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Télécopie pleine page .. D'ELEC~RONIQUE ANALOGIQUE
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EXERCICES ET
Centre de Publication Universitaire 2003
œréface
Cet ouvrage a été conçu en premier lieu à l'usage des étudiants de premier cycle universitaire et aux élèves des Instituts technologiques (ISET) et préparatoires (IPEI). Il sera également très utile aux étudiants de deuxième cycle (Maîtrises d'électronique et sciences physiques, CAPES, ... ) qui souhaitent raviver leurs connaissances en électronique analogique.
Chaque chapitre comporte un résumé de cours SUIVI d'exercices et problèmes, tous résolus, et présentant une étude générale de certains composants et circuits électroniques.
Nous espérons que ce travail permettra aux étudiants d'acquérir un savoir-faire dans la résolution de problèmes de conceptIon électronique et de mieux préparer ainsi leurs examens.
Nous tenons à remercier tous nos collègues de la Faculté des Sciences de Tunis qui nous ont aidé dans la préparation de ce livre, ainsi que ceux qui voudraient bien nous faire part de leurs remarques et suggestions constructives pour améliorer son contenu.
Les auteurs
OOIPJ<IIJI:A 1 : !MithtHfu tI' atulf:ys.1Ûs circuits ûné4iru Rappels de cours ------------------------------------------------- 3 Enoncés des exercices------------------------------ 13 Corrigés des exercices ------------------------------------------- 19
OOIPJ<IIJI:A 2 : Circuits éfectriques en régime transitoire .t sinusoüfa{ Rappels de cours ---------------------------------------------- 43 Enoncés des exercices -~------------------------------------------- 53 Corrigés des exercices -------------------------------------------- 59
OOIPJ<IIJI:A 3 : Les qwufripôfes ûné4iru Rappels de cours ------------------------------------------------ 79 Enoncés des exercices ---------------------------------------------- 89 Corrigés des exercices ---------------------------------------- 95
OOIPI'1IR!f. 4 : Les circuits à âuufes Rappels de cours ----------------------------------------------------- 123 Enoncés des exercices ------------------------------.---------.- 129 Corrigés des exercices --------------------------------------- 137
OOIPITR!A 5 : Les transiston 6ipoftJirts utilisés en ampûficateurs Rappels de cours ----------------------------------------------------- 161 Enoncés des exercices ---------------------------.------------------ 167 Corrigés des exercices ----------.-------------------------------------- 179
OOIPITR!J!. 6: Le transistor à effet tfe cliamp Rappels de cours --------------------------------------------------- 217 Enoncés des exercices ---------------------------------------------- 221 Corrigés des exercices ---------------------- ---------------------- 229
OOlPlTE!f, 7: ftmpCificateuropératWnne{ Rappels de cours -------------------------------------------------------- 263 Enoncés des exercices ------------------.--------------------------- 267 Corrigés des exercices ------------------------- ----------- 275
g«PPE~0FS ŒIŒLIOq<IIJI.<PJfIQV'ES ----------------------------------- 287
CJ{JIrPIrr'Cj(P. 1 'MŒ/I'J{()t.J)1E5 ([) ':4:N.7<L'YS'E ([)'ES CI<f\CVI'TS LIJ.IIE)f.I'R!JlS
METHODES D'ANALYSE DES CIRCUITS UNEAlRES
(RAPPELS DE COURS)
1- Introduction:
L'analyse des circuits électriques linéaires est gouvernée par les lois et les théorèmes généraux suivants:
1. Lois de Kirchhoff 2. Théorème de superposition 3. Théorème de Thévenin 4. Théorème de Norton 5. Théorème de Millman 6. Théorème de Kennely
Tout d 'abord, nous allons donner dans la suite les définitions et les conventions nécessaires à l'étude des circuits électriques.
11- Définitions et conventions • Dipôle
C'est un dispositif électrique qui ne comporte que deux. bornes et dans lequel un courant électrique peut circuler. Un dipôle est dit actif (Exemple : pile, accumulateur, alternateur .. . ) s'il fournit de l'énergie électrique à un circuit extérieur. Le dipôle est dit passif dans le cas contraire (Exemple: résistor, condensateur, self ... )
• Dipôle linéaire:
Un dipôle est linéaire si sa caractéristique tension-courant est linéaire. Exemple: résistor, source de tension ou de courant.
~ 1 Dipôle 1
.. U = a i + b (a et b sont des constantes)
Fig.l.1 : Dipôle linéaire
Circuit électrique linéaire:
Un circuit électrique est dit linéaire, s'il ne comporte que des dipôles linéaires.
4 Exercices et problèmes corrigés d'électronique analogique
Remarque
Bien que les composants à semi-conducteur (diode. transistor) et circuits intégrés ne répondent pas à la définition ci-Jessul:i, ils sun1 tout de même considérés comme actifs.
Source de tension :
Une source de tension parfaite est un dipôle actif qui maintient entre ses bornes une différence de potentiel constante quel que soit le courant qu ' il débite. Si la source a une résistance interne en séne, elle est dite réelle.
E u
8 ~ E
Fig.1.2 : Source de tension parfaite
u U=E-ri
~éthodes d'analyse des circuits linéaires 5
Source de courant:
Une source de courant parfaite est un dipôle actif qui fournit un courant électrique quelle que sail la tension à ses bornes. La source est dite réelle, si elle a une résistance interne en parallè1e .
. ' 1
10
u
10
0 _" i_l -+-________ u.
Fig.1.S : Source de courant réelle
Source indépendante et source dépendante:
Une source de tension (ou de courant) est dite indépendante si la force électromotrice (f.é.m.) qu'elle délivre (ou le courant électromoteur (c.é.m.) qu'elle débite) ne dépend d'aucune grandeur interne au circuit électrique dans lequel elle est insérée.
Exemple: pile, batterie d'accumulateur, générateur ...
Une source est dite dépendante (ou bien liée ou encore commandée) dans le cas contraire.
6 Exercices ct problèmes corrigés d'électronique analogique
Exemple:
10
R, r
E et 10 : Sources indépendantes E = k U et 1 = aI l: Sources liées
R, R,
Extinction des sources:
E
l ,
Eteindre une source indépendante : c'est la remplacer par sa résistance interne.
E, r
Allumée Eteinte
Méthodes d'analyse des circuits linéaires 7
Remarque: On ne peut pas éteindre les sources commandées de la même manière que les sources indépendantes.
• Conventions de signe:
• Courant électrique: Le sens conventionnel du courant électrique est celui opposé à la circulation des électrons. Dans un circuit électrique, le calcul de l'intensÎté du courant permet de confirmer ou non ce sens.
• Convention générateur: Un générateur est un dipôle qui fournit de l' énergie électrique, il possède une borne positive et une borne négative. Le courant sort de la borne positive. 1 et U sont de même signe.
(_) 1 (+) ~ Dipôle I~
u Fig.1.8 : Dipôle générateur
• Convention récepteur : Un récepteur est un dipôle qui consomme de l'énergie électrique. Il peut être polarisé (possède un pôle positif et un négatif) ou non.
(-) 1 o .. Dipôle
Fig.l.9: Dipôle récepteur
Le courant entre par la borne positive (1 > 0 et U > 0). Exemple: un résistor est un récepteur non polarisé, une batterie d'accumulateur en phase de charge est un récepteur polarisé.
111- Théorèmes généraux:
111-1. Loi des nœuds:
Cette loi traduit la règle de conservation du courant. Elle est régie par l'égalité suivante:
.' La somme algébrique des courants rentrants dans un nœud =
la somme des courants sortants de ce nœud.
Ou encore: (Fig.I.lO)
{
EN = + 1 si i N se dirige vers le noeud Avec
EN = -1 si iN sort du noeud i,
"
"
Fig.1.1 0 : Loi des nœuds
111- 2. Loi des mailles:
Le long ct 'une maille fermée parcourue dans un sens donné, la somme des tensions est nulle.
• U,
,
{
EN = - 1
si UN de même sens que celui choisi pour la maille
si UN dans le cas contraire.
Remarque :
Le choix contraire peut aussi être adopté. On peut facilement déterminer l 'équation d'une maille à l'aide des deux règles suivantes:
• La chute de tension est de sens contraire au courant ci rculant dans un récepteur.
• La chute de tension est de même sens que le courant sortant d'un générateur.
~éthodes d'analyse des circuits linéaires 9
10- 3. Théorème de superposition:
La tension entre deux points A et B (ou bien le courant dans la branche AB) d'un circuit électrique linéaire comportant plusieurs générateurs est égale à la somme des tensions (courants) obtenues entre ces deux points lorsque chaque source agit seule.
U=U,+U2
1=1.+12
E,
Un réseau électrique linéaire vu de deux de ses points A et B cst équivalent à un générateur de tension (dit de Thévenin) de force électromotrice En, égale à la tension à vide entre A et B et de résistance interne RTh.
Réseau électrique 'linéaire
ETh ~ U pour 1 ~ O.
Rn est la résistance vue des points A et B, toutes sources indépendantes éteintes.
10 "Exercices et problèmes corrigés d'iledronique analogique
IU- S. Théorème de Norton:
Un réseau linéaire vu de deux de ses points A et B est équivalent à un générateur de courant dont l'intensité du courant électromoteur est égale à l'intensité du courant de court-circuit entre A et B (IN). et de résistance interne ~ égale à la résistance vue des points A et B , toutes sources indépendantes éteintes.
Remarque:
Réseau électrique
111- 6. Théorème de Millman:
La tension V NM d 'un réseau électrique comportant n branches en parallèle est: (Fig.1.lS)
,--__ , __ ______ ---,.-_ .. N
, I~
Fig.LIS: Théorème de Millman
111- 7. Transformation de Kennely:
Ces transformations sont liées aux associations de dipôles en "triangle" ou en "étoile". Le passage de la structure en triangle (A"A"A,) à la structure en étoile (A"A"A"M) sera comme suit: (Fig.1.l6)
Méthodes d'analyse des circuits linéaires
A,
Avec
r, = ---':----"--::-- RI + R, +RJ
1-
fi
T,
rJ
Il
(ENONCES DES EXERCICES)
13
1. C~lculer la diff.j\rence de potentiel (d.d.p.) E. aux bornes du réseau l, puis la rés istance RAB vue iles bornes A et B du réseau fi (Fig. I .17).
