Toward Modelling Electricity (French)

Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique

1

Vers la modélisation des prix spot de l’électricité

Note bibliographique

N.Rouveyrollis

22 Avril 2004

Cerna, Centre d’économie industrielle Ecole Nationale Supérieure des Mines de Paris

60, boulevard Saint Michel

75272 Paris Cedex 06, France

Tél. : 33 (1) 40 51 91 26/ 33 (1) 40 51 90 93 Fax : 33 (1) 44 07 10

[email protected] – http://www.cerna.ensmp.fr


2

TTTaaabbbllleee dddeeesss mmmaaatttiiièèèrrreeesss

Partie 1 :Faits stylisés et caractéristiques des prix ........................................................ 4

1. Statistiques simples................................................................................................................ 5

2. Retour à la moyenne.............................................................................................................. 6

3. Périodicité et fluctuations ..................................................................................................... 8

4. Pics de prix, et volatilité ...................................................................................................... 11

5. Corrélations ......................................................................................................................... 13

Partie 2 : Les modèles de base ...................................................................................... 18

1. Le mouvement Brownien géométrique (GBM) ou modèle de Black & Sholes................. 19

2. Les processus « Mean-Reverting » ..................................................................................... 22

3. Autour du modèle de Cox-Ingersoll-Ross (1985)............................................................... 24

4. Evaluation des prix Future / Forward................................................................................ 28

Partie 3 : Autour des modèles à 1 facteur ................................................................... 34

1. Modèle à niveau d’équilibre variable ................................................................................. 34

2. Les modèle à un facteur de Lucia-Schwartz ...................................................................... 35

Partie 4 : Les modèles multi-facteurs .......................................................................... 42

1. Modèle à deux facteurs de Lucia-Schwartz........................................................................ 42

2. Le modèle à deux facteur de Pilipovic ................................................................................ 46

3. Le modèle de Gibson & Schwartz ....................................................................................... 47

4. Le modèle à 3 facteurs de Schwartz.................................................................................... 49

Partie 5 : Modèles à sauts ............................................................................................ 50

1. Les modèles à sauts : approche classique........................................................................... 51

2. Première généralisation : les modèles AJD........................................................................ 54

Partie 6 : Une classe générique de modèles multi- facteurs ....................................... 70

1. Le modèle multifacteur de Heath-Jarrow-Morton (HJM) ................................................ 71

2. Le modèle de Cortazar/Schwartz[15] - Les Clewlow/Strikland[12].................................. 73

3. Quelques exemples .............................................................................................................. 74

4. Extension ............................................................................................................................. 76


3

Partie 7 : Les processus de Levy .................................................................................. 78

1. Généralités ........................................................................................................................... 79

2. Représentation en terme d’exposant................................................................................... 80

3. Processus de Levy et Brownien subordonné ...................................................................... 84

4. Exemples d’application ....................................................................................................... 85

Partie 8 : les modèles à volatilité non constante ................................... 105

1. Cas des modèles continus.................................................................................................. 106

2. Modèles discrets................................................................................................................. 119

Partie 9 : les modèles hybrides ................................................................................... 124

1. Les Modèles à changement de régime : approche par chaîne de Markov ...................... 125

2. Autres approches ............................................................................................................... 135

Annexe 1 : Expression analytique dans le Modèle de Black & Scholes ............. 150

Annexe 2 : Modèle du type retour vers une moyenne............................................... 152

Annexe 3 : Calculs autour du processus CIR ............................................................. 155

Annexe 4 : Modèle de Lucia & Schwartz et processus de retour vers une

moyenne............................................................................................................................... 157

Annexe 5 : Calculs autour du modèle à deux facteurs de Lucia & Schwartz ... 158

Annexe 6 : Autour du modèle à deux facteurs de Pilipovic .................................... 162

Annexe 7 : Calculs autour du modèle à deux facteurs de Gibson et Schwartz. 165

Annexe 7b : Modèles multifacteurs et changement de probabilité ....................... 170

Annexe 8 : Un cas simple de diffusion avec sauts ..................................................... 174

Annexe 9 : Exemples de Modèles AJD ......................................................................... 176

Annexe 10 : AJD à deux facteurs ................................................................................... 181

Annexe 11 : AJD et CIR .................................................................................................... 187

Annexe 12 : Autour du modèle de Kellerhals.............................................................. 189

Annexe 13 : GRS et Likelihood ....................................................................................... 201

Annexe 14 : Régression et test .............................................................................................. 204


4

PPPaaarrrtttiiieee 111 :::FFFaaaiiitttsss ssstttyyyllliiisssééésss eeettt cccaaarrraaaccctttééérrriiissstttiiiqqquuueeesss dddeeesss ppprrriiixxx

La première étape dans le processus de modélisation consiste à faire l’inventaire des

caractéristiques de l’information que l’on souhaite modéliser.

Dans cette partie nous mettons en avant les différentes propriétés que l’on peut

observer quand on s’intéresse à la dynamique des prix spot de l’électricité. Ici nous

basons notre analyse sur les données de quatre marchés qui intéressent la

littérature : NordPool, APX, Omel et Powernext.

Les prix de l’électricité dépendant directement de l’offre et de la demande, et celle-ci

ne pouvant pas être stockée de manière efficiente en terme de coût, ce lien est

d’autant plus fort. Il découle alors un fait assez important qui est la complexité de la

dynamique des prix au comptant , on peut observer :

un effet de retour à la moyenne ou «mean reversion » ( Gibson&Schwartz[35]

) : du sans aucun doute à la logique économique sous-jacente à la dynamique

définissant les prix

des fluctuations saisonnières : en effet la demande en électricité suit des

variations apparentées aux saisons

des fluctuations « intra-days » et « intra-hours »: le niveau de la demande en

électricité dépendant de l’activité, les prix ne sont pas uniformes d’un jour à l’autre

et d’une heure à l’autre . En particulier, celle-ci est moins intense durant les

périodes de week-ends ou de vacances …

des pics de prix et une forte volatilité: le prix spot peut par exemple augmenter

de plusieurs centaines de pourcentages en une heure. Cet effet dépend aussi de

la rapidité des producteurs à répondre à des pics de demande, cette vitesse étant


5

variable selon le type d’électricité produite (Ex : hydroélectricité Vs électricité

nucléaire).

1. Statistiques simples

Les outils statistiques de base que sont la variance, la moyennes et la forme des

distributions donnent rapidement des élément fondamentaux sur la dynamique qui

nous intéresse.

Le graphique qui suit représente la distribution des prix horaires (centrés – réduits)

sur Powernext pour la période allant du 3/12/2001 au 28/09/2003.

0,00

200,00

400,00

600,00

800,00

1000,00

1200,00

1400,00

1600,00

1800,00

2000,00

-0,8

4

-0,4

2

-0,0

1

0,4

1

0,8

3

1,2

5

1,6

7

2,0

9

2,5

1

2,9

3

3,3

5

3,7

6

4,1

8

4,6

0

5,0

2

5,4

4

5,8

6

6,2

8

6,7

0

7,1

2

7,5

3

7,9

5

8,3

7

8,7

9

9,2

1

9,6

3Figure 1: histogramme des prix Powernext entre le 3/12/2001 et le 8/09/2003, source de

donnée : www.powernext.fr

Cette distribution est caractérisée par :

une non normalité, et une asymétrie

la présence de valeurs extrêmes : assujettie à un risque de prix

une queue épaisse à droite et un effet de rabot à gauche


6

Regardons maintenant l’évolution moyenne du processus de prix et celle de sa

variabilité.

Toujours sur la même période, on calcule les moyennes et variances

hebdomadaires, le graphe suivant représente les semaines 4 à 79.

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76

Variance Moyenne

Figure 2: Moyenne et variance des prix Powernext entre le 3/12/2001 et le 28/09/2003, source de

donnée : www.powernext.fr

On constate une fluctuation dans le niveau des prix, caractérisée par l’évolution des

moyenne hebdomadaire, autour de ce niveau les prix fluctuent, et cette variabilité

n’est pas constante. Tout laisse à penser une corrélation entre le processus de prix

et sa volatilité : plus les prix sont élevés, plus ils sont volatiles.

2. Retour à la moyenne

Dire qu’un prix suit un processus de « retour à la moyenne » implique que celui-ci

évolue dans une zone de prix significatifs. Cette zone est bornée et possède un

pouvoir attracteur qui va s’exercer dés que le prix va sortir des frontières la

définissant.


7

Ce phénomène peut s’observer sur les courbes agrégées de l’offre et la demande,

dans le tableau suivant est représenté un échantillon de celles disponibles du

marché espagnol (Omel).

12h le 13 Novembre 2003 12h le 12 Novembre 2003 12h le 12 Octobre 2003

~1500 MW/h ~1500 MW/h ~1000 MW/h

Dans ces trois graphiques on constate que le prix à 12h varie faiblement sur un jour

et sur un mois. On peut lire se phénomène directement sur les courbes de prix (ex :

APX), les pics de prix qui surviennent ne sont pas persistants à 100% sur le niveau

d’équilibre à long terme et sont généralement accompagnés d’un retour rapide vers

la position initiale.

