Tema 5: Reflexión y refracción de ondas * Propagación de la luz * Reflexión y refracción * Polarización * Deducción de las leyes de reflexión y refracción

Tipler – Mosca: 31 Alonso – Finn: 32

Propagación de la luz Frente de ondas y rayos: Se define el frente de onda como el conjunto de puntos del medio alcanzados por el movimiento ondulatorio en el mismo instante; o, dicho con mayor precisión, el lugar geométrico de todos los puntos del medio con igual fase de oscilación. Matemáticamente, la ecuación de un frente de onda será:

La forma geométrica del frente de onda depende de la forma de la fuente de ondas y del medio en el cual se propaga.

Para representar las ondas, se dibujan los frentes separados una longitud de onda. Atendiendo a la forma del frente de onda, las ondas se denominan esféricas, cilíndricas, planas, etc. Las ondas planas pueden considerarse monodimensionales, ya que la propagación es según una dirección particular. Las líneas perpendiculares a los sucesivos frentes de onda se denominan rayos y corresponden a líneas de propagación de la onda. Los puntos de diferentes superficies de onda unidos por un rayo dado, se llaman puntos correspondientes.

Principio de Huygens: Todo punto de un frente de ondas (frente primario) se convierte en punto de partida de una serie de ondas secundarias en todos los sentidos, que avanzan con las mismas características (velocidad y frecuencia) que la onda primaria. Al cabo de un tiempo dado, la nueva onda primaria será la envolvente de esas ondas secundarias.

Propiedades:

En un medio homogéneo e isótropo

•la separación entre dos superficies de onda es la misma en todos los pares de puntos correspondientes.

•los rayos son líneas rectas.

Si la onda se propaga a través de una sucesión de medios de estas características, la dirección de propagación puede cambiar al pasar de un medio a otro.

Este principio, de base geométrica y de evidentes debilidades en su formulación original, fue finalmente demostrado por Kirchhoff situándolo sobre la base matemática sólida de la ecuación de ondas

Principio de Fermat: La trayectoria seguida por la luz para pasar de un punto a otro es aquella para la cual el tiempo de recorrido es el mínimo.

Estos principios permiten la determinación de los caminos ópticos.

Reflexión y Refracción

Índice de Refracción: Se define el índice de refracción,n, como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío, c, y la velocidad de la luz en ese medio, v:

Reflexión y Refracción: • El hecho de que la velocidad de propagación de la luz dependa de las propiedades del medio da lugar a los fenómenos de reflexión y de refracción. • La onda reflejada es una nueva onda que se propaga en el medio en el cual la onda original se estaba propagando. • La onda refractada es la onda que se transmite al segundo medio. • La energía de la onda incidente se divide entre la onda reflejada y la refractada. • Cuando una onda transversal está polarizada la polarización queda generalmente afectada por la reflexión y por la refracción.

Reflexión y Refracción

Leyes de Snell: Las relaciones geométricas entre las direcciones de los rayos de incidencia, reflexión y refracción se conocen como leyes de Snell. Reflexión:

11́ θ=θ

22

11

senv1sen

v1

θ=θ

2211 sennsenn θ=θ

Refracción:

Reflexión y Refracción

Mecanismos físicos de la reflexión y la refracción: • La reflexión puede entenderse como el resultado de la interacción entre la parte de la radiación de los átomos de la superficie hacia el medio de incidencia y la propia radiación incidente. Se produce una interferencia constructiva para θ1’=θ1 y destructiva para otros valores. • La refracción es el resultado de la interacción de la parte de la radiación en el segundo medio con la radiación incidente. Ambas tienen la misma frecuencia, por lo que se produce un cambio en la longitud de onda dada por:

22111

2

2

1

2

1

2

1

22

11 nnnn

c/vc/v

vv

vv

λ=λ⇒===λλ

=νλ=νλ

Reflexión y Refracción

Intensidad relativa de las ondas reflejada y transmitida: Esta fracción es función de los índices de refracción en los medios, de la orientación de los campos respecto a la interfase y del ángulo de incidencia. Para el caso específico de incidencia normal (cuando los campos son siempre paralelos a la superficie), se cumple que la intensidad de la radiación reflejada es:

0

2

21

21 InnnnI

+−

=

Reflexión y Refracción Reflexión Total: Cuando n2<n1 o, equivalentemente, v2>v1, para ángulos de incidencia que superan un valor crítico (θc) se produce la reflexión total de la onda.

