Embed Size (px)
Citation preview
Toegepaste Wiskunde deel 1 – 6e druk
Uitwerkingen extra opgaven hoofdstuk 4 Limieten en differentiaalrekening
1.
2 1 2lim ( ) lim (via een tabel te bepalen)
3 1 3
x x
xf x
x
2 1 2lim ( ) lim (via een tabel te bepalen)
3 1 3
x x
xf x
x
Dit betekent dat de grafiek van f zowel naar links als naar rechts een horizontale
asymptoot heeft. De vergelijking van deze asymptoot is in beide gevallen 2
3x .
2.
a. 2
2 33
3 6lim
99
x
x
x
b. 2 23 3
3 6lim lim
02 6
x x
x
x
c. 23 3 3
3 3 1lim lim lim
3 3 39
x x x
x x
x x xx
Deze limiet bestaat niet, want 3
1lim
3
x x en
3
1lim
3
x x
d.
1
2 63 3 3
3 3 1 1lim lim lim
3 3 3 3 39
x x x
x x
x x xx
e. 2
23
9 18lim
9 0
x
x
x
f. 2
23
9 18lim
9 0
x
x
x
3.
a.
2
20 0 0
44 4 4lim lim lim 1
4 4 44
x x x
x xx x x
x x xx x
b.
2
20 0 0
44 4 4lim lim lim 1
4 4 44
x x x
x xx x x
x x xx x
c.
2
20 0 0
44 4 4lim lim lim 1
4 4 44
x x x
x xx x x
x x xx x
d.
2
24 4 4
44 4 8lim lim lim
4 44 0
x x x
x xx x x
x x xx x
e.
2
24 4 4
44 4 8lim lim lim
4 44 0
x x x
x xx x x
x x xx x
f. 2
24
4lim
4
x
x x
x xbestaat niet, want
2
24
4lim
4
x
x x
x x en
2
24
4lim
4
x
x x
x x
Toegepaste Wiskunde deel 1 – 6e druk
g.
2
22 2 2
22 2lim lim lim
2 2 24 0
x x x
x xx x x
x x xx
h.
2
22 22 2
22 2lim lim lim
2 2 24 0
x x x
x xx x x
x x xx
i.
2
22 2
2 4 4lim lim
02
x x
x x
x
j.
2
22 2
2 4 4lim lim
02
x x
x x
x
k.
2
2 22 2 2
22 2lim lim lim
2 02 2
x x x
x xx x x
xx x
l.
2
2 22 2 2
22 2lim lim lim
2 02 2
x x x
x xx x x
xx x
4.
a.
3
3 2 2 2
2 2
22 2
1 14 4
4 1 0lim lim lim
2 3 03 2 2 33
t t t
tt
t t t t
t t
tt t
b.
3
3 2 2 2
2 2
22 2
1 14 4
4 1 0lim lim lim
2 3 03 2 2 33
t t t
tt
t t t t
t t
tt t
c.
2
2 2 2 2
2 2
22 2
1 14 4
4 1 4 0 4lim lim lim
2 3 0 33 2 2 33
t t t
t
t t t t
t t
tt t
d.
2
2 2 2 2
2 2
22 2
1 14 4
4 1 4 0 4lim lim lim
2 3 0 33 2 2 33
t t t
t
t t t t
t t
tt t
e.
3
3 4 4 4
4 4
44 4
1 4 14
4 1 0 0 0lim lim lim 0
2 3 0 33 2 2 33
t t t
t
t tt t t
t t
tt t
f.
3
3 4 4 4
4 4
44 4
1 4 14
4 1 0 0 0lim lim lim 0
2 3 0 33 2 2 33
t t t
t
t tt t t
t t
tt t
Toegepaste Wiskunde deel 1 – 6e druk
g.
42
4 22 2 2
2 2
22 2 2
1 112 42 4
1 2 4lim lim lim
1 52 5 5 22
0 2 0 4lim
2 0 5 0 2
u u u
u
u uu
u u u u uu u u
u u u u
uu uu u u
h.
2
2 2 2
2 2
2 2 2
2
2
34
3 4lim lim
5 2 52
34
0 4 4lim 2
5 1 0 2 0 22
u u
u
u
u u u
u u u u u u
u u u
u
u u
5.
a. 0 0 0
sin( 3 ) sin(3 ) 3 sin(3 ) 3 3lim lim lim 1
5 5 5 3 5 5
x x x
x x x
x x x
b. 1 11
2 2210 02
tan tan 1 1lim lim 1
2 2 4 4
x x
x x
x x
c. 0
0lim 0
cos(2 ) 1
x
x
x
d.
