Upload
dara-nadinda
View
232
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 1/42
MAKALAH
TOPIK BAHASAN DALAM ALJABAR LINEAR DAN
MATRIKS
OLEH:
DARA NADINDA
D1041141015
Disusun untuk memenuhi Ujian Tengah Semester Mata
Kuliah Aljabar Linear dan Matriks
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS TANJUNGPURA
2015
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 2/42
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan Kepada Tuhan Yang Maha
Esa, karena berkat karunia!ya, penulis dapat menyelesaikan
makalah ini yang berjudul " T#pik $ahasan dalam Aljabar Linear dan
Matriks "% Makalah ini dibuat #leh penulis untuk memenuhi Ujian
Tengah Semester Aljabar Linear dan Matriks %
Penulisan makalah ini tidak lepas dari bantuan berbagai
pihak, #leh karena itu dalam kesempatan ini penulis ingin
menyampaikan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada&
'% (bu Yulianti, S%K#m, MMS(, selaku D#sen Pengampu mata kuliah
Aljabar Linear dan Matriks%
)% *rang tua, keluarga dan saudara penulis yang sangat penulis
sayangi%
+% Teman dan sahabat penulis%
% Pihakpihak lain yang se-ara langsung atau tidak, yang
membantu penulis baik dalam bentuk m#ril maupun materidalam menyusun makalah ini%
Penulis menyadari terdapat kekurangan dalam tulisan ini,
#leh karena itu dengan segenap kerendahan hati penulis
mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi
kesempurnaan makalah ini% Sem#ga makalah ini dapat berman.aat
bagi perkembangan ilmu pengetahuan% Amin%
P#ntianak, ' /uli )0'1
Penulis
'
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 3/42
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR i
DAFTAR ISI ii
DAFTAR GAMBAR iv
DAFTAR TABEL v
ABSTRAK viBAB I PENDAHULUAN1
(%' Latar $elakang '
(%) 2umusan Masalah '
(%+ Tujuan )
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 3
((%' 3ekt#r+
((%) 4impunan +((%+ Matriks +
((% Sistem Persamaan Linear
BAB III METODOLOGI PENELITIAN 5
(((%' Met#de Penelitian 1
(((%) Teknik Pengumpulan Data 1
(((%+ Data dan Sumber Data 1
(((%+%' Data 1(((%+%) Sumber Data 1
(((% Teknik Pengujian Data 5
BAB IV HASIL DAN ANALISIS 7
(3%' 3ekt#r 6
(3%'%' De7nisi 6
(3%'%) 3ekt#r di R2
6
(3%'%)%' *perasi pada 3ekt#r 8
)
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 4/42
(3%'%)%) 3ekt#r P#sisi '0
(3%'%)%+ Perkalian Skalar Dua 3ekt#r dalam $idang ''
(3%'%)% 3ekt#r $asis dalam $idang ''
(3%'%+ 3ekt#r di R3
')
(3%'%+%' *perasi 3ekt#r pada 2uang ')
(3%'%+%) Si.atsi.at 3ekt#r pada 2uang ')
(3%'%+%+ 2umus Perbandingan 3ekt#r '+
(3%'%+% $esar Sudut Antara Dua 9ekt#r '+
(3%'%+%1 Si.atsi.at Perkalian Skalar Dua 3ekt#r '+
(3%'% Pr#yeksi *rt#g#nal Suatu 3ekt#r pada 3ekt#r Lain '
(3%) 4impunan '1
(3%)%' De7nisi '1
(3%)%) *perasi Terhadap 4impunan '5
(3%)%+ Diagram 3enn':
(3%)% Si.atsi.at *perasi 4impunan ':
(3%+ Matriks )0(3%+%' De7nisi )0
(3%+%) /enisjenis Matriks )0
(3%+%+ Kesamaan Dua Matriks )'
(3%+% *perasi#perasi Aljabar pada Matriks )'
(3%+%1 Determinan Matriks ))
(3%+%5 (n9ers Matriks)+
(3% Aljabar Linear )1(3%%' De7nisi Sistem Persamaan Linear )1
(3%%) Penyelesaian Persamaan Sederhana )1
(3%%+ Persamaan Linear Simultan dengan Dua 3ariabel )1
(3%% Persamaan Linear Simultan dengan Tiga 3ariabel )6
BAB V PENUTUP 2
3%' Kesimpulan ):
3%) Saran ):
+
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 5/42
DAFTAR PUSTAKA 30
DAFTAR GAMBAR
;ambar ' 3ekt#r A$ 7
;ambar ) 3ekt#r pada $idang 7
;ambar + Perbandingan 3ekt#r 13
;ambar Pr#yeksi *rt#g#nal 14
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 6/42
DAFTAR TABEL
Tabel ' Penjumlahan 3ekt#r !
Tabel ) Si.at Penjumlahan 3ekt#r
Tabel + Pengurangan 3ekt#r
Tabel Perkalian Suatu 3ekt#r dengan Skalar 10
Tabel 1 Si.at 3ekt#r pada 2uang 12
Tabel 5 Si.at Perkalian 3ekt#r Skalar Dua 3ekt#r 13
Tabel 6 Perbandingan dari Dua 4impunan 1"
Tabel 8 *perasi Terhadap 4impunan 17
Tabel : Si.at Penjumlahan Matriks 21
Tabel '0 Si.at Perkalian Matriks 22
1
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 7/42
ABSTRAK
T#pik $ahasan dalam Aljabar Linear dan Matriks merupakan
.#kus yang akan dibahas pada makalah ini%
Tujuan penulisan makalah adalah untuk membahas dan
mempelajari t#pik bahasan dalam aljabar linear dan matriks yang
terdiri atas 9ekt#r, himpunan <set=, matriks, dan aljabar linear
<sistem persamaan linear=%
4asil pembahasan menunjukkan bah>a 9ekt#r, himpunan,
matriks dan sistem persamaan linear memiliki keterkaitan% $aik
dari segi materi maupun dengan -ara peme-ahan atau pengerjaansuatu kasus atau s#al yang diberikan%
Kata Kun-i & Vektor, Himpunan, Matriks, Aljabar Linear
5
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 8/42
6
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 9/42
BAB I
PENDAHULUAN
(%' Latar $elakangSe-ara etim#l#gi, pengertian matematika berasal dari
bahasa latin manthanein atau mathemata yang berarti
?belajar atau hal yang dipelajari% Dalam bahasa $elanda
disebut wiskunde atau ilmu pasti, yang kesemuanya berkaitan
dengan penalaran% Dalam bahasa Yunani& μαθηματι!
