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Tipos de Lógica
• Lógica Modal Una lógica modal es un sistema formal que intenta capturar el comportamiento
deductivo de algún grupo de operadores modales.1 Los operadores modales sonexpresiones que califican la verdad de los juicios.1 Por ejemplo, en la oración "esnecesario que 2+2=4", la expresión "es necesario que" es un operador modal quecalifica de necesaria a la verdad del juicio "2+2=4".
En un sentido más restringido, sin embargo, se llama lógica modal al sistema formalque se ocupa de las expresiones "es necesario que" y "es posible que".1 Este artículotrata exclusivamente sobre este sistema formal.
Vocabulario
La lógica modal sólo agrega dos símbolos al vocabulario de la lógica proposicional: elsímbolo , que representa la expresión del lenguaje natural "es necesario que", y elsímbolo , que representa la expresión "es posible que". Ambos símbolos se prefijan a
proposiciones, de modo que se lee "es necesario que p", y se lee "es posible que p". Además, en la lógica modal clásica, ambos símbolos son interdefinibles por mediodel otro y de la negación; así:
Esto implica que en principio, sólo es necesario tomar uno de los dos símbolos como primitivo, ya que el otro puede ser definido a partir de éste y del vocabulario de lalógica proposicional. En general, el símbolo que se toma como primitivo es el denecesidad. Estas interdefiniciones son paralelas a las de los cuantificadores en la lógicade primer orden:
Las razones de este pararelismo resultarán más claras en la sección de semántica demundos posibles.
Gramática
La gramática nos indica qué secuencias de signos del vocabulario están bienconstruidas. A estas secuencias se las llama fórmulas bien formadas. La gramática de lalógica modal es igual a la de la lógica proposicional, excepto que añade una regla paralos operadores modales:
• Si es una fórmula bien formada, entonces también lo es.
Algunos ejemplos de fórmulas bien formadas del lenguaje serán, por lo tanto:
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Reglas de Inferencia
La regla de inferencia más propia de la lógica modal se llama N (o regla de Necesitación), y dice que si una fórmula es un teorema, entonces "es necesario que "también es un teorema. En otros términos:
A esta regla hay que sumarle, por supuesto, el modus ponens heredado de la lógica proposicional.
Axiomas
Cuáles deben ser los axiomas de la lógica modal es algo muy debatido. Diferentesconjuntos de axiomas permiten demostrar diferentes teoremas, y por lo tanto losaxiomas que se eligen muchas veces dependen de los teoremas que se quierendemostrar, y de la posición filosófica que se defiende.
La siguiente es una lista de algunos de los axiomas más conocidos:
Nombre Axioma Lectura informal
K Si es necesario que implica , entonces si
es necesario, también lo es.T (o M) Si es necesario que , entonces es el caso.
4Si es necesario que , entonces es necesarioque sea necesario.
5Si es posible que , entonces es necesarioque sea posible.
B Si es el caso, entonces es necesario quesea posible.
La lógica modal es tan antigua como el Organon de Aristóteles y tuvo gran desarrollodurante la Edad Media. La lógica modal contemporánea, sin embargo, surge a
principios del siglo XX como una reacción a la lógica clásica que maduró en las obrasde autores como Gottlob Frege, Bertrand Russell y Alfred North Whitehead. Los
patrones de razonamiento válidos, aquellos que indican una relación de consecuencialógica entre un conjunto de enunciados –las premisas– y otro enunciado –la conclusión–
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en un argumento, están en parte determinados por cuáles sean las constantes lógicas. Enla lógica clásica los siguientes patrones de razonamiento son válidos:
1.
2.
3.
4.
5.
Estos patrones de razonamiento se conocen como las paradojas de la implicaciónmaterial, porque son argumentos válidos que sin embargo parecen poco naturales oincluso absurdos. Por ejemplo, los siguientes argumentos serían válidos:
3. Si hoy es lunes entonces mañana es martes y si hoy es miércoles entonces
mañana es jueves. Por lo tanto, o bien, si hoy es lunes entonces mañana es jueves, o bien, si hoy es miércoles entonces mañana es martes.
5. No es el caso que si Dios existe entonces castigará a los buenos. Por lo tanto,Dios existe.
Del segundo uno no diría que tiene premisas verdaderas y conclusión falsa, pero comomínimo parece extraño que podamos probar la existencia de Dios de un modo tansencillo a partir de una premisa tan plausible (¡no parece que haya una relación deconsecuencia lógica entre la premisa y la conclusión!).
En 1912 C. I. Lewis publica Conditionals and the Algebra of Logic, justo después de los Principia Mathematica de Russell y Whitehead. En 1918 publica A Survey of Symbolic Logic en donde propone un nuevo condicional más adecuado para recoger el significadode la expresión "si... entonces" del lenguaje natural. Lewis lo llama implicación estricta.El nuevo condicional requiere, para ser verdadero, una relación más fuerte entre elantecedente y el consecuente que el condicional clásico. Lewis define su condicionalestricto en términos del condicional clásico más la noción de necesidad:
" p implica estrictamente q" si y sólo si
De 1918 a 1932 Lewis prepara la segunda edición del Survey. Durante este períodosurgen multitud de trabajos sobre el tema. Becker desvía la atención del análisis de lasconectivas tipo "condicional estricto" a las propias nociones modales: son éstas las querequieren clarificación.
Existen al menos tres factores que hicieron que la lógica modal tuviera "mala prensa" enla primera mitad del siglo XX. En primer lugar, la interpretación clásica de laconsecuencia lógica eliminaba las nociones modales en favor de una visión formalista.En segundo lugar, a diferencia del caso de la lógica clásica (que fue axiomatizada de unmodo completo por Frege), las nociones modales dieron lugar a distintos sistemasaxiomáticos. En tercer lugar, la lógica modal se desarrolló sin un análisis semántico. A
esto se suman las críticas de Quine que comienzan en los años treinta.
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• Lógica Borrosa
La lógica borrosa es una rama de la inteligencia artificial que se funda en el concepto "Todo es cuestión degrado" , lo cual permite manejar información vaga o de difícil especificación si quisiéramos hacer cambiarcon esta información el funcionamiento o el estado de un sistema especifico. Es entonces posible con la
lógica borrosa gobernar un sistema por medio de reglas de 'sentido común' las cuales se refieren acantidades indefinidas.Las reglas involucradas en un sistema borroso, pueden ser aprendidas con sistemas adaptativos queaprenden al ' observar ' como operan las personas los dispositivos reales, o estas reglas pueden también serformuladas por un experto humano.En general la lógica borrosa se aplica tanto a sistemas de control como para modelar cualquier sistemacontinuo de ingeniería, física, biología o economíaLa lógica borrosa es entonces definida como un sistema matemático que modela funciones no lineales, queconvierte unas entradas en salidas acordes con los planteamientos lógicos que usan el razonamientoaproximado.
Se fundamenta en los denominados conjuntos borrosos y un sistema de inferencia borroso basado enreglas de la forma" SI....... ENTONCES...... ", donde los valores lingüísticos de la premisa y el consecuente están definidos por
conjuntos borrosos, es así como las reglas siempre convierten un conjunto borroso en otro.
Historia
Los conjuntos difusos fueron introducidos por primera vez en 1965; la creciente disciplina de la lógicadifusa provee por sí misma un medio para acoplar estas tareas. En cierto nivel, la lógica difusa puede ser
vista como un lenguaje que permite trasladar sentencias sofisticadas en lenguaje natural a un lenguajematemático formal. Mientras la motivación original fue ayudar a manejar aspectos imprecisos del mundoreal, la práctica temprana de la lógica difusa permitió el desarrollo de aplicaciones prácticas. Aparecieronnumerosas publicaciones que presentaban los fundamentos básicos con aplicaciones potenciales. Estafrase marcó una fuerte necesidad de distinguir la lógica difusa de la teoría de probabilidad. Tal como laentendemos ahora, la teoría de conjuntos difusos y la teoría de probabilidad tienen diferentes tipos deincertidumbre.
