UNIVERSITETI I TIRANËS

FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS

DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS

PROGRAMI I STUDIMIT: ANALIZË DHE ALGJEBËR

TEZË DOKTORATURE

MBI INTEGRALIN E MEKSHEINIT NË HAPËSIRAT RIESZ

Doktoranti: Udhëhoqi:

Mimoza SHKËMBI (SEFA) Prof. Dr. Agron TATO

Tiranë 2015

i

UNIVERSITETI I TIRANËS

FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS

DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS

PROGRAMI I STUDIMIT: ANALIZË DHE ALGJEBËR

TEZË DOKTORATURE

paraqitur nga

Znj. Mimoza Shkëmbi (Sefa)

Udhëhequr nga

Prof. Dr. Agron Tato

Për marrjen e gradës shkencore

DOKTOR

Me temë

MBI INTEGRALIN E MEKSHEINIT NË HAPËSIRAT RIESZ.

Mbrohet më datë____/_______/ 2015 para jurisë:

1. Prof _______________________________ Kryetar

2. Prof ______________________________ Anëtar (Oponent)

3. Prof _______________________________ Anëtar (Oponent)

4. Prof _______________________________ Anëtar

5. Prof _______________________________ Anëtar

i

FALËNDERIME

Gjej rastin ti shpreh falënderim dhe mirënjohje pedagogut dhe udhëheqësit tim

shkencor Prof. Dr. Agron Tato, për mbështetjen, këshillat, orientimin dhe udhëheqjen

shkencore në realizimin e këtij punimi.

Falënderime për Fakultetin e Shkencave të Natyrës, Departamentin e Matematikës

dhe mirënjohje për pedagogët Prof. Dr. Xhezair Teliti, Prof. Dr. Fatmir Hoxha për

gadishmërinë e treguar në ofrimin e ndihmës institucionale, shkencore e profesionale.

Falënderoj familjen time për mbështetjen e pakursyer morale që më ka dhënë.

ii

Përmbledhje

Punimi është fokusuar tek studimi i integralit të Mekshein-it në hapësirat e renditura, duke evidentuar

faktin e rëndësishëm se krahas integralit të Henstock-ut në hapësira të renditura është i domosdoshëm

edhe studimi i integralit të Mekshein-it. Në vazhdim është evidentuar se ky lloj integrali në hapësirat e

Riesz-it është më i pasur se integrali i Henstock-ut dhe më adekuat në këto hapësira, duke fituar

rezultate në lidhje me integralin sipas (o)-konvergjencës dhe është treguar se kjo është një fushë e

gjerë studimi ku mund të arrihen rezultate të ngjashme. Më tej, është treguar se: integralet e renditura

në përgjithësi nuk respektojnë barazimin pothuajse kudo, përveç funksioneve të renditura të kufizuara.

Një tjetër ndryshim interesant është se integralet e renditura gëzojnë Lemat e tipit Hake dhe Henstock.

Ky fakt ka rrjedhime interesante në L-hapësira, ku integrali i Mekshein-it sipas renditjes është më e

fortë se ai i Bohnerit (sipas normës). Ne kemi studiuar disa aspekte të (D)-konvergjencës për

integralin e tipit Mekshein, si dhe është treguar në lidhje me këtë konvergjencë se integrali i Mekshein-

it ka po ato veti që ka integrali i Henstock-ut. Një vend i rëndësishëm i është kushtuar zbatimeve të

integralit të Mekshein-it në lidhje me vlerën e ndërmjetme, si dhe studimit të serive të Walsh-it.

Rezultatet e marra tregojnë përparësitë e këtij integrimi në hapësirat e renditura.

Fjalët kyçe: hapësirat Riesz, integrali i Henstock-ut, integrali i Mekshein-it, (o)-konvergjenca, (D)-

konvergjenca, vlera e ndërmjetme, seritë Walsh.

Abstract

Our thesis is concerned to the study of Mcshane integration on ordered space pointing out the

important fact that the study, in addition, the Henstock integral on these spaces is necessary and study

of Mcshane integral. Further, we highlight that this kind of integration on Riesz space has more rich

properties as Henstock one and furthermore it is more convenient. We have obtained more results with

respect Mcshane integral by o-convergence and we demonstrate that is opened on wide study field

where one can obtain similar results with Henstock integration.

We noticed that integrals in ordered space, in general, don‟t respect the almost everywhere equation,

beside the case of ordered and bounded mappings. One other interesting difference between these kinds

of integration is the fact that they possess the properties represented by Hake and Henstock lemmas.

We observe that on the case of L-space the order integral of Mcshane is stronger as Bochner one (by

norm).

In our study a wide place take part the (o)-convergence properties of ordered Mcshane integral. In the

third part we study Mcshane integration with respect of D-convergence and find the same properties as

Henstock integration. A great attention is paid to application of Mcshane integral with respect the

intermediate value and particulary the study of Walsh series. These results show the advantages of this

integration on ordered space.

Key words: Riesz space, Henstock integral, Mcshane integral, (o)-convergence, (D)-convergence,

intermediate value, Walsh series.

iii

PËRMBAJTJA

HYRJE.................................................................................................................................IV

1.KONCEPTE BAZË MBI HAPËSIRAT E RIESZ-IT

1.1 Hapësirat lineare pjesërisht të renditura..........................................................................1

1.2 Grup laticat e renditura……………………………………………...............................3

1.3 σ-shpërndarja e dobët………………………………….....................….....…................7

2.O-RENDITJA DHE INTEGRALI I MEKSHEIN-IT

2.1 Përkufizime të integraleve Mekshein dhe Bohner sipas renditjes…………….............14

2.2Krahasimi ndërmjet integralit të Mekshein-it sipas normës dhe sipas renditjes ……...20

2.3 Lema e tipit Hake dhe Henstok…………………………………………………….....22

2.4 Teorema konvergjence……………………………………………………...…...........32

2.5 VETIA DHE ……………………………………………….....................40

2.6 Integrueshmëria në S=[0,1]…………………………………...............……......….....44

2.7 Krahasimi i integralit të renditur të Meksheinit dhe integralit të renditur të

Petisit..................................................................................................................................45

3.INTEGRALI I MEKSHEIN-IT NË HAPËSIRAT E RIESZ-IT

3.1Përkufizimi dhe disa veti të tij…………………………………..............……......…...49

3.2Teorema konvergjence…………………………………………………………...........54

3.3Lema Henstock…………..........………………………………………….…...............58

3.5Teorema e konvergjencës se dominuar të Lebesgue…….........……….. …….............59

3.6 Një version i integralit të fortë të Mekshein-it…….....…….………….…...................61

3,7Teoremat themelore të njehësimit integral për DM-integralin………………..............62

4.APLIKACIONET E INTEGRALIT TË FORTË TË MEKSHEIN-IT PËR

SERITË WALSH.............................................................................................................65

Përfundime……………………………………….………………………........................69

Literatura……………………………………………………………………...................70

iv

HYRJE

Teoria e integrimit është një teori gjithmonë në zhvillim qysh nga fillimi i shekullit

të kaluar me zbulimet e Lebegut. Për shkak të nevojave të vazhdueshme të zgjidhjes

së problemeve me natyra të ndryshme siç janë problemet stokastike dhe sidomos në

zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale, është dashur të zgjerohet kuptimi i integrimit

duke futur klasa të reja funksionesh të integrueshme, që nuk ishin të tillë me

integrimet klasike, qoftë të Rimanit qoftë të Lebegut. Zbulimet e reja të integrimit të

tipit të Henstock-Kurzweil dhe të Mekshein-it të paraprirë nga integrimet e tipit të

Denjoy dhe Perron janë bërë objekt të studimit intensiv në literaturën e sotme

botërore. Është e njohur se shumë studime të ndryshme për integralin janë bërë në

shekullin e fundit, për funksionet me vlera reale, në mënyrë që të përgjithësohet

integrali i Riemannit. Një studim i plotë i lidhjes ndërmjet tipeve të ndryshme të

integraleve për funksionet me vlera reale mund të gjendet në [Fremlin], ku integralet e

Lebesgue dhe Mekshein, janë krahasuar në mënyrë të hollësishme, me integralet e

Denjoy-it dhe Pettisit, si dhe është përshkruar ekuivalenca midis integraleve

Mekshein dhe Lebesgue. Situata ndryshon thellësisht në rastin e funksioneve me vlera

në hapësirat Banah: në këtë rast, është e njohur se lloji më i fortë i integralit është ai

Bohner, nga i cili rrjedh integrueshmëria Birkhoff, që nga ana tjetër është më i fortë

se Mekshein dhe, ky i fundit është më i fortë se integrali Henstock dhe Pettis.

Literatura është e gjerë në këtë fushë dhe me interes të madh për këtë problem. Më

pas, për nevoja të aplikimeve në ekonomi ka nisur trajtimi i integraleve të tipit të

renditur për funksione që marrin vlerat e tyre në hapësirat vektoriale të renditura, dhe

në laticat Banah në veçanti: për shembull [4], [15], [35], [5], [17], [16], [6].

Gjithashtu një numër i madh punimesh i është kushtuar problemeve të konvergjencës

në këto hapësira: për shembull [10], [7].

Idea e Meksheinit për të ndërtuar një lloj të ri të integralit doli të jetë i suksesshëm

dhe jashtëzakonisht i dobishëm, jo vetëm nga ana didaktike, por edhe nga pikëpamja

shkencore. Ai ka aplikime shumë premtuese, për shembull në ekuacione diferenciale

dhe integralet sipërfaqësore. Hapësirat Riesz, nga ana tjetër, të ofrojnë një mjet shumë

të rëndësishëm në matematikën moderne dhe kanë shumë aplikacione praktike, për

shembull në ekonomi. Dihet se teoria e integrimit me vlerat në hapësira të renditura

nuk mund të reduktohet në teorinë analoge për hapësirat lokalisht konvekse. Nga ana

tjetër, në veprën klasike të matematikanit të njohur Schaefer, një vend të dukshëm në

hapësirat e renditura zenë operatorët pozitivë gjë që bën me interes integralin e tipit të

Mekshein-it që përputhet me atë të Henscok-ut në këtë rast. Kështu në këto hapësira

lindi interesi të studiohet edhe një lloj integrali i tipit të Mekshein-it sipas renditjes.

Kombinimi i teknikave të përdorura në hapësirat e renditura, me qasjen pak a shumë

algjebrike, e cila është në themel të ndryshimeve të shumave integrale për integralet e

tipit Riemann e bën interesant dhe inspirativ investigimin e integrimit të llojit

Mekshein për funksionet me vlera në hapësirat e renditura, të cilat janë të rëndësishme

nga pikëpamja e zbatimit të integrimit dhe teorisë së probabilitetit për hulumtime të

mëtejshme.

Disertacioni përbëhet nga katër kapituj.

Në kapitullin e parë, i cili ka vlerën e prezantimit të kuptimeve dhe pohimeve bazë të

përdorur në këtë studim, mbi hapësirat vektoriale të renditura, si hapësirat e Riesz-it,

laticat, grup laticat në hapësirat e Riesz-it, si dhe kemi paraqitur disa rezultate që

v

lidhen me konceptin (o)-konvergjencës dhe ( )-konvengjencës, ashtu si dhe -

shpërndarjen e dobët dhe vetinë Egorov.

Në kapitullin e dytë, jemi ndikuar nga puna e Candeloro dhe Sambucini të cilët kanë

përdorur (o)-konvergjencën në laticat e Banahut për tipin e integralit të Henstock-ut,

duke e krahasuar me përkufizimin e integralit të Henstock-ut në hapësirat e Banahut.

Ne kemi shtrirë studimin për integralin e tipit Mekshein për funksione të

përcaktuara në një hapësirë metrike kompakte T, të pajisur me një masë të rregullt -

aditive , dhe me vlera në një laticë Banah X. Në veçanti, në hapësirën , - është

marrë në konsideratë masa Lebesgue e zakonshme. Kryesisht, studiojmë dallimet

midis integraleve sipas normës dhe sipas renditjes të tipit Mekshein, për funksione që

marrin vlerat në një laticë Banah, me normë të renditur të vazhduar, duke treguar një

ndryshim të parë të tyre: integralet e renditura në përgjithësi nuk respektojnë

barazimin pothuajse kudo, përveç funksioneve të kufizuara sipas renditjes. Një tjetër

ndryshim interesant është se integralet e renditura gëzojnë të ashtuquajturat Lemat e

tipit Hake dhe Henstock: ky fakt ka rrjedhime të rëndësishme në L-hapësira, ku

integrueshmëria Mekshein është më e fortë se ajo e Bohnerit (sipas normës). Në

vazhdim është evidentuar se ky lloj integrali në hapësirat e Riesz-it është më i pasur

se integrali i Henstock-ut dhe më adekuat në këto hapësira, duke marrë rezultate në

lidhje me integralin sipas (o)-konvergjencës, si dhe është treguar se kjo është një

fushë e gjerë studimi ku mund të arrihen rezultate të ngjashme. Në vazhdim kemi

krahasuar integralin Mekshein me integrale të tjerë në këto hapësira, duke ecur në një

drejtim të ri dhe të pavarur.

Në kapitullin e tretë, të ndikuar nga puna e Boccuto, Riecan dhe Vrábelová për

integralin e Henstockut, kemi studiuar të njëjtat probleme për një lloj tjetër të

rëndësishëm të integrimit në hapësira të tilla, integralin Mekshein. Kemi paraqitur një

mënyrë tjetër përkufizimi të integralit Mekshein në hapësirat Riesz duke përdorur

lemën shumë të rëndësishme të Fremlin. Në vazhdim, kemi rindërtuar pothuajse të

gjitha vetitë e integralit Mekshein të përcaktuar në [27], [38] të cilët bëhen pak më të

fortë, duke arritur disa rezultate të reja në krahasim me ato Henstock-Kurzweil. Më tej

kemi studiuar disa aspekte të (D)-konvergjencës për integralet sipas renditjes të tipit

Mekshein, si dhe është treguar në lidhje me këtë konvergjencë se integrali i

Mekshein-it ka po ato veti që ka integrali i Henstock-ut. Kemi vazhduar duke dhënë

një version të integralit të fortë të Mekshein-it, si dhe konditën e nevojshme dhe të

mjaftueshme të këtij koncepti. Më tej provojmë Teorema themelore për llogaritjen e

(DM)-integralit.

Në kapitullin e katërt, një vend i rëndësishëm i është kushtuar zbatimeve në lidhje

me vlerën e ndërmjetme, si dhe studimit të serive të Walsh-it. Rezultatet e marra

tregojnë përparësitë e këtij integrimi në hapësirat e renditura. Për këtë qëllim kemi

marrë në shqyrtim seri Walsh me koeficientë nga një hapësirë Riesz dhe kemi dhënë

një aplikim të këtij integrimi. Koeficientët e një serie konvergjente Walsh mund t‟i

përcaktojmë prej shumës së saj duke përdorur formulat Furier. Ne mund të përdorimin

integralin Mekshein për funksionet me vlera në hapësirat Riesz, duke shfrytëzuar σ-

shpërndarjen e dobët në grup laticat.

1

KAPITULLI I

KONCEPTE BAZË MBI HAPËSIRAT E RIESZ-IT

1.1 HAPËSIRAT LINEARE PJESËRISHT TË RENDITURA

Në kapitullin e parë trajtojmë koncepte dhe pohime bazë mbi hapësirat vektoriale të

renditura si hapësirat e Riesz-it, laticat, si dhe vetitë themelore të grup laticave në

hapësirat e Riesz-it, si dhe kemi provuar disa rezultate që lidhen me konceptin e ( )- konvengjencës, -shpërndarjen e dobët dhe vetinë Egorov.

Përkufizim 1.1.1

Një bashkësi pjesërisht e renditur është çifti (A, ), ku A është një bashkësi dhe

është një relacion binar në A i tillë që:

( ) a a për çdo a ;

( ) nëse a dhe b dhe a dhe b , atëherë a b;

( ) nëse a, b dhe c dhe a b dhe b c, atëherë a c.

Le të jetë M një nënbashkësi e bashkësisë së renditur A.

Elementi x A (respektivisht z A) është kufi i sipërm (kufi i poshtëm) i M-së në

qoftë se y x për të gjithë y nga M (respektivisht z y për të gjithë y nga M).

Ndërkaq, në qoftë se ekziston një kufi i sipërm për M (respektivisht një kufi i

poshtëm), atëherë themi se M është e kufizuar nga sipër (e kufizuar nga poshtë ).

Në qoftë se M është e kufizuar nga poshtë dhe nga lartë, themi se M është e kufizuar

sipas renditjes.

Le të jenë x, y A të tillë që x y. Do të shënojmë:

[x, y] = { z A : x z y}

intervalin e renditur të kufizuar nga x dhe y. Duket qartë që një nënbashkësi M është e

kufizuar sipas renditjes atëherë dhe vetëm atëherë kur ajo përfshihet në një interval të

renditur.

Përkufizim 1.1.2. Superiori dhe inferiori

Le të jetë (A, ) një bashkësi pjesërisht e renditur dhe B një nënbashkësi e A.

Ekziston ose jo një element a A me vetinë për çdo c A, a c nëse b c për çdo

b B, që do të thotë: a c nëse c është një kufi i sipërm për B.

Duket qartë se nuk mund të gjendet më shumë se një element i tillë a. Nëse a gëzon

këtë veti, ne themi se „bashkësia B ka kufirin më të vogël të sipërm, i cili është

ose „ekziston sup B dhe sup B .

Në mënyrë të ngjashme, nëse ekziston inf B, është një element i A i tillë që për çdo c

A, c inf B nëse c për çdo b B.

Pra, vërejmë se:

inf B sup * +, sup B inf * +,

në veçanti

inf A = sup , sup A = Inf .

2

Përkufizim 1.1.3. Bashkësitë e drejtuara

Le të jetë (A, ) një bashkësi pjesërisht e renditur. Një bashkësi B A është e

drejtuar nga lart, B↑, nëse për çdo çift elementësh a, b të B ekziston një element c B i tillë që a c dhe b c. Shënojmë B↑a nëse B↑ dhe supB = a. Vërejmë se, * +

për çdo a A. Njësoj përcaktojmë ( B është drejtuar nga poshtë ), B a po me

drejtimin nga poshtë.

Përkufizim 1.1.4

Le të jenë (A, ) dhe (B, ≼) bashkësi pjesërisht të renditura. Një funksion f: A B

është rritës nëse a fa ≼ fb. Kur funksioni f: A është një varg ⟨ ⟩

rritës, pra kur ≼ për çdo n , e shkruajmë ⟨ ⟩ .

Në mënyrë të ngjashme, nëse vargu ⟨ ⟩ është zbritës, e shënojmë ⟨ ⟩

dhe nënkuptojmë ≼ për çdo n N. Nëse ⟨ ⟩ dhe ,

atëherë simbolikisht e shënojmë ⟨ ⟩ .

Në mënyrë të ngjashme përkufizojmë ⟨ ⟩ .

Përkufizim 1.1.5

Një funksion rritës f: është i vazhdueshëm sipas renditjes nëse:

Sup , - kur dhe është jo boshe dhe inf , - kur dhe jo

boshe.

(Nëse f është rritës, atëherë , - është e drejtuar kur C është e tillë, pra ajo është e

vetmja bashkësi e cila duhet të ketë superiorin dhe inferiorin e ruajtur në këtë mënyrë.

Një funksion rritës f: është i vazhdueshëm sipas renditjes nga e majta nëse ajo

plotëson konditën , - kur dhe . Themi që është i vazhdueshëm

sipas vargjesh të renditura nëse ⟨ ⟩ kur ⟨ ⟩ dhe ⟨ ⟩

kur ⟨ ⟩

Përkufizim 1.1.6. Bashkësi e mbyllur sipas renditjes

Le të jetë (A, ) bashkësi pjesërisht e renditur dhe , shënojmë:

* +,

* +

Atëherë B dhe B . Themi se B është e mbyllur sipas renditjes nëse

Përkufizim 1.1.7

Një hapësirë lineare pjesërisht e renditur është katërshja ( ) ku ( )

është një hapësirë lineare mbi një fushë ℝ të numrave reale dhe është një renditje e

pjesshme në R e tillë:

( ) Nëse , atëherë për çdo ;

( ) Nëse në R, atëherë kur në R.

Lemë 1.1.8

Le të jetë R hapësirë lineare pjesërisht e renditur, . Atëherë:

( ) sup ( ) sup nëse ekzistojnë të dy anët.

3

( ) sup ( ) inf nëse ekzistojnë të dy anët.

( ) sup ( ) sup inf nëse ekziston ana e djathtë.

( ) nëse sup ( ) sup nëse ekziston ana e djathtë.

