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Tlamati Sabiduría Volumen 8 Número Especial 2, Octubre 2017
4°r. Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT
Acapulco, Guerrero 4, 5 y 6 de octubre 2017
Memorias
Acercamiento a la función exponencial desde un escenario de modelación y
covariación
Andrea Yamileth Vazquez Rosas (Becaria)
Unidad Académica Preparatoria No. 14, Universidad Autónoma de Guerrero.
María Esther Magali Méndez Guevara (Asesora)
Facultad de Matemáticas – Acapulco
Universidad Autónoma de Guerrero.
Marcela Ferrari Escolá(Co-Asesora)
Facultad de Matemáticas – Acapulco
Universidad Autónoma de Guerrero.
Introducción
Este documento reporta una experiencia en investigación, en tanto se participó en un
proyecto exprofeso para el verano de Investigación Ciencia “Asómate a la Ciencia este Verano”,
el objetivo de este fue desarrollar argumentos Matemáticos a partir de Situaciones de Modelación
y Covariación, y así en el proceso ser partícipes del diseño y análisis de situaciones de aprendizaje
se vivencio una experiencia de investigación.
El desarrollo de las actividades estuvo coordinado por dos investigadoras de la Facultad de
Matemáticas, la Dra. María Esther Magali Méndez Guevara y la Dra. Marcela Ferrari Escolá.
Además un grupo de estudiantes de la Licenciatura y Doctorado, cuyo perfil es de Matemáticos
Educativos, quienes estuvieron apoyando en la realización de las actividades, algunos de ellos
tesistas.
Los diseños de aprendizaje que se desarrollaron durante este verano de investigación se
sustentan en la Teoría Socioepistemológica, esta sostiene que las construcciones de conocimiento,
son una producción social que cambia y transforma la naturaleza y la sociedad; que los
Tlamati Sabiduría Volumen 8 Número Especial 2, 2017
conocimientos tienen un origen y una función social asociada a un conjunto de prácticas, de
modo que existe una relación entre la naturaleza del conocimiento y las actividades mediante las
cuales y en razón de las cuales dichos conocimientos son producidos (Cantoral, 2013).
Desde esta postura teórica, las actividades que se desarrollaron trataron conceptos del
cálculo mediante la modelación y covariación que desarrollan saberes matemáticos, que adquieren
significado, ante la situación de aprendizaje. Los temas tratados fueron: función, función
polinómica, función exponencial, función logarítmica y función Seno, y en los resultados se dieron
evidencia del cómo se construyen argumentos matemáticos por los participantes a pesar de no haber
un trabajo previo escolar.
Existen diversas acepciones sobre modelación, y sobre su rol en la enseñanza de las
matemáticas, una visión generalizada es concebirla como un proceso establecido que conviene
enseñar o implementar, porque ayuda a: aplicar conocimientos matemáticos (Blum & Borromeo,
2009); o bien es emplea como método para enseñar matemáticas mediante la resolución de
problemas (Gomez-Chacon & Maestre, 2008). Ante estas posturas la modelación se muestra ajena
de quiénes la desarrollan, y se olvida que esta, es en sí misma un proceso de construcción
conocimiento matemático (Cordero, 2006), en nuestros trabajos postulamos que en este proceso
existen elementos y prácticas esenciales y con esto se formula una categoría para la modelación
escolar ((Méndez, 2013) que propicia el desarrollo de redes de usos de conocimiento matemático
ante situaciones específicas (Cen, Zaldívar, Briceño, Méndez, & Cordero, 2014), esta categoría se
ha hecho tacita en diseños de aprendizaje que significan nociones del cálculo como: función (afín,
cuadrática, exponencial, a trozos), función derivada o integral definida (Zúñiga & Méndez, 2013;
Méndez & Cordero, 2014; Tocto & Méndez, 2015).
En cuanto a covariación, argumento que entrelazamos al de modelación al momento de
explicitarlo en los diseños. Esto es lo que provoca percibir, de manera simultánea, dos cantidades
variando de manera particular, es decir, reconocer dos patrones de crecimiento o decrecimiento. Si
en un fenómeno podemos reconocer que las variables involucradas cambian con una diferencia
constante (en la primera, segunda, etc, diferencia) estamos en presencia de curvas polinomiales lo
que nos permite reflexionar sobre una covariación de tipo lineal. Si en cambio el fenómeno
involucra un crecimiento lineal con otro exponencial, estamos en presencia de una covariación
logarítmica (Ferrari, Martínez, Méndez, 2016) que nos permite estudiar a la función exponencial y
a la función logarítmica.