Conceptos Básicos
Conjuntos difusos.La mayoría de los fenómenos que encontramos cada día son imprecisos, es decir, tienen implícito un ciertogrado de difusidad en la descripción de su naturaleza. Esta imprecisión puede estar asociada con su forma,posición, momento, color, textura, o incluso en la semántica que describe lo que son. En muchos casos elmismo concepto puede tener diferentes grados de imprecisión en diferentes contextos o tiempo. Un díacálido en invierno no es exactamente lo mismo que un día cálido en primavera. La definición exacta decuando la temperatura va de templada a caliente es imprecisa -no podemos identificar un punto simple detemplado, así que emigramos a un simple grado, la temperatura es ahora considerada caliente. Este tipo deimprecisión o difusidad asociado continuamente a los fenómenos es común en todos los campos deestudio: sociología, física, biología, finanzas, ingeniería, oceanografía, psicología, etc.
Conceptos imprecisos. Aceptamos la imprecisión como una consecuencia natural de ''la forma de las cosas en el mundo''. Ladicotomía entre el rigor y la precisión del modelado matemático en todo los campos y la intrínsecaincertidumbre de ''el mundo real'' no es generalmente aceptada por los científicos, filósofos y analistas denegocios. Nosotros simplemente aproximamos estos eventos a funciones numéricas y escogemos unresultado en lugar de hacer un análisis del conocimiento empírico. Sin embargo procesamos y entendemosde manera implícita la imprecisión de la información fácilmente. Estamos capacitados para formularplanes, tomar decisiones y reconocer conceptos compatibles con altos niveles de vaguedad y ambigüedad.considere las siguientes sentencias:
• La temperatura está caliente• La inflación actual aumenta rápidamente• Los grandes proyectos generalmente tardan mucho
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• Nuestros precios están por abajo de los precios de la competencia• IBM es una compañía grande y agresiva• Alejandro es alto pero Ana no es bajita
Estas proposiciones forman el núcleo de nuestras relaciones con ''la forma de las cosas en el mundo''. Sinembargo, son incompatibles con el modelado tradicional y el diseño de sistemas de información. Si
podemos incorporar estos conceptos logramos que los sistemas sean potentes y se aproximen más a larealidad.Pero, es la imprecisión un concepto artificial utilizado para aumentar o disminuir en uno o más laspropiedades de los fenómenos? o es una parte intrínseca del fenómeno en sí mismo?.Esta es una pregunta importante ya que es la parte fundamental de las medidas de la teoría difusa. Como
veremos la fusificación es independiente de cualquier capacidad para medir, ya que un conjunto difuso esun conjunto que no tiene límites bien definidos.
Un conjunto difuso tiene muchas propiedades intrínsecas que afectan la forma del conjunto, su uso y comoparticipa en un modelo. Las propiedades más importantes de un conjunto difuso son las concernientes alas dimensiones verticales del conjunto difuso (altura y normalización) y las dimensiones horizontales(conjunto soporte y cortes "alpha").
La altura de un conjunto difuso es como máximo un grado de pertenencia y es una cota cercana al concepto
de normalización. La superficie de la región de un conjunto difuso es el universo de valores. Todos estosconceptos se tratarán más adelante.Es decir un conjunto difuso A se considera como un conjunto de pares ordenados, en los que el primercomponente es un número en el rango [0,1] que denota el grado de pertenencia de un elemento u de U en
A, y el segundo componente especifica precisamente quién es ése elemento de u. En general los grados depertenencia son subjetivos en el sentido de que su especificación es una cuestión objetiva. Se debe aclararque aunque puede interpretarse como el grado de verdad de que la expresión ''u A'' sea cierta, es másnatural considerarlo simplemente como un grado de pertenencia.
Puede notarse además que:a) Mientras más próximo está (u) a el valor 1, se dice que u pertenece más a A (de modo que 0 y 1 denotanla no pertenencia y la pertenencia completa, respectivamente).
b) Un conjunto en el sentido usual es también difuso pues su función característica u es también una
función u [0,1]; o sea que los conjuntos difusos son una generalización de los conjuntos usuales.Ejemplo: Sea U =11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, entonces los conjuntos definidos a continuación son difusos:
• POCOS = (.4/1, .8/2, 1/3, .4/4)• VARIOS = (.5/3, .8/4, 1/5, 1/6, .8/7, .5,8)• MUCHOS =(.4/6, .6/7, .8/8, .9/9,1/10)
Note que el elemento 4 pertenece en grado .4 al conjunto POCOS, en grado .8 al conjunto VARIOS y engrado .0 a MUCHOS. Zadeh ha hecho algunas extensiones a los conceptos de conjuntos difusos ordinariosque se han explicado; por ejemplo los conjuntos difusos de nivel-m y los conjuntos difusos tipo-n. Para unconjunto difuso de nivel-m se considera como su universo de discusión al conjunto de conjuntos difusos denivel-(m-1), sobreentendiendo que los conjuntos difusos de nivel-1 son conjuntos difusos ordinarios. Paralos conjuntos difusos tipo-n, los valores de las funciones de pertenencia son conjuntos difusos de tipo-(n-1)
del intervalo [0,1] (en lugar de ser puntos de [0,1]). También los conjuntos difusos tipo-1 son equivalentesa los conjuntos difusos ordinarios.
Operaciones.En la lógica Booleana tradicional, los conjuntos son considerados como sistemas bivalentes con sus estadosalternando entre inclusión y exclusión. La característica de la función discriminante refleja este espacio
bivaluado
Esto indica que la función de pertenencia para el conjunto A es cero si x no es un elemento en A y lafunción de pertenencia es si x es un elemento en A. Dado que existen solamente dos estados, la transiciónentre estos dos estados es siempre inmediata. La pertenencia de estos conjuntos está siempre totalmentecategorizada y no existe ambigüedad o dicotomía acerca de la pertenencia. Existen 4 operaciones básicasde conjuntos en esta lógica: unión, intersección, complemento y unión exclusiva.
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Al igual que en los conjuntos convencionales, existen definiciones específicas para combinar y especificarnuevos conjuntos difusos. Este conjunto de funciones teóricas provee las herramientas fundamentales de lalógica.
En el caso usual, con las operaciones comunes de intersección, unión y complemento, el conjunto deconjuntos de U forman un álgebra booleana, es decir se cumplen las condiciones de asociatividad,conmutatividad, elementos neutros, ídem potencia, absorción, distributividad, complemento y las leyes de
Morgan.
Las tres operaciones mencionadas se pueden extender de varias formas a conjuntos difusos, de modo queal restringirlas a los conjuntos usuales, coincidan con las comunes. Estas extensiones resultantes satisfacenen forma general sólo a algunas de las condiciones listadas anteriormente, y para mantener la vigencia dealguna, será obligatorio sacrificar a otras. En el sistema se optó por extender las operaciones en el sentidoclásico, es decir, dados dos conjuntos difusos A y B, se definen las operaciones extendidas de la siguienteforma
Dado que los conjuntos difusos no se particionan en el mismo sentido que los conjuntos Booleanos, estasoperaciones son aplicadas al nivel de pertenencia, como una consecuencia de los conjuntos difusos. Decidirsi un valor es o no es miembro de cualquier conjunto difuso en particular, requiere algunas nociones decómo esta construido el conjunto, del universo y de los límites de éste.
Las etiquetas lingüísticas y operadores.El centro de las técnicas de modelado difuso es la idea de variable lingüística. Desde su raíz, una variablelingüística es el nombre de un conjunto difuso. Si tenemos un conjunto difuso llamado ''largo'' éste es unasimple variable lingüística y puede ser empleada como una regla-base en un sistema basado en la longitudde un proyecto en particular
Si duración-proyecto es largo entonces la-terminación-de-tareas es DECRECIENTE; Una variablelingüística encapsula las propiedades de aproximación o conceptos de imprecisión en un sistema y da unaforma de computar adecuada. Esto reduce la aparente complejidad de describir un sistema que debeconcordar con su semántica. Una variable lingüística siempre representa un espacio difuso.
Lo importante del concepto de variable lingüística es su estimación de variable de alto orden más que una variable difusa. En el sentido de que una variable lingüística toma variables difusas como sus valores.