math"matik#= adalah studi besaran,struktur, ruang, dan
perubahan%De>asa ini, bagi sebagian besar #rang, matematika
merupakan ilmu yang sangat rumit untuk dipelajari% 4al ini
dikarenakan keakuratan dari ilmu itu sendiri% padahal,
matematika sering kita jumpai pada kehidupan seharihari%(lmu matematika dibagi menjadi banyak -abang, salah
satunya adalah aljabar linear dan matriks% Aljabar linear adalah
bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan
linear dan s#lusinya, 9ekt#r, serta trans.#rmasi
linear%Matriks dan #perasinya juga merupakan hal yang
berkaitan erat dengan bidang aljabar linear%Aljabar linear dan matriks merupakan .#kus yang akan
dibahas dalam makalah ini% Subbab dari aljabar linear dan
matriks tersebut adalah 3ekt#r, 4impunan, Matriks dan Aljabar
linear <Sistem Persamaan Linear=% Masingmasing subbab akan
dibahas se-ara mendetail, khususnya rumusrumus yangdigunakan, -ara penyelesaian, dan juga akan di-antumkan
berbagai -#nt#h s#al yang berkaitan dengan materi ini%
(%) 2umusan Masalah'% Apa pengertian 9ekt#r @)% $agaimana #perasi aritmetika pada 9ekt#r @+% Apa pengertian himpunan @% $agaimana #perasi aritmetika pada himpunan @1% Apa pengertian matriks @
5% $agaimana #perasi aritmetika pada matriks @6% Apa pengertian sistem persamaan linear @
'
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 10/42
8% $agaimana #perasi aritmetika pada sistem persamaan
linear @(%+ Tujuan
'% Mengetahui dan mengerti de7nisi pengertian 9ekt#r
beserta #perasi aritmetikanya%)% Mengetahui dan mengerti de7nisi pengertian himpunan
beserta #perasi aritmetikanya%+% Mengetahui dan mengerti de7nisi pengertian matriks
beserta #perasi aritmetikanya%% Mengetahui dan mengerti de7nisi pengertian sistem
persamaan linear beserta #perasi aritmetikanya%
)
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 11/42
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
((%' 3ekt#r3ekt#r adalah suatu besaran yang memiliki besar dan
arah tertentu <Sulistiy#n#, )006=%Kuantitas 9ekt#r dide7nisikan se-ara lengkap apabila
kita mengetahui bukan saja magnitud#nya <dengan satuan=
tetapi juga arah ke mana 9ekt#r itu ber#perasi, sebagai
-#nt#h, gaya, ke-epatan, per-epatan% Kuantitas 9ekt#r perlu
melibatkan arah dan juga magnitud#nya <BulkiCi,)00'=%3ekt#r adalah besaran yang mempunyai panjang
<besar= dan arah <Tary#,)0'+=%
((%) 4impunan4impunan adalah kumpulan dari #byek#byek yang
mempunyai si.at tertentu dan dide7nisikan se-ara jelas
<!#eryanti=%4impunan adalah kumpulan #bjek#bjek <bendabenda
real atau abstrak= yang dide7nisikan dengan jelas <Kustia>an=Suatu himpunan merupakan kumpulank#leksi elemen
elemen <!ugr#h#,)0'0=%
((%+ MatriksMatriks adalah susunan beberapa bilangan dalam
bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan k#l#m
<Sulistiy#n#,)006=%Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi
panjang yang diatur dalam baris dan k#l#m <Tary#,)0'+=%Matriks adalah set bilangan real atau bilangan
k#mpleks <atau elemenelemen= yang disusun dalam baris
dan k#l#m sehingga membentuk jajaran persegi panjang
<re-tangular array= <BulkiCi,)00'=%
+
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 12/42
((% Sistem Persamaan LinearPersamaan linear dengan suatu 9ariabel <anu= tunggal
melibatkan pangkatpangkat 9ariabel yang tidak lebih tinggi
dari pada pangkat pertama <BulkiCi,)00'=%Suatu persamaan linear dalam dua 9ariabel memiliki
sejumlah penyelesaian yang tak terhingga <BulkiCi,)00'=%Dengan tiga anu dan tiga persamaan, met#de
penyelesaian hanyalah merupakan perluasan dari -ara yang
dilakukan untuk dua anu <BulkiCi,)00'=%Penyelesaian himpunan persamaan simultan dapat
diselesaikan dengan dua met#de, yaitu met#de reduksi baris
atau eliminasi ;auss, dan kaidah ramer <$ambang,)0''=%
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 13/42
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
(((%' Met#de Penelitian$erdasarkan pada masalah yang diteliti, met#de yang
digunakan dalam penelitian ini adalah met#de deskripti.
