TOÁN CAO CẤP 1 - nguyenvantien0405.files.wordpress.com · q lim 1 n n 1 x S ... là bao nhiêu? 11 Bài giảngToán cao cấp1 NguyễnVănTiến ... Q=Q(K,L) •trong đóK là

24/04/2017

1

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Cấp số nhân

• Cấp số nhân là một dãy số thỏa mãn điều kiện:

•

• với q không đổi.

• q được gọi là công bội của cấp số nhân.

• |q|<1cấp số nhân lùi vô hạn.

1 , 1,2,3... n nx x q n

1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Cấp số nhân

• Ta có:

• Khi |q|<1 thì .

1

1

11 2

(1 )

1

n

n

n

n n

x x q

x qS x x x

q

1lim1

nn

xS

q

2


Lãi suất

• Định nghĩa. Thể hiện quan hệ tỷ lệ giữa lãitrong một đơn vị thời gian với vốn gốc trongthời gian đó.

• Ví dụ. Đầu tư 100 triệu đồng sau một năm thuđược 112 triệu đồng. Như vậy sau 1 năm nhàđầu tư lãi là 12 triệu đồng và lãi suất là12%/năm.

𝐋ã𝐢 𝐬𝐮ấ𝐭 =𝐋ã𝐢 𝐭𝐫𝐨𝐧𝐠𝐦ộ𝐭 đơ𝐧 𝐯ị 𝐭𝐡ờ𝐢 𝐠𝐢𝐚𝐧

𝐕ố𝐧 𝐠ố𝐜 𝐭𝐫𝐨𝐧𝐠 𝐭𝐡ờ𝐢 𝐠𝐢𝐚𝐧 đó. 𝟏𝟎𝟎%


Lãi đơn

• Lãi đơn là lợi tức chỉ tính trên số vốn vay ban đầutrong suốt thời hạn vay. Nói khác đi, số lãi tínhtheo tỷ lệ phần trăm trên vốn gốc chính là lãi đơn.Trong khái niệm này, chỉ có vốn sinh lời còn lãikhông sinh lợi.

• Lãi đơn thường được áp dụng trong các nghiệp vụtài chính ngắn han.

• Giá trị đạt được (hay giá trị cuối cùng, giá trị tươnglai): tổng số tiền thu được khi kết thúc đợt đầu tư.Giá trị đạt được gồm 2 phần: vốn gốc và lãi thuđược.

4


Công thức tính lãi đơn

• V0 là vốn gốc

• Vn là giá trị cuối tính đến thời điểm n

• i là lãi suất

• Lãi thu về:

0 1 .nV V n i

0. .I V n i


Ví dụ 1

• a) Gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo phương thứcgửi có kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 1%/tháng. Xácđịnh giá trị đạt được và số lãi vào cuối đợt đầu tư 6tháng?

• b) Đầu tư 100 triệu, lãi suất 12%/năm (tính theo lãiđơn), sau một thời gian thu được cả vốn lẫn lời118 triệu vào cuối đợt đầu tư. Hỏi thời gian đầu tưbao lâu?

• c) Với lãi suất 12%/năm thì phải bỏ số vốn ban đầulà bao nhiêu để thu được 28,4 triệu trong 3 năm 6tháng (tính theo lãi đơn)?

6

24/04/2017

2


Chú ý

• Nếu đơn vị thời gian của lãi suất i và thời điểm nkhông đồng nhất thì trước tiên ta phải biến đổi đểchúng đồng nhất với nhau rồi mới áp dụng côngthức.

• Ví dụ.• a) Đầu tư 100 triệu (tính theo lãi đơn), sau 6 tháng

thu được tổng số tiền là 105,6 triệu. Hỏi lãi suấtđầu tư là bao nhiêu?

• b) Đầu tư 100 triệu với lãi suất 12%/năm. Sau mộtthời gian rút hết ra thu được 106 triệu. Hỏi thờigian đầu tư mất bao lâu?