Memorias del 4° Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT
Acapulco, Guerrero 4, 5 y 6 de octubre 2017
Objetivo y metodología general
El objetivo planteado para este verano fue el desarrollar argumentos matemáticos a partir
de situaciones de covariación y modelación. En dicho proceso los alumnos serían partícipes del
diseño y analizarían las situaciones de aprendizaje mismo que los hizo vivir una experiencia de
investigación.
Se trabajó con 6 estudiantes de nivel medio superior de los cuales 5 provienen de distintas
preparatorias pertenecientes a la UAGro (Región Costa Chica, Costa Grande y Región Montaña)
quienes se inscribieron al Programa Verano de Investigación Científica “Asómate a la Ciencia este
Verano” UAGro. 2017, el sexto participante pertenece al Colegio de Bachilleres Plantel 2 en
Acapulco y estuvo participando de manera voluntaria.
Para lograr nuestro objetivo general se desarrollaron los siguientes diseños:
• I. Estudio del Movimiento Rectilíneo Uniforme. En este diseño de aprendizaje se trabajó
la modelación del movimiento mediante las gráficas de funciones a trozo, el comportamiento
de las funciones tratadas fueron afines y constantes.
• II. Caracterización de Funciones Polinómicas. El objetivo de este diseño de aprendizaje se
trabajó en estudio de las variaciones globales y locales para la caracterización de funciones
polinómicas.
• III. Estudio de la función exponencial. Las actividades de este diseño promovió la
caracterización de la función exponencial mediante la covariación de dos progresiones,
aritmética y geométrica.
• IV. Estudio de la función logarítmica. Las actividades de este diseño promovió la
caracterización de la función logarítmica mediante la covariación de dos progresiones,
geométrica y aritmética.
• V. Estudio de la función Seno. Las actividades de este diseño promovió la caracterización
de la función logarítmica mediante la covariación.
• VI. Análisis de comportamientos numéricos. Esta actividad consistió en plantear a los
jóvenes una serie de tablas numéricas en donde debían identificar los comportamientos
tendenciales y plantear una situación para esos datos. Se esperaba que ahí se reflejará lo
aprendido en las sesiones anteriores.
La organización del trabajo fue la siguiente:
Tlamati Sabiduría Volumen 8 Número Especial 2, 2017
• Se formaron 2 equipos de 3 integrantes que se fueron rotando a consideración del
coordinador de los diseños de aprendizaje.
• Se contó con un equipo de investigación que estuvo formado por estudiantes de la
Licenciatura en Matemáticas y el Doctorado en Matemática Educativa, quienes desarrollaron
actividades de coordinación académica y recolección de datos. En cada sesión hubo 2
camarógrafos en cargados de grabar a detalle el desarrollo de las actividades y 2
coordinadores encargados del diseño y gestión de la actividad matemática.
• Para la recolección de datos se emplearon dos cámaras móviles y una cámara de video fija
para tener un panorama general, se grabación el audio, grabación de pantalla (en los casos
donde se usó la computadora), se emplearon sensores de movimiento y calculadoras
graficadoras.
• Las sesiones de trabajo diario fueron de aproximadamente 5 hrs. incluyendo un receso para
la comida de 30 o 45 minutos.
Para fines del presente reporte sólo reportaremos lo acontecido durante la actividad referente a la
función Exponencial reflexionando principalmente sobre los elementos de modelación y su
conjunción con la covariación.
Objetivo y Gestión del Diseño
El diseño del cual reportamos resultados en este escrito, tiene por objetivo el estudio de la
función exponencial mediante la covariación de dos progresiones, aritmética y geométrica. Se
buscó caracterizarla, para esto se trabajó durante una sesión completa de 5 horas con 2 equipos de
tres integrantes cada uno; el coordinador a cargo previamente había solicitado a los jóvenes traer
una idea acerca de los tipos de progresiones que se pueden trabajar en matemáticas, siendo ésta,
parte de la primera actividad.
