Avant-propos

Ce livre couvre le programme d’algèbre et de géométrie de deuxième année PC etPSI, et poursuit la démarche rédactionnelle entamée avec les ouvrages de premièreannée. Comme pour l’ensemble de la collection, le respect du programme officielest un principe que nous avons suivi à la lettre. Ainsi, tout exercice et tout rappel decours faisant appel à une notion qui n’est pas commune aux programmes de PC et PSIest signalé de façon explicite. Par ailleurs, le programme prévoit la reprise et l’ap-profondissement en deuxième année de certains points abordés en première année :espaces vectoriels, applications linéaires, calcul matriciel, déterminants, étude affineet métrique des courbes, espaces euclidiens. Nous avons mis à profit cette possi-bilité pour que le présent ouvrage, tout en étant sans ambiguïté destiné aux élèvesde deuxième année, présente plusieurs chapitres utilisables en première lecture dèsle deuxième semestre de première année et pour les « révisions estivales » entre lapremière et la deuxième année.

Les premiers chapitres traitent des espaces vectoriels et des applications linéaires,puis du calcul matriciel. Les notions nouvelles de sommes directes, de trace et dematrices semblables sont illustrées par de nombreux exercices. De manière délibé-rée, les exercices proposés ont été sélectionnés pour clarifier et maîtriser l’articula-tion entre le point de vue matriciel et le point de vue vectoriel, plus géométrique. Ceschapitres permettent de réviser et d’approfondir le programme de première annéetout en donnant une vue réaliste des exercices donnés à l’oral. Les systèmes linéaireset les déterminants nous ont permis, par les exercices choisis, de montrer l’effica-cité d’une démarche méthodique sur des exemples simples qui s’appuient sur lesacquis première année. Le passage à la dimension n supérieure à 3 justifie pleine-ment l’approche conceptuelle, complément impératif de l’approche technique anté-rieure. La réduction des endomorphismes est un point essentiel du programme dedeuxième année en raison de son intérêt pour la formation de l’élève (toutes lesnotions d’algèbre linéaire sont sollicitées), de son intérêt pour la préparation auxconcours (toutes les épreuves de concours, ou presque, abordent ces questions) et deson intérêt pour l’évolution future de l’élève-ingénieur qui rencontrera ces notions©

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xii Avant-propos

utilisées dans de nombreux domaines scientifiques. Les espaces préhilbertiens eteuclidiens réalisent une synthèse encore plus profonde entre les outils techniqueset la démarche conceptuelle. Nous avons tenté de rendre compte par les rappels decours et le choix des exercices de la richesse de ces concepts en privilégiant l’ap-proche méthodique et en montrant à l’élève les vertus unificatrices de notions quidépassent largement la géométrie et s’appliquent aussi bien à l’analyse qu’à l’al-gèbre. Dans le chapitre « quadriques et coniques », la classification et la méthode deréduction sont présentées de façon détaillée et illustrées par de nombreux exemples.Notre expérience d’examinateurs d’oral nous montre que les courbes polaires et para-métrées sont souvent négligées par les élèves. Par des exercices venant de tous lesconcours, nous souhaitons leurs montrer que cette négligence est risquée. Nous avonsrédigé ce chapitre de manière progressive en y intégrant les éléments de programmede première année pour construire un ensemble complet et autonome. Le chapitresuivant traite des surfaces définies par un paramétrage ou par une équation carté-sienne. C’est sous l’éclairage de ce double point de vue que sont abordées les notionsfondamentales de vecteur normal et de plan tangent en un point régulier. Un choixjudicieux et progressif d’exercices de concours permet aux étudiants de se familiari-ser avec les surfaces usuelles. Le dernier chapitre intitulé « compléments de géomé-trie » regroupe des exercices de tous les concours abordant les questions de géomé-trie (affine, euclidienne, isométries affines et vectorielles, lieux géométriques, calculd’extrema). Absentes des programmes de deuxième année, ces notions ne sont pasabsentes des concours. Enfin, nous avons apporté un soin tout particulier aux figuresqui illustrent ces derniers chapitres.