Lãi kép

• Việc tính lãi bằng cách lấy lãi của kỳ trước nhậpvào vốn để tính lãi cho kỳ sau đó là phươngpháp tính theo lãi kép. Số tiền lãi thu được theophương pháp này gọi là lãi kép.

• Lãi kép thường áp dụng trong các nghiệp vụ tàichính dài hạn.

8


Lãi kép

• Công thức cơ bản:

• Trong đó:

– i: mức lãi suất

– V0: vốn gốc

– n: thời gian đầu tư (tương ứng với i)

– Vn: giá trị đạt được sau đầu tư

0 1n

nV V i


Hệ quả• Vốn đầu tư ban đầu:

• Thời gian đầu tư:

• Lãi suất đầu tư:

0 01 1n n

n nV V i V V i

0

0

log /1

log 1

n n

n

V VV V i n

i

0

0

1 1n n

nn

VV V i i

V

10


Ví dụ

• a) Đầu tư một khoản tiền với lãi suất 10%/năm.Sau 4 năm thu được cả vốn lẫn lời là 146,41 triệuđồng (tính theo lãi kép). Hỏi vốn đầu tư ban đầu làbao nhiêu?

• b) Đầu tư một khoản 100 triệu đồng với lãi suất10%/năm. Sau một thời gian thu được cả vốn lẫnlời là 161,051 triệu đồng (tính theo lãi kép). Hỏithời gian đầu tư là bao lâu?

• c) Đầu tư một khoản tiền 100 triệu với lãi suất10%/năm. Sau 8 năm thu được cả vốn lẫn lời là214,358881 triệu (tính theo lãi kép). Hỏi lãi suấtđầu tư (tỷ lệ sinh lời của đầu tư) là bao nhiêu?


Giá trị tương lai của tiền tệ

1.Giá trị tương lai của một khoản tiền đơn

2.Giá trị tương lai của dòng tiền

2.1. Giá trị tương lai của dòng tiền đều

2.2. Giá trị tương lai của dòng tiền không đều

12

24/04/2017

3


Giá trị tương lai của khoản tiền đơn

• Giá trị tương lai của một khoản tiền đơn(khoản tiền duy nhất): là giá trị của số tiền nàyở thời điểm hiện tại cộng với số tiền lãi mà nósinh ra trong khoảng thời gian từ hiện tại chođến một thời điểm trong tương lai.

i


Giá trị tương lai của khoản tiền đơn

• Tính theo lãi đơn

• Tính theo lãi kép

1 .FV PV i n

1n

FV PV i

14


Giá trị hiện tại của khoản tiền đơn

• Tính theo lãi đơn

• Tính theo lãi kép

1 .

FVPV

i n

1n

FVPV

i


Ví dụ

• Giả sử một người cha đã mở tài khoản tiết kiệm5 triệu VNĐ cho con trai của ông ta vào ngàyđứa trẻ chào đời, để 18 năm sau cậu bé có tiềnvào đại học. Lãi suất hàng năm là 6%. Vậy sốtiền mà người con trai sẽ nhận được khi vào đạihọc là bao nhiêu? (tính theo lãi kép)

• Đ/S:

18

5.000.000 1 6% 14.271.6951n

FV PV i

16


Ví dụ

• Một người muốn để dành tiền cho tuổi giàbằng cách gửi tiết kiệm vào ngân hàng, lãi suấtngân hàng là 13%/năm. Người đó phải gửi vàongân hàng bao nhiêu tiền ở thời điểm hiện tại,để 20 năm sau nhận được số tiền 20 triệu VNĐ?(tính theo lãi kép)

20

20.000.0001.736.000

1 1 0,13n

FVPV

i


NGUYÊN TẮC 72

Nếu lấy số 72 chia cho tốc độ tăng trưởng, thì kết quả làmột ước lượng gần đúng với số năm cần thiết để con sốban đầu tăng gấp đôi.

