Toan A1-C1

ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com

Sunday, October 31, 2010

Toán cao cấp A1 Cao đẳng 1

TOTOÁÁN CAO CN CAO CẤẤP A1P A1 CAO ĐCAO ĐẲẲNGNG

PHÂN PHPHÂN PHỐỐI CHƯƠNG TRÌNHI CHƯƠNG TRÌNHSSốố titi ếếtt : 45: 45

---------- Chương 1. Hàm số một biến số

Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

Chương 4. Chuỗi số

Chương 5. Đại số tuyến tính

Tài li ệu tham khảo

1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp (bậc Cao đẳng)

– ĐH Công nghiệp TP. HCM. 2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp Tập 1, 2 (Dùng cho SV Cao đẳng)

–NXB Giáo dục.

BiênBiên soso ạạnn:: ThSThS. . ĐoĐoàànn VươngVương NguyênNguyênTTảảii Slide Slide bbààii gigi ảảngng ToToáánn A A1 1 CĐ CĐ ttạạii

dvntailieu.wordpress.comdvntailieu.wordpress.com

�� ChươngChương 1. 1. HHààmm ssốố mmộộtt bibi ếếnn ssốố

§1. Bổ túc về hàm số §2. Giới hạn của hàm số §3. Đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn §4. Hàm số liên tục

…………………………….

§1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ

1.1. Khái niệm cơ bản 1.1.1. Định nghĩa hàm số • Cho ,X Y ⊂ ℝ khác rỗng. Ánh xạ :f X Y→ với ( )x y f x=֏ là một hàm số. Khi đó:

– Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu Df, là tập X. – Miền giá trị (MGT) của f là:

{ }( )G y f x x X= = ∈ .


– Nếu 1 2 1 2

( ) ( )f x f x x x= ⇒ = thì f là đơn ánh. – Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh. – Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh.

VD 1. a) Hàm số :f →ℝ ℝ thỏa ( ) 2xy f x= = là đơn ánh.

b) Hàm số : [0; )f → +∞ℝ thỏa 2( )f x x= là toàn ánh. c) Hsố : (0; )f +∞ → ℝ thỏa ( ) lnf x x= là song ánh.

• Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn nếu: ( ) ( ), .

ff x f x x D− = ∀ ∈

• Hàm số y = f(x) được gọi là hàm lẻ nếu: ( ) ( ), .

ff x f x x D− =− ∀ ∈


Nhận xét – Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung. – Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.

1.1.2. Hàm số hợp • Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện

g fG D⊂ .

Khi đó, hàm số ( ) ( )( ) [ ( )]h x f g x f g x= =� được gọi là hàm số hợp của f và g.

Chú ý ( )( ) ( )( ).f g x g f x≠� �

VD 2. Hàm số 2 2 22( 1) 1y x x= + − − là hàm hợp của 2( ) 2f x x x= − và 2( ) 1g x x= + .


1.1.3. Hàm số ngược

• Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f,

ký hiệu 1g f −= , nếu ( ),f

x g y y G= ∀ ∈ .

Nhận xét

– Đồ thị hàm số 1( )y f x−= đối xứng với đồ thị của hàm số ( )y f x= qua đường thẳng y x= .

VD 3. Cho ( ) 2xf x = thì 1

2( ) logf x x− = , mọi x > 0.





1.2. Hàm số lượng giác ngược

1.2.1. Hàm số y = arcsin x

• Hàm số siny x= có hàm ngược trên ; 2 2

π π − là

1 : [ 1; 1] ; 2 2

f − π π − → −

arcsinx y x=֏ .

VD 4. arcsin 0 0= ;

arcsin( 1)2

π− = − ;

3

arcsin2 3

π= .


1.2.2. Hàm số y = arccos x • Hàm số cosy x= có hàm ngược trên [0; ]π là

1 : [ 1; 1] [0; ]f − − → π

arccosx y x=֏ .

VD 5. arccos 02

π= ;

arccos( 1)− = π;

3

arccos2 6

π= ;

1 2arccos

2 3

− π= .

Chú ý

arcsin arccos , [ 1; 1].2

x x xπ

+ = ∀ ∈ −


1.2.3. Hàm số y = arctan x

• Hàm số tany x= có hàm ngược trên ; 2 2

π π− là

1 : ; 2 2

f − π π→ −

ℝ

arctanx y x=֏ . VD 6. arctan 0 0= ;

arctan( 1)4

π− =− ;

arctan 33

π= .

Quy ước. ( ) ( )arctan , arctan .2 2

π π+∞ = −∞ =−


1.2.4. Hàm số y = arccot x

• Hàm số coty x= có hàm ngược trên (0; )π là

1 : (0; )f − → πℝ

cotx y arc x=֏ .

VD 7. cot02

arcπ

= ;

3

cot( 1)4

arcπ

− = ;

cot 36

arcπ

= .

Quy ước. cot( ) 0, cot( ) .arc arc+∞ = −∞ = π


§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 2.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1 • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới

hạn là L (hữu hạn) khi 0

[ ; ]x x a b→ ∈ , ký hiệu

0

lim ( )x x

f x L→

= , nếu 0∀ε > cho trước ta tìm được 0δ >

sao cho khi 0

0 x x< − < δ thì ( )f x L− < ε .

Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy) • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới

hạn là L (hữu hạn) khi 0

[ ; ]x x a b→ ∈ , ký hiệu

0

lim ( )x x

f x L→

= , nếu mọi dãy {xn} trong 0

( ; ) \ { }a b x mà

0nx x→ thì lim ( )

nn

f x L→∞

= .

�� ChươngChương 1. 1. HHààmm ssốố mmộộtt bibi ếếnn ssốốĐịnh nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x → +∞ , ký hiệu lim ( )

xf x L

→+∞= , nếu 0∀ε > cho trước ta tìm

được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì ( )f x L− < ε .

• Tương tự, ký hiệu lim ( )x

f x L→−∞

= , nếu 0∀ε > cho

trước ta tìm được N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho khi x < N thì ( )f x L− < ε .

Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn là +∞ khi

0x x→ , ký hiệu

0

lim ( )x x

f x→

= +∞ , nếu 0M∀ > lớn tùy ý cho trước ta

tìm được 0δ > sao cho khi 0

0 x x< − < δ thì

( )f x M> .




�� ChươngChương 1. 1. HHààmm ssốố mmộộtt bibi ếếnn ssốố• Tương tự, ký hiệu

0

lim ( )x x

f x→

= −∞ , nếu 0M∀ < có trị

tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm được 0δ > sao cho khi

00 x x< − < δ thì ( )f x M< .

Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía) • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi

0x x→

với 0

x x> thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x0 (hữu

hạn), ký hiệu 00

lim ( )x x

f x L→ +

= hoặc 0

lim ( )x x

f x L+→

= .

• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi 0

x x→với

0x x< thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x0 (hữu

hạn), ký hiệu 00

lim ( )x x

f x L→ −

= hoặc 0

lim ( )x x

f x L−→

= .

Chú ý. 0

0 0

lim ( ) lim ( ) lim ( ) .x x x x x x

f x L f x f x L− +→ → →

= ⇔ = =


2.2. Tính chất Cho

0

lim ( )x x

f x a→

= và 0

lim ( )x x

g x b→

= . Khi đó:

1) 0

lim [ . ( )] .x x

C f x C a→

= (C là hằng số).

2) 0

lim [ ( ) ( )]x x

f x g x a b→

± = ± .

3) 0

lim [ ( ) ( )]x x

f x g x ab→

= ;

4) 0

( )lim , 0

( )x x

f x ab

g x b→= ≠ ;

5) Nếu 0 0

( ) ( ), ( ; )f x g x x x x≤ ∀ ∈ − ε + ε thì a b≤ .

6) Nếu 0 0

( ) ( ) ( ), ( ; )f x h x g x x x x≤ ≤ ∀ ∈ − ε + ε và

0 0

lim ( ) lim ( )x x x x

f x g x L→ →

= = thì 0

lim ( )x x

h x L→

= .


Định lý • Nếu

0 0

lim ( ) 0, lim ( )x x x x

u x a v x b→ →

= > = thì:

0

( )lim [ ( )] .v x b

x xu x a

→=

VD 1. Tìm giới hạn

2

12lim

3

x

x

x

xL

x

−

→∞

= + .

A. 9L = ; B. 4L = ; C. 1L = ; D. 0L = .

Các kết quả cần nhớ

1) 0 0

1 1lim , limx xx x− +→ →

= −∞ = +∞.


2) Xét 1

1 0

11 0

...lim

...

n n

n n

m mxm m

a x a x aL

b x b x b

−−

−→∞−

+ + +=

+ + +, ta có:

a) n

n

aL

b= nếu n m= ;

b) 0L = nếu n m< ; c) L =∞ nếu n m> .

3) 0 0

sin tanlim lim 1x x

x x

x xα → α →

α α= =

α α.

4) Số e:

( )1

0

1lim 1 lim 1 .

x

x

x xx e

x→±∞ →

+ = + =


VD 2. Tìm giới hạn 2

2

3lim 1

2 1

x

x

xL

x→∞

= + +.

A. L =∞; B. 3L e= ; C. 2L e= ; D. 1L = .

VD 3. Tìm giới hạn ( )1

2 4

0lim 1 tan x

x

L x+→

= + .

A. L =∞; B. 1L = ; C. 4L e= ; D. L e= .


§3. ĐẠI L ƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN

3.1. Đại lượng vô cùng bé a) Định nghĩa • Hàm số ( )xα được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB)

khi 0

x x→ nếu 0

lim ( ) 0x x

x→α = (x0 có thể là vô cùng).

VD 1. ( )3( ) tan sin 1x xα = − là VCB khi 1x −→ ;

2

1( )

lnx

xβ = là VCB khi x →+∞.





b) Tính chất của VCB

1) Nếu ( ), ( )x xα β là các VCB khi 0

x x→ thì

( ) ( )x xα ± β và ( ). ( )x xα β là VCB khi 0

x x→ .

2) Nếu ( )xα là VCB và ( )xβ bị chận trong lân cận 0x

thì ( ). ( )x xα β là VCB khi 0

x x→ .

3) 0

lim ( ) ( ) ( )x x

f x a f x a x→

= ⇔ = +α , trong đó ( )xα là

VCB khi 0

x x→ .


c) So sánh các VCB • Định nghĩa

Cho ( ), ( )x xα β là các VCB khi 0

x x→ , 0

( )lim

( )x x

xk

x→

α=

β.

Khi đó: – Nếu 0k = , ta nói ( )xα là VCB cấp cao hơn ( )xβ , ký hiệu ( ) 0( ( ))x xα = β . – Nếu k = ∞, ta nói ( )xα là VCB cấp thấp hơn ( )xβ .

– Nếu 0 k≠ ≠∞, ta nói ( )xα và ( )xβ là các VCB cùng cấp.

– Đặc biệt, nếu 1k = , ta nói ( )xα và ( )xβ là các VCB tương đương, ký hiệu ( ) ( )x xα β∼ .


VD 2. • 1 cosx− là VCB cùng cấp với 2x khi 0x → vì:

2

2 20 0

2 sin1 cos 12lim lim

242

x x

x

x

x x→ →

−= =

.

• 2 2sin 3( 1) 9( 1)x x− −∼ khi 1x → .


• Tính chất của VCB tương đương khi x → x0

1) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ( )) 0( ( ))x x x x x xα β ⇔ α − β = α = β∼ . 2) Nếu ( ) ( ), ( ) ( )x x x xα β β γ∼ ∼ thì ( ) ( )x xα γ∼ . 3) Nếu

1 1 2 2( ) ( ), ( ) ( )x x x xα β α β∼ ∼ thì

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x x x xα α β β∼ .

4) Nếu ( ) 0( ( ))x xα = β thì ( ) ( ) ( )x x xα + β β∼ .

• Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Cho ( ), ( )x xα β là tổng các VCB khác cấp khi

0x x→

thì 0

( )lim

( )x x

x

x→

αβ

bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp

nhất của tử và mẫu.



4 20

cos 1limx

x xL

x x→

− +=

+.

Chú ý. Nếu ( )u x là VCB khi 0x → thì ta có thể thay xbởi ( )u x trong 8 công thức trên.

• Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0 1) sin x x∼ ; 2) tanx x∼ ;

3) arcsin x x∼ ; 4) arctan x x∼

5) 2

1 cos2

xx− ∼ ; 6) 1xe x− ∼ ;

7) ln(1 )x x+ ∼ ; 8) 1 1n xx

n+ − ∼ .


