1

TORZIJA - Radna verzija

Elastina teorija torzije tapova konstantnog poprenog preseka je razvijena u naunim

tekstovima, najvie od strane Timoenka i Trahaira, no u daljem tekstu nee biti prikazivane

teoretske osnove, ve e se ukratko razmotriti torzija sa aspekta metalnih konstrukcija, sa

posebnim naglaskom na grede I preseka. Poto se kao to je ve reeno radi o elastinoj teoriji,

vai princip superpozicije sa ostalim uticajima u elementu. Teorijske osnove se sem u

Timoenkovoj knjizi "Teorija elastinosti" koja je svojevremeno prevedena na srpski jezik mogu

veoma detaljno i lepo izloene pronai i u knjizi profesora Vlatka Bria "Otpornost materijala".

2.1 Sent Venanova torzija

Ako se jedna greda optereti jednakim momentima torzije suprotnog smera delovanja, i ako su

krajevi slobodni da se krive u smislu vitopere van svoje ravni, onda e se u gredi javiti smiui

naponi koji e se odupreti momentu torzije i imae raspored smiuih napona kao na to je

prikazano na slici ispod.

Slika 1 - Sen Venanovi smiui naponi

2

Ovi naponi su direktno povezani sa deformacijama koje e se javiti od momenta torzije, a te

deformacije nazivamo uvrtanje, i taku oko koga se ovo uvrtanje odvija zovemo centar smicanja.

Ako se osmotre naponi smicanja sa slike gore, dobie se jasna slika o razlici efektivnosti

savladavanja torzije izmeu otvorenih i zatvorenih preseka. Kod zatvorenih profila, svi smiui

naponi su istog smera, uveavajui tako njihovo dejstvo, dok su kod otvorenih profila oni razliitog

smera na suprotnim stranama ploa i stoga mnogo manje efikasni u obezbeivanju torzione

otpornosti preseka.

Popreni presek punog ili upljeg krunog oblika e ostati ravan i posle uvrtanja kao rezultat

jednakog obrtanja svih taaka, dok to nee biti sluaj kod ostalih oblika preseka. Ovo zavisi od

oblika poprenog preseka. Puni preseci, i uplji zatvoreni preseci e imati zanemarljivo malu

deplanaciju. Kod L ili T profila je slina situacija. Meutim, kod otvorenih profila sa dve noice, kao

to je to I profil ili U profil, ova pojava je mnogo izraenija. U sutini deplanacija je efekat kontra

rotacije flani u svojim ravnima, kao to je predstavljeno na slici ispod.

Slika 2 - Pogled odozgo na I gredu izloenu ujednaenoj torziji

Uvrtanje -

Promena ugla uvrtanja je data izrazom

' = T/GIT

T ili MT - moment torzije ; G - modul klizanja ;

It - St. Venanova torzijona konstanta ili torzioni moment inercije

Znai razlika u uglovima izmeu dva kraja grede je LMT/GIT.

Izrazi za napone su dati sledeim formulama:

3

Sva tri izraza su ekvivalentna, a t je debljina flane ili noice, zavisi gde se odreuje smiui napon.

2.2 Ograniena torzija ("Warping torsion")

Kada je deplanacija preseka spreena, pojavie se dodatni smiui, ali i normalni naponi u

preseku, i oni e delimino uestvovati u odupiranju torziji (optereenju). Najjednostavniji nain

da se ovo ilustruje je ako posmatramo gredu, istu onu sa slike 2, koja je ovog puta optereena

koncentrinim momentom torzije u sredini svoje duine. Deformacije e u tom sluaju izgledati

kao to je prenaglaeno prikazano na slici ispod.

Slika 2 - Pogled odozgo na I gredu izloenu momentu torzije u sredini

Da su dve polovine grede razdvojene, leva polovina bi se deformisala kao na slici 2 , a desna isto

tako samo u suprotnom smeru. Pomeranja usled deplanacije dve polovine bi bila ista na sredini

grede, ali suprotnih smerova. Meutim, poto je greda neprekinuta na tom mestu, deformacije su

spreene. Obe flane su ograniene da se savijaju u osnovi i uvrtanje e imati razliit prirataj

promene du obe polovine. U bilo kojoj taki grede, torzija se prenosi delom Sent Venanovom

torzijom (St Venanovim smiuim naponima), a delom ogranienom torzijom. Ovo je prema

Evrokodovoj terminologiji izraeno kao (kl. 6.2.7) :

gde se sufiks Ed odnosi na optereenja pomnoena parcijalnim koeficijentima sigurnosti.