20 0
0
0
sin(2 ) 3 1 sin(2 ) 2 3 1lim lim
tan(3 ) 3 2 1 tan(3 ) 3tan (3 )
3 sin(2 ) 3 1 2 1lim
tan(3 ) 2 tan(3 ) 3 1 3
3 sin(2 ) 3 2 2 2lim 1 1 1
tan(3 ) 2 tan(3 ) 9 9 9
x x
x
x
x x x x x x
x x x xx
x x x x
x x x x
x x x
x x x
e. 2
0 0
3 3 0lim lim 1 0
sin cos sin cos 1
x x
x x x
x x x x
f.
2
20 0
0
5 3 1 3 1 2 1lim lim5
sin(3 ) 3 sin(3 ) 3 tan 2 2sin(3 ) tan 2
3 3 2 1 1 1lim 5
sin(3 ) sin(3 ) tan 2 3 3 2
1 11 1 1 5
3 3
x x
x
x x x x
x x x xx x
x x x
x x x x
Toegepaste Wiskunde deel 1 – 6e druk
6.
a. tan(3 )
lim2x
x
x bestaat niet, want tan(3 )x gaat voor groter wordende waarden van
x afwisselend naar en .
b. Omdat 1 sin(3 ) 1 x geldt 2 2 2
1 sin(3 ) 1
x
x x x. Ook geldt:
2
1lim 0
x x
.
Vanwege de insluitstelling geldt dan: 2
sin(3 )lim 0
x
x
x
c. limsinx
x
x bestaat niet. Voor groter wordende waarden van x neemt
sin x afwisselend positieve en negatieve waarden aan, waardoor sin
x
xsteeds
sterker positieve en negatieve waarden aanneemt. Er treden ook steeds verticale asymptoten op.
d. 2
3lim
(sin )x
x
x bestaat niet. Voor steeds sterker negatieve waarden van x neemt
3(sin )x afwisselend positieve en negatieve waarden aan, waardoor 2
3(sin )
x
x
steeds sterker positieve en negatieve waarden aanneemt. Er treden ook steeds verticale asymptoten op.
e 2
limsin
x
x x bestaat niet. Voor groter wordende waarden van x neemt
sin x afwisselend positieve en negatieve waarden aan en 2 x wordt steeds sterker
positief, waardoor 2
sin
x
xsteeds sterker positieve en negatieve waarden aanneemt.
Er treden ook steeds verticale asymptoten op.
f Omdat 1 sin(3 ) 1 x geldt
2 2 2
sin 31 1
e e e
x x x
x.
Ook geldt: 2
2
1lim lim e 0
e
x
xx x.
Vanwege de insluitstelling geldt dan: 2
sin 3lim 0
e
xx
x
7.
a.. V.A.: 2t ; H.A.: 0y
b. V.A.: geen; H.A.: 3y
c. V.A.: 0x 1
2x ; H.A.: 0y
d. V.A.: 0x ,1
2x en
1
2x ; H.A.: 0y
e. V.A.: 0u ; H.A.: 2y
f. V.A.: 0u ; H.A.: 0y
Toegepaste Wiskunde deel 1 – 6e druk
8.
a. 2 5 6
( )5
x xf x
x; oneindige discontinuïteit voor 5 x .
b. 2 5 6
( )3
x xf x
x; ophefbare discontinuïteit voor 3 x ;.
c. 2
2( )
2
xf x
x x; ophefbare discontinuïteit voor 2 x en
oneindige discontinuïteit voor 1x .
d. 2 1
( )1
xf x
x; eindige sprong discontinuïteit voor 1x .
9.
a.
2 4voor 2
( ) 2 4
2 voor 2
xx
f x x
x
Deze functie is nergens discontinu b.
2
1
4
2
2 voor 1
1( ) voor 1 1
tan π
2 voor 1
x x
f x xx
x x
Eindige sprongdiscontinuïteit voor 1x (N.B. Voor 1 x is de functie wel continu)
10.
a.
sin(3 )voor 0
( ) 5
voor 0
xx
f x x
a x
Omdat 0 0
sin(3 ) 3lim ( ) lim
5 5
x x
xf x
xmoet voor a de waarde
3
5 gekozen worden.
b.
cos(3 )voor 0
( ) 5
voor 0
xx
f x x
a x
0 0
cos(3 )lim ( ) lim
5
x x
xf x
x bestaat niet, omdat
0 0
cos(3 ) 1lim ( ) lim
5 0
x x
xf x
x en
0 0
cos(3 ) 1lim ( ) lim
5 0
x x
xf x
x. Er is daarom geen enkele waarde van a
waarvoor de functie f continu is.
