Toate Problemele Pentru Memorator

www.neutr

ino.ro

Înţelegerea matematicii pe baza memoratorului

1

Capitolul 1 Paralelism şi calcul vectorial

Problema 1: Fie ABCDEF un hexagon oarecare, arătaţi că: a) AD BE CA BD CE+ + = + b) AD BE EC BD AC+ + = + c) BD AE FB AD FE+ + = + d) BD AE FB AD FE+ + = + e) FE AD EA CF CB BD+ + + = + f) FE BC DB AD AE FC+ + + = + Problema 2: Arătaţi că:

a) ( )AM mediana în ABCΔ ⇔ ( )12

AM AB AC= +

b) ( )BN mediana în ABCΔ ⇔ ( )12

BN BA BC= +

c) ( )CP mediana în ABCΔ ⇔ ( )12

CP CA CB= +

d) Dacă M, N, P sunt mijloacele laturilor (BC), (CA), respectiv (AB) ale unui triunghi ABC, calculaţi AM BN CP+ + Soluţie:

" "⇒ AM−mediană în ABCΔ ( ) ( )1 ?2

AM AB AC⇒ = +

În

În

adunăm 2

ABM AM AB BM

ACM AM AC CM

AM AB AC BM CM

Δ ⇒ = +

Δ ⇒ = +

⇒ = + + +

Dar, ( )M este mijlocul lui BC , vectori opuşiBM CM⇒

( )10 22

BM CM AM AB AC AM AB AC⇒ + = ⇒ = + ⇒ = +

Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu

2

" "⇐ ( )12

AM AB AC= + ⇒ AM−mediana în ABCΔ ( )?

( )

În

În

adunăm 201Dar, 2

2

ABM AM AB BM

ACM AM AC CM

AM AB AC BM CMBM CM

AM AB AC AM AB AC

Δ ⇒ = +

Δ ⇒ = +

⎫⇒ = + + +⎪ ⇒ = + ⇒⎬

= + ⇒ = + ⎪⎭

[ ] [ ] ( ) mijlocul lui BCBM CM BM MC M⇒ = − ⇒ ≡ ⇒ ⇒

AM−mediană în ABCΔ Problema 3: Arătaţi că: a) G este centru de greutate pentru ABCΔ 0GA GB GC⇔ + + = b) G este centru de greutate pentru DEFΔ 0GD GE GF⇔ + + = c) G este centru de greutate pentru PRQΔ 0GP GR GQ⇔ + + = Solutie : a) " "⇒ G − centru de greutate

( )0 ?GA GB GC⇒ + + = Luăm punctele '; '; 'A B C astfel încât '; '; 'AA BB CC să fie mediane ale ABC GΔ ⇒ va fi la intersectia acestora. Vom

avea deci 2 '3

AG AA= şi cum

( )1'2

AA AB AC= ⋅ + obţinem ( ) ( )2 2 1 1'3 3 2 3

AG AA AB AC AB AC= = ⋅ ⋅ + = ⋅ +

În mod analog avem ( )13

BG BA BC= ⋅ + , ( )13

CG CA CB= ⋅ + şi

adunând obţinem :

( )1 03

AG BG CG AB AC BA BC BG CA CB+ + = ⋅ + + + + + + = ⇒

www.neutr

ino.ro


3

0GA GB GC+ + = " "⇐

0AG BG CG+ + = rezultă G centru de greutate pentru ( )?ABCΔ

Fie 'C mijlocul lui AB ( )1' 2 '2

GC GA GB GA GB GC⇒ = + ⇒ + = ⋅ .

Din 0GA GB GC GA GB CG+ + = ⇒ + = , aşadar 2 'GC CG⋅ = , deci vectorii ' şi GC CG sunt coliniari. Cum punctul G este comun, obţinem că punctele , , 'C G C sunt coliniare. Dar 'CC mediană, şi cum G centru de greutate pentru ΔABC Problema 4: Arătaţi că: a) G este centru de greutate pentru ABCΔ ⇔ pentru orice punct M al planului avem relaţia: 3MA MB MC MG+ + = b) G este centru de greutate pentru DEFΔ ⇔ pentru orice punct M al planului avem relaţia: 3MD ME MF MG+ + = c) G este centru de greutate pentru PRQΔ ⇔ pentru orice punct M al planului avem relaţia: 3MP MR MQ MG+ + = Solutie : a) " "⇒ G este centru de greutate pentru ABCΔ ⇒ pentru orice punct M al planului avem relaţia: ( )3 ?MA MB MC MG+ + =

3

MA MG GA

MB MG GB MG MA MB MC GA GB GC

MC MG GC

= +

= + => = + + + + +

= +

Dar, G centru de greutate, deci 0GA GB GC+ + = ⇒3MA MB MC MG+ + =

b) " "⇐ pentru orice punct M al planului avem relaţi 3MA MB MC MG+ + =

2 'GC CG⋅ = ⇒


4

⇒ G este centru de greutate pentru ( )?ABCΔ Obţinem analog ca mai sus

3

MA MG GA

MB MG GB MG MA MB MC GA GB GC

MC MG GC

= +

= + ⇒ = + + + + +

= +

şi cum MG3MCMBMA =++ rezultă 0GA GB GC+ + = , aşadar G centru de greutate pentru ABCΔ Problema 5: a) Arătaţi că ABCD paralelogram ⇔ pentru orice punct M al planului avem relaţia: MA MC MB MD+ = + b) Arătaţi că EFGH paralelogram ⇔ pentru orice punct M al planului avem relaţia: ME MG MF MH+ = + a) Arătaţi că XYZT paralelogram ⇔ pentru orice punct M al planului avem relaţia: MX MZ MY MT+ = + Soluţie : a) Vom demonstra prin echivalenţă că ABCD−paralelogram MA MC MB MD⇔ + = +

MA BM MD CM⇔ + = + BA CD⇔ = ⇔ paralelogramABCD − Problema 6 :

a) Dacă ( ) cu BMM BC kMC

∈ = , arătaţi că pentru orice punct A al

planului, avem relaţia : ACk1

kABk1

1AM+

++

=

b) Dacă ( ) cu EMM EF kMF

∈ = , arătaţi că pentru orice punct D al

planului, avem relaţia : 11 1

kDM DE DFk k

= ++ +

c) Dacă ( ) cu YMM YZ kMZ

∈ = , arătaţi că pentru orice punct X al

www.neutr

ino.ro


5

Soluţie : ( )1AM AB BM= +

Din BM k BM k MCMC

= ⇒ = ⋅ .

Deoarece şi BM MC au acelaşi sens BM k MC⇒ = ⋅ Înlocuind în relaţia ( )1 ⇒

AM AB kMC= + ⇒ ( )AM AB k AC MA= + +

( 1) : ( 1)AM k AM AB k AC k AM AB k AC k⇒ + = + ⇒ + = + + ⇒

11 1

kAM AB ACk k

⇒ = ++ +

Problema 7: Fie ABCDEF un hexagon regulat şi punctele

, , , , ,G H I J K L astfel încât: 12 , 2 , ,2

AG GB BH HC CI CD= − = =

3DE EJ= , 1 , 32

EK KF FA FL= = − . Determinaţi:

a) AJ în funcţie de şi CD CE b) AK în funcţie de şi CD CE c) AL în funcţie de şi CD CE d) AG în funcţie de şi CD CE Problema 8: În reperul cartezian ( ), ,O i j fie punctele

( ) ( ) ( )1,2 , 3, 2 , 1,4A B C− − şi ( )1, 2D − − . a) Scrieţi vectorii de poziţie pentru punctele , , ,A B C D . b) Exprimaţi vectorii , , , , , ,AB BC CD DA AC AD BD respectiv DB în funcţie de vectorii de poziţie ai capetelor acestor segmente. c) Scrieţi vectorii de poziţie ai mijloacelor segmentelor , ,AB BC

,CA DB şi AD .


6

Problema 9:

a) Arătaţi că M mijlocul segmentului ( )12M B CBC r r r⇔ = +

b) Fie segmentul BC şi M aparţine dreptei BC cu BM kMC

= . Dacă

A este un punct oarecare al planului, atunci avem relaţia: 1

1 1M B Ckr r r

k k= ⋅ + ⋅

+ +

c) Arătaţi că G este centrul de greutate al triunghiului ABC

( )13G A B Cr r r r⇔ = + +

d) Arătaţi că medianele unui triunghi sunt concurente e)Arătaţi că ABCD paralelogram A C B Dr r r r⇔ + = + Problema 10: a) Fie ABCΔ cu 3 , 2AB AM CN AN= ⋅ = − ⋅ . Atunci MN BC b) Fie ABCΔ cu 4 , 3AB AM CN AN= ⋅ = − ⋅ . Atunci MN BC c) Fie ABCΔ cu 5 , 4AB AM CN NA= ⋅ = ⋅ . Atunci MN BC Problema 11: a) Fie ABC un triunghi şi , ,M N P puncte pe dreptele ,AB AC şi

respectiv BC cu 3 7 2, ,2 3 7

AM MB CN NA BP PC= = = − . Arătaţi că

punctele , ,M N P sunt coliniare b) Fie ABC un triunghi şi , ,M N P puncte pe dreptele ,AB AC şi

respectiv BC cu 1 3 3, ,5 5 25

MA MB NC NA PC PB= − = − = . Arătaţi

că punctele , ,M N P sunt coliniare

www.neutr

ino.ro


7

Problema 12:

a) Dacă 3 1' 2 ' , ' ' , ' ' ,2 3

AC C B BA A C CB B A= = = atunci dreptele ''' ,, CCBBAA sunt concurente.

b) Dacă 3' 2 ', ' ' ,3 ' ' ,2

AC BC BA A C CB B A=− = = atunci dreptele ''' ,, CCBBAA sunt concurente.

Problema 13: Determinaţi coordonatele vectorului AB în situaţiile următoare: a) ( ) ( )2,1 , 3,5A B b) ( ) ( )2,1 , 3, 5A B− − c) ( ) ( )2,1 , 4, 5A B− − − d) ( ) ( )2,1 , 2,7A B e) ( ) ( )1,0 , 0,1A B f) ( ) ( )3,1 , 2, 5A B − − Problema 14: Determinaţi modulul vectorului AB în situaţiile următoare: a) ( ) ( )2,1 , 3,5A B b) ( ) ( )2,1 , 3, 5A B− − c) ( ) ( )2,1 , 4, 5A B− − − d) ( ) ( )2,1 , 2,7A B e) ( ) ( )1,0 , 0,1A B f) ( ) ( )3,1 , 2, 5A B − − Problema 15: Determinaţi, în fiecare caz, valorile reale ale lui m, pentru care vectorii consideraţi sunt perpendiculari: a) 2( 3) , 4 ;u m i m j v i j= + ⋅ + ⋅ = − ⋅ b) 2 2 , 4 ;u m i j v m i j= ⋅ − = ⋅ + ⋅ c) 2 , 3 6 ;u m i j v i j= ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ Problema 16: Determinaţi, în fiecare caz, valorile reale ale lui m, pentru care vectorii consideraţi sunt paraleli: a) ( 3) , 4 4 ;u m i j v i j= + ⋅ + = − ⋅ b) 2 2 , 4 ;u m i j v i m j= ⋅ + = + ⋅ c) 2 , 3 6 ;u m i j v i j= ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅


8

Problema 17: Determinaţi produsul scalar al vectorilor : a) 3 2 , 2 3 ;u i j v i j= ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ b) , 2 ;u i j v i j= + = ⋅ − c) , 2 ;u i j v i j= + = ⋅ + d) 3 2 , 5 2 ;u i j v i j= + = ⋅ −

e) ( )( )3 , 5, , 30u v m u v= = = °

f) ( )( )2 , 3, , 60u v m u v= = = °

g) ( )( )2 , 5, , 15u v m u v= = = °

h) ( )( )3 , 4, , 75u v m u v= = = °

Problema 18: Determinaţi cosinusul unghiului dintre vectorii : a) 3 2 , 2 3 ;u i j v i j= ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ b) , 2 ;u i j v i j= + = ⋅ − c) , 2 ;u i j v i j= + = ⋅ + d) 3 2 , 5 2 ;u i j v i j= + = ⋅ − Problema19: Determinaţi coordonatele vectorilor AB şi exprimaţi vectorul AB în funcţie de versorii ,i j în situaţiile următoare: a) ( ) ( )2, 1 , 3,2 ,A B− b) ( ) ( )2,0 , 2,2 ,A B

c) ( ) ( )2, 1 , 3, 1 ,A B− − d) ( ) ( )2, 1 , 3,1 ,A B− Problema 20:Calculaţi lungimile fiecăruia dintre vectorii următori: a) 2 3u i j= + b) 2 3u i j= − c) 3 2u i j= + d) 3 2u i j= − Problema 21: Determinaţi coordonatele mijlocului M al segmentului AB în fiecare din situaţiile următoare: a) ( ) ( )2, 1 , 3,2 ,A B− b) ( ) ( )2,0 , 2,2 ,A B

c) ( ) ( )2, 1 , 3, 1 ,A B− − d) ( ) ( )2, 1 , 3,1 ,A B− Problema 22: Determinaţi coordonatele centrului de greutate G al triunghiului ABC în fiecare din situaţiile următoare: a) ( ) ( ) ( )2, 1 , 3,2 , 3,2 ,A B C− − b) ( ) ( ) ( )2,0 , 2,2 , 3,2 ,A B C −

c) ( ) ( ) ( )2, 1 , 3, 1 , 3,2 ,A B C− − − d) ( ) ( ) ( )2, 1 , 3,1 , 3,2 ,A B C− −

www.neutr

ino.ro


9

Problema 23: Determinaţi coordonatele punctului M ce împarte segmentul AB în raportul k indicat: a) ( ) ( )2, 1 , 3,2 , 2A B k− = b) ( ) ( )2,0 , 2,2 , 3A B k =

c) ( ) ( ) 22, 1 , 3, 1 ,3

A B k− − = d) ( ) ( ) 12, 1 , 3,1 ,4

A B k− =

e) ( ) ( )2, 1 , 2,2 , 5A B k− = f) ( ) ( )2, 1 , 0,0 , 3A B k− = Problema 24: Determinaţi intersecţia următoarelor drepte cu axele de coordonate şi reprezentaţi în sistemul de axe de coordonate carteziene următoare drepte: a) 2 3 6 0x y+ + = b) 2 4 8 0x y+ − = c) 3 4 12 0x y+ − = d) 2 0x y+ + = e) 2 2 0x y− + = f) 3 6 0x y+ + = Problema 25: Determinaţi intersecţia următoarelor drepte: a) 1 2: 2 3 5 0, : 2 3 0d x y d x y+ + = + + = b) 1 2: 2 0, : 4 0d x y d x y+ + = − + = c) 1 2: 2 2 0, : 4 0d x y d x y− + = + + = Problema 26: Determinaţi panta dreptei atunci când ştim ϕ , unghiul dintre Ox şi dreapta d , în fiecare din situaţiile următoare: a) 0ϕ = ° b) 30ϕ = ° c) 45ϕ = ° d) 60ϕ = ° e) 120ϕ = ° f) 135ϕ = ° Problema 27: Determinaţi panta dreptei AB în fiecare din situaţiile următoare: a) ( ) ( )2, 1 , 3,2 ,A B− b) ( ) ( )2,0 , 2,2 ,A B

c) ( ) ( )2, 1 , 3, 1 ,A B− − d) ( ) ( )2, 1 , 3,1 ,A B−


10

Problema 28: Determinaţi panta dreptei d atunci când ştim ecuaţia dreptei d în fiecare din situaţiile următoare: a) : 2 3 7 0d x y+ − = b) : 2 3 0d x y+ + = c) : 2 3 5 0d x y+ + = d) : 2 0d x y+ + = e) : 2 2 0d x y− − = f) : 2 2 0d x y− − = g) : 2 2 0d x y− + − = h) : 4 0d x y− + = Problema 29: Determinaţi panta dreptei d atunci când ştim un vector director v al său în fiecare din situaţiile următoare: a) 2 3v i j= + b) v i j= + c) v i j= − d) 2v i j= − Problema 30: Determinaţi ecuaţia dreptei d atunci când ştim două puncte AB ale dreptei: a) ( ) ( )2, 1 , 3,2 ,A B− b) ( ) ( )2,0 , 2,2 ,A B

c) ( ) ( )2, 1 , 3, 1 ,A B− − d) ( ) ( )2, 1 , 3,1 ,A B− Problema 31: Determinaţi ecuaţia dreptei d în situaţiile următoare: a) trece prin origine şi are panta 1m = − b) trece prin origine şi are panta 1m = c) trece prin origine şi are panta 2m = d) trece prin origine şi are panta 3m = − e) trece prin ( )2,1A şi este paralelă cu dreapta : 3d x = f) trece prin ( )2,1A şi este paralelă cu dreapta : 3d y = g) trece prin ( )2,1A şi este perpendiculară pe dreapta : 3d x = h) trece prin ( )2,1A şi este perpendiculară pe dreapta : 3d y =

www.neutr

ino.ro


11

Problema 32: Verificaţi dacă punctele , şi A B C sunt coliniare, în fiecare din situaţiile următoare: a) ( ) ( ) ( )2,2 , 3,3 , 5,5A B C b) ( ) ( ) ( )2,0 , 3,0 , 5,0A B C

c) ( ) ( ) ( )0,2 , 0,4 , 0,5A B C d) ( ) ( ) ( )2,2 , 4,4 , 5, 5A B C− − − Problema 33: Determinaţi parametrul real m astfel încât dreptele următoare să fie paralele: a) 1 2: 2 4 5 0, : 3 0d x y d mx y+ + = + + = b) 1 2: 2 0, : 4 0d x y d x my+ + = − + = c) 1 2: 2 2 0, : 4 0d mx y d x y− + = + + = d) 1 2: 2 2 0, : 4 0d x y d mx y− − + = − + = Problema 34: Determinaţi parametrul real m astfel încât dreptele următoare să fie perpendiculare: a) 1 2: 2 4 5 0, : 3 0d x y d mx y+ + = + + = b) 1 2: 2 0, : 4 0d x y d x my+ + = − + = c) 1 2: 2 2 0, : 4 0d mx y d x y− + = + + = Problema 35: Determinaţi distanţa de la punctul A la dreapta d în fiecare din cazurile următoare: a) ( )1,0 , : 2 3 0A d x y+ + =

b) ( )1,0 , : 2 3 0A d x y+ − = Problema 36: Calculaţi aria triunghiului ABC în fiecare din cazurile următoare: a) ( ) ( ) ( )2,2 , 3,3 , 1,0A B C b) ( ) ( ) ( )2,1 , 3,0 , 5,0A B C

c) ( ) ( ) ( )2,2 , 0,4 , 0,0A B C d) ( ) ( ) ( )1,2 , 3,4 , 5,0A B C


12

Problema 37: Determinaţi ecuaţia medianei din A a triunghiului ABC în fiecare din cazurile următoare: a) ( ) ( ) ( )2,2 , 3,2 , 1,0A B C b) ( ) ( ) ( )2,1 , 3,0 , 5,0A B C

c) ( ) ( ) ( )2,2 , 0,4 , 0,0A B C d) ( ) ( ) ( )1,2 , 3,4 , 5,0A B C Problema 38: Determinaţi ecuaţia înălţimii din A a triunghiului ABC în fiecare din cazurile următoare: a) ( ) ( ) ( )2,2 , 3,2 , 1,0A B C b) ( ) ( ) ( )2,1 , 3,0 , 5,0A B C

c) ( ) ( ) ( )2,2 , 0,4 , 0,0A B C d) ( ) ( ) ( )1,2 , 3,4 , 5,0A B C Problema 39: Determinaţi ecuaţia mediatoarei corespunzătoare laturii BC a triunghiului ABC în fiecare din cazurile următoare: a) ( ) ( ) ( )2,2 , 3,2 , 1,0A B C b) ( ) ( ) ( )2,1 , 3,0 , 5,0A B C

c) ( ) ( ) ( )2,2 , 0,4 , 0,0A B C d) ( ) ( ) ( )1,2 , 3,4 , 5,0A B C Problema 40: Determinaţi ecuaţia bisectoarei interioare a unghiului A al triunghiului ABC în fiecare din cazurile următoare: a) ( ) ( ) ( )2,2 , 3,2 , 3,0A B C b) ( ) ( ) ( )2,1 , 2,5 , 1,5A B C

c) ( ) ( ) ( )2,2 , 0,2 , 0,4A B C d) ( ) ( ) ( )1,2 , 3,2 , 3,0A B C

www.neutr

ino.ro


13

Capitolul 2 Elemente de trigonometrie

Problema 1: Transformaţi în grade :

a) 12π b)

15π

c) 76π d) 4

3π

Problema 2: Transformaţi în radiani : a) 35° b) 75° c)135° d)315° e)330° f)15° g) 20° h)150° Problema 3: Calculaţi: a) sin 0° b) cos0°

c) sin2π d) cos

2π

e) sinπ f) cosπ

g) 3sin2π h) 3cos

2π

i) sin 2π j) cos 2π Problema 4: Calculaţi:

a) 37sin6π b) 22cos

3π

c) 174

tg π d) 1234

ctg π

e) 5123

ctg π f) 514sin3

π

g) 215cos6

π h) 2216

tg π


14

i) sin14π j) cos15π

k) 25sin6π l) 31cos ,

6π

m) 20033

tg π n) 10053

ctg π

Problema 5: Determinaţi:

a) cos ?x = dacă 1sin , Cd. I2

x x= ∈

b) cos ?x = dacă 1sin , Cd. II2

x x= ∈

c) cos ?x = dacă 1sin , Cd. III2

x x= − ∈

d) cos ?x = dacă 1sin , Cd. IV2

x x= − ∈

e) sin ?x = dacă 3cos , Cd. I2

x x= ∈

Problema 6: Calculaţi: a) sin13 cos17 sin17 cos13 ;o o o o⋅ + ⋅ b) sin1 cos91 sin 91 cos1 ;o o o o⋅ − ⋅ c) cos77 cos 47 sin 47 sin 77 ;o o o o⋅ + ⋅ d) cos 22 cos52 sin 22 sin 52 ;o o o o⋅ + ⋅ Problema 7: Calculaţi: a) sin13 sin 73 sin17 cos13 ;o o o o⋅ + ⋅ b) sin1 cos91 sin 91 sin89 ;o o o o⋅ − ⋅ c) sin13 cos 47 sin 47 sin 77 ;o o o o⋅ + ⋅ d) sin 68 cos52 sin 22 sin 52 ;o o o o⋅ + ⋅ Problema 8: Calculaţi: a) sin15 ;o b) cos15 ;o

www.neutr

ino.ro


15

c) sin 210 ;o d) cos150 ;o e) sin120 ;o f) cos 240 ;o g) sin135 ;o h) cos330 ;o Problema 9: Calculaţi:

a) dacă 2

a b π− = , calculaţi: ( )sin 2 sin 2 2cosa b a b+ − −

b) dacă 32

a b π+ = , calculaţi: sin 2 sin 2a b−

Problema 10 : Calculaţi în funcţie de a : a) 1 cos 20− ° dacă sin10 a° = b) 1 cos 20+ ° dacă sin10 a° = c) 1 cos50− ° dacă sin 25 a° = d) 1 cos50+ ° dacă sin 25 a° = Problema 11 : Calculaţi: a) 15tg ° b) 75tg ° c) 120tg ° d) 210tg ° e) 135ctg ° f) 330ctg ° g) 300ctg ° h) 150ctg ° Problema 12: Verificaţi egalităţile : a) ( ) ( )cos cos sin sin cosx y y x y y x− − − =

b) ( ) ( )cos cos 2cos cosx y x y x y+ + − =

c) ( ) ( ) ( )cos cos 2sin sinx y x y x y+ − − = −

d) 2 2cos ( ) cos ( ) 4sin cos sin cosx y x y x x y y− − + = e) ( ) ( ) ( )22 2cos cos cos cos cos cosx y x y x y x y+ − − = + + −

f) ( ) ( ) 2 2cos cos cos sinx y x y x y− + + = − Problema 13: Verificaţi egalităţile :


16

a) 22tg xctgx tgx

=−

b) ( )cos1

cos cosa b

tga tgba b

+= − ⋅

c) ( )( )

sin 1sin 1

a b ctga tgba b ctga tgb

+ + ⋅=

− − ⋅

d) sin 32sin 2cos

xx tgxx

− =

e) 2sin 2

tgx ctgxx

+ =

Problema 14 : Calculaţi:

a) sin x dacă 12 2xtg = b) cos x dacă 3

2xtg =

c) sin x dacă 22xtg = d) cos x dacă 5

2 2xtg =

e) sin x dacă 12 7xtg = f) sin x dacă 6

2xtg =

Problema 15: Calculaţi, folosind substituţia universală:

a) 3sin 4cos 5E x x= − + dacă 22xtg =

b) 2 5cos sinE tgx x x= − + dacă 32xtg =

c) 2 5ctg sinE tgx x x= − + dacă 22xtg = −

d) 2cos 2ctg sinE x x x= − − dacă 22xtg = −

www.neutr

ino.ro


17

Problema 16: Transformaţi în produse : a) cos10 cos50 ;o o+ b) sin 40 sin80 ;o o+ c) sin 20 sin 40 ;o o+ d) sin 40 sin80 ;o o+ e) cos10 cos50 ;o o+ f) sin50 sin 70 .o o+ Problema 17: Dacă sin10 ,cos10 ,o oa b= = calculaţi: a) sin10 cos 20 ;o o b) cos10 cos 20 ;o o c) sin10 sin 20 ;o o d) sin 40 cos50 ;o o e) cos 40 cos50 ;o o f) sin 40 sin 50 ;o o Problema 18: Determinaţi x∈ pentru care au sens următoarele expresii:

a) arcsin2x

b) 1arccos5

x +

c) ( )2arcsin 3 2x x− + d) ( )2arccos 4 4x x− +

e) 1arcsin1

xx

−+

f) 2 4arccos3

xx

+−

g) 1arctg2x

x+−

h) 1arctg2x

x−+

Problema 19: Rezolvaţi următoarele ecuaţii trigonometrice fundamentale:

a) 1sin2

x = b) 3sin

2x = −

c) sin 1x = d) 2sin

2x = −

e) 1sin2

x = − f) 3sin

2x =

g) sin 0x = h) sin 1x = − i) sin 2x = j) sin 3x = −


18

Problema 20: Rezolvaţi următoarele ecuaţii trigonometrice fundamentale:

a) 1cos2

x = b) 3cos

2x = −

c) cos 1x = d) 2cos

2x = −

e) 1cos2

x = − f) 3cos

2x =

g) cos 0x = h) cos 1x = − i) cos 2x = j) cos 3x = − Problema 21: Rezolvaţi următoarele ecuaţii trigonometrice fundamentale: a) tg 3x = b) tg 1x = −

c) 1tg 3

x = − d) tg 0x =

e) tg 1x = f) tg 3x = − f) tg 2x = g) tg 3x = − Problema 22: Rezolvaţi următoarele ecuaţii trigonometrice fundamentale: a) ctg 3x = b) ctg 1x = −

c) 1ctg 3

x = − d) ctg 0x =

e) ctg 1x = f) ctg 3x = − f) ctg 2x = g) ctg 3x = −

www.neutr

ino.ro


19

Problema 23: Rezolvaţi următoarele ecuaţii trigonometrice reductibile la ecuaţii trigonometrice fundamentale:

a) 1sin

4 2x π⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ b)

3cos 23 2

x π⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 1ctg 2

3 3x π⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ d) tg 3

4x π⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

e) 1cos 3

6 2x π⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ f)

3sin 23 2

x π⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

g) 1tg

4 3x π⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ h) ctg 3 3

6x π⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Problema 24: Rezolvaţi următoarele ecuaţii trigonometrice date prin egalităţi de funcţii:

a) sin sin 24 2

x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) sin sin 33 6

x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c) cos 2 cos 53 6

x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

d) cos 2 cos 43 4

x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e) tg tg 34 2

x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

f) tg 5 tg 34 3

x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

g) ctg 2 ctg 54 6

x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ h) ctg 2 ctg 6

4 3x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Problema 25: Rezolvaţi următoarele ecuaţii trigonometrice: a)

2sin 3sin 2 0x x+ + = b)

22cos 3cos 1 0x x− + = c) ( )24cos 2 3 1 cos 3 0x x− + + =

d) ( )22 2 2 2 0tg x tgx− + + =


20

Problema 26: Rezolvaţi următoarele ecuaţii trigonometrice: a) sin 3 cos 2x x+ = b) sin 3 cos 2x x− = − c) 3sin cos 3x x− + = d) 3sin cos 2x x− − = Problema 28: Fie ABCΔ , determinaţi latura neprecizată în fiecare din cazurile: a) ( )2, 3, 30AB AC m A= = = ° b) ( )2, 3, 60AB AC m A= = = ° c) ( )2, 3, 120BC AC m C= = = ° d) ( )5, 3, 150BC AC m C= = = ° e) ( )6, 5, 135AB AC m C= = = ° f) ( )6, 2, 15AB BC m C= = = ° Problema 29: Fie ABCΔ , găsiţi celelalte elemente ale ABCΔ : a) ( ) ( )30 , 15 , 2m A m B BC= ° = ° = b) ( ) ( )60 , 15 , 2m A m B BC= ° = ° = c) ( ) ( )120 , 15 , 4m A m B AC= ° = ° = Problema 30: Determinaţi raza cercului circumscris în ABCΔ în situaţiile următoare: a) 4, 3, 5a b c= = =

b) 10, 8, 6a b c= = =

c) 13, 12, 5a b c= = = d) 5, 3, 4a b c= = =

Problema 31: Determinaţi raza cercului înscris în ABCΔ în situaţiile următoare: a) 4, 3, 5a b c= = =

b) 10, 8, 6a b c= = =

c) 13, 12, 5a b c= = = d) 5, 3, 4a b c= = =

www.neutr

ino.ro


21

Capitolul 3 Numere complexe

Problema 1: Determinaţi ,x y ∈ astfel încât să aibă loc egalităţile următoare: a) ( ) ( )2 3 2 5 8x y i i+ + + = + b) ( ) ( )2 3 2 5 7x y i i+ + + = − −

c) ( ) ( )2 3 2 5x y i+ + + = − d) ( ) ( )2 3 2 8x y i i+ + + = Problema 2: Determinaţi conjugatul următoarelor numere complexe şi verificaţi în fiecare caz că z z+ ∈ şi z z⋅ ∈ : a) 2 3z i= + b) 2 3z i= + c) 2z = d) 3z i= Problema 3: Studiaţi dacă numerele complexe următoare sunt numere reale sau pur imaginare: a) 2z = b) 2z i= c) 2 3z i= + d) 2 3z i= − + e) ( ) ( )2000 20002 3 2 3z i i= + + − f) ( ) ( )2000 20002 3 2 3z i i= + − −

g) ( ) ( )2001 20012 3 2 3z i i= + + − h) ( ) ( )2001 20012 3 2 3z i i= + − −

Problema 4: Calculaţi 12N z= şi 23M z= − pentru următoarele numere complexe: a) 1 22 3 , 4 5 ,z i z i= − = − + b) 1 22 3 , 2 5 ,z i z i= + = − + c) 1 22, 4 5 ,z z i= = − + d) 1 22 , 4 5 ,z i z i= = − + Problema 5: Calculaţi 1 2N z z= + şi 1 2M z z= − pentru următoarele numere complexe: a) 1 22 3 , 4 5 ,z i z i= − = − + b) 1 22 3 , 2 5 ,z i z i= + = − + c) 1 22, 4 5 ,z z i= = − + d) 1 22 , 4 5 ,z i z i= = − +


22

Problema 6: Calculaţi 1 2N z z= ⋅ şi 21M z= pentru următoarele

numere complexe: a) 1 22 3 , 4 5 ,z i z i= − = − + b) 1 22 3 , 2 5 ,z i z i= + = − + c) 1 22, 4 5 ,z z i= = − + d) 1 22 , 4 5 ,z i z i= = − +

Problema 7: Calculaţi 1

2

zNz

= şi 2

1

zMz

= pentru următoarele

numere complexe: a) 1 22 3 , 4 5 ,z i z i= − = − + b) 1 22 3 , 2 5 ,z i z i= + = − + c) 1 22, 4 5 ,z z i= = − + d) 1 22 , 4 5 ,z i z i= = − + Problema 8: Calculaţi: a) 2000i b) 4201i c) 8423i d) 6083i e) 200532 ... iiii ⋅⋅⋅⋅ f) 2 3 2007...i i i i⋅ ⋅ ⋅ ⋅ g) 2 3 2005...i i i i+ + + + h) 2 3 2007...i i i i+ + + + Problema 9: Calculaţi modulele următoarelor numere complexe: a) 2 3z i= + b) 2 3z i= + c) 2z = d) 3z i= Problema 10: Folosind proprietăţile, calculaţi modulele următoarelor numere complexe:

a) 11

izi

+=

− b) 6 8

4 3izi

+=

−

c) ( )2004 3z i= + d) ( )2001z i= +

e) ( )6

1 2 2 1z i= + + − f) ( )6

1 2 2 1z i= − + +

g) ( )( )( )2 4 2 1z i i i= + − + h) ( )( )( )2 4 2 1z i i i= − + −

www.neutr

ino.ro


23

Problema 11: Determinaţi numărul complex z cu proprietatea: a) ( )1 2z i i+ = − b) ( )1 2 2z i i i+ + = −

c) ( )( )1 1 2z i i− + = − d) ( )( )1 1 2z i z i− + = −

e) izz −=+ 32 f) ziz ⋅= Problema 12: Descompuneţi în factori ireductibili: a) 22 6 4z z− + b) 2 4z − c) 23 12 12z z+ + d) 25 5z + Problema 13: Fără a rezolva ecuaţiile, determinaţi 1 2S z z= + şi

1 2P z z= ⋅ : a) 2 (1 ) 0z z i i− − − = b) 2 (2 ) 2 0z z i i− − − = c) 2 (3 ) 3 0z i z i− + + = d) 2 (1 ) 0z i z i+ − − = Problema 14: Rezolvaţi următoarele ecuaţii bipătrate: a) 4 2 0z z− = b) 4 1 0z + = c) 4 25 4 0z z− + = d) 6 39 8 0z z− + =

Problema 15: Formaţi o ecuaţie de gradul II care are rădăcinile indicate în fiecare caz: a) 1 22, 1z z= = b) 1 22 , 1z i z= = c) 1 22 ,z i z i= = d) 1 22 , 2z i z i= = − Problema 16: Scrieţi sub formă trigonometrică următoarele numere complexe: a) 3z i= − b) 3z i= c) 3z = − d) 3z i= − + e) 1z i= + f) 2 2z i= − −


24

Soluţie parţială: a) 3 3 0, 3 3z i a b r= − ⇒ = = − ⇒ =

Din 0, 3a b M Oy= = − ⇒ ∈ ⇒ 33 3 33 cos sin2 2 2

z iπ π πϕ ⎛ ⎞= ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 3 3 1 2z i r= − + ⇒ = + =

11

63arctg πϕ = =

−; ( )3;1 M Cd II− ∈ ⇒

1 15 5 52 cos sin6 6 6

z iπ π πϕ π ϕ ϕ ⎛ ⎞= − ⇒ = ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

f) 2 2 2z i= − − ⇒ 2 2 2r = + =

12

42arctg πϕ −

= =−

; ( )2; 2 M Cd III− − ∈ ⇒

1 25 5 52 cos sin4 4 4

z iπ π πϕ π ϕ ϕ ⎛ ⎞= + ⇒ = ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

Problema 17: Scrieţi sub formă algebrică următoarele numere complexe:

a) ( )2 cos0 sin 0z i= + b) 3 cos sin2 2

z iπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

c) ( )3 cos sinz iπ π= + d) 3 32 cos sin2 2

z iπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

e) 2 cos sin4 4

z iπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

f) 7 72 cos sin4 4

z iπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

www.neutr

ino.ro


25

Problema 18: Calculaţi produsul 1 2z z⋅ în situaţiile următoare, scriind rezultatul sub formă algebrică:

a) ( )1 23 32 cos 0 sin 0 , 2 cos sin2 2

z i z iπ π⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 1 25 5 3 32 cos sin , 3 cos sin6 6 2 2

z i z iπ π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c) ( )1 23 33 cos sin , 2 cos sin4 4

z i z iπ ππ π ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 3 23 3 5 52 cos sin , 2 cos sin2 2 4 4

z i z iπ π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Soluţie parţială:

b) 1 25 5 3 32 cos sin 3 cos sin6 6 2 2

z z i iπ π π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = + ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦5 3 5 36 cos sin6 2 6 2

iπ π π π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠14 14 7 76 cos sin 6 cos sin

6 6 3 3i iπ π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇒

1 2 6 cos 2 sin 23 3

z z iπ ππ π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⇒

1 21 36 cos sin 6

3 3 2 2z z i iπ π ⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ = + = + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇒ 1 2 3 3 3z z i⋅ = +

Problema 19: Calculaţi împărţirea 1

2

zz

în situaţiile următoare,

scriind rezultatul sub formă algebrică:

a) ( )1 23 32 cos 0 sin 0 , 2 cos sin2 2

z i z iπ π⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 1 23 3 5 53 cos sin , 2 cos sin2 2 6 6

z i z iπ π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


26

c) ( )1 23 33 cos sin , 2 cos sin4 4

z i z iπ ππ π ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 3 23 3 5 52 cos sin , 2 cos sin2 2 4 4

z i z iπ π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


b) 1

2

3 33 cos sin3 3 5 3 52 2 cos sin

5 5 2 2 6 2 62 cos sin6 6

iz iz i

π ππ π π π

π π

⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠= = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠+⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒

1

2

3 4 4cos sin2 6 6

z iz

π π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒

1

2

3 3 2 3 1 3 4 3 3cos sin2 3 3 2 2 2 3 4

z i i iz

π π ⎛ ⎞⎛ ⎞= + = − + = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Problema 20: Calculaţi inversul lui 1z , notat 1

1z

în situaţiile

următoare, scriind rezultatul sub formă algebrică:

a) ( )1 2 cos0 sin 0z i= + b) 1 3 cos sin2 2

z iπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

c) ( )1 3 cos sinz iπ π= + d) 33 32 cos sin2 2

z iπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

Problema 21: Calculaţi puterile lui 1z cerute în situaţiile următoare, scriind rezultatul sub formă algebrică: a) ( )1 2 cos0 sin 0z i= + , se cere 3

1z

b) 15 52 cos sin6 6

z iπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

, se cere 3001z

c) ( )1 3 cos sinz iπ π= + , se cere 51z

d) 33 32 cos sin2 2

z iπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

, se cere 61z

www.neutr

ino.ro


27


b) ( )300 3001

5 52 cos 300 sin 3006 6

z iπ π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( )( )3002 cos 250 sin 250iπ π= + =

( ) ( )300 300 3002 cos0 sin 0 2 1 0 2i i= + = + ⋅ = Problema 22: Folosind formula lui Moivre, calculaţi puterile lui

1z cerute în situaţiile următoare, scriind rezultatul sub formă algebrică: a) 1 cos 0 sin 0z i= + , se cere 3

1z

b) 1 cos sin2 2

z iπ π= + , se cere 4

1z

c) 1 cos sinz iπ π= + , se cere 51z

d) 33 3cos sin2 2

z iπ π= + , se cere 6

1z

Problema 23: Rezolvaţi ecuaţiile ,nz a= unde a este numărul complex indicat în fiecare caz, cu soluţiile sub formă trigonometrică:

a) 4 cos sin2 2

z iπ π= +

b) 3 cos sinz iπ π= +

c) 3 5 52 cos sin4 4

z iπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 3 5 5cos sin3 3

z iπ π= +


c) 3

5 52 24 42 cos sin ; 0, 2

3 3k

k kz i k

π ππ π⎛ ⎞+ +⎜ ⎟= + =⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

30

5 50 2 cos sin12 12

k z iπ π⎛ ⎞= ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠


28

31

13 131 2 cos sin12 12

k z iπ π⎛ ⎞= ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

32

21 212 2 cos sin12 12

k z iπ π⎛ ⎞= ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

Problema 24: Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2 1z =

b) 3 1z =

c) 4 1z = d) 5 1z = e) 6 1z = f) 9 1z = Problema 25: Dacă α şi β sunt rădăcinile ecuaţiei 012 =+− xx , calculaţi: a) α β+ b) α β⋅ c) 2 2α β+ d) 3 3α β+ e) 3α f) 2000α Problema 26: Dacă α şi β sunt rădăcinile ecuaţiei 2 1 0x x+ + = , calculaţi: a) α β+ b) α β⋅ c) 2 2α β+ d) 3 3α β+ e) 3α f) 2000α

www.neutr

ino.ro


29

Capitolul 4 Conice

Problema 1. a) Determinati ecuatia cercului de centru C(-1;2) si raza 5. b) Verificati pozitia punctelor A(0 ;1) , B(2 ;6) , C(4,3) fata de cercurile : ( ) ( )2 21 2 25x y+ + − = respectiv 2 22 4 20x x y y+ + − = . c) Determinati ecuatia cercului ce trece prin punctele A(-1 ;-3) , B(4 ;2) , C(2 ;-2) . d) Determinati ecuatia cercului ce trece prin punctele A(1 ;2) , B(3 ;6) , C(4 ;8) . e) Deduceti ecuatia tangentei în A(-1 ;-3) la cercurile :

( ) ( )2 21 2 25x y+ + − = respectiv 2 22 4 20x x y y+ + − = f) Deduceti ecuatia tangentei din B(1 ;-3) la cercurile :

( ) ( )2 21 2 25x y+ + − = respectiv 2 22 4 20x x y y+ + − = . Soluţie :

a) Ecuatia este: ( ) ( )2 2 21 2 5x y+ + − = sau 2 22 4 20.x x y y+ + − =

b) Pentru cercul ( ) ( )2 21 2 25x y+ + − = , inlocuind punctul A(0 ;1)

( ) ( )2 20 1 1 2 2 25 (0;1) interiorA⇒ + + − = < ⇒

Pentru ( ) ( )2 2B(2;6) 2+1 6 2 9 16 25 (2;6) cerculuiB⇒ + − = + = ⇒ ∈

Pentru ( ) ( )2 2C(4;3) 4 1 3 2 25 1 26 25 (4;3) exterior.C⇒ + + − = + = > ⇒

c) ( ) ( ) ( )1; 3 , 4;2 , 2; 2 .A B C− − − Verificam prima data daca punctele sunt necoliniare


30

1 1

2 2

3 3

11 0.1

x yx yx y

⇔ ≠ Calculam 1 3 1

4 2 1 2 6 8 4 2 122 2 1

− −= − − − − − + =

−

10 0= − ≠ , ,A B C⇒ necoliniare. Ecuatia cercului este 2 2

2 21 1 1 12 22 2 2 22 2

3 3 3 3

11

: 011

x y x yx y x yx y x yx y x y

++

= ⇔++

2 2 110 1 3 1

0.20 4 2 18 2 2 1

x y x y+− −

=

−

Efectuand transformarile 1 2 3 1 4 1 ; ;l l l l l l− − − si dezvoltand dupa

ultima coloana obtinem :

2 2 10 1 3 010 1 3 1

010 5 5 0

2 3 1 0

x y x y+ − + +− −

= ⇔

−

2 2

2 4

10 1 3( 1) 1 10 5 5 0.