Kao i inae, raspodela ovih delova optereenja vri se prema krutostima elementa na svaku od

ove dve vrste torzije. Ovo je matematiki zapisano sledeim izrazom:

4

gde je pored izvoda ugla obrtanja i ve pomenutih veliina prisutan i sektorski moment inercije ili

sektorski centrifugalni moment (na eng. "warping constant") Iw. On je za simetrine I preseke

priblino jednak:

Formulisanje ugla obrtanja za promenjiv moment torzije du grede, i za razliite uslove oslanjanja

je kompleksan zadatak, ali za irok spektar uobiajenih situacija odreeni su algebarski izrazi. U

Aneksu su dati dijagrami nastali iz ovih izraza kao najlaki nain dolaska do potrebnih vrednosti.

Naponi pri ogranienoj torziji -

Naponi pri ogranienoj torziji, bilo da su izazvani nejednakim ili koncentrisanim momentom torzije

ili ogranienjem deplanacije na krajevima, sastoje se od normalnih i tangencijalnih. Izrazi za

normalne napone su dati sledeim izrazom, a na slici dole se vidi njihom raspored po preseku.

Slika 3 - Raspored normalnih i

smiuh napona u I preseku

usled ograniene torzije

5

Sw je sektorski statiki moment i ovde je obeleen indeksom 1, to je davno usvojena

nomenklatura kljunih taaka preseka, koja nije nastavljena u Evrokodu. Take 0 i 1 oznaavaju

redom vrh noice i mesto susreta rebra i noice.

U praksi, smiui naponi su dovoljno mali da se mogu zanemariti. to se tie normalnih napona,

poto je retko sluaj da se torzija javlja kao jedini uticaj u elementu, radi lakeg formulisanja

uslova zajednikog delovanja torzije i savijanja, rae se koristi torzioni moment u flanama nego

normalni napon. Vrednost ovog momenta data je sa:

Kod dvostruko simetrinih I preseka, moe se zapisati i kao

gde je If moment inercije noice, i priblino jednak polovini momenta inercije preseka.

Uproeno se radi preliminarne rune analize ograniena torzija moe izraunati zanemarujui

Sent Venanovu torziju. Tako posmatrajui, torzija se prima dvema silama istog intenziteta a

razliitog smera koje deluju u flanama i imaju intenzitet F =T / (h-tf). Moment ograniene torzije

se onda dobija kao za prostu gredu Mw,Ed = FL/4. Ovo je inae konzervativno pojednostavljenje, ali

se za dugake grede moe pokazati prekonzervativno.

2.3 Relativni odnos ograniene i Sent Venanove torzije

Ako se gore pomenuti izraz za ukupnu torziju drugaije zapie, dobija se

gde je

Parametar a je poznat kao torziona savojna konstanta i ima dimenziju duine. On je indikator

brzine kojom se efekti ograniene torzije ublaavaju i nestaju.

6

Slike dole prikazuju varijaciju Sent Venanovog torzionog momenta za tri vrednosti L/a, a za sluaj

grede sa koncentrinim momentom u sredini koju posmatramo kroz prethodnih par strana. U

svakom od ovih sluajeva, moment ograniene torzije je jednak razlici ukupne torzije i Sent

Venanove torzije. Kriva L/a=1 predstavlja relativno kratku gredu, kod koje se veina torzije prenosi

ogranienom torzijom. Kriva L/a=10 predstavlja dugu gredu, kod koje e se veina torzije preneti

Sent Venanovom torzijom.

Na slici dole se vidi iznos momenta ograniene torzije kod greda razliitog odnosa L/a. Kada je

ovaj mali (1) vidi se da je moment priblino jednak FL/4, dok je za dugu gredu moment priblino

jednak 20% ovog izraza i tei vrednosti FL/a.

Slika 4 - Raspored normalnih i smiuh napona u I preseku usled ograniene torzije

7

Tabela 1 - Raspored normalnih i smiuh napona u I preseku usled ograniene torzije

Iz gore navedenog vidi se da e relativni uticaj ograniene torzije zavisiti od parametra a, koji

zavisi od oblika poprenog preseka. Kao gruba ali pregledna smernica data je tabela iznad u kojoj

su oznaeni uticaji ove dve vrste torzije u savlaivanju spoljnog torzionog optereenja. Takoe

treba da zapamtiti da to je kraa greda, vei je uticaj ograniene torzije, i obrnuto (jer je L/a

manje).