1.2 GRUP LATICAT E RENDITURA

Përkufizim1.2.1

Një laticë është një bashkësi pjesërisht e renditur (A, ) e tillë që sup * + dhe

inf * + ekziston për të gjithë elementet a dhe b të A.

Rrjedh që sup B dhe inf B ekziston për çdo bashkësi joboshe e fundme .

Në laticën A, shkruajmë dhe respektivisht për sup* + dhe inf * +. Kështu dhe i mendojmë si operator binar në A, operatorë latice. Që prej

Nëse 𝛬 është një bashkësi jo boshe dhe ( ) është një familje e elementëve në

R, shënojmë me dhe , ose sup dhe inf përkatësisht

sup * 𝛬+ dhe inf * 𝛬+, nëse ato ekzistojnë në R.

Përkufizim 1.2.2. Plotësia dedekindiane

( ) Një laticë A është e plotë dedekindiane, ose e plotë e renditur, nëse çdo

bashkësi joboshe B A e cila ka kufi të sipërm në A, ka kufi të përpiktë të sipërm.

( ) Një laticë e plotë dedekindiane R quhet super e plotë dedekindiane nëse për

çdo bashkësi jo boshe e kufizuar nga sipër, ekziston një nënbashkësi e

numërueshme e tillë që sup =sup , dhe për çdo bashkësi jo boshe e

kufizuar nga poshtë , ekziston një nënbashkësi e numërueshme e tillë që

inf = inf

( ) Nëse A është laticë, atëherë A është e plotë dedekindiane nëse çdo nënbashkësi

joboshe e A, e cila ka kufi të poshtëm, atëherë ka kufi të përpiktë të poshtëm.

Supozojmë që A është e plotë dedekindiane dhe që B A ka kufi të poshtëm dhe

nuk është boshe. Le të jetë C = { a është kufi i poshtëm për B} atëherë C

është nënbashkësi joboshe A me kufi të sipërm, kështu sup C ekziston. sup C = inf B.

Implikimi i anasjelltë është provuar në të njëjtën mënyrë.

( ) Le te jetë A një laticë, dhe B A. Le të jetë:

={sup është e fundme dhe jo boshe}.

atëherë, është i mbyllur në lidhje me operatorin laticë dhe ka të njëjtën kufi të

sipërm si B.

Kështu 1.2.2.( ) mund të shkruhet:

Një laticë është e plotë dedekindiane nëse çdo bashkësi jo boshe B A, e cila është

e drejtuar nga lart dhe ka një kufi të sipërm, ka një kufi të përpiktë të sipërm.

Përkufizim 1.2.3. Vetia shpërndarëse

Një laticë A është shpërndarëse nëse:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4

për të gjithë a, b, c ; pra secila dhe është shpërndarëse në lidhje me tjetrën.

Nëse marrim në konsideratë hapësirat lineare të renditura të cilat janë latica, karakteri

i studimit tonë ndryshon plotësisht.

Përkufizim 1.2.4

Hapësirë e Riesz-it, ose vektor laticë, quhet hapësira lineare e renditur e pjesshme

( ) e tillë që ( ) është laticë.

Nëse R është një hapësirë Riesz, atëherë shënojmë:

( ) | | ( ) për x .

Hapësirat Riesz kanë një pasuri të bollshme vetish.

Një element i një latice quhet pozitive nëse . Dy elemente pozitive

quhen jo prerës ose ortogonal nëse .

Një bashkësi jo boshe është e quajtur sistem jo prerës nëse çdo element

është pozitive dhe . Për dy elementë çfarëdo , ne

themi që ose nëse dhe . Njësh në R është një element a i

tillë që .

Një laticë R quhet e plotë laterale nëse çdo sistem jo prerës A R ka një superior në

R. Ne themi që R është e plotë universale nëse është e plotë laterale dhe

dedekindiane.

Për hapësirat e Riesz-it ose hapësirat vektoriale të renditura kanë vend vetitë e

mëposhtme:

Pohim 1.2.5

Le të jetë R një hapësirë e Riesz-it, dhe, x, y, z R dhe a kanë vend vlerësimet e

mëposhtme:

(i) x + y = (x y ) + (x y)

x y = - (- x ) (- y)

Dhe (x y) + z = (x + z) (y + z)

(ii) x = x+ - x

-

(iii) |x| = x+ + x

-, |ax| = |a||x|, dhe |x + y| |x| + |y|.

(iv) x+ y dhe paraqitja e x-it(zbërthimi i x-it) si diferencë e dy elementeve

pozitivë është e vetme.

(v) x y është ekuivalente me x+ y

+ dhe y

- x

-.

(vi) x y është ekuivalente me |x| |y| =|x| + |y|. Në këtë rast ne do të kemi |x

+y| = |x| + |y|.

(vii) (x y) z = (x z) (y z) dhe (x y) z = (x z) (y z).

(viii) Për të gjithë x, y, z R+ do të kemi ( x + y) z (x z) + (y z).

(ix) |x – y| = (x y) – (x y) dhe |x – y| = |(x z) – (y z)| +|(x y) – (y z)|

Pohim 1.2.6 (Ligji i shpërndarjes)

Për çdo , ne kemi:

5

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Dhe, në përgjithësi, për çdo familje ( ) të elementeve të R,

( ) ( )

( ) ( )

Elementi i anës së majtë të barazimit ekziston në R, atëherë dhe vetëm ateherë, kur

dhe elementi në anën e djathtë të barazimit ekziston në R. Në këtë rast të dy simbolet

përputhen.

Përkufizim 1.2.7

Një grup abelian pjesërisht i renditur quhet grup laticë e renditur ( -grup) nëse është

laticë dhe ka vend implikimi:

Pohim 1.2.8

Në një grup R çfarëdo, ka vend barazimi:

( )

Përkufizim 1.2.9

Le të jetë R një hapësirë Riesz. Një bashkësi A R është solide nëse kur për një

x , e tillë që | | | |, të rrjedh që y A.

Nëse A është nënbashkësi e R, dhe bashkësia * | | | |+ është solide

atëherë ajo është bashkësi solide më e vogël që përfshin A, dhe është quajtur

mbëshjellëse solide e A.

Përkufizim 1.2.10

Grupi ose nënhapësirë normale e R është nënhapësira lineare solide F, e tillë që kur

A F dhe sup A ekziston në R, atëherë sup A F; pra është nënhapësirë lineare

solide e mbyllur sipas renditjes.

Prerja e bashkësive të nënhapësirës Riesz është një nënhapësirë Riesz; prerja e

bashkësive të nënhapësirës lineare solide është një nënhapësirë lineare solide.

Përkufizim 1.2.11

Nëse R është një hapësirë Riesz, njësh i renditur i R, ( njësh i renditur i fortë ) është

e * + i tillë që për çdo x ekziston një n i tillë që x

. Një njësh i renditur i dobët i R është e i tillë që:

x x

Përkufizim 1.2.12

Një hapësirë Riesz është arkimediane nëse për çdo x dhe y që i përkasin R,

x për n , rrjedh që y 0.

Një nënhapësirë e Riesz-it e një hapësire arkimediane të Riesz-it është arkimediane.

6

Të gjitha hapësirat Riesz më të familjarizuara, gëzojnë vetinë arkimediane. Një

hapësirë është arkimediane nëse, ashtu si dhe numrat realë, * + është e

pakufizuar nga sipër nga elementi strikt pozitiv x. Kjo veti është e zakonshme për

hapësirat arkimediane dhe nuk e kushtëzon studimin tonë.

Përkufizim 1.2.13

Një varg i dyfishtë i kufizuar ( ) në R, quhet ( )- varg ose rregullator nëse

i, j dhe i, .

Përkufizim 1.2.14

Themi se ( ) , ( )- konvergjon tek r nëse ekziston një ( )- varg

( ) në R, që plotëson konditën: ekziston një element i tillë që:

| | ( )

për çdo n . Në këtë rast, shkruajmë ( )

Në mënyrë analoge, jepet përkufizimi i limitit i një funksioni ku

ℝ, dhe x0 është një pikë limite për A.

Përkufizim 1.2.15

Themi që (D) ( ) nëse ekziston një (D)-varg ( ) në R i tillë,

, ekziston një fqinjësi e e tillë që për çdo * + kemi që:

| ( ) | ( ) .

Pohim 1.2.16

Çdo grup R i plotë dedekindian është arkimedian.

Vërtetim

Le të jetë , dhe . Nga plotësia dedekindiane e R, elementi

ekziston në R. Kështu marrim:

( )

Rrjedh që:

Pëkufizim 1.2.17

Një varg ( ) quhet ( )- varg nëse dhe . Në këtë

rast, ne shkruajmë gjithashtu

Përkufizim 1.2.18

Le të jetë ( ) një varg në R, themi që ( ) ( )-konvergjon tek një element

nëse ekziston një ( )- varg ( ) në R, i tillë që:

| |

Në këtë rast shkruajmë ( ) lim

Përkufizim 1.2.19

Një varg ( ) në quhet ( )-Koshi nëse ekziston një ( )-varg ( ) në i tillë:

| | , dhe

7

Përkufizim 1.2.20

Një hapësirë Riesz quhet ( ) e plotë (ose e plotë në lidhje me ( )-konvergjencën) nëse çdo varg ( )-Koshi është ( )-konvergjent.

Teoremë 1.2.21 [2]

Le të jetë një -grup i plotë dedekindian, . ( )

/ , një varg rregullatorësh në

. Atëherë për çdo a ekziston një rregullator ( ) i tillë që:

.∑ . ( )( )

/ / ( )

për çdo k dhe .

Përkufizim 1.2.22

Le të jetë u Themi se u ka vetinë Egorov nëse, për çdo ( )-varg ( )

të kufizuar nga sipër nga ekziston një ( )-varg ( ) dhe një varg ( )

elementësh të Φ, të tillë që , ,

( )

Themi se ka vetinë Egorov nëse çdo element pozitiv u ka vetinë Egorov.

Pohim 1.2.23 [ 25]

Një element u ka vetinë Egorov atëherë dhe vetëm atëherë, nëse për çdo

( )-varg ( ) të kufizuar nga sipër nga ekziston një ( )-varg ( ) dhe një

element Φ i tillë që, për çdo ( ) .

1.3 -SHPËRNDARJA E DOBËT

Përkufizim 1.3.1

Themi që R është -shpërndarëse e dobët nëse për çdo ( )-varg( )

kemi që: ( ( ) )

Kontrollohet lehtë se (o)-konvergjenca e renditur sjell ( )-konvergjencën, ndërsa e

anasjellta është e vërtetë në hapësirën -shpërndarëse të dobët ( shih pohimi 1.3.5).

Tani e tutje, do të supozojmë që R është hapësirë Riesz -shpërndarëse e dobët e

plotë dedekindiane.

Lemë 1.3.2

Le të jetë {( ) ; n } familje çfarëdo rregullatorësh. Atëherë për çdo element të

fiksuar , ekziston një rregullator ( ) i tillë që për çdo ka

vend:

∑ ( ( ) )

( ) .

Përkufizim 1.3.3

Një -grup quhet -shpërndarëse e dobët nëse për çdo varg të dyfishtë të kufizuar

( ) ku kemi që:

8

( ) ( ( )

. (1.1)

Pohim 1.3.4 [24 ]

Një -grup e plotë dedekindiane është -shpërndarëse e dobët atëherë dhe vetëm

atëherë nëse për çdo ( )-varg ( ) në kemi që:

( ( )) (1.2)

Vërtetim

Provojmë konditën e nevojshme. Le të jetë ( ) një ( )-varg në . Atëherë kemi:

rrjedh se ( )

dhe nga (1.1) kemi që:

( ( ))

pra vërtetuam (1.2). Provojmë tani konditën e mjaftueshme. Fiksojmë së pari një varg

të dyfishtë të kufizuar ( ) , dhe shënojmë:

( ) ( ( )

);

Dhe për bashkësinë ( )

Meqenëse është shpërndarëse, marrim që:

( ) ( ( )

)

Duket qartë se vargu i dyfishtë ( ) është i kufizuar dhe që

.Vërejmë që Atëherë nga rrjedh që:

dhe .

Kështu ( ) është një ( )-varg. Nga ky fakt dhe (1.2) marrim që:

( ( ( ) )) , ( ( ))-

e cila tregon vërtetësinë e pohimit.

Rikujtojmë që, në hapësirat e Riesz, vetia -shpërndarëse e dobët e është

ekuivalente me vetinë, për çdo bashkësi joboshe X dhe për çdo algjebër , çdo masë

-aditive sipas renditjes e përcaktuar në , ka një shtrirje -aditive sipas renditjes

në -algjebrën 𝒜( ) [26] (Wright).

Vërejmë që, nëse nuk është -shpërndarëse e dobët, mund të ndodhë që ekzistojnë

ende disa algjebra ∑ të tilla që, çdo masë -aditive sipas renditjes, e përcaktuar në

∑, ka një shtrirje -aditive sipas renditjes tek -algjebra 𝒜(∑): për shëmbull, ky

është rasti i algjebrës së bashkësive të hapura të hapësirës topologjike kompakte,

totalisht jo e lidhur dhe, shtrirja Stone,e cila ekziston për çdo -grup të plotë

dedekindiane. [1] (Boccuto95)

M. Ducho and B. Rie an kanë provuar pohimin:

Pohim 1.3.5 [23]

Nëse ( ) , atëherë ( ) . Për më tepër nëse është

-shpërndarëse e dobët, atëherë:

9

( ) ( )

Vërtetim

Fillojmë me pjesën e parë. Nga hipoteza, kemi që, ekziston një ( )-varg ( ) i tillë

që . Për çdo j , vendosim .

Le të jetë Nëse shënojmë min * ( ) +, atëherë për çdo n

kemi që:

( )

( ) .

Nga ku rrjedh se ( ) .

Vërtetojmë pjesën e dytë. Supozojmë që është një -grup -shpërndarëse e dobët

dhe ( ) . Shënojmë .

Atëherë dhe Nga përkufizimi, për çdo

ekziston i tillë që:

( ) për çdo .

Rrjedh se

( )

Për më tepër kemi që:

( )

Nga ku rrjedh se:

( )

dhe meqenëse është -shpërndarëse e dobët, atëherë:

( ( ( ))

Kështu, që vargu ( ) është ( )-varg, çka sjell dhe vërtetimin e pohimit.

Pohim 1.3.6 [3]

Nëse ( ) ( )-konvergjon tek dhe ( ) ( )-konvergjon tek atëherë ( ) ,

( ) , ( ) ( ) ( ) ( )-konvergjojnë përkatësisht tek ,

, , dhe .

Pohim 1.3.7

Le të jetë bashkësia e të gjithë ( )-limiteve të vargut ( ). Atëherë është një

nëngrup i i tillë që kur dhe , dhe atëherë rrjedh se .

Gjithashtu, nëse jepet një varg ( ) ( )-konvergjent, bashkësia e të gjithë ( ) -limiteve të ( ) është , ku është një ( )-limit i fiksuar i ( ) Së fundi

* + atëherë dhe vetëm atëherë kur R ka vetinë -shpërndarëse të dobët.

Vërtetim

Së pari, vetia është një rrjedhim i thjeshtë i pohimit 1.3.6. Le të jetë ( ) një varg

( )-konvergjent tek Nëse atëherë ( ) ( ) , prandaj kemi që

( ) ( ) që do të thotë se është një prej ( )-limiteve të ( ) .

10

Për më tepër, nëse ( ) dhe ( ) atëherë ( ) ( ) , dhe .

Së fundi, nëse * + atëherë nuk ekziston një element pozitiv i tillë që:

( ( ))

për disa ( )-vargje ( ) (një element i tillë mund të jetë një ( )-limit i ( ))

Anasjelltas, nëse është -shpërndarëse e dobët, atëherë ( ( )) është

gjithmonë i barabartë me 0; rrjedh se, * + dhe ( )-limiti është i vetëm.

Le të shohim disa veti të ( ) konvergjencës.

Përkufizim 1.3.8

Le të jetë një -grup. Një varg ( ) në quhet ( )-Koshi nëse ekziston një ( )-

varg ( ) në i tillë që, kemi që:

| | ( )

Përkufizim 1.3.9

Le të jetë 𝛬 një bashkësi joboshe çfarëdo, ( ) një familje e vargjeve në , , 𝛬

është një familje e elementeve të . Themi se familja ( ) konvergjon tek

uniformisht në lidhje me parametrin ose shkurt ( ) konvergjon tek

, dhe simbolikisht shkruajmë 𝛬-( )

.

[Respektivisht është uniformisht Koshi në lidhje me ose është ( )-Koshi, nëse ekziston një ( )-varg ( ) në i tillë që , ( ) :

| | ( )

𝛬

[respektivisht |

| ( ) 𝛬-

Të provojmë më poshtë që çdo -grup e plotë dedekindiane është ( )- e plotë.

Përkufizim 1.3.10

Një -grup quhet ( ) e plotë (ose e plotë në lidhje me ( )-konvergjencën) nëse

çdo varg ( )-Koshi është ( )-konvergjent.

Përkufizim 1.3.11

Le të jetë 𝛬 një bashkësi çfarëdo. Një -grup quhet ( )- e plotë nëse për

çdo familje vargjesh, e cila është uniformisht ( )-Koshi në lidhje me 𝛬 rrjedh se

është uniformisht ( )-konvergjente në lidhje me 𝛬

Teoremë 1.3.12 [3]

Le të jetë 𝛬 një bashkësi joboshe çfarëdo dhe një -grup e plotë dedekindiane.

Atëherë, është 𝛬 ( )-e plotë.

Vërtetim

Nga hipoteza, ekziston një ( )-varg ( ) , i tillë që, ( )

( ) 𝛬 .

11

Shënojmë * ( )+ Fiksojmë dhe 𝛬

Atëherë, , kemi:

( )

Për çdo 𝛬 bashkësia * +, {

} Kemi që

, 𝛬 është e kufizuar, kështu ekzistojnë elementet ë :

inf

sup

.

Fiksojmë çfarëdo, dhe 𝛬 Le të jetë max * +.

Atëherë prej nga ku rrjedh se është e kufizuar. Kështu kemi që:

Për këtë arsye, ekziston e tillë që:

Zgjedh në mënyrë çfarëdo Atëherë, ekziston ( ) , e tillë që:

( ) (1.3)

Për një të fiksuar marrim superiorin në lidhje me dhe kemi që:

( )

( )

marrim inferiorin në lidhje me , dhe kemi:

( ) ( )

( )

Kështu, nga fakti që është -shpërndarëse e dobët, kemi:

( )

( )

( ( ( )

) ,

rrjedh se: ( )

( )

Kështu nëse ( ) (1.3) atëherë për të gjitha ( ) dhe 𝛬 marrim që:

( )

( )

në mënyrë të ngjashme:

( ) ( )

Rrjedhim 1.3.13

Çdo -grup e plotë dedekindiane është ( )- e plotë.

Duke patur parasysh pohimet [25] vërtetojmë teoremën e mëposhtme.

Teoremë 1.3.14

Nëse është super e plotë dedekindiane dhe -shpërndarëse e dobët, atëherë ka

vetinë Egorov. Anasjelltas, nëse është e plotë dedekindiane dhe ka vetinë Egorov,

atëherë është -shpërndarëse e dobët.

Vërtetim

Le të jetë ( ) një ( )-varg në . Nga -shpërndarja e dobët e , kemi që:

12

* ( ) +.

Nga fakti që është super-dedekindiane, ekziston një varg ( ) në , i tillë që:

{ ( ) }

Pa humbur përgjithësimin, mund të supozojmë se për çdo .

Shënojmë:

( )

për çdo , rrjedh se ( ) është një ( )-varg. Shënojmë ( )= ( ) për çdo .

Rrjedh se:

( ) ( )

për të gjitha duke shfrytëzuar vetinë [Egorov] përfundojmë pjesën e parë të

vërtetimit.

Vërtetojmë të anasjelltën. Zgjedhim një ( )-varg ( ) në Nga kushti rrjedh se

ekziston një ( )-varg ( ) dhe një varg ( ) i elementëve të të tillë që:

( ) ( )

Rrjedh se:

( ( ) ) ( )

( )

Duke shfrytëzuar ( ) për si dhe faktin ( ) është ( )-varg përfundojmë

vërtetimin.

Përkufizim 1.3.15

Një nënbashkësi e hapësirës së Riesz quhet e dendur sipas renditjes në nëse,

për çdo , dhe , ekziston , i tillë që dhe , .

Një nënbashkësi e një hapësire të Riesz quhet ideal (i ) nëse është hapësirë

Riesz dhe nënbashkësi solide e .

Përkufizim 1.3.16

Le të jetë një hapsirë Riesz. Një funksion ℝ quhet funksional linear nëse:

( ) ( ) ( ) ℝ,

Themi që ℝ është pozitiv nëse ( ) kur , . Shohim që një

funksional linear është pozitiv vetëm në qoftë se ai është rritës.

