Topografia Exercأ­cios de Trigonometria 2 - Exercicios...Topografia Exercأ­cios de Trigonometria Agronomia

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  • Topografia Exercícios de Trigonometria

    Agronomia / Arquitetura e Urbanismo / Engenharia Civil

    Prof. Luiz Miguel de Barros

    Luizmiguel.barros@yahoo.com.br

    mailto:Luizmiguel.barros@yahoo.com.br

  • 1) Some os ângulos.

    A) 19°23’15” + 72°21’12” (graus centesimais)

    R: 91°44’27”

    B) 37°54’56” + 41°14’28” (graus sexagesimais)

    R: 79°09’24”

    Exercícios

  • 2) Subtraia os ângulos

    A) 255°23’15” – 183°68’44” (graus centesimais)

    R: 71°54’71”

    B) 315°00’08” – 30°51’19” (graus sexagemais)

    R: 284°08’49”

    Exercícios

  • 3) Solucione a equação e transforme o resultado de forma longa para a forma decimal.

    A) 35°12’43” + 50°29’20” (graus sexagesimais)

    R: 85°42’03” = 85,750833°

    B) 35°12’55” + 50°29’45” (graus centesimais)

    R: 85°42’00” = 85,4200°

    C) 56°49’55” – 30°56’45” (graus sexagesimais)

    R: 25°53’10” = 25,886111°

    D) 56°49’55” – 30°56’45”(graus centesimais)

    R: 25°93’10” = 25,9310°

    Exercícios

  • 4) No triângulo abaixo determine as relações solicitadas.

    Exercícios

    1/2

    √3/2

    1/√3

    1/2

    √3/2

    √3

  • 5) Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre na outra margem, segundo um ângulo de 56°00’00”. Afastando-se 20,00 m, o mesmo observador vê a mesma torre segundo um ângulo de 35°00’00”. Calcule a largura do rio.

    Exercícios

    Tg 35° = CO/CA Tg 35° = h/(d+20) 0,700 = h/(d+20) 0,700 (d+20) = h 0,700d +14 = h

    Tg 56° = h/d 1,48 = (0,7d +14)/d 1,48d = 0,7d +14 1,48d – 0,7d = 14 0,78d = 14 d = 14/0,78 = 17,948m

    h = 0,700d +14 h = 0,700(17,948) +14 h = 26,563 m

  • 6) Determine a distâncias entre os extremos da lago (lado AC), conforme os dados da figura abaixo.

    Exercícios

    a/senA = b/senB 254,09/sen52°42’51” = b/sen88°56’44” 254,09/0,795623 = b/0,999830 (319,359) . 0,999830 = b b = 319,304 m

  • 7) Calcular todos os ângulos internos dos triângulos.

    Exercícios

    cosA = (b2 + c2 –a2)/2bc cosA = (52 + 52 – 5,402)/2.5.5 cosA = (25 + 25 – 29,16)/50 cosA = 20.84/50 cosA = 0,4168 A= 65,3672777 = 65°22’02”

    a/senA = b/senB 5,40/sen65°22’02” = 5/senB 5,40/0,908998 = 5/senB senB = 5/(5,40/0,908998) senB = 0,841648 B = 57,314583 = 57°18’52”

    A + B + C = 180° C = 180° - A – B C = 180° - 65,367277 – 57,314583 C = 57.31814 = 57°19’05”

  • 7) Calcular todos os ângulos internos dos triângulos.

    Exercícios

    cosA = (b2 + c2 –a2)/2bc cosA = (52 + 42 – 5,202)/2.5.4 cosA = (25 + 16 – 27,04)/40 cosA = 16,96/40 cosA = 0,349 A= 69,573837 = 69°34’26”

    A + B + C = 180° C = 180° - A – B C = 180° - 69,573837 – 64,300323 C = 46.12584 = 46°07’33”

    cosB = (a2 + c2 –b2)/2ac cosB = (5,22 + 42 – 52)/2.(5,2).(4) cosB = (27,04 + 16 – 25)/41,6 cosB = 18,04/41,6 cosB = 0,433654 B= 64,300323 = 64°18’01”

  • 7) Calcular todos os ângulos internos dos triângulos.

    Exercícios

    cosA = (b2 + c2 –a2)/2bc cosA = (42 + 6,12 – 5.62)/2.6,1.4 cosA = (16 + 37,21 – 31,36)/48,8 cosA = 21,85/48,8 cosA = 0,447746 A= 63,400838 = 63°24’03”

    a/senA = b/senB 5,6/sen63°24’03” = 4/senB 5,6/0,894161 = 4/senB senB = 4/(5,6/0,894161) senB = 0,635641 B = 39,467589 = 39°28’03”

    A + B + C = 180° C = 180° - A – B C = 180° - 63,400838 – 39,467589 C = 77,132028= 77°07’55”

  • 8) Determine as dimensões da base e da altura de um triângulo retângulo, que possui como valor para a tangente 2 m e área 25 m2.

