1

TİTREŞİM PROBLEMLERİNİN DOĞRUSALLAŞTIRILMASI(KÜÇÜK YER DEĞİŞTİRMELER)

Titreşim problemleri, küçük ötelemeler ve küçük yer dönmeler kabulü ile doğrusal diferansiyel denklemler ile incelenmektedir. Büyük yer değiştirmeler söz konusu olduğunda doğru çözüm için diferansiyel denklemlerin nonlinear formları göz önünde bulundurulmalı ve çözümler bu şekilde yapılmalıdır.

k

R

x

R

x

R

x

cos

sintan

cos

sinRx

Burada sin ifadesi Taylor serisine açılır ise

!5!3!1

sin531

<<1 için, küçük açılar için sin

cos ifadesi için Taylor serisi yazılır ise

!4!2

1cos42

<<1 için , küçük açılar için 1cos

R

1Rx

2

Bir nokta etrafında dönüş hareketine sahip kirişler için de

benzer ifadeler geçerlidir.

O xA OA

xsin A

A

OAsinOAxA

HAREKET DENKLEMİ OLUŞTURMA YÖNTEMLERİTitreşim analizi yapılacak sistemin matematik

modelinin oluşturulmasını takiben literatürde mevcut yöntemlerden biri kullanılarak sistemin hareketini tanımlayan diferansiyel denklemler (hareket denklemleri) oluşturulur. Hareket denklemleri oluşturulur iken farklı yöntemler kullanılabilir. Bu yöntemlerden sık kullanılanları aşağıda verilmiştir.

F(t)

k

x(t)

c

m

g

1. Newton’un 2. yasası ile: Şekilde görülen sistem tek serbestlik dereceli sistemdir ve m kütlesinin hareketi x koordinatı ile tanımlanabilir. Newton’un 2. yasası gereği cisme etkiyen kuvvetlerin toplamı cismin kütlesi ile ivmesinin çarpımına eşittir.

3

d

d

ds

x)t(x

x)t(x

)t(xx)t(x

m

F(t)

x(t)=xs+xd(t)

mg

k(xs+xd) dxc

Serbest Cisim Diyagramı

xs: m kütlesinin statik çökmesi

xd: m kütlesinin statik çökme sonrasındaki yer değiştirmesi

Newton’un 2. yasası gereği öteleme yapan sistemler için

xmF Dönme hareketi yapan sistemler için

IM

4

xmxcxxkmg)t(F dds

ddd xmxckxk

mgkmg)t(F

)t(Fkxxcxm ddd

)t(Fkxxcxm

xxd Yer değiştirme statik çökme etrafındaki yer değiştirmedir.

)t(fkxdt

dxc

dt

xdm

2

2

2. Dinamik Denge Yöntemi (d’Alembert Prensibi):

Bu yöntemde cisme etki eden atalet kuvvetleri de serbest cisim diyagramında

gösterilir ve cisim statik dengede kabul edilerek

0F 0Mveya eşitlikleri kullanılır.

5

m

F(t)

x(t)=xs+xd(t)

mg

k(xs+xd) dxc

dxm d’Alembert veya atalet kuvveti

0xmxckxk

mgkmg)t(F ddd

yine x=xd ile

)t(Fkxxcxm

6

3. Enerji Yöntemi :

Bu metod ile enerjinin korunumu prensibi uygulanır. Bir sistemin toplam

enerjisinin artış hızı sisteme verilen güce eşittir.

nett P

dt

dE

Burada Et sistemin potansiyel ve kinetik enerjilerinin toplamı, Pnet ise sisteme verilen net toplam güç olup; dış kuvvetler ve momentlerin sisteme verdikleri güç + işaretli, sistemin dışarıya verdiği mekanik güç ve sönümleyici elemanlar tarafından çevreye yayılan ısı gücü – işaretlidir.

dvgnet PPPP

Sisteme verilen mekanik güçlerin toplamı

Sistemin dışarıya verdiği mekanik güçlerin toplamı

Sönümleyici elemanlardan dışa atılan ısıl güçlerin toplamı

7

2k xm

2

1E 2

p kx2

1E 22

t kx2

1xm

2

1E xxcx)t(FPnet

xxcx)t(Fkx2

1xm

2

1

dt

d 22

xxcx)t(Fxkxxxm )t(Fkxxcxm

4. Lagrange Yöntemi:

Bu yöntemde de incelenen sisteme ait kinetik ve potansiyel enerjiler dikkate alınır. Ayrıca Sanal İş ilkesi ile dış kuvvetlerin ve sönüm kuvvetlerinin sistemin genel koordinatlarında gerçekleştirmiş oldukları sanal işler dikkate alınarak türetilen genel kuvvetler hareket denkleminin türetilmesi için kullanılır.

