Topologia i geometria różniczkowaanow/ps-dvi/dv.pdf · 2009. 3. 8. · Topologia i geometria różniczkowa Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i

Topologia i geometria różniczkowa

Andrzej Nowicki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki,ul. Chopina 12–18, 87–100 Toruń(e-mail: [email protected])

Marzec 1995

Spis treści

1 Wstępne informacje topologiczne 11.1 Topologia ilorazowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Przestrzenie lokalnie zwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Przestrzenie parazwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Rozkład jedności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Rozmaitości topologiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6 Rzeczywista przestrzeń rzutowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.7 Wstęga Möbiusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.8 Powierzchnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.9 Nakrycia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.10 Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Grupa podstawowa 92.1 Drogi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Drogi homotopijnie równoważne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Definicja grupy podstawowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Homotopia odwzorowań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6 Wyższe grupy homotopii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.7 Hipoteza Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Działanie grupy na przestrzeń topologiczną 153.1 Działanie grupy na zbiór . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Przestrzeń orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Produkty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Zwartość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Działania wspólnie rozłączne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.6 Działania wolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.7 Grupa podstawowa przestrzeni orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.8 Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Snopy i algebry funkcji ciągłych 204.1 Presnopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Snopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3 Algebra funkcji ciągłych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Ideały maksymalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Derywacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.4 Lokalny pierścień ciągłych kiełków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

i

ii Andrzej Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa

5 Wiązki wektorowe nad przestrzenią topologiczną 265.1 Topologia rzeczywistej przestrzeni wektorowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2 Rodziny wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3 Przekroje rodziny wektorowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.4 Wiązki wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.5 Funkcje przejścia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.6 Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6 Podstawowe pojęcia geometrii różniczkowej 316.1 Różniczka funkcji rzeczywistej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.2 Rozmaitości różniczkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.3 Odwzorowania rozmaitości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.4 Algebra funkcji gładkich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.5 Lokalny pierścień gładkich kiełków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.6 Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7 Derywacje lokalne 407.1 Izomorfizm przestrzeni derywacji lokalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.2 Przestrzenie liniowe postaci M/M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.3 Bazy przestrzeni derywacji lokalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.4 Krzywe i przestrzeń styczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.5 Przestrzeń styczna i derywacje lokalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.6 Morfizmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8 Wiązka styczna 518.1 Wiązka styczna i funkcje przejścia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518.2 Wiązka styczna i krzywe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518.3 Wiązka styczna i derywacje lokalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

9 Pola wektorowe i derywacje 559.1 Gładkie wiązki wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559.2 Przekroje gładkich wiązek wektorowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559.3 Pola wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.4 Derywacje pieścienia funkcji gładkich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.5 Pierwszy dowód twierdzenia o izomorfizmie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579.6 Drugi dowód twierdzenia o izomorfizmie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599.7 Nawias Liego pól wektorowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599.8 Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

10 Działanie*funktora na wiązkę 6110.1 Definicja przy pomocy funkcji przejścia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.2 Definicja poglądowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.3 Wiązka kostyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6210.4 Potęga zewnętrzna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

11 Formy różniczkowe 6311.1 Moduł form różniczkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6311.2 Forma df . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6311.3 Kompleks de Rhama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

12 Rozmaitość Rn 6512.1 Krzywe i przestrzeń styczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6512.2 Derywacje lokalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6612.3 Derywacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6612.4 Wiązka styczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Andrzej Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa iii

12.5 Pola wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6712.6 Nawias Liego pól wektorowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6812.7 Forma df . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6812.8 Formy różniczkowe 1-go rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6912.9 Formy wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7012.10Kompleks de Rhama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

13 Całkowanie pól wektorowych 7313.1 Krzywa całkowa pola wektorowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7313.2 Krzywa całkowa dla pola wektorowego w R1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7313.3 Krzywa całkowa dla pola wektorowego w Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7413.4 Twierdzenia o istnieniu krzywych całkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7413.5 Formalne systemy równań różniczkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7513.6 Jednoparametrowe grupy dyfeomorfizmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7613.7 Informacja o twierdzeniu Frobeniusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

14 Grupy Liego i ich algebry Liego 7814.1 Grupy Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7814.2 Niezmiennicze pola wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7914.3 Moduł pól wektorowych grupy Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8114.4 Algebra Liego grupy Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8114.5 Algebra Liego addytywnej grupy przestrzeni Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8214.6 Algebra Liego grupy GLn(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8314.7 Algebry Liego pewnych podgrup grupy GLn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Grupa specjalna SLn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Grupa ortogonalna On . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Specjalna grupa ortogonalna SOn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Grupa unitarna Un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Specjalna grupa unitarna SUn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Grupy symplektyczne Spn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Grupy zwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Wymiary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

14.8 Informacje o lokalnych grupach Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8714.9 Jednoparametrowe podgrupy i odwzorowanie wykładnicze . . . . . . . . . . . . . . . . 8814.10Związek między grupami Liego i algebrami Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Twierdzenia Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9114.11Grupy formalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9114.12Uwagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

15 Algebry Liego 9315.1 Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9315.2 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9415.3 Małe wymiary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9515.4 Derywacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9615.5 Reprezentacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9615.6 Rozwiązalne i nilpotentne algebry Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

16 Systemy pierwiastków i diagramy Dynkina 10016.1 Systemy pierwiastków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10016.2 Grupa Weyla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10116.3 Pierwiastki proste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10216.4 Macierz Cartana i V-graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10216.5 Diagramy Dynkina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

iv Andrzej Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa

17 Półproste algebry Liego 10517.1 Proste i półproste algebry Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10517.2 Specjalna algebra Liego sl2(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10617.3 Rozkład Cartana-Levi-Malceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10817.4 Podalgebry Cartana i torusy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10817.5 Podprzestrzenie stowarzyszone z podalgebrą Cartana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10917.6 Zredukowany system pierwiastków półprostej algebry Liego . . . . . . . . . . . . . . . 10917.7 Klasyfikacja prostych i półprostych algebr Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Spis cytowanej literatury 113

Indeks 114

1. Wstępne informacje topologiczne 1

1 Wstępne informacje topologiczne

1.1 Topologia ilorazowa

Niech X będzie przestrzenią topologiczną, Y zbiorem i f : X −→ Y funkcją. Wprowadzamy nazbiorze Y topologię przy pomocy rodziny

Uf = {U ⊆ Y ; f−1(U) otwarte w X}.

Rodzina Uf spełnia wszystkie aksjomaty rodziny zbiorów otwartych. Jest to tzw. topologia ilorazowana Y (zadana przy pomocy odwzorowania f). Wtedy f jest odwzorowaniem ciągłym.

1.2 Przestrzenie lokalnie zwarte

Definicja 1.2.1. Toplogiczną przestrzeń X nazywamy lokalnie zwartą jeśli, dla każdego punktux ∈ X, istnieje zbiór otwarty U 3 x taki, że zbiór U jest zwarty.

Każda przestrzeń lokalnie zwarta jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet przestrzenią T3 12 (Tichonowa).Podzbiory otwarte lub domknięte przestrzeni lokalnie zwartej są przestrzeniami lokalnie zwartymi.

1.3 Przestrzenie parazwarte

Niech X będzie przestrzenią topologiczną.

Definicja 1.3.1. Rodzinę {As}s∈S podzbiorów przestrzeni X nazywamy lokalnie skończoną jeślikażdy punkt x ∈ X ma otoczenie (otwarte) U , które przecina się tylko ze skończoną liczbą elementówtej rodziny, tzn., gdy zbiór {s ∈ S; As ∩ U 6= ∅} jest skończony.

Jeżeli {As}s∈S jest rodziną lokalnie skończoną, to⋃s∈S As =

⋃s∈S As.

Definicja 1.3.2. Niech A = {As}s∈S , B = {Bt}t∈T będą pokryciami przestrzeni X. Mówimy, żepokrycie A jest wpisane w pokrycie B jeśli istnieje funkcja λ : S −→ T taka, że As ⊆ Bλ(s) dlawszystkich s ∈ S.

Definicja 1.3.3. Mówimy, że X jest przestrzenią parazwartą jeśli jest przestrzenią Hausdorffa orazw każde otwarte pokrycie tej przestrzeni można wpisać otwarte pokrycie lokalnie skończone.

Dowody poniższych faktów można znaleźć np. w [7].

Stwierdzenie 1.3.4.(1) Przestrzeń zwarta jest parazwarta.(2) Przestrzeń metryczna jest parazwarta.(3) Przestrzeń lokalnie zwarta i ośrodkowa jest parazwarta.(4) Przestrzeń parazwarta jest normalna (tzn. T4).(5) Jeśli X jest przestrzenią parazwartą, a Y zwartą, to X × Y jest parazwarte. �

1.4 Rozkład jedności

Niech X będzie przestrzenią topologiczną i f : X −→ R funkcją ciągłą.

Definicja 1.4.1. Nośnikiem funkcji f nazywamy zbiór Supp(f) = f−1(R r 0).

Załóżmy, że U = {Ui}i∈I jest otwartym pokryciem przestrzeni X.

Definicja 1.4.2. Rozkładem jedności względem pokrycia U nazywamy rodzinę {es}s∈S , funkcji cią-głych z X do R takich, że:(1) ∀s∈S∀x∈X es(x) > 0,(2) ∀s∈S∃i∈I Supp(es) ⊆ Ui,(3) rodzina {Supp(es)}s∈S jest lokalnie skończona,(4) ∀x∈X

∑s∈S es(x) = 1.

2 A. Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa

Zauważmy, że (4) ma sens dzięki (3). Zauważmy również, że rodzina {Supp(es)}s∈S jest pokryciem(domkniętym) przestrzeni X. Istotnie, niech x ∈ X. Wtedy, z (4), istnieje s ∈ S takie, że es(x) 6= 0, azatem x ∈ Supp(es).

Twierdzenie 1.4.3. Niech X będzie przestrzenią parazwartą i U jej otwartym pokryciem. Istniejewtedy rozkład jedności względem U. �

Dowód znajdziemy w [7]. Prosty dowód (dla X ⊆ Rn) jest w [25].

1.5 Rozmaitości topologiczne

Niech M będzie przestrzenią topologiczną.

Definicja 1.5.1. Mapą n-wymiarową punktu p ∈ M nazywamy każdą parę (U,ϕ), w której U jestzbiorem otwartym w M zawierającym p, a ϕ : U −→ Rn jest homeomorfizmem na pewien otwartypodzbiór w Rn.

Definicja 1.5.2. Każdy zbiór n-wymiarowych map {(Uα, ϕα)} takich, że⋃α Uα = M nazywamy

n-wymiarowym atlasem przestrzeni M .

Definicja 1.5.3. Każdą przestrzeń topologiczną M posiadającą n-wymiarowy atlas nazywamy n-wymiarową rozmaitością topologiczną.

1.6 Rzeczywista przestrzeń rzutowa

Przez Sn oznaczamy sferę n-wymiarową, tzn.

Sn = {(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1; x21 + · · ·+ x2n+1 = 1}.

W szczególności: S0 = {−1, 1}, S1 = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 = 1}. Topologia na Sn jest indukowana zRn+1.

Niech Pn(R) będzie rodziną wszystkich dwuelementowych zbiorów postaci {x,−x}, gdzie x ∈ Sn iniech p : Sn −→ Pn(R) będzie funkcją określoną wzorem

p(x) = {x,−x}, dla x ∈ Sn.

Funkcja p jest surjekcją.

Definicja 1.6.1. Zbiór Pn(R) z topologią ilorazową wyznaczoną przez p nazywamy n-wymiarowąprzestrzenią rzutową rzeczywistą.

Istnieją różne (równoważne) sposoby definiowania n-wymiarowej przestrzeni rzutowej rzeczywistej.Można na przykład tę przestrzeń wprowadzić w następujący sposób.Niech ∼ będzie relacją w Sn zdefiniowaną wzorem:

x ∼ y ⇐⇒ x = ±y.

Jest to relacja typu równoważności. Klasa abstrakcji elementu x ∈ Sn jest dwuelementowym zbiorem{x,−x}. Zatem Pn(R) = Sn/∼, gdzie topologia na Sn/∼ jest ilorazowa (wyznaczona przez kanonicznąsurjekcję).

To samo można wypowiedzieć w języku działań grup na przestrzeń topologiczną. Dokładniej zaj-miemy się tym w Rozdziale 3. Niech Z2 = {−1, 1}. Sfera Sn jest Z2-przestrzenią z działaniem

Z2 × Sn, (a, x) 7→ ax.

Przestrzeń rzutowa Pn(R), to nic innego, jak przestrzeń orbit Sn/Z2. Dzięki temu otrzymujemy (patrzodpowiednie fakty w Rozdziale 3):


Stwierdzenie 1.6.2.(1) Odwzorowanie p : Sn −→ Pn(R), x 7→ {x,−x}, jest otwarte i domknięte.(2) Przestrzeń Pn(R) jest zwarta.(3) Przestrzeń Pn(R) jest n-wymiarową rozmaitością topologiczną. �

Inne uzasadnienie własności (3) znajdziemy w PH23.