2 3 1

x y x y+

+ − + +− ⋅ ⋅ =

−

Dand factor comun pe 5 pe 2l ⇒ 2 2x 10 1 3

2 1 1 02 3 1

y x y+ − + += ⇔

−

2 2 10 2( 1)x y x+ − − + +

2 26( 3) 2( 3) 3( 10) 2( 1) 0y y x y x+ + + + − + − − + = ⇔ 2 22( 10) 4( 1) 8( 3) 0. x y x y− + − − + + + =

Impartind cu (-2) si efectuand calculele ⇒ 2 2 2 210 2( 1) 4( 3) 0 2 4 20 0.x y x y x x y y+ − + + − + = ⇔ + + − − =

d) (1;2); (3;6); (4;8).A B D Verificam mai intai coliniaritatea

www.neutr

ino.ro


31

punctelor. 1 2 1 1 1 13 6 1 2 3 3 1 04 8 1 4 4 1

= ⋅ = (am dat factor comun pe

2C ) ⇒ A, B, C coliniare ⇒ nu exista cerc care trece prin aceste puncte. e) ( 1; 3), A − − cercul ( ) ( )2 21 2 25.x y+ + − =

Folosind ecuatia tangentei la cercul ( ) ( )2 2 20 0x-x y y R+ − = in

punctul 1 1A(x ; ) y de ecuatiei tangentei in acel punct si este : ( )( ) ( )( ) 2

0 1 0 0 1 0x x x x y y y y R− − + − − = . Cum A apartine

cercului obtinem ( )( ) ( )( )1 1 1 2 3 2 25x y+ − + + − − − = ⇔

( )5 2 25y− − = ⇔ 2 5 3y y− = − ⇔ = −

( 1; 3), A − − cercul 2 2 x 2 4 20 0.x y y+ + − − = Observam ca A apartine cercului caci :

2 2(-1) 2( 1) ( 3) 4( 3) 20 1 2 9 12 20 0+ − + − − − − = − + + − =

Dedublam ecuatia⇒ 1 1 1 11 1x x 2 ( ) 4 ( ) 20 02 2

x x y y y y⋅ + ⋅ + + ⋅ − ⋅ + − =

( 1) ( 1) ( 3) 2( 3) 20 0x x y y⇔ ⋅ − + − + ⋅ − − − − = ⇔ 1 3 2 6 20 0 5 15 3.x x y y y y− + − − − + − = ⇔ − = ⇔ = −

Problema 2: a) Gasiti ecuatia elipsei ce intersecteaza axa Ox inA(-5;0) , respectiv Oy in B(0;2) . Determinati focarele elipsei, distanta focala si exentricitatea elipsei.

b) Fie elipsa 2 2x 1

25 4y

+ = . Gasiti ecuatia tangentei in 8C -3; .5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Soluţie :

a) Ecuatia elipsei este 2 2

2 2

x 1ya b

+ = . A(-5 ;0) ∈ elipsei

pe cerc se obtine prin dedublarea


32

22

25 0 1 25a

a⇔ + = ⇔ = . B(0 ;2) ∈ elipsei 22

40 1 4bb

⇔ + = ⇔ =

⇒ ecuatia elipsei este 2 2x 1

25 4y

+ =

Deoarece 2 2 2 2b 4 25 21a c c c= − ⇒ = − ⇔ = ± ⇒

( ) ( )21;0 si F 21;0F ′− . Distanta focala ' 'FF 2 2 21c FF= ⇒ =

Exentricitatea este : c 21e=a 5

=

b)2 2x 81, C -3;

25 4 5y ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠apartine elipsei caci 9 64 36 64 1

25 100 100+

+ = =

Ecuatia tangentei o gasim prin dedublare 8

-3x -3x 85 1 1 3 10 2525 4 25 20

y y x y⇔ + = ⇔ + = ⇔ − + =

Problema 3 : a) Gasiti ecuatia hiperbolei ce intersecteaza axa Ox

in ( )0;5−A si pentru care exentricitatea este .529

=e Gasiti

hiperbola conjugata a hiperbolei determinate anterior, ecuatiile asimptotelor hiperbolei determinate anterior precum si ecuatia hiperbolei echilatere ce contine ( )0;5−A .

b) Fie hiperbola ,1425

22

=−yx gasiti ecuatia tangentei in punctul

( ).32;10C Soluţie :

a) Ecuatia hiperbolei este 12

2

2

2

=−by

ax si ( )∈− 0;5A hiperbolei ⇔

1252 =

a⇔ 252 =a si

529

=e ⇒529

=ac

⇔ .29=c Cum

www.neutr

ino.ro


33

222 acb −= ⇔ 25292 −=b ⇔ 42 =b ⇒ .1425

22

=−yx Hiperbola

conjugata: .1425

22

−=−yx Ecuatiile asimptotelor pentru 1

425

22

=−yx

sunt xaby ±= ⇔ .

52 xy ±= Ecuatia hiperbolei echilatere este

12

2

2

2

=−ay

ax

⇔ .222 ayx =− ( )∈− 0;5A hiperbolei ⇒ 225 a= ⇒

.2522 =− yx

b) 1425

22

=−yx si ( ).32;10C Inlocuind in ecuatia hiperbolei ⇒

14

1225

100=− ⇒ ∈C hiperbolei, asadar ecuatia tangentei o gasim

prin dedublare ⇒ 1432

2510

=−yx

⇒ 123

52

=−yx ⇔

.10354 =− yx Problema 4. a) Gasiti ecuatia parabolei ce are parametrul .3=p Gasiti ecuatia directoarei parabolei. b) Fie parabola ,62 xy = gasiti ecuatia tangentei in ( ).12;24A

Soluţie : a) Ecuatia parabolei este pxy 2= ⇒ .62 xy = Ecuatia directoarei

parabolei este .23

−=x

b) ,62 xy = ( ).12;24A inlocuit in ecuatie da 246122 ⋅= adevarat ⇒ ( )∈12;24A parabolei. Prin dedublare, ecuatia tangentei este

( )11 212 xxpyy +=⋅ ( )112 6 24

2y x⇔ ⋅ = ⋅ + ⇔ .244 += xy


34

Problema 5:. Să se reprezinte grafic conicele care au următoarele ecuaţii ( să se precizeze şi tipul fiecărei conice ) a) 2 2 4 ;x y+ = b) 2 24 4 ;x y+ = c) 2 4 ;y x= d) 2 9 ;y x= e) 2 ;y x= f) 2 2 4 ;x y− = g) 2 2 1.x y− = h) 2 24 1.x y− = Problema 6:. Să se reprezinte grafic conicele care au următoarele ecuaţii ( să se precizeze şi tipul fiecărei conice ) a) 2 2 4 ;x y+ = b) 2 24 4 ;x y+ = c) 2 4 ;y x= d) 2 9 ;y x= e) 2 ;y x= f) 2 2 4 ;x y− = g) 2 2 1.x y− = h) 2 24 1.x y− = i) j) 2 29 9 ;x y+ =

2 24 4 ;x y− =

www.neutr

ino.ro


35

Capitolul 5 Mulţimi, logică matematică, ecuaţii

Problema 1. Determinaţi:

a) ∪ b) ∪ c) \ d) ∩ e) ∪ f) ∩ g) \ h) \

Problema 2: Fie intervalele [ )1 2;5I = − ; ( ]2 1;4I = ; [ ]3 4;5I =Calculaţi : a) 1 3I I∪ b) 2 1I I∪ c) 2 3I I∩ d) 1 3I I∩ e) 3 1\I I f) 2 3\I I g) ( )1 2 3\I I I∪ h) ( )1 2 3I I I∩ ∪ Problema 3.1: Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2 0;x x− = b) 2 3 2 0;x x− + = c) 2 6 0;x x− − = d) 2 4 4 0;x x− + =

e) 2 5 1 0;6 6

x x− + = f) 2 1 0;4

x x− + =

g) ( )2 2 3 4 6 0;x x− + + =

h) 2 2 2 2 0;x x− + = Problema 3.1: Determinaţi valorile lui m∈ astfel încât ecuaţiile următoare să aibe : a) rădăcini reale : 2 0;x mx− =

2 3 0;x x m− + = b) rădăcini reale distincte : 2 4 0;x mx− + =

2 0;x x m− + =

Problema 3.1: Determinaţi valorile lui m∈ astfel încât ecuaţiile următoare să aibe aceleaşi rădăcini:


36

a) 2 2 0;x mx− + = 2 3 2 0;x x− + =

b) 2 4 0;x mx− + = 2 0;x x m− + =

Problema 5,6: Rezolvaţi ecuaţiile de grad superior următoare: a) 01546368 23 =−+− xxx b) 3 26 11 6 0x x x− + − = (rezultat { }1;2;3 )

c)3 7 6 0x x− + = (rezultat { }1;2; 3− )

d) 3 29 23 15 0x x x− + − = (rezultat { }1;3;5

e) 3 224 10 13 6 0x x x+ − − = (rezultat 1 2 3; ;2 3 4

⎧ ⎫− −⎨ ⎬⎩ ⎭

)

Problema 7: Rezolvaţi: a) ( )( )2 9 20 1 0x x x− + − + ≤ b) ( )( )2 5 6 1 0x x x+ + + ≥

c) ( )( )2 2 1 1 0x x x+ + − + ≥ d) ( )( )2 3 2 1 0x x x+ + + ≤

e) 0)1)(1(

)1)(2(2 ≤

−+−+−−

xxxxx f) ( )( )

( )( )2

3 50

1 1x xx x

+ −≥

− −

g) ( )( )

( )( )2

2

3 5 60

1 1

x x x

x x

+ − +<

− − h)

( )( )( )2 2

3 01 1 5 6

xx x x x

+<

− − − +


e) Rezolvam ecuaţia ataşată : 0)1)(1(

)1)(2(2 =

−+−+−−

xxxxx

Cond: 2( 1)( x-1) 0 1x x x+ − + ≠ => ≠ − şi 2 x-1 0x− + ≠ Deoarece 21 4 0 x-1 0; x RxΔ = − < => − + < ∀ ∈ , aşadar intervalul de condiţii este ( ) ( ); 1 1;−∞ − ∪ − ∞

1 2( 2)(1 ) 0 rădăcinile: 2; 1x x x x− − = ⇔ = = Folosim tabelul de semne pentru a determina semnul fractiei

www.neutr

ino.ro


37

aşadar soluţia este: ( ) [ ], 1 1,2x ∈ −∞ − ∪ Problema 8,9,10: Rezolvaţi următoarele ecuaţii şi inecuaţii: a) 5x =

b) 5x = − c) 5x <

d) 5x > e) 5x > −

f) 5x < − g) 2 2 22 4 1 5 1x x x− − − = +

h) 21 5 6 2 2x x x x x− + + − + + − = +

i) 2 21 3 6 1x x− − − > −

j) 21 5 6 2 2x x x x x− + + − + + − ≤ + Problema 11: Determinaţi partea întreagǎ şi partea fracţionară a urmǎtoarelor numere: a) 2; b) 2;− c) 2,7;

d) 2,7;− e) 7 ;3

f) 7 ;3

−

Problema 13: Rezolvaţi ecuaţiile următoare:

a)2

13

1 −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ + xx b) 1 2 1;

2 3x x+ +⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

c) 3 1 1;4 2

x x− −⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ d) 2;

3x x⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎣ ⎦


38

Problema 14: Calculaţi folosind formule de calcul prescurtat: a)

( )( )5 2 5 2− +

b) ( )( )3 2 3 2− +

c) ( ) ( )2 23 2 3 2− − +

d) ( )( ) ( )25 3 5 3 5 3 2 3− + − + +

e) ( )( ) ( )25 2 5 2 5 2 8− + − − −

f) ( )( )( )2 23 2 3 2 9 4x y x y x y+ − +

g) ( )( )( )( )2 2 4 4x y x y x y x y− + + +

h) ( ) ( )

( )( )2 2 : 4a b a b a

b a b a a

⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦− + +

Problema 15.1. Calculaţi cu două zecimale exacte: a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 813,45 f) 123, 4 g) 432,1 h) 312, 4 Soluţie: a)deoarece trebuie două zecimale exacte, completăm cu patru zerouri 3 3,0000=

e) 813, 45 813, 4500=

www.neutr

ino.ro


39

Problema 15.2: Extrageţi următorii radicali: a) 15129 b) 17424 c) 103041 d) 97344 e) 54756 f) 104976 Problema 16: Calculaţi: a)1 2 3 ... 1000+ + + + b) 2 2 21 2 ... 1000+ + + c)

3 3 31 2 ... 1000+ + + d)1 2 3 ... 2000+ + + + e) 2 2 21 2 ... 2000+ + + f)

3 3 31 2 ... 2000+ + + Problema 17: Determinaţi: a) câte numere de 5 cifre au toate cifrele numere pare. b) câte numere de 5 cifre au toate cifrele numere impare. c) câte numere de 5 cifre sunt divizibile cu 2. d) câte numere de 5 cifre au prima cifra pară şi sunt divizibile cu 2. e) câte numere de 5 cifre au suma dintre prima şi ultima cifrǎ egalǎ cu 10. Problema 18: Determinaţi numărul submulţimilor cu: a) 3 elemente b) 5 elemente c) 2 elemente d) 4 elemente Problema 19: Calculaţi:

a) ( )1

11

n

kS

k k==

+∑ b)( )( )1

11 2

n

kS

k k==

+ +∑

c) ( )( )1

11 3

n

kS

k k==

+ +∑ d)( )( )1

17 6 7 1

n

kS

k k==

− +∑

e)( )( )1

13 2 3 1

n

kS

k k==

− +∑

f) ( )( )1 1 2

n

k

kSk k=

=+ +∑

g) ( )( )1

11 2

n

k

kSk k=

−=+ +∑ h)

( )( )( )1

11 2 3

n

kS

k k k==

+ + +∑


40


d) 1 (7 1) (7 6)(7 6)(7 1) 7 6 7 1 (7 6)(7 1)

A B A k B kk k k k k k

+ − −= − = =

− + − + − +07 ( ) 6 7 1

6 1(7 6)(7 1)A B A Bk A B A B BA Bk k

⎧ − = => =− + += => => = =>⎨ + =− + ⎩

1 17 7

B A=> = => = . Dând pe rand valori lui k obţinem:

1

1 111 7 7 8

1 127 8 7 15

1 137 15 7 22

.....................................1 1

7(7 6) 7(7 1)

1 1 1 (7 1) 1 7(7 6)(7 1) 7 7(7 1) 7(7 1) 7(7 1) 7 1

n

k

k

k

k

k nn n

n n nk k n n n n=

= => −⋅ ⋅

= => −⋅ ⋅

= => −⋅ ⋅

= => −− +

+ −= − = = =

− + + + + +∑

Problema 20: Să se arate că, n ∗∀ ∈ avem:

a) ( )11 2 ...

2n n

n+

+ + + =

b) ( )( )2 2 2 1 2 11 2 ...

6n n n

n+ +

+ + + =

c) ( ) 23 3 3 1

1 2 ...2

n nn

+⎛ ⎞+ + + = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

d) ( )2

22 2 4 11 3 ... 2 13

nn n −+ + + − = ⋅

www.neutr

ino.ro


41

e) ( ) ( )( )22 2 4 2 1 2 12 6 ... 4 2

3n n n

n− +

+ + + − =

f) ( ) ( )21 4 2 7 ... 3 1 1n n n n⋅ + ⋅ + + ⋅ + = ⋅ +

g) ( )2

1)1()1(.....321 121222 +⋅−=⋅−+−+− −− nnn nn


g) I. P(1): ( ) 2 1 1 1 21 :1 ( 1) 1 1( )2

P A− ⋅= − ⋅ ⇔ =

II. Presupunem P(k) adevarată si vrem sa arătăm că P(k+1) adevarată, unde:

2 2 2 1 2 1 ( 1)( ) :1 2 3 ... ( 1) ( 1)2

k k k kP k k− − +− + − + − ⋅ = − ⋅

2 2 2 ( 1)( 2)( 1) :1 2 ... ( 1) ( 1) ( 1)2

k k k kP k k + ++ − + + − ⋅ + = − ⋅

Ştim 2 2 1 2 1 2( 1)1 2 ... ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)2

k k kk kk k− − +− + + − ⋅ = − ⋅ + − ⋅ + ⇔

( )22 2 1 2( 1)1 2 ... ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1)2

k k kk kk k− +=> − + + − ⋅ + = − ⋅ + − ⋅ +

Rămâne să arătăm că

( )1 2( 1) ( 1)( 2)( 1) ( 1) ( 1) 12 2

kk kk k k kk− + + +− ⋅ + − ⋅ + = − ⋅ ⇔

( ) ( )1 2( 1) ( 1)( 2)1 ( 1)( 1) 12 2

k kk k k kk− + + +⎛ ⎞− ⋅ + − + = − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 11 ( 1)k k−− ⋅ + ( ) ( )( 1)

1 12

k kk k+⎛ ⎞⋅ − + = − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

( 2)2

k +⇔

( ) ( )1 2 2 ( 2)1 12 2

k kk k k− − − +⎛ ⎞− ⋅ = − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

, relaţie adevărată

Deoarece din ( )P k am obţinut P(k+1)adevărată ( )P n⇒ este adevărată, n∀ ∈


42

www.neutr

ino.ro


43

Capitolul 6 Şiruri, progresii

Problema 1: Calculaţi 7a dacă na este progresie aritmetică care verifică relaţiile: a) 5 1912, 40a a= = b) 3 66, 15a a= − = − c) 2 68, 28a a= = d) 3 57, 9a a= =

e) 5 2 10

3 5

2 3 42112

a a aa a

− + =⎧⎨ ⋅ =⎩

f) 5 3

4 7

2 120

a aa a

− = −⎧⎨ + =⎩

Soluţie: a) Vom folosi formula termenului general al unei progresii aritmetice, ( )1 1na a n r= + −

⇒ (i) 1

1

4 1218 30

a ra r

+ =⎧⎨ + =⎩

. Scăzând ecuaţiile ⇒ 14 28r = ⇔ 2r = .

Înlocuind în ecuaţia (1) ⇒ 1 8 12a + = ⇒ 1 4a = ⇒ 7 1 6a a r= + ⇔ 7 4 12 16a = + = .

e)( ) ( )

( )( ) ( )( )1 1 1 1 1 1

1 11 1

2 4 3 9 42 2 8 3 3 9 422 4 1122 4 112

a r a r a r a r a r a ra r a ra r a r

+ − + + + =⎧ + − − + + =⎧⎪ ⎪⇔⎨ ⎨ + + =+ + = ⎪⎪ ⎩⎩

( )( ) ( )( ) 21 1 1 1 1 1

14 42 3 32 4 112 6 12 112 18 72 112

r r ra r a r a a a a

= = =⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ + = + + = + + =⎪ ⎪ ⎩⎩ ⎩.

Ecuaţia a 2-a devine 21 118 40 0a a+ − = cu soluţiile

( )1 1,2

18 324 1602

a − ± += ⇔ ( )1 1,2

18 484 18 222 2

a − ± − ±= = ⇒

{ }1 2; 20a ∈ − . Aşadar, sunt două progresii: 1 23

ar

=⎧⎨ =⎩

şi 1 203

ar

= −⎧⎨ =⎩

⇒ 7 2 6 3 20a = + ⋅ = respectiv 7 20 6 3 2a = − + ⋅ = − .


44

Problema 2.1: Verificaţi dacă na este progresie aritmetică unde 1n ≥ pentru:

a) 3 4, 1na n n= − ≥ b) 2 1, 1na n n= + ≥ c) 2 2, 1na n n= + ≥ d) 2 , 1n

na n= ≥ e) 2 , 1n

na n−= ≥ f) 7, 1na n= ≥

g) 7 , 1na nn

= ≥ h) , 1na n n= ≥

Soluţie parţială: a) metoda I: verificăm dacă 1 1 2n n na a a− ++ = ⇔

( ) ( ) ( )3 1 4 3 1 4 2 3 4n n n− − + + − = − ⇔ 6 8 6 8n n− = − , adev.,

n∀ ∈ ⇒ na progresie aritmetică. metoda II: calculăm ( ) ( )2 1 13 2 4 3 1 4 3a a r− = ⋅ − − ⋅ − = = ;

( )1 23 1 4 2 4 3n na a n n r+ − = + − − + = = . Deoarece 1 2r r= ⇒ na progresie aritmetică. c) metoda I: ( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 2 1 2 1 2 2 2n n na a a n n n− ++ = ⇔ − + + + + = +

⇔ 2 2 22 1 2 2 1 2 2 4n n n n n− + + + + + + = + ⇔ 2 22 6 2 4n n+ = + , n∀ ∈ ceea ce e fals ⇒ na nu e progresie aritmetică.

metoda II: ( )2 22 1 1 16 3 3 ; 1 2 2 2 1n na a r a a n n n+− = − = = − = + + − − = + ;

care nu e constant ⇒ 1 2r r≠ ⇒ na nu e progresie aritmetică. Problema 2.2: Determinaţi numărul real x astfel încât numerele

; ;a b c să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice: a) ; 7 2 ; 2a x b x c= = + = b) 5; 2; 7a b x c= = − = c) 3; 4 ; 11a b x c= = + = d) 4; 5; 2a x b c x= + = = − e) 2 ; 5; 2a x b c x= − = = − f) 2; 2; 4a b x c= = − = g) ; 7; 10a x b c x= = = + h) 5 ; 2; 7 3a x b x c x= + = − = −

www.neutr

ino.ro


45

Problema 3: Calculaţi în fiecare caz 1 2 ...n nS a a a= + + + cerut, dacă na este progresie aritmetică care verifică relaţiile: a) 7 ?S = dacă 2 1na n= + b) 11 ?S = dacă 3 4na n= − c) 15 ?S = dacă 2na n= d) 23 ?S = dacă 3na n= − + e) 7 ?S = dacă 5 1912, 30a a= = f) 11 ?S = dacă 3 76, 18a a= − = − g) 15 ?S = dacă 2 78, 33a a= = h) 23 ?S = dacă 3 107, 28a a= = Problema 4: Calculaţi 7b dacă nb este progresie geometrică care verifică relaţiile: a) 2 52, 16b b= = b) 1 41, 27b b= = c) 1 43, 24b b= = d) 2 48, 72b b= =

e) 5

11

161024

bb

=⎧⎨ =⎩

f) 1 2 3

2 3 4

2142

b b bb b b

+ + =⎧⎨ + + =⎩

Soluţie parţială: e) Vom folosi formula termenului general al unei progresii geometrice, 1

1n

nb b q −= ⋅

5

11

161024

bb

=⎧⎨ =⎩

⇔ 4

110

1

16

1024

b q

b q

⎧ ⋅ =⎪⎨

⋅ =⎪⎩. Împărţind relaţiile ⇒

101

41

102416

b qb q

⋅=

⋅ ⇔ 6 64q = ⇔ 6 62q = ⇔ 2q = ± .

Caz I: 2q = ⇒ 41 2 16b ⋅ = ⇔ 1 1b = ⇒ 6 6

7 1 2 64b b q= ⋅ = = şi

analog pentru caz II: ( )412 2 16q b= − ⇒ ⋅ − = ⇔ 1 1b = ⇒ 7 64b =

f) 1 2 3

2 3 4

2142

b b bb b b

+ + =⎧⎨ + + =⎩

⇒ 2

1 1 12 3

1 1 1

21

42

b b q b q

b q b q b q

⎧ + + =⎪⎨

+ + =⎪⎩. Împărţind relaţiile


46

⇒ ( )( )

21

21

1 21421

b q q

b q q q

+ +=

+ + ⇔ 1 1

2q= ⇔ 2q = , înlocuind în

ecuaţia (1) ⇒ 61 1 1 1 72 4 21 3 3 2 192b b b b b+ + = ⇔ = ⇔ = ⋅ =

Problema 5.1: Verificaţi dacă nb e progresie geometrică unde

1n ≥ pentru:

a) 13

4

n

n nb+

= b) 1 5nnb = +

c) 2 2, 1na n n= + ≥ d) 2 , 1nna n= ≥

e) 2 , 1nna n−= ≥ f) 7, 1na n= ≥

g) 7 , 1na nn

= ≥ h) , 1na n n= ≥

Soluţie parţială: a) metoda I: verificăm dacă ( )2

1 1n n nb b b− +⋅ = ⇔ 22 1

1 1

3 3 34 4 4

n n n

n n n

+ +

− +

⎛ ⎞⋅ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠⇔

2 2 2 2

2 2

3 34 4

n n

n n

+ +

= adev.

metoda II: calculăm 3

212 2

1

3 4 34 3 4

b qb

= ⋅ = = şi 2

121 1

3 4 34 3 4

n nn

n nn

b qb

++

+ += ⋅ = =

Deoarece 1 2q q= ⇒ nb e progresie geometrică.

b) metoda I: verificăm dacă ( )21 1n n nb b b− +⋅ = ⇔

( )( ) ( )21 11 5 1 5 1 5n n n− ++ + = + ⇔ 1 1 2 21 5 5 5 1 2 5 5n n n n n+ −+ + + = + ⋅ + ⇔ ( )1 2 15 5 1 2 5 5n n− −+ = ⋅ ⋅ ⇔

26 10= fals ⇒ nb nu e progresie geometrică.

metoda II: 21

1

1 25 26 131 5 6 3

b qb

+= = = =

+. Cum

11 1 5

1 5

nn

nn

bb

++ +

=+

care nu

e constant ⇒ 1 2q q≠ ⇒ nb nu e progresie geometrică.

www.neutr

ino.ro


47

Problema 5.2: Determinaţi numărul real x astfel încât numerele ; ;a b c să fie termeni consecutivi ai unei progresii geometrice:

a) ; 2; 8a x b c= = = b) 5; 10;a b c x= = = c) 2; 3 ; 8a b x c= = + = d) 2; 3 ; 8a b x c= = − = e) 5 ; 1; 8a x b x c= − = + = f) 5 ; 1; 5a x b x c x= − = + = + g) 1; 3 ; 7a x b x c x= + = + = + h) 2 ; 3 ; 9a x b x c x= = + = − Problema 6: Calculaţi în fiecare caz 1 2 ...n nS b b b= + + + cerut, dacă na este progresie geometrică care verifică relaţiile: a) 7 ?S = dacă 2n

nb = b) 11 ?S = dacă 2nnb = −

c) 15 ?S = dacă ( )2 nnb = − d) 23 ?S = dacă 2 n

nb −=

e) 7 ?S = dacă 1 43, 24b b= = f) 11 ?S = dacă 2 48, 72b b= =

g) 15 ?S = dacă 7 1018,2

b b= = h) 23 ?S = dacă 3 6125,5

b b= =


48

www.neutr

ino.ro


49

Capitolul 7 Funcţia de gradul I şi de gradul II

Problema 1: Calculaţi produsul cartezian A B× dacă: a) { } { }2;3 , 4;6A B= = b) { } [ ]2;3 , 4;6A B= =

c) [ ] { }2;3 , 4;6A B= = d) [ ] [ ]2;3 , 4;6A B= =

e) { } { }1;3 , 4;5;6A B= = f) { } [ ]1;2 , 3;5A B= =

g) [ ] { }1;2 , 3;5A B= = h) [ ] [ ]1;2 , 3;5A B= = Soluţie parţială: a) { } { }2;3 , 4;6A B= = ⇒

( ) ( ) ( ) ( ){ }2;4 , 2;6 , 3;4 , 3;6A B× =

Reprezentarea e formată din patru puncte

b) { } [ ]2;3 , 4;6A B= = ⇒

( ) { }{ }, 2;3 şi 4 6A B x y x y× = ∈ ≤ ≤

Reprezentarea e formată din

două segmente paralele cu Ox c) [ ] { }2;3 , 4;6A B= =

( ) { }{ }, 2 3 şi 4;6A B x y x y× = ≤ ≤ ∈

Reprezentarea e formată din

două segmente paralele cu Oy

d) [ ] [ ]2;3 , 4;6A B= =

( ){ }, 2 3 şi 4 6A B x y x y× = ≤ ≤ ≤ ≤

Reprezentarea e formată dintr-un dreptunghi


50

Problema 2.1: Spuneţi în ce cadran sau pe ce axă de coordonate sunt situate punctele următoare: a) ( )2, 1A − a) ( )2, 1B − −

c) ( )2,1C d) ( )2,1D −

e) ( )0,1E f) ( )2,0F −

g) ( )0, 1G − h) ( )2,0H Problema 2.2: Daţi exemple de: a) un punct A din cadranul I care are abscisa iraţională b) un punct B din cadranul II care are ambele coordonate iraţionale c) un punct C din cadranul III care are suma coordonatelor egală cu -1 d) un punct D din cadranul IV care are produsul coordonatelor egal cu -1 e) un punct E de pe axa Ox cu abscisa negativă f) un punct F de pe axa Ox cu abscisa pozitivă g) un punct G de pe axa Oy cu ordonata pozitivă h) un punct H de pe axa Oy cu ordonata negativă Problema 3: Determinaţi numărul de funcţii :f A B→ , unde: a) { } { }2 , 5A B= = b) { } { }2;3 , 4A B= =

c) { } { }2 , 5;6A B= = d) { } { }2;3 , 5;6A B= =

e) { } { }2;3;4 , 5;6A B= = f) { } { }2;3 , 4;5;6A B= =

g) { } { }2;3;4 , 4;5;6A B= = h) { } { }2;3;6;8 , 4;5;6A B= = Problema 4: Verificaţi care din următoarele funcţii sunt pare sau impare: a) ( ) 3: ,f f x x→ = ; b) ( ) ( ) 3: 0; ,g f x x∞ → = ;

c) ( ) 2: , 1h h x x→ = + ; d) ( ) 2: ,i i xx

∗ → = ;

www.neutr

ino.ro


51

e) ( ) 2: , 2j j xx

∗ → = − ; f) ( ) 2007: ,k k x x+ → =

g) ( ) 2: ,j j xx

∗ → = − ; h) ( ): , 2007xk k x+ → =

Problema 5: Studiaţi monotonia funcţiilor următoare şi determinaţi punctul de extrem (minim sau maxim al acestor funcţii): a) ( ) 2 1f x x x= + + b) ( ) 2 3 2f x x x= + +

c) ( ) 2 5 6f x x x= − + − d) ( ) 2 4 4f x x x= − +

e) ( ) 2 2 1f x x x= − + − f) ( ) 2 2 2f x x x= − + − g) ( ) 2f x x= h) ( ) 2 1f x x= − + Problema 6,7,8: Verificaţi dacă funcţiile următoare sunt monotone: a) ( ): , 1f f x x→ = + ; b) ( ) ( ): 1;2 , 1g g x x→ = + ;

c) ( ) ( ) 2: 1;2 ,h h xx

→ = ; d) ( ) 2: ,i i xx

∗ → =

e) ( ): , 2 1f f x x→ = − ; f) ( ) ( ): 1;2 , 2 1g g x x→ = − ;

g) ( ) ( ) 2: 1;2 ,1

h h xx

→ =−

; h) ( ) 2

2: ,1

i i xx

∗ → =+

Problema 9: Ştim că funcţia :f → este inversabilă. a) dacă ( )2 3f = , calculaţi b) dacă ( )5 1f = , calculaţi ( )1 1f −

c) dacă ( )2 1f = , calculaţi ( )1 1f −

d) dacă ( )3 2f = − , calculaţi ( )1 2f − − Problema 10: Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2 3 5x x+ = b) 3 4 7x x+ = b) 1 1 2

2 3

x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c) 0,1 0,2 0,005x x+ =


52

Problema 11,12,13,14,15: Studiaţi bijectivitatea funcţiilor următoare şi, în caz afirmativ, calculaţi inversa: a) ( ): , 2 1f f x x→ = +

b) ( ) ( ) ( ): 1, 3, , 2 1f f x x∞ → ∞ = +

c) ( ) 2: , 1f f x x→ = +

d) [ ) ( ) 2: 0, ,f f x x→ ∞ =

e) ( ] [ ) ( ) 2: ,0 0, ,f f x x−∞ → ∞ =

f) ( ] [ ) ( ) 2: ,0 1, , 1f f x x−∞ → ∞ = + Problema 17: Scrieţi forma canonică a următoarelor funcţii: a) ( ) 2 1f x x x= + + b) ( ) 2 3 2f x x x= + +

c) ( ) 2 5 6f x x x= − + − d) ( ) 2 4 4f x x x= − +

e) ( ) 2 2 1f x x x= − + − f) ( ) 2 2 2f x x x= − + − g) ( ) 2f x x= h) ( ) 2 1f x x= − + Problema 18: Descompuneţi în factori următoarele expresii: a) ( ) 2 3 2E x x x= − + b) ( ) 2 2 1E x x x= − + c) ( ) 26 5 1E x x x= − + d) ( ) 24 4 1E x x x= + + e) ( ) 2 2E x x x= + − f) ( ) 2 2E x x x= − − g) ( ) 2 6 8E x x x= − + h) ( ) 2 12E x x x= − − Problema 20,21: Rezolvaţi următoarele sisteme simetrice:

a) 2

1x y

xy+ =⎧

⎨ =⎩ b)

32

x yxy+ =⎧

⎨ =⎩

c) 2 2 5

3x yx y

⎧ + =⎨

+ =⎩ d)

( )( )

2 3 77 9 5

x y xyx y xy

+ + =⎧⎪⎨ + − =⎪⎩

www.neutr

ino.ro


53

e) 3 3

2 2

77

x yx xy y

⎧ + =⎨

− + =⎩

f) 3 3

2 2

95

x yx y

⎧ + =⎨

+ =⎩

g) 2 2

1 1 43

7x y

x xy y

⎧ + =⎪⎨⎪ − + =⎩

h) 52

2 2 4

y xx y

x xy y

⎧ + =⎪⎨⎪ − + =⎩


a)Este un sistem simetric, notăm x y Sxy P+ =⎧

⎨ =⎩ şi folosind ecuaţia

ataşată este 2 21 20 2 1 0 1, 1t St P t t t t− + = ⇒ − + = ⇒ = = 1, 1x y⇒ = =

Problema 22: Rezolvaţi sistemele:

a) 2 2

2 2

19

x yx y

⎧ − = −⎨

+ =⎩ b)

2

2

2x x yx y

⎧ − =⎨

=⎩

c) 2 2

2 2

2 12 2x yx y

⎧ − =⎨

+ =⎩ d)

2 2

2 2

2 33 4x yx y

⎧ + =⎨

+ =⎩

e) 2 2

2

5 12 6

x yx y

⎧ − = −⎨

+ =⎩ f)

2 2

2 2

3 2 43 5

x xy yx xy y

⎧ − + =⎨

+ + =⎩

g) 2

2

1010

x xy yx xy y

⎧ + + =⎨

+ + =⎩ h)

2 2

2 2

3 2 43 3

x xy yx xy y

⎧ − + =⎨

+ − =⎩


a) Este un sistem omogen, notăm y tx= ⇒2 2 2

2 2

5 16

x t xx tx

⎧ − = −⎨

+ =⎩.

Împărţind cele 2 ecuaţii obţinem ( )( )

2 22

1,22

1 5 1 1 76 30 1 ;1 6 2 15

x tt t t

x t− ⎧ ⎫= − ⇒ − = − − ⇒ ∈ −⎨ ⎬+ ⎩ ⎭


54

Cazul I: 2

2 2 21 6 3 12 42 2 2

x xt y x x x= ⇒ = ⇒ + = ⇒ = ⇒ =

2 1x y⇒ = ± ⇒ = ± , deci soluţiile sunt ( ) ( ) ( ){ }, 2; 1 ; 2;1x y ∈ − −

Cazul II: 2

2 27 7 7 6 8 9015 15 15

x xt y x x= − ⇒ = − ⇒ − = ⇒ = ⇒

2 45 3 5 7 3 54 2 15 2

x x y= ⇒ = ± ⇒ = ⋅∓

Problema 24: Verificaţi inegalitatea mediilor în cazul numerelor următoare: a) 3 2x = + , 3 2y = − b) 5 2, 5 2x y= + = − ;

c) 12

x = , 13

y = ; d) ( )0, 3x = , 13

y =

e) 12

x = , 1b = ; f) 0,3x = , 13

y =

g) 12

x = , 0b = ; h) 14

x = , 12

y =

www.neutr

ino.ro


55

Capitolul 8 Mulţimi de numere

Problema 1. Calculaţi: a) 4 b) 4 16 ; c) 5 32 ; d) 6 64 ; e) 3 64 ; f) 3 256 ; g) 4 1024 ; h) 6 64 ; i) 5 128 ; Problema 2.1: Calculaţi:

a) 3

6 323 4

163322

⋅⋅⋅ ; b)

123

34 32

531553

⋅⋅⋅ ;

c) 5 4 2 103 7 63 : 21⋅ ⋅ ; d) 33 24228 ⋅⋅⋅ ;

e) 2882 ⋅ ; f) 121

4 33 55555−

⋅⋅⋅ ; Problema 2.2: Determinaţi mulţimea valorilor reale ale lui x pentru care au sens următoarele expresii, adică determinaţi intervalul de condiţii: a) 4 1 2x x− = − b) 3 1 2x x− = − c) 6 x x− = d) 5 1 2x x+ = −

e) 261 3 2

2x x x

x+

= − +−

f) 261 3 2

2x x x

x− +

= + ++

g) 251 3 2

2x x x

x− +

= + ++

h) 62

1 23 2x x

x x− +

= ++ +

Problema 3: Comparaţi următoarele numere reale : a) 34 126, 4, 280a b c= = =

b) 3 42, 7, 10a b c= = =

c) 3 42, 3, 100a b c= = =

d) 5 10100, 20, 1000a b c= = =


56

Problema 4: Rezolvaţi: a) 1 3 1x x+ = − b) 1 3 1x x+ = + c) 16 4x x+ = − d)

3 1 2x + = e) 3 3 23 1 1x x x− + = − f)

3 3 3 1 1x x x+ + = + g) 2 3 1 1x x+ − + = h) 3 4 4 2x x x+ + − = i) 3 2 1 1x x− + − = j) 3 35 7 5 12 1x x+ − − = Problema 5.1: Calculaţi:

a) ( ) 12 5 7 48 : 2 2 2−

⋅ ⋅ b) ( ) ( )2 23 33 9

−⎡ ⎤− ⋅⎣ ⎦

c) ( ){ }12 3 12 8 2 2 5 7 4 4 44 2 2 2 : 2 4 8 : 2 2 2 2 : 2−− ⎡ ⎤⋅ ⋅ + − − ⋅ ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦

d) ( ){ }12 3 12 8 3 2 4 3 7 4 4 43 3 9 3 :3 9 : 27 9 3 3 3 3 :3−− ⎡ ⎤⋅ ⋅ + − − ⋅ ⋅ ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦

e) ( ){ }12 3 12 3 3 2 8 3 7 4 4 45 5 5 5 :125 25 :5 5 25 5 5 5 :5−− ⎡ ⎤⋅ ⋅ + − − ⋅ ⋅ ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦

f) ( ) ( )

( )

2 23 3 3 6

3 95

2 4 8 : 2:22 2

−⎡ ⎤− ⋅⎣ ⎦⋅ −

g)

( ) ( )( )

2 23 3 3 6

3 95

3 9 27 :3:33 3

−⎡ ⎤− ⋅⎣ ⎦⋅ −

Problema 5.2: Comparaţi: a) 52 cu 72 ; b) ( )50,2 cu ( )70,2 ;

c) ( )52 cu ( )7

8 ; d) ( ) 52

− cu ( ) 7

8−

;

e)5

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ cu

7

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ f)

5

53

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ cu

7

53

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

g)51

4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

cu 7

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ h)

535

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

cu 73

5⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

www.neutr

ino.ro


57

Problema 6: Folosind proprietăţile radicalilor, calculaţi: a) 4 4 412 3 : 36⋅ b) 4 4412 : 3 : 4

c)4

4 4

123 : 36 d)

4

44

363 : 12

e) 4 412 3 : 6⋅ f) 4 812 3 : 6⋅ g) 412 3 : 6⋅ h) 8 412 3 : 6⋅ Problema 7: Calculaţi: a) 2 3 2 3;+ + − b) 3 2 2 3 2 2 ;+ + −

c) 8 3 7 8 3 7+ − − ; d) 9 4 5 9 4 5+ + − Problema 8: Raţionalizaţi numitorii fracţiilor următoare :

a) 12

b) 15

c) 13 2

d) 12 5

e) 3

15

f) 3 2

15

g) 7 2

13

h) 7 5

13

i) 12 3+

j) 12 3−

k) 12 3+

l) 12 3−

m) 3 3

15 3+

n) 3 3

15 3−

q) 3

15 3+

r) 3

15 3−

Problema 9: Nu există :


58

Problema 10: Calculaţi : a) 2log 8 ; b) 3log 1;

c) 21log64

; d) 16log21 ;

e) 4log 0, 25 ; f) 4log 0,125 g) lg100 ; h) lg 0,001

i) 3ln e ; j) 2ln e Problema 11: Determinaţi valorile lui x pentru care sunt definiţi logaritmii: a) ( )3log 4 x− ; b) ( )3log 1 x+ ; c) ( )log 1x x + ; d) ( )1log 2x x+ −

e) ( )23log 3 2x x− + ; f) ( )2

0,3log 4 4x x− + − ;

g) 2

4 21

2log2 7 3x

x

x xx x−

+

+ −− +

h) ( )21

2 1

log 2xx

x x−−

− −

i) ( )1 12 3

log log 1x⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

j) ( )( )1 22

log log 1x +

Problema 12.1: Calculaţi : a) 2log 1 ; b) 2log 2 ; c) 6 6log 3 log 2+ ; d) 6 6log 12 log 2− ; e) 6 6log 27 log 8+ ; f) 2 2log 60 log 15− ;

g) 2log 16 ; h) 43log 27 ;

i) 8log 2 ; j) 9log 27 ;

k) 3 52 16log ; l) ( )3 2

4 25,0log ;

m) 43 27log ; n) 5

2 64log ;

o) 3log 103 p) 2log 54

www.neutr

ino.ro


59

q) 2 2 2 2log 2 log 2 2 log 2 2 2 log 2 2 2+ + + + + + − +

r) 6 52 4 2

5log 2 6log 2 2 log 2 22

+ + + −

s) ( ) ( )6 8

1 1log 5 log 725 49+


r) 6 52 4 2

5log 2 6log 2 2 log 2 22

+ + + − =

( ) ( )2 2 21 1 1 5 1log 2 6 log 2 2 log 2 22 6 2 2 5

+ ⋅ ⋅ + + ⋅ − =

( ) ( )2 2 21 1 1log 2 log 2 2 log 2 22 2 2

+ + + − =

( )( )( )( ) ( )2 21 1 1log 2 2 2 2 2 log 2 2 2 12 2 2

⋅ + − = ⋅ ⋅ = ⋅ =

Problema 12.2: Logaritmaţi în baza ( ) { }0, \ 1b∈ ∞ expresiile:

a) 3 2E x y= b) 3 24E x y=

c) 3 24E x y= ⋅

d) 3 24 5E x y= ⋅

e) 5

6x yE

xy= f) 56E x y xy= ⋅

g) 6

23 3

54 yE xx z

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

h) 6

23

35

4 yE xx z

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

Problema 12.3: Ştiind că 2 2 2log 3 , log 5 , log 7a b c= = = , exprimaţi în funcţie de , ,a b c următoarele numere reale: a) 3log 2 b) 3log 4 c) 3log 5 d) 3log 6


60

e) 3log 7 f) 3log 8 g) 5log 7 h) 7log 5 Problema 13: Rezolvaţi următoarele ecuaţii: a) 4 3 2 2 0x x− ⋅ + = b) 9 3 6 0x x− − = c) 164210 =−⋅ xx d) xxx 543 =+ e) )32(log)1(log 22 −=+ xx f) 24log 1 =+x g) xx lg5lg61 2 =+ h) 2lglg2 =− xx

www.neutr

ino.ro


61

Capitolul 9 Combinatorică

Problema 1: Rezolvaţi următoarele ecuaţii:

a) ( 3)! 30;( 1)!nn

+=

+ b)

3 ! 1 ;( 2)! 4

nn

⋅=

+

c) (2 1)! 42;(2 1)!

nn

+=

− d)

! ( 1)! 8 ;( 1)! 7

n nn

+ +=

+

Problema 2: Nu există: Problema 3,4,5: Rezolvaţi următoarele ecuaţii: a) 6 4 424 11 ;x x xA x C A− ⋅ ⋅ = ⋅ b) 2 2

12 30;x xA A ++ ⋅ =

c) 3 2 33 3 3 24 ;x

x xC A−+ += ⋅ d) 2 2 2 2

1 1 240;x x x xA C A C+ +⋅ + ⋅ =

e) 8 4416 57 ;x xC A+⋅ = ⋅ f) 1 2 2

12 3 13.x x xC C C ++ ⋅ + ⋅ = Problema 3,4,5: Rezolvaţi următoarele ecuaţii: a) 6 4 424 11 ;x x xA x C A− ⋅ ⋅ = ⋅ b) 2 2

12 30;x xA A ++ ⋅ =

c) 3 2 33 3 3 24 ;x

x xC A−+ += ⋅ d) 2 2 2 2

1 1 240;x x x xA C A C+ +⋅ + ⋅ =

e) 8 4416 57 ;x xC A+⋅ = ⋅ f) 1 2 2

12 3 13.x x xC C C ++ ⋅ + ⋅ = Problema 6: a) Determinaţi numărul de funcţii: { } { }: 1,2,3 4,5f →

b) Determinaţi numărul de funcţii injective : { } { }: 1,2,3 4,5,6,7f →

c) Determinaţi numărul de funcţii surjective : { } { }: 1,2,3 4,5f →

d) Determinaţi numărul de funcţii: { } { }: 1,2,3 4,5,4f →

e) Determinaţi numărul de funcţii injective : { } { }: 1, 2,3 4,5,6f →

f) Determinaţi numărul de funcţii surjective : { } { }: 1, 2,3 4,5,6f →


62

Problema 7: Demonstraţi egalităţile : a) 1 2 3 12 3 ... 2 ;n n

n n n nC C C nC n −+ + + + = ⋅

b) 9 9 9 9 109 10 11 19 20... ;C C C C C+ + + + =

Problema 8: Scrieţi desfăşurat, folosind binomul lui Newton :

a) 2

12 ;3

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠ b) ( )32 ;x −

c) 4

3 1 ;xx

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠ d)

33 2 1 ;x

x⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

Problema 9: Care este al şaselea termen al fiecăreia din dezvoltările următoare?

a) 8

1 ;x xx

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠ b)

1213 ;xx

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 10

2 ;2x yy x

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠ d)

1111 ;3

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

Problema 10,11: Determinaţi rangul celui mai mare termen al fiecăreia din dezvoltările următoare:

a)1001 2 ;

2 3⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 801 3 ;

4 4⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 1003 2 ;

2 3⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 401 4 ;

5 5⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

Problema 12: Găsiţi câţi termeni raţionali şi câţi iraţionali are fiecare din următoarele dezvoltări :

a) ( )301 3 ;+ b) ( )40

32 3 ;+

c) ( )6042 2 ;+ d) ( )50

3 52 3 ;+

e) ( )2545 4 ;+ f)

10041 4 .

2⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

www.neutr

ino.ro


63

Problema 12: Găsiţi câţi termeni raţionali şi câţi iraţionali are fiecare din următoarele dezvoltări :

a) ( )301 3 ;+ b) ( )40

32 3 ;+

c) ( )6042 2 ;+ d) ( )50

3 52 3 ;+

e) ( )2545 4 ;+ f)

10041 4 .

2⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

Problema 13:

a) Găsiţi termenul care îl conţine pe 3x în dezvoltarea ( )92 .x y+

b) Găsiţi termenul care îl conţine pe 8x în dezvoltarea ( )204 .x x+

c) Găsiţi termenul care îl conţine pe 1x

în dezvoltarea 18

3

4

4 .3x

x⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

d) Determinaţi termenul din dezvoltarea

17

3

x yy x

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠în care x şi y

au puteri egale. Problema 14: Calculaţi: a) 0 1 2 8

8 8 8 8...C C C C+ + +

b) 0 1 2 88 8 8 8...C C C C− + − +

c) 0 2 4 88 8 8 8...C C C C+ + +

d) 1 3 5 78 8 8 8...C C C C+ + +


64

www.neutr

ino.ro


65

Capitolul 10 Permutări

Problema 1: Precizaţi a∈ pentru care următoarele tablouri sunt permutări :

a)1 2 3 41 4 3a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b)1 2 3 42 4 1 a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 1 2 33 4 1 2

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

d)1 3 42 4 1 3

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

e) 1 2 3 4 55 4 3 1a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

f)1 2 3 4 5

2 3 4 5a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Problema 2: Calculaţi inversele următoarelor permutări:

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4, ,

4 2 1 3 2 3 1 4 3 2 4 1α β γ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

, ,4 3 2 1 4 3 1 2 1 3 4 2

σ λ ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Problema 3: În mulţimea 4S a permutărilor de gradul 4 fie permutările:

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4, , ,

4 2 1 3 2 3 1 4 3 2 4 1 1 2 3 4eα β γ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Verificaţi dacă: a) e eα α= b) e eγ γ= c)αβ βα= d) αγ γα= e) βγ γβ= f) γα αγ= g) 1 1 eαα α α− −= = h) 1 1 eββ β β− −= = i) ( ) ( )αβ γ α βγ= j) ( ) ( )γ βα γβ α=


66

Problema 4: Să se determine numărul inversiunilor fiecăreia dintre următoarele permutări din 5 :S

a)1 2 3 4 5

;1 3 5 2 4

α⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 1 2 3 4 5

;4 3 5 1 2

β⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 1 2 3 4 5

;2 4 5 1 3

δ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 1 2 3 4 5

;3 2 5 1 4

θ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

e) 1 2 3 4 5

;5 3 1 2 4

ω⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

f) 1 2 3 4 54 5 1 3 2

ζ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Problema 5: Să se determine care din următoarele permutări din

6S sunt pare şi care sunt impare:

a) 1 2 3 4 5 63 2 5 6 1 4

α⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 1 2 3 4 5 65 2 4 6 1 3

β⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 1 2 3 4 5 61 2 5 6 3 4

γ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 1 2 3 4 5 62 6 5 3 4 1

δ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

e) 1 2 3 4 5 66 4 5 3 1 2

ε⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

f) 1 2 3 4 5 6

.4 6 1 5 3 2

φ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

www.neutr

ino.ro


67

Capitolul 11 Matrice

Problema 1,2: Nu există: Problema 3: Calculaţi transpusa următoarelor matrici:

( )1 2 4A = − , 436

B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

, 1 2 30 4 50 0 0

C⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, 7 0 02 0 10 3 0

D⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,

3 47 61 9

E⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, 1 0 03 1 02 1 1

F⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

, 1 0 00 2 00 0 5

G⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, 4 1 22 3 5

H−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Problema 4: Să se determine numerele reale x, y astfel încât să avem A B= în fiecare dintre cazurile următoare :

a) 1 4

2 3 2 3x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b)2 3 2

, ;6 5 6x

A By

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c) 1 1 3

1 3 3x y y

x y x y y+⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ d) 2

3 2 2, ;

2x y x

A Bx y x x

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Problema 7: Să se determine matricea C A B= ⋅ în fiecare dintre următoarele cazuri :

a) 1 2 2 1

, ;3 0 3 1

A B−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ b)

3 1 1 0, .

3 0 2 1A B

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c) 1 0 2 3

, ;3 1 1 1

A B⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ d)

1 1 1 4, .

5 2 2 1A B

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e) 1 1 2 1 3 10 1 1 , 0 1 1 .0 0 1 0 0 1

A B−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 0 1 0 1) 0 1 0 , 0 1 0

0 1 2 1 0 0f A B

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠


68

Problema 8,9: Calculaţi nA prin toate metodele posibile dintre: intuirea regulii, binomul lui Newton şi şiruri:

a) 1 01 2

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 1 20 1

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 1 01 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ d)

1 01 0

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

e) 1 1 20 1 10 0 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

f) 1 1 00 1 10 0 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

g) 1 0 20 1 00 0 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

h) 1 0 01 1 02 1 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Soluţie parţială: a)metoda I:

calculăm ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

8701

;4301 32 AA şi unii dintre noi intuiesc că

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= nnnA

21201

.Arătăm prin inducţie matematică acest lucru.

I. ( ) 1 1 01 :

2 1 2P A ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠adevărată

II. Presupunem ( )P k adevărată ( ) ( )? 1P k⇒ + adevărată, unde

( )1 0

:2 1 2

kk kP k A

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

( ) 11 1

1 01 :

2 1 2k

k kP k A ++ +

⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Ştim că: 11 0 1 0 1 01 22 1 2 2 1 2

k kdk k k k

A A A +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− − ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

www.neutr

ino.ro


69

11 1

1 0( 1)

2 1 2k

k kA P k+

+ +

⎛ ⎞⇒ = ⇒ +⎜ ⎟

−⎝ ⎠adevărată ( )P n⇒ adevărată, n∀ ∈

metoda II:

Fie ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒−=

1100

2 BIAB BB =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒

1100

1100

11002

deci 1, ≥∀= kBBk 0 0 12( ) ...n n n n

n n nA I B C B C B C B⇒ = + = + + +

∑=

++++=+=⇒n

k

nnnn

kn

n CCCBICBIA1

2122 )...(

)...( 02102 n

nnnnn

n CCCCCBIA −+++++=⇒

)12(2 −+=⇒ nn BIA ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒

121200

1001

nnnA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=⇒

nnnA

21201

Se arată apoi prin inducţie ca la metoda I.

e) .100110211

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=A Calculăm 32 , AA şi obţinem

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100310931

,100210521

32 AA şi nu putem intui forma generală

pentru nA (cel puţin eu nu o intuiesc). Folosim metoda II, binomul

lui Newton 3

0 1 20 0 10 0 0

B A I B⎛ ⎞⎜ ⎟= − ⇒ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


70

Calculăm ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

000000100

2B şi 33 OB =

Din ⇒+=⇒+= nn BIABIA )( 33 putem aplica binomul lui Newton căci 33 BIBI = ,deci nn

nnnnn BCBCBCICA ++++= …221

30

Cum 3,333 ≥∀=⇒= kOBOB k 0 1 2 2

3n

n n nA C I C B C B⇒ = + + ⇒

23

( 1)12

n n nA I n B B−= ⋅ + ⋅ +

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ +

=⇒100

102

312

n

nnn

An

Se arată apoi prin inducţie. Problema 10: Să se calculeze matricea ( )f A în fiecare dintre cazurile următoare :

a) 2 1

, ( ) 2 ;1 3

A f x x⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 2 1

, ( ) 2 1;1 3

A f x x⎛ ⎞

= = +⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 22 1, ( ) 2 2;

1 3A f x x x

⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

d) 3 22 1, ( ) 3 2 5;

1 3A f x x x x

⎛ ⎞= = − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

e) 2

1 1 00 1 1 , ( ) 2 ;0 0 1

A f x x x⎛ ⎞⎜ ⎟= = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

www.neutr

ino.ro


71

Problema 11: a)Arătaţi că 2 ( ),A M∀ ∈ A verifică relaţia:

222 )det()( OIAAAtrA =+− ,unde 11 22( )tr A a a= + .

b)Determinaţi matricile 2 ( )X M∈ cu det( ) 0X = şi care verifică

relaţia 3 2 2 23

2 2X X

− −⎛ ⎞− = ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

.

c)Determinaţi matricile , ,n n nA B C dacă 1 2 2 1 2 1

, , .3 6 8 4 8 4

A B C⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


a)2

22

a b a b a b a bc ab bdA A

c d c d c d ac cd bc d⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⇒ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )a d a a d b

tr A a d tr A Aa d c a d d

+ +⎛ ⎞= + ⇒ ⋅ = ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

.0

0detdet 2 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⋅→−=

bcadbcad

IAbcadA

Înlocuind în relaţie obţinem: 2 2

22 2

00

ad bca bc ab bd a ad ab bdO

ad bcac cd bc d ac cd ad d−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + ⎛ ⎞

− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−+ + + + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

adică relaţia cerută . b) 2 ( )X M C X∈ ⇒ verifică relaţia de la punctul a)

22 2( ) det( )X tr X X X I O⇒ − + =

Dar , 2det( ) 0 ( ) .X X tr X X= ⇒ = Fie

2( )a b

X tr X ad bc t X t Xc d

⎛ ⎞= ⇒ = − = ∈ ⇒ = ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠| X⋅

3 2 2X tX t t X t X= = ⋅ ⋅ = ⋅ .Cum 3 2 2 23

2 2X X

− −⎛ ⎞− = ⇒⎜ ⎟− −⎝ ⎠


72

2 2 2( )

2 2t t X

− −⎛ ⎞− = ⇒⎜ ⎟− −⎝ ⎠

( ) 2 .a a

X tr X aa a

⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Deci, 2 3 22 2(4 2 ) 4 2 2

2 2a a

a a a aa a

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ⇔ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

|:2

3 21 2 3

12 1 0 1;2

a a x x x⇔ − + = ⇒ = = = − cu Horner

1 11 1

X ⎛ ⎞⇒ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ respectiv

1 12 2 .1 12 2

X

⎛ ⎞− −⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠

Problema 12: a) Fie a b

Ab a

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, , , 0a b b∈ ≠ . Arătaţi că dacă

( )2X M∈ verifică AX XA= , atunci u v

Xv u

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠;

b) Fie 0 11 0

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Arătaţi că dacă ( )2X M∈ verifică

AX XA= , atunci a b

Xb a

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠;

c) Fie 0 01 0

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠. Arătaţi că dacă ( )2X M∈ verifică AX XA= ,

atunci 0x

Xy x

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠;

d) Fie 1 00 0

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠. Arătaţi că dacă ( )2X M∈ verifică AX XA= ,

atunci 0

0a

Xb

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠;

www.neutr

ino.ro


73

Capitolul 12 Determinanţi

Problema 1: Calculaţi cu ajutorul formulelor de calcul următorii determinanţi de ordin 3:

a) a b cd e fg h i

b)b c ad a be c f

c) a d cd a aa d d

d) a c ca c aa c a

e) 2 1 03 2 10 2 1

f) 2 1 0

1 2 10 2 1

−

−

g) 2 1 0

4 5 10 2 1

− h)

2 1 03 2 10 2 1

−

Problema 2: Fie matricea 2 3 41 2 33 1 2

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Calculaţi minorii şi

complemenţii algebrici asociaţi următoarelor elemente: a) 11a b) 32a c) 13a d) 22a e) 12a f) 21a g) 23a h) 31a


74

Problema 3: Dacă ihgfedcba

=Δ 2= , calculaţi:

a) 1

a b cg h id e f

Δ = ; b) 2

b a ch g ie d g

Δ =

c) 3

b h ea g dc i g

Δ = ; d) =Δ4

3 3 3a b cd e fg h i

e) 5

3 3 33 3 33 3 3

a b cd e fg h i

Δ = ; f) =Δ6

cd ce cfd e fg h i

g) 7 2 3 2 3 2 3a b c

a g b h c ig h i

Δ = + + + ;

h)

ihg

xfxexdcba

ihg

fxexdxcba

22

22

22

2228 −−−+−−−=Δ

i) 9

a b cd e f

a d g b e h c f iΔ =

+ + + + + +

Soluţie parţială: a) 1Δ se obţine din Δ prin inversarea 2l cu 3l 1 1 2⇒ Δ = −Δ ⇒ Δ = − b) 2Δ se obţine din 1Δ prin inversarea 1c cu 2c 2 1 2 2⇒ Δ = −Δ ⇒ Δ = c) 3Δ are ca matrice traspusa matricii lui 2 3 2 3 2Δ ⇒ Δ = Δ ⇒ Δ = e obţine din 1Δ prin inversarea 1c cu 2c 2 1 2 2⇒ Δ = −Δ ⇒ Δ =

www.neutr

ino.ro


75

d)Scoţând factor comun de pe prima linie pe 3 4 3 6⇒ Δ = ⋅Δ = e) 54227333 515 =⋅=Δ⇒Δ⋅⋅⋅=Δ

f) 06 ==Δihgfedfed

c căci are două linii identice

g) ∆7 se descompune în sumă de doi determinanţi astfel:

0323332227 =⋅+⋅=+=Δihgihgcba

ihgcbacba

ihgihg

cba

ihgcba

cba,

căci fiecare din cei doi determinanţi are câte două linii identice

h)Adunând cei doi determinanţi obţinem 288 =Δ⇒Δ==Δihgfedcba

i) 200 99 =Δ⇒Δ++=++=Δihgfedcba

fedfedcba

cbafedcba

Problema 4: Calculaţi determinantul

1 1 2 11 3 4 01 1 0 02 1 3 0

−

− prin

dezvoltare după linia sau coloana indicată în ficare caz: a) dezvoltare după linia 1; b) dezvoltare după linia 2; c) dezvoltare după linia 3; d) dezvoltare după linia 4;


76

Problema 5: Calculaţi prin formare de zerouri următorii determinanţi:

a) 2 1 03 2 10 2 1

b) 2 1 0

1 2 10 2 1

−

−

c)

1 1 2 11 3 4 01 1 0 02 1 3 0

−

− d)

1 1 2 11 0 4 01 1 0 02 1 3 0

−

−

Problema 6: Calculaţi următorii determinanţi, scriiind rezultatul sub formă de produs:

a) 12 2 2

1 1 1a b ca b c

Δ =

b) 2 2 2 2 2

3 3 3 3

1 1 1 1a b c da b c da b c d

Δ =

c) 2 23

2 2

22

2

a b a ba b ab a ba b a b ab

− −Δ = − − +

− + −

d) 42 2 2 2 2 2

b c c a a bb c c a a b

b c c a a b

− − −Δ = + + +

− − −

www.neutr

ino.ro


77


a)222

1

111

cbacba=Δ . Efectuând 2 1 3 1,c c c c− − obţinem

))(())((

001001

2222221

acacababaacaba

acabaacaba

+−+−−−=

−−−−=Δ

Dezvoltând după 1 1 ( )( ) ( )( )b a c a

lb a b a c a c a

− −⇒ Δ =

− + − +

Dând factor comun 1c pe ( )b a−

şi din 3c

pe ( )c a−

)()(11

))((1 acabacab

++−−=Δ⇒

))()((1 abacacab −−+−−=Δ⇒ ))()((1 bcacab −−−=Δ⇒

b) Analog pentru 2Δ , vom efectua:

E1) 2 1 3 1 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3

1 0 0 0

; ;a b a c a d a

C C C C C Ca b a c a d aa b a c a d a

− − −− − − ⇒ Δ =

− − −− − −

E2) Dezvoltăm dupa prima linie şi descompunem 2 2 3 3 2 2( )( ), ( )( )x y x y x y x y x y x xy y− = − + − = − + + ⇒

))(())(())(())(())(())((

2222222

adadadacacacabababadadacacabab

adacab

++−++−++−+−+−+−

−−−=Δ

E3)Dăm factor comun la 1C pe ( )b a− , la 2C pe ( )c a− , la


78

pe ( )d a− ⇒

22 2 2 2 2 2

1 1 1( )( )( )b a c a d a b a c a d a

b ba a c ca a d da aΔ = − − − ⋅ + + + =

+ + + + + +

3( )( )( )b a c a d a= − − − ⋅Δ E4)La 3Δ facem

babdadbabcacababbdbcabCCCC

−−+−−+++−−+=Δ⇒−−

22222231312

001;

E5)Dezvoltând după prima linie

3 ( )( ) ( ) ( )( ) ( )c b d b

c b c b a c b d b d b a d b− −

⇒ Δ = ⇒− + + − − + + −

3 ( )( ) ( )( )c b d b

c b c b a d b d b a− −

Δ =− + + − + +

E6)Dăm factor la 1C pe ( )c b− la 2C pe ( )d b−

31 1( )( )c b d b

c b a d b a⇒ Δ = − − ⋅ ⇒

+ + + +

3 3( )( )( ) ( )( )( )c b d b d b a c b a c b d b d cΔ = − − + + − − − ⇒ Δ = − − − ⇒

2 ( )( )( )( )( )( )b a c a d a c b d b d cΔ = − − − − − −

c)abbababaabbababa

22

2

22

221

−+−+−−−−

=Δ

E1) Adunăm 22 3 3

2 2 2

2 2( )2 ( )

( )

a b a bC C a b ab a b

a b a b a b

− −+ ⇒ Δ = − − −

− + −

www.neutr

ino.ro


79

E2)Dăm factor comun la 3C pe ( )a b−

0222

)( 122

1 =Δ⇒−+−−−−

−⋅−=Δ⇒

babababaabba

baba căci are 1 3C C= .

2222222 _

baaccbbaaccbbaaccb

−−−++−−−

=Δ

E1)Adunăm 23 CC + la 1C 42 2 2 2

02( )

0

c a a ba b c c a a b

c a a b

− −⇒ Δ = + + + +

− −

E2)Descompunem după

1 4 2( )( )( ) ( )( )

c a a bC a b c

c a c a a b a b− −

⇒ Δ = + + ⋅− + − +

E3)Dăm factor comun la 2C pe ( )c a− la 3C pe ( )a b−

41 12( )( )( )a b c c a a b

c a a b⇒ Δ = + + − − ⋅ ⇒

+ +

4 2( )( )( )( )a b c c a a b a b c aΔ = + + − − + − −

4 2( )( )( )( )a b c c a a b b c⇒ Δ = + + − − − Problema 7: Calculaţi următorii determinanţi Vandermonde:

a) 2 2 2

1 1 1a b ca b c

b) 2 2 2

4 4 4

1 1 1a b ca b c

c) 1 1 12 3 44 9 16

d) 1 1 11 2 3

1 4 9− −


80

e) 2 2 2 2

3 3 3 3


f) 2 2 2 2

4 4 4 4

8 8 8 8


g)

1 1 1 11 2 3 11 4 9 11 8 27 1

−

−

h)

1 1 1 11 1 2 21 1 4 41 1 8 8

− −

− −

Problema 8: Calculaţi rang A pentru :

a) 1 42 3

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 1 42 8

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 0 00 0

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

d) ( )3A =

e)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

111012111

A ; f)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

=

41222111

20122111

A

g)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

=

04122021110201214121

A ;

h)

1 2 1 2 32 4 3 6 93 6 9 18 274 12 27 54 81

A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

;

Soluţie parţială: a) ( )2,2 2A M rangA∈ ⇒ ≤ . Deoarece A este matrice pătratică, calculăm det 1 0 2 1 0 2 2 0 2A rangA= + + + − − = ≠ ⇒ = ;

www.neutr

ino.ro


81

g)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

=

04122021110201214121

A . Din ( ) { }4,5 min 4;5A M rangA∈ ⇒ ≤

4rangA⇒ ≤ . Cum A nu e pătratică, nu putem calcula det A .

Fie minorul 2042211

≥⇒≠=−

=Δ rangA .

Bordăm cu 05122111012

23 ≠−=−⇒lsiC 3rangA⇒ ≥

Bordam cu 1L şi 4C

1 2 1 42 1 0 2

01 1 1 22 2 1 4

−

⇒ =− −

, căci dacă din 4C dăm

factor comun pe 2 obţinem 2C şi 4C identice . Acest lucru nu este suficient pentru a demonstra că 3rangA = , ar trebui ca toţi minorii de ordin 4 obţinuţi prin bordare să fie nuli. Aşadar, bordăm altfel, adaug 1 5şi l c ⇒

( )1 4

1 2 1 12 1 0

2 1 0 01 1 1 1 5 0 4

1 1 1 02 2 1

2 2 1 0

rangA+

−

= − ⋅ − = ≠ ⇒ =−


82

Problema 9: Verificaţi dacă matricile A şi B verifică relaţiile: 3A B I⋅ = şi 3B A I⋅ = . Ce puteţi deduce din aceste relaţii?

a) 2 11 2

; ;3 13 42 2

A B−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b)

7 21 2 5 5; ;1 7 1 1

5 5

A B

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎝ ⎠ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 0 13 4

; ;1 31 04 4

A B⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Problema 10: Să se precizeze care dintre următoarele matrice nesingulară şi, dacă e cazul, să se determine inversa :

a) 2 3

;1 0

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 1 12 2 ;1 2

B−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 2 3

;4 6

C⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 1 1 12 1 01 1 1

D−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

e) 1 1 22 2 4 ;3 2 1

E⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

f) 1 2 32 3 1 .3 1 2

F⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

g) 2 1 11 2 1 ;2 0 2

G⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

h)2 1 11 2 0 ;2 0 0

H⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

www.neutr

ino.ro


83


d) 02201201det ≠=−−+++=A 1,A−⇒ ∃ unde 1 1det

A AA

− ∗= ⋅

Calculăm matricea adjunctă ∗A 1 2 11 1 11 0 1

tA⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

deci

* * *11 12 13* * *21 22 23* * *31 32 33

a a aA a a a

a a a

∗

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

unde

*, .( 1)i j

i j i ja d+= − ⋅ , găsiţi din tA

* 1 11,1

1 1( 1) 1

0 1a + −

= − ⋅ = , * 1 21,2

1 1( 1) 0

1 1a + −

= − ⋅ =−

.

Continuând procedeul obţinem *

1 0 12 2 23 2 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

.

1

1 101 0 1 2 21 2 2 2 1 1 12

3 2 1 3 112 2

A−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⇒ = − − = − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

.


84

www.neutr

ino.ro


85

Capitolul 13 Sisteme de ecuaţii liniare

Problema 2: Să se rezolve, folosind metoda lui Cramer, sistemele:

a) 2 4

3 2 62 3 4 9

x y zx y z

x y z

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

b) 2 3 3

2 3 3;3 2

x y zx y zx y z

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

c) 3 2 1

2 32 3

x y zx y zx y z

− + =⎧⎪ + + =⎨⎪− + + =⎩

d) 2 3

3 4 9;3 2 2 5

x y zx y zx y z

+ + =⎧⎪− + − =⎨⎪ + + =⎩

e) 2 3

2 3 1;3 4

x y zx y zx y z

+ + =⎧⎪ + − =⎨⎪ + + =⎩

f) 2 4

2 5 .3 2 7

x y zx y z

x y z

+ + =⎧⎪ + − =⎨⎪ + + =⎩


a)A=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

432231112

. det A= 41263424 −−−++ ⇒ det A=9

Sistemul se poate rezolva cu regula lui Cramer

Δ x= 9242427181848439236114

=−−−++=

Analog Δ y 9492261142

== , Δ z 9932631412

==

Ax x

detΔ

= =1, A

y y

detΔ

= =1, A

z z

detΔ

= =1.


86

Problema 3. Rezolvaţi sistemele :

a) 2 4

3 64 2 2 10

x y zx y z

x y z

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

b) 2 4

3 64 2 2 8

x y zx y z

x y z

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

c) 2 5

3 64 2 2 9

x y z tx y z t

x y z t

+ + + =⎧⎪ + + + =⎨⎪ + + + =⎩

d)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+=+

=+=+

43532

4332

yxyx

yxyx

e)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+=+

=+=+

33532

4332

yxyx

yxyx

f)

2 3 32 4 1

.2 0

2 2 4

x y yx y zx y zx y z

+ − =⎧⎪ − + =⎪⎨− + − =⎪⎪ + − =⎩

g) 2 3 5

2 1 ;3 4 2 5

x y z tx y z

x y z t

− + + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + + =⎩

h) 2 4

2 3 7;2 3 4

x y zx y z tx y z t

+ + =⎧⎪ + + + =⎨⎪ − + + =⎩


a)A=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

224131112

, detA= 0 căci are l1 şi l3 proporţionale.

Calculăm rang A

⇒≠=−= 05163112

rang A 2≥ .Deoarece det A=0⇒ rang A=2

şi 53112

==Δ p este minorul principal.

www.neutr

ino.ro


87

Calculăm toţi minorii caracteristici:

⇒≠=Δ⇒−−−++==Δ 010102448248601024631412

cc siste-

mul este incompatibil.

b)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

224131112

A . det A=0 căci are 1l si 3l proporţionale

calculam rang A şi analog exemplului anterior⇒ rang A=2,

053112

≠==Δ p este minorul principal.

Avem un singur minor caracteristic 0824631412

==Δc căci are 1l şi

3l proporţionale⇒ sistemul este compatibil. Notăm cu z α= necunoscuta secundară iar x,y sunt necunoscute principale .

Sistemul devine: ⎩⎨⎧

−−=+−=+

)2(|6342

αα

yxyx

.

Prin adunare obţinem: 85 8

5y y αα −

− = − + ⇒ = . Înlocuind 6 3x yα= − − ⇒

24 365

x αα −= − − ⇒ 30 5 24 3 6 2

5 5x xα α α− − + −

= ⇒ = .

Soluţia sistemului este

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−=

−=

α

α

α

z

y

x

58

526


88

c)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

122411311112

A . A nu e pătratică deci calculăm rang A

2 16 1 5 0

1 3= − = ≠ ⇒ rang A 2≥ .

Bordăm224131112

⇒ =0 căci 1l si 3l sunt proporţionale.

Deoarece2 1 11 3 14 2 1

= 6+4+2–12–4–1= –5 0≠ ⇒ rang A 3≥

Deoarece nu există minori de ordinul 4 rezultă ca rang A=3 . Nu există minori caracteristici, deci sistemul e compatibil cu x,y,z necunoscute principale si t necunoscuta secundara. Notăm t =α

Sistemul devine 2 5

3 64 2 2 9

x y zx y z

x y z

αα

α

+ + = −⎧⎪ + + = −⎨⎪ + + = −⎩

229136115

ααα

−−−

=Δ x , 294161152

ααα

−−−

=Δ y si ααα

−−−

=Δ924631512

z

soluţiile sistemului sunt : x

p

x Δ=

Δ,

p

yyΔ

Δ= ,

p

zzΔΔ

=

www.neutr

ino.ro


89

d)

2 11 32 33 1

A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. A nu e pătratică, calculam rang A

05163112

≠=−= ⇒ rang A 2≥ .

Deoarece nu există minori de ordinul 3 rezultă rangA=2

0524189830532431312

1=−−−++==Δc

2

2 1 31 3 4 24 12 3 27 4 8 03 1 4

cΔ = = + + − − − =

Deoarce toţi minorii caracteristici sunt nuli rezultă că sistemul este compatibil. Păstrăm doar ecuaţiile ce intră in minorul principal şi

obţinem ⎩⎨⎧

−=+=+

)2(|4332

yxyx

.

Adunând obţinem 5 5y− = − ⇒ y =1, înlocuind rezultă x =1

e)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

13323112

A calculăm ca la punctul anterior rangA 2rangA⇒ = ,

05163112

≠=−==Δ p . Calculăm minorii caracteristici

1

2 1 31 3 4 30 8 9 18 24 5 02 3 5

cΔ = = + + − − − =


90

2

2 1 31 3 4 18 12 3 27 3 8 5 03 1 3

cΔ = = + + − − − = − ≠

Deoarece există un minor caracteristic nenul⇒ sistemul e incompatibil Problema 4. Discutaţi compatibilitatea următoarelor sisteme, folosind teorema lui Rouche, apoi teorema lui Kronecker-Capelli(fără a rezolva efectiv sistemnele):

a) 2 4

3 64 2 2 10

x y zx y z

x y z

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

b) 2 4

3 64 2 2 8

x y zx y z

x y z

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

c) 2 5

3 64 2 2 9

x y z tx y z t

x y z t

+ + + =⎧⎪ + + + =⎨⎪ + + + =⎩

d)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+=+

=+=+

43532

4332

yxyx

yxyx

e)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+=+

=+=+

33532

4332

yxyx

yxyx

f)

2 3 32 4 1

.2 0

2 2 4

x y yx y zx y zx y z

+ − =⎧⎪ − + =⎪⎨− + − =⎪⎪ + − =⎩

Problema 5.1. Determinaţi valorile real ale parametrului m astfel încât următoarele sisteme să aibe:

a) soluţii diferite de soluţia banală:2 02 2 02 0

x my zx y zx y z

+ + =⎧⎪ + − =⎨⎪ − + =⎩

b) soluţii diferite de soluţia banală:2 0

2 03 2 0

x y zx my z

x y z

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ − + =⎩

www.neutr

ino.ro


91

c) doar soluţia banală: 000

mx y zx my zx y mz

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

d) doar soluţia banală: 0

02 0

mx y zx y zx y z

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

e) soluţii diferite de soluţia banală:2

000

mx y zx my zx y m z

⎧ + + =⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

f) soluţii diferite de soluţia banală:2 0

2 02 0

mx y zx my zx y mz

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩


a)

det 0A =2 1

det 2 2 1 4 4 12 1 1

mA m m⇒ = − = − − ⇒ = −

−

Problema 5.2. Rezolvaţi următoarele sisteme omogene:

a) 2 0

2 0;2 0

x y zx y zx y z

− − =⎧⎪ + − =⎨⎪ − + =⎩

b) 2 0

2 0 ;3 2 0

x y zx y z

x y z

+ − =⎧⎪ − − =⎨⎪− + − =⎩

c) 3 0

2 5 0 ;3 4 2 0

x y zx y z

x y z

+ + =⎧⎪ − − =⎨⎪ − + =⎩

d) 4 3 2 02 4 3 0;2 0

x y zx y zx y z

− − =⎧⎪− + + =⎨⎪ + + =⎩

e) 2 03 0 ;

2 2 3 0

x y zx y z

x y z

+ + =⎧⎪ − − =⎨⎪ + − =⎩

f) 2 0

3 2 3 0.4 0

x y zx y zx y z

+ − =⎧⎪− + + =⎨⎪ − − + =⎩


92

www.neutr

ino.ro


93

Capitolul 14 GRUP

Problema 1: Să se precizeze care dintre următoarele operaţii sunt legi de compoziţie pe mulţimea M indicată în fiecare caz: a) adunarea pe { }2 1/M k k= + ∈ b)înmulţirea pe { }2 1M k k= + ∈ c) adunarea pe { }2 /M k k= ∈ d)înmulţirea pe { }2 /M k k= ∈ Soluţie parţială: a) adunarea numerelor întregi nu este lege internă pe mulţimea M (căci există 2 numere impare care adunate nu dau număr impar, de exemplu: 1 , 3 şi a+b=4a M b M M= ∈ = ∈ ∉ b)

înmulţirea numerelor reale este lege internă pe mulţimea M

( )2 1 , 2 1 4 2 2 1

2 2 1a p M b s M a b ps p s

ps p s M= + ∈ = + ∈ ⇒ ⋅ = + + +

= + + + ∈

Problema 2: Alcătuiţi tablele următoarelor legi: a) , ,x y x y x y∗ = + ∀ ∈ şi { }1,2,3,4 ;M = b) , ,x y x y x y∗ = ⋅ ∀ ∈ şi { }1,2,3,4 ;M = c) , ,x y x y x y∗ = − ∀ ∈ şi { }1,2,3,4 ;M = d) max( , ), ,x y x y x y∗ = ∀ ∈ şi { }1,2,3,4 ;M = Problema 3: Precizaţi care din următoarele legi sunt legi de compoziţie pe mulţimile M indicate: a) 2, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )1, ;M = ∞ b) 2 2 6, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )2, ;M = ∞ c) 3 3 12, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )3, .M = ∞ d) 4 4 20, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )4, .M = ∞ Soluţie parţială: a) ( ), ?x y M x y M∀ ∈ ⇒ ∗ ∈

1 1 0x M x x∈ ⇒ ≥ ⇒ − ≥


94

1 1 0y M y y∈ ⇒ ≥ ⇒ − ≥ Înmulţind relaţiile obţinem ( )( )1 1 0 1 0 1x y xy x y xy x y x y M− − ≥ ⇔ − − + ≥ ⇔ − − ≥ − ⇔ ∗ ∈ Problema 4: Precizaţi dacă operaţia de înmulţire a numerelor reale este lege de compoziţie pe mulţimile M indicate: a) { }2 22 / , , 2 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =

b) { }2 23 / , , 3 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =

c) { }2 25 / , , 5 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =

d) { }2 26 / , , 6 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =

Problema 5: Precizaţi dacă operaţia de înmulţire a matricilor este lege de compoziţie pe mulţimile M indicate:

a) ( )2

1 0

12

0 0 1

xxM A x x x

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟= = − − ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

b) ( )2

1 0

12

0 0 1

xxM A x x x

⎧ − ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟= = − ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

c) ( )1 0

0 0 0 /0 1

x xM A x x

x x

⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= = ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟−⎝ ⎠⎩ ⎭

d) ( )1 0

0 0 0 /0 1

x xM A x x

x x

⎧ ⎫+ −⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= = ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟− +⎝ ⎠⎩ ⎭

Soluţie parţială: a) ( )( ), ( ) ( ) ( ) ?A x A y M A x A y M∀ ∈ ⇒ ⋅ ∈

www.neutr

ino.ro


95

2 2

1 0 1 0

( ) ( ) 1 12 2

0 0 1 0 0 1

x yx yA x A y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = − − ⋅ − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

1 0

( ) 1 ( ) deoarece 2 2

0 0 1

x yx yx y xy M x y

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− + − − − = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2 2( )2 2 2x y x yxy +

− − − = −

Problema 6: Precizaţi care din următoarele legi sunt asociative: a) 2, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )1, ;M = ∞ b) 2 2 6, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )2, ;M = ∞ c) 3 3 12, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )3, .M = ∞ d) 4 4 20, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )4, .M = ∞ Problema 7: Precizaţi care din următoarele legi sunt asociative: a) înmulţirea numerelor reale pe { }2 22 / , , 2 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =

b) înmulţirea numerelor reale pe { }2 23 / , , 3 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =

Problema 8: Precizaţi care din următoarele legi sunt asociative:

a) înmulţirea matricilor pe ( )2

1 0

12

0 0 1

xxM A x x x

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟= = − − ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭


96

b) înmulţirea matricilor pe ( )1 0

0 0 0 /0 1

x xM A x x

x x

⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= = ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟−⎝ ⎠⎩ ⎭

Soluţie parţială: a) Deoarece înmulţirea matricilor e asociativă pe 3M ( ) şi înmulţirea matricilor este lege internă pe ( )3M M⊂ ⇒înmulţirea matricilor este asociativă şi pe M Problema 9: Precizaţi care din următoarele legi sunt comutative: a) 2, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )1, ;M = ∞ b) 2 2 6, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )2, ;M = ∞ c) 3 3 12, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )3, .M = ∞ d) 4 4 20, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )4, .M = ∞ Problema 10: Precizaţi care din următoarele legi sunt comutative: a) înmulţirea numerelor reale pe { }2 22 / , , 2 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =


c) înmulţirea numerelor reale pe { }2 25 / , , 5 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =

d) înmulţirea numerelor reale pe { }2 26 / , , 6 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =

Soluţie parţială: a) Deoarece înmulţirea e comutativă pe şi cum înmulţirea este lege internă pe M ⊂ (s-a arătat la un exerciţiu anterior), rezultă că înmulţirea este comutativă pe M. Problema 11: Precizaţi care din următoarele legi sunt comutative:


1 0

12

0 0 1

xxM A x x x

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟= = − − ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

www.neutr

ino.ro


97


0 0 0 /0 1

x xM A x x

x x

⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= = ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟−⎝ ⎠⎩ ⎭

c) înmulţirea matricilor pe ( )1 ln 0

( ) 0 1 0 , , 00 0

xM A x A x x x

x

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= = ∈ >⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭

d) înmulţirea matricilor pe ( ) ( )1 0

0 0 /0 0 1

x

x

M A x A x e x

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪= = ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

Soluţie parţială: a) Deoarece înmulţirea matricilor nu e comutativă pe 3M ( ), nu putem folosi ereditatea. Se arată uşor că M(a) iM(b)=M(a+b) Vrem să arătăm că ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )M a M b M M a M b M b M a∀ ∈ ⇒ =i i

( ) ( )M a b M a b⇔ + = + , relaţie adevărată. Deoarece s-au folosit echivalente ⇒ înmulţirea matricilor este comutativă pe M Problema 12: Precizaţi care din următoarele legi admit element neutru şi, în caz afirmativ, determinaţi elementul neutru: a) * 5 20( ) 84x y xy x y= − + + şi [ )4, ;M = ∞ b) 2 2 6, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )2, ;M = ∞ c) 3 3 12, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )3, .M = ∞ d) 4 4 20, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi [ )4, .M = ∞ Soluţie parţială: a) e G∃ ∈ a.î. ( )* * ?x G x e e x x∀ ∈ ⇒ = = Fie * 5 20( ) 84x e x xe x e x= ⇔ − + + = (5 20) 21 84e x x⇔ − = −

Pentru 21( 4) 215 20 0 45( 4) 5

xx x ex

−− ≠ ⇔ ≠ ⇒ = =

−


98

Pentru 5 20 0 4x x− = ⇔ = obţinem 0 0e∗ = , adevărată

e∀ ∈ dar e trebuie să fie acelaşi, [ ) 214,5

x e G∀ ∈ ∞ ⇒ = ∈ căci

21 45

> (1)

Deoarece * comutativă pe G (căci evident * * , ,x y y x x y G= ∀ ∈ )

* *x e e x⇒ = (2) Din (1)+(2) 215

e⇒ = element neutru

Problema 13: Precizaţi care din următoarele legi admit element neutru şi, în caz afirmativ, determinaţi elementul neutru:


1 0

12

0 0 1

xxM A x x x

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟= = − − ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭


0 0 0 /0 1

x xM A x x

x x

⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= = ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟−⎝ ⎠⎩ ⎭

c) înmulţirea matricilor pe ( )1 ln 0

( ) 0 1 0 , , 00 0

xM A x A x x x

x

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= = ∈ >⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭


a) Deoarece înmulţirea matricilor are pe 3( )M pe 3

1 0 00 1 00 0 1

I⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

element neutru şi 3I M∈ căci 3 3(0)I A I= ⇒ element neutru pentru înmulţirea matricilor din M

www.neutr

ino.ro


99

Problema 14: Precizaţi care din următoarele legi admit elemente simetrizabile şi, în caz afirmativ, determinaţi simetricul acestor elemente: a) , ,x y xy x y x y∗ = + + ∀ ∈ şi ( )1, ;M = − ∞ b) 2 2 6, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi ( )2, ;M = ∞ c) 3 3 12, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi ( )3, .M = ∞ d) 4 4 20, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ şi ( )4, .M = ∞ Soluţie parţială: a) Studiem dacă , ' astfel încât ' 'x M x M x x x x e∀ ∈ ∃ ∈ ∗ = ∗ = Se arata usor că 0e = este elementul neutru.

* ' 0 ' ' 0 '(1 )x x x x xx x x x= ⇒ + + = ⇒ + = −

Cum 1 1 0 1 0 '1

xx x x xx

> − ⇒ + > ⇒ + ≠ ⇒ = −+

Rămâne să arătăm că 'x M∈

1 1 1 01 1 1

x x xx x x

⇔ − > − ⇔ < ⇔ − <+ + + 1 10 0

1 1x x

x x− − −

⇔ < ⇔ <+ +

, relaţie adevărată pentru că

1 1 0x x> − ⇔ + > . Deoarece am folosit relaţii echivalente

'x M⇒ ∈ . Cum ' 'x x x x∗ = ∗ '1

xxx

⇒ = −+

este simetricul lui x ,

x G∀ ∈ , deci orice element e simetrizabil. Problema 15: Precizaţi care din următoarele legi admit elemente simetrizabile şi, în caz afirmativ, determinaţi simetricul acestor elemente: a) înmulţirea numerelor reale pe { }2 22 / , , 2 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =


c) înmulţirea numerelor reale pe { }2 25 / , , 5 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =


100

d) înmulţirea numerelor reale pe { }2 26 / , , 6 1 ;M a b a b a b= + ∈ − =

Soluţie parţială: c) Determinăm înainte elementul neutru,

1 2 5e e M∃ + ∈ astfel încât 5a b M∀ + ∈

1 2 1 2( 5)( 5) ( 5)( 5) 5a b e e e e a b a b⇒ + + = + + = + Deoarece înmulţirea numerelor reale are pe 1e = element neutru şi

1e M= ∈ căci 1 1 0 5= + şi 2 21 5 0 1 1e− ⋅ = ⇒ = element neutru şi pentru înmulţire pe M. Verificăm dacă orice element e simetrizabil: 5 , ' ' 5a b M a b M∀ + ∈ ∃ + ∈ a.î. ( 5)( ' ' 5) ( ' ' 5)( 5)a b a b a b a b e+ + = + + =

Deoarece înmulţirea numerelor reale nenule are pe 1'xx

=

simetricul lui x şi *M ⊂ (căci dacă 0 0 0 5M M∈ ⇒ + ∈ însă 2 20 0 5 0− = , fals) 1' ' 5

5a b

a b⇒ + = ⇔

+

2 2

5' ' 5 ' ' 5 55

a ba b a b a ba b

−+ = ⇔ + = −

−. Rămâne să arătăm că

5a b M− ∈ , adevărat căci 2 2 2 25( ) 5 1a b a b− − = − = Problema 16: Precizaţi care din următoarele legi admit elemente simetrizabile şi, în caz afirmativ, determinaţi simetricul acestor elemente:


1 0

12

0 0 1

xxM A x x x

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟= = − − ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭


0 0 0 /0 1

x xM A x x

x x

⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= = ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟−⎝ ⎠⎩ ⎭

www.neutr

ino.ro


101

Soluţie parţială: a) S-a arătat că ( )( ) ( ) 2A x A y A xy= şi că elementul neutru este

12

A⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

verificăm dacă toate elementele sunt simetrizabile

( ) , ( ')A x M A x M⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ a.î. 1( ) ( ') ( ') ( )2

A x A x A x A x A⎛ ⎞⇔ ⋅ = ⋅ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )1 1 1 1( ) ( ') 2 ' 2 ' ' , 0 ip.2 2 2 4

A x A x A A xx A xx x xx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ ⋅ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Deoarece legea e comutativă şi 1' 04

xx

= ≠ simetricul lui ( )A x este

14

Ax

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, aşadar orice element e simetrizabil.

Problema 17: Studiaţi dacă legea „ ” este ditributivă în raport cu legea „ ∗ ” în fiecare din cazurile următoare: a) 1x y x y∗ = + + şi , , ;x y x y xy x y= + + ∀ ∈ b) 2x y x y∗ = + + şi 4 4 2 6 , , ;x y x y xy x y= + + + ∀ ∈ c) 5x y x y∗ = + − şi 5 5 30 , , ;x y xy x y x y= − − + ∀ ∈ Problema 18: Arătaţi că ( ),M ∗ este monoid comutativ în fiecare din situaţiile: a) { }\ 2 , 2 2 6M x y xy x y= ∗ = − − + b) { }\ 1 ,M = 2, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ c) { }\ 3 , 3 3 12, ,M x y xy x y x y= ∗ = − − + ∀ ∈ Soluţie parţială: a) { } ( )\ 2 , 2 6M x y xy x y= ∗ = − + +

)0M * - lege internă pe M ,x y M x y M⇔ ∀ ∈ ⇒ ∗ ∈ . Evident, ,x y x y∈ ⇒ ∗ ∈ .

Rămâne să arătăm că 2, 2 2x y x y∀ ≠ ≠ ⇒ ∗ ≠ . Prin reducere la absurd, presupunem că ( )2 2 6 2x y xy x y∗ = ⇒ − + + = ⇒


102

( )( )2 2 0 2 sau 2x y x y− − = ⇒ = = , contradicţie, aşadar *- lege internă pe M

)1M * - asociativă pe M ( ) ( ), ,x y z M x y z x y z⇔ ∀ ∈ ⇒ ∗ ∗ = ∗ ∗ Vrem să arătăm că ( ) ( ), ,x y z M x y z x y z⇔ ∀ ∈ ⇒ ∗ ∗ = ∗ ∗ ⇔

( )( ) ( )( )2 6 2 6xy x y z x yz y z− + + ∗ = ∗ − + + ⇔

( )( ) ( )( )2 6 2 2 6 6xy x y z xy x y z− + + − − + + + + =

( )( ) ( )( )2 6 2 2 6 6x yz y z x yz y z− + + − + − + + + ⇔ 2 2 2 4 4 4 12 2 2 2 4 4 4 12xyz xz yz xy x y z xyz xz yz xy x y z− − − + + + − = − − − + + + −

relaţie adevărată. Deoarece am folosit relaţii echivalente rezultă că legea * este asociativă

)2M * - comutativă pe M ,x y M x y y x⇔ ∀ ∈ ⇒ ∗ = ∗ Vrem să arătăm că ,x y M x y y x⇔ ∀ ∈ ⇒ ∗ = ∗

( ) ( )2 6 2 6xy x y yx y x⇔ − + + = − + + relaţie adevărată. Deoarece am folosit relaţii echivalente rezultă că legea * este comutativă.

)3M * - admite elem neutru pe M ,e M x M x e e x x⇔ ∃ ∈ ∀ ∈ ⇒ ∗ = ∗ =

Din ( ) ( ) ( )2 6 2 3 2x e x xe x e x e x x⇔ ∗ = ⇒ − + + = ⇔ − = − . Deoarece ( )3 2

2 32

xx M x e M

x−

∈ ⇒ ≠ ⇒ = = ∈−

. Deoarece legea * este

comutativă pe M 3x e e x e⇒ ∗ = ∗ ⇒ = element neutru. Din 0 1 2 3, , ,M M M M obţinem că ( ),M ∗ este monoid comutativ. Problema 19: În fiecare din cazurile următoare, admitem că ( ),M ∗ este monoid, determinaţi elementele inversabile ale acestui monoid. a) { } ( )\ 2 , 2 6M x y xy x y= ∗ = − + + b) { }\ 1 ,M = 2, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ c) { }\ 3 , 3 3 12, ,M x y xy x y x y= ∗ = − − + ∀ ∈ d) { }\ 4 , 4 4 20, ,M x y xy x y x y= ∗ = − − + ∀ ∈ Soluţie parţială: a) S-a arătat într-un exemplu anterior elementul neutru 3e =

www.neutr

ino.ro


103

Studiem dacă toate elementele sunt simetrizabile , ' ' 'M x M x x x x e⇔ ∀∈ ∃ ∈ ⇒ ∗ = ∗ = .