72/6 = 12 khoảng

2028 thì thu nhập bình

quân đầu người của

Việt Nam sẽ đạt 4.430

đô-la (từ mức 2.215

đô-la hiện nay).

72 chia cho 8 được 9.

sẽ mất 9 năm để

tăng gấp đôi số tiền

của bạn với lãi suất

hằng năm là 8%.

18

24/04/2017

4


Giá trị tương lai của dòng tiền

• Giá trị tương lai của một dòng tiền sau n nămchính là tổng giá trị tương lai của từng khoảntiền xảy ra ở từng thời điểm khác nhau trong nnăm.


Giá trị tương lai của dòng tiền

• Giá trị tương lai của một dòng tiền sau n năm chínhlà tổng giá trị tương lai của từng khoản tiền xảy ra ởtừng thời điểm khác nhau trong n năm.

• FVA( Future Value of Annuity) : Giá trị tương lai của

dòng tiền thông thường

• FVAD : Giá trị tương lai của dòng tiền đầu kỳ

• CF (Cash Flow) : Dòng tiền (các khoản tiền cấu thành)

• i : lãi suất yêu cầu

• n: kỳ hạn (thường là năm)

20


Giá trị hiện tại của dòng tiền• Giá trị hiện tại của dòng tiền là tổng giá trị hiện tại

của các khoản tiền cấu thành

• PVA( Present Value of Annuity): Giá trị hiện tại của

dòng tiền thông thường

• PVAD : Giá trị hiện tại của dòng tiền đầu kỳ

• CF (Cash Flow) : Dòng tiền cấu thành

• i : lãi suất yêu cầu

• n: kỳ hạn ( thường là năm)


Giá trị tương lai dòng tiền đều

• Trường hợp cuối kỳ

1CF i

1

1n

CF i

2

1n

CF i

3

1n

CF i

1 1n

iFVA CF

i

22


Ví dụ

• Một người muốn có số tiền học phí 35.000 USDcho con trai đi du học vào 4 năm sau thì anh taphải gửi tiết kiệm hàng năm một khoản cố địnhlà bao nhiêu? Biết lãi suất tiền gửi là 6%/năm.


Giá trị tương lai dòng tiền đều

• Trường hợp đầu kỳ

1CF i

1n

CF i

1

1n

CF i

2

1n

CF i

1 1

. 1 1

ni

FVAD FVA i CF ii

24

24/04/2017

5


Ví dụ

• Một người quyết định dành tiền để mua mở nhàhàng sau 7 năm nữa. Hiện tại trong tài khoản ngườiđó đã có 30.000USD và người đó quyết định trongvòng 6 năm vào cuối mỗi năm sẽ tiết kiệm và gửi vàotài khoản số tiền 30.000USD. Nếu lãi suất tiết kiệm là7%/năm thì sau 7 năm người này có thể mở nhàhàng với số tiền tối đa là bao nhiêu?

71 1 1,07 11 30.000 1,07

0,07

ni

FVAD CF ii


Giá trị hiện tại của dòng tiền đều

a. Trường hợp cuối kỳ

b. Trường hợp đầu kỳ

c. Trường hợp dòng tiền vô hạn:

11

1n

iPVA CF

i

1PVAD PVA i

CFPVA

i

26


Ví dụ

• Tính giá trị của mộtthiết bị sản xuất nếunó được bán trả gópvới lãi suất 12%/nămvà thời gian là 5 năm,mỗi năm trả 50 triệuVNĐ. Biết rằng việctrả tiền được tiếnhành vào đầu năm.

• Giải

5

1

1 11

1 1,1250 1,12 201,867

0,12

n

PVAD PVA i

iCF i

i

27Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Một trái phiếu vôhạn được trả lãicuối mỗi năm là 1triệu VNĐ, biết lãisuất bình quân là8%/năm. Hãy xácđịnh hiện giá củatrái phiếu ?