R, _! ::z 2"
; : A R, A
Fig.l.l7
2. En utilisant les lois de Kirchhoff, calculer le courant qui passerait dans une résistance R placée entre les bornes A et B du réseau 1. Montrer que ce courant peut se mettre sous la fonne :
1 = ~ '8 +R
Conclure. Application du théorème de Thévenin: CaJculer la tension Vs du circuit suivant: (Fig. l.1S)
R, R, R,
Exerdçç l
V AB du circuit suivant (Fig,1.I9) en utilisant les
R, A
- Millman - Superposition E, R, E, - Thévenin - Norton
B Exertite 3 Fig. 1.19 En utilisant le théorème de Thévenin, calculer la tension V AB du ci rcuit ei dessous (Fig. 1.20). En déduire le courant 1 dans la résistance R.
R, A ~ ~
Exercice 4:
Déterminer la tension Vaux bornes de la résistance R du circuit suivant (Fig, l ,2 1) en utilisant successivement:
a - Le théorème de superposition. b - Le théorème de Thévenin. c - Le théorème de Millmail.
,-__ -, ____ ,-__ ,-__ A
Exercice 5
Trouver le courant 1 dans le circuit ci-dessous (Fig. 1.22) par application des théorèmes de Millman et de Norton.
2 VJr.",'" t
Fig.1.22
Exercice 6 Détenniner les intensités dans les différentes branches du réseau ci-dessoua (Fig. 1.23) par application du théorème de superposition. A.N.: E, = 2 V;E, = 1,5 V
R = 1 {J ' " = 3 {J 'R = 2 {J 'R = 6 {J 'R = 5 {J 'R = 0 {J , ;"~ , J • 4 • S • (1
R, 1. C 12 R2
A E,
B 1,
Exercice 7 :
3- Détenniner Je générateur de Thévenin équivalent au circuit ci-dessous vu des points A et B: (Fig.1.24)
On donne : E, ~ 8 V; E, ~ 12 V; E, = 2 V; Ro = 5 Cl ; R, = 10 Cl ; R, = 15 Cl ; R, ~ 20 Cl.
b- Déterminer le générateur de Norton équivalent.
D A
", ' J R,
B
Fig.1.24
Exercice 8 Déterminer la tension aux bornes de la résÎstance R du circuit suivant (Fig. I .25):
E,
Fig. 1.25
Exercice 9 1. Quelle valeur faut-i l donner à la f.é .m. E, dans le circuit repréienté ci
contre (Fig. 1.26) pour qu ' il soit équivalent (entre les bornes A et B) à une résistance pure ?
2. Donner la valeur de cette résistance.
50
l:J:ercice 10 On considère le réseau de la figure ci-dessous (Fig.1.27) où tous les
sénérateurs de tension ont la même force électromotrice (f.é.m.) E, tous les générateurs de courant débitent le même courant 1 el toutes les ré~i~tance~ ont la même valeur R.
1 • Déterminer le générateur de Thévenin (E"., R.nJ vu des points A, B. 2 . Déterminer le générateur de Norton (IN' RN) entre les points B, C.
ABC
F.xercice Il Fig. 1.27
On se propose d'étudier le circuit de la Fig.I .28 1. Quel est le type de la source (l VI? Par rapport aux points C et 0 : 2. Détenniner le générateur de Thévenin é.quivalent. 3. Calculer de deux façons différentes, la résistance interne de cc générateur.
c
Fig.J.2S
Ec est un générateur de tension et a.V1 est une source liée. Exercice 12
D
On veut associer en sérIe ou en parallèle deux générateurs parfaits de tension ou de courant. Panni les cas envisageables. préciser quelles sont:
• Les associations "interdites", c'est à dire risquant de conduire à la détérioration de l' un au moins des générateurs.
• Les associations "pennises". Donner alors les générateurs équivalents à ces associations.
METHODES D'ANALYSE DES CIRCUITS LINEAIRES
f.:xerCÏce 1
19
• L'application de 1. loi des maiJ1es dans le réseau 1 (Fig.1.I7) pcm1et d'avoir: E - R,.!, - R,.I, = 0 Co> E = (R, + R,).!,
R, l ,
Fig.!.17
R , +R, C'est un diviseur de tension.
• La résistance vue entre les points A et B du réseau Il est:
R ~ RI·R, A.
R I + R , 2. On place une résistance R entre les points A et B (Fig. 1.29):
R.R , . RI l' A On pose r~
R+R ,
Fil(.J.29
En appliquant la règle du divÎseur de courant, on aura: R
I~ , r R + R,
et par suite
Conclusion:
E.R,
(R, + R, )
Ce résultat est aussi obtenu beaucoup plus rapidement par application du théorème de Thévenin:
. On peut remplacer tout réseau électrique linéaire (vu de deux de ses bornes) comportant plusieurs mailles par un simple circuit constitué par un générateur de f.é.m. ETh = Eo et de résistance interne Rn = RAil comme l'indique la Fig.l.30.
Par application de la loi des mailles, on vojt facil ement que:
E, 1 = -=-~
B
Fig.1.30
R
En réalisant une coupure au niveau des points C et D dans le circuit de la Fig.I.18, nous obtenons ainsi le schéma suivant: (Fig.I .3 1)
R, R, c
Calculons la résistance interne du générateur de Thévenin (El. r,) vue des points C et D. La f.é.m. est parfaite et pour l'éteindre on la remplace par un court-circuit, d'où le schéma suivant:
R, R, C R, c
R, R,
Fig. 1.32
Ainsi la résistance équivalente vue des points C et D est: R,.R,
R eD = rl = . +Rs R, +R,
La f.é.m . E, de Thévenin est la tension UCD à vide (ne rien brancher "ntrc les bornes C et D) et c'est aussi la tension aux bornes de la résistance ~! d'où: , E, = R, .E (les résistances R, et R, n'interviennent pas dans le calcul)
.R, + R, Le schemli de la Fig. l.l 8 est donc équivalent au schéma suivant: (Fig. 1.33)
fi R, A
R. r Vs
Fig.1.33 B
Un raisonnement analogue au précédent nous permet de détenniner le générateur de Thévenin équivalent vue des points A et B: (R, débranchée)
O E R, f,.R ,
n trouve l = .E I et rl = + R7 rI +R6 ri +R6
On a ainsi le schéma suivant: (Fig. 1.34) r,
R, Vs = .E,
rz + R, D'où
Excrdee Z Le ~ehéma de monlage élanl celui de la Fig.1.19: a) En appliqu:mt le théorème de Millman, on obtient:
D'où
R R RI,R ,
1 + 2 + ~'---' R,
bl Application du théorème de superposition: • E, ~ 0 (Fig. I .35l
(1.3)
En utilisant la règle du diviseur de tension, on obtient :
Rz.RJ E , 1
• E, = 0 (Fig. 1.36) Dc \u même façon :
RI
Finalement, V AB ~ V AB' + V AB' nous donne de nouveau l'équation (1.3).
c) Théorème de Thévenin : Pour cela, on débranche la charge R, (Fig.I.37) A l 'aide du théorème de Millman, on obtient:
El E, - - -
- + R, R,
RI ,A
RI +R,
",
Fig,1.39
En remplaçant UTh et RTh par leur expression, on retrouve l'équation (1.3)
d) Théorème de Norton : Calculons le courant de court-circuit: (Fig. 1.40)
Il R,
A R,
E, Icc
D'où le schéma équivalent: (Fig. l AI ) A
~ Î :-
•
On obtient: VAB R •. E, - R,.E. R,+R.+R~~, R, A
l , ' l ,
B
Fig.1.42
Déterminalion de RAB Il faut ouvrir les branches des générateurs de courant et court-circuiter les générateurs de tension parfaits. Le schéma devient alors (Fig. 1.43) :
[ Ri
• Calcul de V ABO
D'après le schéma de la Fig. 1.42, on peut écrire:
, V ABO = E + R, .Iz·
. 10 = l, + l, par suite l, = 10 - l,
V ABO Le courant dans R, est nul, par suite l,' =-
Ro V
2S
(1.4)
(1.5)
En remplaçant l, par son expression dans la relation (1.4), on aura:
\ V = R •. (E+R,.!)
• Détennination de la tension V R
En remplaçant le dipôle AB par le générateur de Thévenin équivalent (V ABo, RAB), on obtient le sché,:"a de la Fig. l .44.
" RAB A
B
Fig.l.44
Une simple application de la règle du diviseur de tension, permet d'écrire :
D'où l _ VR = Ro·{E + Rz.!) R- R {Ro+RzHR+RJ)+Ro.Rz
E~ereic~ 4
.) Théorème de superposition: On peut remplacer le schéma de la Fig.1.21 par la superposition de trois étnts d'équilibre comme l 'mdique la Fig. 1.15 .
,-- -----,,----.---,-- --0 A
R V
(c)
Fig.1.45
Le principe consiste à calculer V" V2 et V3 et par la suite en déduire V:
• Circuit <a)
avec 1
TR+ R , )
• Circuit (b)
avec
Finalement
- + - + RI R, R
27
D'après le schéma de la figure ci·dessus (charge R débranchée), on peut écnre :
D'où.
soit finalement:
- + - + - - . RI R, R,
Pour calculer Rn., il suffit de court-circuiter les générateurs, d'où:
1 RTh = 1 1 1
- + - + R, R, R,
r-e==r---~R r V
On il ainsi R
V = ,VTh R+RTh
Fig,1.47 e) Théorème de Millman : L'application du théorème de Millman permet d'écrire :
Exercice 5
- + - + - + R, R, R, R
Déterminons le courant 1 qui traverse la résistance R = ln.
V
Fig,J.22
1
R
En appliquant le théorème de Millman, la tension V sera donnée par la relation suivante :
• :tE, =6+ 4 _ 12+ 4_~+~=!A '~I R, 6 2 4 8 6 2 6 Nil 1 1 1 1 1 1 65_1 • I-+~=-+-+-+- +-+-+I=-() '~I R, R 6 2 4 8 6 2 24
D'où Y = 61,5 mY
=:> 1 = V = 61,5.10- 3
b) Théorème de Norton
29
En appliquant le théorème de N.orton, on aboutit au réseau équivalent ci-dessous (Fig. 1.48) :
6n 2n 4n 8n ~n 2n 1
Fig. 1.48
[
f
1 ~ 1 1 1 1 1 1 1 41 _1 • RN esttelque - = L...-=-+-+-+-+-+-= - ()
R N ' ~ I R, 6 2 4 8 6 2 24
La Fig. 1.48 est ainsi équivalente à la Fig. 1.49 :
La règle du diviseur de courant permet d'écrire: IN v
0,585 1 RN.!N 6 615 mA
RN+R 1,585 = ,
Exercice 6 :
Sur la Fig.I.II nous avons deux sources de tension, donc on va considérer de\JX circuits comportant chacun un seul générateur de tension.
a) Circuit 1 (Fig.1.50) :
-+ Le courafll qui traverse R5 est nul.