Ponieważ ciągły obraz przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną, więc:

Stwierdzenie 1.6.3. Przestrzeń Pn(R) jest spójna. �

Nieco inaczej wprowadza się przestrzeń rzutową w geometrii algebraicznej (patrz np. [20] Rozdział5). W zbiorze Rn+1 r {0} wprowadzamy relację (typu równoważnoći) ∼ następująco:

(x1, . . . , xn+1) ∼ (y1, . . . , yn+1) ⇐⇒ ∃0 6=a∈R∀i∈{1,...,n+1} yi = axi.

Klasę abstrakcji każdego elementu (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1r{0} (względem tej relacji) oznaczamy przez(x1 : · · · : xn+1). Rzeczywista przestrzeń rzutowa (n-wymiarowa), to zbiór wszystkich takich klas abs-trakcji. Oznaczmy (chwilowo) tak zdefiniowaną przestrzeń rzutową przez P i rozważmy odwzorowanieϕ : P −→ Pn(R) określone jako

(x1 : · · · : xn+1) 7−→ { x||x|| ,−x||x||},

gdzie x = (x1, . . . , xn+1), ||x|| =√x21 + · · ·+ x2n+1. Z łatwością stwierdzamy, że ϕ jest dobrze określo-

ną bijekcją. Topologię na zbiorze P określamy przy pomocy funkcji ϕ. Podzbiór U ⊆ P jest otwartyw P dokładnie wtedy, gdy zbiór ϕ(U) jest otwarty w Pn(R). Odwzorowanie ϕ ma wiele interesują-cych własności. Polecamy Rozdział 3 w [2], gdzie znajdziemy dokładniejsze wyjaśnienie omawianegozagadnienia.

Uwaga 1.6.4 ([16] 44). Przestrzeń P2(R) można otrzymać jako przestrzeń ilorazową D2/∼, gdzie D2 jestdyskiem {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 6 1} z topologią indukowaną z R2 oraz

x ∼ y ⇐⇒ (x = y) ∨ (x, y ∈ S1 ⊂ D2 ∧ x = −y). �

Uwaga 1.6.5 ([16]). Przestrzeń P2(R) można otrzymać jako przestrzeń ilorazową K2/∼, gdzie K2 jestkwadratem {(x, y) ∈ R2; 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1} z topologią indukowaną z R2 oraz

(x, y) ∼ (x′, y′) ⇐⇒ (x, y) = (x′, y′)∨ {x, x′} = {1, 0} ∧ y = 1− y′∨ {y, y′} = {1, 0} ∧ x = 1− x′. �

Uwaga 1.6.6 ([16]). Odwzorowanie F : P2(R) −→ R4, {x,−x} −→ (x21−x22, x1x2, x1x3, x2x3), jest ciągłei różnowartościowe. �

Uwaga 1.6.7 ([16] 45). Jeśli wytniemy z P2(R) mały dysk, to otrzymamy wstęgę Möbiusa. Zatem P2(R)można interpretować jako wstęgę Möbiusa z doklejonym dyskiem. �

Uwaga 1.6.8 ([16] 95). Jedyną (z dokładnością do homeomorfizmu) rozmaitością zwartą i spójną wymia-ru 1 jest sfera S1. Ponieważ P1(R) jest właśnie taką rozmaitością, więc stąd wynika, że przestrzenie S1 i P1(R)są homeomorficzne. �

1.7 Wstęga Möbiusa

Rozpatrzmy cylinder

C = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + y2 = 1, −1 6 z 6 1}

z topologią indukowaną z R3. Niech M będzie rodziną wszystkich dwuelementowych zbiorów postaci{x,−x}, gdzie x ∈ C. Niech p : C −→M będzie surjekcją x 7→ {x,−x}.


Definicja 1.7.1. Zbiór M, z topologią ilorazową, wyznaczoną przez p, nazywamy wstęgą Möbiusa.

Definicję tę można trochę inaczej sformułować w następujący sposób. W zbiorze C wprowadzamyrelację równoważności:

a ∼ b ⇐⇒ a = −b.Wtedy zbór C/∼, wszystkich klas abstrakcji z topologią ilorazową, jest właśnie wstęgą Möbiusa.Sam cylinder C jest również pewną przestrzenią ilorazową. Mianowicie, C = K2/∼, gdzie K2 jest

kwadratem {(x, y) ∈ R2; 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1}, a ∼ jest relacją równoważności w K2 zdefiniowanąjako:

(x, y) ∼ (x′, y′) ⇐⇒ (x, y) = (x′, y′) ∨ {x, x′} = {0, 1}, y = y′.

Wstęgę Möbiusa można zdefiniować inaczej; jako przestrzeń ilorazową kwadratu K2 względemrelacji równoważności ∼ określonej jako:

(x, y) ∼ (x′, y′) ⇐⇒ (x, y) = (x′, y′) ∨ {x, x′} = {0, 1}, y = 1− y′.

Oto jeszcze inne spojrzenie na wstęgę Möbiusa. Można ją zdefiniować przy pomocy działania grupyZ, liczb całkowitych. Dokładniej zajmiemy się tym w Rozdziale 3. Niech X będzie nieskończonympaskiem

X = {(x, y) ∈ R2; − 12 6 y 612}

z topologią indukowaną z R2. Rozpatrzmy działanie

Z×X −→ X, m(x, y) = (m+ x, (−1)my).

Przestrzeń orbit X/Z jest homeomorficzna ze wstęgą Möbiusa M.

Ponieważ ciągły obraz przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną, więc:

Stwierdzenie 1.7.2. Wstęga Möbiusa M jest przestrzenią spójną. �

Wstęgę Möbiusa można zanurzyć w R3. Odwzorowanie f :M −→ R3, określone wzorem

{a,−a} 7−→ ((x2 − y2)(2 + xz), 2xy(2 + xz), yz),

gdzie a = (x, y, z), jest ciągłym odwzorowaniem różnowartościowym.

W dalszych częściach tego opracowania będziemy mówić o przestrzeniach topologicznych homo-topijnie równoważnych. Zanotujmy teraz, że wstęga Möbiusa M i cylinder C, to dwie przestrzeniehomotopijnie równoważne ([16] 138).

1.8 Powierzchnie

Powierzchnią nazywamy każdą 2-wymiarową rozmaitość zwartą i spójną.

NiechX1, X2 będą dwiemia rozłącznymi powierzchniami. Sumą spójną tych powierzchni nazywamypowierzchnię, oznaczaną przez X1#X2, która powstaje przez wycięcie z każdej z tych powierzchnimałego dysku i sklejenie brzegów. Pokazuje się, że definicja zbioru X1#X2 nie zależy od wyborudysków oraz, że X1#X2 jest istotnie powierzchnią.

Twierdzenie 1.8.1 ([16] 99). Każda powierzchnia X jest homeomorficzna z dokładnie jedną z na-stępujących powierzchni:

(a) S2#T# . . .#T︸︷︷︸m

, gdzie m > 0 i T = S1 × S1 (torus),

(b) S2#P2(R)# . . .#P2(R)︸︷︷︸m

, gdzie m > 1. �

Uwaga 1.8.2 ([16]).(a) Suma spójna dwóch płaszczyzn rzutowych, to butelka Kleina.(b) T#P2(R) ≈ P2(R)#P2(R)#P2(R). �


1.9 Nakrycia

Niech p : E −→ X będzie ciągłym odwzorowaniem przestrzeni topologicznych.

Definicja 1.9.1. Mówimy, że odwzorowanie p : E −→ X jest nakryciem, jeśli dla każdego punktux ∈ X istnieje otoczenie otwarte U 3 x takie, że

p−1(U) =⋃j∈J Vj ,

gdzie zbiory postaci Vj są:(a) otwarte,(b) parami rozłączne oraz takie, że(c) odwzorowania p|Vj : Vj −→ U są homeomorfizmami.

Jeśli p : E −→ X jest nakryciem, to E nazywamy przestrzenią nakrywającą przestrzeń X.Z tej definicji wynika:

Stwierdzenie 1.9.2 ([12] 26). Jeśli p : E −→ X jest nakryciem, to:(1) przestrzenie postaci p−1(x), x ∈ X, są dyskretne;(2) odwzorowanie p jest lokalnym homeomorfizmem, tzn. dla każdego e ∈ E istnieje zbiór otwarty

V 3 e taki, że p(V ) jest zbiorem otwartym w X oraz odwzorowanie p|V : V −→ p(V ) jest homeomor-fizmem;(3) odwzorowanie p jest surjekcją;(4) odwzorowanie p jest otwarte;(5) X jest przestrzenią ilorazową przestrzeni E.

Dowód. (1). Niech x ∈ X. Niech U 3 x będzie zbiorem otwartym w X takim, jak w definicjinakrycia. Wtedy

p−1(x) =⋃j∈J(Vj ∩ p−1(x)).

Zbiory postaci Vj∩p−1(x) są oczywiście otwarte w p−1(x). Są to zbiory jednoelementowe. Istotnie, jeślia, b ∈ Vj∩p−1(x), to a, b ∈ Vj oraz p(a) = p(b) = x. Ale p|Vj jest odwzorowaniem różnowartościowym,zatem a = b.Niech a ∈ p−1(x). Istnieje wtedy j ∈ J takie, że a ∈ Vj ∩ p−1(x). Wtedy Vj ∩ p−1(x) = {a}.

To implikuje, że {a} jest zbiorem otwartym. Każdy więc jednoelementowy podzbiór w p−1(x) jestzbiorem otwartym.(2). Niech e ∈ E. Wtedy x = p(e) ∈ X. Istnieje więc zbiór otwarty V 3 x taki, jak w definicji

nakrycia. Wtedy e ∈ p−1(U), więc e ∈ Vj , dla pewnego j ∈ J . Zbiór p(Vj) = U jest otwarty w X orazp|Vj : Vj −→ p(Vj) = U jest homeomorfizmem.(3). Niech x ∈ X i niech U 3 x będzie zbiorem otwartym takim, jak w definicji nakrycia. Ponieważ

p|Vj : Vj −→ U jest surjekcją oraz x ∈ U , więc istnieje e ∈ Vj takie, że p(e) = x.(4). Wynika to z (2), gdyż jest oczywiste, że każdy lokalny homeomorfizm jest odwzorowaniem

otwartym.(5). Jest to konsekwencja (3) i (4). �

Zanotujmy kilka przykładów nakryć.

Przykład 1.9.3.(0) Odwzorowanie tożsamościowe X −→ X jest nakryciem.(1) Odwzorowanie p : R1 −→ S1, p(t) = e2πit, jest nakryciem. Jeśli x ∈ S1, to zbiór otwarty U 3 x

(występujący w definicji nakrycia) jest przedziałem otwartym okręgu S1, zawierającym x.(2) p : S1 −→ S1, p(z) = zn.(3) Niech p : Sn −→ Pn(R) (gdzie Pn(R) jest rzeczywistą przestrzenią rzutową) będzie odwzoro-

waniem sklejającym punkty antypodyczne. Odwzorowanie to jest nakryciem.(4) Niech G będzie grupą topologiczną i H jest jej dyskretną podgrupą. Wtedy rzutowanie G −→

G/H (gdzie G/H jest zbiorem warstw z topologią ilorazową) jest nakryciem.(5) C r {0} −→ C r {0}, z 7→ zn.(6) C −→ C r {0}, z 7→ ez =

∑∞n=0

zn

n! . �


Stwierdzenie 1.9.4. Jeśli p1 : E1 −→ X1, p2 : E2 −→ X2 są nakryciami, to odwzorowanie

p : E1 × E2 −→ X1 ×X2, (e1, e2) 7→ (p1(e1), p2(e2)),

jest nakryciem. �

1.10 Uwagi

1.1 Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Niech d′ : X ×X −→ R będzie funkcją określoną wzorem

d′(x, y) = d(x,y)1+d(x,y) .

Stwierdzenie 1.10.1. Funkcja d′ jest metryką w X.

Dowód. Trudność może sprawić jedynie nierówność trójkąta. Niech x, y, z ∈ X. Oznaczmy: a = d(x, y),b = d(y, z), c = d(x, z). Wtedy a, b, c > 0 oraz a+ b > c. Należy pokazać, że

a1+a +

b1+b −

c1+c =

a(1+b)(1+c)+b(1+a)(1+c)−c(1+a)(1+b)(1+a)(1+b)(1+c) > 0.

