TOPIK 1 FUNGSI DAN GRAF.pdf

MTE 3108 KALKULUS ASAS

1

TAJUK 1 FUNGSI DAN GRAF

1.1 PENGENALAN Konsep fungsi ialah salah satu daripada konsep asas yang penting dalam matematik. Pada tahu 1718 Johan Bernoulli mentakrif sebagai satu ungkapan yang terdiri dari pemalar dan pembolehubah. Sementara Euler dan Clairaut (1734) menggunakan konsep fungsi sebagai sebarang persamaan. Be ntuk takrifan fungsi yang digunakan sekarang adalah jika dua pembolehubah x dan y berkait dimana bagi setiap nilai x terdapat hanya satu nilai y yang sepadan, maka y dinamakan fungsi bagi x. 1.2 HASIL PEMBELAJARAN

1. Menyatakan perkaitan antara pola, pemetaan dan hubungan serta mencari

domain dan julat fungsi berkaitan.

2. Menjelaskan anjakan bagi suatu graf fungsi.

3. Mengenalpasti dan menyatakan fungsi genap, ganjil, gubahan dan songsang.

4. Menyelesaikan masalah fungsi gubahan dan songsang.

5. Melakarkan graf fungsi.

1.3 KERANGKA TAJUK

Fungsi dan Graf

Pengenalan Fungsi

Anjakan Graf Jenis-jenis Fungsi Melakar Graf Fungsi


2

1.4 Pengenalan Fungsi

1.4.1 Hubungan

Hubungan adalah satu perkaitan atau pemetaan yang memadakan unsur-unsur

di antara dua set. Contoh : Hubungan antara anak dengan ibu. Domain ialah

unsur yang terdapat dalam Set A(anak) dan kodomain ialah semua unsur dalam

Set B(ibu). Unsur-unsur dalam kodomain yang dihubungkan dengan domain

dinamakan imej atau julat.

Dalam matematik terdapat empat jenis hubungan iaitu (a) Satu ke satu (b) Satu

ke banyak (c) Banyak ke satu dan (d) banyak ke banyak.

1.4.2 Takrif Fungsi

Hubungan dari set A kepada set B yang mempunyai sifat di mana setiap unsur di dalam domain mempunyai hanya satu imej sahaja.

Oleh itu hubungan satu ke satu dan banyak ke satu adalah suatu fungsi.

Tatantanda Fungsi : y = ‘ pernyataan dalam sebutan x ’ atau y = f(x)

Range / julat ialah set nilai f(x) Domain ialah set nilai x

Domain Dan Julat Fungsi Linear dan Kuadratik (a) Hubungan satu ke satu

Contoh 1: f(x) = 2x +4

A B


3

Jadual :

x

-2

-1

0

1

2

f(x)

0

Graf:

Domain = ( - ∞ , ∞) Julat = ( - ∞ , ∞) (b) Hubungan banyak ke satu

Contoh 2: f(x) = x2

Jadual :

x

-2

-1

0

1

2

f(x)

4

A B


4

Graf:

Latihan 1: Lakarkan graf dan cari domain dan julat. Seterusnya tentukan jenis hubungan fungsi di bawah. (a) f(x) = 4x2 + 2

x - 2 - 1 0 1 2

f(x)

Graf :

Domain = ( ) Julat = ( )

x

f(x)


5

(b) f(x) = x2 - 2

(c) f(x) = 2x2 + 3

(d) f(x) = x3 - 2

Jawapan Latihan 1

(b) f (x) = x 2 - 2

Domain = (- ∞, + ∞) Julat = [- 2, + ∞)


6

Domain Dan Julat Fungsi Nisbah dan Punca kuasa

Domain ialah set semua nilai x yang menghasilkan nilai f(x) dan x adalah nombor nyata.

Julat ialah set semua nilai f(x) yang dihasilkan oleh set nilai domain.

