bbc

c

aad

d二階行列式 所代表的數為 ，

aad

b

dbc

c 即 。

5 2

3 1例如： 5 1 2 3

2 3

2 4

( 2) 4 ( 3) 2

a

d

b

c在 中，

2 56 5

1 3 且

1 3

42

1

。

5 2

3 1 。

To be continued To be continued 範 例範 例

一、二階行列式一、二階行列式1. 二階行列式的意義：

直的稱為行，橫的稱為列，第一行為 a , c ，第二行為 b , d ；第一列為 a , b ，第二列為 c , d 。

(2) 行或列可提出公因式。注意： (1) 兩行或兩列互換須變號

= 1 ，

= 8 + 6 = 2

54

7

a

b ，

<99 學測 >

範例：已知 a ， b 為整數且行列式

則絕對值 | a b | 為何？

ab = 31解： 35 ab = 4

又 a ， b 為整數

a = 1 ， b = 31 ；

a = 1 ， b = 31 ；

| a + b | = 32 。本段結束本段結束

a = 31 ， b = 1 ；

a = 31 ， b = 1 ；

2. 2. 二階行列式的性質：二階行列式的性質：

a

c d

b

cd

b

a

c d

b a c

db

a

dc

b

a

dc

b

(1) 行列互換其值不變：

(2) 任意兩行（列）對調，其值變號變號：

ka

kc d

b a

c d

b ka

c d

kb a

c d

b

(3) 任一行（列）可以提出同一個數：

( 兩行對調 ) ( 兩列兩列對調 )

，kk

===

=== kk

==

a，

To be continued To be continued (4)(5)(6) (4)(5)(6)

= 2

(4) 兩行（列）成比例，其值為 0 ：a

c kc

ka a

ka kb

b= 00= 00( 兩行成比例 ) ， ( 兩列成比例 )

a

c d

b a

c d ck

b ak

kk a

c ak d bk

ba

c d

bkk

(5) 將一行（列）的 k k 倍加到另一行（列），其值不變：

= =，

a

c d f

b e a

c d

b a

c f

e

c g

ba

d h

a

c d

b a

g h

b

(6) 若某一行 ( 列 ) 之每個元素可分成兩行 ( 列 ) 元素的和，此行列式可拆成兩個行列式的和：

= ++

++= 本段結束本段結束

90 70 99 97(1) (2)

125 75 98 96

90 70(1)

125 75

9 710 25

5 3 250 (27 35)

99 97(2)

98 96

2 97

2 96

1 972

1 96

250 ( 8)

60 80 2012 2011(1) (2)

120 480 2014 2013

60 80(1)

120 480

1 160 80

2 6 60 80 (6 2)

2012 2011(2)

2014 2013 2013 2011

1 2011

1 2013

((1)1)

((1)1)

= 20002000 。

= 22 。

= 1920019200 。

= 22 。

解：

馬上練習：求下列行列式的值：

解：

3. 範例：求下列行列式的值：

2 (96 97)

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

＃＃

3 3(1) 3 2

2 2

a b e f a e b f

c d c d c d

已知 ， ，求 的值。

4 3 4 3(2) 3

4 3 4 3

a b a b a b

c d c d c d

已知 ，求 的值。

2 2 2 2 2

3 3

2

3 3(1)

c d c d

a e fb f

c

a

d

eb 32 2

e f

c d c

a b

d

2 3 3 2 ( 2) 4 3 4 3

(2)4 3 4 3

a b a b

c d c d

4 38

4 3

a b a

c d c

3

83

b a

d c

( 3)8b a

d c

( 3) 3)8 (

4 3 8

4 3 8

a b a

c d c

11

44

4. 範例：

解：

= 7272 。

= 66 。

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

3 3(1) 2 1

4 5 4 5

a b a b a b

c d e f c e d f

已知 ， ，求 的值。

5 3 5 3(2) 6

3 4 3 4

a b d b c a

c d b d a c

已知 ，求 的值。

4 4 4 45

3 3 3 3 3 3(

51)

5 5e f ec d c d

a b a b a b

f

3 3 54c d

b

e

a a

f

b

5 3 5 3(2)

3 4 3 4

d b c a

b d a c

5 3 5

93d b c

d c

a

39

3

d

b a

c

( 3)9

a

d c

b ( 3) 6)9 (

3 ( 2) 3 14 5

11

5 5 3

9

3

9

d b c

d

a

c

((5)5)