Ce qui permet d'écrire:
["_["_VA -VB et [" _ ( _ VA -VB 1 -1- 3 - 4 -
R, + R, R, +R. Puisque V A - V Il = El. alors:
I", = 1", = 0,5 A et 1", = 1". ~ 0,25 A
b) Circuit 2 (Fig.1.51) :
Fig. 1.51
Entre C et D, on voit la résistance ReD :
ReD = (R , II R, )+(R,IIR,)
3 12 A,N, ReD =-+ -
, E, " = --'::--
I ,_ Ve -VD ' Ve- VD , - et ' ,= ---'~---'<.
R, +R, R, +R, Puisque Ve - V D = E, - R,. ( , = 0,465 V, alors:
1", = - 0,16 A l'', = 0,16 A
Finalement, on obtient:
l, = l', + .... = 0,35 A .,=l',+I'',= 0,41 A
; .,=1',+"',= 0,55 A , l, = l', + l'', = 0,20 A
Exercice 7
31
• Pour calculer RTh. il suffit de court-circuiter les générateurs de tension E" E, et E, d'où:
R _ R,.R ,
31 Exercices et problèmes corrigés d'électronique: analogique
• La tension VCB = E" on peut ainsi simplifier le circuit (Fig.I.S3) :
R"
R,
Fig.l.53
Le courant traversant Ro est nul puisqu'on a un circuit ouvert entre les points A ct B -+ VTh ~ VD • .
Par application du théorème de Millman, on trouve :
E, E, + EJ - + - - R, R,
YTh = 1 1 - + R, R,
b) Générateur de Norton:
_ E,.R, + (E, + E,}R, R, +R,
Etant donné qu'un générateur de tension en série avec une résistance est équivalent à un générateur de courant en parallèle avec la même résistance, d'où la Fig.I.54 :
D R" ,----....... --c:::::J--A
A
Méth<.Hies d'analyse des circuits linéaires 33
Le courant de court-circuit ou le courant de Norton est la somme de ces deux courants Il et Iz.
E, E, +E, 1.=- + et
R, R, R,.R,
Exercice 8 :
l E , E, - E,
0+ - + V = R, R,
18 V, 4 n
Fig. 1.26
1. Dans la maille (1), on a deux générateurs en sene. Ces deux générateurs sont en opposition donc la F.é.m. équivalente est:
E, = 18 - 6 = 12 V
34 Exercices ct p.-oblèrncs corrigés d'électronique analogique
En remp1açant le générateur de tension par un générateur de courant, on aura le schéma de la Fig. 1.55 :
c sn A
12 Avec l' = -= 1 2A , 10 '
On regroup<: les deux résistances de 10 Q en parallèle entre C et D ct on revient à la représentation de Thévenin (Fig. 1.56).
C r'--~ c
Avec E', -5. I,2=6V Fig. 1056
On obtient ainsi un circuit électrique ayant une seule maille (Fig. 1.57)
sn
sn
IOn
B
D'après la Fig. 1.44, pour aVOIr un CIrcuit equivalent à une résistance fO
entre A et B, il faut que E = 6 V(car E', = 6 V).
2 . La résistance éqUlvalente est:
r = 10.(5 + 5 + 5) _ Hl o 10+5+5+5
Exercice 10
1- Générateur de Thévenin (entre A et B) • Détennination de RTh
35
Il faut court-circuiter les générateurs générateurs de courant (Fig.I.58) A
de tension et ouvrir les B c
R R
R R
Fig.1.58
• Détermination de ETh Pour déterminer Eth (tension entre A et B), il vaut mieux appliquer le théorème de superposition (Fig.I.59):
A E C A B C
R F R R
R 1 R R
R R R F
LEE Fig.1.59
':'Circuit (a) : Le circuit est équivalent à la Fig.I .60:
A V,.. B VABI =R.I
R
Fig. 1.60
Car R n'est traversée par aucun courant, puisque c'est une branche ouverte.
';'Circuit (c) : VAB'~O
':-Circuit (d) : VAB4~O
O'où finalement: y A8 = V ABI + V ABl + V A83 + V AB4 = R.I
Z· Générateur de Norton (entre B et C)
• Détennination de RN
Entre B et C la résistance vue est : (Fig. 1 AS)
R RN=R IIR=-
2 • Détennination de IN
Oe la même manière :
':'Circuit (h)
':'Circuit (c)
·:·Circuit (d)
-+ VBC2 =O R E -+ VBC3 =-.E =- 2R 2 R E -+ VBC4 =-.E=-
2R 2 D'où Voc = VOC1 + VBC2 + Veel + YBC<4 = E
Ce qui permet d'écrire : 1 _ 2.E
N - R
Exercice 11
1- aV 1 est un générateur de tension commandé en tension.
2- D'après la Fig,1.28 :
VCD = -R.,.!
ou aUSSI
37
(1.6)
(1.7)
(1.8)
(1.9)
Les équations (1.7), (1.8) et (1.9) permettent facilement d 'établir la relation suivante :
E -a.R,.Ec
(1.10)
3- La résistance RTh est la résistance vue entre C et D. On peut la calculer par deux méthodes différentes.
a) Première méthode: On court-circuite l'entrée et on place un générateur de tension parfait en sortie (Fig.1.61).
R = Vs Th 1
Vs " Vs D'où ""7"" = R, + (1 + a).R, et Is ~ -
~ R, Et finalement :
l,
h) Deuxième métbode (généralement utilisée avec les souro.. liée,): D'après l'équivalence Thévenin-Norton, on peut écrire :
RTh=:En IN
Calcul de IN :(Fig.1.62)
(1.12) donne: V, = Eu + R,.lN Dan, (1.11) :
R,
IN
Cl EG + Cl. R' .!N + lN.(R, + R, ) = o. D'où IN= -aEc (l+a).R,+RJ
Et finalement : [RJ+(I+u).Rl]. R, (l+U).Rl +RJ+ R.
(1.11) (1.12)
Métbodes d'analyse des circuits linéaires 39
Exercice 12 Pour être pennise, une association de générateurs doit conduire pour
chacun d'eux à un point de fonctionnement correspondant à des valeurs finies de l'intensité et de la tension aux bornes.
Etudions de ce point de vue les différents cas possibles:
a) Deux générateurs de tensions en série: (Fig.1.63) Cas classique, l'ensemble est équivalent à un générateur de temiion
umque. El +Ez E, E,
e e <=l e Fig. 1.63
b) Deux générateurs de courant en parallèle: (Fig. 1.64 ) l,
-(B- l, Fig.1.64
Fig.l.65
d) Deux générateurs de courant en série: (Fig.I.66) l, l,
Fig. 1.66
e) Association mixte série: (Fig.l .67)
l, E,
l ,
l,
(Bl-- Le courant dans la branche eSI imposé et vaut l,
E,
La. tension aux bornes de l'ensemble est imposée et le courant parcourant le reste du circuit peut prendre une valeur quelconque.
D'une Cayon générale, il faut penser au théorème de Thévenin pour calculer le générateur équivalent.
CJ{.J,.rpI<[~P' 2 CFR.GVn$ fEDECl7RJQVŒS fE'NCJ{fEqI:MfE
<J!Rfl'NSI'l'OI(j{fE fE'l' SI:NVSOÏCJJ.llL
CIRCUITS ELECTRIQUES EN REGIME
1- Ré2,ime transitoi re
I-I-Définition : Le régime transitoire (temporaire) est défini lorsqu ' il existe un intervalle de temps où les courants et tensions évoluent pour atteindre leur valeur finale.
1-2-Etude d'un circuit RL : Considérons un circuit électrique (représenté par la Fig.2. 1) comportant une source de tension de f.é.m, E en série avec une bobine et une résistance R.
L
,'. E ,,\
Fig,2.!
A la fermeture de l'interrupteur K, l'application de la loi des mailles permet d'établir l'équation suivante :
L di
R ' E - + .1 = dt
C'est une équation différentielle de 1 cr ordre admettant comme solution générale:
i(t) = A.exp( - ~ t) + :
A est une constante à déterminer par les conditions initiales.
Supposons que: i = 0 à t = O. d 'où A = _!. R
Par suite i( t) = : [ 1 - exp( - ~ t)]
La rapidité de l'évolution temporelle est caractérisée par la constante de temps t du circuit définie par:
L 1=-
44 Exercices el problèmes corrigés d'électronique Sln210gique
Le comportement du courant lors de l' établi s:~emen t du régime est comme sui t: (fig.2.2)
E
R . __ ........... ,,_ .. _ ... - ......................... -.. _-_ .. -...•.. -
t
Si on ouvre l'interrupteur K à nouveau, le courant suit l'évolution suivante: (Fig.2.3)
E
R
a '[
Fig.2.3
1-3- Etude d'un circuit Re : Soit le circuit électrique de la Fig.2.4 :
R
Fig.2.4
vc
q étant la charge d 'une annature du condensateur. n en résulte d 'après la loi des mailles:
E = R.i + v c = R. dq + .i dt C
t
Circuits électriques en régime sinusoïdal et transitoire 45
C'est une équation différentielle de 1 er ordre dont la solution est:
q(t) ~ A.exp(- ;C) + C.E La constante A est déterminée par la condition initiale:
à t = 0 q(t) ~ 0 soit A ~ • C.E
d'où q(t)~c.E{I-exp(-;c)] • L'évolution en fonction du temps de la tension aux bornes du
condensateur est donnée par la Fig.2.5
q/C
EIR
o RC Fig.2.6
L'intensité s'annule progressivement lors de la charge. L'énergie stockée par le condensateur est:
U ~ -'- ~ ~ -'- C E' e' . • 2 C 2
1
t
46 Exercices et problèmes co.-rigés d 'électronique analogique
1-4- Etude d'un circuit RLC : Soit un circuit comportant une résistance R, une self L et une capacité cn série avec un mterrupteur K (Flg.2.7).