Les premiers chapitres, par leur contenu et leur structure, marquent la transition entreles principes rédactionnels et pédagogiques propres aux ouvrages de première annéeet ceux utilisés pour les ouvrages de deuxième année. En première année, nous avionschoisi de présenter et d’illustrer de façon linéaire chaque nouvelle notion l’une aprèsl’autre. Nous nous adressions alors à des lecteurs sortant des classes terminales etencore peu autonomes dans leur approche. En deuxième année, nous avons choiside présenter globalement l’essentiel des notions d’un chapitre puis de progresser parétapes vers une compréhension et une maîtrise de plus en plus approfondies. Chaquechapitre est donc constitué de trois parties :

– une présentation synthétique de l’essentiel du cours suivie d’exercices d’assimila-tion immédiate, dans lesquels chaque nouvelle notion est testée, sans complicationinutile à ce niveau, dans un contexte qui permet d’identifier clairement une et uneseule difficulté et de la résoudre, en respectant une sorte de « règle des trois uni-tés » : un exercice, une difficulté, une solution ;

– des exercices d’entraînement dont la rédaction progressive et le découpage enquestions ont pour objectif d’amener le lecteur à la compréhension en le confron-tant de façon progressive aux difficultés propres à la notion étudiée ;

– des exercices d’approfondissement destinés à mettre l’élève en situation deconcours , avec la nécessité pour lui de faire preuve de compréhension, d’initia-tive, d’intuition et de maîtrise technique.

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Avant-propos xiii

La lecture d’un tel chapitre n’est donc plus nécessairement linéaire. La structure estparfaitement adaptée à des lecteurs de niveaux variés qui pourront éventuellementpasser directement à une forme d’auto-évaluation en se concentrant sur les exercicesd’approfondissements ou, au contraire, progresser pas à pas avec les exercices d’as-similation.

Si les élèves de deuxième année ont pu gagner en autonomie, il n’en reste pasmoins que leurs niveaux de compétence et de compréhension restent très hétéro-gènes. Ainsi, entre des « 3/2 » qui découvrent le programme pour la première foiset n’ont encore été confrontés à aucun concours, des « 5/2 » qui ont déjà étudié leprogramme mais ont échoué à leur première expérience et des « 5/2 » déjà admis àdes concours mais dont l’ambition les amène à viser encore plus haut, les différencessont très fortes. Ce sont ces différences, constatées en particulier lors des séancesde « colles », qui nous ont amenés à cette rédaction permettant plusieurs niveaux delecture et d’utilisation de l’ouvrage.

Entre les chapitres eux-mêmes, le programme de deuxième année n’impose pasd’ordre ni de découpage, contrairement au programme de première année. Cetteliberté nous a permis de choisir une progression qui nous semblait la plus adaptéeet la plus équilibrée. Chaque étape présente un nombre de notions nouvelles accep-table pour une perception d’ensemble compatible avec la structure des chapitres. Iln’y a pas que la hauteur des étages qui fait la difficulté d’un escalier : la hauteuracceptable des marches et leur régularité peut faciliter l’ascension. . . Nous avonsdonc retenu une progression qui nous semble adaptée, sans affirmer pour autantque d’autres progressions sont à rejeter. Notre diversité d’expérience, avantage dela rédaction collective, nous amène d’ailleurs à utiliser différentes progressions dansnos pratiques d’enseignement. Il reste ensuite le choix le plus difficile : face à l’infi-nité d’exercices possibles et au temps fini dont disposent les élèves pour préparer lesconcours, que proposer ? Quelques principes ont guidé notre sélection :

– respecter le parti-pris de progressivité en donnant des exercices qui permettentd’assimiler, puis de s’entraîner et enfin d’approfondir ;

– donner une vue précise et réaliste d’exercices qui « tombent à l’oral » en s’ap-puyant en particulier sur une veille attentive des sujets donnés à l’oral dans plu-sieurs concours depuis plusieurs années ;

– privilégier les exercices « génériques » dont la maîtrise donne les clefs de nom-breux exercices (comme il avait déjà été annoncé en avant-propos des ouvragesde première année : habituer les élèves à reconnaître les « visages connus » sousleurs différentes apparences) ;

– profiter du « nomadisme » des exercices constaté entre des concours différentset ne pas hésiter à proposer un sujet de MP si son intérêt pédagogique le justifie,sachant que ce même sujet peut apparaître plus tard en PC ou PSI. . .

– convaincre les élèves que les oraux couvrent tout le programme des deux années.