Toegepaste Wiskunde deel 1 – 6e druk
c.
3
voor 0( )
voor 0
x xx
f x x
a x
0lim ( )x
f x bestaat niet, omdat linker- en rechterlimiet ongelijk zijn aan elkaar:
2 23
0 0 0 0
1 1lim ( ) lim lim lim 1
1
x x x x
x x xx xf x
x x en
232
0 0 0 0
1lim ( ) lim lim lim 1 1
x x x x
x xx xf x x
x x.
Er is daarom geen enkele waarde van a waarvoor de functie f continu is.
11.
a. 2lim arccos(1 e ) arccos(1 0) 0
x
x
b. tan3
0
e 1lim
5 0
x
x x
c. 0 0
tan 3 tan 3 3 3 3lim lim 1
5 3 5 5 5
x x
x x
x x en dus
tan 3 3
5 5
0lim e e 1,822
x
x
x
12.
a. 0 0
tan 3 tan 3 3 3lim lim
2 3 2 2
t t
t t
t t en dus
0
tan 3 3limln ln 0,405
2 2t
t
t
b. Omdat 1 cos(3 ) 1 t en 0t (we nemen een limiet voor t ) geldt:
1 cos3 1
2 2 2
t
t t t. Ook geldt:
1lim 0
2
t t.
Vanwege de insluitstelling geldt dan: cos 3
lim 02
t
t
t. Ook geldt:
cos30
2
t
t
Daarom is cos3 cos3lim ln ln lim ln 0
2 2
t t
t t
t t
13.
a. 1 0Δ 0 0
0Δ 1 0 1 0
f fy
x.
b. 0,1 0 0,01 0,1 0Δ 0,09
0,9Δ 0,1 0 0,1 0 0,1
f fy
x
c. 3,9 4Δ 13,24 14 0,76
7,6Δ 3,9 4 3,9 4 0,1
f fy
x
.
d. 0,9 1Δ 0,139 0 0,139
1,39Δ 0,9 1 0,9 1 0,1
f fy
x
.
Toegepaste Wiskunde deel 1 – 6e druk
14.
a. 1 0Δ 1 3
2Δ 1 0 1 0
f fy
x.
b.
2 3Δ 7 92
Δ 2 3 2 3
f fy
x
c.
1 3 2 1 3 2Δ 3 2 2 3 22
Δ 1 1 1
f a f a a ay a a
x a a a a
d.
3 2 3 2Δ
Δ
3 2 2 3 2 22
f a a f a a a ay
x a a a a a a
a a a a
a a
.
15.
a.
2 2
22 2
2
2 3 2 3Δ
Δ
2 4 2 3 3 2 3
4 2 34 2 3 4 3 2
t t t t t tf t t f ty
t t t
t t t t t t t t
t
t t t tt t t t
t
b.
2 2
22 2 2
2
1 1Δ
Δ
1 2 2 1 2 1 2 1
2 22 2 2 2
u u uf u u f uz
u u u
u u u u u u u u
u
u u u uu u u u
u
16.
a
2 2
0 0
22
0 0
0
1 3 1 1 3 11 1(1) lim lim
1 2 3 3 2lim lim
lim 1 1
t t
t t
t
t tf t ff
t t
t t t t t
t t
t
b
Toegepaste Wiskunde deel 1 – 6e druk
2 2
0 0
22 2
0
2
0 0
3 3( ) lim lim
2 3 3 3lim
2 3lim lim 2 3 2 3
t t
t
t t
t t t t t tf t t f tf t
t t
t t t t t t t t
t
t t t tt t t
t
17.
a. 4 2 3 1 3( ) 2 3 4 ( ) 2 4 3 2 0 8 6 f x x x f x x x x x
b. 7 1
8 84 3 4 23 3
( ) 3 1 3 1f x x x x x x x x
3 1
7 8 1 7 4 34 24 3 2 4
4( ) 3 0 3
3f x x x x
x
c. 5 1 7
3 2 2 22
4 1( ) 5 4 5f x x x x x x
x x x
7 3 5
7 7 25 12 2 232 22 2
10 1( ) 4 0
2f x x x x x x
x x x x
d. 11 2
33 2π
1 1 1( ) ( ) 1 0
π
f x x f x xx x
18.
a. 2
4( ) 4 tan sin 2 ( ) cos 2
cos f x x x x f x x
x
b. 1
( ) tancos
g x xx
2 2 2 2 2
cos 0 1 sin1 1 sin 1 sin( )
cos cos cos cos cos
x x x xg x
x x x x x
c. 2 2
1 sin( ) sin tan ( ) cos tan sin sin
cos cos
tf t t t f t t t t t
t t
d. 2
2 2 1( ) sin ( ) cos cos
2 2
xh t x t x t h t x t x x t
t t
19.
a.