R L
Fig.2.7
Supposons que le condensateur 59)t initialement chargé (q(t= O)=Qo et i(t~O) ~ 0). Fennons l'interrupteur K, les charges vont s'écouler à travers la résistance R et la self L créant un courant i. Nous pouvons à l'aide de la loi des mailles établir l 'équation dIfférentielle du second ordre:
L d' q + R dq +.1 ~ 0 dt ' dt C
. 2 L Le dlscnmmant ~ :::;; R - 4. -
C Suivant la valeur de 6, nous pouvons distinguer troiS cas: • 6>0
La solution de cette équation se présente sous la forme:
q(t) ~ A.exp(- r,.t)+ B. exp(- r,.t)
R /R'l r, ~-2L +V4ïJ - iC
R ~2 1 r ---- ---- , - 2L 4L' LC
avec:
A et B sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales.
q
Fig.2.S
ILII => \
• 6 < 0 L'équation caractéristique a deux racines complexes conJuguées:
n ~ - R +' 2L
n~- JL- . 2L
R' 1 . ---+ - ~ - a. -J(O 4U LC
La solution de cette équation se présente alors sous la forme :
q(t) ~ K.exp(- a. t)cos(w t +<1» avec qo~ K cos(cp) et Il ~ - w tan(cp)
q --.... _,-
périodique ou oscillatoire amorti
la solution de cette équation se présente sous la forme :
q(t) ~ (A + B.t )exp(- a t)
q
ICII ::::::>
Fig.2.10
11- Régime sinusoïdal permanent On adopte une notation complexe pour étudier les circuits électriques en
régime sinusoïdal pennanent. A toute grandeur instantanée A(t) (tension ou \iVI,lHml) ;:;iuui::iv"idalc de valeur efficace Aeff :
A(t) = A.rr.J2.cos(rot + CPA)' on associe la grandeur complexe:
A = Ac« . .J2.e j (wt+IPA
)
2)N =0 el 2>N =0 N N
II-l-Puissam;e reçue par un dipôle:
i(t) jc ~ yipôle ..
• L" pui1:i~ance instantanée cst définie par: pet) = v(t).i(t)
• La puissance moyenne(") reçue par le dipôle dans le cas d'un .régime périodique de période T est définie par:
1 fT Pm = - P(l).dl T 0
Rappelons aussi qu 'en régime sinusoïdal permanent, la loi d'Ohm reste valable: (Fig.2.l2)
z ! ~--I~"""'c:::J"I---
V
Fig.2.12
(*) La puissance moyenne est aussi appelée puissance active: Pm = Veff . ~ff . cos( <Pv - <Pi) ; cos( <Pv - <pa est le facteur de puissance du dipôle.
La puissance complexe: 1 •
P=-.V.I et Pn, = Rel(.r:) ; avec 1" le conjugué de 1. 2 -- ..
Circuits électriques en régime sinusoidal et transitoire 49
L'impédance Z peut être celle:
~ D'une résistance R -+ Z = R
Z l , 1 C dV ~ D'un condensateur C -+ = -- pUIsque = ~
- jCoo - dt
~ d'une bobine L -+ Z = J'Loo puisque V = L dl - - dt
• L'association de dipôles linéaires d'impédances complexes ZN peut être en série ou en parallèle:
~ Association série: Z = l ZN N
"- " Il ' 1 l ,,1 r ASSOclatlOn para e e : - = i..J- Z N Z N
D-2-Etude des phénomènes de résonance: • L'impédance complexe d' un circuit RLC série (Fig, 2,13) est définie
par l'équation suivante :
I=--~--,-- - 1
~ Ji
Fig.2.13
00 1 Loo 1 x = - 'ro = et Q = _ _ 0 = : facleur dequalilé
000 ' 0 .JLC R RCroo L'expression de l'intensité du courant devient alors:
1 = V
- R(l + jQ(x <)) ! est complexe, on peut détenniner donc son module et son argument:
50 Es:erc:ices et problèmes torrigés d'électronique analogique
L'amplitude 1 du courant est maximale et le déphasage <jl est nul pour la pulsation IDQ,
On dit que le circuit est à la résonance. La pulsation COo et la fréquence corrcspondante fo = rool27t sont appelées respectivement pulsation propre et fréquence propre du circuit. Dans ce cas l'impédance Z est minimale et on a :
V Z=I?j=-I =R
~
La courbe de résonance (1 en fonction de 00) est représentée sur la figure2. 14.
1
vnt ----------------
V -~~------
.J2R
+==:::::=-----+---!-~-_..::::::::""' ...... ~ (" (01 mo W 2
Fig, 2,14 Les pulsations (0 1 et (02 sont appelées respectivement pulsations de coupures basse et haute et sont déterminées en résolvant l 'équation :
z- 111111:< -~ - .J2 - .J2R . On trouve:
R (0 ;;;;--+
La tension aux bornes de la bobine est:
R et (O ~ =-+
R' , - -2 +000 4L
si Q > l , il y'a surtension aux bornes de la bobine et du condensateur, d'où le nom de coefficient de surtension pour Q.
Circuits électriques en régime sinusoïdal et transitoire 51
• Cas d'un circuit RLC para llèle (Fig.2. IS) :
1
L'admittance de ce circuit est donnée par :
1 1 . 1 ) G '(C 1 ) Y= ~=- +J(Cûl-- = + J ûl- - - V R Lw Lw·
L'étude de ce réseau peut être ramenée à celle du circuit RLC série à condition de remplacer l par V, R par G, L par C et donc C par L. Ainsi les résultats obtenus pour le circuit série sont utilisables pour le circuit parallèle.
L'admittance Y=IYI est minimale (Y m;' = G) pour une pulsation Wa = wo, dite pulsation d'antirésonance. Nous pouvons avoir dans ce cas une surintensité dans la bobine et le condensateur.
1I-3-Représentation de Fresnel:
A chaque grandeur sinusoïdale du type A(t) = A o.COS(ûlt + <jl ) ,
on associe un vecteur d'ampli tude Ao et tournant avec la vitesse angulaire w mais que l'on représente à l'instant t=O.
A(t) sera représentée par un vecteur A de module Ao ct fai sJ '11 un angle t:p
avec l'axe Ox. La dérivée de A(t), ie dNdt = -",A. sin(",t + <pl = "'A. cos(",t + <p + ,,/2)
- sera associée à un vecteur J d'amplitude wAo et en quadrature avance
sur A .
La primitive de A(t), ie f Adt = (ArI",) cos("'t + <p - ,,/2) sera associée à un
vecteur K de module Nro en quadrature retard sur A , donc en opposition
de phase par rapport à J .
D'où le schéma suivant:
- J
Ox
K
La constructÎon de Fresnel pour un circuit RLC série se déduit facilement du schéma de pnnclpe précédent. Ainsi en prenant le courant comme origine des phases nous obtenons le schéma SUlvant: .
u
RI
Lorsque cp est positi f, le courant est en retard par rapport à la tension et le circuit est globalement mductif.
Circuits électriques en régime transitoire et sinusoïdal
Exercice 1
53
Soit un circuit électrique formé par un condensateur C. un interrupteur K et un générateur de courant rée l, d'intensité 1 et de résistance interne R (Fig.2.16).
1
R ~ 5 MO ; C ~ 1 f.LF ; 1 ~ 1 f.LA
A l'instant t = 0, le condensateur étant i nit i al~ment déchargé, on ferme K . • .1. _ .
1. Ecrire l"équation différentielle à laquelle obéit la charge Q du condensateur et la résoudre.
2. En déduire l 'expression du courant idt) ainsi que la tension ud t) ct faire leur représentation graphique.
Exercice 2
On se propose d'étudier les évolutions respectives de la tension aux bornes d' un condensateur C et de celle aux bornes d 'une bobine L, dans les circuits représentés ci·dessous : (Fig.2. 17 et Fig.2 .18)
l , R K R "
Fig.2 .17
" R K R l ,
Fig,2,tS
. 1. A l'instant t ~ 0, on ferme l'interrupteur K et on suppose que le
condensateur C est complètement chargé. Détenniner la différence de potentiel vit) aux bornes du condensateur C.
2. A l 'instant t ~ 0, on ferme l' interrupteur K', Déterminer la différence de potentiel y'(t) aux bornes de la bobine L.
Exercice :1
Une bobine réelle peut-être modélisée par le dipôle AB schématisé par le circuit de la Fig,2,19,
L R2
~ : résistance interne de la bobine.
On applique entre les bornes A et B de la bobine une tension sinusoïdale de pulsation 00.
l, Déterminer l'impédance ZAB de cette bobine, 2. Lorsque RI » ~ montrer que ZAB peut se mettre sous la fonne
a + j,bro z ~ où a, b et d sont des constantes réelles que l'on -AB 1 + j,dro
détenninera.
Exercice 4
1. On alimente le circuit RLC suivant (fig.2.20) par un générateur de tension sinusoïdale.
a. Déterminer l'impédance complexe ZAB ainsi que la fréquence de résonance.
b. Déterminer le coefficient de qualité du circuit. c. Calculer à la résonance les tensions aux bornes de L, C et R.
Interpréter ces résultats A.N.: R = 50 ; L = lmH; C= lnf.
A R
~ 1 1
B Fig.Z.ZO
2. Soit le circuit RLC parallèle (Fig.2.2 1) alimenté par un générateur de courant sinusoïdal.
a. Déterminer l'admittance complexe Y AB ainsi que la fréquence d'antirésonance.
b. Déterminer le coefficient de qualité. c. Calculer à )'antirésonance les courants circulant dans L, C et R.
Interpréter ces résultats. A.N.: R = IOKO ,
1
L R c
B Fig.2.21
On relie la sortie d'un générateur de force électTomotrice sinusoïdale d'amplitude Em et d'impédance interne Z = R+ jX à une charge Zc = Re + jXc· 1. Déterminer la puissance P fournie à la charge. 2. Pour une charge Zc variable ( Re et Xc sont variables), dans quel cas la
puissance P est-el1e maximale?
Exercice 6
e(t)
R,
Fig.2.22
Cp : Capacité parasite en parallèle à R,. C, : Capacité variable.