Cette propriété est toutefois moins visible sur NordPool (graphique suivant) et

intervient en second plan dans un facteur d’évolution à court terme des prix .

0

20

40

60

80

100

120

140

1

54

107

160

213

266

319

372

425

478

531

584

637

690

743

796

849

902

955

1008

1061

1114

1167

1220

Figure 3: NordPool, moyenne hebdomadaire des prix du 2000-01-01

au 2003-05-07, source de donnée : www.nordpool.no


8

3. Périodicité et fluctuations

En contraste avec les séries financières, les prix au comptant de l ‘électricité sont

sujet à différentes fluctuations de nature périodiques dépendantes de l’activité

économique et des besoins.

a. Périodicité intra-jour et Fluctuation intra-heure

Le tableau suivant présente une comparaison entre les processus horaires sur les 5

jours ouvrés de deux semaine significatives (en juillet et en novembre), ainsi qu’une

comparaison des processus horaires sur la période allant du 27/11/2001 au

14/11/2003.

Fluctuation horaire (Powernext)

0

10

20

30

40

50

60

70

1 3 5 7 9

11

13

15

17

19

21

23

07/11/2003 06/11/2003 05/11/2003

04/11/2003 03/11/2003

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 3 5 7 9

11

13

15

17

19

21

23

11/07/2003 10/07/2003 09/07/2003

08/07/2003 07/07/2003

Processus horaires (17j, 19h, 21h, Powernext)

0

100

200

300

400

500

14/1

1/2

003

17/1

0/2

003

19/0

9/2

003

22/0

8/2

003

25/0

7/2

003

27/0

6/2

003

30/0

5/2

003

02/0

5/2

003

04/0

4/2

003

07/0

3/2

003

07/0

2/2

003

10/0

1/2

003

13/1

2/2

002

15/1

1/2

002

18/1

0/2

002

20/0

9/2

002

23/0

8/2

002

26/0

7/2

002

28/0

6/2

002

31/0

5/2

002

03/0

5/2

002

05/0

4/2

002

08/0

3/2

002

08/0

2/2

002

11/0

1/2

002

14/1

2/2

001

Hour17 Hour19 Hour21

source Powernext


9

Sur ces graphes, certains faits sur la variation horaire des prix sont à remarquer:

un niveau bas est observé de 1h à 8h

à partir de 8h jusqu'à 11h, les prix augment jusqu’à un niveau plus ou moins

stable

à12h un maxima peut être atteint

à partir de 17h les prix vont commencer à décroître jusqu’à 4h-5h du matin

entre 17h et 21h à défaut de décroissance, une montée en cloche peut

s’afficher ainsi qu’un pic de prix à 19h

Une certaine stabilité intra-jour est à constater: les processus du lundi, .., et du

vendredi semblent être issus de la même famille. La périodicité intra-jour se défini

alors comme la reproduction, avec plus ou moins de nuances, du processus horaire

du jour précédent.

b. Week-ends et périodicité hebdomadaire

Le graphique qui suit se propose de représenter l’évolution de la moyenne

quotidienne des prix Powernext sur 10 semaines (septembre 2003 – Novembre

2003).

0

10

20

30

40

50

60

09/1

1/20

03

07/1

1/20

03

05/1

1/20

03

03/1

1/20

03

01/1

1/20

03

30/1

0/20

03

28/1

0/20

03

26/1

0/20

03

24/1

0/20

03

22/1

0/20

03

20/1

0/20

03

18/1

0/20

03

16/1

0/20

03

14/1

0/20

03

12/1

0/20

03

10/1

0/20

03

08/1

0/20

03

06/1

0/20

03

04/1

0/20

03

02/1

0/20

03

30/0

9/20

03

28/0

9/20

03

26/0

9/20

03

24/0

9/20

03

22/0

9/20

03

20/0

9/20

03

18/0

9/20

03

16/0

9/20

03

14/0

9/20

03

12/0

9/20

03

10/0

9/20

03

08/0

9/20

03

06/0

9/20

03

04/0

9/20

03

02/0

9/20

03

Figure 4: évolution quotidienne des prix 09/2003 - 11/2003, source Powernext


10

Si l’on peut observer un niveau de prix plus ou moins stable pendant les jours

ouvrés, celui baisse considérablement à l’arrivée du week-end et vient se situer en

dessous de la moyenne hebdomadaire durant cette période.

On peut interpréter cet effet des week-ends comme une certaine périodicité

hebdomadaire définie en tant que cassure dans l’évolution du processus de prix.

c. Caractère saisonnier

Les variation saisonnières correspondent aux fluctuations annuelles des prix autour

de sa dérive.

Ce comportement est assez visible sur une longue période de temps, le graphique

suivant représente l’évolution mensuelle des prix moyen sur le système nordique

entre 1996 et 2003 :

prix moyen

0,00

100,00

200,00

300,00

400,00

500,00

600,00

janv

-96

juil-96

janv

-97

juil-97

janv

-98

juil-98

janv

-99

juil-99

janv

-00

juil-00

janv

-01

juil-01

janv

-02

juil-02

janv

-03

juil-03

Figure 5: Moyennes mensuelles des prix (NOK/MWh) NordPool,

source : www.nordpool.no


11

Ce caractère particulier dépend de l’aspect cyclique de la demande et de l’offre, ci-

dessous sont représentées l’évolution mensuelle de la production et de la

consommation d’électricité dans l’union nordique entre le 1er janvier 2000 et le13

Novembre 2003.

Production

18 773

9 018

13 211

315 874 802

Consumption

18 517

9 430

13 225

315 751 301

source : www.statnett.no

4. Pics de prix, et volatilité

En terme de variabilité, on peut mesurer un caractère extrême dans la variabilité des

prix au comptant de l’électricité. Le graphique suivant illustre le calcul d’écarts types

sur différents actifs mesurés entre le 27 novembre 2001 et le 14 février 2003

Ecart Type

0

5

10

15

20

25

30

swap

1

swap

2

gaz

1

gaz

2

gaz

3ap

x

phel

ix

power

next


12

A la vue des valeurs obtenues, les prix spot de l’électricité exhibent une très forte

variabilité en comparaison avec celle des prix d’autres commodité telle que le gaz

naturel et le pétrole.

Un marché électrique très significatif de la forte volatilité qui peut exister dans la

dynamique des prix spot de l’électricité est celui d’Amsterdam. Le marché

d’échanges énergétique d’Amsterdam est sans doute « le phénomène californien »

de l’Europe. Créé en 1999, il a montré rapidement une très forte volatilité et des pics

de prix phénoménaux, comme on peut le constater sur le graphe qui suit, cette

dynamique semble se poursuivre.

0

100

200

300

400

500

600

700

01/0

1/2

001

01/0

3/2

001

01/0

5/2

001

01/0

7/2

001

01/0

9/2

001

01/1

1/2

001

01/0

1/2

002

01/0

3/2

002

01/0

5/2

002

01/0

7/2

002

01/0

9/2

002

01/1

1/2

002

01/0

1/2

003

01/0

3/2

003

01/0

5/2

003

01/0

7/2

003

01/0

9/2

003

Figure 6: Prix quotidiens sur APX du 01/01/2001 au 19/09/2003,

source www.apx.com

Le marché hollandais est très vulnérable, la courte période du 25 juin au 5 juillet

2001 montre l’occurrence de pics réguliers et la présence d’une certaine panique :

Date Hour APX Day-aheadPrice (€/MWh) 25-Jun-01 17 350 26-Jun-01 15 300 02-Jul-01 11 600 03-Jul-01 12 1,000 04-Jul-01 12 1,201 05-Jul-01 12 495 06-Jul-01 12 1,200

En parallèle avec ce court laps de temps, des problèmes de production survenaient

en Belgique, très interconnectée avec les Pays-Bas à ce moment là. Le risque de


13

prix très élevés est donc très présent même si le marché exhibe de part les volumes

échangés ( plus du double par rapport au marché français) une certain liquidité.

Malgré tout , chaque année une certaine stabilité existe : entre les mois de janvier et

juin (cf figure 6) , la période restante est plus incertaine et se résume à « que va-t-il

se passer ?».

5. Corrélations

d. Corrélation et variables exogènes

Le fait que l’électricité produite soit aussitôt consommée, implique une dépendance

très forte des prix spot vis à vis des besoins en électricité (demande) et de leur

déterminants (activité de travail, conditions climatiques, températures, durée du jour,

effets calendaires …).

On est donc en droit d’espérer certaines corrélations. Nous donnons dans ce qui suit

quelques exemples possibles.

