Tom tat cong thuc xstk

LT XSTK - 1 - Tóm tắt công thức

ĐHNH TPHCM - 1 - Nguyễn Ngọc Phụng

Tóm tắt công thức LT Xác Suất - Thống Kê I. Phần Xác Suất

1. Xác suất cổ điển Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). A1, A2,…, An xung khắc từng đôi P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). Ta có

o A, B xung khắc P(A+B)=P(A)+P(B). o A, B, C xung khắc từng đôi P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C). o ( ) 1 ( )P A P A .

Công thức xác suất có điều kiện: ( )( / )( )

P ABP A BP B

, ( )( / )( )

P ABP B AP A

.

Công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B). A1, A2,…, An độc lập với nhau P(A1.A2.….An)=P(A1).P(A2).….P( An). Ta có

o A, B độc lập P(AB)=P(A).P(B). o A, B, C độc lập với nhau P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C).

Công thức Bernoulli: ( ; ; ) k k n knB k n p C p q , với p=P(A): xác suất để biến cố A

xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p. Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes

o Hệ biến cố gồm n phần tử A1, A2,…, An được gọi là một phép phân

hoạch của 1 2

. ; , 1,

...i j

n

A A i j i j n

A A A

o Công thức xác suất đầy đủ:

1 1 2 21

( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( / )n

i i n ni

P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A

o Công thức Bayes: ( ). ( / )( / )

( )i i

iP A P B AP A B

P B

với 1 1 2 2( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( / )n nP B P A P B A P A P B A P A P B A 2. Biến ngẫu nhiên

a. Biến ngẫu nhiên rời rạc Luật phân phối xác suất

với ( ), 1, .i ip P X x i n Ta có:

11

n

ii

p

và f(

{a f(X) b}=i

ia x b

P p

X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn



Hàm phân phối xác suất ( ) ( )

i

X ix x

F x P X x p

Mode

0 0ModX max{ : 1, }ix p p i n Median

0,5( ) 0,5

MedX( ) 0,5 0,5

i e

i e

ix xe

ee i

x x

pP X x

xP X x p

Kỳ vọng

1 1 2 21

( . ) . . ... .n

i i n ni

EX x p x p x p x p

1 1 2 21

( ( )) ( ( ). ) ( ). ( ). ... ( ).n

i i n ni

E X x p x p x p x p

Phương sai 2 2( ) ( )VarX E X EX

với 2 2 2 2 21 1 2 2

1( ) ( . ) . . ... .

n

i i n ni

E X x p x p x p x p

b. Biến ngẫu nhiên liên tục.

f(x) là hàm mật độ xác suất của X ( ) 1

f x dx ,

{a X b} ( ).b

a

P f x dx

Hàm phân phối xác suất

( ) ( ) ( )x

XF x P X x f t dt

Mode 0ModX x Hàm mật độ xác suất f(x) của X đạt cực đại tại x0.

Median 1 1( ) ( )2 2

ex

e X eMedX x F x f x dx

.

Kỳ vọng

EX . ( )x f x dx

.

( ( )) ( ). ( )E X x f x dx



Phương sai

2 2( ) ( )VarX E X EX với 2 2EX . ( )x f x dx

.

c. Tính chất ( ) , ( ) 0E C C Var C , C là một hằng số. 2( ) , ( )E kX kEX Var kX k VarX ( )E aX bY aEX bEY Nếu X, Y độc lập thì 2 2( ) . , ( )E XY EX EY Var aX bY a VarX b VarY ( )X VarX : Độ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX.

3. Luật phân phối xác suất a. Phân phối Chuẩn 2( ~ ( ; ))X N

( )X , EX=ModX=MedX= , 2VarX

Hàm mđxs

2

2( )

21( , , )2

x

f x e

Với 0, 1:

2

21( )2

x

f x e

(Hàm Gauss)

(a X b) ( ) ( )b aP

với

2

2

0

1( )2

txx e dt

(Hàm Laplace)

Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc

Tác vụ Máy 570MS Máy 570ES Máy 570 ES Plus Khởi động gói Thống kê Mode Mode

SD Mode STAT 1-Var

AC Mode STAT 1-Var

AC Tính

2

2

0

1( )2

xzz e dx

2

21( )2

xz

F z e dx

Shift 3 2 z ) =

Shift 3 1 z ) =

Shift 1 7 2 z ) =

Shift 1 7 1 z ) =

Shift 1 5 2 z ) =

Shift 1 5 1 z ) =

Thoát khỏi gói Thống kê

Mode 1 Mode 1 Mode 1

Lưu ý: ( ) 0,5 ( ) F z z

b. Phân phối Poisson ( ~ ( ))X P ( )X , EX . odX=k -1 kVarX M



(X=k)=e ,!

kP k

k

c. Phân phối Nhị thức ( ~ ( ; ))X B n p ( ) {0..n}X , EX=np, VarX=npq, ModX=k ( 1) 1 ( 1)n p k n p

(X=k)=C . . , q p 0 ,k k n knP p q k n k

Nếu ( 30; 0,1 0,9; 5, 5) n p np nq thì 2~ ( ; ) ( ; ) X B n p N với . ,n p npq

1(X=k) ( ), 0 ,kP f k n k

(a X<b) ( ) ( )b aP

Nếu ( 30, 5) n p np thì ~ ( ; ) ( ) X B n p P với np

(X=k) e ,!

kP k

k

Nếu ( 30, 0,9, 5) n p nq

(X=k) e ,( )!

n kP k

n k

với nq

d. Phân phối Siêu bội ( ~ ( ; ; ))AX H N N n

( ) {max{0; ( )}..min{n;N }}A AX n N N

EX=np, VarX=npq1

N nN

với ANpN

, q=1-p.

( 1)( 1) 2 ( 1)( 1) 212 2

A AN n N nModX k kN N

.

(X=k)= , ( )A Ak n kN N N

nN

C CP k X

C

Nếu 20Nn thì ~ ( ; ; ) ( ; )AX H N N n B n p với ANp

N .

(X=k) C . . , ( ), 1k k n knP p q k X q p .



XY

Sơ đồ tóm tắt các dạng phân phối xác suất thông dụng:

n30, p0,1 np<5 =np

N>20n

p= ANN

, q=1-p

n30, 0,1<p<0,9

np 5 , nq 5

1( ) ( )kP X k f

( ) ( ) ( )b aP a X b

với ,np npq

Siêu bội: X~H(N;NA;n)

.( ) A A

k n kN N N

nN

C CP X k

C

Poisson: X~ ( )P

( )!

k

P X k ek

Nhị thức: X~B(n;p)

( ) . .k k n knP X k C p q

Chuẩn: X~ 2( ; )N 2

2( )

21( ; ; ) .2

x

f x e

Chuẩn chuẩn tắc: Y~ N(0;1) 2

21( ) .2

y

f y e



II. Phần Thống Kê. 1. Lý thuyết mẫu.

a. Các công thức cơ bản. Các giá trị đặc trưng Mẫu ngẫu nhiên Mẫu cụ thể

Giá trị trung bình 1 ... nX XXn

1 ... nx xx

n

Phương sai không hiệu chỉnh

2 22 1( ) ... ( )ˆ n

XX X X XS

n

2 22 1( ) ... ( )ˆ n

xx x x xs

n

Phương sai hiệu chỉnh 2 22 1( ) ... ( )

1

nX

X X X XSn

2 2

2 1( ) ... ( )1

n

xx x x xs

n

b. Để dễ xử lý ta viết số liệu của mẫu cụ thể dưới dạng tần số như sau: Khi đó

Các giá trị đặc trưng Mẫu cụ thể

Giá trị trung bình 1 1 ... k kx n x nxn

Phương sai không hiệu chỉnh

2 22 1 1( ) ... ( )ˆ k k

xx x n x x ns

n

Phương sai hiệu chỉnh 2 2

2 1 1( ) ... ( )1

k k

xx x n x x ns

n

c. Phân tổ thống kê - Việc phân tổ thống kê chủ yếu dựa vào phân tích và kinh nghiệm. Tuy nhiên thông nếu kích thước mẫu khảo sát là n thì ta có thể phân làm k tổ với

3 2 1k n

, với x là phần nguyên của x.

