Tipos Indutivos & Recursão (Primitiva)alfio/logic-cs-club-ind-rec.pdf · Conjuntos Indutivos Recurs~ao Primitiva Coment arios Finais Vis~ao Informal De ni˘c~ao Fun˘c~oes Primitivas

Objetivos GeraisConjuntos IndutivosRecursao PrimitivaComentarios Finais

Tipos Indutivos & Recursao (Primitiva)

Alfio Martiniwww.inf.pucrs.br/alfio

Clube de Logica em Ciencia da ComputacaoFaculdade de Informatica - PUCRS

2 de setembro de 2013

Alfio Martini www.inf.pucrs.br/alfio Tipos Indutivos & Recursao (Primitiva)


Sumario

1 Objetivos Gerais

2 Conjuntos IndutivosVisao InformalNumeros NaturaisListasLogica Proposicional (LP)

3 Recursao PrimitivaVisao InformalDefinicaoFuncoes Primitivas Recursivas sobre NaturaisFuncoes Primitivas Recursivas sobre ListasTeoremas sobre NatTeoremas sobre List

4 Comentarios FinaisAlfio Martini www.inf.pucrs.br/alfio Tipos Indutivos & Recursao (Primitiva)


Sumario

1 Objetivos Gerais





Objetivos

Apresentar os princıpios gerais que envolvem construcoes indutivasde tipos de dados:

Princıpio geral destas definicoes (Construtores)

Definicoes de funcoes totais por recursao primitiva

Esquema de inducao para prova de propriedades



Visao InformalNumeros NaturaisListasLogica Proposicional (LP)

Sumario

1 Objetivos Gerais






Conjuntos Indutivos:Ideia Geral

Definicao

Uma definicao indutiva de um conjunto S consiste sempre dosseguintes passos:

Base Listar alguns elementos especıficos (constantes) deS . Pelo menos um elemento deve ser listado.

Inducao Definir uma ou mais regras para a construcao denovos elementos de S a partir dos elementos jaexistentes.

Fecho Declarar que S consiste exatamente dos elementosproduzidos pelos passos da base e inducao.




Construtores de Dados

Definicao

Os construtores de um conjunto indutivo S sao todos elementoslistados no passo da base juntamente com todas as regrasapresentadas no passo da inducao.




Definicao Indutiva dos Naturais

Definicao

Os elementos do conjunto indutivo Nat sao todos os valoresgerados pelas seguintes regras:

NatZerozero ∈ Nat

x ∈ NatNatSuc

suc x ∈ Nat

Nat e isomorfico a N, onde N = {0, 1, 2, . . .}suc : Nat→ Nat e zero : Nat (operadores)




Uma outra definicao de Nat

Definicao

[NatZero] zero ∈ Nat.

[NatSuc] Se x ∈ Nat, entao suc x ∈ Nat.

[Fecho] Nada mais esta em Nat.




Linguagem Nat

Termos

zerosuc zerosuc (suc zero)suc (suc (suc zero))...suck zero (k ∈ N)...




Uma Gramatica para Nat

N : Nat ::= zero| suc N (N ∈ Nat)




Naturais: Princıpio de Inducao

Princıpio de Inducao

Cada elemento em Nat tem a seguinte forma:

zero

Suc k , k ∈ Nat




Regra de Inducao para Nat

Conjunto Indutivo Nat

...P zero

x0 : Nat,P(x0)...

P(suc x0)

(x0 arbitraria)

∀n : Nat.P nIndNat




Definicao Indutiva de Listas

Definicao

ListEmptynil ∈ List(A)

h ∈ A T ∈ List(A)ListCons

h � T ∈ List(A)




Linguagem List(A)

Termos

List(A) List(N) List(Nat)

nil nil nilx � nil 5 � nil (suc zero) � nila� b � nil 2 � 0 � nil zero � (suc3 zero)nil...

......




Uma Gramatica para List(A)

L : List(A) ::= nil| h � L (h ∈ A, L ∈ List(A))




Listas: Princıpio de Inducao

Princıpio de Inducao

Cada elemento em List(A) tem a seguinte forma:

nil

h � T , h ∈ A,T ∈ List(A)




Regra de Inducao para List(A)

Conjunto Indutivo List(A)

...P nil

e0 : A, l0 : List(A),P l0...

P (e0 � l0)

(e0, l0 arbitrarias)

∀l : List(A). P lIndList




Definicao Indutiva da Logica Proposicional

Definicao

Exercıcio. . .