Din ( ) ( )' ' 2 ' 6 3 ' 2 2 3x x e xx x x x x x∗ = ⇒ − + + = ⇔ − = − .

Cum 2 32 '2

xx M x xx

−∈ ⇒ ≠ ⇒ =

−.

Trebuie să vedem care din aceste elemente este în { }\ 2M = . Aşadar, trebuie impusă condiţia ca

( ) ( ) 12 2 12 3 1' 2 2

2 2 2xxx x D

x x x− +−

∈ ⇔ ∈ ⇔ ∈ ⇔ + ∈ ⇔ − ∈− − −

(mulţimii divizorilor numărului 1). Aşadar, ( ) { } { }2 1,1 1,3x x− ∈ − ⇔ ∈ . Deoarece simetricul lui 1x = este

1' 2 11 2

x M= + = ∈−

şi simetricul lui 3x = este 1' 2 33 2

x M= + = ∈−

,

deci ( ) { }1,3U M = Problema 20. Arătaţi că ( ),*M grup abelian, unde: a) (3; ), 3 3 12M x y xy x y= ∞ ∗ = − − + b) ( )2; , 2 2 6M x y xy x y= ∞ ∗ = − − + c) ( )1; ,M = ∞ 2, ,x y xy x y x y∗ = − − + ∀ ∈ d) ( )4; , 4 4 20, ,M x y xy x y x y= ∞ ∗ = − − + ∀ ∈ Soluţie parţială: a) (3; ), 3 3 12M x y xy x y= ∞ ∗ = − − + G1) * lege internă pe M ⇔ , *x y M x y M∀ ∈ ⇒ ∈

, 3 3 0 3 3 0x y M x x

y y∈ ⇒ > ⇒ − >

> ⇒ − >

Înmulţind relaţiile obţinem ( 3)( 3) 0x y− − > 3( ) 9 0 | 3xy x y⇒ − + + > + *x y M⇒ ∈ .

G2) * asociativă pe M , ,x y z M⇔ ∀ ∈ *( * ) ( * )*x y z x y z⇒ = . Vrem să arătăm că * ( * ) ( * )*x y z x y z= ⇔

* ( 3( ) 12)x yz y z− + + = ( 3( ) 12)*xy x y z− + + ⇔ ( 3( ) 12) 3( 3( ) 12) 12x yz y z x yz y z− + + − + + − + + + =


104

( 3( ) 12) 3( 3( ) 12 ) 12xy x y z xy x y z− + + − − + + + + ⇔ 3 3 12 3 3 9 9 24xyz xy xz x x yz y z− − + − − + + − = 3 3 12 3 9 9 24 3xyz xz yz z xy x y z− − + − + + − − adevărat. Deoarece

am folosit relaţii echivalente ⇒ * asociativă pe M G3) * comutativă pe M ⇔ ,x y M∀ ∈ ⇒ * *x y y x= . Vrem să arătăm că * * 3( ) 12 3( ) 12x y y x xy x y yx y x= ⇔ − + + = − + + adevărat. Deorece am folosit relaţii echivalente⇒ * comutativă peM G4) * admite element neutru pe M ⇔ e M∃ ∈ a.î. x M∀ ∈ ⇒

* *x e e x x= = . Din *x e x= ⇒ 3( ) 12xe x e x− + + = ⇒ ( 3) 4 12e x x− = − .

Deorece x M∈ ⇒ 3 0x − ≠ ⇒ 4( 3)3

xex

−=

− ⇒ 4 (3; )e = ∈ ∞ .

Deoarece legea * este comutativă * * 4x e e x e= ⇒ = este element neutru. G5) Orice element din M e simetrizabil ⇔ 'x M x M∀ ∈ ∃ ∈ a.î.

* ' '*x x x x e= = . Din * 'x x e= ⇒ ' 3( ') 12 4xx x x− + + = ⇔ '( 3) 8 3x x x− = − + .

Deorece x M∈ ⇒ 3x ≠ ⇒ 3 8'3

xxx

−=

−. Trebuie să arătăm că

'x M∈ ⇔3 8 3

3xx

−>

−⇔

3 8 3 9 03

x xx

− − +>

−⇔ 1 0

3x>

−, adevărat

căci x M∈ ⇒ 3x > . Deorece legea * este comutativă pe M

⇒ * ' '*x x x x= ⇒1'

3x

x=

− simetricul lui x pe mulţimea M

Din (G1) – (G5) ⇒ ( ),*M grup abelian. Problema 21: Dacă notăm nS mulţimea permutărilor de ordinul n, arătaţi că: a) ( )3,S este grup

b) ( )2 ,S este grup

c) ( )4 ,S este grup

www.neutr

ino.ro


105

Soluţie parţială: a) Scriem toate permutările de ordin 3 şi obţinem

1 2 3,

1 2 3e ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 3 4

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , ,

1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2σ σ σ σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5

1 2 33 2 1

σ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Verificăm axiomele grupului:

1)G o lege de compoziţie pe 3S căci orice compunere a 2 permutări de ordinul 3 dă permutare de ordinul 3. Este indicat să facem aici tabla legii. G2) o asociativă pe G căci orice permutare e funcţie şi compunerea funcţiilor e asociativă G3) o nu e comutativă pe G căci, spre exemplu, 1 2 4;σ σ σ=

2 1 3σ σ σ= G4) o are element neutru permutarea identică 3e S∈ G5) orice element e simetrizabil căci, din tablă,

1 1 13 3 , a.i. =S S eσ σ σ σ σ σ− − −∀ ∈ ∃ ∈ =

Problema 22. Arătaţi că: a) 4( , )+Z e grup abelian b) 4( , )iZ este monoid comutativ. c) *

5( , )iZ e grup abelian. d) 3( , )+Z e grup abelian Soluţie parţială: a) 4( , )+Z e grup abelian

ˆ ˆ ˆ ˆ0 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 2 3 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 3 0 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 3 0 1 2

+

Evident + este lege internă pe 4Z , adunarea e asociativă pe 4Z căci

ˆˆ ˆ ˆ( )a b c a b c a b c+ + = + + = + + , există 0elemnt neutru şi simetricul oricărui element a este în caz general n a− , deci în cazul nostru simetricul lui a este 4 a−


106

b) 4( , )iZ este monoid comutativ. ˆ ˆ ˆ ˆ0 1 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 0 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 0 2 0 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 0 3 2 1

i

Evident i este lege internă pe 4Z , şi deoareceˆˆ ˆ ˆ( )a b c a b c a b c= =i i i i i i , arătăm că i este

asociativă pe 4Z , 1 este element neutru şi evident elementele sunt simetrice faţă de diagonala principală, deci i e asociativă pe 4ZObservăm că 0 nu are simetric, deoarece

4x∃ ∈Z cu ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 0 1x x= =i i , simetricul lui 1 este tot 1 , ∃ simetricul

lui 2 , ˆ ˆ3' 3= şi 4ˆ ˆ(( , )) {1;3}U =iZ care e grup. Observăm că

elementele simetrizabile sunt cele prime cu 4 . c) *

5( , )iZ e grup abelian. ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 3 4

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 2 3 4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 4 1 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 3 1 4 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 4 3 2 1

i

Evident *5( , )iZ este monoid şi

fiecare element e simetrizabil căci ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1' 1; 2 ' 3; 3' 2; 4 ' 4= = = = .

Problema 23. Rezolvaţi ecuaţiile: a) ˆ ˆ3 4x =i în 5Z ; b) ˆ ˆ3 2x =i în 4Z ;

c) ˆ ˆ2 2x =i în 4Z ; d) ˆ ˆ2 3x =i în 4Z ;

e) 3x x= în 6Z ; f) ˆ ˆ2 1x y+ = în 4Z ;

g) 3 2x =i în 7Z ; h) ˆ ˆ3 4x =i în 6Z ;

i) 2 4x =i în 6Z ; j) ˆ ˆ2 3x =i în 6Z ;

k) 3x x= în 4Z ; l) ˆ ˆ2 3 1x y+ = în 6Z ; Soluţie parţială:

www.neutr

ino.ro


107

a) ˆ ˆ3 4x =i în 5Z . Deoarece 3 este inversabil în 5Z şi ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3' 2 3 4 | 2 3x x= ⇔ = ⇔ =i b) ˆ ˆ3 2x =i în 4Z ; Deoarece 3 este inversabil în 4Z (căci 3 este prim

cu 4) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 | 3 3 2x x⇔ = = ⇔ =i i c) ˆ ˆ2 2x =i în 4Z ; Deoarece 2 nu e prim cu 4 2 '⇒ ∃ , deci trebuie

verificate toate variantele din 4Z . 0x = nu verifică, 1x = soluţie,

2x = nu verifică, 3x = soluţie ˆ ˆ{1;3}x⇒ ∈ d) ˆ ˆ2 3x =i în 4Z . Cum 2 nu e prim cu 4 2⇒ nu e simetrizabil. Verificând variantele din 4 ⇒Z că ecuaţia nu are soluţie x⇒ ∈∅ . e) 3x x= în 6Z ; Prin înlocuire, toate elementele lui 6Z sunt soluţii

pentru ecuaţie, rezultă ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ{0;1;2;3;4;5}x ∈ . f) ˆ ˆ2 1x y+ = în 4Z ;

ˆ ˆ0 1x y= ⇒ = deci soluţie este ˆ ˆ(0;1) ˆ ˆ1 3x y= ⇒ = deci soluţie este ˆ ˆ(1;3) ˆ ˆ2 1x y= ⇒ = deci soluţie este ˆ ˆ(2;1) ˆ ˆ3 3x y= ⇒ = deci soluţie este ˆ ˆ(3;3)

Soluţia este ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) {(0,1); (1;3); (2,1); (3,3)}x y ∈ Problema 24: Rezolvaţi sistemul(prin oricare metodă):

a) ˆ ˆ2 4

ˆ ˆ2 5

x y

x y

⎧ + =⎪⎨

+ =⎪⎩ în 6Z b)

ˆ ˆ2 4ˆ ˆ3 1

x y

x y

⎧ + =⎪⎨

+ =⎪⎩ în 6Z

c) 2 3 7

2 4

x y

x y

⎧ + =⎪⎨

+ =⎪⎩ în 8Z d)

3 5 3

3 5

x y

x y

⎧ + =⎪⎨

+ =⎪⎩ în 8Z

Soluţie parţială: a) metoda reducerii


108

ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 2 4ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ 22 5 2 4 4

x y x y

x y x y

⎧ ⎧+ = + =⎪ ⎪⇒⎨ ⎨+ = + =⎪ ⎪⎩ ⎩i

Scăzând ˆ ˆ ˆ ˆ3 0 3 0.y y⇒ − = ⇒ = Cum 3 nu e inversabil trebuie verificate toate elementele din 6Z şi obţinem soluţiile ˆ ˆ ˆ{0;2;4}y ∈ . Găsim soluţiile din prima ecuaţie şi verificăm care sunt soluţii pentru cea de-a doua. Pentru ˆ ˆ0 5y x= ⇒ = , pentru ˆ ˆ2 1y x= ⇒ = , pentru ˆ ˆ4 3y x= ⇒ = , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ( , ) {(1;2); (3;4); (5;0)}x y⇒ ∈ iar a 2-a ecuaţie o verifică doar ˆ ˆ( , ) (1;2)x y = metoda substituţiei

ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 4 2ˆ ˆ2 5

x y y xx y

⎧ + = ⇒ = −⎪⎨

+ =⎪⎩

Înlocuind în ecuaţie a 2-a obţinem ˆ ˆ ˆ{1;3;5}x ∈ , apoi obţinem soluţiile de mai sus.

regula lui Cramer ˆ ˆ2 4

ˆ ˆ2 5

x y

x y

⎧ + =⎪⎨

+ =⎪⎩

ˆˆ 1 ˆdet 3ˆ ˆ1 2

S2

= = care nu e inversabil în 6Z , deci nu

putem folosi această metodă. b) metoda reducerii

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 3 3 0

ˆ ˆˆ ˆ 3 13 1

x y y

x yx y

⎧ ⎧+ = ⋅ =⎪ ⎪⇒⎨ ⎨+ =⎪⎪ + = ⎩⎩

Scăzând cele 2 ecuaţii 1x⇒ = şi { }ˆ ˆ ˆ0;2;4y ∈ . Soluţie în prima

ecuaţie este doar ˆ ˆ( , ) (1, 2)x y = şi verifică şi cea de-a doua ecuaţie metoda substituţiei

ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 4 2ˆ ˆ3 1

x y y x

x y

⎧ + = → = −⎪⎨

+ =⎪⎩

Înlocuind în ecuaţia 2 2y⇒ = , soluţie ce verifică ambele ecuaţii

www.neutr

ino.ro


109

regula lui Cramer

ˆ ˆ2 4

ˆ ˆ3 1

x y

x y

⎧ + =⎪⎨

+ =⎪⎩ det S =

ˆ ˆ2 15

ˆ ˆ1 3= care este inversabil in 6 si 'ˆ ˆ5 5=

'ˆ ˆ ˆ ˆ4 1 2 4 ˆ ˆ5, 4 (det ) 1ˆ ˆ ˆ ˆ1 3 1 1

x y x x S xΔ = = Δ = ⇒ = Δ ⋅ ⇒ =

' ˆ(det ) 2y y S y⇒ = Δ ⋅ ⇒ = ˆ ˆ( , ) (1, 2)x y⇒ = Problema 25: Arătaţi că următorii monoizi ( ),M ⋅ şi ( )',M ⋅ sunt izomorfi unde:

a) { }3 ,M x y i x y= + ∈ şi 3

' ,x y

M x yy x

⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪⎪ ⎪⎟⎜= ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭.

b) { }2 ,M x y i x y= + ∈ şi 2

' ,x y

M x yy x

⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪⎪ ⎪⎟⎜= ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭.

c) { }3 ,M x y i x y= + ∈ şi 3

' ,x y

M x yy x

⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪⎪ ⎪⎟⎜= ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭.


a) Fie : 'f M M→ , ( ) 33

x yf x y i

y x⎛ ⎞− ⎟⎜+ = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

.

Arătăm cele două relaţii de la izomorfism şi că f este bijectivă:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )3 ' ' 3 3 ' ' 3 ?f x y i x y i f x y i f x y i+ ⋅ + = + ⋅ +

( ) ( )( ) ( )( )3 ' ' 3 ' 3 ' ' ' 3f x y i x y i f xx yy i xy yx+ ⋅ + = − + + =

( ) ( )' 3 ' 3 ' ' 1

' ' ' 3 'xx yy xy yxxy yx xx yy

⎛ ⎞− − + ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + −⎝ ⎠

( )( ) ( )( ) 3 ' 3 '3 ' ' 3

' 'x y x y

f x y i f x y iy x y x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎟ ⎟⎜ ⎜+ ⋅ + = ⎟⋅ ⎟=⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠


110

( ) ( )' 3 ' 3 ' ' 2


⎛ ⎞− − + ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + −⎝ ⎠

Din ( ) ( )1 2+ rezultă relaţia cerută

Arătăm că f este bijectivă ( )?

Arătăm injectivitatea: 3 , ' ' 3x y i M x y i M∀ + ∈ + ∈ cu

( ) ( )3 ' ' 3f x y i f x y i+ = + arătăm că ( )3 ' ' 3 ?x y i x y i+ = + .

Din ( ) ( )3 ' ' 3f x y i f x y i+ = +

3 ' 3 ' '' ' '

x y x y x xy x y x y y⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎧− − =⎪⎪⎟ ⎟⎜ ⎜⇒ ⎟= ⎟⇒⎨⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎪ =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎩

3 ' ' 3x y i x y i⇒ + = +

deci f este injectivă

Arătăm surjectivitatea: 3

', 3x y

M x y i My x

⎛ ⎞− ⎟⎜∀ ⎟∈ ∃ + ∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠astfel

încât ( ) 33

x yf x y i

y x⎛ ⎞− ⎟⎜+ = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

, relaţie adevărată din definiţia lui f

Aşadar, f este izomorfism de monoizi. Problema 26: Se ştie că ( ),*G grup. Arătaţi că *:f G+ → este

un izomorfism între ( )* ,+ ⋅ şi ( ),*G unde:

a) ( )1;1 , *1x yG x y

xy+= − =+

şi ( ) 11

xf xx−=+

b) ( ) 4 42,2 , , , , 24x yG x y x y xy

xy+

= − ∗ = ∀ ∈ ≠ −+

şi ( ) 2 21

xf xx−=+

c) ( ) 9 93,3 , , , , 99x yG x y x y xy

xy+

= − ∗ = ∀ ∈ ≠ −+

şi ( ) 3 31

xf xx−=+

d) ( ) 16 164,4 , , , , 1616

x yM x y x y xyxy

+= − ∗ = ∀ ∈ ≠ −

+ şi ( ) 4 4

1xf xx−=+


www.neutr

ino.ro


111

a) Arătăm că ( ) ( ) ( ) 1 1 1* *1 1 1

xy x yf x y f x f yxy x y

− − −⋅ = ⇔ =+ + +

.

Cum

1 11 1 1 11 1* 1 11 1 1 11

1 1

x yx y xy x y xy y xx y

x yx y xy x y xy x yx y

− −+− − + − − + + − −+ += = =− −+ + + + + + − − ++ ⋅

+ + 2 2 12 2 1

xy xyxy xy

− −=+ +

, obţinem că f este morfism.

Rămâne să arătăm că f este bijectivă.

Arătăm că f este injectivă: ( ) ( ) 1 11 1

x yf x f yx y− −= ⇔ =+ +

1 1xy x y xy x y⇔ + − − = + − − relaţie adevărată. Deoarece s-au folosit relaţii echivalente obţinem că f este injectivă. Arătăm că f este surjectivă: *, y G x +∀ ∈ ∃ ∈ astfel încât

( )f x y= . Fie ( ) 11

xf x y yx−= ⇔ = ⇔+

( )1 1 1x xy y x y y⇔ − = + ⇔ − = + .

Deoarece y G∈ 1y⇒ ≠ deci 11

yxy+=−

.

Mai rămâne să arătăm că *x +∈ , evident deoarece ( )1;1y ∈ − Aşadar f este bijectivă, deci f este izomorfism. Obs.1: O ală metodă de a arăta bijectivitatea este: ,y G∀ ∈

* unic x +∃ ∈ astfel încât ( )f x y= , şi obţinem *11

yxy ++= ∈−

şi

este soluţie unică, deci f bijectivă. Obs. 2: Se mai putea arăta bijectivitatea folosind metode de analiză.

Deorece ( )( )

*2

2' 0,1

f x xx

+= > ∀ ∈+

⇒ f este strict crescătoare,

deci f este injectivă.


112

Deoarece f este continuă, calculând limitele la capetele domeniului

obţinem capetele codomeniului căci ( )0 0

0 0

1lim lim 11x x

x x

xf xx→ →

> >

−= =−+

şi

( ) 1lim lim 11x x

xf xx→∞ →∞

−= =+

, rezultă că f este surjectivă.

Problema 27: Fie *( , )⋅ grupul multiplicativ al mulţimii numerelor complexe. Studiaţi dacă H este subgrup al lui *( , )⋅ în fiecare din cazurile următoare: a) { }* | 1H z z= ∈ = . b) { }* | 0H z z= ∈ > .

c) { }* | 1H z z= ∈ > . d) { }* | 0H z z= ∈ ≠ . Soluţie parţială:

a) ,x y H∀ ∈ arătăm că 'xy H∈ . Vom avea: 1' xxy xy y

= ⋅ = ,

calculăm 1xx

y y= = ' ( , )xy H H⇒ ∈ ⇒ ⋅ subgrup pentru ( )*, ⋅

Problema 28: Să se precizeze care dintre următoarele mulţimi H de numere raţionale sunt subgrupuri ale grupului ( ),+ : a) 2 ;H = b) 2 1;H = + c) 3 ;H = d) 3 1;H = + e) 3 2;H = + f) 4 ;H = Problema 29: Să se determine, în fiecare caz, ordinul elementului x în grupul indicat: a) 3x = în ( )12 , ;+ b) 4x = în ( )6 , ;+

c) 2x = în ( )5 , ;∗ ⋅ d) 6x = în ( )11 , ;∗ ⋅

e) 1 2 32 1 3

x ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠în ( )3, ;S ⋅ f)

1 2 3 42 4 1 3

x ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠în ( )4 , .S ⋅

g) 1 20 1

x ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

în ( ) ( ){ }2, , / det 0 ;G G X X⋅ = ∈ ≠M

www.neutr

ino.ro


113

Capitolul 15 INELE ŞI CORPURI

Problema 1: Arătaţi că ( ), ,M ∗ este un inel, unde

a) * 2x y x y= + + , ( )2 2x y xy x y= + + + . , ;x y∀ ∈ M = b) 1x y x y∗ = + + şi , , ;x y x y xy x y= + + ∀ ∈ M = c) 5x y x y∗ = + − şi 5 5 30 , , ;x y xy x y x y= − − + ∀ ∈ M = d) 3x y x y∗ = + + şi 3 3 6 9 , , ;x y x y xy x y= + + + ∀ ∈ M = Soluţie parţială:

1) ( ,*)A grup abelian

( )1 * este lege de compoziţie pe : , *x y x y∀ ∈ ⇒ ∈ adevărat căci e rezultat de adunări de numere întregi ( )2 * asociativă , ,x y z∀ ∈ ⇒ *( * ) ( * )*x y z x y z= .

( ) ( )* 2 2 * 4 4x y z x y z x y z x y z⇔ + + = + + ⇔ + + + = + + + relaţie adevărată ( )3 * comutativă , * *x y x y y x∀ ∈ ⇒ = .

* * 2 2x y y x x y y x= ⇔ + + = + + relaţie adevărată. ( )4 * are element neutru a.î. e x∃ ∈ ∀ ∈ să avem

* *x e e x x= = Din * 2 2x e x x e x e Z= ⇒ + + = ⇒ = − ∈ ( )i

Deoarece * comutativă rezultă * *x e e x= ( )ii

Din ( )i şi ( )ii 2e⇒ = − este element neutru pentru legea *

( )5 Orice element e simetrizabil în raport cu legea * ' a.î. * ' ' *x x x x x x e∀ ∈ ∃ ∈ = =

Din ( ) * ' ' 2 2 ' 4 iiix x e x x x x= ⇒ + + = − ⇒ = − − ∈

Deoarece * comutativă rezultă ( )* ' ' * iv x x x x=

Din ( )iii şi ( ) ' 4iv x x⇒ = − − este simetricul lui ,x x∀ ∈

*x y


114

2 ) ( , )A monoid

( )1 este lege de compoziţie pe : ,x y x y∀ ∈ ⇒ ∈ adevărat căci x y e rezultat de adunări de numere întregi ( )2 asociativă , , ( ) ( )x y z x y z x y z∀ ∈ ⇒ =

( )( ) ( )( )2 2 2 2x yz y z xy x y z⇔ + + + = + + + ⇔

( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 2x yz y z x yz y z⇔ + + + + + + + + + =

( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 2xy x y z xy x y z= + + + + + + + + + ⇔2 2 2 2 2 4 4 4 2xyz xy xz x x yz y z⇔ + + + + + + + + + =

2 2 2 2 4 4 4 2 2xyz xz yz z xy x y z= + + + + + + + + + ⇔2 2 2 4 4 4 6xyz xy xz yz x y z+ + + + + + + =2 2 2 4 4 4 6xyz xy xz yz x y z+ + + + + + + , relaţie adevărată

( )3 comutativă ,x y x y y x∀ ∈ ⇒ = .

( ) ( )2 2 2 2x y y x xy x y yx y x= ⇔ + + + = + + + adevărat.

( )4 are element neutru a.î. xθ∃ ∈ ∀ ∈ să avem x x xθ θ= = Din ( ) ( ) ( )2 2 2 2x x x x x x xθ θ θ θ= ⇒ + + + = ⇒ + = − + Pentru

2 1x Zθ≠ − ⇒ = − ∈ , iar pentru 2x = − există o infinitate de valori ale lui θ care verifică relaţia ( ) ( )2 2x xθ + = − + . Deoarece θ

trebuie să existe, x∀ ∈ 1 Zθ⇒ = − ∈ ( )i

Deoarece * comutativă rezultă x xθ θ= ( )ii

Din ( )i şi ( )ii 1θ⇒ = − este element neutru pentru legea

3 )A " " este distributivă faţă de “*” " " este distributivă la stânga faţă de “*” dacă

( * ) ( )*( ), , ,x y z x y x z x y z= ∀ ∈ ( ) ( ) ( )

( )( * ) 3 2 2 2 2

2 2 2 2 6 4 2 2 6

x y z x y z x y z x y z

xy xz x x y z xy xz x y z vi

= + + = + + + + + + +

+ + + + + + = + + + + +

www.neutr

ino.ro


115

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )*( ) 2 2 * 2 2

2 2 2 2 2 4 2 2 6

x y x z xy x y xz x z

xy x y xz x z xy xz x y z vii

= + + + + + +

= + + + + + + + + = + + + + +

Din relaţiile ( )vi şi ( )vii rezultă că " " este distributivă la stânga faţă de “*” . Deoarece " " este comutativă rezultă distributivitatea lui " " la stânga este echivalentă cu distributivitatea la dreapta pentru " ", deci " " este distributivă faţă de “*” Din ) ) ) ( )1 2 3 ,*,A A A A+ + ⇒ este un inel

Problema 2. Studiaţi dacă ( ), ,+ ⋅A este un inel comutativ unde “+” şi “·” sunt adunarea şi înmulţirea matricilor, în fiecare din cazurile următoare:

a) ,a b

a bb a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

A b) ,2a b

a bb a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

A

c) ,4a b

a bb a

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

A d) ,a b

a bb a

⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

A

Problema 3.: Determinaţi elementele inversabile ale inelului ( ), ,M ∗ , în fiecare din situaţiile următoare:

a) ( )3, ,+ ⋅ b) ( )6 , ,+ ⋅

c) ( )5 , ,+ ⋅ d) ( )4 , ,+ ⋅

e) * 2x y x y= + + , ( )2 2x y xy x y= + + + , M = f) 1x y x y∗ = + + şi , , ;x y x y xy x y= + + ∀ ∈ M = Soluţie parţială: e) S-a arătat anterior că ( ), ,∗ este inel comutativ cu 2e = − este element neutru pentru legea * şi 1θ = − este element neutru pentru legea *. Pentru a determina elementele inversabile ar trebui ca

, 'x x∀ ∈ ∃ ∈ astfel încât ' 'x x x x θ= = . Din 'x x θ= ⇒ ( ) ( )' 2 ' 2 1 ' 2 3 2xx x x x x x+ + + =− ⇒ + =− − .


116

Pentru 3 22 '2

xx xx

− −≠− ⇒ =+

.

Mai trebuie pusă condiţia ca 'x ∈ de unde obţinem 3 2 4 2 1'

2 2x xx

x x− − − − += =+ +

4 2 1 122 2 2

xx x x

− −= + =− ++ + +

de

unde 12x∈

+, adică { }12 2 1;1x D x+ ∈ ⇔ + ∈ − ⇔ .

{ }3; 1x ∈ − − . Aşadar ( ) { },*, 3; 1U = − − Problema 4. Studiaţi care din inelele următoare are divizori ai lui zero, în fiecare din situaţiile următoare: a) ( )3, ,+ ⋅ b) ( )6 , ,+ ⋅

c) ( )5 , ,+ ⋅ d) ( )4 , ,+ ⋅

e) ( ), ,∗ , unde * 2x y x y= + + , ( )2 2x y xy x y= + + + , f) ( ), ,∗ , unde 1x y x y∗ = + + şi , , ;x y x y xy x y= + + ∀ ∈ g) ( ), ,∗ , unde 5x y x y∗ = + − şi 5 5 30, ,x y xy x y x y= − − + ∀ ∈ h) ( ), ,∗ , unde 3x y x y∗ = + + şi 3 3 6 9 , , ;x y x y xy x y= + + + ∀ ∈ Soluţie parţială: a) ( )3, ,+ ⋅ este un inel fără divizori ai lui zero căci

1 1 0, 1 2 0, 2 1 0, 2 2 0⋅ ≠ ⋅ ≠ ⋅ ≠ ⋅ ≠ b) ( )6 , ,+ ⋅ este un inel cu divizori ai lui zero căci

6 62 , 3 cu 2 0,3 0∃ ∈ ∃ ∈ ≠ ≠ şi 2 3 0⋅ = e)S-a arătat anterior că ( ), ,∗ este inel comutativ cu 2e = − este element neutru pentru legea * şi 1θ = − este element neutru pentru legea . Presupunem că inelul are divizori ai lui zero

{ }, \ 2x y∃ ∈ − astfel încât 2x y = − . Din 2x y = − obţinem

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 0xy x y x y y+ + + =− ⇔ + + + =

www.neutr

ino.ro


117

( )( )2 2 0 2 sau 2x y x y⇔ + + = ⇔ =− =− , fals, deci inelul

( ), ,∗ nu are divizori ai lui zero Problema 5: Să se rezolve următoarele sisteme de ecuaţii în inelele indicate în fiecare caz:

a) 2 3 3

4 2 3

x y

x y

⎧ ⋅ + ⋅ =⎪⎨

⋅ + ⋅ =⎪⎩ în ( )5, , ;+ ⋅ b)

3 1

2 4 4

x y

x y

⎧ ⋅ + =⎪⎨

⋅ + ⋅ =⎪⎩ în ( )5, , ;+ ⋅

c) 4 3 1

2 5 4

x y

x y

⎧ ⋅ + ⋅ =⎪⎨

⋅ + ⋅ =⎪⎩ în ( )7 , , ;+ ⋅ d)

2 3 1

4 2 5

x y

x y

⎧ ⋅ + ⋅ =⎪⎨

⋅ + ⋅ =⎪⎩ în ( )7 , , ;+ ⋅

Problema 6: Studiaţi dacă ( ), ,M ∗ este un corp, unde

a) * 2x y x y= + + , ( )2 2x y xy x y= + + + , M = b) 1x y x y∗ = + + şi , , ;x y x y xy x y= + + ∀ ∈ M = c) 5x y x y∗ = + − şi 5 5 30;x y xy x y= − − + M = d) 3x y x y∗ = + + şi 3 3 6 9;x y x y xy= + + + M = Soluţie parţială: a) S-a arătat anterior că ( ),*, este inel comutativ cu 2e = − este element neutru pentru legea * şi 1θ = − este element neutru pentru legea . Rămâne să arătăm că orice element diferit de 2e = − este inversabil în raport cu legea . Pentru a determina elementele inversabile ar trebui ca , 'x x∀ ∈ ∃ ∈ astfel încât

' 'x x x x θ= = . Din ( )' ' 2 ' 2 1x x xx x xθ= ⇒ + + + =−

( )' 2 3 2x x x⇒ + =− − . Pentru 3 22 '2

xx x Rx

− −≠− ⇒ = ∈+

,

aşadar toate elementele diferite de 2e = − sunt inversabile, deci ( ), ,M ∗ este corp

Problema 7: Studiaţi dacă inelele( ), ,M + ⋅ şi ( )', ,M + ⋅ sunt izomorfe, unde

a) { }3 ,M x y i x y= + ∈ R şi 3

' ,x y

M x yy x

⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪⎪ ⎪⎟⎜= ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭R .


118

b) { }2 ,M x yi x y R= + ∈ şi 4

' ,x y

M x yy x

R⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪⎪ ⎪⎟⎜= ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

.


a)Fie : 'f M M→ , ( ) 33

x yf x y i

y x⎛ ⎞− ⎟⎜+ = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

. Arătăm că

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 ' ' 3 3 ' ' 3f x y i x y i f x y i f x y i+ + + = + + +

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 ' ' 3 3 ' ' 3f x y i x y i f x y i f x y i+ ⋅ + = + ⋅ + şi că

( )1 2f e e=

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )' 3 '3 ' ' 3 ' ' 3 1

' 'x x y y

f x y i x y i f x x y y iy y x x

⎛ ⎞+ − + ⎟⎜ ⎟+ + + = + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + +⎝ ⎠

( )( ) ( )( ) 3 ' 3 '3 ' ' 3

' 'x y x y


⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎟ ⎟⎜ ⎜+ + + = ⎟+ ⎟=⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠( ) ( )' 3 '

2' '

x x y yy y x x

⎛ ⎞+ − + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + +⎝ ⎠



( ) ( )' 3 ' 3 ' ' 3


⎛ ⎞− − + ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + −⎝ ⎠

( )( ) ( )( ) 3 ' 3 '3 ' ' 3

' 'x y x y


⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎟ ⎟⎜ ⎜+ ⋅ + = ⎟⋅ ⎟=⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )' 3 ' 3 ' ' 4


⎛ ⎞− − + ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + −⎝ ⎠


www.neutr

ino.ro


119

( ) ( )1 2 21 0 3f e e f i I= ⇔ + = , adevărată căci

( ) ( )1 3 01 0 3 3

0 1f i

⎛ ⎞− ⋅ ⎟⎜+ = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Din ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5+ + + + rezultă că f este morfism de inele Rămâne să arătăm că este bijectivă. Arătăm injectivitatea: 3 , ' ' 3x y i M x y i M∀ + ∈ + ∈ cu

( ) ( )3 ' ' 3f x y i f x y i+ = + arătăm că 3 ' ' 3x y i x y i+ = + . Din

( ) ( )3 ' ' 3f x y i f x y i+ = +

3 ' 3 ' '' ' '

x y x y x xy x y x y y⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎧− − =⎪⎪⎟ ⎟⎜ ⎜⇒ ⎟= ⎟⇒⎨⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎪ =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎩

3 ' ' 3x y i x y i⇒ + = +

deci f este injectivă

Arătăm surjectivitatea: 3

', 3x y

M x y i My x

⎛ ⎞− ⎟⎜∀ ⎟∈ ∃ + ∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠astfel

încât ( ) 33

x yf x y i

y x⎛ ⎞− ⎟⎜+ = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

, relaţie adevărată din definiţia lui f

Aşadar, f este izomorfism între cele două inele.. Problema 8: Fie corpurile ( ), ,M + ⋅ şi ( )', ,M + ⋅ . Studiaţi dacă ele sunt izomorfe, unde:

a) { }3 ,M x y i x y= + ∈ şi 3

' ,x y

M x yy x

⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪⎪ ⎪⎟⎜= ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭.

b) { }2 ,M x y i x y= + ∈ şi 2

' ,x y

M x yy x

⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪⎪ ⎪⎟⎜= ⎟ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭.


a)Fie : 'f M M→ , ( ) 33

x yf x y i

y x⎛ ⎞− ⎟⎜+ = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

. Arătăm că


120

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 ' ' 3 3 ' ' 3f x y i x y i f x y i f x y i+ + + = + + +

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 ' ' 3 3 ' ' 3f x y i x y i f x y i f x y i+ ⋅ + = + ⋅ +

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )' 3 '3 ' ' 3 ' ' 3 1

' 'x x y y

f x y i x y i f x x y y iy y x x

⎛ ⎞+ − + ⎟⎜ ⎟+ + + = + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + +⎝ ⎠

( )( ) ( )( ) 3 ' 3 '3 ' ' 3

' 'x y x y


⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎟ ⎟⎜ ⎜+ + + = ⎟+ ⎟=⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠( ) ( )' 3 '

2' '

x x y yy y x x

⎛ ⎞+ − + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + +⎝ ⎠



( ) ( )' 3 ' 3 ' ' 3


⎛ ⎞− − + ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + −⎝ ⎠

( )( ) ( )( ) 3 ' 3 '3 ' ' 3

' 'x y x y


⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎟ ⎟⎜ ⎜+ ⋅ + = ⎟⋅ ⎟=⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )' 3 ' 3 ' ' 4


⎛ ⎞− − + ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + −⎝ ⎠


Din ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4+ + + rezultă că f este morfism de corpuri Rămâne să arătăm că este bijectivă, ceea ce e uşor..

www.neutr

ino.ro


121

Capitolul 16 INELE

Problema 1: Discutaţi gradul polinoamelor următoare: a) ( ) ( ) [ ]2 21 1 1f m X m X m X= − + − + + ∈

b) ( ) ( ) [ ]2 21 1 1f m X m X m X= − + + + + ∈

c) ( ) ( ) [ ]2 21 1 1f m X m X m X= − + − + − ∈

d) ( ) ( ) [ ]2 2 21 1 1f m X m X m X= + + − + + ∈

e) ( ) ( ) ( ) [ ]4 3 2 21 1 1 1f m X m X m X m X= − + − + + + − ∈ Soluţie parţială: e) ( ) ( ) ( ) [ ]4 3 2 21 1 1 1f m X m X m X m X= − + − + + + − ∈

Caz I: Pentru { }4 1 0 \ 1;m m i− ≠ ⇔ ∈ ± ± ⇒ grad 4f =

Caz II: Pentru { }4 1 0 1;m m i− = ⇔ ∈ ± ± distingem subcazurile:

Caz II 1: 1m = − ⇒ 3 20 0 0 0f X X X= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⇒ 0f = ⇒ grad f = −∞

Caz II 2: Pentru 1m = ⇒ 3 20 0 2 2f X X X= ⋅ + ⋅ + + ⇒ 2 2f X= + ⇒ grad 1f =

Caz II 3: Pentru m i= − ⇒ ( )3 20 2 1 1f X X i X i= ⋅ − + − + −

⇒ ( )22 1 1f X i X i= − + − + − ⇒ grad 2f =

Caz II 4: Pentru m i= ⇒ ( )3 20 2 1 1f X X i X i= ⋅ − + + + + ⇒ grad 2f = Problema 2: Calculaţi suma coeficienţilor polinomului: a) ( ) ( )100 1001 1f X X= − + + b) ( )20102 1f X X= + −

c) ( )20102 1f X X= − − d) ( )20102f X X= +

e) ( ) [ ]100

52 1 ,f X f X= − ∈ f) ( ) [ ]100

32 1 ,f X f X= + ∈


122

Soluţie parţială: a) suma coeficienţilor este ( ) ( ) ( )100 100 1001 1 1 1 1 2f = − + + =

e) suma coeficienţilor este ( ) ( )100 1001 2 1 1 1 1f = ⋅ − = =

Problema 3: Calculaţi termenul liber al polinomului: a) ( ) ( )100 1001 1f X X= − + + b) ( )20102 1f X X= + −

c) ( )20102 1f X X= − − d) ( )20102f X X= +

e) ( ) [ ]100

52 1 ,f X f X= − ∈ f) ( ) [ ]100

32 1 ,f X f X= + ∈ Soluţie parţială: a) termenul liber este ( ) ( ) ( )100 1000 0 1 0 1 2f = − + + = e) termenul liber este

( ) ( ) ( ) ( )50100 100 100 2 500 2 0 1 1 4 4 1 1f = ⋅ − = − = = = =

Problema 4: Calculaţi suma coeficienţilor de rang par ai polinomului: a) ( ) ( )100 1001 1f X X= − + + b) ( )20102 1f X X= + −

c) ( )20102 1f X X= − − d) ( )20102f X X= +

e) ( ) [ ]100

52 1 ,f X f X= − ∈ f) ( ) [ ]100

32 1 ,f X f X= + ∈ Soluţie parţială: a) suma coeficienţilor de rang par este

( ) ( ) 100 100 1001001 1 2 2 2 2 2

2 2 2f f+ − + ⋅= = =

Problema 5: Calculaţi suma coeficienţilor de rang impar ai polinomului a) ( ) ( )100 1001 1f X X= − + + b) ( )20102 1f X X= + −

www.neutr

ino.ro


123

c) ( )20102 1f X X= − − d) ( )20102f X X= +

e) ( ) [ ]100

52 1 ,f X f X= − ∈ f) ( ) [ ]100

32 1 ,f X f X= + ∈ Soluţie parţială: a) suma coeficienţilor de rang impar este

( ) ( ) 100 1001 1 2 2 02 2

f f− − −= =

Problema 6: Să se determine polinoamele a) [ ],grad 1f X f∈ = pentru care ( 1) 2, (1) 3.f f− = = b) [ ],grad 2f X f∈ = pentru care (0) 0, ( 1) 2, (1) 3.f f f= − = = c) [ ],grad 2f X f∈ = pentru care ( 1) 6, (1) 2, (2) 3.f f f− = = = d) [ ],grad 2f X f∈ = pentru care ( 1) 3, (1) 1, (2) 6.f f f− = − = − = Problema 7: Calculaţi f g+ şi f g− în fiecare dintre următoarele cazuri: a) 2 22 3 1, 2 3 2f X X g X X= + − = − − + , [ ], ;f g X∈

b) [ ]2 22 3 1, , , ;f iX iX g iX iX i f g X= − − = + − ∈

c) [ ]3 2 3 22 , + , , ;f iX iX X i g iX iX X i f g X= − − + = + − ∈

d) [ ]2 1, 1 , , ;f X X g X f g X= + + = − ∈

Problema 8: Calculaţi f g⋅ şi 2f în fiecare dintre următoarele cazuri: a) 2 22 3 1, 2 3 2f X X g X X= + − = − − + , [ ], ;f g X∈

b) [ ]2 22 3 1, , , ;f iX iX g iX iX i f g X= − − = + − ∈

c) [ ]3 2 3 22 , + , , ;f iX iX X i g iX iX X i f g X= − − + = + − ∈

d) [ ]2 1, 1 , , ;f X X g X f g X= + + = − ∈ Problema 9: Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f prin polinomul g în fiecare dintre următoarele cazuri: a) [ ]4 34 5 , 1, ,f X X X g X f g X= + + = + ∈

b) [ ]3 22 5 , 1 , , ;f X X X g X f g X= + − + = + ∈


124

c) [ ]4 3 2 32 , 2, , ;f X X X X g X X f g X= + − + + = − + ∈

d) [ ]4 2 , +1, , ;f X X g X f g X= + = ∈

e) [ ]3 2 23 1 , 1 , , ;f X X X g X X f g X= + + − = + + ∈ Soluţie parţială: a) 4 3

4 3

4 5

X X XX X

+ +

− −

3 2

13 3 8

XX X X

+

+ − +

3

3 2

3 5 3 3

X XX X

+

− −

2

2

3 5 3 3

X XX X

− +

+

8 8 8

XX− −

8− ⇒ câtul 3 23 3X X X+ − , restul 8− f) 32 X X− 5 1X − 3 22 +6XX− 26 4 2X X+ +

2

2

\ 6X

6X 4

X

X

−

− +

\ 3

3 2

X

X− +

2⇒ câtul 26 4 2X X+ + , restul 2 Problema 10: Determinaţi m∈ astfel încât a) polinomul 2005 1002f X mX m= + + împărţit la 1X + să dea restul 2 b) polinomul 2005 1002f X mX m= + + împărţit la 1X − să dea restul 2 c) polinomul 2005 1002f X mX m= + + împărţit la 1X + să dea restul 3 d) polinomul 2005 1002f X mX m= + + împărţit la 2X + să dea restul 2

www.neutr

ino.ro


125

Soluţie parţială: b) Folosim faptul că restul ( ):f X α− este ( )f α , deci

( ) 31 2 1 2 2 32

f m m m m− = ⇔ − + + = ⇔ = ⇔ =

Problema 11: Să se determine restul împărţirii polinomului f prin polinomul g în fiecare dintre următoarele cazuri: a) 2005 1, 1f X X g X= + + = − b) 2005 1,f X X g X= + + =

c) [ ] [ ]36 62 , 3f X X X g X XZ Z= − ∈ = − ∈

d) 2005 21,f X X g X X= + + = − e) 2005 21,f X X g X X= + + = +

f) ( )22006 1, 1f X X g X= + + = −

g) ( )22005 1, 1f X X g X= − + = +

h) 2005 3 21, 2f X X g X X X= + + = − + Soluţie parţială: c) Restul lui împărţit la este ( ) [ ]

3

63 2 3 3f X= ⋅ − ∈ Z adică 3

d) Rădăcinile lui g sunt 1 20, 1x x= = ⇒ ( ) : ( ) ( ) ( )f X g X C X R X= + unde ( ) 2grad R X < , deci ( ) R X aX b= + ⇒

( ) ( )( ) 1f X X X C X aX b= − ⋅ + +

( )0 0 0X f a b= ⇒ = ⋅ +

( )1 1 1X f a b= ⇒ = ⋅ + dar, (0) 1, (1) 3f f= = deci avem sistemul 0 11 3

a ba b

⋅ + =⎧⎨ ⋅ + =⎩

de unde ( ) 2 1R X X= +

f) Din proba împărţirii ⇒ ( ) ( )2: 1f X C X− = rest aX b+ ⇒

( ) ( )21f X C X aX b= − ⋅ + + (1)


126

Fie ( )1 1x f a b= ⇒ = + (2). Derivând relaţia (1) ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2' 2 1 1 'f X X C X X C X a= − + − +

⇒ ( )' 1f a= (2). Cum ( )' 2006 1f X X= + avem sistemul

( )( )1

' 1

f a b

f a

= +⎧⎪⎨

=⎪⎩⇔

32007

a ba

+ =⎧⎨ =⎩

⇒ 2004b = − ⇒ restul

2007 2004X − h) Rădăcinile lui g sunt 1 0x = iar 2, 1x = rădăcină multiplă de

ordinul 2, deci ( ) ( ) ( )2 2( ) 1 1f X X X C X aX bX c= − ⋅ + + +

( ) ( )20 0 0 0 1 2X f a b c= ⇒ = ⋅ + ⋅ + =

( ) ( )21 1 1 1 3 3X f a b c= ⇒ = ⋅ + ⋅ + = derivând relaţia (1) obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2'( ) 1 2 1 1 ' 2f X X C X X X C X X X C X aX b= − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + +

deci ( ) ( ) ( )'(1) 0 0 0 0 0 ' 0 2 0f C C C a b= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

Dar, 2004'( ) 2005 1 '(1) 2006f X X f= ⋅ + ⇒ = , aşadar 2006b = , iar din relaţiile ( ) ( )2 3+ obţinem restul cerut Problema 12: Folosind schema lui Horner, determinaţi câtul şi restul împărţirii polinomului f prin polinomul g în fiecare dintre următoarele cazuri: a) 4 34 5f X X X= + + şi 1g X= + b) 4 34 5f X X X= + + şi 1g X= −

c) 24 5 1f X X= + − şi 1g X= +

d) 24 5 1f X X= + − şi 1g X= −

e) [ ]3

52 , 3, ,f X X g X f g X= − = − ∈

f) [ ]3 254 2 1 , 4 , , ;f X X X g X f g X= + + + = + ∈

Soluţie parţială: a)

4 3 2 1 0 X X X X X

www.neutr

ino.ro


127

1 4 0 5 0 1− 1 3 3− 8 8−

⇒ câtul 3 23 3X X X+ − , restul 8− e) 3X 2X X 0X 2 0 4 0

3 2 3 2 0 1⋅ + = 3 1 4 2⋅ + = 3 2 0 1⋅ + =Deci câtul este ( ) [ ]2

52 2C X X X X= + + ∈ , iar restul este

1R= Problema 13: Să se determine m∈ ştiind că în fiecare caz polinomul [ ]f X∈ se divide prin [ ]g X∈ indicat:

a) 3 2 2 , 1;f X X X m g X= + + + = +

b) 3 2 22 , 1;f X X X m g X X= + − + = + +

c) 4 3 2 22 , 2;f X X X mX g X X= + − + + = + +

d) 3 2 23 , 3;f X X X m g X X= − − + = + + Problema 14: Să se determine m ∈ ştiind că în fiecare caz polinomul

[ ]f X∈ se divide prin [ ]g X∈ indicat:

a) 3 2 , 1;f X X X m g X= + + + = +

b) 3 22 , 1;f X X X m g X= + − + = +

c) 4 3 2 2 , 2;f X X X mX g X= + − + + = +

d) 3 2 3 , 3;f X X X m g X= − − + = + Problema 15: Arătaţi că f divizibil cu g, unde : a) 103 102 1f X X X= + + + şi 3 2 1g X X X= + + + b) ( ) ( ) ( )2 1 2 12 2 21 1 1

n nX X X X X

+ ++ + + − + +

c) ( ) ( )3 2 3 21 1n nX X X X+ +⎡ ⎤− + − +⎣ ⎦

Soluţie parţială: b) Rădăcinile lui 2 1g X= + sunt iα = ±

Pentru iα = ⇒ ( ) ( ) ( )2 1 2 12 21 1n n

f i i i iα+ +

= + + + − + ⇒


128

( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 0nn n nf i i i iα ++ + += + − = − =

Pentru ( ) ( ) ( )2 1 2 12 21 1 0n n

i f i i i i f gα α+ +

= − ⇒ = − + + + + = ⇒

c) ∀ rădăcină pentru 2 1 0X X− + = verifică ( )2 31 0 1 1α α α α− + = ⋅ − ⇔ = − se notează cu ω . Aşadar,

2

3

1 01

1

ω ω

ωω

⎧ − + =⎪

= −⎨⎪ ≠ −⎩

.

