Upload
keaton-nolan
View
20
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים 28 NOV 2012 Ahuva Mu’alem. בעית חלוקת העוגה נטולת הקנאה envy free cake cutting. הגדרות. העוגה תיוצג על ידי הקטע יש n > 2 שחקנים הוא הערך הממשי של שחקן k לתת הקטע. חלוקה נטולת קנאה. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
חלוקה נטולת קנאה
תת קטעים זרים המוכלים n ל- I(1), I(2), …, I(n) חלוקה של העוגה ● מתקיים:k, j אם לכל נטולת קנאהבקטע נקראת
vk(I(k)) > vk(I( j))
כלומר, בחלוקה נטולת קנאה כל שחקן מרוצה מהחלק שהוא קיבל ●ואינו מעוניין להחליף את החלק שלו עם אף שחקן אחר.
חלוקה נטולת קנאה, שני שחקנים
:”("(Divide and Chooseחלק ובחר אלגוריתם ●
שחקן אחד מחלק את העוגה לשני חלקים שווים מנקודת מבטו●
השחקן השני בוחר איזה חלק הוא רוצה מבין השניים●
חלוקה נטולת קנאה, שני שחקנים
:חלק ובחראלגוריתם ●
שחקן אחד מחלק את העוגה לשני חלקים שווים מנקודת מבטו●
השחקן השני בוחר איזה חלק הוא רוצה מבין השניים.●
היא רציפה ואדיטיבית, כלומר k נניח כי העדפת כל שחקן הערה:●הם תת קטעים זרים אז = + I, J אם
v1 (I) = v1 (J)
max (v2 (I1), v2 (I
I J
max (v2(I), v2(J)) > min (v2(I), v2(J))
חלוקה נטולת קנאה, המקרה הכללי
שיעזור לנו נראה כעת כלי טכני )המבוסס על הלמה של שפרנר(●לחלק את העוגה "ללא קנאה" בין מספר סופי כלשהו של שחקנים
n > 2.
'חלק ובחר' בנוסח צ'ארלי צ'אפלין, הבהלה לזהב
https://www.youtube.com/watch?v=mtZTIwSIuGw
הגדרת הבעיה
שחקנים שרוצים n > 2 יש :בעית חלוקת השכירות בהרמוניה● דולר, 1000 חדרים. דמי השכירות על הדירה הם nלשכור דירה של
והשאלה היא האם ניתן לקבוע מחיר עבור כל חדר כך שסכום דולר וכך שכל שוכר ישכור את החדר שהוא 1000המחירים יהיה
הכי רוצה במחירים האלו.
'Rental Harmony בנוסח צ'ארלי צ'אפלין, הבהלה לזהב '
https://www.youtube.com/watch?v=lAop4Su5Uag
הגדרות
העוגה תיוצג על ידי הקטע ●
שחקנים n > 2יש ●
לתת הקטע k הוא הערך של שחקן ●
I, J העדפת השחקן היא אי-שלילית, רציפה ואדיטיבית, כלומר אם ●הם תת קטעים זרים אז = +
חלוקה פרופורציונלית
תת קטעים זרים המוכלים n ל- I1, I2, …, In חלוקה של העוגה ●k לכל א vk(Ik) אם פרופורציונליתבקטע נקראת
כלומר בחלוקה פרופורציונלית כל שחקן מקבל חלק שערכו הוא ●מנקודת מבטו מערך העוגה n/1לפחות
חלוקה פרופורציונלית, שני שחקנים
:חלק ובחראלגוריתם ●
שחקן אחד מחלק את העוגה לשני חלקים שווים מנקודת מבטו●
השחקן השני בוחר איזה חלק הוא רוצה מבין השניים.●
חלוקה פרופורציונלית, שני שחקנים
:חלק ובחראלגוריתם ●
שחקן אחד מחלק את העוגה לשני חלקים שווים מנקודת מבטו●
השחקן השני בוחר איזה חלק הוא רוצה מבין השניים.●
חלוקה פרופורציונלית, שני שחקנים
:חלק ובחראלגוריתם ●
שחקן אחד מחלק את העוגה לשני חלקים שווים מנקודת מבטו●
השחקן השני בוחר איזה חלק הוא רוצה מבין השניים.●
v1 (I1) = v1 (I2)
max (v2 (I1), v2 (I
1 2
max (v2(I1), v2(I2)) > 0.5) · v2(I1) + v2(I2) = ( 0.5 · v2(I1 I2)
n > 2חלוקה פרופורציונלית,
:Dubins-Spanier] הסכין הנעה ]אלגוריתם●
● A knife is slowly moved at constant speed parallel. At each instant the knife is poised so that it could cut a unique slice of the cake. At time goes by the potential slice increases monotonely from nothing until it becomes the entire cake. The first person to indicate satisfaction with the slice then determined by the position of the knife receives that slice and is eliminated from further distribution of the cake. (If two or more participants simultaneously indicate satisfaction with the slice, it is given to any of them.)
● The process is repeated with the other n − 1 participants and with what remains of the cake. The last player gets the remainder of the cake.
n > 2חלוקה פרופורציונלית,
:Dubins-Spanier]אלגוריתם הסכין הנעה ]●
● The knife is passed over the cake from the left end to the right.
● A player says stop when he thinks 1/n of the cake is to the left of the knife, the cake is cut and he get that piece.
● Repeat with the remaining cake and players.
● The last player gets the remainder of the cake.
●
קיבלו כל i, ..., 2, 1השחקנים נכונות: מערך העוגה מנקודת מבטם. n/1אחד
מייחס לחלק i+1, i+2, ..., nכל שחקן מערך n(/n-iהעוגה שנשאר לפחות )
העוגה הכולל, מנקודת מבטו.
Bibliography
Francis Edward Su. Rental harmony: Sperner's lemma in fair division. Amer. Math. Monthly, 106(10):930–942, 1999
Chandra Chekuri, CS 573: Algorithmic Game Theory, 2008Lecture Notes ,
מתמטיקה צבעונית – הלמה של שפרנרעמוס אלטשולר,
Wikipedia