En el campo de la semántica difusa cuantitativa al significado de un término "x" se le representa como un
conjunto difuso M(x) del universo de discusión. Desde este punto de vista, uno de los problemas básicos ensemántica es que se desea calcular el significado de un término compuesto x=x , x ,...,x partiendo delconocimiento del significado de sus componentes atómicos x .
La idea básica sugerida por Zadeh es que una etiqueta lingüística tal como ''muy'', ''más o menos'',''ligeramente'', etc... puede considerarse como un operador que actúa sobre un conjunto difuso asociado alsignificado de su operando. Por ejemplo en el caso de un término compuesto ''muy alto'', el operador''muy'' actúa en el conjunto difuso asociado al significado del operando ''alto''. Una representaciónaproximada para una etiqueta lingüística se puede lograr en términos de combinaciones o composicionesde las operaciones básicas explicadas en la sección anterior. Es importante aclarar que se hará mayorénfasis en que estas representaciones se proponen principalmente para ilustrar el enfoque, más que paraproporcionar una definición exacta de las etiquetas lingüísticas. Zadeh también considera que las etiquetaslingüísticas pueden clasificarse en dos categorías que informalmente se definen como sigue:
• Tipo I: las que pueden representarse como operadores que actúan en un conjunto difuso: ''muy'',''más o menos'', ''mucho'', ''ligeramente'', ''altamente'', ''bastante'', etc. y,• Tipo II: las que requieren una descripción de cómo actúan en los componentes del conjuntodifuso (operando): ''esencialmente'', ''técnicamente'', ''estrictamente'', ''prácticamente'', ''virtualmente'',etc...
En otras palabras, las etiquetas lingüísticas pueden ser caracterizadas cómo operadores más queconstrucciones complicadas sobre las operaciones primitivas de conjuntos difusos.
Ejemplos de etiquetas tipo I.De acuerdo a éste punto de vista y sabiendo que el lenguaje natural es muy rico y complejo, tomamos eloperador ''muy'' que podemos caracterizar con un significado de que aún cuando no tenga validez universalsea sólo una aproximación. Asumimos que si el significado de un término x es un conjunto difuso A,entonces el significado de muy X.
Más y menosSe pueden definir etiquetas lingüísticas artificiales, por ejemplo: más, menos, que son instancias de lo que
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puede llamarse acentuador y desacentuador respectivamente, cuya función es proporcionar ligeras variantes de la concentración y la dilatación.
Los exponentes se eligen de modo que se de la igualdad aproximada: mas mas x = menos muy x, y que,además, se pueden utilizar para definir etiquetas lingüísticas cuyo significado difiere ligeramente de otras,ejemplo:
Mas o menosOtra etiqueta lingüística interesante es ''más o menos'' que en sus usos más comunes como ''más o menosinteligente'', ''más o menos rectangular'' etc, juega el papel de difusificador.
LigeramenteSu efecto es dependiente de la definición de proximidad u ordenamientos en el dominio del operando.Existen casos, sin embargo, en los que su significado puede definirse en términos de etiquetas lingüísticastipo I, bajo la suposición de que el dominio del operando es un conjunto ordenado linealmente.
Clase deEs una etiqueta lingüística que tiene el efecto de reducir el grado de pertenencia de los elementos que estánen el ''centro'' (grados de pertenencia grandes) de una clase x e incrementa el de aquellos que están en superiferia (grados de pertenencia pequeños).
Regular
Es una etiqueta que tiene el efecto de reducir el grado de pertenencia de aquellos elementos que tienentanto un alto grado de pertenencia al conjunto como de aquellos que lo tienen pequeño, y sólo aumenta elgrado de pertenencia de aquellos elementos que tienen un grado de pertenencia cercano al .
Etiquetas tipo II.Su caracterización envuelve una descripción de forma que afectan a los componentes del operando, y por lotanto es más compleja que las del tipo I. En general, la definición de una etiqueta de este tipo debeformularse como un algoritmo difuso que envuelve etiquetas tipo I. Su efecto puede describirseaproximadamente como una modificación de los coeficientes de ponderación de una combinación convexa.Como la magnitud de las ponderaciones es una medida del atributo asociado, intuitivamente una etiquetade este tipo tiene el efecto de aumentar las ponderaciones de los atributos importantes y disminuir los querelativamente no lo son.
Un tipo de lógica que reconoce más que simples valores verdaderos y falsos. Con lógica difusa, lasproposiciones pueden ser representadas con grados de veracidad o falsedad. Por ejemplo, la sentencia "hoy es un día soleado", puede ser 100% verdad si no hay nubes, 80% verdad si hay pocas nubes, 50% verdad siexiste neblina y 0% si llueve todo el día.
La Lógica Difusa ha sido probada para ser particularmente útil en sistemas expertos y otras aplicaciones deinteligencia artificial. Es también utilizada en algunos correctores de voz para sugerir una lista deprobables palabras a reemplazar en una mal dicha.
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Operaciones entre conjuntos Difusos
Los Conjuntos Difusos se pueden operar entre sí del mismo modo que los conjuntos clásicos. Puesto quelos primeros son una generalización de los segundos, es posible definir las operaciones de intersección,unión y complemento haciendo uso de las mismas funciones de pertenencia:
B (x) = minµA(x), µB(x) )∩µA B (x) = max ( µA(x), µB(x) )∪µA A (x)¬µ = 1 - µA(x)
En realidad, estas expresiones son bastante arbitrarias y podrían haberse definido de muchas otrasmaneras. Esto obliga a considerar otras definiciones más generales para las operaciones entre losConjuntos Difusos. En la actualidad se considera correcto definir el operador intersección mediantecualquier aplicación t-norma y el operador unión mediante cualquier aplicación s-norma. <
Variables LingüísticasLa Teoría de Conjuntos Difusos puede utilizarse para representar expresiones lingüísticas que se utilizanpara describir conjuntos o algoritmos. Los Conjuntos Difusos son capaces de captar por sí mismos la
vaguedad lingüística de palabras y frases comúnmente aceptadas, como "gato pardo" o "ligero cambio". Lahabilidad humana de comunicarse mediante definiciones vagas o inciertas es un atributo importante de la
inteligencia.Una Variable Lingüística es aquella variable cuyos valores son palabras o sentencias que van a enmarcarseen un lenguaje predeterminado. Para estas variables lingüísticas se utilizará un nombre y un valorlingüístico sobre un Universo de Discurso. Además, podrán dar lugar a sentencias generadas por reglassintácticas, a las que se les podrá dar un significado mediante distintas reglas semánticas.
Los Conjuntos Difusos pueden utilizarse para representar expresiones tales como:
• X es PEQUEÑO.• La velocidad es RÁPIDA.• El ganso es CLARO.
Las expresiones anteriores pueden dar lugar a expresiones lingüísticas más complejas como:
• X no es PEQUEÑO.• La velocidad es RÁPIDA pero no muy RÁPIDA.• El ganso es CLARO y muy ALEGRE.
Así, se pueden ir complicando las expresiones. Por ejemplo, la expresión "x no es PEQUEÑO" puedecalcularse a partir de la original calculando el complemento de la siguiente forma:
µ_no_PEQUEÑA (x) = 1- µ_PEQUEÑO (x)
Tratando de esta forma los distintos modificadores lingüísticos (muy, poco, rápido, lento...) pueden ircalculándose todas las expresiones anteriores
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• Lógica Polivalente
Una lógica plurivalente o lógica polivalente es un sistema lógico que rechaza el principio del tercero excluido de las lógicas bivalentes y admite más valores de verdad
que los tradicionales verdadero y falso.1 Distintas lógicas plurivalentes pueden admitir distintas cantidades de valores de verdad: desde tres, hasta infinito.
Las lógicas polivalentes se difundieron especialmente a partir de los trabajos de losfilósofos polacos Jan Łukasiewicz y Emil Post y sus relaciones con la física cuántica,
pero fueron expuestas anteriormente, con diferentes enfoques, por Hegel, HughMacColl, Charles Sanders Peirce y Nicolai A. Vasiliev. Stephen Kleene elaboró lastablas de verdad para un sistema de lógica trivalente. Un ejemplo para ilustrar latrivalenecia en física ha sido la paradoja del gato de Schrödinger .