Les dates d’arrêt / rechargement des centrales nucléaires La production d’électricité par le nucléaire souffre d’un sérieux défaut : celui de

l’inflexibilité. En effet, le temps de déchargement et rechargement des réacteurs est

de l’ordre de la journée, les centrales nucléaires subissent des révisions périodiques,

enfin la production est moins modulable. Sur le graphique suivant on peut observer

l’évolution quotidienne des centrales nucléaires Allemande sur la période 2001-2003

(Données construites à partir des dates d’arrêt annuel, source Powernews Vol 10)

0

5000

10000

15000

20000

25000

01/0

1/2

001

01/0

3/2

001

01/0

5/2

001

01/0

7/2

001

01/0

9/2

001

01/1

1/2

001

01/0

1/2

002

01/0

3/2

002

01/0

5/2

002

01/0

7/2

002

01/0

9/2

002

01/1

1/2

002

01/0

1/2

003

01/0

3/2

003

01/0

5/2

003

01/0

7/2

003

01/0

9/2

003

01/1

1/2

003

BIBLIS A BIBLIS B BROKDORF BRUNSBUTTEL

GRAFENRHEINFELD GUNDREMMINGEN B GUNDREMMINGEN C GROHNDE

ISAR 1 ISAR 2 KRUMMEL LIPPE-EMS

NECKARWESTHEIM 1 OBRIGHEIM PHILIPPSBURG 1 PHILIPPSBURG 2

STADE UNTERWESER NECKARWESTHEIM 2


14

Ce dernier graphique a surtout la vocation de montrer qu’il peut exister des périodes

de production « critique » quand plusieurs générateurs sont simultanément inactifs.

Les volumes dans les réservoirs hydroélectriques

L’électricité hydraulique représente une part très significative dans l’Union Nordique :

en 2001 la production de celle-ci s’élevait à un total de 212.5 TWh contre 91 TWh

pour l’électricité nucléaire.

Les graphes suivant mettent en parallèle sur chaque semaines de l’année 2002 et

2003, le niveau d’eau dans les barrages ainsi que les prix sur le marché spot.

Comparaison des moyennes hebdomadaires de prix

(Elspot / NordPool)

Comparaison des niveaux de l’eau dans les

réservoirs (NordPool)

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

1 6

11

16

21

26

31

36

41

46

51

2002

2003

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 5 9

13

17

21

25

29

33

37

41

45

49

2003

2002

Source : NordPool

Si l’on compare par semaines l’évolution moyenne des prix et le niveau d’eau

retenue dans les barrage, une certaine corrélation semble apparaître :

en 2002, les semaines 16 et 17 sont significatives du plus bas niveau d’eau

dans les réservoirs, dans la même période, les prix passent d’une moyenne

hebdomadaire de 17,75€ (semaine 15) à 28.36€ (semaine 16) et 28.85€

(semaine 17)

sur l’année 2003, entre les semaines 1 et 36, le niveau d’eau dans les

réservoir est inférieur d’environ 20% par rapport à celui observé en 2002 sur la

même période, les prix en 2003 sur cet intervalle de temps sont supérieurs au

prix 2002 A noter le phénomène de convergence qui apparaît des deux cotés à

partir de la semaine 41.


15

à partir de la semaine 36, l’augmentation des prix va de paire avec la

diminution du niveau d’eau

La température

La température est un facteur intéressant car possédant des caractéristiques

communes en terme de saisonnalité avec celles des prix spot de l’électricité et en

particulier :

une composante annuelle due aux saisons

Le graphique ci-dessous représente l’évolution de l’indice NextWeather (obtenu

comme la moyenne pondérée par la population des régions, des températures

moyenne quotidienne des 22 régions françaises), et sa composante annuelle

obtenue par un filtrage adaptatif.

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

1

40

79

11

8

15

7

19

6

23

5

27

4

31

3

35

2

39

1

43

0

46

9

50

8

54

7

58

6

62

5

66

4

70

3

74

2

78

1

82

0

temperature

1ere composante

Figure 7: Moyenne quotidienne en France (code OMM 07999) 1er janvier 2001-25 Avril 2003,

source de données: http://nextweather.euronext.com


16

une composante journalière

Le graphique suivant montre l’évolution demi-horaire de la température mesurée à la

Station de Violay (alt 830 m, Loire, France) entre le 1et et le 3 Août 2003

0.0000

5.0000

10.0000

15.0000

20.0000

25.0000

30.0000

35.0000

0:0

0

3:3

0

7:0

0

10

:30

14

:00

17

:30

21

:00

0:3

0

4:0

0

7:3

0

11

:00

14

:30

18

:00

21

:30

1:0

0

4:3

0

8:0

0

11

:30

15

:00

18

:30

22

:00

Source : http://www.chez.com/gagnard/pageweb/violay/tempe_30_mn/sommaire.htm

On peut enfin rajouter une influence en terme de « facteur perturbateur » ou

« stimulus ». A titre d’exemple , on a pu constater pour la France des pics de

demande et de prix durant la journée du 09 Janvier 2003 (100.06 EUR/MWh à 18h et

200.09 EUR/MWh à 19h) entraînant une hausse de la moyenne des prix « day-

ahead »

Et cet événement correspond à une chute de la température d’environ 5-6° en

dessous de son niveau normal (source météo France).

09/01/2003 08/01/2003

Powernext

day-ahead

average

50.52

EUR/MWh

35.26EUR/MWh


17

e. Corrélation entre marchés

Une certaine corrélation entre les différents marchés interconnectés semble exister.

A titre d’exemple dans le graphique qui sut, représentant l’évolution sur une courte

période de 6 indices de prix européens, on peut observer que :

- le pic de prix survenant le 11 / 08 / 2003 sur Powernext, contamine

simultanément ( ?) APX, et affecte le marché Autrichien (EXAA) avec un jour

de retard

- certains marchés ont des variations similaires (ex Phelix et EXAA)

0

100

200

300

400

500

600

700

01/0

7/20

03

03/0

7/20

03

05/0

7/20

03

07/0

7/20

03

09/0

7/20

03

11/0

7/20

03

13/0

7/20

03

15/0

7/20

03

17/0

7/20

03

19/0

7/20

03

21/0

7/20

03

23/0

7/20

03

25/0

7/20

03

27/0

7/20

03

29/0

7/20

03

31/0

7/20

03

02/0

8/20

03

04/0

8/20

03

06/0

8/20

03

08/0

8/20

03

10/0

8/20

03

12/0

8/20

03

14/0

8/20

03

16/0

8/20

03

18/0

8/20

03

20/0

8/20

03

22/0

8/20

03

24/0

8/20

03

26/0

8/20

03

28/0

8/20

03

30/0

8/20

03

Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 APX Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 EXAA

Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 PHELIX Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 NP

Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 Powernext Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 Spain


18

PPPaaarrrtttiiieee 222 ::: LLLeeesss mmmooodddèèèllleeesss dddeee bbbaaassseee

Le but de cette partie est de présenter les modèles de base servant comme « point

de départ » dans tout modélisation financière.

Essentiellement, nous nous intéressons à trois type de modèles célèbres :

- Les processus du type Black & Scholes

- Les processus de retour à la moyenne (Vasicek)

- La famille de processus développée par Cox, Ingersoll et Ross

La dynamique régissant ces modèles est usuellement définie à partir d’équation

différentielle stochastique. Dans chaque cas nous exprimons quand cela est possible

une solution analytique pour le processus des prix Forward.

A partir des représentations analytiques qui sont obtenues pour chaque processus

de prix dans un univers de non arbitrage, les prix Forward vus comme l’anticipation

dans le futur des prix présents sont ensuite calculés.


19

1. Le mouvement Brownien géométrique (GBM) ou modèle de Black & Sholes

Le modèle d’évaluation de Black & Scholes, reste aujourd’hui encore, une référence

majeure dans la pratique du pricing d’option. Son utilisation dans la plupart des

marché organisés pour la modélisation d’actifs risqués est tellement répandue, qu’il

est logique de le présenter et dans une certaine mesure, voir si il peut s’adapter au

cas des marchés au comptant de l’électricité en Europe.

Sa forme est donc donné par l’équation différentielle stochastique suivante :

0

( ) ( ) ( ) ( )

(0)

dS t S t dt S t dW t

S S

α σ= +

=

où S(t) représente le prix de l’actif à l’instant t, W(t) représente un processus de

Wiener, dW(t) est assimilé à un bruit blanc continu standard.

Les paramètres du modèles : α et σ représentent respectivement la dérive et la

volatilité et sont supposés constants.

La résolution de cette équation différentielle stochastique par le calcul d’ Ito ( Bjork[7]

) permet de faire apparaître la forme exponentielle de ce modèle donné par :

( 0.5 ²) ( )

0( ) . t W tS t S e

α σ σ− += (cf Annexe 1)


20

Exemples de Simulation

Simulation a1 α = 0.1% σ = 0.001%

. Forme exponentielle prononcée . Le paramètre de dérive est prédominant

Simulation a2 α = 0.1% σ = 0.1%

. le paramètre de dérive reste prédominant . la volatilité a été augmentée

Simulation a3 α = 0.1% σ = 1%

. augmentation de la volatilité . la forme exponentielle à tendance à disparaître

Simulation a4 α = 1% σ = 1%

. augmentation du paramètre de dérive . forme exponentielle

Comme on peut le constater dans ces simulations , le caractère exponentiel de la

tendance peut facilement être masqué en augmentant la volatilité.