Përkufizim 1.3.17

Një funksional linear quhet i kufizuar sipas renditjes nëse ai mund të shprehet si

diferencë e dy funksionalëve linearë rritës.

Pohim 1.3.18 [9]

Një funksional linear është i kufizuar sipas renditjes vetëm në qoftë se bashkësitë e

kufizuara kanë shëmbëllim bashkësi të kufizuara.

13

Përkufizim 1.3.19

Një funksional linear ℝ quhet i vazhdueshëm sipas renditjes nëse mund të

shprehet si diferencë e dy funksioneve linear rritës të vazhdueshëm sipas renditjes.

Shënojmë me R+

bashkësinë e funksionalëve linear të kufizuar sipas renditjes ℝ. Bashkësia R

+ e pajisur me shumën natyrale dhe produktin me një numër skalar , si

dhe me renditjen:

( ) ( )

është hapësirë Riesz e plotë dedekindiane [14].

Shënojmë me R* bashkësinë e funksionalëve ℝ linear të vazhduar sipas

renditjes. Bashkësia R*

e pajisur me shumën natyrale dhe produktin me një numër

skalar, si dhe me renditjen:

( ) ( )

është hapësirë Riesz e plotë dedekindiane [14].

Le të jetë ℝ bashkësia e numrave realë të zgjeruar. Nëse është hapësirë topologjike

e Hausdorff, atëherë :

( )={ ℝ e vazhduar},

( )={ ℝ e vazhduar dhe e kufizuar},

( ) { ℝ e vazhduar dhe me suport të kufizuar},

( ) { ℝ e vazhduar dhe { | ( )| + është e ngjeshur në

}

janë hapësira të Riesz-it në lidhje me renditjen natyrale.

14

KAPITULLI II

O- RENDITJA DHE INTEGRALI MEKSHEIN

Në këtë kapitull studiojmë integralet e tipit Mekshein për funksione të përcaktuara në

një hapësirë metrike kompakte T, e pajisur me një masë të rregullt -aditive, dhe me

vlera në një laticë Banah X. Në veçanti, në hapësirën , - është marrë në konsideratë

masa Lebesgue e zakonshme. Janë krahasuar integrali i tipit norm- dhe integrali i tipit

të renditur, i cili bëhet më interesant kur X është një L-hapësirë. Është e njohur se

shumë studime të ndryshme për integralin janë bërë në shekullin e fundit, për

funksionet me vlera reale, në mënyrë që të përgjithësohet integrali i Riemannit. Një

studim i plotë i përkufizimeve të ndryshme për funksionet me vlera reale mund të

gjendet në [Fremlin], ku përkufizimet e Lebesgue dhe Mekshein, janë krahasuar në

mënyrë të hollësishme, dhe, ekuivalenca midis integraleve Mekshein dhe Lebesgue

është përshkruar në mënyrë të qartë. Situata ndryshon thellësisht në rastin e

funksioneve me vlera në hapësirat Banah: në këtë rast, është e njohur se lloji më i

fortë i integralit është ai Bohner, nga i cili rrjedh integrueshmëria Birkhoff, që nga

ana tjetër është më i fortë se Mekshein dhe, ky i fundit është më e fortë se integrali

Henstock dhe Pettis. Literatura është e gjerë në këtë fushë dhe me interes të madh për

këtë problem. Më pas, janë futur dhe studiuar edhe trajtime të integralit të tipit të

renditur për funksione që marrin vlerat e tyre në hapësirat vektoriale të renditura, dhe

në laticat Banah në veçanti: për shembull [4], [15], [35], [5], [17], [16], [6].

Gjithashtu rasti me shumë vlera është studiuar intensivisht, për të dy llojet e

konvergjencave: për shembull [10], [7]. Në këtë kapitull, ne kryesisht, studiojmë

dallimet midis integraleve sipas normës dhe sipas renditjes të tipit Mekshein, për

funksione që marrin vlerat në një laticë Banah, me normë të renditur të vazhduar,

duke treguar një ndryshim të parë të tyre: integralet e renditura në përgjithësi nuk

respektojnë barazimin pothuajse kudo, përveç funksioneve të të kufizuara sipas

renditjes. Në këto hapësira janë marrë rezultate në lidhje me integralin sipas (o)-

konvergjencës dhe është treguar se kjo është një fushë e gjerë studimi ku mund të

arrihen rezultate të ngjashme. Një tjetër ndryshim interesant është se integralet e

renditura gëzojnë të ashtuquajturat Lemat e tipit Hake dhe Henstock: ky fakt ka

rrjedhime interesante në L-hapësira, ku integrueshmëria Mekshein është më e fortë se

ai i Bohnerit (sipas normës). Në vazhdim kemi krahasuar integralin Mekshein me

integrale të tjerë në këto hapësira, duke ecur në një drejtim të ri dhe të pavarur.

2.1. PËRKUFIZIME TË INTEGRALEVE MEKSHEIN DHE BOHNER SIPAS

RENDITJES

Shënojmë me T një hapësirë metrike kompakte, dhe μ masë σ-adivitive e

rregullt joatomike në σ-algjebrën e nënbashësive të Borelit në T. Me masë jo

atomike kuptojmë që një bashkësi me masë pozitive mund të ketë nënbashkësi të saj

me masë pozitive.

Një diametër është funksioni ℝ Një M-ndarje Π e intervalit T është një

koleksion i fundëm *( ) + i çifteve të tilla që, bashkësitë janë

bashkësi dy e nga dy joprerëse dhe ⋃ ( ) , në qoftë se etiketa , k=1,2,...k,

mund të mos bëjë pjesë në ndarjen përkatëse .

Një M-ndarje *( ) + e T për të cilën quhet H-

ndarje e T. Duket qartë se çdo H-ndarje e T është gjithashtu një M-ndarje e T.

15

Nëse koleksioni nuk plotëson konditën ⋃ ( ) quhet M-sistem i T. Një M-

sistem *( ) + i T për të cilën quhet H-sistem i

T.

Themi që Π është - e imët nëse distanca d( ) ( ) për çdo dhe

. Qartësisht, një diametër mund të përcaktohet si një funksion i tillë që

çdo pike i vendos në korrespondencë një rruzull të hapur më qendër në dhe

që mbulon .

Përkufizim 2.1.1[5]

Një laticë vektoriale e normuar E është me normë të vazhdueshme sipas renditjes,

respektivisht -e vazhduar sipas renditjes në qoftë se || || për çdo

sistem 𝛬 të drejtuar poshtë, respektivisht për çdo varg zbritës ( ) në E të

tillë .

Thuhet se një laticë plotëson konditën normë-Koshi në qoftë se çdo varg i kufizuar

sipas renditjes dhe rritës në E është ( )-Koshi.

Le të supozojmë tani se X është çdo laticë Banah me një normë të renditur të

vazhduar.

Nëse dhe *( ) + është një M-ndarje, atëherë

përcaktojmë shumën e Rimanit si më poshtë:

( Π) ∑ ( ) μ( )

Përkufizim 2.1.2 [5]

Një funksion është i integrueshëm sipas normës nëse ekziston i tillë

që, për çdo ekziston një diametër ℝ i tillë që, për çdo M-ndarje *( ) +, -e imët e T, kemi që:

‖ ( ) ‖

Shënojmë ∫

Përkufizim 2.1.3

Një funksion është i integrueshëm sipas renditjes në sensin Mekshein nëse

ekziston së bashku me ( )-varg ( ) në X dhe një varg korrespondues ( ) i

diametrave, i tillë që për çdo n dhe për çdo M-ndarje *( ) + - e

imët kemi që:

| ( ) |

Shënojmë ( ) ∫

.

Përkufizim 2.1.4 [12]

Një funksion është i integrueshëm sipas renditjes në sensin Henstock nëse

ekziston së bashku me ( )-varg ( ) në X dhe një varg korrespondues ( ) i

diametrave, i tillë që për çdo n dhe për çdo H-ndarje *( ) + - e

imët kemi që:

| ( ) |

Shënojmë ( )∫

.

16

Pohim 2.1.5

Nëse funksioni është i integrueshëm sipas renditjes në sensin Mekshein

atëherë ai është gjithashtu i integrueshëm sipas renditjes në sensin Henstock dhe ka

vend barazimi:

( )∫

( )∫

Në sajë të vazhdueshmërisë së renditur të normës në X, është e lehtë për të parë se

çdo ( )-integrueshmëri e funksionit është edhe ( )-integrueshmëri dhe këto

integrale përputhen. Gjithashtu do të provojmë që ( )-integrueshmëria dhe ( )-

integrueshmëria nuk janë ekuivalente në përgjithësi.

Hapësira vektoriale e të gjithë funksionalëve të vazhdueshëm sipas renditjes në R do

të shënohet me . Kjo hapësirë është gjithmonë një hapësirë e Riesz-it e plotë

dedekindiane , - Do të thuhet se ndan pikat e R në qoftë se për çdo element

, , gjendet një i tillë që ( ) Që nga ky moment do të

supozojmë se R është hapësirë e Riesz-it e plotë dedekindiane e tillë që të ndaj

pikat e R. Një shembull i tillë i një hapësire të Riesz-it R që gëzon këtë veti, ndonëse

është hapësira e të gjithë vargjeve të numrave realë konvergjent në zero

[14].

Kujtojmë se në do të thotë se ( ) ( ), x dhe, nga ana

tjetër, plotëson kushtin x , atëherë dhe vetëm atëherë kur ( ) për çdo

dhe f 0 [14]. Për çdo , një funksional linear i vazhdueshëm, sipas

renditjes , mund të përcaktohet në me anë të formulës ( )= ( ), Në

këtë mënyrë mund të përcaktohet një operator pozitiv x që çon R në . Ky

operator, i cili shënohet me e, është quajtur zhytje kanonike e R në . Operatori e

është një mbi një ( injektiv), atëherë dhe vetëm atëherë kur ndan pikat në R. Le të

jetë një nënbashkësi metrike kompakte.

Funksioni do të quhet funksion i thjeshtë në T në qoftë se =⋃ ,

⋂ ku janë të matshëm sipas Lebegut dhe ∑

, ku R.

Integral, sipas renditjes të funksioneve të thjeshtë do të quajmë shumën ∑ ( )

nga R dhe do ta shënojmë ∫

∑ ( )

Përkufizim 2.1.6

Funksionin pozitiv mbledhor të fundëm : ( ) ℝ ku ( ) do ta quajmë

masë.

Shënojmë me S bashkësinë e funksioneve të thjeshta të mësipërm, siç dihet nga raste

klasike, kjo bashkësi është një hapësirë vektoriale lidhur me shumëzimin me numra

realë.

Përkufizim 2.1.7 [1]

Le të kemi vargun e funksioneve të thjeshtë * + , , do të themi se * +

është (o)-uniformisht i integrueshëm në qoftë se për çdo varg numrash realë pozitiv

gjendet vargu * + , , i tillë që, për çdo n dhe ( )

të kemi që:

∫ | ( )|

17

Përkufizim 2.1.8

Funksioni quhet i matshëm sipas renditjes ose ( -i matshëm) në qoftë se për një

varg ( ) , 0 gjendet një varg funksionesh të thjeshtë * + të tillë që:

| ( ) ( )| .

Në artikullin , -, tregohet se jo çdo funksion i kufizuar në një hapësirë të Riesz-it

është ( )-limit i një vargu funksionesh të thjeshta. Kjo bën që klasa e funksioneve

( )-të matshëm të jetë pak më e ngushtë se ajo në rastet klasike. Kjo do të reflektojë

edhe në rastin e përkufizimit të integralit të renditjes, sipas Bohnerit, që po e japim në

vazhdim.

Do të konsiderojmë bashkësinë e vargjeve ( )-Koshi dhe do të përcaktojmë një

relacion ekuivalence.

( ) ( ) ( )- | | Pohim 2.1.9

Në qoftë se një funksion është i (o)- matshëm atëherë ai është me vlera

pothuajse separable d.m.th, gjendet një bashkësi e matshme Z me masë zero ( )

e tillë që:

( ) është separabël.

Vërtetim

Supozojmë se funksioni është i (o)- matshëm, atëherë gjendet vargu i funksioneve të

thjeshtë * + dhe bashkësia e matshme që ( ) e tillë që:

( )- ( ) ( )

për çdo . Provohet lehtë se në hapësirën laticë të Banahut ka vend:

( ) ⋃ ( )

Bashkësia ⋃ ( )

është separabël si mbyllje e një bashkësie të numërueshme. Siç

dihet, një nënhapësirë e një hapësire metrike separable (hapësira e Banahut është

metrike) është bashkësi separabël. Që këtej marrim që bashkësia e vlerave ( )

është separabël.

Në mënyrë të ngjashme me rastin e bashkësisë së numrave realë mund të shqyrtojmë

seritë me elemente nga X.

Përkufizim 2.1.10

Le të kemi një seri me terma nga një bashkësi e renditur X. Shënojmë . Thuhet që seria me elemente nga një bashkësi e renditur X konvergjon

në se ka vend barazimi:

( ) -

Kujtojmë që një seri thuhet se konvergjon absolutisht në qoftë se seria ∑ | |

është

një seri konvergjente në një hapësirë të renditur.

Seria konvergjon në mënyrë të pakushtëzuar në qoftë se ajo është konvergjente për

çdo ndërrim të vendit të termave.

18

Në qoftë se seria konvergjon absolutisht mund të provohet si në rastin real se ajo

konvergjon në mënyrë të pakushtëzuar.

Në referencën ([13] pohimi 4, f.22) provohet se nëse ∑ është një seri në X, e tillë

që çdo nënseri e ∑ është konvergjente e dobët, atëherë seria ∑ konvergjon në

mënyrë të pakushtëzuar.

Pohim 2.1.11

Në qoftë se funksioni është i matshëm, atëherë gjendet funksioni i kufizuar

dhe i matshëm dhe funksioni i matshëm që:

( ) ∑ ( ), , , t ,

ku , , janë bashkësi të matshme dy nga dy joprerëse dhe ka vend

barazimi: .

Vërtetim

Nga pohimi 2.1.9 rangu i funksionit ( ) është një nënbashkësi pothuajse separabël

në X e përbërë nga elementet * + e cila është bashkësia më e madhe e dendur

në ( ). Shënojmë:

* ( ) ( ( )) ⋃ ( ( )+

ku ( ) * ‖ ‖ +.

Duke patur parasysh se ⋃ për m, n dhe n m,

shënojmë:

( ) ∑ ( )

për . Si një seri që shumat e fundme i ka funksione të thjeshtë, funksioni

është i matshëm dhe në qoftë se atëherë:

( ) ( ) ( ) ( ),

kjo do të thotë se ‖ ( ) ( )‖ .

Shënojmë ( ) ( ) ( ), do të kemi që ‖ ( )‖ dhe ( ) ( ) ( ), .

Përkufizim 2.1.12

Funksioni X është funksion i integrueshëm, sipas Bohnerit, në qoftë se gjendet

një varg i funksioneve të thjeshtë ( )-Koshi * + i tillë që:

1) të konvergjojë sipas renditjes pothuajse kudo sipas masës tek f.

2) ( )- ∫ | ( ) ( )|

pothuajse kudo.

( )-

∫ ( ) do ta quajmë integral të Bohnerit sipas renditjes dhe do ta

shënojmë:

( )∫ ( )

.

Vargu i funksioneve të thjeshta do të quhet varg përcaktues i f.

19

Pohim 2.1.13

Në qoftë se ( ) dhe ( ) janë vargje funksionesh të thjeshta ( )-Koshi dhe

përcaktues të f, atëherë:

( )-

∫ ( ) ( )-

∫ ( )

Vërtetim.

Nga mosbarazimi:

| ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( ) ( )|

del se vargjet ( ) dhe ( ) janë vargje ekuivalente

( )-

| |

Ose për çdo varg ( )

| ( ) ( )|

.

Duke patur parasysh se,

( )-

∫ ( ) =∫ ( )

dhe

( )-

∫ ( ) = ∫ ( )

,

Shqyrtojmë diferencën:

|( )

∫ ( ) ( )

∫

( )|

|( )

∫ ( ) ∫

( )| |( )

∫

( ) ∫

( )|

.

Duke u nisur nga fakti që ( )- integrali nuk varet nga zgjedhja e vargut përcaktues

mund të provohen lehtë vetitë:

1) Për të gjithë funksionet e integrueshëm Bohner të renditur, ku ℝ ka vend:

∫ ( ( ) ( )) ∫ ( )

∫ ( ) .

2) ∫

∫

∫

( ) , A .

3) Në qoftë se ( ) atëherë ∫

.

4) Nëse është i matshëm, dhe ∫

është uniformisht i integrueshëm sipas

renditjes sjell absolutisht i integrueshëm sipas renditjes.

Vërtetim i pikës katër:

20

Le të jetë ( ) varg i funksioneve të thjeshtë përcaktues i f . Kjo do të thotë se gjendet

vargu ( ) që | ( ) ( )| p.k dhe vargu ( )

∫ | |

∫ | | +∫ | |

( )+∫ ( )

Ku ( ) ∫ | | .

2.2 KRAHASIMI NDËRMJET INTEGRALIT TË MEKSHEINIT SIPAS

NORMËS DHE SIPAS RENDITJES

Do të shohim se ka dallime të thella midis tipit të integralit të llojit sipas normës dhe

atij sipas renditjes. Fakt është se, në përgjithësi, funksionet pothuajse të barabarta

mund të sillen në mënyra të ndryshme në lidhje me ( ) -integralin, siç është

dëshmuar në [5] një funksion , - , ku është bashkësia e funksioneve

me vlera reale dhe konvergjent në zero, me vetinë e mëposhtme: është pothuajse e

barabartë me zero (në lidhje me masën e Lebesgue) dhe nuk është ( )-

integrueshëm. Pra, ky funksion është pothuajse i barabartë me zero, pra është

Bohner-integrueshëm, por jo ( )-integrueshëm. Ne, gjithashtu, duhet të përmendim

se nuk është i kufizuar sipas renditjes. Në të vërtetë, për funksionet e kufizuar sipas

renditjes, situata është më e mirë.

Pohim 2.2.1

Le të jetë dy funksione të kufizuara, të tillë që pothuajse

kudo. Themi që është ( )- i integrueshëm, atëherë dhe vetëm atëherë nëse g është ( )- i integrueshëm, dhe në këtë rast integralet përputhen.

Vërtetim

Mjafton të vërtetojmë se është funksion ( )-i integrueshëm dhe ∫ . Shënojmë me M një mazhorant të | | dhe | |. Duke supozuar që f është ( )-i

integrueshëm shënojmë:

* ( ) +

dhe

*

( )+.

Shohim që ( ) dhe ( )

. Shënojmë një bashkësi të hapur që ( )

.

Ndërtojmë diametrin

( ) { ( )

( ) - ( ) ( ),

Duke fiksuar një ndarje çfarëdo Π ( ) e cila është - të imët, ka vend:

( )

( ) ∑ ( ) ( ) ∑ ( )

( )

( ) ∑ ( ) ( ) ∑ ( )

( ),

21

dhe

Sup *∑ ( ) ( ) ∑ ( )

( )+

,

ndërsa

∑ ( ) ( ) ∑ ( )

( )

Atëherë kemi që:

( ) |∑ ( ) ( ) ∑ ( )

( )

( ) ∑ ( ) ( ) ∑ ( )

( )

( ) ( ) ( )

.

/.

Pra, ( ) dhe ( ) janë respektivisht ( )-vargu dhe vargu

korrespondues i diametrave që tregon se g është ( )- i integrueshëm me integral Nëse ndërrojmë rolet e dhe përfundojmë plotësisht vërtetimin.

Një tjetër diferencë interesante është vlefshmëria e të ashtuquajturës Lema

Henstock, me të vërtetë, do të shohim që ( )-integrueshmëria e sjell këtë rezultat,

në ndryshim me rastin e integralit sipas normës.

Së pari, të provojmë një kriter të tipit Koshi, për ekzistencën e ( )-integralit.

Vërtetimi është i ngjashëm me atë të dhënë nga [12].

Teoremë 2.2.2

Le të jetë një funksion çfarëdo. Funksioni është ( )-i integrueshëm

atëherë dhe vetëm atëherë nëse ekziston një ( )-varg ( ) dhe një varg

korrespondues ( ) i diametrave, i tillë që për çdo n, dhe për dy M- ndarje Π, Π′ ,

-të imëta ka vend:

( ) ( Π′) ( )

Vërtetim

Kondita e nevojshme vërtetohet direkt. Të vërtetojmë konditën e mjaftueshme.