Visao InformalDefinicaoFuncoes Primitivas Recursivas sobre NaturaisFuncoes Primitivas Recursivas sobre ListasTeoremas sobre NatTeoremas sobre List

Sumario

1 Objetivos Gerais






Funcoes Primitivas Recursivas: Visao Geral

Ideia Geral

Dada uma definicao de um conjunto indutivo S ,f : S × . . .× S → S e definida por recursao da seguinte forma:Escolher um dos argumentos (posicoes) de entrada de S e, nesteargumento:

definir f para cada elemento do conjunto base (constantes)

definir f para cada um dos construtores restantes (regras deconstrucao)




Funcoes Computaveis (FC)

Funcoes Recursivas (FR)

A classe de FC e a classe de FR (Church)

Classe FR primitivas e uma subclasse das FR

FR Primitivas sao todas funcoes TOTAIS




FR Primitivas

Construcao

Funcoes Basicas (zero, sucessor e projecoes)

Regra da Composicao (Substituicao)

Regra da Recursao Primitiva




Classe de Funcoes Primitivas Recursivas

Funcoes Basicas

A classe de funcoes primitivas recursivas sobre os numeros naturais N e definidapelas seguintes regras:

Funcao Constante: a funcao constante zero z(x) = 0 e primitivarecursiva.

Funcao Sucessor: a funcao sucessor Suc(x) = x + 1 e primitiva recursiva.

Funcao de Projecao: para todo n ≥ 1 e 1 ≤ i ≤ n, a funcao n-aria deprojecao Pn

i que retorna o i-esimo argumento, e primitiva recursiva.

Pni (x1, . . . , xn) = xi





Regra de Composicao

f (x1, . . . , xk)y1 = g1(z1, . . . , zm)...yk = gk(z1, . . . , zm)

h(z1, . . . , zm)= f (y1, . . . , yk)= f (g1(z1, . . . , zm), . . . , gk(z1, . . . , zm))

h = Cn[f , g1, . . . , gk ]





Recursao Primitiva

h(x , 0) = f (x)h(x ,Suc(y)) = g(x , y , h(x , y))

h = Pr [f , g ]





Recursao Primitiva (Adicao)

x + 0 = x x + Suc(y) = Suc(x + y)

sum(x , 0) = x sum(x ,Suc(y)) = Suc(sum(x , y))

sum(x , 0) = P11 (x) sum(x ,Suc(y)) = Suc(P3

3 (x , y , sum(x , y)))= Cn[Suc,P3

3 ](x , y , sum(x , y))

sum , Pr [P11 ,Cn[Suc,P3

3 ]]




Uma bijecao entre Nat e N

Nat2nat : Nat→ N, ondeNat2nat zero = 0 (Nat2nat01)

Nat2nat (suc x) = Suc (Nat2nat x) (Nat2nat02)

0 ∈ NSuc : N→ N tal que Suc x , x + 1




Adicao em Nat

add : Nat→ Nat→ Nat, ondeadd x 0 = x (add01)

add x (suc y) = suc (add x y) (add02)




Concatenacao em Listas

cat : List(A)→ List(A)→ List(A), ondecat nil l = l (cat01)

cat (h � T ) l = h � (cat T l) (cat02)




Comprimento de Listas

length : List(A)→ N, ondelength nil = 0 (len01)

length (h � T ) = (length T ) + 1 (len02)




Teoremas sobre add

∀x : Nat.∀y : Nat.∀z : Nat.add x (add y z) = add (add x y) z Th-add-01∀x : Nat.∀y : Nat.add x y = add y x Th-add-02∀x : Nat.add(Z , x) = x Th-add-03∀x : Nat.∀y : Nat.add x (suc y) = add (suc x) y) Th-add-04∀x : Nat.∀y : Nat.add (suc x) y) = suc (add x y) Th-add-05




Teoremas sobre List(A)

∀l1 : List(A).∀l2 : List(A).∀l3 : List(A).cat l1 (cat l2 l3) = cat (cat l1 l2) l3 Th-cat-01∀l1 : List(A).∀l2 : List(A).len (cat l1 l2) = add (len l1) (len l2) Th-cat-02∀l : List(A).cat l nil = l Th-cat-03∀l : List(A).rev (rev l) = l Th-rev-01∀l1 : List(A).∀l2 : List(A).rev (cat l1 l2) = cat (rev l2) (rev l1)) Th-rev-02



Sumario

1 Objetivos Gerais





Comentarios Finais

Tipos Indutivos sao definidos por Construtores

Tipos Indutivos podem ser equipados com Funcoes

Funcoes sao definidas por Recursao Primitiva

Tipos Indutivos + Funcoes = (Abstract) Datatypes

Provas por Inducao e definicoes de Funcoes sao feitas sobre osConstrutores do Tipo.


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