21

Les principales propriétés de ce modèle sont les suivantes :

simplicité du modèle

calcul analytiques associés pour le pricing d’option

manque de flexibilité

volatilité constante

Visuellement, ce modèle ne semble pas adapté au prix spot de l’électricité, une

raison assez naturelle étant que le marché de l’électricité est actuellement plus un

marché physique que financier et la dynamique des prix doit représenter ce fait, ce

que l’on peut imaginer sur les courbes de l’offre et la demande. Les graphiques ci-

dessous représentent lesdites courbes à 1h sur le marché espagnol (Omel) pour la

date du 17 janvier 2003.

Dans la figure de gauche, si le prix suit une logique économique, celui-ci va plus ou

moins rester dans une zone représentée par le cercle. Dans la figure de droite si prix

a plus tendance à augmenter en suivant une dynamique de taux d’intérêt classique,

alors il peut s’ensuivre aussi un déplacement vers le haut des courbes agrégées de

la demande. Le modèle de Black & Scholes qui a l’avantage d’être simple reste

cependant inadapté dans notre cas.


22

2. Les processus « Mean-Reverting »

Une autre famille de base est celle des processus Mean-Reverting introduite par

Vasicek[75]. Ce type de processus permet par exemple de caractériser des signaux

suivant une logique économique d’oscillation autour d’un niveau d’équilibre à long

terme. On trouvera par exemple des applications dans la modélisation du prix de

pétrole .Une première famille de tels processus, est celle des processus d’Ornstein

Uhlenbeck Géométrique introduit par Dixit & Pindyck[28] , la dynamique de ces

modèles est donnée par l’équation suivante :

. .( ) (GOU)dS S S dt SdWα µ σ= − +

La différence avec le modèle précédent (GBM) se situe sur le terme de la dérive qui

va varier en fonction du prix spot S. Cette dérive est positive si S est inférieur au

niveau d’équilibre µ , est négative dans le cas contraire. En d’autre terme, le niveau

d’équilibre attire le prix spot S sans sa direction avec plus ou moins de rapidité, le

paramètre α est souvent désigné comme une force de rappel.


23

Dans ce modèle, le paramètre prédominant est la force de rappel α , et celui-ci va

influencer directement la dynamique du processus en lui donnant soit l’allure d’une

tendance stochastique soit la forme d’un processus concentré autour d’une position

fixe.

Souvent, pour des raisons d’identification de paramètres il est préférable de travailler

avec la famille des processus d’Ornstein Uhlenbeck Arithmétiques attribués à

Vasiceck[75] dont l’expression est la suivante :

( ) (VS)VS VS VSdS S dt dWα µ σ= − +

Une expression analytique de la solution de cette équation est obtenue dans

l’annexe 2.

Remarque :

En discrétisant cette dernière équation, on peut se ramener à un modèle du

type AR(1) :

1( ) ( 1)o VS t

S t S tα β σ ε= + − +

avec ~ (0,1)t Nε et les relations :

1

(1 )VS

VS

o VSe

e

α

α

α µ

β

−

−

= −

=


24

En appliquant la formule d’Ito à l’équation (VS) en utilisant la fonction

exponentielle, on obtient successivement pour exp( )X S= :

1exp( ) ( ) ²

2

1exp( ). ( ) exp( ). ( ) ²

2

²log( ) .

2

VS

VS VS VS VS

VSVS VS VS

VS

dX S dS exp S dt

S S dt S dW exp S dt

X X dt X dW

σ

α µ σ σ

σα µ σ

α

= +

= − + +

= − + +

L’équation (VS) n’est donc pas obtenu en prenant le logarithme des prix à partir

de l’équation (GOU).

3. Autour du modèle de Cox-Ingersoll-Ross (1985)

Dans les modèles de prix précédents, la volatilité est supposée constante. Un des

premiers modèles à avoir introduit une volatilité variable dépendant du niveau des

prix est celui développé par Cox, Ingersoll et Ross[24].

a. Généralités et Formulation

Le modèle de CIR part du modèle de Vasicek et en fait un modèle d’équilibre. Ce

modèle tente de résoudre certains problèmes comme le caractère négatif que

peuvent avoir les prix et on cherche à obtenir une variance qui soit fonction du

niveau des prix Var(S(T))=f(S(t)). La variance sera plus élevée pour des prix élevés

que pour de faibles prix.

La formule de Vasicek devient :

( )dS S dt SdWα β σ= + + (CIR)


25

Les principales propriétés de ce modèle sont les suivantes:

Caractère de « mean reversion »

Volatilité stochastique dépendant directement du niveau des prix : les risques

de prix et de volatilité sont parfaitement corrélés

des prix positifs

A l’heure actuelle, comme le fait remarquer Szatzschneider [72], peu d’éléments sont

connus pour placer un tel processus en univers risque neutre et l’approche

couramment utilisée consiste à introduire une prime de risque supposée

proportionnelle à ( )S t étant donnée qu’une prime de risque neutre linéaire n’est pas

admissible (cf Cox et al.[24], Rogers[63]) pour ce type de modélisation.

Principalement Szatzschneider [72], a démontré le théorème suivant :

Theoreme (Wojciech Szatzschneider [72],)

Si sous une probabilité P, on considère un processus S défini par :

3/ 2( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )

2 ( ) ( ) (1)

dS t S t S t S t dt

S t dW t

µ σδ σ β

σ σ

σ

= + − +

+

%%

%

Alors, pour tout T > 0, il existe une mesure de probabilité Q ~ P, pour le processus

considéré jusqu’au temps T tel que sous Q celui-ci a la forme simplifiée suivante:

[ ]( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )

, , 0

QdS t S t dt S t dW t

avec

δ β σ

σ β δ

= − +

>

%

%

Ainsi les processus du type CIR sont équivalents à ceux définis par (1)


26

b. Evolutions et généralisations

On suppose ici que le prix spot S suit le processus défini par :

( ) ( ) ( )

( ) (C.I.R.)

S t f t X t

avec

dX X dt X dWκ α σ

= +

= − +

Où f représente une fonction déterministe.

Il est intéressant de calculer la variance conditionnelle sachant l’information

disponible à l’instant initial de ce modèle pour constater de son caractère non

constant (Cf Annexe 3):

0 0 0

220

0

( ) ( ²) ( )²

( )( ² 2 ) ( )²

t tT t

Var X E X E X

X e ee X e

κ κκ κσ κα α α

κ

− −−

= −

−= − − + −

On constate en particulier une plus grande variété de comportement et donc plus de

flexibilité dans le modèle.

On fait ici l’hypothèse que la prime de risque est constante (….) , le « passage à

l’univers risque neutre s’effectue par le changement de mesure suivant :

*dW dW dtλ= −

Le paramètre λ représente le risque associé au prix. Pour simplifier, on note dW à la

place de dW*, la dynamique de X est alors représentée par :

( ) /dX X X dt X dW avecκ α β σ β λ κ= − − + = −


27

Typiquement le processus prend une forme plus générale, et conduit au modèle de

Longstaff[51], dont la formulation simplifiée pour σ=1 est la suivante

(1 2 ) 2dS K S S dt SdWλ= − − +

Et clairement en utilisant la formule l’Ito on peut montrer que :

( ) ( )²

( )2

S t Y t

KdY Y signe Y dt dWλ

=

= − + +

On retrouve dans ce modèles les caractéristiques communes avec celles du modèle

précédent, pour plus de détail voir Longstaff[51].

Une autre évolution possible du modèle CIR consiste à introduire une structure de

volatilité dépendant exponentiellement du niveau de prix, Chan--Karolyi-Longstaff-

Sanders[17] (CKLS) proposent la formulation suivante :

( )dS S dt S dWγα β σ= + +

En terme de « retour à la moyenne », le processus oscille autour du niveau -β/α et

-β représente la force de rappel. Enfin le paramètre γ défini la sensibilité de volatilité

vis a vis du niveau de prix S, le modèle CIR correspond au cas γ=0.5.


28

4. Evaluation des prix Future / Forward

Nous rappelons ici des résultats généraux concernant le pricing de produits dérivées

ou actif conditionnel (contingent claims), implicitement toutes les évaluations se

baseront sur un marché « risque neutre » quitte à rajouter une prime de risque.

Soit H(T) ≡ H(T,S(T)), le pay-off d’un contrat à maturité T indicé sur un actif S, le

résultat principal en théorie des martingales équivalentes (Cf Aase [0], Cox and

Ross[16], Harrison and Kreps[40] et Harrison and Pliska [41]) est que la valeur de ce

contrat qui est une fonction du prix de l’actif à maturité T, peut s’exprimer sous la

forme suivante :

( ) *( , ) [ ( )]r T t

t t tg G S t e E H T− −= =

Où r désigne le taux d’intérêt en l’absence d’arbitrage , supposé ici constant.