Chú ý Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu

tử hoặc mẫu của phân thức.

VD 6. 2 20 0

2 ( 1) ( 1)lim lim

x x x x

x x

e e e e

x x

− −

→ →

+ − − + −=

20

( )lim 0x

x x

x→

+ −= = (Sai!).

VD 4. Tính giới hạn 2

20

ln(1 2 sin )lim

sin .tanx

x xL

x x→

−= .

VD 5. Tính ( ) 2 2

30

sin 1 1 3 tanlim

sin 2x

x x xL

x x→

+ − + −=

+.





3.2. Đại lượng vô cùng lớn a) Định nghĩa • Hàm số f(x) được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL)

khi 0

x x→ nếu 0

lim ( )x x

f x→

= ∞ (x0 có thể là vô cùng).

VD 7. 3

cos 1

2 sin

x

x x

+

− là VCL khi 0x → ;

3

2

1

cos 4 3

x x

x x

+ −

− + là VCL khi x → +∞.

Nhận xét. Hàm số ( )f x là VCL khi 0

x x→ thì

1

( )f x là VCB khi

0x x→ .


b) So sánh các VCL • Định nghĩa

Cho ( ), ( )f x g x là các VCL khi 0

x x→ , 0

( )lim

( )x x

f xk

g x→= .

Khi đó:

– Nếu 0k = , ta nói ( )f x là VCL cấp thấp hơn ( )g x .

– Nếu k =∞, ta nói ( )f x là VCL cấp cao hơn ( )g x .

– Nếu 0 k≠ ≠∞, ta nói ( )f x và ( )g x là các VCL cùng cấp.

– Đặc biệt, nếu 1k = , ta nói ( )f x và ( )g x là các VCL tương đương. Ký hiệu ( ) ( )f x g x∼ .


VD 8.

• 3

3

x là VCL khác cấp với

3

1

2x x+ khi 0x → vì:

3

3 3 3 30 0 0

3 1 2lim : 3 lim 3 lim

2x x x

x x x

x x x x x→ → →

+ = = = ∞ +.

• 3 32 1 2x x x+ − ∼ khi x →+∞.


VD 9. Tính các giới hạn: 3

3

cos 1lim

3 2x

x xA

x x→∞

− +=

+;

3 2

7 2

2 1lim

2 sinx

x xB

x x→+∞

− +=

−.

• Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp Cho f(x) và g(x) là tổng các VCL khác cấp khi

0x x→

thì 0

( )lim

( )x x

f x

g x→ bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất

của tử và mẫu.


§4. HÀM SỐ LIÊN T ỤC

4.1. Định nghĩa

• Số 0 fx D∈ được gọi là điểm cô lập của f(x) nếu

0 0 0

0 : ( ; ) \ { }x x x x∃ε > ∀ ∈ − ε + ε thì f

x D∉ .

• Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu 0

0lim ( ) ( )x x

f x f x→

= .

• Hàm số f(x) liên tục trên tập X nếu f(x) liên tục tại mọi điểm

0x X∈ .

Quy ước

• Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm cô lập của f(x).


4.3. Hàm số liên tục một phía • Định nghĩa Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái (phải) tại x0 nếu

0

0lim ( ) ( )x x

f x f x−→

= (0

0lim ( ) ( )x x

f x f x+→

= ).

• Định lý Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu

0 0

0lim ( ) lim ( ) ( ).x x x x

f x f x f x− +→ →

= =

4.2. Định lý • Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại x0 là hàm số liên tục tại x0. • Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó. • Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.





VD 1. Cho hàm số

2 23 tan sin, 0

( ) 2, 0

x xx

f x xx

+ >= α ≤

.

Giá trị của α để hàm số liên tục tại 0x = là:

A. 0α = ; B. 1

2α = ; C. 1α = ; D.

3

2α = .

VD 2. Cho hàm số 2 2

ln(cos ), 0

( ) arctan 22 3, 0

xx

f x x xx

≠= + α − =

.

Giá trị của α để hàm số liên tục tại 0x = là:

A. 17

12α = ; B.

17

12α =− ; C.

3

2α =− ; D.

3

2α = .


4.4. Phân loại điểm gián đoạn

• Nếu hàm số ( )f x không liên tục tại 0x thì

0x được gọi

là điểm gián đoạn của ( )f x .

• Nếu tồn tại các giới hạn:

0

0lim ( ) ( )x x

f x f x−

−

→= ,

0

0lim ( ) ( )x x

f x f x+

+

→=

nhưng 0

( )f x− , 0

( )f x+ và 0

( )f x không đồng thời bằng

nhau thì ta nói 0x là điểm gián đoạn loại một.

Ngược lại, 0x là điểm gián đoạn loại hai.

……………………………………………………………………………

�� ChươngChương 2. 2. PhPhéépp ttíínhnh vi vi phânphân hhààmm mmộộtt bibiếếnn ssốố

§1. ĐẠO HÀM

§1. Đạo hàm §2. Vi phân §3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị §4. Công thức Taylor §5. Quy tắc L’Hospital

………………………………………………………

1.1. Các định nghĩa a) Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số ( )y f x= xác định trong lân cận ( ; )a b của

0( ; )x a b∈ . Giới hạn:

0 0

0 0

( ) ( )lim limx x

f x x f xy

x x∆ → ∆ →

+∆ −∆=

∆ ∆

(nếu có) được gọi là đạo hàm của ( )y f x= tại 0x .

Ký hiệu là 0

( )f x′ hay 0

( )y x′ .


Nhận xét. Do 0

x x x∆ = − nên:

0

00

0

( ) ( )( ) lim .

x x

f x f xf x

x x→

−′ =

−

Nhận xét. Hàm số ( )f x có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi

0 0 0( ) ( ) ( ).f x f x f x− +′ ′ ′= =

b) Đạo hàm một phía Cho hàm số ( )y f x= xác định trong lân cận phải

0( ; )x b của

0x . Giới hạn

0

0

0

( ) ( )limx x

f x f x

x x+→

−

− (nếu có)

được gọi là đạo hàm bên phải của ( )y f x= tại 0x .

Ký hiệu là 0

( )f x+′ . Tương tự, 0

( )f x−′ .


VD 1. Cho 3( ) (0)f x x f ′= ⇒ = ∞,

( ) (0 )f x x f +′= ⇒ = +∞.

c) Đạo hàm vô cùng

• Nếu tỉ số y

x

∆→∞

∆ khi 0x∆ → thì ta nói ( )y f x= có

đạo hàm vô cùng tại 0x .

• Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng một phía.

Chú ý

Nếu ( )f x liên tục và có đạo hàm vô cùng tại 0x thì tiếp

tuyến tại 0x của đồ thị ( )y f x= song song với trục Oy .


1.2. Các quy tắc tính đạo hàm

1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số: ( )u v u v′ ′ ′± = ± ; ( )uv u v uv′ ′ ′= + ;

2,

k kvk

v v

′ ′− = ∈ ℝ;

2

u u v uv

v v

′ ′ ′− = .

2) Đạo hàm của hàm số hợp ( ) [ ( )]f x y u x= :

( ) ( ). ( )f x y u u x′ ′ ′= hay ( ) ( ). ( )y x y u u x′ ′ ′= .

3) Đạo hàm hàm số ngược của ( )y y x= : 1

( )( )

x yy x

′ =′

.





Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp

1) ( ) 1.x xα α−′= α ; 2) ( ) 1

2x

x

′= ;

3) ( )sin cosx x′ = ; 4) ( )cos sinx x

′ = − ;

5) ( )2

1tan

cosx

x

′ = 6) ( )2

1cot

sinx

x

′ = − ;

21 tan x= + ;


7) ( )x xe e′= ; 8) ( ) .lnx xa a a

′= ;

9) ( ) 1ln x

x

′ = ; 10) ( ) 1log

.lnax

x a

′ = ;

11) ( )2

1arcsin =

1x

x

′

−; 12)( )

2

1arccos =

1x

x

−′

−;

13) ( )2

1arctan

1x

x

′ =+

; 14) ( )2

1cot

1arc x

x

−′ =+

.


1.3. Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số

• Cho hàm số ( )y f x= có phương trình dạng tham số ( ), ( )x x t y y t= = . Giả sử ( )x x t= có hàm số ngược

và hàm số ngược này có đạo hàm thì:

( )( ) .

( )t

xt

yy ty x hay y

x t x

′′′ ′= =

′ ′

VD 2. Tính ( )y x′ của hàm số cho bởi 2

3

2 1, 0

4

x tt

y t

= − ≠ =.

VD 3. Tính (1)xy ′ của hàm số cho bởi

2 2

tx e

y t t

= = −.


1.4. Đạo hàm cấp cao • Giả sử ( )f x có đạo hàm ( )f x′ và ( )f x′ có đạo hàm thì

( )( ) ( )f x f x′′ ′′= là đạo hàm cấp hai của ( )f x .

• Tương tự ta có:

( )( ) ( 1)( ) ( )n nf x f x− ′= là đạo hàm cấp n của ( )f x .

VD 4. Cho hàm số 2( ) sinf x x= . Tính đạo hàm (6)(0)f .

A. (6)(0) 32f = ; B. (6)(0) 32f =− ;

C. (6)(0) 16f =− ; D. (6)(0) 0f = .


VD 5. Tính ( )( )nf x của hàm số 1( ) (1 )nf x x += − .

VD 6. Tính ( )ny của hàm số 2

1

3 4y

x x=

− −.


1.5. Đạo hàm của hàm số ẩn

• Cho phương trình ( , ) 0F x y = (*). Nếu ( )y y x= là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó sao cho khi thế ( )y x vào (*) ta được đồng nhất thức thì ( )y x được gọi là hàm số ẩn xác định bởi (*).

• Đạo hàm hai vế (*) theo x , ta được . 0x y xF F y′ ′ ′+ = .

Vậy , 0.xx y

y

Fy F

F

′′ ′= − ≠

′

( )x

y x y′ ′= được gọi là đạo hàm của hàm số ẩn ( )y x .





Chú ý Ta có thể xem hàm ẩn ( )y x như hàm hợp ( )u x và thực

hiện đạo hàm như hàm số hợp.

VD 10. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi: 3 2 4( 1) 0y x y x+ + + = . Tính ( )y x′ .

VD 8. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi:

ln 0xxy e y− + = (*). Tính (0)y ′ .

VD 7. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi 0x yxy e e− + = . Tính ( )y x′ .

VD 9. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi:

2 2ln arctany

x yx

+ = . Tính ( )y x′ .


§2. VI PHÂN 2.1. Vi phân cấp một • Hàm số ( )y f x= được gọi là khả vi tại

0 fx D∈ nếu

0 0 0( ) ( ) ( )f x f x x f x∆ = +∆ − có thể biểu diễn dưới

dạng: 0( ) . 0( )f x A x x∆ = ∆ + ∆

với A là hằng số và 0( )x∆ là VCB khi 0x∆ → .

Khi đó, đại lượng .A x∆ được gọi là vi phân của hàm số ( )y f x= tại x0. Ký hiệu

0( )df x hay

0( )dy x .

Nhận xét

• 0

( ) . 0( )f x A x x∆ = ∆ + ∆ 0( ) 0( )f x x

Ax x

∆ ∆⇒ = +

∆ ∆


000

( )( )xf x

A f x Ax

∆ →∆′⇒ → ⇒ =

∆.

0 0

( ) ( ).df x f x x′⇒ = ∆ hay ( ) ( ).df x f x x′= ∆ .

• Chọn ( ) ( )f x x df x x dx x= ⇒ = ∆ ⇒ = ∆ .

Vậy ( ) ( ) .df x f x dx hay dy y dx′ ′= =

VD 1. Tính vi phân cấp 1 của 2 3( ) xf x x e= tại 0

1x = − .

VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số ln(arcsin )2 xy = .

VD 2. Tính vi phân cấp 1 của 2arctan( 1)y x= + .


2.2. Vi phân cấp cao • Giả sử ( )y f x= có đạo hàm đến cấp n thì

1 ( )( )n n n nd y d d y y dx−= = được gọi là vi phân cấp n của hàm ( )y f x= .

VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số ln(sin )y x= .

VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số 2xy e= .

Chú ý Khi x là một hàm số độc lập với y thì công thức

( )n n nd y y dx= không còn đúng nữa.

