi,.o de minimo da en,,-gia de defonna,.o (Q. Pode-se observ., que M , apa"" somente no lenno M ,'/IEI , e a partIr da condi~ao de minimo em (I). segue que Mo = O.

Da condicao

av aY~ ... 0

se oblem que

2Y .. + (I + ,,)X~ "" 0

Y --~X ' 2' SubSlituindo esta expressao e Mo energia de deforma~iio: o na Eq. (/), chegamos a segu inte express.io para a

V =: ~ 3 + 2" _ ~1 2hb' -4

(m)

A partir da condicao de que X~ deve IOrnar V urn minimo , lemos que av ax .. - 0

da qual enCOntrdmos

x. M.. 1 e 1 + (l/A~I) + (nrl/h/e l)f(3 + 2" (n)

Co~sid"emos um caso panicul." no qual 0 diagrnma de mOmenlO fletor tem a forma cosenoldal, M = M I cos (Trxll). EnLio, da Eq. (11),

TEOREMAS GERAIS 259

x, AI, 1 e I + (I/AeJ) + (:rJ / he'l)/(3 + 2,. ... ')/4J

e. considerando-se a Eq. (kJ. 0 momenlo devido a fo~ N do flange se escrcve

(p)

A distribui~ao da lensao CT r ao loogo da largura do flange po(fe agora Scr calculada a partir de Id), lomando_se os coeficienles A. e D .. excelo A, e D" iguais a zero, e colocando-se, segundo as nota~6cs adoladas,

I + B, ... --2- A,-

ESla diSl,ibui,iio de "r e mOSlColda pelas curvas na Fig. 1350. Observa-se que a tensao "r diminui COm 0 aUmenlO da dislanc ia em rela~o a alma.

Determinemos agora a largura 2A do flange (Fig. 13.5a), de uma viga T, lal que uma dislribui~ao uniforme de lensOes sobre a secao transversal do flan8e, moslrada pcla area hachurnda , forne~a 0 momento M " calculado acima pela Equacao (P). Esta sera, enlao, a lar8urn efeliva do flange .

Chamando, como antenormente. M' e M" as por~6es do momento flelor absorvidas pela alma e pclo flange. respcctivamente, CTt a tensao no centr6ide C da alma, e CT~ a lensilo no plano medio do flange, encontramos, a part ir da leoria elementar de flexio, que

M', ~. -~' -I

(q) e. pc/as equa~6es da estat ica.

2>.hcr. + ~.A ... 0 -2>..hcr.e _ M"

As express6es para as duas referidas parcelas de momento flelor , pelas Eqs. (q) e (r). sao

M' =< -1 (u. - a.) - - ; (1 + ~h) u. M" "" -2>..heu.

A relaeao entre M " e 0 momento fletor total e

M " 2Aht!#. AI ' + .1/" :: 2hh~a,""t" (I/~)/l + (2M/A)ja,

(.)

Para fazer eSla re/acao igua/ a ratio M"IM Obtida da soluCao exata (p). precisamos tomar

A partir disto, obtemos a se8uinle expressao para a largura efeliva 2>..:

2>.. _ 41 ,..(3 + 2" "I)

Cons idcrando. por exemp/o. v =: 0.3, encontrnmos

2>.. ... 0.181(21)

i.e., para 0 diagrama de momenlos fleto"s considerado, a la.-gura efetiva do flange e apm-ximadamente 18% do vao.

,..

260 TEO RIA DA ELASTICIDADE

Flg. 136

No caso de urna viga continua com fo~s concentradas iguais nos pontos medias dos vaos, 0 diagrama de momentos fletares sera 0 mostrado na Fig. 136. Representando esle diagrama por uma sene de Fourier e usando 0 metoda geral acima desenvolvido. eneon-tramas que a largura efetiva nos apoios e

i.e., urn pouco menos que no caso do diagrama de momentos de forma co-senoidal. , Urn problema de mesma natureza geraJ que 0 discutido no Art. 94 ocorre em estrutu-

ras de paredes floas enrijecldas. Consideremos urna viga-caixao (Fig. 137) (armada a partir de dais perfis V, ABFE e DCHG, Iigados por duas chapas ABeD e EFGH. por meio de rebites ou solda ao longo de seus bordos. Se a viga e engastada em sua eXlremidade es-querda. e solicitada como urna viga em balan-;o pelas fo~s P aplicadas aos perfis oa Qulra extremidadc, a leona clemcnt3r de Hexao fomeceni uma tensio de tmca,o na chapa ABCD unifonne ao longo de qualquer selrao paraJeJa aBC. Na verdade. entretanto. a chapa ad quire suas tensOes trativas a partir de tens6es cisalhantes em seus bordos, transmitidas pelos perlis U, como indicado na Fig. 137, e a distribuicao de tensiles de traeao ao longo da largura nao sera uniforme, mas, como mostrado na figura , maior nos bordos que no meio . Este afastamenlo da distribuieao uniforme suposta pela leoria elemenlar e conhecido como arTaste pOT tensiio eisa/hante, uma vez que ele envolve uma defonnalrao por cisa-Ihamenlo nas chapas. Este problema foi analisado por meio da energia de deformaeao e OUlros melodos. com 0 auxilio de hip6teses simplificadoras. 1