Ainsi, sous l’hypothèse d’absence d’arbitrage (marché « risque neutre ») , la valeur

tg du contrat à l’instant t peut être vue comme l’anticipation du montant du pay-off à

maturité T sachant l’information disponible à l’instant t, actualisée par le taux d’intérêt

r sur la période [t,T].

Plus généralement, en reprenant les formulations du lemme 1 et du corollaire 2

donnés dans Duffie & Stanton[29].


29

Proposition 1:

Sous l’hypothèse de l’absence d’arbitrage, la valeur sur le marché gt d’une directive

de sécurité payant un dividende dτ pour tout τ dans l’intervalle [t,T], et ayant un

payoff hT = H(ST) à la maturité T, est donnée par :

ˆ( , ) ( , )ˆ ˆ( , ) ( ) ( , )

T s

t tTR S d R S d

t t t T t st

g G S t E H S e E D S s e dsτ ττ τ τ τ− − ∫ ∫= = +

∫

)

où :

Le processus S est défini par :

ˆ

ˆ ˆ ˆ( , ) ( , )

t tS S

dS S d S dWτ τ τ τµ τ τ η τ

=

= +

Le dividende instantané dτ est défini par :

d ( , )D S IRτ τ τ= ∈

Le taux d’actualisation risque neutre instantané est défini par :

( , )r R S IRτ τ τ += ∈


30

Proposition 2 :

Les prix Future (Ft) et Forward (Lt) pour la livraison d’un sous-jacent PT=P( S T,T) à la

maturité T sont donnés pour tout temps t par :

ˆ ˆ( , ) ( , )

ˆ( , ) ( , )

ˆ( , ) /

T T

t t

t t t T

R S d R S d

t t T t

F F S t E P S T

L E P S T e E eτ ττ τ τ τ− −

= =

∫ ∫ =

Nous allons maintenant appliquer cette proposition aux modèles de base que nous

avons présenté précédemment..

Mouvement Brownien Arithmétique

Nous considérons la formulation suivant dans l’univers risque neutre :

t tdS bdt dBσ= +

Il est utile d’écrire la forme intégrale de cette équation :

00 0

t t

t tS S bdt dBσ= + +∫ ∫

En appliquant la proposition 2, le calcul du prix des Futures est alors immédiat :

0 0 0ˆ( , )TF E P S T S bT = = +


31

Mouvement Brownien Géométrique

Nous supposons que dans l’univers risque neutre, la prime de risque est constante et

que le modèle prend la forme suivante :

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (GBM)

(0)

dS t b t S t dt t S t dW t

S S

σ= +

=

On sait calculer explicitement une solution de (GBM) :

t t

s0 0[ ( ) 0.5 ²( )] (s)dW

0 b s s ds

tS S eσ σ− +∫ ∫=

Dans le cas où les fonction b et σ sont constantes (Cf Annexe 1):

( 0.5 ²)

0 tb t W

tS S e

σ σ− +=

En utilisant la proposition 2, le prix Future est alors donné par :

( 0.5 ²)

0 0 0 0

( 0.5 ²) ( 0.5 ²) 0.5 ²

0 0 0

0

ˆ( , ) T

T

b T W

T

Wb T b T T

bT

F E P S T E S e

S e E e S e e

S e

σ σ

σσ σ σ

− +

− −

= =

= =

=

Concrètement, l’évolution de la courbe des prix Futures pour différentes maturités et

un prix de départ fixe est purement exponentielle.


32

Modèle de Vasiceck

Supposons que dans l’univers risque neutre, la formulation du processus soit donnée

par l’équation suivante :

0

( )

(0)=

dS S dt dW

S S

α µ σ= − +

On sait calculer explicitement la solution de cette équation (Cf Annexe 2):

( )

00

(1 )t

t t s t

t sS S e e e dWα α αµ σ− − −= + − + ∫

En utilisant la proposition 2, le prix des Futures est donné par :

( )

0 0 0 00

0 0 0

ˆ( , ) (1 )

(1 ) (1 )

TT T s T

T s

T T T T

F E P S T E S e e e dW

E S e e S e e

α α α

α α α α

µ σ

µ µ

− − −

− − − −

= = + − +

= + − = + −

∫

Posons 0Sε µ= − qui définit l’écart entre le prix initial et le niveau d’équilibre à long

terme, alors l’expression précédente prend la forme simplifiée :

0

TF e αε µ−= +

On retrouve encore ici une évolution purement exponentielle


33

Modèle de Cox-Ingersoll-Ross

Compte tenu des remarques qui ont été données précédemment, on suppose que la

prime de risque n’est pas constante et est proportionnelle à ( )S t , dans l’univers

risque neutre, le modèle considéré est supposé défini par l’équation suivante :

( ) (C.I.R.)dS S dt S dWκ α σ= − +

A partir de cette dernière équation, on sait calculer analytiquement l’espérance

conditionnelle et donc le prix des Futures :

[ ]0 0 0( ) ( ) ( )T T TE S T e S e S eκ κ κα α α α− −= + − = + −

On constate que l’on obtient une expression des prix Futures identique à celle

obtenue dans le cas précédent. La différence vient de la prime de risque que l’on a

supposée ici non constante et proportionnelle à ( )S t .


34

PPPaaarrrtttiiieee 333 ::: AAAuuutttooouuurrr dddeeesss mmmooodddèèèllleeesss ààà 111 fffaaacccttteeeuuurrr

Les modèles précédent sont bien évidemment des modèles à un facteur (le prix spot

est déterminé à partir d’une seule variable : lui même), nous étudions dans cette

section les modèles qui ont été développés dans le cadre de la modélisation des prix

spot de l’électricité.

1. Modèle à niveau d’équilibre variable

Dans cette approche tout l’art de la modélisation consiste à introduire le caractère

saisonnier des prix tant au niveau des heures, des jours et des saisons dans le

niveau d’équilibre à long terme supposé déterministe d’ un processus « mean-

reverting » .

Un exemple est donné par Knittel & Roberts[47], qui proposent de définir ce niveau

d’équilibre à long terme à partir d’une somme de fonctions indicatrices associées:

aux périodes Peak / OffPeak

aux week-ends

aux saisons

La dynamique du processus de prix est alors définie par :

( ( ) )t t t

dS t S dt dWκ µ σ= − +


35

et le niveau d’équilibre à long terme µ est donné par :

1 2 3 4 5 6( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )Peak OffPeak Weekend Automne Hiver Eté

t t t t t t tµ α α α α α α= + + + + +

Une manière alternative peut aussi consister à utiliser des fonctions sinusoïdales,

ainsi dans le cas du processus ‘d’Ornstein-Uhlenbeck Etendu » défini par Gran[37]

celui-ci est alors défini par :

( ) sin(2 )d t m a tµ π φ= + +

Cette dernière définition a ici plus la vocation de modéliser des variations dues aux

saisons.

Cette famille de processus de retour à la moyenne, peut être vue comme un cas

particulier de la classe des modèle à 1-facteur définie par Lucia & Schwartz[52] que

nous présentons maintenant.

2. Les modèle à un facteur de Lucia-Schwartz

Dans leur approche, Lucia & Schwartz[52] proposent deux modèles à un facteur

intégrant une composante déterministe.


36

a. Modèle basé sur le prix spot

Le premier modèle proposé est basé directement sur le prix spot, la composante

déterministe qui est introduite est ici supposée additive, le modèle prend la forme

suivante :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (O.U.)X X

S t f t X t

avec

dX t X t dt dZ tκ σ

= +

= − +

Intuitivement, le processus de prix est formulé à partir :

d’un processus « stable » et purement déterministe : la fonction f(t) qui est

composée

o d’une tendance

o de comportements périodiques

o d’ échelons (sommes de fonctions indicatrices) dépendants des

saisons.

et d’un processus aléatoire représentant les variations incertaines donné par

l’équation (O.U.)

A partir de la définition ci-dessus, on peut en déduire l’équation de la dynamique du

modèle de prix:

( ) ( ) (SDE1)X Xd S f f S dt dZκ σ− = − +


37

Le processus U=S-f est donc un processus « mean-reverting » oscillant autour de 0.

Plus précisément on peut écrire à partir de l’équation précédente :

1 ( )( ( ) ) X

t t t

df tdS f t S dt dW

dtκ σ

κ= + − + (Cf Annexe 4)

Par conséquence, S va osciller autour de la fonction déterministe :

1 ( )( ) ( )

df tt f t

dtµ

κ= +

D’autre part, la forme du modèle restant assez simple, on peut calculer sans trop de

difficultés une solution explicite de (SDE1), la forme analytique de cette solution est

donnée par :

( )

0

0

( ) ( ) ( )

t

t s t

X XS t f t X e e dZ sκ κσ− −= + + ∫

On en déduit les expression des espérances et variances conditionnelles sachant

l’information disponible à l’instant initial :

0 0

2

0

[ ( )] ( )

²( ( )) (1 )

2

t

t

E S t f t X e

Var S t e

κ

κσ

κ

−

−

= +

= −

On remarque en particulier que cette variance est une fonction décroissante du

temps et que la fonction f a un impact direct sur la moyenne.


