PRÁCTICA DIRIGIDA: Intervalos de confianza

1. De una muestra de 12 varillas incluidas en un embarque se observa que el diámetro medio de ellas es de 2.35 mm y su desviación standard de 0.05 mm. Se supone que la longitud del diámetro de las varillas tiene una distribución normal con = 0.05 mm.

Estime el diámetro medio de las varillas del embarque mediante un intervalo a) del 90% de confianza.b) del 95% de confianza.c) del 99% de confianza.

(A medida que aumenta el nivel de confianza (1 - ), esperaremos más que el intervalo de confianza contenga el valor del parámetro. La amplitud del intervalo proporciona información sobre la precisión de la estimación por intervalo. Si el nivel de confianza es alto y el intervalo resultante de la estimación es angosto, nuestro conocimiento del valor del parámetro es razonablemente preciso. Por otra parte un intervalo ancho indica que hay mucha incertidumbre acerca del valor del parámetro que estamos estimando)

a)

b)

Asignatura: ESTADÍSTICADocente: Ing. Claudio Cerrón Landeo

1

n 12media 2.35DE 0.05NC 0.9

VC(Z) 1.64485363

ERROR= 0.02374142

L12.3262585

8

L22.3737414

2

n 12media 2.35DE 0.05NC 0.95

VC(Z) 1.95996398

ERROR= 0.02828964

L12.3217103

6

L22.3782896

4

c)

A medida que aumentamos el nivel de confianza, el error va creciendo debido a que no incrementamos el tamaño de muestra.

2. Una muestra aleatoria de n mediciones tomadas de una población normal con = 4 arroja como resultado una media 33. Construya un intervalo del 95% de confianza para la media poblacional cuando:a) n = 5 b) n = 25 c) n = 45

a)

b)

2

n 12media 2.35DE 0.01NC 0.99

VC(Z) 2.575893

ERROR= 0.03717981

L12.3128201

9

L22.3871798

1

n 5media 33DE 4NC 0.95

VC(Z) 1.95996398

ERROR= 3.50609016

L129.493909

8

L236.506090

2

n 25media 33DE 4NC 0.95

VC(Z) 1.95996398

ERROR= 1.56797119

L131.432028

8

L234.567971

2

c)

d) Teniendo en cuenta los incisos anteriores, analizar qué ocurre con la precisión de la estimación a medida que aumenta el tamaño la muestra.

Al aumentar el tamaño de muestra nuestro error en los cálculos será menor debido que agarramos una mayor cantidad de la población.

3. Una muestra aleatoria de 25 mediciones tomadas de una población normal arroja como resultado una media 300. Construya un intervalo del 95% de confianza para la media poblacional cuando:

a) = 20 b) = 40 c) = 80

a)

b)

3

n 45media 33DE 4NC 0.95

VC(Z) 1.95996398

ERROR= 1.16869672

L131.831303

3

L234.168696

7

n 25media 300DE 20NC 0.95

VC(Z) 1.95996398

ERROR= 7.83985592

L1292.16014

4

L2307.83985

6

n 25media 300DE 40NC 0.95

VC(Z) 1.95996398

ERROR= 15.6797118

L1284.32028

8

L2315.67971

2

c)

d) Teniendo en cuenta los incisos anteriores, analizar qué ocurre con la precisión de la estimación a medida que aumenta .

A medida que la desviación estándar es menor, el error será menor.

4. En relación a la precisión de la estimación (amplitud del intervalo), complete las siguientes afirmaciones de modo que resulten verdaderas: a) Si n y son fijos, entonces a medida que aumenta el nivel de confianza disminuye la

precisión.b) Si y el nivel de confianza son fijos entonces a medida que aumenta el tamaño de la muestra n

aumenta la precisión.c) Si n y el nivel de confianza son fijos, a medida que aumenta el desvío estándar poblacional

disminuye la precisión.

5. Suponga que se selecciona una muestra aleatoria de 50 frascos de una marca de jarabe para la tos y se registra el contenido de alcohol de cada una de ellas. Sea el contenido medio de alcohol de la población de frascos de jarabe de la marca en estudio.

La expresión del intervalo del 95% de confianza es x̄ − 1 .96⋅σ ( x̄ )≤ μ ≤ x̄ + 1.96⋅σ ( x̄ ) .a) Considere las siguientes afirmaciones, indique si son correctas o no. Justifique.