C,
Cp r 'C t)
1. Déterminer la tension litt) en fonction de ~(t). 2. Quelle relation doit lier R" R,. C, et Cp pour que le rapport §(t)/~(t) soit
indépendant de la fréquence . 3.
a. Soit R, = 990 kil; R, = 10 kil; Cp = \0 pF. Quelle est la valeur de C, ?
b. Cette valeur est-elle pratiquement réalisable? Si non comment peut on contourner cette difficulté?
Exercice 7
" "
'--__ ...:.--..J
Fig.2.23
L n ' "L ' 1 = a. 1; 2 = a. n2 ;
nI> n2 : nombre de spires des enroulements primaire et secondaire. LI' Lz : coefficient d'auto-induction.
Circuits électriques en régime transitoire et sinusoïda l 57
On suppose que le couplage est parfait, donc le coefficient de mutuelle
inductance s'écrit: M = .JL1.Lz , et que n l!l + n21 = o. 1. Etablir la relation entre YI et Y2•
2. Détenniner le schéma équivalent ramené au primaire, pUIS celui ramené au secondaIre.
3. DédUIre des questions précédentes l'utilité du transformateur.
B) La puissance apparente d'un transformateur parfait en charge cst S = 3 kVA.
1. Quelle est la pUIssance active fournie par le secondaire, si la charge est:
a. purement résistive? b. inductive, avec un facteur de puissance de O,8?
2. Les mesures de l'intensité fournie par le secondaire et de la tension aux bornes de l'enroulement primaire ont donné: IzclT = 27,3 A et V leff = 220 V pour une charge purement résishve .
a. Quel est le rapport de transformation? b. Quelle serait j'intensité du courant débité par le secondaire si la
charge était inductive (cos <P2 = 0,8), la tension au primaire étant V,," = 210 V (P, = 2,4 kW)?
I:xercice 8
~ [ R, R,
, r ,1\ "\
M Fig.2.24
Avec e (t) = Ecos wt et vlt) = V" cos(wt + <pl, 1. Proposer un schéma électrique plus simple, et déterminer vs(t) en
fonction de e(t),
2. En déduire la valeur de q> amsl que
rapport si 13» 1.
V le rapport _s ,
E que devient ce
3, Montrer qu'entre les points S et M, le circuit proposé (Re débranchée) (i1)t équiva1ent à une source de tension sinusoïdale dont on précisera la f,é.m, ct la résistance Înterne.
Exercice 9
M i(l)
C
N
e(t) = 30 . .J2.cosmt Fig,2.25
Lro = R=200n;R'= 100n et Cm= 10"n". 1. Calculer l'admittance YMN vue par le générateur. 2. Déduire la valeur efficace et le déphasage, par rapport à la tension e(t),
du courant i(t). 3. Calculer les courants électriques il. h et i3 traversant les trois branches
en précisant pour chacun la valeur efficace et la phase à l'ongine.
Exercice 10
SOIt le circuit suivant: (Fig.2.26) 1. Exprimer!z en fonction de !\_ 2. Montrer que l 'on peut écrire:
I, =C: jX} avec x = RC",
3. Déduire l'expression de la tenslon de sortie y. en fonction R, x et 1.
R A 1
Fig,2.26
4. Exprimer la tension d'entrée en fonction de x et! et déterminer l'impédance d'entrée du circuit.
5. Déterminer le gain en tension G = IVslVel et traccr la courbe G(,,),
CIRCUITS ELECTRIQUES EN REGIME
Exercic~
59
1. Lorsque K est fenné le schéma devient comme l'indique la Fig.2.27 >
d'où le courant 1 :
R c
sachant que ic(t) = dQ dt
3. La résolution de cette équation comporte deux parties: • Une solution de l'équation sans second membre:
dQ+~.Q=O avec t=RC dt t
Cette équation admet comme solution:
Q =A.exp( - :)
• Une solution particulière déterminée comme suit:
Pour Q = constante -+ dQ = 0, d'où _1_ .Q = 1 dt RC
Il en résulte Q = RC.! Par suite la solution générale sera:
Q(t) = A.exp( - :) + RC.!
Enfin Q(t>=Qo{l-exp(- ~)] .. . ~ ..
A.N. : Q, = 5.10" Coulomb
Sit = t alors Q(t)=Qo.[I-exp{-I}J" 2Qo 3
2 't' est la durée nécessaire pour avoir une charge à - .Qo .
3 4. Le courant ic(t) et la tension Uc(t) s'expriment par:
id!) '" dQ(t) et uc(t) = Q(t) dt C
D'où ic(t) = {ex{- :)] et uc(t)=RI{I-ex{-:)]
5 4,3 3,2
Fig,2,28 Oc est bien une fonction continue contrairement à ie·
ExercIce 2
1. Au nœud A, on peut écrire: (Fig.2.29) il + iz = j + h
Avec i = dq = C dv dt dt
. v et" =
E,
Fig.2.29
La loi des mailles permet d'écrire: E,= E = v + R.i, E,= E = v + R.i,
Les équations (2.2) et (2.3) donnent les courants: . E-v . E-v Il := et 12 =
R R
(2.2) (2.3)
En remplaçant tous les courants par leurs expressions dans l 'équation 2.1, on aura:
E-v E-v v dv -=------'- + = - + C-
R R R dl d·où J'équation différentielle:
dv 3 2.E -+-V=-- avec 't=RC dl 1 1
La résolution de cette équation donne:
v(l) = Aexp( - ! 1 J + 2;E
E à t = 0; v(O) = E, = E =:, A = -
3
D'où la solution est: v(l) = ~..[ 2 + exp( - ! 1 J] A.N. : v(t) = s[ 2 + exp( - ! 1 J]
La courbe représentative sera comme l'indique la Fig.2.30 : v
15
10 ·· ·············· · ··· ····· ········· .. ··· ..
2, Au nœud A, on peut écrire : (Fig,2,31) i' 1 + ( 2 = ( + i')
1 1 R A
Il', R ~'(t)1 , , Fig.2.31
La loi des mailles permet d' écrire: E' , =E' = v' + Rj ', E', =E' ~ v' + R,i',
R
L
, ,
" " El-v' dl" y' 1,=1,= epusona 1, =- R R
'. ' '() L di ' D'autre part on peut aussI ecnTe: v t = - dt
Ainsi l'équation 2,4 devient: E'- v' .' Vi
2 ~I + - R R
" , ili' E' , L 1 +3,t -~ 2- avec t = -
dt R R
(2.5) (2.6)
Et la solution est du type : j'(t)=Aexp(-_I_, t)+2!.' or à t=O 3,t R
on ferme K et on suppose qu'un régime permanent s'est établi E' ,
auparavant. On peut donc écrire i' (0) = _ , = E , R R
Finalement i'(t) = 2!.(l-~exJ _ _ 1_, t) R 2 t1l 3.t
La courbe représentative de i' (t) sera comme l' indique la Fig,2,32 :
i'(I) 2E'IR
On constate bien que le courant dans une self est une fonction continue.
Exercice 3:
1. Let R, sont en série et les deux en parallèle avec R, d'où: 1 1 1 -~-+---
ZAB R, R, + jLm
1 + - ' + j - - - ro R, R,
2, Lorsque R, »R" l'impédance ZAB devient:
R, + jLm ZAB ~ . L
a. L'impédance vue entre A et B a pour expression:
ZAB ~ R + {Lm- Cl",)
63
(2.7)
A la résonance l'impédance ZAB est équivalente à une résistance pure ZAB = R, ce qui se produit pour une pulsation "" telle que:
1 Lm, ---~O
f~roo_ 1 o 2" 27t-JLC
b. Le coefficient de qualité à vide Q, est donné par:
Par suite, l'expression de ZAB devient:
ZAR = R+i(Lw- - 1 )=R[I+jLwo(~_ 1 )]
Cm R mo LCmom
R "LC
On obtient ainsi: ZAB = R[I + jQo( :0 - ~ )]
c. A la résonance ZAB = R, donc le courant qui circule dans le circuit sera maximal:
1 = V AB - R
• Tension aux bornes de L :
', ... l' V AB 'Q V V L = JLWo_ = JLwo R = JO_AB
• Tension aux bornes de C :
V - 1 1 __ ' V AB - _ 'Q V _C - jCm
o - - ) RCm
q>=O U U C L
1
VAS = RI
Interprétation: On voit bien que Yr. et V c sont en opposition de phase et la tension
totale est en phase avec celle aux bornes de la résistance R. A.N, :
• mo 1 fo =-= = 159kHz
Circuits électriques en régime transitoire et sinusoïdal 65
On voit qU'li y'a une surtension aux bornes de L et de C, d'où le nom de coefficient de surtension pour Qo.
IVLI=IV cl =QOVAB
Si par exemple V AB = 10 V alors IV L 1 = IV cl = 200.10 = 2000 V
Il faut donc s'assurer que les composants sont capables de supporter une telle surtension.
2. a. L'admittance vue entre A et B a pour expression :
y = _1 + J.(COl _ _ 1_) _ AB R Loo
A la fréquence d'antirésonanc:e l'admittance YAB est réelle YAB =
IIR (le déphasage entre l et YAB est nul: q>=O) 1
d'où COlo - -- = 0 LOlo
b. Le facteur de qualité Qo est donné par:
m. 1 et f, = - =-~_ 27t 27t~LC
Q =RCOl =~=Rft o 0 LOl L o
Par suite, l'expressio,\de.YAn devient:
y AB = J..[I + jRCOlo(~ - 1 J] R 00 0 LCOloOl
1 Sachant que Qo = RCOlo et 00 0 = ~
"LC
Alors Y An = ~ [1 + jQo( :0 - :: J] Al 'antirésonancc YAB = R.I et le courant est maximal.
• Courant dans la self:
1 = V AB = R.I = _.Q 1 _L jLOlo jLOlo J 0·_
• Courant dans le condensateur:
• Courant dans la résistance: 1.=1
- Interprétation: 1 - 1 R-
Les courants 1. et k sont en opposition de phase et le courant total 1 est en phase avec celui dans la résistance k.