Supozojmë që ( ) është i vërtetë. Pa humbur përgjithësimin, supozojmë që vargu

( ) është zbritës. Për çdo n, përcaktojmë:

sup * ( ) është - e imët }, inf * ( ) është - e imët }.

Sigurisht, kemi që për çdo , dhe gjithashtu

nga fakti që ( ) ( Π′) Duke nënkuptuar se sup :

pohojmë që vlera e përbashkët është integrali . Në të vërtetë, për të njëjtin varg

(zbritës) ( ) ne marrim që:

( )

dhe

( )

Të dy mosbarazimet qëndrojnë për çdo M- ndarje Π, -e imët e cila mjafton për të

provuar konditën e mjaftueshme.

22

2.3 LEMAT E TIPIT HAKE DHE HENSTOK

Të vërtetojmë disa lema të tipit Henstock, për ( )-integralin. Vërtetimi është i

ngjashëm me atë të dhënë nga [16] , si dhe nga pohimi i mësipërm.

Pohim

Le të jetë një funksion ( )- i integrueshëm. Atëherë ekziston ( )-varg

( ) dhe një varg korrespondues ( ) diametrave, i tillë që për çdo dhe për çdo,

M-ndarje Π, -e imët ka vend:

∑ {|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) (

) |}

Π

lëvizin përgjatë të gjithë M-ndarjeve të imëta të .

Vërtetim

Së pari vërejmë se, në sajë të kriterit Koshi, ekziston një ( )-varg ( ) , së bashku

me një varg korrespondues ( ) të diametrave, të tillë që:

∑ ( ) ( ) ∑ ( ) (

) ( )

Mosbarazimi ka vend për të gjitha M-ndarjet , të imëta. Nëse për ndonjë M-

ndarje e imët, dhe për çdo element E nga Π, marrrim në konsideratë dy nëndarje

çfarëdo dhe , atëherë, duke marrë bashkimin e nëndarjeve si E dhe duke

bërë të njëjtat veprime me nëndarjen ne fitojmë dy M-ndarjet e imëta të T, për

të cilat ( ) është i vërtetë. Nga ku rrjedh se:

∑ ( ) ( ) ∑ ( ) (

) . ( )

Tani, shënojmë me elementin e parë të Π. Atëherë, në shumatoren që ndodhet në

të majtë, fiksojmë të gjitha , dhe gjithashtu, të gjithë

që nuk janë të përfshira në

, duke marrë superiorin, kur ndryshon në të gjitha mënyrat e mundshme, marrim:

(

) ∑ ( ) ( )

∑ ( )

Nëse ndryshojmë vetëm që janë të përfshira në nxjerrim si përfundim:

(

) (

)+∑ ( ) ( )

∑ ( )

{|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) (

) |}

+ ∑ ( ) ( )

∑ ( ) ( )

Nëse fiksojmë të gjitha që nuk përfshihen në bashkësinë e dytë të (ose ) dhe

bëjmë të njëjtat veprime, do të kemi:

{|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) (

) |}

+

+ {|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) (

) |}

23

+ ∑ ( ) ( )

∑ ( ) ( )

Duke vazhduar në të njëjtën procedurë përfundojmë vërtetimin.

Rrjedhim 2.3.2

Nëse çdo funksion është ( )- i integrueshëm në atëherë, është i tillë në çdo

nënbashkësi të matshme A .

Vërtetim

Në të vërtetë, duke marrë të njëjtin ( )-varg ( ) dhe të njëjtin varg korrespondues

( ) si për integrueshmërinë e , marrim që për çdo , çdo M-ndarje e imët e A

mund të shtrihet tek M-ndarja e imët e në sajë të Lemës Cousin, dhe kështu, për

çdo dy Π, Π' M-ndarje - të imëta të A, marrim që:

| ( ) ( )|

{|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) (

) |}

Duke shfrytëzuar kriterin Koshi përfundojmë vërtetimin.

Rrjedhim 2.3.3

Nëse është i integrueshëm në , dhe , janë dy nënbashkësi të matshme jo prerëse

të , atëherë:

∫

∫

∫

.

Teoremë 2.3.4

Le të jetë një funksion çfarëdo ( )-i integrueshëm. Atëherë ekziston një ( )-varg ( ) dhe një varg korrespondues ( ) i diametrave, të tillë që:

1) për çdo dhe çdo M-ndarje Π, -e imët ka vend:

∑ | ( ) ( ) ( )∫

;

2) për çdo dhe çdo M-ndarje Π, - e imët ka vend:

∑ | ( ) ( ) ( ) ( ) .

ku të gjitha etiketat plotësojnë kushtin ( ) dhe ( ) për të gjitha .

Vërtetim

Për të vërtetuar 1) mjafton të fiksojmë dhe M-ndarjen çfarëdo ( ) -të

imët. Vërejmë që:

( ) ( ) ∑ ( ) ( )

{|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) (

) |}

ka vend për çdo M-nëndarje , -e imët e E dhe për çdo . Atëherë, kemi

që:

| ( ) ( ) ( )∫

| | ( ) ( ) ∑ ( ) ( )|

24

|∑ ( ) ( )

( )∫ |

{|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( )

|}

Nga arbitrariteti i k dhe Pohimi marrim pohimin.

Për të vërtetuar 2), mjafton të tregojmë se:

| ( ) ( ) ( ) ( )|

{|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) (

) |}

,

ku etiketat janë zgjedhur si më sipër.

Një rrjedhim i kësaj teoreme është se nga ( ) -integrueshmëria e rrjedh ( )-

integrueshmëria e | |.

Teoremë 2.3.5

Nëse është ( ) -i integrueshëm, atëherë edhe | | është ( ) -i integrueshëm.

Vërtetim

Përdorim kriterin Koshi: ekziston një ( )-varg ( ) dhe një varg korrespondues

( ) i diametrave, të tilla që, për çdo n dhe M-ndarje Π, Π' , -të imëta dhe Π'

është më e imët se Π,

|∑ | ( )| ( ) Π ∑ | ( )| ( ) | (2.4)

(Për kondita e mjaftueshme procedojmë në mënyrë të ngjajshme si tek [16]: Nëse

kushti (2.4) është i plotësuar, marrim dy ndarje dhe çfarëdo -të imëta,

atëherë është gjithmonë e mundur të gjendet M-ndarja Π′, -e imët, më e imët se

dhe . Pra nga (2.4) kemi që:

| ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( ) ( )| )

Nëse ( ) dhe ( ) i zgjedhim si teorema 2.3.4, dhe dhe si më sipër:

∑ | ( )| ( ) ∑ | ( )| ( )

∑ ∑ (| ( )| | ( )|) ( )

∑ (| ( )| | ( )|) (

) ,

ku etiketa përputhet me kur , , për këtë arsye duke shfrytëzuar një

zbatim të thjeshtë të 2.3.4 (2), arrijmë tek mosbarazimi (2.4) duke përfunduar

vërtetimin.

Siç dihet, në rastin e hapësirave të Banahut një dallim ndërmjet integralit të Henstock-

Kurzweil dhe integralit të Meksheinit është teorema Hake. Kjo teoremë ka vend për

integralin e parë dhe nuk ka vend për të dytin. Të tregojmë më poshtë se kjo ndodh

edhe për integralet e renditur të dy tipeve, duke bërë modifikimet e nevojshme në

këtë teoremë.

25

Lemë 2.3.6 (Saks-Henstock) [28]

Le të jetë funksioni një funksion ( ) -i integrueshëm dhe ( ) një ( )- varg në X, si dhe një varg ( ) diametrash korrespondues, i tillë që për M- ndarje

Π *( ) +, - e imët e T:

|∑ ( ) ( ) ( )∫

| .

Në qoftë se Π {( ) } është një M-ndarje - i imët i

çfarëdoshëm i T, atëherë për çdo n do të kemi:

|∑ ( ( ) ( ) ( )∫ )

| .

Vërtetim

Përderisa {( ) } është një Mekshein –sistem -i imët, bashkësia

⋃ ( )

përbëhet nga një sistem i fundmë të intervaleve të T, dy

e nga dy jo mbulues. Funksioni është ( )- i integrueshëm që tregon se nga kushti

Bolcano - Koshi, integrali ( )∫

ekziston. Kjo do të thotë se nga përkufizimi i

integralit, për një ( )- varg ( ) dhe një varg ( ) diametrash, të tillë që për

çdo n , ( ( )) ( ( )) për i tillë që, për çdo do të kemi:

|∑ ( )

(

) ( )∫

|

ku ndarja {(

) } është M-ndarje - e imët e intervalit . Shuma:

∑ ( ) ( ) ∑ ∑ (

) ( )

paraqet një shumë integrale, e cila i korrespondon një M-ndarje - e imët e intervalit

T, dhe për pasojë, nga kushti do të kemi:

|∑ ( ) ( ) ∑ ∑ (

) ( )

( )∫

| Nga ku rrjedh se:

|∑ ( ) ( ) ( )∫

|

|∑ ( ) ( ) ∑ ∑ (

) ( )

( )∫

|

∑ |∑ ( ) (

) ( ) ∫

|

Kemi marrë kështu vërtetimin e lemës .

Në qoftë se M-ndarjet në pohimin e mësipërm i zëvendësojmë me K-ndarjet e

integralit të Henstock-ut do të fitojmë lemën:

Lemë 2.3.7

Le të jetë funksioni një funksion ( ) -i integrueshëm dhe ( ) një ( )- varg në X, si dhe ( ) një varg diametrash korrespondues, i tillë që, për një H-

ndarje Π *( ) +, e imët të T:

|∑ ( ) ( ) ( )∫

|

26

Atëherë, në qoftë se {( ) } është një K-ndarje e çfarëdoshme për çdo

n, - i imët, do të kemi:

|∑ ( ( ) ( ) ( )∫ )

|

Rrjedhim 2.3.8

Në qoftë se funksioni , f ( ), latica e Banahut X është me një numër të

fundëm përmasash dhe në qoftë se për çdo ( )- varg ( ) gjendet vargu i

diametrave ( ) për çdo në T, i tillë që:

|∑ ( ) ( ) ( )∫

|

për çdo M-ndarje *( ) + të T, - e imët, atëherë do të kemi që:

∑ |( ( ) ( ) ( )∫

|

për një M-sistem {( ) } të çfarëdoshëm - të imët. (c është një

konstante e cila varet nga përmasa e laticës të Banahut).

Vërtetim

Duket qartë se nuk bëhet ndonjë kufizim në qoftë se supozojmë se dimX =1. Në rastin

e dimensioneve më të mëdha do të bëhet diskutimi sipas çdo komponenti. Le të

supozojmë atëherë se . Shënojmë me bashkësinë e indekseve për të cilët:

( ) ( ) ( )∫

Dhe bashkësinë e indekseve për të cilët :

( ) ( ) ( )∫

Në sajë të lemës së Saks-Henstock do të kemi:

∑ ( ( ) ( ) ( )∫ )

|∑ ( ( ) ( ) ( )∫ )

|

dhe

∑ ( ( ) ( ) ( ) ∫ )

=|∑ ( ( ) ( ) ( )∫ )

|

Rrjedh se:

∑ | ( ) ( ) ( )∫

| =

∑ ( ( ) ( ) ( ) ∫ )

∑ ( ( ) ( ) ( ) ∫ )

.

Ky rrjedhim mund të formulohet dhe të vërtetohet në të njëjtën mënyrë edhe për

integralin ( ).

27

Pohim 2.3.9

Le të jetë një funksion i përcaktuar në një interval të kufizuar ℝ, i cili

mund të jetë i hapur, gjysmë i hapur etj. Supozojmë se për ndonjë nëninterval

integrali ( ) ∫

ekziston. Kështu, për çdo ( )-varg ( ) gjendet vargu i

funksioneve : për çdo , i tillë që, nëse {( ) } është një

M-ndarje -e imët e dhe për atëherë, ka vend mosbarazimi:

|∑ , ( ) ( ) ( )∫ -

| .

Vërtetim

Supozojmë se

është një varg intervalesh të mbyllur të cilët plotësojnë kushtin ⋃ Në qoftë

se dhe t nuk është skaj i intervalit , atëherë gjendet një indeks ( ) që pika i përkas brendësisë së intervalit ( ). Në qoftë se është skaji i intervalit J,

shënojmë ( ) të tillë që, t ( ). Një indeks i tillë ekziston sepse ne kemi

⋃ Nga kushtet për çdo integrali ∫

ekziston. Kjo do të thotë

që në sajë të përkufizimit të ( )- integralit për çdo dhe për çdo ( )- varg ( ) , gjendet vargu i diametrave - , për çdo nga , i tillë që,

për çdo M -ndarje ( ) - të imët të intervalit të kemi:

|∑ ( ) ( ) ∫

|

.

Për zgjedhim, për çdo ( ) të tillë që:

( ) ( )( )

Dhe - ( ) ( ), ( ) për çdo . Rrjedh se për një M-ndarje

{( ) } -të imët për çdo , do të kemi:

|∑ , ( ) ( ) ( ) ∫ -

|

∑ |∑ , ( ) ( ) ( ) ∫ -

( ) | ∑

meqenëse ( ) , atëherë . ( )/ për çdo dhe mosbarazimi:

|∑ , ( ) ( ) ( ) ( )∫ ( ) -

|

është rrjedhim i menjëhershëm nga lema 2.3.6. Saks-Henstock-ut e zbatuar në

intervalin .

Teoremë 2.3.10 (Hake )

Le të jetë , - ℝ, një interval kompakt (segment) dhe funksioni , -

, ku X është një hapësirë Banah-laticë, për të cilën ekziston (oH) ∫

për çdo c

që . Në qoftëse ekziston limiti:

28

( )- ( ) ∫

atëherë ekziston edhe integrali ( ) ∫

dhe ka vend barazimi:

( ) ∫

Vërtetim

Le të jetë ( ) një ( )-varg në X dhe një varg korrespondues ( ) diametrash, i

tillë që për çdo n, dhe për një H- ndarje Π *( ) +, - të imët nga

kushti kemi:

|( ) ∫

|

për çdo , , ku ( ).

Funksioni f, në gjysmëintervalin , ,, plotëson kushtet e teoremës 2.3.9, nga ku

ekziston vargu ( ) ,

, , - , i tillë që:

janë elemente të intervalit , , për të cilët:

[ ] ] ( ) (

)[.

Për atëherë:

|∑ , ( ) ([ ]) ( ) ∫ ( )

|

.

Shënojmë:

( ) (

( | ( )|))

dhe

( ) (

(

)( ))

për , ,.

Shohim që nga zgjedhja e diametrave ( ( )) për një për H- ndarje

*( , -) +, - të imët të tillë që:

do të kemi dhe gjithashtu , (Vemë në dukje se kjo zgjedhje nuk

ndodh në rastin e M-ndarjes) .

Duke përdorur faktet e paraqitura më sipër do të kemi që:

|∑ ( ) ([ ]) | |∑ ( )

([ ]) ( ) ∫

|+

|( )∫

| | ( ) (, -)|

| ( )| (, -)

| ( )|

( | ( )|))

29

për një H- ndarje *( , -) +, ( ) -të imët të intervalit J. Kjo

tregon ekzistencën e integralit ( ) ∫

ashtu sikurse vlera e tij është A

( ) ∫

Një teoremë analoge ka vend edhe në rastin kur kemi limitin e djathtë në skajin e

majtë të gjysmëintervalit të - -:

Teoremë 2.3.11 (Hake )

Le të jetë , - ℝ, një interval kompakt (segment) dhe funksioni , -

, ku X është hapësirë Banah -laticë për të cilën integrali i renditur ( ) ∫

ekziston për çdo që . Supozojmë se limiti:

(

( ) ∫

,

atëherë ekziston edhe integrali ( ) ∫

dhe ka vend barazimi:

( ) ∫

.

Kujtojmë që një laticë Banah X është një L-hapësirë, nëse norma e saj ‖ ‖ vërteton

barazimin:

për të gjithë elementet pozitivë x, y në X , -

Përkufizim 2.3.12 [ 37]

Një funksion quhet ( ) -i integrueshëm nëse ekziston një funksion aditiv

F: P( ) R i tillë që për çdo ekziston një diametër , i tillë që ka vend

mosbarazimi

∑ ‖ ( ) ( ) ( )‖ ( )

për çdo M-ndarje *( ) + -të imtët të intervalit T.

Teoremë 2.3.13

Le të jetë ( )-i integrueshëm. Supozojmë që është një -hapësirë.

Atëherë është Bohner i integrueshëm.

Vërtetim

Për të vërtetuar integrueshmërinë Bohner, do të mjaftonte të tregojmë se është ( ) –i integrueshëm fortësisht.

Në të vërtetë, nga [37], ( ) –integrueshmëria sjell integrueshmërinë Bohner. Ne do

të fillojmë duke provuar M-integrueshmërinë e . Në përputhje me teoremën

2.3.4, dhe me të njëjtat kuptime të simboleve, ekziston një ( )-varg ( ) dhe një

varg korrespondues ( ) i diametrave, i tillë që, për çdo dhe për çdo M-ndarje ,

-e imët rrjedh se kemi:

∑ | ( ) ( ) ( ) ( )|

30

Rrjedh se norma e është në përputhje me renditjen, dhe . Kështu

që zgjedhim dhe ndonjë numër të plotë , i tillë që, . Atëherë , nëse

është M-ndarje çfarëdo -e imët, kemi që:

‖∑ | ( ) ( ) ( ) ( )| ‖ ‖ ‖

Sipas ( ). Në sajë të natyrës së veçantë të normës ‖ ‖ ne vërtetojmë se:

∑ ‖| ( ) ( ) ( ) ( )|‖

Prej nga rrjedh se:

∑ |‖ ( )‖ ‖ ( )‖| ( ) ( )

Dhe nëse është një M-ndarje -e imët, për të dy etiketat dhe për duke

ndjekur të njëjtën procedurë si në vërtetimin e teoremës 2.3.5, provojmë se ‖ ‖

plotëson kriterin Koshi për M-integrueshmerinë dhe për këtë arsye ai është i

integrueshëm.

Nga teorema 2.3.4 (1), edhe në sajë të (2.6) është e lehtë për të nxjerrë përfundimin

(2.5). Në përfundim themi se është ( )- i integrueshëm, rrjedh gjithashtu

integrueshmëria Bohner.

Rrjedhim 2.3.14

Nga ( )-integrueshmëria në përgjithësi nuk rrjedh ( )-integrueshmëria.

Vërtetim

Në të vërtetë, në qoftë se X është çdo hapësirë Banah e pafundme, ekziston një

funksion Mekshein (normë)-i integrueshëm , - që nuk është Bohner i

integrueshëm [36 ]. Në veçanti, kur X është një L-hapësirë (e pafundme), një funksion

i tillë nuk mund të jetë ( ) –i integrueshmëm, sipas Teoremës së mësipërme

2.3.13.

Rrjedhim 2.3.15

Një M-hapësirë X ka një normë ekuivalente me një L-normë vetëm nëse ajo është me

dimensione të fundme.

Vërtetim

Në fakt në një M-hapësirë X, ( ) -integrueshmëria dhe ( ) -integrueshmëria janë

të njëjta: kështu, në qoftë se X ka një L-normë ekuivalente, atëherë nga rrjedhimi

2.3.14. rrjedh se X duhet të jetë me dimensione të fundme.

Teorema e mëposhtme mund të krahasohet me një rezultat paraprak të Drewnowski

dhe Wnuk, ([22]), ku integrali Bohner është trajtuar, për funksione që marrin vlera në

një laticë Banah X, dhe është provuar që moduli i integralit të pacaktuar Bohner i

është pikërisht integrali i pacaktuar i | | Ne mund të themi një rezultat të ngjashëm

për ( )-integrueshmërinë.

Përkufizim 2.3.16 [12]

Le të jetë një funksion çfarëdo ( )-i integrueshëm, atëherë do të quajmë

integral të pacaktuar i :

( ) ( ) ∫

31

për të gjithë bashkësitë e Borelit . Moduli i që shënohet me | |, është

përcaktuar për çdo si vijon:

| |( ) *∑ ( ) ( )+

ku ( ) është familja e të gjithë ndarjeve të fundme të .

Teoremë 2.3.17

Supozojmë që është ( )-i integrueshëm, atëherë kemi që:

| |

Vërtetim

Vërejmë se | | është gjithashtu e integrueshme në sajë të Teoremës 2.3.5. Le të jetë

( ) një ( )-varg. Nga përkufizimi i ( )- i integrueshmërisë gjendet vargu

korrespondues i diametrave ( ) - , i tillë që, për çdo -ndarje

*( ) + të T-së -të imët kanë vend mosbarazimet:

|∑ ( ) ( ) ( )∫

|

dhe

|∑ | ( )| ( ) ( )∫ | |

|

Për një -ndarje të fiksuar *( ) + ( )-të imët të intervalit T do të

marrim:

|( ) ∫

| |∑ ( ) ( ) ( ) ∫

| |∑ ( ) ( )

|

∑ | ( )| ( ) |∑ | ( )| ( )

( )∫ | |

| ( )∫ | |

( )∫ | |

.