- Trường hợp phân tổ đều ta được khoảng cách mỗi tổ là max minx xh

k

.

d. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính các giá trị đặc trưng mẫu - Nếu số liệu thống kê thu thập theo miền [ ; )a b hay ( ; ]a b thì ta sử dụng giá

trị đại diện cho miền đó là 2

a b để tính toán.

ix 1x 2x … kx

in 1n 2n … kn



Tác vụ 570MS 570ES

Bật chế độ nhập tần số Không cần Shift Mode 4 1 Khởi động gói Thống kê Mode Mode SD Mode STAT 1-Var

Nhập số liệu

1x Shift , 1n M+

kx Shift , kn M+

Nếu 1in thì chỉ cần nhấn ix M+

X FREQ 1x = kx =

1n = kn =

Xóa màn hình hiển thị AC AC

Xác định: Kích thước mẫu (n) Giá trị trung bình

( x ) Độ lệch chuẩn không

hiệu chỉnh ( ˆxs ) Độ lệch chuẩn hiệu

chỉnh ( xs )

Shift 1 3 =

Shift 2 1 =

Shift 2 2 =

Shift 2 3 =

Shift 1 5 1 =

Shift 1 5 2 =

Shift 1 5 3 =

Shift 1 5 4 =

Thoát khỏi gói Thống kê Mode 1 Mode 1 2. Khoảng tin cậy.

a) Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình của tổng thể. Trường hợp 1. ( đã biết)

Khoảng tin cậy đối xứng.

2 2 2

1( ) . ; )2

z z z x xn

Khoảng tin cậy bên trái.

( ) 0,5 . ; )z z z xn

Khoảng tin cậy bên phải.

( ) 0,5 . )z z z xn

Trường hợp 2. ( chưa biết, 30n ) Khoảng tin cậy đối xứng.

2 2 2

1( ) . ; )2

sz z z x xn




( ) 0,5 . ; )sz z z xn


( ) 0,5 . )sz z z xn

Trường hợp 3. ( chưa biết, n<30) Khoảng tin cậy đối xứng.

( 1; ) ( 1; )2 2

1 . ; )2 n n

st t x xn


( 1; ) ( 1; )1 . ; )n nst t xn


( 1; ) ( 1; )1 . ; )n nst t xn

b) Khoảng tin cậy cho tỉ lệ của tổng thể. Khoảng tin cậy đối xứng.

2 2 2

(1 )1( ) . ; )2

f fz z z f f

n

Khoảng tin cậy bên trái. (1 )

( ) 0,5 . ; )f f

z z z fn

Khoảng tin cậy bên phải. (1 )

( ) 0,5 . )f f

z z z fn

c) Khoảng tin cậy cho phương sai của tổng thể. Trường hợp 1. ( chưa biết)

- Nếu đề bài chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải xác định s2 (bằng máy tính bỏ túi). Khoảng tin cậy 2 phía.

2 21 ( 1;1 )

2

n

, 2 22 ( 1; )

2

n

2 2

2 22 1

( 1) ( 1)( ; )

n s n s

Khoảng tin cậy bên trái. 2

2 21 ( 1;1 ) 2

1

( 1)(0; )

nn s



Khoảng tin cậy bên phải. 2

2 22 ( 1; ) 2

2

( 1)( ; )

nn s

Trường hợp 2. ( đã biết)

- Tính 2 2

1( 1) .( )

k

i ii

n s n x

Khoảng tin cậy 2 phía. 2 22 ( ; )

2

n, 2 2

1 ( ;1 )2

n

2 2

2 22 1

( 1) ( 1)( ; )

n s n s

Khoảng tin cậy bên trái. 2

2 21 ( ;1 ) 2

1

( 1)(0; )

nn s

Khoảng tin cậy bên phải. 2

2 22 ( ; ) 2

2

( 1)( ; )

nn s

3. Kiểm định giả thuyết thống kê.

a) Kiểm định giả thuyết thống kê về giá trị trung bình của tổng thể. Trường hợp 1. ( đã biết)

1: , :o o oH H

2 2

1( ) , .2

oxz z z n

- Nếu 2

z z : Bác bỏ Ho.

- Nếu 2

z z : Chấp nhận Ho.

1: , :o o oH H

( ) 0,5 , .oxz z z n

- Nếu z z : Bác bỏ Ho. - Nếu z z : Chấp nhận Ho.

1: , :o o oH H

( ) 0,5 , .oxz z z n




Trường hợp 2. ( chưa biết, 30n ) 1: , :o o oH H

2 2

1( ) , .2

oxz z z ns

- Nếu 2

z z : Bác bỏ Ho.