Como primera actividad, aprendimos a usar el software Geogebra para trazar y encontrar
puntos en el plano cartesiano a través de un recetario dado en un principio a ambos equipos con la
finalidad de que después lográsemos buscar y trazar más puntos sin la necesidad de ayuda. Después
de terminar con el trazo, nuestro coordinador hizo que en unas fichas anotáramos el valor de las x
que hubiésemos encontrado así como de “y” respecto a las puntos P. Una vez que encontráramos
la relación que existía entre una ficha y otra, determinamos la regla de multiplicación y división
para encontrar coordenadas positivas y negativas. Para averiguar cualquier punto P o coordenada
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sin necesidad de que sea un número consecutivo, formulamos una regla general con función
exponencial que lo determinase. En la sección siguiente se muestran algunas evidencias del proceso
de caracterización de la función exponencial (Figura 1).
Resultados
Los resultados obtenidos, se obtuvieron a partir de la discusión en equipo para determinar la
expresión algebraica final.
Episodio 1: Identificando progresiones aritméticas y geométricas
Byron: Pensamos que si estos números (señala el eje x) fuesen n, la ecuación sería n(2). Es
decir, el doble número que el de arriba (refiriéndose como “arriba” el eje x).
Andrea: Nos equivocamos, no era (4,8) era (4,16) (haciendo referencia a una coordenada en
una ficha dada anteriormente).
Byron: Entonces el siguiente punto es (5,32)
Andrea: ¿Por qué?
Byron: No sé, puede ser.
Andrea: (Empieza a notar una diferencia al multiplicar por 2) Dos por dos cuatro, cuatro por
dos ocho, ocho por dos dieciséis, ajá, el siguiente número es 32. ¿Y si graficamos para
comprobar?
Figura 1. La construcción gráfica, fue el contexto de la situación
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Este tipo de diálogos permitió al equipo notar una progresión de tipo geométrica en el eje de las y,
el que se logró identificar el doble producto del número anterior. El objetivo de la actividad estaba
poniendo vislumbrándose, mediante unas fichas de referencia para trazar puntos en el eje de las
abscisas y de las ordenadas, en donde se podía visualizar ya algunas características al hacer un
análisis a sus patrones numéricos (Tabla 1.1).
Tabla 1.1 Valores en las coordenadas (x, y)
x y Diferencias
en x
Diferencias
en y
Segunda
diferencia
en y
Razón en y
1 2 1
2 4 1 2 2
3 8 1 4 2 2
4 16 1 8 4 2
5 32 1 16 8 2
Progresión Aritmética Progresión Geométrica
En una tabla de valores, llamada “hoja de cálculo” en Geogebra logramos descubrir las
progresiones y cómo funcionaban para determinar el siguiente punto.
De esta manera que descubrimos que cuando a x se le suma 1 (n+1), “y” adquiere el doble del
número anterior (2n). La constante era, que si yo tenía como “x” un 5, “y” era igual a 32 , el
Figura. 2. Reconociendo progresiones en las fichas
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siguiente número después de 5 era 6, por lo tanto “y” era igual al valor anterior (32) multiplicado
por 2,dando como resultado 64.
Episodio 2. Reconociendo puntos importantes dentro de la gráfica
Los llamados puntos importantes en el trazo de los puntos “P” consiguieron que los jóvenes
reconocieran la primera parte de la ecuación para unirlos. Aquí un pedazo de la discusión entre el
equipo:
Coordinador: (Coloca una ficha delante de (1,2)) Ahora pensemos, ¿yo puedo tener una ficha
delante de ésta?
Andrea: Sí, (0,1)
Coordinador: ¿Por qué?
Andrea: Porque cero es el número anterior a uno y uno en el eje “y” es la mitad de dos.
Coordinador: ¿Y otra hacia atrás?
Juan: Puede ser (-1,0)
Byron: Ok, aquí seria -1 (eje x) porque suponiendo que va para atrás se va restando uno pero
en el eje “y” no sé…
Coordinador: ¿Por qué fue uno? (eje y) Si aquí tenías el dos.
Byron: De alguna manera vamos sabiendo que si hacia adelante es el doble, hacia tras es la
mitad.