Peringatan:

Penyebut bagi fungsi nisbah tidak boleh sifar Nilai dalam punca kuasa mesti positif

Contoh 3: Lakarkan graf seterusnya cari nilai domain dan julat bagi fungsi f (x) = 1 / ( x - 1)

x - 2 - 1 0 1 2

3

f(x)

- 1/3

(a) Graf

Domain = ( ) Julat = ( )

x

f(x)


7

Contoh 4 : Lakarkan graf seterusnya cari nilai domain dan julat bagi fungsi

f (x) = 82 x

Penyelesaian:

x 3

4

5

6

7

f(x)

2

Graf :

Latihan 2:

Lakarkan graf seterusnya cari nilai domain dan julat bagi fungsi

1. ( )

2. ( )

3.

4.

5. √

6. f (x) = -1 / ( x + 3)

7. f (x) = 9 x

Latihan Lanjutan ( Contoh soalan peperiksaan)

Cari domain bagi fungsi

(a) f (x) = )5)(3(

xx

x

(b) f (x) = )9)(1(

)2(

xx

x

Tutorial 1 dan 2 : Soalan No. 1 hingga 13


8

1.5 ANJAKAN GRAF 1.5.1 Anjakan selari paksi y

Contoh 1: Lakarkan graf

(a) f(x) = x2

(b) f(x) = x2 + 3

(c) f(x) = x2 - 2


9

Contoh 2: Graf g(x) = 3x2 and G(x) = 3x2 – 3

Umumnya: f(x) = x2 + k

(a) Tambah k : Fungsi bergerak sebanyak k unit secara menegak keatas atau ke bawah bergantung kepada nilai k.

Negative - menurun, positive - menaik.

(b) Semakin besar pekali x, bentuk graf semakin mengurus/nilai f(x) bertambah dengan cepat


10

1.5.2 Pergerakan selari dengan paksi x

Contoh 3: Lakarkan graf f(x) = x2 dan g(x) = (x – (+4))2 , h = positif

Bergerak ke kanan sebanyak 4 units .

Paksi simetri berubah dari x = 0 kepada x = 4

Bucu dari (0 , 0) berubah kepada (4, 0).

Umumnya:

Bagi graf f(x) = (x – h)2

f(x) = (x – h)2 = (x – (+h))2 iaitu h positif – bergerak ke kanan

f(x) = (x + h)2 = (x – (– h))2 iaitu h negatif – bergerak ke kiri.


11

Contoh 4: Lakarkan graf f(x) = (x + 2)2 + 3

Penyelesaian:

Bergerak ke kanan 2 unit dan naik ke atas 3 unit Bucu (- 2, 3) dan Paksi simetri x = - 2.


12

1.6 FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL 1.6.1 Fungsi genap

(i) f(-x) = f(x) dan (ii) paksi simetri ialah paksi y

Contoh 1: y = x2

Bukti (i) f(-1) = f(1) = 1 f(-2) = f(2) = 4 f(-3) = f(3) = 9 Bukti (ii) Dari graf - paksi simetri ialah paksi y Bukti (iii) Guna konsep kamiran – luas di bawah graf

Contoh 2 : xxf )(


13

Bukti: (i) f(-1) = f(1) = 1 f(-2) = f(2) = 2 f(-3) = f(3) = 3 Bukti (ii) Dari graf - paksi simetri ialah paksi y Bukti (iii) Guna konsep kamiran – luas di bawah graf 1.6.2 Fungsi Ganjil

(i) f(−x) = − f(x) (ii) graf fungsi f bagi x ≥ 0 adalah imej bagi graf f bagi x ≤ 0 di bawah pantulan titik asalan (0, 0)

Contoh 3 : f(x) = x3

Latihan : Tentukan yang manakah di antara fungsi-fungsi berikut fungsi genap, ganjil atau bukan kedua-duanya.