Fig. 137

PROBLEMAS

1. Por qual razao devcmos esperar que 0 mOdulo de Young isotennico de qualquer metal comum seja m~nOT que 0 mOdulo adiabatico?

2. Encontre uma expressao em tennos de (T ... , U " , T ... ~ para a energia de defonna~ao V por

IE. Rcissner. Quan. Appi. Math .. vol. 4, p. 268. 1946; J . HadjiArgyris, Brit . AeTon. Res. Council Repts. Mem. 2{l38. 1944; J . HadjiArgyris e H. L. Cox. Brit. A('ron. Res. Council Reprs. Mem. 1969. 1944. Referincias para investigaes mais reccntes sao dadas nc:ste artigo. V~ tambem 0 0. 1. p. 255.

TEOREMAS GERAIS 261

unidade de espessura em urn cilindro ou prisma em estado plano de derorma~ao (E.::: 0) .

3. Escre va a integral para a energia de deforma~ao V em termos de coordenadas polares e componenles de ten sao para 0 caso de estado plano de tensOes Lef. Eq. (b), Art. 93J.

M

A distribuiCao de tcnsOes fomecida pelas Eqs. (79) resolve 0 problema. indicado oa Fig . 138, de urn anel solicitado no bordo interno por uma dislribuiCao uniforme de forr;as cisalhantts, formando urn conjugado M, e equil ibrada por outro conj ugado apli-cado no bordo ex-lema. Calcule a energia de deformacao oeste anel. e igualando a energia calculada ao trabalho executado durante 0 carregamento. deduza a rotaeao do bordo exlemo, quando 0 anel esta fixado no bordo interno (eL Prob. 3, pag. 141),

Q b

Fig. 138

4. Calcule a energia de dcformalraO por unidade de comprimento de urn cilindro a < r < b subme tido a uma pressao intema PI' As extremidades do cilindro est.ao livres T: = 0).

S. Interprete a equa~o

e fomelra a just ificali va da exislencia dos fatores 1/2 no membro da direita. 6. Mostre a par1ir da Eq (131) que. se lemos urn caso de estado plano de tensao e urn

corresponden le casu de estado plano de defonnayao (Ez = 0). nos quai s as tensOe s (T r. (Til' Trll sao as mesmas. a energia de defonnacao c maior (por unidade de espessura) para 0 est ado plano de tcn~o.

7. N .. Fig. 139. (a) representa uma lamina sob compress:l0. na qual 0 estado de ten

-

262 Tl'ORIA DA ELASnCIDADE

10. "A Equa~ao (142) e valida Quando cW, ax, ar resull am de quaisqucr pcquenas modifica~6es nas componentes de lensao que 5ali sfacam as condi!yOes de equilibria fa) no Art. 93, quer estas mod ifica~6es violem as condies de compatibilidade (An. 16) ou nao. No ult imo caso, as varia~s nas tens6es sao aquelas que realmente ocorrem quando as for~as de contomo sao modificadas de oX, ai'''. Esta afirmativa e correta?

11. A Equa~o (g) na p. 240 se refe re a urn material que obedece a lei de Hooke. Suponha que 0 material nao obed~a a esta lei. mas tenha a energia de deformacao Vo expressa por uma funiY3.o das componentes de deformacao, de forma mais elaborada que em (132). Mostre que as relaes tensao-deformacao (nao lineares) sao ainda dadas por relaes do t ipo

(considere urn incremento de uma com"Pone nte de deforma95o, permanecendo todas as demais inalteradas).

96 Unicidade da solu~ao

Consideremos agora se nossas equa~6es padem ter mais de uma solU9ao para detenninadas for~s de superfic ie e de massa.