VD 6. Tính vi phân cấp 2 của ( ) tanf x x= tại 0 4x

π= .


§3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KH Ả VI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

3.1. Các định lý

3.1.1. Bổ đề Fermat Cho hàm số ( )f x xác định trong ( ; )a b và có đạo hàm tại

0( ; )x a b∈ . Nếu ( )f x đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất)

tại 0x trong ( ; )a b thì

0( ) 0f x′ = .

3.1.2. Định lý Rolle

Cho hàm số ( )f x liên tục trong [ ; ]a b và khả vi trong ( ; )a b . Nếu ( ) ( )f a f b= thì ( ; )c a b∃ ∈ sao cho ( ) 0f c′ = .


3.1.3. Định lý Cauchy Cho hai hàm số ( )f x , ( )g x liên tục trong [ ; ]a b , khả vi trong ( ; )a b và ( ) 0, ( ; )g x x a b′ ≠ ∀ ∈ . Khi đó, ( ; )c a b∃ ∈ sao cho:

( ) ( ) ( ).

( ) ( ) ( )

f b f a f c

g b g a g c

′−=′−

3.1.4. Định lý Lagrange Cho hàm số ( )f x liên tục trong [ ; ]a b , khả vi trong ( ; )a b .

Khi đó, ( ; )c a b∃ ∈ sao cho:

( ) ( )( ).

f b f af c

b a

− ′=−





3.2. Cực trị của hàm số 3.2.1. Hàm số đơn điệu a) Định nghĩa Cho hàm số ( )f x liên tục trong trong ( ; )a b . Khi đó: • ( )f x được gọi là tăng (đồng biến) trong ( ; )a b nếu

1 2

1 2

( ) ( )0

f x f x

x x

−>

−,

1 2, ( ; )x x a b∀ ∈ và

1 2x x≠ .

• ( )f x được gọi là giảm (nghịch biến) trong ( ; )a b nếu

1 2

1 2

( ) ( )0

f x f x

x x

−<

−,

1 2, ( ; )x x a b∀ ∈ và

1 2x x≠ .

• ( )f x được gọi là đơn điệu trong ( ; )a b nếu ( )f x tăng hay giảm trong ( ; )a b .


• Nếu ( )f x đơn điệu trong ( ; )a b và liên tục trong ( ; ]a b thì ( )f x đơn điệu trong ( ; ]a b (trường hợp khác tương tự). b) Định lý Cho hàm số ( )f x khả vi trong trong ( ; )a b . Khi đó: • Nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b′ > ∀ ∈ thì ( )f x tăng trong ( ; )a b . • Nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b′ < ∀ ∈ thì ( )f x giảm trong ( ; )a b .

VD 1. Tìm các khoảng đơn điệu của 2ln( 1)y x= + .

VD 2. Tìm các khoảng đơn điệu của 2

2

1( )

( 1)

xf x

x

+=

−.

VD 3. Tìm các khoảng đơn điệu của 2

1

2y

x x

=−

.

VD 4. Tìm các khoảng đơn điệu của 3 4xy e −= .


3.2.2. Cực trị a) Định nghĩa Nếu ( )f x liên tục trong ( ; )a b chứa

0x và

0( ) ( )f x f x<

hay 0

( ) ( )f x f x> , 0

( ; ) \ { }x a b x∀ ∈ thì ( )f x đạt cực tiểu

hay cực đại tại 0x .

b) Định lý Cho ( )f x có đạo hàm đến cấp 2n trong ( ; )a b chứa

0x

thỏa (2 1)0 0

( ) ... ( ) 0nf x f x−′ = = = và (2 )0

( ) 0nf x ≠ .

• Nếu (2 )0

( ) 0nf x > thì ( )f x đạt cực tiểu tại 0x .

• Nếu (2 )0

( ) 0nf x < thì ( )f x đạt cực đại tại 0x .

VD 5. Tìm cực trị (nếu có) của 4( )f x x= , 3( )f x x= .


3.2.3. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất a) Định nghĩa Cho hàm số ( )y f x= có MXĐ D và X D⊂ . • Số M được gọi là giá trị lớn nhất của ( )f x trên X nếu:

0 0: ( )x X f x M∃ ∈ = và ( ) , f x M x X≤ ∀ ∈ .

Ký hiệu là: max ( )x X

M f x∈

= .

• Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của ( )f x trên X nếu:

0 0: ( )x X f x m∃ ∈ = và ( ) , f x m x X≥ ∀ ∈ .

Ký hiệu là: min ( )x X

m f x∈

= .

Chú ý • Hàm số có thể không đạt max hoặc min trên X D⊂ .


• Nếu max ( )x X

M f x∈

= và min ( )x X

m f x∈

= thì:

( ) ,m f x M x X≤ ≤ ∀ ∈ .

b) Phương pháp tìm max – min � Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [ ; ]a b .

Để tìm [ ; ]max ( )x a b

f x∈

và [ ; ]min ( )x a b

f x∈

, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1. Giải phương trình ( ) 0f x′ = . Giả sử có n nghiệm

1,..., [ ; ]

nx x a b∈ (loại các nghiệm ngoài [ ; ]a b ).

• Bước 2. Tính 1

( ), ( ),..., ( ), ( )n

f a f x f x f b .

• Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã tính ở trên là các giá trị max, min tương ứng cần tìm.


VD 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

4 23( ) 3

2f x x x x= − − + trên đoạn [0; 2].

Chú ý • Nếu đề bài chưa cho đoạn [ ; ]a b thì ta phải tìm MXĐ

của hàm số trước khi làm bước 1. • Có thể đổi biến số ( )t t x= và viết ( ) ( ( ))y f x g t x= = . Gọi T là miền giá trị của hàm ( )t x thì:

max ( ) max ( )x X t T

f x g t∈ ∈

= , min ( ) min ( )x X t T

f x g t∈ ∈

= .

VD 7. Tìm max, min của 2( ) 5 6f x x x= − + + .

VD 8. Tìm max, min của 2

sin 1

sin sin 1

xy

x x

+=

+ +.





� Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) Cho hàm ( )y f x= liên tục trên ( ; )a b ( ,a b có thể là ∞).

Để tìm ( ; )max ( )x a b

f x∈

và ( ; )min ( )x a b

f x∈

, ta thực hiện các bước:

• Bước 1. Giải phương trình ( ) 0f x′ = . Giả sử có n nghiệm

1,..., [ ; ]

nx x a b∈ (loại các nghiệm ngoài [ ; ]a b ).

• Bước 2. Tính 1

( ),..., ( )n

f x f x và hai giới hạn

1 2lim ( ), lim ( )x a x b

L f x L f x+ −→ →

= = .

• Bước 3. Kết luận: 1) Nếu

1 1 2max{ ( ),..., ( )} max{ , }

nf x f x L L> thì

1( ; )max max{ ( ),..., ( )}

nx a bf f x f x

∈= .


Chú ý Ta có thể lập bảng biến thiên của ( )f x thay cho bước 3.

VD 10. Tìm max, min của 2

( )2 1

xf x

x=

+ −.

……………………………………………………………………

2) Nếu 1 1 2

min{ ( ),..., ( )} min{ , }n

f x f x L L< thì

1( ; )min min{ ( ),..., ( )}

nx a bf f x f x

∈= .

3) Nếu không thỏa 1) (hoặc 2)) thì hàm số không đạt max (hoặc min).

VD 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3

2( )

1

xf x

x=

− trên khoảng (1; )+∞ .


§4. CÔNG THỨC TAYLOR

4.1. Công thức khai tri ển Taylor a) Khai tri ển Taylor với phần dư Peano • Cho hàm ( )f x liên tục trên [ ; ]a b có đạo hàm đến cấp

1n + trên ( ; )a b với 0

, ( ; )x x a b∈ ta có:

( )0

0 00

( )( ) ( ) (( ) ).

!

knk n

k

f xf x x x O x x

k=

= − + −∑

b) Khai tri ển Maclaurin

• Khai triển Taylor với phần dư Peano tại 0

0x = được gọi là khai triển Maclaurin.


Vậy: ( )

0

(0)( ) ( ).

!

knk n

k

ff x x O x

k=

= +∑

• Khai triển Maclaurin được viết lại: / //

2

( )

(0) (0)( ) (0) ...

1! 2!(0)

... ( ).!

nn n

f ff x f x x

fx O x

n

= + + +

+ +

VD 1. Khai triển Maclaurin của ( ) tanf x x= đến 3x .


4.2. Các khai triển Maclaurin cần nhớ

1) 211 ... 0( )

1n nx x x x

x= + + + + +

−.

2) 2

1 ... 0( )1! 2! !

nx nx x xe x

n= + + + + + .

3) 2 3 4

ln(1 ) ... 0( )1 2 3 4

nx x x xx x+ = − + − + + .

4) 2 4 6

cos 1 ... 0( )2! 4 ! 6!

nx x xx x= − + − + + .

5) 3 5 7

sin ... 0( )1! 3! 5! 7 !

nx x x xx x= − + − + + .


Chú ý • Nếu ( )u x là VCB khi 0x → thì ta thay x trong các

công thức trên bởi ( )u x .

VD 2. Khai triển Maclaurin hàm số 2

1

1 3y

x=+

đến 6x .

VD 3. Khai triển Maclaurin của 2ln(1 2 )y x= − đến 6x .

VD 4. Khai triển Maclaurin của hàm số 2xy = đến 4x .

VD 5. Cho hàm số ( ) cos2f x x x= . Tính (7)(0)f .





§5. QUY TẮC L’HOSPITAL


2lim

x x

x

e eL

x

−

→

+ −= .

Định lý (quy tắc L’Hospital) Cho hai hàm số ( )f x , ( )g x khả vi trong lân cận của điểm

0x và ( ) 0g x′ ≠ trong lân cận của

0x (có thể

0( ) 0g x′ = ).

Nếu 0

( )lim

( )x x

f x

g x→ có dạng

0

0 hoặc

∞∞

thì:

0 0

( ) ( )lim lim .

( ) ( )x x x x

f x f x

g x g x→ →

′=

′

Chú ý � Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần.


VD 3. Tìm giới hạn ( )3

0lim lnx

L x x+→

= (dạng 0×∞).


1

1lim x

xL x −

→= (dạng 1∞).

VD 2. Tìm giới hạn 2 2

2 20

sinlim

.arctanx

x xL

x x→

−= .

A. 0L = ; B. L =∞; C. 1

2L = ; D.

1

3L = .

�� ChươngChương 3. 3. PhPhéépp ttíínhnh ttííchch phânphân hhààmm mmộộtt bibi ếếnn ssốố

§1. Tích phân bất định §2. Tích phân xác định §3. Ứng dụng của tích phân xác định §4. Tích phân suy rộng

…………………………

§1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

1.1. Định nghĩa • Hàm số ( )F x được gọi là một nguyên hàm của ( )f x trên

khoảng ( ; )a b nếu ( ) ( ), ( ; )F x f x x a b′ = ∀ ∈ .

Ký hiệu ( )f x dx∫ (đọc là tích phân).

Nhận xét • Nếu ( )F x là nguyên hàm của ( )f x thì ( )F x C+ cũng là

nguyên hàm của ( )f x .


Tính chất

1) . ( ) ( ) ,k f x dx k f x dx k= ∈∫ ∫ ℝ

2) ( ) ( )f x dx f x C′ = +∫

3) ( ) ( )d

f x dx f xdx

=∫

4) [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫ .

MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ 1) . , aa dx ax C= + ∈∫ ℝ

2) 1

, 11

xx dx C

α+α = + α ≠−

α +∫


3) lndx

x Cx= +∫ ; 4) 2

dxx C

x= +∫

5) x xe dx e C= +∫ ; 6) ln

xx a

a dx Ca

= +∫

7) cos sinxdx x C= +∫ ; 8) sin cosxdx x C=− +∫ 9)

2tan

cos

dxx C

x= +∫ ; 10)

2cot

sin

dxx C

x=− +∫

11) 2 2

1arctan

dx xC

a ax a= +

+∫

12) 2 2

arcsin , 0dx x

C aaa x

= + >−

∫


13) 2 2

1ln

2

dx x aC

a x ax a

−= +

+−∫

14) ln tansin 2

dx xC

x= +∫

15) ln tancos 2 4

dx xC

x

π= + + ∫

16) 2

2ln

dxx x a C

x a

= + + ++

∫





VD 1. Tính 24

dxI

x=

−∫ .