(a) xx

xf 1

)( (b) 1)( 24 xxxf

(c) xxf sin)( (d) x

xf

2

11)(

1800


14

Jawapan: (a) f(1) = 2 f(-1)= -2 f(2) = 2.5 f(-2) = - 2.5 oleh kerana f(x) = - f(-x) maka f(x) ganjil (b) f(2) = 16 - 4 + 1 = 13 f(-2) = 16 – 4 + 1 = 13 oleh kerana f(x) = f(-x) maka f(x) genap (c) fungsi ganjil – cara? (d) bukan genap dan bukan ganjil – cara?


15

1.7 FUNGSI GUBAHAN

Takrif :

Diberi dua fungsi f dan g. Fungsi gubahan f dan g ditandakan oleh gf dan

ditakrifkan sebagai (f o g) (x) = f [g(x)].

Domain bagi gf adalah set bagi semua nilai x, dimana x adalah di dalam

domain g dan xg di dalam domain f .

Nota: Tatanda (f o g)(x) dan (g o f)(x) adalah sama dengan f(g(x)) dan g(f(x))

Contoh 1 : Diberi f(x) = 3x+1 dan g(x) = 5x2, Cari

(i) f o g(x) dan g o f(x) serta domain dan julatnya

(ii) nilai f o g(5) dan g o f(5)

Penyelesaian:

(i) f o g(x) = f(g(x)) = f(5x2)) = 3(5x2) + 1 = 15x2 + 1

Domain = ( −∞ , ∞ ) Julat = ( −∞ , ∞ )

g o f(x) = g(f(x)) = g (3x+1) = 5(3x+1)2 = 5(9x2 + 6x+1) = 45x2+ 30x + 5

Domain = ( −∞ , ∞ ) Julat = ( −∞ , ∞ )

(ii) nilai f o g(5) dan g o f(5)

f o g(5) = 15 (5)2 + 1 = 15 (25) + 1 = 376

g o f(5) = 45(5)2+ 30(5) + 5 = 1280


16

Contoh 2: Diberi f(x) = 4x - 2 dan g(x) = 3x + 1. Cari (i) f o g(x) dan g o f(x)

(ii) nilai f o g(-2) dan g o f(-2)

Penyelesaian : (i) f o g(x) = 4(3x+1) - 2

f o g(x) = 12x + 4 - 2 f o g(x) = 12x + 2

Domain = ( −∞ , ∞ ) Julat = ( −∞ , ∞ )

g o f(x) = 3(4x-2) +1 g o f(x) = 12x - 6 + 1 g o f(x) = 12x – 5

Domain = ( −∞ , ∞ ) Julat = ( −∞ , ∞ )

(ii) nilai f o g(-2) dan g o f(-2)


17

Contoh 3 :

Diberi 12 xxf , xxxg 2 .

Cari gf dan fg , dan tentukan domain dan julatnya.

Penyelesaian :

122 2 xxgf Domain : (- ∞, +∞) = x € R

Julat ; [1/2 , +∞)

xxfg 24 2 Domain : (- ∞, + ∞) = x € R

Julat ; [-1/4 , +∞) Contoh 4:

Diberi xxgxxf 1,2 . Cari gf dan fg , dan tentukan

domainnya. Penyelesaian:

xgf 1

Domain :( - ∞ , 1] - rujuk domain g(x)

21 xfg

Domain : [-1 , 1] - rujuk pada f(x) tetapi mesti sesuai dengan g(x) Contoh 5: Diberi f(x) = 5x + 2 dan g(x) = x - 3. Cari g o f(1)) dan g o f(-2). Seterusnya tentukan domain dan julat fungsi tersebut. Penyelesaian: g o f(x) = (5x + 2) – 3 = 5x – 1 maka g o f(1) = 5(1) - 1 = 4 dan g o f(-2) = 5(-2) - 1 = - 11 Fungsi gubahan g o f(x) = 5x - 1 Domain = ( - ∞ , + ∞) Julat = ( - ∞ , + ∞)


18

Contoh 6 : Diberi 374)( 2 xxgf dan 8)( 2 xxg ,

cari fungsi f dan fg

Penyelesaian :

374))(()( 2 xxgfxgf

f ( x2 + 8 ) = 4x2 + 37

Ambil u = x2 + 8 → x2 = u – 8

f ( u ) = 4 ( u – 8 ) + 37 = 4u + 5

f (x) = 4x + 5

)54())(()( xgxfgxfg

= (4x + 5 )2 + 8

= 16x2 + 40x + 33 Contoh 7

Fungsi f dan g tertakrif pada semua nombor nyata x dimana 7)( 2 xxg ,

dan 869)( 2 xxxfog . Cari xf .