Meqenëse kur do të fitojmë mosbarazimin e kërkuar.

( ) ∫

( ) ∫ | |

Për çdo bashkësi , kemi që: | |

Kjo gjithashtu tregon se moduli | | është i kufizuar.

Provojmë tani mosbarazimin e kundërt. Për këtë qëllim përdorim Lemën Henstock,

teoremën 2.3.4, dhe në veçanti pika (1). Le të jenë ( ) dhe ( ) ( )-varg dhe

vargu korrespondues i diametrave ( ) , të tilla që, për çdo dhe për çdo ( ) M-ndarje, -e imët kemi që:

∑ ( ) ( ) ( )∫

(2.7)

dhe ∑ ( ) ( ) ( ) ∫

(2.8)

Nga (2.7) rrjedh se:

∑ || ( )| ( ) ( )∫

(2.9)

Kështu që, duke shfrytëzuar (2.8) dhe (2.9) kemi:

32

( ) | |( ) ∑ ( ( ) |( )∫

| )

∑ ( ( ) | ( )| ( ))

∑ ( ( ) ( ) |( )∫

|)

Meqenëse ( ) është një ( )-varg, marrim që | |( ) ( ), dhe është e qartë

se | |( ) ( ). Kjo përfundon vërtetimin.

2.4. TEOREMA KONVERGJENCE

Duke u nisur nga përkufizimet e integraleve bindemi se integrimi është një proces

limit.Teoremat e konvergjencës për integralin kanë të bëjnë me mundësinë e kalimit

të limitit brenda shenjës së integralit, që formalisht, do të thotë të këmbejmë vendin e

integralit me vendin e limitit. Nga integrali klasik dimë që kjo mund të bëhet në qoftë

se procesi limit është “uniform” në lidhje me integralin. Problemi është të shqyrtojmë

një varg funksionesh ( ) ( ), dhe të fiksojmë kuptimin e

uniformitetit të procesit të integrimit në lidhje me k.

Le të fillojmë me përkufizimin e mëposhtëm:

Përkufizim 2.4.1[28]

Koleksioni , i funksioneve quhet ( )-ekui-i integrueshëm (( )-ekui-i

integrueshëm) në qoftë se çdo është ( )-Mekshein i integrueshëm ( -

Henstock i integrueshëm ), dhe për çdo -varg ( ) gjenden për çdo diametrat

( ) të tillë që, për ndonjë ka vend mosbarazimi :

|∑ ( ) ( ) ( ) ∫

|

(|∑ ( ) ( ) ( )∫

| )

ku ndarja *( ) + është një M-ndarje (K-ndarje) -e imët e intervalit T.

Teoremë 2.4.2 [28]

Le të jetë * ) një varg (( )-ekui-i integrueshëm) i tillë që:

( )

( ) ( )

Atëherë, funksioni është Mekshein i integrueshëm dhe ka vend barazimi:

( )

( )∫ ( ) ∫

.

Vërtetim

Le të jetë ( ) vargu i diametrave që përmenden në përkufizimin e ekui-

integrueshmërisë të vargut të funksioneve ( ) që i korrespondon -vargut ( ) . Për

ndonjë do të kemi:

|∑ ( ) ( ) ( )∫

| (2.10)

Për çdo n dhe për çdo M-ndarje *( ) + -të imët të intervalit të T.

33

Në qoftë se ndarja *( ) + është fiksuar atëherë konvergjenca pikësore

na jep:

( )

∑ ( ) ( ) ∑ ( )

( ).

Zgjedhim një të tillë që për ka vend mosbarazimi:

|∑ ( ) ( ) ∑ ( )

( )|

ku nga marrim

|∑ ( ) ( ) ( ) ∫

|

|∑ , ( ) ( ) ( ) ( )-|

|∑ , ( ) ( ) ( )∫ -

|

për . Kjo na jep që për mosbarazimin:

|( ) ∫ ( )∫

-|

duke marrë një mosbarazim të ngjashëm me ( ) për .

Nga ana tjetër vargu ( ) ∫ , me elemente nga është një varg Bolcano-

Koshi. Meqenëse X është ( )-i plotë do të kemi që ekziston limiti:

( )

( )∫ . (2.11)

Të marrim përsëri ( )-vargun ( ) sipas përkufizimit të ekui-integrueshmërisë,

gjendet vargu ( ) i diametrave që të kenë vend mosbarazimi ( ) për çdo dhe për çdo -ndarje *( ) +, e cila është një ndarje -e imët e

intervalit të T. Në sajë të barazimit ( ) zgjedhim të tillë që:

|( ) ∫ |

për të gjithë Supozojmë tani se *( ) + është një -ndarje -e

imët për çdo e intervalit T. Përderisa vargu i funksioneve konvergjon tek në

mënyrë pikësore, gjendet një N e tillë që:

|∑ ( )

( ) ∑ ( )

( )| .

Kemi që:

|∑ ( ) ( ) | |∑ ( )

( ) ∑

( ) ( )|

|∑ ( )

( ) ( )∫

| |( ) ∫ |

Kjo sjell që është ( )-Mekshein i integrueshëm në T dhe

( )

( )∫ ( )∫

Për rastin e integralit ( )-Henstock vërtetimi është i ngjashëm.

Pohim 2.4.3 [28]

Një funksion është ( )- Mekshein i integrueshëm, atëherë dhe vetëm

atëherë kur bashkësia * ( ) ( )+ është ( )-ekui-i integrueshëm.

34

Vërtetim

Kondita e nevojshme. Meqenëse është ( )- Mekshein i integrueshëm, për çdo ( )- varg ( ) gjendet vargu korrespondues ( ) i diametrave, i tillë që për çdo n,

( ( ) - , në T do të kemi që:

|∑ ( ) ( ) ( ) ∫

|

për çdo -ndarje *( ) + - e imët për çdo e T.

Le të jetë funksioni i çfarëdoshëm do të kemi:

∑ ( ( )) ( ) (( )∫ )

| | |∑ ( ) ( ) ( ) ∫

| | |

Meqenëse është i fiksuar, po ashtu dhe vlera absolute në është i fiksuar, kemi që

ky mosbarazim tregon se koleksioni * ( ) ( )+ është ( ) -Mekshein –ekui-i

integrueshëm .

Kondita e mjaftueshme. Nga ana tjetër, në qoftë se koleksioni * ( ) ( )+ është ( )-ekui-i integrueshëm, atëherë për çdo ( )- varg ( ) gjendet vargu i

diametrave ( ) , ku : - , në i tillë që mosbarazimi:

∑ ( ( )) ( ) ( ) ∫ ( )

,

ka vend për çdo -ndarje * + - të imët të intervalit T dhe ( ). Në

qoftë se *( )+ dhe {( )} janë dy -ndarje -të imët të intervalit T në sajë të

faktit që kur është ( )-e plotë rrjedh se dhe është ( )-e plotë, do të kemi:

| (∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( )) |

∑ ( ( )) ( ) ∑ . ( )/ ( ) (2.12)

për çdo ( ). Mosbarazimi është ai Bolcano –Koshi në gjë që tregon se:

|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) | (2.13)

Duke patur parasysh se ( ) paraqet konditën -Bolcano-Koshi të dobët, del se ka

vend ( ) që jep konditën ( )-Bolcano Koshi në , e cila duke qenë e plotë na

tregon se funksioni është ( )-Mekshein i integrueshëm.

Duke u fokusuar tek koncepti i dhënë i ekui integrueshmërisë, të një familje

funksionesh të dhënë, nga përkufizimi ( ), vëmë në dukje rezultatin e

mëposhtëm, i cili paraqet një tip kondite Bolcano-Koshi për ekui-integrueshmërinë e

një familje funksionesh .

Teoremë 2.4.4 [28]

Një koleksion i funksioneve është ( )-ekui-i integrueshëm atëherë dhe

vetëm atëherë kur për çdo ( )-varg ( ) gjendet një varg diametrash ( ) , ku :

T - ,, i tillë që ka vend mosbarazimi:

|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( )

|

35

për çdo dhe për M-ndarje *( ) + , {( ) } - të imëta të

intervalit T, dhe për çdo .

Vërtetim

Në qoftë se është një koleksion ekui-integrueshëm, atëherë kondita duket qartë se

plotësohet për diametra ( ) që i korrespondojnë të themi

, ku është ( ) -

vargu që i përgjigjet përkufizimi 2.4.1.

Nga ana tjetër, nëse konditat e teoremës plotësohen, atëherë çdo funksion i veçantë

është -i integrueshëm, për të njëjtin varg ( ) -korrespondues të vargut të

dhënë ( ) kjo provon teoremën.

Mund të formulohet në lidhje me ekui-integrueshmërinë një lemë që na kujton lemën

(Saks –Henstock) të vërtetuar më parë .

Lemë 2.4.5 [28]

Le të jetë dhënë koleksioni i funksioneve - ekui- të integrueshëm. Për

një ( )-varg ( ) gjendet vargu korrespondues i diametrave ( ) në T, për të cilët

ka vend mosbarazimi:

|∑ ( ) ( ) ( )∫

|

për çdo M-ndarje *( ) + -e imët të intervalit T . Atëherë, në qoftë se

{( ) } është një M-ndarje -e imët do të kemi:

|∑ . ( ) ( ) ( )∫

/ | për çdo .

Vërtetimi përsërit fjalë për fjalë vërtetimin e lemës *Saks-Henstock+ ndaj nuk po e

bëjmë.

Shënim Për të thjeshtuar shkrimin e disa formulave më poshtë do të përdoren

shënimet *( )+ për një M-sistem në vend të shënimit *( ) + i cili

specifikon numrin r të elementeve të një M-sistemi. Për një funksion dhe

për një M-sistem *( )+ do të shkruajmë ∑ ( ) ( ) në vend të:

∑ ( ) ( ) .

Lemë 2.4.6 [28]

Supozojmë se X është L-hapësirë dhe , janë funksione të

integrueshëm të Mekshein-it sipas renditjes dhe të tillë që:

1. ( ) ( ) për çdo t 2. Bashkësia * + formon një varg funksionesh ekui - ( ) -të

integrueshëm,

atëherë për çdo varg ( ) zbritës konvergjent në zero gjendet një e tillë që,

nëse F është bashkësi e mbyllur, G e hapur, dhe ( ) gjendet një

varg diametrash : - , që:

( ( )) për ,

( ( )) për .

36

Vërtetim

Shënojmë ( ) ( ) ∫ për një interval (primitive e ) dhe shënojmë

. Përderisa funksionet janë oM- të integrueshëm, në sajë të lemës Saksit -

Henstock (2.4.5) gjendet një varg diametrash në ku:

|∑ , ( ) ( ) Φ ( )]|

(2.14)

për çdo M – system {( , )} të imët dhe .

Supozojmë se *( )+ është një M copëtim -i imët i T-së. Le të jetë dhe

për çdo p, në sajë të faktit që X është L- hapësirë, atëherë:

| ( ) ( )|

për dhe . Shënojmë:

* ( )| | ( )|+

Kemi që:

| ( )|

për çdo k dhe p. Supozojmë se > 0 plotëson mosbarazimin:

Kemi që:

( ) ( ),

Përderisa bashkësitë G dhe T \ F janë të hapura, diametri mund të zgjidhet i tillë

që: ( ( )) për , dhe ( ( )) për .

Teoremë 2.4.7

Në kushtet e lemës së mësipërme, për çdo varg ( ) zbritës konvergjent në zero dhe

për M-copëtimet * )+ *( )+ - të imët që gëzojnë vetinë;

⋃ ⋃

ka vend:

| ∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( )|

për çdo k .

Vërtetim

Përderisa *( )+ është copëtim i T-së do të kemi që ⋃ dhe mund të

shkruajmë:

∑ ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ∑ ∑ ( ) ( )

⋃ ) ∑ ∑ ( ) ( )

Ose njëlloj

37

∑

( ) ( ) ∑∑∑

( ) ( ) ∑ ∑ ( )

( )

⋃ ) ∑ ∑ ( ) ( )

M- sistemet :

{( ) +

{( ) +

janë -të imët dhe nga mosbarazimi (14) i lemës së mësipërme do të kemi:

| ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) Φ ( )|

| ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) Φ ( )| .

Rrjedh se:

|∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ( ) ( )|

në mënyrë të ngjashme kemi:

| ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ( ) ( )|

.

(2.15)

Rrjedh se:

|∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ( ) ( )|

.

Përderisa *( )+ është një M -system - i imët , ku duke patur parasysh

vetitë e diametrave të lemës (2.4.6) dhe nga supozimi që:

⋃ ⋃

do të kemi:

{( ⋃ ) } *( ) +

{( ⋃ ) } *( ) +

janë - të imët. Në sajë të mosbarazimit (2.14) do të marrim:

|∑ , ( ) ( ⋃ ) Φ ( ⋃ )-

∑ , ( ) ( ) Φ ( )-|

Njëlloj provojmë se:

| ∑ , ( ) ( ⋃ ) Φ ( ⋃ )-

∑ , ( ) ( ) ( )-| .

Nga mosbarazimet e mësipërme kemi:

38

|∑ , ( ) ( ⋃ ) Φ ( )]|

rrjedh se:

| ∑ , ( ) ( ⋃ ) ∑ , ( ) ( )-|

(2.16)

duke vepruar njëlloj si më sipër kemi:

| ∑ , ( ) ( ⋃ ) ∑ ,

( ) ( )-| (2.17)

Në sajë të mosbarazimeve (2.15), (2.16) dhe (2.17) marrim:

|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( )|

Pohim 2.4.8

Në qoftë se funksioni është ( )-i integrueshëm, atëherë për çdo varg ( ) gjendet një e tillë që:

(a) nëse F është bashkësi e mbyllur, G e hapur, dhe ( ) , gjendet

një varg diametrash : - , të tillë që:

( ( )) për ,

( ( )) për .

(b) dhe për M-ndarjet *( )+ *( )+ -të imëta që gëzojnë vetinë:

⋃ ⋃

ka vend mosbarazimi:

|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( )|

për çdo .

Vërtetim

Pohimi rrjedh menjëherë nga pohimet e mësipërme 2.4.6 dhe 2.4.7, në qoftë se

zëvendësojmë për çdo .

Teoremë 2.4.9

Në qoftë se funksioni është ( ) -i integrueshëm atëherë edhe është

( )-i integrueshëm për çdo bashkësi të matshme ( është ( ) -i

integrueshëm në E).

Vërtetim

Le të jetë ( )-vargu ( ) dhe numri real 0 korrespondues i tij si në pohimin

2.4.8. Supozojmë që është e matshme. Atëherë gjendet një bashkësi F e

mbyllur në T dhe G e hapur, , të tilla që ku ( ) .

Supozojmë se vargu i diametrave ( ) : - , është i dhënë si në

pohimin 2.4.8, dhe M-ndarjet *( )+ *( )+ janë -të imëta në F. Ka vend

përfshirja :

në qoftë se atëherë dhe (⋃ ) . (Nga vetitë e diametrave

do të kemi që në qoftë se d.m.th ⋃ . Në

qoftë se atëherë dhe ⋃ , pra ⋃ ).

39

Njëlloj:

Në qoftë se atëherë dhe (⋃ ) .

Në sajë të pohimit 2.4.8. do të kemi:

|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( )|

Dhe për më tepër

|∑ ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ( )|

Kjo tregon se funksioni është ( )-i integrueshëm dhe ka vend:

( )∫ ( )∫

Pohim 2.4.10 [21]

Le të jetë , një varg bashkësish të matshme dy nga dy jo prerëse dhe

, . Supozojmë se seria ∑ ( ) është konvergjente e pakushtëzuar

në X dhe se :

( ) ∑

( ), .

Atëherë vargu : T , është ( )-ekui-i integrueshëm.

Teoremë 2.4.11

Le të jetë , një varg bashkësish të matshme dy nga dy jo prerëse dhe

, . Supozojmë se seria ∑ ( ) është konvergjente e pakushtëzuar

në X. Atëherë funksioni i përcaktuar nga barazimi:

( ) ∑

( ),

është ( )-i integrueshëm dhe ( ) ∫

=∑ ( ) .

Vërtetim

Nga pohimi 2.4.10 vargu ( ) ∑

( ), është ( )-ekui-i

integrueshëm dhe duket qartë

(o)- ( ) ( ) për Atëherë në sajë të teoremës së konvergjencës

2.4.2 është ( )-i integrueshëm dhe ka vend barazimi:

( )∫

= (o)- ( )∫ (o)- ∑ ( )

∑ ( )

Teoremë 2.4.12 [37]

Supozojmë se vargu : T , është ( )-i integrueshëm i tillë që:

1. (o)- ( ) ( ) për ,

2. Bashkësia * + është ( )-ekui-i integrueshme.

Atëherë vargu , është ( )-ekui-i integrueshëm për çdo bashkësi të

matshme E

40

Përkufizim 2.4.13

Një funksion quhet ( )- fortësisht i integrueshëm nëse ekziston një

funksion aditiv F: P( ) R, i tillë që, për çdo ( )-varg ( ) gjendet vargu i

diametrave ( ) , : - , për të cilët, ka vend mosbarazimi:

∑ | ( ) ( ) ( )|

për M-ndarje (K-ndarje) *( ) + -të imtët të intervalit T.

Shënojmë me ( ) bashkësinë e funksioneve të cilët janë ( ) -fortësisht

të integrueshëm në T.

2.5 VETIA DHE

Përkufizim 2.5.1

Funksioni ka vetinë ( ) në qoftë se për çdo ( )-varg ( ) gjendet vargu i diametrave ( ) , : - , ,i tillë që, ka vend mosbarazimi:

∑ ∑ | ( ) ( |

( )

për M-ndarje (K-ndarje) *( ) + dhe {( ) } -të imëta të

intervalit T.

Vërtetohet lehtësisht pohimi:

Pohim 2.5.2

Në qoftë se funksioni gëzon vetinë atëherë ai gëzon edhe vetinë

Duke u mbështetur tek përkufizimi 2.5.1 vërtetohet pohimi:

Teoremë 2.5.3

Në qoftë se funksioni gëzon vetinë ( ) atëherë është ( )-i

integrueshëm (( )-i integrueshëm).

Vërtetim.

Në qoftë se *( ) + dhe {( ) } janë M-ndarje (K-ndarje)

-të imëta të intervalit do të kemi:

( ) ∑ ( )

dhe

( ) ∑ ( )

Shqyrtojmë:

|∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( )

|

|∑ ∑ ( )

( ) ∑ ∑ ( )

( )|

|∑ ∑ ( ( ) ( ))

( )|

∑ ∑ | ( ) ( )|

( ) .

41

Në bazë të kriterit Bolcano-Koshi dhe plotshmërisë së X del se ekziston ( )-

integrali (( )- i integrali).

Rrjedhim 2.5.4

Në qoftë se funksioni ka vetinë , atëherë funksioni | | shtë

( )-i integrueshëm.

Në qoftë se funksioni ka vetinë , atëherë funksioni | | shtë

( )-i integrueshëm.

Vërtetim

Përderisa

|| ( )| | ( )|| | ( ) ( )|

për ndonj , themi se funksioni | | ka vetinë (ose ).

Pohimi 2.5,3 sjell këtë integrueshmëri (ose ).

Lemë 2.5.5

Në qoftë se ka vetinë ( ) atëherë ai është ( )-fortësisht i

integrueshëm (vetinë ) ( ose ).

Vërtetim

Vërtetimin po e bejmë vetëm për ( )-integralin. (Mund të konstatohet se është i

ngjashëm edhe për rastin ). Në qoftë se ka vetinë atëherë nga

përkufizimi 2.5.1, për çdo ( )-varg ( ) gjendet vargu i diametrave ( ) , : - ,, ku ka vend mosbarazimi:

∑∑| ( ) ( )|

( )

për dy M-ndarjet *( ) + dhe {( ) } -të imëta për çdo n

të intervalit . Supozojmë se *( ) + është një M-ndarje e çfarëdoshme

-e imët e intervalit . Në sajë të teoremës , - kemi që ( ) që do të

thotë se është ( )- i integrueshëm në çdo interval , nga vetia

Bolcano–Koshi. Kjo do të thotë se për ( )-vargun e dhën ( ) gjendet vargu i

diametrave ( ) ( ) për t i tillë që, për ndonjë M-ndarje {. ( )

( )

/

( ) }

-të imët të intervalit do të kemi:

|∑ . ( )

/ . ( )

/ ( )

( )∫

|

|∑ , . ( )

/ . ( )

/ ( )

( )∫ - ( ) |

.