Calculăm ( ) ( ) ( ) 33 2 3 2 2 31nn n nf ω ω ω ω ω

++ + += − + = + ⇒

( ) 2 6 2 3n nf ω ω ω ω ω= ⋅ + ⋅ ⇒ ( ) 2 2 0n nf ω ω ω= − = ⇒ f g Problema 16: Să se descompună în factori ireductibili peste corpul indicat fiecare dintre următoarele polinoame: a) 3 8f X= − peste b) 3 8f X= − peste c) 3 8f X= − peste d) 3 2f X X= + − peste e) 3 2f X X= + − peste f) 3 2f X X= + − peste Problema 17: Să se determine m

astfel încât numărul α să fie

rădăcină a polinomului f în fiecare din cazurile următoare : a) [ ]21, ,f X X m X mα= = + + ∈ ∈

b) [ ]21, ,f X X m X mα=− = − + ∈ ∈

c) [ ]3 22, ,f X X mX m X mα=− = + − + ∈ ∈

d) [ ]22, ,f mX X m X mα= = + + ∈ ∈

Problema 18: Să se determine ordinul de multiplicitate al rădăcinilor α indicate în fiecare caz: a) 2 2 1 , 1f X X α= − + = b) 3 23 3 1 , 1f X X X α= − + − = c) 2 2 1 , 1f X X α= + + = − d) 3 23 3 1 , 1f X X X α= + + + = −

www.neutr

ino.ro


129

Problema 19: a) Dacă [ ] ( ) şi 1 3 2 4 5 2f X f∈ + = + , găsiţi ,a b ∈ astfel

încât ( )1 3 2 2f a b− = +

b)Dacă [ ] ( ) şi 1 3 4 5 ,f X f i i∈ + = + puteţi găsiţi ,a b ∈ astfel

încât ( )1 3f i a bi− = + ?

c)Dacă [ ] ( ) şi 1 3 4 5 ,f X f i i∈ + = + puteţi găsiţi ,a b ∈ astfel

încât ( )1 3f i a bi− = + ?

d) Să se rezolve ecuaţia 4 3 22 3 8 4 0x x x x− + − − = ştiind că admite rădăcina 1 2.+ e) Să se rezolve ecuaţia 4 3 2 2 2 0x x x x+ − − − = ştiind că admite rădăcina 2. f) Să se rezolve ecuaţia 4 3 23 5 4 2 0x x x x− + − + = ştiind că admite rădăcina 1 .i+ Soluţie parţială: a)Cum [ ] ( ) şi 1 3 2 4 5 2f X f∈ + = + , folosim proprietatea:

[ ] şi ( ) ( )f X f a b c a d c f a b c a d c∈ + = + ⇒ − = − , aşadar

( )1 3 2 4 5 2f − = − , deci 4, 5a b= =−

b) Cum [ ] ( ) şi 1 3 4 5 ,f X f i i∈ + = + folosim proprietatea:

[ ] şi ( ) ( )f X f a bi c di f a bi c di∈ + = + ⇒ − = − , aşadar

[ ] ( ) ( ) şi 1 3 4 5 1 3 4 5f X f i i f i i∈ + = + ⇒ − = − , deci4, 5a b= =−

c) Cum [ ] ( ) şi 1 3 4 5 ,f X f i i∈ + = + folosim proprietatea:

[ ] şi ( ) ( )f X f a bi c di f a bi c di∈ + = + ⇒ − = − , aşadar

[ ] ( ) ( ) şi 1 3 4 5 1 3 4 5f X f i i f i i∈ + = + ⇒ − = − , aşadar 4, 5a b= =−


130

Problema 20: Să se calculeze 1 1 2 3 2 1 2 2 3 3 1, ,s x x x s x x x x x x= + + = + +

3 1 2 3s x x x= pentru fiecare dintre următoarele ecuaţii: a) 32 3 1 0 x x+ + = ; b) 3 25 3 1 0x x x− − + = ; c) 3 5 1 0 x x− − + = ; d) 3 22 4 1 0 ;x x− − + = e) 3 23 2 0 ;x x x− − + + = f) 3 2 2 0x x x+ + − = . g) 34 2 0 ;x x+ + = h) 3 22 2 0x x− + − = . Problema 21: Să se calculeze 1 1 2 3 4 ,s x x x x= + + +

2 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 ,s x x x x x x x x x x x x= + + + + + 3 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4s x x x x x x x x x x x x= + + + 4 1 2 3 4s x x x x= pentru fiecare dintre următoarele ecuaţii:

a) 4 32 3 1 0 x x x+ + + = ; b) 4 3 23 3 1 0x x x x+ − − + = ; c) 4 35 5 1 0 x x x+ − + = ; d) 4 3 27 4 1 0 ;x x x+ − + = e) 4 3 2 2 0 ;x x x x+ − + + = f) 4 3 2 2 0x x x x− + + + − = . g) 4 32 2 0 ;x x x− + + + = h) 4 3 25 2 0x x x− + + − = . Problema 22: Fie 3 23 1f X X= − + şi 3 22 1g X X X= + − + . Calculaţi: a) 1 2 3x x x+ + b) 2 2 2

1 2 3x x x+ + c) 3 3 3

1 2 3x x x+ + d) 4 4 41 2 3x x x+ +

Soluţie parţială: Pentru 3 23 1f X X= − + a) 1 2 3 3x x x+ + = , direct din Viete

b) ( ) ( )22 2 21 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 12 9x x x x x x x x x x x x+ + = + + − + + =

c) 1x rădăcină ⇒ 3 21 13 1 0x x− + =

2x rădăcină ⇒ 3 22 23 1 0x x− + =

3x rădăcină ⇒ 3 23 33 1 0x x− + =

Adunând ⇒ ( )3 3 3 2 2 21 2 3 1 2 33 3 0x x x x x x+ + − + + + = şi folosind b)

⇒ 3 3 31 2 3 3 9 3 0x x x+ + − ⋅ + = ⇒ 3 3 3

1 2 3 24x x x+ + = d) Înmulţind relaţiile de la c) cu 1x , 2x respectiv 3x obţinem

www.neutr

ino.ro


131

4 31 1 13 0x x x− + =

4 32 2 22 0x x x− + =

4 33 3 33 0x x x− + =

şi adunând ⇒ 4 4 41 2 3 3 24 3 0x x x+ + − ⋅ + = ⇒ 4 4 4

1 2 3 69x x x+ + = Problema 23: Cunoscând rădăcinile ecuaţiei şi gradul său n , formaţi ecuaţia ce admite acele rădăcini în fiecare din situaţiile următoare: a) 1 2 33, 1, 3, 2n x x x= = = = ; b) 1 2 33, 1, 3, 2n x x x= = − = = ; c) 1 2 33, 1, 3, 2n x x x= = = − = ; d) 1 2 33, 2, 3, 2n x x x= = − = = − e) 1 2 3 44, 1, 3, 2, 1n x x x x= = = − = = − f) 1 2 3 44, 1, 3, 2, 1n x x x x= = = = = . g) 1 2 3 44, 1, 1, 1, 1n x x x x= = = = = h) 1 2 3 44, 1, 1, 1, 2n x x x x= = =− =− = Problema 24: Determinaţi m, apoi rezolvaţi ecuaţiile, ştiind că între rădăcini există relaţiile: a) 3 2

1 23 3 0, 0x x mx x x− + + = + =

b) 3 21 2 32 2 0,x x mx x x x− + + = + =

c) 3 2 2 21 27 7 0, 10x x x m x x− + + = + =

d) 3 2 2 2 21 2 312 60 0,x x mx x x x− + − = + =

Soluţie parţială: a) Din Viete şi relaţia din enunţ avem:

1 3 3

1 2 2 3 3 1

1 2 3

1 2

3

30

x x xx x x x x x mx x xx x

+ + =⎧⎪ + + =⎪⎨ = −⎪⎪ + =⎩

⇒ 3 3x = ; 1 2 1x x = − şi 1 2 0x x+ = . Din

ultimele 2 relaţii ⇒ 1 2x x= − ⇔ 22 1x− = − ⇔ 2 1x = ± . Aşadar

soluţiile sunt { }1;1;3− . Înlocuind în ec. (2) ⇒ 1m = − Problema 25: Să se rezolve în următoarele ecuaţii: a) 4 25 4 0;x x− + = b) 4 23 4 0;x x+ − = c) 4 22 3 0;x x+ − = d) 4 24 3 1 0;x x+ − =


132

Problema 26: Să se rezolve ecuaţiile următoare: a) 3 22 2 1 0;x x x+ + + = b) 3 24 4 1 0;x x x− − + = c) 3 22 2 0;x x x+ + + = d) 3 23 3 1 0;x x x− − + = e) 4 3 22 3 2 3 2 0;x x x x− + − + = f) 4 3 218 1 0;x x x x+ − + + = g) 4 3 22 6 2 1 0;x x x x+ − + + = h) 4 3 24 10 4 1 0.x x x x+ − + + = i) 5 4 3 22 7 5 5 7 2 0;x x x x x− + + − + = j) 5 4 3 22 9 9 2 0;x x x x x+ − − + + = k) 5 4 3 23 13 10 10 13 3 0;x x x x x− + + − + = l) 5 4 3 212 44 33 33 44 12 0;x x x x x− − − − + =

www.neutr

ino.ro


133

Capitolul 17 ŞIRURI

Problema 1+2: Studiaţi monotonia şi mărginirea şirurilor:

a) 1nx

n= ; b) nx n= ;

c) 1 ( 1)nnx = + − ; d) 2

!

n

nxn

= ;

e) 1nx n n= + − ; f) 2nx n n= + −

i) 31nx

n= −

+; j) 2nx n= − ;

k) 2 ( 2)nnx = + − ; l)

( )5

1 !

n

nxn

=+

;


a) 11 1 1 1 0

1 ( 1) ( 1)n nn nx x

n n n n n n+

− −− = − = = − <

+ + + nx⇒ strict

descrescător 1nx x⇒ ≤ ( ]11; 0 0;1n n n nx x x xn

⇔ ≤ = > ⇒ ∈ ⇒

mărginit. b) 1 1 1 0n n nx x n n x+ − = + − = > ⇒ strict crescător

1 1n nx x x⇒ ≥ ⇒ ≥ . Presupunem că nx mărginit superior 0M⇒∃ > fixat astfel încât nx M n M≤ ⇔ ≤ , fals căci n →∞ iar

M fixat, deci de la un moment dat n îl va depăşi pe nM x⇒ nemărginit. c) 1

1 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1 1)n n nn nx x ++ − = + − − − − = − − − deci nu putem

determina monotonia lui nx . Calculăm 1 2 30; 2; 0 nx x x x= = = ⇒ nu e monoton. Deoarece ( 1) { 1;1}n− ∈ − [ ]{0;2} 0;2n nx x⇒ ∈ ⇔ ∈ ⇔

nx mărginit


134

d) 0nx > , calculăm

1

1

22( 1)! 1

2 1!

n

nnn

n

x n xx n

n

+

+ += = ≤ ⇒+

monoton

descrescător 1 2n nx x x⇒ ≤ ⇔ ≤ . Cum ( ]0 0;2n nx x> ⇒ ∈ .

e) ( 1 )( 1 )11n n

n n n nx n n xn n

+ − + += + − ⇔ = ⇔

+ +

11n

n nxn n+ −

= ⇔+ +

11nx

n n=

+ +;

11 1

2 1 1n nx xn n n n+ − = − =+ + + + +

1 2 1( 2 1)( 1 )

n n n nn n n n+ + − + − +

=+ + + + +

2 0( 2 1)( 1 )

n nn n n n

− +<

+ + + + +

nx⇔ strict descrescător 1 2 1n nx x x⇒ ≤ ⇒ ≤ − .

Deoarece (0 0; 2 1n n nx x x⎤> ⇒ ∈ − ⇒⎦ mărginit

Problema 3. Studiaţi monotonia şi mărginirea următoarelor şiruri: a) 1 11; 6n nx x x+= = + . b) 1 11; 2n nx x x+= = + .

c) 1 12; 3 2n nx x x+= = − . d) 1 13; 6 8n nx x x+= = − .

e) 1 11; 2 1n nx x x+= = + f) 1 11; 2 2n nx x x+= = − g) 1 11; 1n nx x x+= = + h) 1 11; 2 1n nx x x+= = − +

i) 1 111; 12n nx x x+= = + j) 1 1

11; 25n nx x x+= = +

k) 1 11; 3 1n nx x x+= = − Soluţie parţială: a) 1 11; 6n nx x x+= = + , 2 17x x= > .

Arătăm prin inducţie monotonia: Fie propoziţia: 1 1( ) : nP n x x+ > .

www.neutr

ino.ro


135

I. 2 1(1) :P x x> adevărată II. Presupunem ( )P k adevărată ( 1)P k⇒ + adevărată ( )? , unde:

1( ) : k kP k x x+ > ;

2 1( 1) : k kP k x x+ ++ > ;

Vrem să arătăm că 2 1 16 6k k k kx x x x+ + +> ⇔ + > + ⇔

1 16 6k k k kx x x x+ ++ > + ⇔ > adevărată. Deoarece s-au folosit relaţii echivalente ( 1)P k⇒ + adev. snx⇒ 1 1.n nx x x⇒ ≥ ⇔ ≥ Valoarea de care se apropie şirul este l astfel încât 6l l= + . Pentru 20 6 0l l l≥ ⇒ − − = 1 22; 3l l⇔ = − = . Cum 0 3l l≥ ⇒ = . Deoarece şirul este strict crescător, arătăm că 3nx ≤ prin inducţie: I. 1(1) : 3 1 3P x ≤ ⇔ ≤ adevărată II. Presupunem ( )P k adevărată ( 1)P k⇒ + adevărată ( )? , unde

( ) : 3kP k x ≤ ;

1( 1) : 3kP k x ++ ≤

Vrem să arătăm că 1 3 6 3 6 9 3k k k kx x x x+ ≤ ⇔ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ , adevărată. Deoarece s-au folosit relaţii echivalente ( 1)P k⇒ + adevărată 3nx⇒ ≤ , aşadar [ ]1;3nx ∈ .

e) 1 11; 2 1n nx x x+= = + 2 13x x= > . Arătăm prin inducţie că 1n nx x+ > căci

I. 2 1(1) :P x x> adevărată II. Presupunem ( )P k adevărată ( 1)P k⇒ + adevărată ( )? , unde

1( ) : k kP k x x+ > ;

2 1( 1) : k kP k x x+ ++ > Vrem să arătăm că 2 1 1 12 1 2 1k k k k k kx x x x x x+ + + +> ⇔ + > + ⇔ > , adevărată. Deoarece am folosit relaţii echivalente nx⇒ strict


136

crescător 1 1n nx x x⇒ ≥ ⇒ ≥ . Posibila valoare de care se apropie şirul este l astfel încât 2 1 1l l l= + ⇔ = − , fals căci nx strict crescător şi 1nx ≥ . Cum nx strict crescător nl x⇒ =∞⇒ nemărginit. Problema 6,8: Să se determine intuitiv limitele următoarelor şiruri:

a) 21 , 1;na nn

= + ≥ b) 2

3 , 1;na nn

= ≥

c) 2 , 1;

1nna n

n= ≥

+ d)

3 1, 1;1n

na nn−

= ≥+

e) 2

, 1;1n

na nn

= ≥+

f) 2 1 , 1.na n nn

= + ≥

g) ( )1 , 1.nna n= − ≥ h) ( )2 , 1.n

na n= − ≥

Problema 10.1: Calculaţi următoarele limite: a) ( )3lim 2 1 ;

nn n− + b) ( )3lim 2 1 ;

nn n+ +

c) lim 2;

n d) ( )lim 1 ;

n−

e) ( )3 4lim 2 ;n

n n n− + f) ( )23lim 2 1 ;n

n n+ +

g) ( )23 4lim 2 3 ;n

n n n− + h) ( )33 4lim 2 3 ;n

n n n− +

Problema 10.2: Calculaţi următoarele limite:

a) 2

2 1lim ;2n

nn

+−

b) 2 1lim ;3 2n

nn

− +−

c) 3

2 1lim ;2n

nn

+−

d) 2 1lim ;3 2n

nn+−

e)22 1lim ;

3 2n

nn+

− + f)

22 1lim ;3 2n

nn

− +− +

g)2

2

2 1lim ;3 2n

nn n

+− −

h)22 1lim ;

3 2n

nn++

www.neutr

ino.ro


137

Problema 10.3 : Studiaţi, şi în caz afirmativ calculaţi următoarele limite:

a) 2lim ;3

n

n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) lim1 ;n

n

c) lim 2 ;n

n d) ( )lim 2 ;n

n−

e) ( )lim 1 ;n

n− f) 2lim ;

3

n

n

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

g) lim3 ;n

n h) 1lim ;

2

n

n

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

Problema 10.4 : Calculaţi următoarele limite:

a) lnlimn

nn

b)

2

2

lnlimn

nn

c)

( )ln 1lim

1n

nn

++

d) lnlim1n

nn +

e)

( )ln 3lim

1n

nn++

f) 3lnlim1n

nn +

g)

1lnlim

1n

nn+

h) 21ln

lim1n

nn

n

+

+

Problema 10.5 : Calculaţi următoarele limite:

a) 2 1lim2nn

n→∞

− b)

1lim2nn→∞

c)

22 1lim3nn

n→∞

− d) 2010 5 7lim

3nn

n n→∞

+ +

e)

2 1lim32

nn

n→∞

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

f) 2 1lim23

nn

n→∞

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

g)

2 1lim1nn

n→∞

− h) ( )

42 1lim0, 2 nn

n n→∞

− − +


138

Problema 10.6: Calculaţi următoarele limite: a) 2lim log

nn

→∞ b)

( )3lim log 1

nn

→∞+

c)

( )13

lim log 1n

n→∞

+ d) ( )213

lim log 1n

n→∞

+

e)

( )22lim log 3n

nn

→∞+ f) ( )3

3lim logn

n n→∞

−

g)

( )213

lim log 1n

n→∞

+ h) ( )20,3lim log 4n

nn

→∞+

Problema 12: a) Dacă 3 1 3 1 1 3 2 1lim ; lim ; lim ;n n nn n n

x l x l x l+ +→∞ →∞ →∞= = =

calculaţi limita şirului nx

b) Studiaţi existenţa limitei şirului ( )nnx 1−=

c) Studiaţi existenţa limitei şirului ( )n

yn

n1−

=

d) Studiaţi existenţa limitei şirului ( )cosnx nπ= e) Studiaţi existenţa limitei şirului ( )sinnx nπ= Soluţie parţială: a) Deoarece 23133 ,; ++ nnn xxx sunt subşiruri care acoperă şirul nx şi cum toate aceste subşiruri au limita 1 1nl x l⇒ → ;

b) Fie ( )1 nnx = − . Cum ( ) 111 2

2 →=−= nnx şi x ( ) 111 12

12 −→−=−= ++

nn

sunt subşiruri ale şirului nx , ele au limita diferită nx⇒ nu are limită

c) Fie ( )1 n

nyn−

= . Deoarece ( ) 021

21 2

2 →=−

=nn

yn

n şi

( )12

112

1 12

12 +−=

+−

=+

+ nny

n

n 0→ sunt subşiruri ce acoperă şirul ny ,

cum ele au aceeaşi limită 0→⇒ ny e) ( ).cos πnxn = Deoarece

www.neutr

ino.ro


139

( ) ( )2 cos 2 cos 0 2nx n nπ π= = + = cos0 1 1= = → şi

( )( ) ( )2 1 cos 2 1 cos 2nx n nπ π π+ = + = + = cos 1π= = − sunt

subşiruri ale şirului nx cu limită diferită nx⇒ nu are limită. Problema 15.1: Calculaţi următoarele limite:

a)

1sinlim 1n

n

n→∞

; b)

3

3

5sin2lim5

2

n

n

n

n n

n n→∞

+

+;

c) 1limn

n tgn→∞

⋅ ; d)

3

3

5sin2lim5

2

n

n

n

n n

n n→∞

+

+

e)

1sinlim 1n

arcn

n→∞

; f)

1

lim 1n

arctgn

n→∞

;

g) 1lim arcsinn

nn→∞

⋅ ; h) 1limn

n tgn→∞

⋅ ;


a) 11

1sinlim =

n

nn

(s-a folosit 1sin

lim0

=→

n

n

x xx

n

);

c) 11

1

lim1lim ==⋅

n

ntg

ntgn

nn (căci 1lim

0=

→n

n

x xtgx

n

);

e) 11

1arcsinlim1arcsinlim ==⋅

n

nn

nnn

;


140

f) 1lim 1n

n arctgn

⋅ = ;


a)

1

2 1lim 1n

n

n→∞

− ; b) 2

2

1

13 1lim

nn

nnn

+

+→∞

− ;

c) 1

lim 2 1nn

n→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠; d)

( )

11lim 1 2 1n

nn +

→∞

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

e)

1ln 1lim 1n

n

n→∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ ; f)

2

2

1ln 1lim 1n

nn

nn

→∞

+⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

+;

g) 1lim ln 1n

nn→∞

⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

; h)

2

2

1lim ln 11n

n nn n→∞

+⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

i)

321 13

lim23

n

nn→∞

⎛ ⎞⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

; j)

53 2lim 1 12 3

n n

n→∞

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠


c) 2ln1

12lim12lim

11

=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

n

nn

nn

n;

g) 11

11lnlim11lnlim =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

n

nn

nnn

(căci 1)1ln(

lim0

=+

→n

n

x xx

n

);

www.neutr

ino.ro


141


a) 1lim 1n

n n→∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

; b)

2 1

2lim 11

nn

n

nn

+

→∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠;

c) 1lim 11

n

n n→∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠; d) 1lim

2

n

n

nn→∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

;

e) 2limn

n

nn→∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

f) 22 12

2

1lim2

n n

n

n nn n

+ +

→∞

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

g) 2

2limn n

n

nn

+

→∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

h) 12

2

1lim2

n

n

n nn n

+

→∞

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

i) 3

1 1 1sin coslim 1n

n n n

n

−


d) =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++

++∞

11

111lim1

111lim

nn

n

n

n

n nnlim

1n

nne e+ = ;

h) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++ ∞

n

n

n

n nn

nn 1

211lim1

21lim

12 2

11lim 12

nn n

n n

−⋅+ +

−⎡ ⎤−⎛ ⎞⎢ ⎥+ =⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠⎣ ⎦

lim 12n

nne e−

−+= = ; Problema 16, 17, 18: Calculaţi limitele şirurilor următoare:

a) 1lim sinn

nn⋅ b) 1lim cos

nn

n⋅

c) ( )1

limn

n n→∞

− d)

( )cos 2lim

3n

nn→∞

++


142

e) Dacă n

xn1

21<− , calculati nn

xlim .

f) Dacă 2

1 1nx

n n− < , calculati nn

xlim .

g) Dacă 2

2

1 12

n

nnx

n n⎛ ⎞+

− < ⎜ ⎟+⎝ ⎠, calculati nn

xlim .


a) 0sin1lim =nnn

(căci 01→

n şi nsin e mărginit) ;

c) 0)1(01)1(→

−⇔→=

−nnn

nn

, căci 00 →⇔→ nn xx ;

e) Din n

xn1

21<− şi ⇒→ 01

n 21

→nx (criteriul majorării) ;

Problema 19: Folosind criteriul cleştelui, calculaţi limitele şirurilor:

a) sinn

nxn

= ; b) cosn

nxn

= ;

c) narctgnx

n= ; d) n

arcctgnxn

= ;

Problema 20, 21: Folosind criteriul cleştelui, calculaţi limitele şirurilor:

a) nnnn

xn+

+++

++

=222

1...2

11

1 ;

b) ∑= +

+=

n

kn kn

kkx1

4

3

;

c) [ ] [ ] [ ]3

22 ...2n

xnxxxn+++

= ;


www.neutr

ino.ro


143

a) 1

11

11222 +

≤+

≤+ nnnn

1

12

11222 +

≤+

≤+ nnnn

--------------------------------------------

1

111222 +

≤+

≤+ nnnnn

Adunând obţinem 122 +

≤≤+ n

nxnn

nn

2

1111n

n

nx

nn

nn

+≤≤

+⇔

2

11

111

1

n

x

n

n

+≤≤

+⇔ ;

Cum 111

1→

+n

, 1111

1

2

→⇒→+

nx

n

.

b) 1

...122

111

4

3

4

3

4

3

++

++++

+++

=n

nnnn

xn

111

11111

4

3

4

3

4

3

++

≤++

≤++

nnnn

122

22222

4

3

4

3

4

3

++

≤++

≤++

nnnn

------------------------------ 3 3 3

4 4 4 1n n n n n nn n n n n+ + +

≤ ≤+ + +

Adunând relaţiile obţinem : 14

3

4

3

+

+≤≤

+

+ ∑ ∑∑ ∑n

kkx

nnkk

n

2 2

4 4

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)2 2 2 2

1n

n n n n n n n n

xn n n

+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⇔ ≤ ≤

+ +.


144

Deoarece 412

)1(4

)12(

4

22

→+

++

++

nn

nnnnn

şi 2 2

4

( 2 1) ( 1)1 14 2

1 4 4n

n n n n n

xn

+ + ++

→ ⇒ →+

.

c) Fie [ ] [ ] [ ]xnxxyn ⋅++⋅+= 22 ...2 ⇒ [ ] xxx ≤<−1 [ ] xxx ⋅≤<− 222 2212 ------------------------------------ [ ] xnxnxn ⋅≤<− 222 1 Adunând relaţiile obţinem: ( ) ( )22222 ...21...21 nxynnx n +++≤<−+++

⇔ ( )( ) ( )( )6

1216

121 ++⋅≤<−

++⋅

nnnxynnnnx n

Împărţind relaţiile prin 3n care e pozitiv obţinem :

( )( ) ( )( )

336

1216

121

n

nnnxx

n

nnnnxn

++⋅

<<−

++⋅

Cum limitele şirurilor care încadrează şirul nostru sunt

1 2 3 3nx xl l x= = ⇒ →

Problema 21: Calculaţi limitele şirurilor în cazul∞ −∞ : a) ( )lim 2 3n n

n→∞− b) 2lim(2 )n

nn

→∞−

c) ( )lim lnn

n n→∞

− d) ( )lim 1n

n n→∞

+ −

e) ( )2lim 1n

n n→∞

+ − f) ( )3 3lim 1n

n n→∞

+ −


www.neutr

ino.ro


145

a) (0 1)2lim3 1

3

nn

n

∞ −⎛ ⎞⎛ ⎞ − = −∞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

b) 2 (1 0)

lim 2 1 2

nnn

n ∞ −⎛ ⎞− = ∞⎜ ⎟

⎝ ⎠

c) ( )(1 0)lnlim ln lim 1

n n

nn n nn

∞ −⎛ ⎞− = − = ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

d) ( )( )1 1 1 1lim lim lim 0

1 1 1n n n

n n n n n nn n n n n n

+ − + + + −= = =

+ + + + + +

e) ( )( ) 01

1lim1

1lim1

11lim22

22

2

22

=++

=++

−+=

++

++−+

nnnnnn

nnnnnn

nnn

f) ( )( ) ( )

( )

23 33 3 3 23

3 3

2 33 3 23

1 1 1lim 1 lim

1 1n n

n n n n n nn n

n n n n

⎛ ⎞+ − + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠+ − = =+ + + +

( ) ( )0

1

1lim11

1lim23 33 2323 33 23

33

=++++

=++++

−+=

nnnnnnnn

nnnn

Problema 22.1: Calculaţi limitele şirurilor în cazul∞∞

:

a) 4lim3 5

n

n nn→∞ + b) 2 4lim

3 5

n n

n nn→∞

++

c) 5 4lim3 5

n n

n nn→∞

−+

d) 5 4lim3 2

n n

n nn→∞

−+

e) ( )( )

2ln 1lim

ln 1

n

nn

e

e→∞

+

+ f)

( )( )2

ln 5lim

ln 3

n

nn

e

e→∞

+

+

g) 4

2

2 3lim1n

n nn→∞

+ ++

h) 5

2

2 3lim2 1n

n nn→∞

− ++


146

i) ( )( )2 2

lnlim

ln

n

nn

n e

n e→∞

+

+ j) 2 1lim

5lnn

nn n→∞

++


a) =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=++ ∞

∞

1535

1424

lim5342lim

nn

nn

nnn

nn

n

0 100 1

2 144lim 0

5 3 15

n

n

nn

+⋅+

⎛ ⎞⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎝ ⎠⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

e) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

11lnln

11lnlnlim

11

11lnlim

22

22

nn

nn

n

nn

nn

n

ee

ee

ee

ee

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=11ln

11ln2lim

2

n

n

n

en

en 2 0 0

2 1 0 0

1 12 ln 1lim 2

1 11 ln 1

n

n

n

nn e

nn e

+ ⋅+ ⋅

⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ =⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Problema 22.2: Calculaţi limitele şirurilor în cazul 00

:

a)

14lim25

n

nn→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 2 1lim25

nn

nn

→∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

c)

2sinlim 2n

n

n→∞

d)

2sinlim 1n

arcn

n→∞

www.neutr

ino.ro


147

e)

1ln 1lim 3n

n

n→∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ f) 1

1ln 12

lim13

n

nn +→∞

⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Problema 23: Calculaţi limitele şirurilor în cazul 0 , 0⋅∞ ∞⋅ :

a) 1lim ln 1n

nn→∞

⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 1lim sinn

nn→∞

⋅

c) ( )1

2lim 1 3 1nn

n +

→∞

⎛ ⎞+ ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠ d) ( )1lim 3 1

1n

n n→∞⋅ −

+

e) 3

2

1lim sin1n

nn n

⋅+

f) 3

2

1lim1n

n n tgn n+

⋅+

g) 1lim ln3

n

nn ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

h) 1lim 12n

nnn

⎛ ⎞+−⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠


e) 11

lim111

1sinlim01sin

1lim 2

2

2

3

2

3

=+

=⋅+

⋅⋅∞⋅+ n

nnn

n

n

nnn

nnnn

;

g) 1 lnlim ln 0 lim 0 0 03 3

n

nn n

n nnn

⎛ ⎞⋅ ∞ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

;

h) 1 1 2lim 1 0 lim2 12n n

n n n nnn n

⎛ ⎞+ + − +− ∞ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

2

1 2lim lim2 1 2 3 2 2n n

n n n nn n n n n n

+ − − −= ⋅ = =

+ + + + + + + +


148

22

1 1lim lim23 2 23 2 2 1 11 1

n n

n

nn n nn n n

− −= = = −

⎛ ⎞+ + + ++ + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Problema 24: Calculaţi limitele şirurilor în cazul1∞ :

a)

n

nn

n

ba

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

∞→ 2lim

11

; b)n

n

n nn −

−

∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++ 1

1

21lim ;

c) 22 1lim

n

n

nn→∞

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

; d)1lim 1

2

n

n n→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠;

e)

11 1

2 3lim2

n

n n

n

+

→∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

; f)1 21

lim2

nn

n

nn

−−

→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

;


a)

1 1 1 1

2lim 1 lim 12 2

n n

n n n n

n n

a b a b∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1

1 1

1 1

22 2 1 1 11 1 lim 1 1 222lim 1

2

n n

n n

n n n

na b

a b nna bn n

n nn

a b e

+ −⎛ ⎞⎜ ⎟− −

+ ⋅ ⋅⎜ ⎟+ − ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞⎢ ⎥+ −⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥= + = =⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

( ) 1 1ln ln ln( ) ln2 2a b ab abe e e ab+ ⋅

= = = = ;

www.neutr

ino.ro


149

b)1 1

1 11 1lim lim 1 12 2

n nn n

n n

n nn n

− −− −+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 12 2 1 1 1lim1 02 11lim 1 1

2n

nn n n n

n nn

e en

− −⋅+ + − −

⋅−+ −

⎡ ⎤−⎛ ⎞⎢ ⎥= + = = =⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠⎣ ⎦

Problema 25: Calculaţi limitele şirurilor în cazul 0 00 ;0 ;∞ ∞ :

a) nn

n1

lim ; b) n

n n

1

1lim ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→;

c) n

n n⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

1lim ; d) nnnn

n

1

3432lim ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++∞→

;

e) 21

lim nn

n ; f) 2

1

1limn

n n→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

;

g) 2

1lim1

n

n n→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

; h)

1

2 3lim2

n n n

n→∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

;

i) ( )1

lim 2 nn

n + ; j) 1

2lim1

n

n

nn→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

;


a) 1 1 lnln0 0lim lim lim 1

nnn n n

n n nn e e e

⋅∞ = = = ;

b) 1

1 1 1ln ln0 01lim 0 lim lim 1n n

n n nn n n

e e en

−⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

;

c) 1ln ln1lim 0 lim lim 0

nn n nn

n n ne e e

n∞ − −∞⎛ ⎞ =⎜ ⎟

⎝ ⎠;


150

d)

11 2 3 4ln0 32 3 4lim lim

3

n n nn n n nn

n ne

+ +⋅⎛ ⎞+ +

∞⎜ ⎟⎝ ⎠

. Fie

( )( )11lim ln 2 3 4 ln3n n n

nl

n= + + − =

1 2 3lim ln4 1 ln34 4

n nn

n n

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ + − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

1 2 3lim ln 4 ln 1 ln 34 4

n nn

n n

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + + + − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

ln 4 1 2 3 1lim ln 1 ln 34 4

n n

n

nn n n

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

ln 4ln 4 4l e⇒ = = .

Problema 26: Folosind lema lui Cesaro-Stolz, calculaţi limitele următoare:

a) ( )

1! 2! !lim1 !n

nn→∞

+ + ++… ;

b) 1 1 12 2 2

12

log 1 log 2 loglim

logn

n

n→∞

+ + +…;

c) ( )

22 2 21 11 1 2 1 1

lim2

n

nn

nn

→∞

⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

…;

d) lnlim1n

nn→∞ +

e) 1ln

lim1

n

k

n

k

n=

→∞ +

∑

f) 1

1 1limn

n kn k→∞=

⋅∑ g) 1

1lim1

n

n k

kn n→∞

=

⋅+∑

h) lim ln 2 ln 3 ... lnn

nn

→∞⋅ ⋅ ⋅

i) Dacă 2

2 2 2

1 1 1 ,1 2 6nx

nπ

= + + + →… calculaţi 2

lim6nn

n x π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠;

www.neutr

ino.ro


151

Soluţie parţială: a) Fie 1! 2! !na n= + + +… . ( )1 !nb n= + crescător şi nemărginit.

Calculăm ( )( ) ( )

1

1

1 !lim lim

2 ! 1 !n n

n nn n

na ab b n n

+

+

+−= =

− + − +

( )( ) ( )

1 ! 1lim lim 0 lim 01 ! 2 1 1

n

n nn

n an n n b

+= = = → =

+ + − +.

b) 1 1 12 2 2

12

log 1 log 2 loglim

logn

n

n

+ + +…

Fie 1 1 12 2 2

log 1 log 2 logna n= + + +… , 12

lognb n= descrescător la 0.

Calculăm ( )

( )

11 2

1 1 12 2

log 1lim lim

log 1 logn n

n nn n

na ab b n n

+

+

+−

= =− + −

( )

( ) ( ) ( )

12

1122

111222

log 11lim lim loglog

1log 1 1 log 1log 1

n n

n

nnn nn

+= =

⎛ ⎞⎜ ⎟ −+ −⎜ ⎟ ++⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Fie ( ) ( ) ( )

12

112

ln1log ln ln2lim lim lim

ln 1log 1 ln 11ln2

n n n

nn

nlnn n

= = =++ +

.

Cu schimbarea de variabilă ln ,tn t n e= ⇔ = pentru

n t→∞⇔ →∞( )1 lim lim

1ln 1 ln 1tt t t

t

t tle e

e→∞

⇒ = = =⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠


152

lim lim 11 1 1ln ln 1 1 ln 1

t ttt t

t t

e te t e

= = ⇒⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

pentru

calcularea limitei avem nedeterminarea 01 .

Deoarece 101 1

1 11 ln 1 t

l

t e

+< ⇔ = ∞

⎛ ⎞+ ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

lim n

nn

ab

→ =∞ .

c)

22 2 21 ...1 1 2 1 1lim

21

n

nn

n

n

+ + + ++ + +

+

.

Fie 22 2 21 ...

1 1 2 1 1

n

nan

= + + + ++ + +

, 21

n

nbn

=+

crescător şi

nemărginit.

Calculăm

1

11

1

22lim lim

2 22 1

n

n nn nn n

n n

a a nb b

n n

+

++

+

− += =− −

+ +

( ) ( )( ) ( )1

2 12 1lim lim2 2 1 2 2 2 2 1

n

n nn n

n n nn n n n n+

+ ⋅ + +⋅ = =

+ ⋅ + − ⋅ + + − −

1lim 1 lim 1n

n nn

ann b+

= = ⇒ =

i) Fie 2

6n na x π= − ; 1

nbn

= descrescător la 0, calculăm

( )

( )

( )( )

2 22

11

21

11 16 6lim lim lim lim 11 1 1 1

1 1

n nn n

n n n nn n

x x n n na an nb b n

n n n n

π π+

+

→∞ →∞ →∞ →∞+

− − + + +−= = = = −

− −− − +−+ +

www.neutr

ino.ro


153

Problema 27: Folosind criteriul radicalului, calculaţi limitele şirurilor:

a) 2nnx = ; b) 1

2n

nx = ;

c) nnx n= ; d) 1n

nx n= + ;

e) 23

nn

nxn+

=−

; f) 33

nnx

n=

−;

g) Dacă 1 1 11 ,1! 2! !na

n= + + + +… calculaţi 1 2lim n

nna a a… ;

Soluţie parţială: g) Fie 1 2...n ny a a a= , calculăm

( )1

11 1 1lim lim lim 1 ...1! 2! 1 !

nnn n n

n

y a ey n+

+

⎛ ⎞= = + + + + = ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

1 2lim lim ...n nn nn n

y e a a a e→∞

= ⇒ =

Problema 28: Folosind criteriul raportului, calculaţi limitele

şirurilor: a) 3!

n

nxn

= ; b) !3n n

nx =−

;

c) ( )2!

n

nnxn

= d) !

n

nnxn

=

e) !3n n

nx = ; f) 3!

n

nxn−

= ;

g) 2

!

n

nnxn

= h) ( )

2

2 !

n

nnx

n=

+



154

a) Fie ( ) [ )

1

1

31 !3 3 30 0,1 0

3! 1 !!

n

n nn

n nn

naan a n n

n

+

+ += ⇒ = = → ∈ ⇒ →

+

b) Fie

( )1

1

1 !! 13

!3 33

nn

n nn

n

nan na na

++

++−= ⇒ = = → ∞

−−

na⇒ →±∞ ,

deoarece 0n na a< ⇒ → −∞ .

c) Fie ( )

( )( )( )

( )

1

2

12

2

1

1 !

!!

n

nn

n nn

n

nananann

+

+

+

+= ⇒ = =

( )( )

1

2

1 11

n

n

nn n

++

= ⋅ =+ ( )2

1 1 1 11 0 0 01 1 !

n n nn nen n n n n+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = + ⋅ → ⋅ = ⇒ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

www.neutr

ino.ro


155

Capitolul 18 LIMITE DE FUNCŢII. FUNCŢII CONTINUE

Problema 1.1: Cercetaţi existenţa următoarelor limite în punctele indicate:

a) ⎩⎨⎧

≥−

<−=

2,32,1

)(2 xx

xxxf , 2=α ; b)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−

=<−

=

2,32,2

2,1)(

2 xxx

xxxf , 2=α ;

c)⎩⎨⎧

≥−

<−=

2,12,1

)(2 xx

xxxf , 2=α ; d) 2

1, 2( )

3, 2x x

f xx x+ <⎧

= ⎨− ≥⎩

, 2=α ;

e) 2

1, 2( ) 2, 2

3, 2

x xf x x

x x

⎧ + <⎪= =⎨⎪ − >⎩

, 2=α ; f) 2

1, 2( )

1, 2x x

f xx x+ <⎧

=⎨− ≥⎩

, 2=α ;

e) 2

1, 1( ) 3, 2

1, 1

x xf x x

x x

⎧ + <⎪= =⎨⎪ + >⎩

, 2=α ; f) 2

1, 1( )

1, 1x x

f xx x+ <⎧

=⎨+ ≥⎩

, 2=α ;

Soluţie parţială: a)

2lim ( )x

f x→

se împarte în 2 limite: 2 2

2 2

lim ( ) lim( 1) 1s x xx x

l f x x→ →< <

= = − =

2

2 22 2

lim ( ) lim( 3) 1d x xx x

l f x x→ →> >

= = − = ; Deoarece (2) (2)s dl l f= ⇒ are

limită în 2=α . b) Procedând identic cu punctul anterior, (2) (2) 1s dl l f= = ⇒ are limită în 2=α . Obs.: Deşi )(lim2)2(

2xff

x→≠= , totuşi f are limită în 2=α

c) )(lim2

xfx→

se împarte în 2 limite: : 2 2

2 2

lim ( ) lim( 1) 1s x xx x

l f x x→ →< <

= = − =


156

2

2 22 2

lim ( ) lim( 1) 3d x xx x

l f x x→ →> >

= = − = Deoarece (2) (2)s dl l f≠ ⇒ nu are

limită în 2=α . Problema 1.2 Cercetaţi existenţa următoarelor limite în punctele indicate:

a)3 2,

( )2 2,x x x

f xx x

⎧ − ∈=⎨

− ∈ −⎩, α∀ ∈ ; b)

1,( ) ,

0,x

f xx

α∈⎧

= ∀ ∈⎨ ∈ −⎩

c)2 ,

( )3 2,x x x

f xx x

⎧ + ∈=⎨

+ ∈ −⎩, α∀ ∈ ; d)

2,( ) ,

1,x

f xx

α∈⎧

= ∀ ∈⎨ ∈ −⎩

e) xxf cos)( = în α∀ ∈ ; f) ( ) sinf x x= în α∀ ∈ Soluţie parţială: a) Fie α ∈ un număr fixat )(lim xf

x α→⇒ se împarte în 2 limite:

3 2 3 2lim ( ) lim( )x xx x

f x x xα α

α α→ →∈ ∈

= − = −

lim ( ) lim (2 2) 2 2x xx x

f x xα α

α→ →∈ − ∈ −

= − = − .