- Nếu 2


1: , :o o oH H

( ) 0,5 , .oxz z z ns


1: , :o o oH H

( ) 0,5 , .oxz z z ns


Trường hợp 3. ( chưa biết, n<30) 1: , :o o oH H

( 1; )2

, .2

on

xt t ns

- Nếu ( 1; )

2n

t t

: Bác bỏ Ho.

- Nếu ( 1; )

2n

t t

: Chấp nhận Ho.

1: , :o o oH H

( 1; ) , .on

xt t ns

- Nếu ( 1; )nt t : Bác bỏ Ho. - Nếu ( 1; )nt t : Chấp nhận Ho.

1: , :o o oH H

( 1; ) , .on

xt t ns

- Nếu ( 1; )nt t : Bác bỏ Ho. - Nếu ( 1; )nt t : Chấp nhận Ho.

b) Kiểm định giả thuyết thống kê về tỉ lệ của tổng thể.



1: , :o o oH p p H p p

2 2

1( ) , , .2 (1 )

o

o o

f pkz z f z nn p p

- Nếu 2

z z : Bác bỏ Ho.

- Nếu 2



( ) 0,5 , , .(1 )

o

o o

f pkz z f z nn p p



( ) 0,5 , , .(1 )

o

o o

f pkz z f z nn p p


c) Kiểm định giả thuyết thống kê về phương sai của tổng thể. Trường hợp 1. ( chưa biết) - Nếu đề chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải sử dụng máy tính để xác định s.

2 2 2 21: , :o o oH H

2 21 ( 1;1 )

2

n

, 2 22 ( 1; )

2

n

, 2

22

( 1)

o

n s

- Nếu 2 2

22 2

1

: Bác bỏ H0.

- Nếu 2 2 21 2 : Chấp nhận Ho.

2 2 2 21: , :o o oH H

2 21 ( 1;1 ) n ,

22

2( 1)

o

n s

- Nếu 2 21 : Bác bỏ H0.

- Nếu 2 21 : Chấp nhận Ho.

2 2 2 21: , :o o oH H

2 22 ( 1; )n ,

22

2( 1)

o

n s



- Nếu 2 22 : Bác bỏ H0.

- Nếu 2 22 : Chấp nhận Ho.

4. Kiểm định giả thuyết thống kê: So sánh tham số của 2 tổng thể. a) Kiểm định giả thuyết thống kê: So sánh giá trị trung bình của 2 tổng thể. Trường hợp 1. ( 1 2, đã biết)

1 2 1 1 2: , :oH H

1 22 2

2 2 1 2

1 2

1( ) ,2

x xz z z

n n

- Nếu 2

z z : Bác bỏ Ho.

- Nếu 2


1 2 1 1 2: , :oH H

1 22 21 2

1 2

( ) 0,5 , x xz z z

n n


1 2 1 1 2: , :oH H

1 22 21 2

1 2

( ) 0,5 , x xz z z

n n


Trường hợp 2. ( 1 2, chưa biết, 1 2 30n n ) 1 2 1 1 2: , :oH H

1 22 2

2 2 1 2

1 2

1( ) ,2

x xz z zs sn n

- Nếu 2

z z : Bác bỏ Ho.

- Nếu 2




1 2 1 1 2: , :oH H

1 22 21 2

1 2

( ) 0,5 , x xz z zs sn n


1 2 1 1 2: , :oH H

1 22 21 2

1 2

( ) 0,5 , x xz z zs sn n


Trường hợp 3. ( 1 2 chưa biết, 1 2, 30n n ) 1 2 1 1 2: , :oH H

1 2

1 2( 2; ) 22

1 2

,2 1 1( )

n n

x xt ts

n n

, với

2 22 1 1 2 2

1 2

( 1). ( 1).2

n s n ssn n

- Nếu 1 2( 2; )

2n n

t t

: Bác bỏ Ho.

- Nếu 1 2( 2; )

2n n

t t

: Chấp nhận Ho.

1 2 1 1 2: , :oH H

1 21 2

( 2; )2

1 2

,1 1( )

n nx xt t

sn n

, với 2 2

2 1 1 2 2

1 2

( 1). ( 1).2

n s n ssn n

- Nếu 1 2( 2; )

2n n

t t

: Bác bỏ Ho.

- Nếu 1 2( 2; )

2n n

t t

: Chấp nhận Ho.