Sprawdzamy:a(1 + b)(1 + c) + b(1 + a)(1 + c)− c(1 + a)(1 + b)

= a+ ab+ ac+ abc+ b+ ab+ bc+ abc− c− ac− bc− abc

= (a+ b− c) + 2ab+ abc > 0. �

Stwierdzenie 1.10.2. Metryki d i d′ są równoważne, tzn. przestrzenie metryczne (X, d) i (X, d′) są home-omorficzne. �

1.2 Jeśli X,Y są przestrzeniami topologicznymi i h : X −→ Y jest homeomorfizmem, to (dla każdegox ∈ X) przestrzenie X r {x} i Y r {h(x)} są homeomorficzne ([16] 34).

Przykład 1.10.3. Przestrzenie [0, 1] i (0, 1), z topologiami indukowanymi z R, nie są homeomorficzne.

Dowód. Przypuśćmy, że są homeomorficzne. Wtedy są homeomorficzne, po wyrzuceniu punktu. Wyrzuć-my z [0, 1] punkt 0. Wtedy (0, 1] = [0, 1]r {0} jest spójne, a (0, 1)r {h(0)} nie jest spójne. �

Stwierdzenie 1.10.4 ([16] 146). Niech f : (0, 1) −→ (0, 1) będzie homeomorfizmem. Istnieje wtedy dokład-nie jeden homeomorfizm h : [0, 1] −→ [0, 1] taki, że H | (0, 1) = f . �

1.3 Przestrzenie Sn−1 × R i Rn r {0} są homeomorficzne ([16] 55). Homeomorfizmem jest np. przypo-rządkowanie (x, t) 7→ 2tx. W szczególności S× R ≈ R2 r {0} ≈ C r {0}.

1.4 Wiemy, że jeśli f : [0, 1] −→ R jest funkcją ciągłą i f(0)f(1) 6 0, to istnieje t ∈ [0, 1] takie, że f(t) = 0.Stosując ten fakt łatwo dowodzi się, że każda funkcja ciągła f : I −→ I ma punkt stały. Oto inna konsekwencjatego faktu.

Stwierdzenie 1.10.5 ([16] 80). Każda funkcja ciągła f : S1 −→ R przeprowadza pewną parę punktówantypodycznych w ten sam punkt, tzn. istnieje t ∈ S1 takie, że f(t) = f(−t).

Dowód. Niech f : S1 −→ R będzie daną funkcją ciągłą. Rozpatrzmy dwie funkcje ciągłe h : S −→ R,e : I −→ S1 określone wzorami:

h(t) = f(t)− f(−t), e(x) = cos(πx) + i sin(πx).

Wtedy funkcja he : I −→ R przyjmuje na końcach przedziału I = [0, 1] przeciwne wartości:

he(0) = h(1) = f(1)− f(−1), he(1) = h(−1) = f(−1)− f(1).

Istnieje zatem a ∈ I takie, że he(a) = 0. Niech t = e(a). Wtedy 0 = h(t) = f(t) = f(−1). �

Z tego stwierdzenia wynika:


Wniosek 1.10.6. W danym momencie czasu istnieją na Równiku (kuli ziemskiej) dwa antypodyczne punktyo tej samej temperaturze. �

Można udowodnić:

Twierdzenie 1.10.7 ([16] 80). Niech A,B będą ograniczonymi zbiorami na płaszczyźnie, posiadającymipole. Istnieje wtedy prosta (leżąca na tej płaszczyźnie), która dzieli każdy ze zbiorów A i B na dwie części orównych polach. �

W sformułowaniu poglądowym twierdzenie to można wysłowić następująco. Na talerzu leżą dwa naleśniki.Jednym cięciem noża można podzielić każdy z tych naleśników na dwie równe części. (Naleśniki nie muszą byćrozłączne; jeden może nakładać się na drugi. Nie muszą też być spójne, tzn. nie muszą składać się z jednegokawałka).

Twierdzenie 1.10.8 ([16] 82). Niech A będzie ograniczonym zbiorem na płaszczyźnie, posiadającym pole.Istnieje wtedy dwie przecinające się proste (leżące na tej płaszczyźnie), które dzielą zbiór A na cztery części orównych polach. �

1.5 Niech I = [0, 1] i niech X będzie przestrzenią topologiczną. Każdą funkcję ciągłą σ : I −→ X nazywamydrogą w X. Istnieją drogi σ : I −→ I2 będące surjekcjami, tzn. drogi zapełniające cały kwadrat I2. Takie drogiskonstruował Peano (ok. 1890 roku).

1.6 Każdą funkcję ciągłą τ : S1 −→ R2 nazywa się krzywą Jordana.

Twierdzenie 1.10.9 (Jordana, [16] 120). Niech τ : S1 −→ R2 będzie krzywą Jordana. Wtedy zbiór R2 rτ(S1) nie jest spójny i zawiera dokładnie dwie składowe spójności. Wspólnym brzegiem tych składowych jestzbiór τ(S1). Dokładnie jedna z tych składowych jest ograniczona. �

Twierdzenie to pochodzi z 1890 roku. W tym czasie Jordan zwrócił uwagę, że coś takiego (wydawałobysię oczywistego) wymaga dowodu. Dowód podano na początku dwudziestego wieku.

Zastąpmy okrąg S1 odcinkiem I = [0, 1]. Mamy wtedy:

Stwierdzenie 1.10.10 ([16] 131). Niech σ : I −→ R2 będzie funkcją ciągłą. Wtedy zbiór R2 r σ(I) jestspójny. �

1.7 Zanotujmy kilka uwag o twierdzeniu Borsuka i Ulama z 1930 roku.

Twierdzenie 1.10.11 (Borsuka - Ulama). Nie istnieje funkcja ciągła f : Sn −→ Sn−1 taka, że

f(−x) = −f(x),

dla wszystkich x ∈ Sn. �

Dla n = 1 twierdzenie to jest oczywiste. Dla n = 2 dowód znajdziemy w [16]. Jeśli n > 2, to podobnodowód jest trudny.

Wniosek 1.10.12 ([16] 183). Jeśli f : S2 −→ R2 jest funkcją ciągłą spełniającą związek f(−x) = −f(x),dla x ∈ S2, to istnieje x0 ∈ S2 takie, że f(x0) = 0.

Dowód. Przypuśćmy, że f(x) 6= 0, dla wszystkich x ∈ S2. Definiujemy funkcję ciągłą g : S2 −→ S1,przyjmując g(x) = ||f(x)||−1f(x). Wtedy g(−x) = −g(x) i mamy sprzeczność z twierdzeniem powyższym. �

Wniosek 1.10.13 ([16] 183). Jeśli f : S2 −→ R2 będzie funkcją ciągłą. Istnieje wtedy x ∈ S2 takie, żef(x) = f(−x).

Dowód. Przypuśćmy, że f(x) 6= f(−x), dla wszystkich x ∈ S2. Definiujemy funkcję ciągłą g : S2 −→ R2,przyjmując g(x) = f(x) − f(−x). Wtedy g(−x) = −g(x) (dla wszystkich x), a zatem - na mocy powyższegowniosku - g(x0) = 0, dla pewnego x0 ∈ S2. Stąd f(x0) = f(−x0) wbrew naszemu przypuszczeniu. �

Z tego wniosku wynika, że w dowolnym momencie czasu istnieją na kuli ziemskiej dwa antypodycznepunkty, w których jednocześnie zgadza się temperatura i ciśnienie.Powyższe dwa wnioski (z tymi samymi dowodami) są prawdziwe dla dowolnego n. Z ostatniego wniosku

(sformułowanego dla n) wynika, że nie istnieje ciągłe różnowartościowe odwzorowanie z Sn do Rn. Stąd dajesię udowodnić:


Wniosek 1.10.14 ([16] 183). Żaden podzbiór w Rn nie jest homeomorficzny z Sn. �

Wniosek 1.10.15 ([16] 185, PH121). Nie istnieje odwzorowanie ciągłe f : Sn −→ S1 (n > 1), spełniającezwiązek f(−x) = −f(x), dla wszystkich x ∈ Sn.

Twierdzenie 1.10.16 (o kanapce, [16]). Niech A,B,C będą ograniczonymi podzbiorami w R3, posiadają-cymi objętość. Istnieje wtedy płaszczyzna dzieląca każdy z tych zbiorów na dwie części równej objętości. �

2. Grupa podstawowa 9

2 Grupa podstawowa

Pojęcie grupy podstawowej przestrzeni topologicznej zdefiniował H. Poincare w 1904 roku, kiedy prze-konał sią, że odkryte przez niego wcześniej funktory homologii, które dały klasyfikację powierzchni,nie wystarczają już do scharakteryzowania 3-wymiarowej sfery S3. Pytanie, czy funktory homologiiwespół z grupą podstawową wystarczają, jest do dziś otwartym zagadnieniem Poincarégo ([6]8).

Wprowadzenie do teorii homotopii i grupy podstawowej znajdziemy w [6]8, [9]49, [12]14, [16]175.

W tym rozdziale zakładamy, że X jest przestrzenią topologiczną. Przez I oznaczamy domkniętyodcinek [0, 1] ⊂ R.

2.1 Drogi

Każde przekształcenie ciągłe σ : I −→ X nazywamy drogą w X. Punkt σ(0) nazywamy początkiemdrogi σ, a punkt σ(1) jej końcem. Mówimy, że droga σ : I −→ X jest zamknięta jeśli początek pokrywasię z końcem, tzn. jeśli σ(0) = σ(1). W tym przypadku mówi się również, że droga σ jest pętlą w punkcieσ(0) = σ(1). Mówimy, że droga jest stała, jeśli jej obraz jest zbiorem jednopunktowym.

Niech p, q ∈ X. Przez D(p, q) oznaczać będziemy (chwilowo) zbiór wszystkich dróg w X o początkuw punkcie p i końcu w punkcie q.

Drogi, z których jedna kończy się w początku drugiej, można składać. Załóżmy, że σ, τ : I −→ Xsą drogami w X takimi, że σ ∈ D(p, q), τ ∈ D(q, r), gdzie p, q, r ∈ X. Definiujemy wtedy drogęστ ∈ D(p, r), przyjmując:

στ(t) =

{σ(2t), gdy 0 6 t 6 12 ,

τ(2t− 1), gdy 12 6 t 6 1.

Z każdą drogą σ ∈ D(p, q) stowarzyszona jest droga odwrotna σ′ ∈ D(q, p), którą określa sięwzorem

σ′(t) = σ(1− t).

2.2 Drogi homotopijnie równoważne

Niech p, q ∈ X będą ustalonymi punktami w X. Załóżmy, że σ, τ ∈ D(p, q). Mówimy, że drogiσ i τ są homotopijnie równoważne, co zapisujemy jako σ ∼ τ , jeśli istnieje odwzorowanie ciągłeF : I × I −→ X takie, że:

F (s, 0) = σ(s) dla s ∈ I,F (s, 1) = τ(s) dla s ∈ I,F (0, t) = p dla t ∈ I,F (1, t) = q dla t ∈ I.

Powyższe odwzorowanie F : I × I −→ X nazywa się homotopią od σ do τ .

Jeśli F : I × I −→ X jest homotopią, od σ do τ , to (dla każdego t ∈ I) przez Ft : I −→ Xoznaczamy odwzorowanie określone wzorem

Ft(s) = F (s, t), dla s ∈ I.

Każde odwzorowanie postaci Ft jest drogą należącą do D(p, q). W szczególności F0 = σ, F1 = τ .

Stwierdzenie 2.2.1. Homotopijność ∼ jest relacją typu równoważności w zbiorze D(p, q).

Dowód. Niech σ, τ, µ ∈ D(p, q).Zwrotność. Odwzorowanie F : I× I −→ X, (s, t) 7→ σ(s), jest homotopią od σ do σ.


Symetryczność. Niech F : I × I −→ X będzie homotopią od σ do τ . Definiujemy odwzorowanieG : I × I −→ X, przyjmując:

G(s, t) = F (s, 1− t), dla s, t ∈ I.

Wtedy G jest homotopią od τ do σ.Przechodniość. Niech F,G : I × I −→ X będą homotopiami odpowiednio od σ do τ i od τ do µ.

Definiujemy odwzorowanie H : I × I −→ X następująco:

H(s, t) =

{F (s, 2t), dla s ∈ I, 0 6 t 6 12 ,

G(s, 2t− 1), dla s ∈ I, 12 6 t 6 1.

Odwzorowanie H jest homotopią od σ do µ. �

Wykażemy teraz, że relacja homotopijności zachowuje działania określone na zbiorach dróg.

Stwierdzenie 2.2.2. Niech σ, σ′ ∈ D(p, q), τ, τ ′ ∈ D(q, r). Jeśli σ ∼ σ′ i τ ∼ τ ′, to στ ∼ σ′τ ′.