Pueden considerarse como polivalentes:
• la lógica dialéctica de Hegel• la lógica trivalente para valores infinitos de Łukasiewicz• la lógica modal, especialmente los modelos de Kripke, que definen tres modelos
de verdad: lo verdadero, lo falso y lo problemático• la lógica difusa de Zadeh, que enfatiza en la incertidumbre y es una lógica de la
probabilidad• la lógica polivalente de Gödel, a partir de su teorema de la incompletitud• la lógica intuicionista desarrollada por Brouwer , que restringe la validez de la
lógica clásica a lo demostrable•
la logica producto, tetravalenteLa lógica trivalente como la del universo de los modelos de Kripke que contienen tres"mundos" posibles. Otras lógicas se proponen como polivalentes o n-valentes, de nmundos o un número infinito de "mundos" posibles.
La lógica dialéctica de Hegel
El acto mismo del conocimiento es la introducción de la contradicción. El principio deltercero excluido, "algo o es A o no es A", es la proposición que quiere rechazar lacontradicción y al hacerlo incurre precisamente en contradicción: A debe ser +A ó -A,
con lo cual ya queda introducido el tercer término, A que no es ni + ni - y por lo mismoes +A y -A. Algo es ello mismo y es otro, porque en realidad todo cambiacontinuamente y la misma cosa se transforma en otra cosa. Es una lógica delmovimiento, la transición y la transformación.
Lógica polivalente de Gödel
Formula lo siguiente::
si v( x) = 0 y 0 de otro modo.
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Lógica producto
Formula lo siguiente::
si v( x) = 0 y 0 de otro modo.
Lógica polivalente y doble negación
Es interesante observar como en las lógicas de Gödel y producto, al igual que en lalógica intuicionista, se niega el principio de la doble negacióncon el fin de mantener lavalidez del principio de no contradicción.
En particular, a causa de la particular definición del operador NOT se verifica que:
es un teoremano es un teorema.
es un teorema.es un teorema.
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• Lógica Inductiva
El razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento no deductivo queconsiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas que contienen datos
particulares. Por ejemplo, de la observación repetida de objetos o acontecimientos de la
misma índole se establece una conclusión para todos los objetos o eventos de dichanaturaleza.
Premisas:
• He observado el cuervo número 1 y era de color negro.• El cuervo número 2 también era negro.• El cuervo número 3 también era negro.
Conclusión:
• Luego, todos los cuervos son negros.
En este razonamiento se generaliza para todos los elementos de un conjunto la propiedad observada en un número finito de casos. Ahora bien, la verdad de las premisas (10.000 observaciones favorables a esta conclusión, por ejemplo) no convierteen verdadera la conclusión, ya que podría haber una excepción. De ahí que laconclusión de un razonamiento inductivo sólo pueda considerarse probable y, de hecho,la información que obtenemos por medio de esta modalidad de razonamiento es siempreuna información incierta y discutible. El razonamiento sólo es una síntesis incompletade todas las premisas.
En un razonamiento inductivo válido, por tanto, es posible afirmar las premisas y,simultáneamente, negar la conclusión sin contradecirse. Acertar en la conclusión seráuna cuestión de probabilidades.1
Dentro del razonamiento inductivo se distinguen dos tipos:
• Completo: se acerca a un razonamiento deductivo porque la conclusión noaporta más información que la ya dada por las premisas. En él se estudian todoslos individuos abarcados por la extensión del concepto tratado, por ejemplo:
Jessica y Alan tienen tres hijos: Sofía, Andrea y Kevin:Sofía es rubia,
Andrea es rubia, Kevin es rubio, Por lo tanto todos los hijos de Alan y Jessica son rubios.
• Incompleto: la conclusión va más allá de los datos que dan las premisas. Amayor cantidad de datos, mayor probabilidad. La verdad de las premisas nogarantiza la verdad de la conclusión. Por ejemplo:
María es rubia, Juan es rubio, Pedro es rubio,
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Jorge es rubio; Por lo que todas las personas son rubias.
• Lógica Deductiva
En lógica, una deducción es un argumento donde la conclusión se infierenecesariamente de las premisas.1 En su definición formal, una deducción es unasecuencia finita de fórmulas, de las cuales la última es designada como la conclusión (laconclusión de la deducción), y todas las fórmulas en la secuencia son, o bien axiomas, o
bien premisas, o bien inferencias directas a partir de fórmulas previas en la secuencia por medio de reglas de inferencia.1 2
Por ejemplo, la siguiente es una deducción de la fórmula en el sistema de la
lógica proposicional:
Se trata de una secuencia de tres fórmulas. Si esta secuencia ha de ser una deducción,entonces la última fórmula será la conclusión, es decir la fórmula siendo deducida, y lasotras dos deben ser, o bien premisas, o bien axiomas, o bien deducciones previas. La
primera fórmula, es una instancia del esquema de axioma
(en el sistema de Jan Łukasiewicz), y por lo tanto es un axioma. Lasegunda fórmula, , no es un axioma, y tampoco puede ser deducida de la fórmula
previa, de modo que es una premisa. Para que esta secuencia sea una deducción,entonces, sólo falta que sea posible inferir la última fórmula a partir de las dosanteriores por medio de una regla de inferencia del sistema. Y en efecto, por medio delmodus ponens (la única regla de inferencia del sistema de Łukasiewicz) es posiblededucir la última fórmula a partir de las otras dos. Esta secuencia constituye, por lotanto, una deducción.
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Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845 -Halle, 6 de enero de 1918) fue un matemático alemán, inventor con Dedekind y Frege de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a susatrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de
formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y
ordinales).
Vivió aquejado por episodios de depresión, atribuidos originalmente a las críticasrecibidas y sus fallidos intentos de demostración de la hipótesis del continuo, aunqueactualmente se cree que poseía algún tipo de "depresión ciclo-maníaca". 1 Hoy en día, lacomunidad matemática reconoce plenamente su trabajo, y admite que significa un saltocualitativo importante en el raciocinio lógico.
Biografía
Nació en el seno de una familia judía. Su padre fue el comerciante Georg Waldemar Cantor y su madre María Bohm. Su padre había nacido en Copenhague, Dinamarca,
pero emigró siendo joven al lugar donde nacería su hijo en 1845. Una enfermedad pulmonar provocó que el padre se trasladara en 1856 a Fráncfort, Alemania. Todosestos eventos provocaron que distintas patrias reclamaran como hijo a Georg Cantor.
La educación primaria de Georg Cantor fue confiada a un profesor particular y despuéssiguió un curso en la escuela elemental de San Petersburgo. Cuando la familia se mudóa Alemania, Cantor asistió a escuelas privadas de Fráncfort y Damnstandt primero, pero
luego ingresó al Instituto de Wiesbaden, a sus 15 años.Los estudios universitarios de Georg Cantor iniciaron en Zúrich, en 1862. Pero pasó a laUniversidad de Berlín al siguiente año, después de la muerte de su padre. En Berlín seespecializó en matemáticas, filosofía y física.
El interés de joven recayó en las dos primeras. Tuvo como profesores en el campo dematemáticas a Ernst Kummer , Karl Weierstrass y Leopold Kronecker . Uno de los actosde Cantor fue la siguiente afirmación: ax² + by² + cz² = 0
En la que a, b y c son números enteros.
A los 27 años dio clase en la Universidad de Halle. A partir de 1872 fue catedrático. Sus primeros trabajos con las series de Joseph Fourier lo llevaron al desarrollo de una teoríade números irracionales.
En 1874, apareció el primer trabajo de Cantor sobre la Teoría de conjuntos. El estudiode los infinitos fue considerado por su maestro Kronecker como locura matemática.
Cantor descubrió que los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño, o seael mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de los racionales es enumerable, es decir,del mismo tamaño que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo
es: existen, por lo tanto, varios infinitos, más grandes los unos que los otros. Entre estos
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infinitos, los hay tan grandes que no tienen correspondencia en el mundo real, asimiladoal espacio vectorial R³.