馬上練習：

解：

= 99 。

= 162162 。＃＃

1

2

1 1

2

1

2 2

1

2

0 ( , ) ( , )yxb

b

a b x y cx y

a b

a

a x y c

若 ，則方程組 的解為 ，

1

22

1ba

ba 其中 ，

1

2 2

1x b

c b

c ，

11

22y

a

a

c

c 。

To be continued To be continued 證 明證 明

二、一次方程組與克拉瑪公式二、一次方程組與克拉瑪公式

1. 克拉瑪公式：

1

2

1 1

2

1

2 2

1

2

0 ( , ) ( , )yxb

b

a b x y cx y

a b

a

a x y c

若 ，則方程組 的解為 ，

1 11 1

2 2

1 1

2 222yx

c c

c

a a

a a c

b b

b b 其中 ， ， 。

1

22

1

2

1x y c

x b ya

ba

c

，j

k2

1 2

1b b

x a a

y

消去由加減消 :去法 ，

消去j k

k j

2 11 2

1 2 1

2 1

2

1 2

2 11 2

( )

( )

a a

a

x cb b b b

b b ca

c

y ca a

得

1 1

2 2

1

1

2

1

1

2

1

2 2

1

2 2

b b

b b

b

b

a

a

a a

a a

cx

c

cy

c

。

1 11 1

2

1 1

2 22 22yx

c c

c

ba a

a b cb a

b 令 ， ， ，

x

y

x

y

則方程組可表為 。To be continued To be continued 方程組的方程組的解解

證明：

1

2

1

2

1

2

x y c

x y

a

a c

b

b

1 1

2 2

1

1

2

1 1

2

1

2

1

222

cx

c

cy

a

a

a a

a a c

b b

b b

b

b

x

y

x

y

方程組可表為 。

方程組的解 幾何意義

( , ) ( , )yxx y

方程組有唯一解

方程組的解討論如下：

0

= 0

(( 克拉瑪公式克拉瑪公式 ))