Duke ecur edhe sipas indeksit do të kemi se ndarja {. ( )

( )

/

( ) } është një M-ndarje -e imët e intervalit . Për do

të kemi:

( ) ( ) ∑ ( ) ( )

. ( )

/,

42

dhe në bazë të aditivitetit të funksionit ( primitivës së f ) ( ) )∫

, kemi që:

( ) ∑ . ( )

/ ( )

Shqyrtojmë:

∑ | ( ) ( ) ( )|

∑ |∑ ( ) . ( )

/ ∑ . ( )

/ ( )

( )

|

∑ |∑ ( ( ) ( )

. ( )

/) . ( )

/ ∑ , . ( )

/ . ( )

/ ( )

. ( )/-|

∑ |∑ ( ( ) . ( )

/) . ( )

/ ( )

|

∑ |∑ , . ( )/ .

( )/ . ( )/- ( )

|

∑ ∑ | ( ) . ( )

/| ( )

.

( )/

∑ |∑ , . ( )/ .

( )/ . ( )/- ( )

|

∑

Ky tregon se funksioni është ( )- i integrueshëm fortësisht në T.

Lemë 2.5.6

Në qoftë se funksioni është ( )-Mekshein i integrueshëm fortësisht në T,

atëherë ai gëzon vetinë .

Vërtetim

Nga përkufizimi ( )-Mekshein i integrueshëm fortësisht, për çdo -varg ( )

gjendet vargu i diametrave ( ) i tillë që:

∑ | ( ) ( ) ( )|

për çdo M-ndarje *( ) + -e imët e intervalit T, ku shtë funksioni

aditiv intervalor (Funksioni primitiv i ). Në qoftë se *( ) + dhe

{( ) } janë dy M-ndarje -të imët të intervalit T, atëherë:

∑ ∑ | ( ) ( )|

( )

43

∑ ∑ | ( ) ( ) ( ) ( )|

∑ ∑ | ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )|

∑ ∑ | ( ) ( ) ( )|

∑ ∑ | ( ) ( ) ( )|

sepse duket qartë se {( ) } dhe {( )

} janë dy M-ndarje -të imëta të intervalit . Nga del se f ka

vetinë .

Vërejtje 2.5.7

Arsyetimi i përdorur në lemën e mësipërme nuk mund të përdoret për integrimin e

fortë dhe për vetinë . Në të vërtetë integrueshmëria e fortë nuk sjell në

përgjithësi vetinë Për të treguar këtë, mjafton të studiojmë funksionin

, - ℝ për të cilin , kurse | | . Funksioni f është derivat i

funksionit F( ) .

/, - - ( ) .

Kështu, shëmbull klasik ku ( ) .

/

.

/ për - - dhe

( ) Shihet që shtë i integrueshëm, kurse | | nuk është , -.

Teoremë 2.5.8

Në qoftë se funksioni është i integrueshëm Mekshein i renditur

fortësisht në intervalin T atëherë:

|( ) ∫

| ( ) ∫ | |

Vërtetim

Në sajë të teoremës , - dhe teoremës , - kemi që shtë funksion ( )-

integrueshëm dhe për pasojë edhe | | është funksion i integrueshëm.

Le të jetë ( ) një ( )-varg. Nga përkufizimi i ( )- i integrueshmërisë gjendet

vargu korrespondues i diametrave ( ) - , i tillë që, për çdo -ndarje *( ) + të T-së -të imët kanë vend mosbarazimet:

|∑ ( ) ( ) ( )∫

|

dhe

|∑ | ( )| ( ) ( )∫ | |

|

44

Për një -ndarje të fiksuar *( ) + ( )-të imët të intervalit T do të

marrim:

|( ) ∫

| |∑ ( ) ( ) ( ) ∫

| |∑ ( ) ( )

|

∑ | ( )| ( ) |∑ | ( )| ( )

( )∫ | |

| ( )∫ | |

( ) ∫ | |

Meqenëse kur do të fitojmë mosbarazimin e kërkuar.

2.6 INTEGRUESHMËRIA NË S=[0,1]

Në këtë seksion do të studiojmë ( ) -integrueshmërinë e funksioneve , - ,

ku [0,1] është i pajisur me masën Lebesgue të zakonshme λ.Tani e tutje, do të

konsiderojmë vetëm ndarjen e Mekshein-it të përbërë nga nënbashkësitë e [0,1], dhe

jo nënbashkësitë çfarëdo të matshme. Fillojmë me një rezultat të dobishëm.

Lemë 2.6.1[20]

Le të jetë , supozojmë se ekziston një ( ) -varg ( ) ,i tillë që, për çdo

dhe dy funksione ( ) – të integrueshme dhe mund të gjendet i njëjti ( )-

varg ( ) , rregullues, i tillë që, dhe ( )∫ ( ) ∫ , atëherë është ( )- i integrueshëm.

Vërtetim:

( )∫ ( ) ( ) ( ) ( )∫

( )∫

Nga ku rrjedh se nëse janë M-ndarje çfarëdo -të imëta,

( ) ( )

Nga kriteri Koshi rrjedh integrueshmëria e f.

Në mënyrë të ngjashme si në [20], ne mund të nxjerrim një përfundim se funksionet e

kufizuar sipas renditjes janë ( ) – të integrueshëm.

Teoremë 2.6.2

Le të jetë një funksion rritës. Atëherë është ( ) -i integrueshëm .

Vërtetim

Zgjedhim një numër pozitiv , dhe bashkësinë

, për dhe

, , , për . Përcaktojmë:

∑ ( )

∑ ( )

Meqenëse dhe janë ( )-të integrueshëm dhe plotësojnë konditën në , atëherë kemi:

( )∫ ( )∫ ( ) ( )

45

Meqenëse ( ( ) ( )) është ( )- varg, si dhe duke shfrytëzuar Lemën

2.6.1 përfundojmë vërtetimin.

Rrjedhim 2.6.3

Për funksionet (e kufizuar sipas renditjes) ( )–integrueshmëria është më e

përgjithshme se Riemann-integrueshmëria.

Mjafton që në vërtetimin e mëparshëm, të zëvendësojmë ( ) me ( ) , ,

në përkufizimin e dhe ( ) me ( ) , , në përkufizimin e .

Vërejtje 2.6.4

Pasi kemi studiuar (o)-Mekshein integrueshmërinë për funksionet e përcaktuara në një

hapësirë metrikë kompakte të rregullt, dhe me vlera në një laticë Banah, me një normë

të renditur të vazhduar, si dhe duke krahasuar të dyja tipet e integraleve të tipit normë

dhe integralin e tipit të renditur, arrijmë në përfundimin: se në përgjithësi integrali i

tipit të renditur është më e fortë se ai i tipit normë dhe, ndërsa në M-hapësira të dy

integralet përputhen, në L-hapësira integrali (o)- Mekshein është në të vërtetë një

integral Bohner.

2.7 KRAHASIMI I INTEGRALIT TË RENDITUR TË MEKSHEINIT DHE

INTEGRALIT TË RENDITUR TË PETISIT

Përkufizim 2.7.1

Në qoftë se është i matshëm dobët dhe i tillë që, funksioni ( ) ℝ është ( )- i integrueshëm për çdo , atëherë themi që ka integral të

Dunfordit të renditur. Integrali i Dunfordit i renditur ( ) ∫

i funksionit f mbi

bashkësinë e matshme përcaktohet nga elementi dhe shënohet:

( ) ∫

,

ku ( ) ∫ ( )

për të gjithë .

Siç duket nga përkufizimi, integrali i renditur i Dunfordit ( ) ∫

është element i

dualit të dytë të hapësirës Banah laticë X. Kjo situatë nuk është shumë komode,

pasi ne presim që vlerat e integralit si në rastin e ( )-Bohnerit apo Mekshein-it, të

jenë në hapësirën vektoriale të renditur të Banahut X. Duke përcaktur një integral

tjetër që gëzon këtë veti duhet të kujtojmë faktin që vetë hapësira X mund të zhytet në

mënyrë të natyrshme në Në qoftë se kjo ndodh, atëherë ( ) ∫

e

do të fitojmë një integral të ri.

Përkufizim 2.7.2

Në qoftë se është ( )- i integrueshëm, ku ( ) ∫

, ose më

saktësisht ( ) ∫

( ) ku është zhytje kanonike e në për çdo

bashkësi të matshme atëherë do të quhet Petis i integrueshëm sipas renditjes

dhe ky integral:

( ) ∫

( )∫

do të quhet integral i renditur i Petisit, i funksionit në bashkësinë .

46

Mund të vërejmë se integrimi i renditur Petis i funksionit mund të

përkufizohet në mënyrë ekuivalente.

Përkufizim 2.7.3

Një funksion i matshëm dobët ku ( ) është Bohner i integrueshëm sipas

renditjes, atëherë për çdo është Petis i integrueshëm sipas renditjes, në qoftë

se për çdo bashkësi të matshme gjendet një element që plotëson

barazimin:

( ) ∫ ( )

për çdo .

Duket qartë se kur është një hapësirë refleksive ( ), atëherë integrali i

Dunfordit dhe i Petisit koincidojnë.

Pohim 2.7.4

Në qoftë se është Bohner i integrueshëm sipas renditjes, atëherë funksioni

është Petis i integrueshëm sipas renditjes dhe ka vend barazimi:

( ) ∫

( )∫

Për çdo bashkësi të matshme .

Vërtetim

Përderisa ( ), shënojmë ( ) një varg (o)- Koshi funksionesh të thjeshtë

përcaktues të funksionit. Atëherë:

( )∫

( )∫

dhe për çdo do të kemi që:

(( )∫

) . ( )∫ / (( )∫

)

= ( ) ∫ ( ) ∫

,

sepse |( )∫ ( )

| ( )∫ | ( )|

( )∫

| ( )| ‖ ‖( )∫ | |

dhe

= ( ) ∫ | |

Që nga rrjedh se ( ).

Pohim 2.7.5

Në qoftë se është Mekshein i integrueshëm sipas renditjes ku ( ) ∫

atëherë për çdo funksioni real ( ) ℝ është Mekshein i

integrueshëm sipas renditjes dhe:

( )∫ ( )

(( ) ∫

).

47

Vërtetim

Në sajë të përkufizimit të integralit Mekshein të renditur për çdo -varg ( ) gjendet

vargu i diametrave ( ) për çdo n - ,, i tillë që:

|∑ ( ) ( ) ( ) ∫

|

për çdo -ndarje *( ) + -të imët të -së. Në qoftë se atëherë

nga mosbarazimi i mësipërm do të kemi:

|∑ . ( ) ( ) ( )∫

/ |

=| ∑ . ( ) ( ) ( )∫

/ |

‖ ‖ |∑ ( ) ( ) ( )∫

| ‖ ‖ ,

për çdo -ndarje -të imët *( ) + të -së.

I njëjti pohim vlen edhe për funksionet ( ) të integrueshëm.

Vërejtje 2.7.6

Siç e dimë integrali i ( )-Mekshein-it dhe integrali i Lebegut në formën Bohner, i

funksionit ( ) ℝ koincidojnë (në qoftëse ℝ ), atëherë në pohimin e

mësipërm mund të zëvendësojmë ( )-integralin e Mekshein-it me ( )-integralin e

Bohner (Lebegut) për funksionin ( ) ℝ. Kjo sjell që funksioni do të

jetë i matshëm i dobët.

Teoremë 2.7.7

Në qoftë se funksioni është Mekshein i integrueshëm sipas renditjes, dhe

( )∫

, atëherë është gjithashtu i integrueshëm Petis sipas renditjes dhe:

( ) ∫

( )∫

( )∫

për çdo bashkësi të matshme Kjo do të thotë se ( ) ( ).

Vërtetim

Në përputhje me vërejtjen e mësipërme funksioni është i matshëm i dobët.

Në sajë të teoremës , - për çdo bashkësi të matshme E T funksioni është

Mekshein i integrueshëm sipas renditjes dhe:

( )∫

( )∫

Nga pohimi i mësipërm, për çdo funksioni real ( ) është ( )-Mekshein

i integrueshëm dhe

( )∫ ( ) ( )∫

= . ∫

/

Nga përkufizimi i integralit të renditur të Petisit do të kemi që funksioni është i

integrueshëm Petis sipas renditjes.

48

Teoremë 2.7.8

Le të jetë një funksion i matshëm. Në qoftë se është Petis i integrueshëm

sipas renditjes në atëherë është Mekshein i integrueshëm sipas renditjes në .

Vërtetim

Nga pohimi matshmëria e funksionit sjell ekzistencën e një funksioni të

matshëm dhe të kufizuar dhe një funksioni të matshëm h të formës:

h( ) ∑

( ), t

ku , bashkësi të matshme dy nga dy joprerëse dhe të tillë që:

( ) ( ) ( ), t .

Meqenëse funksioni është i matshëm dhe i kufizuar ai është (oB)-i integrueshëm

[2.7.6], sepse T është supozuar një interval kompakt. Kjo sjell që është Mekshein i

integrueshëm sipas renditjes dhe nga teorema 2.4.12 dhe teorema 2.7.7 ai është Petis i

integrueshëm sipas renditjes. Përderisa është Petis i integrueshëm sipas renditjes

funksioni do të jetë Petis i integrueshëm sipas renditjes dhe seria

∑ ( ) do të konvergjojë në mënyrë të pakushtëzuar në . Nga teorema

2.4.11 funksioni h është Mekshein i integrueshëm sipas renditjes dhe nga rrjedh se

është gjithashtu Mekshein i integrueshëm sipas renditjes.

Teoremë 2.7 9

Në qoftë se është një Banah laticë separabël dhe është Petis i

integrueshëm sipas renditjes atëherë është Mekshein i integrueshëm sipas renditjes.

Vërtetim

Nga supozimi që është Petis i integrueshëm sipas renditjes del se është i matshëm

dobët. Dimë që në një hapësirë të Banahut që është separabël, një funksion është i

matshëm atëherë dhe vetëm atëherë ku është i matshëm dobët.Teorema 2.7.8 tregon

se është Mekshein i integrueshëm sipas renditjes.

Dy teoremat e mësipërme na japin rezultatin e mëposhtëm .

Rrjedhim 2.7.10

Le të jetë një hapësirë laticë e Banahut dhe separabël. Funksioni është

Petis i integrueshëm sipas renditjes atëherë dhe vetëm atëherë kur është i

integrueshëm Mekshein sipas renditjes dhe të dy integralet ( ) dhe ( )

përputhen.

Teorema 2.7.8 i jep përgjigje pyetjes në se të qenit një funksion i integrueshëm Petis

sipas renditjes është më i fortë se integrali Bohner sipas normës. Kjo rrjedh nga

vërtetimi i bëre më parë se integrali sipas renditjes i Mekshein-it është më i fortë se

integrali Bohner sipas normës në një laticë të Banahut.

49

KAPITULLI I III

INTEGRALI I MEKSHEINIT NË HAPËSIRAT RIESZ-IT

Të ndikuar nga puna e Boccuto, Riecan dhe Vrábelová ne kemi studiuar të njëjtat

probleme për një lloj tjetër të rëndësishëm të integrimit në hapësira të tilla, integralin

Mekshein. Në këtë kapitull paraqesim një mënyrë tjetër përkufizimi të integralit

Mekshein në hapësirat Riesz duke përdorur lemën shumë të rëndësishme të Fremlin-

it. Në vazhdim, kemi rindërtuar pothuajse të gjitha vetitë e integralit Mekshein të

caktuar në [27], [38], të cilët bëhen pak më të fortë, si dhe kemi arritur disa rezultate

të reja në krahasim me ato Henstock-Kurzweil. Gjithashtu kemi studiuar disa aspekte

të konvergjencës së integraleve sipas renditjes të tipit Mekshein, si dhe është treguar

në lidhje me (D)-konvergjencën se integrali i Meksheinit ka po ato veti që ka integrali

i Henstockut. Kemi vazhduar duke dhënë një version të integralit të fortë të

Mekshein-it si dhe konditën e nevojshme dhe të mjaftueshme të këtij koncepti. Me tej

provojmë Teorema themelore për llogaritjen e (DM)-integralit.

3.1 Përkufizimi dhe disa veti të tij

Le të jetë X , - ℝ. Punojmë me një familje e bashkimeve të fundme të

intervaleve të mbyllura, ku X , dhe, është e mbyllur në lidhje me prerjen dhe

bashkimin e fundëm.

Shënojmë një funksion aditiv dhe monoton , -

Aditiviteti nënkupton:

( ) ( ) ( ) ( )

ku

Me ndarje (( )-ndarje) të bashkësisë A nënkuptojmë një koleksion të fundëm *( ) ( )+, i tillë që:

( )

( ) ⋃ ( ) ,

( ) ( )

Një koleksion i fundëm *( ) ( )+ i nënbashkësive të A që plotëson

kushtet ( ) ( ) ( ) e quajmë M- ndarje e A në qoftë se etiketa , k =1,2,...n, mund

të mos bëjë pjesë në ndarjen përkatëse .

Do të thuhet se familja ndan pikët në qoftë se: për çdo A ekziston një varg (𝒜 ) i copëtimit të A, i tillë që:

( ) 𝒜 është një ndarje më i imët se 𝒜 ,

( ) Për çdo A, , ekziston dhe B 𝒜 , e tillë që: dhe

Një diametër në një bashkësi A , - është funksioni , i cili përcakton për

çdo pikë një fqinjësi ( ) e . Nëse Π *( ) ( )+ është një M-

ndarje e A dhe është një diametër në A, atëherë ne themi që Π është - e imët nëse

- ( ) ( ), për çdo * +

50

Nëse X , - ℝ , është e pajisur me një topologji të zakonshme, {familja e

të gjithë bashkimeve të fundme të intervaleve të mbyllura të X}, dhe (, -) , është masë Lebeg dhe, çdo diametër në , - mund të paraqitet me

një funksion real , - ℝ , ku ( ) ( ( ) ( ))

Le ti kthehemi përcaktimit të integralit të Meksheinit në X , - Nëse *( ) ( )+ është një M-ndarje e bashkësisë A, dhe atëherë

përcaktojmë shumën e Riemanit si më poshtë:

( ) ∑ ( ) | |

ku | | është masë Lebeg.

Vërejmë që fakti se ndan pikët, garanton ekzistencën e të paktën një M-ndarje - e

imët , e tillë që, ( ) është më së miri e përcaktuar për çdo diametër .

Përkufizim 3.1.1 [30]

Një funksion , - quhet ( )- i integrueshëm (i integrueshëm sipas

Mekshein-it) në një bashkësi A , - nëse ekziston ( ) dhe një ( )-varg

( ) i tillë që, ekziston një diametër në A i tillë:

| ( ) | ( ) ( )

ku është një M-ndarje - e imët e A e tillë që, ( ) ekziston në R. Shënojmë:

( )∫

Është e qartë ( )-integrali është integrali Henstock –Kurzweil. , -

Pohim 3.1.2 , -

Le të jenë ( ) ( ) dy ( )-vargje, atëherë ekziston një ( )-varg ( ) të

tillë që:

( ) ( )

( )

për çdo .

Lemë 3.1.3 [31]

Elementi I i përcaktuar nga përkufizimi 3.1.1 është përcaktuar në mënyrë të vetme.

Vërtetim

Le të jetë I, J elementë të tillë që, për ( )-vargje korresponduese ( ) ( ) ,

, dhe , funksione me vlera në ℝ të përcaktuara në , - të tillë që:

| ( ) | ( ) , | ( ) | ( )

,

për ndonjë M-ndarje -e imët e të , - për i=1,2. Shënojmë me = min* +,

dhe ( ) e zgjedhim sipas pohimi 3.1.2. Atëherë për ndonjë M-ndarje -e imët

të , - kemi:

| | | ( )| | ( ) | ( ) .

Duke shfrytëzuar faktin që është -shpërndarëse e dobët, rrjedh se:

51

| | ( ( ) ) .

Shënim 3.1.4

Elementi i vetëm I nga përkufizimi 3.1.1 do e shënojmë me ∫ ∫

Në mënyrë të ngjashme me [2],[8] mund të provohen pohimet:

Pohim 3.1.5

Nëse f, g janë ( )- të integrueshëm në , - dhe ℝ atëherë janë ( )-të integrueshëm në , -, dhe

∫( ) ∫ ∫ ∫ ∫

Pohim 3.1.6

Le të jenë f, g ( )-të integrueshëm në , -, f( ) ( ) për çdo t , - Atëherë:

∫ ∫

Vërtetim

Konsiderojmë së pari funksionin : , - ( )- i integrueshëm.

Shohim që h( ) për t , - Atëherë ∑ për çdo M- ndarje -e imët .