1
23 1
( ) 33 3
xf x x x
x
3
1 2
2
1 3 1( ) 3 3
33 2f x x
x x
b. 4
4 5
5
3 2 3 2( )
4 4 55
yg y y y
y
3 6 3
6
3 2 2( ) 4 5 3
4 5g y y y y
y
c. 3( ) 3 2 5 4 7h t t t t
Toegepaste Wiskunde deel 1 – 6e druk
2 3
2 3
( ) 9 2 4 7 3 2 5 7
9 2 4 7 7 3 2 5
h t t t t t
t t t t
d. 2
2
1( )
1
tk t
t
2 2 3 3
2 2 22 2 2
1 2 1 2 2 2 2 2 4( )
1 1 1
t t t t t t t t tk t
t t t
20.
a. 2
( )tan
th t
t
22 2 22
2 2 2 2
1tan 2
2 tan cos 2 sin coscos( )cos tan sintan
t t tt t t t t t t tth t
t t tt
b.
2
2
2
2
3
2 2
3 3
tan( )
cos
1cos 1 tan sin
cos( )
cos
1cos sin tan sin
cos
cos
cos 1 sin cos cos tan sin
cos
cos 1 sin cos sin 2 sin cos
cos cos
t tg t
t
t t t tt
g tt
t t t t tt
t
t t t t t t t
t
t t t t t t t t
t t
c.
1 51
2 2 23 3 62( ) 3 3 3f x x x x x x x x x
15 6
66
5( ) 3 2 2 3
6f x x x x
x
d. 2( ) sin tanh x x x x
2 2
2
22
2
1( ) 2 sin tan cos tan sin
cos
sin2 sin tan sin
cos
h x x x x x x x x xx
x xx x x x x
x
21.
Uit 1 2
3( ) 2 1 f x x x volgt: 2
3( ) 2 f x x .
a. Het bedoelde punt is 4
31, (1) 1,f .
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dit punt is 2 8
3 3(1) 2 f .
Toegepaste Wiskunde deel 1 – 6e druk
De vergelijking van de raaklijn is dan 8
3 y x b . Deze lijn gaat door het punt 4
31, .
Invullen van dit punt geeft: 4 8 4
3 3 31 b b .
De vergelijking van de gevraagde raaklijn is daarmee 8 4
3 3 y x .
b. Het bedoelde punt is 0, (0) 0, 1 f .
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dit punt is (0) 2 f .
De vergelijking van de raaklijn is dan 2 y x b . Deze lijn gaat door het punt 0, 1 .
Invullen van dit punt geeft: 1 2 0 1 b b . De vergelijking van de gevraagde raaklijn is daarmee 2 1 y x .
c. Een horizontale raaklijn heeft richtingscoëfficiënt 0, dus voor het bedoelde punt geldt:
( ) 0 f x en dus 2
32 0 3 x x
Het bedoelde punt is dus 3, ( 3) 3, 4 f
De vergelijking van de raaklijn is dan 0 y x b , dus y b . Deze lijn gaat door het
punt 3, 4 . Invullen van dit punt geeft: 4 4 b b .
De vergelijking van de gevraagde horizontale raaklijn is dus 4 y .
22.
a. 7 6
2 2( ) 2 3 5 ( ) 7 2 3 5 4 3 f x x x f x x x x
b. 2
4 2( ) 3 1f t t t
3 3
4 2 3 2 4 2( ) 2 3 1 4 6 4 2 3 3 1f t t t t t t t t t
c. 5
33 2( ) 2 4g t t t
43 4
3 2 2 2
43 4
3 2 2 2
( ) 5 2 4 3 2 3 4 2
5 2 4 3 12 4
g t t t t t t
t t t t t
d. 5 3
5 3( ) 3 1 3f x x x x
4 3 5 25 4 3 5 3 2
4 25 3 4 3 5 2
4 25 3 4 7 3 7 3
4 25 3 7 4 3
( ) 5 3 5 3 1 3 3 3 1 3 9
3 1 3 5 5 3 1 3 3 3 9
3 1 3 25 75 15 45 27 81
3 1 3 102 25 126 15
f x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
Toegepaste Wiskunde deel 1 – 6e druk
23.
a. 23 2 1
( )5 4
u uh u
u
2
2
2 2 2
2 2
5 4 6 2 3 2 1 5( )
5 4
30 10 24 8 15 10 5 15 24 13
5 4 5 4
u u u uh u
u
u u u u u u u
u u
b.
