ΑΝΑΡΓΥΡΟΣ Γ. ΦΕΛΛΟΥΡΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής Ε.Μ.Π.

Γραµµική Άλγεβρα και

Αναλυτική Γεωµετρία

Έκδοση 2η Αθήνα, 2007

Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα

Απαγορεύεται η αναδηµοσίευση ή η µε οποιαδήποτε τρόπο ανατύπωση ή αναπαραγωγή ολικώς ή µερικώς του περιεχοµένου του παρόντος βιβλίου, χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα. ISBN 960-631-411-1 Copyright © 2006 by A. Fellouris. All rights reserved. No part of this publication may be reproduced or transmitted in any form or any means; electronic or mechanical, inclu-ding photocopy, recording, or any information storage and retrieval sy-stem, without permission in writing from the author.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο αυτό έχει ως βασικό σκοπό του να αποτελέσει διδακτικό βοή-θηµα των σπουδαστών του Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου στους οποί-ους διδάσκεται το µάθηµα «Γραµµική Άλγεβρα και Αναλυτική Γεωµετρία». Αυτό κατ’ αρχήν δικαιολογεί τη συνύπαρξη της Γραµµικής Άλγεβρας µε την Αναλυτική Γεωµετρία. Η Αναλυτική Γεωµετρία ή η Αναλυτική µελέτη της Γεωµετρίας εισήχθη από τον R. Descartes στη µελέτη του “La Geometrie”, που δηµοσιεύτηκε το 1637 και είναι ουσιαστικά µία µέθοδος µελέτης της Γεωµετρίας µε ερ-γαλεία της Άλγεβρας. Η µεγάλη πρόοδος της Γεωµετρίας από τον R. Des-cartes και ύστερα οφείλεται κυρίως στην εισαγωγή του συστήµατος συ-ντεταγµένων και των αντίστοιχων αλγεβρικών ή αναλυτικών µεθόδων. Έτσι, η συνύπαρξη της Γραµµικής Άλγεβρας µε την Αναλυτική Γεωµετρία πρέ-πει να θεωρείται απολύτως φυσική. Το βιβλίο αυτό αποτελεί µετεξέλιξη του βιβλίου µου «Γραµµική Άλγε-βρα και Αναλυτική Γεωµετρία», 1995. Οι συχνές µεταβολές, που συνήθως είναι περικοπές της διδασκόµενης ύλης των µαθηµατικών στο Λύκειο, έχουν οδηγήσει στην αποψίλωση του προγράµµατος σπουδών από έννοιες της Γραµµικής Άλγεβρας, όπως οι πίνακες, οι ορίζουσες και τα γραµµικά συστήµατα, αλλά και από έννοιες της Ευκλείδειας Γεωµετρίας του χώρου ή, όπως κοινά λέγεται, στερεοµετρία. Έτσι υπάρχει πλέον η ανάγκη της παρουσίασης ενός βιβλίου στο οποίο θα γίνεται αναλυτική µελέτη αυτών των εισαγωγικών εννοιών και του οποίου κυρίως η πληρότητα δεν θα επη-ρεάζεται από τους διάφορους µετασχηµατισµούς του προγράµµατος σπου-δών στο Λύκειο. Επιπλέον, η ίδρυση Σχολής Εφαρµοσµένων Μαθηµατι-κών και Φυσικών Επιστηµών στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο δηµιούρ-γησε την ανάγκη εισαγωγής περισσότερων εφαρµογών της Γραµµικής Άλγεβρας. Το κεφάλαιο 1 αποτελεί εισαγωγή στις βασικές αλγεβρικές έννοιες της σχέσης, της πράξης και των βασικών αλγεβρικών δοµών της οµάδας, του δακτυλίου και του σώµατος, όπως και των πραγµατικών ή µιγαδικών πο-λυωνύµων. Στα κεφάλαια 2 και 3 γίνεται αναλυτική εισαγωγή της έννοιας του πίνα-κα και της ορίζουσας, αντίστοιχα, καθώς και µία πρώτη προσέγγιση της επίλυσης γραµµικών συστηµάτων µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss. Τα κεφάλαια 4,5,6 και 7 πραγµατεύονται την Αναλυτική Γεωµετρία του επιπέδου και του χώρου. Πρώτα εισάγονται τα ελεύθερα διανύσµατα του χώρου και τα διάφορα γινόµενά τους και στη συνέχεια στο κεφάλαιο 5 µε-λετώνται οι καµπύλες του επιπέδου στις διάφορες µορφές που εµφανί-ζονται µε ιδιαίτερη έµφαση στις πολικές συντεταγµένες. Ακολουθεί στο κε-φάλαιο 6 η µελέτη των ευθειών του χώρου και των επιπέδων, ενώ στη συνέ-χεια στο κεφάλαιο 7 γίνεται πλήρης µελέτη όλων των διαφόρων επιφα-νειών του χώρου. Στα κεφάλαια 8 έως και 16 µελετώνται οι βασικές έννοιες της Γραµµι-κής Άλγεβρας, όπως είναι οι διανυσµατικοί χώροι, οι γραµµικές απεικο-νίσεις, τα χαρακτηριστικά µεγέθη γραµµικής απεικόνισης και πίνακα, οι