Sisteme ait Lagrange ifadesi kinetik enerji ile potansiyel enerji farkına eşittir.

pk EEL

iii

Qq

L

q

L

dt

d

8

ii

p

i

kp

i

k Qq

E

q

E

iq

E

q

E

dt

d

Burada qi bir sistemin i. genel koordinatını, Qi ise bu koordinata etki eden kuvvetlerin toplamını (Genel Kuvvet) ifade eder. Genel kuvvet ifadesi Sanal İş ile elde edilir.

ii

p

i

k Qq

E

q

E

dt

d

Genel olarak kinetik enerjinin genel koordinat hızı ve potansiyel enerjinin genel koordinat ile ilişkili olduğu düşünüldüğünde Lagrange denklemi aşağıdaki basit formunu alır.

Bununla birlikte bazı mekanik uygulamalarda kinetik enerji genel koordinatın bir fonksiyonu olabilir. Bu durumda Lagrange denkleminin genel ifadesindeki 3. terim dikkate alınmalıdır.

g

θ

O

l

m

Bu denklem öteleme yapan sistemler için bir kuvvet, dönme yapan sistemler için ise bir moment dengesidir.

9

Genel kuvveti elde etmek için dış zorlamaların ve sönümleyici kuvvetlerin genel koordinatlar üzerindeki sanal işleri dikkate alınır. Genel koordinatlarda zamandan bağımsız olarak küçük değişimler dikkate alınarak () bu kuvvetlerin yaptığı iş

iii qqcq)t(FW

ii qQW 2

k xm2

1E 2

p xk2

1E xxc)t(Fxxcx)t(FW

xQ

xc)t(Fkxxmdt

d

)t(Fkxxcxm

xc)t(Fkxxmxm

xc)t(Fkx2

1

xxm

2

1

xdt

d 22

10

Örnek: Basit Sarkaç İçin Hareket Denkleminin Elde Edilmesi:

Aşağıda verilen basit sarkaç için hareket denklemini d’Alembert ve Lagrange yöntemleri ile elde edelim.

Merkezcil ivme

Teğetsel ivme

O noktasına göre toplam moment sıfıra eşitlenerek. Saat ibresi tersi yön pozitif alınarak

0MO

11

0sinmgm 0sinmgm 2

0sing

0g

sin=

Basit sarkaç harmonik bir hareket yapmaktadır. Dolayısı ile

)tsin()t( o

)tsin()t( o2

)tcos()t( o 0)tsin(g

o2

0g 2

s/radg

Görüldüğü gibi basit sarkaç için salınım hareketi sarkaç boyundan etkilenmektedir.

12

Lagrange yöntemi ile hareket denklemi:

Basit sarkaç probleminde m kütlesinin kinetik enerjisi

2k m2

1E

Potansiyel enerji ifadesi

)cos1(mgEp Sarkaç üzerinde dış zorlama veya sönüm yoktur.

0sinmgmdt

d 2

0sing

sin= 0g

v

s/radg

13

Örnek: Şekilde gösterilen sarkaç için (compound pendulum) hareket denklemini elde ediniz, doğal frekansını belirleyiniz.

G

O

θ

m, L, IO

L

L1

g

2Ok I

2

1E )cos1(LgmE 1p

QEE

dt

d pk

0I

mgL

O

1

IO sarkacın dönme noktasına göre kütle atalet momentidir.

Küçük açısal yer değiştirmeler için sin θθ

0sinmgLI 1O

tsin)t( n0 tsin)t( no2

s/radI

mgL

O

1n )Hz(

I

mgL

2

1f

O

1n

tcos)t( n0n

14

Örnek: Şekilde verilen tek serbestlik dereceli sistemin hareket denklemini yazınız ve doğal frekans ifadesini elde ediniz.

2

x

3

Lx

L2

x3

xx

A

B

22

2O mL

9

1

3

L

2

LmmL

12

1I

2222

O2

k x2

m5

2

1x

4

m

4

mm2

2

1

2

xm

2

1x

L2

3I

2

1xm2

2

1E

22t2

2t

22

t2

p xL4

k9

2

k3

2

1x

2

k

L4

k9k

2

1

2

xk2

2

1

L2

x3k

2

1kx

2

1E

15

x)t(fW

)t(fxL4

k9

2

k3x

2

m52t

s/rad

2m5

L4

k92k3

2t

n

Örnek: Şekilde verilen tek serbestlik dereceli sistemin hareket denklemini elde ediniz.

Newton’un 2. yasasına göre

ddd

ddsd

xmsinmgkxk

sinmgkxc

xmsinmgxxkxc

0kxxcxm

16

Örnek: Şekildeki tek serbestlik dereceli sistem için hareket denklemini elde ediniz.

17

Örnek: Şekildeki iki serbestlik dereceli sisteme ait hareket denklemlerini elde ediniz.