A. 1 2ln4 2

xI C

x

+= +

−; B.

1 2ln4 2

xI C

x

−= +

+;

C. 1 2ln2 2

xI C

x

−= +

+; D.

1 2ln2 2

xI C

x

+= +

−.

VD 2. Tính 2 6

dxI

x x=

− −∫ .


VD 3. Tính ln 1

dxI

x x=

+∫ .

VD 4. Tính 23 ln

dxI

x x

=−

∫ .

VD 5. Tính 3( 3)

dxI

x x=

+∫ .

1.2. Phương pháp đổi biến a) Định lý Nếu ( ) ( )f x dx F x C= +∫ với ( )tϕ khả vi thì:

( ( )) ( ) ( ( )) .f t t dt F t C′ϕ ϕ = ϕ +∫


1.3. Phương pháp từng phần a) Công thức

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x dx u x v x u x v x dx′ ′= −∫ ∫

hay .udv uv vdu= −∫ ∫

VD 6. Tính lnI x xdx= ∫ .

VD 7. Tính 2xx

I dx= ∫ .

Chú ý Đối với nhiều tích phân khó thì ta phải đổi biến trước

khi lấy từng phần.


VD 8. Tính 3 sincos xI xe dx= ∫ .

b) Các dạng tích phân từng phần thường gặp

• Đối với dạng tích phân ( ) xP x e dxα∫ , ta đặt:

( ), .xu P x dv e dxα= =

• Đối với dạng tích phân ( )lnP x x dxα∫ , ta đặt:

ln , ( ) .u x dv P x dxα= =


0 1 1...

n nx a x x x b−= < < < < = .

Lấy điểm 1

[ ; ]k k k

x x−ξ ∈ tùy ý ( 1,k n= ).

Lập tổng tích phân: 1

1

( )( )n

k k kk

f x x −=

σ = ξ −∑ .

§2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2.1. Định nghĩa. Cho hàm số ( )f x xác định trên [ ; ]a b .

Ta chia đoạn [ ; ]a b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia

Ký hiệu là ( ) .

b

a

I f x dx= ∫

Giới hạn hữu hạn (nếu có) 1max( ) 0

limk k

kx x

I−− →

= σ được gọi

là tích phân xác định của ( )f x trên đoạn [ ; ]a b .


Tính chất

1) . ( ) ( ) ,

b b

a a

k f x dx k f x dx k= ∈∫ ∫ ℝ

2) [ ( ) ( )] ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫

3) ( ) 0; ( ) ( )

a b a

a a b

f x dx f x dx f x dx= = −∫ ∫ ∫

4) ( ) ( ) ( ) , [ ; ]

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx c a b= + ∈∫ ∫ ∫

5) ( ) 0, [ ; ] ( ) 0

b

a

f x x a b f x dx≥ ∀ ∈ ⇒ ≥∫





6) ( ) ( ), [ ; ] ( ) ( )

b b

a a

f x g x x a b f x dx g x dx≤ ∀ ∈ ⇒ ≤∫ ∫

7) ( ) ( )

b b

a a

a b f x dx f x dx< ⇒ ≤∫ ∫

8) ( ) , [ ; ]m f x M x a b≤ ≤ ∀ ∈

( ) ( ) ( )

b

a

m b a f x dx M b a⇒ − ≤ ≤ −∫

9) Nếu ( )f x liên tục trên đoạn [ ; ]a b thì

[ ; ] : ( ) ( )( )

b

a

c a b f x dx f c b a∃ ∈ = −∫ .


2.2. Công thức Newton – Leibnitz • Nếu ( )f x liên tục trên [ ; ]a b và ( )F x là một nguyên hàm

tùy ý của ( )f x thì:

( ) ( ) ( ) ( ).

bb

aa

f x dx F x F b F a= = −∫

Nhận xét 1) Có hai phương pháp tính tích phân như §1. 2) Hàm số ( )f x liên tục và lẻ trên [ ; ]−α α thì

( ) 0f x dx

α

−α

=∫ .


Đặc biệt

( ) ( )b b

a a

f x dx f x dx=∫ ∫ nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b≠ ∀ ∈ .

3) Hàm số ( )f x liên tục và chẵn trên [ ; ]−α α thì:

0

( ) 2 ( )f x dx f x dx

α α

−α

=∫ ∫ .

4) Để tính ( )

b

a

f x dx∫ ta dùng bảng xét dấu của ( )f x để

tách ( )f x ra thành các hàm trên từng đoạn nhỏ.


VD 2. Tính 0

cosI x x dx

π

= ∫ .

VD 3. Tính 1

2 3

1

1.sinI x x dx

−

= +∫ .

VD 1. Tính 3

21 2 5

dxI

x x=

− +∫ .


VD 4. 2

8

0

7!! 105sin .

8!! 2 768x dx

π

π π= =∫ .

• Công thức Walliss

2 2

0 0

( 1)!!,

!!sin cos

( 1)!!. ,

2 !!

n n

nn

nxdx xdx

nn

n

π π −= = −π

∫ ∫leû

chaün

Trong đó: 0 !! 1 !! 1= = ; 2 !! 2; 3 !! 3; 4 !! 2 .4= = = ;

5 !! 1 .3 .5; 6 !! 2 .4 .6; 7 !! 1 .3 .5 .7; ...= = =

VD 5. Tính 2

3 2

0

(cos 1)cosI x x dx

π

= −∫ .


§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

2 1( ) ( )

b

a

S f x f x dx = − ∫ 2 1( ) ( )

d

c

S g y g y dy = − ∫

a) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tổng quát 3.1. Tính diện tích S của hình phẳng

S S





VD 1. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi

các đường 2y x= và 4y x= .

A. 1

15S = ; B.

2

15S =

C. 4

15S = ; D.

8

15S = .



các đường 2x y= và 2y x= − .


các đường 1xy e= − , 2 3xy e= − và 0x = .

A. 1

ln 42

− ; B. ln 4 1

2

−; C.

1 ln2

2

−; D.

1ln 2

2−


VD 4. Tính diện tích hình elip 2 2

2 2: 1x y

Sa b+ ≤ .

b) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tham số

Hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình ( ), ( )x x t y y t= = với [ ; ]t ∈ α β thì:

( ). ( ) .S y t x t dt

β

α

′= ∫


VD 5. Tính độ dài cung parabol 2

2

xy = từ gốc tọa độ

O(0; 0) đến điểm 1

1;2

M

.

3.2. Tính độ dài l của đường cong

a) Đường cong có phương trình tổng quát

Cho cung �AB có phương trình ( ), [ ; ]y f x x a b= ∈ thì:

�21 [ ( )] .

b

ABa

l f x dx′= +∫


b) Đường cong có phương trình tham số

Cho cung �AB có phương trình tham số ( ), [ ; ]

( )

x x tt

y y t

= ∈ α β = thì:

�2 2[ ( )] [ ( )] .

ABl x t y t dt

β

α

′ ′= +∫

VD 6. Tính độ dài cung C có phương trình: 2

2

1, 0; 1

ln 1

x tt

y t t

= + ∈ = + +

.


VD 7. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi

ln , 0y x y= = , 1,x x e= = quay xung quanh Ox.

VD 8. Tính V do 2 2

2 2( ) : 1

x yE

a b+ = quay quanh Ox.

3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay a) Vật thể quay quanh Ox Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi ( ), 0y f x y= = , x a= , x b= quay quanh Ox là:

2[ ( )] .

b

a

V f x dx= π∫





VD 9. Tính thể tích V do hình phẳng

S giới hạn bởi 22 , 0y x x y= − =

quay xung quanh Oy.

b) Vật thể quay quanh Oy Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi ( )x g y= , 0x = , y c= và y d= quay quanh Oy là:

2[ ( )] .

d

c

V g y dy= π∫


Giải. Phương trình parabol 22y x x= − được viết lại: 2 22 ( 1) 1y x x x y= − ⇔ − = −

1 1 , 1

1 1 , 1

x y x

x y x

= + − ≥⇔ = − − <

.

1 1

3

00

8 84 1 (1 )

3 3y dy y

π π= π − = − − =∫ .

Vậy ( ) ( )1 2 2

0

1 1 1 1V y y dy = π + − − − − ∫


VD 10. Dùng công thức (* ) để giải lại VD 9.

Chú ý

Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi ( )y f x= , 0y = , x a= và x b= quay xung quanh Oy

còn được tính theo công thức:

2 ( ) (*).

b

a

V xf x dx= π∫


§4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG 4.1. Tích phân suy rộng loại 1 4.1.1. Định nghĩa • Cho hàm số ( )f x xác định trên [ ; )a +∞ , khả tích trên mọi đoạn [ ; ] ( )a b a b< .

Giới hạn (nếu có) của ( )

b

a

f x dx∫ khi b →+∞ được gọi

là tích phân suy rộng loại 1 của ( )f x trên [ ; )a +∞ . Ký hiệu:

( ) lim ( ) .

b

ba a

f x dx f x dx

+∞

→+∞=∫ ∫


• Nghiên cứu về tích phân suy rộng (nói chung) là khảo sát sự hội tụ và tính giá trị hội tụ (thường là khó).

• Định nghĩa tương tự:

( ) lim ( ) ;

b b

aa

f x dx f x dx→−∞

−∞

=∫ ∫

( ) lim ( ) .

b

baa

f x dx f x dx

+∞

→+∞−∞ →−∞

=∫ ∫

• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ.


• Trường hợp α khác 1:

1

11

1lim lim

1

bb

b b

dxI x

x

−αα→+∞ →+∞

= = −α ∫

( )11, 11

lim 1 11 , 1.b

b −α

→+∞

α >= − = α −−α +∞ α <

Giải • Trường hợp α = 1:

11

lim lim ln

bb

b b

dxI x

x→+∞ →+∞

= = = +∞ ∫ (phân kỳ).

VD 1. Khảo sát sự hội tụ của tích phân 1

dxI

x

+∞

α= ∫ .





VD 2. Tính tích phân 0

2(1 )

dxI

x−∞

=−

∫ .


dxI

x

+∞

−∞

=+

∫ .

Vậy

� Với 1α > : 1

1I =α −

(hội tụ).

� Với 1α ≤ : I = +∞ (phân kỳ).


Chú ý • Nếu tồn tại lim ( ) ( )

xF x F

→+∞= +∞ , ta dùng công thức:

( ) ( )a

a

f x dx F x

+∞+∞

=∫ .

• Nếu tồn tại lim ( ) ( )x

F x F→−∞

= −∞ , ta dùng công thức:

( ) ( )

bb

f x dx F x−∞

−∞

=∫ .

• Tương tự:

( ) ( )f x dx F x

+∞+∞

−∞−∞

=∫ .


4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ a) Tiêu chuẩn 1 • Nếu 0 ( ) ( ), [ ; )f x g x x a≤ ≤ ∀ ∈ +∞ và

( )

a

g x dx

+∞

∫ hội tụ thì ( )

a

f x dx

+∞

∫ hội tụ.

• Các trường hợp khác tương tự.

VD 4. Xét sự hội tụ của tích phân 10

1

xI e dx

+∞−= ∫ .


b) Tiêu chuẩn 2

• Nếu ( )

a

f x dx

+∞


a

f x dx

+∞

∫ hội tụ (ngược lại

không đúng). • Các trường hợp khác tương tự.

VD 5. Xét sự hội tụ của tích phân 1

cos 3xI e x dx

+∞−= ∫ .


c) Tiêu chuẩn 3 • Cho ( ), ( )f x g x liên tục, luôn dương trên [ ; )a +∞

và ( )

lim( )x

f xk

g x→+∞= . Khi đó:

� Nếu 0 k< <+∞ thì:

( )

a

f x dx

+∞

∫ và ( )

a

g x dx

+∞

∫ cùng hội tụ hoặc phân kỳ.

� Nếu 0k = và ( )

a

g x dx

+∞


a

f x dx

+∞

∫ hội tụ.


� Nếu ( )

a

k

g x dx

+∞

= +∞∫ phaân ky ø

thì ( )

a

f x dx

+∞

∫ phân kỳ.

• Các trường hợp khác tương tự.

VD 6. Xét sự hội tụ của tích phân 2 3

1 1 2

dxI

x x

+∞

=+ +

∫ .

Chú ý • Nếu ( ) ( ) ( )f x g x x →+∞∼ thì

( )

a

f x dx

+∞

∫ và ( )

a

g x dx

+∞

∫ có cùng tính chất.





