16
MTE3101 MENGENAL NOMBOR Topik 5 Nombor Bukan Nisbah 5.0 Sinopsis Topik ini memberi pendedahan kepada pelajar tentang Nombor Bukan Nisbah serta ciri-ciri asas nombor tersebut. Punca kuasa dua dan surd juga dibincangkan, khususnya tentang hukum hasil darab dan hukum hasil bahagi bagi surd. Topik ini turut membincangkan beberapa penyelesaian masalah tentang Nombor Bukan Nisbah. 5.1 Hasil Pembelajaran 1. Mengenal pasti ciri-ciri Nombor Bukan Nisbah. 2. Membahagi radikal/surd dengan indeks yang sama serta memudahkan hasil darab dan hasil bahagi surd. 3. Memudahkan radikal melalui penyempurnaan / merasionalkan penyebut. 4. Menyelesaikan masalah harian yang melibatkan radikal / surd. 5.2 Kerangka Konsep 17

TOPIK 5-BUKAN NISBAH

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Nisbah

Citation preview

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

Topik 5 Nombor Bukan Nisbah

5.0 Sinopsis

Topik ini memberi pendedahan kepada pelajar tentang Nombor Bukan Nisbah serta ciri-

ciri asas nombor tersebut. Punca kuasa dua dan surd juga dibincangkan, khususnya

tentang hukum hasil darab dan hukum hasil bahagi bagi surd. Topik ini turut

membincangkan beberapa penyelesaian masalah tentang Nombor Bukan Nisbah.

5.1 Hasil Pembelajaran

1. Mengenal pasti ciri-ciri Nombor Bukan Nisbah.

2. Membahagi radikal/surd dengan indeks yang sama serta memudahkan hasil darab dan

hasil bahagi surd.

3. Memudahkan radikal melalui penyempurnaan / merasionalkan penyebut.

4. Menyelesaikan masalah harian yang melibatkan radikal / surd.

5.2 Kerangka Konsep

17

NOMBOR BUKAN NISBAH

Ciri-ciri asas / Definisi

Punca Kuasa Dua dan Surd

Penyelesaian Masalah

Hukum Hasil darab Hukum Hasil bahagi

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

5.3 Ciri-ciri Asas Nombor Bukan Nisbah

5.3.1 Definisi

Nombor bukan nisbah ialah nombor bukan integer  yang tidak boleh diungkapkan

sebagai nisbah / pecahan.

Lihat rajah di bawah. Apa yang anda dapat katakan tentang Nombor Bukan Nisbah?

Ianya nombor nyata yang boleh ditulis sebagai nombor perpuluhan yang tidak berakhir dan

tidak berulang. Antara contoh-contoh Nombor Bukan Nisbah ialah π, , dan lain-

lain.

Kita telah membincangkan tentang Nombor Nisbah. Sekarang cuba fikirkan apakah

maksud Nombor Bukan Nisbah.

Adakah Nombor Nisbah atau Nombor Bukan Nisbah ?

adalah bersamaan dengan 3.141592653589793238……. tentunya anda tidak dapat

menulis sebarang nisbah / pecahan yang bersamaan nilai .

Penghampiran 22/7 = 3.1428571428571…adalah nilai yang hampir TETAPI tidak tepat.

Mari kita kaji Punca Kuasa dua bagi 2:

Apakah jarak bagi pepenjuru di atas ?

18

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

Jawapan anda tentulah punca kuasa dua bagi 2,  iaitu 1.4142135623730950...

Didapati, ianya bukan nombor seperti 3, atau lima per tiga, atau sebagainya. Anda tidak

dapat menulis punca kuasa dua bagi 2 dengan menggunakan nisbah dua nombor. Nombor

sebegini dikenali sebagai Nombor Bukan Nisbah.

Nombor Bukan Nisbah lain yang popular adalah :

Nombor  e (Euler's Number) Ramai pengkaji telah mendapati nilainya mempunyai beberapa tempat perpuluhan tanpa mendapati corak / pola tertentu. Nilainya adalah

2.7182818284590452353602874713527…

Nisbah Keemasan ( Golden Ratio ) juga adalah Nombor Bukan Nisbah.Beberapa digit yang pertamanya adalah

1.61803398874989484820... ..