Pentru ca f să aibă limită în α este necesar şi suficient ca 3 2 2( ) ( ) 2 2 ( 1) 2( 1) 0s dl lα α α α α α α α= ⇔ − = − ⇔ − − − = ⇔

{ }2;1; 2α ∈ − . Aşadar f are limită doar în { }2;1;2−∈α .

b) Fie α ∈ un număr fixat )(lim xfx α→

⇒ se împarte în 2 limite:

lim ( ) lim1 1x xx x

f xα α→ →

∈ ∈

= = , lim ( ) lim 0 0x xx x

f xα α→ →

∈ − ∈ −

= = .

Cum ( ) ( ),s dl l R fα α α≠ ∀ ∈ ⇒ nu are limită în nici un punct α ∈ . e) Dacă lim ( ) lim cos cos

x xf x x

α αα α

→ →∈ ⇒ = = ⇒ funcţia

xxf cos)( = are limită în α∀ ∈ .

www.neutr

ino.ro


157

Fie ∞=α , din grafic intuim că xxf cos)( = nu are limită spre ∞ (nici spre ∞− ). Pentru a demonstra aşa ceva, fie ,n nx x′→ ∞ →∞ astfel încât 1cos nx l→ ; 2cos nx l′ → cu 21 ll ≠ . Fie 2 cos cos(2 ) cos(0 2 ) cos0 1 1n nx n x n nπ π π= →∞⇒ = = + = = →

2 cos cos 2 cos 0 02 2 2n nx n x nπ π ππ π⎛ ⎞′ ′= + →∞⇒ = + = = →⎜ ⎟

⎝ ⎠

Deoarece ∃ 2 şiruri ce tind la ∞ cu ( ) 1, ( ) 0 ( )n nf x f x f x′→ → → nu are limită. Analog pentru −∞=α , functia cos x nu are limita doar că şirurile

sunt 2 ; 22n nx n x nπ π π′= − = − cu cos cos 0;cos cos0 1

2n nx xπ ′= = = =

Problema 4: Studiaţi existenţa limitele următoare, şi în caz afirmativ, calculaţi limitele respective:

a) 0

limx→ 2

1 ;x

b) 1

limx→

;)1(

12−

−x

c) 0

limx→

;13x

d) 1

limx→ 21

1x−

;

e) limx→∞ 2

1x

; f) limx→−∞ 3

1x

;

g) 1

limx→ 321

1x

x−+ ; h) 3

1lim1 2x

xx→−∞

+−

;

i) 3

31

1lim1 2x

xx→

+−

; j) 3

3

1lim1 2x

xx→−∞

+−

;

k) 1

limx→ x

x21

13

−+ ; l)

3 1lim1 2x

xx→−∞

+−

;

m) 5

3 1lim4x

xx→

+−

n) 2

5

4 1lim4x

x xx→

− −−

o) 3 1lim

4x

xx→∞

+−

p) 3 1lim

4x

xx→−∞

+−


158

q) 2

3 1lim4x

xx→∞

+−

r) 2

3 1lim4x

xx→−∞

+−

s) 3

2

3 1lim4x

xx→∞

+−

ş) 3

2

3 1lim4x

xx→−∞

+−

t) 3

22

3 1lim4x

xx→

+−

ţ) 3

22

3 1lim4x

xx→

+−

u) ( )

3

22

3 1lim2x

xx→

+

− v)

( )

3

32

3 1lim2x

xx→

+

− Soluţie parţială:

a) 10

20

1limx x

+

→= ∞ ; b)

( )

10

21

1lim1x x

−+

→

−=−∞

−; c)

1?0

30

1lim ,x x→

= însă trebuie să

găsim semnul lui 0. Facem tabelul de semne ⇒ x 0

3

1x

+ + + + + \ - - - - - - - ⇒

00

limxx→<

∞−=−01

3

1x

şi ∞=+

>→

01

300

1limxx

x,

aşadar 3

1x

nu are limită în x = 0.

d) 1

?0

21

1lim1x x→

=−

x –1 1 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

21 x−

- - - - - - 0 + + + + + + + + + +0 - - - -

211x−

- - - - - - -/ + + + + + + + + + +/ - - - -

∞=−

+

<→

01

211 1

1limxx

x;

10

211

1lim1x

x x−

→>

=−∞−

21

1lim1x x>

⇒ ∃/−

; e) 1

2

1lim 0x x

∞

→∞= ;

www.neutr

ino.ro


159

c) 1

3

1lim 0x x

−∞

→−∞= ;

g) 31

1 1 1lim 21 2 1 2x

xx→

+ += = −

− −;

h) 3

1lim 01 2x

xx→−∞

+=

−;

i) 3

31

1 1 1lim 21 2 1 2x

xx→

+ += = −

− −;

j) 3

3

1 1 1lim1 2 2 2x

xx→−∞

+= = −

− −;

k)3

1

1 1 1lim 21 2 1 2x

xx→

+ += = −

− −;

Problema 8: Studiaţi existenţa limitele următoare, şi în caz afirmativ, calculaţi limitele respective:

a) 0

sinlimx

xx→

b) 0

limsinx

xx→

c) ( )

1

sin lnlim

lnx

xx→

d) 0

sin 3limsin 5x

xx→

e) 2

1

1limsinx

xxπ→

− f) 2

coslim2x

xxπ π→ −

g)

0

2limx

xtgx→

h)

0

3limsin 5x

tg xx→

i)

0

3limsin 5x

arctg xx→

j) 0

3lim5x

arctg xtg x→

k) ( )22

2lim

4x

arctg xx→

−−

l) ( )3

50

sinlimarcsinx

xx→


160

Problema 9.1: Determinaţi asimptotele funcţiilor următoare:

a) ( ) 2: ,1f

xf D f xx

→ =−

b) ( )3

2: ,1f

xf D f xx

→ =−

c) ( ) ( ) 2: 1; ,1

xf f xx

∞ → =−

d) ( ) ( )2: , ln 3 2ff D f x x x→ = − +

e) ( ): , 1 xf f x x e→ = −

f) ( ) 11: ,f

x

f D f xe e

→ =−

g) ( ): , sinf f x x x→ = +

h) ( ): , 2ff D f x x arctgx→ = − Soluţie parţială:

a) ( ) 2 1xf x

x=

−

Cond.: ( ) ( ) ( )2 1 0 ; 1 1;1 1; fx x D− ≠ ⇔ ∈ −∞ − − ∞ =∪ ∪ As. orizontale

fD nemărginit, calculăm spre ∞−

001

lim 2 =→=−−∞→

yx

xx

as. orizontală spre ∞−

001

lim 2 =→=−∞→

yx

xx

as. orizontală spre∞

as. oblice Deoarece fG are as. orizontală spre fG−∞⇒ nu are as. oblică spre ∞− .

Deoarece fG are as. orizontală spre fG∞⇒ nu are as. orizontală spre∞ . As. verticală

www.neutr

ino.ro


161

Calculăm as. verticale în capetele deschise ale domeniului. 10

211

lim1 fx

x

x Gx

−+

→−<−

=−∞⇒−

are as. verticală la stanga în x=-1

x -1 1 12 −x + + + + + + 0 - - - - - - - - - - 0 + + + + +

fxx

Gx

x→∞=

−

−−

−>−→

01

211 1

lim are as. verticală la dreapta în x=-1

Analog ∞−=−

−

<→

01

211 1

limx

x

xx

şi 11

lim0

1

211

=→∞=−

+

>→

xx

x

xx

este asimptotă la

stanga şi dreapta pentru fG .

b) ( )3

2 1xf x

x=

−

Cond.: ( ) ( ) ( )2 1 0 ; 1 1;1 1; fx x D− ≠ ⇔ ∈ −∞ − − ∞ =∪ ∪ As. orizontale

( ) ( ) fxxGxfxf →∞=−∞=

∞→−∞→lim;lim nu admite as.orizontale nici spre

∞− , nici spre ∞ as. oblice

( )( )

3

2Fie ; lim lim 1

1x x

f x xmx x x

α→−∞ →−∞

= −∞ = = = ∈ℜ−

( )3

2 2lim lim lim 01 1x x x

x xn f x mx xx x→−∞ →−∞ →−∞

⎛ ⎞= − = − = = ∈ℜ⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ − −⎝ ⎠

y mx n⇒ = + oblică y x⇒ = as.oblică spre ∞− Analog pentru ,α = ∞

( ) ( )( )3

22lim 1 , lim lim 0

11x x x

x xm n f x xxx x→∞ →∞ →∞

= = ∈ = − = =−−

y x⇒ = as. oblică spre ∞


162

As.verticale Procedăm ca în exemplul anterior obtinem că 1−=x şi 1=x sunt asimptotele verticale

c) ( ) ( ) 2: 1; ,1

xf f xx

∞ → =−

as. orizontale Deoarece fD nemărginit doar spre ∞ ,căutăm as.orizontale doar în

acea direcţie ( ) 001

limlim 2 =→=−

=∞→∞→

yx

xxfxx

as.orizontale spre ∞

as.oblice Deoarece ∃ as. orizontala spre ∞ , fG nu are as.oblice in directia rspectiva. Cum fD mărginit inferior fG⇒ nu are as. oblice spre ∞− . As verticale

Singura asimptotă posibilă este ( ) 21 11 1

lim lim1x x

x x

xf xx→ →

> >

= = ∞−

1x→ =

as verticala la dreapta. d) ( ) ( )2ln 3 2f x x x= − +

Cond. : : ( ) ( )2 3 2 0 ;1 2;x x x− + > → ∈ −∞ ∞∪ As orizontale

( ) ( )2 2 2lim ln 3 2 ln lim 3 2 ln limx x x

x x x x xα→−∞ →−∞ →−∞

= −∞⇒ − + = − + = =∞

deci fG nu are orizont spre ∞−

Analog, ( )limx

f x→∞

= ∞→ fG nu are orizont spre ∞

As oblice

−∞=α limx

n→−∞

=( )2

22 3

ln 3 2 3 2lim 01x

xx x x x

x →−∞

−− + − += = ∈R

www.neutr

ino.ro


163

Insa ( )( ) ( )( )2lim lim ln 3 2 0 0x x

n f x mx x x→−∞ →−∞

= − = − + − = →Gf nu

are as oblice nici spre ∞ As verticale

1=α ; ( )2

11

lim 3 2 1xx

x x x→<

− + = −∞→ = as verticala la stanga.

As verticala la dreapta nu exista căci nu pot calcula ( )11

limxx

f x→>

Analog, x = 2, as verticala la dreapta

e) ( ) ( )( )

1 , 1, :

1 , 1

x

x

x e xf x f R R

x e x⎧ − + <⎪= →⎨ − ≥⎪⎩

as orizontale

−∞=α limx→−∞

( ) ( ) 11 lim 1 lim 0x yyy y

yx e y ee

−

→∞ →∞

+− + = + = = (căci

lim 0, 1yy

polinom aa→∞

= ∀ > ) 0=→ y as orizontala spre ∞−

As oblice Cercetam daca gf nu are as orizontale spre ∞

( ) ( )1 1lim lim limx

x

x x x

f x x xmx x x

e e→∞ →∞ →∞

− −⎛ ⎞= = = ⋅ = ∞∉ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

fG nu

are as oblica spre ∞ As verticala Deoarece f continuă pe ⇒ limita în orice punct este un număr din , deci fG nu are as verticale.

f) ( ) 11

x

f xe e

=−


164

Cond.: 1

0

0x

x

e e

≠⎧⎪⎨⎪ − ≠⎩

( ) ( ) ( )1 1 1 ;0 0;1 1;fx Dx

⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇒ = −∞ ∪ ∪ ∞

As orizontale

−∞=α 11 1lim

1xx e

e e→−∞

=−

−

101căci 0 şi 1xe e

⎛ ⎞→ → =⎜ ⎟−∞⎝ ⎠

11

ye

⇒ =−

as orizontală spre -∞

11 1 1lim

1 1xx

ye ee e

α→∞

= ∞⇒ = ⇒ =− −

− as orizontală spre ∞

As oblice Deoarece fG are as orizontale si spre ∞− so spre →∞ fG nu are orizontale in nicio directie As verticale

0=α ; 1 1000

1 1 1 1limx

xxe e e

e e e e−∞→

−<

= = = ∈ ⇒− −

− −fG nu are as

verticală la stânga

1 1000

1 1 1 1lim1x

xx e e e e→

+>

= = =∞ − ∞

− −0= ⇒ fG nu are as verticală la

dreapta

1=α : 1

?0

111

1limx

xx e e→<

=−

(01 )?. Cum 11, 1 1x x

x→ < ⇒ → si

1

111

1 1 11 lim ( ) 10

xx

xx

e e xx e e

→<

> → > → = = ∞→ =+

− este as verticala la

stânga

www.neutr

ino.ro


165

111

1 1lim ( ) 10x

xx

xe e

→>

= = −∞→ =−

− este as verticala la dreapta

g) ( ) xxxf sin+= , :f → as orizontale

−∞=α ; limx→−∞

1( ) lim ( ) lim 1 sinx x

f x x isnx x xx→−∞ →−∞

⎛ ⎞= + = + = −∞⎜ ⎟⎝ ⎠

(caci 01→

x,sin x e marginit 0sin1

→→ xx

)→ fG nu are as oriz

spre ∞−

∞=α ; 1lim ( ) lim 1 sin 0x x

f x x xx→∞ →∞

⎛ ⎞= + = →⎜ ⎟⎝ ⎠

fG nu are oriz spre ∞

As oblice

−∞=α ; ( ) sinlim limx x

f x x xmx x→−∞ →−∞

+= = =

1 sin1lim lim 1 sin 1

x x

x x xx xx x→−∞ →−∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

lim ( ) ] lim ( sin ) lim sinx x x

n f x mx x x x x→−∞ →−∞ →−∞

= − = + − = care nu exista

→Gf nu are as oblica spre ∞− Analog, fG are as oblica spre ∞ . As verticale Deoarece f continua pe ff GD → nu are as verticala

h)Deoarece : ;2 2

tg π π⎛ ⎞− →⎜ ⎟⎝ ⎠

: ;2 2 farctg Dπ π⎛ ⎞⇒ → − ⇒ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

As orizontale:


166

2; lim ( 2 ) lim (1 )x x

x arctgx x arctgxx

α→−∞ →−∞

= −∞ − = − = −∞ (deoarece

;2 2

arctg π π⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

,deci e marginit si fGx

⇒→ )02 nu are as

orizontala spre ∞

As oblice

21( ); lim lim 1

x x

x arctgxf x xm

x xα

→−∞ →−∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠= −∞ = = = ∈

lim ( 2 ) lim ( 2 ) 22x x

n x arctgx x arctgx π π→−∞ →−∞

⎛ ⎞= − − = − = − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

,deoarece

graficul functiei avem 2 2

tg tg arctgπ π→∞⇒ ∞→

2 2tg y mx nπ π⎛ ⎞− → −∞→ − ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

, adica π+= xy este

as.oblica spre ∞− . Analog, π−= xy va iesi as. oblica spre ∞ . Problema 9.2: Determinaţi asimptotele funcţiilor următoare:

a) 2( ) ;1

xf xx+

=−

b) 2 4( ) ;

2xf x

x−

=−

c) 2

2

2( ) ;1

xf xx+

=+

d) 2( ) ;1

xf xx

=−

e) 2

2

1( ) ;4

xf xx

+=

− f) 2( ) .

3 2xf x

x x=

− +

g) 2

( ) ;1

xf xx

=−

h) 22 1( ) ;

2x xf xx+ −

=−

i) 3

2( ) ;9

xf xx

=−

j) 2 1( ) ;

2xf x

x+

=−

k) 2

1( ) ;4

xf xx−

=+

l) 2 1( ) .

1xf xx+

=−

www.neutr

ino.ro


167

m) ( ) ln( 1);f x x x= ⋅ − n) 2( ) 4 ;f x x x= −

o) 1

( ) ;xf x x e= ⋅ p) 1 ln( ) ;2 ln

xf xx

+=

+

q) sin( ) ;xf x

x= r) 1

1

1( ) .x

f xe e−

=−

Problema 10, 11: Studiaţi continuitatea funcţiilor următoare în punctele indicate şi precizaţi tipul de discontinuitate al punctelor respective :

a)⎩⎨⎧

≥−<−

=2;3

2;1)( 2 xx

xxxf , în 2=α ;

b)⎩⎨⎧

>−<−

=2,3

2,1)( 2 xx

xxxf , în 2=α ;

c)

2 1; 2: ( ;2] , ( ) 21; 2

xe xf f x xx

−⎧ −<⎪−∞ → = −⎨

⎪ =⎩

, în 2=α ;

d) { }: ( ;2) 3 , ( ) 2f f x x−∞ ∪ → = − , în 3=α ;

e)⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−=<−

=2;3

2;32;1

)(2 xx

xxx

xf , în 2=α ;

f)⎩⎨⎧

≥−<−

=2,1

2,1)( 2 xx

xxxf ; în 2=α ;

g)⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−

<−=

1,1

1,1

1)(

xx

xxxf ; în 1α = ;

h)⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−=

1,1

1,1

1)(

x

xxxf , în 1α = ;


168

i)3 2 ,

( )2 2, \

x x xf x

x x⎧ − ∈

= ⎨− ∈⎩

, în α∀ ∈

Soluţie parţială: a) ffff ds ⇒=== 1)2(;1)2(;1)2( continuă in 2=α . b)Deoarece fD f ⇒∉= 2α nu e continua in 2=α si 2=α nu e punct de discontinuitate(caci punctele de discontinuitate sunt puncte din domeniu in care f nu e continua).

c)2

2 22 2

1lim ( ) lim 12

x

x xx x

ef xx

−

→ →< <

−= =

− si ff ⇒= 1)1( continua in x=1. (caci

2 22

lim ( ) lim ( )x x

x

f x f x→ →

<

= ).

d)Deoarece 3 este punct izolat al domeniului lui f f⇒ continua in x = 3 oricare ar fi forma lui f. e) )(lim

2xf

x→ se imparte in 2 limite :

1)1(lim)(lim)2(22

22

=−==<→

<→

xxffxx

xxs

2

2 22 2

(2) lim ( ) lim( 3) 1d x xx x

f f x x→ →> >

= = − = si cum ff ⇒= 3)2( nu e

continua in 2=α . Cum (2) , (2) , 2s d ff f Dα∈ ∈ = ∈ si f nu e continua in

22 =⇒= αα punct de discontinuitate de prima speta. f) )(lim

2xf

x→ se imparte in 2 limite :

2

2 22 2

(2) lim( 1) 1; (2) lim( 1) 3s dx xx x

f x f x→ →< >

= − = = − =

23)2( =⇒= αf punct de discontinuitate de prima speta

www.neutr

ino.ro


169

g) ∞−=−

=−

<→

01

11 1

1lim)1(x

fxxs ; 10)1(;0)1(lim)1(

11

=⇒==−=>→

αfxfxxd

punct de discontinuitate de a doua speta.

h) ∞=−

=−∞=−

=>→

<→ 1

1lim)1(;1

1lim)1(11

11 x

fx

fxxd

xxs

11)1( =⇒= αf e punct de discontinuitate de a doua speta. i) f continuă în x α= ⇔ ( ) ( )lim

xf x f

αα

→= . Dar, ( )xf

x α→lim

se împarte în 2 limite: ( )limxx

f xα→

∈

şi ( )limxx

f xα→

∈ −

Caz I : Fie ( ) ( )3 2 3 2, lim , lim 2 2 2 2x xx x

x x xα α

α α α α→ →∈ ∈ −

∈ − = − − = −

şi ( ) 23 ααα −=f , f continuă în 3 2 2 2α α α α⇔ − = − ⇔

( ) ( ) ( )( )( )2 1 2 1 0 1 2 2 0α α α α α α− − − = ⇔ − − + = ⇔

{ }2;1; 2α ∈ − . Dar, 1=⇒∈ αα Q .

Caz II: Fie ( )3 2 3 2, lim ,xx

x xα

α α α→∈

∈ − − = −

( )lim 2 2 2 2xx

xα

α→∈ −

− = − şi ( ) 22 −= ααf .

f continuă în 3 2 2 2α α α α⇔ − = − ⇔

( ) ( ) ( )( )( )2 1 2 1 0 1 2 2 0α α α α α α− − − = ⇔ − − + = ⇔

{ }2;1; 2α ∈ − . Dar 2; 2α α α∈ − ⇒ = − = .

Aşadar, f continuă în 2;1;2 ==−= ααα şi orice punct α ∈ este un punct de discontinuitate de I speţă.


170

Problema 12.1: Folosind proprietatea că o funcţie continuă nu îşi schimbă semnul decât eventual în rădăcini, să se stabilească semnul următoarelor funcţii :f D → : a) ( ) 1f x x= − b) 2( ) 6 8f x x x= − +

c) ( ) ( )( ) 2 2 2 4 ;x xf x = − ⋅ − d) ( ) ( )( ) 2 1 3 9 ;x xf x = − ⋅ −

e) ( ) ( )2( ) 2 3 4 2 ;xf x x x= + − ⋅ − f) ( )2( ) 5 6 ln( 1);f x x x x= − + ⋅ −

g) ( )( )( ) ln 1 1f x x x= − − h) ( ) 2 1 2 ;x xf x x x= ⋅ − + − Problema 12.2:Folosind proprietatea că o funcţie continuă nu îşi schimbă semnul decât eventual în rădăcini, sau în capetele deschise ale domeniului, să se stabilească semnul următoarelor funcţii: a) 3 4 0;x x− ≤ b) 4 25 4 0;x x− + ≤

c) 3 2 3 0;x x+ − > d) ( )( )2 4 1 0;xx e− − ≤

e) 2 1 0;

ln 1

x

x−

≤−

f) 2 4 0;3 1

x

x

−≤

−

g) 2 2 0.3 3x

x x+ −>

− h)

ln 1 01

xx−

≤−

Problema 12.3: Să se arate că următoarele ecuaţii au cel puţin o soluţie pe intervalele I indicate: a) ( )3 2 2 0 , 1, 2 ;x x I− − = = b) ( )4 2 3 0 , 1, 2 ;x x I+ − = =

c) ( )ln 0 , 0,1 ;x x I+ = = d) ( )1 sin 0 , , ;x x I π π+ + = = −

e) f) cos 2 , , ;2

x x I π π⎛ ⎞+ = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

g) ( )2 0 , 1, 2 ;xe x I− − = = h) ( )1 2ln(1 ) 2 , 0, 1 .x x I e+ + = = −

i) ( )1 , 0,1 ;arctgx x I+ = = j) ( )arcsin 1 , 0,1 .x x I+ = =

cos , 0, ;2

x x I π⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

www.neutr

ino.ro


171

Problema 14: Cercetaţi dacă au proprietatea lui Darboux funcţiile:

a) 1, 1

( )2 , 1x x

f xx x+ <⎧

= ⎨ ≥⎩ b)

1, 1( )

2 , 1x x

f xx x− <⎧

= ⎨ ≥⎩

c)

1,( )

0, \x

f xx

∈⎧= ⎨ ∈⎩

d)

2

2 ,( )

, \

x xf x

x x⎧ ∈

= ⎨∈⎩

e) 3, 1

( )2 , 1x x

f xx x+ <⎧

= ⎨ ≥⎩ f)

2, 2( )

2 , 2x x

f xx x+ <⎧

= ⎨ ≥⎩

g)

2,( )

1, \x

f xx∈⎧

= ⎨− ∈⎩ h)

2

3 ,( )

, \

x xf x

x x⎧ ∈

= ⎨∈⎩

Soluţie parţială: a) Cercetam dacă f continuă. Evident, f este continuă pe ( ),1−∞ şi

pe ( )1,∞ ca şi funcţie elementară, studiem continuitatea în 1x =

1 11 1

1 11 1

lim ( ) lim( 1) 2

lim ( ) lim(2 ) 2 continuă în 1

(1) 2

x xx x

x xx x

f x x

f x x f x

f

→ →< <

→ →> <

= + = ⎫⎪⎪= = ⇒ =⎬⎪⎪= ⎭

Aşadar, f continuă pe ⇒ f are proprietatea lui Darboux pe b) Cercetam dacă f continuă. Evident, f este continuă pe ( ),1−∞ şi


1 11 1

1 11 1

lim ( ) lim( 1) 0

lim ( ) lim(2 ) 2 1

(1) 2

x xx x

x xx x

f x x

f x x x

f

→ →< <

→ →> <

= − = ⎫⎪⎪= = ⇒ =⎬⎪⎪= ⎭

este punct de discontinuitate de

prima speţă ⇒ f nu are proprietatea lui Darboux pe


172

c) Deoarece exista ( );I = −∞ ∞ astfel încât { }( ) 0;1f I = ,avem un interval a cărui imagine nu e interval, deci f nu are proprietatea lui Darboux ⇒ f nu admite primitive. d) Vom arăta că f nu are proprietatea lui Darboux. Presupunem că f Db∈ . Fie ( ) ( ) ( )( )64 63,65 63 , 65f fλ = ∈ = . Presupunem

că ( )63, 65c∃ ∈ astfel încât ( ) 64f c = . Sunt 2 posibilităţi

( )2

( ) 2 64 6 63, 65 , contradicţie

\ ( ) 64 8 ,contradicţie cu \

cc f c c

c f c c c c

∈ ⇒ = = ⇒ = ∉

∈ ⇒ = = ⇒ =± ∈ ∈, deci

nu există c cu proprietatea că ( )f c λ=

www.neutr

ino.ro


173

Capitolul 19 FUNCŢII DERIVABILE

Problema 1: Folosind definiţia , să se studieze derivabilitatea următoarelor funcţii în punctele indicate: a) :f → , ( ) 1f x x= + în 2α =

b) { }: ( ; 1) 2f −∞ − ∪ → , 1( )1

f xx

=+

în 2α =

c) { }: 1f − − → , 1( )1

f xx

=+

în 1α = −

d) [ ): 1;f − ∞ → , ( ) 1f x x= + în 1α = −

e) :f → , 3( ) 1f x x= + în 1α = −

f) :f → , ( )23( ) 1f x x= + în 1α = − Soluţie parţială: Pentru a studia derivabilitatea trebuie caα punct de acumulare si punct din domeniu lui f .

f − derivabilă în ( ) ( )limx

f x fxxα

ααα→

−= ⇔ ∈

− şi

are derivata în ( ) ( )limx

f x fxxα

ααα→

−= ⇔ ∈

−.

a) 2=α punct al domeniului si punct de acumulare al domeniului

2 2

( ) (2) 1 3lim lim 12 2x x

f x f x fx x→ →

− + −= = ∈ ⇒

− −derivbila în 2x = şi

' (2) 1f = . b) 2=α e punctul din domeniu insa nu e punct de acumulare al domeniului, deci f nu e derivabila in 2=α si nici nu are derivata in acest punct. c) 1−=α nu e punct din domeniu, deci f nu derivabila si nici nu are derivata in 1−=α


174

d) 1−=α e punct al domeniului si punct de acumulare al

domeniului, calculăm 1 1

( ) ( 1) 1 0lim lim1 1x x

f x f xx x→− →−

− − + −= =

+ +

11

1lim1 ( 1)x

x

xx x→−

>−

+=

+ +

10

11

1lim1x

x x

+

→−>−

= ∞⇒+

f nu e derivabila in

1x = − dar are derivata in 1x = − , '( 1)f − = ∞ e) 1−=α e punct al domeniului si punct de acumulare al

domeniului, calculăm3

1 1

( ) ( 1) 1 0lim lim1 1x x

f x f xx x→− →−

− − + −= =

+ +

21 3

1lim( 1) ( 1)x

xx x→−

+=

+ + ( )

10

21 3

1lim1x x

+

→−= ∞⇒

+ f nu e derivabilă in

1x = − dar are derivate in 1x = − şi '( 1)f − = ∞ . f) 1−=α e punct al domeniului si punct de acumulare al

domeniului, calculăm 23

1 1

( 1) 0( ) ( 1)lim lim1 1x x

xf x fx x→− →−

+ −− −= =

+ +

31

1lim( 1) 1x

xx x→−

+=

+ + 31

1lim1x x→− +

. Cum

10

311

1' ( 1) lim1s x

x

fx

−

→−<−

− = =−∞+

,

10

311

1' ( 1) lim1d x

x

fx

+

→−>−

− = = ∞+

⇒ f nu e derivabila în 1x = − si nici nu

are derivata in 1x = − Problema 2: Să se determine , ,a b c∈ pentru care următoarele funcţii :f → sunt derivabile pe :

a) 2 1 , 0

( ) ;sin cos , 0

x x xf x

a x b x x⎧ − + ≥

= ⎨⋅ + ⋅ <⎩

www.neutr

ino.ro


175

b) 2 1 , 0

( ) ;, 0x

ax x xf x

b e x⎧ + + <

= ⎨⋅ ≥⎩

c) 2

3

2 , 2( ) ;

2 11 , 2x a x

f xbx b x

⎧ + ≤= ⎨

+ >⎩

d) 2 , 0

( ) ;ln( 1) , 0x ax x

f xb x x⎧ + <

= ⎨⋅ + ≥⎩

e) , 1

( ) ;, 1

xx e xf x

ax b x⎧ ⋅ ≤

= ⎨+ >⎩

f) 2

1 , 0( ) .3

2 , 0

x xf x x

ax b x

−⎧ >⎪= +⎨⎪ + ≤⎩

Problema 3: Să se scrie ecuaţia tangentei la graficele următoarelor funcţii :f D→ în punctele x a= indicate şi panta tangentei în acele puncte : a) ( ) 1f x x= − , 2a = ; b) ( ) 3 1f x x= − 1a =

c) ( ) ( )23 1 , 1f x x a= − = d) ( ) ( )23 1 , 1f x x a= − = e) ( ) 2, 1;f x a= = f) ( ) 2, 3;f x x a= + = g) 2( ) 3 2, 1;f x x x a= − + = − h) 3( ) , 1;f x x x a= + =

i) 1( ) , 2;f x ax

= =

j) 2

1( ) , 2;f x ax

= =

k) ( ) , 0;f x x a= = l) ( ) 1, 1;f x x a= − = Soluţie parţială: Ecuatia tangentei este: ( ) ( )( )y f f xα α α′− = − in cazul in care f

e derivabila in x α= , respectiv x α= in cazul in care ( )f x′ = ±∞ . Daca ∃ doar o derivata laterala f⇒ are doar semitangenta in directia respectiva.


176

a) Deoarece ( )2 1f = ⇒ ecuatia tangentei este: ( )11 22

y x− = − ⇔

2 2 2 2y x x y− = − ⇔ = b) Deoarece ( )1f ′ = ∞⇒ f nu e derivabila in 1x = , dar f are derivata in 1x = si deci ecuatia tangentei este 1x = . c) ⇒ graficul functiei are semitangente la stanga 1=x , la dreapta

1=x deci fG are tangenta pe 1x = Problema 4. Să se determine punctele unghiulare sau de întoarcere ale graficelor următoarelor funcţii :f D → :

a) ( ) 3 1f x x= − b) ( ) ( )23 1f x x= −

c) ( ) 1, 11, 1

x xf xx x

⎧ − >⎪= ⎨− ≤⎪⎩

d) ( ) 2

1, 11, 1

x xf x

x x− ≤⎧

= ⎨− >⎩

e) ( ) 11

f xx

=−

f) ( ) 2

2 , 01, 0

x xf x

x x

⎧ >⎪= ⎨− + ≥⎪⎩

g) 2( ) ;f x x x= − h) 1

( ) ;1x

f xx

−=

+

i) ( ) ;f x x= j) ( ) 1 ;f x x x= ⋅ −

k) ( )2 , 0

1, 0x

x xf x

e x

⎧ ≤⎪= ⎨− >⎪⎩

l)

( )2 2, 0

1, 0x

x xf x

e x

⎧ + ≤⎪= ⎨+ >⎪⎩


b) f contiuna in 1x = , 3

2 1( )3 1

f xx

′ = ⋅−

,

(1) ; (1) 1s df f x′′ = −∞ = ∞⇒ = e punct de intoarcere; c) fDx ∈= 1 si evident f continua in 1x =

www.neutr

ino.ro


177

b) f contiuna in 1x = , 3

2 1( )3 1

f xx

′ = ⋅−

,

(1) ; (1) 1s df f x′′ = −∞ = ∞⇒ = e punct de intoarcere; c) fDx ∈= 1 si evident f continua in 1x = ;

11

1( ) lim1d x

x

f xx→

>

′ = = ∞−

si 1

1

( ) lim1 1s xx

f x→<

′ = = ⇒ f nu e derivabila in

x = 1 , f nu are derivate in 1x = si 1x = e punct unghiular. d) fDx ∈= 1 ,f continua in 1x = si (1) 1; (1) 2 1s df f x′ ′= = ⇒ = e punct unghiular.

e) { }1( ) \ 1 ,1 ff x D

x= ⇒ =

− deci ⇒∉= fDx 1 f nu e continua

in 11 =⇒= xx nu e punct de intoarcere, nici unghiular

f)⎪⎩

⎪⎨⎧

≤−

>=

0,10,2

)(2 xx

xxf

x

f continua in x=0

2

0 00 0

( ) (0) 1 1(0) lim lim 0s x xx x

f x f xfx x→ →

< <

− − −′ = = =

0 00 0

( ) (0) 2 1(0) lim lim ln 2x

d x xx x

f x ffx x→ →

> >

− −′ = = = ⇒ f nu e derivabila in

0x = , 0x = e punct unghiular Problema 5: Folosind formulele de derivare, calculaţi derivatele de ordin I şi II pentru funcţiilor următoare: : ff D → unde:

a) 5( )f x x= ; b) 3 2( )f x x= ; c) ( ) lnf x x= d) ( ) cosf x x= e) ( ) arccosf x x= f) ( ) 3 ;xf x = g) ( ) ;xf x e= h) ( ) arcsin ;f x x=


178

Problema 6: Folosind formulele de derivare, calculaţi derivatele funcţiilor următoare: : ff D → unde:

a) 5( ) 2 5 7f x x x x= + + + ; b) 3 21( ) 2x xf x x ex

= + + + ;

c) ( )( ) 1 ;xf x x e= ⋅ + d) ( )2( ) 1 ( 1);xf x x x e= − + ⋅ −

e) ( ) sin cos ;f x x x= ⋅ f) 2( ) ln .f x x x= ⋅

g) 1( ) ;1 2

xf xx

−=

+ h)

i) ( ) ;1

x xf xx

=+

j) sin( ) ;

2 cosxf x

x=

−

Problema 7. Folosind regula de derivare a funcţiilor compuse , să se calculeze derivatele următoarelor funcţii :f D → :

a) ( ) ( )( )512sin += xxf ; b) 3 21)( xx

xf += ;

c) ( )sin cos( ) xf x e= ; d) ln( ) 2 xf x = e) ( ) ( )( )( )12arccoslog2 −= xctgxf g) ( ) ( )( )arccos 2 1f x ctg x= − h) ( ) ( )( )( )12arccoslog2 −= xctgxf Soluţie parţială: a) ( ) ( ) ( ) 212cos12sin5' 4 ⋅+⋅+= xxxf ;

b) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⋅

+=

323 2 3

2112

1'xx

xx

xf ;

c) ( ) ( ) ( ) ( )( )x

xxexf xx 12ln2sincoscos' lncossin ⋅⋅+−⋅⋅= ;

h) ( )( )( )( ) ( ) ( )

2 2

1 1 1' 21 arccos 2 1ln2 arccos 2 1 1 2 1

f xxctg x x

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⋅ − ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⋅ − ⎜ ⎟⎝ ⎠ − −⎝ ⎠

sin( ) .1 cos

xf xx

=+

www.neutr

ino.ro


179

Problema 8. Folosind regula de derivare a funcţiilor compuse , să se calculeze derivatele următoarelor funcţii :f D → :

a) ( )4( ) 2 1 ;f x x= + b) ( )32( ) 3 4 ;f x x x= − +

c) ( )2( ) 2 ln ;f x x x= + d) ( )32( ) sin .xf x x x e= +

e) ( )3( ) 2 sin ;f x x x= − f) 2( ) 1 ;f x x x= + +

g) ( ) sin .f x x x= + h) 3( ) sin ;f x x= Problema 9. Folosind regula de derivare a funcţiilor compuse , să se calculeze derivatele următoarelor funcţii :f D → :

a) 4( ) cos ;f x x= b) 2( ) 1 ;f x x= −

c) d)

e) 1( ) ln .1

xf xx−

=+

f) 2 1( ) ln .

1xf xx−

=+

g) ( ) sin .f x x x= + h) 3( ) sin ;f x x= Problema 10. Folosind formulele şi regulile de derivare, calculaţi derivatele funcţiilor următoare: : ff D → unde:

a) ( ) ( )tgxxxf arccos= b) ( ) ( )arcsin cos xf x x=

c) ( ) ( ) xxxf cossin= d) ( ) ( )sincos xf x x=

e) xxxf ln)( = f) xxxf ln)( =

g) ( )ln( ) sin xf x x= h) ( )sin( ) ln xf x x=


a) ( ) ( )arccos22

1 1' lncos1

tgxf x x xxtg x

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ ⋅ − ⋅ +⎜ ⎟−⎝ ⎠

( ) ( )arccos 1arccos 1tgxtgx x −+ ⋅ ⋅ ⇒

( ) ( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⋅−−=

xtgx

xxtgxxxf tgx arccos

cos1ln'

22

arccos ;

3( ) 2 sin(2 1);f x x x= − ( )( ) 1 ln(1 2 );f x x x= + ⋅ +


180

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cos 1' sin ln sin sin cos sin cosx xf x x x x x x x−= ⋅ ⋅ − + ⋅ =

= ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⋅⋅

xxxxx x

sincossinsinlnsin

2cos ;

h) ( ) 1ln1ln' 1lnln ⋅⋅+⋅⋅= −xx xxx

xxxf

( ) ⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⇒

xx

xxxxf x lnln' ln ( ) xx

xxxf lnln2' ⋅⋅= .

Problema 11:

a) Calculaţi ( )1

2

n

x⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

b) Calculaţi ( )

2

12 6 4

n

x x⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠

c) Calculaţi ( )

2

13 2

n

x x⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠

d) Calculaţi ( )( )( )ln 1n

x −

e) Calculaţi ( )( )( )2ln 3 2n

x x− +

f) Arătaţi că: ( )(sin ) sin2

n nx x π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

g) Arătaţi că: ( )(cos ) cos2

n nx x π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

h) Calculaţi 20042 )sin( xx ⋅ . i) Calculaţi 2 2010( cos )x x⋅ .

l) Calculaţi ( )( )( )2 1nxe x⋅ +

m) Calculaţi ( )( )( )2 3 1n

xe x x⋅ + +

www.neutr

ino.ro


181


c) ( ) 2 2

1 1 12( 3 2) 2 3 2

f xx x x x

= = ⋅− + − +

. Deoarece

2

1 1 ( ) 23 2 ( 1)( 2) 1 2 ( 1)( 2)

A B A B x A Bx x x x x x x x

+ − −= = + =

− + − − − − − −

Egalind coeficientii ⎩⎨⎧

=−−=+

⇒12

0BA

BA1,11 =−=⇒=−⇒ BAA

1 1 1( )2 1 2

f xx x−⎛ ⎞⇒ = ⋅ + ⇒⎜ ⎟− −⎝ ⎠

( )1 1

1 ( 1) ( 1) ! ( 1) !( )2 ( 1) ( 2)

n nn

n n

n nf xx x+ +

⎛ ⎞− ⋅ − ⋅ − ⋅= + ⇒⎜ ⎟− −⎝ ⎠

( )1 1

( 1) ! 1 1( )2 ( 2) ( 1)

nn

n n

nf xx x+ +

⎛ ⎞− ⋅= −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

.

d) 1( ) ln( -1) ( )1

f x x f xx

′= ⇒ =−

Atunci ( 1)

( ) ( 1) 1( ) ( ( ))1

nn nf x f x

x

−− ⎛ ⎞′= = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

= n

n

xn)1(

)!1()1( 1

−−⋅− −

e) ( )2( ) ln 3 2f x x x= − + ⇒

2

2 3 ( ) 2( )3 2 1 2 ( 1)( 2)

x A B x A B A Bf xx x x x x x

− + − −′ = = + =− + − − − −

Egalind coeficientii 2

1 12 3

A BA A

A B+ =⎧

⇒ ⇔ − = − ⇔ =⎨− − = −⎩si 1B =

( ) ( 1)1 1( ) ( ) ( ( ))1 2

n nf x f x f xx x

−′ ′⇒ = + ⇒ = =− −

( 1) 1 11 1 ( 1) ( 1)! ( 1) ( 1)!1 2 ( 1) ( 2)

n n n

n n

n nx x x x

− − −− ⋅ − − ⋅ −⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠

= 1 1 1( 1) ( 1)!( 1) ( 2)

nn nn

x x− ⎛ ⎞

− ⋅ − +⎜ ⎟− −⎝ ⎠.

f) Aratam prin inductie:


182

I (1) : (sin ) sin cos sin cos cos sin2 2 2

P x x x x xπ π π⎛ ⎞′ = + ⇔ = + ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠

1cos0sincos ⋅+⋅=⇔ xxx adev.

II Presupunem ( )P k adev. (?)

( 1)P k⇒ + adev. unde ( )( ) : (sin ) sin

2kP k x x π⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠( 1) ( 1)( 1) : (sin ) sin

2k kP k x x π+ +⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Stim ca ( ) ( 1)(sin ) sin | () (sin ) cos2 2

n kn kx x x xπ π+⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= + ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ramane sa aratam ca ( 1)sin cos2 2

k kx xπ π+⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Fie sin sin cos cos sin2 2 2 2 2 2

k k kx x xπ π π π π π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

sin 0 cos 1 cos ( 1)2 2 2

k k kx x x P kπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ + + ⋅ = + ⇒ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

adev.

( )P n⇒ adev. n∀ ∈ . h)Folosind formuzla lui Leibniz avem că : 2 (2004)( sin )x x⋅ =

0 2 (2004) 1 2 (2003) 2004 2 20042004 2004 2004( ) sin ( ) (sin ) ... (sin )C x x C x x C x x′+ + + ⋅

Fiind greu de observat care termeni se anulează, folosim:=⋅= )2004(2)2004(2 )(sin)sin( xxxx

02)(sin2)(sin)(sin )2002(22004

)2003(12004

2)2004(02004 +++ xCxxCxxC caci

0)( )4(2 =x si 4,0)( )(2 ≥∀= nx n 2 (2004)( sin )x x⇒ =⋅ 22004 20031 sin 2004 sin 2

2 2x x x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

www.neutr

ino.ro


183

2004 2003 2002sin 22 2

x π⋅ ⎛ ⎞+ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2sin( 1002 )x xπ+ +

32004 sin 1000 22

x xππ⎛ ⎞+ ⋅ + + ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

2004 2003sin( 1000 )x π π⋅ + + =

2 3sin 2004sin 2 2004 2003sin( )2

x x x x xπ π⎛ ⎞= ⋅ + + ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

Calculând 3 3 3sin sin cos cos sin2 2 2

x x xπ π π⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

si

Problema 12: Arătaţi că funcţiile următoare sunt inversabile şi calculaţi derivata de ordin I a funcţiei inverse în punctele indicate: a)Fie :[ ; ) [ 2; )f e e∞ → + ∞ , ( ) ln 1f x x x= + + . Calculaţi

( ) ( )1 23f e− ′ +

b)Fie :[1; ) [3; )f ∞ → ∞ , ( ) 3 1f x x x= + + . Calculaţi ( ) ( )1 11f − ′

c)Fie :[1; ) [4; )f ∞ → ∞ , ( ) 2 1xf x x= + + . Calculaţi ( ) ( )1 12f − ′

d)Fie :[1; ) [3; )f ∞ → ∞ , ( ) 2 ln 1xf x x= + + . Calculaţi ( ) ( )1 3f − ′ Soluţie parţială: a) Arătăm bijectivitatea:

( ) [ )1' 1 0, , injectivăf x x e f s fx

= + > ∀ ∈ ∞ ⇒ ⇒

sin 0 cos ( 1) cosx x x= ⋅ + ⋅ − = − sin( ) sin cosx xπ π+ = +cos sin sin ( 1) cos 0 sinx x x xπ+ = ⋅ − + ⋅ = −

2 (2004) 2( sin ) sin 2004cos 2 2004 2003sinx x x x x x x⇒ = ⋅ − ⋅ − ⋅ =2sin ( 2004 2003) 4008 cosx x x x= − ⋅ − ⋅


184

( )( )

2lim surjectivă

continuăx

f e ef x f

f→∞

⎧ = +⎪⎪ = ∞⇒⎨⎪⎪⎩

Aşadar, f este bijectivă.

