23
Konsep Primal - Dual

TIN206 7 Konsep Dualitas

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Riset Operasi

Citation preview

  • Konsep

    Primal - Dual

  • Teori Dualitas

    Persoalan Primal dan Dual Persoalan Primal (asli)

    Persoalan Dual (kebalikan dari primal)

    PRIMAL DUAL

    A. Fungsi Tujuan A. Fungsi Tujuan

    1. Maksimisasi Laba 1. Minimisasi Biaya

    PL gunakan Metode PL gunakan Metode Simpleks (variabel Simpleks Big-M (var.

    Slack atau +S) buatan atau +A)

  • Model program linier memiliki 2 bentuk,

    yaitu:

    Model primal

    adalah bentuk asli dari suatu model program

    linier

    Model dual

    adalah bentuk alternatif yang dikembangkan

    dari model primal

  • Latar Belakang

    Setiap permasalahan programa linier mempunyai problem yang kedua yang berhubungan dengannya.

    Satu problem disebut sebagai primal dan yang lainnya disebut dual.

    Kedua problem sangat dekat berhubungan, sehingga solusi optimal disatu problem menghasilkan informasi yang lengkap untuk solusi optimal yang lainnya.

  • Kegunaan bagi pengambil keputusan

    adalah:

    Model Primal akan menghasilkan solusi dalam

    bentuk jumlah laba yang diperoleh dari

    memproduksi barang ataupun biaya yang

    dibutuhkan untuk memproduksi barang.

    Model Dual akan menghasilkan informasi

    mengenai nilai (harga) dari sumber-sumber yang

    membatasi tercapainya laba tersebut.

  • Hubungan khusus antara primal

    dan dual adalah : Variabel dual Y1 , Y2 , Y3 berhubungan dengan

    batasan model primal. Dimana untuk setia batasan dalam primal terdapat satu variabel dual. Misal, dalam kasus di atas model primal mempunyai 3 batasan, maka dualnya akan mempunyai 3 variabel keputusan.

    Nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan pada model primal merupakan koefisien fungsi tujuan dual.

    Koefisien batasan model primal merupakan koefisien variabel keputusan dual.

    Koefisien fungsi tujuan primal, merupakan nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan pada model dual.

    Pada bentuk standar, model maksimisasi primal memiliki batasan-batasan .

  • Tabel Primal-Dual PL

    PRIMAL

    Koefisien

    X1 X2 . . . . . . Xn NK

    Y1

    Y2

    Y3

    .

    Yn

    a11 a12 . . . . . . a1n b1 a21 a22 . . . . . . a2n b2 a31 a32 . . . . . . a3n b3

    . . . . . . . . ..

    am1 am2 . . . . . . amn bm

    KOEFISIEN

    FUNGSI

    TUJUAN

    MINIMISASI

    NK C1 C2 . . . . . . Cn

    KOEFISIEN FUNGSI TUJUAN

    MAKSIMISASI

    DU

    AL

  • PRIMAL

    F/t Max : Z = 2X1 + 3X2

    F/k : 5X1 + 7X2 < 35

    8X1 + 4X2 < 40

    F/s : X1 ; X2 > 0

    F/t Max :

    Z = 2X1 + 3X2 + 0S1 + 0S2

    F/k : 5X1 + 7X2 + S1 < 35

    8X1 + 4X2 + S2 < 40

    F/s : X1 ; X2 ; S1 ; S2 > 0

    DUAL

    F/t Min : Z* = 35X1 + 40X2

    F/k : 5X1 + 8X2 > 2

    7X1 + 4X2 > 3

    F/s : X1 ; X2 > 0

  • PRIMAL

    2. Minimisasi Biaya :

    PL gunakan Simpleks

    Big-M (var.surplus S dan var. buatan +A)

    F/t Min : Z = 2X1 + 5X2

    F/k : 3X1 + 4X2 > 24

    5X1 + 6X2 > 30

    F/s : X1 ; X2 > 0

    DUAL

    2. Maksimisasi Laba :

    PL gunakan Simpleks

    (variabel slek +S)

    F/t Max : Z = 24X1 + 30X2

    F/k : 3X1 + 5X2 < 2

    4X1 + 6X2 < 5

    F/s : X1 ; X2 > 0

  • Keterkaitan Konsep Primal - Dual

    Pada Analisa Sensitivitas

    Analisa Sensitivitas mencakup investigasi pengaruh solusi optimal dalam melakukan perubahan nilai pada parameter model.

    Perubahan nilai parameter pada problem primal juga berhubungan dengan nilai pada problem dual nya.

    Dalam banyak hal akan lebih baik menganalisa problem dual secara langsung untuk menentukan pengaruh komplemennya pada problem primal.

  • Definisi Dari Dual Problem

    n

    j

    jjxcX1

    0Maksimasi :

    0

    1

    j

    i

    n

    j

    jij

    x

    bxai = 1, 2, , m

    j = 1, 2, , n

    Pembatas :

  • Dual Problem Dalam Bentuk Kanonik Jika permasalahan mengacu sebagai Primal, hubungan

    dalam dualnya adalah sebagai berikut :

    m

    i

    ii yby1

    0Minimasi :