Suponhamos que U / . . , 7" ~/ representem uma solU9aO paras as cargas X .. ,X .... e a/' . 7";c/ ' .... seja uma segunda soluCao para as mesmas cargasX ... ,X . ... Entao, para a primeira soluC:io temos as equ390es

OUz' + 07"z/ + OTz.' + X = 0 ax ay az

e tambem as condiem L. N. G. Filon. Brit ...... ssoc. Ad.ollc. Sci. Rep! .. 1921. p. 305. e V. VolterTa, Sur I'equilibre des corps elastiques multiplement con nexes. Ann. Ecole Norm., Paris., ser. 3, vol. 24. pp. 401-.517, 1907. Qutras rcferincias a tensOeS inieiais sao dadas no trabalho de P. Nemenyi. Z. A.ngew. Math . Mech .. vol. II, p . .59, 1931.

264 TIORIA DA ELAsnCIDADE

~o ou compressao ax ial inicial - sem 0 conhecimento do valo r desta teo sao inicial.

97 Teorema da reciprocidade

Consideremos agora urn dado corpo elast ica sujeito a urn conjunto de delenn i nadas fort;as de superficie X'. Y', 2: e fo~as de massa X'. Y', Z' e suponhamos que sejam con hecidos os deslocamentos. defonna90es e tensOes. designados respectivamente por u' E/. Yn/, (J'z', 'TJ:JI'. etc. lndependentemente, considere-mos urn segundo conjunlo de foq;.as X", etc, X", etc, e indiquernos os resulta-dos para este segundo estado de carregamento como lI", E/'. 'Y .ell", U r", T n/' . etc.

Ternos entao duas sol u~6es d ist intas para os dois casos de carregamento, mas devido ao fatD de se tratar do mesmo corpo elastico, existe uma relacao ent re estes do is casos. Vamos estabelecer aqui urn aspecto desta re la~ao - 0 teorema da reciprocidade. I

A partir das duas solu~Oes podemos fonnar, puramente por opera~6es rna tematicas, a quant idade 'T" definida par

'T" = f(X'u" + f'v" + Z'w") dS + f(X'u" + Y'v" + Z'w") dT (a)

Nesta ultima equa~o. permutando os sinais que indicam os casos de carrega mento, temos a forma

"T' = J(X",,' + . . . + .. oj dS + J(X"u' + ... +. oj dT (b)

o teorema estabelece que

'T" = "T' (c)

Para provalo, necessitamos novamente do teorema da divergencia (138). Consi. deremos em (a) 0 termo

f X'u" dS (d)

que e 0 mesmo que

f(luz' + mT.:r/ + nTn')u" dS (e) Podemos fazer em (138)

u = u"v/ lV = U"TU' (f)

p~ra tomar 0 membro da di reita desta Equa~o ( 138) iguaJ Ii integral de superfi. cle(e).

'E. Belli. II tlUOI'O Ciml'flto. sir. 2. vols. 7 e 8. 1872. Exislem leoremas do mesmo tipo em oUlros assu~tos. - ver Rayleigh. Proc. London Moth. Soc .. vol. 4, 1873. e sua obra Thl'ory of Sound. Dover Pubhcauons, New Yorit; e H. Lamb. H ighl'r Ml'chQflics. Cambridge University Press Inc. New York. 1920. ' ,

TIOREMAS GERAIS 265

Entao. procedendo de Conna analoga a if) e (g) do Art 93, e usando as Ires equa~Oes de equ ilibria do tipo

d(J/ + iJTr/ + i1T%,' + X' = 0 ax ay dz (g)

obtemos. em lugar de (J..) do Art. 93,

HE/'v,.' + ... + .. + 'Yz.,/'Tz./ + ... + ... ) dT = J(X'u" + V'v" + Z'w") dS + J(X'u" + Y'v" + Z'w") dT (h)

mostrando que (a) pade ser convert ida em

'Til = f(f/'V/ + .. +.. + 'YrIJ"TrIJ' +. . + ... ) dT (t)

Podemos expressar (i) inteiramente em lermos das componentes de tensao, ou unicamente em termos das cosnponentes de defonna~o . Escolhendo estas lilti mas, e conveniente utilizar a lei de Hooke na forma de (11) e (6). Logo, para 0 integrando em (i), enconlramos

f 2"V/ + ... + ... + 'Y2OI"Tzw' + .' + ... = >..t't" + 2G(f2'f/' + f,/f,/' + E:to")

+ G(-y.:-y~" + -y.:-y,," + -y .. 'y./') (j) onde

o resultado (j) e evidentemente inalterado se os sinais que indicam os casos de carregamento sao permlltados. Mas esta troca em (i) e sufic iente para expressar itT' em lugar de 'T". Logo 0 teorema (e) esta demonstrado .

o membro da direita de (0) e frequentemente denominado como 0 trabalho das fo r9

266 TEORIA OA ELASTICIOAOE

8) = J.(Qh/AE), oode A e a area da se~o transversal da barra. Logo, 0 teorema da reciprocidade fomeee a eQua~ao

lal Q=J hl 8 (b)