• Đ/S: 12,5 tr

28


Giá trị tương lai chuỗi tiền tệ bất kỳ

FVA : giá trị tương lai của dòng tiền cuối kỳ

CFt: giá trị của dòng tiền ở cuối kỳ t

0

1n

n t

t

t

FVA CF i

29

Tổng quát


Giá trị tương lai của dòng tiền không đều

• Công ty Nam Phong dự định mở rộng một phân xưởngsản xuất bánh kẹo. Công ty dự kiến đầu tư liên tụctrong 5 năm vào mỗi cuối năm lần lượt các khoản tiềnsau: 50 triệu VNĐ, 40 triệu VNĐ, 25 triệu VNĐ, 10 triệuVNĐ và 10 triệu VNĐ. Lãi suất là 10%/năm. Vậy tổnggiá trị đầu tư của công ty tính theo thời giá của nămthứ 5 là bao nhiêu ?

30

24/04/2017

6


Giá trị hiện tại chuỗi tiền tệ bất kỳ

PV : giá trị hiện tại của dòng tiền

CFt: giá trị của dòng tiền ở cuối kỳ t

n

t

t

t iCFPV0

1

31

Tổng quát


Bài tập

• Hiện tại, một người gửi vào ngân hàng sốtiền 10 triệu đồng, đầu năm thứ 3 tính từhiện tại người đó gửi vào ngân hàng tiếp sốtiền 20 triệu đồng. Cuối năm thứ 5 tính từnăm thứ 3, người đó lại tiếp tục gửi vào ngânhàng số tiền 25 triệu đồng. Nếu lãi suất là10%/năm thì hỏi sau bao lâu, tài khoảnngười đó có số tiền 200 triệu đồng?

32


Giá trị hiện tại ròng

• Net Present Value


Định nghĩa 1 về NPV

• NPV là hiệu số của giá trị hiện tại của khoản tiềnsẽ thu về trong tương lai và chi phí chi phí triểnkhai dự án.

(1 ) nNPV B i C

34


Định nghĩa 2 về NPV

• Giá trị hiện tại ròng là tổng các giá trị hiện tại riênglẻ sau khi đã chiết khấu, theo nghĩa trên.

• CI: cash in (luồng tiền thu về)• CO: cash out (luồng tiền chi)• n: số năm hoạt động của dự án• t: năm bắt đầu thực hiện dự án được coi là năm

gốc

0

1n

t

t t

t

NPV CI CO i


Ví dụ

• Chọn dự án có NPV>0 và cao hơn.

• Mức lãi suất đang tính là bao nhiêu?

NămThu nhập hàng năm ($) Giá trị hiện tại ròng NPV ($)

Dự án A Dự án B Dự án A Dự án B

0 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000

1 700 0 666,667 0

2 500 0 453,515 0

3 600 2.000 518,303 1.727,675

Tổng 800 1000 638,485 727,675

36

24/04/2017

7


Vi phân hàm nhiều biến

• Cho hàm hai biến z=f(x,y) có các đạo hàm riêngz’x; z’y

• Khi đó biểu thức:

• Được gọi là vi phân toàn phần của hàm hai biếnđã cho.

• Ý nghĩa:

' 'x ydz z dx z dy


Ví dụ

• Hàm số

• Có vi phân toàn phần là

3 2z x y xy

23 2dz x y dx x y dy


Đạo hàm riêng cấp 2

• Cho hàm hai biến z=f(x,y) có các đạo hàm riêngz’x; z’y

• Đây là các đạo hàm riêng cấp 1

• Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 gọi làđạo hàm riêng cấp 2

• Các đạo hàm riêng cấp 2

2

2

'' '' ''

'' '' ''

' '

' '

' '

' '

xx xyx x y

yx yy yx y

x x

y y

z z z z z

z z z z z



• Các đạo hàm riêng cấp 2 còn được ký hiệu lầnlượt là:

• Ví dụ: Tính các đhr cấp 2 của hàm số:

2 2 2 2

2 2; ; ;

z z z z

x x y y x y

3 2z x y xy



• Ví dụ: Tính các đhr cấp 2 của hàm số:

) ) ) lny xy xa z x b z e c z

y


Vi phân cấp 2

• Vi phân cấp 2 của hàm hai biến z=f(x,y) là biểuthức có dạng:

2 2

2

2 2 2

2 2 2

' '

" " " "

" 2 " "

x y

xx xy yx yy

xyx y

d z d dz d z dx z dy

d z z dx z dxdy z dydx z dy

d z z dx z dxdy z dy

24/04/2017

8


Ví dụ

• Tính vi phân cấp 2 của hàm số:

2 2 2 3 3

2 2

) ln )

) z sin

a z x y b z xy x y

c x y


Hàm nhiều biến trong kinh tế

• Một số hàm quan trọng trong phân tích kinhtế:

• Hàm sản xuất

• Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợinhuận

• Hàm lợi ích

• Hàm cung, hàm cầu


Hàm sản xuất

• Hàm sản xuất là hàm dạng:

Q=Q(K,L)

• trong đó K là vốn, L là lao động.

• Hàm Cobb-Douglas là hàm sản xuất dạng:

• trong đó a, α, β là hằng số dương.

,Q aK L


Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận

• Hàm tổng chi phí là hàm TC=TC(Q) nếu tínhtheo các yếu tố sản xuất thì:

TC=WKK+WLL+C0

• trong đó WK là giá thuế một đơn vị vốn, WL làgiá thuế đơn vị lao động, C0 là chi phí cố định.

• Hàm tổng doanh thu là hàm TR=PQ=PQ(K,L)trong đó P là giá thị trường của sản phẩm.

• Hàm tổng lợi nhuận là hàm TT=TR-TC


Hàm lợi ích

• Người ta dùng biến lợi ích u để biểu diễn mứcđộ ưa thích của người tiêu dùng đối với mỗi tổhợp hàng hóa trong cơ cấu tiêu dùng. Mỗi tổhợp hàng hóa gọi là một giỏ hàng. Giả sử cơ cấucủa người tiêu dùng có 3 mặt hàng thì mỗi giỏhàng là một bộ ba số thực (x,y,z). Hàm lợi íchcho tương ứng mỗi giỏ hàng với một giá trị duynhất u=u(x,y,z)


Hàm cung, hàm cầu

• Giả sử thị trường có n loại hàng hóa với giá trịtương ứng là P1, P2,…,Pn. Khi đó

• Hàm cung:

• Hàm cầu:

1 2( , , , )iS i nQ S P P P

1 2( , , , )iD i nQ D P P P

24/04/2017

9


Đạo hàm của hàm nhiều biến

• Đạo hàm riêng cấp 1

• Vi phân cấp 1

• Đạo hàm riêng cấp cao

• Vi phân cấp cao


Ma trận Hess

• Giả sử hàm số n biến số f(x1,x2,…,xn) có đạo hàmriêng cấp 2. Khi đó, ma trận vuông cấp n

gọi là ma trận Hess của hàm số. Nếu hàm sốf(x1,x2,…,xn) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục thìma trận Hess là ma trận đối xứng.

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

n

n

n n n n

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

f f f

f f fH

f f f


Ví dụ

• Ma trận Hess của hàm 3 biến

• là ma trận

2 4 5 2 3 5 2 4 4

2 3 5 3 2 5 3 3 4

2 4 4 3 3 4 3 4 3

6 12 15

12 12 20

15 20 20

x y z x y z x y z

H x y z x y z x y z

x y z x y z x y z

3 4 5( , , )f x y z x y z


Đạo hàm của hàm ẩn

• Xem tài liệu


Cực trị không có ràng buộc

• Điều kiện cần để có cực trị: Nếu hàm số f(x1,x2,…,xn) xácđịnh và có các đạo hàm riêng theo tất cả các biến độc lậptrong D và đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm

thì

• Đó là điều kiện cần để có cực trị. Điểm thỏa mãn điềukiện trên được gọi là điểm dừng của hàm số

• Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng.