VD 7. Xét sự hội tụ của tích phân 11 sin

dxI

x x

+∞

=+ +∫ .

VD 8. Điều kiện của α để 3

1 . ln 1

dxI

x x

+∞

α=

+∫ hội tụ là:

A. 3α > ; B. 3

2α > ; C. 2α > ; D.

1

2α > .

VD 9. Điều kiện của α để 2

41

( 1)

2 3

x dxI

x x

+∞

α

+=

+ −∫ hội tụ?


4.2. Tích phân suy rộng loại 2 4.2.1. Định nghĩa • Cho hàm số ( )f x xác định trên [ ; )a b và không xác định

tại b , khả tích trên mọi đoạn [ ; ] ( 0)a b− ε ε > .

Giới hạn (nếu có) của ( )

b

a

f x dx

−ε

∫ khi 0ε → được gọi là

tích phân suy rộng loại 2 của ( )f x trên [ ; )a b .

Ký hiệu:

0( ) lim ( ) .

b b

a a

f x dx f x dx

−ε

ε→=∫ ∫

�� ChươngChương 3. 3. PhPhéépp ttíínhnh ttííchch phânphân hhààmm mmộộtt bibi ếếnn ssốố• Định nghĩa tương tự:

0( ) lim ( )

b b

a a

f x dx f x dxε→

+ε

=∫ ∫ (suy rộng tại a );

0( ) lim ( )

b b

a a

f x dx f x dx

−ε

ε→+ε

=∫ ∫ (suy rộng tại a , b ).

• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ.

VD 10. Khảo sát sự hội tụ của 0

, 0

bdx

I bxα

= >∫ .

Giải. • Trường hợp α = 1:

0 0 0lim lim ln ln lim ln

bbdx

I x bx+ + +εε→ ε→ ε→

ε

= = = − ε = +∞ ∫ .


• Trường hợp α khác 1:

1

0 0 0

1lim lim lim

1

b bbdx

I x dx xx

−α −ααε→ ε→ ε→ ε

ε ε

= = = −α ∫ ∫

( )1

1 1

0

1 , 1lim 1

1 , 1.

b

b

−α

−α −α

ε→

α <= − ε = −α−α +∞ α >

Vậy

� Với 1α < : 1

1

bI

−α

=−α

(hội tụ).

� Với 1α ≥ : I = +∞ (phân kỳ).


VD 11. Tính tích phân

1

3

21

6

3

1 9

dxI

x

=−

∫ .

A. 3

Iπ

= − ; B. 3

Iπ

= ; C. 6

Iπ

= ; D. I = +∞.

VD 12. Tính tích phân 3 2

1 . ln

edx

I

x x

= ∫ .


21

dxI

x x=

−∫ .


4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ • Các tiêu chuẩn hội tụ như tích phân suy rộng loại 1.

Chú ý

• Nếu ( ) ( ) ( )f x g x x b→∼ thì ( )

b

a

f x dx∫ và ( )

b

a

g x dx∫

có cùng tính chất (với b là cận suy rộng).

VD 14. Tích phân suy rộng 1

0 ( 1)(2 )

x dxI

x x x

α

=+ −

∫

hội tụ khi và chỉ khi:

A. 1α <− ; B. 1

2α <− ; C.

1

2α >− ; D. α ∈ ℝ .





VD 15. Tích phân suy rộng 1

20

1

( 1)sin

xI dx

x x

α +=

+∫

phân kỳ khi và chỉ khi:

A. 1α ≤− ; B. 1

2α ≤− ; C.

1

2α ≥− ; D. α ∈ ℝ .

Chú ý

• Cho 1 2

I I I= + với 1 2

, ,I I I là các tích phân suy rộng

ta có:

1) 1I và

2I hội tụ I⇒ hội tụ.


2) 1

2

( )

0

I

I

→ −∞ ≤

phaân kyø hoặc 1

2

( )

0

I

I

→ +∞ ≥

phaân kyø

thì I phân kỳ.

3) 1

2

( )

0

I

I

→ −∞ >

phaân ky ø hoặc 1

2

( )

0

I

I

→ +∞ <

phaân ky ø

thì chưa thể kết luận I phân kỳ.

VD 16. 1

20

1

sin

xI dx

x x

α += ∫ phân kỳ khi và chỉ khi:

A. 1

4α ≤ ; B.

1

4α ≤− ; C.

1

2α ≤− ; D. α ∈ ℝ .

�� ChươngChương 4. 4. LýLý thuythuy ếếtt chuchu ỗỗii

§1. KHÁI NI ỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ

1.1. Định nghĩa • Cho dãy số có vô hạn các số hạng

1 2, ,..., ,...

nu u u

Biểu thức 1 2

1

... ...n n

n

u u u u∞

=

+ + + + =∑

được gọi là chuỗi số.

• Các số 1 2, ,..., ,...

nu u u là các số hạng và

nu được gọi là

số hạng tổng quát của chuỗi số.

§1. Khái niệm cơ bản về chuỗi số §2. Chuỗi số dương §3. Chuỗi số có dấu tùy ý

……………………………

• Tổng n số hạng đầu tiên 1 2

...n n

S u u u= + + + được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số.


• Nếu dãy { }n nS

∈ℕ hội tụ đến số S hữu hạn thì ta nói

chuỗi số hội tụ và có tổng là S , ta ghi là 1

nn

u S∞

=

=∑ .

Ngược lại, ta nói chuỗi số phân kỳ.

VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi nhân 1

1

n

n

aq∞

−

=∑ với 0a ≠ .

Giải • 1q = :

nS na= → +∞⇒ chuỗi phân kỳ.

• 1q ≠ : 1

1 1. .1 1

n n

n

q qS u a

q q

− −= =

− −

Với 1q > thì n

S →+∞⇒ chuỗi phân kỳ.

Vậy 1

1

n

n

aq∞

−

=∑ hội tụ 1q⇔ < .

VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1

1

( 1)n n n

∞

= +∑ .

Với 1q < thì 1n

aS

q→ ⇒−

chuỗi hội tụ.



1ln 1

n n

∞

=

+ ∑ .


1

n n

∞

=∑ .

1.2. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ

• Nếu chuỗi 1

nn

u∞

=∑ hội tụ thì lim 0

nn

u→∞

= ,

ngược lại nếu lim 0n

nu

→∞≠ thì

1n

n

u∞

=∑ phân kỳ.


41 3 2n

n

n n

∞

= + +∑ .



41 1n

n

n

∞

= +∑ .




1.3. Tính chất

• Nếu 1 1

, n n

n n

u v∞ ∞

= =∑ ∑ hội tụ thì:

1 1 1

( )n n n n

n n n

u v u v∞ ∞ ∞

= = =

+ = +∑ ∑ ∑ .

• Nếu 1

nn

u∞

=∑ hội tụ thì:

1 1n n

n n

u u∞ ∞

= =

α = α∑ ∑ .

• Tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số không đổi nếu ta thêm hoặc bớt đi hữu hạn số hạng.

�� ChươngChương 4. 4. LýLý thuythuy ếếtt chuchu ỗỗii§2. CHUỖI SỐ DƯƠNG

2.1. Định nghĩa

• 1

nn

u∞

=∑ được gọi là chuỗi số dương nếu 0,

nu n≥ ∀ .

Khi 0, nu n> ∀ thì chuỗi số là dương thực sự.

2.2. Các định lý so sánh

Định lý 1. Cho hai chuỗi số dương 1 1

, n n

n n

u v∞ ∞

= =∑ ∑ thỏa:

00 ,

n nu v n n≤ ≤ ∀ ≥ .

• Nếu 1

nn

v∞

=∑ hội tụ thì

1n

n

u∞

=∑ hội tụ.

• Nếu 1

nn

u∞

=∑ phân kỳ thì

1n

n

v∞

=∑ phân kỳ.



1

.2nn n

∞

=∑ .

VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi điều hòa 1

1

n n

∞

=∑ bằng cách

so sánh với 1

1ln 1

n n

∞

=

+ ∑ .


Định lý 2

Cho hai chuỗi số 1 1

, n n

n n

u v∞ ∞

= =∑ ∑ thỏa:

0nu > và 0

nv > với n đủ lớn và lim n

nn

uk

v→∞= .

• Nếu 0k = thì 1

nn

u∞

=∑ phân kỳ

1n

n

v∞

=

⇒∑ phân kỳ.

• Nếu k = +∞ thì 1

nn

u∞

=∑ hội tụ

1n

n

v∞

=

⇒∑ hội tụ.

• Nếu 0 k< <+∞ thì 1 1

, n n

n n

u v∞ ∞

= =∑ ∑ cùng tính chất.



1

2 ( 1)

.3

n

nn

n

n

∞

+=

+∑ bằng cách

so sánh với 1

2

3

n

n

∞

=

∑ .

Chú ý

Chuỗi 1

1

n n

∞

α=∑ hội tụ khi 1α > và phân kỳ khi 1α ≤ .


1

1

2 3n

n

n

∞

=

+

+∑ .


2.3. Các tiêu chuẩn hội tụ 2.3.1. Tiêu chuẩn D’Alembert

Cho chuỗi số dương 1

nn

u∞

=∑ và 1lim n

nn

uD

u

+

→∞= .

• Nếu 1D < thì chuỗi hội tụ. • Nếu 1D > thì chuỗi phân kỳ. • Nếu 1D = thì chưa thể kết luận.


1 11

3

n

nn n

∞

=

+ ∑ .



1

5 ( !)

(2 )!

n

n

n

n

∞

=∑ .




2.3.2. Tiêu chuẩn Cauchy

Cho chuỗi số dương 1

nn

u∞

=∑ và lim n

nn

u C→∞

= .

• Nếu 1C < thì chuỗi hội tụ. • Nếu 1C > thì chuỗi phân kỳ. • Nếu 1C = thì chưa thể kết luận.

VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số

2

1

1

2

n

n

∞

=

∑ .

VD 8. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 3

n

nn

n∞

=∑ .


2.3.3. Tiêu chuẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy Cho hàm số ( )f x liên tục, không âm và giảm trên nửakhoảng [ ; ), k k+∞ ∈ ℕ. Khi đó:

( ) ( )n k k

f n f x dx

+∞∞

=

⇔∑ ∫ hoäi tuï hoäi tuï.

VD 9. Xét sự hội tụ của chuỗi số 3 21

1

n n

∞

=∑ .


2

1

lnn n n

∞

=∑ .


§3. CHUỖI SỐ CÓ DẤU TÙY Ý

VD 1. 1

( 1)n

n n

∞

=

−∑ , 1

11

2 1( 1)

2

nn

nn

∞+

+=

+−∑ là các chuỗi đan dấu.

3.1. Chuỗi đan dấu

a) Định nghĩa. Chuỗi số 1

( 1)nn

n

u∞

=

−∑ được gọi là

chuỗi số đan dấu nếu 0,nu n> ∀ .

b) Định lý Leibnitz Nếu dãy { }

n nu ∈ℕ giảm nghiêm ngặt và 0

nu → thì chuỗi

1

( 1)nn

n

u∞

=

−∑ hội tụ. Khi đó, ta gọi là chuỗi Leibnitz.



( 1)n

n n

∞

=

−∑ .


1

2 1( 1)

2

nn

nn

∞

+=

+−∑ .



( 1)

( 1)

n

nn n

∞

=

−

+ −∑ .

3.2. Chuỗi có dấu tùy ý a) Định nghĩa

• Chuỗi 1

,n n

n

u u∞

=

∈∑ ℝ được gọi là chuỗi có dấu tùy ý.

• 1

nn

u∞

=∑ được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu

1n

n

u∞

=∑ hội tụ.

• 1

nn

u∞

=∑ được gọi là bán hội tụ nếu

1n

n

u∞

=∑ hội tụ và

1

nn

u∞

=∑ phân kỳ.

VD 5. Chuỗi số 1

( 1)n

n n

∞

=

−∑ là bán hội tụ.


b) Định lý

Nếu 1

nn

u∞

=∑ hội tụ thì chuỗi có dấu tùy ý

1n

n

u∞

=∑ hội tụ.


1

cos( )n

n

n

n

∞

=∑ .


1

( 1) ( 2)

3

n n

nn

+∞

=

− + −∑ .


………………………………………………………




�� ChươngChương 5. 5. ĐĐạạii ssốố tuytuy ếếnn ttíínhnh

§1. MA TRẬN

§1. Ma trận §2. Định thức §3. Hệ phương trình tuyến tính §4. Không gian vector

…………………………………………………

1.1. Các định nghĩa

a) Định nghĩa ma trận

• Ma trận A cấp m n× trên ℝ là 1 hệ thống gồm

m n× số ija ∈ ℝ ( 1, ; 1, )i m j n= = và được sắp

thành bảng gồm m dòng và n cột:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

....

... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

= • Các số

ija được gọi là các phần tử của A ở dòng thứ i

và cột thứ j .

• Cặp số ( , )m n được gọi là kích thước của A.

• Khi 1m = , ta gọi:

11 12 1( ... )

nA a a a= là ma trận dòng.


• Khi 1n = , ta gọi 11

1

...

m

a

A

a

=

là ma trận cột.

• Khi 1m n= = , ta gọi:

11( )A a= là ma trận gồm 1 phần tử.

• Ma trận (0 )ij m n

O ×= có tất cả các phần tử đều bằng 0

được gọi là ma trận không.

• Tập hợp các ma trận A được ký hiệu là ,( )

m nM ℝ , để

cho gọn ta viết là ( )ij m n

A a×

= .


• Ma tr ận vuông

� Khi m n= , ta gọi A là ma trận vuông cấp n . Ký hiệu là ( )

ij nA a= .

� Đường chéo chứa các phần tử

11 22, ,...,

nna a a được gọi

là đường chéo chính của ( )

ij nA a= ,

đường chéo còn lại được gọi là đường chéo phụ.

2 3

5 8

7 4

2

4

6

6 5

7

3

1

1 0


• Các ma trận vuông đặc biệt

� Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận chéo.

1 0 0

0 5 0

0 0 0

−

� Ma trận chéo cấp n gồm tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị cấp n . Ký hiệu là

nI .

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

=


� Ma trận ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận tam giác trên (dưới).

1 0 2

0 1 1

0 0 0

A

− = −

3 0 0

4 1 0

1 5 2

B

= −

� Ma trận vuông cấp n có tất cả các cặp phần tử đối xứng nhau qua đường chéo chính bằng nhau (

ij jia a= ) được

gọi là ma trận đối xứng.

0

0

3

1

2

4

4

1

1

−

−





b) Ma trận bằng nhau

Hai ma trận ( )ij

A a= và ( )ij

B b= được gọi là bằng

nhau, ký hiệu A B= , khi và chỉ khi chúng cùng kích thước và , ,

ij ija b i j= ∀ .

VD 1. Cho 1

2

x yA

z t

= và

1 0 1

2 3B

u

− = .

Ta có: 0; 1; 2; 2; 3A B x y z u t= ⇔ = =− = = = .


1.2. Các phép toán trên ma trận a) Phép cộng và trừ hai ma trận

VD 2. 1 0 2 2 0 2 1 0 4

2 3 4 5 3 1 7 0 3

− + = − − − ;

1 0 2 2 0 2 3 0 0

2 3 4 5 3 1 3 6 5

− − − = − − − − .

Nhận xét Phép cộng ma trận có tính giao hoán và kết hợp.

Cho hai ma trận ( )ij m n

A a ×= và ( )ij m n

B b ×= , ta có:

( ) .ij ij m n

A B a b×

± = ±


b) Phép nhân vô hướng

VD 3. 1 1 0 3 3 0

32 0 4 6 0 12

− − − = − − ;

2 6 4 1 3 2

24 0 8 2 0 4

= − − .

Chú ý • Phép nhân vô hướng có tính phân phối đối với phép cộng ma trận. • Ma trận 1.A A− =− được gọi là ma trận đối của A.

Cho ma trận ( )ij m n

A a ×= và λ ∈ ℝ , ta có:

( ) .ij m n

A aλ λ ×=


c) Phép nhân hai ma trận

Trong đó, ( )1

1, ; 1,n

ik ij jkj

c a b i m k p=

= = =∑ .

VD 4. Thực hiện phép nhân ( )1

1 2 3 2

5

− −

.

Cho hai ma trận ( )ij m n

A a×

= và ( )jk n p

B b×

= , ta có:

( ) .ik m p

AB c ×=

VD 5. Thực hiện phép nhân ( ) 1 1 01 2

1 0 3

− − .


VD 6. Tính

2 01 1 1

1 12 0 3

1 3

− − − −

.

Tính chất

1) (AB)C = A(BC); 2) A(B + C) = AB + AC;

3) (A + B)C = AC + BC; 4) λ(AB) = (λA)B = A(λB);

5) n m

AI A I A= = , với ,( )

m nA M∈ ℝ .


VD 7. Cho

1 0 1

2 2 0

3 0 3

A

− = − −

và

1 2 1

0 3 1

2 1 0

B

− − = − −

.

Thực hiện phép tính: a) AB ; b) BA.

VD 8. Thực hiện phép nhân:

1 1 2 0 1 3 2 1 2 1

2 3 0 1 2 1 1 0 2 1

1 1 4 2 1 3 3 1 0 2

A

− − − = − − − − − − − −

.

Chú ý • Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.





• Đặc biệt, khi ( )ij n

A a= và *p ∈ ℕ , ta có: p

n nI I=

và 0 1 1, ( ) ( )p p p

nA I A A A A A− −= = =

(lũy thừa ma trận).

VD 9. Cho ma trận 1 1

0 1A − =

, giá trị của 2010A là:

A. 1 2010

0 1

− − ; B.

1 2010

0 1

− ;

C. 1 2010

0 1

− − ; D.

1 2010

0 1

− − − .


VD 10. Cho 2 0

1 0B

= , giá trị của 2009

2( )I B− là:

A. 1 0

1 1

− − ; B.

1 0

1 1

− − − ; C.

1 0

1 1

− ; D.

1 0

1 1

− − .

VD 11. Cho ( )ij

A a= là ma trận vuông cấp 100 có

các phần tử ở dòng thứ i là ( 1)i− .

Tìm phần tử 36b của ma trận 2B A= .

VD 12. Cho ( )ij

A a= là ma trận vuông cấp 40 có các

phần tử ( 1)i j

ija += − . Phần tử

25a của 2A là:

A. 25

0a = ; B. 25

40a =− ; C. 25

40a = ; D. 25

1a =− .


d) Phép chuyển vị


A a ×= .

Khi đó, ( )T

ji n mA a ×= được gọi là ma trận chuyển vị

của A (nghĩa là chuyển tất cả các dòng thành cột).

VD 13. Cho

1 41 2 3

2 54 5 6

3 6

TA A

= ⇒ =

.


VD 14. Cho

1 10 1 2

0 2 ,1 0 3

3 2

A B

− − = = − − − −

.

a) Tính ( )TAB .

b) Tính T TB A và so sánh kết quả với ( )TAB .

Tính chất

1) (A + B)T = AT + BT; 2) (λA)T = λAT; 3) (AT)T = A; 4) (AB)T = BTAT; 5) TA A= ⇔ A đối xứng.


1.3. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận (Gauss – Jordan)


A a×

= ( 2)m ≥ . Các phép biến đổi

sơ cấp (PBĐSC) dòng e trên A là: 1)

1( ) :e Hoán vị hai dòng cho nhau i k

d dA A

↔ ′→ .

2) 2( ) :e Nhân 1 dòng với số 0λ ≠ , i i

d dA A

λ→ ′′→ .

3) 3( ) :e Thay 1 dòng bởi tổng của dòng đó với λ lần

dòng khác, i i kd d d

A Aλ→ + ′′′→ .

Chú ý 1) Trong thực hành ta thường làm i i k

d d dA B

µ λ→ +→ . 2) Tương tự, ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên

cột của ma trận.

�� ChươngChương 5. 5. ĐĐạạii ssốố tuytuy ếếnn ttíínhnh VD 15. Dùng PBĐSC trên dòng để đưa ma trận

2 1 1

1 2 3

3 1 2

A

− = − −

về

1 2 3

0 1 7 / 5

0 0 0

B

− = −

.

2 2 1

3 3 1

2

3

1 2 3

0 5 7

0 5 7

d d d

d d d

→ −→ −

− → − −

Giải. Ta có:

1 2

1 2 3

2 1 1

3 1 2

d dA

↔

− → − −

3 3 2

2 2

1

5

1 2 3

0 1 7 / 5 .

0 0 0

d d d

d d

B→ −

→

− → − =





1.4. Ma trận bậc thang • Một dòng của ma trận có tất cả các phần tử đều bằng

0 được gọi là dòng bằng 0 (hay dòng không).

• Phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang của 1 dòngtrong ma trận được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó.

• Ma trận bậc thang là ma trận khác không cấp m n×( , 2)m n ≥ thỏa hai điều kiện:

1) Các dòng bằng 0 (nếu có) ở phía dưới các dòng khác 0;

2) Phần tử cơ sở của 1 dòng bất kỳ nằm bên phải phần tử cơ sở của dòng ở phía trên dòng đó.

�� ChươngChương 5. 5. ĐĐạạii ssốố tuytuy ếếnn ttíínhnh VD 16. Các ma trận bậc thang:

1 0 2

0 0 3 ,

0 0 0

0 1 2 3

0 0 4 5 ,

0 0 0 1

1 0 ... 0

0 1 ... 0.

... ... ... ...

0 0 ... 1

nI

=

Các ma trận không phải là bậc thang:

0 0 0

3 1 4

0 0 5

,

0 2 7

0 3 4

0 0 5

,

1 3 5

0 0 4

2 1 3

.


1.5. Ma trận khả nghịch

Chú ý Nếu B là ma trận nghịch đảo của A thì B là duy nhất và A cũng là ma trận nghịch đảo của B .

a) Định nghĩa • Ma trận ( )

nA M∈ ℝ được gọi là khả nghịch nếu tồn

tại ma trận ( )n

B M∈ ℝ sao cho:

.n

AB BA I= =

• Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A. Ký hiệu 1B A−= . Khi đó:

1 1 1 1; ( ) .n

A A AA I A A− − − −= = =


VD 17. 2 5

1 3A =

và 3 5

1 2B

− = − là hai ma trận

nghịch đảo của nhau vì 2

AB BA I= = . Chú ý

1) Nếu ma trận A có 1 dòng (hay cột) bằng 0 thì không khả nghịch.

2) 1 1 1( )AB B A− − −= . 3) Nếu 0ac bd− ≠ thì: 1

1. .

a b c b

d c d aac bd

− − = −−

VD 18. Cho hai ma trận:

2 5

1 3A =

, 2 1

3 2B

= .

Thực hiện phép tính: a) 1( )AB − ; b) 1 1B A− − .


b) Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên dòng (tham khảo) Cho ( )

nA M∈ ℝ khả nghịch, ta tìm 1A− như sau:

Bước 1. Lập ma trận ( )nA I (ma trận chia khối) bằng

cách ghép ma trận nI vào bên phải của A.

Bước 2. Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa

( )nA I về dạng ( )nI B .

Khi đó: 1A B− = . VD 19. Tìm nghịch đảo của

1 1 0 1

0 1 1 0

0 0 1 1

0 0 0 1

A

− − =

.


Giải. Ta có: ( )4

1 1 0 1 1 0 0 0

0 1 1 0 0 1 0 0

0 0 1 1 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1

A I

− − =

3 3 4

2 3 2

1 1 2 4

1 0 0 0 1 1 1 2

0 1 0 0 0 1 1 1.

0 0 1 0 0 0 1 1

0 0 0 1 0 0 0 1

d d d

d d dd d d d

→ −→ −→ + −

− − − − → −

4I

��1A−





§2. ĐỊNH THỨC

2.1. Định nghĩa a) Ma trận con cấp k

Cho ( ) ( )ij nn

A a M= ∈ ℝ .

• Ma trận vuông cấp k được lập từ các phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột của A được gọi là ma trận con cấp k của A.

• Ma trận ij

M có cấp 1n − thu được từ A bằng cách

bỏ đi dòng thứ i và cột thứ j được gọi là ma trận con của A ứng với phần tử

ija .


VD 1. Ma trận

1 2 3

4 5 6

7 8 9

A

=

có các ma trận con ứng

với các phần tử ija là:

11

5 6

8 9M

= ,

12

4 6

7 9M

= ,

13

4 5

7 8M

= ,

21

2 3

8 9M

= ,

22

1 3

7 9M

= ,

23

1 2

7 8M

= ,

31

2 3

5 6M

= ,

32

1 3

4 6M

= ,

33

1 2

4 5M

= .


b) Định thức (Determinant) Định thức của ma trận vuông ( )

nA M∈ ℝ , ký hiệu

detA hay A , là 1 số thực được định nghĩa:

� Nếu 11

( )A a= thì 11

detA a= .

� Nếu 11 12

21 22

a aA

a a

= thì

11 22 12 21detA a a a a= − .

� Nếu ( )ij n

A a= (cấp 3n ≥ ) thì:

11 11 12 12 1 1det ...

n nA a A a A a A= + + +

trong đó, ( 1) deti j

ij ijA M+= − và số thực

ijA được

gọi là phần bù đại số của phần tử ija .


11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a a a

a a a a a

a a a a a

(Tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét liền trừ đi tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét đứt).

2) Tính 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

.

Chú ý 1) det 1, det 0

n nI O= = .

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

hoặc


VD 2. Tính định thức của các ma trận sau:

3 2

1 4A − =

,

1 2 1

3 2 1

2 1 1

B

− = −

.

VD 3. Tính định thức của ma trận: 0 0 3 1

4 1 2 1

3 1 0 2

2 3 3 5

A

− − =

.


2.2. Các tính chất cơ bản của định thức

Cho ma trận vuông ( ) ( )ij nn

A a M= ∈ ℝ , ta có các

tính chất cơ bản sau:

VD 4.

1 3 2 1 2 1

2 2 1 3 2 1 12

1 1 1 2 1 1

−− = − =−

−.

a) Tính chất 1

( )det det .TA A=





b) Tính chất 2 Nếu hoán vị hai dòng (hoặc hai cột) cho nhau thì định thức đổi dấu.

VD 5.

1 3 2

2 2 1

1 1 1

−−

1 1 1

2 2 1

1 3 2

−

=− −

1 1 1

2 2 1 .

3 1 2

−

= −

Hệ quả. Nếu định thức có ít nhất 2 dòng (hoặc 2 cột) giống nhau thì bằng 0.

VD 6.

1

1

3 3

2 2

1 1

0

7

= ; 2 5

2

5

3

2

1 0

1

y y

y

x

y

x x

= .


c) Tính chất 3 Nếu nhân 1 dòng (hoặc 1 cột) với số thực λ thì định thức tăng lên λ lần.

VD 7.

3.1 0 3.( 1) 1 0 1

2 1 2 3 2 1 2

3 1 7 3 1 7

− −

− = − ;

3 3

3 3

3 3

1 1

1 ( 1) 1

1 1

x x x x x

x y y x y y

x z z z z

+

+ = +

+

.


Hệ quả

1) Nếu định thức có ít nhất 1 dòng (hoặc 1 cột) bằng 0 thì bằng 0.

2) Nếu định thức có 2 dòng (hoặc 2 cột) tỉ lệ với nhau thì bằng 0.

VD 8. 2

3 2

0 1

0 0

0

x

x y

x y

= ;

6 6 9

2 2 3 0

8 3 12

− −

− =− −

.


VD 9. 3 3 3

3 3 3

1 1 1 1 0

;

1 1 1

x x x x x x

x y y x y y x y y

z z z z z z

+ − −

= +

2 2

2 2

2 2

cos 2 3 sin 2 3 1 2 3

sin 5 6 cos 5 6 1 5 6 .

1 8 9sin 8 9 cos 8 9

x x

x x

x x

+ =

d) Tính chất 4 Nếu định thức có 1 dòng (hoặc 1 cột) mà mỗi phần

tử là tổng của 2 số hạng thì ta có thể tách thành tổng 2 định thức.


e) Tính chất 5 Định thức sẽ không đổi nếu ta cộng vào 1 dòng

(hoặc 1 cột) với λ lần dòng (hoặc cột) khác.

VD 10. Sử dụng tính chất 5 để đưa định thức sau về

dạng bậc thang:

1 2 3

1 2 1

2 3 4

∆ = − − .

VD 11. Sử dụng tính chất 5 để tính

2 2

2 2

2 2

x

x

x

∆ = .


2.3. Định lý (khai triển Laplace)

Cho ma trận vuông ( ) ( )ij nn

A a M= ∈ ℝ , ta có các

khai triển Laplace của định thức A:

a) Khai tri ển theo dòng thứ i

1 1 2 21

det ... .n

i i i i in in ij ijj

A a A a A a A a A=

= + + + =∑

Trong đó, ( 1) det( )i j

ij ijA M+= − .

b) Khai tri ển theo cột thứ j

1 1 2 21

det ... .n

j j j j nj nj ij iji

A a A a A a A a A=

= + + + =∑





VD 12. Tính định thức

1 0 0 2

2 0 1 2

1 3 2 3

3 0 2 1

bằng hai cách

khai triển theo dòng 1 và khai triển theo cột 2.

VD 13. Áp dụng tính chất và định lý Laplace, hãy tính

định thức

1 1 1 2

2 1 1 3

1 2 1 2

3 3 2 1

−−

.


Các kết quả đặc biệt cần nhớ 1) Dạng tam giác

11 12 1 11

22 2 21 22

11 22

1 2

... 0 ... 0

0 ... ... 0... .

... ... ... ... ... ... ... ...

0 0 ... ...

n

n

nn

nn n n nn

a a a a

a a a aa a a

a a a a

= =

3) Dạng chia khối

det .det

n

A B

A C

O C

=

⋮

… … …

⋮

, với , , ( )n

A B C M∈ ℝ .

2) Dạng tích: det( ) det .det .AB A B=


VD 14. Tính định thức:

1 2 3 4

0 2 7 19det

0 0 3 0

0 0 0 1

A−

=

−

.

VD 15. Tính định thức:

0 0 3 4

3 2 7 19det

1 2 3 7

0 0 8 1

B−

=

−

.

VD 16. Tính

1 1 1 2 1 4

det 2 0 3 2 1 3

1 2 3 1 2 1

C

− = −

.


VD 17. Tính 1 1 1 2 1 4 3 1 4

det 2 0 3 2 1 3 0 1 2 .

1 2 3 1 2 1 1 2 1

T

D

− − = −

VD 18. Phương trình

1 0 0

1 0 00

2 2

3 8 2

x

x

x x

x

=−

có nghiệm

là: A. 1x = ± ; B. 1x = ; C. 1x =− ; D. 1

2

x

x

= ± = ±

.


2.4. Ứng dụng định thức tìm ma trận nghịch đảo

VD 19. Giá trị của tham số m để ma trận

2

1 01 0

0 1 1 1

T

mm mA

m m m

− = −

khả nghịch là:

A. 0

1

m

m

= =

; B. 0

1

m

m

≠ ≠; C. 0m ≠ ; D. 1m ≠ .

a) Định lý Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi:

det 0.A≠


b) Thuật toán tìm A–1

• Bước 1. Tính detA. Nếu det 0A= thì kết luận A không khả nghịch. Ngược lại, ta làm tiếp bước 2.

• Bước 2. Lập ma trận ( ) , ( 1) deti j

ij ij ijnA A M+= − .

Suy ra ma trận phụ hợp (adjunct matrix) của A là:

( ) .T

ij nadjA A =

• Bước 3. Ma trận nghịch đảo của A là:

1 1. .

detA adjA

A

− =





VD 20. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của:

1 2 1

1 1 2

3 5 4

A

=

.

VD 21. Cho ma trận

1 2 1

0 1 1

1 2 3

A

=

. Tìm 1A− .

Giải. Ta có: det 2 0A A= ≠ ⇒ khả nghịch.


11 12 13

1 1 0 1 0 11, 1, 1,

2 3 1 3 1 2A A A= = =− = = =−

21 22 23

2 1 1 1 1 24, 2, 0,

2 3 1 3 1 2A A A=− =− = = =− =

31 32 33

2 1 1 1 1 21, 1, 1.

1 1 0 1 0 1A A A= = =− =− = =

1 4 1

1 2 1

1 0 1

adjA

− ⇒ = − −

1

1 4 111 2 1 .

21 0 1

A−

− ⇒ = − −


2.5. Hạng của ma trận

a) Định thức con cấp k Cho ma trận ( )ij m n

A a×

= . Định thức của ma trận con

cấp k của A được gọi là định thức con cấp k của A.

Định lý Nếu ma trận A có tất cả các định thức con cấp k đều

bằng 0 thì các định thức con cấp 1k + cũng bằng 0.

b) Hạng của ma trận Cấp cao nhất của định thức con khác 0 của ma trận A được gọi là hạng của ma trận A. Ký hiệu là ( )r A .

�� ChươngChương 5. 5. ĐĐạạii ssốố tuytuy ếếnn ttíínhnh Chú ý • Nếu ( )ij m n

A a×

= khác 0 thì 1 ( ) min{ , }.r A m n≤ ≤

• Nếu A là ma trận không thì ta quy ước ( ) 0r A = .

c) Thuật toán tìm hạng của ma trận • Bước 1. Đưa ma trận cần tìm hạng về bậc thang.

• Bước 2. Số dòng khác 0 của ma trận bậc thang chính là hạng của ma trận đã cho.

• Đặc biệt Nếu A là ma vuông cấp n thì:

( ) det 0.r A n A= ⇔ ≠


VD 22. Điều kiện của tham số m để ma trận

1 2

0 3 2

0 1 1

m

A

− − =

có hạng bằng 3 là:

A. 1m ≠ ; B. 1m ≠− ; C. 1m ≠ ± ; D. 0m ≠ .

VD 23. Cho ma trận:

1 3 4 2

2 5 1 4

3 8 5 6

A

− = − −

.

Tìm ( )r A .

VD 24. Tìm ( )r A . Biết:

2 1 1 3

0 1 0 0

0 1 2 0

0 1 1 4

A

− − = − −

.

�� ChươngChương 5. 5. ĐĐạạii ssốố tuytuy ếếnn ttíínhnh Chú ý Ta có thể hoán vị cột của ma trận rồi đưa về bậc thang.

VD 25. Giá trị của tham số m để ma trận

1 1 3

2 2 0

2 1 3

m

A m

m

+ = +

có ( ) 2r A = là:

A. 2

1

m

m

= − =

;

B. 1m = ; C. 2m =− ;

D. 1

0

m

m

= − =

.

VD 26. Tùy theo giá trị m , tìm hạng của ma trận:

1 2 1 1 1

1 1 1 1

1 0 1 1

1 2 2 1 1

mA

m

− − − − − = −





§3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUY ẾN TÍNH

3.1. Định nghĩa

Hệ gồm n ẩn ( 1,..., )ix i n= và m phương trình:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

............................................

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + = + + + = + + + =

( )I

trong đó, các hệ số ( 1,..., ; 1,..., )ija i n j m∈ = =ℝ ,

được gọi là hệ phương trình tuyến tính.


Đặt: ( )11 1

1

...

... ... ...

...

n

ij m n

m mn

a a

A a

a a×

= =

,

( )1...

T

mB b b= và ( )1

...T

nX x x=

lần lượt là ma trận hệ số, ma trận cột hệ số tự do và ma trận cột ẩn.

• Bộ số ( )1...

T

nα α α= hoặc ( )1

; ...;n

α α α=

được gọi là nghiệm của ( )I nếu A Bα = .

Khi đó, hệ ( )I trở thành AX B= .


VD 1. Cho hệ phương trình:

1 2 3 4

1 2 3

2 3

2 4 4

2 4 3

2 7 5.

x x x x

x x x

x x

− + + = + + =− − =

Hệ phương trình được viết lại dưới dạng ma trận:

1

2

3

4

1 1 2 4 4

2 1 4 0 3

0 2 7 0 5

x

x

x

x

− = − −

và (1; 1; 1; 1)α = − − là 1 nghiệm của hệ.

�� ChươngChương 5. 5. ĐĐạạii ssốố tuytuy ếếnn ttíínhnh 3.2. Định lý Crocneker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính AX B= . Gọi ma trận

mở rộng là ( )11 12 1 1

1 2

...

... ... ... ... ...

...

n

m m mn m

a a a b

A A B

a a a b

= =

.

Định lý

Trong trường hợp hệ AX B= có nghiệm thì:

� Nếu ( ) :r A n= kết luận hệ có nghiệm duy nhất;

� Nếu ( ) :r A n< kết luận hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n r− tham số.

Hệ AX B= có nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( ).r A r A=


VD 3. Điều kiện của tham số m để hệ phương trình:

2

8 7 1

3 2 4

5 1

5 2 2

mx z t m

x my z t m

mz t m

z mt m

+ − = − + + + = + = − − = +

có nghiệm duy nhất là: A. 0m ≠ ; B. 1m ≠ ; C. 1m ≠ ± ; D. 5m ≠ ± .

VD 2. Tùy theo điều kiện tham số m , hãy biện luận số nghiệm của hệ phương trình:

2

3 0

(1 ) 1.

x my z

m z m

+ − = − = −


3.3. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

VD 4. Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp ma trận:

2 1

3 3

2 1.

x y z

y z

x y z

+ − = + = + + =−

a) Phương pháp ma trận (tham khảo) Cho hệ phương trình tuyến tính AX B= , với A là ma trận vuông cấp n khả nghịch. Ta có:

1 .AX B X A B−= ⇔ =





Giải. 1

2 1 1 1 1 21

0 1 3 3 2 32

2 1 1 1 0 1

A A−

− − − = ⇒ = − −

.

Hệ phương trình 1X A B−⇔ =

1 1 2 1 313 2 3 3 6

21 0 1 1 1

x x

y y

z z

− − − ⇔ = − ⇔ = − − −

.

Vậy hệ đã cho có nghiệm

3,

6,

1.

x

y

z

=− = = −


Cho hệ AX B= , với A là ma trận vuông cấp n .

• Bước 1. Tính các định thức:

11 1 1

1

... ...

det ... ... ... ... ...

... ...

j n

n nj nn

a a a

A

a a a

∆ = = ,

1 1

1

11... ...

... ... ... ... , 1,

..

...

. ...n

n

j

n nn

a a

j

ba

b

n

a

∆ = =

(thay cột thứ j trong ∆ bởi cột tự do).

b) Phương pháp định thức (hệ Cramer)


• Bước 2. Kết luận:

� Nếu 0, 1,j

j n∆ = ∆ = ∀ = thì hệ có vô số nghiệm

(ta thay tham số vào hệ và tính trực tiếp).

� Nếu 0∆ = và 0, 1,j

j n∃∆ ≠ = thì hệ vô nghiệm.

� Nếu 0∆≠ thì hệ có nghiệm duy nhất:

, 1, .j

jx j n

∆= ∀ =∆


Giải. Ta có:

2 1 1

0 1 3 4

2 1 1

−

∆ = = , 1

1 1

1 3

1

3

1

12

1 1

−

= =−−

∆ ,

VD 5. Giải hệ phương trình sau bằng định thức:

2 1

3 3

2 1.

x y z

y z

x y z

+ − = + = + + =−


VD 6. Hệ phương trình ( 1) 2

( 1) 0

m x y m

x m y

+ + = + + + =

có nghiệm khi và chỉ khi: A. 2m =− ; B. 2 0m m≠− ∧ ≠ ; C. 0m ≠ ; D. 2m ≠− .

Vậy 1 2 33, 6, 1.x y z∆ ∆ ∆

= =− = = = =−∆ ∆ ∆

2

1

3

2 1

0 3 24

2 1 1

∆−

−

= = , 3

1

3

2 1

0 1 4

2 11

∆−

= =− .


c) Phương pháp ma trận bậc thang (phương pháp Gauss) Xét hệ phương trình tuyến tính AX B= .

• Bước 1. Đưa ma trận mở rộng ( )A B về dạng bậc

thang bởi PBĐSC trên dòng.

• Bước 2. Giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên.

Chú ý. Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu:

� có 2 dòng tỉ lệ thì xóa đi 1 dòng;

� có dòng nào bằng 0 thì xóa dòng đó;

� có 1 dòng dạng ( )0...0 , 0b b ≠ thì hệ vô nghiệm.





VD 7. Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss:

2 1

3 3

2 1.

x y z

y z

x y z

+ − = + = + + =−

Giải. Ta có:

( )2 1 1 1

0 1 3 3

2 1 1 1

A B

− = −

3 3 1

2 1 1 1

0 1 3 3 .

0 0 2 2

d d d→ −

− → −

Hệ

2 1 3

3 3 6

2 2 1

x y z x

y z y

z z

+ − = =− ⇔ + = ⇔ = = − = −

.


VD 8. Giải hệ phương trình tuyến tính:

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3

5 2 5 3 3

4 3 2 1

2 7 = 1.

x x x x

x x x x

x x x

− + − = + + − = + − −

x 4 5 1

2 7 11 2

3 11 6 1.

y z

x y z

x y z

+ + =− + − = + − =

C.

15 79

4 21

x

y

z

α

α

α

= − = − − = ∈ ℝ

; D.

15 79

4 21

x

y

z

α

α

α

= + = − − = ∈ ℝ

.

VD 9. Tìm nghiệm của hệ

A. 15, 4, 0x y z= = − = ; B. Hệ có vô số nghiệm;


A. 1m =± ; B. 1m = ; C. 7m =− ; D. 7m = .

VD 10. Tìm nghiệm của hệ 3 2 3

2 2 7

x y z

x y z

− + = + − =.

A.

2

7 2

x

y

z

α

α

= = − = ∈ ℝ

; B.

2

3 2

x

y

z

α

α

= = + = ∈ ℝ

C. Hệ có vô số nghiệm; D. Hệ vô nghiệm.

VD 11. Giá trị của tham số m để hệ phương trình

2 (7 ) 2

2 4 5 1

3 6 3

x y m z

x y z

x y mz

+ + − = + − = + + =

có vô số nghiệm là:


§4. KHÔNG GIAN VECTOR 4.1. Định nghĩa 1 Cho tập V khác rỗng, xét hai phép toán sau:

( , )x y x y V+ ∈ và ( , )x x Vλ λ ∈ ∈ℝ . Ta nói V cùng với hai phép toán trên là một

không gian vector nếu thỏa 8 tính chất sau: 1) ( ) ( ) , , ,x y z x y z x y z V+ + = + + ∀ ∈ ;

2) : ,V x x x x Vθ θ θ∃ ∈ + = + = ∀ ∈ ;

3) , ( ) : ( ) ( )x V x V x x x x θ∀ ∈ ∃ − ∈ − + = + − = ;

4) , ,x y y x x y V+ = + ∀ ∈ ;

5) ( ) , , ,x y x y x y Vλ λ λ λ+ = + ∀ ∈ ∀ ∈ ℝ ;

6) ( ) , , ,x x x x Vλ µ λ µ λ µ+ = + ∀ ∈ ∀ ∈ ℝ ;

7) ( ) ( ) , , ,x x x Vλ µ λ µ λ µ= ∀ ∈ ∀ ∈ ℝ ;

8) 1 . ,x x x V= ∀ ∈ .

Trong đó, Vθ ∈ được gọi là vector không.


4.2. Định nghĩa 2 Trong kgvt V , cho n vector ( 1,..., )

iu i n= .

• 1

,n

i i ii

uλ λ=

∈∑ ℝ được gọi là một tổ hợp tuyến tính

của n vector iu .

• Hệ 1 2

{ , ,..., }n

u u u được gọi là độc lập tuyến tính

(đltt) nếu có 1

n

i ii

uλ θ=

=∑ thì 0, 1,i

i nλ = ∀ = .

• Hệ 1 2

{ , ,..., }n

u u u không là độc lập tuyến tính thì

được gọi là phụ thuộc tuyến tính (pttt).

�� ChươngChương 5. 5. ĐĐạạii ssốố tuytuy ếếnn ttíínhnh VD 1. • Trong 2ℝ , hệ gồm 2 vector:

( ) ( ){ }1 21; –1 , 2; 3u u= =

là độc lập tuyến tính.

• Trong nℝ , hệ gồm n vector :

{ }(0;...; ;...; 0); 1,..., ; 0iu i nα α= = ≠

(thành phần thứ i của iu là α) là đltt.

• Trong 3ℝ , hệ gồm 3 vector:

( ) ( ) ( ){ }1 2 3–1; 3; 2 , 2; 0; 1 , 0; 6; 5u u u= = =

là phụ thuộc tuyến tính.





4.3. Định nghĩa 3

• Trong kgvt V , hệ { }1 2, ,...,

nA u u u= được gọi là

một cơ sở của V nếu hệ A độc lập tuyến tính và mọi vector của V đều biểu diễn tuyến tính qua A.

• Nếu kgvt V có một cơ sở gồm n vector thì V được gọi là kgvt có n chiều. Ký hiệu là dimV = n.

Khi đó, trong kgvt V , mọi hệ có nhiều hơn n vector đều phụ thuộc tuyến tính.

VD 2. Trong 2ℝ , hệ ( ) ( ){ }1 21; –1 , 2; 3A u u= = =

là một cơ sở.


4.4. Hệ vector trong nℝ

a) Định nghĩa Trong nℝ , cho m vector

1( ,..., ), 1,

i i inu a a i m= = .

Ta gọi ( )ij m nA a

×= là ma trận dòng của m vector

iu .

b) Định lý • Trong nℝ , hệ { }1 2

, ,...,m

u u u đltt ⇔ ( )r A m=

(hạng của A bằng số phần tử của hệ). • Trong nℝ , hệ { }1 2

, ,...,m

u u u pttt ⇔ ( )r A m< .

• Trong nℝ , hệ { }1 2, ,...,

nu u u là cơ sở ⇔ ( )r A n= .


VD 3. Trong 3ℝ , xét sự đltt hay pttt của hệ sau:

{ }1 2 3( 1; 2; 0), (1; 5; 3), (2; 3; 4)u u u= − = = .

VD 4. Trong 3ℝ , tìm điều kiện m để hệ sau là cơ sở:

{ }1 2 3( ; 1; 1), (1; ; 1), (1; 1; )u m u m u m= = = .

VD 5. Trong 4ℝ , điều kiện của tham số m để hệ sau

{ }(1;2;1;4), (2;3; ;7), (5;8;2 1;19), (4;7; 2;15)m m m+ +

phụ thuộc tuyến tính là: A. 2m = ; B. 2m =− ; C. 4m = ; D. m ∈ ℝ .

�� ChươngChương 5. 5. ĐĐạạii ssốố tuytuy ếếnn ttíínhnh �� ChươngChương 4. 4. ĐĐạạii ssốố tuytuy ếếnn ttíínhnh

c) Tọa độ của vector

Trong kgvt nℝ , cho cơ sở 1 2

{ , , , }n

F u u u= … . Vector x V∈ tùy ý có biểu diễn tuyến tính một cách

duy nhất qua cơ sở F là 1

,n

i i ii

x uα α=

= ∈∑ ℝ .

Ta nói x có tọa độ đối với cơ sở F là 1 2

( ; ; ; )n

α α α… .

Ký hiệu là [ ]F

x .

Đặc biệt, 1

{ (1;0;...; 0),..., (0;...; 0;1)}n

E u u= = =

được gọi là cơ sở chính tắc của nℝ . Khi đó, tọa độ của 1 vector được viết theo dạng quen thuộc.

VD 6. Trong 2ℝ , cho (3; 5)x = − và 1 cơ sở:

1 2{ (2; 1), (1; 1)}F u u= = − = .

Tìm tọa độ của vector x trong cơ sở F ?


d) Tọa độ của vector trong các cơ sở khác nhau � Ma tr ận chuyển cơ sở

Trong kgvt nℝ , cho 2 cơ sở:

1 2{ }, { }, 1,2,...,

i iB u B v i n= = = .

Ma trận ( )1 1 1

1 2[ ] [ ] ... [ ]

B B n Bv v v được gọi là ma trận

chuyển cơ sở từ 1

B sang 2

B . Ký hiệu là: 1 2

B BP → .

� Công thức đổi tọa độ: 1 1 2 2

[ ] .[ ] .B B B B

x P x→

= ……………………………Hết……………………………..


Đặc biệt. Ta có: ( )1 1 2

[ ] [ ]...[ ]E B n

P u u u→=

(ma trận cột của các vector trong 1

B ).

� Công thức tìm ma trận chuyển

( )1 2 1 2 1 2

1

.B B B E E B E B E B

P P P P P−

→ → → → →= =

VD 7. Trong 2ℝ , cho 2 cơ sở:

1 1 2{ (1; 0), (0; 1)}B u u= = = − ,

2 1 2

{ (2; 1), (1; 1)}B v v= = − = .

Cho biết 2

[ ] (1; 2)B

x = . Hãy tìm 1

[ ]B

x ?

Documents

Toan A1-C1