iv

διάφορες κανονικές µορφές πινάκων, τα εσωτερικά γινόµενα, οι διγραµµι-κές και οι τετραγωνικές µορφές. Η παρουσίαση της ύλης όλων των κεφαλαίων είναι αρκετά εκτεταµένη και δίνεται έµφαση στις εφαρµογές, χωρίς σε καµία περίπτωση να χάνεται η µαθηµατική αυστηρότητα. Έχει καταβληθεί προσπάθεια να φαίνονται οι πηγές των διαφόρων προβληµάτων της Γραµµικής Άλγεβρας καθώς και η ανάγκη της θεώρησης των διάφορων εργαλείων για την αντιµετώπισή τους. Έτσι, κάθε κεφάλαιο έχει εµπλουτιστεί µε εφαρµογές που απορρέουν από την αντίστοιχη θεωρία, ενώ το κεφάλαιο 16 ασχολείται µε τις εφαρµογές των τετραγωνικών µορφών στην ταξινόµηση των καµπύλων δευτέρου βαθ-µού του επιπέδου και των επιφανειών δευτέρου βαθµού. Εδώ πρέπει να τονίσουµε ότι, παρά την προσπάθεια µας να εµπλουτίσουµε τα κεφάλαια µε όσον το δυνατόν περισσότερες εφαρµογές, για αποφυγή υπερβολικής µεγέθυνσης του βιβλίου, δεν έχουµε συµπεριλάβει κάποιες εφαρµογές, όπως αυτές που αφορούν τη θεωρία παιγνίων, το γεωµετρικό γραµµικό προγραµµατισµό, την υπολογιστική τοµογραφία, την κρυπτογραφία, τα οικονοµικά µοντέλα του Leontief και τη θεωρία γραφηµάτων. Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχει µία σειρά από ασκήσεις που κα-λύπτουν όλο το φάσµα της θεωρίας και όπως πιστεύω θα βοηθήσουν τους σπουδαστές στην εµπέδωση της θεωρίας. Στο τέλος του βιβλίου υπάρχουν οι απαντήσεις των υπολογιστικών ασκήσεων καθώς και κάποιες υποδείξεις για τις πιο δύσκολες από τις υπόλοιπες, µε σκοπό να ενθαρρυθούν οι σπουδαστές στην προσπάθεια της τέχνης επίλυσης προβληµάτων, που εί-ναι η ουσία των µαθηµατικών. Τελειώνοντας, θέλω να ευχαριστήσω τις εκδόσεις ¨ΣΥΜΕΩΝ» για την επιµεληµένη έκδοση του παρόντος βιβλίου. Αθήνα, Σεπτέµβριος 2006 Ανάργυρος Γ. Φελλούρης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ∆ΟΜΩΝ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1.1 Σχέση-σχέση ισοδυναµίας 1 1.2 Η έννοια της αλγεβρικής δοµής 2 1.3 Οι βασικές αλγεβρικές δοµές 6 1.4 Πολυώνυµα 11 Ασκήσεις 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 : ΠΙΝΑΚΕΣ 2.1 Βασικοί ορισµοί 17 2.2 Οι πράξεις στο σύνολο 18 µ×νΜ2.3 Ειδικοί τύποι πινάκων 25 2.4 Αναγωγή πίνακα σε ανηγµένο κλιµακωτό 27 2.5 Εύρεση αντίστροφου πίνακα 30 2.6 Εισαγωγή στα γραµµικά συστήµατα 33 2.7 Η µέθοδος απαλοιφής του Gauss 34 2.8 H παραγοντοποίηση 38 LU −2.9 ∆ιαµερίσεις πινάκων 40 2.10 Πίνακες µε στοιχεία συναρτήσεις 42 Ασκήσεις 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 3.1 Εισαγωγή 47 3.2 Η συµµετρική οµάδα 48 nS3.3 Ο ορισµός της ορίζουσας 49 3.4 Ιδιότητες της συνάρτησης ορίζουσας 54 3.5 Ανάπτυγµα ορίζουσας κατά Laplace 57 3.6 Υπολογισµός του αντίστροφου πίνακα 58 3.7 Γραµµικά συστήµατα- Ο κανόνας του Cramer 60 3.8 Μέθοδοι υπολογισµού οριζουσών 63 Ασκήσεις 71 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 : ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 4.1 Ο διανυσµατικός χώρος 75 3∆4.2 Συντεταγµένες σηµείου και διανύσµατος 81 4.3 Το εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 87 4.4 Το εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 90 4.5 Τα τριπλά γινόµενα διανυσµάτων 92 Ασκήσεις 98