--l _

Fig . 140

Q!

eo alongamento desta barra. produzida pelas for~as P da Figura 14fu, se es-creve

e e independenle da forma da se~ao transversal. Como segundo exemp!o, ca lcu lemos a redu~ao !1 no volume de urn corpo

elastica produzida por duas for~as P, iguais e oposlas, como indicado na Fig. 141a. Tomemos para 0 segundo estado, 0 mesmo corpo elastica submetido a a~o da pressao p uniformemente distribuida. Neste ultimo caso, tcremos em cada ponto do corpo urna compressao uniforme em todas as dire~Oes de valor (I - 2v)PIE [ver Eq. (8)], e a distancia I entre os pontcs de aplicacao A e B diminuira da quantidade (I - 21J)pI/E. 0 (corema da reciproc idade apJicado aos dois est ados I da Fig. 141 fornecera entao

P ( I - 2,)pl E ~ tl.p

e a redu~ao no volume do corpo e conseqiientemente

fa}

Fig. 141 (bl

PI(I - 2.) E

'Para oUlras aplica~0e5 desle lipo veja Love, op. cit ., pp. 174-176.

TEOREMAS GERAIS 267

98 CarMer aproximado das solUl;Oes do estado plano de tensao

Foi ressaJtado , na pagina 29. que 0 conjunlo de equa\;Oes eSlabeJecido como sufic iente para 0 estado plano de tensiio, sob as hip6teses U z = Tr~ "" Tn = 0 e U r , U II ' Tn indepen-dentes de z, nao garantem 0 alendimento a tOOas as condi~Oes de compatibiJidade. Estas hip6teses implicam em que Er , E", Z' Yrll sejam independentes de z. e que 'Y ..... 'Yilt scjam nulas. A primcira das condi~Oes de compatibil idade (125) foi incluida na teoria do estado plano de tensao como a Eq. (21), E facilmente veriticado que as outras cinco condi~Oes sao satisfeitas somente se Ez for uma fu~o linear dex e y, 0 que e uma exc~ao e nao a regra nas so lu~Oes de estado plano de tensao obtidas nos Caps . 3 a 6. Evidentemente estas solu~Oes nao podem ser exatas, mas vercmo .. agora que elas sao boas aproxima~Oes para 0 caso de chapas finas .

Busquemos so l u~6es cxata .. p

268 TEORIA DA ELAsnCIDADE

oode 8 0 e uma fun~o de x e y satisf~ndo a Eq. (d). Usandose (a) e a primeira das Equa~Oes (b). a primeira de (126) se lorna

(f)

Entrelanto,

onde a Eq, (e) foi utilizada na ult ima etapa. Considerando (d), podemos tambem substituir a!f301ax2 em if) por - a!f301iJyl, Logo, (f) se lorna

ou a' (a'. ) all' azl+l+.e, =0 (,) Esta equa~ao pode ser utilizada em lugar da prime ira das Equa~6es (126) . De forma simi-lar, a segunda e a ultima podem ser substituidas por

a' (a'. ) a.:z;1 az' + 1 + " e. - 0 a' (a'. ) azay al:'+l+.e~ =0

Estas, juntamente com (g), mostram que tOOas as tres derivadas segundas em relalriio a x e y da funcao (de x, y e z) entre parinteses, se anu lam. Entao , esta funcao deve ser linear em x e y. e podemos escrever

at" " ' all + 1 + ,ea .., (I: + bx + ell (h)

onde a, bee sao fun~6es arbitrarias de l. lntegrando esta equa~o duas vezes em re la~ao a l , encontramos

1 4> .. - 2 ~ Oalt + A + Bx + Cy + 4>.% + 4>0

onde A, B. C sao fun~Oes de l obtidas por integra~ao repetida de tI. b. c. e ch 4>0 sao fun~Oes de x e y, ainda arbitrarias.

Se calcularmos (Tr, (T" Trw a partir de (i) por meio das formu las (h). os termos

A+8z+Cy

nao afetam os resullados. Podemos entao adotar A. B, e C iglJais a zero, 0 que corres-ponde a tomar 1I, bee como nulas em (h).

Se nos restringirmos a problemas nos quais a dislribuicao de tcnslXS e simetrica em rela~ao ao plano medio da c hapa. z = O. 0 tcrmo I},.:, dcve tambern se anu lar. como tam-bem k na Eq. (a).