A.N. :
• Qo = RC",o =Rft =100
Si 1 = 10 mA alors le = h = 1 A. Nous avons bien une surintensité dans la self et le condensateur
Exercice 5
z
Fig.2.33
P = Re (~u.() 2- -
Sachant que U = ~d
2. La charge varie donc Xc et Re ap
puissance, il faut que -- = 0 aXe
varient. Pour avoir le maximum de
ap (X + Xe )ReE~ Or---=~~~~S-~~~
aXe ({R+ReY +(X+Xe }')'
et
ap (R-R )E' Et par suite - - = e ;' = 0 ~ Re = R
aRc 2(R+Re ) La puissance moyenne reçue par la charge est donc maximale si son impédance est égale au conjugué de l'impédance de la source Zc = Z*.
On dit qu'il y a adaptation d'impédance et la puissance maximale vaut alors
E' E' Pmu. = ---..!!!... = ~ la puissance reçue est égale à la puissance dissipée par
8R 4R la source.
Exercice 6
1. En appliquant la règle du diviseur de tension, et en posant
Z=R //Z= RI Z=R //Z= R , -II _CI 1+ jR,C,ro' _2 "1 _ Cp 1+ jR
2 C
1 ,ro
On obtient alors: ll(t) Z ~~ .,(1) ~ .,(1) -1 _2 l+d
Z,
1 ~(t) = _ e(t)
1 + R, . 1 + JR 2C p Ol R 2 1 + jR,C,w
2. Pour que le rapport ~(t) soit indépendant de la fréquence, il faut : «(t)
3.
d'où RICI = R,C p
a . La valeur de CI est : R2 CI = - C p R,
A.N. :
CI =O,lpF
b. CI = 0,1 pF est une valeur très faible et il n'existe pas de condensateur qui a cette capacité. Pour contourner cette difficulté il faut rajouter un condensateur en parallèle avec Cp : C,=c;.+c. Si par exemple C = 1000 pF alors C, = 1010 pF. Par suite
C = R,C 1 R '
A.N. : C = 10.10] 1010.10-1' = 10 2 F 1 990.10] , P
Cette valeur de CI est réalisable en pratique. C'est le principe d ' une sonde d 'oscilloscope R, et c,. représente l'impédance d'entrée de l'oscilloscope et on prévoit le réglage de CI pour que la sonde ne déforme pas le signal à visualiser sur l'oscilloscope.
Exercice 7:
A) 1. D'après la Fig.2.23 et en appliquant la loi des mailles, on obtient:
{~I : jLIOl·i1 + jMw.i, : e(t) ~ ZI·i l (2.7)
~ , - JL , Ol.!, + JMOl·lJ - -Z, .! , (2.8)
2.
. M . 'ML, . v, = JL, MOl.!, + J LOl'!1
1
Or
L, L, (L; M = JL,L, = fL," ~= JL,L, = ~L, L, L, L,
[L;ÙM ' 'L . ) D' où ~'=v""L" 0l·12 -; J 10l·" . v,
Et puisque L, n ~ _(n,)' LI = n ~ - ~
Alors .!.z == Oz .!.1 == m.!.. ; m : rapport de transformation. D,
~,
Ze = v, = -;-. = -4(-.~') = Z; !1 -m·12 m 12 m
D'où le schéma de montage ramené au primaire: (Fig.2.34) Z,
Fig.2.34
v, =e(t) - Z ,.i ,
D'où ~, = m.e(t) + m' .z, ,1,
69
D10ù le schéma du montage ramené au secondaire : (fig.2.35)
ml,ZI 12
Fig.2.35
3. Un transformateur peut être utilisé comme: • Elévateur ou abaisseur de tension ou de courant sinusoïdal ; • Adaptateur d'impédance; • Isolateur de masse (01 = 1).
H) 1. Pour un transformateur parfait la pui ssance absorbée par le primaire PI
est égale à la puissance fournie par le secondaire à la charge P2.
2.
{ fi =y"rr 1"rrco"l" P2 ~ V2Cn' 1 2efT COS<p 2
V ~clr I l rff 01= - --=-- V1eff 12eff
a . Cas d'une charge résistive :
donc <.pl :;: <Pl-
cp ] == 0 :0 P l = S .COSqJ2 = S A.N. : Pz = 3 kW
b. Cas d'une charge inductive: COSCP2 = 0,8 => P l == S.cosep!
A.N. : P, = 2,4 kW
V1cff
z,rr
D'où V1trr S
P, T 2eff = ----'---
sachanlque V l..,(f :;::;; m.VI~«
Exercice 8:
1. Par la Fig.2.36 on propose un schéma plus simple:
pi
\.J[
Fig.2.36
M
71
2. Dans le circllit précédent (Fig.2.36), la source e(t) avec la résistance R. en série peuvent être remplacées par le générateur de courant équivalent
(Générateur de Norton) : (Fig2.37)
Fig.2.37
Ln Fig2 .3 6 devient comme l' indique la Fig.2.38 :
pi
v, (t) + vs (l) = - p.i
R J R e Et dans la partie de gauche :
e(l) u u u . --=-+ - +-+1 R g R g R, R ,
s
(2.1 0)
Enfin, aux bornes de R : u = R.([3+I).i (2.11) En tenant compte de l'équation (2 .11). l 'équation (2.10) devient :
Les équations (2.9) et (2. 12) donnent:
v set) p c(t) 1 R'C Rg
La tension vs(t) est en opposition de phase avec e(t), d'où: v,(t) = -Vs cosrot v,(t) = Vs cos(rot + n) , d'où <p = n
avec Vs= p·E R'c R , l+{rl+l)..R..
R",
• Si ~ » 1 et en supposant que le rapport des rés istances RR CQ
n' est pas très fa ible, on obtient alors:
Vs R'e R~'l
( ) e(t) R'Q 1
" R,
is(t)
Fig.2 .39 Fig.Z.40
Ou en core, en revenant à la représentat ion de Thévenin: (Fig_2AO) L' amplitude Es de la source de tens ion sinusoïdal e a pour valeur:
Es =R ).Is=R).~. ~': Et la rés i stanc~ in terne est: Rs -= R3'
Exercice 9
1 1 Y MN ~ - + - - + ---,-
R JLO) R, _ __ J CO)
Y =_1_+_1_ + 1 =_I_ (I _ J)+ _ I_ ( I+ i) _MN 200 j.200 100.(1 - j) 200 . 100 2
Final ement, on obtient: Y"N = _1_ = 1 . R' 100
2. Le courant dé livré par le générateur est :
;(t) ~ Y MN .e(t) ~ _1 E.fi. e j,,, R'
L'expresslOn de l( t) est de la forme: i( l) = 1 .Ji. C I(PCJ~Jl
74 EJ:ereiees et problèmes corrigés d'électronique analogique
Donc i(t) est en phase avec e(t) -+ cp = 0 E 30
ct a pour valeur efficace -+ 1 = - = - = 0,3A . R' 100
3. Le courant dans les trois branches : • Courant dans la bobine :
1 (;;" 1 (;; -~ " Î!(t)=Yl.e(t)= -Ev2. e'"' =-v2. e '.e'·"
jR 2 11
Et la valeur efficace est: l, = - = D,ISA . 2
D'où i,(t) = ~.fi. cos( rot - ;)
• Courant dans la branche C, R' :
. (1 + J') (;; ,"u, .fi.! (;;2 ;, '"' I, (t) = YCR·.e(t) = EvZ. e- =--v'/' . e .e 2R' 2
Donc la phase de i,(t) est: cp, = 11 4 .fi
Et la valeur efficace est: l , = -1 = D,2lA . 2
D'où ilt) = ~ I.fi. cos( rot + :)
• Courant dans la résistance R :
i,(t) = li.fi. e'" = ~.fi. ei.' R 2
Donc la phase de i,(t) est: cp, = 0 1
Et la valeur efficace est: l , = - = D,ISA. 2
D'où i,(t) = ~.fi. cosrot 2
- l,
Exercice 10
U - 1 12 FM =ZC2 =--
- - - jCw
La maille de sortie donne; -~ch + Zd, + R·l, = 0
par suite 1, = ( R ~:c J!, = Uc + 1 J!, D'où
!, = (1 + jx~!, avec x = RCw
2. La loi des nœuds au point F donne: l , + h = 1
Par suite 12 = 1 - I l = (1 + jX}!1 D'où
l, =( 2:jx}I
avec x =RCw La tension de sortie a pour expression: Vs = R.II
JI suffit de remplacer 1 par son expression (2.14), pour obtenir:
v s =( R ).1 - 2 + jx -
_ avec x = Rem 3. La maille d'entrée donne:
V, = R·l + ~c.h Les équations (2 .13) et (2 .14) donnent:
1 = ( 1 + jx ).1 _ 2 2 + jx -
avec x = RCw
75
(2.13)
(2.15)
(2.16)
En remplaçant les courant.;; 1 et h par leurs expressions, l'équation (2.16) devient:
V = (R ; ~ 1 + jx ).1 - , jx 2 + jx -
D'où
v = R.[3X+ j(x' -1)].1 - , (2 + jx).x - avec x = RCw
(2.17)
76 Enreices et problèmes corrigés d'électronique analogique
L'impédance d'entrée est définie par: l",= VJl et d'après l'équation 2.17 on en déduit que:
Z = R[3X+ j.(x 2
-1 l] _ e x.(Z + jx)
4. Pour exprimer ~ en fonction de V" il suffit de tirer le courant 1 de l'équation (2.17) et le remplacer dans l'équation (2.15) :
D'où
Enfin
1 = ( (2 + jx).x ) V. - 3x + j(x 2 - 1) R
V _ ( R ) ( (2 + jx).x ) V. _s - 2+ jx . 3x+ j(x2 - 1) R
v s= --+---.-;. V - 3+Hx-;)~
Il vient alors: Q(x)=~ =~1 soit _ e 3+J.x-
G(x)= 1
G(x)
1/3
1- Généralités
I-!-Définitions :
Un quadripôle est un circuit (linéaire ou non) qui assure la transmission ou la transformation d' un signal. Il comporte deux bornes d'entrée et deux bornes de sortie (Fig.3.1)
le ls -----i>__--j
v, ~i ___ LQ_u_a_dr_iP_ô_le_1-----.:.i V,
Fig.3.!
Il possède ainsi une tension et un courant d'entrée (vc• Îe) ; une tension et un courant de sortie (vs. is). Si le quadripôle dissipe uniquement de l'énergie par effet Joule, il est passif. Dans le cas contraire, il est actif. On ne s' intéresse ici qu 'aux quadripôles linéaires (dont les éléments sont linéaires).