Exactamente el 95% de los intervalos incluyen al verdadero . El 95% de los frascos de esta marca de jarabe para la tos tienen un contenido de alcohol que está

en el intervalo. Si el proceso de seleccionar una muestra aleatoria de 50 frascos y luego calcular el

correspondiente intervalo del 95% es repetido indefinidamente, se espera que 95 de cada 100 intervalos incluirán al verdadero .

b) Si la media muestral observada es x̄ = 8.6

con lo cual resulta un intervalo del 95% cuyos límites son 7.8 y 9.4 respectivamente. Indique si es correcta o no la siguiente afirmación. Justifique.

Hay una probabilidad del 95% de que esté entre 7,8 y 9,4.

6. Se desea estimar la media de ventas semanales por comerciante. Se supone que las ventas semanales por comerciante están normalmente distribuidas. De una gran cantidad de comerciantes, se extrae una muestra de 25 obteniendo de ella un promedio de $3 425. Calcule un intervalo del 95% de confianza para la media poblacional. En cada inciso indique la distribución utilizada en la construcción del intervalo. Justifique.a) Sabiendo que el desvío standart poblacional es de $ 200. ((X) = 200).

4

n 25media 300DE 80NC 0.95

VC(Z) 1.95996398

ERROR= 31.3594237

L1268.64057

6

L2331.35942

4

b) Si no se conoce el desvío poblacional, y el muestral es de $ 200 (S(X) = 200).

c) En base a una muestra de tamaño 150 que arroja un promedio de $ 3 425 y un desvío de $ 200. (S(X) = 200)

7. Un analista de un departamento de personal selecciona al azar 16 registros de empleados contratados por hora, obteniendo una tasa media salarial de $ 7,50 por hora. Suponiendo que los niveles de salarios en la firma están normalmente distribuidos, estime el nivel medio de salarios en la firma mediante un intervalo del 90% de confianza:

a) Si la desviación estándar poblacional de la tasa salarial es de $ 1 por hora .

b) Si no se conoce el desvío estándar poblacional pero en base a la muestra seleccionada fue estimado en $ 1 por hora.

8. Una compañía de alquiler de autos está interesada en saber el tiempo que sus vehículos están fuera de servicio por trabajos de reparación. Una muestra aleatoria de 9 autos mostró que el número de días que estuvieron inoperativos durante el año pasado fue:

16 10 21 22 8 17 19 14 19

Enuncie los supuestos que es necesario hacer para calcular un intervalo del 90% de confianza para el tiempo medio fuera de servicio por año de los vehículos de la compañía y encuentre el mencionado intervalo.

Nota: Calcular X¿

y S(x).

5

9. La contaminación de ecosistemas con metales pesados es un problema ambiental muy serio, en parte por la potencial transferencia de las sustancias venenosas a los seres humanos mediante el consumo de alimentos. Un artículo1 informó de los siguientes datos sobre la concentración de zinc (en g/g):

Especies n x s(x)Mugil liza 56 9.15 1.27Pogonias cromis 61 3.08 1.71

a) Calcule un intervalo del 95% de confianza para la concentración media de zinc en la especie Mugil liza.

b) Calcule un intervalo del 99% de confianza para la concentración media de zinc en la especie Pogonias cromis. Porqué este intervalo es más ancho que el del inciso a) si está calculado en base a muestra de mayor tamaño?

c) Encuente e interprete con el 99% de confianza un intervalo unilateral inferior para la especie Mugil liza.

d) Encuente e interprete con el 99% de confianza un intervalo unilateral superior para la especie Pogonia cromis.

e) Analice los intervalos de c) y d) ¿puede concluir que es más riesgoso para la salud consumir Mugil liza que Pogonia cromis. Justifique.

10. Una muestra de 50 firmas tomadas de una industria, indica un promedio de 420 empleados por firma y un desvío estándar de 40 empleados por firma. Si esta industria tiene un total de 380 firmas, construya un intervalo del 90% de confianza para:

a) el número medio de empleados por firma en la industria.

1 Cadmioun, Zinc, and Total Mercury Levels in Tissues of several Fish Species from La Plata River Estuary, Argentina, Enviromental Monitoring and Assessment, 1993: 119-130

6

b) estimar el número total de empleados en la industria.

11. En una zona determinada se tomaron muestras aleatorias con el objeto de estimar la proporción de familias en las que el jefe/a no tiene empleo. Considere las siguientes situaciones: En una muestra de 100 familias, hubo 12 en las que el jefe/a de familia no tiene empleo.