Logo, a Eq , (i) se reduz a

4> = 4>0 - ~ - "- Go" 21 +" (j)

Nao obstante.

es restantes de (126) sao satisfeitas pela consideracao da Eq. (a) e da nulidade de uz ...... 'T ....

Podemos agora obler uma dislribuir;.ao de tens6es escolhendo uma fun~ao CPo de x e y Que satjsfa~a a Eq. (/), encontrando e. a partir da Eq. (k) e cp a partir de lj). As tensOes sao enlia encontradas pelas fonnulas (bJ; cada uma delas sera constituida de duas partes: a primeira, obtida a partir de ,po na Eq. OJ. e a segunda, do terma -(1/2)v6oZ1/(1 + II), Tendo em vista a Eq. (/), esla primeira parte corresponde exatamente as componentesdO estade plano de tensao determinadas nos Caps. 3 a 6. A segunda parte. senda proporcional a 41, pede ser feita laO pequcna quanto se queira, comparando-se com a primeira, limitando-nos a chapas suficientemente finas. Logo, concluimos que as solu~Oes dos Caps. 3 a 6, que nao satisfazem a tooas as condi~Oes de compatibilidade , sao, apesar disto. boas aproxima~Oes para chapas delgadas.

As solu~Oes "exatas", representadas por fun~6es de tensao da formalj). exigirao que as tens6es no contomo do corpo, como em seu interior, tenham uma varia~ao parabOlica ao longo da espessura. Entretanto, qualquer modificalriio desta distribuicao, tal que nao altere a intensidade da fon;a por unidade de comprimento da curva do contorno, somenle alterara as tens6es na vizinhanca imediata deste, considerando-se 0 principio de 5aint-Venant (pagina 38). A solucao do lipo considerado acima representara sempre as tens6es reais, e as componentes cr., T.:w Tw~ serno de fato despreziveis, excelO proximo aos bor-dos, '

PROBLEMAS

1. Mostre que

*~ _ k(.:z;1 + yl) 'Y .. - k'xy:

onde k, k' sao constantes pequenas, mio e urn possivel estado de deforma~ao, 2. Urn solido e aquecido de modo nao uniforme a temperatura T. funcao de x, y e l.

Supondo-se que cada elemento tern uma expansao h!rmica irrestrita, as componentes de deforma~o serao

onde Q e 0 coeficiente de expansao tcrmica constante. Prove que islo somente pode ocorrer quando T e uma fun~ao linear de x.)' e l. (As

lensOes e consequentes deforma~Oes que aparecem quando T nao e linear sao disc:ulidas no Cap. 13,)

3. Urn disco ou cilindro da forma mostrada na Figura 141a e comprimido por for~as P em C eD, ao longo de CD. causando alongamento de AB. E. entao, comprimido por for~as P no longo de AB (Fig. 141a) provocando alongamento de CD. Mostre que estes alon-gamcntos s.io iguais.

4. Na solu~o gera! do Artigo 88, que escolha de funcoes

,..

-,

Problemas Elementares de Elasticidade Tridimensional

99 I Tensao uniforme

Ao se examinar as equa~6es de equilibrio (123) e as condi~ees de contomo (124), ficou estabelecido que a solu~ao verdadeira de urn problema deve satisfazer nao somente as Eqs. (123) e (124) como tambem as condi~6es de compatibilidade (ver Art . 85). Estas ultimas condi~6es apresentam, se as for~as de massa sao ausentes ou constantes. apenas derivadas segundas das componentes de tensao. Portanto. se colocamos as componentes de ten sao como constantes ou como fun~6es lineares das coordenadas, as Eqs. (123) e as condi~6es (124) podem ser atendidas, as condi~6es de compatibilidade sao idcnticame nlc satisfci tas, c estas tensOts representam, entao, a solu~ao correta do problema.

Como urn exemplo bastante simples, podemos considerar uma barra prisma-tica sujeita a tra~ao na dire~ao axial (Fig. 9.142). Desprezando-se as fo~as de massa. as equa~6es de equilibrio sao satisfeitas por

0"" = const (a)

E evidente que as condic;6es de conlomo (124) para a superficie lateral da barra, sendo esla livre da ac;iio de for~as extemas, sao sat isfeitas, pois, com exc~ao de CT .... todas as componentes de (enSaO sao nulas. As condir;6es de conlomo para as sec;6es das extremidades se reduzem a

(b)

ou seja. se as tensOts de trac;ao nas faces exlremas da balTa forem uniforme-mente di sUibuidas, teremos igualmente uma distribuiC;ao uniforme de tens6es normais sobre qualquer set;ao intermedima. Neste caso, a solut;ao (a) atende as Eqs. (123) e (124) e constitui a solu~ao exata do problema porque as condic;6es de compatibilidade (126) tambem sao identicamente satisfeitas.