Banyak punca kuasa dua, punca kuasa tiga dan sebagainya adalah Nombor Bukan Nisbah . Contoh-contoh adalah

√3 1.7320508075688772935274463415059

√99 9.9498743710661995473447982100121

 

5.3.2 Punca Kuasa Dua

Perhatikan pernyataan di bawah :

Kita mengetahui bahawa . Nombor seperti 25, mempunyai punca kuasa dua

berbentuk nombor bulat ( iaitu 5 ) dikenali sebagai KUASA DUA SEMPURNA. Nombor 5

pula dipanggil sebagai PUNCA KUASA DUA SEMPURNA.

19

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

Setiap nombor bulat mempunyai punca kuasa dua. Kebanyakan nombor yang bukan

KUASA DUA SEMPURNA (contohnya 26), mempunyai PUNCA KUASA DUA berbentuk

Nombor Bukan Nisbah.

5.3.2.1 Mencari Punca Kuasa Dua Sesuatu Nombor

Jika sesuatu nombor itu bukan Nombor Kuasa Dua Sempurna, anda boleh menggunakan

kalkulator untuk mencari jawapan tepat kepada perseribu yang hampir.

Contoh 1:

Cari punca kuasa dua bagi nombor-nombor 81, 37, 158.

Penyelesaian:

Contoh 2:

Cari dua nombor bulat yang berturutan yang memberikan lingkungan jawapan

kepada punca kuasa dua nombor berikut:

(a) (b)

Penyelesaian:(a) dan maka berada antara 4 dan 5.(b) dan maka berada antara 10 dan 11.

5.3.3 Surd

Nombor Bukan Nisbah yang melibatkan simbol radikal seperti , , dan lain-lain dikenali

sebagai surd.

, , adalah contoh-contoh surd.

20

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

Kita sedia maklum bahawa , ,

Semua punca kuasa nombor-nombor di atas mempunyai nilai yang tepat dan dikenali

sebagai Nombor Nisbah.

Bagi , kita terpaksa menggunakan kalkulator untuk mencari jawapan.

Didapati

Semua punca kuasa nombor-nombor di atas TIDAK mempunyai nilai yang tepat dan

dikenali sebagai Nombor Bukan Nisbah. Juga dikenali sebagai SURD.

Mari kita kaji nombor-nombor berikut:

Adakah nombor-nombor di bawah Nombor Nisbah atau Nombor Bukan Nisbah ?

(a) (b) (c) (d)

Kita akan mendapati jawapan seperti berikut:

(a) - Nombor Bukan Nisbah kerana ia tidak dapat dimudahkan kepada sebarang integer.

(b) - Nombor Nisbah kerana ia dapat dimudahkan kepada integer:

(c) - Nombor Bukan Nisbah kerana adalah nombor Bukan Nisbah.

(d) - Nombor Nisbah kerana ia dapat dimudahkan kepada .

5.3.3.1 Bentuk Standard / Piawai bagi Surd

dan adalah surd yang sama. dikenali sebagai surd penuh manakala

pula adalah bentuk standard / piawai.

juga bersamaan and , tetapi ia bukan dalam bentuk surd penuh atau

bentuk standard.

Surd dalam bentuk standard mempunyai nombor (berada dalam tanda punca kuasa

dua/tiga) yang tidak boleh dibahagi oleh nombor kuasa dua sempurna (lebih besar

daripada 1).

Contoh 3:

Nyatakan dalam bentuk standard

21

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

(a) (b) (c) . (d)

Penyelesaian:

(a)

(b) .

(c) .

Contoh 4:

Nyatakan dalam bentuk surd penuh

(a) (b) (c) .

Penyelesaian:

(a) .

(b) .

(c) .