dengan pendekatan kuantitati.% Menurut hidayat syah,
penelitian deskripti. adalah met#de penelitian yang
digunakan untuk menemukan pengetahuan yang seluas
luasnya terhadap #bjek penelitian pada suatu masa tertentu% Dan menurut A7d $urhanuddin, met#de penelitian
kuantitati. merupakan salah satu jenis penelitian yang
spesi7kasinya adalah sistematis, teren-ana, dan terstruktur
dengan jelas sejak a>al hingga pembuatan desain
penelitiannya% De7nisi lain menyebutkan baha>a penelitian
kuantitati. adalah penelitian yang banyak menuntut
penggunaan angka, mulai dari pengumpulan data, pena.siran
terhadap data tersebut, serta penampilan dari hasilnya%
(((%) Teknik Pengumpulan DataDalam pengumpulan datadata yang dibutuhkan,
penulis menggunakan met#de studi literatur <library
resear-h= yaitu in.#rmasi yang didapat dari bukubuku
-atatan dan sumbersumber lain yang berhubungan dengan
masalah yang diteliti%
(((%+ Data dan Sumber Data(((%+%' DataData yang diperlukan dalam penelitian ini berupa literatur
mengenai aljabar linear dan matriks% Khususnya adalah
materi mengenai 9ekt#r, himpunan <set=, matriks, dan
persamaan sistem linear%
(((%+%) Sumber Data
Sumber data dalam penelitian ini adalah bukubuku berikut &
1
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 14/42
'% Erlangga #kus U! (lmu Pengetahuan Alam yang
diterbitkan #leh Erlangga dan disusun #leh Tim Erlangga
#kus SMA%
)% Matematika Diskrit dan Aplikasinya yang diterbitkan #leh
MediaK#m dan disusun #leh !ugr#h# Agus 4%, M%Si%
beserta Dra% Fidi 4apsari, M% T%+% Matematika Teknik edisi kelima jilid ' yang diterbitkan #leh
Erlangga dan di alih bahasakan #leh BulkiCi 4arahap%% Matematika untuk (lmu isika dan Teknik yang diterbitkan
#leh A!D( dan disusun #leh $ambang Murdaka Eka /ati
beserta Tri Kunt#r# Priyamb#d#%
1% Seri Pendalaman Materi Matematika Pr#gram (PA yangditerbitkan #leh esis dan disusun #leh Sulistiy#n#%
5% $eberapa eb##k%
(((% Teknik Pengujian Data3aliditas instrumen penelitian adalah kemampuan
instrumen penelitian untuk mengukur apa yang seharusnya
diukur% Dalam makalah ini, penulis menguji data dengan -ara
men-antumkan berbagai -#nt#h s#al yang berhubungan
dengan materi yang dibahas pada makalah ini%
BAB IV
HASIL DAN ANALISIS
5
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 15/42
(3%' 3ekt#r
(3%'%' De7nisi
3ekt#r adalah suatu besaran yang memiliki besar dan
arah tertentu%
;ambar berikut disebut juga gambar 9ekt#r AB dan biasa
ditulis AB %
(3%'%) 3ekt#r di R2
3ekt#r pada R2
biasanya digambarkan dalam
k##rdinat artesius%
6
G#$%#& 1 V'()*&AB
G#$%#& 2 V'()*& +#,#Bi,#-.
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 16/42
• 3ekt#r p#sisi adalah 9ekt#r yang pangkalnya di titik *% 3ekt#r
p#sisi titik A
( x
1, y
1
) adalah
OA=
( x
1
y1
) dan 9ekt#r p#sisi titik
B ( x2, y
2) adalahOB=( x2
y2) %
• Dua 9ekt#ra=( x1
y1) dan
b=( x2
y2) dikatakan sama jika dan
hanya jika x
1= x2 dan
y1= y
2 , dan arah kedua 9ekt#r itu
sama%
• !egati.a=( x1
y1) adalah
(−a )=(− x1
− y1) yaitu 9ekt#r a
dengan arah berla>anan%
• 3ekt#r (0
0) disebut 9ekt#r n#l, yaitu 9ekt#r yang
panjangnya 0 dan berupa titik%
• $esar panjang <m#dulus= 9ekt#r
Misalkan a=( x y ) , maka |a|=√ x2+ y2
%
#nt#h& Diketahui a=(6
8) maka |a|=√ 62+82=√ 100=10 %
• 3ekt#r unit <satuan= adalah 9ekt#r yang besarnya satu unit%
3ekt#r unit yang searah dengan 9ekt#r v (v ≠ 0 ) adalah
v= v
|v| %
#nt#h& 3ekt#r satuan a=(6
8) adalah a= 1
10 (6
8)=
(
6
10
8
10
)%
8
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 17/42
(3%'%)%' *perasi pada 3ekt#r
'% Penjumlahan 9ekt#r
S'/#&# G'*$')&i S'/#&# A#%#&Menjumlahkan 9ekt#r dengan
menggunakan aturan segitiga
dimana penjumlahan dilakukan
dengan membuat ujung satu
9ekt#r berimpit dengan pangkal
9ekt#r yang lain%
Misalkana=( x1
y1) dan
b=( x2
y2) ,
maka
a+b=( x1
y1)+( x2
y2)
¿
(
x1+ x
2
x2+ y2
)
T#%' 1 P'-$##- V'()*&
Si.atsi.at penjumlahan 9ekt#r adalah sebagai berikut%
Si#) B'-)(
K#mutati. a+b=b+a
As#siati. (a+b )+c=a+ (b+c )
Elemen identitas 0 , di mana 0+a=a+0
!egati.