Nëse dhe : , - ℝ është funksioni korrespondues atëherë:

-∫ ∑ ∫ |∑ ∫ | ( )

për çdo M- ndarje -e imët . Meqenëse R është -shpërndarëse e dobët kemi që:

-∫ ( ( ) ) .

Rrjedh se:

∫ =∫ ∫ .

Pohim 3.1.7 [30]

Le të jetë një hapësirë e plotë dedekindiane e Riesz-it dhe solide që gëzon vetinë

-shpërndarëse të dobët. Nëse një bashkësi është e tillë që , - dhe | | dhe nëse , - është një funksion i tillë që, ( ) për çdo , -

atëherë:

( )∫

.

Vërtetim

Meqë është e plotë ajo është arkimediane. Për të provuar pohimin mjafton të

gjejmë një rregullator ( ) në që për çdo ekziston diametri , -

ℝ i tillë:

|∑ | ( )

për çdo M-ndarje - të imët. Le të jenë një varg i numërueshëm pikash

nga . Në sajë të vetisë solide, segmenti [ ( ) ( )] Shënojmë {f(t) }

dhe {f(t) }. Është e qartë se:

52

⋃ [ ( ) ( )] , -

Konsiderojmë një rinumërim të indekseve ( ) të kësaj shume. Shënojmë me

* , - ( ) , ( ) ( )-+. Meqenëse janë nënbashkësi të Q,

atëherë | | . Në sajë të supozimit që , - ℝ është e rregullt për çdo , - ekziston një rregullator ( ) , që për çdo gjendet e mbyllur dhe

e hapur në , -, e tillë që:

dhe ( ) ( )

( )

.

Përcaktojmë diametrin , - ℝ të tillë që ( ) për të gjitha , - , dhe - ( ) ( ), nqs

Për çdo M-copëtim {( ) ( )} -të imët të , - do të kemi:

0 ( ) ∑ ( )| | ∑ ∑ ( )

| |

∑ ( )∑ | |

∑ ( )| |

( )

Pohim 3.1.8 [31] (Kriteri Bolcano- Koshi)

Një funksion , - është ( )- i integrueshëm atëherë dhe vetëm atëherë

nëse plotësohet kushti: Ekziston një ( ) -varg ( ) që për çdo ekziston një

funksion , - ℝ i tillë që:

| ( ) ( )| ( )

ku janë M-ndarje -të imëta të , -

Vërtetim

Kondita e nevojshme rrjedh nga integrueshmëria dhe duke shfrytëzuar pohimin 3.

1.2.Të provojmë konditën e mjaftueshme.

Supozojmë se plotësohet kriteri Bolcano-Koshi dhe Shënojmë që:

* , - ℝ janë M-ndarje -të imëta për të cilat | ( )

( )| ( ) },

{ ( ) },

{ ( ) }

Le të jetë . Shënojmë min { } . Nëse

është –e imët rrjedh se është -e imët, prandaj ( ). Njësoj tregohet se

( ) . Rrjedh se për 𝜓 pra ka vend .

Nga ana tjetër

( ) ( ) ( )

për çdo M-ndarje -të imëta dhe .

53

Nga ky mosbarazim rrjedh se:

( )

Duke shfrytëzuar vetinë -shpërndarëse të dobët kemi që:

( ) ( ( ) ) .

Prej nga ku rrjedh se:

Përcaktojmë me I vlerën e përbashkët. Ekziston vargu i dyfishtë ( ) i tillë që,

për çdo kemi që:

( ) ( )

I ( ) ( )

| ( ) | ( )

për çdo M-ndarje -e imët e dhe .

Pohim 3.1.9 [31]

Nëse është ( )- i integrueshëm në , -, dhe nëse , - , -, atëherë është ( )- i integrueshëm dhe në , -.

Vërtetim

Meqenëse f është ( )- i integrueshëm në , -, atëherë ekziston një ( )-varg

( ) që për çdo ekziston një funksion , - ℝ i tillë që:

| ( ) ( )| ( ) ,

ku janë një M-ndarje të imëta të , - Në intervalin , - marrim të njëjtin

( )-varg ( ) dhe , - ℝ në mënyrë që , -. Le të jenë

përkatësisht M-ndarjet të imëta , -

dhe , -. Zgjedh M -ndarjet , - dhe

, -, , - dhe , - të imëta, përkatësisht të , - dhe , -. Atëherë do kemi:

, - , - , - dhe , - , - , -

ku janë M-ndarje -të imëta të , -

| ( , - ) ( , -)|

| ( , -) ( , - ) ( , -) ( , -) ( , -)

( , -)|

| ( ) ( )| ( ) ,

nga ku rrjedh se f është ( )- i integrueshëm nga kriteri Bolcano-Koshi.

Pohim 3.1.10 [30]

Le të jetë ( ) dhe , - një funksion ( )-i integrueshëm në

, - dhe , -. Atëherë është ( )- i integrueshëm dhe në , - dhe ka vend

barazimi:

54

∫

∫

∫

.

Vërtetim

Meqenëse është ( )- i integrueshëm në , - dhe , -, rrjedh se ekzistojnë

rregullatorët ( ) ( ) të tillë që, për çdo ekzistojnë funksionet

, - ℝ , - ℝ kemi që :

|∑ ∫

| ( )

, |∑

∫

| ( )

ku dhe janë M-ndarje dhe -të imëta të , -. Ndërtojmë ( ) si në

pohimin 3.1.2 dhe , - ℝ të tillë që:

( ) {

( )

( )

( )

Atëherë për çdo M-ndarje -e imët të , - ekziston M-ndarja e , - dhe M-

ndarja e , -, respektivisht dhe -të imëta, të tilla që:

∑ ∑ ∑

Kemi që:

|∑ ∫

∫

| |∑

∫

| |∑

∫

|

( ) ( )

( ) .

Pra, shohim se është ( )- i integrueshëm në , -, dhe ka vend barazimi:

∫ ∫

∫

.

Lemë 3.1.11[2]

Le të jetë R hapësirë Riesz e plotë dedekindiane, dhe . ( )

/

, një varg

rregullatorësh në R. Atëherë, për çdo a ekziston një rregullator ( )

korrespondues i tillë që:

.∑ . ( )( )

/ / ( )

për çdo k dhe .

3.2 TEOREMA KONVERGJENCE

Përkufizim 3.2.1 [1]

Një varg funksionesh ( ) me vlera në R, të përcaktuara në , - konvergjon

uniformisht tek funksioni në , - nëse ekziston ( ) -varg ( ) i tillë që, për

çdo ekziston , i tillë, për çdo dhe për çdo , - kemi:

| ( ) ( )| ( ) .

55

Teoremë 3.2.2 (Teorema e konvergjencës uniforme) [31]

Nëse ( , - ) është një varg i funksioneve ( ) -të integrueshëm që

konvergjojnë në mënyrë uniforme tek një funksion i kufizuar , - atëherë

është e ( ) - i integrueshëm dhe

( ) ∫ ∫

Vërtetim

Provojmë se për çdo ekziston i tillë:

|∑ ∑ | ( ) ( ) .

për çdo dhe për çdo M-ndarje Π e , - ku {( ) ( )} . Shohim

se:

|∑ ∑ | |∑ ( )| | ∑ ( )| |

|

∑ | ( ) ( )|| | ( )

∑ | | ( )

( ) ( )

.

Procedojmë njësoj si ( ), meqenëse është i kufizuar, për çdo dy M -ndarje

dhe të , - gjejmë :

|∑ ∑ | ( )

ku

| ( )| për , -.

Meqenëse është ( ) -i integrueshëm për çdo n në segmentin , - atëherë

ekziston një ( ) -varg . ( )

/

i tillë që, për çdo ekziston një funksion

, - ℝ në mënyrë që:

|∑ ∑ | ( )

( )

për çdo dy M -ndarje -të imëta, të , - Atëherë për të gjitha M-ndarjet

-të imëta, të , -, do të kemi që:

|∑ ∑ | ( ) (|∑ ∑

|+|∑ ∑

|

+ |∑ ∑

|) ( )

ku ( ) është rregullator, i cili ekziston nga Lema Fremlin 3.1.11. Nga kriteri

Bolcano-Koshi rrjedh se është ( ) -i integrueshëm në , -

Të provojmë se ka vend barazimi:

( ) ∫

∫

.

Fiksojmë Kemi që:

- ( ) ( ) ( ) ( )

, -

Meqenëse dhe janë të ( ) -të integrueshëm në , -, integrojmë dhe kemi

që:

56

-( ) ( ) ∫

∫

( ) ( )

,

sepse ( ) -integrali është një funksional linear monoton. Pra, ka vend barazimi i

mëposhtëm:

( ) ∫

∫

.

Teoremë 3.2.3

Le të jetë S klasa e të gjitha bashkësive të Borelit T, masa pozitive

mbledhore dhe e rregullt, E me ( ) Le të jetë r r 0 dhe g = r (e

përcaktuar nga relacioni g( ) nëse t E dhe g( ) , nëse t E). Atëherë, g

është i integrueshëm, dhe

∫

( )

Vërtetim

Nga fakti që është e rregullt në S, rrjedh se ekziston një ( ) -varg ( ) i tillë

që, për ekziston një bashkësi C kompakte dhe një bashkësi U e hapur e tillë

C E U , dhe ka vend mosbarazimi:

( ) ( ) .

Meqenëse C është kompakte dhe U e hapur, ekziston një diametër e tillë që:

(t) U t , (t) U C për çdo t , (t) C = për çdo t . Le

të jetë П një M -ndarje -e imët, *( ) ( )+, atëherë kemi:

r ( ) r ( ) ( ),

r ( ) r ( ) ( ),

dhe r ( ) ( ) r ( ) ( )

( )

(⋃ ) ∑ ( )

=∑ ( ) ( ) ∑

( ) ( ) = ∑

∑ ( ) r ( ) ( )+ ( )

,

nga ku rrjedh se për çdo M -ndarje П - e imët ka vend:

|∑ ( ) | ( ) .

Duke shfrytëzuar vetitë e produktit rrjedh se vargu i dyfishtë ( ) është një

( )-varg .

Teoremë 3.2.4

Le të jetë ( ) një varg funksionesh të integrueshme. Supozojmë se:

( ) Ekziston ( ) - varg ( ) i tillë që, për çdo ekziston një diametër λ

dhe të kemi që:

|∫ ∑ | ( )

57

Për çdo M- ndarje , - e imët dhe n ;

( ) Ekziston një funksion f: T , një funksion ( ) – i integrueshëm :T ℝ

(në lidhje me ) dhe një ( )- varg ( )

i tillë që, p ( )

( ),

| ( ) ( )| ( )( ( )

) ( )

Atëherë , f është i integrueshëm dhe

( ) ∫ ∫

Vërtetim

Përdorim kriterin Bolzano-Cauchy, nëse ( ) , λ dhe janë si në 3.2.4. ( ) Nga

3.2.4. ( ) marrim ekzistencën e një elementi i tillë që, ekziston

një diametër λ (pa humbur përgjithësimin) që për çdo M -ndarje -e imët

= {( ) } e , kemi që:

|∑ ∑ | ∑ , ( ) ( )- ( ) ( )

∑ ( )( ( )

) ( ) ( ( )

) ( )

max * ( ) + Marrim

Pa humbur përgjithësimin, ne mund të supozojmë që p( )

Zgjedhim një ( )- varg ( ) që për M- ndarjet dhe -të imëta (duke

marrë n mjaft të madhe , në varësi të ndarjeve që përfshihen në dhe ) të kemi:

|∑ ∑ | |∑ ∑

|+|∑ ∫ |

|∫ ∑

|+ |∑ ∑ | ( )

Nga mosbarazimi i mësipërm dhe kriteri Bolcano-Koshi rrjedh integrueshmëria e f .

Nga përkufizimi i integrueshmërisë rrjedh se:

|∫

∑ | ( )

për çdo M - ndarje - e imët. Nga 3.2.4.( ) gjendet një ( )- vargu ( ) i tillë

që:

|∑ ∫ | ( )

për çdo k më të madhe se (në varësi të ) dhe për çdo M-ndarje -e imët. Nga

3.2.4.( ) ekziston ( )- vargu i tillë që, si tek ( ) ne gjejmë ekzistencën e një ( )-

vargu ( ) i tillë që:

|∑ ∑ | ( )

për çdo k , ku është një element pozitiv në varësi të M -ndarjes Π. Pa humbur

përgjithësimin, mund të supozojmë që . Zgjedhim një ( ) -varg ( ) të

tillë që, (për një M- ndarje çfarëdo , -e imët) të ketë vend:

58

|∫

∫ | |∫

∑ |

+|∑ ∑ | |∑ ∫ | ( ) ,

për çdo k . Rrjedh se (D) ∫ ∫

3.3 LEMA HENSTOCK

Të provojmë një version të lemës Henstock:

Teoremë 3.3

Le të jetë g: T një funksion i integrueshëm dhe ( )- vargu ( ) i tillë që, për

çdo ekziston një diametër , në mënyrë që:

|∫

∑ | ( )

për çdo M -ndarje = {( ) } -e imët. Atëherë për çdo L L * + kemi :

|∑ ∫

∑ ( ) ( ) | ( )

Vërtetim

Nga kushti rrjedh se g është e integrueshme në çdo prandaj ekziston një ( ) -

varg ( ) që për çdo 𝜓 ekziston një diametë i tillë që:

|∑ ∫

∑ ∑ | ( ) .

ku është

- e imët . Marrim diametrin .

/ dhe

,

ku është M-ndarje -e imët për dhe bashkësinë *( ) +

(⋃

) Atëherë, është M-ndarje -e imët, rrjedh se:

|∫

–∑ | ( )

dhe

|∑ ∫

∑ ∑

| ( )

Shohim se:

|∑ ∫

∑ ( ) ( ) |

= |∫

∑ ∫

∑ ∑ ∑

|

|∫

∑ | |∑ ∑

∑ ∫

|

( ) ( )

.

|∑ ∫

∑ ( ) ( ) |- ( ) ( )

59

për çdo 𝜓 , si dhe nga fakti që R është shpërndarëse e dobët, ka vend

mosbarazimi i mëposhtëm:

|∑ ∫

∑ ( ) ( ) |- ( ) .

3.4 TEOREMA LEVI’S [2]

Teoremë 3.4 ( Teorema e konvergjencës monotone)

Le të jetë ( ) një varg funksionesh të integrueshëm të tillë që,

( ) dhe vargu .∫ /

i kufizuar. Supozojmë që:

3.4.1) Ekziston një funksion f: T , si dhe një funksion ( ) -i integrueshëm

: ℝ (në lidhje me masën ) dhe ( )- vargu ( ) i tillë që,

p( ) ( ),

| ( ) ( )| ( )( ( ) ) ( )

Si dhe supozojmë që :

3.4.2) ekziston a , a 0, dhe një diametër , i tillë që, për çdo M- ndarje , - e

imët e T, kemi:

|∑ ∫ |

Atëherë, f është integrueshëm në T, dhe ka vend barazimi:

∫

( ) ∫

3.5 TEOREMA E KONVERGJENCËS SË DOMINUAR TË LEBESGUE

Teoremë 3.5 [32]

Le të jetë ( ) një varg funksionesh të integrueshme, dhe supozojmë që κ:

T është një funksion i integrueshëm, i tillë që, | ( )| κ ( ) për të gjithë x

dhe n . Supozojmë që:

3.5.1. Ekziston një funksion f: T , një funksion ( ) -i integrueshëm : ℝ

(në lidhje me ) dhe një ( )-varg ( ) i tillë që, p( )

( ),

| ( ) ( )| ( )( ( ) ) ( )

Atëherë, f është i integrueshëm dhe

∫

( ) ∫

Vërtetim

Për të gjitha s dhe k kemi që: = | | ( ) ;

Për çdo s , kemi bashkësinë: = | | .

60

Të provojmë, që për çdo s të fiksuar, vargu ( ) plotëson hipotezën e

teoremës 3.4. Kontrollohet lehtë që vargu .∫ / shtë i përcaktuar dhe i

kufizuar në R. ( Mund të kontrollohet gjithashtu se janë të integrueshme, duke

marrë parasysh se κ është e integrueshme dhe duke proceduar si tek [2]). Zgjedhim

dhe ( ) si tek 3.5.1). Dimë që p , me p

, dhe për , kemi që:

( ) ( )( ( ) ) ( )

ku s . Atëherë ka vend mosbarazimi për çdo t

( ) ( ) ( ) ( )+ ( )

Nëse ( )-vargu ( ) dhe p është i tillë që:

0 ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ) ,

rrjedh se plotësohet kushti 3.4.1.

Shohim plotësimin e kushtit 3.4.2. Nëse κ është i integrueshëm, ekziston një

diametër dhe një element pozitiv i tillë që, për çdo ndarje -e imët

{( ) } ka vend mosbarazimi:

∑ [ ( ) ( )] ∑ ( ) ( )

( )

Nga kjo rrjedh se plotësohet kushti 3.4.2. Kështu marrim, për çdo se

është i integrueshëm dhe

∫

∫

Të provojmë që vargu ( ) plotëson hipotezat e teoremës 3.4. Së pari, provohet

lehtë se vargu .∫ / është i kufizuar. Dimë që i

tillë që, s , ka vend mosbarazimi:

| ( )| ( ) ( )( ( ) )

Pra shohim se, plotësohet 3.4.1. Në lidhje me 3.4.2 mjafton të kontrollojmë që

mosbarazimi ( ) ka vend nëse zëvendësojmë ( ) me ( ). Kështu marrim që:

( ) ∫ ∫

( )

Veprojmë në mënyrë analoge si në teoremën 3.4 për të provuar ekzistencën e ( )-

vargut ( )

m i tillë që, ekziston një diametër dhe që për

çdo M-ndarje -e imët Π {( ) } k , të kemi:

|∑ ∫ | ( )

∑ . ( )( )

/ +∑ ∑ |∫ ( )

| ( )

∑ . ( )( )

/ ∫

. ( )

(3.12)

61

Nga ( ) gjejmë ekzistencën e ( )-vargut ( )

i tillë që, ekziston një

diametër dhe që për çdo M- ndarje -fine Π, k ka vend mosbarazimi

(3.12).Duke shfrytëzuar (3.12) dhe teoremën 3.2.4 përfundojmë vërtetimin.

3.6 NJË VERSION I INTEGRALIT TË FORTË TË MEKSHEINIT

Në këtë paragraf pasi kemi përkufizuar një version të fortë të integralit të Meksheinit

dhe kemi dhënë konditën e nevojshme dhe të mjaftueshme të këtij koncepti, ne

provojmë gjithashtu Teorema themelore për llogaritjen e DM-integralit.

Përkufizim 3.6.1[30]

Një funksion , - ka vetinë D( ), në , - në qoftë se për çdo dy M -

ndarje -të imët, {( ) } dhe {( ) },

ekziston një ( ) -varg ( ) i tillë që, për çdo është i vërtetë mosbarazimi:

∑ ∑ | ( ) ( )|| |

( )

.

Lemë 3.6.2[8]

Le të jenë *( ) + dhe {( ) } dy M-ndarje -të

imëta të T atëherë, {( )

} është

një M-ndarje - e imët e I dhe ( ) ( ).

Nga dy pohimet e sipërme rrjedh se për një funksion , - integrali i

pacaktuar ( ) përcaktohet si funksion aditiv me vlera në R. Do ta shënojmë këtë

integral:

( ) ( )∫

.

Boccut & Skvortsov [8] ka provuar një version të Lemës Henstock .

Me të njëjtën metodë mund të provohet i njëjti pohim për integralin e Meksheinit .

Rrjedhim 3.6.3 [30]

Në qoftë se f është një funksion ( )- i integrueshëm në [a,b] dhe F është integrali i

pacaktuar i tij, atëherë për çdo M- ndarje -të imët, ekziston ( )-vargu ( ) i

tillë që, për çdo ka vend:

∑ | ( )| | ( )| ( )

Pohim 3.6.4 [30]

Le të jetë R një hapësirë e Riesz-it e plotë dedekindiane. Një funksion , -

është ( ) -i integrueshëm në një interval I të , -, atëherë dhe vetëm atëherë, kur

për çdo dy M-ndarje -të imëta *( ) + dhe {( )

} ekziston një ( )- ( ) , i tillë që, për çdo ka vend:

∑ ∑ | ( ) ( )|| |

( )

Vërtetim

Supozojmë se funksioni f ka vetinë -( ). Të shqyrtojmë dy ndarje M-ndarje -të

imëta *( ) + dhe {( ) } të T.

62

Do të kemi:

| | ∑ | | dhe| | ∑ | |

.

Vëmë re se:

|∑ ( ) | | ∑ ( )

| ||

|∑ ∑ ( )| |

∑ ∑ ( )| |

|

|∑ ∑ ( )

( )| || ( )

.