1-2-Paramètres d'un quadripôle:
Il existe six combinaisons pour exprimer deux quelconques des courants ou tensions en fonction des deux autres. Ces relations seront linéaires et les coefficients qui en découlent ne dépendront que des éléments constituants le quadripôle et détinssent ainsi les paramètres du quadripôle. Nous définissons Îci quelques paramètres.
2-1-Paramètres impédances ou matrice Z:
{ . .
Ou encore en écri ture matricielle
Les coefficients zij ont la dimension d' une impédance [0].
Q - Ca/cul des coefflcienls zij: Nous pourrons déterminer les paramètres Zij de la façon suivante:
ZI . = (v,) : C'est l' impédance d'entrée, sortie Ouverte l e i =0 •
Zl Z = (~ c ) . : C'est la trans-impédance d'entrée, entrée ouverte. s ,.=0
Z21 = (; i). : C'est la trans-impédance de sortie, sortie ouverte. c ,._0
•
b- Schéma équivalent : Le schéma équivalent d' un quadripôle décrit par ces paramètres Z est le suivant;
l ,
Fig.3.2
RI R, l ,
R, Î v,
Par application de la loi des mailles on peut écrire :
{ v. = R,i: + R, {~ , + i,) Soit {v. = (R, + R,)i, + R,i, v, = R,I, + R, {I, +1,) v, = R,I. + {R, + R,)I,
Les quadripôles linéaires
D'où z" = R, + R, ; z" = z" = R, et z" = R, + R, Par application des définitions du paragraphe 2.l.a, on a :
z" = (v,) l e Î-O , -
R,
" Fig,3,4
Is
Fig,3,5
Et enfin z" = ( ~ . J = R 2 + R, 5 1 ... 0
d'après la Fig.3 .6
81
Vs
{
Les coefficients (Yij) ont la dimension d'une admittance [~l"'].
Q - Calcul des coeOJcients Vii : De la même façon que pour les paramètres Z on peut écrire:
y Il = (~c ) : C'est l'admittance d'entrée, sortie court-circuitée e v, _O
Y12 = (~c ) : C'est la trans-admittance d'entrée, entrée en court-circuit. 5 v.-o
Y 2 1 = (; ) . : C'est la trans·admittance de sortie, sortie en court-drcuit. e v, =O
Y21 = ( : . ) : C'est l'admittance de sortie, entrée en court·circuit. S vt ",O
Remarque: Y22 correspond à l'inverse de l'impédance du générateur de
Thévenin équivalent au quadripôle vu de ces bornes de sorties y 22 :::: - ' - .
Z TH
b- Schéma équivalent : En paramètre Y. le quadripôle a pour schéma équivalent :
l , l ,
Fig.3.7
c- Exemple : Pour le quadripôle en 7r suivant, calculer les paramètres Yij :
le R2 l,
Fig,3.8
=-+ R, R,
1 1 1 =--- et Y22 =--+- R, R, R,
2-3 Paramètres hybrides ou matrice H : Pour ces paramètres on écrit:
{~e: hll.ie +h 12 v s
Is -h211e +h 22 Vs
Ou encore:
83
Tous ces paramètres n'ont pas la même dimension [hll]=[Q]; [h,d= [h,,]= [1] et [h,,]=[ n'].
a- Calcul des coeŒcients hil :
A partir des équations précédentes on écrit:
h ll = (~ e ) : C'est l'impédance d' entrée, sortie court-circuitée. e Il , =0
h = (v, ) : Gain inverse en tension, entrée ouverte. 12 Vs i~ =O
h --(~) 21. : Gain en courant, sortie en court-circuit. le v.~O
h -- (-,-,-) 22 Vs i."O
b- Schéma équivalent:
Les paramètres hybrides sont très utilisés dans l'étude des transistors bipolaires, et le schéma équivalent d'un quadripôle décrit par ces paramètres est le suivant:
1 l ,
2-4 Paramètres de transfert ou matrice T :
En prenant pour variables les grandeurs de sortie Vs et -i~ (pour faciliter l'etude des groupements en cascade), on pourra écrire :
ou bien
t = - ' (
V )
: Gain inverse en tension, sortie ouverte;
( V ) t ;:::: --'
( = - '-. (1) 21 Vs i.-O
: Trans-admittance d'entrée, sortie ouverte;
s v • • o
1-3- Autres caractéristiques d'uo quadripôle:
Considérons un quadripôle linéaire assurant la liaison entre un dipôle actif (Générateur de f.é.m. E, et d'impédance interne Z.,) et un dipôle passif linéaire D.
Z.
L'impédance d'entrée du montage précédent est définie par: Ze = ~ ; Ze
" dépend généralement de la charge D. Ainsi vu du générateur le quadripôle chargé est équivalent à une impédance Ze :
le Zg
Fig.3.Il 3.2- Impédance de sortie:
Vu de la charge, le quadripôle est un dipôle actif qui peut être remplacé par son modèle équivalent de Thévenin ou de Norton. L'impédance de sortie du quadripôle est donc l'impédance interne cl" générateur équivalent (de Thévenin ou Norton) vu des bornes de sortie. Pour calculer Z, (ou ZTh), on peut procéder de deux façons:
*) On éteint les générateurs indépendants (en les remplaçant par leur impédance interne). On place une source de tension parfaite à la sortie de Q et l'impédance dc
sortie est donc Z = E, . Zg I, • I
• Quadripôle
Fig.3.12
**) Après avoir détenniner la tension de Thévenin ETh (égale à v, pour 1, = 0) ainsi que le courant de court-circuit (IN = r.,,) du quadripôle vu de la sortie.
On écrit: Z, = Z+, = ZN = E" , d'où le schéma équivalent du quadripôle: 1"
Fig.3-13
3.3- Fonction de transfert ou transmittanc. :
Dans le cas général la transmittance peut être définie comme étant le rapport
d'une grandeur de sortie sur une grandeur d'entrée H = ~ (en notation
complexe). v
On définit ainsi la transmittance en tension (ou gain en tension) Av =..=!.... ~,
On a aussi Ai + : Transmittance en courant ou gain en courant. -,
Remarque : H n'est pas toujours sans dimension, et elle est appelée aussi la
fonction de transfert dynamique.
3.4- Application:
Dans la représentation de Thévenin du quadripôle la f.é.rn. Eth peut s'écrire: E" = A , v, avec A , le gain en tension à vide (1, = 0). , ,
Ainsi en regroupant les résultats précédents nOliS pouvons représenter le quadripôle par l'un des deux schémas équivalents suivants :
~----------------- - -- -, 1,
Fig.3.14
L-________ ~~,--~ ,
D- Les filtres
1. Définition d'un filtre: On appelle filtre électrique un dispositif qui permet d'atténuer
des signaux dans une bande de fréquences données.
2. Différents types de filtres: Il existe quatre types de filtres:
• Filtre passe bas: (Fig.3 .16) Laisse passer uniquement les sIgnaux de fTéquences
. C' . 'f roc 1TI1eneUres a c;;::; - 2"
Fig.3.l6
• Filtre passe haut: (Fig.3.17) Laisse passer uniquement les signaux de fréquences
, . ' f roc supeneures a c = - . 2"
Fig.3.l7
• Filtre passe bande : (Fig.3.18)
fc2 wc2
.I IH.(jw)1 ~ --
Fig.3.18
• Filtre coupe bande: (Fig.3. 19) Permet de couper une bande du spectre de fréquence.
l 'H. (j(t))'
3. Dill!: .. mme de Bode
En régil11~dal , la transmi ttancc d 'llll quadripôle dépend généralement de la fréquence. La réponse fréqucrlli ellc d'un quadnpôle consiste en J' étude de la fon ction de transfert dynamique H avec la fréquence. Une façon de faire , c'est le diagramme de Bode qui est J'ensemble des deux courbes de rêponses : en gain et en phase de la fonction de transfert . Etant donné que les fréquen ces peuvent varier sur de très larges intervalles, on les place alors sur un axe à graduation logarithmique et en
ex prime le gain G=l!:!l en dccibel (dB). soit G,.-2010g(G). L'argument
ou la phase de H est calculé en degré (0).
89
Déterminer en fonction de Ue les générateurs de Thévenin et Norton équivalents au quadripôle Q, vu des points A et B. En déduire le gain en tension du quadripôle chargé par une résistançe RL• (Fig.3.20) La tension d'entrée lie est sinusoïdale
-----------------0'------------, o fJll :
Exercice 2 Fig.3.20
Soit un quadripôle Q défini par sa matrice de transfeM
1. Préciser la signification de chaque tenne de la matrice de transfert. 2. Le quadripôle Q est SUiVI d'un autre quadripôle Q' en cascade de
coefficients a', b', c', d'. Quelle est la matrice de transfert du quadripôle équivalent?
3. Soient les quadripôles Q, et Q, suivants (Fig.3.21): R,
Q, Fig.3.21 Q,
a- Déterminer la matrice de transfeM de chaque quadripôle. b- En déduire la matrice de transfert du quadripôle en T (Qh Q" Q,),
4. Détenniner l'impédance caractéristique ou (itérative) du quadripôle en T.
90 Exercices ct problèmes corrigés d'éleclroniq ue analogique
Exercice 3 Com;idérons le circuit présenté par la Fig.3.22.
1 .... Is
v R, )
~ , PI, R,
Fig.3.22
1. DêtcnnÎncr les paramètres hybrides de cc quadripôle. 2. Donner la signification phys ique de chaque tCI111C.
Exercice 4 Un transfOm1a1 Cur réel peul être représenté par le quadripôle Q suivant (Fig.3.23): . -- -- --- - - - - - - - - - --- -- - - -Z' -, --'
I l 1 ~ I ~ • • ,
VlLI ~ , , 'z. ' , • , , , • Q' , ____ _ _________ _ ____ _ ______ __ 1
V 1 nl= - _ 2 = _ ..:.L
/
Exercice 5 Soit T I et T z deux ce ll ules en T représentées sur la Fig.3.24 .
10 C C Is ), 2R 2R l,
2R
Les quadripôles linéaires 91
~ et Ys sont les tensions d'entrée et de sortie prises par rapport à la masse, le et Is sont les courants d'entrée et de sortie.