方程組無解無解

方程組有無限多組解無限多組解

兩直線平行兩直線平行

兩直線重合兩直線重合

兩直線恰交於一點

x = y = 00

x 、 y 其中有一不為 00

本段結束本段結束 兩行 ( 列 ) 成比例

2

1

2

1 0a

a

b

b 注意： 斜率相同斜率相同。。

7 3 5

3 7 1

x y

x y

利用克拉瑪公式，解方程組 。

7 3

3 7 由

5 3

1 7x 7 5

3 1y

xx

得 yy 0

32

4

40

8

2. 範例：

解：

2 5 1

3 2 11

x y

x y

利用克拉瑪公式，解方程組 。

2 5

3 2

由

1 5

11 2x

2 1

3 11y

5

9

7

1xx

得 19

19yy

馬上練習：

解：

4

5 ，

1

5 。

= 40，

= 32，

= 88 。

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

＃＃

= 19，

= 57，

= 1919。

= 3 ， = 11。

1 1 1

2 2 2

(4 , 6)a x b y c

a x b y c

若方程組 的解為 ， 1 1 1

2 2 2

2

2

c x a y b

c x a y b

求 的解。

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2yx

a b c b a c

a b c b a c 令 ， ， ，

4 6x y

， 。

1 1

2 2

1 1

2 2

2

2

2

2

b a

b ax

c a

c a

所求

1 1

2 2

1 1

2 2

2

2

a b

a b

a c

a c

1

yy

1 1

2 2

1 1

2 2

2

2

c b

c by

c a

c a

所求

1 1

2 2

1 1

2 2

2

c b

c b

a c

a c

1 1

2 2

xx

yy

1

6 ，

1 4

2 6

3. 範例：

解：

1

3

。

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

1 1 1

2 2 2

(3 , 4)a x b y c

a x b y c

若方程組 的解為 ， 1 1 1

2 2 2

3 2 5

3 2 5

a x b y c

a x b y c

求 的解。

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2yx

a b c b a c

a b c b a c 令 ， ， ，

3 4x y

， 。

1 1

2 2

1 1

2 2

5 2

5 2

3 2

3 2

c b

c bx

a b

a b

所求

1 1

2 2

1 1

2 2

10

6

c b

c b

a b

a b

5

3x

53

3

馬上練習：

解：

= 5 ，

1 1

2 2

1 1

2 2

3 5

3 5

3 2

3 2

a c

a cy

a b

a b

所求

1 1

2 2

1 1

2 2

15

6

a c

a c

a b

a b

5

2y

54

2 = 10

。 ＃＃

( 3) 2 2

3 (2 1) 2

k x y k

x k y k

討論方程組 的解。

3 2

3 2 1

k

k

( 1)(2 3)k k ，

2 2

2 2 1x

k

k k

4( 1)( 1)k k ，3 2

3 2y

k k

k

( 1)( 6)k k ，

01)3

12

( k k 若 ，即 且 時，

( 6)( , ) ( , ) (

4( 1

2

),

3 2 3)yx

k kx y

k k

方程組恰有一解 。

3

2k 即 時，

4. 範例：試就實數 k 之值，

解：

(2) 若 = 0 ，且 x= y= 0 ，即 k = 1 ，代回方程組得 x + y = 1 ，方程組有無限多組解 (x , y) = (t , 1t) ， tR 。

(3) 若 = 0 ，且 x 、 y 其中有一不為 0 ，

( 3)(2 1) ( 6)k k

此時方程組無解。＃＃

(1 ) 2 0 (0 , 0)

3 (2 ) 0

a x ya

x a y

若方程組 有異於 的解，求 的值。

2 0

3

1

2

a

a

(1 )(2 ) 6 0 a a

1 4a 或 。

2 (0 , 0)

6 2

x y axa

x y ay

若方程組 有異於 的解，求 的值。

2 0

6

1

2

a

a

(1 )( 12 0 2 )a a 5 2 a 或 。

2 2 0

6

(1 )

2 6 0(2 )

x y ax x y

x y ay x

a

a y

又

馬上練習：

解：有異於 (0 , 0) 的解 方程組有無限多組解。

5. 範例：

解：有異於 (0 , 0) 的解 方程組有無限多組解。

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

＃＃

( 6) ( 1) 0

( 10) ( 1) 2

a x a ya

a x a a y a

若方程組 無解，求 的值。

10

10

6

( 1)

a

a a

a

a

1 2 5a 或 或 。

( 1) ( 6) ( 10) 0a a a a

( 10)( 11)( 6) ) 0( aa a aa

6. 範例：

解：方程組無解 = 0

又無解 兩直線平行 a a = = 1 1 或 或 55 。 ( a = 2 不合 )

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

4 3 02

8 6 0

x ya

x y

代入方程組

2 (3 ) 5 0

(3 ) 2 7 0

x a y aa

a x y a

若方程組 無解，求 的值。

2 3

3 2

a

a

1 5a 或 。

馬上練習：

解：方程組無解 = 0= 0

又無解 兩直線平行 a a = 5= 5 。 ( a = 1 不合 )

2 2 6 01

2 2 6 0

x ya

x y

代入方程組

＃＃

注意：

1 11

2 21 2 2( , ), ) | |(

x yb x y

xa x y

y

， 所張平行四邊形面積

a b， 所決定的平行四邊形面積

|| in|| sba

2| | 1 o| | c sa b

2 2222| | | || | s| co|a ab b

2 22 | (| || )b a ba

2 22 2

2 21 1 1 1

22 2( ) ( )( ) x y xx y x yy

2 22 2

2 21 1 1 2 2 12x xy x y xy y

22

21 1( )x x yy 1 1

2 2

| |x

x

y

y

a

a

b

b

| in|sb

證明：

21 12x y yx | |b

a

。

三、二階行列式與平行四邊形的面積三、二階行列式與平行四邊形的面積1. 平行四邊形的面積：

To be continued To be continued 注 意注 意

＃＃

1 2 21( , ( , )1) )( a x b x yy

， 所張平行四邊形面積2 2

1 1| |x

x

y

y 。

(2) ABC 的面積

A B

C

1| |

2

AB

AC

1

2AB AC

與 所張平行四邊形面積

注意：

1 2 21( , ) ( , )ACAB x yx y

其中 ， 。1 1

2 2

1| |

2 x

x

y

y ，

本段結束本段結束

(1) (2 , 5) (3 , 2)u v

求兩向量 ， 所張平行四邊形的面積。

(3) | | 2 | | 3 4ABC AB AC AB AC ABC

， ， ，且 ，求 的面積。

2 5(1) | | | |

3 2

u

v

所求面積 4 ( 15)