Dowód. Niech F : I × I −→ X będzie homotopią od σ do σ′ i niech G : I × I −→ X będziehomotopią od τ do τ ′. Wówczas, dla każdego t ∈ I mamy drogi Ft ∈ D(p, q) i Gt ∈ D(q, r). Drogi temożemy składać. Definiujemy więc odwzorowanie H : I×H −→ X przyjmując H(s, t) = FtGt(s), dlas, t ∈ I, tzn.

H(s, t) =

{F (s, t), dla 0 6 s 6 12 ,

G(2s− 1, t), dla 12 6 s 6 1.Łatwo sprawdzić, że H jest homotopią od στ do σ′τ ′. �

Stwierdzenie 2.2.3. Załóżmy, że σ ∈ D(p, q), τ ∈ D(q, r), µ ∈ D(r, s), gdzie p, q, r, s ∈ X. Wtedy(στ)µ ∼ σ(τµ).

Dowód.

(στ)µ(t) =

σ(4t), gdy 0 6 t 6 14 ,

τ(4t− 1), gdy 14 6 t 612 ,

µ(2t− 1), gdy 12 6 t 6 1.

σ(τµ)(t) =

σ(2t), gdy 0 6 t 6 12 ,

τ(4t− 2), gdy 12 6 t 634 ,

µ(4t− 3), gdy 34 6 t 6 1.

Homotopię od (στ)µ do σ(τµ) zadaje odwzorowanie

F (s, t) =

σ( 4st+1 ), gdy 0 6 s 6

t+14 ,

τ(4s− t− 1), gdy t+14 6 s 6t+24 ,

µ( 4s−t−22−t ), gdyt+24 6 s 6 1. �

Stwierdzenie 2.2.4. Niech σ, τ ∈ D(p, q) i niech σ′, τ ′ ∈ D(q, p) będą drogami odwrotnymi odpowied-nio do σ i τ . Jeśli σ ∼ τ , to σ′ ∼ τ ′.

Dowód. Niech F : I × I −→ X będzie homotopią od σ do σ′. Wtedy G : I × I −→ X, G(s, t) =F (1− s, t), jest homotopią od σ′ do τ ′. �

Stwierdzenie 2.2.5. Niech σ ∈ D(p, q) i niech σ′ ∈ D(q, p) będzie drogą odwrotną do σ. Wtedyσσ′ ∼ ep, σ′σ ∼ eq, gdzie ep ∈ D(p, p), eq ∈ D(q, q) są drogami stałymi przyjmującymi stałe wartościodpowiednio p i q.

Dowód. Homotopię od σσ′ do ep zadaje odwzorowanie

F (s, t) =

σ(2s), gdy 0 6 s 6 1−t2 ,

σ(2− 2t− 2s), gdy 1−t2 6 s 6 1− t,

p, gdy 1− t 6 s 6 1.

Podobnie określa się homotopię od σ′σ do eq. �


2.3 Definicja grupy podstawowej

Jeśli σ ∈ D(p, q), to przez [σ] oznaczamy klasę abstrakcji pętli σ względem relacji ∼.

Niech p ∈ X będzie ustalonym punktem. Nazwijmy go punktem bazowym. Rozpatrzmy zbiórD(p, p), wszystkich dróg o początku i końcu w punkcie p, tzn. zbiór wszystkich pętli w punkcie p.

Definicja 2.3.1. Zbiór wszystkich klas abstrakcji postaci [σ], gdzie σ ∈ D(p, p), oznaczamy przezπ1(X, p) i nazywamy grupą podstawową (lub grupą homotopii) przestrzeni X w punkcie p.

Mnożenie w π1(X, p) jest określone wzorem

[σ][τ ] = [στ ], dla σ, τ ∈ D(p, p).

Z faktów podanych w poprzednim podrozdziale wynika, że mnożenie to jest dobrze określone oraz, żezbiór π1(X, p) wraz z tym mnożeniem jest grupą. Elementem neutralnym jest klasa abstrakcji pętlistałej. Elementem odwrotnym do [σ] jest [σ′], gdzie σ′ jest pętlą w punkcie p, odwrotną do pętli σ,tzn. [σ]−1 = [σ′].

Łatwo udowodnić:

Stwierdzenie 2.3.2. Niech p, q ∈ X i niech τ ∈ D(p, q). Odwzorowanie

π1(X, q) −→ π1(X, p), [σ] 7−→ [τ ][σ][τ ]−1,

jest izomorfizmem grup. �

Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest łukowo spójna, jeśli dla dowolnych punktów p, q ∈ Xistnieje droga τ należąca do D(p, q). Z powyższego stwierdzenia wynika:

Wniosek 2.3.3. Jeśli przestrzeń X jest łukowo spójna i p ∈ X, to grupa podstawowa π1(X, p) niezależy od wyboru punktu p, tzn. dla dowolnych punktów p, q ∈ X, grupy π1(X, p) i π1(X, q) są izomor-ficzne. �

Jeśli X jest przestrzenią łukowo spójną, to jej grupę podstawową π1(X, p) (gdzie p ∈ X) oznaczasię krótko przez π1(X).

Zanotujmy kilka własności przestrzeni łukowo spójnych.

Stwierdzenie 2.3.4.(1) Obraz ciągły przestrzeni łukowo spójnej jest przestrzenią łukowo spójną.(2) Przestrzeń łukowo spójna jest spójna (stwierdzenie odwrotne na ogół nie zachodzi).(3) Każdy niepusty spójny zbiór otwarty w Rn jest łukowo spójny. �

Grupa podstawowa ma charakter funktorialny. Przez kategorię przestrzeni topologicznych z wy-różnionym punktem rozumiemy kategorię, której obiektami są pary (X, p) (gdzie X jest przestrzeniątopologiczną i p ∈ X), a morfizmami z (X, p) do (Y, q) są odwzorowania ciągłe f : X −→ Y takie, żef(p) = q. Jeśli f : X −→ Y jest odwzorowaniem ciągłym, to definiujemy homomorfizm indukowany:

f∗ : π1(X, p) −→ π1(Y, f(p)), [σ] 7−→ [f ◦ σ].

Łatwo sprawdza się, że f∗ jest homomorfizmem grup. Ponadto, (f ◦ g)∗ = f∗ ◦ g∗, (1X)∗ = id. Mamyzatem:

Wniosek 2.3.5. π1 jest funktorem kowariantnym z kategorii przestrzeni topologicznych z wyróżnio-nym punktem do kategorii grup. �


2.4 Homotopia odwzorowań

Wiemy już co to znaczy, że dwie drogi σ, τ : I −→ X (należące do D(p, q)) są homotopijnie równo-ważne. W podobny sposób można zdefiniować równoważność homotopijną, gdy odcinek I zastąpimydowolną przestrzenią topologiczną Y . W przypadku odcinka istotną rolę odgrywał dwuelementowypodzbiór A = {0, 1} ⊂ I. Rozpatrywaliśmy tylko drogi σ, τ : I −→ X takie, że σ|A = τ |A.

Niech teraz Y będzie dowolną przestrzenią topologiczną i niech A ⊂ Y będzie ustalonym podzbio-rem.

Definicja 2.4.1. Niech f, g : Y −→ X będą odwzorowaniami ciągłymi takimi, że f |A = g|A.Mówimy, że odwzorowania f i g są homotopijnie równoważne względem A, co zapisujemy jako f ∼A g,jeśli istnieje odwzorowanie ciągłe F : Y × I −→ X takie, że:

F (y, 0) = f(y), dla y ∈ Y,

F (y, 1) = g(y), dla y ∈ Y,

F (y, t) = f(y) = g(y), dla y ∈ A, t ∈ I.

Odwzorowanie F nazywamy homotopią względem A od f do g.

Powyższa homotopijność względem A jest relacją typu równoważności w zbiorze wszystkich funkcjiciągłych z X do Y identycznych na zbiorze A.

Definicja 2.4.2. W przypadku, gdy A = ∅, piszemy f ∼ g (zamiast f ∼A g) i mówimy, że funkcjef i g są homotopijne.

Zatem funkcje f, g : Y −→ X są homotopijne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwzorowanie ciągłeF : Y × I −→ X takie, że: {

F (y, 0) = f(y), dla y ∈ Y,

F (y, 1) = g(y), dla y ∈ Y,

Przykład 2.4.3. Niech X = Y = Rn. Niech f, g : Rn −→ Rn będą funkcjami takimi, że f jestidentycznością, a g jest odwzorowaniem stałym przyjmującym stałą wartość 0. Wtedy odwzorowanie

F : Rn × I −→ Rn, (x, t) 7−→ tx,

jest homotopią od f do g. �

Definicja 2.4.4. Jeśli X jest taką przestrzenią topologiczną, że odwzorowanie identycznościowe jesthomotopijne z odwzorowaniem stałym, to mówimy, że przestrzeń X jest ściągalna.

Definicja 2.4.5. Mówimy, że przestrzeń topologiczna jest jednospójna, gdy jest łukowo spójna i matrywialną grupę podstawową.

Twierdzenie 2.4.6 ([12]19).(1) Przestrzeń X jest ściągalna ⇐⇒ dla dowolnej przestrzeni topologicznej Y każde dwie funkcje

ciągłe z Y do X są homotopijne.(2) Przestrzeń ściągalna jest łukowo spójna.(3) Każdy wypukły podzbiór w Rn jest ściągalny.(4) Przestrzeń ściągalna jest jednospójna. �

Definicja 2.4.7. Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi. Odwzorowanie ciągłe ϕ : X −→Y nazywa się homotopijną równoważnością, gdy istnieje odwzorowanie ciągłe ψY −→ X takie, żeϕψ ∼ 1X i ψϕ ∼ 1Y . Jeśli takie odwzorowanie ϕ istnieje, to mówimy, że przestrzenie X i Y mająten sam typ homotopii.


W szczególnści, przestrzeń X jest ściągalna wtedy i tylko wtedy, gdy ma ten sam typ homotopii,co przestrzeń jednopunktowa.Wiemy, że π1 jest funktorem. Jeśli więc f : X −→ Y jest homeomorfizmem, to grupy π1(X, p),

π1(Y, f(p)) są izomorficzne. Założenie ”f jest homeomorfizmem” można osłabić:

Stwierdzenie 2.4.8. Jeśli ϕ : X −→ Y jest homotopijną równoważnością, to grupy π1(X, p), π1(Y, ϕ(p))są izomorficzne. �

Grupa podstawowa przestrzeni łukowo spójnych jest więc niezmiennikiem typu homotopii (i tymbardziej niezmiennikiem topologicznym).

Niech X będzie przestrzenią spójną. Jeśli Y jest przestrzenią homotopijnie równoważną z X, to Y również jest

przestrzenią spójną ([16] 138).

2.5 Przykłady

Stwierdzenie 2.5.1 ([12]24, [6]22). π1(X × Y, (p, q)) ≈ π1(X, p)× π1(Y, q). �

Stwierdzenie 2.5.2 ([12]23, [6]31).

π1(Sn) =

{Z, gdy n = 1,

0, gdy n > 1. �

Grupa Z, liczb całkowitych, jest więc grupą podstawową każdej przestrzeni topologicznej mającejtyp homotopii okręgu, w szczególności pierścienia kołowego, pełnego torusa i ogólniej, produktu S1 ×In dla każdego n = 1, 2, . . . , a także na przykład dla wstęgi Möbiusa. Grupa podstawowa torusaS1 × · · · × S1 (n razy) jest natomiast suą prostą n grup cyklicznych:

π1(S1 × · · · × S1︸︷︷︸n

) = Z× · · · × Z︸︷︷︸n

.

Znając powyższe fakty można łatwo udowodnić, że okrąg S1 nie jest retraktem koła domkniętego.Stąd natomiast otrzymuje się łatwo szczególny przypadek twierdzenia Brouwera o punkcie stałym:każde ciągłe odwzorowanie koła domkniętego w siebie ma punkt stały (patrz [12]25).

Przestrzeń rzutową Pn = Pn(R) można zdefiniować jako przestrzeń ilorazową sfery Sn, otrzymanąprzez utożsamienie punktów antypodycznych.

Stwierdzenie 2.5.3 ([12] 31).

π1(Pn) =

{Z, gdy n = 1,

Z2, gdy n > 1. �

Stwierdzenie 2.5.4 ([12] 23). Jeśli G jest jednospójną grupą topologiczną, a H jest jej dyskretnymdzielnikiem normalnym, to π1(G/H, 1) ≈ H. �

Stwierdzenie 2.5.5 ([16] 155). Jeśli G jest grupą topologiczną i e jest jej elementem neutralnym,to grupa π1(G, e) jest abelowa. �

2.6 Wyższe grupy homotopii

Na podstawie [16] 155.