    0

    1

    j

    j

    m

    i

    iij

    y

    cxai = 1, 2, , m

    j = 1, 2, , n

    Pembatas :

    y1, y2, , ym : merupakan variabel dual

  • Problem Dual Bila Primal Dalam

    Bentuk Standard

    Maksimasi

    n

    j

    jjxcx1

    0

    Pembatas

    0

    1

    j

    n

    j

    ijij

    x

    bxa i = 1, 2, , m

    j = 1, 2, , n

    Maksimasi

    n

    i

    ii yby1

    0

    Pembatas

    m

    i

    jiij cya1

    yi tidak dibatasi tanda untuk semua i

    j = 1, 2, , n

    Primal

    Problem

    Dual

    Problem

  • Problem Dual Bila Primal Dalam

    Bentuk Standard

    Maksimasi

    n

    j

    jjxcx1

    0

    Pembatas

    n

    j

    ijij bxa1

    i = 1, 2, , m

    Maksimasi

    n

    i

    ii yby1

    0

    Pembatas

    0

    1

    i

    m

    i

    jiij

    y

    cyaj = 1, 2, , n

    i = 1, 2, , m

    Primal

    Problem

    Dual

    Problem

    xi tidak dibatasi tanda untuk semua i

  • Membentuk Dual Problem dari Primal Problem atau Sebaliknya

    Langkahnya sebagai berikut :

    1. Tiap batasan di suatu problem berhubungan dengan variabel pada variabel lainnya.

    2. Elemen pada RHS pembatas pada suatu problem sama dengan koefisien fungsi obyektif yang sesuai pada problem lainnya.

    3. Satu problem empunyai tujuan maksimasi lainnya minimasi.

    4. Problem maksimasi mempunyai pembatas ( ) dan minimasi mempunyai pembatas ( ).

    5. Variabel untuk kedua problem adalah non-negatif.

  • Contoh :

    Maksimasi : X0 = 5 X1 + 6 X2

    Pembatas : X1 + 9 X2 60 y1

    2X1 + 3 X2 45 y2

    5X1 - 2 X2 20 y3

    X2 30 y4

    X1, X2 0

    Minimasi : y0 = 60y1 + 45y2 + 20y3 + 30y4

    Pembatas : y1 + 2 y2 + 5y3 60

    9y1 + 3 y2 2y3 + y4 45

    y1 ,y2 ,y3 ,y4 0

    Primal

    Problem

    Dual

    Problem

  • Penyelesaian Dual Simplex

    Maksimasi : X0 = 2 X1 + X2

    Pembatas : 3 X1 + X2 3

    4 X1 + 3 X2 6

    X1 +2 X2 3

    X1, X2 0

    Dengan mengubah fungsi obyektif Maksimasi menjadi

    Minimasi dan fungsi pembatasnya menjadi bertanda ,

    kemudian dibentuk tabel simpleksnya adalah sbb :

    Minimasi : X0 = 2 X1 + X2

    Pembatas : -3 X1 - X2 3

    - 4 X1 - 3 X2 6

    X1 +2 X2 3

    X1, X2 0

  • Penyelesaian Dual Simplex

    Metoda Simpleks yang biasa, memberikan hasil didasarkan pada kondisi optimalitas dan layak (feasibility), sebagai berikut : Kondisi Layak : Leaving Variabel adalah

    variabel basis yang mempunyai nilai paling negatif.

    Kondisi Optimalitas : Entering Variabel dipilih diantara non-variabel basis dengan cara Rasio dari koefisien fungsi obyektif dengan koefisien

    pembatas yang terpilih sebagai leaving var. Entering Var. adalah salah satu yang mempunyai

    rasio terkecil untuk problem minimasi, atau nilai terkecil absolut untuk problem maksimasi.

  • Penyelesaian Dual Simplex

    Minimasi : X0 = 2 X1 + X2

    Pembatas : -3 X1 - X2 + S1 = - 3

    - 4 X1 - 3 X2 + S2 = - 6

    X1 +2 X2 + S3 = 3

    X1, X2 0

    Merubah fungsi pembatas dari Ketidaksamaan kedalam bentuk

    Persamaan

  • Penyelesaian Dual Simplex

    -3 -1 1 0 0

    -4 -3 0 1 0

    1 2 0 0 0

    Var

    Basis

    Koefisien dari

    X1 X2 S1 S2 S3

    2 1 0 0 0

    X0 RHS

    Ratio bj

    -3

    -6

    3

    0

    0

    0

    S1

    S2

    S3

    0 -2 -1 0 0 0

    Leaving

    Variabel

    Menentukan

    Rasio

  • Untuk Mendapatkan Entering Variabel

    Dengan Memilih Nilai Rasio

    Variabel X1 X2 S1 S2 S3

    X0 equation -2 -1 0 0 0

    S2 equation -4 -3 0 1 0 (leaving var)

    Rasio 1/2 1/3

    X2 terpilih sebagai entering variabel karena merupakan nilai

    terkecil (minimasi problem)

  • Penyelesaian Dual Simplex

    -5/3 0 1 -1/3 0

    4/3 1 0 -1/3 0

    -5/3 0 0 2/3 1

    Var

    Basis

    Koefisien dari

    X1 X2 S1 S2 S3

    2 1 0 0 0

    X0 RHS

    Ratio bj

    -1

    2

    -1

    0

    1

    0

    S1

    X2

    S3

    2 -2/3 0 0 -1/3 0

    Hasil optimal tapi belum feasibel maka dengan cara yang sama

    seperti iterasi sebelumnya dilakukan perhitungan untuk

    mendapatkan hasil yang optimal dan feasibel.

    Leaving

    Variabel

  • Penyelesaian Dual Simplex

    1 0 -3/5 1/5 0

    0 1 4/5 -3/5 0

    0 0 -1 1 1

    Var

    Basis

    Koefisien dari

    X1 X2 S1 S2 S3

    -2 -1 0 0 0

    X0 RHS

    Ratio bj

    3/5

    6/5

    0

    2

    1

    0

    X1

    X2

    S3

    12/5 0 0 -2/5 -1/5 0

    Nilai Optimal dan Feasible untuk permasalahan ini adalah :

    Maks X0 = Min X0 = 12/5, X2 = 3/5, X2 = 6/5