Penyelesaian :

Didapati 72 fxfog

Maka 72 f 869 2 xx

169 22 xxf

22 13 xf

13)( xxf


19

Latihan

1. Diberi 2)( xxf dan 1)( 2 xxg

(i) Cari f o g(2) dan f o f(2) (ii) Tunjukkan (f o g)(x) = (g o f) (x) + 2 f(x) 2. Diberi fungsi 23)( xxf dan 1)( xxg . Cari

(i) g o f

(ii) f o f

(iii) (f o g)(-1) , (f o g)(3) dan (f o g) (-1/4)

3. Diberi fungsi 1,1)( xxxf

xxg sin)(

0,log)( xxxh

Cari fungsi gubahan di bawah jika wujud dan nyatakan julatnya. (i) g o f

(ii) g o h

4. Diberi 32)( 2 xxf

dan xxg cos)( . Cari

)(xfg

5. Diberi xxf 2cos)( , dan x

gf1

cos . Cari xg .

Jawapan Latihan 1. (i) 25, 16 2. (i) 3x – 1 (ii) 9x – 8 (iii) -2 , 10, ¼ 3. (i) sin (1 – x) (ii) sin (log x) 4. Cos (2x2 – 3) 5. 1/2x


20

1.8 FUNGSI SONGSANG

Rajah pemetaan fungsi f dan g. Fungsi satu ke satu Fungsi banyak ke satu Pemetaan di terbalikkan seperti di bawah; Hubungan satu ke banyak - bukan fungsi

Hubungan satu kesatu – fungsi

1

2

3

2

4

7

X Y

1

2

3

8

12

X Y

f

g

1

2

3

2

4

7

X Y

f

1

2

3

8

12

X Y


21

Rumusan: Suatu fungsi f mempunyai fungsi songsang jika dan hanya jika f adalah fungsi satu - satu Fungsi songsang f ditulis sebagai f –1. Takrif :

Suatu fungsi 1f adalah fungsi songsang bagi f jika x(x)fof 1 bagi setiap

nilai x dalam domain 1f dan xxfof )(1

bagi setiap nilai x dalam

domain .f

Nota: Domain f adalah sama dengan julat bagi f -1 dan julat f adalah sama dengan domain bagi f -1.

a

b

f

f-1

Domain f Julat f –1

Julat f Domain f –1


22

Contoh 1: Cari fungsi songsang bagi f(x) = 2x + 3

Penyelesaian: Tulis dalam bentuk persamaan

y = 2x + 3

Tukar x sebagai perkara rumus.

x = (y - 3)/2

Tulis x = f-1(y) .

f -1(y) = (y - 3)/2

atau

f -1(x) = (x - 3)/2

Semak

1. f o f -1(x) = 2(f -1(x)) + 3 = 2((x - 3)/2) + 3 = (x - 3) + 3 = x

2. f -1 o f(x) = f -1(2x + 3) = ((2x + 3) - 3)/2 = 2x/2 = x

Maka fungsi songsang f ialah f -1(x) = (x - 3)/2

Contoh 2:

Cari fungsi songsang bagi f(x) = - x - 4

Penyelesaian: y = - x – 4

- x = y + 4 x = - y - 4 Maka , f-1 (x) = - x - 4


23

Latihan : Cari fungsi songsang bagi;

(a) (b)

(c) (d)

(e)

Jawapan Latihan

(a) ( )

(b) ( )

(c) ( )

(d) ( )

(e) ( )


24

1.8.1 Graf Fungsi Songsang Graf songsang diperolehi dengan memantulkan graf f terhadap garis lurus y = x Contoh 1 :Graf f(x) = x2+1 dan f-1(x) = (x-1)1/2.