Coordinador: ¿Entonces cuál sería acá? (señala la ficha que tiene -1 en el eje x)
Byron: 0.5 y después 0.25 y 0.125 pero…
Coordinador: Entonces la regla que generen tiene que involucrar las fichas hacia atrás y que
mantengan el mismo comportamiento hacia adelante
Si ponemos un poco de atención, los mismos estudiantes se van dando cuenta de cómo crear
fichas tanto hacia adelante como hacia atrás en el primer y segundo cuadrante respectivamente,
que sin saberlo están determinando por donde pasará la curva o la línea que una a esos puntos. Esto
es una articulación entre el modelo numérico y gráfico, mediantes el análisis local del patrón
numérico.
Episodio 3. Regla de multiplicación y división para generar nuevas fichas
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En este punto, los estudiantes tuvieron la oportunidad de realizar una regla de multiplicar y
dividir a partir de las discusiones dentro de sus respectivos equipos. A continuación se mostrará
uno de los diálogos más importantes.
Byron: De hecho, creo que aquí también seria cero (punto P0 con coordenadas (0,1))
Coordinador: ¿Cómo?
Byron: Que cuando x está en el punto cero, “y” también es cero.
Coordinador: Si observan este punto, es el origen (0,0). Acuérdense que todos los puntos que
están en las fichas son los puntos P, los demás son puntos auxiliares. Básicamente lo que
ustedes dijeron que el punto P0 es (0,1) (señala en la construcción), entonces ¿cuál sería el
que está antes de P0? ¿Dónde lo pongo? ¿Hacia dónde estaría? Byron dice que es después de
P0, estaría en el punto de origen. Pero si multiplican cero por cero ¿les da el siguiente número
qué es dos?
Coordinador: Ustedes ya saben cómo
funciona el crecimiento, va al doble del
número anterior y hacia atrás es la mitad.
Ahora vamos a manipular un poco las
fichas, para ver si podemos ir generando
más ficha sin la necesidad de saber el
número anterior; la actividad dos es, cómo
construyo fichas no necesariamente
utilizando la anterior. Necesitamos
generar dos reglas, una para multiplicar y
otra para dividir, es decir, con estas dos fichas (señala una con coordenadas (1,2) y la otra
(2,4)) ¿qué ficha podría yo construir? (Figura 3).
Andrea: Es que yo veo que por ejemplo si sumo 1 más 2 obtengo un 3, y 4 por 2 sería 8. Otro
ejemplo es 3 más 4 nos dan 7 y multiplicando sus valores en “y”, nos da 128 que sería las
coordenadas de ese punto.
Coordinador: Bien, ahora compártela y genera un regla de multiplicación para encontrar más
fichas.
Andrea: (Intenta generar una fórmula que sirva para expresar lo que ya encontraron) Si
tenemos un número x1 que sumamos con otro, x2 nos va a dar un número cualquiera. Ahora,
Figura 3. Encontrando una regla general
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si multiplicamos sus valores en “y”, si nos da la coordenada que queremos. No sé cómo
expresar ese valor o esa fórmula (Figura 4).
Este episodio muestra cómo sucede un proceso de modelación en donde se articula todos
los elementos de la situación estudiada para proponer una expresión que generalice la relación que
sea encontrado, el modelo algebraico.
Episodio 4. Expresión algebraica final para ajustar los puntos de la curva
Como resultado final del diseño para encontrar las características de una función exponencial,
el equipo tuvo dificultades al intentar encontrar una fórmula general que ajustara los puntos
encontrados, ya que, no se concentraron en obtener la base o constante que poseía esta exponencial
aunque ya la habían hallado anteriormente, pero con algunas indagaciones en particular por parte
del coordinador.
Juan: La “y” es lo que tenemos que encontrar, de manera exponencial.
Andrea: Tú multiplicaste por dos en vez de ponerlo abajo lo pusiste arriba ¿y cómo sabes que
es 2?
Juan: Es que es lo que se tiene como base o constante que está determinando esto.
Básicamente es exponencial.
Coordinador: ¿Qué es exponencial?
Juan: Es sacar de un número, en este caso “y”, el valor en x al elevarlo. Como el 5 que es
equivalente a “x”, uno por 25 y sale 32.
Andrea: Entonces “n” no va abajo, va arriba.
Figura 4. Determinando fichas que no necesariamente sean consecutivas
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Juan: “n” podría ser una variable.