Meqenëse ka vetinë -( ) kemi provuar kështu kushtin e nevojshëm.

Le të provojmë të anasjelltën. Shënojmë * respektivisht

elementet e ndarjes dhe

}.

Siç mund të vihet re | ( ) ( )| ( ) ( ) ( ) ( ). I përcaktojmë

etiketat dhe të tilla që:

( ) ( ) ( ) dhe ( ) ( ) ( ).

Marrim:

| ( ) ( )| ( ) ( ).

Le të jenë {( ) } dhe {( ) } dy M-ndarje.

Në sajë të lemës Henstock dhe janë M-ndarje -të imëta të T, kjo do të

thotë në sajë të hipotezës se ekziston:

| ( ) (

)| | ( ) ( )∫

| | (

) ( )∫

|

( ) .

Nga ana tjetër:

∑ ∑ | ( ) ( )|| |

|∑ [ ( ) ( )]

| ||

=| ( ) ( )|.

Gjë që plotëson vërtetimin.

3.7 TEOREMAT THEMELORE TË NJEHËSIMIT INTEGRAL PËR (DM)-

INTEGRALIN

Përkufizim 3.7.1 [30]

Një funksion f quhet (u)- i vazhdueshëm në pikën , - nëse ekziston ( )-vargu

( ) në R që për çdo ekziston , - ℝ të tillë që:

| ( ) ( )| ( ) për çdo ( ) ( ).

Le të na jetë dhënë E dhe , -, do të themi se funksioni f është i

vazhdueshëm në E në qoftë se ai është i vazhdueshëm në çdo pikë të E.

63

Përkufizim 3.7.2 [30]

Themi që f është (u)- i diferencueshëm në E në qoftë se ekziston një funksion

i tillë që:

| ( )

| | ( )| ( )

për çdo ( ) ( ).

Funksioni quhet (u)-derivat në lidhje me f. Provohet lehtë se u-derivati i

përcaktuar në këtë mënyrë është i vetëm.

Teoremë 3.7.3 [30]

Në qoftë se R është një hapësirë Riesz-it e plotë dedekindiane, dhe f është me vlera në

R dhe (u)-i diferencueshëm në [a,b] me derivat atëherë është ( ) -i

integrueshëm në [a,b], dhe ka vend:

∫

(, -)

Vërtetim

Në sajë të përkufizimit të (u)-diferencueshmërisë së funksionit f në , - gjendet një

( )-varg ( ) në R i tillë që, për çdo ekziston , - ℝ që plotëson

konditën:

| ( )

| | ( )| ( )

për çdo ( ) ( ).

Zgjedhim një copëtim -të imët P *( ) + të , -. Nga mosbarazimi

i mësipërm do të kemi:

|∑( ) , -| |∑ ( )| | ( ) | ∑ {| | |

( )

( )|}

(∑ | | ) ( )

( ) ( )

.

Le të ndjekim një ide të dhënë nga [34] për një funksion Mekshein të integrueshme

për funksionet me vlera reale për të vërtetuar teoremën.

Teoremë 3.7.4 [30]

Le të jetë R një hapësirë e rregullt e Riesz-it, , - , dhe le të jetë F një

funksion me vlera në R i tillë që, për ndonjë bashkësi , - me | | = 0.

Funksioni f është (u)- derivat i F në , - . Atëherë funksioni f është Mekshein i

integrueshëm në [a,b] dhe ka vend barazimi:

( )∫

(, -)

Vërtetim

Përderisa integrueshmëria Mekshein, në sajë të pohimit 3.1.9, nuk varet nga vlerat e

funksionit f në një bashkësi me masë zero mund të supozojmë ( ) në Q.

Shënojmë , - . Meqenëse f është (u)-derivat i F në , atëherë gjendet

një ( )-varg ( ) në R i tillë që, për çdo ekziston një diametër , -

ℝ , dhe nëse *( ) + është një copëtim i I-së, atëherë kemi:

||| | ( ) (| )| | | ( )

për të gjithë i .

64

Zgjedhim disa intervale nga Q, të tillë ∑ | | , ku I1,I2,…In janë intervale

jombivënës. Ndërkaq nga vazhdueshmëria e F ekziston një ( )-varg ( ) në R i

tillë që, për çdo ekziston , - ℝ i tillë që:

*| (, -) |+ ( ) .

Vërejmë se:

∑ | ( )|

( )

për . Kjo do të thotë se gjendet një diametër i

tillë që:

∑ | ( )| ( ) ( ) .

Shënojmë ( ) * ( ) ( )+. Atëherë për çdo copëtim -të imët

*( ) + të , -

Kemi që:

|[∑ | | ( ) ] (, -)| |∑ *| | ( ) ( )+

|

|∑ *| | ( ) ( )+ | ∑ | ( )| ( )

( )

Gjë që provon pohimin.

65

KAPITULLI I KATËRT

APLIKACIONET E INTEGRALIT TË FORTË TË MEKSHEIN-IT PËR

SERITË WALSH

Në këtë kapitull një vend i është kushtuar zbatimeve të integralit në lidhje me vlerën e

ndërmjetme, si dhe studimit të serive të Walsh-it. Rezultatet e marra tregojnë

përparësitë e këtij integrimi në hapësirat e renditura. Për këtë qëllim kemi marrë në

shqyrtim seri Walsh me koeficientë nga një hapësirë Riesz dhe kemi dhënë një

aplikim të këtij integrimi. Koeficientët e një serie konvergjente Walsh mund t‟i

përcaktojmë prej shumës së saj duke përdorur formulat Furier. Ne mund të përdorimin

integralin Mekshein për funksionet me vlera në hapësirat Riesz, duke shfrytëzuar σ-

shpërndarjen e dobët në l-grup.

Teoremë 4.1.1 [30]

Le të jetë R një hapësirë Riesz-i e plotë dedekindiane e rregullt. Nëse f 0 është

( )-i integrueshëm në një bashkësi solide E [a,b], atëherë ekzistojnë funksionet

g dhe h ( )- të integrueshëm që si dhe ekziston një rrjetë e drejtuar

(p) për të cilën ka vend:

( )∫ | |

Vërtetim

Ndërtojmë funksionin e thjeshtë:

( ) {

( )

ku dhe u është një element unitar nga R. Do të kemi që:

| ( ) ( )|

( )

Shohim që vargu është ( )-konvergjent tek ( ). Nëse e shkruajmë në trajtën

( ) ∑

do të gjenden , si dhe elementet pozitivë që f ( )

∑ për çdo . Për më tepër, meqë f është i integrueshëm:

∑ | | ∫

( )

Meqenëse janë të matshme sipas Lebegut, gjenden bashkësitë kompakte dhe

bashkësitë e hapura nënbashkësi të , - për të cilat dhe

ekziston > 0 i tillë që:

| |

Nga mosbarazimi (4.1) marrim që:

| |

Gjithashtu konvergjenca e serisë (4.2) na jep mosbarazimin:

66

∑ | |

Le të përcaktojmë tani funksionet:

∑

dhe ∑

Duket qartë se kanë vend mosbarazimet f h

dhe ∑

∑

∑

∑

Duke shfrytëzuar pohimin 3.1.7 përfundojmë vërtetimin e pohimit.

Nga Pohimi 1.3.5 lidhur me σ-shpërndarjen e dobët në l-grup ne mund të

formulojmë:

Lemë 4.1.2[33]

Le të jetë ( ) një varg (D)-konvergjent në zero në një hapësirë Riesz të plotë

dedekindiane R. Vargu ( ) i mesatares aritmetike të tij është gjithashtu (D)-

konvergjent tek zero.

Vërtetim

Ne kemi, për çdo n Natyral numër, n | | , ku ( ) është një (D)-varg i

elementeve të R. Për dhe ( ) marrim që:

| | | (∑ )| (∑ | |

) .∑

( ) ∑

( ) /

( ) /k ( ( ) ) ( ) ( ) .

Pra, ne kemi | | , ku ( ) është një ( )-varg i përcaktuar nga

k ( ) për ( ) . (Vërejmë se ( ) është një (D)-varg,

sepse R e kemi supozuar të jetë e plotë dedekindiane dhe për këtë arsye është

arkimediane).

Po paraqesim funksionet Walsh duke përdorur zgjerimet diadike të numrave natyrore,

si dhe ato të numrit real të intervalit gjysmë të hapur , ). Le të shënojmë ∑

me ose1, dhe ∑

me .

Për numrin racional x diadik ne përdorim vetëm zgjerime të fundme. Marrim që:

( ) ( )∑ , )

Vërejmë që për funksionet janë konstante në çdo interval ku:

0

,

/, k ,

∑ është shuma e pjesshme e një serie Walsh:

∑ , (4.3)

me koeficientët që i përkasin një hapësire Riesz R të plotë dedekindiane, e cila

është σ-shpërndarëse e dobët. Shumat janë konstante për në çdo interval

. Në kontekstin që R është -shpërndarëse e dobët, e konsiderojmë ( )-

convergjencën (convergjencë e renditur) si ( )-konvergjencë në një bashkësi.

67

Përkufizim 4.1.3 [30]

Le të jetë çdo bashkësi joboshe, R hapësirë Riesz (arbitrare) dedekindiane e plotë

dhe D . Themi se vargu i funksioneve me vlera në R( ( )) , 𝛬 , (u )-

konvergjon tek funksioni S: nëse ekziston një (D)- varg ( ) që

, ekzistojnë V(x) D të tillë që ( ) ka vend:

| ( ) ( )| ( ) dhe 𝛬.

Hapi vendimtar i zgjidhjes së problemit të koeficientëve për serinë Walsh, është të

vëzhgojmë se sa integrale ( ) ∫

përkufizon një funksion interval shtues ψ

në familjen D.

Lemë 4.1.4 [8]

Ka vend

𝜓( ) 𝜓(

) 𝜓( ).

ku

Vëmë re, nëse atëherë:

Atëherë funksioni , për është konstant në çdo dhe, nëse

atëherë: .

/ ( ).

Rrjedh se, për kemi:

(

) (

) . ( ) ( )/

Atëherë:

𝜓( ) 𝜓(

) ∫ ( )

∫ ( )

∫ ( ( ) . ( ) ( )/)

∫ ( )

∫ . ( ) ( )/

∫ ( .

/ .

/)

∫ ( )

𝜓( )

Nëse shuma është konstante në çdo kemi që:

( ) .

/

| |

, kur ( )

Nga kjo formulë rrjedh se, në qoftë se seria Walsh është (u)-konvergjente në

bashkësinë e pikave dyadik-iracionale, atëherë funksioni ψ është (u)-i diferencueshëm

në të njëjtën bashkësi.

68

Pohim 4.1.5 [33]

Në qoftë se koeficientët e një serie Walsh formojnë një (D)-varg konvergjent në zero,

atëherë funksioni ψ korrespondues është (D)-i vazhdueshëm në çdo pikë të [0,1].

Vërtetim

Njësoj si më sipër, kemi që :

|𝜓( )| |∫

| |

| ∑ | | 1/ ∑ | |

.

Shprehja e fundit është (D)-konvergjente në zero kur k → + nga lema 4.1.2.

Teorema e mëposhtme mbi mbulimin e koeficientëve të një seri Walsh nga shuma e

saj, shtrihet në rastin e integrimit Mekshein-it.

Teoremë 4.1.6 [30]

Nëse R është një hapësirë e rregullt Riesz dhe seria Walsh (4.3) është ( )-konvergjente te një funksion f mbi një bashkësi , , , ku E është nënbashkësi e

, ,, me ( ) atëherë f është Mekshein i integrueshëm mbi , - dhe seria ( ) është seri Furier të f, në kuptimin e integralit të Mekshein-it.

Në kontekstin tonë, duke qenë se seria ( )-konvergjente është gjithashtu ( )- konvergjente në , , . Vërejmë se( )-konvergjenca e serisë Walsh, së paku në një

pikë, sjell që koeficientët e serisë ( )-konvergojnë në zero. Atëherë funksioni i

përcaktuar për serinë tonë sipas pohimit 4.1.5, është kudo ( )-i vazhdueshëm në , -. Shënojmë me Q bashkësinë e pikave diadike-racional.

Nga përcaktimet e ( )-konvergjencës, ( )-diferencueshmërisë dhe nga barazimi

(4.4), rrjedh se është funksion ( )-i diferencueshëm me( )-derivat f në , , ( ) Në këto kushte mund të aplikojmë për funksionet dhe f, teoremën 3.7.4, dhe

kemi që:

( )∫

𝜓(, -)

ku , - është diadik .Vërejmë se për koeficientët janë koeficientë

Fourier të shumës së pjesshme . Duke shënuar me vlerën e funksionit në

kemi që:

∫

∑ ∫

∑ ∫

∑ 𝜓(

) ∑ ( ) ∫

( ) ∫

.

69

KONKLUZIONE DHE REKOMANDIME

- Ky studim tregon se krahas integralit të Henstock-ut në hapësira të renditura është i

domosdoshëm edhe studimi i integralit të Mekshein-it.

- Studimi tregon se ky lloj integrali në hapësirat e Riesz-it është më i pasur se integrali

i Henstock-ut dhe me adekuat në këtë hapësira.

- Në këto hapësira janë marrë rezultate në lidhje me integralin sipas (o)-konvergjencës

dhe është treguar se kjo është një fushë e gjerë studimi ku mund të arrihen rezultate të

ngjashme.

- Në lidhje me (D)-konvergjencën integrali i Mekshein-it ka po ato veti që ka integrali

i Henstockut.

- Zbatimet në lidhje me vlerën e ndërmjetme dhe rezultatet në studimin e serive të

Walsh-it tregojnë përparësitë e këtij integrimi në hapësirat e renditura.

- Duke patur parasysh zhvillimet që kanë marrë kohët e fundit zbatimet në problemet

të financës do të rekomandonim studimin e mëtejshëm të integrimit në hapësirat e

Riesz-it të integraleve të dobët siç është ai i Petisit që mbulon një numër

karakteristikash bazë të teorisë së probabilitetit dhe statistikës.

70

LITERATURA

[1] A. Boccuto, ”Abstract Integration in Riesz spaces”, Tatra Mt. Math. Publ., vol. 5,

pp. 107-124, 1995.

[2]Boccuto A., Riecan B.,Vrabelova M. Kurzweil-Henstock Integralin Riesz

spaces.Bentham e Books, 2009.

[3] A. Boccuto, ”Integration in Riesz spaces with respect to (D)-convergence”, Tatra

Mt. Math. Publ., vol. 10,pp. 33-54, 1997.

[ 4] A. V. Bukhvalov, A. I. Veksler, G. Ya Lozanovskii, Banach Lattices -Some

Banach Aspects of Their Theory, Russian Mathematical Surveys (1979), 34 (2),159–

212. doi:10.1070/RM1979v034n02ABEH002909

[5] A. Boccuto - A.M. Minotti - A.R. Sambucini, Set-valued Kurzweil-Henstock

integral in Riesz space setting, PanAmerican Mathematical Journal 23 (1) (2013), 57–

74

[6] A. Boccuto, D. Candeloro, A.R. Sambucini Vitali-type theorems for filter

convergence related to vector lattice-valued modulars and applications to stochastic

processes, in print in J. Math. Anal. Appl.; DOI:10.1016/j.jmaa-2014.05.014

[7] A. Boccuto, D. Candeloro, A. R. Sambucini A note on set-valuedHenstock–

McShane integral in Banach (lattice) space setting, preprint 2014

[8] Boccuto, A., Skvortsov, V.A. Hestock-Kurzweil type integration of Riesz-space-

valued functions and applications to Walsh series. real, Analysis Exchange, Vol

29(1), 2003/2004, pp.419-439.

[9] A. C. Zaanen, Riesz spaces, II. North - Holland Publishing. Co., 1983.

[10] B. Cascales, V. Kadets, J. Rodr´ıguez, The Pettis integral for multi-valued

functions via single-valued ones J. Math. Anal. Appl. 332 (2007), no.1, 1–10.

[11] B.Z.VULIKH, Introduction to the theory of partially ordered spaces,

(1967),Wolters - Noordhoff Sci. Publ., Groningen.

[12] D. Candeloro, A.R. Sambucini Order-type Henstock and McShane integrals in

Banach lattice setting,arXiv:1405.6502v1 [math.FA] 2014.

[13] Diestel,J.,Uhl,Jr.;Vector Measure;American Mathematical Society;(1977)

[14] D. H. Fremlin, Topological Riesz Spaces and Measure Theory. London:

Cambridge Univ. Press, 1974.

[15] D. H. Fremlin, Measure theory. Vol. 3. Measure Algebras, Torres Fremlin,

Colchester, 2002.

[16] D. Candeloro, Riemann-Stieltjes integration in Riesz Spaces, Rend. Mat.Roma

(Ser. VII), 16 (2) (1996), 563-585.

[17] D. Candeloro, A.R. Sambucini Filter convergence and decompositions for vector

lattice-valued measures, in press in Mediterranean J. Math.DOI: 10.1007/s00009-003-

0000

[18] D.S. Kurtz, C.W. Swartz, Theories of Integration, the Integrals o fRiemann,

Lebesgue, Henstock-Kurzweil, and McShane, Series in Real Analysis Vol. 9, World

Scientific (2004).

[19] L. Di Piazza, V. Marraffa, The McShane, PU and Henstock integrals ofBanach

valued functions, Czechoslovak Math. Journal 52 (2002), 609-633.

[20] Kurt, D.S., Swartz, C.W, Theories of integration, World Scientific,Vol. 9

[21] Gordon, R. A., The McShane Integral of Banach-valued functions,

Illinois J. of Math. 34(1990), 557-567.

[22] L. Drewnowski, W. Wnuk, On the modulus of indefinite vector integralswith

values in Banach lattices, Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena, 47(1999), 221-233.

71

[23] M. Duchoň and B. Riečan, ”On the Kurzweil-Stieltjes integral in ordered

spaces”, Tatra Mt. Math. Publ., vol.8, pp. 133-142, 1996.

[24] J. Jakubík, ”Weak -distributivity of lattice ordered groups”, Math. Bohemica,

vol. 126, pp. 151-159, 2001.

[25] W. A. J. Luxemburg and A. C. Zaanen, Riesz Spaces, I. North-Holland

Publishing Co., 1971.

[26] J. D. M. Wright, ”The measure extension problem for vector lattices”, Ann. Inst.

Fourier (Grenoble), vol. 21,pp. 65-85, 1971

[27] Temaj, I., Tato, A.,The convergence Theorems for the Mcshane integral of

integral of the functions taking values in a locally convex space.int.Journal of

Math.analysis.Vol 6.2012 .40 1965-1976.

[28] M.Shkëmbi,I.Temaj .Some convergence theorems for order-Mcshane equi-

integral in Riesz. JURNAL OF ADVANCES IN

MATHEMATICS.Vol.10,No.2.ISSN 2347-1921,3238-3244.2015

[29] M.Shkëmbi,“The Fundamental Theoremes of Calculus for the Integral” ,

1st International Symposium On Computing in Informatics and Mathematics

(UAMD and Epoka University) June 2-4 , 2011 ,Tiranë-Durrës, ALBANIA.

ISBN:978-9928-4044-8-0 2011,618-624

[30] M.Shkëmbi,I.Temaj, A Tato “A note of the Mcshane integral on the Riesz space”

INTERNATIONAL JURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS,Vol.7,2013,

no.17, 807-819, ISSN 1312-8876 (Print) ISSN 1314-7579

[31] M.Shkëmbi “Disa veti të Integralit të Meksheinit në Hapësirat e Riesz-it”

,UNIEL, BULETINI shkencor. 2012/1 ( ) , ISSN 2221-5956, 30-40

[32] M.Shkëmbi, “Një version i teoremës së konvergjencës së dominuar në hapsirat e

Riesz-it”, Buletini shkencor UNIEL, ISSN 2221-5956, 2013/2,23-34.

[33] M.Shkëmbi,I.Temaj “Applications of strong Mcshane Integral to Walsh series

”1st International Western Balkans Conference on Mathematical sciences”

ISBN:978-9928-115-27-0 2013 , 216-222

[34] Oh,H.J.,Lee, D.H., Park, Y.J, Relation between generalized integration and

differentation, J. Naturat. Sciences. Vol. 8, pp(17-25) 1999

[ 35] P. Meyer-Nieberg, Banach lattices, (1991), Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg.

[36] V.A. Skvortsov, A.P. Solodov, A variational integral for Banach-

valuedfunctions, Real Anal. Exchange 24 (1998-1999), 799-806.

[37] Schwabik,S& Guoju.Y;Topics in Banach Space Integration;

[38] Schaefer, H.H., Banach Lattices and positive Operators, Springer Verlag 1974