Este hecho supuso un desafío para un espíritu tan religioso como el de Georg Cantor. Ylas acusaciones de blasfemia por parte de ciertos colegas envidiosos o que no entendían
sus descubrimientos no le ayudaron. Sufrió de depresión, y fue internado repetidasveces en hospitales psiquiátricos. Su mente luchaba contra varias paradojas de la teoríade los conjuntos, que parecían invalidar toda su teoría (hacerla inconsistente ocontradictoria, en el sentido de que una cierta propiedad podría ser a la vez cierta yfalsa). Además, trató durante muchos años de probar la hipótesis del continuo, lo que sesabe hoy que es imposible, y que tiene que ser aceptada (o rehusada) como axiomaadicional de la teoría. El constructivismo negará este axioma, entre otras cosas,desarrollando toda una teoría matemática alternativa a la matemática moderna.
Empezó a interpretar el infinito absoluto (que no es concebible por la mente humana)como Dios, y escribió artículos religiosos sobre el tema.
Georg Cantor falleció en Halle, Alemania el 6 de enero de 1918, a los 73 años de edad.Actualmente, su obra es ampliamente reconocida y ha sido acreedora de varios honores.
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Bertrand Arthur William Russell, 3er Conde de Russell, OM, MRS, (18 de mayo de1872, Trellech, Monmouthshire, Gales - 2 de febrero de 1970, Penrhyndeudraeth,Gales) fue un filósofo, matemático y escritor británico.
Bertrand Russell fue hijo de John Russell, Vizconde de Amberley y de Katrine Louisa
Stanley (1844 - 1874), esta fue hija de Edward Stanley, 2.º Baron Stanley de Alderley, yhermana de Rosalind Howard, condesa de Carlisle.
Escribió sobre una amplia gama de temas, desde los fundamentos de las matemáticas yla teoría de la relatividad al matrimonio, los derechos de las mujeres y el pacifismo. Lavida de Russell fue apasionada, intensa y larga. Se fraguó un nombre tanto en loscírculos de especialistas como entre las multitudes que lo seguían con fervor o loodiaban con intensidad.
En matemáticas su gran contribución es la indudablemente importante Principia
Mathematica con Alfred North Whitehead, libro en tres volúmenes en donde a partir de
ciertas nociones básicas de la lógica y la teoría de conjuntos se pretendía deducir latotalidad de las matemáticas. Kurt Gödel echó abajo la pretendida demostración,mostrando así el poder de los lenguajes formales, la posibilidad de modelar lasmatemáticas y la fertilidad de la lógica. Un libro profundamente influyente e importanteque contribuyó al desarrollo de la lógica, la teoría de conjuntos, la inteligencia artificialy la computación, así como a la formación de pensadores de la talla de David Hilbert,Ludwig Wittgenstein, Alan Turing, Willard Van Orman Quine y Kurt Gödel. Enfilosofía contribuyó prácticamente en todas las áreas, desde la misma metodologíaabogando siempre por el análisis y alertando a los filósofos de las trampas del lenguaje,sentando así el método y las motivaciones de la filosofía analítica. Sus contribucionesde contenido incluyen su innegable artículo maestro Sobre el Denotar y una serie delibros y artículos en problemas desde la filosofía de las matemáticas, la metafísica, laepistemología, la inferencia científica y la ética a una serie de enfoques interesantes yfértiles al problema mente-cuerpo, enfoques discutidos hoy en día por variedad defilósofos importantes como David Chalmers, Michael Lockwood, Thomas Nagel,Grover Maxwell, Mario Bunge, etc.
Russell fue un conocido pacifista durante la Primera Guerra Mundial, aunque semanifestó a favor de tomar acciones bélicas durante la Segunda Guerra Mundial,alegando que un mundo en donde el fascismo fuera la ideología reinante sería un mundoen donde lo mejor de la civilización habría muerto y no valdría la pena vivir. Estuvo en
prisión dos veces, la primera conectada con sus actividades pacifistas durante la granguerra y la segunda por participar en una manifestación contra la proliferación de armasnucleares. Contrajo matrimonio cuatro veces. La última vez, con Edith Finch, pudoalcanzar la paz y entendimiento que siempre buscó. Tuvo tres hijos, John, Kate yConrad. Conrad se convirtió en un importante político del Partido Liberal Demócrata enInglaterra y en un historiador erudito, murió recientemente quinto conde de Russell.
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Bertrand Russell
Russell fue también además de activista y pensador de primera línea un soberbio polemista que se convirtió en el ícono del racionalismo para toda una generación.Polemizó sobre el control de natalidad, los derechos de las mujeres, la inmoralidad delas armas nucleares, y sobre las deficiencias en los argumentos y razones esgrimidos afavor de la existencia de Dios. Siempre en sus escritos hizo gala no sólo de unmagnífico estilo literario sino también de un excelente sentido del humor y unahabilidad para sorprender y provocar con la ironía, el sarcasmo y la metáfora. Sin dudaalguna Lord Russell fue uno de los pensadores más interesantes, profundos, mordaces yactivos del siglo XX y dejó un enorme legado de escritos de los cuales podemos extraer importantes lecciones.
En 1962, a los 90 años, medió en la crisis de los misiles de Cuba para evitar que sedesatara un ataque militar, escribiendo cartas tanto a Jrushchov como al presidente
Kennedy y siendo intermediario en sus respuestas mutuas. Organizó con Albert Einstein un manifiesto que dio vida a las Conferencias de Pugwash, ante la amenaza de unaguerra nuclear y pasó los últimos quince años de su vida haciendo campaña en contra dela fabricación de armas nucleares. En esto seguía el consejo que había dado a unentrevistador, diciéndole que el deber del filósofo en esos tiempos era evitar a toda costaun nuevo holocausto, la destrucción de la humanidad. Murió pacíficamente a los 98años, en compañía de su última esposa, Edith Finch.
Filosofía analítica
Russell es reconocido como uno de los fundadores de la filosofía analítica, de hecho,
inició diversas vías de investigación. A principios del siglo XX, junto con G. E. Moore, Russell fue responsable en gran medida de la "rebelión británica contra el idealismo",una filosofía influenciada en gran medida por Georg Hegel y su discípulo británico, F.H. Bradley. Esta rebelión tuvo repercusión 30 años después en Viena por la "rebelión encontra de la metafísica" de los positivistas lógicos. Russell estaba especialmentedisgustado por la doctrina idealista de las relaciones internas, las cuales mantienen que
para conocer sobre una cosa en concreto, debemos conocer todas sus relaciones. Russellmostró que tal postura haría del espacio, del tiempo, de la ciencia, y del concepto denúmero algo sin sentido. Russell junto con Whitehead continuó trabajando en esecampo de la lógica.
Russell y Moore se esforzaron para eliminar las suposiciones de la filosofía queencontraron absurdas e incoherentes, para llegar a ver claridad y precisión en la
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argumentación por el uso exacto del lenguaje y por la división de las proposiciones filosóficas en componentes más simples. Russell, en particular, vio la lógica y la cienciacomo la principal herramienta del filósofo. Por tanto, a diferencia de la mayoría de losfilósofos que le precedieron a él y a sus contemporáneos, Russell no creía que hubieseun método específico para la filosofía. Él creía que la principal tarea del filósofo era
clarificar las proposiciones más genéricas sobre el mundo y eliminar la confusión. En particular, quería acabar con los excesos de la metafísica. Russell adoptó los métodos deGuillermo de Ockham sobre el principio de evitar la multiplicidad de entidades para unmismo uso, la navaja de Ockham, como parte central del método de análisis y elrealismo.
Teoría del conocimiento
La teoría del conocimiento de Russell atravesó muchas fases. Una vez que hubodesechado el neo-Hegelismo en su juventud, Russell se consolidó como un realistafilosófico durante el resto de su vida, creyendo que nuestras experiencias directas tienenel papel primordial en la adquisición de conocimiento. Aunque algunos de sus puntos devista han perdido empuje, su influencia se mantiene sólida en la distinción entre las dosmaneras en que nos familiarizamos con los objetos: “conocimiento por familiaridad” y“conocimiento por descripción”. Durante un tiempo, Russell pensó que sólo podíamosconocer mediante "datos sensoriales" —percepciones momentáneas de colores, sonidos,y similares— y que todo lo demás, incluyendo los objetos físicos que esas percepcionessensoriales representan, sólo pueden ser inferidos o razonados, es decir conocidos por descripción y no directamente. Esta diferenciación ha llegado a ser de mucho másamplio uso, aunque Russell posteriormente rechazó la idea de una percepción sensorialintermedia.