• Đây chỉ là điều kiện cần, chưa phải là điều kiện đủ.

1 2( , ,...., )nM x x x D

1 2( , ,...., ) 0 , 1,2, ,n

i

fx x x i n

x


Cực trị không có ràng buộc

• Điều kiện đủ để có cực trị: Giả sử

• là điểm dừng của hàm số f(x1,x2,…,xn) và tạiđiểm đó hàm số có tất cả các đạo hàm riêngcấp hai liên tục.

• Đặt:

1 2( , ,...., )nM x x x D

2

1 2( , ,...., ) ( , 1,2, , )ij n

i j

fa x x x i j n

x x

24/04/2017

10


Điều kiện đủ để có cực trị

• Ma trận Hess:

• Xét các định thức con chính:

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aH

a a a

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 211 12

1 11 2

21 2

1 2 1 2

, , , , ,

k n

k n

k n

k k kk n n nn

a a a a a a

a a a a a aa aD a D D D

a a

a a a a a a


Tiêu chuẩn xét cực trị

• i) Nếu D1>0, D2>0, …, Dn>0 thì M là điểm cực tiểucủa hàm số

• ii) Nếu D1<0, D2>0, …, (-1)n Dn>0 thì M là điểm cựcđại của hàm số

• iii) Nếu Di≥0 (hay (-1)i Di>0 ) và tồn tại k sao choDk=0 thì chưa thể kết luận về cực trị địa phươngcủa hàm số tại . Hàm số có thể đạt cực trị hoặckhông đạt cực trị tại điểm M. Muốn có được kếtluận ta phải sử dụng phương pháp khác.

• iv) Trong các trường hợp khác thì M không phải làđiểm cực trị.


Áp dụng cho hàm 2 biến

• Giả sử hàm số f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp 2liên tục M(x0, y0) và điểm M(x0, y0) là điểm dừngcủa hàm số. Ta đặt:

• i) Nếu A>0, ∆>0 thì M là điểm cực tiểu

• ii) Nếu A<0, ∆>0 thì M là điểm cực đại

• iii) Nếu ∆<0 thì M không là điểm cực trị

• iv) Nếu ∆=0 thì chưa có kết luận.

2 2 22

0 0 0 0 0 02 2( , ), ( , ), ( , ), .

A Bf f fA x y B x y C x y AC B

B Cx x y y


Ví dụ

• Tìm cực trị của hàm số

• Đ/S: cực tiểu tại M(1;1)

3 3( , ) 3f x y x y xy


Ví dụ


• Đ/S: cực tiểu tại M(1;-2;1/2)

3 2 2( , , ) 2 2 3 1.f x y z x xy y xz z y


Cực trị có ràng buộc

• a) Cực trị có điều kiện ràng buộc với hai biếnchọn và một phương trình ràng buộc.

• b) Cực trị có điều kiện ràng buộc với n biếnchọn và một phương trình ràng buộc

24/04/2017

11


Hai biến chọn – ĐK cần• Cho hàm số z=f(x,y) với ràng buộc ϕ(x,y)=0

• Giả sử M(x0;y0) là điểm cực trị của hàm số z vớiràng buộc trên thì tồn tại số λ sao cho:

• Số λ được gọi là nhân tử Lagrange.

• Hàm số L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y) được gọi là hàm sốLagrange.

