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Sergio Console

Calcolo delle Probabilità

Istituzioni di Matematiche

Scienze Naturali


Fenomeno deterministico: se l’esperimento è condotto nelle stesse condizioni si trova lo stesso risultato

Esempi:

•Moto di un grave

•Traiettoria di una pallina in un biliardo

Fenomeno non deterministico: anche se gli esperimenti sono condotti nelle stesse condizioni si trovano risultati diversiEsempi:•Risultato del lancio di una moneta•Traiettoria di 100 palline in un biliardo•Vincita in una lotteria•Numero di lanci di un dado per ottenere un 6

Introduzione

La probabilità si occupa di fenomeni non deterministici


Spazio campione:Insieme S di tutti i risultati dell’esperimento

Esempio:•Nel caso del lancio di una moneta S={Testa, Croce}•Nel caso dei numeri di lanci di un dado necessari per avere 6 S=N (numeri naturali)

Evento:

Sottoinsieme E di S dato da un insieme di risultati caratterizzati dal godere di una stessa proprietà

Esempio:•E={Testa} nel lancio di una moneta


Esercizi

• Si estrae a caso una carta da un mazzo di 52 carte. Si descriva lo spazio dei campioni quando (a) i semi non sono presi in considerazione, (b) solo i semi sono presi in considerazione.

• Supponiamo di estrarre 2 carte da un mazzo di 52 e supponiamo di essere interessati a che vengano estratti 2 assi. Dire qual è lo spazio campione S e quale sottoinsieme E di S rappresenti l’evento cui siamo interessati.

• Essendo di corsa per prendere il treno, Genoveffa prende a caso 2 libri gialli tascabili da uno scaffale che ne contiene 15. Di questi libri 4 li ha già letti. Rappresentare l’evento: “Geneveffa prende 2 libri che non ha letto”.


E

F

E U F

E U F è l’evento che si verifica quando almeno uno dei due eventi E e F si verificano

Evento unione E U F


E E ' F

E ' F è l’evento che si verifica quando entrambi i due eventi E e F si verificano

F

Due eventi E e F si dicono incompatibili se E ' F=ø

Evento intersezione E ' F


Ec è l’evento che si verifica quando E non si verifica

E Ec

Evento complementare Ec


Probabilità: regola che a ogni evento E associa un numero reale compreso tra 0 e 1

p: E p(E)

ClassicaClassica(Pascal)

Definizioni di probabilità:Se un evento si può verificare in N modi mutuamente esclusivi ed ugualmente probabili, se m di questi possiede una caratteristica E, la probabilità di E è il

rapporto tra il numero di casi favorevoli e il totale dei casi possibili (tutti equiprobabili)

Definizione classica


•Nel caso del lancio di una moneta S={Testa, Croce}. p(Testa)=1/2 (casi favorevoli 1, possibili 2)

•Lanciamo due dadi e calcoliamo la probabilità che la somma dei punti sia 4

Per semplicità scriviamo i numeri estratti come coppie:Le coppie di 6 numeri sono 6 * 6= 36 = numero di casi possibili;I casi favorevoli sono dati dalle coppie (1,3), (2,2) e (3,1) e sono quindi 3. Pertantop(somma 4 in 2 lanci)=3/36=1/12

Esempi


Problemi della definizione classica:•non sempre posso dire che eventi sono equiprobabili (asimmetrie - esempio: ho un dato truccato)•il numero di casi deve essere finito

Aspetti positivi:•è una definizione operativa

Definizione assiomatica

Determinazione della probabilità usando il calcolo combinatorio

Discussione


p(Ac)=1- p(A)

A,B in S p(AB)= p(A)+ p(B)- p(AB)

Definizione assiomatica


Esercizi

•Una pallina è estratta in modo casuale da un'urna che contiene 6 palline rosse, 4 bianche e 5 azzurre. Qual è la probabilità di estrarre una pallina rossa o bianca? Qual è la probabilità di non estrarre una pallina bianca?

•Estraggo a caso una carta da un mazzo di 52. Qual è la probabilità estrarre un dieci o una carta di picche?


Esercizi• Qual è la probabilità di fare doppio 2 con una coppia di dadi non truccati?• Qual è la probabilità di fare doppio 2 con una coppia di dadi truccati in modo che nel 50% dei casi esca 6 (e gli altri numeri siano ugualmente probabili)?• Qual è la probabilità di totalizzare 4 con una coppia di dadi non truccati?

• Un impiegato pensa di avere 2 possibilità su 3 di non avere una promozione, 1 su 2 di avere un aumento e 1 su 4 di avere entrambi.Qual è la probabilità che l'impiegato abbia almeno una tra unapromozione e un aumento?