En su última etapa filosófica, Russell adoptó un tipo de "monismo neutral", sosteniendoque la diferenciación entre el mundo material y el mental era, en su análisis final,arbitraria, y que ambos pueden reducirse a una esfera neutral, un punto de vista similar al sostenido por el filósofo americano William James y que fue formulado por primeravez por Baruch Spinoza, muy admirado por Russell. Sin embargo, en lugar de la“experiencia pura” de James, Russell caracterizó la esencia de nuestros estados inicialesde percepción como “eventos”, una postura curiosamente parecida a la filosofía de
procesos de su antiguo profesor Alfred North Whitehead.
Atomismo lógico
Quizás el tratamiento de análisis filosófico más sistemático y metafísico, y su logicismocentrado en el empirismo, es evidente en lo que él llamó Atomismo lógico, explicado enuna serie de conferencias llamada "La Filosofía del Atomismo Lógico", dictada por él.En esos discursos, Russell expone su concepto de un lenguaje ideal, isomórfico, unoque reflejaría el mundo, donde nuestro conocimiento puede ser reducido a términos de
proposiciones atómicas y sus componentes de función de verdad (lógica matemática).Para Russell el atomismo lógico es una forma radical de empirismo, quien además creíaque el requerimiento más importante para tal lenguaje ideal es que cada proposiciónsignificativa debe consistir de términos que se refieran directamente a los objetos quenos son familiares. Russell excluyó ciertos términos lógicos y formales como todos
(all ), el o la (the), es (is), y así otros, de su requisito isomórfico, pero nunca estuvocompletamente satisfecho acerca de nuestra comprensión de tales términos.
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Uno de los temas centrales del atomismo de Russell es que el mundo consiste de hechos lógicamente independientes, una pluradidad de hechos, y que nuestro conocimientodepende de los datos de nuestra experiencia directa con ellos.
Más tarde en su vida, Russell comenzó a dudar de los aspectos del atomismo lógico,
especialmente su principio de isomorfismo, aunque continuó creyendo que el procesode filosofía debiera consistir de cosas desmenuzadas en sus componentes más simples,aunque nunca alcanzaríamos la útima verdad (hecho) atómica.
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COMPUERTAS LÓGICAS
Las computadoras digitales utilizan el sistema de números binarios, que tienedos dígitos 0 y 1. Un dígito binario se denomina un bit. La información estárepresentada en las computadoras digitales en grupos de bits. Utilizandodiversas técnicas de codificación los grupos de bits pueden hacerse que
representen no solamente números binarios sino también otros símbolosdiscretos cualesquiera, tales como dígitos decimales o letras de alfabeto.Utilizando arreglos binarios y diversas técnicas de codificación, los dígitosbinarios o grupos de bits pueden utilizarse para desarrollar conjuntoscompletos de instrucciones para realizar diversos tipos de cálculos.La información binaria se representa en un sistema digital por cantidadesfísicas denominadas señales, Las señales eléctricas tales como voltajesexisten a través del sistema digital en cualquiera de dos valores reconociblesy representan una variable binaria igual a 1 o 0. Por ejemplo, un sistemadigital particular puede emplear una señal de 3 volts para representar el binario "1" y 0.5 volts para el binario "0". La siguiente ilustración muestra unejemplo de una señal binaria.Como se muestra en la figura, cada valor binario tiene una desviación
aceptable del valor nominal. La región intermedia entre las dos regiones permitidas se cruza solamente durante la transición de estado. Los terminalesde entrada de un circuito digital aceptan señales binarias dentro de lastolerancias permitidas y los circuitos responden en los terminales de salidacon señales binarias que caen dentro de las tolerancias permitidas.La lógica binaria tiene que ver con variables binarias y con operaciones quetoman un sentido lógico. La manipulación de información binaria se hace por circuitos lógicos que se denominan Compuertas.Las compuertas son bloques del hardware que producen señales en binario 1ó 0 cuando se satisfacen los requisitos de entrada lógica. Las diversascompuertas lógicas se encuentran comúnmente en sistemas de computadorasdigitales. Cada compuerta tiene un símbolo gráfico diferente y su operación puede describirse por medio de una función algebraica. Las relacionesentrada - salida de las variables binarias para cada compuerta puedenrepresentarse en forma tabular en una tabla de verdad. A continuación se detallan los nombres, símbolos, gráficos, funcionesalgebraicas, y tablas de verdad de las compuertas más usadas.Compuerta AND (ver funcionamiento) http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/image002.png:
Cada compuerta tiene dos variables de entrada designadas por A y B y unasalida binaria designada por x. La compuerta AND produce la multiplicaciónlógica AND: esto es: la salida es 1 si la entrada A y la entrada B están ambasen el binario 1: de otra manera, la salida es 0. Estas condiciones también sonespecificadas en la tabla de verdad para la compuerta AND. La tabla muestraque la salida x es 1 solamente cuando ambas entradas A y B están en 1.El símbolo de operación algebraico de la función AND es el mismo que el símbolode la multiplicación de la aritmética ordinaria (*).Las compuertas AND pueden
tener más de dos entradas y por definición, la salida es 1 si todas las entradasson 1.
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Compuerta OR: (ver funcionamiento) http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/image004.png
La compuerta OR produce la función sumadora, esto es, la salida es 1 si laentrada A o la entrada B o ambas entradas son 1; de otra manera, la salida es0. El símbolo algebraico de la función OR (+), es igual a la operación dearitmética de suma. Las compuertas OR pueden tener más de dos entradas y por definición la salida es 1 si cualquier entrada es 1.
Compuerta NOT: (ver funcionamiento) http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/image006.png
El circuito NOT es un inversor que invierte el nivel lógico de una señal binaria.Produce el NOT, o función complementaria. El símbolo algebraico utilizado para el complemento es una barra sobra el símbolo de la variable binaria. Si lavariable binaria posee un valor 0, la compuerta NOT cambia su estado al valor 1 y viceversa. El círculo pequeño en la salida de un símbolo gráfico de uninversor designa un inversor lógico. Es decir cambia los valores binarios 1 a 0y viceversa.
Compuerta Separador (yes):http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/image008.png
Un símbolo triángulo por sí mismo designa un circuito separador, el cual no
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produce ninguna función lógica particular puesto que el valor binario de lasalida es el mismo de la entrada. Este circuito se utiliza simplemente paraamplificación de la señal. Por ejemplo, un separador que utiliza 5 volt para el binario 1, producirá una salida de 5 volt cuando la entrada es 5 volt. Sinembargo, la corriente producida a la salida es muy superior a la corrientesuministrada a la entrada de la misma.De ésta manera, un separador puede
excitar muchas otras compuertas que requieren una cantidad mayor decorriente que de otra manera no se encontraría en la pequeña cantidad decorriente aplicada a la entrada del separador.
Compuerta NAND: (ver funcionamiento) http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/image010.png
Es el complemento de la función AND, como se indica por el símbolo gráfico,que consiste en una compuerta AND seguida por un pequeño círculo (quieredecir que invierte la señal).La designación NAND se deriva de la abreviaciónNOT - AND. Una designación más adecuada habría sido AND invertido puestoque es la función AND la que se ha invertido.Las compuertas NAND puedentener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de lafunción AND.
Compuerta NOR: (ver funcionamiento) http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/image012.png
La compuerta NOR es el complemento de la compuerta OR y utiliza el símbolode la compuerta OR seguido de un círculo pequeño (quiere decir que inviertela señal). Las compuertas NOR pueden tener más de dos entradas, y la salidaes siempre el complemento de la función OR.