−a , di mana
−a+a=a+(−a )=0
T#%' 2 Si#) P'-$##- V'()*&
)% Pengurangan 9ekt#r
Pengurangan 9ekt#r a danb dide7nisikan #leh
a−b=a+(−b ) %
S'/#&# G'*$')&i S'/#&# A#%#&
Misalkana=( x1
y1) dan
b=( x2
y2) ,
:
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 18/42
Pengurangan 9ekt#r a danb
digambarkan seperti
penjumlahan 9ekt#r dengan arah
9ekt#r b berla>anan%
makaa−b=( x1
y1)−( x2
y2)=( x1
− x2
y1− y
2)
T#%' 3 P'-.&#-.#- V'()*&
#nt#h& Diketahui a=(13
23) danb=(0
8) ,
maka a+b=(13
23)−(0
8)=(13−0
23−8)=(13
15)
+% Perkalian suatu 9ekt#r dengan skalar
/ika k bilangan p#siti., maka k a adalah 9ekt#r yang
arahnya sama dengan a dan besarnya k |a| % Sementara
itu −k a adalah 9ekt#r yang arahnya berla>anan dengan
a dan besarnya k |a| %
S'/#&# G'*$')&i S'/#&# A#%#&
Perkalian 9ekt#r a dengan
skalar digambarkan sebagai
berikut%
Misalkan k adalah suatu
skalar dana=( x1
y1) ,
Makak a=k ( x1
y1)=(kx
1
ky1)
'0
a
2 a
−3
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 19/42
T#%' 4 P'&(#i#- S#) V'()*& ,'-.#- S(##&
IV.1.2.2 Vektor Posisi
Vektor posisi adalah vektor yang pangkalnya di titik (0,0). Vektor
Posisi adalah suatu vektor satuan yang menyatakan posisi atau kedudukan
suatu suatu partikel pada suatu bidang atau suatu ruang. Untuk suatu titik
yang terletak di dalam ruang dengan koordinat (!, y, "). Vektor posisi titik
terhadap pusat koordinat # (0,0,0) dide$inisikan sebagai vektor # yang dapat
ditulis sebagai berikut.
i, %, dan k menyatakan vektor satuan yang searah dengan sumbu &,
sumbu ', dan sumbu dengan besarpan%ang vektor sebagai berikut.
Untuk suatu titik yang terletak dalam bidang dengan koordinat (!, y).
Vektor posisi titik terhadap pusat koordinat # (0,0) dide$inisikan sebagai
vektor # yang dapat ditulis sebagai berikut.
i dan % menyatakan vektor satuan yang searah dengan sumbu & dan
sumbu ' dengan besarpan%ang vektor sebagai berikut.
Perpindahan (displa*ement) adalah besaran vektor. Perpindahan
dide$inisikan sebagai perubahan posisi atau kedudukan suatu partikel terhadap
suatu titik a*uan. +isalkan partikel ( x A , y A , z A ) ke titik ( xB , y B , zB ) ,
maka perpindahan partikel tersebut adalah -
atau
''
a=OA= xi+ yj+ zk
S=|a|=√ x2+ y2+ z
2
a=OA= xi+ yj
S=|a|=√ x2+ y2
∆ S=S AB= AB=SB−S A=( xB− x A ) i+ ( yB− y A ) j+( zB− z A ) k
AB=[ x B− x A
y B− y A
z B− z A]
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 20/42
(3%'%)%+ Perkalian Skalar Dua 3ekt#r dalam $idang
4asil kali skalar dua 9ekt#r a dan b a ≠ 0
¿ dan
b ≠ 0¿ din#tasikan #leh a . b % Misalkan a dan b
membentuk sudut θ , maka perkalian skalar dua 9ekt#r
dide7nisikan sebagai berikut&
Sehingga rumus besar sudut antara dua 9ekt#r a dan b
adalah &
(3%'%)% 3ekt#r $asis dalam $idang
3ekt#r unit yang searah dengan sumbu G p#siti. adalah (1
0)
ditulis i %
3ekt#r unit yang searah dengan sumbu Y p#siti. adalah (1
0)
ditulis j %
')
a ∙ b=|a||b|cos θ , dengan
cos θ= a ∙ b
|a|∙|b|
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 21/42
Dengan demikian setiap 9ekt#r p#sisi dapat ditulis dalam
bentuk i dan j % Se-ara umum, jika k##rdinat titik
P ( x , y ) , maka OP= x i+ y j %
(3%'%+ 3ekt#r di R3
(3%'%+%' *perasi 3ekt#r pada 2uang
'% Penjumlahan dan Pengurangan
Misalkana= x
1i+ y
1 j+ z
1k
danb= x
2i+ y
2 j+ z
2k
, maka&
a% a+b=(
x1
y1
z1
)+( x
2
y2
z2
)=( x
1+ x
2
y1+ y
2
z1+ z
2
)
b% a−b=
(
x1
y1
z1
)−
(
x2
y2
z2
)=
(
x1− x
2
y1− y
2
z1− z2
))% Perkalian suatu 9ekt#r dengan skalar
Misalkan k ∈ R dan a=( x
y
z) , maka k a=k ( x y
z)=(kx
ky
kz) %
IV.1..2 /i$at/i$at Vektor pada uang
+isalkana
,b
, danc
merupakan vektor dank , l∈ R
,
maka berlaku si$atsi$at berikut.
Sifat Bentuk
erhadap pen%umlahan-
1. 3omutati$ a+b=b+a
2. sosiati$ (a+b )+c=a+ (b+c )
. 4lemen nol a+0=0+a=a
'+
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 22/42
5. Invers a+(−a )=0
erhadap perkalian skalar-
1. sosiati$ k ( l a)=( kl )a
2. 6istributi$ k (a+b )=k a+k b
(k +l ) a=k a+l a
k (−a )=−(k a )=−k a
T#%' 5 Si#) V'()*& +#,# R#-.
IV.1.. umus Perbandingan Vektor
Perhatikan gambar berikut.
7ika diketahui AP : PB=m : n , maka
vektor posisi untuk titik P
adalah
p=n a+mb
m+n .
IV.1..5 esar /udut ntara 6ua Vektor
6ari de$inisi a ∙ b=|a||b|cos θ , didapat besar sudut antara dua vektor
berikut.
IV.1..8 /i$at/i$at Perkalian /kalar 6ua Vektor
'
G#$%#& 3 P'&%#-,i-.#-V'()*&
b P
a
A
$P nm
*
cosθ=|a||b|
a ∙ b
¿ |a||b|
x1 x
2+ y
1 y
2+ z
1 z
2
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 23/42
+isalkana
,b
, danc
merupakan vektor danm∈ R
, maka
berlaku si$atsi$at berikut.