1 21 1(2) | | | |

6 82 2

ABABC

AC

的面積 1

8 ( 12)2

(3) cos| || |

AAB

A

C

ACB 5

sin3

，

1sin

2A B ACBC A 的面積

4

2 3

1 52 3

2 3

2. 範例：

(2) 設 A(1 , 4) 、 B(0 , 2) 、 C(5 , 4) ，求 ABC 的面積。

解： = 19。

= 2 。

2

3

5 。

2 221( )

2| || | ACAB AAB B AC C

注意： 2 2214 53

22 。

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

(1) (3 , 4) (2 , 7)u v

求兩向量 ， 所張平行四邊形的面積。

(3) | | 3 | | 4 6ABC AB AC AB AC ABC

， ， ，且 ，求 的面積。

3 4(1) | | | |

2 7

u

v

所求面積 21 ( 8)

1 41 1(2) | | | |

4 22 2

ABABC

AC

的面積 1

2 ( 16)2

6 1

3 4 2

3sin

2 ，

1sin

2A B ACBC A 的面積

(3) cos| || |

AAB

A

C

ACB

1 33 4

2 2

馬上練習：

(2) 設 A(2 , 1) 、 B(1 , 3) 、 C(2 , 1) ，求 ABC 的面積。

解： = 29。

= 7 。

3 3 。＃＃

( 6 , 1)BA

，

| | |1

|6

4 2

B

yC

A

B

| 16 6 | 38y 119 ( )|

3y 或 不合

(4 , 9 2)BC

又

3. 範例：坐標平面上有一個平行四邊形 ABCD ，其中點 A 的坐標為 (2 , 1) ，點 B 的坐標為 (8 , 2) ，點 C 在第一象限且知其 x 坐標為 12 。若平行四邊形 ABCD 的面積等於 38 平方單位，求點 D 的坐標。

< 99 學測 >

解：設 C(12 , C(12 , yy)) ， ， y y > 0> 0 ，且 D(α,β)D(α,β)

所求 D(D( , , ) = (6 , 8)) = (6 , 8) 。

B(8 , 2)A(2 , 1)

C(12 , C(12 , yy))D(D( , , ))

= 38 。

(4 , 2)BC y

( 2 , 1)AD

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

2

4 21 1| | |

6|

2 2

OA

OC

AO C

的面積 1

24 4 102

，

1| | 30

2

CAABC

CB

的面 積 ，

2 41| | = 30

2 2 62 x x

(4 12) ( 4 8) 60x x ，

8 20 60x

B(x , 2x)

A(4 , 2)O(0 ,

0)

C(2 , 6)

10103030

及 (2 , 6) ，則 x = ? <100 數乙 >

馬上練習：坐標平面上有一面積為 40 的凸四邊形，其四個頂點的坐標按逆時針方向依序為 (0 , 0) ， (4 , 2) ， (x , 2x) ，

解：令 O(0 , 0) ， A(4 , 2) ， B(x , 2x) ， C(2 , 6) ，其中 x > 0 。

xx = 10 ∵ = 10 ∵ xx > 0 > 0 。 ＃＃

(1 , 2) (2 , 1) (1 , 1) ( 1 , 1)a b c d

向量 ， ， ， 。

0 1 0 1A P OP x a y b x y

令點集 合 且 且 ，

0 1 0 1B P OP x c y d x y

點集 合 且 且 ，

: 2

: 2

OE y x

JI y x

OIT 的面積

1| |

2

OI

OT

y

xO

E(1 , 2)

D(3 , 3)

C(2 , 1)

I(1, 1)

J(0 , 2)

K(K(1 , 1)1 , 1)

2 4( , )3 3

T

a

b

d

4. 範例： 在坐標平面上，設 O 為原點，

<102 數乙 >

則區域 A B 的面積為 __________ 。 ( 化為最簡分數 )

P 為平面上的動點，

區域 A B 的面積

解：如圖，點集合 A 所成的圖形為平行四邊形 OCDE ， 點集合 B 所成的圖形為平行四邊形 OIJK ，

2 4( , )3 3

T 交 點

1 2

2 3 1

3 。

1 11

| |2 42

3 3

c本 節 結 束本 節 結 束