1 2 1 1 2: , :oH H

1 21 2

( 2; )2

1 2

,1 1( )

n nx xt t

sn n

, với 2 2

2 1 1 2 2

1 2

( 1). ( 1).2

n s n ssn n

- Nếu 1 2( 2; )

2n n

t t

: Bác bỏ Ho.

- Nếu 1 2( 2; )

2n n

t t

: Chấp nhận Ho.



b) Kiểm định giả thuyết thống kê: So sánh tỉ lệ của 2 tổng thể. 1 2 1 2

1 21 2 1 2

, ,k k k kf f fn n n n

1 2 1 1 2: , :oH p p H p p

1 2

2 21 2

1( ) ,2 1 1(1 ).( )

f fz z zf f

n n

- Nếu 2

z z : Bác bỏ Ho.

- Nếu 2


1 2 1 1 2: , :oH p p H p p

1 2

1 2

( ) 0,5 ,1 1(1 ).( )

f fz z zf f

n n


1 2 1 1 2: , :oH p p H p p

1 2

1 2

( ) 0,5 ,1 1(1 ).( )

f fz z zf f

n n


c. Kiểm định giả thuyết thống kê: So sánh phương sai của 2 tổng thể. - 1 2, chưa biết nên tính s1 và s2 từ mẫu (sử dụng máy tính) nếu đề bài chưa cho.

2 2 2 21 2 1 1 2: , :oH H

- 21

1 1 2 2 1 222

, ( 1; 1;1 ) , ( 1; 1; )2 2

sf f f n n f f n ns

- Nếu 1

2

f ff f

: Bác bỏ Ho.

- Nếu 1 2f f f : Chấp nhận Ho.

2 2 2 21 2 1 1 2: , :oH H

- 21

1 1 222

, ( 1; 1;1 )sf f f n ns

- Nếu 1f f : Bác bỏ Ho. - Nếu 1f f : Chấp nhận Ho.



2 2 2 21 2 1 1 2: , :oH H

- 21

2 1 222

, ( 1; 1; )sf f f n ns

- Nếu 2f f : Bác bỏ Ho. - Nếu 2f f : Chấp nhận Ho.

5. Hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy tuyến tính mẫu.

a. Hệ số tương quan mẫu: 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1( ) ( )

n n n

i i i ii i i

n n n n

i i i ii i i i

n x y x yr

n x x n y y

Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: xy A B

với 1 1 1

2 2

1 1( )

n n n

i i i ii i i

n n

i ii i

n x y x yB

n x x

và 1 1

.n n

i ii i

y B xA

n

.

b. Trong trường hợp sử dụng bảng tần số: Ta tính theo công thức thu gọn như sau:

Hệ số tương quan mẫu: 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1( ) ( )

k k k

i i i i i i ii i i

k k k k

i i i i i i i ii i i i

n n x y n x n yr

n n x n x n n y n y

Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: xy A B với

1 1 1

2 2

1 1( )

k k k

i i i i i i ii i i

k k

i i i ii i

n n x y n x n yB

n n x n x

và 1 1

.k k

i i i ii i

n y B n xA

n

.

ix 1x 2x … kx

iy 1y 2y … ky

in 1n 2n … kn



c. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy tuyến tính mẫu:

Tác vụ CASIO 570MS CASIO 570ES Bật chế độ nhập tần số Không cần Shift Mode 4 1 Khởi động gói Hồi quy tuyến tính Mode Mode Reg Lin Mode STAT A+BX

Nhập số liệu

1x , 1y Shift , 1n M+

kx , ky Shift , kn M+

1in thì chỉ cần nhấn

ix , iy M+

X Y FREQ 1x = kx =

1y = ky =

1n = kn =

Xóa màn hình hiển thị AC AC

Xác định: Hệ số tương quan

mẫu (r) Hệ số hằng: A Hệ số ẩn (x): B

Shift 2 3 =

Shift 2 1 = Shift 2 2 =

Shift 1 7 3 =

Shift 1 7 1 = Shift 1 7 2 =

Thoát khỏi gói Hồi quy Mode 1 Mode 1 Lưu ý: Máy ES nếu đã kích hoạt chế độ nhập tần số ở phần Lý thuyết mẫu rồi thì không cần kích hoạt nữa.

……………………………………….

Documents

Tom tat cong thuc xstk