5.3.3.2 Penambahan dan Penolakan SURD.

Contoh 5:

Kira hasil tambah dan hasil tolak surd berikut:

(a) (b)

(c) (d)

Penyelesaian:

(a)

(b)

22

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

(c)

(d)

5.3.3.3 Hukum Hasil Darab

Contoh 6:

Mudahkan

Penyelesaian:

.

Contoh 7:

Mudahkan

Penyelesaian:

Contoh 8:

Kembangkan dan mudahkan

(a) (b) (c) .

Penyelesaian:

(a) .

(b)

= .

23

baab

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

(c)

=

= .

5.3.3.4 Hukum Hasil Bahagi

Contoh 9:

Mudahkan (a) (b)

Penyelesaian:

(a) (b)

Contoh 10:

Mudahkan

Penyelesaian:

atau

Contoh 11:

Mudahkan

Penyelesaian:

24

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

Merasionalkan penyebut bagi sesuatu Ungkapan (Rationalising the denominator of

an expression)

Kadangkala, penyebut sesuatu ungkapan, perlu diubah kepada Nombor Nisbah. Apabila

tanda punca kuasa dua ( ) terlibat dalam operasi pembahagian, kita hendaklah cuba

menghapuskan tanda tersebut pada bahagian penyebut (denominator). Proses ini

dinamakan merasionalkan penyebut (rasionalizing the denominator).

Perhatikan penerangan di bawah:

Penyebut Darab dengan Penyebut tanpa radikal

2 – 9 = -75 – 3 = 2

Contoh 12:

Rasionalkan penyebut bagi ungkapan-ungkapan berikut:

(a) (b) (c) .

Penyelesaian:

(a) . ( darab pengangka dan penyebut, dengan penyebut

yang sama)

(b) .

25

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

(c) . ( darab pengangka dan penyebut, dengan

penyebut yang bertanda surd)

Konjugat Surd

Jika diberi , kita dapati adalah pasangan konjugat surd. dan

membentuk pasangan konjugat surd. Pendaraban pasangan konjugat surd

akan menghasilkan Nombor Nisbah.

Peraturan umum bagi pasangan konjugat surd adalah seperti berikut:.

Contoh mudah adalah seperti berikut:

Contoh 13:

Kembangkan pasangan surd konjugat berikut:

(a) (b)

(c) .

Penyelesaian:

(a) .

(b)

= 6 – 2 = 4.

(c)

.

26

ba)ba()ba(

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

Contoh 14:

Rasionalkan penyebut bagi

Penyelesaian:

27

Nyatakan ungkapan berikut dalam bentuk standard bagi surd:

(b)

Nyatakan ungkapan berikut dalam bentuk surd penuh:(b)

Cuba anda ringkaskan ungkapan berikut:

( agak mencabar ).

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

Peringatan: Anda digalakkan melayari laman web atau cari dari buku rujukan di

pusat sumber untuk meningkatkan pemahaman anda. Segala latihan yang dibuat

perlu dimasukkan dalam portfolio masing-masing.

SELAMAT BELAJAR!

RUJUKAN :

Sullivan, Michael. (1999). Algebra and Trigonometry. 5th ed. New Jersey: Prentice Hall. Tipler, M.J. et.al.(2003). New national framework Mathematics. USA: Nelson Thornes

Limited.

Groves, Susie. (2006). Exploring number and space: Reader. Victoria: Deakin University.

Humble, S. (2002). The experimenter’s A-Z of Mathematics: Maths activities with computer support. London: David Fulton.

Miller, C. D.; Heeren, V. E. & Hornsby, E. J. Jr. (1990). Mathematical ideas. 6th ed. USA: Harper Collins.

Musser, Gary L.; Burger, William F. & Peterson, Blake E. (2006). Mathematics for elementary teachers. A contemporary approach. 7th ed. NJ: John Wiley and Sons.

Smith, K. J. (2001). The nature of Mathematics. 9th ed. Pacific Grove, CA: Brooks/Cole.

Man, Leng Ka; Goen, Quek Suan; Kiang, Yong Ping, (1998). Kecemerlangan DalamMatematik S STPM. Federal Publications Sdn.Bhd.

28