vi

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο 5.1 Η ευθεία στο επίπεδο-Κωνικές τοµές 101 5.2 Οι πολικές συντεταγµένες 107 5.3 Εξισώσεις καµπύλων σε πολικές συντεταγµένες 109 5.4 Σχεδίαση καµπύλης σε πολικές συντεταγµένες 114 5.5 Τοµές καµπύλων σε πολικές συντεταγµένες 121 5.6 Γεωµετρικοί τόποι σε πολικές συντεταγµένες 123 5.7 Ανώτερες αλγεβρικές καµπύλες 125 5.8 Παραµετρικές εξισώσεις καµπύλων του επιπέδου 127 Ασκήσεις 132 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 : ΕΥΘΕΙΑ- ΕΠΙΠΕ∆Ο 6.1 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο 135 6.2 Η ευθεία στο επίπεδο 137 6.3 Το επίπεδο 142 Ασκήσεις 153 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ 7.1 Εισαγωγή 157 7.2 Η σφαίρα 158 7.3 Κυλινδρικές επιφάνειες 160 7.4 Κωνικές επιφάνειες 165 7.5 Κωνοειδείς επιφάνειες 168 7.6 Επιφάνειες από περιστροφή 171 7.7 Γενικά περί επιφανειών 2ου βαθµού 175 7.8 Εφαπτοµένη και εφαπτόµενο επίπεδο επιφάνειας 2ου βαθµού 181 7.9 Σχεδίαση καµπύλων του χώρου 184 Ασκήσεις 187 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 : ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 8.1 ∆ιανυσµατικοί χώροι 191 8.2 Ο υπόχωρος διανυσµατικού χώρου 194 8.3 Γραµµική εξάρτηση διανυσµάτων 198 8.4 Βάση και διάσταση διανυσµατικού χώρου 202 8.5 Η κλιµακωτή µορφή διανυσµάτων 213 8.6 Ευθύ άθροισµα 217 8.7 Ο διανυσµατικός χώρος πηλίκο 221 Ασκήσεις 225 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 : ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 9.1 Γραµµικές απεικονίσεις 229