PROBLEMAS ELEMENTARES OE ELASTlClOAOE TRIOIMENSIONAL 271

Fig. 9.142

A solu~ao (a) deixa de seT correta se as tens6es de trar;ao aplicadas nas extremidades naD sao uniformemente disLribuidas, pais assim nao satisfaz as condi

-

272 TEORIA DA ELASTICIOADE

provocada pelo peso da por~ao da barn situada abaixo da se~ao considerada. Facilmente se comprova que, para a superficie lateral sabre a qual nao

3tuam fo~as externas. as condi~oes de conloma (124) sao verificadas,' As coo-di~Oes nas extremidades da p~a fomecem tens6es nulas para a s~o inferior e, para a superior, tensOes de tr~ao uniformemente distribuidas de valor U;r = ~l. oode J e 0 comprimento da barra.

As equa~Oes de compatibilidade (126) tambem sao satisfeitas pela solu~ao (b); portanto, ela representa a solucao correta do problema para urna distribui~ao uniforme de for~as no topa da barra. Estes resultados coincidem com a solw;ao usualmente dada nos livros elementares de resistencia dos materiais.

Consideremos agora as deslocamentos (ver Art. 86), Aplicando a Lei de Hooke, atraves das 'Eqs, (3) e (6), se chega a

aw u. pgz ~' =az=E=E

(e)

au iJv pgz Eo: = E~ = ax = iJy = -/IE (d)

au av au aw au iJw ~~~~~~b+b~h+b~~+b~O (e)

Os deslocamentos u, v e w podem agora seT caJculados por integra~ao das Eqs. (e), (d) e (e), A integr"l'ao da Eq. (e) romece

PIIc' w=2E+ wo (f)

onde Wo e uma fun9ao de x e y a ser determinada adiante. Substituindo if) na segunda e terceira das Eqs. (e), temos

das quais

oWa + au = 0 ax iJz

aw, u =- z - +u, ax

awo+~=o oy OZ

aw, v = -z- + L'o ay (g)

e Uo e Vo sao fun~6es so mente de x e y. Das expressOes (g). substituidas nas Eqs. (d) , resulta

_ z a'wo + auo = piJZ ax' ax -"if (il)

Lembrando que Uo e Vo nao dependem da variavel z. as Eqs. (h) sao satisfeitas somente se

auo = avo = 0 ax ay (k)

Substituindo as expressOes '(p) de u e v na primeira das Eqs. (e), encontramos

PROBLEMAS ELEMEHTARES DE ELASTICIDADE TRIDIMENSIONAL 213

-2% (PWa + dUo + dVo = 0 iJx ay iJy ax

e. desde que 110 e !Jo naQ dependem de z. devemos leT

(I)

A partir das Eqs. (k) e (I), as expressOes gerais das fun~6es 110, ~. Wo podem seT formuladas. E f;leil mostrar que todas estas equ~6es sao satisfeitas para os seguintes valores:

U o = oy + OL VO = - ox + "1'1

'PII U', ~ 2E (x' + y') + ax + py + ~

onde a, f3. "Y. a, 81> ')'1 sao constantes arbitnirias. Agora, com as Eqs. (f) e (g), compomos as expressOes gerais dos deslocamentos

IIpgXZ U ~ - ---r- - ac + Iy + I,

IIpgyz V = - ---g- - fJz - ox + 'Yl (m)

pgZ2 "'PI} w ~ 2E + 2E (x' + y') + ax + py + ~

As seis constantes arbitnirias devem ser deterrninadas considerando-se as condi-~Oes de sustenta~ao da barra, as quais devem ser estabelecidas de modo a impe-dir qualquer movimento de corpo rigido da mesma. A fim de evitar um movi-mento de transla

-

274 TEORIA OA ELAsnCIDAOE

e as express6es finais dos deslocamentos sao

v-

. pgz! lip(} pgl'-w - 2E + 2E (x' + y') - 2E

Pode-se verificar que as pontos do eixo z tern somente deslocamentos verticais dados por

w = - pg (P - Z2) 2E

Como consequencia da cont~ao lateral, as demais pontos da barra expenmen-tarao, aIem de deslocamentos verticais . outros horizontais , de tal modo que Ii-nhas paraJeIas ao eixo z antes da deforma~ao se tarnam inclinadas em rela~ao a esse eixo depois da mesma, e a barra adquire a forma final mostrada na Fig. 9.143 pelas linhas tracejadas . S~oes transversais planas e perpendiculares ao eixo, depois da deforma~ao. se apresentam curvas como a superficie de urn pa-rabol6ide. Os pontos da s~ao l. = c, por exemplo. depois da deform~ao estarao sabre a superficie

Esta superficie e perpendicular a todas as fibras longitudinais da barra, sendo estas incLinadas em rela~ao ao eixo z por efeilo da deforma~ao e, portanlO, as distorcoes 'YZII e 'YZIl serao nuJas.