2
22
1( )
1
tk t
t
22 2 2
42
2 2 2 2 2
4 3 32 2 2
1 2 1 2 1 2( )
1
2 1 1 2 1 2 3 2 3
1 1 1
t t t t tk t
t
t t t t t t t t
t t t
of
2 22 2
22
1( ) 1 1
1
tk t t t
t
2 32 2 2
2 2 2
2 3 32 2 2
2 2 2 2
3 3 32 2 2
( ) 2 1 1 2 1 2
4 1 2 1 4 12
1 1 1
2 1 2 2 2 3 2 3
1 1 1
k t t t t t t
t t t t t tt
t t t
t t t t t t t
t t t
c.
52 36
( )5 3
tg t
t
6 2 32 3
2
6 2 2 3
2 3 2
4 42 2
6 62 2
5 3 2 0 6 36( ) 5
5 3 5 3
5 3 10 6 3 3 65
6 5 3
5 5 3 3 10 648 5 5 3 3 10 648
216 216
t t ttg t
t t
t t t t
t t
t t t t t t
t t
of 5 52 3
2 3
6 5 3( )
5 3 6
t tg t
t t
Toegepaste Wiskunde deel 1 – 6e druk
2 34
2 3 22 3
4 24 2 3 2
2 3 2 62 3 2
6 3 5 3 2 05 3( ) 5
6 6
5 5 3 3 10 6485 3 3 3 6 10 65
6 6 216
t t ttg t
t t
t t tt t t t
t t t
d.
32
4
1( )
5 3
xf x
x
2 34 32 2
8
23 2 2
8
2 22 2 2 2 2
5 5
5 3 3 1 2 1 4 5 3 3( )
5 3
3 2 5 3 1 5 3 1 2 1
5 3
6 1 5 3 2 2 6 1 5 2
5 3 5 3
x x x x xf x
x
x x x x x
x
x x x x x x x
x x
of
32
3 42
4
1( ) 1 5 3
5 3
xf x x x
x
2 34 52 2
2 3 2 32 2 2 2
4 5 5
2 22 2 2 2
5 5
22 2
5
( ) 3 1 2 5 3 1 4 5 3 3
6 1 12 1 6 1 5 3 12 1
5 3 5 3 5 3
6 1 5 3 2 1 6 1 5 2
5 3 5 3
6 1 5 2
5 3
f x x x x x x
x x x x x x x
x x x
x x x x x x x
x x
x x x
x
24.
a. 1
4 5
5 4
1( ) 2
2f x x
x
1 311 4 355 54 4
4( ) 2 4
5 2 2
xf x x x
x x
b.
1 111
2 22
1 3( ) 3 5 ( ) 3 5 3
3 5 2 3 5 3 5
f x x f x x
x x x
c. 1
4 2
4( ) 6 5
6 5
tg t t t
t
Toegepaste Wiskunde deel 1 – 6e druk
1 1 4114 4 32 22 4 4 4
4 4 4
4 4 4 4 4 4
1 12( ) 6 5 6 5 24
6 5 6 5 6 5
6 5 12 6 5
6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5
tg t t t t t
t t t
t t t
t t t t t t
d.
11 22( ) 2 3 2 3g t t t t t
11 12
12 22
32
1 4 32( ) 2 3 2 3
2 2 2 3 4 2 3
ttg t t t t
t t t t t
25.
a.
44
3 3
tantan( )
cos cos
xxf x
x x
3 3 4 2
2
6
3 4 2
6
3 4
5
3 4
3 4 3 4
5 5
3 5
3 3
1cos 4 tan tan 3 cos sin
cos( )
cos
4 cos tan 3 tan cos sin
cos
4 tan 3 tan cos sin
cos
sin sin4 3 cos sin
4 tan 3tan cos sin cos cos
cos cos
sin sin4 3
cos cos
c
x x x x xx
f xx
x x x x x
x
x x x x
x
x xx x
x x x x x x
x x
x x
x x
3 5
5 8
4sin 3sin
os cos
x x
x x
b.