vii

9.2 Ο πυρήνας και η εικόνα γραµµικής απεικόνισης 232 9.3 Ο πίνακας γραµµικής απεικόνισης 237 9.4 Οι γεωµετρικοί µετασχηµατισµοί του επιπέδου και του χώρου 243 9.5 Η άλγεβρα πινάκων ( )nΜ Κ 255 9.6 Αλλαγή βάσης 257 9.7 Όµοιοι και ισοδύναµοι πίνακες 266 Ασκήσεις 271 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10: ΒΑΘΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΑ 10.1 Ο βαθµός γραµµικής απεικόνισης 275 10.2 Ο βαθµός πίνακα 279 10.3 Αναγωγή πίνακα στην κανονική του µορφή 282 10.4 Εφαρµογές στα γραµµικά συστήµατα 284

Ασκήσεις 292 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ 11.1 Ιδιοτιµές και ιδιοδιανύσµατα 297 11.2 ∆ιαγωνοποίηση πίνακα 309 11.3 Το θεώρηµα Cayley-Hamilton 313 11.4 Το ελάχιστο πολυώνυµο πίνακα 316 11.5 Εφαρµογές στα γραµµικά διαφορικά συστήµατα 322 11.6 Εφαρµογές στα διακριτά δυναµικά συστήµατα 328 11.7 Μαρκοβιανές αλυσίδες 332 Ασκήσεις 335 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ 12.1 Η τριγωνική µορφή 341 12.2 Το θεώρηµα της πρωταρχικής ανάλυσης 346 12.3 Μηδενοδύναµες γραµµικές απεικονίσεις και πίνακες 350 12.4 Η κανονική µορφή Jordan 357 12.5 Κυκλικοί υπόχωροι 370 12.6 Η ρητή κανονική µορφή 373 Ασκήσεις 380 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13: ΧΩΡΟΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 13.1 Ευκλείδειοι και ορθοµοναδιαίοι χώροι 385 13.2 ∆ιανυσµατικοί χώροι µε νόρµα 389 13.3 Ορθογωνιότητα 392 13.4 Βέλτιστη προσέγγιση-Ελάχιστα τετράγωνα 406 Ασκήσεις 413

viii

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 : ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 14.1 Ορθογώνιοι και ορθοµοναδιαίοι µετασχηµατισµοί 415 14.2 Ο συζυγής γραµµικού µετασχηµατισµού 420 14.3 Ορθοµοναδιαίοι και ορθογώνιοι πίνακες 425 14.4 Κανονικοί µετασχηµατισµοί και πίνακες 434 14.5 Κανονικές µορφές 437 Ασκήσεις 447 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15: ∆ΙΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ 15.1 Γραµµικές µορφές 451 15.2 ∆ιγραµµικές µορφές 454 15.3 Τετραγωνικές µορφές 460 15.4 Ταξινόµηση τετραγωνικών µορφών 461 15.5 Θετικά ορισµένες τετραγωνικές µορφές 468 15.6 Ερµιτιανές µορφές 472 15.7 Παραγοντοποίηση του Cholesky 474 15.8 Ανάλυση ιδιαζουσών τιµών 475 15.9 Κοινή αναγωγή τετραγωνικών µορφών 478 15.10Εναλλάσσουσες µορφές 486 Ασκήσεις 490 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ 16.1 Αλλαγή συστήµατος συντεταγµένων στο επίπεδο 495 16.2 Ταξινόµηση καµπύλων 2ου βαθµού 499 16.3 Αλλαγή συστήµατος συντεταγµένων στο χώρο 507 16.4 Ταξινόµηση επιφανειών 2ου βαθµού 514 Ασκήσεις 524 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 525 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 541 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ 543