Paksi simetri bagi graf ialah pada y = x

Julat f [1, +∞) maka domain f -1 juga [1, +∞).

Contoh - contoh Graf fungsi dan fungsi songsang


25

Contoh 2 : Diberi )2(3

1)( 2 xxf , x . Cari )(1 xf dan tentukan

domain dan julat. Seterusnya lakarkan graf )(1 xf dan )(xf pada satah

kordinat yang sama.

Penyelesaian:

23)(

23

23

)2(3

1

1

2

2

xxf

yx

yx

xy

Domain f -1(x) = [ 2/3 , ∞ )

Julat f-1(x) = [ 0 , ∞ )

231 xf

)2(3

1)( 2 xxf xy

f(x)

x

2/3

2/3


26

Contoh 3 : Fungsi 82)( 2 xxxf dengan domain 0x

(i) Jelaskan kenapa )(1 xf wujud

(ii) Tulis )(xf dalam bentuk bax 2)( . Seterusnya cari )(1 xf

dalam

sebutan x dan tentukan domain bagi )(1 xf

Penyelesaian:

(i) Oleh kerana f(x) adalah fungsi satu ke satu maka

f -1 (x) wujud

(ii) Let y = x2 + 2x – 8

y = ( x + 1)2 – 9

( x + 1)2 = y + 9

x + 1 = 9 y

x = 19 y

Maka f -1 (y) = 19 y

f -1 (x) = 19 x

Domain f -1 adalah [ - 8, )


27

1.8.2 FUNGSI GUBAHAN SONGSANG

Hubungan antara fungsi songsang dan gubahan

( f o g )–1(x) = ( g–1 o f –1 )(x)

Contoh 1 : Diberi f (x) = 2x – 1 dan g(x) = (1/2)x + 4.

Cari f –1(x), g –1(x), ( f o g)–1(x), dan (g–1 o f –1)(x).

Penyelesaian:

f (x) = 2x – 1 y = 2x – 1 y + 1 = 2x

(y + 1)/2 = x (x + 1)/2 = y

Maka f –1(x) = (x + 2)/2

g(x) = (1/2)x + 4 y = (1/2)x + 4 y – 4 = (1/2)x 2(y – 4) = x 2y – 8 = x 2x – 8 = y

Maka g –1(x) = 2x - 8

( f o g)(x) = f (g(x)) = f ((1/2)x + 4) = 2((1/2)x + 4) – 1 = x + 8 – 1 = x + 7

( f o g)(x) = x + 7 y = x + 7 y – 7 = x x – 7 = y

Maka ( f o g)–1(x) = x − 7


28

Cari (g–1 o f –1)(x):

(g–1 o f –1)(x) = g–1( f –1(x)) = g–1( (x + 1)/2 ) = 2 (x + 1)/2 ) – 8 = (x + 1) – 8 = x – 7

Contoh 2 : Diberi 5,5

74)(

x

x

xxf .

(i) Cari )(1 xf .

(ii) Jika 2

3)(

xxg

dan

5

21 xgf , tentukan nilai x

Penyelesaian:

(i) 5

74)(

x

xxf

5

74

x

xy

y

yx

4

75 Maka

x

xxf

4

75)(1

, 4x

(ii) 2

3)(

xxg

5

2)]([1 xgf

5

2)

2

3(1 x

f

5

2

)2

3(4

7)2

3(5

x

x


29

5

2

5

529

x

x

145 – 25 x = 10 + 25

x = 5

Contoh 3: Fungsi f dan g diberi oleh xxf 32)( dan x

xg1

)( .