Definizione frequentistica(o a posteriori) (o a posteriori) Richard von Mises

Si ripete un esperimento N volte e se un evento con una certa caratteristica E si verifica m volte, la frequenza relativa di successo è

f(E) dà una stima per la probabilità di E

Problemi della definizione frequentistica:•In sitazioni concrete il passaggio al limite su cui si basa la definizione non può essere effettuato•È necessario ripetere l’esperimento un gran numero di volte


Definizione soggettiva(o bayesiana) (o bayesiana) Bernoulli, De Finetti

Probabilità: grado di fiducia che una persona ha nel verificarsi dell’evento=Prezzo p che si è disposti a pagare per ricevere 1 se l’evento si verifica e 0 se non si verifica

Esempio: se lancio un dado il prezzo equo per la scommessa“esce il 4” dipende dalle informazioni di cui si dispone; se il dado non è truccato si può assumere p=1/6

Problemi della definizione soggettiva:•Non è operativa•Una valutazione soggettiva non è necessariamente obiettiva


Calcolo Combinatorio

Problema: determinare il numero di elementi di un insieme finito

elenco diretto (lungo!)

Esempio:in un menù ho 3 antipasti, 2 primi, 4 secondi. Quanti sono i possibili pasti completi (includono tutte le 3 portate - scelte una sola volta)?

Diagramma ad albero


Diagramma ad albero

A1

A2

A3

P1

P1

P1

P2

P2

P2

S1

S2

S3

S4

……….

……….

………..

3 x 2 x 4 = 24 pasti completi

3 x 2 x 4 = 24 pasti completi


“Contare le scelte” Se gli insiemi A1, A2, …, Ak contengono

n1, n2, …, nk elementi

Ho N= n1 n2 … nk

modi di scegliere prima un elemento di A1 , poi un elemento di A2 …

... infine un elemento di Ak

In particolare: se n1 = n2 =…= nk =n allora

N=nk

= numero delle disposizioni con ripetizione di n oggetti a gruppi di k


Disposizioni

Determinare e schedine del totocalcio si devono giocare per essere sicuri di fare 13

Le possibili schedine sono 313=1.594.323

Esempio:

= gruppi di oggetti che si possono formare scegliendo k oggetti tra n oggetti(I gruppi devono differire per qualche oggetto e per l’ordine)

Disposizioni con ripetizione: si può ripetere lo stesso oggetto


Disposizioni semplici (senza ripetizione)

di n oggetti tra k (≤n) D(n,k)Non si può ripetere lo stesso oggetto

Esempio:Ad un gran premio di formula 1 partecipano 20 piloti. I primi tre classificati vanno sul podio..Quante sono le possibili terne di piloti sul podio?

Il primo classificato può essere un qualunque pilota tra 20,Il secondo uno qualunque tra i restanti 19, il terzo uno tra 18Quindi: D(20,3)=20*19*18

In generale: D(n,k)=n*(n-1)*…*(n-k+1)


Permutazioni= numero dei modi in cui si possono ordinare n oggettiP(n) = D(n,n)=n*(n-1)*… 2*1=n!

Esempio:

Quanti anagrammi (non necessariamente di senso compiuto) si possono formare della parola FOGLI

Ho 5 possibili scelte per la prima lettera, 4 per la seconda, … 1 per la quinta, quindi gli anagrammi sono P(5)=5*4*3*2*1=5!=120


Combinazioni

= disposizioni a meno dell’ordine= gruppi di oggetti che si possono formare scegliendo k oggetti tra n oggetti(I gruppi devono differire per qualche oggetto ma non per l’ordine)=

Esempio

Quante squadre di pallacanestro si possono formare con 8 giocatori

Sono le combinazioni di 5 persone scelte tra 8 =


Esercizi• In quanti modi 10 persone possono sedersi su una panchina che ha solo 4 posti? (Si risolva l'esercizio due volte, una volta considerando importante l'ordine in cui si siedono e una no). • In quanti modi diversi si possono sedere 7 persone in un tavolo rotondo?

• Supponiamo di estrarre per 40 volte una pallina da un'urna contenente palline numerate da 1 a 365 ( dopo ciascuna estrazione la pallina estratta viene nuovamente messa nell'urna). Quanti sono i possibili risultatidiversi? Quanti sono i possibili risultati in cui i 40 numeri estratti risultano tutti diversi tra loro?

• Si deve costituire un comitato di 3 membri, rappresentanti ciascuno gli studenti, i docenti e il personale amministrativo. Se ci sono 4 candidati per gli studenti, 3 per i docenti e 2 per il personale amministrativo, si determini quanti comitati differenti si possono formare.


Esercizi• Dovete preparare un dolce, disponete di una cesta con 10 uova di cui ve ne serviranno solo 2 per l'impasto. Ma vi ricordate che il giorno prima avete posto in quel cesto 4 uova vecchie di due settimane. Qual è la probabilità di

aver utilizzato almeno un uovo non fresco?

• Intorno ad un tavolo rotondo si dispongono a caso 5 uomini e 5 donne. Qual è la probabilità che ogni donna sia seduta tra due uomini?

• Qual è la probabilità di fare tre volte 6 lanciando tre volte un dado non truccato?

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