DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADAINSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA

6 DE JUNHO DE 2017

TÓPICOS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

MOMENTO 13

Humberto José Bortolossi

http://www.professores.uff.br/hjbortol/

Universidade Federal Fluminense1

AQUECIMENTO: REPRESENTAÇÕES,SIGNIFICANTE × SIGNIFICADO

REPRESENTAÇÕES

Faz sentido?

REPRESENTAÇÕES

Paris tem 5 letras.

Um número inteiro é par se ele termina em 0, 2, 4, 6 e 8.

Faz sentido?

REPRESENTAÇÕES

Qual número é maior?

5, 8, 3, 1, 7, 9, 2, 4, 6

Resposta: 3.

Faz sentido?

REPRESENTAÇÕES

Qual é o numerador do número racional 2/3?

Faz sentido?

REPRESENTAÇÕES

La Trahison des Images (1928-1929) por René Magritte

Faz sentido?

REPRESENTAÇÕES MÚLTIPLAS: A LEI DE HOOKE

Ut tensio sic vis.

REPRESENTAÇÕES MÚLTIPLAS: SOM

RESUMO ANALÍTICO:“REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA E

FUNCIONAMENTO COGNITIVO DO PENSAMENTO” por Raymond Duval

RESUMO ANALÍTICO

6. DESCRIÇÃO DO TRABALHO:A descrição deve ser impessoal. O relator deve fazer uma sínteseobjetiva e descritiva, evitando emitir comentários pessoais. Dezlinhas no máximo.

7. OBJETIVOS DO TRABALHO:Cinco linhas no máximo, preferivelmente começando com umverbo.

10. CONCLUSÕES DO AUTOR:Dez linhas no máximo. Deve-se relatar de forma objetiva eimparcial as conclusões do autor.

RESUMO ANALÍTICO

11. COMENTÁRIOS DO RELATOR:Essencialmente, uma opinião crítica sobre o trabalho. Agora é ahora de expressar a sua opinião. Inclua pontos de concordância ediscordância! Indique também se o texto que você analisou trouxealgum encaminhamento ou ideia que mudaria a sua prática ouatitude como professor em sala de aula. Mínimo de dez linhas.

OBSERVAÇÕES E DESDOBRAMENTOS

REPRESENTAÇÕES

• Há uma palavra às vezes importante e marginal em matemática,é a palavra “representação”. Uma escrita, uma notação, umsímbolo representam um objeto matemático: um número, umafunção, um vetor... Do mesmo modo, os traçados e figurasrepresentam objetos matemáticos: um segmento, um ponto, umcírculo. Isto quer dizer que os objetos matemáticos não devemser jamais confundidos com a representação que se faz dele.

• A distinção entre um objeto e sua representação é, portanto, umponto estratégico para a compreensão da matemática. Bastaconsiderar o caso do cálculo numérico para se convencer disso:os procedimentos, o seu custo, dependem do sistema de escritaescolhido.

REPRESENTAÇÕES

• Isto pode ser considerado, portanto, um paradoxo cognitivo dopensamento matemático: de um lado, a apreensão dos objetosmatemáticos não pode ser mais do que uma apreensão conceitual e,de outro, é somente por meio de representações semióticas que aatividade sobre objetos matemáticos se torna possível. Esteparadoxo pode constituir-se num grande círculo para aaprendizagem.

• Representações mentais × representações semióticas: asrepresentações mentais lembram o “conceito-imagem” de Tall; asrepresentações semióticas são produções constituídas pelo empregode signos pertencentes a um sistema de representações.

• As representações não são somente necessárias para fins decomunicação, elas são igualmente essenciais à atividade cognitivado pensamento.

REPRESENTAÇÕES

• Papeis das representações semióticas: no desenvolvimento dasrepresentações mentais; na realização de diferentes funçõescognitivas; na produção de conhecimentos.