38

Prix Forwards et contrat Forward

Dans le but d’évaluer le prix de produits dérivés, nous devons maintenant placer le

processus dans un univers de probabilité risque neutre (Duffie [31]).Ainsi, dans cet

univers les auteurs expriment la dynamique du processus de prix S par :

( )t tdS S dt dZκ α σ= − +

avec /α λσ κ= − , le processus Z représente un mouvement Brownien sous la

probabilité risque neutre et le paramètre λ (que l’on suppose ici constant) dénote le

prix du marché par unité de risque lié à la variable d’état X.

Remarque : Dans le cas général, on pourra supposer que λ est une fonction de la

variable S et du temps t.

La solution explicite de l’équation du modèle dans l’univers risque neutre est donc

donnée par :

( )

0

0

( ) ( ) (1 ) ( )

t

t t s t

X XS t f t X e e e dZ sκ κ κα σ− − −= + + − + ∫

A partir de cette expression, on en déduit l’expression de l’espérance conditionnelle

(dans l’univers risque neutre) sachant l’état initial :

0 0[ ( )] ( ) (1 )t tE S t f t X e e

κ κα− −= + + −

Ce calcul d’espérance donne en fait la valeur des prix Forward à la maturité t sachant

l’information disponible au temps 0.

Nous utilisons maintenant les résultats évoqués pour l’évaluation de la valeur d’un

contrat Forward à maturité T sur le prix spot.


39

Cette valeur est donné par :

0 0 0( , ) [ ( , )]rT

T TS T e E S F S Tν −= −

Où ici 0 0( , )F S T représente le prix à t=0 d’un contrat Forward de maturité T. Comme la

valeur d’un contrat Forward doit être égale à 0 à t=0, on obtient :

0 0 0 0

0

( , ) [ ] ( ) (1 )

( ) ( (0)) (1 )

T T

T

T T

F S T E S f T S e e

f T S f e e

κ κ

κ κ

α

α

− −

− −

= = + + −

= + − + −

Modèle basé sur le log du prix spot

Le deuxième groupe de modèles que proposent Lucia & Schwartz [52], consiste à

travailler avec le logarithme des prix spot (i.e. le rendement).

( ) ( )t t

Log S f t X= +

Ici, f représente encore une fonction périodique du temps, un exemple type est

donné dans Culot[], qui choisi de la décomposer :

- en tendance (droite affine)

- en composante hebdomadaire

- en cycles (somme de fonctions trigonométriques)

X est un processus stochastique dont la dynamique suit celle d’un processus

« mean-reverting » :

( ) ( ) ( ) (O.U.)dX t X t dt dZ tκ σ= − +

avec 0κ >


40

On peut exprimer alors la dynamique du prix spot S qui vérifie :

( ( )) (SDE2)dS b Log S Sdt Sdtκ σ= − +

avec

1 ²( ) ( ) ( )

2

fb t t f t

t

σ

κ

∂ = + +

∂

Ici la dynamique est celle d’un processus « mean-reverting » dont le caractère

d’oscillation n’est plus gouverné par le prix spot comme dans le modèle précédent mais

par son logarithme.

Ici comme S suit une distribution lognormale, il n’est pas nécessaire de calculer

explicitement la solution de SDE2 pour le calcul des espérance et variance

conditionnelles, on utilisera plutôt les propriétés sur l’espérance et la variance des

variables aléatoires lognormales.

Ainsi, on obtient pour l’espérance conditionnelle sachant l’information disponible à

l’instant initial, l’expression analytique suivante :

( )

0 0 0

22

0

1( ) exp [log( )] [log( )]

2

exp ( ) (log( ) (0) (1 ))4

t t t

t t

E S E S Var S

f t S f e eκ κσ

κ− −

= +

= + − + −

et pour la variance conditionnelle :

( )0 0 0 0

2

0

( ) exp 2. [ ( )] [ ( )] .[exp( [ ( )]) 1]

²( )² exp( (1 )) 1

2

t t t t

t

t

Var S E Log S Var Log S Var Log S

E S e κσ

κ−

= + −

= − −


41

Prix Forwards

Toujours en se plaçant dans un univers de non arbitrage par l’inclusion d’une prime de

risque , la dynamique du processus X est supposée prendre la formulation:

( )t tdX X dt dZκ α σ= − +

avec /α λσ κ= −

Le processus Z représente un mouvement Brownien sous la probabilité risque neutre

et le paramètre λ (que l’on suppose ici constant) dénote le prix du marché par unité

de risque lié à la variable d’état X.

On peut alors écrire une solution explicite pour le processus Log(S)

( )

0

0

( ( )) ( ) (1 ) ( )

t

t t s tLog S t f t X e e e dZ sκ κ κα σ− − −= + + − + ∫

En utilisant l’expression de l’espérance conditionnelle calculée dans la partie précédente

et les propriétés des variables aléatoires lognormales, on en déduit l’expression de

l’espérance conditionnelle du prix spot dans l’univers risque neutre :

( )2

2

0 0( ) exp ( ) (log( ) (0) (1 ) (1 ))4

t t t

tE S f t S f e e eκ κ κσα

κ− − −= + − + − + −

et par conséquent le prix Forward est donné par :

( )2

2

0 0 0 0( , ) [ ] exp ( ) (log( ) (0) (1 ) (1 ))4

T T T

TF S T E S f T S f e e eκ κ κσ

ακ

− − −= = + − + − + −


42

PPPaaarrrtttiiieee 444 ::: LLLeeesss mmmooodddèèèllleeesss mmmuuullltttiii---fffaaacccttteeeuuurrrsss

Les modèles à plusieurs facteurs rajoutent de la flexibilité en introduisant plusieurs

sources d’incertitude. En particulier, on va retrouver cette flexibilité dans la variété

des forme que va pouvoir prendre la courbe des taux de ces modèle. Ainsi des effet

du type combinaison de Contango et Backwardation vont être possible.

La contrepartie au gain de flexibilité est malgré tout présente puisqu’en effet on perd

en observabilité, ce qui est encore plus vrai pour la généralisation au cas des

modèles multifacteur.

1. Modèle à deux facteurs de Lucia-Schwartz

A l’instar des modèle à 1 facteur, deux approches sont proposées :

additive (modélisation basée sur le prix spot)

multiplicative (modélisation basée sur le log du prix spot)

a. Modèles basés sur le prix Spot

Le modèle à un facteur de Lucia-Schwarz[52], peut être étendu à un modèle à deux

facteurs composé :

d’un niveau d’équilibre à long terme, modélisé par un mouvement Brownien

arithmétique

d’une composante à court terme modélisée par un processus Mean-Reverting

d’une composante déterministe périodique


43

La dynamique du modèle est donnée par la formulation suivante :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (O.U.)

( ) ( ) (AMB)

X X

S t f t X t t

avec

dX t X t dt dZ t

d t dt dZ tε ε

ε

κ σ

ε µ σ

= + +

= − +

= +

Les deux processus de Wiener et XdZ dZε peuvent être supposés corrélés selon la

relation :

.XdZ dZ dtε ρ=

Dans l’univers risque neutre, les auteurs supposent que le modèle prend la forme

suivante :

*

( ) ( ( )) ( )

( ) ( )

X XdX t X t dt dZ t

d t dt dZ tε ε

κ α σ

ε µ σ

= − − +

= +

Ici, /X Xα λ σ κ= − et * ε εµ µ λ σ= − où les paramètres .λ ont la même signification que

précédemment.

En utilisant les formulations de X et ε on peut exprimer analytiquement le prix spot

( )

0 * 0

0 0

( ) (1 ) ( ) ( )

t t

t t s t

t X XS f t X e e e dZ s t dZ sκ κ κ

ε εα σ µ σ ε− − −= + + − + + + +∫ ∫En suivant les démarches précédentes, on en déduit l’expression du prix des

Forwards :

0 0 * 0( , ) ( ) (1 )T TF S T f T X e e T

κ κα µ ε− −= + + − + +

Cette dynamique est discutable (Cf annexe 7bis)


44

b. Modèle basé sur le log du prix spot

Tout comme dans le cas des modèles à un facteur, on s’intéresse au modèle à deux

facteurs de Lucia-Schwartz[52] basé sur le log du prix spot.

Ce modèle est défini par :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (O.U.)