On décrit les deux quadripôles par leur matrice admittance d 'éléments respectifs Y ij et X jj .
1. Détenniner les matrices admittances des celIules T, et T, .
2. Existe-t-il une façon simple de déduire Xij de Y ij ? 3. Quelles sont les conséquences de la symétrie des cellules T , et T, sur
les paramètres Yij et Xij?
Exercice 6:
Un générateur basse fréquence (B.F) de résistance interne négligeable délivre une tension u\(t) = U1.cosrot. La tension u\ alimente le quadripôle Q-(Fig.3.25).
1-
Ce quadripôle est chargé par une résistance R. On donne : R ~ 30 KO
C ~ 10 nF ......... ........................... ................... ,
e, Cfu, r 1 ~r c .. [ ,
C : = Ir", ,.
f
L. .... ~ ..... _ ......... ~ ................... __ ..:
Fig.3.25
i,
R
U a. Détenniner la fonction de transfert HG"') = u 2 du quadripôle
-1
Q (non chargé).
b. Tracer le diagramme de Bode en module et phase de HU"'). c. Conclusion.
2- a . Détenniner l'impédance d'entrée z., du quadripôle chargé par R. b. Montrer que pour la pulsation de coupure, ce réseau est équivalent à un dipôle série (R" C ,) dont on calculera la résistance
RI et la capacité C, équivalentes' c . Donner l'expression de l'impédance de sortie Zs du quadripôle Q.
3- Le générateur étant réglé sur la fréquence de coupure, calculer : a- La puissance PI fournie par le générateur au réseau. b- La puissance P 2 recueillie sur la résistance de charge.
92 Exercices el problèmes corrigés d 'élect ronique analogique
Exercice 7
Soit le montage de la Fig.3.26, attaqué par un générateur de tension altenlative sinusoïdale de pulsation w.
L
~,
2. Dans quelle condition aura (-on l'expression suivante ?
1H (jœ'1 , J" i.: r ."~ ru.' ,:C • Donner a lors dans celle condition les va leurs de L ct C en fon ction
de R et 000_
3. Tracer avec précision le diagramme de Bode en Module de la fonction de transfert HUw).
Exercice H
C, c, l, !s
Fig.3.27
Vo: est une tension sinusoïdale de pulsation w. 1. Détenniner la matrice Z de cc quadripôle. 2. DéduÎre les impédances d'entrée et de sortie .
- , 4. Tracer le diagramme dc Bode dc H(jm).
Exercice 9
On considère un circuit électrique de fonction de transfert H(jro).
. 1 H(jro) = avec roI < ro2· - (1 +j..'!!..)(l +j ..'!!..)
ro 1 ro2
Tracer le diagramme de Bode en module et phase de H(jm).
Exercice 10
R c
Fig.3.28
On donne: R= 333 Q; R, = 167 k.Q; R,= 3,2 k.Q
C = 120 l'F; m = 334; Rg = 100 !dl
1. Détenniner la fonction de transfert
HGoo) = V , - V -,
2. Montrer que H(jro ) peut être écrite sous la forme:
(1 + j~) H{jro);Ho· ~
R,
4. Tracer le diagramme de Bode en amplitude et phase de H(joo). 5. Déterminer l 'impédance de sortie par deux méthodes différentes.
93
D'où
Générateur de Thévenin: En passant du modèle de Norton au modèle de Thévenin (pour la source liée (l3i"r)), on obtient le schéma de la Fig.3.29.
v = ~.r.il r
Sachant que v = ~.r.i, . u,
avec Il = R,
A
B
on peut donc écrire u = R, (1- rl.r)u AD RJ+r Rz ç
R,(R, -~.r) ETh=U AB = ( )U,
Rz RJ + r D'où
}> Détermination de Rn: .En court-circuitant la source de tension d'entrée, RI et Rz seront court-circuitées, on obtient alors la Fig.3.30 avec il = 0 donc v = o.
v = p.r.i1= 0 r
• Générateur de Norton: > Détennination de RN:
r.R, R N ~ RTb ~ ....:.:="
v = p.r.Î]
Sachant que 110 ~ R,.i, ~ 1 ~, R ,
r
r r Rz . Rz - p·r IN = u r.R
1 II!
On vérifie bien que:
En remplaçant le quadripôle par son générateur de Thévenin équivalent on obtient le schéma suivant:
D'où:
-----_._----r !
; ! :...MMM ...... _ .. __ .M ............. M .......... ..
A ~ _V_s_ ~ _ _ R-.2L,--_
{~I =a.v2 -b~i2 I, =c,v 2 -d.12
• a = (2) : Gain en tension inverse; sortie en clrcuit ouvert v 2 i,.O
(la fonction de transfert inverse en tension à vide).
• b = (-i: 1 ) : Trans-impédance d'entrée; sortie en court-circuit .
"J~
• C = (~) : Trans-admittance d'entrée; sortie en circuit ouvert. V 2 i2- O
• d = (-/1) : Gain en courant inverse; sonie en court-circuit. 2 v,=O
2. La matrice de transfert du quadripôle équivalent est le produit des deux matrices (Fig.3.32).
Fig.3.32
M =[: :][:: b'] d En effet :
(vl )=[a b].( V2 )=[a b].[a: b:].( v,) '1 C d -1 2 C ct cd-l,
3. a- R, " • Quadripôle Q,(Fig.3.33)
T =(1 1 0
• Quadripôle Q, (Fig.3.34) l,
"
[
V" = v" ( 1 . V ez . ::::) T z = _I_ l, =-R -l , R , '
b· Quadripôle en T (Fig.3.35) Fig.3.34
T = T, .T,.T,
V" I r v., 1 R, 2R + R: R,·
+- T= R, ' R ,
1 1 + R, Fig.3.35 R , R,
4. Impédance itérative: L'impédance itérative est l'impédance qui placée à la sortie du
quadripôle est égale à son impédance d 'entrée (Fig.3.36).
Ze = v" = Z.T l ,
R, + R, +ZkT Cherchons Z.,. tel que Ze = Z'T
R, (R, +Z'T) Z.T = R, + ( )
R , + R, + Z'T
Exercice 3
{
Fig.3.36
1.
h) hl2=( ~:) ,,-0 (Fig.3 .38)
RI n'est pas traversée par un courant.
Yr. = a Ys
v, a= - =bn
2. Interprétation :
(XVS
Fig.3.38
IS
Fig.3.39
i) hll : Impédance d'entrée lorsque la sortie est court-circuitée. ii) h2l : Gain en courant, sortie en court-circuit. Hi) h12 : Gain inverse en tension, entrée ouverte. iv) h22 : Admittance de sortie , entrée ouverte.
Exercice 4
Soit les quadripôles Qo, Q, et Q, suivants: (représentés respectivement sur les figures: 3.40, 3.41 et 3.42)
On peut écrire pour Qo: " "
{ y { I) y-_ - ' --0
Fig.3.40
De même pour Q, : (Fig.3.41)
Fig.3.41
( 1 ZI)
=:> TQ, = 0 1
Fig.3.42 D'où la matrice de transfert du quadripôle de la Fig.3.23 sera:
T ~ TOO.TQI,TQ2
1 Z, y. =- - 'Y s+ - '!s
m m
1 - 1 Y ( Z, J' _ 1: = '_S + m + .ls m.z. m.Z.
De l'équation (3.1), on peut écrire: Ys = m,Vr - Z,·h
- Q J m m Z,
m.Z.
d'où: !.=i'+mJ,; -.
3. Conclusion:
V t représente le courant primaire lorsque le secondaire fonctionne Zo
à vide (15=0). Zl représente l' impédance de sortÎe du transfonnatcur que l'on peut
détenniner par un essai en court circuit de ce dernier.
Exercice 5
l. Détennination de la matrice Y: ), c c
{ l, = X II V , + y Il V s
15 = y 21 V ç + y 22 Vs ~ r ZR r ~=O ________ -L ______ ~
~ 1 ) • y - ~ _ 11 V
y = 2R + __ 1_ ( ) -,
y jCIll~1 +j2RCIll) - II 1 + j4RCIll
T l est un quadripôle symétr ique, on peut donc intervertir l'entrée el la sortie, ai nsi on peut écrire:
Yll = Y21 )J1= YIl
Donc = y = jCw.(1 + j2RCw)
_ 1: ys_o
v,L.Lc +2R Î, +2R1s - \J w f' - Uti lisons la grande maille , lorsque la sortie est court-circuitée:
V =-. 1_ 'r -1.) - , JCw -I,!, _5
(3.3)
(3.4)
Remplaçons 1 de l'équation (3.3) par son expression (3 .4);
V'~j~<ù +2R )ûC<ùY. +!s)+2RJs
D'où
Finalement
2RC'm' jCm(1 + j2RCm)
2R 2R !s
Fig.3.44
J m
D' où
- 1
x - X _ 1 + j2RCm -II - _ 11 - -:-4 R=:(l~+-'j=R-:C::-m')
Les quadripôles linéaires 103
2R 2R !s
En appliquant la règle du diviseur de courant, on aura:
'CI (-1.) 1 J ro '" 1 2RI 'C J ro
-1. l+j2RCro
Remplaçons!s de l'équation (3.5) par son expression (3 .6):
Vs = -4R.(1 + jRCro }I.
(
-1 J 14- j2RCro
3. Pour déduire Xij de Yoj, il suffit de remplacer dans Yoj, C~ro ) par 2R et
VIce versa.
-II - 1 + j4RCro
104 Exercices et problèmes corrigés d'électronique aosllogique
Soit A la valeur de Y Il en réalisant la pennutation indiquée ci-dessus.
A (2Rt'It+(jCrot(2Rt'1 l+j2RCro X =X I+2ÙCro)'(2R)' 4R(I+jRCro) ,, _ u
• y (2RC,ro, ) -2R(jCroNCro) _12 l+j4RCro l+j4RCro
Soit B la valeur de Yl 2 en réalisant cette même permutation.
B--(jCrot(2Rt'(2R)' -1 X - X 1+2(jCro}-\2R) 1 4R(I+jRCro) "--,,
4. Les consequences de la symetrie de T, et T, sont que :
{ y" = Y" et {Y Il = Y" X l2 :::; .X 21 XII :;: X 22
Exercice 6
1. a. La fonction de transfert du quadripôle Q, d'après la Fig.3.46, sera en
appliquant la règle du diviseur de

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