Andrea: Pero se puede quitar el número uno, porque no vale nada. Sólo poner 29 y salen 512
sin necesidad de poner uno. Entonces sería “y” igual a 2n (Figura 5). Ejemplo, “y” igual a
210
Coordinador: Y eso nos da la ficha…
Andrea: Nos da la ficha 10. Entonces
cambiaríamos la “n” por la “x”
Coordinador: Y eso nos estaría diciendo en las
fichas que este es x (señalando) y este es “y”
(señala) y para obtener el valor en y, tengo que
multiplicar el 2 por algún punto en x, 𝑦 = 2𝑥.
El equipo finalmente logró encontrar esa tan
esperada formula o expresión final con toda la información recabada que ayudó a caracterizar las
funciones exponenciales. Por su propia cuenta, los integrantes analizaron todo el procedimiento
que se usó desde las progresiones hasta el resultado final notando características muy particulares
diferentes a otro tema.
Conclusiones
En lo reportado por Hernández y Arrieta (2005) acerca de la modelación del enfriamiento
del silicón da evidencia de cómo los actores construyen modelos y con ellos realizan predicciones,
articulando los diferentes modelos con el fenómeno. En lo trabajado durante las actividades en este
verano se vivencio a la modelación como una prácticas sociales que provoca la construcción de los
conceptos matemáticos como herramienta.
En particular el diseño que aquí reporto tuvo objetivos particulares considero que sólo se
cumplieron tres de los cuatro puntos importantes de la actividad para caracterizar la función
exponencial.
El primero de ellos, fue reconocer las progresiones dentro de la construcción de puntos “P”
tanto la aritmética como la geométrica y establecer una regla para cada una. El equipo logró
reconocer rápidamente como estaban relacionadas, con pequeños errores al principio, pero una vez
que captaron la idea, descubrieron la siguiente coordenada y entonces establecieron una expresión
preliminar.
Figura 5. Borradores de la ecuación
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Otra idea transcendental, fue reconocer puntos clave en la construcción geométrica, esto
fue orientado por preguntas auxiliares por parte del coordinador que fueron resueltas por los
integrantes del equipo al observar detenidamente el comportamiento del punto P0 que
explícitamente no estaba en las instrucciones a trazar dentro del recetario. Sin embargo hubo un
problema, la pérdida enfoque en la forma de la curva, ello al momento de construir puntos a la
inquierda del punto (0,0), dado que la mayoría del análisis se centró únicamente en encontrar el
modo de unir los puntos mediante una ecuación o una relación considerando la forma de sus
variaciones, regla de multiplicar y regla de dividir, es decir fue un momento en donde se perdio la
idea de artícular los modelos con el contexto de la situación.
Empero las dificultades para caracterizar la función exponencial se llego a la expresión
algebraica necesaria para unir dichos puntos “P” una vez que se retomo la idea de articular lo
numérico y la construcción de puntos particulares. En general los estudiantes se quedaron con la
idea de que en una situación matemática o extra escolar es necesario analizar, comprender y
expresar las formas de variación.
En las actividades del verano, notamos que a pesar de que uno no este familiarizado con
una temática, tan compleja como función exponencial por mencionar una, se puede comprender su
comportamiento general basados en los usos de conocimientos previos que se han adquirido a lo
largo de nuestras vidas personales y académicas, en interacción con compañeros que también
comparten sus ideas, pensamientos, dudas y formar de solución ante una situación.
Posiblemente, esta función no la apliquen tanto en la vida cotidiana como puede ser sumar
o restar para la compra de un producto, pero al menos ya tienen una idea de la modelación que
pueden compartir dentro de su comunidad estudiantil sin ningún problema, ya que, ésta no fue
hecha para un grupo en específico ni exclusivamente para la matemática educativa, sino al
contrario, que con los conocimientos que el alumno ya tenga, se puede ampliarlos mediante el
análisis de una situación en todo el ámbito de las ciencias y llevarlo a un contexto más real.
En lo particular creo que en la clase de matemáticas, debieramos tener un espacio para el
ejercicio de prácticas, donde los estudiantes y profesores participen en la construcción de sus
conocimientos.
Tlamati Sabiduría Volumen 8 Número Especial 2, 2017
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