101 I Tor~iio de eixos cilindricos de s~iio circular constante

Da leoria elementar da (oreao de p~as ciHndricas de s~ilo circular. tem-se que a tensilo cisalhante T , em qualquer ponto da se~ao (Fig. 9.144), e perpendicular ao raio r e proporcional a distancia r e ao angulo de torr;ao 6 por unidade de comprimento do ci lindro:

T - G8r (a)

oode G e 0 mOdulo de cisalhamento. Decompondo estas tensoes nas dir~6es paraleJas aos eixos x e y. obtemos

TV' = GBr~ = G8x r

y ' -G8r- - -G6y

r

(b)

PROBLEMAS ElEMENTARES DE ELAsnCIOAOE TRIDIMENSIONAL 275

Fig. 9. 144

A teoria elementar tambem admi te que

Podemos demonstrar que , sob certas condi~Oes, esta solur;ao elementar e exata. Para tanto, desde que as componentes de tensao sao todas au fu~Oes lineares das coordenadas ou zero, as equar;6es de compatibilidade (126) sao sa-tisfeitas, sendo apenas necess3.rio considerar as equa~6es de equilibrio (123) e as condir;6es de contorno (124). Levando as express6es acima das componentes de tensilo nas Eqs. (123), encontramos que estas equar;6es sao satisfeitas quando nao atuam foreas de massa. A superficie lateral do ci lindro e isenta da ar;ao de forr;as; assim , as condir;6es de contorno (124) , lembrando-se que em uma super-flcie ci lindrica cos (Nz) = n = 0, se reduzem a

o - T .. cos (Nx) + T._ cos (Ny)

Para 0 caso de cilindro circular temos tambem

cos (Nx) - ~ r

cos (Ny) = Y. T

( ('I

(dJ

Substituindo estas e as expressoes (b) das componentes de tensao na Eq. (e), fica claro que esta equar;ao e atendida. E tamoom evidente que. para se~oes que nao sejam circulares, nas quais as Eqs. (d) nao sao validas, as componentes (b) nao satisfazem as condi~Oes de conlorno (e), e portanto a solu~ao (a) nao pode ser aplicada. Estes problemas moos complicados de toreao sedio examinados posteriormente (ver Cap. 10).

Considerando agora as condir;6es de conlomo nas extremidades do eixo ci-ifndrico, vemos que as forr;as cisalhantes de superfici e devem ser distribuldas exatamente como as tensoes TZIl e TlI~ 0 sao em qualquer se~ao intermediaria. Somente neste caso, a di stribuir;ao de tens6es definida peias Eqs. (b) constitui-rao uma soJur;ao exata do problema. Entretanto, sua aplica~ao pratica pode se estender a oulros casos porque, levando em conta 0 principio de SOOnt- Venant.

276 TEO RIA OA ELASnCIOAOE

conclui-se que a uma suficiente distancia dos extremos de uma barra compnda sujeita a tor~ao . as tens6es dependem somente da intensidade do momento de to~ao M f e sao praticamente independentes da maneira pela qual as foI).ClS sao distribufdas nas extremidades.

Os deslocamentos, oeste casa, podem ser obtidos de maneira semelhante ao item anterior. Admitindo a mesma condiC3.o de vincula'rao no ponto A, encoo-tramas

u = -8yz v = 8xz w~O

Este resultado significa que a hip6tese das s~Oes permanecerem planas e as raios continuarem retos , usualmente feita nas dedu~6es elernentares da teona da tor~ao, e correta.

102 Flexao pura de barras prismaticas

Considerernos uma barra pnsmatica fletida pela a~o de dois conjugados M, iguais e de sen tid os opostos, que atuam em urn de seus pianos principais (Fig. 9.J45). Tomando como origem das coordenadas 0 centr6ide da s~ao transversal e 0 plano xz coincidente com 0 plano principal da flexao, a leoria elementar da flexao nos da para as componentes de tensao os valores