Grupę π1(X, p) nazywa sią często pierwszą grupą homotopii przestrzeni X w punkcie p. Indeks”1” przypomina o tym, że grupa ta jest zbiorem klas abstrakcji dróg, czyli ciągłych odwzorowań z I1

do X. W ogólnym przypadku można określić πn(X, p), n-tą grupę homotopii, zastępując drogi przezodwzorowania ciągłe σ : In −→ X. Przedstawiamy szkic konstrukcji.

Niech p ∈ X będzie wyróżnionym punktem.


Definicja 2.6.1. Brzegiem kostki In nazywamy zbiór

∂In = {(a1, . . . , an) ∈ In; ai = 0 lub ai = 1, dla pewnego i}.

Definicja 2.6.2. Przez Pn(X, p) oznaczamy zbiór wszystkich ciągłych odwzorowań σ : In −→ Xtakich, że σ(∂In) = {p}.

Definicja 2.6.3. Mówimy, że odwzorowania σ, τ : In −→ X, należące do Pn(X, p) są homotopij-nie równoważne jeśli są homotopijne względem brzegu ∂In, tzn., jeśli istnieje ciągłe odwzorowanieF : In × I −→ X takie, że

F (y, 0) = σ(y), dla y ∈ In,

F (y, 1) = τ(y), dla y ∈ In,

F (y, t) = p, dla y ∈ ∂In, t ∈ I.

Powyższa relacja homotopijności jest relacją typu równoważności w zbiorze Pn(X, p). Klasy abstrakcjioznaczamy przez [σ]. Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez πn(X, p). Mnożenie w πn(X, p)definiuje się jako

[σ][τ ] = [σ ∗ τ ],

gdzie

σ ∗ τ(t1, . . . , tn) =

{σ(2t1, t2, . . . , tn), gdy 0 6 t1 6 12 ,

τ(2t1 − 1, t2, . . . , tn), gdy 12 6 t1 6 1.

Mnożenie to jest poprawnie zdefiniowane. Zbiór πn(X, p), z takim mnożeniem jest grupą.

Stwierdzenie 2.6.4 ([16] 156).(1) Jeśli istnieje droga σ ∈ D(p, q), to grupy πn(X, p) i πn(X, q) są izomorficzne.(2) Jeśli przestrzenie X i Y mają ten sam typ homotopii, to ich n-te grupy homotopii są izomor-

ficzne.(3) Jeśli n > 2, to grupa πn(X, p) jest abelowa.(4) Niech X,Y będą przestrzeniami topologicznymi i niech f : X −→ Y będzie funkcją ciągłą. Okre-

śla się wtedy, w sposób funktorialny, homomorfizm grup f∗ : πn(X, p) −→ πn(Y, f(p)). Jeśli wszystkiehomomorfizmy f∗ (dla każdego n > 1) są izomorfizmami, to f jest homotopijną równoważnością. �

2.7 Hipoteza Poincaré

Hipoteza 2.7.1 (Poincar’e, 1895). Jeżeli X jest zwartą, spójną i jednospójną rozmaitością (topologiczną)wymiaru 3, to X jest homeomorficzne z trójwymiarową sferą S3.

Hipoteza ma naturalne uogólnienie na wszystkie wymiary n > 2. Dla n = 2 problem rozstrzygnąłpozytywnie sam Poincaré. W 1961 roku S. Smale podał dowód dla n > 5, a w 1981 roku M. Friedmandla n = 4 (patrz [5]). Pozostała do rozstrzygnięcia tylko klasyczna wersja tej hipotezy.

3. Działanie grupy na przestrzeń topologiczną 15

3 Działanie grupy na przestrzeń topologiczną

3.1 Działanie grupy na zbiór

Niech X będzie zbiorem, a G grupą.

Definicja 3.1.1. Mówimy, że G działa na X lub, że X jest G-zbiorem, jeśli zadane jest odwzorowanie(zwane działaniem grupy G na X)

· : G×X −→ X, (g, x) 7−→ gx,

spełniające warunki:(1) ex = x, gdzie e jest elementem neutralnym grupy G,(2) g(hx) = (gh)x, dla g, h ∈ G, x ∈ X.

Działanie grupy G na X, to nic innego, jak homomorfizm grup G −→ S(X), gdzie S(X) jest grupąwszystkich permutacji zbioru X.

Przykład 3.1.2.(1) Niech G będzie grupą Top(X), wszystkich homeomorfizmów przestrzeni topologicznej X. Dzia-

łanie G×X −→ X określamy jako (g, x) 7→ g(x), tzn. gx = g(x).(2) G = Z2 = {−1, 1}, X = Sn. Z2 × Sn −→ Sn, (a, x) 7→ ax, tzn. (±)x = ±x.(3) G = Z, X = R, ax = x+ a.(4) G = Z× Z, X = R2, (a, b)(x, y) = (x+ a, y + a).(5) G = Z, X = {(x, y) ∈ R2; − 12 6 y 6

12}, Działanie Z × X −→ X określamy wzorem

(a, (x, y)) 7→ (x+ a, (−1)ay).(6) Niech H będzie podgrupą grupy G. Rozpatrzmy działanie H × G −→ G, (h, g) 7→ hg. Grupa

G jest więc H-zbiorem.(7) Niech G będzie grupą i X = 2G rodziną wszystkich podzbiorów zbioru G. Definiujemy

G× 2G −→ 2G, przyjmując(g, U) 7−→ gU = {gu; u ∈ U}.

Zbiór 2G jest więc G-zbiorem. �

Z definicji G-zbioru wynika, że każde odwzorowanie X −→ X postaci x 7→ gx, jest bijekcją.

3.2 Przestrzeń orbit

Załóżmy, że X jest G-zbiorem. Określamy relację ∼ w X, przyjmując:

x ∼ y ⇐⇒ ∃g∈G y = gx.

Jest to oczywiście relacja typu równoważności. Klasy abstrakcji nazywamy orbitami. Jeśli x ∈ X, toorbitą elementu x, czyli klasą abstrakcji wyznaczoną przez x, jest zbiór

Gx = {gx; g ∈ G}.

Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez X/G. Zatem X/G jest zbiorem wszystkich orbitG-zbioru X.

Załóżmy teraz, że X jest przestrzenią topologiczną, będącą G-zbiorem.

Definicja 3.2.1. Zbiór X/G z topologią ilorazową nazywamy przestrzenią orbit działania G na X.

Przykład 3.2.2.(1) G = Z2 = {−1, 1}, X = Sn, Z2 × Sn −→ Sn, (a, x) 7→ ax. Wtedy Sn/Z2 = Pn(R) jest

przestrzenią rzutową rzeczywistą.(2) G = Z, X = R, Z× R −→ R, ax = x+ a. Wtedy R/Z = S1.(3) G = Z, X = {(x, y) ∈ R2; − 12 6 y 6

12}, Z ×X −→ X, (a, (x, y)) 7→ (x + a, (−1)

ay). WtedyX/Z jest wstęgą Möbiusa. �


Załóżmy, że grupa G działa na przestrzeń topologiczną X. Jeśli x ∈ X, to oznaczamy:

Gx = {g ∈ G; gx = x}.

ZbiórGx jest podgrupą grupyG, zwaną stabilizatorem w punkcie x. Można zatem rozważać zbiory orbitpostaci G/Gx. Zbiór G/Gx pokrywa się oczywiście ze zbiorem warstw grupy G, względem podgrupyGx.

Jeśli wszystkie odwzorowania postaci x 7→ gx są ciągłe, to mówimy, że działanie G×X −→ X jestciągłe oraz, że X jest G-przestrzenią. Ciągłe działanie G×X −→ X, to nic innego, jak homomorfizmgrup G −→Top(X), gdzie Top(X) jest grupą wszystkich homeomorfizmów z X do X.

Stwierdzenie 3.2.3. Jeśli X jest G-przestrzenią, to odwzorowanie naturalne η : X −→ X/G, x 7→Gx, jest ciągłym odwzorowaniem otwartym.

Dowód. Odwzorowanie η : X −→ X/G jest oczywiście ciągłe (gdyż X/G ma topologię ilorazową).Niech U ⊆ X będzie zbiorem otwartym w X. Należy pokazać, że η(U) jest zbiorem otwartym w X/G,tzn., że zbiór η−1η(U) jest otwarty w X. Wynika to z równości:

η−1η(U) =⋃g∈G gU.

Zbiory postaci gU są otwarte w X, gdyż x 7→ gx jest homeomorfizmem. �

Stwierdzenie 3.2.4. Załóżmy, że grupa G jest skończona. Jeśli X jest G-przestrzenią, to odwzoro-wanie naturalne η : X −→ X/G, x 7→ Gx, jest domknięte.

Dowód. Niech F ⊆ X będzie zbiorem domkniętym w X. Należy pokazać, że η(F ) jest zbioremdomkniętym w X/G, tzn., że zbiór η−1η(F ) jest domknięty w X. Wynika to z równości:

η−1η(F ) =⋃g∈G gF.

Zbiory postaci gF są domknięte w X, gdyż x 7→ gx jest homeomorfizmem. Zbiór η−1η(F ) jest więcskończoną sumą zbiorów domkniętych, a zatem jest zbiorem domkniętym. �

3.3 Produkty

Niech G1, G2 będą grupami. Załóżmy, że X1 jest G1-przestrzenią, a X2 jest G2-przestrzenią. Mamywówczas ciągłe działanie

(G1 ×G2)× (X1 ×X2) −→ X1 ×X2, (a, b)(x1, x2) = (ax1, bx2).

Przestrzeń X1 ×X2 jest więc G1 ×G2-przestrzenią. Mamy zatem przestrzeń orbit X1 ×X2/G1 ×G2.

Stwierdzenie 3.3.1 (PH15). Przestrzenie topologiczne X1 × X2/G1 × G2 i (X1/G1) × (X2/G2)są homeomorficzne. Homeomorfizmem jest odwzorowanie [a, b] 7→ ([a], [b]). �

Przykład 3.3.2.(1) Niech Z× Z działa na R2 jako: (a, b)(x, y) = (a+ x, b+ y). Wtedy

R2/(Z× Z) ≈ (R/Z)× (R/Z) ≈ S1 × S1 (torus).

(2) Niech G = Z, X = C r {0}. Rozpatrzmy działanie

Z×X −→ X, ax = 2ax.

Zbiór C r {0} jest więc Z-przestrzenią. Można pokazać, że przestrzeń orbit (C r {0})/Z jest home-omorficzna z torusem S1 × S1.(3) ([16] 55). Niech T : Rn r {0} −→ Rn r {0} będzie homeomorfizmem określonym wzorem

T (x) = 2x. Rozpatrzmy grupę G = {T i; i ∈ Z}. Grupa ta działa na Rn r {0} (T ix = T i(x)). Możnapokazać, że (Rn r {0})/G ≈ Sn−1 × S1. �


3.4 Zwartość

Jest oczywiste, że jeśli f : X −→ Y jest ciągłą surjekcją przestrzeni topologicznych, gdzie X jestprzestrzenią quasi-zwartą (tzn. spełniającą warunek zwartości ale bez założenia o hausdorffowości),to Y jest również przestrzenią quasi-zwartą. Stąd wynika w szczególności:

Stwierdzenie 3.4.1. Jeśli X jest quasi-zwartą G-przestrzenią, to przestrzeń orbit X/G jest quasi-zwarta. �

Dla przestrzeni orbitX/Gmoże być kłopot z hausdorffowością. JeśliX jest przestrzenią Hausdorffa,to X/G nie musi być taką (Stwierdzenie 3.8.1). Jednakże dla grup skończonych własność ta przechodzi.Stąd mamy:

Stwierdzenie 3.4.2. Niech X będzie G-przestrzenią, gdzie G jest grupą skończoną. Jeśli przestrzeńX jest zwarta, to X/G jest również przestrzenią zwartą. �

Wiemy już, że rzeczywista przestrzeń rzutowa Pn(R) jest homeomorficzna z przestrzenią orbitSn/Z2. Mamy zatem:

Wniosek 3.4.3. Rzeczywista przestrzeń rzutowa Pn(R) jest zwarta. �

3.5 Działania wspólnie rozłączne

Niech X będzie G-przestrzenią.

Definicja 3.5.1 ([16] 167). Mówimy, że działanie grupy G na X jest rozłączne (lub wspólnie roz-łączne), jeśli dla każdego x ∈ X, istnieje otwarte otoczenie V 3 x takie, że gV ∩g′V = ∅, dla wszystkichg, g′ ∈ G, g 6= g′.

Twierdzenie 3.5.2 ([16] 167, PH113). Niech X będzie G-przestrzenią. Jeśli działanie G na Xjest wspólnie rozłączne, to odwzorowanie naturalne η : X −→ X/G jest nakryciem.