( ) ( ) ( ) ( )1 2 20

0

13 unde 3f e f x ef x

− ′ + = = +′

( ) 2 2 23 ln 1 3 ln 2f x e x x e x x e= + ⇔ + + = + ⇔ + = +

Observam ca 2x e= e solutie, cum f este bijectivă rezultă că 2x e=

e soluţie unică ( ) ( ) ( )1 2

2

13f ef e

− ′⇒ + =′

Cum ( ) ( )2

22 2

1 1 11 1 ef x f ex e e

+′ ′= + ⇒ = + = ⇒ ( ) ( )2

1 223

1ef e

e− ′ + =

+

( ) ( )2

22 2

1 1 11 1 ef x f ex e e

+′ ′= + ⇒ = + =

Problema 13: Să se determine ordinul de multiplicitate al rădăcinii 0xindicate în fiecare caz pentru următoarele ecuaţii : a) 01 0 , 1;x x− = = b) 2

03 2 0 , 1;x x x− + = = c) 2

02 1 0 , 1;x x x− + = = d) 3 2

01 0 , 1;x x x x− + − = = e) 3 2

03 3 1 0 , 1;x x x x− + − = = f) 4 3 2

05 9 7 2 0 , 1;x x x x x− + − + = = g) 5 4 3 2

03 2 6 7 1 0 , 1;x x x x x x+ − + − − = =

h) 4 3 2011 44 50 48 0 , 2.x x x x x− + − + = =

i) 4 3 204 2 12 9 0, 1x x x x x+ − − + = =


www.neutr

ino.ro


185

i) Fie ( ) 4 3 24 2 12 9f x x x x x= + − − + ; ( )1 1 4 2 12 9 0f = + − − + = ,

( ) 3 24 12 4 12f x x x x′ = + − − , ( )1 4 12 4 12f ′ = + − − ,

( ) 212 24 4f x x x′′ = + − , ( )1 12 24 4 0f ′′ = + − ≠ ⇒ ordinul de

multiplicitate pentru 1α = este 2 caci ( ) ( )1 0, 1 0f f ′= = si

( )1 0f ′′ ≠ . Problema 14. a) Cercetaţi dacă funcţia ( ) 1 2f x x x x x= − + − e derivabilă pe .

b) Cercetaţi dacă funcţia ( ) ( )1 1f x x x= + − e derivabilă pe .

c) Cercetaţi dacă funcţia ( ) ( ) 21 1f x x x= + − e derivabilă pe .

d) Cercetaţi dacă funcţia ( ) ( )2 1 1f x x x= − − e derivabilă pe . Problema 15: Determinati a∈ astfel incat graficele lui f si g sa aiba o tangenta comuna intr-un punct de intersectie a curbelor . a) ( ) 2f x x= si ( ) 2 4 ,g x x x a a= − + + ∈ .

b) Fie ( )f x x= , ( ) 3g x x ax b= + + . Sa se determine a si b pentru care graficele celor doua functii sunt tangente in 1x = . c) Determinati coeficientul unghiular al tangntei in punctul ( )2;A e e la graficul functiei ( ): 0;f ∞ → , ( ) ln 1f x x x= + − .

Soluţie parţială: a) Fie α abscisa punctului de intersectie ( ) ( ).αα gf =⇒ Faptul ca cele 2 grafice au o tangenta comuna in acel punct inseamna ca panta tangentei este ( )'f α si ( )'g α , deci ( ) ( ).'' αα gf = Avem

deci sistemul ( ) ( )( ) ( ) ⎩

⎨⎧

=⇒+−=++−=

⇔⎩⎨⎧

==

14224

''

22

αααααα

αααα c

gfgf

Inlocuind in prima relatie 2411 −=⇒++−=⇒ cc


186

b) Faptul ca graficele celor doua functii sunt tangente in x=1 inseamna ca au un punct de intersectie si ca in acel punct au aceeasi tangenta, deci rationand ca la punctul anterior avem sistemul

(1) (1)(1) (1)

f gf g

=⎧⎨ ′ ′=⎩

.Cum pentru 10, ( ) ( )2

x f x x f xx

′≥ = ⇒ = ⇒

1(1) ;2

f ′ = 2( ) 3 (1) 3g x x a g a′ ′= + ⇒ = + ⇒ sistemul

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=⇔+=

=+⇔++=

25

253

21

011

bsiaa

baba .

c) Coeficientul unghiular al unei drepte este panta acelei drepte.Cum panta este '( ) '( )m f m f eα= ⇒ =

21 1 2 1'( ) 2 '( ) 2 ef x x f e ex e e

+= + ⇒ = + = .

Problema 16: Determinaţi intervalele de monotonie, punctele critice şi punctele de extrem ale funcţiilor următoare. Determinaţi mulţimea valorilor acestor funcţii: a) : ( 1;3]f − → , ( ) 4 3 23 20 48 48 1f x x x x x= − + − +

b) :f → , ( ) 3 2f x x=

c) : ( 1;5]f − → , ( ) 3 1f x x= + ;

d) : ,f → ( ) 2

1f xx

= .

e) : ,f → ( ) 2 6 8;f x x x= − + ;

f) : ,f → ( ) 2 6 9;f x x x= − +

g) : ,f → ( ) 2 6 8;f x x x= − + − ;

h) : ,f → ( ) 2 6 9;f x x x= − + −

i) : ,f → ( ) 2 ;2

xf xx+

=−

www.neutr

ino.ro


187

Soluţie parţială: a) ( ) 3 212 60 96 48f x x x x′ = − + − ⇒ ( ) ( )3 212 5 8 4f x x x x′ = − + − .

Cu Horner ⇒ ( )( )23 25 8 4 1 2x x x x x− + − = − − . Rezolvand

( ) 1 20 1; 2f x x x′ = ⇒ = = . Gasim semnul lui ( ) 0f x′ = . x 1 2 1x − -------0+++++++++++ ( )22x − ++++++++++++0+++

( )f x′ -------0+++++++0+++

Facem tabelul atasat functiei f ⇒ x -1 1 2 3

( )f x′ ---------------------0 +++++++++ 0 ++++++++++++

( )f x -16 -15

Deoarece 3 e capat inchis al domeniului ⇒ 3x = e punct de maxim, iar punctele de extrem sunt deci 1x = (puncte de minim),

3x = (maxim) iar 1x = si 2x = sunt puncte critice.

b) ( ) ( ) ( )2 1

3 2 3 323

f x x f x x f x x−

′⎛ ⎞′ ′= ⇒ = ⇒ = ⇒⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )3

23

f xx

′ = . ( ) 0f x′ ≠ nu are

radacini.

x 0 f ′ - - - - - - + + + + f 0

Evident domeniul lui f ′ este { }0− iar pentru a gasi semnul lui

f ′ , dam valori lui x in stanga si dreapta lui 0. Astfel ( ) 21 03

f ′ − = <−

;

( ) 21 03

f ′ = > , ( )0 0 0f x= ⇒ = e punct de extrem (minim) desi

nu e punct critic (caci nu ( )0f ′∃ )


188

c) : ( 1;5]f − → , ( ) 3 1f x x= + , ( ) 23f x x′ = ;

( ) 0 0f x x′ = ⇒ =

x -1 0 5 f ′ +++++++ 0 +++++++ f 1

( )0 1f = insa 0x = nu e punct de extrem caci f creste si pana la 0x = si de la 0x = in continuare. Singurul punct de extrem este 5x = iar punctul critic este 0x = .

d) ( ) 2

1f xx

= ; ( ) ( );0 0;fD = −∞ ∪ ∞ ,

( ) ( )2 33

22f x x xx

− − −′′ = = − = .

x 0 f ′ ++++++ +++++ f

Evident f pe ( );0−∞ , f pe ( )0;∞ insa 0x = nu e punct de extrem caci 0 fx D= ∉ si 0x = nu e nici punct critic. Problema 17: Determinaţi intervalele de concavitate şi convexitate, precum şi eventualele punctele de inflexiune pentru : ff D → : a) ( ) 3 1f x x= + , b) ( ) 3 29f x x x= +

c) ( ) 11

xf xx+

=−

, d) ( )2

xf xx

=−

e) ( ) xf x xe= , f) ( ) xf x x e= − g) ( ) lnf x x x= , h) ( ) lnf x x x= + Problema 18: Studiaţi dacă se poate aplica teorema lui Fermat în punctele indicate: a) [ ] ( ): 1,4 , 2 4, 1f f x x c− → = − =

b) ( ) ( ): 1,4 , 2 4, 2f f x x c− → = − =

c) ln , 1

: , ( ) ,1 , 1

x xf f x c e

x x≥⎧

→ = =⎨ − <⎩

d) 2 , 0

: , ( ) , 01 , 0

x xf f x c

x x⎧ ≤

→ = =⎨− >⎩

www.neutr

ino.ro


189

Problema 19: a) Fie , 0a b > . Dacă ,x xa b a b x+ ≥ + ∀ ∈ , arătaţi că a b a ba b e +⋅ = b) Fie , 0a b > . Dacă 3 , ,x x xa b c x+ + ≥ ∀ ∈ calculaţi c) Determinaţi a∈ astfel încât 2 3 4 ,x x x xa x+ ≥ + ∀ ∈ d) Să se determine ( )0,a∈ ∞ astfel încât 1 2 3 , .x x xa x+ ≥ + ∀ ∈

Soluţie parţială: a) Fie :f → , ( ) x xf x a b= + si observăm că ( )1f a b= + .

Relatia din enunt devine ( ) ( )1 , 1f x f x x≥ ∀ ∈ ⇒ = este punct de minim pentru f. Cum 1x = este punct interior domeniului din Teorema lui Fermat ( )1 0f ′⇒ = . Cum ( ) ln lnx xf x a a b b′ = + ⇒

( ) ln lnf a a a b b′ = + ⇒ ln lna ba b a b+ = + ⇒

( )ln a b a b a ba b a b a b e +⋅ = + ⇔ ⋅ = .

c) Fie ( )xfRRf ,: → = xxxx a 432 −−+ . Cum ( )0 0f = , din inegalitatea din enunţ ( ) ( )0 ,f x f x⇒ ≥ ∀ ∈ ⇒

0x = e punct de extrem ( )' 0 0f⇒ = .Cum

( ) ( )' 2 ln2 ln 3 ln3 4 ln4 ' 0 ln2 ln ln3 ln4x x x xf x a a f a= + − − ⇒ = + − −

( ) 2' 0 ln .12

af = Cum ( ) 611220

122ln00' =→=→=→= aaaf .

Problema 20: Să se determine , ,a b d ∈ astfel încât funcţiile următoare să îndeplinească condiţiile din ipoteza teoremei lui Rolle. Determinaţi punctul c din teorema lui Rolle.

a) [ ]2 , 0

: 1,1 , ( ), 0

ax bx d xf f x

x x⎧ + + ≤

− → = ⎨>⎩

b) [ ]2 , 0

: 1,1 , ( )ln( 1) , 0

ax bx d xf f x

x x⎧ + + ≤

− → = ⎨+ >⎩

c) [ ] 2

ln(1 ) , 1: 0, 2 , ( )

4 , 1a x x e

f f xx x b x e⋅ + ≤ −⎧

→ = ⎨ − + > −⎩

.a b c⋅ ⋅


190

d) [ ] 2

sin , 1: 0,2 , ( )

( 3 2) , 1x x

f f xa x x x

π ≤⎧→ = ⎨ − + >⎩

e) [ ] ( ) [ )[ ]

2

2

, 1;0: 1;1 ,

4 4, 0;1x ax b x

f f xdx x x

⎧ + + ∈ −⎪− → = ⎨ + + ∈⎪⎩

Soluţie parţială: e)Verificăm cele 3 condiţii: f continuă pe [ ] f⇔− 1;1 continuă în x=0

( ) ( ) ( )0 0

0 0

lim lim 0 4x xx x

f x f x f b→ →< >

⇒ = = ⇔ =

f derivabilă pe ( )1,1− ⇔ f derivabilă în x=0 ⇔

( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0

0 0lim lim

0 0x xx x

f x f f x fx x→ →

< >

− −=

− − ⇔

2

00

4 4lim0x

x

x axx→

<

+ + −=

−2

00

4 4 4lim0x

x

dx xx→

>

+ + −−

⇔ ( ) ( )0 0

0 0

lim lim 4 4x xx x

x a dx a→ →< >

+ = + ⇔ =

( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 1 4 1 4 1 4 1 4 7f f d d− = ⇔ − + − + = ⋅ + ⋅ + ⇔ = −

Pentru determinarea lui c, calculăm ( ) [ )[ ]

2 4, 1;0'

14 4, 0;1x x

f xx x

⎧ + ∈ −⎪= ⎨− + ∈⎪⎩ şi

cum ( )' 0,f c = calculăm pe cele 2 ramuri:

Caz I: [ ) ( ) [ )1;0 ' 0 2 4 0 2 1;0c f c c c∈ − ⇔ = ⇔ + = ⇔ = − ∉ −

Caz II: [ ] ( ) [ ]20;1 ' 0 14 4 0 0;17

c f c c c∈ ⇔ = ⇔ − + = ⇔ = ∈ .

Aşadar, punctul căutat este 72

=c

Problema 21. Găsiţi numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiilor: a) 3 26 9 12 0x x x+ + + = ; b) 4 3 23 20 48 48 16 0x x x x− + − + = ;

www.neutr

ino.ro


191

c) 3 3 4 0 ;x x− − = d) 3 23 2 0 ;x x+ − = e) 4 3 22 3 4 0.x x x+ + − = f) 2 ;xe x= + g) ln ;x x= h) 2 ;arctgx x= Soluţie parţială: a) 3 2: , ( ) 6 9 12f f x x x x→ = + + + ;

( )2 2'( ) 3 12 9 3 4 3f x x x x x= + + = + + ; { }'( ) 0 1; 3f x x= ⇒ ∈ − − x −∞ –3 –1 ∞

'( )f x 0 0 ( )f x −∞ 12 8 ∞

lim ( ) ; ( 3) 27 54 27 12 12 0x

f x f→−∞

= −∞ − = − + − + = >

( 1) 1 6 9 12 8 0; lim ( )x

f f x→∞

− = − + − + = > = ∞

Şirul lui Rolle este ( ); ; ;− + + + deci are o singură schimbare de

semn, rezultă că ecuaţia are o singură rădăcină reală ( )1 ; 3x ∈ −∞ −

b) 4 3 2: , ( ) 3 20 48 48 16f f x x x x x→ = − + − + ;

( )( )23 2'( ) 12 60 96 48 1 2f x x x x x x= − + − = − − , căci am descompus cu schema lui Horner; 1 2 3'( ) 0 1; 2f x x x x= ⇒ = = = x −∞ 1 2 ∞

'( )f x 0 0 ( )f x −∞ –1 0 ∞

lim ( ) ; (1) 3 20 48 48 16 1 0x

f x f→−∞

=∞ = − + − + =− <

(2) 48 160 192 96 16 256 256 0; lim ( )x

f f x→∞

= − + − + = − = = ∞

Şirul lui Rolle este ( ); ;0;+ − + . Trebuie să cercetăm ordinul de multiplicitate pentru 2.x = Cum (2) 0, '(2) 0f f= = , calculăm


192

2''( ) 36 120 96 ''(2) 144 240 96 0f x x x f= − + ⇒ = − + = , calculăm şi '''( ) 72 120 '''(2) 144 120 24 0f x x f= − ⇒ = − = ≠ deci ecuaţia are o

rădăcină reală ( )1 ;1x ∈ −∞ şi 2 2x = rădăcină triplă. Problema 22: Se consideră : ,ff D → să se determine ,a b∈astfel încât funcţia dată să satisfacă condiţiile din ipoteza teoremei lui Lagrange şi apoi să se aplice această teoremă în fiecare din cazurile:

a) [ ] ( ) [ )[ ]

2

2

2 4 , 1;0: 1;1 ,

4, 0;1x x a x

f f xx bx x

⎧ + + ∈ −⎪− → = ⎨ + + ∈⎪⎩.

b) [ ]2 , 1

: 0,2 , ( ) .1 , 1

x xf f x

ax x⎧ ≤

→ = ⎨− >⎩

c) [ ]3

2

2 , 2: 1,3 , ( ) .

, 2x ax x

f f xx b x

⎧ − ≤→ = ⎨

− + >⎩

d) [ ] [ ]( ]

, 1,0: 1,2 , ( ) .

, 0,2

xe xf f x

ax b x⎧ ∈ −⎪− → = ⎨ + ∈⎪⎩

Soluţie parţială: a) f continuă pe [ ]1;1− ⇔ f continuă în 0x = ( ) ( )0 0s dl l⇔ = ⇔

4a = ⇒ ( ) [ )[ ]⎩

⎨⎧

∈++−∈++

=1;0,4

0;1,4422

2

xbxxxxx

xf .

f derivabilă pe [ ]1;1− f→ derivabilă în 0x = ⇔ 2

00

2 4 4 4lim0x

x

x xx→

<

+ + −=

−

2

00

4 4lim0x

x

x bxx→

>

+ + −−

( ) ( )0 0

0 0

lim 2 4 lim 4x xx x

x x b b→ →< >

⇔ + = + ⇒ = ⇒ ( ) [ )[ ]

2

2

2 4 4, 1;04 4, 0;1

x x xf x

x x x⎧ + + ∈ −⎪=⎨ + + ∈⎪⎩

( ) [ )[ ]

4 4, 1;0'

2 4, 0;1x x

f xx x

⎧ + ∈ −⎪⇒ = ⎨ + ∈⎪⎩.

www.neutr

ino.ro


193

Din teorema lui Lagrange ∃⇒ ( )1;1−∈c astfel încât.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 ' 1 1 9 2 2 'f f f c f c− − = − − ⇔ − = ( ) 7'2

f c⇒ =

Caz I: ( ) ( ) ( )7 11;0 ' 4 4 4 4 1;02 8

c f c c c c∈ − → = + ⇒ + = ⇒ = − ∈ −

Caz II: [ ) [ )1;041

27421;0 ∉−=⇒=+⇒∈ ccc .Aşadar

81

−=c

Problema 23: Demonstraţi egalităţile: a) 2 2sin cos 1,x x x+ = ∀ ∈ .

b) [ ]arcsin arccos , 1,12

x x xπ+ = ∀ ∈ −

c) ,2

arctgx arcctgx xπ+ = ∀ ∈

d) ( )3 1 1arcsin 3 4 3arcsin 0, ,2 2

x x x x ⎡ ⎤− − = ∀ ∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

e) 1 , 11 4

xarctgx arcctg xx

π−− = ∀ > −

+

f) ( ), 0,2

arctg x arcctg x xπ+ = ∀ ∈ ∞

g) [ ]2

2

1arccos 2 , 0,1

x arctgx xx

−= ∀ ∈ ∞

+

h) [ ]2

2arcsin 2 , 1,1

x arctgx xx

π+ ⋅ = ∀ ∈ ∞+

Soluţie parţială: a)Fie ( ) 2 2: , sin cosf f x x x→ = + . Folosim faptul că dacă

( )' 0f x = pe un interval atunci f constantă pe acel interval :

( ) ( )' 2sin cos 2cos sin 0f x x x x x f x k= − = ⇒ = constant,

Rx∈∀ . Cum ( ) =+= 0cos0sin0 22f 0+1=1 şi cum f constantă ( ) ⇒∈∀=⇒ Rxxf ,1 2 2sin cos 1,x x x R+ = ∀ ∈ .


194

Problema 24 Calculaţi următoarele limite:

a) lnlimx

xx→∞

; b) 30

sin coslimx

x x xx→

− ⋅

c) ( )20

1 cos ln coslimx

x xx→

− −; d)

2

0

1sinlim

sinx

xx

x→

⋅

e) sinlimsinx

x xx x→∞

−+

f) 3

30

1limsin

x

x

ex→

−

g) 2

0

1coslimx

xx

tgx→

⋅; h) 2

20

1limx

ctg xx→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

;

i) 1

lnlim

2x

xarctgxπ

→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

; j)

1

200

limx

xx

xetg x

−

→>

;

k) ( )1

00

1lim

x

xx

x ex→

>

+ −; l)

2

lim ;x

x

ex→∞


a) 01

1

limlnlim'

==∞→

∞∞

∞→

xxx

xHlx

b)00

3 20 ' 0

sin cos cos cos sinlim lim3x l H x

x x x x x x xx x→ →

− − += =

0 0

sin 1 sin 1lim lim3 3 3x x

x xx x→ →

= ⋅ =

www.neutr

ino.ro


195

c)00

20 ' 0

1sin ( sin )1 cos ln(cos ) coslim lim2x l H x

x xx x xx x→ →

− ⋅ −− −= =

0

1sin (1 )coslim

2x

xx

x→

+ 1

2cos

11sinlim0

=+

⋅=→

xx

xx

d)x

xxx

xxx

xx

x

xx

x

xxHlx cos

1cos1sin2lim

cos

)1(1cos1sin2lim

sin

1sinlim

0

22

0

00

'

2

0

−=

−⋅+=

→→→

Cum xx

1coslim0→

nu exista , putem aplica regula lui l’Hopital.

Calculam altfel: 01sinlim1sinsin

lim00

==⋅→→ x

xx

xx

xxx

e)xx

xxxx

xHlx cos1cos1lim

sinsinlim

' +−

=+−

∞→

∞∞

∞→ care nu exista , deci nu putem aplica

regula lui l’Hopital. Incercam sa calculam altfel:

1sin11

sin11lim

)sin11(

)sin11(lim =

+

−=

+

−

∞→∞→x

x

xx

xx

x

xx

x

xx caci 0sin1lim =

∞→x

xx

deoarece 01→

x iar ]1;1[sin −∈x .

f)xx

xex

e x

xHl

x

x cossin33lim

sin1lim 2

2

0

00

'30

33

⋅⋅

=−

→→ si daca aplicam recursiv se

complica . Calculam altfel: 1ln1limsin

1lim 30

3

30

33

==−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−→→

ex

ex

xx

e x

x

x

x

g) 01coslim1coslim00

==⋅→→ x

xx

xtgxx

xx


196

h)

1 1 12

2 20 0 00 0 0

lim lim limx x x

x x xx x x

xe x e etg x tg x x x

− − −

→ → →> > >

= ⋅ = =

2

1 1 10 ' 0 00 0 0

2

1 11lim lim lim 0

1( )x l H x x

x x xx x x

x x

e e ex

∞∞

→ → →> > >

−= = =

−.

i)2 2 2 2

2 2 2 20 0

1 cos sin coslim limsin sinx x

x x x xx x x x→ →

⎛ ⎞ −− = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

2 30

(sin cos )(sin cos )limsinx

x x x x x x xx x x→

− +⋅

⋅

32cossinlim

31cossin

311lim

00=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+⋅⋅=

→→x

xx

xxxx

xx .

j) earctgxx

arctgxx

x

x=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∞→∞→ 2ln

ln1lim

2lim

00ln1

ππ

Fie

2

1 '

1 11ln

2 2lim lim 1lnx l H x

xarctgx arctgxl

xx

π π−∞∞

→∞ →∞

−⋅⎛ ⎞ +− −⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

( )

02 0

'2

1lim lim1

22x x l H

xx x

arctgxarctgx xππ→∞ →∞

−− += =

⎛ ⎞ −− +⎜ ⎟⎝ ⎠

2

22 2

2

2

1(1 ) 21(1 )lim lim 11 (1 )

1x x

x x xxx

xx

→∞ →∞

− + + ⋅−+ = = −

− +−+

www.neutr

ino.ro


197

k)

1 010

20 ' 00 0

(1 ) 1 1 1lim lim(1 ) ln(1 )1

xx

x l H xx x

x e x xx x x x→ →

> >

+ − ⎛ ⎞= + − + + ⋅ =⎜ ⎟+⎝ ⎠1

200

( 1) ln( 1)lim(1 )( 1)

xxx

x x xxx x→

>

− + ++ ⋅

+

Fie 00

1 3 2 20 ' 00 0

( 1) ln( 1) 1 ln( 1) 1lim lim3 2x l H x

x x

x x x xlx x x x→ →

> >

− + + − + −= = =

+ +

00

20 ' 00 0

1ln( 1) 11lim lim

3 2 6 2 2x l H xx x

x xx x x→ →

> >

−− + += = −+ +

. Cum 2

)1(lim1

00

elex x

xx

−=⇒=+>→

.

Problema 25: Calculaţi următoarele limite:

a) lnlim ;2 1x

xx→∞ +

b) 2 2 3lim ;ln( 2)x

x xx→∞

+ ++

c) 2 lnlim ;

2 lnx

x x xx x→∞

− ++

d) 2 2

ln( )lim ;ln( )

x

xx

x ex e→∞

++

e) 2lim .1

x

x

x ex→∞

⋅+

f) 0

1 1lim ;sinx

xx→

+ −

g) 0

cos 2 coslim ;sinx

x xx x→

−⋅

h) 0

2sinlim ;1 cosx

xx x→ + −

i) 5

6 31

1lim ;2 3x

xx x→

−+ −

j) 3

62

8lim ;64x

xx→

−−

k) 20

1 3lim .x

cos xx x→

−+

; l) 2

lim ;x

x

ex→∞


a) 2

2

coslim3sinx

x xx x→∞

++

b) 1

1

ln( 1)lim

2xx

x x

tgxπ→

>

− −


198

c) 0

lim ;sin

x x

x

e ex

−

→

− d) ( )2

2

ln(sin )lim ;2x

xxπ π→ −

e) 20

1lim ;x

ctgxx x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

f) 220

1lim .x

ctg xx→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

g) 0

1 1lim ;ln( 1)x x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠

h) 2 1lim ln ;x

xx xx→∞

+⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

i) 1lim ;1 1x

x xx arctg arctgx x→∞

−⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ j) lim .

4 1x

xx arctgx

π→∞

⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟+⎝ ⎠


e) 0

0

lim ;x

xx

x→>

f) ( ) 21

0lim cos ;x xx

x +→

g) sin

20

1lim ;x

x x→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

h) ( )1

lim ;x

xx

→∞

e) ( )sin

00

lim ;x

xx

x→>

f) 2

1

0lim .

x

x

tgxx→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

g) 1

lim ;2 1

x

x

xtgxπ

→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

h)

Problema 28: Calculaţi lim nn

x→∞

, unde:

a) lnn

nxn

=

b) ln2 1n

xxn

=+

c) lnn n

nxe

=

d) 2 1

n

nn exn⋅

=+


1ln

lim ;2

x

xarctgxπ

→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

www.neutr

ino.ro


199

a) deşi e cazul ∞∞

nu putem folosi direct l’Hopital căci n∈ şi deci

funcţiile ln n şi n nu sunt derivabile. Fie deci ln( ) nf nn

= ⇒

( ) ln: 1; ; ( ) xf f xx

∞ → = . Calculăm

( )1

lnlim lim lim 01x x x

x xf xx

∞∞

→∞ →∞ →∞= = = , deci şi lnlim 0

n

nn→∞

=

Problema 29: Demonstraţi inegalităţile: a) 1,xe x x≥ + ∀ ∈ ; b) sin , 0x x x≤ ∀ ≥ c) , 0x arctgx x≤ ∀ ≤ d) , 0arctgx x x≤ ∀ ≥ e) ( )ln 1 , 1x x x+ ≤ ∀ ≥ − f) ( )2ln 1 , 0x x x+ ≥ ∀ ≤ Soluţie parţială: a) Fie ( ) 1, :f x e x f= − − → ; ( ) 1xf x e′ = − ;

( ) 0 0f x x′ = ⇔ = . Facem tabelul atasat functiei: Calculam ( ) 00 0 1 0f e= − − =

x 0 f ′ ---------0++++++ f 0

( ) 0,f x x⇒ ≥ ∀ ∈ 1,xe x x⇒ ≥ + ∀ ∈

b) Fie ( ) sinf x x x= − , ( ) cos 1f x x′ = − . Ecuatia cos 1x = are o

infinite de solutii , { }2x k kπ∈ ∈ insa cum f continua si

cos 1x ≤ ⇒ ( ) 0,f x′ ≤ ∀∈ . x 2π− 0 2π f ′ ---------0 ------ 0 --------0----------- f 0


200

Cum ( )0 sin 0 0 0f = − = ⇒ ( ) 0, 0f x x≤ ∀ ≥ si evident

( ) 0, 0f x x< ∀ > ⇒ sin , 0x x x≤ ∀ ≥ si sin , 0x x x< ∀ >

f) ( ) xx >+1ln 2 . Condiţii: Rxx ∈→>+ 012 Fie ( ) ( )2: , ln 1f f x x x→ = + −

( ) ( ) 011

11212' 2

2

2

2

2 ≤+−−

=+−−

=−+

=xx

xxx

xxxxf şi ( ) 10' =↔= xxf .

x 1 f ’ - - - - - - - - - - - - 0 - - - - - - - - - - - - - - - f ln2-1 Calculăm ( ) 012ln <−=xf căci <→< 212ln е adevărat . Noi trebuie să găsim x astfel încât ( ) 0<xf şi cum f este strict descrescătoare evident x <1 ; Încercăm ( ) 001ln00 =−=→= fx .Cum ( ) 00 =f şi f este strict descrescătoare ( ) 0,0 >∀<→ xxf .Soluţia este aşadar ( )∞,0 .

www.neutr

ino.ro


201

Capitolul 20 REPREZENTAREA GRAFICĂ A

FUNCŢIILOR Problema 1:. Reprezentati grafic următoarele funcţii şi discutaţi grafic numărul de rădăcini ale ecuaţiei f(x)=m.

a) 3 2( )f x x x= + b) 1( )f x xx

= +

c) 3( ) 3 2 ;f x x x= − + d) 3( ) 2 ;f x x x= + −

e) 3

2( ) ;1

xf xx

=−

f) 2 16( ) ;xf x

x−

=

g) 1( ) ;1

xf xx−

=+

h) 2

1( ) ;1

xf xx−

=−

Soluţie parţială: a) 3 2( )f x x x= + 1) domeniul de definitie fD = simetric, calculam

3 2( ) ( )f x x x− = − + ⇒ f nu e para, f nu e impara, f nu e periodica; 2) :axele∩

ffXf GOfDXOG ∈⇒=⇒∈= )0;0(0)0(0:∩ ; 3 2

1 2: ( ) 0 0 0, 1f XG O f x x x x x= ⇒ + = ⇒ = = − ⇒∩( 1,0) ; (0;0)f fA G O G− ∈ ∈

Limitele la capete: 3 2 3lim ( ) lim ( ) limx x x

f x x x x→−∞ →−∞ →−∞

= + = = −∞ 3 2 3lim ( ) lim( ) lim

x x xf x x x x

→∞ →∞ →∞= + = = ∞

Asimptote Asimptote orizontale:Din lim ( ) şi lim ( ) fx x

f x f x G→−∞ →∞

= −∞ = ∞⇒ nu

are asimptote orizontale


202

Asimptote oblice:Deoarece ( )3 2

3 2lim lim fx x

x x x x Gx→±∞ →±∞

+= + = ∞⇒

nu are asimptote oblice. Deoarece nu exista in care f nu e definita rezulta Gf nu are asimptote verticale. 3)f continua pe R 2'( ) 3 2f x x x= + . Ecuatia f ’(x) = 0 are solutiile

1 220,3

x x= = − care sunt puncte critice pentru f si 274)

32( =−f

f(0)=0, f ’’(x)=0 11 1 8,3 3 27

x f −⎛ ⎞⇔ = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

. Semnul lui f ’ si f ’’ se

poate determina direct, nu e nevoie de tabel separat. 4)tabelul de variaţie x

∞− -1 32−

31

− 0 ∞

f ’’ - - - - - - 0 + + + + f ’ + + + 0 - - - 0 + + f

∞− 0 274

272 0 ∞

B(274;

32− ) punct de maxim; C(

272;

31− ) punct de inflexiune;

O(0;0) punct de minim; A(-1;0)intersectia cu xO 5)trasarea graficului

6)discutia numarului de radacini pentru m<0 ecuatia are o radacina , 11 −<x pentru m=0 ecuatia are 2 radacini 11 −=x si 02 =x

pentru m ⇒−∞∈ )274;( ecuatia are 3 radacini

www.neutr

ino.ro


203

);0();0;32();

32;1( 321 ∞∈−∈

−−∈ xxx

pentru m = ⇒274 ecuatia are 2 radacini, 0;

32

21 >−= xx

pentru m> ⇒274 ecuatia are o radacina, 01 >x

b)x

xxf 1)( +=

1)Domeniul de definitie: Conditia { }0\0 ℜ=⇒≠ fDx fD simetric fata de O,

⇒−=−−=− )(1)( xfx

xxf f impara, deci fG simetric fata de O.

Vom trasa graficul doar pe );0( ∞ , urmand sa ducem apoi simetricul acestui grafic fata de O. f nu e periodica; 2)∩ cu axele: f: 0 deci G f yOy x D O= ∉∩ ∩

2 1: ( ) 0 0,care nu are soluţii fxOx f x G Ox

x+

= ⇔ = ⇒∩ ∩

limite la capete:

0 00 0

1lim ( ) lim( )x xx x

f x xx→ →

> >

= + = ∞ 1lim ( ) limx x

f x xx→∞ →∞

⎛ ⎞= + = ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Studiem functia doar pe );0( ∞ , deci nu are rost sa calculam limita spre -∞ . asimptote orizontale : Din lim ( )

xf x

→∞= ∞ fG⇒ nu are as orizontala

spre ∞ .

asimptote oblice : =+

==∞→∞→ x

xx

xxfm

xx

1

lim)(lim

Rxx

∈=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∞→111lim 2 , calculam ( ) =−=

∞→xxfn

x)(lim


204

01lim =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

∞→x

xx

x xy =⇒ asimptota oblica spre ∞ .

asimptote verticale : deoarece ∞=>→

)(lim00

xfxx

0=⇒ x

asimptota vericala la dreapta .

3) f continua pe ( )∞;02

2 2

1 1'( ) 1 xf xx x

−= − = , deci f derivabila pe

( )∞;0 . Ecuatia 012 =−x are radacinile 11 −=x , 12 =x insa in cazul nostru 12 =x e singura radacina in ( )∞;0 .

( )2 32 3

1 2''( ) 1 ' ' 2f x x xx x

− −⎛ ⎞= + = − = =⎜ ⎟⎝ ⎠

care nu

are radacini pe ( )∞;0 . 4) tabel de variatie :

)2;1(A punct de minim

5) trasarea graficului : )1E hasuram portiunea care nu e

in domeniul de lucru )2E trasam asimptotele xy =

asimptota oblica si 0=x asimptota verticala

)3E punem punctele )2;1(A , );0( ∞+ si );( ∞∞ şi trasăm

graficul de sus )4E deoarece f impara fG→

simetric fata de O, deci graficul

www.neutr

ino.ro


205

final va fi cel alăturat

6) discutia numarului de radacini : pentru ⇒−< 2m 2 radacini, )1;(1 −−∞∈x , )0;1(2 −∈x pentru →−= 2m o radacina, 11 −=x pentru →−∈ )2;2(m ecuatia nu are radacini reale pentru →= 2m o radacina 11 =x pentru →> 2m 2 radacini, )1;0(1 ∈x , 12 >x Problema 2:. Reprezentati grafic următoarele funcţii şi discutaţi grafic numărul de rădăcini ale ecuaţiei f(x)=m.

a) ( )2( )

1xf x

x=

− b) xxxf 23)( 3 2 −=

c) 3( ) 3 2 ;f x x x= − + d) 3( ) 2 ;f x x x= + −

e) 3

2( ) ;1

xf xx

=−

f) 2 16( ) ;xf x

x−

=

g) 1( ) ;1

xf xx−

=+

h) 2

1( ) ;1

xf xx−

=−


a) ( )21

)(−

=x

xxf

1) Domeniul de definitie : );1()1;0[}1{\);0[ ∞∪=∞=fD

fD nu e multime simetrica, deci f nu e para nici impara, asadar

fG nu are simetrii, f nu e periodica. 2) intersectia cu axele :


206

OyG f ∩ : 0)0(0 =→∈= fDx f fGO ∈⇒ )0;0(

OxG f ∩ : 0)(0 =→= xfy 00)1( 2 =→=

−⇒ x

xx

fGO ∈→ )0;0(

limite la capete : 0)0( =f ; ∞=−

+

<→

01

211 )1(

limx

x

xx

∞=−

+

>→

01

21.1 )1(

limx

x

xx

; 0)1(

lim 2 =−∞→ x

xx

asimptote orizontale : Din 00)(lim =→=

∞→yxf

x asimptota orizontala spre ∞

asimptote oblice : Deoarece fG admite asimptota orizontala spre ∞ fG→ nu admite asimptote oblica asimptote verticale : Din ∞=

<→

)(lim11

xfxx

; ∞=>→

)(lim11

xfxx fG⇒ admite pe 1=x asimptota

verticala la stanga si la dreapta 3) f continua pe { }[0; ) \ 1∞

22

4 4

1 ( 1) 2( 1)( 1) 4 ( 1)2'( )

( 1) ( 1)

x x xx x xxf x

x x

− − ⋅ −− − −

= = =− −

4)1(2)13)(1(

−+−−

=xx

xx , );1()1;0( ∞∪∈∀x . '( ) 0f x = ↔

11 ,3f fx D x D= ∉ = − ∉ → fG nu are puncte de extrem

Evident f nu e derivabila in 0=x , nici in 1=x . Deoarece ''( )f x are o forma prea complicata , nu o mai calculam .

www.neutr

ino.ro


207

4) tabel de variatie : x 0 1 ∞ f’(x) ++++++++++++ – – – – – – – – – – – – – f’’(x) ∞

0 ∞ 0

5) Graficul :

6) Discutia numarului de radacini : pentru →< 0m ecuatia nu are radacini pentru →= 0m ecuatia are o radacina, 01 =x pentru →> 0m ecuatia are 2 radacini, )1;0(1 ∈x , ( )2 1;x ∈ ∞

b) 3 2( ) 3 2f x x x= − 1)Domeniul de definitie

fD = care e multime simetrica, însă ( ) ( )f x f x− ≠ şi

( ) ( )f x f x f− ≠ − ⇒ nu e functie para, nici functie impara; f nu e periodica. 2) Intersectia cu axele

: 0 (0) 0 (0;0) fOy x f O G∩ = → = → ∈

3 2: 0 ( ) 0 3 2 0Ox y f x x x∩ = ⇒ = ⇒ − = 3 23 2x x⇔ = . Ridicand la puterea a treia 2 327 8x x⇒ = ( )2 27 8 0x x⇔ − =

1 227 270, ;02 2 fx x A G⎛ ⎞⇔ = = ⇒ ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠

Limite la capete

( )3 2lim ( ) lim 3 2 lim ( 2 )x x x

f x x x x→−∞ →−∞ →−∞

= − = − = ∞

( )3 2lim ( ) lim 3 2 lim( 2 )x x x

f x x x x→∞ →∞ →∞

= − = − = ∞


208

Asimptote orizontale Din lim ( )

xf x

→−∞= ∞ si lim ( ) fx

f x G→∞

= −∞⇒ nu are asimptote

orizontale. Asimptote oblice

catre −∞ : 3 2( ) 3 2lim 2

x

f x x xmx x→−∞

−= = = − ∈

( )3 2lim ( ( ) ) lim 3 2 2x x

n f x mx x x x→−∞ →−∞

= − = − + = ∞ fG∉ ⇒ nu are

asimptote oblice. Analog pentru ∞ : m=-2∈ , n=∞ fG∉ ⇒ nu are asimptote oblice. Asimptote verticale : Deoarece f continua pe , rezulta ca graficul lui f nu are asimptote verticale. 3) f continua pe

23'( ) 3 2f x x x

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

13

3

2 23 2 23

xx

−= ⋅ − = = −

Deoarece ' (0)sf = −∞ , ' (0)df = ∞ si cum f continua in x=0⇒x =0

punct de intoarcere pentru fG şi3

1'( ) 0 1 1f x xx

= ⇔ = ⇔ =

Evident '( ) 0f x > pentru ( )0;1x∈ si '( ) 0f x < pentru

( ) ( );0 1;x∀ ∈ −∞ ∪ ∞ Cum 3 4

2"( )3

f xx

= − , 0x ≠ si f concava pe

fD , fG nu are puncte de inflexiune. 4) Tabel de variatie x

−∞ 0 1 278

∞

f ’’(x) – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – f ’(x) – – – – – – −∞ ∞+ 0 – – – – – – – – – – – – f ∞ 1

0 0 –∞

www.neutr

ino.ro


209

Se observa ca O(0;0) e punct de minim local si B(1 ;1) e punct de maxim local. 5) Trasarea graficului 6) Discutia numarului de radacini

pentru m<0 ecuatia are o singura radacina 1278

x >

pentru m=0, ecuatia are doua radacini : 1 0x = si 2278

x =

pentru m∈(0 ;1), ecuatia are 3 radacini, 1 0x < , ( )2 0;1x ∈ ,

3271;8

x ⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠

pentru m=1, ecuatia are 2 radacini : 1 0x < , 2 1x = pentru m>1, ecuatia are o radacina : 1 0x <


210

www.neutr

ino.ro


211

Capitolul 21 PRIMITIVE

Problema 1: Să se precizeze în fiecare caz care dintre următoarele funcţii :F → reprezintă o primitivă pentru funcţia : f →indicată: a) 2( ) , ( ) 2 ;F x x f x x= = b) 2( ) + , ( ) 2 ;F x x x f x x= = c) 2( ) +1 , ( ) 2 ;F x x f x x= = d) 2( ) +3 , ( ) 2 ;F x x f x x= = Problema 2.:Studiaţi dacă funcţiile : f → admit primitive:

a) 1, 1

( )2 , 1x x

f xx x+ <⎧

= ⎨ ≥⎩ b)

1, 1( )

2 , 1x x

f xx x− <⎧

= ⎨ ≥⎩

c) 1, 2

( )2 , 2x x

f xx x+ <⎧

= ⎨ ≥⎩ d)

2, 2( )

2 , 2x x

f xx x+ <⎧

= ⎨ ≥⎩

Soluţie parţială: a) Cercetam dacă f continuă. Evident, f este continuă pe ( ),1−∞ şi


1 11 1

1 11 1

lim ( ) lim( 1) 2

lim ( ) lim(2 ) 2 continuă în 1

(1) 2

x xx x

x xx x

f x x

f x x f x

f

→ →< <

→ →> <

= + = ⎫⎪⎪= = ⇒ =⎬⎪⎪= ⎭

Aşadar, f continuă pe ⇒ f admite primitive pe b) Cercetam dacă f continuă. Evident, f este continuă pe ( ),1−∞ şi


1 11 1

1 11 1

lim ( ) lim( 1) 0

lim ( ) lim(2 ) 2 1

(1) 2

x xx x

x xx x

f x x

f x x x

f

→ →< <

→ →> <

= − = ⎫⎪⎪= = ⇒ =⎬⎪⎪= ⎭

este punct de discontinuitate de

prima speţă ⇒ f nu admite primitive pe


212

Problema 3.:Studiaţi dacă funcţiile : f → admit primitive:

a) 2

2 ,( )

, \

x xf x

x x⎧ ∈

= ⎨∈⎩

b) 2 ,

( )2 , \x

x xf x

x⎧ ∈

= ⎨∈⎩

Soluţie parţială: a) Vom arăta că f nu are proprietatea lui Darboux. Presupunem că f Db∈ . Fie ( ) ( ) ( )( )64 63,65 63 , 65f fλ = ∈ = . Presupunem

că ( )63, 65c∃ ∈ astfel încât ( ) 64f c = . Sunt 2 posibilităţi

( )2

( ) 2 64 6 63, 65 , contradicţie

\ ( ) 64 8 ,contradicţie cu \

cc f c c

c f c c c c

∈ ⇒ = = ⇒ = ∉

∈ ⇒ = = ⇒ =± ∈ ∈, deci

nu există c cu proprietatea că ( )f c λ= b) Vom arăta că f nu are proprietatea lui Darboux. Presupunem că f Db∈ . Fie ( ) ( ) ( )( )2 264 63,65 log 63 , log 65f fλ = ∈ = .

Presupunem că ( )2 2log 63, log 65c∃ ∈ astfel încât ( ) 64f c = . Sunt 2 posibilităţi

( )22 2( ) 64 8 log 63,log 65 , contradicţie

\ ( ) 2 64 8 ,contradicţie cu \ c

c f c c cc f c c c∈ ⇒ = = ⇒ =± ∉∈ ⇒ = = ⇒ = ∈ ∈

, deci

nu există c cu proprietatea că ( )f c λ= Problema 4.:Studiaţi dacă funcţiile : f → admit primitive:

a) , 0

( ) 1 1 1sin cos , 0

x xf x

xx x x

≤⎧⎪= ⎨

− >⎪⎩

b) 1 12 sin cos , 0

( )0, 0

x xf x x x

x

⎧ − ≠⎪= ⎨⎪ =⎩


a) Observăm că '

2

1 1 1 1sin sin cosx xx x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

deci o posibilă

www.neutr

ino.ro


213

primitivă pentru ( )f x este

2

1

2

, 02( )

1sin , 0

x C xF x

x C xx

⎧+ ≤⎪⎪= ⎨

⎪ + >⎪⎩

Mai trebuie pusă condiţia ca F derivabilă şi ' ( ) ( )F x f x= . Pentru ca F derivabilă este necesar ca F să fie continuă, deci e necesar ca F să fie continuă în 0x =

1 2 10 00 0

lim ( ) lim ( ) (0)x xx x

F x F x F C C C→ →< >

= = ⇔ = = , deci am determinat

relaţia între constante.

2

, 02( )

1sin , 0

x C xF x

x C xx

⎧+ ≤⎪⎪⇒ = ⎨

⎪ + >⎪⎩

Dar F derivabilă F⇒ derivabilă în 0x =

0

( ) (0)lim0x

F x Fx→

−⇒ ∃ ∈

− 0 00 0

( ) (0) ( ) (0)lim limx xx x

F x F F x Fx x→ →

< >

− −⇒ =

2

0 00 0

1sin2lim lim

x xx x

x x C CC Cx

x x→ →< >

+ −+ −⇒ =

0 00 0

1lim limsin .2x x

x x

xx→ →

< >

⇒ =

Cum 0

0

1limsinxx x→>

nu există F⇒ nu e derivabilă în 0x f= ⇒ nu

admite primitive. b) Observăm că o posibilă primitivă pentru f este

21

2

1sin , 0( )

, 0

x C xF x x

C x

⎧ + ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

Mai trebuie pusă condiţia ca F derivabilă şi ' ( ) ( )F x f x= . Pentru ca F derivabilă este necesar ca F să fie continuă, deci e necesar ca F să fie continuă în 0x =


214

1 20lim ( ) (0)x

F x F C C→

= ⇔ = , deci am determinat relaţia între

constante. 2 1sin , 0

( ), 0

x C xF x x

C x

⎧ + ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

Dar F derivabilă F⇒ derivabilă în 0x = 2

0 0

1sin( ) (0)lim lim0x x

x C CF x F xx x→ →

+ + −−∃ ∈ ⇒ =

−

0

1lim sin 0 (0) 0x

x Fx→

′= = ∈ ⇒ = Aşadar, f admite primitive.