22

21k xm2

2

1xm

2

1E 2

22

1221p kx

2

1xxk2

2

1kx

2

1E

121211 xxxxcxfW

Çok serbestlik dereceli sistemlerde Lagrange denklemi her bir genel koordinat için yazılır. x1 için Lagrange denklemi yazılır ise,

11

p

1

k Qxx

E

x

E

dt

d

18

)xx(cf)xx(k2kxxm 1211211

121211 fkx2kx3xcxcxm

x2 için Lagrange denklemi yazılır ise,

22

p

2

k Qxx

E

x

E

dt

d

)xx(ckx)xx(k2xm2 122122 0kx3kx2xcxcxm2 21212

Hareket denklemleri matris formunda yazılır ise

Lineer sistemler için Kütle, Sönüm ve Direngenlik matrisleri simetriktir.

19

Örnek: Aşağıdaki iki serbestlik dereceli sistemin hareket denklemlerini yazınız.

2222

11k Lm2

1Lm

2

1E

2

122211p 2

L

2

Lk

2

1cos1gLmcos1gLmE

0W

20

Lagrange denklemi θ1 için uygulanır ise,

02

L

2

L

2

LksingLmLm 12111

21

0gLm4

Lk

4

LkLm 112

2

1

2

12

1

02

L

2

L

2

LksingLmLm 12222

22

0gLm4

Lk

4

LkLm 222

2

1

2

22

2

0

0

gLm4

Lk

4

Lk

4

LkgLm

4

Lk

Lm0

0Lm

2

1

2

22

2

1

2

2

12

2

21

Lagrange denklemi θ2 için uygulanır ise,

21

Örnek: Aşağıdaki iki serbestlik dereceli sistemin hareket denklemlerini yazınız.

212

G

212

k L

xxI

2

1

2

xxm

2

1E

222

211p xk

2

1xk

2

1E

2

xxfW 12

22

Lagrange denklemi x1 için uygulanır ise

2

fxk

L

xx

L

I

2

xxm

2

1

dt

d11

12G12

2

fxkx

L

1mL

12

1x

L

1mL

12

1x

4

mx

4

m1122

212

221

2

fxkx

12

m

4

mx

12

m

4

m1121

2

fxkx

6

mx

3

m1121

Lagrange denklemi x2 için uygulanır ise

2

fxk

L

xx

L

I

2

xxm

2

1

dt

d22

12G12

2

fxkx

L

1mL

12

1x

L

1mL

12

1x

4

mx

4

m2222

212

221

23

2

fxkx

12

m

4

mx

12

m

4

m2221

2

fxkx

3

mx

6

m2221

f

f

2

1

x

x

k0

0k

x

x

3

m

6

m6

m

3

m

2

1

2

1

2

1

24

Örnek: Şekildeki iki serbestlik dereceli sisteme ait hareket denklemlerini elde ediniz.

222

22

1k sinLm2

1cosLxm

2

1xm

2

1E

sinL

cosL

cosL

sinL

Hız

Hız

Referans

cosgLmxk2

1E 2

2p xfW

25

222

22

1k sinLm2

1cosLxm

2

1xm

2

1E

2222

22222

21k sinLm

2

1cosLcosLx2xm

2

1xm

2

1E

2222

21k LcosLx2xm

2

1xm

2

1E

cosgLmxk2

1E 2

2p xfW

x’e göre Lagrange denklemi

Qxx

E

x

E

dt

d pk

fxkcosLmxmxmdt

d221

fxkcosLmsinLmxmm 2221

fxksincosLmxmm 2221

26

0singLmsinLxmLmcosLxmdt

d22

222

0singLmsinLxmLmsinLxmcosLxm 222

222

θ’ya göre Lagrange denklemi

QEEE

dt

d pkk

2222

21k LcosLx2xm

2

1xm

2

1E

cosgLmxk2

1E 2

2p

fxksincosLmxmm 2221

0singLmLmcosxLm 22

22

fxkLmxmm 2221

0L

g

L

x

Küçük açılar için

0sinL

gx

L

cos

27

Örnek: Şekildeki iki serbestlik dereceli sisteme ait hareket denklemlerini elde ediniz.

g

θ

O

l

m

l+rk

222k rrm

2

1E

cosrmg

k

mgrk

2

1E

2

p

222k rm

2

1rm

2

1E cosrmgmg

k

gm

2

1mgrrk

2

1E

222

p

θ için Lagrange denklemi yazılır ise

QEE

dt

d pk

0sinrmgrmdt

d 2

0sinrmgmrrm2mdt

d 22

28

0sinrmgmrrm2mdt

d 22

0sinmgrsinmgmrrmr2rm2rm2m 22

r için Lagrange denklemi yazılır ise

222k rm

2

1rm

2

1E

rpkk Q

r

E

r

E

r

E

dt

d

0cosmgmgkrmrmrmdt

d 22

0cosmgmgkrmrmrm 22

cosrmgmgk

gm

2

1mgrrk

2

1E

222

p