Sifat Bentuk
1. 3omutati$ a ∙ b=b∙ a
2. 6istributi$ a ∙ (b+c )=( a∙ b )+ ( a∙ c )
. idak sosiati$ a ∙ (b ∙c ) ≠ (a∙ b )∙ c
5. idak memiliki elemen identitas idak terdapat x sehinggaa ∙ x=a
8. idak memiliki invers 3arena tidak memiliki elemen identitas,
akibatnya perkalian skalar tidak memiliki
invers.
9. idak tertutup :asil kali dua vektor menghasilkan skalar,
bukan vektor.
;. :asil kali skalar dua vektor yang
sama, sama dengan kuadrat modulus
vektor tersebut
a ∙ a=|a||a|=|a|2
<. :asil kali skalar dua vektor dengan
skalar
m ( a∙ b )=m a ∙ b
T#%' " Si#) P'&(#i#- S(##& D# V'()*&
IV.1.5 Proyeksi #rtogonal /uatu Vektor pada Vektor =ain
/e*ara geometris, proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain
digambarkan sebagai berikut.
'1
G#$%#& 4 P&*6'(i O&)*.*-#
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 24/42
Proyeksi ortogonal vektora
padab
, yaituc
dirumuskan oleh
c=
a ∙ b
|b|2 b
/ementara itu, proyeksi skalar ortogonal vektor a pada b adalah
|c|=|a∙ b
|b| |
(3%) 4impunan
(3%)%' De7nisi
Suatu himpunan merupakan kumpulank#leksi elemen
elemen% 4impunan dapat dide7nisikan dengan menda.tarkan
semua elemenelemennya, sebagai -#nt#h, diberikan
himpunan S yang merupakan kumpulan dari bilangan natural
<natural number = yang lebih besar dari + dan kurang dari atau
sama dengan :, dapat din#tasikan dengan menggunakan
tanda kurung kura>al, seperti berikut &
S 84959"979!9 859"949!979
'5
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 25/42
<-atatan & urutan penulisan tidak berpengaruh, hanya untuk
memudahkan saja=% Atau dengan menyatakan elemenelemen
yang memenuhi si.atsi.at tertentu, -#nt#h &
S 8; ∈ N < 3 ¿ ; ≤
Simb#l ∈ digunakan untuk menunjukkan keangg#taan&
; ∈ S, jika ; angg#ta S, dan
;
∉
S, jika ; bukan angg#ta S=
Ada beberapa -ara untuk menyajikan suatu himpunan &
'% Menggunakan n#tasi himpunan yang dispesi7kasi #leh
suatu persyaratan tertentu&
S 8; ∈ D < + >;? 8; < +>;?
S berangg#takan semua elemen dalam D yang memenuhi
persyaratan + >;?% Dalam kasus ini, penulisan dengan
menghilangkan himpunan D diperb#lehkan asalkan sudah
disepakati bersama dengan menganggap D sebagai
himpunan uni9ersal atau semesta pembi-araan yang telah
dimengerti bersama%@*-)* : S 8; < ; #,## ,*'- ,i )'(-i(
i-*&$#)i(# U-)#-Di%#/#: S adalah himpunan semua ;, sehingga ; adalah
d#sen teknik in.#rmatika Untan% Tentunya dalam hal ini D adalah himpunan #rang%
)% Menggunakan tanda kurung kura>al dan dilanjutkan
dengan ellipsis%@*-)* 1=14 : S 8192939 === %i#-.#- %#) +*i)i Pemberian nama suatu himpunan dimaksudkan untuk
memberi gambaran mengenai angg#tanya% $eberapa
himpunan bilangan mempunyai simb#l tersendiri,
misalnya&R, men#tasikan himpunan semua bilangan riil%
'6
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 26/42
, men#tasikan himpunan semua bilangan rasi#nal%, men#tasikan himpunan semua bilangan bulat%N, men#tasikan himpunan semua bilangan natural% ! H
I',),+, %%%J∅ , men#tasikan himpuan k#s#ng, yaitu himpunan yang
tidak mempunyai elemen%
#nt#h '%'1 &
' ∈ !, berarti bilangan ' merupakan angg#ta b#langan
natural%π ∉ , berarti π H +,''1:)51%%%, bukan bilangan
rasi#nal%
Kardinalitas suatu himpuan S adalah banyaknya angg#ta
<yang berbeda= dalam himpunan S, din#tasikan dengan <S<%
/ika kardinalitas suatu himpunan S berhingga, maka S disebut
himpunan berhingga <$nite set =, jika tidak, dinamakan
himpunan tak hingga <in$nite set =%
(3%)%) *perasi Terhadap 4impunan
Perbandingan dari dua himpunan A dan $ diberikan pada
tabel%
N*)#i Di%#/# A&)i
A ⊆ $ atau $
⊇ A
A himpunan
bagian <subset o% =
$
Setiap elemen
dari A juga
merupakan
elemen dari $%
∈ A →
∈ $, ∀
A H $ A sama dengan $
<A euals $=
A dan $
mempunyai
dengan tepat
elemenelemen
'8
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 27/42
yang sama%
A ⊂ $ atau $
⊃ A
A himpunan
bagian sejati
< proper subset o% =
$
A subset $ tetapi
tidak sama
dengan $%
T#%' 7 P'&%#-,i-.#- ,#&i D# Hi$+-#-
Setiap himpunan selalu merupakan himpunan bagian
dari dirinya sendiri% 4impunan k#s#ng selalu menjadi
himpunan bagian setiap himpunan setiap himpunan%
4impunan bagian seperti ini seringkali disebut dengan
himpunan bagian tak sejati% 4impunan kuasa < power set = darihimpunan A, din#tasikan dengan +>A?, adalah himpunan
semua himpunan bagian dari himpunan A% Suatu himpunan A
yang mempunyai angg#ta sebanyak -9 <A< -, mempunyai
himpunan bagian sebanyak )n, 6#i) <+>A?< 2<A< 2-%
@*-)* 1=1" :Diberikan A 8192, maka &
<i= 4impunan kuasa dari A adalah &
P>A? 8 ∅ 9 819 829 8192
<ii= Kardinalitas & <A< 2, dan <+>A?< 22 4<iii= /adi A berhingga, demikian juga +>A? berhingga%
Pembentukan suatu himpunan yang baru dari himpunan
yang sudah ada dapat dilakukan dengan #perasi#perasi yang
diberikan pada tabel%
N*)#i Di%#/# A&)iA- K#mplemen dari A
<-#mplement=
4impunan semua
elemen dalam
semesta
pembi-araan yang
tidak berada di A%
A- H I ∉ AJ
A
∪
$
A gabungan $
<union=
4impunan yang
terdiri dari semua
':
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 28/42
elemen A
ditambah dengan
semua elemen $
<kalau ada yang
sama, salah satu
saja yang
dimasukkan=%
A ∪ $ H I
∈ A ∨ ∈
$J
A ∩ $ A irisan $
<interse&t =
4impunan semua
elemen yang
berada di A dan
sekaligus juga
berada di $%
A ∩ $ H I
∈ A ∧ ∈
$JA N $ atau
A O $ atau
A ∩ $-
A dikurang $
<minus= atau
k#mplemen $ relati.