Definicja nakrycia jest w Podrozdziale 1.9.Dowód. Niech Gx = {gx; g ∈ G} będzie dowolnym elementem w X/G. Ponieważ działanie jest

wspólnie rozłączne, więc istnieje zbiór otwarty V w X, zawierający x taki, że gV ∩ g′V = ∅, dlawszystkich g, g′ ∈ G, g 6= g′. Oznaczmy U = η(V ). Zbiór U jest otwarty w X/G (Stwierdzenie 3.2.3)i Gx ∈ U . Zauważmy, że

η−1(U) = η−1η(V ) =⋃g∈G gV.

Zbiory postaci gV są otwarte w X (bo odwzorowanie x 7→ gx jest homeomorfizmem) i parami roz-łączne.Należy jeszcze pokazać, że odwzorowanie η|gV jest homeomorfizmem pomiędzy przestrzeniami gV

i U . Odwzorowanie η|gV jest oczywiście ciągłe i otwarte oraz η(gV ) = η(V ) = U . Wystarczy zatemtylko pokazać, że η|gV jest odwzorowaniem różnowartościowym. Niech a, b ∈ gV , η(a) = η(b). WtedyGa = Gb, więc a = g′b, dla pewnego g′ ∈ G. Zatem a ∈ gV ∩ g′gV . Jeśli g′ 6= e, to gV ∩ g′gV = ∅.Stą wynika, że g′ = e, czyli a = g′b = eb = b. �

3.6 Działania wolne

Niech X będzie G-przestrzenią. Przez e oznaczamy element neutralny grupy G.

Definicja 3.6.1 ([16] 88). Mówimy, że działanie grupy G na X jest wolne (lub, że grupa G działana X w sposób wolny) jeśli gx 6= x, dla wszystkich g ∈ Gr {e}, x ∈ X.

Stwierdzenie 3.6.2. Działanie grupy G na X jest wolne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x ∈ X,stabilizator Gx = {g ∈ G; gx = x} jest trywialny (tzn. równy {e}). �

Stwierdzenie 3.6.3 ([16] 168, PH110). Niech G będzie skończoną grupą działającą w sposób wol-ny na przestrzeń Hausdorffa X. Wówczas działanie G×X −→ X jest wspólnie rozłączne. �


Korzystając z tego stwierdzenia można udowodnić:

Twierdzenie 3.6.4 (PH111). Niech X będzie n-wymiarową rozmaitością topologiczną zwartą, bę-dącą G-przestrzenią, gdzie G jest grupą skończoną działającą w sposób wolny. Wtedy przestrzeń orbitX/G jest również n-wymiarową rozmaitością topologiczną. �

Przy założeniach tych samych co w powyższym twierdzeniu można udowodnić, że prawdziwa jesttakże implikacja odwrotna, tzn. jeśli X/G jest n-wymiarową rozmaitością, to X również ([16] 94 zad.d).

Niech M będzie powierzchnią (tzn. zwartą i spójną rozmaitością 2-wymiarową). Załóżmy, że Mjest G-przestrzenią, gdzie G jest skończoną grupą cykliczną nieparzystego rzędu. Wtedy M/G jestrównież powierzchnią. Nie musimy tu zakładać, że działanie jest wolne ([16] 107).

3.7 Grupa podstawowa przestrzeni orbit

Niech X będzie łukowo spójną G-przestrzenią. Załóżmy, że działanie grupy G na X jest wspólnierozłączne. Wiemy, że wtedy odwzorowanie kanoniczne η : X −→ X/G jest nakryciem. Jaki jest związekgrupy podstawowej π1(X/G) z grupą π1(X)?Niech η∗ : π1(X) −→ π1(X/G) będzie homomorfizmem grup indukowanym przez η. Można udo-

wodnić:

Twierdzenie 3.7.1 ([16] 179). Przy powyższych założeniach, grupy G i π1(X/G)/η∗(π1(X) są izo-morficzne. �

Przypomnijmy, że przestrzeń topologiczna X jest jednospójna, jeśli jest łukowo spójna oraz jejgrupa podstawowa jest zerowa. Z powyższego twierdzenia otrzymujemy:

Wniosek 3.7.2. Jeśli X jest przestrzenią jednospójną oraz działanie grupy G na X jest wspólnierozłączne, to grupy π1(X/G) i G są izomorficzne. �

Przykład 3.7.3. π1(S1) = Z.

Dowód. Grupa Z działa na R następująco: ar 7→ a + r. Wiemy, że S1 ≈ R/Z. Oczywiście R jestprzestrzenią jednospójną. Pokażemy, że działanie Z na R jest wspólnie rozłączne. Niech r ∈ R. NiechU = (r − 13 , r +

13 ). Wtedy U jest zbiorem otwartym w R, zawierającym r i takim, że dla a, b ∈ Z,

a 6= b, zbiór aU ∩ bU jest pusty. Teza wynika zatem z powyższego wniosku. �

Przykład 3.7.4. Niech X = S3 ⊂ C2.

S2 = {(z0, z1) ∈ C2; |z0|2 + |z1|2 = 1}.

Niech p > 1 będzie liczbą naturalną. Rozpatrzmy odwzorowanie h : S3 −→ S3 określone wzorem

h(z0, z1) = (z0e2πip , z1e

2πip ) = e

2πip (z0, z1).

Odwzorowanie to jest homeomorfizmem sfery S3 takim, że hp = id. Niech G = Zp będzie grupącykliczną rzędu p i rozpatrzmy działanie G na S3, określone jako:

n(z0, z1) = hn(z0, z1).

Grupa Zp działa w sposób wolny na S3. Działanie to jest więc wspólnie rozłączne. Mamy zatemnakrycie S3 −→ S3/Zp. Z powyższego wniosku wynika, że π1(S3/Zp) = Zp. �

Na mocy tych przykładów mamy:

Wniosek 3.7.5. Każda grupa cykliczna jest grupą podstawową pewnej przestrzeni topologicznej (łukowospójnej). �

Łącząc ten wniosek z twierdzeniem o grupie podstawowej produktu otrzymujemy:

Wniosek 3.7.6. Każda skończenie generowana grupa abelowa jest grupą podstawową pewnej prze-strzeni topologicznej (łukowo spójnej). �


3.8 Uwagi

3.1 Grupa (Q,+), addytywna grupa liczb wymiernych, działa na przestrzeń R. Działanie określone jestwzorem qr = r + q. Odwzorowania postaci r 7→ qr są oczywiście ciągłe. R jest więc Q-przestrzenią.

Stwierdzenie 3.8.1 (PH19). Przestrzeń R/Q jest trywialna, tzn. zbiorami otwartymi są tylko: zbiór pustyi cała przestrzeń.

Dowód. Niech η : R −→ R/Q będzie naturalną surjekcją. Załóżmy, że A jest niepustym zbiorem otwartymw R/Q i niech r + Q ∈ A. Wtedy η(r) = r + Q ∈ A, więc r ∈ η−1(A). Zbiór η−1(A) jest otwarty w R (boR/Q ma topologię ilorazową), jest więc sumą mnogościową otwartych odcinków. Do jednego z tych otwartychodcinków należy oczywiście element r. Istnieją zatem liczby rzeczywiste u < v takie, że

r ∈ (u, v) ⊆ η−1(A).

Rozpatrzmy teraz dowolną orbitę s + Q należącą do R/Q. Pokażemy (i to wystarczy), że s + Q ∈ A. Niech tbędzie taką liczbą wymierną, że −s+ u < t < −s+ v. Wtedy t+ s ∈ (u, v) ⊆ η−1(A), czyli

s+Q = s+ t+Q = η(s+ t) ∈ A.

Zatem A = R/Q. �

Ze stwierdzenia tego wynika, że jeśli X jest G-przestrzenią Hausdorffa, to X/G nie musi być przestrzeniąHausdorffa.


4 Snopy i algebry funkcji ciągłych

4.1 Presnopy

Definicja 4.1.1. Jeśli X jest przestrzenią topologiczną, to przez X̃ oznaczamy kategorię, którejobiektami są wszystkie zbiory otwarte w X, a morfizmami włożenia, tzn. jeżeli U, V są otwartymipodzbiorami w X (czyli obiektami w X̃), to

Morf (U, V ) =

{∅, gdy U 6⊆ V,{U ↪→ V }, gdy U ⊆ V.

Zbiór morfizmów w kategorii X̃ jest co najwyżej jednoelementowy.

Niech A będzie kategorią.

Definicja 4.1.2. Każdy funktor kontrawariantny F : X̃ −→ A nazywamy presnopem przestrzenitopologicznej X o wartościach w A.

Zakładać będziemy, że obiekty kategorii A ”żyją” na kategorii zbiorów, a morfizmy są przedewszystkim funkcjami.

Definicja 4.1.3. Jeżeli F : X̃ −→ A jest presnopem i U ⊆ V , to jedyny morfizm F (U ↪→ V ) :F (V ) −→ F (U) oznaczamy przez FVU i nazywamy ograniczeniem V do U .

Zatem FVU : F (V ) −→ F (U). Z definicji funktora kontrawariantnego wynika:

Stwierdzenie 4.1.4.(1) FUU = 1F (U).(2) Jeśli U ⊆ V ⊆W , to FWU = FVU ◦ FWV . �

4.2 Snopy

Pewne presnopy nazywać będziemy snopami. Przed ich zdefiniowaniem wprowadźmy następujące nowepojęcie.

Definicja 4.2.1. Niech F : X̃ −→ A będzie presnopem i U =⋃α Uα otwartym pokryciem w X.

Zgodną rodziną (tego pokrycia względem F ) nazywamy każdą rodzinę {fα} taką, że:

(a) ∀α fα ∈ F (Uα),

(b) ∀α,β FUαUα∩Uβ (fα) = FUβUα∩Uβ (fβ) (równość w F (Ua ∩ Uβ)).

Przykład 4.2.2. Niech F : X̃ −→ A będzie presnopem i U =⋃α Uα otwartym pokryciem w X. Niech

f ∈ F (U). Dla każdego α definiujemy element fα jako

fα = FUUα(f).

Wtedy {fα} jest zgodną rodziną rozpatrywanego pokrycia względem F .

Dowód. Ponieważ FUUα : F (U) −→ F (Uα) więc fα = FUUα(f) ∈ F (Uα). Mamy ponadto (na mocy

Stwierdzenia 4.1.4):

FUαUα∩Uβ (fα) = FUαUα∩UβF

UUα(f) = F

UUα∩Uβ (f) = F

UβUα∩UβF

UUβ(f) = FUβUα∩Uβ (fβ). �

Definicja 4.2.3. Mówimy, że zgodna rodzina {fα} (pokrycia U =⋃α Uα względem presnopa F )

ma własność sklejania jeśli istnieje dokładnie jeden element f ∈ F (U) taki,że {fα} jest rodziną zpowyższego przykładu, tzn. ∀α fα = FUUα(f).

4. Snopy i algebry funkcji ciągłych 21

Definicja 4.2.4. Presnop F : X̃ −→ A nazywamy snopem jśli dla każdego otwartego pokrycia w Xkażda zgodna rodzina, tego pokrycia względem F , ma własność sklejania.

Z encyklopedii: ”Teoria snopów” to specjalny matematyczny aparat, służący do ustalenia związków między lo-

kalnymi i globalnymi własnościami przestrzeni topologicznych. Aparat ten stosowany jest we współczesnej algebrze,

geometrii, topologii i analizie.

Przykład 4.2.5. Niech X będzie dyskretną przestrzenią topologiczną (każdy podzbiór jest otwarty) iniech Y będzie ustalonym zbiorem. Określamy funktor F : X̃ −→ Set przyjmując za F (U) (gdzie U jestpodzbiorem w X) zbiór wszystkich zwykłych funkcji z U do Y . Jeśli U ⊆ V , to FVU : F (V ) −→ F (U)określamy jako FVU (f) = f | U , dla każdego f ∈ F (V ). Funktor F jest snopem.

Dowód. Jest oczywiste, że F jest presnopem. Niech {fα} będzie zgodną rodziną pokrycia U =⋃α Uα względem F . Definiujemy f : U −→ Y przyjmując (dla każdego u ∈ U) f(u) = fα(u), gdzie αjest takie, że u ∈ Uα. Zauważmy, że definicja tej funkcji jest poprawna. Jeśli bowiem u należy też doUβ , to u ∈ Uα ∩Uβ i wtedy fα(u) = fβ(u), gdyż fα | Uα ∩Uβ = fβ | Uα ∩Uβ . Jedyność funkcji f jestoczywista. �

Oto uogólnienie tego przykładu.

Przykład 4.2.6. Niech X i Y będą przestrzeniami topologicznymi. Określamy funktor F : X̃ −→ Setprzyjmując za F (U) (gdzie U jest otwartym podzbiorem w X) zbiór wszystkich funkcji ciągłych z Udo Y . Jeśli U ⊆ V , to FVU : F (V ) −→ F (U) określamy jako FVU (f) = f | U , dla każdego f ∈ F (V ).Funktor F jest snopem.