• En reflexión total, toda la energía de la onda incidente pasa a la reflejada • El ángulo crítico, θc, corresponde al ángulo de incidencia cuya refracción

aparece a θ2=90º

1

2

1

2c2211 n

nº90sennnsensennsenn ==θ⇒θ=θ

Reflexión y Refracción

Dispersión: Para la mayoría de los medios materiales, el índice de refracción es función de λ. n suele disminuir (ligeramente) cuando aumenta λ. Esta dependencia se denomina dispersión. Cuando un haz de luz blanca incide en una interfase el ángulo de refracción es ligeramente menor para las componentes de menor λ (extremo violeta del espectro). Por tanto, las longitudes de onda más cortas se desvian más de su trayectoria que las largas, por lo que el haz de luz blanca se dispersa en este proceso, separándose en sus componentes.

Polarización La luz es un tipo de onda transversal. La magnitud física asociada a la onda oscila perpendicularmente a la dirección de propagación. La luz natural normalmente se compone de una mezcla de ondas cuyo planos de oscilación (y también su fase) difiere de unas a otras. Ese tipo de luz se denomina no coherente y se dice que está despolarizada. Otras fuentes de luz, como los láseres, radian de forma diferente. En estos, las fases de todas las ondas que los componen son iguales (coherencia) y, normalmente, los campos eléctricos y magnéticos oscilan en una dirección definida (polarización).

Polarización

Según como sea la dirección de esa polarización, se puede hablar de: Polarización lineal: La dirección de polarización es fija. Polarización circular. La dirección de polarización rota de forma que evoluciona según una hélice circular. Polarización elíptica. El extremo del vector campo va dibujando una elipse a medida que avanza.

Polarización

Mecanismos de Polarización: Partiendo de luz no polarizada, existen distintos procesos que dan lugar a la emergencia de luz polarizada: •Polarización por absorción •Polarización por reflexión •Polarización por dispersión •Polarización por birrefringencia (también llamada doble refracción)

Polarización Polarización por absorción: Algunas sustancias sólo permiten el paso de luz polarizada en una determinada dirección denominada «eje de transmisión». Estas sustancias, denominadas polarizadores, tienen esta propiedad porque sus moléculas se encuentran orientadas de forma específica, como ocurre en algunos cristales o en materiales tipo «cristal líquido». Cuando una luz despolarizada atraviesa un polarizador, la componente perpendicular a esa dirección preferente es absorbida. Para el caso de luz completamente despolarizada a la entrada, se obtiene a la salida luz polarizada lineal cuya intensidad es la mitad de la incidente.

Polarización Análisis Cuantitativo: Luz no polarizada según el eje z que incide sobre una lámina polarizadora con eje de transmisión en x. A la salida tendremos una luz polarizada en la dirección x. Se incide sobre una segunda lámina cuyo eje de transmisión está girado un ángulo θ respecto de la 1ª. Su dirección de polarización cambiará a la nueva, proceso en el que la amplitud disminuye: En la primera lámina, la luz incidente será una mezcla homogénea de todas las posibles direcciones de oscilación, por lo que a su salida tendremos:

θ=θ=θ=

⊥

212

ll cosIIsenEEcosEE

02

01 I21cosII =θ=

Ley de Malus

Polarización

Polarización por reflexión: Cuando luz no polarizada incide en la superficie de separación de dos medios (no metálicos), la luz reflejada está parcialmente polarizada, mientras que la transmitida sólo está débilmente polarizada, independientemente del ángulo de incidencia. El grado de polarización depende del ángulo de incidencia y de los índices de los medios. Existe un ángulo de incidencia, el ángulo de polarización o ángulo de Brewster, para el que la luz reflejada resulta completamente polarizada (perpendicular al plano de incidencia). Para esta condición, el rayo reflejado y el refractado son perpendiculares. La relación entre este ángulo y los índices del medio será:

p2p2p1p2 cosn2

sennsenn2

θ=

θ−

π=θ⇒θ−

π=θ

1

2p n

ntan =θ

Polarización

Polarización por dispersión: La dispersión de la luz se produce cuando esta incide en un obstáculo que la absorbe y que posteriormente se convierte en fuente de ondas re-emitiendo con la misma frecuencia que la radiación incidente. Típicamente, la dispersión genera ondas que se propagan en todas las direcciones. La luz dispersada en las direcciones perpendiculares a la del haz incidente son emitidas con polarización lineal.

Polarización

Polarización por birrefringencia La birrefringencia o doble refracción es un fenómeno complejo y poco frecuente cuyo origen está en la anisotropía de los pocos materiales que la presentan. La anisotropía implica que la velocidad de propagación de la luz en estos materiales depende de su estado de polarización y de la propia dirección de propagación. Cuando un rayo incide en estos materiales, se puede dividir en dos rayos – ordinario y extraordinario. Estos rayos están polarizados en direcciones mutuamente perpendiculares.