( ) ( ) (ABM)

t

X X

Log S f t X t t

avec

dX t X t dt dZ t

d t dt dZ tε ε

ε

κ σ

ε µ σ

= + +

= − +

= +

Les deux processus de Wiener et XdZ dZε peuvent être supposés corrélés selon la

relation :

.X

dZ dZ dtε ρ=

Dans l’univers risque neutre, la dynamique des processus X et ε définie par les

auteurs prend la forme suivante :

*

( ) ( ( )) ( )

( ) ( )

X XdX t X t dt dZ t

d t dt dZ tε ε

κ α σ

ε µ σ

= − − +

= +



45

Pour le calcul de l’espérance conditionnelle dans cette univers risque neutre on

utilise les propriétés des variables Lognormales.

0 0[ ( )] 0.5 [log( )]

0 ( ) t tE Log S Var S

tE S e

+=

et

0 0 0( [ ( )] [ ( )]) [ ( )]

0[ ] .( 1)t t tE Log S Var Log S Var Log S

tVar S e e+= −

D’autre part on à les résultats suivants (cf Annexe 5):

0 0 * 0[ ( )] ( ) (1 )t t

tE Log S f t X e e tκ κα µ ε− −= + + − + +

et

2

0

(1 )²[ ( )] (1 ) ² 2

tt XX

t

eVar Log S e t

κκ ε

ε

σ σ ρσσ

κ κ

−− −

= − + +

On en déduit alors l’expression pour les prix Forward/Future.

0 0[ ( )] 0.5 [log( )]

0 0 0

2

0 * 0

2

0 * 0

( , ) [ ]

(1 )²exp ( ) (1 ) 0.5 (1 ) ² 2

² ²exp ( ) (1 ) (1 )

2 2

t tE Log S Var S

T

TT T T XX

T T TX X

F S T E S e

ef T X e e T e T

f T X e e T e

κκ κ κ ε

ε

κ κ κε ε

σ σ ρσα µ ε σ

κ κ

σ σ ρ σ σα µ ε

κ κ

+

−− − −

− − −

= =

−= + + − + + + − + +

= + + + − + + + + −


46

2. Le modèle à deux facteur de Pilipovic

Ici, les auteurs supposent que sous l’hypothèse de non arbitrage la dynamique du

prix spot est définie par le système :

1

2

( )dS L S dt SdW

dL Ldt LdW

α σ

µ γ

= − +

= +

Où 1et ²dW dW sont les incréments indépendants de deux mouvements Brownien

Standard supposés non corrélés:

1 ² 0dW dW = .

Ici, le deuxième facteur L est le prix d’équilibre à long terme qui est supposé suivre

une distribution Log normale.

Dans le modèle l’espérance est donnée par l’expression (cf Annexe 6):

( )0 0 0( ) T T T

TE S S e L e eα µ αα

α µ− −= + −

+

Le prix Forward à maturité T calculé à partir de cette espérance conditionnelle et de

l ‘état initial t=0, est alors donné par (cf Pilipovic[56]) :

( ) ( )

0 0 0

T T

TF S L e L e

α λγ µ λγα α

α µ α µ− + −

= − + + +

où λ représente la prime de risque associée au prix spot S.


47

3. Le modèle de Gibson & Schwartz

Dans leur modèle à deux facteurs, Gibson & Schwartz [35] introduisent la notion de

convenience yield (dividende associé à la possession d’une unité de commodité)

désigné par le facteur C dont la dynamique est supposé stochastique. Ce modèle a

été étendu par Schwarz [70], qui propose d’inclure directement ce facteur dans la

dynamique du prix spot S

La dynamique du prix est représentée par le système :

1

2

( )

( )

S

C

dS C Sdt SdW

dC C dt dW

µ σ

κ α σ

= − +

= − +

Le prix spot suit ici la dynamique d’un mouvement Brownien géométrique avec dérive

stochastique.

Ici 1 et ²dW dW désignent les incréments corrélés de deux mouvements Brownien

Standard:

1 ²dW dW dtρ=

Dans ce modèle, la commodité est définie comme étant un actif retournant un

convenience yield stochastique. Par conséquent, le facteur de risque ajusté au prix

de la commodité sera r-C. Comme le risque associé au convenience yield (non

observable) ne peut pas être couvert, le processus ajusté au risque définissant C,

devra prendre en compte le prix de ce risque définit par le marché.


48

Ainsi, dans l’univers risque neutre Gibson & Schwartz[35] considèrent que la

dynamique du processus prend la forme suivante :

1

2

( )

[ ( ) ]

S

C

dS r C Sdt SdW

dC C dt dW

σ

κ α λ σ

= − +

= − − +

et λ représente le prix sur le marché du risque associé au convenience yield

supposé constant.

Ici 1 et ²W W représentent maintenant les processus d’incertitude en l’absence

d’arbitrage.

Soit F(S,C,t,T) le prix Forward, nous utilisons les résultats précédent pour son

évaluation. Ainsi, F est donné par l’anticipation sous la probabilité risque neutre du

prix spot à l’échéance T sachant l’information au temps t:

( , , , ) ( ( ))t

F S C t T E S T=

Alternativement, on peut se ramener à un calcul du type Feynman-Kac en appliquant

la formule d’Ito à F.

Posons G=log(S), G a une distribution normale, son expression à la maturité T est

donnée par (cf Annexe) :

11( ) ( ) ² ( ) ( )

2

T T

S St t

G T G t r T t C s ds dWσ σ

= + − − − +

∫ ∫

, et grâce aux propriétés des distributions log-normale, on peut écrire :

( ( )) 0.5 ( ( ))( , , , ) ( ( )) (exp( ( ))) t tE G T Var G T

t tF S C t T E S T E G T e+= = =



49

On se ramène donc à un calcul de variance et d’espérance conditionnelle.

On trouve ainsi (cf Annexe 7):

( )1 1[ ( )] ( ) ² ( ) [ ( ) ].

2

T t

t S

eE G T G t r T t C t

κ

σ α ακ

− −− = + − + − − −

et

( )2

0

² ² 2[ ( )] (1 ) (1 2 ) ² 1

2 ²

T T TC C S CSVar G T e T e e

κ κ κσ σ ρσ σκ σ κ

κ κ κ− − −

== − + − + − −

4. Le modèle à 3 facteurs de Schwartz

Suivant l’approche de Schwartz [70], le modèle précédent peut être étendu en

rendant variable le niveau d’équilibre à long terme µ et donc en introduisant un

troisième facteur. On obtient alors un modèle largement utilisé, dont la dynamique

est donnée par le système différentiel suivant :

1

2

3

( )

( )

( )

S

C C C

dS C Sdt SdW

dC C dt dW

d dt dWµ µ µ

µ σ

κ α σ

µ κ α µ σ

= − +

= − +

= − +

On suppose de plus que les mouvement Browniens sont corrélés :

1 2

12

2 3

23

3 1

13

dW dW

dW dW

dW dW

ρ

ρ

ρ

=

=

=

Nous renvoyons à Schwartz [70], pour l’expression des prix Forward/Future qui

prennent une forme assez complexe.


50

PPPaaarrrtttiiieee 555 ::: MMMooodddèèèllleeesss ààà sssaaauuutttsss

Les modèles précédent ont le défaut de ne pas introduire des variations brusques ou

pics de prix.

Un moyen d’introduire ce type de caractéristique, consiste à rajouter une composante

dite « à saut » représentée usuellement par un processus de Poisson : communément

nous sommes dans l’approche classique

Cette approche tend à se généraliser au travers des processus de diffusion affine à saut

(AJD : Affine Jump Diffusion). L’avantage certain de s’orienter vers cette famille de

processus provient des résultats qui ont été développés dans le cadre de l’évaluation

des prix Forward / Future.


51

1. Les modèles à sauts : approche classique

Une famille particulière de processus aléatoires est celle des processus à sauts. Ces

processus permettent d’introduire de brusques variations (« sauts ») dans les

modèles et introduisent la notion d’évènements rares.

Le graphique ci-dessous montre l’évolution du spread entre le prix d’offre et le prix

cible, lors de la tentative d’achat de la chaîne de restaurant Dave&Buster par

Management Led Group en 2002. Ce spread exhibe successivement des sauts à la

hausse et à la baisse

Dave&Buster/Management Group

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

145

Takeover Period

Sp

read

Spread

Figure 8: Fusion / Acquisition Dave&Buster / Management Led Group, spread Prix d'offre /

Cible

Une manière assez naturelle d’intégrer dans un modèle de brusques variations, est

d’introduire un ou plusieurs processus de Poisson.

On définit en particulier les Processus de Poisson Gaussiens (PGP : Poisson

Gaussian Processes) ou processus de Diffusion à sauts :

( , ) ( , )dS a S t dt b S t dW dqφ= + +


52

où a et b sont des fonctions du temps et de S, dW est l’incrément d’un mouvement

Brownien Standard, dq est un terme de Poisson défini par dq=0 avec probabilité 1-λ

et dq=1 avec probabilité λ, le paramètre λ mesure donc la fréquence des sauts et φ

représente l’amplitude des sauts qui peut être aléatoire.