Dowód. Sprawdzamy to dokładnie tak samo jak w poprzednim przykładzie. Musimy jedyniewykazać, że funkcja f : U −→ Y (patrz dowód poprzedniego przykładu) jest ciągła. Wynika to znastępującego lematu

Lemat 4.2.7. Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi i niech U =⋃α Uα będzie otwartym

pokryciem w X. Załóżmy, że f : U −→ Y jest zwykłą funkcją taką, że wszystkie funkcje fα = f | Uαsą ciągłe. Wtedy f jest funkcją ciągłą.

Dowód. Wynika to z równości f−1(V ) =⋃α f−1α (V ), gdzie V ⊆ Y . �

Przykład 4.2.8 (Presnop, który nie jest snopem). Niech X = {a, b} będzie dwuelementowąprzestrzenią dyskretną i niech Y = {p, q} będzie ustalonym dwuelementowym zbiorem. Określamyfunktor F : X̃ −→ Set przyjmując:

F (∅) = {p},

F (X) = F ({a}) = F ({b}) = Y.

Morfizmy określamy następująco. Jeśli U ⊆ V , to

FVU =

{1Y , gdy U 6= ∅,

funkcja stała = p, gdy U = ∅.

Jest oczywiste, że F jest presnopem. Nie jest to jednak snop, gdyż zgodna rodzina {p, q} (pokryciaX = {a} ∪ {b} względem F ) nie ma własności sklejania. �

4.3 Algebra funkcji ciągłych

Jeśli X jest przestrzenią topologiczną, to przez C[X] oznaczać będziemy R-algebrę wszystkich funkcjiciągłych z X do R. O pewnych snopowych własnościach tej algebry wspomnieliśmy w Przykładzie4.2.6. Teraz podamy informacje o ideałach maksymalnych i derywacjach tej algebry.

Zanotujmy najpierw kilka drobnych spostrzeżeń.


Lemat 4.3.1. Niech f : X −→ R będzie funkcją ciągłą taką,że f(x) 6= 0 dla wszystkich x ∈ X. Wtedyg : X −→ R, x 7→ 1/f(x), też jest funkcją ciągłą.

Dowód. Wiemy, że funkcja ϕ : Rr{0}, x 7→ 1/x jest ciągła. Zatem funkcja g = ϕf też jest ciągła,gdyż jest złożeniem dwóch funkcji ciągłych. �

Stąd wynika:

Stwierdzenie 4.3.2. Funkcja f ∈ C[X] jest odwracalna w C[X] ⇐⇒ ∀x∈X f(x) 6= 0. �

Ideały maksymalne. Jeśli p ∈ X, to przez mp[X] oznaczamy zbiór wszystkich funkcji f ∈ C[X],zerujących się w punkcie p. Zbiór ten jest ideałem maksymalnym w C[X] oraz C[X]/mp[X] ≈ R(gdyż mp[X] jest jądrem surjekcji C[X] −→ R, f 7→ f(p)).

Stwierdzenie 4.3.3. Jeśli X jest przestrzenią zwartą, to każdy ideał maksymalny w C[X] jest postacimp[X], dla pewnego p ∈ X.

Dowód. Niech M będzie ideałem maksymalnym w C[X]. Jeśli f ∈ M , to przez Af oznaczaćbędziemy domknięty zbiór f−1(0). Z poprzedniego stwierdzenia wynika, że Af 6= ∅.Rozpatrzmy rodzinę {Af ; f ∈ M}. Rodzina ta jest scentrowana (tzn. każdy skończony przekrój

zbiorów z tej rodziny jest niepusty). Istotnie, przypuśćmy, że Af1 ∩ · · · ∩ Afs = ∅, dla pewnychf1, . . . , fs ∈ M . Wtedy funkcja f21 + · · · + f2s należy do M i w każdym punkcie jest różna od zera.Funkcja ta jest więc odwracalna w C[X] wbrew temu, że należy ona do M .Niech A =

⋂f∈M Af . Ponieważ przestrzeń X jest zwarta, więc A 6= ∅. Niech p ∈ A. Wtedy

f(p) = 0, dla wszystkich f ∈ M . Zatem M ⊆ mp[X]. Ale M jest ideałem maksymalnym, więcM = mp[X]. �

W powyższym dowodzie nie korzystaliśmy z tego, że X jest przestrzenią Hausdorffa. Podobny faktzachodzi więc dla przestrzeni quasi-zwartych. Jeśli przestrzeń X nie jest zwarta, to w pieścieniu C[X]mogą istnieć ideały maksymalne, które nie są postaci mp[X].

Przykład 4.3.4 (AP384). Niech X = {1, 2, . . . } będzie przestrzenią dyskretną. Istnieje wtedy mak-symalny ideał w C[X], który nie jest postaci mp[X].

Dowód. Niech A będzie zbiorem wszystkich funkcji f : X −→ R takich, że f(x) = 0 dla prawiewszystkich x ∈ X. Jest jasne, że A jest właściwym ideałem w C[X]. Przypuśćmy, że A ⊆ mp[X], dlapewnego p ∈ X. Niech g : X −→ R będzie funkcją zdefiniowaną następująco:

g(x) =

{1, dla x = p,

0, dla x 6= p.

Wtedy g ∈ Ar mp[X], a zatem mamy sprzeczność.Ideał A nie jest więc zawarty w żadnym ideale postaci mp[X]. Istnieje więc ideał maksymalny M ,

nie będący postaci mp[X], zawierający A. �

Ideał A, rozpatrywany w tym dowodzie, nie jest pierwszy. Niech f, g : X −→ R będą funkcjami takimi, że f(n) = 0i g(n) = 1 dla nieparzystych n oraz f(m) = 1 i g(m) = 0 dla parzystych m. Wtedy fg = 0 ∈ A, f 6∈ A, g 6∈ A.

Przykład 4.3.5. Niech X = R. Istnieje ideał maksymalny w C[X], który nie jest postaci mp[X].

Dowód (St. Balcerzyk). Przypomnijmy, że jeśli f : X −→ R jest funkcją ciągłą, to jej nośnikiemSupp(f) nazywamy domknięcie zbioru f−1(Rr0). Niech A będzie zbiorem wszystkich funkcji ciągłychf : X −→ R takich, że zbór Supp(f) jest ograniczony. Łatwo sprawdzić, że A jest ideałem w C[X],różnym od C[X]. Istnieje więc ideał maksymalny M , zawierający A. Przypuśćmy, że A = mp[X], dlapewnego p ∈ X. Niech g : X −→ R będzie funkcją zdefiniowaną następująco:

g(x) =

0, dla x > p+ 1 lub x 6 p− 1,

x+ 1− p, dla p− 1 6 x 6 p,

−x+ 1 + p, dla p 6 x 6 p+ 1.


Wtedy g ∈ Ar mp[X], co jest sprzecznością. �

Twierdzenie 4.3.6 ([8]294). Jeśli X jest przestrzenią Tichonowa (tzn. T3 12 ), to X jest przestrzeniązwartą ⇐⇒ każdy ideał maksymalny w C[X] jest postaci mp[X]. To samo dotyczy pierścienia C∗[X],wszystkich funkcji ciągłych i ograniczonych z X do R. �

Dodatkowe informacje o ideałach maksymalnych (a także o ideałach pierwszych) w C[X] są w AP378-96. Patrz też

ZadAlg397-104.

Derywacje. Jeśli f : X −→ R jest zwykłą funkcją, to oznaczmy:

f+ = max(f, 0), f− = −min(f, 0).

Wtedy f = f+ − f− oraz f+ > 0, f− > 0. Ponieważ f+ = 12 (|f | + f), f− = 12 (|f | − f) więc, jeśli

f ∈ C[X], to f+, f− ∈ C[X].

Stwierdzenie 4.3.7. Niech X będzie dowolną przestrzenią topologiczną. Jeśli d : C[X] −→ C[X] jestR-derywacją, to d = 0.

Dowód. Niech h ∈ C[X]. Pokażemy, że d(h) = 0. W tym celu musimy wykazać, że d(h)(p) = 0,dla wszystkich p ∈ X. Niech więc p ∈ X. Niech r = h(p) i rozpatrzmy funkcję f = h − r. Ponieważf(p) = 0, więc f+(p) = 0, f−(p) = 0. Wiemy, że f+ > 0 i f− > 0. Istnieją zatem ciągłe funkcjea =√f+, b =

√f− : X −→ R i przy tym a(p) = b(p) = 0. Mamy wtedy:

d(h)(p) = d(h− r)(p) = d(f)(p) = d(f+ − f−)(p)= d(a2 − b2)(p) = (2ad(a)− 2bd(b))(p)= 2a(p)d(a)(p)− 2b(p)d(b)(p) = 0d(a)(p)− 0d(b)(p) = 0.

Zatem d(h) = 0. �

Następne stwierdzenie ma dokładnie taki sam dowód.

Stwierdzenie 4.3.8. Niech X będzie dowolną przestrzenią topologiczną i niech A = C∗[X] (R-algebrawszystkich funkcji ciągl ych i ograniczonych x X do R) lub A = F [X] (R-algebra wszystkich funkcji zX do R). Jeśli d : A −→ A jest R-derywacją, to d = 0. �

Ustalmy teraz jeden punkt p ∈ X i niech σp : C[X] −→ R będzie R-algebrowym homomorfizmemf 7→ f(p). Dzięki temu homomorfizmowi R staje się C[X]-modułem z mnożeniem ∗ : C[X]×R −→ R,f ∗ r = σp(f)r = f(p)r. Można zatem badać R-derywacje δ : C[X] −→ R (patrz [19]), czyli R-linioweodwzorowania takie, że

δ(fg) = f(p)δ(g) + g(p)δ(f), dla f, g ∈ C[X].

Nazywamy je derywacjami p-lokalnymi. Przepisując poprzedni dowód otrzymujemy:

Stwierdzenie 4.3.9. Jeśli δ : C[X] −→ R jest derywacją p-lokalną, to δ = 0. �

To samo zachodzi, gdy zamiast algebry C[X] rozpatrzymy R-algebry ograniczonych funkcji ciągłych lub wszystkich

funkcji z X do R.

Pytanie 4.3.10. Czy ΩR(C[X]) (modułem różniczek algebry C[X], patrz [19]) jest modułem zero-wym?


4.4 Lokalny pierścień ciągłych kiełków

Niech X będzie przestrzenią topologiczną i niech p ∈ X. Przez Ap[X] oznaczać będziemy zbiór wszyst-kich par postaci (U, f), w których U jest otwartym podzbiorem w X zawierającym p oraz f : U −→ Rjest funkcją ciągłą. W zbiorze Ap[X] wprowadzamy relację typu równoważności ∼ zdefiniowaną na-stępująco:

(U, f) ∼ (V, g) ⇐⇒ istnieje zbiór otwarty W ⊆ X taki, że:(1) p ∈W ⊆ U ∩ V,(2) f |W = g |W.

Klasę abstrakcji elementu (U, f) względem tej relacji oznaczmy przez [U, f ] i nazywamy kiełkiempunktu p. Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez Op[X]. W zbiorze Op[X] definiujemydodawanie i mnożenie w następujący sposób:

[U, f ] + [V, g] = [U ∩ V, (f + g) | (U ∩ V )],

[U, f ] · [V, g] = [U ∩ V, (f · g) | (U ∩ V )].

Jest oczywiste, że powyższe działania są dobrze określone oraz, że zbiór Op[X] z takimi działaniamijest przemienną R-algebrą z jedynką [X, 1] i zerem [X, 0]. Algebrę tę nazywamy lokalnym pierścieniempunktu p przestrzeni X lub pierścieniem ciągłych kiełków w punkcie p przestrzeni X. Z taką algebrąstowarzyszony jest R-algebrowy homomorfizm νp : Op[X] −→ R zdefiniowany wzorem

νp([U, f ]) = f(p)

(dla wszystkich [U,F ] ∈ Op[X]), którego jądrem jest ideał

Mp[X] = {[U, f ]; f(p) = 0}.

Homomorfizm ten jest surjekcją (gdyż dla każdego elementu a ∈ R zachodzi równość νp([X, ã]) = a,gdzie ã : X −→ R jest funkcją przyjmującą stałą wartość a). Mamy zatem:

Stwierdzenie 4.4.1. Mp[X] jest ideałem maksymalnym w Op[X] oraz Op[X]/Mp[X] = R. �

Stwierdzenie 4.4.2 (ZadAlg398). Pierścień Op[X] jest lokalny z jedynym ideałem maksymalnymMp[X].