terhadap A%
4impunan semua
elemen yang
berada di A tetapi
tidak ada di $%
A O $ H I ∈
A ∧ ∉ $J%
A ⨁ $ atau
<A O $= ∪ <$ O
A=
A beda simetrik $
<s'mmetri&
di(eren&e=
4impunan yang
terdiri dari semua
elemen A yang
tidak berada di $
atau semua
elemen $ yang
)0
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 29/42
tidak berada di A%A $ A hasil kali $
<&artesian produ&t =
4impunan semua
pasangan <a,b=
dengan a diambil
dari A dan b
diambil dari $%
A $ H I<a,b= a
∈ A ∧ b ∈
$JT#%' ! O+'&#i T'&#,#+ Hi$+-#-
@*-)* 1=17 :
Diberikan ∪ 8#9%9/9,9'99.99i9, A 8#9%9/9,, dan B
8%9/9,9', maka &
<i= A- H Ie,.,g,h,i,jJ
<ii= A ∪ $ H Ia,b,-,d,eJ
<iii= A
∩
$ H Ia,eJ<i9= A O $ H IaJ
<9= A ⨁ $ H Ia,eJ
<9i= A $ H I<a,b=, <a,-=, <a,d=, <a,e=, <b,b=, %%%%%%%%%, <d,e=J
(3%)%+ Diagram 3enn
Diagram 3enn adalah salah satu -ara untuk
menggambarkan hubungan di antara dua himpunan atau tiga
himpunan% Semesta pembi-araan digambarkan dengan
menggunakan k#tak persegi panjang% Setiap himpunan yang
akan di#perasikan digambarkan menggunakan lingkaran%
Daerah yang diarsir menggambarkan himpunan yang
memenuhi #perasi yang diberikan%
(3%)% Si.atsi.at *perasi 4impunan
)'
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 30/42
Diberikan semesta pembi-araan sebagai himpunan
uni9ersal, ∪ , dan diberikan himpunanhimpunan bagiannya,
A, $, dan , maka berlaku beberapa si.at dalam #perasi
himpunan, antara lain &
a% (dentitas & A ∪ ∅ H A A ∩ $ H $
b% D#minasi & A ∪ U H U A ∩
∅ H ∅
-% (demp#ten & A ∪ A H A A ∩ A
H Ad% K#mplemen & <A-=- H A
e% K#mutati. & A ∪ $ H $ ∪ A A
∩ $ H $ ∩ A
.% Ass#siati. & A ∩ <$ ∩ = H <A ∩ $=
∩
A∪
<$∪
= H <A∪
$=
∪
g% Distributi. & A ∪ <$ ∩ = H <A ∪ $=
∩ <A ∪ =
$ ∩ <$ ∪ = H <$ ∩ =
∪ <$ ∩ =
h% 4ukum De M#rgan & <A ∪ $=- H A- ∩ $-<A
∪ $=- H A- ∪ $-
(3%+ Matriks
))
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 31/42
(3%+%' De7nisi
Matriks adalah susunan beberapa bilangan dalam bentuk
persegi panjang yang diatur menurut baris dan k#l#m%
#nt#h &
A H (23 12
48 83
59 44)
A adalah matriks ber#rd# + ), ditulis A+)% $ilanganbilangan
)+, '), 8, 8+, 1:, dan adalah elemenelemen dari matriks
A%
(3%+%) /enis/enis Matriks
/enisjenis matriks yang biasa digunakan adalah &
'% Matriks baris, yaitu matriks yang terdiri dari satu baris atau
ber#rd# ' n%#nt#h & <1 ': 0 ')=
)% Matriks k#l#m, yaitu matriks yang terdiri dari satu k#l#m atau
ber#rd# m '%
#nt#h & (98
21)+% Matriks persegi, yaitu matriks yang banyak baris dan
k#l#mnya sama%
#nt#h & ( 1 6
14 8
)% Matriks transp#s, yaitu matriks yang diper#leh dengan
mengubah setiap baris dari sebuah matriks menjadi k#l#m%
#nt#h & A H (23 12
48 83
59 44) ⟹ At H (23 48 59
12 83 44)1% Matriks n#l, yaitu matriks yang setiap elemennya adalah 0
din#tasikan dengan *%
)+
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 32/42
#nt#h & *)+ H (0 0 0
0 0 0)
(3%+%+ Kesamaan Dua Matriks
Dua matriks A dan $ dikatakan sama jika dan hanya jika
#rd# kedua matriks dan elemenelemen yang bersesuaian
sama%
#nt#h & (a b
c d
) H ( 1 6
14 8
) , maka a H ', b H 5, - H ', d H
8%
(3%+% *perasi#perasi Aljabar pada Matriks
'% Penjumlahan /ika A dan $ dua matriks ber#rd# sama, maka jumlah
keduanya ditulis A Q $ adalah matriks yang diper#leh dengan
menjumlahkan setiap elemen A dengan elemen $ yang
bersesuaian <seletak=%#nt#h &
A H (a b
c d ) dan $ H ( k l
m n)
A Q $ H (a b
c d ) Q ( k l
m n) H ( a+k b+l
c+m d+n)Misalkan A, $, matriksmatriks ber#rd# m n, berlaku si.at
si.at berikut%
Si#) B'-)( K#mutati. A+B=B+ A
As#siati. ( A+B )+ = A+(B+ )
Matriks n#l A+0=0+ A= A
(n9ers <terhadap
penjumlahan=
A+(− A )=− A+a=0
T#%' Si#) P'-$##- M#)&i()
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 33/42
)% Pengurangan /ika A dan $ dua matriks ber#rd# sama, maka selisih
keduanya ditulis A O $ adalah matriks yang diper#leh dengan
mengurangkan setiap elemen A dengan elemen $ yang