Polarización

Polarización por birrefringencia Solo hay una dirección de propagación en el interior del material en la que no aparece este fenómeno. Esta dirección define el eje óptico del material. Cualquier otra dirección de propagación que forme un ángulo dado con el eje óptico presentará el fenómeno. Si se incide perpendicularmente a la cara del cristal y ortogonalmente al eje óptico los dos rayos no se propagan en distinta dirección, pero si a distinta velocidad. Las ondas emergen de ese sistema con un desfase y polarizaciones perpendiculares entre si.

Polarización por birrefringencia Basándose en ese fenómeno, las láminas birrefringentes son un extraordinario método de obtener luz polarizada circular. Si la anchura de la lámina es tal que el desfase a la salida es exactamente de un cuarto de onda, lámina cuarto de onda, la incidencia de una luz polarizada formando 45º con el eje óptico genera luz polarizada circular a la salida.

Polarización

Deducción de las leyes de reflexión y refracción

Principio de Huygens Reflexión La figura muestra la evolución de un frente de onda plano AA’ que avanza hacia un espejo y se refleja en él. Después de un tiempo t el frente de onda se construye según Huygens. La parte que no ha incidido corresponde a BB’ mientras que la que ha incidido y se refleja es BB’’. De forma análoga, el frente CC’C’’ aparece posteriormente En la ampliación de esa incidencia, los triángulos ABP y BAB’’ son rectángulos con la hipotenusa común y los catetos iguales AB’’=PB= ct. Por tanto los triángulos son semejantes y φ1=φ’1 ángulo de incidencia =ángulo de reflexión

Deducción de las leyes de reflexión y refracción

Principio de Huygens Refracción AP es el segmento del frente de onda que forma el ángulo φ1 con una interfase. En un tiempo t, esa porción ha penetrado completamente en el medio 2. La onda elemental (secundaria) centrada en P recorre una distancia v1t. La procedente del punto A recorre la distancia v2t. El frente BB’ no será paralelo a AA’. De los triángulos APB y AB’B, respectivamente, deducimos:

1

1

1

111 sen

tvsen

tvABAB

tvsenθ

=φ

=⇒=φ

2

2

2

222 sen

tvsen

tvABAB

tvsenθ

=φ

=⇒=φ

221122

112

2

1

1 sennsennsenv1sen

v1

sentv

sentv

θ=θ⇒θ=θ⇒θ

=θ

Deducción de las leyes de reflexión y refracción

Principio de Fermat Reflexión La trayectoria seguida por la luz será la de tiempo mínimo. En el problema de reflexión el rayo incidente y reflejado están en el mismo medio y se moverán a la misma velocidad. Tiempo mínimo es equivalente a distancia mínima. Mediante una justificación geométrica, podemos estimar en qué punto incidirá el rayo en condiciones de camino mínimo. Para ello dibujemos el punto A’, simétrico de A. El camino mínimo que va de A’ a B (equivalente al AB) será el de la recta que los une y que también localiza el punto Pmin. Se observa que eso implica que: ángulo de incidencia = ángulo de reflexión

Principio de Fermat Refracción La trayectoria que conecta A y B en el menor tiempo posible, no será la recta que los une. Deberemos desplazarnos a la derecha para minorar el recorrido en el medio 2 si la luz lo atraviesa más lentamente. Llegaremos al punto Pmin donde se satisfará la condición de mínimo. Más allá, la posterior reducción del recorrido en el medio 2 ya no compensa el aumento de camino recorrido, y el tiempo vuelve a aumentar.

Deducción de las leyes de reflexión y refracción

El tiempo para recorrer una de esas trayectorias será:

Deducción de las leyes de reflexión y refracción

cnL

cnL

ncL

ncL

vL

vLt 2211

2

2

1

1

2

2

1

1 +=+=+=

Usaremos la coordenada x como única variable y eliminaremos L1 y L2:

( )2222

2221

xdbL

xaL

−+=

+=

La condición de mínimo será:

0dx

dLndxdLn

0dx

dLndxdLn

c1

dxdt

0dxdt

22

11

22

11

=+

=

+=

=

Las derivadas se pueden calcular a partir de las relaciones trigonométricas:

De modo que sustituyendo en la expresión previa se concluye:

Deducción de las leyes de reflexión y refracción

( )

θ−=−

−=⇒−−=

θ==⇒=

21

222

11

111

senL

xddx

dLxd2dx

dLL2

senLx

dxdLx2

dxdLL2

22112211 sennsenn0sennsenn θ=θ⇒=θ−θ

( )2222

2221

xdbL

xaL

−+=

+=