    Exercícios

    α

    Tg a = a/b 2 = a/b a = 2b

    A = (a . b)/2 25 = (2b . b)/2 25 = b2

    b = √25 b = 5 m

    a = 2b a = 2 . 5 = 10m

  • 9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo.

    Exercícios

    Isolar o triângulo ABD

    A + B + D = 180° B = 180° - A – D B = 180° - 94°19’40” – 33°59’08” B = 51°41’12” = 51,686666

    b/senB = d/senD 322,54/sen51°41’12” = d/sen33°59’08” 322,54/0,784632 = d/0,558984 d = (322,54/0,784632).0,558984 d = 229,782 m

    Usar Lei do seno para determinar distancia AB

    Portanto distância entre AB é de 229,782m

  • 9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo.

    Exercícios

    Isolar o triângulo ACD

    A + C + D = 180° C = 180° - A – D C = 180° - 46°29’00” – 92°45’25” C = 40°45’35” = 40,759722

    a/senA = c/senC a/sen46°29’00” = 322,54/sen92°45’25” a/0,725174 = 322,54/0,998842 d = (322,54/0,998842).0,725174 d = 234,168 m

    Usar Lei do seno para determinar distancia CD

    Portanto distância entre CD é de 234,168 m

  • 9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo.

    Exercícios

    Isolar o triângulo ADE

    A + D + E = 180° E = 180° - A – D E = 180° - 46°29’00” – 33°59’08” E = 99°31’52” = 99,531111°

    Portanto o ângulo oposto possui o mesmo valor para o Triângulo BCE, por ser uma projeção dos lados do triângulo ADE.

    E

    E

  • 9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo.

    Exercícios

    Isolar o triângulo ABE, lembrando que o ângulo B já foi calculado, obtendo o valor de 51°41’12”

    A + B + E = 180° E = 180° - A – B E = 180° - 47°50’40” – 51°41’12” E = 80°28’08” = 80,468888°

    Portanto o ângulo oposto possui o mesmo valor para o Triângulo CDE, por ser uma projeção dos lados do triângulo ADE.

    E

    E

    O ângulo A para o triângulo ABE é (94°19’40” – 46°29’00”) portanto A = 47°50’40”

  • 9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo.

    Exercícios

    Isolar o triângulo ABE, lembrando que o ângulo B já foi calculado, obtendo o valor de 51°41’12” e o lado AB com distância de 229,782 m.

    a/senA = e/senE a/sen47°50’40” = 229,782/sen80°28’08” a/0,741325 = 229,782/0,986196 a = (229,782/0,986196).0,741325 a = 172,727 m

    E O ângulo A para o triângulo ABE é (94°19’40” – 46°29’00”) portanto A = 47°50’40”

    Usar lei do seno para determinar o lado BE

  • 9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo.

    Exercícios

    Isolar o triângulo CDE, lembrando que o ângulo C já foi calculado, obtendo o valor de 40°45’35” e o lado CD com distância de 234,168 m.

    d/senD = e/senE d/sen58°46’17” = 234,168/sen80°28’08” d/0,855105 = 234,168/0,986196 d = (234,168/0,986196).0,855105 a = 203,041 m

    E

    O ângulo D para o triângulo CDE é (92°45’25” – 33°59’08”) portanto D = 58°46’17”

    Usar lei do seno para determinar o lado CE

  • 9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo.

    Exercícios

    Isolar o triângulo BCE, lembrando que o ângulo E já foi calculado, obtendo o valor de 99°31’52” e o lado BE com distância de 172,727 m e o lado CE com distância de 203,041m.

    cosE = (b2 + c2 – e2)/2bc Cos99°31’52” = (172,727 2 + 203,041 2 – e2)/2 x 172.727 x 203,041 -0,165583 = (29834,616 + 41225,648 – e2)/70141,325 (-0,165583)x70141,325 = 71060,264 – e2

    -11641,211 – 71060,264 = – e2

    -82674,475 = – e2 x(-1) e2 = 82674,475 e = √82674,475 e = 287,532 m

    E Usar lei do cosseno para determinar o lado BC

    Portanto distância entre BC é de 287,532 m

  • 9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo.

    Exercícios

    Portanto os lados do terreno possuem: AB = 229,782 m BC = 287,532 m CD = 234,168 m DA = 322,54 m

  • Fórmulas

    Teorema de Pitágoras

    Hip2 = Cat. Adj2 + Cat. Opo.2

    Seno senα = CO/H

    Cosseno cosα = CA/H

    Tangente tgα = CO/CA

    a/sen A = b/sen B = c/sen C

    cos A = (b2 + c2 – a2)/2bc

    cos B = (a2 + c2 – b2)/2ac

    cos C = (a2 + b2 – c2)/2ab

    P = a + b + c

    p = (a + b + c)/2

    A = √p.(p-a).(p-b).(p-c)