Dowód. Niech [U, f ] ∈ Op[X]rMp[X]. Wystarczy pokazać, że [U, f ] jest elementem odwracalnymw Op[X]. Niech V = f−1(Rr0). Wtedy V jest zbiorem otwartym w X zawartym w U i zawierającym p(gdyż f(p) 6= 0 ponieważ [U, f ] 6∈Mp[X]). Ponadto, [V, f |V ] = [U, f ] oraz (f |V )(v) 6= 0 dla wszystkichv ∈ V . Niech g : V −→ R będzie funkcją określoną wzorem g(v) = 1/f(v), dla v ∈ V . Jest to funkcjaciągła (Lemat 4.3.1) i mamy [U, f ][V, g] = 1. �

Stwierdzenie 4.4.3. Jeśli U jest otwartym podzbiorem w X zawierającym punkt p, to R-algebryOp[X] i Op(U) są izomorficzne.

Dowód. OdwzorowanieOp[X] −→ Op(U), [V, f ] 7→ [V ∩U, f | (V ∩U)] jest izomorfizmem R-algebr.�

Niech ϕ : X −→ Y będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni topologicznych i niech p ∈ X.Mamy wówczas odwzorowanie

O(ϕ) : Oϕ(p)[Y ] −→ Op[X], [V, g] 7→ [ϕ−1(V ), gϕ].

Bez trudu wykazujemy następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie 4.4.4. O(ϕ) jest homomorfizmem R-algebr oraz O(ϕ)(Mϕ(p)[Y ]) ⊆Mp[X]. �


Z powyższych faktów wynika, że O jest funktorem kontrawariantnym z kategorii przestrzeni topo-logicznych z wyróżnionym punktem do kategorii lokalnych R-algebr. W szczególności lokalny pierścieńpunktu jest niezmiennikiem homeomorfizmów.

Następne fakty dotyczą związku pierścienia Op[X] z pierścieniem C[X]mp[X], gdzie C[X] jestR-algebrą wszystkich funkcji ciągłych z X do R (patrz poprzedni podrozdział), a mp[X] = {f ∈C[X]; f(p) = 0}.

Stwierdzenie 4.4.5 (ZadAlg3101). Odwzorowanie

α : C[X]mp[X] −→ Op[X], f/g 7→ [X, f ][X, g]−1,

jest dobrze określonym homomorfizmem R-algebr.

Dowód. Rozpatrzmy homomorfizm β : C[X] −→ Op[X], f 7→ [X, f ]. Jeśli g ∈ C[X] r mp[X],to g(p) 6= 0 i wtedy [X, g] = β(g) jest odwracalne w Op[X] (czyli [X, g] 6∈ Mp[X]). Zatem β możnarozszerzyć do homomorfizmu

α : C[X]mp[X] −→ Op[X], f/g 7→ β(f)/β(g) = [X, f ][X, g]−1. �

Stwierdzenie 4.4.6 (ZadAlg3102). Jeśli X jest T4-przestrzenią (w szczególności metryczną lubzwartą), to R-algebry C[X]mp[X] i Op[X] są izomorficzne. Dokładniej, homomorfizm α z poprzedniegostwierdzenia jest izomorfizmem R-algebr.

Dowód. (1) α jest surjekcją. Niech [V, f ] ∈ Op[X]. Rozpatrzmy domknięty zbiór F = X r V .Ponieważ p 6∈ F więc istnieją rozłączne zbiory otwarte U1, U2 takie, ze p ∈ U1 i F ⊆ U2 (ponieważX jest T4, a więc T3 12 ). Mamy więc p ∈ U1 ⊆ X r U2 i zbiór X r U2 jest domknięty. Stąd

p ∈ U1 ⊆ U1 ⊆ X r U1 ⊆ X r F = V.

Rozpatrzmy funkcję f | U1. Ponieważ X jest T4, więc funkcję tę można przedłużyć do ciągłej funkcjif1 : X −→ R. Zatem [V, f ] = [X, f1] = α(f1/1).(2) α jest różnowartościowe. Niech α(f/g) = 0, f, g ∈ C[X], g(p) 6= 0. Wtedy [X, f ][X, g]−1 = 0 w

Op[X], więc [X, f ] = 0 w Op[X]. Istnieje zatem zbiór otwarty U 3 p taki, że f | U = 0. Niech h : X −→R będzie funkcją ciągłą taką, że h(p) = 1 oraz h(x) = 0 dla x ∈ X r U (funkcja h istnieje ponieważX jest T4). Teraz h 6∈ mp[X] (bo h(p) = 1) oraz h · f = 0. Zatem f/g = (hf)/(hg) = 0/(hg) = 0. �

Uwaga. Porównaj [20] (rozdział ”Lokalny pierścień punktu”).

26 A. Nowicki - Marzec 1995. Rozmaitości różniczkowe

5 Wiązki wektorowe nad przestrzenią topologiczną

5.1 Topologia rzeczywistej przestrzeni wektorowej

Niech V będzie przestrzenią wektorową wymiaru n nad ciałem R. Istnieje wtedy przekształcenie linioweα : V −→ Rn będące izomorfizmem. Przy pomocy tego przekształcenia można przetrzeni V zadaćstrukturę przestrzeni topologicznej. Zbiory otwarte w V definiuje się następująco:

Definicja 5.1.1. Podzbiór U ⊆ V jest otwarty w V jeśli obraz α(U) jest otwarty w Rn.

Dzięki tej topologii izomorfizm α staje się homeomorfizmem.

Wyjaśnimy teraz, że powyższa topologia na V nie zależy od wyboru izomorfizmu α : V −→ Rn.W tym celu przypomnijmy dwa następujące lematy.

Lemat 5.1.2. Każdy automorfizm liniowy σ : Rn −→ Rn jest homeomorfizmem, a nawet dyfeomor-fizmem klasy C∞.

Dowód. Wynika to np. z faktu, że automorfizm σ ma postać:

σ(x1, . . . , xn) = (∑j a1jxj , . . . ,

∑j anjxj),

gdzie wszystkie elementy aij należą do R. Odwzorowanie σ jest więc ciągłe, a nawet klasy C∞. Tosamo dotyczy odwzorowania σ−1. �

Lemat 5.1.3. Jeśli α, β : V −→ Rn są izomorfizmami przestrzeni liniowych, to istnieje automorfizmliniowy σ : Rn −→ Rn taki, że α = σ−1β, β = σα.

Dowód. σ = α−1β. �

Teraz możemy wykazać, ze topologia przestrzeni wektorowej V nie zależy od wyboru izomorfizmuα : V −→ Rn.

Stwierdzenie 5.1.4. Niech α : V −→ Rn będzie izomorfizmem przestrzeni liniowych. Załóżmy, żetopologia na V jest taka, jak w Definicji 5.1.1. Niech β : V −→ Rn będzie drugim izomorfizmemprzestrzeni liniowych i niech U będzie podzbiorem w V . Wtedy zbiór U jest otwarty w V ⇐⇒ obrazβ(U) jest otwarty w Rn.

Dowód. Z poprzednich lematów wiemy, że α = σ−1β, β = σα, gdzie σ : Rn −→ Rn jest pewnymhomeomorfizmem. Jeśli więc U jest otwarte w V , to α(U) jest otwarte w Rn, a zatem β(U) = σα(U)jest otwarte w Rn. Jeśli β(U) jest otwarte w Rn, to α(U) = σβ(U) jest otwarte w Rn i stąd U jestotwarte w V . �

Wniosek 5.1.5. Niech V będzie przestrzenią wektorową wymiaru n nad Rn. Istnieje dokładnie jednatopologia na V taka, że każdy izomorfizm liniowy β : V −→ Rn jest homeomorfizmem. �

Powyższą jedyną topologię na V nazywa się topologią przestrzeni wektorowej.

Stwierdzenie 5.1.6. Jeśli f : V −→W jest przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych nadR, to f jest odwzorowaniem ciągłym.

Dowód. Niech α : V −→ Rn, β : W −→ Rm będą izomorfizmami przestrzeni liniowych. Wiemy,że α i β są homeomorfizmami. Rozpatrzmy odwzorowanie h = βfα−1 : Rn −→ Rm. Jest to oczywiścieodwzorowanie ciągłe (bo jest liniowe). Widzimy więc, że f = β−1hα jest złożeniem trzech odwzorowańciągłych. �

5. Wiązki wektorowe 27

5.2 Rodziny wektorowe

Niech X będzie przestrzenią topologiczną.

Definicja 5.2.1. Rodziną wektorową nad X nazywamy każdą trójkę E = (E, p,X) taką, że:(1) E jest przestrzenią topologiczną,(2) p : E −→ X jest odwzorowaniem ciągłym,(3) dla każdego x ∈ X zbiór Ex = p−1(x), zwany włóknem nad x, jest skończenie wymiarową

przestrzenią liniową nad R, przy czym topologia na Ex, indukowana z E, jest zgodna z topologiąprzestrzeni wektorowej.

Z tej definicji wynika:

Stwierdzenie 5.2.2. Niech (E, p,X) będzie rodziną wektorową nad X. Wtedy:(a) Ex ∩ Ey = ∅, dla x 6= y ∈ X.(b) E =

⋃x∈X Ex,

(c) p : E −→ X jest surjekcją. �

Każda rodzina wektorowa nad X jest więc przestrzenią topologiczną będącą rozłączną sumą mno-gościową przestrzeni wektorowych nad R.

Definicja 5.2.3. Jeśli E = (E, p,X), E′ = (E′, p′, X) są rodzinami wektorowymi nad X, to ichmorfizmem (lub odwzorowaniem) nazywamy każde odwzorowanie ciągłe f : E −→ E′ takie, że:(a) p′f = p,(b) dla każdego x ∈ X odwzorowanie fx = f |: Ex −→ E′x jest przekształceniem liniowym.

Z warunku (a) wynika, że f(Ex) ⊆ E′x. Istotnie, niech e ∈ f(Ex). Wtedy e = f(u), gdzie u ∈ Ex =p−1(x), czyli p(u) = x. Stąd p′(e) = p′f(u) = p(u) = x, czyli e ∈ E′x.

Przykład 5.2.4. Niech V będzie przestrzenią wektorową na R. Rozpatrzmy trójkę (E, p,X) określonąnastępująco:

E = X × V, p : E −→ X, (x, v) 7→ x.

Trójka ta jest rodziną wektorową nad X (patrz PH1143). �

Definicja 5.2.5. Rodzinę wektorową (X × V, p,X) z Przykładu 5.2.4 nazywamy trywialną.

Niech E = (E, p,X) będzie rodziną wektorową na X i niech Y ⊆ X będzie dowolnym podzbiorem.Rozpatrzmy trójkę (p−1(Y ), q, Y ), w której

q = p| : p−1(Y ) −→ Y.

Zauważmy, że jeśli x ∈ Y , to q−1(x) = p−1(x). Każdy zbiór postaci q−1(x), gdzie x ∈ Y , jest więcprzestrzenią wektorową nad R. Trójka (p−1(Y ), q, Y ) jest zatem rodziną wektorową nad Y .

Definicja 5.2.6. Rodzinę wektorową (p−1(Y ), q, Y ) oznaczamy przez E | Y i nazywamy ogranicze-niem rodziny E do Y .

Stwierdzenie 5.2.7. Jeśli E jest trywialną rodziną wektorową nad X, to każde jej ograniczenie E | Yjest trywialną rodziną wektorową nad Y .

Dowód. E = (X × V, p,X), gdzie V jest przestrzenią liniową i p : X × V −→ X jest rzutowaniem(x, v) 7→ x. Wtedy p−1(Y ) = Y × V i q : Y × V −→ Y jest rzutowaniem na Y . �

28 A. Nowicki - Marzec 1995. Rozmaitości różniczkowe

5.3 Przekroje rodziny wektorowej

Niech E = (E, p,X) będzie rodziną wektorową nad przestrzenią topologiczną X.

Definicja 5.3.1. Przekrojem rodziny E (ang. section) nazywamy każde odwzorowanie ciągłe s :X −→ E takie, że ps = 1X . Zbiór wszystkich przekrojów rodziny wektorowej E oznaczmy przez Γ(E).

Niech s : X −→ E będzie przekrojem rodziny E. Jeśli x ∈ X to ps(x) = x, a zatem s(x) jestelementem przestrzeni liniowej Ex = p−1(x). Załóżmy, że f : X −→ R jest funkcją ciągłą. Mamywówczas, dla każdego x ∈ X, wektor f(x)s(x) należący do przestrzeni Ex. Mamy zatem przekrójfs : X −→ E określony wzorem

(fs)(x) = f(x)s(x), x ∈ X.

Jeśli s1, s2 : X −→ E są przekrojami rodziny E, to definiujemy dodawanie s1 + s2 : X −→ E,przyjmując:

(s1 + s2)(x) = s1(x) + s2(x), x ∈ X,gdzie s1(x) +

Documents

Topologia i geometria różniczkowaanow/ps-dvi/dv.pdf · 2009. 3. 8. · Topologia i geometria różniczkowa Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i