bersesuaian <seletak=%#nt#h &
A H (a b
c d ) dan $ H ( k l
m n)
A O $ H (a b
c d )−( k l
m n)=( a−k b−l
c−m d−n)
+% Perkalian dengan skalar /ika matriks A dikalikan dengan skalar a, maka diper#leh
matriks dengan elemennya adalah hasil perkalian setiap
elemen A yang bersesuaian dengan skalar a%#nt#h &
8(1 −2
3 4 )=( 8 −16
24 32 )% Perkalian matriks
Syarat & dua matriks A dan $ dapat dikalikan, yaitu A$, jika
banyak k#l#m matriks A sama dengan banyak baris pada
matriks $%#nt#h &
A H (a b
c d ) dan $ H ( k l
m n)
A$ H (ak +bm al+bn
ck +dm cl+dn)
Si#) B'-)( As#siati. ( AB ) = A(B )
Distributi. A (B+ )= AB+ A
Matriks (dentitas A! = !A= A
(n9ers <terhadap perkalian= A A−1= A
−1 A= !
T#%' 10 Si#) P'&(#i#- M#)&i(
)1
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 34/42
(3%+%1 Determinan Matriks
Determinan matriks A din#tasikan dengan det A atau A%'% Matriks ber#rd# ) )
Diberikan matriks A)) H (a b
c d ) maka A H |a b
c d| H ad O
b-
)% Matriks ber#rd# + +
Diberikan matriks A++ H (a
11 a
12 a
13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
)
(3%+%5 (n9ers Matriks
Matriks A dikatakan memiliki in9ers jika terdapat matriks A '
sehingga AA' H A'A H (%
'% A H (a b
c d
)⇒ A
−1
=
1
d"# A
( d −b
−c a
)= 1
ad−bc
( d −b
−c a
), ad−bc ≠ 0 %
/ika ,') A H ad O b- H 0, maka matriks tersebut tidak
mempunyai in9ers dan dinamakan matriks singular%)% (n9ers matriks ber#rd# + +
A−1=
1
d"# A adj A ,d"n$anadj A=(
% 11
% 12
% 13
% 21
% 22
% 23
% 31
% 32
% 33
) ,% ij=(−1 )i+ j
| & ij|,
| &
ij| atau min#r%
ij adalah determinan matriks A dengan
menghilangkan baris kei dan k#l#m kej%
Misalkan, diketahui matriks (%
11 %
12 %
13
% 21
% 22
% 23
% 31
% 32
% 33
) ,
maka
| & 13|=|a
21 a
22
a31
a32|=a
21a
32−a
31−a
22
)5
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 35/42
Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan matriks
Sistem persamaan linear <dua 9ariabel atau tiga 9ariabel= dapat
dituliskan dalam bentuk berikut%
AG H $ ⇒ G H A'$
GA H $ ⇒ G H $A'
dengan A adalah matriks yang elemennya berupa k#e7sien
k#e7sien 9ariabel dan $ adalah matriks yang elemennya berupa
k#nstantak#nstanta pada persamaan%
#nt#h &
{5 x+7 y+ z=33
x+3 y+ z=13
x−4 y+2 z=−6
Sistem persamaan linear di atas dapat ditulis &
(5 7 1
1 3 1
1 −4 2)( x
y
z)=( 33
13
−6)⇒( x y
z)=(5 7 1
1 3 1
1 −4 22)−1
( 33
13
−6)
)6
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 36/42
(3% Aljabar Linear
(3%%' De7nisi Persamaan Linear
Persamaan linear dengan suatu 9ariabel tunggal
melibatkan pangkatpangkat 9ariabel yang tidak lebih tinggi
daripada pangkat pertama% Suatu persamaan linear disebut
juga sebagai persamaan sederhana%
(3%%) Penyelesaian Persamaan Sederhana
Penyelesaian persamaan sederhana pada dasarnyaberupa penyederhanaan pernyataan pada setiap sisi
persamaan tersebut untuk memper#leh suatu persamaan yang
berbentuk a Q b H - Q d yang menghasilkan a O - H d O b
dan #leh karenannya Hd−b
a−c asalkan a ≠ c %
#nt#h &
)8
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 37/42
/ika 6 x+7+5 x−2+4 x−1=36+7 x
Maka 15 x+4=7 x+36
/adi 8 x=32 #leh sebab itu H
(3%%+ Persamaan Linear Simultan dengan Dua 3ariabel
Suatu persamaan linear dalam dua 9ariabel memiliki
sejumlah penyelesaian yang tak terhingga% Sebagai -#nt#h,
persamaan linear dua 9ariabel y O H + dapat ditransp#s
menjadi y H Q +%
Salah satu dari sejumlah nilai yang tak terhingga itu
dapat disubstitusikan ke dalam persamaan ini dan masing
masing memiliki nilai y yang berk#resp#ns% Akan tetapi, untuk
dua persamaan yang seperti itu mungkin saja terdapat
sepasang nilai dan y yang memenuhi kedua persamaan
se-ara simultan%
'% Penyelesaian dengan substitusiUntuk menyelesaikan sepasang persamaan&1 Q )y H ' <'=+ O y H ) <)=
Dari <'= & 1 Q )y H ' ∴ )y H ' O 1 ∴ y H 6
5 x
2
/ika kita substitusikan persamaan ini untuk y pada <)=, kita
per#leh &
+ O (7−5 x
2 ) H )