Pour éviter l’arbitraire des préférences personnelles lors d’une rédaction collective,une référence incontestable et « objective » est nécessaire : nous avons choisi pour©

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xiv Avant-propos

référence la réalité des exercices donnés à l’oral, principalement depuis 2004, dated’application du nouveau programme. Mais ces exercices ont pour objectif le « clas-sement » des élèves et non leur formation. Dans un ouvrage d’apprentissage quoti-dien, certaines retouches se sont avérées nécessaires : lorsqu’ils utilisent ce livre, lesélèves sont en cours de formation et pas encore en concours ! Notre expérience d’en-seignants d’abord, de « colleurs » ensuite, d’examinateurs enfin, nous a permis d’ob-server en situation réelle, dans différentes classes, les élèves face à ces exercices. . .ce qui nous a convaincus de la nécessité d’en faire évoluer la rédaction pour qu’ilspassent du statut d’exercice d’oral au statut d’exercice pédagogique. Notre expé-rience nous a permis cette adaptation sans, en aucune manière, dénaturer ces exer-cices. La rédaction retouchée de certains exercices répond à la fois à un objectif péda-gogique et psychologique. Objectif pédagogique de guider l’élève par une rédactiondétaillée qui fasse apparaître de façon explicite les difficultés et les techniques à maî-triser. Objectif psychologique de rassurer l’élève en l’amenant à résoudre seul unemajorité de questions en favorisant ainsi le développement de son autonomie. Si unsujet a été donné à plusieurs concours, nous avons toujours choisi la version qui noussemblait la plus pédagogique, la plus détaillée. Nous avons également regroupé cer-tains énoncés d’oral qui nous semblaient complémentaires ou permettaient de donnerun aperçu des sujets régulièrement abordés à l’écrit. Quant aux éléments de cours,chacun sait que ce qui est élégamment écrit dans un cours à la rédaction parfaiten’est pas toujours aussi clair dans l’esprit des élèves. . . et nous n’avons pas hésité,parfois, à sacrifier l’élégance de la rédaction à la redondance lorsque cette dernièrenous permettait de rendre explicites des notions souvent restées implicites.

C’est en premier lieu aux élèves des classes préparatoires MP, MP*, PC1, PC2 et PC*du Lycée Henri Poincaré et PSI et PSI* du Lycée Henri Loritz de Nancy que nousadressons, collectivement, nos remerciements. Ils ont en effet largement contribuépar leurs réactions, leurs questions, leurs erreurs et leur compréhension à guider nosefforts de présentation des exercices, de clarification des questions, de simplificationdes corrigés.

Toujours aussi enthousiasmante cette aventure rédactionnelle est aussi une aventurehumaine dans laquelle nous avons été aidés.Aidés matériellement par l’Institut Elie Cartan de Nancy qui nous a permis d’utiliserses moyens informatiques et ses ressources documentaires.Aidés par l’IREM qui nous a donné un accès privilégié à ses ressources documen-taires, ainsi que par l’I.U.T Nancy-Charlemagne dont la bibliothèque nous a toujoursreçus avec sourire et efficacité.Aidés également par le Lycée Henri Poincaré de Nancy qui nous a accueillis chaquesamedi matin, de septembre à mars, dans une salle équipée de moyens informatiques.Aidés enfin par trois collègues du Lycée Henri Poincaré, Gilles Demeusois, MichelEguether et Edouard Lebeau qui nous ont lus en détail et dont les remarques ont sen-siblement amélioré le présent ouvrage.Que tous soient sincèrement remerciés.

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Avant-propos xv

Notre collègue de l’Institut Elie Cartan de Nancy, Françoise Géandier, a relu unepartie du manuscrit... et a du supporter dans notre bureau commun la présence del’ensemble de l’équipe. Nous la remercions et nous lui demandons de nous excuserpour le désordre conséquent.

Il est inévitable que certaines erreurs aient échappé à la vigilance de tous ceux quiont lu cet ouvrage. Nous en assumons seuls la responsabilité et nous espérons queceux qui en découvriront voudront bien nous faire part de leurs remarques à l’adressesuivante Elhaj.laamri@iecn.u-nancy.fr.

Enfin, si dans cette aventure humaine certaines personnes nous ont aidés, il en estsans qui rien n’aurait été possible. Nos compagnes, par leur infinie patience, leursoutien sans faille et leur attentive présence ont joué un rôle essentiel dans l’abou-tissement de ce projet. Au moment de mettre un point final à cet ouvrage c’est verselles que nos pensées se tournent.

Nancy le 15 avril 2008

El-Haj Laamri, Philippe Chateaux, Gérard Eguether, Alain Mansoux,

David Rupprecht, Laurent Schwald

Les exercices qui nous ont semblé les plus difficiles sont signalés par un ou deuxsymboles�.

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