12 2 2
3 3
sin sin( )
cos cos
x xf x
x x
1
3 2 22 2
3 6
13 2 32
2 4
3 2 3
2 4
cos 2sin cos sin 3cos sin1 sin( )
2 cos cos
cos 2cos sin 3sin
sin 2cos
cos 2cos sin 3sin
sin 2cos
x x x x x xxf x
x x
x x x x
x x
x x x x
x x
c. 3 3( ) sin 2 cos 2f t t t
Toegepaste Wiskunde deel 1 – 6e druk
2 2( ) 3sin 2 cos 2 2 3cos 2 sin 2 2
6sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 3sin 4 sin 2 cos 2
f t t t t t
t t t t t t t
d.
14 41
( ) tan 2 tan 2 cos 2cos 2
f t t t tt
23
2
3 3
2 2 2
1( ) 4 tan 2 2 1 cos 2 sin 2 2
cos 2
8 tan 2 2sin 2 8 tan 2 2sin 2
cos 2 cos 2 cos 2
f t t t tt
t t t t
t t t
26.
a. 3 3 32 2( ) e ( ) e 3 3 ex x xf x f x x x
b. sin 2( ) e
xf x x
sin 2 sin 2 sin 2( ) 1 e e cos 2 2 1 2 cos 2 e
x x xf x x x x x
c.
sin 2e
( )tan 3
x x
f xx
sin 2 sin 2
2
2
sin 2 sin 22
2 2
sin 2
2
sin 2
2
1tan 3 e 1 cos 2 2 e 3
cos 3( )
tan 3
cos 3 tan 3 e 1 cos 2 2 3e
cos 3 tan 3
cos 3 sin 3 1 2cos 2 3 e
sin 3
cos 3 sin 3 2cos 2 cos 3 sin 3 3 e
sin 3
x x x x
x x x x
x x
x x
x xx
f xx
x x x
x x
x x x
x
x x x x x
x
d. 13
3sin 2 π
( ) ex x
f x
13
3
13
3
sin 2 π 1 12 3
3 3
sin 2 π1 12
3 3
( ) e 3 sin 2 π cos 2 π 2
3sin 2 π 2 cos 2 π e
x x
x x
f x x x x x
x x x x
27.
a. 3( ) lng t t 2
3
1 3( ) 3g t t
tt
of
3( ) ln 3lng t t t 1 3
( ) 3g tt t
b. 3( ) lng t t
22 21 3ln 3
( ) 3 ln lnt
g t t tt t t
c. ( ) ln ln lng t t
1 1 1 1( )
ln ln ln ln ln lng t
t t t t t t
Toegepaste Wiskunde deel 1 – 6e druk
d. ( ) ln sin 3g t t
1 1( ) cos 3 3
sin 32 ln sin 3
3cos 3 3
2sin 3 ln sin 3 2 tan 3 ln sin 3
g t ttt
t
t t t t
28.
a. 32 3( ) 7 t tf t
3 32 3 2 3( ) 7 ln7 6 3 3ln7 2 1 7t t t tf t t t
b. 3 log 4 5( ) 2
tf t
3 3log 4 5 log 4 54 ln 21
( ) 2 ln 2 4 24 5 ln 3 ln 3 4 5
t tf t
t t
c. ( ) ln e xg x x e 11 1 1
( ) 1 e e 1e e
xx x
x x
x xg x x
x xx x
of
( ) ln e ln ln e lnx xg x x x x x 1
( ) 1g xx
d. 3
6
ln 2( )
th t
t
6 2 3 5
5 3 5 33
2 12 76
16 ln 2 6
3 ln 2 6 3 6ln 22t( )
t t t tt t t t
h tt tt
of
3 3
6 6 6
ln 2 ln 2 ln ln 2 3ln( )
t t th t
t t t
6 55 5
12 12
7 7
30 ln 2 3ln 6
3 ln 2 3ln 6( )
3 ln 2 3ln 6 3 6ln 2 18ln
t t tt t tt
h tt t
t t
t t
29.
a. ( ) arccos 3 arcsin 3 g t t t
2 2 2 2 2
1 1 3 3 6( ) 3 3
1 9 1 9 1 91 3 1 3
g tt t tt t
b. 3( ) arccosf x x
22
2 63
1 3( ) 3
11
xf x x
xx
c. 2( ) arccos 1k t t t
Toegepaste Wiskunde deel 1 – 6e druk
2
2 22
22
2 2
22
2 2
22 2
2 2
1 1( ) 1 arccos 1 0 2
2 11 1
arccos 1
1 1 1
arccos 11
arccos 1 arccos 11 1
k t t t tt
t
tt
t t
tt
t t
ttt t
t t t
30.
