7/30/2019 Topologa 1 - Tarea 4

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Profesor: Carlos Prieto Topolga 1: Tarea 4 Entrega (opcional)

1. Sea X un espacio topologico compacto, probar que la construccion de Alexandrov X de X. Es la sumatopologica de X con un punto, es decir:

X = X {}

2. Sea Q sea el cociente R/RQ, y tomese la composicion e : Q R R/RQ

(a) Probar que e : Q R es un encaje.

(b) Probar que Q es denso en Q.

(c) Es Q compacto?

3. Mostrar que la compactacion de Alexandrov de la banda de Moebius abierta (M = MM) es el planoproyectivo real, es decir

(M) RP2

4. Encontrar:a) Un ejemplo de un espacio normal que tenga un subespacio no normal.b) Un ejemplo donde se muestre que el producto de espacios normales no siempre es normal.

5. Una cubierta de un espacio toplogico espuntualmente finita

si cada punto del espacio pertenece soloa un numero finito de elementos de la cubierta. Probar que X es normal sii toda cubierta abiertapuntualmente finita es encogible.Sugerencia: Usar que si X es normal toda cubierta abierta localmente finita es encogible.

6. Sea X un espacio topologico de Hausdorff y 2-numerable, tal que x X, Ux vecindad abierta y unhomeomorfismo : Ux U, de dicha vecindad a un abierto U R

n. Es decir, tal que para todo puntoen el espacio existe una vecindad abierta homeomorfa a Rn. Se dice entonces que X es una variedadtopologica de dimension n. Probar que toda variedad topologica es metrizable y numerable al .

CRONOLOGIA PARA EL FINAL DE CURSO:

Jueves 6 de diciembre: Aclaracion de dudas a las 12:00 en el sal on de clases.

Viernes 7 de diciembre: Cuarto parcial y entrega opcional de la Tarea 4.

Martes 11 de diciembre: Reposiciones y final.

Solo se podran reponer maximo 2 parciales.

Una tercera reposicion es quivalente a hacer el final (lo que saquen es lo que se quedan).

Por favor esten al tanto para que no suceda lo mismo que con el tercer parcial. Si ocurre cualquier cambiola informacion sera actualizada en este PDF.

q.e.d