Ex (f~ = "If (a)

oode Reo raio de curvatura da barra defonnada pela flexao. Substituindo as express6es (a) das componentes de tensao nas equa~6es de equilibrio (123), estas equac;6es serao satisfeitas sempre que nao existirem for~as de massa. As condi~6es de contorno (124), para as superficies laterais da barra que se encon-tram livres de esforc;os, sao igualmenle obedecidas. As mesmas condic;6es de contorno (124), considerando-se agora as s~6es das extremidades , requerem que as forc;as de superucie sejam dispostas da mesma forma que as tens6es CTz . Somente sob esta condic;ao as tensoes (a) representam a soluc;ao exata do pro-blema. 0 momento fletor M e dado pela equa~ao

! ! Ex'dA EI, M ~ x dA ~ - R- ~ R na qual/II e 0 momento de inercia da se~ao da viga com relac;ao ao eixo neutro

0p:icid -IS: x

(a)

Fig. 9.145

y [;-J~a -~

1-2h-" I x

(hi

PROBLEMAS ELEMENTARES DE ELASnCIDADE TRIDIMENSIONAL 277

paraJeJo ao eixo y. Desta equacao resulta

que e uma conhecida formula da leoria elementar da flexao . Consideremos agora as deslocamentos para 0 caso da tlexao purn. A Lei de

Hooke e as Eqs. (2), levadas na 501U93.0 (a), nos fornecem

aw x t'=iJz=R

au x au x t'=iJx=-v R tV=ay=-vR,

~ + ~v = au + aw = ~ + aw = 0 ay ax az ax az ay

(b)

(c)

(d)

Levando-se em conta as condi~6es de fixa~ao da barra, os deslocamentos podem ser obtidos, atraves destas equa~6es diferenciais. pelo mesmo metoda usado no Art. 100.

Da Eq. (b), (cmos dlretamente

w = ~ + Wa R

na qual W Q e uma fun

278 TEORIA OA ElASn CIOAOE

Agora, colocando (e) e (g) na primeira das Eqs. (

a

280 TEORIA OA ElASnCtOAOE

y

-IH---?lR--'--H-z

fa) (6)

Fla. 9.146

vidro e a superucie curva da viga. Esta espessura variavel pade sec med.ida por processos 6pticos. Urn feixe de luz monocromatico, tal como a radi~o amarela do s6dio t dirigido perpendicularmente a placa de vidro se refletici parciaimente pela placa e parcialmente pela superficie da viga. Produzir-se-a uma interferencia . entre os dois raios refletidos t em pontos onde a espessura da camada de ar de-termina uma diferen~a entre os caminhos 6pticos dos raios igual a urn numero impar de semicomprimentos da onda luminosa. A fotografia mostrada na Fig. 9.146b, representando as curvas de nivel hiperb6licas. foi obtida por este pro-cesso.

103 I Flexao pur. de placas

Os resultados obtidos no item anterior podem ser aplieados ao se analisar a flexao de piacas possuindo espessura uniforme. Se as tensOes U'z = El.lR forem distribuidas sobre os bordos paralelos ao eixo y (Fig. 9.147), a superficie da placa se transformara ' em uma superftcie antici:istica, cuja curvatura em pianos ' paralelos a xz e I/R e na dir~o perpendicular e - viR. Se h for a espessura da placa. M 1 0 momento Oetor por unidade de comprimento sobre os bordos parale-

z

Fl 9.147

I Admitc-se que as Oechas .10 pcquenas quando comparadas com a espessura cia placa.

PROBLEMAS ElEMEHTARES OE ElASnCtDADE TRIDIMENSIONAL

los ao eixo y, e

'" I" = 12

281

o momento de inercia por unidade de comprimento, a relacao entre Ml e R, de acoedo com 0 que roi deduzido anteriormente, sera

1 M, 12M, R = EI, = Eh' (a)

Quando temos momentos fletores atuando em duas d.ire~6es perpendicula-res (Fig. 9.148), as curvaturas da superficie defletida podem sec obtidas por su-perposicao. Sejam 1/R. e l/R, as curvaturas da supemcie em pianos paralelos aos pianos coordenados zx e zy. respectivamente; e sejam M I eM, os momentos netares por unidade de comprimento sabre os hordos paraJelos aos eixos y ex. respectivamente. Entia, aplicando-se a Eq. (a) e 0 principio de superposicao, resulta

1 12 R, = Eh' (lIf, - ,M,)

1 1 R, = Eh' (M, - ,M,) (b)

Os momentos sao considerados positivos se produzem uma supemcie fletida da placa convexa para baixo. Resolvendo 0 sistema de Eqs. (b) para M t eM". temos

M, = Eh' (1 +, 1 \) 12(1 - ,') R, fl,

Eh' (1 + 1) M,= - '-R 12(1 - ,') R, , Para pequenas flechas podemos usar as aproxima!;Oes

y

z

Flg. 9.148

a'w Rl = - ax'

x

(c)

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