Navegando por internet, encontré un diagrama excelente y básico de
la implementación de compuertas lógicas en una cerradura
electrónica, quizás sea un copy and paste (copia y pega) del proyecto
pero me di a la tarea de analizarlo a detalle y se los vengo a explicar,
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además trate de cambiar el uso de las compuertas lógicas por
memorias GAL (Generic array logic), para reducir el uso de las
compuertas, digo que intente ya que por fortuna pase mi materia en
la universidad y no tuve que hacer proyecto.
Pero qué es esto de cerradura electrónica:
Bien el proyecto consiste en colocar una combinación binaria de 4
bits, en dos diferentes dip switch, por lo cual la combinación será de
dos dígitos, en los dip switch queda guardada el numero en binario
que deseamos poner, lo cual será la contraseña para abrir una
puerta, encender un motor, activar una alarma, tiene muchas
aplicaciones.
El diagrama está muy sencillo por una parte tienen ambos dip switch
en donde guardaran los dos dígitos de forma binaria, y por otro lado
estarán dos push button conectados a un diodo en paralelo con una
resistencia, o esto se puede cambiar por un 555 en modo astable que
a la vez están conectados a un circuito integrado 4518B el cual es un
contador base 10 síncrono, el cual espera un pulso del reloj para
cambiar de estado, con esto quiero decir que la cerradura electrónica
solo acepta combinaciones binarias del 0 al 9.
Espero esta explicación breve sea de mucha utilidad a continuación
les muestro el diagrama del circuito.
Lo que está en color rojo corresponde al dip 1.
Lo de color azul corresponde al dip 2.
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Lo de color morado es la salida.
Lo de color amarillo son los correspondientes circuitos combinatorios
de cada dip switch.
Lo de color café es para reiniciar los contadores a cero.
Lo de color naranja es para ver si nuestras combinaciones son
correctas.
Bien como ya mencione. En ambos dip switch colocamos la
combinación que será la clave para abrir la cerradura. Ejemplo Quiero
que mi clave sea 92
Entonces tenemos que poner cada digito del número antes
mencionado en binario esto es: 9 en binario seria 1001 la cual iría en
el dip switch 1.2 en binario seria 0010 la cual iría en el dip switch 2.
Ahora apretamos los push button correspondiente hasta visualizar en
cada display el número que corresponde. En el caso del display 1
tenemos que visualizar el 9, y en el display 2 visualizamos un 2.
Al ver que la combinación corresponde con las de los dip switch
apretamos el push para ver si nuestras combinaciones son correctas.
Y si esto corresponde obtendrán un 1 a la salida lo cual significa que
las combinaciones en cada caso son iguales y activara lo que tengan
conectado en la salida, en el caso del diagrama hay un led el cual
prende si todo es correcto.
Disculpen la pésima redacción pero ya me estoy poniendo a trabajar
en ello, espero les haya servido cualquier cosa que no entiendan por
favor de comentarlo, cualquier duda avísenme. Muchas gracias.
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Una puerta lógica, o compuerta lógica, es un dispositivo electrónico que es laexpresión física de un operador booleano en la lógica de conmutación. Cada puertalógica consiste en una red de dispositivos interruptores que cumple las condiciones
booleanas para el operador particular. Son esencialmente circuitos de conmutaciónintegrados en un chip.
Claude Elwood Shannon experimentaba con relés o interruptores electromagnéticos para conseguir las condiciones de cada compuerta lógica, por ejemplo, para la función booleana Y (AND) colocaba interruptores en circuito serie, ya que con uno solo de éstosque tuviera la condición «abierto», la salida de la compuerta Y sería = 0, mientras que
para la implementación de una compuerta O (OR), la conexión de los interruptores tieneuna configuración en circuito paralelo.
La tecnología microelectrónica actual permite la elevada integración de transistores
actuando como conmutadores en redes lógicas dentro de un pequeño circuito integrado.El chip de la CPU es una de las máximas expresiones de este avance tecnológico.
En nanotecnología se está desarrollando el uso de una compuerta lógica molecular , quehaga posible la miniaturización de circuitos.
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Contenido
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• 1 Lógica directao 1.1 Puerta SÍ o Buffer o 1.2 Puerta ANDo 1.3 Puerta OR o 1.4 Puerta OR-exclusiva (XOR)
• 2 Lógica negadao 2.1 Puerta NO (NOT)o 2.2 Puerta NO-Y (NAND)o 2.3 Puerta NO-O (NOR)o 2.4 Puerta equivalencia (XNOR)
• 3 Conjunto de puertas lógicas completo
• 4 Conjunto completo de puertas lógicas utilizando sólo puertas NAND. Equivalencias.• 5 Véase también
• 6 Enlaces externos
[ editar
] Lógica directa
[editar] Puerta SÍ o Buffer
Símbolo de la función lógica SÍ: a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado
La puerta lógica SÍ, realiza la función booleana igualdad. En la práctica se suele utilizar como amplificador de corriente o como seguidor de tensión, para adaptar impedancias(buffer en inglés).
La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta SÍ es:
Su tabla de verdad es la siguiente:
Tabla de verdad puerta SI
Entrada A Salida A
0 0
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1 1
[editar] Puerta AND
Símbolo de la función lógica Y: a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado
La puerta lógica Y, más conocida por su nombre en inglés AND ( ),
realiza la función booleana de producto lógico. Su símbolo es un punto (·), aunque sesuele omitir. Así, el producto lógico de las variables A y B se indica como AB, y se leeA y B o simplemente A por B.
La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta AND es:
Su tabla de verdad es la siguiente:
Tabla de verdad puerta ANDEntrada A Entrada B Salida
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Así, desde el punto de vista de la aritmética módulo 2, la compuerta AND implementael producto módulo 2.
[editar] Puerta OR
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Símbolo de la función lógica O: a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado
La puerta lógica O, más conocida por su nombre en inglés OR ( ),realiza la operación de suma lógica.
La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta OR es:
Su tabla de verdad es la siguiente:
Tabla de verdad puerta OR
Entrada A Entrada B Salida
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Podemos definir la puerta O como aquella que proporciona a su salida un 1 lógico si almenos una de sus entradas está a 1.
[editar] Puerta OR-exclusiva (XOR)
Símbolo de la función lógica O-exclusiva: a) Contactos, b) Normalizado y c) Nonormalizado
La puerta lógica OR-exclusiva, más conocida por su nombre en inglés XOR, realiza lafunción booleana A'B+AB'. Su símbolo es el más (+) inscrito en un círculo. En la figurade la derecha pueden observarse sus símbolos en electrónica.
La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta XOR es:
|-
Su tabla de verdad es la siguiente:
Tabla de verdad puerta XOR
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Entrada A Entrada B Salida
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Se puede definir esta puerta como aquella que da por resultado uno, cuando los valoresen las entradas son distintos. ej: 1 y 0, 0 y 1 (en una compuerta de dos entradas). Seobtiene cuando ambas entradas tienen distinto valor.
Si la puerta tuviese tres o más entradas , la XOR tomaría la función de suma de paridad,cuenta el número de unos a la entrada y si son un número impar, pone un 1 a la salida,
para que el número de unos pase a ser par. Esto es así porque la operación XOR esasociativa, para tres entradas escribiríamos: a (b c) o bien (a b) c. Su tabla deverdad sería:
XOR de tres entradas
Entrada A Entrada B Entrada C Salida
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
Desde el punto de vista de la aritmética módulo 2, la puerta XOR implementa el producto módulo 2.
[ editar ] Lógica negada
[editar] Puerta NO (NOT)
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Símbolo de la función lógica NO: a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizada
La puerta lógica NO ( NOT en inglés) realiza la función booleana de inversión onegación de una variable lógica. Una variable lógica A a la cual se le aplica la negaciónse pronuncia como "no A" o "A negada".
La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta NOT es:
Su tabla de verdad es la siguiente:
Tabla de verdad puerta NOT
Entrada A Salida
0 1
1 0
Se puede definir como una puerta que proporciona el estado inverso del que esté en suentrada.
[editar] Puerta NO-Y (NAND)
Símbolo de la función lógica NO-Y: a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado
La puerta lógica NO-Y, más conocida por su nombre en inglés NAND, realiza laoperación de producto lógico negado. En la figura de la derecha pueden observarse sussímbolos en electrónica.