a. 25( ) 2arctan 5ln 25 u
g u u
2 2 25
2 2 2
1 5 1( ) 2 5 2
251
10 10 10 10
25 25 25
u
g u uu u
u u
u u u
b. 2
( ) arctan 3 f t t t
2
2
2 2
2 2
1( ) 2 arctan 3 1 3
1 3
32 arctan 3 1
1 9
9 4 18 82 arctan 3 arctan 3
1 9 1 9
f t t tt
t tt
t tt t t t
t t
c. 2 1
( )arctan
xg x
x
2
2
2 2
1arctan 2 0 1
2 arctan 11( )arctan arctan
x x xx xxg x
x x
31.
a. 1 8 3
45 2 y x x x
1 18 3 8 3
4 4
7 2 7 2
d d 5 2 d d 5 d 2
2 d 15 d 2d 2 15 2 d
y x x x x x x
x x x x x x x x
7 2
1d d
2 15 2x y
x x
b. 4 2 2 4 3 34 x y x y x y
Toegepaste Wiskunde deel 1 – 6e druk
4 2 2 4 3 3
4 2 2 4 3 3
4 2 4 2 2 4 2 4 3 3 3 3
3 2 4 4 2 3 2 3 3 2
3 2 4 2 3 3 2 4 2 3
2 2 2 2 2
d d 4
d d d 4
d d d d d 4 4 d
4 d 2 d 2 d 4 d 12 d 12 d
4 d 2 d 12 d 12 d 2 d 4 d
2 2 6 d 2 6 2
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y x y x y x y
x y x x y y xy x x y y x y x x y y
x y x xy x x y x x y y x y y x y y
xy x y xy x x y xy x
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
d
2 6 2 6 2d dy d dy
2 2 6 2 6
y y
x y xy x y x x xy yx x
xy x y xy y x xy y
c. 2 2sin z t z t
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
d d sin
d d cos d
2 d d cos 2 d d
2 d 2 cos d cos d d
2 2 cos d cos d
z t z t
z t z t z t z t
z z t z t z t z z t
zt z z z t z z t t z t
zt z z t z z t z t
2 2
2
cosd d
2 2 cos
z t zz t
zt z z t
d. 3 5 25 log 3 log x y y x x x
5
3 3 5 5 2
352 3 2 5 22
33 552 222
d 5 log 5 d log d 3 log 3 d log d
1 115 d log 5 d 15 d log 3 d d
ln10 ln10
5 315 log d 15 log d
ln10 ln10
linker- en rechte
x y x y y x y x x
x x y x y y y x y x x xy x
x yy x y x x y x
y x
4 3 3 6
4 3
3 6
rlid met 2 ln10 vermeningvuldigen
10 30ln10 log d 5ln10 30ln10 log 6 d
10 30 ln10 logd d
5 ln10 30 ln10 log 6
xy
x xy x y xyx x x y y y x
x xy xy x
y x x x y y y
32.
a. 3 2 33 5 x x y y
3 2 3
2 2 2
2 2
d 3 d 5
3 d 6 d 3 d 3 d 0
3 d 3 2 d
x x y y
x x x x y x y y y
x y y x x y x
Toegepaste Wiskunde deel 1 – 6e druk
2 22 2
3 2 2d
d 3
x x y x x yy
x x yx y
b. 2
21
x y
y x
2
2
2 2 2 2
2 4
2 2
2 4
4 2 2 2
4 2
5 6 2 2 3
6 2 2 5 3
2 4 2 4 2
d d d 1
d d d d0
2 d d d 2 d0
2 d d d 2 d0
2 d d d 2 d 0
d d 2 d 2 d
d 2 d
x y
y x
y x x y x y y x
y x
xy x x y x y xy x
y x
x xy x x y y x y xy x
x y
x y x x y x y y xy x
x y x y y x y x xy x
x x y y xy x y x
4 2
2 4 2
2d2
d
xy x yy y
x xx x y
33.
a. 2 2 6 10x y xy
2 2d d 6 10
2 d 2 d 6d 6 d 0
2 d 6 d 2 d 6 d
d 3 d d 3 d
3 d 3 d
x y xy
x x y y x y x y
y y x y x x y x
y y x y x x y x
y x y x y x
d 3
d 3
y x y
x x y
b. We controleren of P 3,19 op de kromme K ligt.
We vullen 3x en 19y in de kromme 2 2K : 6 10x y xy in:
Geldt 2 23 19 6 3 19 10 ?