Cari1f dan

1g . Seterusnya tentukan 111 foggof

Penyelesaian:

Cari fungsi songsang f ;

xy 32

3

2 yx

maka

3

21 xxf

Cari fungsi songsang g ;

xy

1

yx

1 maka

xxg

11

Cari 1

11 1

f

fog

x

xfog

2

3

3

2

111


30

Cari fungsi gubahan f o g;

ggof 32

x

132

Katakan x

y3

2

y

x

2

3 maka

xxf

2

31

Oleh itu x

xgof

2

31

Maka 111 foggof

Latihan :

1. Cari fungsi songsang bagi f.

(a) f(x) = 3x − 2 (b) f(x) = − x 2 + 2 , x >= 0 (c) f(x) = x 2 − 2x , x >= 1 (d) f(x) = 2 / x (e) f(x) = (x + 1) / (x − 1) (f) f(x) = 1x

(g) f(x) = (x + 1) 1/3


31

Jawapan Latihan

(a) f(x) = 3x – 2 y = 3x − 2 3x = y + 2 x = (y + 2)/3 Maka f -1(x) = (x + 2) / 3 Semak : f -1(f(x)) = f -1(3x − 2) = [(3x − 2) + 2] / 3 = 3x / 3 = x (b) f(x) = − x 2 + 2 , x >= 0

f -1(x) = x2

Semak : f -1(f(x)) = f -1(− x 2 + 2) = )2(2 2 x = xx 2

(c) f(x) = x 2 − 2x , x ≥ 1 y = x 2 − 2x bukan fungsi satu – satu, maka f -1(x) tidak wujud. (d) f(x) = 2 / x y = 2 / x x = 2 / y Maka f-1(x) = 2 / x

(e) f(x) = (x + 1) / (x − 1) y = (x + 1) / (x − 1) y(x − 1) = (x + 1) xy – x = 1 + y x( y – 1) = 1 + y x = (1 + y) / ( y − 1) Maka f-1(x) = (1 + x) / ( x – 1)


32

(f) f(x) = 1x

y = 1x

x – 1 = y2

x = y2 + 1 Maka f-1(x) = x2 + 1

(g) f(x) = (x + 1) 1/3 y = (x + 1) 1/3 y3 = x + 1 x = y3 − 1 Maka f-1(x) = x3 − 1


33

1.9 MELAKAR GRAF

1.9.1 Melakar graf dengan menggunakan Geometer’s Sketchpad (GSP)

Untuk melakar graf dengan GSP, ikut langkah-langkah berikut:

1. Buka GSP, paparan berikut akan ditayangkan. Kedudukan menu bar di

atas dan tool bar di tepi kiri.

2. Klik pada fungsi Graph. Menu tarik bawah berikut akan dipaparkan.


34

3. Klik pada Define Coordinate System. Satah Cartes berikut akan

ditayangkan.

4. Klik Graph semula. Pada menu tarik bawah, klik pada Plot New Function.

Arahan ini akan memaparkan Calculator.

Masukkan fungsi baru seperti dengan kalkulator biasa. Contoh, masukkan

(x-3)^2, kalkulator akan menunjukkan persamaan f(x) = (x-3)2.

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15


35

Klik pada OK. Graf untuk fungsi baru akan dipaparkan pada satah Cartes.

5. Klik pada mana-mana untuk deselect graf dan fungsi. Jika anda tidak

mahu grid ditunjukkan, klik Graph diikuti oleh Hide Grid.

6. Anda boleh memplotkan lebih daripada satu fungsi pada satah itu. Jika

anda ingin mengeditkan fungsi anda, klik pada fungsi itu untuk select fungsi itu.

Kemudian pergi ke menu bar dan klik pada Edit. Menu tarik bawah akan terbit.

Klik pada Edit Function…

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

f x = x-3 2

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

f x = x-3 2


36

Kalkulator akan terbit. Buat pengeditan dan kemudian klik OK.

7. Untuk membuat lakaran baru, klik File pada menu bar diikuti oleh New

Sketch pada menu tarik bawah.