• Semiose: apreensão ou produção de uma representaçãosemiótica. Noesis: apreensão conceitual de um objeto. Noesis éinseparável da semiose.

REPRESENTAÇÕES

• O paradoxo cognitivo do pensamento matemático e asdificuldades que resultam para sua aprendizagem se dão pelofato de que não há noesis sem semiose enquanto houver vontadede ensinar matemática, como se a semiose fosse uma operaçãodesprezível em relação a noesis. No entanto, é essencial, naatividade matemática, poder mobilizar muitos registros derepresentação semiótica (figuras, gráficos, escrituras simbólicas,língua natural, etc...) no decorrer de um mesmo passo, poderescolher um registro no lugar de outro. E, independentementede toda comodidade de tratamento, o recurso a muitos registrosparece mesmo uma condição necessária para que os objetosmatemáticos não sejam confundidos com suas representações eque possam também ser reconhecidos em cada uma de suasrepresentações.

REPRESENTAÇÕES

• Para que um sistema semiótico possa ser um registro derepresentação, deve permitir as três atividades cognitivasfundamentais ligadas a semiose: a formação de umarepresentação identificável; o tratamento de uma representação(paráfrase, inferência, reconfiguração, anamorfose); a conversãode uma representação (ilustração, tradução).

• A conversão é uma atividade cognitiva diferente e independentedo tratamento.

• A conversão não deve ser confundida com duas atividades queestão, no entanto, próximas: a codificação e a interpretação. Oque é geralmente chamado de “interpretação” requer umamudança de quadro teórico ou uma mudança de contexto. Estamudança não implica mudança de registro.

REPRESENTAÇÕES

• Leis de agrupamento da Gestalt (para mais informações:http://whitecom.com.br/8-principios-da-gestalt/)

REPRESENTAÇÕES

• Leis de agrupamento da Gestalt (para mais informações:http://whitecom.com.br/8-principios-da-gestalt/)

REPRESENTAÇÕES

REPRESENTAÇÕES

REPRESENTAÇÕES

REPRESENTAÇÕES

• A conversão das representações semióticas é a primeira fonte dedificuldade à compreensão em matemática.

• A utilização de muitos registros de representação parece sercaracterística do pensamento humano, se comparado com ainteligência animal ou com a inteligência artificial. [...] E, noque concerne a inteligência artificial, sublinha-se que um deseus limites é a dificuldade “em ultrapassar a rigidez funcionalque impede a especialização do modo de representação”(LEISER, 1987, p. 1869).

• O progresso dos conhecimentos é sempre acompanhado dacriação e do desenvolvimento de sistemas semióticos novos eespecíficos que mais ou menos coexistem com o primeiro entreeles, o sistema da língua natural (GRANGER, 1979).

REPRESENTAÇÕES

• Mudança de registro: a economia de tratamento (a linguagemnatural se mostra logo inapropriada para cálculos mais longos);complementaridade dos registros; a conceitualização implicacoordenação de registros de representação.

• Pode-se observar, em todos os níveis de ensino, na grandemaioria dos alunos, um isolamento de registros de representação.

• Se a conceitualização implica coordenação de registros derepresentação, o principal caminho das aprendizagens de basematemática não pode ser somente a automatização de certostratamentos ou a compreensão de noções, mas deve ser acoordenação de diferentes registros de representação,necessariamente mobilizados por estes tratamentos ou por estacompreensão.

REPRESENTAÇÕES

• Definitivamente, o que é importante não é a mudança deregistro a ser efetuada, mas os tratamentos que poderão serrealizados na representação obtida após a mudança de registro.

• Atividades de variações comparativas relativas a significaçãodas representações: o único modo de discriminar as unidadessignificantes de uma representação é realizar a observação, porum lado, variações de representações sistematicamenteefetuadas em um registro e, por outro lado, as variaçõesconcomitantes de representação em outro registro.