Oftewel geldt 9 361 342 10 ? Ja, dit klopt, want 352 352 .
De richtingscoëfficiënt a van de raaklijn m in het punt P 3,19 aan de kromme K
is: , 3,19 , 3,19
d 3 3 3 19 606
d 3 3 3 19 10x y x y
y x ya
x x y
.
De vergelijking van de raaklijn m is dus: 6y x b .
Deze lijn gaat door P 3,19 .
Toegepaste Wiskunde deel 1 – 6e druk
Dus geldt: 19 6 3 19 18 1b b b .
De vergelijking van de gevraagde raaklijn m is dus: 6 1y x
c. Een raaklijn loopt horizontaal als de richtingscoëfficiënt gelijk is aan 0.
Dus moet gelden: d 3
0 0 3 0 3d 3
y x yx y x y
x x y
Het punt moet op de kromme K liggen; we vullen 3x y in de vergelijking van K
in:
2 2 2 2 2
2 2
3 6 3 10 9 18 10
10 10 1 1 1
y y y y y y y
y y y y
Samen met 3x y geeft dit de punten: 3,1 en 3, 1
d. Een verticale lijn loop ‘oneindig’ steil, de richtingscoëfficiënt is dus ‘oneindig’ (of ‘-oneindig’ ).
Dan moet gelden: d
d
y
x , oftewel
d0
d
x
y . Dit geeft:
d 3
0 0 3 0 3d 3
x x yx y y x
y x y
Het punt moet op de K liggen; we vullen 3y x in de vergelijking van K in:
22 2 2
2 2 2 2 2
6 10 3 6 3 10
9 18 10 10 10 1
x y xy x x x x
x x x x x
Deze vergelijking heeft dus geen oplossingen. Er zijn dusgeen punten waarin de raaklijn verticaal loopt.
34.
a.
33
0 l' Hôpital 0
3
0
34
50
d2 2
2 2 1 1 dlim limdsin(5 ) 0
sin(5 )d
2 ln 2 3 2 ln 2 1lim
cos 5 5
3ln2 2 ln 2 2 3ln2 ln 2 4ln2lim ln 2
5cos 5 5 5
u uu u
u u
u u
u
u u
u
u
uu
u
u
u
b.
20 l'Hôpital 0 02
0 l'Hôpital 0
0
dcos 2 1cos 2 1 2sin 21 1 0 dlim lim limd0 0 2
d
dsin 2sin 2 0 dlim lim
d0
d
2cos 2lim 2
1
x x x
x x
x
xx xx
xx xx
xx x
xx
x
x
Toegepaste Wiskunde deel 1 – 6e druk
c.
22
2 3
3 l'Hôpital 3
3 l'Hôpital 3
3
d
dlim e 0 lim limde ed
d2
2 dlim limd3e 3ed
2 2lim 0
9e
t
tt t t t
tt t t
tt
tt tt
t
tt t
t
35.
a.
66 5
2 l'Hôpital 2 2
d64
64 64 64 0 6dlim lim lim 192d2 2 2 0 1
2d
x x x
xx xx
xx
x
b.
4
4 5 5 5
3 5 3 5
5 5
4 5
2
53 4
3 4 5lim lim
3 23 2
1 1 53 4
0 0 0lim 0
1 0 23 2
v v
v
v v
v v v v v
v v v v
v v
v v v
v
Berekening kan ook met het meerder keren toepassen van de regel van l´Hôpital.
c.
2
2 2 2 2
2 2
22 2
2 2
2 0lim lim lim
1 0 31 3 1 3 3t t t
t tt
t t t t t
t t
tt t
Berekening kan ook met het meerder keren toepassen van de regel van l´Hôpital. 36.
a. 2
2
7 3 4 9 2 3 15 2lim
2 2 2 0x
x x ax a a
x
Deze limiet kan alleen als reëel getal bestaan als naast de noemer ook de teller gelijk is aan 0.
Dat betekent dat 15 2 0a , dus: 1
2
157
2a
Toegepaste Wiskunde deel 1 – 6e druk
b.
152215 2
22 2
152
2
l'Hôpital 2
2
2
2
2
1
6
7 37 3lim vul in: lim
2 2
d7 3
0 dlimd0
2d
1 152 7
22 7lim
1
1 15lim 2 7
22 7
1 15 2 15 314 9 4 12 5
2 3 2 62 9
x x
x
x
x
x x xx x axa
x x
x x xx
xx
x x xx
x x xx