La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta NAND es:
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Su tabla de verdad es la siguiente:
Tabla de verdad puerta NAND
Entrada A Entrada B Salida
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Podemos definir la puerta NO-Y como aquella que proporciona a su salida un 0 lógicoúnicamente cuando todas sus entradas están a 1.
[editar] Puerta NO-O (NOR)
Símbolo de la función lógica NO-O: a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado
La puerta lógica NO-O, más conocida por su nombre en inglés NOR, realiza laoperación de suma lógica negada. En la figura de la derecha pueden observarse sussímbolos en electrónica.
La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta NOR es:
Su tabla de verdad es la siguiente:
Tabla de verdad puerta NOR
Entrada A Entrada B Salida
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
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Podemos definir la puerta NO-O como aquella que proporciona a su salida un 1 lógicosólo cuando todas sus entradas están a 0. La puerta lógica NOR constituye un conjuntocompleto de operadores.
[editar] Puerta equivalencia (XNOR)
Símbolo de la función lógica equivalencia: a) Contactos, b) Normalizado y c) Nonormalizado
La puerta lógica equivalencia, realiza la función booleana AB+~A~B. Su símbolo es un punto (·) inscrito en un círculo. En la figura de la derecha pueden observarse sussímbolos en electrónica. La ecuación característica que describe el comportamiento dela puerta XNOR es:
Su tabla de verdad es la siguiente:
Tabla de verdad puerta XNOR
Entrada A Entrada B Salida
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Se puede definir esta puerta como aquella que proporciona un 1 lógico, sólo si las dosentradas son iguales, esto es, 0 y 0 ó 1 y 1 (2 encendidos o 2 apagados). Sólo esverdadero si ambos componentes tiene el mismo valor lógico
[ editar ] Conjunto de puertas lógicas completo
Un conjunto de puertas lógicas completo es aquel con el que se puede implementar cualquier función lógica. A continuación se muestran distintos conjuntos completos(uno por línea):
• Puertas AND, OR y NOT.• Puertas AND y NOT.
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• Puertas OR y NOT.• Puertas NAND.• Puertas NOR.
Además, un conjunto de puertas lógicas es completo si puede implementar todas las
puertas de otro conjunto completo conocido. A continuación se muestran lasequivalencias al conjunto de puertas lógicas completas con las funciones NAND y NOR.
[ editar ] Conjunto completo de puertas lógicas utilizando sólo puertas NAND. Equivalencias.
Conjunto de puertas lógicas completo :
A BSalida función NAND( A, B)
Salida función NOR( A, B)
1 1 0 1 1 1 0 0
1 0 0 0 1 0 1 0
0 1 1 0 1 1 1 0
0 0 1 0 0 1 1 1
Equivalencias del conjunto completo anterior con sólo puertas NAND :
•
•
•
•
Equivalencias del conjunto completo anterior con sólo puertas NOR :
•
•
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Algoritmo Quine–McCluskeyDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda
El Algoritmo Quine–McCluskey es un método de simplificación de funciones booleanas desarrollado por Willard Van Orman Quine y Edward J. McCluskey. Es
funcionalmente idéntico a la utilización del mapa de Karnaugh, pero su forma tabular lo
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hace más eficiente para su implementación en lenguajes computacionales, y provee unmétodo determinístico de conseguir la mínima expresión de una función booleana.
Contenido
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• 1 Pasos• 2 Complejidad• 3 Ejemplo
o 3.1 Paso 1: Encontrando implicantes primoso 3.2 Paso 2: tabla de implicantes primos
• 4 Véase también
• 5 Enlaces externos
[ editar ] Pasos
El método consta de dos pasos:
1. Encontrar todos los implicantes primos de la función.2. Usar esos implicantes en una tabla de implicantes primos para encontrar los
implicantes primos esenciales, los cuales son necesarios y suficientes paragenerar la función.
[ editar
] Complejidad
Aunque es más práctico que el mapa de Karnaugh, cuando se trata de trabajar con másde cuatro variables, el tiempo de resolución del algoritmo Quine-McCluskey crece deforma exponencial con el aumento del número de variables. Se puede demostrar que
para una función de n variables el límite superior del número de implicantes primos es3n/n. Si n = 32 habrá más de 6.5 * 1015 implicantes primos. Funciones con un númerogrande de variables tienen que ser minimizadas con otros métodos heurísticos.
[ editar ] Ejemplo
[editar] Paso 1: Encontrando implicantes primosMinimizando una función arbitraria:
A B C D f
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m0 0 0 0 0 0
m1 0 0 0 1 0
m² 0 0 1 0 0
m³ 0 0 1 1 0
m4 0 1 0 0 1
m5 0 1 0 1 0
m6 0 1 1 0 0
m7 0 1 1 1 0
m8 1 0 0 0 1
m9 1 0 0 1 X
m10 1 0 1 0 1
m11 1 0 1 1 1
m12 1 1 0 0 1
m13 1 1 0 1 0
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m14 1 1 1 0 X
m15 1 1 1 1 1
Uno fácilmente puede formar la expresión canónica suma de productos de esta tabla,simplemente sumando minitérminos (dejando fuera las redundancias) donde la funciónse evalúa con 1:
Por supuesto, esta expresión no es mínima. Para optimizarla, primero son colocados
todos los minitérminos evaluados en la función como 1 en una tabla. Las redundanciastambién son agregadas a la tabla, estas pueden combinarse con los minitérminos:
N. de 1sMinter
mRepresentación
binaria
1m4m8
01001000
2m9m10m12
100110101100
3m11m14
10111110
4 m15 1111
En este punto, uno puede empezar a combinar los minitérminos entre sí. Si dosminitérminos sólo varían en un solo dígito, ese dígito debe reemplazarse por un guión"-" indicando que ese bit no importa. Los términos que ya no pueden combinarse másson marcados con "*". Cuando van de tamaño 2 a 4, tratamos '-' como un valor de bit.
Ejemplo: -110 y -100 o -11- pueden ser combinados, pero no -110 y 011-.
(Consejo: agrupar los '-' primero.)
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Número de 1s Minterm Bin | Implicantes de tamaño 2 |
Implicantes de tamaño 4
--------------------------------|-------------------------|-----------
-------------
1 m4 0100 | m(4,12) -100* |
m(8,9,10,11) 10--*
m8 1000 | m(8,9) 100- |m(8,10,12,14) 1--0*
--------------------------------| m(8,10) 10-0
|------------------------
2 m9 1001 | m(8,12) 1-00 |
m(10,11,14,15) 1-1-*
m10 1010 |-------------------------|
m12 1100 | m(9,11) 10-1 |
--------------------------------| m(10,11) 101- |
3 m11 1011 | m(10,14) 1-10 |
m14 1110 | m(12,14) 11-0 |
--------------------------------|-------------------------|
4 m15 1111 | m(11,15) 1-11 |
| m(14,15) 111- |
[editar] Paso 2: tabla de implicantes primos
Los términos marcados con "*" ya no pueden combinarse más, en este punto yatenemos la tabla de implicantes primos. En el costado van los implicantes primosrecientemente generados, y en la parte superior los minitérminos utilizados. Losminitérminos correspondientes a las redundancias son omitidos en este paso, no secolocan en la parte superior.
4 8 10
11
12
15
X X - 1 0
X X X 1 0 -
X X X 1 - 0
X X X 1 - -
En esta tabla vemos los minitérminos que "cubre" cada implicante primo. Ninguno delos implicantes de esta tabla está incluido dentro de otro (esto queda garantizado en el
paso uno), pero si puede estar "cubierto" por dos o más implicantes. Es el caso de
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que está cubierto por y o
que está cubierto por y .
Por este motivo, cada uno de estos dos implicantes sólo son esenciales en ausencia del
otro. Un proceso adicional simple para reducir estos implicantes es prueba y error, peroun proceso más sistemático es el método de Petrick . En el caso que estamos analizando,
los dos implicantes primos y no llegan a incluir todoslos minitérminos por lo que podemos combinar estos implicantes con cada uno de losimplicantes no esenciales para conseguir dos funciones mínimas:
Las dos son equivalentes a esta función original:
