NGUYN C NGHA - NGUYN T THNH

----------

GIO TRNH

TON RI RC

NXB I HC QUC GIA H NI -2009

Li ni u

Ton ri rc l m t lnh vc ca ton hc nghin cu cc i tng ri rc. Chng ta s s dng cng c ca ton ri rc khi phi m cc i tng, khi nghin cu quan h gia cc tp ri rc, khi phn tch cc qu trnh hu hn. M t trong nhng nguyn nhn ch yu lm nng tm quan trng ca ton ri rc l vic ct gi v x l thng tin trn m y tnh bn cht l cc qu trnh ri rc. Cun sch ny nhm gii thiu cc kin thc c bn trong ba lnh vc c nhiu ng dng ca ton ri rc l: l thuyt t hp, l thuyt th v hm i s logic. Ni dung cun sch c trnh by thnh ba phn.

Phn I trnh by cc vn ca l thuyt t hp xoay quanh 4 bi ton c bn: Bi ton m , Bi ton tn ti, Bi ton lit k v Bi ton ti u t hp. Ni dung ca phn1 khng nhng gip nng cao t duy ton, m cn lm quen vi t duy thut ton trong vic gii quyt cc vn thc t, ng thi cng rn luyn k thut lp trnh gii cc bi ton t hp.

Phn II cp n l thuyt th - mt cu trc ri rc tm c nhng ng dng rng ri trong nhiu lnh vc ca khoa hc k thut v i sng. Trong phn ny sau phn gii thiu cc khi nim c bn, cc bi ton ng dng quan trng ca l thuyt th nh Bi ton cy khung nh nht, Bi ton ig i ngn nht, Bi ton lung cc i trong m ng... v nhng thut ton gii quyt chng c trnh by chi tit cng vi vic phn tch v hng dn ci t chiig trnh trn my tnh.

Phn III lin quan n l thuyt hm i s logic l c s nm bt nhng vn phc tp ca k thut m y tnh. Sau phn trnh by cc khi nim c bn, phn ny i su vo vn ti thiu ho cc hm i s lgic v m t m t s thut ton quan trng gii quyt vn t ra nh thut ton Quine - M cCluskey, Black - Poreski.

Cc vn c trnh by trong cun sch u c minh ho trn nhiu th d, cc thut ton c m t trn ngn ng PASCAL m phng thun tin cho vic ci t cc chng trnh thc hin thut ton trn my tnh, trong nhiu thut ton chn lc c ci t trn ngn ng PASCAL.

Mc lc

P h n . L t h u y t T h p

Trang

1

M u 31.1 S lc v t hp 31.2 Nhc li l thuyt tp hp 51.3 M t s nguyn l c bn 81.4 Cc cu hnh t hp n gin 11

Bi ton m 172.1 Gii thiu bi ton 172.2 Nguyn l b tr 192.3 Quy v cc bi ton n gin 222.4 Cng thc truy hi 242.5 Phng php hm sinh 312.6 Lit k 40

Bi ton tn ti 473.1 Gii thiu bi ton 473.2 Phng php phn chng 513.3 Nguyn l Dirichlet 523.4 H i din phn bit 563.5. nh l Ramsey 59

Bi ton lit k 694.1 Gii thiu bi ton 694.2 Thut ton v phc tp tnh ton 704.3 Phng php sinh 854.4 Thut ton quay lui 92

Bi ton ti u 1075.1 Pht biu bi ton 107

V

5.2 Cc thut ton duyt 1115.3 Thut ton nhnh cn gii bi ton tii du lch 1245.4 Bi ton lp lch gia cng trn hai my 135

Phn 2. L thuyt th 145

1. C.ic khi iini t bn ca l th i vt th 1471.1 nh ngha th 1471.2 Cc thut ng c bn 1501.3 ng i, Chu trnh, th lin thng 1521.4 M t s' dng th c bit 155

Chng 2. Biu din th trn my tnh 1652.1 M a trn k. M a trn trng s 1652.2 M a trn lin thuc nh-cnh 1682.3 Danh sch cnh 1692.4 D anh sch k 169

Chng 3. Cc thut ton tm kim trn th v ng dng 1753.1 Tim kim theo chiu su trn th 1763.2 Tim kim theo chiu rng trn th 1773.3 Tim ng i v kim tra tnh lin ihng 179

Chng 4. th Euler v th Hamilton 1874.1 th Euler 1874.2 th H am ilton 191

Chng 5. Cy v cy khung ca th 1975.1 Cy v cc tnh cht ca cy 1975.2 Cy khung ca th 1995.3 Xy dng tp cc chu trnh c bn ca th 2015.4 Bi ton cy khung nh nht 203

Chng 6. Bi ton ng i ngn nht 2196 .1 Cc khi nim m u 2206.2 ng i ngn nht xut pht t mt nh 2226.3 Thut ton D ijkstra 2246.4 ng i trong th khng c chu trnh 2276.5 ng i ngn nht gia tt c cc cp nh 231

Chng 7. Bi ton lung cc i trong mng 2397.1 M ng, lung trong mng v bi ton lung cc i 2397.2 Lt ct.fng tng lung. nh l Ford-Fulkerson 2417.3 Thut ton tm lung cc i trong mng 2447.4 Mt s bi ton lung tng qut 2497.5 Mt s' ng dng trong t hp 252

Phn 3. Hm i s lgc 261

Chng 1. M u 2631.1 M hnh x l thng tin v hm i s lgic 2631.2 Cc hm i s lgic s cp 2651.3 Biu din cc hm i s lgic qua h tuyn, hi, ph nh 2661.4 Biu din ti thiu ca hm i s lgic 269

Chng 2. Dng tuyn chun tc ca hm i s lgic 2712.1 Cc khi nim c bn 2712.2 Dng tuyn chun tc thu gn 2732.3 Dng tuyn chun tc nghn v dng tuyn chun tc ti thiu

Chng 3. Thut ton tm dng tuyn chun tc ti thiu 2773.1 Ch m u 2773.2 Tim dng tuyn chun tc thu gn 2783.3 Tim dng tuyn chun tc ti thiu 2823.4 S ti thiu 285

Ti liu tham kho 289

VI

PHNI

L T H U Y Y t h p

Citi^ . M d

1

M U

1.1. S lc v t hp

T hp nh l mt lnh vc ca ton hc ri rc, xut hin vo u th k 17. Trong mt thi gian di, dng nh t hp nm ngoi gung my pht trin ca ton hc cng nh ng dng ca n. Tinh th bt u i khc khi xut hin cc my tnh v cng vi n l s pht trin ca ton hu hn. Hin nay l thuyl t hp c p dng trong nhiu lnh vc khc nhau: l thuyt s, hnh hc hu hn. biu din nhm, i s' khng giao hon, qu trnh ngu nhin, thng k xc sut, quy hoch thc n g h i m ,...

1.1.1. Cc bi ton tng qut

T hp ng chm n nhiu vn khc nhau ca ton hc, do kh c th nh ngha n mt cch hnh thc. Ni chung, l thuyt t hp gn lin vi vi^ nghin cu phn b cc phn t vo cc tp hp. Thng thng, cc phn t ny l hu hn v vic phn b chng phi tho mn nhng iu kin nht nh no y, tu theo yu cu ca bi ton cn nghin cu. Mi cch phn b nh th c gi l mt cu hnh t hp.

Trong cc ti liu v t hp, thng gp cc dng bi ton di y:

a) Bi ton m: y l cc bi ton nhm tr li cu hi "c bao nhiu cu hnh tho mn iu kin nu ?". Phng php m thng da vo m t s nguyn l c bn v mt s kt qu m cc cu hnh n gin. Bi ton m c p dng mt

Phn J . Lv tlntvr t hp

cch c hiu qu vo nhng cng vic mang tnh cht nh gi nh tnh xc sut ca mt s kin, tnh phc tp ca mt thut to n ,...

h) Bi ton lit k: bi ton ny quan tm n tt c cu hnh c th c c, v th li gii ca n cn c biu din di dng thut ton "vt cn" tt c cc cu hnh. Li gii trong tng trng hp c th s c my tnh in t gii quyt theo thut ton nu. Bi ton lit k c lm "nn" cho nhiu bi ton khc. Hin nay, m t s' bi ton m, ti u, tn ti vn cha c cch no gii, ngoi cch gii lit k. Nu trc y, cch gii lit k cn m ang nng tnh ] thuyt, th by gi n ngy cng kh thi nh s pht trin nhanh chng ca my tnh in t.

C) Bi ton ti u: khc vi bi bi ton lit k, bi ton li u ch quan tm n mt cu hnh "tt nht" theo mt ngha no y. y l bi ton c nhiu ng dng irong thc tin v l thuyt t hp ng gp mt phn ng k trong vic xy dng c nhng thut ton hu hiu.

d) Bi ton tn ti: nu nh trong cc bi ton trn, vic tn ti cc cu hnh l hin nhin th trong bi ton ny, vn "c hay khng c" cu hnh cn l iu nghi vn. Cc bi ton loi ny thng b kt trong tnh hung nan gii: khng ch ra c cu hnh no nhng cng khng khng nh c l chng khng tn ti. Lch s ton hc thng li nhng bi ton kh trong lnh vc ny v vic c gng gii quyt chng thc y khng t s pht trin ca nhiu ngnh ton hc.

1.1.2. Vi nt v lch s

C th ni t duy v t hp ra i t rt sm. Vo thi nh Chu, ngi ta bit n cc hnh v c lin quan n nhng hnh vung thn b. Thi c Hy lp, nh trit hc Kxenokrat, sng th k th 4 trc cng nguyn, bit cch tnh s cc t khc nhau, lp t m t bng ch ci cho trc. Nh ton hc Pitagor v cc hc tr ca ng tm ra c nhiu con s c cc tnh cht c bit, chng hn s 36 khng nhng l tng ca 4 s chn v 4 s' u tin m cn l tng lp phng ca 3 s' t nhin u tin. M t nh l ni ting ca trng phi ny l nh l v di cc cnh ca mt tam gic vung, v t h tm ra cc s m bnh phng ca mt s ny bng tng bnh phng ca hai s khc. Vic tm ra c cc s nh vy, i hi phi c mt ngh thut t hp nht nh. Tuy nhin, c th ni rng, l thuyt t hp c hnh thnh nh mt ngnh ton hc mi, vo qung th k 17 bng mt lot cc cng trnh nghin cu nghim tc ca cc nh ton hc xut sc nh Pascal, Fermat, Leibnitz, Euler, ... M c d vy, trong sut hai th k ri, vai tr quan trng trong vic nghin cu th gii t nhin vn thuc v cc ngnh ton hc c in nh ton gii tch, cc php tnh vi tch phn, phng trnh vi phn, phng trnh ton l...

Ch^ . M (kIt

Trong thi gian hin nay, mi tng quan gia loan hc hu hn v ton hc c in c nhiu thay i, c bit t khi mv tnh in t ra i v pht trin. Nhiu bi ton ni ting c gii trn my tnh bng nhrm thut ton ca ton hu hn. Cc lnh vc tru tng ca ton hc nh i s logic, ngn ng hnh thc, ... tr thnh khoa hc ng dng xy dng cc ngn ng lp trnh cho m y tnh. Trong thi i pht trin ca ton hc hu hn, vai tr ca l thuyt l hp cng khc xa. T lnh vc nghin cu cc tr chi tiu khin, hay phn lch gii m cc bc th c, t hp chuyn sang lnh vc ton ng dng vi s pht trin mnh m.

1.2. Nhc li l thuyt tp hp

1.2.1. Cc khi nim v k hiu

Trong gio trnh ny, tp hp c k hiu bng nhng ch ci ln A, B .....X, Y, ... cnnhng phn t c k hiu bng cc ch ci nh a, b ....... X, ch .r l phn t ca

X, ta vit .V G X, tri li ta vit ,v X. Nu mi phn t ca A cng l nhng phn t ca

B th ta ni A l tp con ca B v vit A q B. Nu B d B q A th A v s l hai tp hp bng nhau v vit A = B.

S cc phn t ca tp hp A s c k hiu l N{A) hoc A I . Mt tp gm n phn t c gi l mt /-tp. Cc tp hp c th xem nh l nhng tp con ca mt tp hp v tr X. Tp rng l tp hp khng c phn t no, n c xem nh tp con ca mi tp hp.

1.2.2. Cc php ton tp hp

Cc php ton cho trn tp hp l:

Phn b ca A trong X, k hiu A , l tp cc phn t ca X khng thuc vo /4:

A = { X e X: X A }.

Hp ca v4 v k hiu A \ j B , l tp cc phn t hoc thuc vo /4 hoc thuc vo B hoc thuc vo c hai tp A v B:

A u B = x: X e A hoc,v e }.

Giao ca A v B, k hiu A n B , l tp cc phn t ng thi thuc vo c hai tp A v B:

A n B = { x: X e A vA' 6 I .

Hiu ca tp A v B, k hiu l /4 \ s (hoc A - B):

A \ B = .x: X 6 /l v,v I.

Phn I. L thuyt t hp

Cc tp hp, cng vi cc php ton trn n, lp nn mt i s, gi l i s' tp h. Di y l m t vi tnh cht ca cc php ton tp hp:

kt hp( u B ) u C = A u ( B u C )( n B ) n C = n ( B n C )

giao honA

Chng I . M du

T h d:

R biu din cc im trn ng thng, biu din cc im trn mt phng, biu din cc im trong khng gian.

1,2.5. Quan h tng ng v phn hoch

Trong nhiu vn , ngi la cn (uan tm n ml quan h no gia hai phn t ca tp hp ang xt. Mt quan h hai ngi R trn tp hu hn phn t A"c nh ngha

nh l tp con R{X) ca tch cc XxX. Ngi ta quan tm n cc tnh cht sau y ca mt quan h trn tp X:

i xng ( c quan h vi h ko theo b c quan h vi ),

phn x (mi phn t c quan h vi chnh n), truyn ng (nu a c quan h vi h v b c quan h vi c th a c quan h vi

c).

T h d : Xt x = {1, 2, 3, 4 . Ta xc nh mi quan h p gia cc phn t ca X nh

sau: Gi s 7, e , ta ni a c quan h (y) i vi b nu a chia ht cho b. Khi

(3, 1),(4, 1), (4 ,2 ) c X x X

D thy p c tnh cht phn x (v r rng l a chia ht cho /), truyn ng (v chia ht cho v chia ht cho c ko theo a chia ht cho c), nhng khng c tnh cht phn x (v a chia ht cho b khng nht thit ko theo h chia ht cho a).

C nhiu kiu quan h, nhirng quan h c quan tm nhiu nht l quan h tg ng. Mt quan h c gi l tng ng nu n tho mn c 3 tnh cht: i xng, phn x v truyn ng. M t quan h lng ng trn tp hp ang xt s chia tp hp th n h c c l p (g i l c c y t n ^ n O s a o c h o h a i p h n t t h u c c n g m t l p

l c quan h vi nhau v hai phn t khc lp l khng c quan h vi nhau. Cc lp tng ng c tnh cht ph kn tp hp cho (tc l mt phn t bt k phi thuc vo mt lp no ) v ri nhau (tng cp giao vi nhau bng rng). Ngi ta gi m t h cc tp con khc rng ca mt tp hp c tnh cht va nu l m t phn hoch ca tp hp . T y suy ra mt quan h tng ng trn mt tp hp s xc nh mt phn hoch trn tp v ngc li, mt phn hoch bt k trn tp hp cho s tng ng vi m t quan h tng ng trn n.

T h d : Gi s xt tp m {m > 1) s' nguyn dng N,= {1 ,2 , m \. G i s k l s

nguyn dng, k < m. Ta ni hai s nguyn dng a , h : N, l c quan h vi nhau v

k hiu l a

Phn . L thuyt th)

a /? o a = b (mod k),

D dng kim tra c rng mi quan h va xc nh trn tp l mi quan h tng ng. Gi

/l, = |/ e N;. a = i (mod /:)}, i = 0, 1 , :-l.

Khi d dng kim ira c rng

A n A j = 0 , i i ^ j v 7V, = J / I , ./=()

iu c ngha l cc tp N-, N ....... to thnh m t phn hoch ca tpTrna hp ring khi k=2. tp /V,,. c phn hoach thnh hai tp: tp cc s chn (/V, v tp cc s l (A i^).

1.3. Mt s nguyn l c bn

1.3.1. Nguyn l cng

Nu A v B l hai tp hp ri nhau th

N(A u ) = N{A) + N{B).

Nguyn l cng c m rng cho nhiu tp con ri nhau:

Nu |/4 |, Aj, l m phn hoch ca tp l(/7 X th

N{X) = N{A) + NiA^) + ... + N{A^).

M t trng hp ring hay dng ca nguyn l cng:

Nu A l mt tnh cht cho trn tp X th N(A) = N(X) - N( A) .

Th d 1. Mt on vn ng vin gm 2 m n bn sng v bi c c i thi u nc ngoi. Nam c 10 ngi. S vn ng vin thi bn sng (k c nam v n) l 14. S n vn ng vin thi bi bng s nam vn ng vin thi bn sng. Hi ton on c bao nhiu ngi?

Gii: Chia on thnh 2 lp; nam v n. Lp n li c chia 2: thi bn sng v thi bi. ITiay s n thi bi bng s nam thi bn sng (2 s ny bng nhau theo u bi), ta c s n bng tng s u th thi bn sng. T , theo nguyn l cng, ton on c 10 +

14 = 24 ngi.

Chng . M u

Th d 2, Trong m t t ph bin ti tt nghip, Ban ch nhim Khoa cng b danh sch cc ti bao gm 80 ti v ch "xy dng h thng tin qun l", 10 ti v ch "ihit k phn mm dy hc" v 10 ti v ch "H chuyn gia". Hi mt sinh vin c bao nhiu kh nng la chn ti?

Gii: Sinh vin c th la chn ti theo ch th nht bi 80 cch, theo ch th hai bi 10 cch, theo ch th ba bi 10 cch. Vy tt c c 100 cch la chn.

Th d 3. Hi rng gi tr ca k s l bao nhiu sau khi on chcfng trnh PASCAL sau uc thc hin?

n l:= 10;n2:=20;n3:=30;k:=0 ;fo r il := 1 to n l do k := k+ l;fo r i2:= 1 to n2 do k:=k+l;fo r i3:= 1 to n3 do k:=k+l;

G ii: u tin gi tr ca k c gn bng 0. C 3 vng lp for c lp. Sau mi ln lp ca mi m t trong 3 vng for, gi tr ca k tng ln 1. Vng for th nht lp 10 ln, vng for th hai lp 20 ln, vng for th ba lp 30 ln. Vy, kt thc 3 vng lp for gi tri ca k s l 10+20+30= 60.

1.3.2. Nguyn l nhn

Nu mi thnh phn , ca b c th t k thnh phn (O, 2..... k) c rt, kh nng chn (/ = 1, 2 , k), th s b s c to ra l tch s ca cc kh nng ny ni>2 ... rit.

M t h qu trc tip ca nguyn l nhn:

yV(A, X A 2 X ... X A,) = N(A,) N{A^) ... N(At).

vi A2, / i * l nhng tp hp no , ni ring;

N{A^) = N { A .

T h d 1. T H ni n H u c 3 cch i: my bay, t, tu ho. T Hu' n Si gn c 4 cch i: my bay, t, tu ho, tu thu. Hi t H ni n Si gn (qua Hu) c bao nhiu cch i?

G ii: Mi cch i t H ni n Si gn (qua Hu) c xem gm 2 chng; H ni - H u v H u - Si gn. T , theo nguyn l nhn, s' cch i t H ni n Si gn l 3 x 4 = 1 2 cch.

Phn 1. L thuyt t hp

T h d 2. Hi rng gi tr ca k s l bao nhiu sau khi on chng trnh PASCAL sau c thc hin?

n l ;= 10;n2 :=20;n3:=30;k:=0 ;for il:= 1 to nl do

fo r i2 := 1 to n2 dofor i3:= 1 to p3 do k:= k+ l;

G ii: u tin gi tr ca k c gn bng 0. C 3 vng lp for lng nhau. Sau mi ln lp ca vng for, gi tr ca k tng ln 1. Vng for th nht lp 10 ln, vng for th hai lp 20 ln, vng for th ba lp 30 ln. Vy, theo nguyn l nhn, kt thc 3 vng lp for lng nhau, gi tr ca k s l 10 X 20 X 30 = 6000.

Th d 3. C bao nhiu tn bin trong PASCAL di 10 ch cha hai ch ci A, B, bt u bi AAA hoc ABA?

G ii: Tp cc tn bin cn m c phn hoch thnh hai tp: m t tp gm cc bin bt u bi AAA, cn tp kia gm cc tn bin bt u bi ABA. Mi tn bin di 8 bt u bi AAA c th xy dng nh sau: chn k t th 4, th 5, th 10. Mi mt trong 7 k t cn li ny c 2 kh nng chn (hoc chn A, hoc chn B), nn theo nguyn l nhn c

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2 ^ = 1 2 8

tn bin bt u bi AAA. Lp lun tng t ta cng m c 128 tn bin bt u bi ABA. V vy, theo nguyn l cng, c tt c 128 + 128 = 256 tn bin di 10 ch cha hai ch A, B hoc bt u bi AAA hoc bt u bi ABA.

Trong vic gii cc bi ton m c th, nu nh m trc tip s cu hnh l kh, ta c th phn hoch tp cc cu hnh cn m ra thnh cc tp con sao cho vic m cc phn t ca cc tp con ny l n gin hn. Khi s dng nguyn l cng m s cu hnh t ra.

Nu chng ta cn m cc cu hnh c th xy dng theo tng bc, th khi c th s dng nguyn l nhn.

Ni chung, iu quan trng khi gii mt bi ton m l phi xc nh c cn s dng nguyn l no (tng qut hn, l cng c no) gii bi ton v iu i hi t duy ca ngi gii.

10

Chni> . Mci

1.4. Cc cu hnh t hp n gin

Di y trnh by mt s cu hnh t hp cm gin, nhng cu hnh ny thng c lm c s' cho php m.

1.4.1. Chnh hp lp

iih nglia. Mt chh h? lp chp k ca plun t l .t h c th l gm k th'h phn ly n phn i cho. Cc lnl phn c h dc lp li

N h th, m t chnh hp lp chp k ca n c th xein nh mt phn t ca tch cac vi A l tp cho. Theo nguyn l nhn, s tt c cc chnh hp lp chp k c a n s l n \

T h d 1. Tnh s hm t mt '-ip vo mt /7-tp,

G ii; Biu din mi hm bng mt b k thnh phn, trong thnh phn th i l nh

ca phn t / (1 < / < k), Mi thnh phn c ly t mt trong n gi tr. T nhn c s cn tm l

T h d 2. Tnh s dy nh phn di n.

G ii: M i dy nh phn di n l mt b gm n thnh phn, Irong m i thnh phn ch nhn mt trong hai gi tr (1 hoc 0). T suy ra s cc dy nh phn di n l 2".

T h d 3. Tnh s tp con ca mt /7-tp.

G ii: Gi s n-ip cho l X = I .V,, j. Biu din mi tp con A ca tp choX bng m t dy nh phn di n:

h = ( bj, h)

trong b = 1 nu phn t X, & A v b = 0 trong trng hfp ngc li (/ = 1, 2,..., n). T nhn c s' tp con l 2".

1.4.2. C h n h hp khng lp

nh ngha . M t chnh hp khng lp chp k ca n phn t l mt b c th t gm k thnh phn ly t n phn t cho. Cc thnh phn kln c lp li.

11

Phn 1. L thuyt t hp

xy dng mt chnh hp khng lp, ta xy dng dn t thnh phn u tin. Thnh phn ny c n kh nng chn. Mi thnh phn tip theo, s' kh nng chn gim i 1 so vi thnh phn ng trc.T , theo nguyn l nhn, s chnh hp khng lp chp k ca n s l /(/-l)...(-/:+1). tn ti cu hnh, cn phi tho mn k < n.

T h d. Tnh s n nh t m t -tp vo mt /-tp.

G ii: Biu din mi n nh bng b nh ca tp ngun nh trong th d 1 mc trn. Ch rng cc nh khng c lp li, ta nhn c s cn tm l n(n-)...{t-k+).

1.4.3. Hon v

nh ngha. Ta gi mt hon v ca n phn t l mt cch xp th t cc phn l .M t hon v ca n phn t c xem nh mt trng hp ring ca chnh hp

khng lp khi k = n . D o s hon v ca n phn t l 1.2 n = n\

C th ng nht mt hon v ca n phn t vi mt song nh ca mt tp n phn t ln chnh n. Mt song nh nh vy cn c gi l mt php th. Cc php th c nhiu tnh cht th v v vic nghin cu n ng gp mt phn quan trng trong ton hc.

T h d 1. 6 ngi ng xp thnh m t hng ngang chp nh. Hi c th b' tr bao nhiu kiu?

G ii; M i kiu nh l mt hon v ca 6 ngi. T nhn c s' kiu nh c th b tri l 6 ! = 720.

T h d 2. Cn b tr vic thc hin n chng trnh trn m t my vi tnh. Hi c bao nhiu cch?

G ii: nh s cc chng trnh bi 1, 2,..., n. M i cch b tri vic thc hin cc chng trnh trn my c th biu din bi mt hon v ca 1, 2 , n. T suy ra s cch b tr cn tm l n !

1.4.4. T hp

nh ngha. M t t hp chp k ca n phn t l mt b khng k th t gm k thnh phn khc nhau ly t n phn t cho. Ni cch khc, ta c th coi mt t hp chp k ca n phn t l mt tp con k phn t ca n.

12

Chng I . M u

Vic m cc t hp c kh khn hn cht t so vi cc cu hnh trnh by, tuy nhin cch m di y cho bit cch vn dng cc nguyn l cng vi cc kt qu m bit trong vic m mt cu hnh mi.

X t tp hp tt c cc chnh hp khng lp chp k ca n phn t. Chia chng thnh nhng lp sao cho hai chnh hp thuc cng mt lp ch khc nhau v th t. R rng cc lp ny l mt phn hoch trn tp ang xt v mi lp nh th l tcfng ng vi mt t hp chp k ca n. S chnh hp trong mi lp l bng nhau v bng (s hon v. S' cc lp l bng s t hD chap k ca n. Theo nguvn l cng, tch ca k\ vi s ny ! bng s cc chnh hp Ichng lp chp k ca n, ngha l bng (-1)...(|2-:+1). T nhn c s t hp chp k ca n l

n { n - \ ) { n - 2 ) . . n - k + \ ) , n\-----------------1

S t hp ny gp kh nhiu trong ton hc, n thng c k hiu bi c* v c gi l h s t hp.

Khi nhn xt rng, gi tr ca php chia trong (1) l mt s nguyn, ta nhn c mt kt qu l th trong s' hc: tch ca k s t nlin lin tip bao gi cng chia ht cho k\.

T h d 1. C n i bng thi u vng trn. Hi phi t chc bao nhiu trn u?

G ii; C 2 i th c m t trn. T suy ra s trn u s bng s cch chn 2 i t n i, ngha l bng

n j n - \ )- 2

T h d 2. Hi c bao nhiu giao im ca cc ng cho ca mt a gic l i n (n> 4) nh nm trong a gic, nu bit rng khng c ba ng cho no ng quy ti im trong a gic?

G ii: C 4 nh ca a gic th c mt giao im ca hai ng cho nm trong a gic. T suy ra s giao im cn m l

n { n - \ ) i n - 2 ) { n ~ 3 )' 24

Di y l mt vi tnh cht ca cc h s t hp:

a) i xng

n = C T ' (2)

13

Phn . L thuyt t h)

b) iu kin u

: ^ c : = I (3)

c) Cng thc qui

cf, = C : \ + c l u n > k > 0 (4)

Cc cng thc (2), (3) c suy trc tip t nh ngha t hp, cn cng thc (4) c th c chng m inh l ( 1).

T (3) v (4), ta c th tnh tt c cc h s t hp ch bng php cng. Cc h s ny c tnh v vit ln lt theo tng dng (mi dng ng vi m t gi tr /;=0 , 1, ...), trn mi dng chng c tnh v vit ln lt theo tng ct (mi ct ng vi mt gi l k = 0, 1, n) theo bng tam gic di y:

c sCl' c l

Bng ny c gi l tam gic Pascal.

Di y l tam gic Pascal kch thc 8 :

1] 2 I

1 3 3 11 4 6 4 1

1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 1

Cc h s t hp c lin quan cht ch vi vic khai trin lu tha ca m t nh thc. Tht vy, trong tch

(x +J^)" = ( x + >^)(j: + , ( x + :f )

h s ca / s l s cch chn k nhn t (x + y) m t ta ly ra A' v ng thi trong n-k nhn t cn li ta ly ra ngha l

14

Chn i . M du

( x + y ) " = c x" + c x" ' V + ... + c r -V >" '+ a y ' ' (5)

Cnc thc (5) cn c gi l kli trin nh tlc Ne\\'on v cc h s t hp cn c gi l cc l sn c.

Chng hn, cn c vo dng cui ca tam gic Pascal kch thc 8 ( tnh trn), ta phn irc:

' + V)* - / + 8.v"v + 28 .rV + 5 6 . \ ' + 7().vv" + 56,rV -r 2 8 .r" / + /

Tling thng, cng thc (5) c gp di dng a thc mt n:

(x + 1 )" = c l x + c l x " - ' + . . . + c r ' A- + c;: (6)

Rt nhiu ng thc v h s t hp c suy t (6 ). Chng hn, trong (6 ) chn A' =1 ta c:

c : + c ! , + ... + c ; r ' + c = 2" ^ (7)

tc l nhn c kt qu bit (th d 3, mc 1.4,1); s cc tp con ca mt /?-tp bng 2", cn nu chn ,v = -1 ta c:

c: - c ; , + . . .+ ( - i r c : : - 0 (8)

tc l s cc tp con chn (c s phn t l s chn) bng cc s tp con l v bng

Nhiu tnh cht ca h s t hp c th thu c t (6) bng cch ly o hm hoc tch phan theo A' hai v ca ng thc ny mt s hu hn ln, sau gn cho .r nhng gi tr c Ih. Chng hn, cne thc sau y thu c bns cch ly o hm hai v th e o v sa u tro n g n g th c Ihu c t X - \ :

/72"- ' = n c : + ( / 7 - i ) c , : + ... + C ;;- ' .

Cn cng thc sau y thu c bng cch ly tch phn hai v theo X v sau trong ng thc thu c t A' = 1:

( + i)2 ' - ' = { + i ) c : + < + . . . + c ; ; .

15

Phn 1. L thuyt t hp

Bi tp

1. Cho bit trong cc h thc di y h thc no l ng h thc no l sai

a) A n

b ) C Q ( A n ) u Cc ) L.'B Q n

d ) A n ( u A ) = A n Be) (A u B)\(A d B) = A\B

2. K hiu z l tp cc s nguyn. Xt hai tp con ca Z:

A = x e z : x = 4p- vi mt p e z no }

B = { e z : y = 4-5 vi mt q e z no I .Chng minh rng A = B.

3. Xt hai tp

A = {n e z : n < 0 ] v .42 = { 6 Z: / > 0 }.

Hi A, A 2 c to thnh phn hoch ca z hay khng? Nu ng hy gii thch cu trli, nu sai hy a ra phn hoch ng ca z .

4. Cho /4 = {0, 1, 2, 3, 4} v xc nh quan h R trn A bi:

/? = ( (0, 0), (2, 1), (0, 3), (1, 1), (3, 0), (1 ,4 ) , (4, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4 ,4 ), (1 ,2 ), (4, 2) }.

Q i ra rng quan h R l quan h tng cfng hay khng? Nu cu tr li l khng nh hy a ra phn hoch ca A thnh cc lp toig ng theo quan h R cho.

5. Xt cc tp vi cc phn t l cc s nguyn;

Ao = { .. . ,-1 0 ,-5 , 0 ,5 , 10, 1 5 ,2 0 ,2 5 ,...} ;= { . . . , - 9 ,- 4 ,1 ,6 ,1 1 ,1 6 ,2 1 ,2 6 , . . .}

2 = { - 8,-3 , 2, 7, 12, 1 7 ,2 2 ,2 7 ,...}A , = { -7 ,-2 , 3, 8, 13, 1 8 ,2 3 ,2 8 ,...}A , = { . . . , - 6 ,- 1 ,4 , 9, 14, 1 9 ,2 4 ,2 9 ,...} .

z.a) Ch ra rng cc tp Aq, A, A 2 , v A4 to thnh phn hoch ca tp s nguyn

b) Ch ra quan h s tng ng vi phn hoch ny.

16

Chiamg 2. Bi ton dem

2BI TON M

2.1. Gii thiu bi ton

M t trong nhng vn u tin ca vic nghin cu t hp l m xem c bao nhiu cu hnh t hp c th c to ra vi nhng quy tc nu? Nhng bi ton nh vy c gi l hi ton m t h). Thng thng, li gii ca bi ton m ph thuc vo m t s gi Ir tham s ban u v ngi ta c' gng biu din s ph thuc ny bng nhng cng thc ton hc. Ni chung, m cc cu hnh cho, ngi ta tm cch a v cc cu hnh quen thuc bng cch thit lp mt tcmg quan 1-1 gia chng. N hiu khi m t bi ton m c phn thnh nhng bi ton m nh hn bng cch chia vic m thnh tng lp p dng nguyn l cng hoc phn tch cu hnh cn m nh l vic ghp mt s cu hnh khc p dng nguyn l nhn. Di y l m t s th d n gin nhm minh ha mt s' k thut m.

T h d 1. C bao nhiu cch xp 5 ngi ng thnh mt hng ngang sao cho A khng ng cnh B ?

Gii: m s cch xp ny, ta m phn cn li: s' cch xp m A ng cnh B. Xem A v B nh mt ch, ta c 4! = 24 cch xp. S ny cn c nhn 2 v A c th

17

Phcin I . Lv lnivr ti) hp

ng bn tri cng nh bn phi B. Nh vy c tt c 48 cch xp A ng cnh B. Ton b c 5! = 120 cch xp. T nhn c s' cch xp m A k/.ng ng cnh B l 120- 48 = 72 cch.

T h d 2. M t t pht hnh x s vi cc s' v gm 2 phn: phn u gm 2 ch ci ly t A n z (26 phn t) v phn sau gm 4 ch s ly t 0 n 9 (1 0 phn t). Hi xc sut trng gii c c l bao nhiu ?

Gii: Trc ht ta m s v c pht hnh. Mi v gm 2 phn: phn ch v phn s. Phn ch c 26^ kh nng, phn s c 10* kh nng. Theo nguyn l nhn, s v c pht hnh l 26 X iO" = 6 760 000. ' nhn c xc sut trng gii c c l

1 / 6 760 000 1 ,4 8 x 1 0 '

T h d 3. Cho m t li gm cc vung. Cc nt c nh s' t 0 n / theo c h i u t tri sang phi v t 0 n m theo chiu t di ln trn (xem hnh v). Hi c bao nhiu ng i khc nhau t nt (0 , 0 ) n nt {n, n) nu ch cho php i trn cnh cc vung theo chiu sang phi hoc ln trn ?

(0, m) {n, m)

(0, 0) { n , 0 )

G ii: M t ng i nh th c xem gm n+m on (mi on l mt cnh vung). Ti mi on ch c chn mt trong 2 gi tr; i ln (m ta m l 1) hay sang phi (m ta m l 0). S on i ln ng bng m v s' on sang phi ng bng n. Bi ton dn v vic tm xem c bao nhiu dy nh phn di l + m trong c ng m thnh phn bng 1. y cng chnh l s tp con m phn t ca mt tp n + m phn t, VI th

s ng i cn m bng .

T h d 4. Thut ton "ni bt" dng xp tng dn dy a, (/ = 1,2,..., /) c m t bng on chng trnh PASCAL di y:

For i := 2 to n doFor j .= n clownto i do

18

Ch ig 2 . B i ton dem

< ^j-n > rlien Swapu j -I . u ih :

Hy m xem phi lm bao nhiu php so snh ?

G ii: Ta chia s php so snh thnh cc lp theo vng lp / (/ i t 2 n n). Vi mi i xc nh, phi thc hin -i+I php so snh. T nhn c, theo nguyn l cng, s cc php so snh l:

2 /+ ... + I ,

C th l lun gn hn: thut ton "ni bt" vit trong on chng trnh cho phi so snh tt a cc cp phn t khc nhau. T nhn c s php so snh l

_ /7(^-1)" 2

Mt c tnh ca cc bi ton m t hp l s cu hnh tng rt nhanh khi s gi tr tham gia vo vic to nn cu hnh tng. iu ny thng dn n cc con s khng l mc d cc con s tham gia ban u khng ln. Hin tng ny thng c gi l s bng n t hp v chnh n l nguyn nhn lm cho cc thut ton da vo vic duyt ton b tr nn khng kh thi. Th d di y cho thy rng, d qui cch to c u h n h c v rt h n c h n h n g s cu h n h c t o , h o ra l i rt l n .

T h d 5. Ngn ng PASCAL chun qui nh t tn bin khng qu 8 k t. Cc k t trong tn bin ch c php l cc ch ci (t A n Z) hoc cc ch s' (t 0 n 9) v phi bt u bng ch ci. Hi c th nh ngha bao nhiu bin khc nhau ?

Gii: Ta phn cc bin thnh cc lp: 1-k t, 2-k t, ... S' cc bin thuc lp -k t,

theo nguyn l nhn, bng 26 X 36'" ' (; = 1. 2, 8). T , theo nguyn l cng, tanhn c s cc bin khc nhau l:

26.(1 + 36 + 36^ + ... + 36) = 2 095 681 645 538.

2.2. Nguyn l b tr

Mt s bi ton m phc tp hn, c da vo nguyn l lng qut ca nguyn l cng. Nu khng c gi thit g v s ri nhau gia 2 tp A v B th

N { A y j B ) = N { A ) + N { B ) - N i A r ^ B ) . (1)Cng thc (1) c m rng cho trng hp nhiu tp nh sau.

nh l. Gi sA , /4 ,,... , A, l cc tp hu hn. Khi

N{ A ^ v j A z^ . . . A , ) = .V, -A^:+. . . + ( - i r > , , (2 )

19

Phn . L thuyt t hp

trong N. l tng phn ca tt c cc giao ca k tp ly m tp cho (ni ring /V, = N(A,) + ... + N, = N{A, n A , n ... n A J ).

Chng minh. Ch rng, s cc giao ca k tp ly t m tp bng ci, , k = \ ,2 , m. chng minh cng thc (1), ta s tnh xem mi phn t ca tp /4| u y\2 . u A,

c m bao nhiu ln trong v phi ca n. Xt mt phn t tu e /4| u .42 u . . .

u y4,. Gi s a l phn t ca k tp trong s m tp cho. Khi a c m v phi ca cng thc ( 1)

C l - C ; + C l - . . . + ( - l ) - ' c :

ln. Do

c i - c ; + c * ' - , . . + ( - i ) * ' ' c ;

= 1 - [ 1 - c ; + Q = - Q ' + . . . + ( - i ) * c ; ] = 1 - ( 1 - i y = i ,suy ra rni phn t t e A/ u u . . . o A, c tnh ng 1 ln v phi ca cng thc ( 1), iu chng minh tnh ng n ca cng thc ( 1).

By gi ta ng nht tp A. vi tnh cht A. cho trn m t tp X no v m xem c bao nhiu phn t ca X khng tho mn bt c mt tnh cht /4|. no c.

Gi N l s cn m, /V l s phn t ca X, ta c:

~ = N - N { A ,^ A.KJ... A)= N - Ny + ... + { -\ ' N ^ (3)trong l tng cc phn t ca X tho mn k tnh cht ly t m tnh cht cho.

Cng thc (3) c gi l nguyn l b tr. N cho php tnh N qua cc Nf. trong trng hp cc s ny d tnh ton hn.

Ta s xt m t s th d minh ho cho vic s dng nguyn l b Ir gii cc bi ton m.

Th d 1. Hi trong tp x = { 1 , 2 , 1 0 0 0 0 } c bao nhiu s khng chia ht cho bt c s no trong cc s 3, 4, 7?

Gii. Gi

A = X e X : X c h ia h t c h o ' , i = 3 , 4 , 7 .

Khi l tp cc s trong X chia ht cho t nht m t trong 3 s 3, 4, 7,suy ra theo cng thc (3), s' lng cc s cn m s l

N{X) - yV(A3 u /^4 u A^) = N , - N 2 + N yTa c

/V, = N(A,) + N{A,) + N{A,)= [10000/3] + [10000/4] + [10000/7]= 3333 + 2 5 0 0 + 1428 =7261,

20

Chng 2. Bi ton dm

= N{A^ n / 4 ) + N(A^ n A^) + N(A^ n A t)

= [10000/(3x4)] + [10000/(3x7)] + [10000/(4x7)]= 833 + 476 + 357 = 1666,

N , = N { A , r ^ A , r ^ A ^ ) = [10000/(3x4x7) ] = 119,

y k hiu [ r ] ch s nguyn ln nht khng vt qu r.T s lng cc s cn m l 10000 - 7261 + 1666 - 119 = 4286.

T h d 2. C bao nhiu xu nh phn di 10 hoc l bt u bi 00 hoc l kt thc bi 11?

G ii. D thy l s xu nh phn di 10 bt u bi 00 l 2 = 256 v s' xu nh phn di 10 kt thc bi 11 l 2* = 256. Ngoi ra, s xu nh phn di 10 bt u bi00 v kt thc bi 11 l 2* = 64. Theo cng thc (1) suy ra s xu nh phn hoc bt u bi 00 hoc kt thc bi 11 l

256 + 256 - 64 = 448.

Kt thc mc ny, ta xt bi ton c in di y trong l thuyt xc sut:

Bi ton b th . C n l th v n phong b ghi sn a ch. B ngu nhin cc l th vo cc phong b. Hi xc sut xy ra khng mt l th no b ng a ch l bao nhiu?

Gii; C tt c n\ cch b th. Vn cn li l m s cch b th sao cho khng c l th no ng a ch. Gi X l tp hp tt c cc cch b th v l tnh cht l th th k b ng a ch. Khi theo cng thc (3) ta c:

~N = N - N , + N 2 - . . . +

irong N l s' cn tm, A/ = /?!, cn N. l s tt c cc cch b th sao cho c k l th ng a ch. Nhn xt rng, N. l tng theo mi cch ly k l th t n l, vi mi cch ly k l th, c n-k)\ cch b k l ny ng a ch, ta nhn c:

v

N , = A n - k ) \ = ^ k\

T7 1 1 (-1 )

T xc sut cn tm l

, 1 1 (-1)1! 2! n \

21

Fhn . L thuyt t (/p

Mt iu l th l xc sut ny dn n e' ^ (ngha l cn ln hn 1/3) khi n kh

lii. S N trong bi ton trn c gi l smct h v c k hiu l D,,.. Di y l m t vi gi tr ca cho ta thy tng nhanh th no so vi \

" ^ 3 4 5 6 1 7 8 9 1 10 li! 1 2 9 1___ 44 265 1 1854 14833 133496 1 1334961 4890741

2.3. Quy v cc bi ton n gin

M trong nhng phng php dm l qy bi ton ang xt v nhng bi ton dn gin hn. iu ny khng phi lc no cng d v n thng i hi m t s phn tch su sc cu hnh cn m. Th d di y trnh by mt bi ton ni ting ca Lucas (1891). qua rt ra c nhiu iu b ch irong ngh thut m.

Bi to n xp k h ch ca Lucas. C mt bn trn, xung quanh c 2n gh. Cn sp ch cho n cp v chng sao cho cc ng ngi xen k cc b v khng c cp v chng no ngi cnh nhau. Hi c tt c bao nhiu cch xp ?

G ii: Gi s phi tm l M. Xp cho cc b trc (c m t gh xp th m t gh trng dnh cho cc ng). S cch xp cho cc b l 2!. Gi s cch xp cc ng ng vi mt cch xp cc b l u, ta c s cch xp l

M = 2n\ X u.Vn cn li l m s .

nh s cc b ( xp) t 1 n n, nh s cc ng tng ng vi cc b (ng i l chng b i), sau nh s cc gh trng theo nguyn tc: gh s i nm gia b / v b ;+ / ( tin trnh by, cc php cng ch s trong phn ny u c hiu l thc hin v n g trn, ngha l +1 = 1). Mi cch xp cc ng c biu din bng m t php th

(p trn tp {7 ,2 , / vi quy c i) = j c ngha l gh i c xp cho ng. Theo

u bi, phi tho mn

) i i v. (p{i) (*)Nh vy l s tt c cc php th 9 tho mn iu kin (*). Trong ton hc, c gi l s'phn h.

Xt tp hp tt c cc php th (p ca {1, 2, n \. Trn tp ny, gi p, l tnh cht

(p{i) = i v Q l tnh cht (f{i) = /+1. t p,,^ = Q, v ta c, theo nguyn l b tr (tng ng vi 2n tnh cht p)\

u ^ = n \ - N , + N^ - ...

22

Chn 2. Bi ton dem

trong N. l tng s tt c cc php th tho mn k tnh cht, ly t 2/ tnh cht ang xt.

Ch rng, khng th xy ra na thi tho mn p, v Q, hoc ng thi tho mn P^i v Q,, do trong cc cch ly ra k tnh cht t n lnh chl ang xt, cn thm vo iu kin: cc p, v Q, hoc P^ v (2, khng c ng thi c mt. Gi s cc cch ny l (2/?, k) (ni ring (2/7, k) = 0 khi k > n). Vi mi cch ly ra k tnh cht nh vy {k < /7), ta c (_n-k)\ php th tho mn chng. T nhn c N = g{2n, k ) \n -k ) \ \

JJ,~t \ - g(2n, (2ri,2 ).(n-2y - ... + {- \ )" ln , n) .By gi cn phi tnh cc h s g{2n, k), k = 1 ,2 ......

Xp 2n tnh cht ang xt trn mt vng trn theo th t P), Q, P 2 , 2...... P,I Qn{2n, k) ta gii 2 bi ton con sau y:

Bi ton 1. C bao nhiu cch ly ra k phn t trong n phn t xp trn ng thng sao cho khng c 2 phn t k nhau cng c ly ra ?

G ii: Khi ly ra k phn t, ta cn n-k phn t. Gia n-k phn t ny c n-k+ \ khong trng (k c 2 u). M i cch ly ra k khong t cc khong ny, s tcmg ng vi mt cch chn k phn t tho mn yu cu nu. Vy s cch cn tm l c,-i+i.

Bi ton 2. G ing rih bi ton 1, nhng vi n phn l xp trn vng trn.

G ii: C nh phn t a trong /; phn t. Chia cc cch ly ihnh 2 lp:1. Cc cch m a c chn, khi 2 phn t k a s khng c chn v ta phi

ly ;-] phn t t /-3 phn t cn li. Cc phn l ny c xem nh trn ng thng.

Theo bi ton 1, s cch thuc lp ny l Cf,rl-|.2. Cc cch m a khng c chn, khi b a i, la a v bi ton ly k phn t

t n- phn t xp trn ng thng. Theo bi ton 1, s c c li thuc lp ny l n-k .Vy, theo nguyn l cng, s' cch cn tm l

c :l- , + C * = - ^ C l , .n - k

T kt qu ca bi ton 2, ta nhn c2n .

g { 2 n , k ) ^ : ^ C L ,2 n - k

v s phn b c tnh bng2 2 2

2/7- I 2 /7-2 n

23

Phn . L thuyt t hp

(Touchard J. 1934 France).

Di y l m t vi gi tr ca u, mt ln na minh ho hin tng bng n thp:

/ 2 3 4 5 6 7 8 9 O0 1 2 13 80 579 4738 43387 439792

2.4. Cng thc truy hi

Thng thng, ngi ta quan tm n nhng bi ton m, trong kt qu m ph thuc vo m t tham s ti u vo (m ta k hiu l /), th d cc s' , ... Vic biu din kt qu ny, nh m t hm ca n, bng mt s hu hn cc php ton, khng phi l n gin. Ngi ta nhn thy rng, trong nhiu trng hp, vic tm kim mt cng thc trc tip gia kt qu m v gi tr n l rt kh khn (hoc khng th c), trong khi , cng thc lin h gia kt qu m ng vi n v cc kt qu m ng vi cc gi tr n b hn li cfn gin v d tm. Nh cng thc ny v mt vi gi tr ban u, ta c th tnh mi gi tr cn li khc. Cng thc gi l cng thc truy hi hay cng thc quy. Do tnh k tha, cng thc truy hi rt thch hp vi vic lp trnh trn my tnh. N cho php gim ng k phc tp cng nh gia tng n nh ca qu trnh tnh ton.

2.4.1. Cc th d minh ha

Trc tin chng ta xt mt s' th d minh ho vic xy dng cng thc truy hi gii cc bi ton m .

T h d 1. Tnh s m t th t D.

Gii: nh s th v phong b t 1 n n (th / gi ng a ch nu b vo phong b 0-M t cch b th c ng nht vi hon v ( | , a) ca ( 1 ,2 ......n}. M t mt th tc nh ngha l mt hon v ( |...... a) sao cho , vi mi i. Thnh phn | c

th nhn n- gi tr ngoi 1. Vi mi gi tr ^ (: 1) ca , xt 2 trng hp:1. = 1, khi cc thnh phn cn li c xc nh nh m t mt th t ca n-2

phn t, tc l s cc mt th t thuc loi ny bng D_2 -

2. a*. 1, khi cc thnh phn t 2 n n c xc nh nh m t mt th t can- phn t (xem gi tr 1 nh l gi tr k), tc l s mt th t thuc loi ny bng D.|.

T nhn c cng thcD = (n -1 )(D ., + D ,). n > 3 .

24

Chif> 2. Bi on d'in

Cc gi tr ban u d dng c tm trc tip: D | = 0, D Mi gi tr cn li c tm n gin nh lut k tha:

D , = ( 3 - 1 ) ( 0 + 1) = 2D, = ( 4 - 1)(1 + 2 ) = 9D , = ( 5 - l)(2 + 9) = 44

=: ( 6 - 1K9 + 44) = 265D, =(7-1X 265+44) = 1854 D, -(8 -1X 1854+ 265) = 14833

cng thc truy hi ng c i vi n = 2, ta xem nh D = 1.C th nhn c cng thc trc tip qua cng thc truy hi. Tht vy, t

D = ( - 1)(D.,+D,)

suy raD - ., = - (/;

t v = D - n D.|, ta c= v,, = -v, = ... = ( - i r ' v , - ( - i r

hay

D _ A,-I ^ (-1)"nl { n - \ ) \ ~ n\

Cng cc h thc trn, vi /7 = / , 2, ta c

A , , 1 1 (-1)" = 1 + ...+n\ 1! 2! h!

1 1 (-1)"v nhn lai cng thc bit: D = !( 1 - + 1! 2! m

T h d 2. Trn m t phng, k n ng thng sao cho khng c 2 ng no song song v 3 ng no ng quy. Hi mt phng c chia thnh my phn ?

G ii: Gi s phn mt phng c chia bi n ng thng l 5. Gi s k n- \ ng thng. By gi k thm ng thng th n th s phn c thm s bng s giao im c thm cng vi 1. S giao im c thm l s giao im m ng thng va k ct n - 1 ng thng c, ngha l bng n - 1. T nhn c cng thc truy hi

s s.| + , n > .

vi gi tr ban u 5 = 1. T cng thc ny. d dng tnh mi gi tr ca s, = 1, 2, ...s , 1 + 1 = 2

= 2 + 2 = 4

25

Pln I . L thuyt t h)

5 , = 4 + 3 = 75, = 7 + 4 = 1 1 5, = 11 + 5 = 1 6

5^ = 16 + 6 = 2 2 s" = 22 + 7 = 2 9

tm cng thc trc tip, ta cng cc h thc Sf. = 5;.| + k vi k - 1 ,2 , /?. Saukhi kh cc s hng ging nhau hai v, ta nhn c:

n{n + \) ri^ + n + 2s = 5 o + 1 + 2 + . . . + /7 - 1 +

. Z.Cng thc truy hi c m rng m t cch t nhin cho trng hp c nhiu tham

s. Khi cn mt h cc gi tr ban u (m chng thng c gi l cc gi tr bin). Vic tip cn cc h s t hp nh trnh by di y l mt th d ;m mt cng thc nh vy.

T h d 3. Tnh h s t hp c \ .

G ii: Chn phn t c nh a trong n phn t ang xt. Chia s cch chn tp con k phn t ca tp ny th n h 2 lfp: cha a v khng cha a. Nu a c chn th ta phi

b xung k-\ phn t t n-\ phn t cn li, t lp cha a gm z\ cch. Nu a khng c chn th ta phi chn k phn t t -1 phn t cn li, t lp khng cha a gm C- cch, l l ie o nguyn l cng, ta c cng thc truy hi:

c = d : , ' + c*_,

vi cc gi tr bin c suy trc tip t nh ngha:

c = C = 1.

R rng vic lp trnh theo cng thc truy hi (xem tam gic Pascal) l hiu qu hn nhiu so vi vic lp trnh theo cng thc trc tip.

Phng php tm cng thc trc tip t cng thc truy hi trnh by trong cc th d 1-3 c gi l phng php kh. Khng phi lc no cng d dng kh c cng thc truy hi a c v cng thc trc tip. Tuy nhin, trong mt s trng hp c bit ta c th a ra phng php tng qut gii cng thc truy hi (tc l tm cng thc trc tip cho s hng tng qut ca dy s tho mn cng thc cho).

T h d 4. (Bi ton thp H ni). Tr chi thp H ni c trnh by nh sau: C 3 cc a, b, c. Trn cc a c mt chng gm n ci a ng knh gim dn l di ln trn. Cn phi chuyn chng a t cc a san cc c tun th qu tc: mi ln ch

26

ClK i 2 . B i to i d

chuyn 1 a Vil ch c xp a c cha'rng knh nh hn l(hi Irn a c ng knh ln hn. Troni> qu trnh chuyn dc php dng cc h lm cc trung gian Bi ton t ra l: Tim s ln di chuyn a t nht cn thc hin thc hin xong nhim v t ra trong tr chi thp H ni.

G ii: Gi l l s' ln di chuyn a t nht cn thc hin gii xong bi ton thp H ni. Ta xy dng cng thc qui tnh h. R rng:

h, = \.

Gi s n > 2. Vic di chuyn (a grn cc bc;

(i) Chuyn /7-1 a t cc a n cc b s dng cc c lm trung gian. Bc ny c thc hin nh gi thit quy np.

(ii) Chuyn 1 a (a vi ng knh ln nht) t cc a n cc c.

(iii) Chuyn /7-1 a t cc h n cc c (s dng cc a lm trung gian). Bc ny c thc hin nh gi thit quy np.

Bc (i) v (ii) i hi gii bi ton thp H ni vi /-1 a, v vy s ln di chuyn a t nht cn thc hin trong hai bc ny l 2/.|. Do ta c cng thc qui sau:

/?=/;.,+ \,n>2.S dng cng thc qui v iu kin u va tm c i vi h ta c th d dng chng minh bng qui np l

h = 2"-,ii>.

2.4.2. Gii cng thc truy hi luyii ili thun nht h s hng

Xt cng thc truy hi tuyn tnh thuii nht h s hng bc k:

+ C2.2 + ...+ C'A.*., (1)trong C|, Cj..... q l cc hng s, q 0.

Ta cn tm cng thc trc tip cho s' hng a ca dy s' \ a] tho mn cng thc (1) (dy s nh vy s gi l nghim ca cng thc truy hi cho). R rng, dy s a,,] tho mn cng thc (1) s c xc nh duy nht, nu nh n phi tho mn k iu kin u sau:

Ph . L thuyt t hp

= 4 - C 2 r ' " ' + . . . + r ,

h a y l

/ - c\ - C2 - . . . - Q = 0. (4)

Phng trnh (4) c gi l phng trnh c trng ca cng thc (1), v nghim ca n c gi l nghim c trng. Chng ta s xt cch s dng nghim c trng xy dng cng thc nghim di dng hin. Trc ht chng ta xt trng hp ring, khi k = 2. Sau cc kt qu s c pht biu cho trng hp "ng qut.

nh l 1. Cho Ci, C' 2 cc hng s thc. Gid s phng trnh r - Ti r - C' 2 - 0 c hai n^lim phn hit \ v Khi dv s \a,, I Ic nghim ca cng thc riiv hi

,., + C2 a,,2

khi v ch khi

= a / l + (5)

n = Q, 1, t rong , 2 l cc hng s.

Chng mnh. Trc ht ta chng minh rng nu \ v l hai nghim phn bit ca phng trnh c trng, v a , , 2 l cc hng s, th dy s \a] xc nh bi cng thc (5) l nghim ca cng thc truy hi cho. Thc vy, do r, v ' 2 l nghim c trng nn

= c , r, + C2 , /'2 ^ = c , / - 2 + C' 2

t suy ra

' | + '2 . 2 = C | ( I + 2 ' 2 " ' ) + + 2 / V " ^ )

= or, r, + C2) + 2 r2 '\C /2 + C2)

= + 2= a , r," + 2 '-2"= a .

By gi ta s ch ra rng nghim [a\ ca h thc = C| a.| + C2 .2 lun c dng (5)

vi p O no . Thc vy, gi s {a\ l nghim ca h thc cho vi iu kin u

= C ( ) , = C , ( 6 )

ta ch ra rng c th tm c cc s , a ^ cho (5) l nghim ca h thc vi iu kin u ny. Ta c

o = Co = a , + 2 ,

a, = c , = a,/-, +

28

Chi 2 . B i i ton dm

Gii h phng trnh tuyn tnh ph thuc hai n a ,, a, thu c, do T ^ /*2 c nghim duy nht

or, = (C, - C / - 2 )/(/, - / 2 ),

2 = (Co /, - c , )/(r, - /,).

(7)

Vi nhng gi tr ca a , , GC2 va tm c, dy || xc nh theo (5) l nghim ca h thc cho vi iu kin u (6). Do h thc cho cng vi iu kin u (6) xc mh duy nht m t dy s, nn nghim ca .l thc cc clio bi ccng ihCc (5). nh l c chng minh.

Th d 4. Dy Pibonaci trong ton hc c nh n g h a bng h thc truy hi:

+ /^ 2. n > 2,

= F , = 1.

Tim cng thc hin cho

G i: Gii phng trnh c trng:

r - /* - 1 ==0,

ta thu c hai nghim

\ + sr. = /2 =

\ - 4 l

v cng thc hin c dng:

F = + Q2.(/-,)"

trong I , 2 l cc hng s cn xc nh t cc gi tr ban u Fq, F. T cng thc (7), ta c:

1 I+V5 1 I-V 5a, =

Vs 22 =

s 2v nhn c

/ / r~\1 + V 5\

rt+1 ^

V i 2 1 - 2 /M t iu l th l cng thc ny phi dng cc php ton v t biu din mt gi tr nguyn.

nh l 1 khng p dng c kh phng trnh c trng c nghim kp. Trong trng hp ta cn s dng kt qu ca nh l sau.

29

Phn . L hivt hp

nh l 2. Cho C , C2 Ici cc lnq s thc, C'2 ^ 0. Gi s phng trnh - C'| r - c\ - 0 c nghim kp \y Khi dy s a } l nghim ca cni lc d qui

^-1 + ^n-2

khi v ch khi

r/ - 0 , 1, rong , 0 2 l cc hng sei

C hng m inh. Hon ton tng t nh chng minh nh l 1.

T h d 5. Tim nghim cho cng thc truy hi

= 6 - 9 .2

vi i u k i n u 0 () = ] v c/| = 6 .

G ii: Phng trnh c trng - 6 r + 9 = 0 c nghim kp r = 3. Do nghim ca h thc c dng;

a - a, 3" + 0 2 11 3".

tm |, 2 - s dng iu kin u ta c

= 1 = , ,

(7, = 6 = I . 3 + 2 . 3.

Gii h ny ta tm c 1 = 1 v 2 = \ . T nghim ca h thc cho l;

a = 3" + n 3".

nh l 3 sau y l s tng qut ho kt qu ca nh l 1 cho trng hp h thc qui tuyn tnh thun nht h s hng h c k > 2.

nh l 3. Cho C|, C j , c l cc s'(hc. Gi s phng trnh c trig- C, /*' - - ... - c, = 0

c k n>liim phn hit \, '2 , 'f.. Khi dy s' { a j l ni>him ca h thc+ Cjfl,,., + ...+

khi v ch khi

a = a, /V' + 2 /'2" + /V'vi /! = 0, 1, 2 .trong I , 2, l cc hng s.

C hng m inh; Tng t nh chng minh nh l 1.

30

Chc/ ; 2. Bcii to n dh i

T h d 6. Tim nghim ca h thc

a = 6 _, - 11 + 6

vi iu kin u= 2 , = 5 . Ch = 15.

G ii; Phpg trnh c trng

- 6 r V 11 / - 6 = 0

c 3 nghim r, = 1, ' 2 = 2, /, = 3. V vy, nghim c dng

a = a , 1" + 2 2" + 3".

S dng cc iu kin u ta c h phng trnh sau y xc nh cc hng s a , , 2,

a ,;/d = 2 = I + 2 + a ,

/, = 5 = I + 0 ^ .2 + y 3

a , = 15 = I + 2-4 + , .9 .

Gii h phng trnh trn ta ihu c | = 1, = -1 l 3 = 2. Vy nghim ca hthc cho l

a = 1 - 2" + 2. 3".

C h : Vic tm nghim ca h thc (1) trong triig hp tng qut dn v vic gii m t p h n g trnh b c k\

/ - r , / - ' - ... - cv = 0

m vic biu din nghim ca phng trnh ny qua mt s hu hn cc php ton, nh bit, khn? phi lc no cng lm c vi k > 5 (nh l Abel).

2.5. Phng php hm sinh

2.5.1. Hm sinh v bi ton m

Gi s {/ I /? = 0, 1 ,2 , .... l mt dy s. Ta vit dy ny nh l dy v hn phn t, tuy nhin ta coi rng n bao gm c trng hp dy hu hn. Nu /Q, /?, l dyhu hn, th ta s bin n thnh dy v hn bng cch t /;, = 0, i> m .

nh ngha. Hcim sinh (.v) ca dy s h 1 /? = 0, 1 ,2 ,....} chui v hn

31

Phn . L huyi l h)

00g ) = h,, + / .V + / 2 + . . . = .

/=0

Nh vy hm g{x) sinh ra dy s cho nh l dy cc h s ca n. Nu dy l hu hn th s tm c m sao cho = 0, / > m. Trong trng hp ny (A') l mt a ihc bc m.

Th d 1. M t trong nhng ngun gc dn n nh ngha hm sinh chnh l nh l v khai trin nh thc; Hm

g W = (l +A-)"'

sinh ra dy cc h s' t hp

[h^= C{m, k), -0, 1,..., ni]

bi v

(l + x)"* = ^C (w , :)x ^ . /t=0

T h d 2. Hmg(A') = 1/(1-.r)

sinh ra dy1 ,1 ,1 , . . .

D dng chng m inh iu bng cch thc hin php chia:

l / ( l - x ) = 1 + x + x ^ + ...

T h d 3. Vi ^ > 0, hm

gix) = 1/(1-X)*

sinh ra dy

{C {n+ k-\,ny .n = 0, 1 ,2 ,...} .

Nh vy h s th n s l s kh nng chn n vt t k loi vt. Thc vy, ta c

l / ( l - x / =[ l / ( l - x ) f = ( l + x + x^ + ....

Nu ta khai trin biu thc ny bng cch thc hin nhn ph ngoc, th s ln xut hin s hng x" s bng s nghim nguyn khng m ca phng trnh

, + 2 + ... + t, = n,

rn ta c th d dng tnh c l C{n+k- , n).

C i n 2 . B i ton dem

V d ny c th gi cho ta cch giai nhieu bi ton m. Chng hn xt hm sinh

,t>(.v) = ( 1 + .V + . r + .V*) (1 - r + . r ) ( 1 + ,v + + .r + x'*).

Gi s .v", x '^, y tng ng l cc s hng ly t cc tha s' th nht, hai, ba ca v phi, iu c ngha l 0 < / < 3, 0 < /; < 2, 0 < C' < 4. Khi khai trin v phi cc tha s ny s cho ta s hng y , vi n = u + h + c. Nh vy h s ca trong ^(.v) s l s nghim nguyn khng m ca phng trnh

/ == / -1 - h -I- c

tho mn

0 < a < 3 , 0 < / ? < 2 , 0 < r < 4 .

Suy ra h s ny cng cho ta s' cch chn n bng hoa t 3 bng cc, 2 bng layn v 4 bng hng.

Tt nhin vic s dng hm sinh gii bi ton m s i hi nhiu tnh ton khi thc hin php nhn cc a thc, v khng thch hp cho vic tnh tay. Tuy nhin, vic l i c th th c h i n n h a n h c h n g trn m y t n h , v v th h m s in h s l m t c n g c

hu hiu gii nhiu bi ton m trn my tnh. Hcn na hm sinh s cn l cng c hu ch nghin cu cc bi ton m mt cch tru tng.

Ta dn ra m t s' khai trin i s' rt hay s dng trong vic s dng hm sinh:

// ( l- .v ) = A-^ (1 + .V + A' + ...) = + ...

( 'l-y " ') /( |- .v )= 1 +.v + .x' + ... +.v^.

l/(l- .r^ )= 1 +,v" + .v'+.v' + ...

x/{ 1 = x{ I + + ..v' + + ...)= .r + x + x* + / + ...

T h d 4. C bao nhiu cch chn ra n qu t 4 loi qu: to, chui, cam v o (mi loi u c s lng t ra l /;) m trong c mt s chn qu to, s l qu chui,khng qu 4 qu cam v t ra 2 qu o?

G ii. Hm sinh gii bi ton ny l

( 1 + + ...) (x + ,r' + y + ...)( 1 + ,v + + X*) {x^ + + A'' + ...)

Trong cng thc trn c 4 tha s m s qu to (cc s m chn), chui (s m l), cam (ch c n s m 4) v o (s m bt u t 2). Hm sinh s l

J?(.v) = [l/(1-A-^)] [.v/d-A-^)] [(I-A')/(l-.v)] [A^/(l-,r)]

33

Phn I . L uy t hp

Cu tr li l; S cch cn m l h s th /7 trong khai trin (.v) di dng chui lu tha. Tuy l chng ta khng c cu tr li bng s, nhng hm xy dng c cha d l i u c th lp trnh trn m y tn h a ra b n g p s c h o c c g i tr c a n m ta

mong mun.

Trong nhiu trng hp, vic khai trin hm sinh di dng chui lu tha c th thc hin c bng tay, chng ta c th thu c cng thc m di dng hin.

T h d 5. Tim hm sinh cho s nghim nguvn dng l ca phnp, trnh

t + 2+ ... + = l.

G ii. Hm sinh cn tm l

(.) = u + .r + ,r + X + ...)*

= [.y(1 + .v^ + a- + / + ...)]*= [.V(l-A-^)] = , / ( l - y .

T h d 6. Tim hm sinh cho /? l s cch chn ra /7 qu t 4 loi qu; to, chui, cam v o (mi loi u c s lng t ra l n) m trong c mt s chn qu to, s' lng chui chia ht cho 5, khng qu 4 qu cam v khng qu 1 qu o?

G ii. Hm sinh c dng

g(x) = ( 1 + + / + / + . . . ) ( ! + A'' + -v" + A-'- + ...) ( 1 + .V + + X*) ( 1 + A-)

= [1/(1-A-^)] [l/(l-x^)] [ ( l-x V (l-^ )] (1+A-)

= [ l/( ( l-x )( l+ .r) ] [l/(l-.v)] (l+.v)

= l/(l-.v)'T ta c th tm cng thc hin cho li gii, bi v

00 00 00

n= 7=0 /7=0Vy = n + 1.

Th d 7. Tim hm sinh cho s cch i n (nghn ng) s dng cc loi giy bc mnh gi 1 nghn ng, 5 nghn ng, 10 nghn ng, 50 nghn ng (gi thit l ta c mt s lng khng hn ch mi loi giy bc).

34

2. Bai ton dem

G ii. So lugng den cn di ra loai giy bac 5 nghm dng phai chia het cho 5, so Itrong ti^n cn doi ra loai gi'y bac 10 nghm dong phi chia het cho 10, so lugng ti6n cn di ra loai giy bac 50 nghin dong phi chia het cho 50. VI vy

- ( 1 + .V + A-^ + . . . ) ( 1 + A-^ + A-" + . . . ) ( 1 + A-"' + A- ' + . . . ) ( 1 + x " + x ' + . . . )

= [ 1 / ( 1 - A - ) ] [ l / ( l . r ) ] [ l / ( l - A - ' " ) ] [ l / ( i - A ' " ) ] .

2.5.2. Ham sinh v cng thc de qui

MiJC ny se trinh by phufong php hm sinh de tirn cng tniic dudi dang hien cho so hang tdng qut ciia dy s' xc dinh bai cng thiic de qui. Ni dung ca phuong php c ihe' trinh by nhu sau. G ia sir ta c | / ; J l dy s dugc xc dinh theo cng thfc de qui. Xy dung hm sinh ca dy s ny theo cng thiic

g { x ) - //o -f //, A- + /?2 4- ... - ./=0

Su dung cc tinh cht ca dy s (suy tir cng thiic de qui xc dinh n) ta c the tim duac cng thiic gii tich cho hm sinh Tir cng thiic tim duc ta se khai trien hm i^*(a') dui dang chui luy ihira, v tir do tim duc cng ihiic cho h.

Truc het ta dua ra mot s phep ton di vai hm sinh. Gi sCrO. X '

/(.v)= ,M .v)=/-0 /=0

l hai hm sinh cn a i s thuc. khi do

/=0Xi

/=0

Tich Csi ca hai hm sinh g{.x) va / ( a ) :

trong d

f(x \i '{x)= ,/=0

k"k = (i b, + a, + ... + a, h, = .

/=0

35

Phn . L huy hp

00

T gii tch ta bit rng nu chui ^(A') = hi t ln cn im 0 th lng ca n/=0

g { x ) lu n l h m g i i t ch tro n g ln c n n y v

h, = f \ 0 ) / k \ , k = 0, 1 ,...

co

Khi chui y hX^ chnh l khai Irin M acloren ca hm ^(x). Nh vy c mt^0

tng ng 1-1 gia mt hm gii tch v m t chui hi t trong ln cn 0.

Trong vic p dng hm sinh ta thng s dng cng thc sau:

1 /(1 - )" = c i , _ ,k=0

m trng hp ring ca n l

1/(1 - rx) = \ + r x + r^x^ + x + ....

T h d 1. Gii cng thc qui

/ = 4 /.'.2,

h, = 0 ,h , = \.

G ii. Gi ix) = /(, + /| .r + hj + ... l hm sinh ca dy s cn tm. Ta c

g(x) = + /| . + /2 + ... + / y + ...

-4 g{x) = -Ah^ - 4/| r* - . . . - 4/_2 y - .. .

Do / = 4 /.2 v = Q, h = 1, nn cng hai ng thc trn ta thu c

^(x) - 4 g(x) = /o + /, X = X.

hay

g ) = xH 1 - 4x") = l/( 1 - 2x){ 1 + 2x).

S dng php tch phn thc, ta vit g(x) di dng

g{x) = a/( 1 - 2x) + b/(\ + 2x),

trong a \ h ] cc hng s cn xc nh. D dng tnh c a = /4 v h = -1/4. T ta c

36

C l U i 2 . H i to n d h i

.?(.v)= -^[1/(1 - 2 .r ) - l / ( l +2,v)l 4

V vy"^k = 0

h , = - [ 2 ^ - ( - 2 ) % k = 0 , 1 , . . . .4

Th d 2. Dy s Fibonaci (Leonardo di Fisa hav Fibonaci (qung 170 - 1226) l nh

ton hc ). Dy s' Fibonaci l dy s c xc nh bi cng thc qui

L + L -2 , n > 2,

Ta s tm cng thc cho s hng tng qut ca dy s nh phoig php hm sinh.Xt hm sinh

Ta c

Vy

suy ra

fu )= / , . " -/7 = 0

/ * " = / ; , + / . .V + / . r "n= 0 r i ^ l

/7 = 2

= /o + / |- '^ + 4 /^(-V) - 1) + F { x ) .

+ U '( + F { x ) - \ ) + .x ^ F { x ),

1Fix) -

- x - a-2

Ta c (1- A - = (1 - a x ) (1 + /?.v), vi a = ^ 3= ' ^

Vit li F{x) di dng

\ - a x ] - / k

37

Plin I . L thuyt t'hp

ta tm c A = a /{a - /), B = -J3/(a- p). Do

1

T

F{x) =a - p

______ l\ - a x \ - /3x

=0

J

a - p V51 1 . ^ 1

2\ /

r +1 / / \ ^ +! - V 5 "

T h d 3. S C a ta lan (Charles Catalan (1814-1894) l nh ton hc B)S' Catalan ) mt con s' quan trng trong l hp, l li gii ca nhiu bi ton m t hp quan trng. Ta dn ra y mt trong nhng bi ton nh vy. Xt vic tnh tch ca cc rna trn:

A = Af ... A.

Do tch ma trn c tnh cht kt hp nn c nhiu cch thc hin vic tnh tch trn.V d khi n = 3, ta c th thc hin vic tnh tch

A - A2Aj

theo 5 cch sau

/l = = A(A,A,)A,)

= { A M A A ) = {A,{A,A,)), =

Gi c l s cch thc hin vic tnh A. D thy

Ca = 1, c, = I,

Nu ta t du ngoc phn tch u tin vo sau tha s Af.:

A = (A ,4 ,

th do c q cch thc hin vic tnh /4oA| ... A. v cch thc hin vic tnh Ai.^Af. ^ 2 ...A , suy ra c q cch tnh A trong trng hp ny. Do du ngoc phn tch utin c th t sau A, i = 0, 1, /7-1, nn ta thu c

/ 7 - 1

^11 ~ ^ ^ ^ k ^ n - k ~ k=0

Xt hm sinh ca dy s {c}: C(jf) = ^ C x ' . Ta c/=0

38

Ch n 2. B i to n d c m

C V )--- z +m- /7=0 /-^Ov^O ) /'=0

V th

C (.v )- .v e ( ,v )+ .

Gii phng trnh ny theo C(.v) ta thu c

c t v , ..V

Ta phn tch J \ x ) - Vl - 4x thnh chui da vo cng thc Taylor

/ ( x ) = / ( 0 ) + X

Ta c

dx( 1 - 4 x) 2 =

k\X .

- ~ k ^ \. . .( l - 4 x ) 2 ( -4 )^

v th

i - / t 1-A= - 2 ^ 1 .3 ...(2yt - 3)(1 - 4x )2 = -2 (k - lV -C -^ 2 ^

A '- ) = > - ^ 1 c 2; V -k-^r

Thay vo cng thc tnh C(a'), trong d r rng cn chn nghim --------------- phX

hp vi iu kin C'> 0, ta thu c

^ /-A . kco , 00 i

e w = j q V ' 2 - = ~ ck = r

2k

T ta tm c

k ^ \

n cng thc Stirling tnh gn ng n\

n\^ ^m

2k

39

Ph . L huv t hp

ta c th tnh gn ng theo cng thc:

2.6. Lit k

Vic tm mt cng thc cho kt qu m, ngay c trong trng hp cng Ihc truy hi, khng phi l d thc hin. Cho n nay, cn rt nhiu bi ton m cha c li gii di dng mt cn thc. i vi nhng bi ton nh vv, ngi ta ch cn cch ch ra mt phng php lit k, theo c th i qua tt c cc cu hnh cn m. R rng bn thn phcfng php lit k khng ch ra c mt kt qu c th no, nhng qua n, ngi ta c ih lp trnh cho my tnh in t nh my tnh m " h.

th d, ta xt mt cu hnh t hp ni ting do hng lot nhng cng trnh xunR quanh n v cho n nay cn nhiu vn cn gii quyt, l cc hnh ch nht la tinh.

Gi s s l mt Khng mt tnh tng qut, la c th gi thit s l tp 1, 2, n } . M h n h c h n h t la t in h trn 5 l m t b n g / ; d n g , C c t , s a o c h o m i d n g c a

n l mt chnh hp khng lp chp q ca s v mi ct ca n l m t chnh hp khng lp chp p ca s.

Theo nh ngha, la c p < n, q < n. c bit, trong trng hp q = /1, mi dng ca hnh ch nht la tinh l mt hon v ca s , sao cho khng c m t ct no c cha phn t lp li. Hnh ch nhl la tinh dng ny c gi l chun nu dng u ca n l hon v 1 , 2 , n.

Th d1 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 13 4 5 6 7 1 2

l mt hnh ch nht la tinh chun trn tp 5 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 .

Gi L(p, n) l s hnh ch nht la tinh p x /7, cn Kp, n) l s hnh ch nht la tinh

chun px /7. Ta cL(y;,/) = n \ K { j h n )

D dng thy rng, s mt th t l s cc hnh ch nht la tinh chun 2x /7,

cn s phn b l s cc hnh ch nht la tinh chun 3 x /1, vi 2 dng u l

40

Chng 2. Bc ton m

n~n

Riordan J. (1946) chng minh cng thc

K O , n ) = C - n - , . D k . U - 2 Kk=0

trong m = [n!2], U g - 1.

Bi ton m s hnh ch nht la tinh vi s' dng nhiu hn cho n nay cha c gii quyt. Ngi ta mi ch a ra c mt vi dng tim cn ca L(p, n) (Erdos p. (1946), Y am am oto K. (1951)).

Nu p = q - n, th hnh ch nht la tinh c gi l hnh vung la tinh. M t hnh vung la tinh cp n c gi l chun nu c dng u v ct u l hon v 1 2 ... n. Th d mt hnh vung la tinh chun cp 7

6 77 1

Gi / l s hnh vung la tinh nh th, IH C(3

L { n , n ) ^ n \ [ n - \ ) \ .

Vic tm mt cng thc cho / n nay cn ng. Nhiig cng thc tnh K{p, n) cho thy rng iu ny khng phi d. Tuy nhin ta c th lp m t chng trnh cho my tnh, lit k tt c cc hnh vung la tinh chun cp n. Di y l mt vi gi tr tnh c:

n 1 2 3 4 5 6 71 1 1 4 56 9408 16942080

41

Phcin . L \ huyt ip

Bi tp

Nguyn l cng v Nguyn l nhn

1. Cho 5 k t A, B, c , D, E.(a) C bao nhiu xu k t di 4 c th lp c t cc k t cho. nu khng

cho php lp li k t?(b) C bao nhiu xu k t trong (a) bt u t B?(c) C bao nhiu xu k t trong (a) khng bt u t B?

2. Cho X l tp n phn t. C bao nhiu b c th l {A, B) tho mn A C X ?

3. on ch tch ca mt cuc hp gm 6 ngi A, B, c , D, E, F cn bu ra Ban lnh o gm 1 ch tch, 1 ph ch tch v 1 th k.

(a) Hi c nhiu cch khc nhau?(b) C bao nhiu cch m trong m t trong hai ngi A, B l ch tch?(c) C bao nhiu cch m trong E l thnh vin ca Ban lnh o?(d) C bao nhiu cch m trong D v F l thnh vin ca Ban lnh o?

4. C bao nhiu xu nh phn di 10 bt u bi hoc l 101 hoc l 111?

5. C 10 cun sch khc nhau, trong c 5 cun sch thuc lnh vc Tin hc, 3 cunsch thuc lnh vc ton hc v 2 cun sch v lnh vc ngh thut. Hi c bao nhiucch chn ra 2 cun sch c ni dung thuc cc lnh vc khc nhau t 10 cun sch nitrn?

6. C 10 cun sch khc nhau, trong c 5 cun sch thuc lnh vc Tin hc, 3 cun sch thuc lnh vc ton hc v 2 cun sch v lnh vc ngh thut.

(a) Hi c bao nhiu cch xp 10 cun sch ny ln 1 gi sch?(b) Hi c bao nhiu cch xp 10 cun sch ny ln 1 gi sch sao cho tt c cc

cun sch Tin hc c xp pha tri gi sch cn hai cun sch v ngh thut c xp bn phi?

(c) Hi c bao nhiu cch xp 10 cun sch ny ln 1 gi sch sao cho tt c cc cun sch thuc cng lnh vc c xp cnh nhau?

(d) Hi c bao nhiu cch xp 10 cun sch ny ln 1 gi sch sao cho hai cun sch ngh thut khng c xp cnh nhau?

7. C bao nhiu s c bn ch s c th to thnh t cc ch s 0, 1, 2, 3 , 4, 5 tho mn(a) khng c ch s no c lp li,(b) cc ch s c lp li,(c) cc s chn trong (b).

42

Chn 2. Bi ton cUn

8. Trn cnh bn ca mt tam gic ta ly n im, trn cnh bn th hai ly m im. Mi mt trong hai nh ca cnh y c ni vi cc im c chn trn cnh bn i din bi cc ng thng. Hi

(a) C bao nhiu giao im ca cc ng thng nm trong a gic?(b) Cc ng thng chia tam gic ra lm bao nhiu phn?

9. M t cn b tin hc do ng tr nn qun mt khu ca phn mm my tnh ca mnh. M ay m n l anh ta C.I nh mt khu c dng NNN-X>C, trong M\N l cc ch s, cn XX cc ch ci ly trona bng ch ci c 26 ch. Hi trong trng hip xu nht cn phi th bao nhiu mt khu c th tm ii mt khu t?

10. Hi c bao nhiu b c th t gm 3 tp X, X2, X, tho mn

X, = ( 1 ,2 ,3 ,4 , 5 ,6 ,7 . 8 I v X, 0 X3 0 X3 = 0 .

V d: Hai bx ,= { 1 ,2 ,3 1 , |1 ,4 ,8 ,X ,= 1 2 ,5 ,6 ,7 )

vx, = { 1 ,4 ,8 1 , (1 ,2 ,3 1 , { 2 ,5 ,6 ,7 1

c coi l khc nhau.

Chnh hp, Hon v, T hrp

11. C bao nhiu hon v ca cc ch ci trong XU ABCDEF m trong c cha xu

con DEF?

12. C bao nhiu hon v ca cc ch ci trong xu ABCDEF m trong c cha ba ch ci D, E, F ng cnh nhau?

13. C bao nhiu cch xp 6 ngi vo ngi quanh ci bn trn (hai cch xp khng coi l khc nhau nu chng c th thu c t nhau bi php quay bn trn)?

14. C bao nhiu cch xp 7 hc sinh nam v 5 hc sinh n ra thnh mt hng ngang sao cho khng c hai n sinh no ng cnh nhau?

15. C bao nhiu xu nh phn di 32 m trong c ng 6 s 1?

16. C bao nhiu xu k t c th to c t cc ch ciMISSISSIPPI

17. C 8 cun sch khc nhau. Hi c bao nhiu cch phn cc cun sch ny cho 3 hc sinh: M, M ai, M n sao cho M nhn c 4 cun cn Mai v M n mi ngi nhn hai cun?

43

Phn 1. L thuyt t hp

18. Gi s X l tp t phn t. Ta gi t hp lp chp k t t phn t ca X l mt b khng c th t gm k thnh phn ly t cc phn t ca XV d: b, c , cc t hp lp chp 2 t cc phn t c aX l

{a a), (a b), (a c), {b b), (b c), ( c c ) .

Chng minh rng s t hp lp chp k t t l:

C ( :^ -M ,M ) = C { :f^ l, :) .

19. C 3 r ng cc qu cu xanh, , tm. M i gi ch cha cc qu cu cng mu v mi gi cha ra l 8 qu cu.

(a) C bao nhiu cch chn ra 8 qu cu?(b) C bao nhiu cch chn ra 8 qu cu m trong c t nht ni qu cu ,

mt qu cu xanh, 1 qu cu tm?

20. Xt phircmg trnh:

X| + X2 + X3 + X4 = 29.

(a) Hi phng trnh cho c bao nhiu nghim nguyn dcmg?(b) Hi phng trnh cho c bao nhiu nghim nguyn khng m?

Nguyn l b tr

1. Hi trong on t 1 n 1000 c bao nhiu s hoc l s l hoc l s chnh phng

2. C bao nhiu xu nh phn di 8 khng cha 6 s' 0 lin nhau?

3. C bao nhiu s c 10 ch s vi cc ch s ch l 1, 2, 3 m trong mi ch s 1,2, 3 c mt t nht 1 ln?

4. C bao nhiu xu nh phn di 10 hoc l bt u bi 3 s 1, hoc l kt thc bi 4 s 0 ?

5. C bao nhiu s' nguyn dng nh hn 10000 chia ht cho 7 nhng khng chia ht cho 5 v 2?

6. C bao nhiu hon v ca cc s t nhin 1,2,...,10 m trong 3 s 1, 2, 3 khng ng cnh nhau theo th t tng dn?

7. Hi phng trnh

44

Clin 2. Bi ton m

X + X2 + X, + X4 = 29

c bao nhiu nghim nguyn khng m tho mn

X| < 3 , X2 < 12, ,1 :3 < 5, X4 < O .

8. Mt lp gm 50 hc sinh lm bi kim tra gm 3 cu hi. Bit rng m i hc sinh lmc t nht 1 cu v s hc sinh lm c cu 1 l 40, cu 2 l 35, cu 3 l 30. Chngm in h r l n g s h c s in h l m c c 3 cu k h n g V'jt qu 2 7

H thc truy hi

1. Gii cc h thc truy hi sau

(a) a = 2a. , n > , o^-3.

(b) a = 5 ., - 6 a , 2 , n > 2 ,o= l , a , = 0 .

(c) a = 4 a_, - 4 , n > 2 ,Q = 6, a, = 8.

(d) a = 4 a,2 , > 2, o = 0, | = 4.

(e) a = a J A , n > 2 ,ao = l , , = 0 .

2. Lp cng thc truy hi cho s l s cch chia mt hnh ch nht kch thc 2 X ra thnh cc hnh ch nht con c cilh slg song vi cnh ca hnh ch nht cho v

vi kch thc l 1 X 2, 2 X 1, 2 X 2. Gii h thc thu c.

3. Lp cng thc truy hi m F l s xu nh phn di n khng cha ba s 0 lin tip. T tnh F q.

4. Lp cng thc truy hi m Q l s' chnh hp lp chp n t ba ch s' 0, 1, 2 khng cha hoc l hai s 0 lin tip h o c l hai s 1 lin tip. T tnh Qf,. Gii h thc thu c.

5. Xt m a trn vung

(Q 1]A =

a) Chng minh rng

45

Phn I. L thuvt t hp

A' =F F ^ ^-1F Fn ^ /7fl y

trong F,, l s hng th n ca dy s Fibonaci.

b) Tnh det(/i"). T suy ra cng thc: F.F - ( F , f = (-1)".

Hm sinh

1. Vit cng thc di dng gii tch cho hm sinh ca c c dy s sau

a) a = y \ / 2 = 0 , 1 , 2 , . . .

b ) ^o, /,02^ ^ O, 1 , 0 , 1 , . . . }

2. Tim cng thc cho s hng tng qut ca dy s j a^l c hm sinh l

a) G{x) = 1/(1 - 2x);

b) (A-)= 1/(1 - x )^

c) (.v )= 1/(1 + x- 2 x ^ ) .

3. S dng hm sinh tm cng thc di dng hin cho dy s cho bi cng thc qui sau y:

a) = a + 2,Oo = -3;

b) 2a = a + a .o = 0 ,a , = 1;

c) a ^ 2 = - 2a + 2(3)", o = 1 ; ^ 1 = 2.

46

Ch^ 3. Bai on ton ui

3BI TON TN TI

3.1. Gii thiu bi ton

Trong mc trc, ta tp Irung ch vo vic m s cc cu hnh t hp (s phn t ca cc i tng t hp) thoa mn nhng tnh ch no , chng hn m s t hp, chnh hp, hon v, ... Trong nhim bi loan s ln ti ca cc cu hnh l hin nhin v cng vic chnh l m s phn t iho mn tnh cht t ra, Tuy nhin, trong rt nhiu bi ton t hp, vic ch ra s ln ti ca mt cu hnh tho nin cc tnh cht cho trc l ht sc kh khn. Chng hn, khi mt k th cn phi tnh ton cc nc i ca mnh gii p xem liu c kh nim thng hay khng, hoc l mt ngi gii m t m c n tm k i m c h a k h o gii c h o m t b c m t in m an h ta k h n g b i t l i u y c ng l bc in tht c m ho ca i phng hay khng, hay ch l bc mt m gi ca i phng tung ra nhm m bo an ton cho bc in tht Nh vy, trong t hp xut hin mt vn th hai rt quan trng l: xt s tn ti ca cc cu hnh t hp vi cc tnh cht cho trc. Cc bi ton thuc dng ny c gi l cc bi ton n ti t hp.

47

M t bi ton tn ti t hp xem nh gii xong nu hoc ch ra mt cch xy dng cu hnh, hoc chng minh rng chng khng c. Tuy nhin c hai kh nng u khng phi d. thy r s phc tp ca vn , di y ta s xt mt s' bi ton tn ti t hp c in ni ting.

3.1.1. B i to n v 36 s q uan

Bi ton ny c Euler ngh, ni dung ca n nh sau: c mt ln ngi ta triu tp t 6 trung on m i trung on 6 s quan thuc 6 cp bc khc nhau; thiu y, trung u, thng u, i u, thiu t, trung t v tham gia duyt binh s on b. Hi rng c th xp 36 s quan ny thnh mt i ng hnh vung sao cho trong mi mt hng ngang cng nh m i m t hng dc u c i din ca c 6 trung on v ca c 6 cp bc.

n gin ta s dng cc ch ci in hoa A, B, c , D, E, F ch cc phin hiu trung on cn cc ch ci thng a, b, c, d, e, f ch cc cp bc. Bi ton ny c th tng qut ho nu thay con s 6 bi n. Trong trng hp n = 4, mt li gii ca bi ton 16 s quan l

Ab Dd Ba CcBc Ca Ad DbCd Bb Dc AaDa Ac Cb Bd

M t li gii trong trng hp = 5 l

A a Bb Cc Dd EeCd De Ea Ab BcEb Ac Bd Ce DaBe Ca Db Ec AdDc Ed Ae Ba Cb

Do li gii ca bi ton c th biu din bi 2 hnh vung vi cc ch ci la tinh hoa v thng chng cnh nhau nn bi ton tng qut t ra cn c bit di tn gi bi ton v hnh vung la tinh trc giao. Trong hai th d trn ta c hnh vung la tinh trc giao cp 4 v 5.

Euler m t rt nhiu cng sc tm li gii cho bi ton 36 s quan th nhng ng khng thnh cng. V vy ng ra gi thuyt l cch xp nh vy khng tn ti. G i thuyt ny c nh ton hc Php Tarri chng minh nm 1901 bng cch duyt tt c m i kh nng xp. Euler cn c vo s khng tn ti li gii khi n=2 v /2=6 cn ra m t gi thuyt tng qut hcm l: khng tn ti hnh vung la tinh trc giao cp n = Ak + 2. G i thuyt ny tn ti sut hai th k, mi n nm 1960 ba nh ton hc M l Boce, Parker, Srikanda mi ch ra c m t li gii vi n = 10 v

Phn I . L thuyt t hp

48

Chng 3. Bi ton tn ti

sau ch ra phng php xy dng hnh vung la tinh trc giao cho m i n = 4k + 2, vi ' > 1.

Tng chng bi ton t ra ch c ngha thun tu ca m t bi ton hc ba th tr tu con ngi. Th nhng gn y ngi ta pht hin nhng ng dng quan trng ca vn trn vo quy hoch thc nghim, sp xp cc lch thi u trong cc gii c quc t, hnh hc x n h ,...

3.1.2. Bi ton 4 mu

C nhng bi ton m ni dung ca n c th gii thch cho bt k ai, tuy nhin li gii ca n th ai cng c th th tm, nhng m kh c th tm c. Ngoi nh l Ferm at th bi ton 4 mu l mt bi ton nh vy, Bi ton c th pht biu trc quan nh sau: chng minh rng mi bn trn mt phng u c th t bng 4 m u sao cho khng c hai nc lng ging no li b t bi cng mt mu. Ch rng, ta xem nh mi nc l mt vng lin thng v hai nc c gi l lng ging nu chng c chung bin gii l mt ng lin tc.

Hnh 1. Bn khng t c bi t hcm 4 mu

Con s 4 khng phi l ngu nhin. Ngi ta chng minh c rng mi bn u c t vi s mu ln hn 4, cn vi s' mu t hn 4 th khng t c, chng hn bn gm 4 nc trn hnh 1 khng th t c vi s mu t hcm 4.

Bi ton ny xut hin vo khong nhng nm 1850-1852 t m t nh bun ngi Anh l Gazri khi t bn hnh chnh nc Anh c gng chng m inh rng n c th t bng 4 mu. Sau , nm 1852 ng ta vit th cho De M organ thng bo v gi thuyt ny. Nm 1878, Keli trong m t bi bo ng Tuyn tp cc cng trnh ca Hi ton hc Anh c hi rng bi ton ny c gii quyt hay cha? T bi ton tr thnh ni ting, v trong sut hn mt th k qua c rt nhiu ngi lm ton, nghip d cng nh chuyn nghip, c gng chng minh gi thuyt ny. Tuy nhin

49

Phn . L huy t hp

mi n nm 1976 hai nh ton hc M l K.Appel v W .Haken mi chig minh c gi thuyt ny bng liy lnh in t. Tt nhin m t chng minh vi s gip ca my tnh in t khng thc s tho mn c nhu cu ca cng chng mun kim tra tnh ng n ca cch chng mnh. V vy, chnh hai tc gi trn vo cui nhng nm 1990 cho cng b mt cun sch trnh by v phng php chng minh ca mnh (cun sch dy trn 800 trang). C ns vo nhng nm cui ca th k 20, mt nhm cc nh ton hc Mv a ra mt chng minh c hk im ra h (ay\ Rt tic l chng minh ny cng khng phi l n gin. Cho n nay cc nh ton hc vn ang n lc nghin cu tm ra m t cch chng minh d hiu nh bn thn ni dune ca bi ton.

3,1.3. Hnh lc gic thn b

Nm 1910 Clifford Adams ra bi ton hnh lc Gc thn b sau: trn 19 lc eic (xem hnh v di) hy in vo cc s t 1 n 19 sao cho tng theo 6 hng ca lcgic bng nhau (v u bng 38).

Hnh 2. Hnh lc gic thn b

Sau 47 nm tri kin nhn cui cng ng ta tm c li gii. Sau v s nh mt bn tho ng ta tn thm 5 nm khi phc li. Nm 1962 Adams cng b li gii (xem hnh 2 ).

Tht khng th ng l l li gii duy nht (nu khng lnh n cc li gii sai khc nhau bi php bin hnh dn gin),

3.1.4. Bi ton chn 2n im trn li nxn im

Cho mt li vung gm nxn im, Hi c th chn trong s chng 2n im, sao cho khng c 3 im c chn no l thng hng hay khng? Hin nay ngi ta mi bit c rl t v li gii ca bi ton trong nhng lnh hung khng tm thng. Cu hi

50

ChU(//i}> 3 . B i on n l i

v s tn ti ca li gii ca bi ton vi nhng gi tr ln ca vn cn ng. Hnh 3 cho mt li gii vi n = 12:

Hnh 3. Mt li gii bi ton ca bi ton vi /7 = 1 2

3.2. Phng php phn chng

M t trong nhng cch gii bi ton tn ti l dng lp lun phn chng: gi thit iu n h c h n g m in h l s a i , t d n n m u thun.

Th d 1. Cho 7 on thng c d di ln hn 10 v nh hn 100. Chng minh rng lun tm c 3 on c th ghp llinli int tam gic.G ii: Ch rng, cn v 3 on c th ghp thnh mt tam gic l tng di ca 2 on nh phi ln hn di ca don ln, ta sp cc on cho theo th t t n g d n c a d i rt|, 2 , a-i v ch n g m i n h rn g tron g d y x p lu n tm c 3

on lin tip sao cho tng ca 2 on u ln hn on cui, Gi thit iu ny khng xy ra, ngha l ng thi xy ra cc bl ang thc:

20. T 2 > 10 v , > 20, ta nhn c 4 > 30, c nh vy ta nhn c /, > 50, > 80 v a-i > 130. Bt ngthc cui cng mu thun vi gi thit cc di nh hcfn 100 v iu chng minh kt lun ca bi ton.

51

Phn 1. L thuyt t hp

Th d 2. Cc nh ca m t thp gic u c nh s bi cc s nguyn 0, 1, , 9mt cch tu . Chng minh rng lun tm c ba nh lin tip c tng cc s l ln hn 13.

G ii: Gi ,r,, X2 , . .V|0 l cc s gn cho cc nh ca 1, 2, . . 10 ca thp gic. Gis ngc li l khng tm c ba nh no tho mn khng nh ca th d. Khi tac

:, = X| + X2 + X3 < 13,

= X 2 + X3 + ^ 4 < 13 ,

= X , + X|fj + X| < 1 3 ,

.'|Q = X|0 + X + X 2 1 3 ,

T suy rak + k2 + . . . + < 130.

Mt khc dok + k j + . . . + k^o = 3 (X / + X 2 + . . . + .r,o)

= 3 (0 + 1 + 2 + . . . + 9)= 1 3 5 ,

suy ra135 = k + k2 + . . . + kQ < 130.

Mu thun thu c chng t khng nh trong v d l ng.

Th d 3. Chng minh rng khng th ni 31 my vi tnh thnh mt mng sao cho mi my c ni vi ng 5 my khc.

Gii: Gi s ngc li l tm c cch ni 31 my sao cho mi my c ni vi ng

5 my khc. Khi s Img knh ni l 5x31/2 = 75,5 ?! M u thun thu c chng minh khng nh trong th d l ng.

3.3. Nguyn l Dirichlet

Trong rt nhiu bi ton t hp, chng minh s tn ti ca mt cu hnh vi nhng tnh cht cho trc, ngi ta s dng nguyn l n gin sau, gi l nguyn l Dirichlet;

Nguyn l Dirichlet. N u em xp nhu hn n i tng vo n ci hp, th lun tm c mt ci hp cha khng t hn 2 i tng.

52

Chng 3. Lii ton tn ti

Chng minh. Vic chng minh nguyn l trn ch l mt lp lun phn chng n gin. Gi s ngc li l khng tm c ci hp no cha khng t hn 2 i tng. iu c ngha l mi ci hp cha khng qu mt i tng. T suy ra tng s i tng xp trong n ci hp l khng vt qu n, tri vi gi thit l c nhiu hn n i tng c xp trong chng.

Lp lun hon ton tng t, c th chng minh Nguyn l D irichlet tng qut sau.

N guyn l D irich le tng qut. Nu em xp n i t xo k ci hp, th lun !m c mt ci hp cha khng t hn n/k di tng.

Nguyn l trn c nh ton hc ni ting ngi c l Dirichlet xut t th k 19 v ng p dng n gii nhiu bi ton tn ti t hp. Cc th d di y cho ta thy nguyn l c s dng nh th no.

Th d 1. Trong s 367 ngi bao gi cng tm c hai ngi c ngy sinh nht ging nhau bi v ch c tt c 366 ngy sinh nht khc nhau.

Th d 2. Trong k thi hc sinh gii im bi thi c nh gi bi mt s nguyn trong khong t 0 n 100. Hi rng t nht phi c bao nhiu hc sinh d thi cho chc chn tm c hai hc sinh c kt qu thi nh nhau?

G ii. Theo nguyn l Dirichlet, s hc sinh cn tm i 102, v ta c 101 kt qu im thi khc nhau.

Th d 3. Trong s' nhng ngi c mt trn tri t lun tm c hai ngi c hmrng ging nhau, bi v ch c tt c

2 '' = 4 294 967 296 hm rng khc nhau m s' ngi trn hnh tinh chng ta hin nay vt qu 5 t.

Th d 4. Trong 100 ngi c t nht 9 ngi sinh cng mt thng.

G ii: Xp nhng ngi cng sinh mt thng vo mt nhm. C 12 thng tt c. Vy theo nguyn l Dirichlet, tn ti t nht mt nhm c khng t hn 100/12 = 8,3... ngha l 9 ngi.

Th d 5. C nm loi hc bng khc nhau. Hi rng phi c t nht bao nhiu sinh vin chc chn rng c t ra l su ngi cng nhn hc bng nh nhau?

53

PLn I . L luvt t hp

G ii: S sinh vin t nht cn c m bo chc chn c 6 sinh vin cng nhn hc bng nh nhau l s nguyn nh nht n sao cho //5 > 5. S nguyn nh nht l -

5x5+1 = 26. Vy 26 l s lng sinh vin nh nht m bo chc chn l c su sinh vin cng hng mt loi hc bng.

T h d 6. Bin s' xe my phn khi ln gm 7 k t:^4N - NNN - XX,

trong hai k t u l m s a danh, ba k t tip theo l s hiu xe, mi k t l m t s t 0 n 9, hai k t cui l m ng k gm hai ch ci ly trong bng ch ci la tinh gm 26 ch ci. Hi rng, c 2 triu bin s xe my khc nhau th cn phi c t nht bao nhiu m a danh khc nhau?

G ii; Vi mi mt m a danh ta c 10\26^ = 676.10'^ bin s xe my khc nhau. V vy c 2 triu bin s xe my khc nhau, cn c t nht

2.107(676.10^), ngha l 3 m a danh khc nhau.

Trong nhiu ng dng th v ca nguyn l Dirichlet, khi nim i tng v ci hp cn phi c la chn mt cch khn kho hn. Tip theo, ta s dn ra m t vi th d nh vy.

T h d 7. Trong mt phng hp bao gi cng tm c hai ngi c s ngi quen trong s nhng ngi d hp l bng nhau.

G ii; Gi s ngi d hp l n, khi s ngi quen ca mt ngi no trong phng hp ch c th nhn cc gi tr t 0 n /-1. R rng trong phng khng th ng thi c ngi c s ngi quen l 0 (tc l khng quen ai c) v c ngi c s ngi quen l n- (tc l quen tt c). V vy, theo s' lng ngi quen ta ch c th phn n ngi ra thnh /7-1 nhm. Theo nguyn l Dirichlet suy ra c t nht mt nhm phi c khng t hcfn hai ngi, tc l lun tm c t ra l hai ngi c s ngi quen l bng nhau.

Bi ton ny c th pht biu di dng ngn ng hnh hc nh sau: trn mt phng cho n im , gia chng c mt s im c ni vi nhau bi cc on thng. Khi bao gi cng tm c hai im c cng mt s cnh ni pht ra t chng.T h d 8. Trong mt thng gm 30 ngy mt i bng chuyn thi u mi ngy : nht mt trn, nhng khng chi qu 45 trn. Hy chng minh rng phi tm c mt giai on gm m t s ngy lin tc no trong thng sao cho trong giai on i chi ng 14 trn.

G ii: G i s Qj l tng s trn thi u cho n ht ngy th j ca i. Khi

54

Cliif(/ni> B i ton t/ ii l i

, J...... /,,,

l dy tng cc s nguyn dng v ng thi ] < / < 45. Suy ra dy

/1 +14, + 14, , /|J + 14

cng l dy tne cc s nguyn dna v 15 < /, +14 < 59.Tt c c 60 s nguyn dng

|. , a ( /| + '4 6'2+14, ... /,,,-^14,

trons tt c u nh hn hoc bang 59. V vv iheo nguvn l Dirichlet, hai trong scc s nguyn ny phi l bng nhau. V cc s / |...... l i mt khc nhau v ccs | + 14......3,,+ 14 cng l i mt khc nhau, nn suy ra phi tm c ch s ; v jsao cho a = 14. iu c ngha l c ng 14 trn u trong giai on t ngy +1n ngy /.

'/h d 9. Chng minh rng, trong s + 1 s nguyn dng, mi s khng ln hn 2/7, bao gi cng tm c hai s sao cho s ny chia ht cho s' kia.

Gii: Gi cc s cho l

Vit mi mt s j trong /+1 s trn di dng:

a = , ./ = 1, 2 , n +1

trong l nguyn khng in. / , l s l. Cc s /|, /,. .... /^| l cc s nguyn l mi s khng ln hn 2n. Do trong on t 1 n 2n ch c n s l, nn t nguyn l Dirichlet suy ra l hai trong s cc s /|, q^. /+i l bng nhau, tc l tm c hai

ch s' i v j sao cho q = (J = q. Khi a = 2 ^ 'f / , tij = 2 ^ iq . Suy ra nu k < kj th J

chia ht cho a,, cn nu k > kj th /, chia ht cho Uj.

T h d 10. Trong mt phng cho 6 im c ni vi nhau tng i m t bi cc cung mu xanh hoc mu . Chng minh rng lun tm c 3 im sao cho cc cung ni chng c cng m t mu (ta s ni l chng to thnh tam gic xanh hoc ).

Gii: Chn im p no . T n c 5 cung ni vi 5 im cn li. Theo nguyn l Dirichlet, c 3 trong s 5 cung phi c cng mt mu, chng hn l m u xanh. Gi s l cc cung PA, PB, PC. Nu nh mt trong s 3 cung AB, AC, BC c mu xanh th n cng vi hai trong s' ba cung PA, PB, PC to thnh m t tam gic xanh. Nungc li th tam gic ABC l mt tam gic .

55

Phn 1. L thuyt t hp

T h d 11. Trn mt phng cho 9 im c ni vi nhau i m t bi cc on ni c mu xanh hoc sao cho trong s 3 im bt k bao gi cng tm c hai im c ni vi nhau bi on ni mu . Chng minh rng trong s cc im cho lun tm c 4 im m cc on thng ni chng u c m u .

Gii: Gi 9 im cho l A, B, c , D, E, F, G, H, I. Xt 2 trng hp:

a) Tim uc mt im l u mt ca t nht 4 on ni mu xanh chng hn im l A v cc on mu xanh l AB, AC, AD, AE. Theo gi thit, trong s cc on ni bt k 3 im no cng c t nht mt on mu , suy ra cc on BC, BE, BD, CD, CE, ED l mu . Vy B, c , D, E l bn im cn tm.

b) M! im u l u m t ca nhiu nht ! 3 on ni mu xanh. Trong trng hp ny, khng th tt c 9 im u l u m t ca ng 3 on ni mu xanh (chng minh tng t nh trong th d 3, mc 3.2), t suy ra phi tm c im (I chng hn) l u mt ca nhiu nht l 2 on ni mu xanh. Khi I l u mt ca t nht 6 on mu , chng hn lA , IB, IC, ID, lE , IF. Theo kt qu ca th d 10, trong s 6 im A, B, c, D, E, F phi c t nht 3 im, chng hn A, B, c, sao cho cc on ni chng c cng mu, v t gi thit suy ra mu phi l mu . Vy I, A, B, c l bn im cn tm.

3.4. H i din phn bit

Trong nhiu tnh hung, s tn ti ca cu hnh t hp ph thuc vo m t s iu kin rng buc cc tham s ban u. M t trong nhng hng gii quyt l ngi ta c' gng pht hin ra cc iu kin . Bi ton h i din phn bit trnh by di y l m t minh ho cho hng tm kim ny.

Gi s 5 |, S2, s, l m t h cc tp con ca m t tp hp s (cc s, khng nht thit khc nhau), Ta gi m t b c th t Q/, 2 , a, l mt h i din phn hit ca hny nu a, 6 5, v a, (/ T j). H i din phn bit c vit tt l TRA N (transversal) v thnh phn , ca h c gi l i din ca tp con S {i = 1 , m).

T h d. 5 = 11 ,2 , 3 ,4 ,5 } , S ;= {2, 5}, 5 ,= 12, 5 ), 5 ,= { 1 ,2 ,3 ,4 1 ,5 ,= 1 1 ,2 ,5 } c TRAN l (2, 5, 3, 1). M t TRAN khc ca h ny l (5, 2 ,4 , I).

Khng phi lc no cng tm c TRAN. M t iu d nhn thy l nu h ang xt c TRAN, th mi hp ca k tp bt k trong h phi c t nht k phn t (v lun tm dc k i din khc nhau ca k tp ). Ni khc i, nu tm c k tp no ca h, m hp ca chng c t hn k phn t, th chc chn h ang xt s khng c

56

Chi J. Bai fOiin tn i

TRAN. Chng hn trong Ih d trcn, nu thay tp 5, ca h ang xt bi tp (2, 5}, th

h ny s khng tn ti TRAN, v .S'| u u S4 = 12, 5 c t hn 3 phn t.p. Hall chng minh c iu kin cn va nu, cng ng thi l cho s tn

ti TRAN, qua nh l nh gi cn di ca s TRAN di y:

nh l H all. Gid s cc tp con S/. ......s, to mn iit kin:A '( .S /u 5 ,- ^ u . . .u 5 / ) > : f l)

vi mi 1 < k < m. 1 < /, < 2 < ... < /; 1 m vi mi p con ny cha u nht t phn t. Khi d:

. nu t < m th h dang xt c t nlr r\ TRAN

. nu t > m th h an^ xt c t nht t\l{t-m)\ TRAN .

iu kin (1) c gi l iu kin Hall v ta gi mt h con ca h 5 |, S 2 , .... s, l ti hn nu i vi n bt ng thc ( 1) tr thnh ng thc.

C hn m inh. Quy np theo m. Vi m = , Vd c t = r\/{t-\) TRAN, nh l ng. Gis nh l ng cho mi h tp con ca s c t hn m tp. ta cn chng minh nh lng cho h tp con gm m tp. Chia lm 2 trng hp:

. Khng c h con ti hn. Chn V| l mt phn t ca 5|. Loi n ra khi $2 , S,s, (nu c mt) v gi h nhn c l S2 ', 5 , '.....s,'. D dng th li h ny tho

mn iu kin Hall v mi tp thuc h c t nht -I phn t. ITieo gi thit quy np h

ny c t nht (r-1)! TRAN khi /-1 < m-\ hay < m v c t nht (-l)!/(/-m )! khi r-1 >m -l hay > rn. M t khc, mi TRAN ca '2', 5 , '.....s,' cng vi |, xc nh mtTRA N ca S, 5 ;...... s, (d ai din cho iu nv tlng cho mi cch chn |trong s' t nht / cch chn n t T nhn c nh gi cn chng minh.

. C mt h con ti hn. Khng uit tnh tng qut, c th gi thit h l S|, Sj,

S). [k < m). T s tn ti ca h con ti hn suy ra t < k, v vy theo gi thit quynp, h S|, S 2 ...... 5*. c t nht r! TRAN. Gi T'= (rt|. ......ct) l m t TRAN nh th.B cc phn t ca T \ nu c mt, ra khi cc tp 5*^,1, s, v gi cc tp thu c lS\^ ....... S ,. Khi h 5 ........S , s tlio mn iu kin Hall. Tht vy, nu c mth con gm k' tp ca h ang xt, m hp ca chng t hn k' phn t, th h con gmk+k' tp ca h 5 |. ...... s nhn c bng cch ghp h con ny vi h 5|, S 2 , 5*.s c hp t hn k+k' phn t v iu ny l mu thun vi gi th i tcu a n h l. Nh vy h 5 s c t nht mt TRAN. Ly t nht /! TRAN ca h S | . s . g h p vi TRAN ny, ta c t nht t\ TRAN ca h S|, S j , s,. nh l c chng minh.

Vic xt s tn ti cng nh xy dng TRAN c nhiu ng dng trong thc t. Di y l mt s bi ton m vic gii quyt n c a v vic xy dng TRAN.

57

Phn I . L thuyt t hp

Bi ton ngi th i hnh . C m ngi thi hnh v n cng vic. Gi s vi mi ngi thi, ta bit c tp S l tp hp cc cng vic m ngi c th lm. Hi c th phn cng mi ngi lm mt vic khng?

Li gii ca bi ton c dn v vic xt s tn ti TRAN ca h S ,} v vic xy dng mt TRA N chnh l xy dng m t s phn cng nh th.

Bi ton chuyn m ch. Xt m t h thng chuyn mch n gin gm 2 nhm cc cc; u vo v u ra. Ti u vo s xut hin i hi v ni mch, i hi ny c th c tho mn bng cch ni n vi mt u ra no . Tp hp cc u vo c i hi ni mch c gi l danh mc i hi. u vo ni vi u ra qua m t mch ni v mch ni ny cn phi khng c bn ngha l n cha phc v cho u vo no. Cc inch ni nh vy gi l danh mc t do. K hng gim tng qut, ta c th coi rng danh mc i hi gm m u vo u tin v 5, l tp cc ch s cc mch ni t do m theo , i hi t u vo / c th c chuyn ti mt u ra. Nu h 5 |, 5, cTRAN th dng vo gm m i hi c th c phc v bi thit b chnh mch. Trong trng hp khng tn ti TRAN th cn phi iu chnh li cc mch ni chn cch ni khc.

Bi ton m ci vng qu. Ti mt lng qu n c m chng trai n tui iy v. Vi mi chng trai /, ta bit tp 5, cc c gi m chng ta thch. Hi rng c th ghp mi c cho mi chng m chng no cng va hay khng? R rng bi ton c dn v vic xt s tn ti TRA N ca h {S, }. Trong trng hp tn ti, mi TRAN s tcfng ng vi mt cch ghp m ong mun.

Trong nhng trng hp s tn ti ca TRAN l hin nhin th ngi ta quan tm n vic m hoc lit k chng. Di y l hai th d m TRAN m kt qu m c dn v cc cu hnh bit.

T h d 1. Xt tp { 1 , 2 , n]. m s TRAN ca h tp con

s, = s-{i}, 1

C hni 3. Bi ton tn li

1 l i din cho S. Khi cc thnh phn cn li s l mt h i din ca h{2, 3}, {2, 3, 4 | , (-1, //}. Do vy loi ny c f.| TRAN.

2 l i din cho s,. Khi bt buc 1 phi l i din cho S2 v cc thnh phncn ii s ! mt h i din ca h {3, 4. {3, 4, 5}, {rt-1, /2}.Vy loi nyc F .2 t r a n .

T nhn c h thc = F,,.! + F,2. Cc gi tr F = 1, p 2 = 2 c tnh trc tip. y cng l h thc truy hi xc nh cc s Fibonaci (xem choig 2).

3.5. nh l Ramsey

3.5.1. Bi to n m u

Trong mc 3.3 ta xt bi ton: Trong mt phng cho 6 im c ni vi nhau tng i mt bi cc on ni mu xanh hoc mu . Chng minh rng lun tm c 3 im sao cho cc on ni chng c cng mt mu (ta s ni l chng to thnh tam gic xanh hoc ).

Lp lun gii bi ton c da trn nguyn l Dirichlet.

M t cch pht biu khc ca kt qu va chng minh l: Trong s 6 ngi ti mt bn tic lun tm c hoc ba ngi i mt quen nhau hoc ba ngi i mt khng quen nhau.

Trong mc ny chng ta s cn kho st cc vn : Hi t nht phi c bao nhiu ngi chc chn tm c hoc 4 ngi i mt quen nhau hoc 4 ngi i mt khng quen nhau? Hi t nht phi c bao nhiu ngii cl chc chn tm c hoc 5 ngi i mt quen nhau hoc 5 ngi i mt khng quen nhau?

Con s nh nht va ni n trong cc cu hi va nu c gi l cc s' Ramsey, mang tn nh ton hc ngi Anh chng minh c nh l ni ting trong l thuyt tp hp l s tng qut ho nguyn l Dirichlet.

3.5.2. C c s R am sey

c th pht biu nhng kt qu tng qut hn chng ta cn n mt s khi nim.

nh ngh a 1. Gi K l b ^m hai tp V, E, ron^ V l tp gm n im cn E l tp cc on ni gia tt c cc cp im trong E. Ta s k hiu K = {V, E). Ta s gi cc phn t ca V l cc nh, v V l tp nh ca K^ ,. Mi on ni hai nh u, V e V s c gi l mt cnh ca K v k hiu l {u, v), v tp E c gi l tp cnh ca K.

59

Phn I . L thuyt t hp

Ta c th pht biu li kt qu nu trong mc trc nh sau: Gi s mi cnh ca ' c t bi mt trong hai mu xanh hoc . Khi A"(, lun cha hoc vi tt c cc cnh c t mu xanh (gi tt l xanh) hoc vi tt c cc cnh c t mu (gi tt i K ). Chng ta s ni rng s 6 c tnh cht (3,3)-Ramsey. Tng qut hn ta c nh ngha sau.

nh ngha 2. Gi s i v j l hai s nguyn sao cho > 2 , j > 2, S nguvn di m c tnh cht {i,j)-Ramsey nu K, vi mi cnh c t hi mt trong hai mu xanh, lun cha hoc l K hoc l Kj xanh.

T kt qu mc irc ta thy 6 c tnh cht (3,3)-Kam sey. Nhng liu 6 c phi l s nh nht c tnh cht ny hay khng? Gi s cc cnh ca K c t mu nh ch ra trong hnh v di y ( - m , xanh - nht).

R rng khng th tm c (m) cng nh khng th tm c K xanh (nht). Nh vy s 5 khng c tnh cht (3,3)-Ram sey. D dng thy rng mi s nguyn dng nh hn 5 cng khng c tnh cht (3,3)-Ram sey. Vy 6 l s nh nht c tnh cht ny.

nh ngha 3. S Ramsey R(i,j) l s nguyn dng nh nht c tnh cht j)-R am sey .

Chng hn, t kt qu va trnh by trn, ta c R(3,3) = 6, v 6 c tnh cht (3,3)- Ramsey, v nhng s nguyn dng nh hcfn n khng c tnh cht ny.

T h d 1. Tim R (2 ,l) - s nguyn dng nh nht c tnh cht (2,7)-Ramsey.

Gii: Trc ht ta tm s nguyn dcng n sao cho vi mi cch t cc cnh ca K bi hai mu xanh, lun tm c hoc K 2 hoc xanh. R {2J) l s' nh nht c tnh cht ny. Xt m t cch t mu (tu ) cc cnh ca K-. R rng hoc l tm c t nht

60

C l i i f i i ' i i i ; Bi tun n l i

mt cnh ca K-, c t mu . hoc l lt c cc cnh ca n u c t bi mu xanh. Nu c cnh t mu th r rng ta c . Cn nu tt c cc cnh u t bi

mu xanh th ta c xanh. Vy s 7 c tnh cht (2,7)-Ramsey, v v th/?(2,7) < 7.Nhng R {2J) khng th nh hn 7, bi v nu t tt c cc cnh ca K(, bi mu

xanh ta s khng tm c K 2 v cng khng tm c K-, xanh.Vy R(2,l) = 1.

S dng p lun trong v d va rnh by ta c th ch ra rng:R{2,k) = k, vi mi k > 2.

Cc tnh cht c bn sau y ca s Ramsey R ii j ) c th chng minh bng cc lp luntng t nh trong cc v d trnh by:

1. RiiJ) = R(j,i2. Nu m c tnh cht ( /j)-Ranisey, th mi s' n > m cng c tnh cht ny;3. Nu m khng c tnh cht (/,y)-Ramsey, th mi s n < m cng khng c tnh

chr ny;

4. Nu /, > /2 th R J ) > R S-

rng khi tm s /?(/,;) ta cn xt s tn ti ca K hoc Kj xanh; ngha l mu lin quan n bin /, cn mu xanh lin quan n bin j. Tng t nh vy, khi tm R.i), mu lin quan n j cn mu xanh lin quan n /. Do R,/) = R(J,i) nn ta ch cn quan tm n hoc l R, c cc cnh c t bi cng m t mu (gi tt l /?, cng mu), hoc Rj cng mu.

Vic xc nh s' Ranisey R{,j) i hi chng ta phi tm s nguyn ducfng nh

nht c tnh cht ( /j)-R am sey. Mt cu hi t ra l: Liu s ny c tn ti vi mi i >

2 , j > 2 hay khng? B v nh l di y s tr li cu hi t ra.

B 1. Nu i > 3 v j > 3 th

R{i,j) < /? ( /> ! ) + /?(/-!,i), (1)

C hng m inh. G i s m = R { i j - \ ) + R{i-\j) . Ta s chng minh vng m c tnh cht (/,/)-Ram sey. Gi s cc cnh ca K, c t bi hai mu xanh, , v V l mt nh ca K,.Ta phn tp nh V ca K, ra lm hai tp;

A - t p t t c c c n h n i v i V b i c n h ;

B - t p t t c c c n h n i v i V b i c n h x a n h .

DolAI + ISI = lAuSI = m - = RHJ-1) + R{i-J) -1

61

Phn J . L thuyt t hp

nn hoc l \A\ > R (i-J ) hoc l \B\ > Thc vy, nu tri li ta c Iy4l < R -\J)v Il < R{i,j-1), t suy ra iu phi l sau

m - \ = \AkjB\ < R{i,i-1) + /?(/-1 j ) -1 = /?7 -1 .

Xt trig hp 1/41 > /?(/-l j ) . Gi l b gm tp nh A v tp cnh l cc cnh ni cc nh trong A ca K,. Ta s ch ra rng K ^ hoc cha K, hoc cha xanh.

Do MI > /?(/-!,/), nn hoc cha T,.| hoc cha Kj xanh. Nu K,^ cha /?,.| th b sung vo n nh V v cc cnh ni y vi cc nh trong A ta th c R. . Vy /^ 1 ( 1 v d o K lun cha hoc hoc Kj xanh.

Trng hp \B\ > R{,j-\) c xt tng t.Nh vy m c tnh chi (/,)-Ramsey, l suy ra bt ng thc ( i ) uc chng

minh.

T kt qu ca b s dng php qui np ton hc ta c th chng m inh kt qu sau y;

nh l 1 ( nh l R am sey). N u i > 2 , j > 2 l cc s nguyn dn th lun tm dc s nguyn dnq vi tnh cht {,j)-Ramsey {t suy ra s'R{iJ) l tn ti).

C h ng m inh . G i s P(n) l m nh sau:P{n): N u i + j = n th lun tm c s'nguyn vi tnh cht (iJ)-Ramsey.

Khi / = 4, ta c i = j = 2, t kt qu ca v d 1 suy ra P{4) l ng. G i s P(n) ng, ta phi chng m inh P(n+l) cng ng. Gi s i + j = /+1. Suy ra / + (/-!) = n v (/-1) + j = n . Theo gi thit qui np, lun tm c s nguyn c tnh cht (i, j - 1 )-Ram sey v s nguyn vi tnh cht (/-1, )-Ramsey. T suy ra cc s R{i,j-\) v l tn ti.T v t bt ng thc (1) suy ra s Rii,j) cng tn ti. Vy / (/?+1) l ng.

Theo nguyn l qui np P(n) ng vi m i / > 2 ,y > 2. T suy ra R {ij) lun tn

ti vi m i