2.4 CENTAR SMICANJA

Na slici ispod prikazan je poloaj centra smicanja za karakteristine preseke u metalnim

konstrukcijama. Torzija najee nastaje kada je element optereen ekscentrino u odnosu na

svoj centar smicanja. Najee, centar smicanja se poklapa sa teitem, pa torziju razmatramo ako

optereenje ne deluje u teitu preseka, ali kao to se vidi sa slike, centar smicanja se ne poklapa

sa teitem kod svih uobiajenih preseka. Ako presek ima osu simetrije, centar smicanja e se

nalaziti na ovoj osi. Dalje, moment torzije e biti jednak optereenju pomnoenom upravnom

rastojanju izmeu centra smicanja i pravca vektora optereenja. Takoe je vano gde optereenje

deluje visinski u odnosu na ovu taku (centar smicanja). Optereenja koja deluju iznad su

destabiliua, dok su optereenja koja deluju ispod stabiliua.

8

Slika 5 - poloaj centra smicanja za neke uobiajene poprene preseka

9

Slika 6 - ugao torzije i njegovi izvodi po duini konzole usvojenog I preseka

10

Slika 7 -

gore- normalni naponi

u ekscentrino

optereenoj gredi

odvojeno i njihova

suma

dole - smiui naponi u

gredi usled savijanja i

deplanacije

11

2.5 Postizanje ukruenja na osloncima za ogranienu torziju

Poboljanje krutosti na deplanaciju bi, bar u teoriji, moglo biti poboljano postizanjem ukljetenja

za ovaj uticaj na osloncima. Ipak, veina veza sa zavrtnjevima, ak i one dizajnirane tako da

prenesu moment savijanja nisu sposobne da obezbede dovoljnu krutost na deplanaciju. Da bi se

ovo obezbedilo potrebno je onemoguiti na osloncu relativno pomeranje flani, bilo vezivanjem

jedne za drugu, bilo vezivanjem obe za neki krut oslonac. Ovo je u praksi teko postii.

Veze koje obezbeuju ovakvu krutost prikazane su na slici ispod. Zbog komplikovane izrade, pa

samim tim i cene, ove veze se retkko, ako ikad, ovakve izvode u "normalnim" konstrukcijama.

Ipak, u praksi koriene veze sa eonom ploom spreavaju donekle rotaciju preseka u svojoj

ravni. Stoga su krajevi niti slobodni niti im je spreena deformacija, ve negde izmeu. Meutim,

zbog dodatnih komplikacija, kao i zbog gotovo nemogunosti da se stepen ovog ukljetenja

proceni u svakoj vezi, ine potragu za elastinim ukljetenjem za deplanaciju neprimamljivom.

Izbor se stoga svodi na sve ili nita, a siguran izbor je nita (slobodni krajevi).

Slika 8:

gore - veze sa eonom

ploom koje mogu

preneti torziju (ploa

mora biti celom

visinom, po mogunosti

preputena)

dole- veze koje

predstavljaju ukruenje

za ogranienu torziju

12

2.6 Dimenzionisanje U profila

Kao to je prikazano u tabeli ranije u tekstu, U profili su jednako kao i I profili torziono fleksibilni, i

torziju primaju kombinacijom Sent Venanove i ograniene torzije. Meutim, zbog asimetrije oko z

ose, verovatnije je pojaav torzije kod ovih profila. Drugim reima, centar torzije i teite ne lee na

istoj vertikali, pa se usled vertikalnog optereenja koje deluje na gornju flanu ili ak i na rebro,

javlja i torzija. Da se ne bi javila torzija od vertikalnog optereenja, U profil mora biti optereen u

liniji svog centra smicanja. Pri takvom optereenju javlja se samo savijanje, a tok smiuih napona

je predstavljen na slici ispod.

Slika 9:

levo - rotacija U preseka oko centra smicanja

desno - smiui naponi u U preseku optereenog vertikalnom silom u centru smicanja

13

14

ANEKS 1 :POLOAJ CENTRA SMICANJA I FORMULE ZA Iw ZA NEKE POPRENE PRESEKE

15

ANEKS 2 : DIJAGRAMI REENJA ZA I NJEGOVE IZVODE (statiki sistem i opter. su dati na grafiku)

16

17

18

19