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

( , ) ( , ) 0

( , ) ( , ) 0

( , ) 0

fx y x y

x x

fx y x y

y y

x y


Hai biến chọn – ĐK cần

• Ta viết lại phương trình đã cho dạng:

• Trong đó: L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y)

• Giải phương trình ta có λ, x0,y0

0 0

0 0

0 0

( , ) 0

( , ) 0

( , ) 0

Lx y

x

Lx y

y

Lx y


Hai biến chọn – ĐK đủ

• Ta xét định thức

• Trong đó:

1 2

1 11 12

2 21 22

0

D L L

L L

1 0 0 2 0 0

2 2

11 0 0 22 0 02 2

2 2

12 0 0 0 0 21

( , ) ( , )

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

x y x yx y

L LL x y L x y

x y

L LL x y x y L

x y y x


Hai biến chọn – ĐK đủ

• Nếu D>0 thì M(x0;y0) là điểm cực đại có điềukiện của hàm số.

• Nếu D<0 thì M(x0;y0) là điểm cực tiểu có điềukiện của hàm số.

• Nếu D=0 thì chưa có kết luận gì về điểmM(x0;y0) đang xét.


Ví dụ


• với điều kiện:

• Đ/S: cực tiểu tại M(4/3; 5/3)

• Cực đại tại N(-4/3;-5/3)

( , ) 6 4 3f x y x y

2 2 1.x y


n biến chọn (tham khảo)

• Cho hàm số z=f(x1,x2,…,xn) với ràng buộc ϕ(x1,x2,…,xn)=0. Giả sử:

• là điểm cực trị của hàm số z với ràng buộc trên thì tồn tại số λsao cho:

• Số λ được gọi là nhân tử Lagrange.

• Hàm số L(x1,x2,…,xn,λ)=f(x1,x2,…,xn)+ λϕ(x1,x2,…,xn) được gọi làhàm số Lagrange.

1 2( , ,...., )nM x x x

1 2 1 2

1 2

( , ,...., ) ( , ,...., ) 0

( , ,...., ) 0

n n

i i

n

fx x x x x x

x x

x x x

24/04/2017

12



• Ta viết lại hệ phương trình:

1 2

1 2

( , ,...., ) 0 ; 1,2, ,

( , ,...., ) 0

n

i

n

Lx x x i n

x

Lx x x



• Ta lập ma trận:

• Trong đó:

1 2

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

0 n

n

n

n n n nn

L L L

H L L L

L L L

1 2

2

1 2

( , ,...., ) ; 1,2, ,

( , ,...., , ) ; , 1,2, ,

k n

k

ij n

i j

x x x k nx

LL x x x i j n

x x



• Xét các định thức:

• Nếu D2>0, D3<0, …, (-1)nDn>0 thì M là điểm cựcđại có điều kiện của hàm số.

• Nếu D2<0, D3<0, …, Dn<0 thì M là điểm cực tiểucó điều kiện của hàm số.

1 2

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

0

( 2,3, , )

k

k

k k

k k k kk

L L L

D L L L k n

L L L


Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất• Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập

đóng, bị chặn

• Cho D là tập đóng, bị chặn trong có biên cho bởi phươngtrình ϕ(x1,x2,…,xn)=0

• Giả sử f(x1,x2,…,xn) là hàm số liên tục trên D. Sau đây làquy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của trên D.

• - Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị của với điều kiệnϕ(x1,x2,…,xn)=0.

• - Tìm các điểm dừng của f(x1,x2,…,xn) thuộc D.

• Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của f trên D là giá trị lớn nhất(nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm tại các điểm tìmđược ở trên.


Ví dụ

• Ví dụ 3.25. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất củahàm

• trong miền

• Đ/S:

2 2( , ) x 2f x y y x

2 2: x 1D y

1 1 1 3 9min ,0 ; max ,

2 4 2 2 4D Df f f f

Documents

TOÁN CAO CẤP 1 - nguyenvantien0405.files.wordpress.com · q lim 1 n n 1 x S ... là bao nhiêu? 11 Bài giảngToán cao cấp1 NguyễnVănTiến ... Q=Q(K,L) •trong đóK là