Problema 5: Să se determine ,a b∈ astfel încât :F → să fie o primitivă a funcţiei :f → în fiecare dintre cazurile următoare: a) 2 3( ) , ( ) ;f x ax b F x x x= + = + b) 2 3 2( ) , ( ) ;f x ax x F x x bx= + = + c) 2 3( ) 2cos 3 3 , ( ) sin 4;f x x x F x a x x bx= + + = + + + d) ( ) ( )2 2 2( ) 4 4 , ( ) 1 ;x bxf x e x F x ax e+ += ⋅ + = + ⋅ Problema 6: Folosind formulele de integrare, calculaţi mulţimea primitivelor următoarelor funcţii:

a) ( ) 3 23: 0, , ( ) ;g g x xx

∞ → = +

b) ( ) 29 6: 0, , ( ) ;

9g g x

xx∞ → = +

+

c) ( ) 64: 0, , ( ) ;g g x x x∞ → = + d) ( ): 0, , ( ) 2 ln 3 ;g g x x x∞ → = +

e) ( ) 2: 0, , ( ) 4 5 7ln ;g g x x x x∞ → = + −

f) ( ) 4: 0, , ( ) 2 4 5cos 3ln .xg g x e x x x∞ → = − + −

g) ( ): 0, , ( ) 2 5cosxg g x x x∞ → = − +

h) ( ): 0, , ( ) 5 3ln .xg g x e x ctgx x∞ → = + + −

www.neutr

ino.ro


215

Problema 7: Să se arate că următoarele funcţii :f → admit primitive pe :f → şi să se determine, în fiecare caz, câte o primitivă:

a) 1 , 0( ) ;2 sin , 0

xe xf xx x

⎧ + ≤⎪= ⎨− >⎪⎩

b) 1 , 0( ) ;sin , 0

xe xf xx x

⎧ − ≤⎪= ⎨>⎪⎩

c) 2 , 1( ) ;ln , 1

x x xf xx x

⎧ − ≤⎪= ⎨>⎪⎩

d) 2

2

1 , 12( ) ;

, 13

xxf x

x x

⎧ ≤⎪ +⎪= ⎨⎪ >⎪⎩

Problema 8: Folosind metoda integrării prin părţi, calculaţi integralele nedefinite: a) ( )ln , 0,x xdx x∈ ∞∫ b) ( )2 ln , 0,x xdx x∈ ∞∫

c) ( )1 ln , 0, ;x dx xx⋅ ∈ ∞∫ d) ( )2ln , 0, ;x x dx x∈ ∞∫

e) ;xx e dx⋅∫ f) 2 ;xx dx⋅∫

g) ( )2 1 , ;xx e x− ⋅ ∈∫ h) ( )2 1 ;xx e dx+ ⋅∫


a) 1( ) ln '( ) f x x f xx

= ⇒ =

2

'( ) ( ) 2xg x x g x xdx= ⇒ = =∫

2 2 21ln2 2 2x x xI x dx

x= ⋅ − ⋅ =∫ =>

2 1ln2 2xI x xdx= ⋅ − ∫

2 21ln2 2 2x xI x C⇒ = ⋅ − ⋅ +

d) ( )2 1( ) ln 2 lnf x x f x xx

= ⇒ = ⋅

( )2

( )2xg x x g x= ⇒ =


216

22ln

2xI x⇒ = - lnx xdx∫ . Notăm 1 lnI x xdx= ∫

pentru 1I : 2

1( ) ln '( )

x'( ) ( ) = 2

f x x f xx

g x x g x xdx

⎧⎪⎪ = ⇒ =⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = ⇒ =⎪⎪⎪⎩ ∫

2

1 ln2xI x⇒ = - 21

4x C+

2 22 21ln ln

2 2 4x xI x x x C⇒ = − + +

Problema 9: Folosind metoda integrării prin părţi, calculaţi integralele nedefinite: a) sinx xdx∫ b) cosx dx∫

c) 2 sinx xdx∫ d) 2 cosx xdx∫

e) ln xdx∫ f) 2ln xdx∫

g) 2

ln x dxx∫ h) 3

ln x dxx∫

Problema 10: Folosind metoda integrării prin părţi, calculaţi integralele nedefinite: a) ;xx e dx−⋅∫ b) ( ) ( )2 ln 2 , 0,x x dx x∈ ∞∫

c) ( )3 ln3 , 0, ;x x dx x⋅ ∈ ∞∫ d) ( )3 ln , 0, ;x x dx x⋅ ∈ ∞∫

e) sin 2x xdx∫ f) cos 2x xdx∫

g) 2 sin 2x xdx∫ h) 2 cos3x xdx∫ Problema 11: Calculaţi: a) 2 3x dx−∫ b) 2 4x dx−∫

c) 2 5x dx−∫ d) 2 3x dx+∫

www.neutr

ino.ro


217


a) 2 2

2

2 2 2

3 13 33 3 3

x xx dx dx dx dxx x x−

− = = −− − −

∫ ∫ ∫ ∫

2

1 2Pentru , fie

3xI dx

x=

−∫

2

2 2

( ) '( ) 1

'( ) ( ) 33 3

f x x f xx xg x g x dx x

x x

= ⇒ =

= ⇒ = = −− −

∫2 2 2

1 13 3 3I x x x dx I x x I⇒ = − − − ⇒ = − −∫2

2 2

1 ln 33

I dx x x Cx

= = + − +−

∫2 2

1 23 3 3ln 3I I I I x x I x x⇒ = − ⇒ = − − − + − ⇒

( )2 21 3 3ln 32

I x x x x C⇒ = − − + − +

Problema 12: Să se găsească câte o relaţie de recurenţă pentru calculul fiecăreia dintre următoarele integrale nedefinite: a) , ;n x

nI x e dx x= ⋅ ∈∫

b) 2 , ;n xnI x dx x= ⋅ ∈∫

c) cos , ;nnI x x dx x= ⋅ ∈∫

d) sin , ;nnI x x dx x= ⋅ ∈∫

e) sin , ;nnI x dx x= ∈∫

f) cos , ;nnI x dx x= ∈∫

Soluţie parţială: a) '( ) ( )x xg x e g x e= ⇒ = 1( ) '( )n nf x x f x nx −= ⇒ =

11

n x n x n xn n nI x e n x e dx I x e nI−

−⇒ = − ⇒ = −∫


218

trebuie calculat 1 ?I =

1xI xe dx= ∫

( ) '( ) 1'( ) ( )x x

f x x f xg x e g x e

= ⇒ =

= ⇒

1 1x x x xI xe e dx I xe e C⇒ = − ⇒ = − +∫

e) 1 2( ) sin '( ) ( 1)sin cosn nf x x f x n x x− −= ⇒ = − '( ) sin ( ) cosg x x g x x= ⇒ = −

1 2( ) sin '( ) ( 1)sin cosn nf x x f x n x x− −= ⇒ = −1 2 2sin cos ( 1) sin cosn n

nI x n xdx− −= − + − ∫( )1 2sin cos ( 1) sin sinn n n

nI x n xdx xdx− −⇒ = − + − −∫ ∫1

2sin cos ( 1)( )nn n nI x n I I−

−⇒ = − + − −1

2(1 1) sin cos ( 1)nn nI n x n I−

−⇒ + − = − + −1

2sin cos 1n

n nx x nI In n

−

−

−⇒ = − +

Deoarece este o recurenţă de ordinul II valabilă pentru 2n ≥ calculăm nI pentru 0n = şi 1n =

0 1nn I dx x C= ⇒ = = +∫ 1 sin cosnn I xdx x C= ⇒ = = − +∫

Problema 13: Folosind metoda integrării prin schimbare de variabilă, calculaţi integralele nedefinite: a) ( )54 2x dx+∫ b) ( )63 2x dx−∫

c) ( )72 1x dx−∫ d) ( )71x dx− −∫

e) ( ) ( )626 2 3 2 4x x x dx+ ⋅ + +∫ f) ( ) ( )422 1 3 ;x x x dx+ ⋅ + +∫

g) ( ) ( )42 33 5 5 3 ;x x x dx+ ⋅ + +∫ h) 3 4(2 1) 1 5(2 1)x x dx+ ⋅ + +∫

www.neutr

ino.ro


219


h) notăm 4 33(2 1) 4(2 1) 2

8(2 1)dtt x dt x dx dxx

= + ⇒ = + ⋅ ⇒ =+

33( ) (2 1) 1 5

8(2 1)dtI t x tx

⇒ = + + ⋅+∫ = 1 1 5

8tdt+∫

Notăm 1 5 5 5

duu t du dt dt= + ⇒ = ⇒ =1 ( )8 5

duI u u⇒ = ⋅ ⋅ =∫3

1 221 1 1 ( ) ( )340 40 60

2

uu du I u C I u u u C= ⇒ = ⋅ + ⇒ = +∫

1 ( ) (1 5 ) 1 5 60

I t t t C⇒ = + + + ⇒

( )4 41( ) 1 5(2 1) 1 5(2 1)60

I x x x C= + + + + +

Problema 14: Folosind metoda integrării prin schimbare de variabilă, calculaţi integralele nedefinite:

a) 2 1x dx

x +∫ b) 22 1

1x dx

x x+

+ +∫

c) 22 5

5 1x dx

x x+

+ +∫ d) 3

4 28 6

2 3 10x x dx

x x+

+ +∫

e) 32 xx e dx⋅∫ f)

32 12( 4) x xx e dx++ ⋅∫

g) 41x dxx+∫ h)

2

61x dx

x+∫


a) 41

x dxx−

∫ b) 4 1

x dxx −

∫

c) 21

x

xe dxe+∫ d)

21

x

x

e dxe−

∫


220

e) ln x dxx∫ f)

2ln x dxx∫

g) ( )

11 ln

dxx x⋅ +∫ h)

( )21

1 lndx

x x⋅ +∫


a) 5cossin

x dxx∫ b) 6

sincos

x dxx∫

c) 2

2 ;1

arctg x dxx+∫ d)

3

2 ;1

arcctg x dxx+∫

Problema 17: Folosind metoda integrării prin a doua schimbare de variabilă, calculaţi primitivele următoarelor funcţii:

a) 1 dxx x+∫ b) 1

1 2x dx

x+

+ +∫

c) 11

dxx x⋅ +∫ d) 1 xdx+∫

e) 1

tgx dxtgx +∫ e) 2tg xdx∫

g) 21

2

12

xtgdxxtg

+

+∫ h) 2

2xtg dx∫

Problema 18: Descompuneţi în funcţii raţionale simple:

a) ( ) 32 2xf x

x x=

+

b) ( ) 3 2

12 3xf x

x x x+

=+ +

c) ( ) 3 22xf x

x x=

+

d) ( )5 4 3 3

4 3 2

2 3 4 12 2 2 1

x x x x xf xx x x x+ + − − +

=+ + + +

www.neutr

ino.ro


221

e) ( )3 2

4 2

10 4 34 12 10 9

x x xf xx x− − +

=− +

f) ( )3 2

2 2

3 2( 1)

x x xf xx x+ + +

=+ +


d)5 4 3 3

4 3 2

( ) 2 3 4 1 Deoarece gr gr ,( ) 2 2 2 1

P x x x x x x P QQ x x x x x

+ + − − += >

+ + + +

împărţim ( ) ( ) la P x Q x3 2câtul ( ) , restul ( ) 5 5 1C x x R x x x x⇒ = = + + −

3 2

4 3 2

( ) 5 5 1( ) 2 2 2 1

P x x x xxQ x x x x x

+ + −⇒ = +

+ + + +

cu schema lui Horner 4 3 2 2 2 ( ) 2 2 2 1 ( ) ( 1) ( 1)Q x x x x x Q x x x⇒ = + + + + ⇒ = + +

3 2

2 2 2 2

5 5 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1x x x A B Cx D

x x x x x+ + − +

⇒ = + ++ + + + +

eliminând numitorii

⇒ 3 2 2 2 25 5 1 ( 1)( 1) ( 1) ( )( 1)x x x A x x B x Cx D x+ + − = + + + + + + + sau, dupa calcule, 3 25 5 1x x x+ + − =

3 2( ) ( 2 ) ( 2 ) ( )A C x A B C d x A C D x A B D= + + + + + + + + + + + 12 5

sistemul 2 5

1

A CA B C DA C DA B D

+ =⎧⎪ + + + =⎪⇒ ⇒⎨ + + =⎪⎪ + + = −⎩

2; 1; 3; 2A B C D= − = − = =

⇒descompunerea este: 2 2

( ) 2 1 3 2( ) 1 ( 1) 1

P x xxQ x x x x

+= + + −

+ + +

e) 3 2

4 2

( ) 10 4 34 12 gr gr ,( ) 10 9

P x x x x P QQ x x x

− − += <

− +deci nu împăr�im

( ) ( ) la P x Q x . Cu Horner ( ) ( 1)( 1)( 3)( 3) Q x x x x x⇒ = − + − + ⇒


222

( ) ( ) 1 1 3 3

P x A B C DQ x x x x x

⇒ = + + +− + − +

. Aducem la acelaşi numitor,

formăm sistem şi găsim coeficienţii.

f) 3 2

2 2 2 2 2

3 2( 1) 1 ( 1)

x x x Ax B Cx Bx x x x x x+ + + + +

= ++ + + + + +

Eliminând numitorii obţinem A=1, B=0, C=2, D=2. Problema 19: Determinaţi primitivele următoarelor funcţii raţionale pe domeniul de definiţie adecvat:

a) 2

12 8 12

dxx x+ +∫ b) 2

1( ) ;6

f xx x

=+ +

c) 21( ) ;

6f x

x x=

− + d) 2

1( ) ;3 2

f xx x

=+ +


a) Folosim forma canonică: 2

2

2 4bax bx c a xa a

−Δ⎛ ⎞+ + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

22 28 322 8 12 2 2( 2) 4

4 8x x x x⎛ ⎞⇒ + + = + + = + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 2

1 1 12( 2) 4 2 ( 2) 2

I dx dxx x

⇒ = =+ + + +∫ ∫

notăm 2t x dt dx= + ⇒ = ⇒

2

1 1 1( )2 2 2 2 2

tI t dt arctg ct

= = ++∫

2

1 1( )( 2) 22 2

I x arctg cx

⇒ = ++ +

2

1 1( )4 62 2

I x arctg cx x

⇒ = ++ +

www.neutr

ino.ro


223

Problema 20: Determinaţi primitivele următoarelor funcţii raţionale pe domeniul de definiţie adecvat:

a) 2( ) ;2 8 12

xf xx x

=+ +

b) 2( ) ;6

xf xx x

=+ +

c) 2( ) ;6

xf xx x

=− +

d) 2( ) ;3 2xf x

x x=

+ +


a) 2 2

1 4 8 82 8 12 4 2 8 12

x xdx dxx x x x

+ −=

+ + + +∫ ∫

2 2

1 4 8 124 2 8 12 2 8 12

x dx dxx x x x

+= −

+ + + +∫ ∫

1 2

4 82 8 12

xI dxx x

+=

+ +∫

Notăm 22 8 12 (4 8)t x x dt x dx= + + ⇒ = + 2

1 11( ) ln | | ln | 2 8 12 |I t dt t c I x x ct

⇒ = = + ⇒ = + + +∫

2 2 2

1 1 12 8 12 4 62 2

I dx arctg cx x x x

= = ++ + + +∫ (se rezolvă cu

forma canonică) 22

1 1 1ln | 2 8 12 |4 4 62

I x x arctg cx x

⇒ = + + − ++ +

Problema 21: Folosind descompunerea în funcţii raţionale simple, calculaţi primitivele următoarelor funcţii:

a) 1( ) ;( 1)( 2)

f xx x

=+ +

b) 2( ) ;( 1)( 2)

f xx x

=− + +

c) ( ) ;( 1)( 3)

xf xx x

=+ +

d) 3 4( ) ;( 1)( 2)

xf xx x

+=

+ +

e) 1( )( 1)( 2)

f xx x x

=− −

f) ( )( )( )

3( ) 1 1 2

xf xx x x

+=

− + +

g) ( )( )2

( ) 4 1xf x

x x=

+ + h)

( )( )22 1( )1 2xf x

x x+

=+ +


224

Problema 22: Calculaţi primitivele următoare:

a) 2

2

1 cos sin , 0;1 cos 2

x x dx xx

π+ ⎛ ⎞∈⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫

b)21 sin cos , 0;

1 sin 2x x dx xx

π+ ⎛ ⎞⋅ ∈⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫

c) 4 4

6 6

sin cos , 0;sin cos 2

x x dx xx x

π+ ⎛ ⎞∈⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫

d) 1 sin , 0;(1 sin )sin 2

x dx xx x

π+ ⎛ ⎞∈⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫

e) 2

2

cos sin , 0;1 cos 2

x x dx xx

π⎛ ⎞∈⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫

f) 2sin cos , 0;

1 sin 2x x dx xx

π⎛ ⎞⋅ ∈⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫

g) 4 4

2 2

sin cos , 0;sin cos 2

x x dx xx x

π+ ⎛ ⎞∈⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫

h)

1 cos , 0;(1 sin ) cos 2

x dx xx x

π+ ⎛ ⎞∈⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫

Soluţie parţială: a) cos sin t x dt x dx= ⇒ = −

2 21 2( ) ( ) 1 2ln(1 )1 1 2

t tI t dt t dt t t Ct t

+ ⎛ ⎞= ⋅ − = + + = + + − +⎜ ⎟− −⎝ ⎠∫ ∫2cos( ) cos 2ln(1 cos )

2xI x x x C⇒ = + + − +

b) sin cos t x t xdx= ⇒ = 2 21 2( ) 1 2ln( 1)

1 1 2t tI t dt t dt t t Ct t

+ ⎛ ⎞⇒ = = − + = − + + +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫ ∫21( ) sin sin 2 ln(1 sin ) , 0;

2 2I x x x x C x π⎛ ⎞⇒ = − + + + ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠

www.neutr

ino.ro


225

c) tgx t= 2

11

x arctgt dx dtt

⇒ = ⇒ =+

4

2 2 2 2

6 2

2 2 2 2

11(1 ) (1 )( )

1 1(1 ) (1 )

tt tI t dt

t tt t

++ +⇒ = ⋅

+−+ +

∫

4

6 2 2

1 1 2 2 2 1 2 1( )1 6 1 1 1 1

t t tI t dt dtt t t t t t t+ − +⎛ ⎞⇒ = = − + − =⎜ ⎟− − + − + + +⎝ ⎠∫ ∫

2

2

1 1 1 1ln ln3 1 6 1

t t t Ct t t− − +

= + + ⇒+ + +

2

2

1 1 1 1( ) ln ln3 1 6 1

tgx tg x tgxI x Ctgx tg x tgx

− − +⇒ = + +

+ + +

d) notăm 2

22 2 1x xt tg arctgt dx dt

t= ⇒ = ⇒ =

+

22

2 2

2 2

21 2 2 112 2 1 ( 1)1

1 1

tt t ttI dt dt

t t t t tt t

+ + ++⇒ = ⋅ = =+ −⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

∫ ∫

2

1 4 4ln | |( 1) 1

dt t Ct t t

⎛ ⎞= + = − +⎜ ⎟− −⎝ ⎠∫

4( ) ln2 1

2

xI x tg Cxtg=> = − +

−

Problema 23: Calculaţi:

a) 2 22

x

x x

e dxe e

−

−+ +∫ b) 2 3 2

x

x x

e dxe e+ +∫

c) 2 2

22 2 2

x

x x

dx−

−+ +∫ d) 2 1

33 3 2

x

x x dx++ +∫

e) 3

1 11 1

x dxx

+ +− +∫ f) 6

11

x dxx+−∫


226

g) 3

1 2 31 2 3

x dxx

+ −− −∫ h)

23

11)( 1)

dxx x− +

∫

Soluţie parţială: a) Notăm x xt e dt e dx= ⇒ =

4 2 2 2 22

2

11( ) 1 2 1 ( 1) 2(1 ) 22

dtdt dt tt tI t arctg t C

t t t ttt

⋅⇒ = = = = + +

+ + + ++ +∫ ∫ ∫

2

1( )2(1 ) 2

xx

x

eI x arctge Ce

⇒ = + ++

e) Notăm 6 1x t+ = ⇒ 6 51 6x t dx t dt= − ⇒ = 3 2

5 52

1 16 61 1

t t tI t dt t dtt t

+ − +⇒ = ⋅ = ⋅ =

− −∫ ∫ 7 7 6 5 4 3

5 66 6 6 ln( 1)1 7 6 5 4 3t t t t t tt dt dt t t t C

t⎛ ⎞

= + = − + + + + + + − +⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫ ∫ ,

apoi înlocuim pe t cu 6 1x +

h) 33

2 2 33 3

( 1)1 1 1 11 1( 1) ( 1)1)( 1) ( 1)( 1)

x xdx dx dx dxx xx xx x x x

+ += = = ⋅

+ −− ⋅ +− + − +∫ ∫ ∫ ∫

notăm 3 2

333 3 2

1 1 1 61 1 1 ( 1)

x x t tt t x dx dtx x t t+ + + −

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =− − − −

3 2

3 1( ) 31 ( 1)( 1)

I t dt dtt t t t−

⇒ = = −− − + +∫ ∫ care e integrală raţională

www.neutr

ino.ro


227

Capitolul 22 INTEGRALE DEFINITE

Problema 1: Studiaţi dacă, pentru intervalele indicate în fiecare caz, Δ este diviziune. În caz afirmativ, calculaţi norma diviziunii a) [ ]1;3I = , (1 1, 2 2,3 2,9 3)Δ = < < < < b) [ ]1;3I = , (1 3 4)Δ = < < c) [ ]1;3I = , (1 1,5 2 2,5 3)Δ = < < < < Problema 2: Studiaţi dacă, pentru diviziunile indicate în fiecare caz, ξ este sistem de puncte intermediare: a) (1 1, 2 2,3 2,8 3)Δ = < < < < , (1,1; 2; 2,5; 2,9)ξ = b) (1 1,5 2,3 2,5 3)Δ = < < < < , (1,1; 2; 2, 4; 2,9)ξ = c) (1 1, 2 2,3 2,5 3)Δ = < < < < , (1; 2; 2, 4; 2,9)ξ = Problema 3: Calculaţi sumele Riemann ( ), kfσ ξΔ în fiecare din cazurile următoare: a) [ ] ( ): 1,3 , ,f f x x→ = (1 2 3)Δ = < < , (1,1; 2,5)ξ = b) [ ] ( ) 2: 1,3 , ,f f x x→ = (1 2,3 3)Δ = < < , (1; 3)ξ = c) [ ] ( ): 1,3 , 1,f f x x→ = + (1 2 3)Δ = < < , (1; 3)ξ = d) [ ] ( ): 1,3 , 1,f f x x→ = + (1 2 2,5 3)Δ = < < < , (1; 2,2; 3)ξ = Problema 4: Utilizând criteriile de integrabilitate Riemann:

(1): “ f continuă f⇒ integrabilă” (2): “ f nemărginită f⇒ nu e integrabilă”, (3): “ f integrabilă, g f≠ doar într-un număr finit de

puncte g⇒ integrabilă şi ( ) ( )b b

a af x dx g x dx=∫ ∫ ”

studiaţi dacă următoarele funcţii sunt integrabile: a) [ ] ( ) 2: 1,3 , 2 3f f x x x→ = − + − ;

b) [ ] [ )[ ]

2 1 , 1,2: 1,3 , ( )

3 1 , 2,3x x

f f xx x

⎧ + ∈⎪→ = ⎨ − ∈⎪⎩;


228

c) [ ] [ )[ ]

3 1 , 1,2: 1,3 , ( )

4 3 , 2,3x x

f f xx x

⎧ − ∈⎪→ = ⎨ − ∈⎪⎩;

d) [ ] [ )

[ ]

1 , 1,2: 1,5 , ( ) 2

3 1 , 2,5

xf f x x

x x

⎧ ∈⎪→ = −⎨⎪ + ∈⎩

.

Problema 5: Utilizând criteriile de integrabilitate Riemann: (1): “ f monotonă f⇒ integrabilă” (2): “dacă ( )f x e mărginită şi discontinuă intr-un număr

finit de puncte ( )f x⇒ este integrabilă”, studiaţi dacă următoarele funcţii sunt integrabile: a) [ ] ( ): 1,3 , 2f f x x→ =

b) [ ] ( ) 2: 1,3 , 2 3f f x x x→ = − + −

c) [ ] ( ) 2: 3,5 , 5 6f f x x x→ = − +

d) [ ] [ )[ ]

1 , 1,2: 1,3 , ( )

2 1 , 2,3x x

f f xx x

⎧ + ∈⎪→ = ⎨ + ∈⎪⎩;

e) [ ] [ )[ ]

2 1 , 1,2: 1,3 , ( )

3 1 , 2,3x x

f f xx x

⎧− + ∈⎪→ = ⎨− − ∈⎪⎩;

Problema 6: Folosind formula Leibniz-Newton, calculaţi:

a) 3 2

1x d x∫ b)

1

1ed x

x∫

c) 3

12 x d x∫ d)

1

0

xe d x∫

e) 5

23

14

d xx −∫ f)

/ 2

2/ 3

14

d xx

π

π +∫

g) 7

23

14

dxx −

∫ h) 7

23

14

dxx +

∫


www.neutr

ino.ro


229

a) Metoda I: Deoarece 2:[1;3] , ( )f f x x→ = e continuă pe intervalul [1;3] f⇒ integrabilă pe [1;3]

3 3 33 2

1

3 3 1 2613 3 3 3

xx dx⇒ = = − =∫

Metoda II: Deoarece 2:[1;3] , ( )f f x x→ = e continuă pe intervalul [1;3] f⇒ adminte primitive pe [1;3] , fie F o primitivă a

sa. Atunci, 3 2 3

21

27 1 26( ) | (3) (2)3 3 3

I x dx F x F F= = = − = − =∫

Problema 7: Fără a calcula integralele, demonstraţi inegalităţile:

a) 3 3

2 21 1 ;

3 2dx dx

x x≤

+ +∫ ∫

b) 3 3

3 22 21 1 ;

2 2dx dx

x x≤

+ +∫ ∫

c) 1 1

20 01 1 ;

2 2dx dx

x x≤

+ +∫ ∫

d) 1 1

2 2 30 01 1 ;

2 2dx dx

x x x x≤

+ + + +∫ ∫

e) 1 1 10 0

(1 )x xe dx x dx+< +∫ ∫ Soluţie parţială: e) Arătăm că ( ) [ ]11 , 0,1xxe x x+≤ + ∀ ∈ . Prin logaritmare,

( ) ( ) ( )11 1 ln 1xxe x x x x+≤ + ⇔ ≤ + + . Fie funcţia

[ ] ( ) ( ) ( ): 0,1 , 1 ln 1f f x x x x→ = + + −

( ) [ ]' ln(1 ) 1 1 ln(1 ) 0, 0,1f x x x x= + + − = + > ∀ ∈ . Cum sf şi

( ) ( ) [ ]0 0 0, 0,1f f x x= ⇒ ≥ ∀ ∈ 1(1 ) ln(1 ) (1 ) x xx x x x e+⇔ + + ≥ ⇔ + ≥ şi 1(1 ) x xx e++ = doar pentru

0,x = deci într-un număr finit de puncte 1 1 10 0

(1 )x xe dx x dx+⇒ < +∫ ∫


230

Problema 8: Fără a calcula integralele, demonstraţi inegalităţile:

a) 3

21 0

3dx

x≥

+∫ b) 2

11 0

3dx

x≤

−∫

c) 23

20xe dx >∫ d) ( ) ( )

2 22 2

ln 2e

e

x ee e e dx e ex

− < < −∫


d) Fie 2: ,f e e⎡ ⎤→⎣ ⎦ funcţia definită prin ( )ln

xf xx

= . Evident f

este derivabilă şi ( ) 2

ln 1' 0ln

xf xx−= ≥ şi ( )' 0f x = doar pentru

( ) ( ) ( )2 21 s , ,x f f e f x f e x e e⎡ ⎤= ⇒ ⇒ ≤ ≤ ∀ ∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ 2

2, ,ln 2

x ee x e ex

⎡ ⎤≤ ≤ ∀ ∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ , cu egalitate doar pentru 1x= , deci

într-un număr finit de puncte 2 2 2 2

ln 2

e e e

e e e

x eedx dx dxx

⇒ < <∫ ∫ ∫

( ) ( )2 22 22 2

2 2

ln 2 ln 2e e

e e

e ex e x ee x dx x e e e dx e ex xe e

⇒ ⋅ < < ⋅ ⇒ − < < −∫ ∫

Problema 9: Fără a calcula integralele, calculaţi lim nnI

→∞ unde:

a) 1

2

0

1sin .2 sin

nnI x dx

x⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+∫

b)

1

0sin .n

nI x xdx= ∫

c) 1

0cos .n

nI x xdx= ∫

d) ( )1

2

0

1 sin cos .n nI x dxx

= ∫ Soluţie parţială:

a) Evident 1 12 20 0

1 1sin sin2 sin 2 sin

n nx dx x dxx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

www.neutr

ino.ro


231

11 1

0 0

1 1 001 1

nn n

nxx dx x dx In n

+

≤ = = = ⇒ →+ +∫ ∫

Problema 10: Calculaţi ( )4

0f x dx∫ dacă ştim că:

a) 1 4

0 1( ) 2, ( ) 6f x dx f x dx= =∫ ∫

b)

1 2 4

0 1 2( ) 2, ( ) 3, ( ) 2f x dx f x dx f x dx= = − =∫ ∫ ∫

c)

5 4

0 5( ) 2, ( ) 6f x dx f x dx= =∫ ∫

d)

1 4

0 1( ) 2, ( ) 6f x dx f x dx

−

−= = −∫ ∫

Problema 11: Fără a calcula integralele, calculaţi lim nnI

→∞ unde:

a) 1 / 2

0ln(1 ) ;n

nI x dx= +∫ b) 1 / 2

1 / 4ln ;n

nI x xdx= ∫

c) 1 / 220

;1

n

nxI dxx x

=+ +∫

d) 1 / 2

0;

1

n

n nxI dxx x

=+ +∫

e) 1

2 ;1

nnn n

xI dxx x

+=

+ +∫

f) ( )1ln 1 ;

n nn n

I x dx+

= +∫

Problema 12: Calculaţi '( )f x în fiecare din situaţiile următoare:

a) 3

2

0: [0;1] , ( )

x tf f x e dt→ = ∫

b)22

0: [0;1] , ( )


c) 2

0: [0;1] , ( )


d)24 1

2: , ( )

x t

xf f x e d t

+→ = ∫

Soluţie parţială: a) Funcţia

2

:[0;1] , ( ) xg g x e→ = e continuă deci admite primitive, fie G o primitivă a sa ( ) ( )'G x g x⇒ = ⇒


232

( ) ( )3( ) 0f x G x G⇒ = − ⇒ 3 2'( ) '( ) 3 0f x G x x= ⋅ − ⇒ 63 2 2'( ) ( ) 3 3xf x g x x e x= ⋅ = ⋅

Problema 13: Studiaţi monotonia şi determinaţi punctele de extrem local al funcţiilor:

a) 2

0: , ( ) ln(1 )

x tf f x e t t dt→ = − +∫ b) 2

0: , ( ) ln(3 3 )

x tf f x e t t dt→ = − +∫

Soluţie parţială: a) Funcţia 2( ) ln(1 )xg x e x x= − + este continuă, deci admite primitive, fie ( )G x o primitivă a sa

( ) 2'( ) ( ) (0) ' '( ) ( ) ln(1 )xf x G x G G x g x e x x⇒ = − = = = − + . Facem tabelul de variaţie 0x⇒ = punct de maxim şi 1x = punct de minim

sf pentru ( ;0] şi [1; )x∈ −∞ ∞ şi sf pentru [0;1]x∈

Problema 14: Calculaţi 0

0

( )lim( )x

x

f xg x→

>

unde:

a) , :[0;1]f g → 2

2

0( ) sin

xf x t dt= ∫ şi

2

0( )

x tg x e dt= ∫ .

b) , :[0;1]f g → 2

0( ) sin

xf x t dt= ∫ şi

2

0( )

x tg x e d t= ∫ .

Soluţie parţială: a) Din teorema de medie, 2 2

0 00 0

lim ( ) limsin ( 0) 0xx xx x

f x c x→ →> >

= − = căci

2(0; )c x∈ şi analog 2

0 00 0

lim ( ) lim 0c

x xx x

g x e x→ →> >

= ⋅ =

Rezultă că limita cerută este în cazul exceptat 00

, aplicăm l’Hopital

deci:

2

2

2

0

0 00 0

0

sin( )lim lim( )

x

xx x tx x

t dtf xg x e dt→ →

> >

= =∫∫

2

1 1

02 20

( ) (0)lim( ) (0)x

x

F x FF x F→

>

−=

−

www.neutr

ino.ro


233

2

2 41

0 020 0

'( ) 2 sinlim lim 0'( ) 1 xx x

x x

F x x x xF x e→ →

> >

⋅ ⋅= =

⋅

Problema 15: Calculaţi integralele definite:

a)1

ln e

x xdx∫ b) 3

1ln

ex xdx∫

c)1

ln e

xdx∫ d) 2

1ln

ex xdx∫

e)1

ln e

x xd x∫ f) 2

1

e xx e dx∫

g) 0

s in xe x d xπ∫ h)

0

cos xe x dxπ∫

Soluţie parţială: a) Metoda I: Deoarece :[1; ] , ( ) lnf e f x x x→ = e continuă pe [1; ]e ⇒ f e integrabilă pe [1; ]e deci putem să aplicăm metoda integrării prin părţi.

2

1( ) ln '( )

'( ) ( )2

f x x f xx

xg x x g x

= ⇒ =

= ⇒ =

2 2 2

1

1 1 ln 01 12 2 2 2 2

ee ex e xI x xdx I⇒ = − ⇒ = − −∫

2 2 2 12 4 4e e eI +

⇒ = − =

Metoda II: Fie ( ) ln ,F x x xdx= ∫ care există deoarece ( ) lnf x x x= e

continuă, deci admite primitive. Se arată că 2 2

( ) ln2 4x xF x x C= − + ,

aşadar 2

1

1ln ( ) (1) 4

e eI x xdx F e F I += = − ⇒ =∫



234

a)

21

30

3 13

x dxx x

++ +∫ b)

22

31 1x dx

x +∫

c) ( )1 5

02 x dx+∫ d)

( )

1 5

02 1 x dx+∫


a)22

31

1x dx

x +∫ b)

21

60 1x dx

x +∫

c)

31

80

1x dx

x +∫ d)

41

100 1x dx

x +∫

e) 1

ln e x dx

x∫ f) ( )1

11 ln

edx

x x+∫

g)

2

2

1ln

e

ed x

x x⋅∫ h) ( )21

11 ln

edx

x x+∫

Soluţie parţială: a) Metoda I: notăm 3 21 3t x dt x dx= + ⇒ =

1 22 9

x tx t= ⇒ == ⇒ =

9 922

1 1 1 9( ) ln | | | ln3 3 3 2

dtI t tt

⇒ = = =∫

Metoda II: Fie 2

3( )1

xF x dxx

=+∫

notam 3 21 3t x dt x dx= + ⇒ = 1 1( ) ln | |3 3

dtF t t ct

⇒ = = +∫

1 1 9( ) ln | | ( ) (9) (2) ln3 3 2

F x x c I x F F⇒ = + ⇒ = − =


a)/ 4 cos

0sin xx e dx

π⋅∫ b)

/ 4 sin

0cos xx e dx

π⋅∫

c)/ 4

5/ 6

sincos

x dxx

π

π∫ d)

/ 4

5/ 6

cossin

x dxx

π

π∫

www.neutr

ino.ro


235

Problema 19: Folosind metoda integrării prin a doua schimbare de variabilă, calculaţi primitivele următoarelor funcţii:

a) 4

1

1 dxx x+∫ b)

2

1

11 2

x dxx−

++ +∫

c) 3

0

11

dxx x⋅ +∫ d)

9

0

1 xdx+∫

Problema 20: Calculaţi integralele următoare:

a) [ ]1 1

1( ) unde :[1; ] 1; 1 , ( ) ln

ef x dx f e e f x x x

+ − → + = +∫

b) [ ]1 1

1( ) unde :[1; ] 1; 1 , ( ) ln

ex f x dx f e e f x x x

+ −⋅ → + = +∫

c) [ ]10 1 3

2( ) unde :[1;2] 2;10 , ( )f x dx f f x x x− → = +∫

d) [ ]10 2 1 3

2( ) unde :[1;2] 2;10 , ( )x f x dx f f x x x− → = +∫


a) 1'( ) 1 0, [1; ]f x x e fx

= + > ∀ ∈ ⇒ strict crescătoare f⇒ injectivă.

Deoarece ( ) ( )1 1, 1f f e e= = + şi f continuă f⇒ surjectivă f⇒ bijectivă f⇒ inversabilă. Notăm 1( ) ( ) '( )t f x x f t dx f t dt−= ⇒ = ⇒ =

1 ( ) 1 ln 1x f t t t= ⇒ = ⇒ + = Observăm că 1t = soluţie şi cum f bijectivă 1t⇒ = soluţie unică.

1 ( ) 1 ln 1x e f t e t t e= + ⇒ = + ⇒ + = + Observăm că t e= soluţie şi cum f bijectivă t e⇒ = soluţie unică.

( )1 1

1( ) ' 1e e

I t t f t dt t dtt

⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

( )2 2 2

1

1 2 31 112 2 2 2

e et e e et dt t e⎛ ⎞ + −

+ = + = + − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫


236

Problema 21: Calculaţi integralele următoarelor funcţii raţionale:

a) 1

01

1e

dxx

−

+∫ b) 12

01

2 1e

dxx

−

+∫

c) ( )

130

1

1

edx

x

−

+∫ d)

( )

12

301

2 1

ed x

x

−

+∫

Problema 22: Calculaţi integralele următoarelor funcţii raţionale:

a) 2

11 ;

( 1)( 2)dx

x x+ +∫ b) 3

22 ;

( 1)( 2)dx

x x− + +∫

c) 2

1;

( 1)( 3)x dx

x x+ +∫ d) 2

13 4 ;

( 1)( 2)x dx

x x+

+ +∫

Problema 23: Calculaţi integralele următoarelor funcţii trigonometrice:

a) / 4

20 (1 ) costgx dx

tgx xπ

+∫

b) 2/3

/6

1 co s s in 1 co s

x x d xx

π

π

+−∫

c)2/3

/6

1 sin cos 1 sin

x x dxx

π

π

++∫

d) 4 4/3

6 6/6

sin cossin cos

x x dxx x

π

π

+−∫


a) notăm 2

1 1

t tgx x arctg t dx dtt

= ⇒ = ⇒ =+

0 0

14

x t

x tπ= ⇒ =

= ⇒ =

1

0( )

1tI t dt

t⇒ = ⇒

+∫

1 100

1( ) 1 [ ln(1 )] | 1 ln 21

I t dt t tt

⎛ ⎞= − = − + = −⎜ ⎟+⎝ ⎠∫

Metoda II: Fie 2( )(1 )cos

tgxF x dxtgx x

=+∫

www.neutr

ino.ro


237

,t tgx x arctg t= ⇒ = se calculează primitiva ( )F x a funcţiei

astfel: notâm t tgx= ⇒ 2

1 1

x arctg t dx dtt

= ⇒ = ⇒+

( ) ln(1 )1

tF t dt t t ct

= = − + + ⇒+

( ) ln(1 )F x tgx tgx c= − + + ⇒

(0) 1 ln 24

I F F Iπ⎛ ⎞= − ⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Problema 24: Calculaţi aria dintre fG , axa Ox şi dreptele x a= şi x b= în fiecare din cazurile următoare: a) ( ): , 1, dreptele 2 şi 3f f x x x x→ = − = = b) ( ): , 1, dreptele 2 şi 3f f x x x x→ = − = − = c) ( ) 2: , 5 6, dreptele 2 şi 3f f x x x x x→ = − + = = d) ( ) 2: , 5 6, dreptele 3 şi 4f f x x x x x→ = − + = = Soluţie parţială:

a) ( )3 3

2 21A f x dx x dx= = −∫ ∫

Se observă că 1 0, [2;3] 1 1x x x x− ≥ ∀ ∈ ⇒ − = −

( )23 3

22

9 41 3 22 2 2xA x dx x

⎛ ⎞⇒ = − = − = − − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

32

A⇒ =

b) 3

21A x dx

−= −∫ . Având acelaşi tabel de semne

( )1 3

2 1

131 ( 1)2

A x dx x dx−

⇒ = − + + − =∫ ∫ Problema 25: Determinaţi aria subgraficului pentru fiecare dintre următoarele funcţii: a) [ ]: 1,2 , ( ) 2 ;f f x x→ = b) [ ]: 1,2 , ( ) 4 2 ;f f x x→ = − c) [ ]: 0,2 , ( ) 4 2 ;f f x x→ = −


238

Problema 26: Calculaţi aria mulţimii ,f gΓ în fiecare dintre următoarele cazuri: a) [ ] 2, : 1,4 , ( ) 2 , ( ) ;f g f x x x g x x− → = − = − b) [ ] 2, : 0,3 , ( ) 2 , ( ) ;f g f x x x g x x→ = − = − c) [ ] 2, : 1,0 , ( ) 2 , ( ) ;f g f x x x g x x− → = − = − d) [ ] 2, : 1,3 , ( ) +1 , ( ) 2 4;f g f x x g x x− → = = + Soluţie parţială:

a) ( ) ( )4 4 42 2

1 1 12 3A f x g x x x x dx x x

− − −= − = − + = −∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )0 3 42 2 2

1 0 33 3 3A x x dx x x dx x x dx⇒ = − + + − + − +∫ ∫ ∫ , arie ce se

calculează uşor. Problema 35: Calculaţi aria cuprinsă între curbele: a) 22, 4 2y x y x x= − = − + b) 2 24 , 4 .y x x y= = c) 2 4 , 2y x y x= = d) 2 , 2 1y x y x= = − Soluţie parţială: a) Găsim punctele de intersecţie

22

24 2 2

4 2y x

x x xy x x= −⎧

⇒ − + = − ⇒⎨= − +⎩

1

2

14

xx==

4 42 2

1 12 4 2 5 4A x x x dx A x x dx⇒ = − − + − = = − + −∫ ∫

Din tabel,

4 2

1

9( 5 4)2

A x x dx A⇒ = − + + ⇒ =∫

www.neutr

ino.ro


239

Problema 27: Găsiţi volumul corpului de rotaţie determinat de fiecare dintre următoarele funcţii prin rotirea subgraficului lor în jurul axei :Ox a) [ ]: 0,1 , ( ) ;f f x x→ =

b) [ ] 4: 0,1 , ( ) ;f f x x→ = c) [ ]: 1,2 , ( ) ;f f x x→ =

d) [ ] 2: 1,2 , ( ) ;f f x x→ = Problema 28: Să se calculeze limitele următoarelor şiruri definite prin termenul general:

a)

*

1

1 1 , ;n

nk

kx nn n=

= ⋅ + ∈∑ b) *

1

1 1 , ;1

n

nk

x nknn

=

= ∈+

∑

c) *

1

1 , ;n

nk

x nn k=

= ∈+∑ d)

*

1

1 , ;n

nk

x k nn n =

= ⋅ ∈∑

e)

*2 21

1 , ;4

n

nk

x nn k=

= ∈−

∑ f) ( )

*2

1

1 , ;n

nk

x n nn k=

= ⋅ ∈+

∑


b) Fie [ ]k 11 20 ... 1 si , unde k k

n x xn n n

ξ −⎛ ⎞Δ = < < < < = ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

k k kkxn

ξ ξ= ⇒ = şi 1:[0;1] , ( )1

f f xx

→ =+

care e continuă pe

[0;1] deci integrabilă pe [0;1] 1 1

000 1

1 lim lim ln( 1) | ln 21

n

nn k

k dxx f xn n x→∞ Δ →

=

⎛ ⎞⇒ = = = + =⎜ ⎟ +⎝ ⎠∑ ∫

e)

22 22

2 22 2

3 3 3 3 3 33 31 1 1 1

3 3

14 4 4 4

n n n n

nk k k k

kk knk n nn nxnn k k k n kn n

nn n= = = =

⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠= = = ⋅ =

+ ⎛ ⎞+ + + ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑

Fie [ ]k 11 20 ... 1 si , unde k k

n x xn n n

ξ −⎛ ⎞Δ = < < < < = ∈⎜ ⎟⎝ ⎠


240

k k kkxn

ξ ξ= ⇒ = şi 2

3:[0;1] , ( )4

xf f xx

→ =+

care e continuă

pe [0;1] deci integrabilă pe [0;1]

( )21 3

300 1

11 5lim lim ln 4 ln04 4

n

nn k

k x dxx f xn n x→∞ Δ →

=

⎛ ⎞⇒ = = = + =⎜ ⎟ +⎝ ⎠∑ ∫

Documents

Toate Problemele Pentru Memorator