8. Untuk mengakhiri sesi anda, klik File pada menu bar diikuti oleh Save As

pada menu tarik bawah.

Latihan Kendiri

Plot graf bagi setiap fungsi yang berikut dengan menggunakan GSP:

a. f(x) = x(x-2)(x+3)

b. f(x) = 2

2

x

x

c. f(x) = 2 sin(x + 4

)

1.9.2 Melakarkan Graph bagi Fungsi Rasional secara manual.

Pada amnya, fungsi rasional lebih sukar untuk dilakarkan berbanding dengan

fungsi polinomial. Kita perlu menganalisis tingkahlaku sesuatu fungsi rasional.

Langkah-langkah untuk melakarkan R(x), di mana R(x ) = ( )

( )

P x

Q x

adalah seperti

berikut:

Langkah 1 - Menentukan asimptot menegak

Apabila fungsi penyebut, Q(x) menghampiri sifar, R(x) akan cenderung kepada ±

. Katakan nilai sifar bagi Q(x) ialah x = c di mana c ialah suatu pemalar.

Apabila x c , nilai )(xR , maka x = c menjadi asimptot menegak bagi

fungsi R(x).


37

Langah 2 - Menentukan asimptot mengufuk

Jika apabila x , nilai R(x) menghampiri suatu pemalar L, maka garis y = L

menjadi asimptot mengufuk bagi fungsi itu.

Secara ringkas, jika asimptot menegak atau mengufuk bagi fungsi R(x) wujud, ia

ditakrifkan seperti berikut:

Apabila x , nilai R(x) menghampiri suatu pemalar L, maka garis y = L akan

menjadi asimptot mengufuk bagi fungsi itu.

Apabila x c , di mana c ialah suatu pemalar dan nilai )(xR , maka x = c

akan menjadi asimptot menegak bagi fungsi R(x).

Langkah 3 – Menentukan pintasan-x dan y jika wujud

Langkah 4 – Lakarkan graf

Contoh 1

Lakar graf bagi fungsi f (x) = 1

2x

Penyelesaian

1. Sifar fungsi penyebut ialah 2, maka x = 2 menjadi asimptot menegak.

Apabila x 2 + ( sangat dekat dengan 2 di sebelah kanan), f (x ) ;

Apabila x 2 - (sangat dekat dengan 2 di sebelah kiri), f(x ) - ;

2. Apabila x , f (x) 0;

Apabila x - , f (x) 0

Maka, garis y = 0 atau paksi-x menjadi asimptot mengufuk.

3. Pintasan-y ialah ( 0, 1

2 )

4. Lakarkan graf seperti dalam gambarajah di bawah.


38

Graf bagi f (x) = 2

1

x

Contoh 2

Lakar graf fungsi rasional f (x ) = 2 3

2

x

x

Penyelesaian

1. Sifar bagi fungsi penyebut ialah 2, maka garis x = 2 menjadi asimptot

menegak.

Apabila x 2 , )(xf , maka x = 2 menjadi asimptot menegak bagi

f(x). Apabila x menghampiri 2 dari kanan, f(x ) + dan

apabila x menghampiri 2 dari kiri, f (x) - .

2. Apabila x , f(x ) 2 ; dan apabila x , f( x ) 2 , maka y = 2

menjadi asimptot menegak.

Alternatif

Kita boleh memeriksa pengangka dan penyebut fungsi f(x), jika kedua-duanya

mempunyai darjah yang sama (darjah sepunya ialah 1) dan pekali-pekali utama

adalah 2 dan 1, maka kita simpulkan bahawa y = 2 ialah asimptot mengufuk

3. Pintasan-x ialah ( 3

2 , 0 ) dan pintasan-y ialah ( 0, -

3

2 )


39

4, Lakar graf bagi f(x) adalah seperti dalam gambarajah di bawah.

Graf bagi f(x) = 2

32

x

x

Documents

TOPIK 1 FUNGSI DAN GRAF.pdf