En una muestra de 250 familias, hubo 30 en las que el jefe/a de familia no tiene empleo.

En una muestra de 500 familias, hubo 60 en las que el jefe/a de familia no tiene empleo.

a) Para la zona en cuestión, estimar con un 95% de confianza el porcentaje de familias en las que el jefe/a no tiene empleo. Interprete.

b) ¿Cómo influye en el intervalo de confianza para p en términos de precisión de la estimación?

c) Sin realizar él cálculo establezca si un intervalo del 99% de confianza tendrá una amplitud menor, mayor o igual que el encontrado en c). Justifique.

12. En una muestra aleatoria de 487 mujeres no fumadoras de peso normal (índice de masa corporal entre 19.8 y 26.0) que dieron a luz en un gran centro médico metropolitano2 resultó que de esos nacimientos un 7.2% de los bebés tuvieron bajo peso (inferior a los 2500 grs.) Calcule un intervalo de confianza del 96% para la proporción de niños de bajo peso cuyas madres son no fumadoras y de peso normal. Interprete.

13. Se examinó una muestra de 2000 componentes empleados en el armado de circuitos electrónicos, resultando que 44 de ellos tenían cierto defecto y fallaron durante el proceso de armado. Calcule un intervalo del 98% de confianza para la proporción de componentes que fallan durante el proceso de armado. Provee este intervalo evidencia suficiente para creer que a lo sumo el 3% de los componentes fallan? Justifique.

2 The Effects of Cigarrette Smoking and Gestational Weight Change in Obese and Normal-Weight Woman , Amer. J. Of Public Health, 1997: 591-596

7

14. Usando los datos del ejercicio 9: a) Encuentre un intervalo del 95% de confianza para la variancia poblacional del tiempo fuera de

servicio por año de los vehículos de la compañía.

b) Qué supuestos se deben cumplir para construir el intervalo para 2?

c) Calcule los límites del intervalo del 95% de confianza para el desvío estándar poblacional.

15. Suponga que la resistencia a la tracción de cierta marca de alambre se distribuye en forma normal. Una muestra al azar de 16 alambres de esa marca dio una varianza de 140 Kg2.

a) Estime la varianza poblacional mediante un intervalo de 95 % de confianza. Interprete.

b) Suponga que el fabricante está preocupado por una gran variabilidad. Calcule el límite superior del 98% para la varianza poblacional. Interprete el intervalo obtenido.

16. En una muestra aleatoria de 300 personas mayores de edad de una gran ciudad se encontró que 105 leían un determinado periódico X. A la vista de esos datos se pretende seleccionar una nueva muestra para conseguir una cota de error de 3 centésimas como máximo, con un nivel de confianza del 95%, para la estimación de la proporción de lectores de ese periódico por medio de un intervalo de confianza. Deduzca el número de individuos de la población que, como mínimo, debe tener la muestra.

17. Se desea estimar, por medio de un intervalo de confianza, la proporción p de individuos daltónicos de una población a través del porcentaje observado en una muestra aleatoria de

individuos de tamaño n . Si el porcentaje de individuos daltónicos en una muestra aleatoria es igual

al 30%, calcule el valor mínimo de n para que, con un nivel de confianza del 95%, el error que se cometa en la estimación sea inferior a 0,031.

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18. Para estimar, por medio de un intervalo de confianza, la proporción p de individuos miopes de una población, se ha tomado una muestra de 80 individuos con la que se ha obtenido un porcentaje de individuos miopes del 35%. Determine, usando un nivel de confianza del 99%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de miopes de toda la población.

19. En una encuesta realizada a 500 mujeres adultas de una población se encontró que 300 de ellas están casadas actualmente. Construya con estos datos un intervalo de confianza, con un nivel del 90%, para la proporción de mujeres adultas actualmente casadas en esa población.

20. Una muestra aleatoria de automóviles tomada en una zona turística ha permitido obtener un intervalo de confianza, al nivel del 95%, para estimar de la proporción de matrículas extranjeras de esa zona, siendo sus extremos 0,232 y 0,368.

a) Determine el valor de la proporción estimada a través de esa muestra y una cota del error de estimación a este nivel de confianza.

b) Utilizando el mismo nivel de confianza, ¿cuál sería la cota de error, si esa misma proporción se hubiera observado en una muestra de 696 matrículas?

9