REPRESENTAÇÕES

• Pode-se, então, considerar o registro em língua natural como umregistro de partida no que concerne o raciocínio? A importânciada semiose na noesis convida a responder afirmativamente. Alíngua natural deve ser considerada, ao mesmo tempo, umregistro de partida e um registro de chegada. Mas, é aí que estáo ponto importante: esta conversão interna não é feitadiretamente, ela passa por representações intermediárias.

• As representações semióticas constituem um aspecto irredutíveldo conhecimento matemático e querer subordiná-las aosconceitos leva a falsos problemas de aprendizagem.

REPRESENTAÇÕES

• Qualquer conversão de registros pode ser congruente ou nãocongruente. Quando uma conversão é congruente arepresentação do registro inicial é transparente para arepresentação do registro final. Em outras palavras, a conversãopode ser vista como uma translação unidade a unidade. Análisesmuito precisas do caráter da conversão congruente ou nãocongruente de uma representação em outra pode ser feitasistematicamente. E elas explicam de uma maneira precisamuitos erros, falhas, equívocos e bloqueios mentais.

REPRESENTAÇÕES

• Para determinar de dois registros são congruentes, três critérios são utilizados: (1)existe correspondência semântica (os símbolos têm o mesmo significado entre asunidades significantes do registro de partida e o de chegada; (2) existe a mesmaordem de apreensão das unidades significantes nas duas representações; (3) existe aunivocidade semântica (cada unidade significante do registro de partida correspondea uma só unidade significante no registro de chegada, e vice-versa).

REPRESENTAÇÕES

• Para determinar de dois registros são congruentes, três critérios são utilizados: (1)existe correspondência semântica (os símbolos têm o mesmo significado entre asunidades significantes do registro de partida e o de chegada; (2) existe a mesmaordem de apreensão das unidades significantes nas duas representações; (3) existe aunivocidade semântica (cada unidade significante do registro de partida correspondea uma só unidade significante no registro de chegada, e vice-versa).

REPRESENTAÇÕES

• A coordenação de registros não é a consequência deentendimento em matemática; ao contrário, ela é uma condiçãoessencial.

REPRESENTAÇÕES

• São todas estas questões que vamos retomar e desenvolver nesteartigo. Elas mostram a complexidade particular, muitofrequentemente subestimada, das pesquisas sobre o ensino damatemática. Esta complexidade está ligada ao fato de que estecampo de pesquisas provoca vários pontos de vista totalmentediferentes e que não devem jamais ser confundidos: ponto devista matemático, ponto de vista epistemológico, ponto de vistacognitivo, ponto de vista dos alunos, ponto de vista dosprofessores, ponto de vista institucional, etc.

• Do ponto de vista matemático, a compreensão deve responder àexigência epistemológica de prova que é comum a todoconhecimento científico.

REPRESENTAÇÕES

• De um ponto de vista cognitivo, a compreensão é guiada pelomodo de acesso aos objetos estudados. Do ponto de vistacognitivo, compreender em matemática é, antes de tudo,reconhecer os objetos matemáticos representados.

• Do ponto de vista cognitivo, “fazer” matemática exige atitudesintelectuais que não estão ligadas a um conteúdo matemáticoparticular e que, além disso, não são nunca solicitadas em outrasdisciplinas. Isto se deve a que as maneiras de raciocinar, dedefinir, de ver e de propor problemas não são os mesmos damatemática e fora dela. O que ocorre com mais frequência éesta diferença incompreensível, e nunca explicada, quando osestudantes dizem “eu não entendi” ou “eu não entendi nada”.

REPRESENTAÇÕES

• Estrutura triádica: linguagem natural, representações de formas2D e 3D. Estrutura diádica: notações simbólicas, linguagensformais, diagramas.

SIMBOLOGIA MATEMÁTICA: O QUE VEM DEPOIS?

al-Khwarizmi

Bret Victor: qual será a próxima evolução em simbologia matemática?https://www.youtube.com/watch?v=oUaOucZRlmE