∴ + O )8 Q '0 H )
'+ H 1) ∴ H
):
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 38/42
/ika sekarang kita substitusikan nilai ini untuk dalam
persamaan asli lainnya, yaitu <'=, kita per#leh &1 <= Q )y H '
)0 Q )y H '∴
)y H 5∴
y H +∴ kita per#leh H , y H +
Sebagai pemeriksaan, kita dapat mensubstitusikan nilai
nilainya pada <'= dan <)=&<'=1 Q )y H 1 <= Q ) <+= H )0 O 5 H'<)=+ O y H + <= O <+= H ') Q ') H )
∴ H , y H + merupakan penyelesaian yang
diinginkan%
)% Penyelesaian dengan menyamakan k#e7sienUntuk menyelesaikan + Q )y H '5 <'=
O +y H '0 <)= /ika kita kalikan kedua sisi <'= dengan + <k#e7sien y pada
<)== dan kita kalikan kedua sisi <)= dengan ) <k#e7sien y
pada <'== maka kita per#leh9 x+6 y=48
8 x−6 y=20
/ika sekarang kita tambahkan kedua baris ini, suku y akan
hilang &∴17 x=68 ∴ x=4
Substitusikan hasil ini, H , ke dalam persamaan aslinya,
akan memberikan nilai y &
Pada <'= 3 ( 4 )+2 y=16∴12+2 y=16∴ y=2
∴ x=4 , y=2
Pemeriksaan pada <)= & 4 ( 4 )−3 ( 2 )=16−6=10 R
Tentu saja, apabila sukusuku y mempunyai tanda yang
sama, kita dapat mengurangkan satu baris dari baris lainnya
untuk menghilangkan salah satu 9ariabelnya%
(3%% Persamaan Linear Simultan dengan Tiga 3ariabel
+0
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 39/42
Dengan tiga 9ariabel dan tiga persamaan, met#de
penyelesaian hanyalah merupakan perluasan dari -ara yang
dilakukan untuk dua 9ariabel%
#nt#h &
Untuk menyelesaikan 3 x+2 y− z=19 <'=
4 x− y+2 z=4 <)=
2 x+4 y−5 z=32 <+=
Kita ambil sepasang persamaan di atas dan menghilangkan
salah satu 9ariabelnya dengan menggunakan met#de eliminasi
dan substitusi%
3 x+2 y− z=19 <'=
4 x− y+2 z=4 <)=
( 1 ) ' 2 6 x+4 y−2 z=38
(2 ) 4 x− y+2 z=4
Tambahkan& 10 x+3 y=42 <=
Sekarang ambillah pasangan lain, misalnya <'= dan <+= &
(1 ) ' 5 15 x+10 y−5 z=95
( 2 )2 x+4 y−5 z=32
Kurangkan& 13 x+6 y=63 <1=
Kita sekarang dapat menyelesaikan persamaan <= dan <1=
untuk memper#leh nilai dan y dengan -ara yang sama%10 x+3 y=42 | ' 2|
+'
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 40/42
13 x+6 y=63
20 x+6 y=84
13 x+6 y=63
Kurangkan & 7 x=21∴ x=3
Substitusikan pada <= & +0 Q +y H ) ∴3 y=12∴ y=4
Kemudian kita substitusikan nilainilai ke dalam salah satu dari
persamaan aslinya untuk memper#leh nilai &
Misalnya <)= 4 x− y+2 z=12−4+2 z=4
∴2 z=−4∴ z=−2
∴ x=3, y=4, z=−2
Akhirnya, substitusikan ketiga nilai tersebut pada dua
persamaan asli lainnya sebagai pr#sedur pemeriksaan &
( 1 ) 3 x+2 y− z=9+8+2=19
( 3 ) 2 x+4 y−5 z=6+16+10=32
∴ semuanya benar
+)
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 41/42
BAB V
PENUTUP
3%' KES(MPULA!
'% abang (lmu matematika yaitu aljabar linear dan matriks
memiliki empat sub p#k#k bahasan yaitu, 9ekt#r,himpunan, matriks, dan sistem persamaan linear%
)% 3ekt#r, himpunan, matriks, dan sistem persamaan linear
memiliki keterkaitan baik dari segi materi maupun dari
-ara penyelesaian -#nt#h s#al%
3%) SA2A!
'% Penulis menyarankan untuk semakin mendalami materi
yang dibahas tidak terbatas hanya bersumber dari
makalah ini demi pemahaman materi se-ara lebih
mendalam%)% Penulis menyarankan untuk sering melakukan
pembahasan atau pengerjaan s#als#al agar materi dalam
makalah ini dapat dikuasai se-ara #ptimal%
++
7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks
http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 42/42
DAFTAR PUSTAKA
4apsari, Fidi dan !ugr#h# Agus 4% )0'0% Matematika Diskrit dan
Aplikasinya% Y#gyakarta& MediaK#m
/ati, $ambang Eka Murdaka dan Tri Kunt#r# Priyamb#d#%
Matematika untuk (lmu isika dan Teknik% Y#gyakarta& A!D(
Str#ud, K%A% )00+% Matematika Teknik% Edisi ke 1% Diterjemahkan
#leh& BulkiCi 4arahap% /akarta& Erlangga
Sulistiy#n#% )006% Seri Pendalaman Materi Matematika Pr#gram (PA%
/akarta& Esis Erlangga
Tim Erlangga #kus SMA% )0'% Erlangga #kus U! (lmu
Pengetahuan Alam% /akarta& Erlangga