Dans un cadre plus général, on peut introduire des sauts négatifs avec la formulation

suivante :

( , ) ( , )dS a S t dt b S t dW dq dqφ φ+ + − −= + + +

Ici, dq+ et dq- sont des termes de Poisson définissant les sauts à la hausse et à la

baisse :

dq+=0 avec probabilité 1-λ+ et dq+=1 avec probabilité λ+

dq-=0 avec probabilité 1-λ- et dq-=1 avec probabilité λ-

et les paramètres φ+ et φ- représentent les amplitudes de ces sauts.

a. Exemple 1 : GBM + saut

Un des modèles les plus simples consiste à partir d’un mouvement Brownien

géométrique et à rajouter un processus de Poisson :

tt t t

t

dSdt dW dN

Sµ σ γ= + +

Ici :

S = prix spot

γ= amplitude des sauts

N = processus de Poisson de paramètre λ

W=mouvement Brownien standard


53

Les sources de risque W, N et γ sont supposées indépendantes et définies sur un

même espace de probabilité.

Une solution explicite est donnée par Merton [54] (cf Annexe 8) :

0tV

tS S e=

avec :

( )

1

( 0.5 ²) où (1 )j

N t

t t j j t

j

V t W Y Y Logµ σ σ γ=

= − + + = +∑

Les constructions autour de ce modèle, se distinguent par les distributions choisies

pour l’amplitude des sauts :

log-normale (Merton[54])

double exponentielle (Kou[48])

Dans les deux cas des calcul de prix d’option sont obtenus à partir des propriétés de

ces distributions.

b. « Mean reversion » + sauts

Le deuxième type de modèle fondamental découle de la formulation de Vasicek, la

description de sa dynamique est donnée par l’expression suivante (Clewlow et

Strikland [21] :

( ( )). . . .m

dS K Log S S dt SdW K S dqα µ ϕ σ= − − + +


54

Les paramètres de ce modèle sont les suivants :

α = force de rappel

µ = niveau d’équilibre/rappel à long terme en l’absence de sauts

σ = volatilité du prix spot

K = sauts avec distribution log-normale : Ln(1+K)~N(Ln(1+Km)-γ²/2, γ²)

Km=taille moyenne des sauts

γ=volatilité des sauts

ϕ = moyenne du nombre de sauts par an

dq = processus de Poisson

Ce modèle prend en compte les perturbations induites par la diffusion SdWσ et les

sauts . .K S dq par rapport à la dérive ( ( )). .mK Log S S dtα µ ϕ− − .

Le premier terme de la partie droite de cette équation décrit la trajectoire du prix spot

en tant que processus « mean-reverting », le terme mKϕ est un terme de

compensation permettant la prise en compte des sauts.

2. Première généralisation : les modèles AJD

Les deux modèles de base qui viennent d’être présentés font partie d’une classe plus

générale de processus que sont les modèles affine de diffusion à sauts (AJD : Affine

Jump Diffusion). A partir de cette famille nous présentons la méthode générale

développée par Duffie, Pan et Singleton [30] afin d’évaluer les produits dérivés

associés. Dans le cadre des prix au comptant de l’électricité, les modèles AJD ont

été utilisés notamment par Culot[26] et Villaplana[76] qui ont étudié des cas

particuliers permettant l’évaluation des prix Forward / Future.

a. Généralités

Nous fixons un espace de probabilité et considérons la famille de processus définie

par la dynamique suivante sur un espace d’état nD IR⊂ :


55

( ) ( ) ( )dX X dt X dW JdZµ σ λ= + +

Dans cette espace de probabilité, nous supposons que le processus X est processus

de Markov par rapport à la filtration t

ℑ , W est un Mouvement Brownien Standard et

JdZ un processus à saut « pur » (« pure jump process ») dont les sauts ont une

amplitude J suivant une distribution de probabilité ν sur IRn fixe et arrivent avec une

fréquence ( ), 0tX tλ > . Nous supposons d’autre part que Xo est connu.

Intuitivement, µ et σ représentent la dérive et la volatilité du processus en l’absence

de sauts.

Suivant l’approche de Duffie, Pan et Singleton[30], (une formulation similaire est

aussi donnée dans Bjork et Landen[12] )les processus AJD sont définis en imposant

des contraintes de dépendance affine sur les paramètres définissant cette famille de

processus qui sont les suivantes :

0 1

, 0 , 1 ,

0 1

n n x n n n x n x n n

0 1 0 1 0 1

( )

( ( ) ( ) ) ( ) ( )

( )

où K=(K ,K ) IR xIR , H=(H ,H ) IR xIR , et l=(l ,l ) IRxIR

t

i j i j i j

X K K X

X X H H X

X l l X

µ

σ σ

λ

= +

= +

= +

∈ ∈ ∈

On impose de plus une condition similaire sur le taux d’actualisation sans risque R :

n

0 1 0 1( ) avec ( , ) IR x IRR X Xρ ρ ρ ρ ρ= + = ∈

Considérons la fonction θ définie sur nIR :

( ) ( ) ( )n n

cz cz

IR IR

c e d z e g z dzθ ν= =∫ ∫


56

où g est la densité associée à ν. Cette fonction est la fonction caractéristique de la

distribution que suit l’amplitude des sauts, il semble avantageux d’utiliser des

distributions pour lesquelles la fonction θ soit aisément calculable.

Posons A=(K,H,l,θ,ρ), ce vecteur permet de caractériser entièrement la distribution

du processus X ainsi que son caractère discontinu (sauts) sachant son état initial Xo.

A détermine de plus la transformation : : x x x Dψ + + → définie par :

0

( )

( , , , ) e . |

T

s

T

R X dsuXA

tu X t T E e Fψ

∫ =

(F.C.)

où EA dénote l’opérateur d’espérance conditionnelle sous la distribution de X

déterminée par A.

Remarque :

- Cette fonction sera cruciale dans l’évaluation des prix Forward / Future

comme nous le verrons plus tard, en particulier celle-ci est utilisée pour définir

le pay-off.

- Cette fonction définie par l’equation (F.C.) est une version simplifiée de celle

utilisée par Duffie, Pan et Singleton [30], les auteurs considèrent en effet

( )0

( )

0 1( , , , ) e . |

T

s

T

R X dsuXA

T tu X t T E d d X e Fψ

∫ = +


57

- Plus généralement, Culot[] a étendu les résultats développés par Duffie, Pan

et Singleton [30], à une famille beaucoup plus générale définie par

( )0

( )

( , , , ) e ( ) . |

T

s

i T

R X dsuXA

T i T t

i

u X t T E f X d X e Fαψ

∫ =

∑

où f est une fonction telle qu’il existe un entier m et un réel p>1 en sorte que

( )1 ² ( ) ( )m p

x f x L−

+ ∈

Revenons sur (F.C, Duffie, Pan et Singleton [30] ont alors prouvé que sous certaine

conditions techniques, la structure affine définissant X implique une expression

exponentielle pour la fonction ψ qui est la suivante :

( , , ) ( , , )( ( , , ) )( , , , )

u t T u t T Xu t T X représente un produit scalaireu X t T e

α ββψ +=

où α et β vérifient les équations de Riccati ci-dessous :

.

0 0 0 0

.

1 1 1 1

1( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ( )) 1]

2

1( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ( )) 1]

2

T T

T T

t K t t H t l t

t K t t H t l t

α ρ β β β θ β

β ρ β β β θ β

= − − − −

= − − − −

avec les conditions aux bornes : α(T) = 0, et β(T) = u.

Pour plus de généralité, Duffie, Pan et Singleton[30] étendent la formulation au cas

des processus à « sauts multiples » . Ils considèrent donc que le processus X est

composé de m processus à saut de type i (i=1..m), dont chaque type i évolue suivant

une distribution νi avec une intensité λi (X,t) définie par :

0 1( , ) ( ) ( )i i

i x t l t l t xλ = +


58

La fonction caractéristique θ étant alors définie comme un m-uplet :

1 2( , ,..., )mθ θ θ θ= avec 1.. , c , ( , ) exp( . ) ( )n

n i i

ti m c t c z d zθ υ∀ = ∀ ∈ = ∫

Avec cette définition, les équation vérifiées par α et β deviennent :

.

0 0 0 0

1

.

1 1 1 1

1

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ( ), ) 1]

2

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ( ), ) 1]

2

mT T i i

i

mT T i i

i

t K t t H t l t t t

t K t t H t l t t t



=

=

= − − − −

= − − − −

∑

∑

b. Connexion avec les prix Futures

Nous supposons ici que le prix spot est obtenu à partir d’une variable d’état X

appartenant à la classe des processus définie ci-dessus. Nous posons :

Log(S)=u.X

Ainsi nous utilisons des processus de prix sous une forme exponentielle. Cette

approche est notamment motivée par les travaux de Culot, qui après une discussion

intéressante sur la notion d’univers risque neutre et ses conséquences sur les

modèles, montre qu’il existe une famille de martingale exponentielles engendrant

une mesure de probabilité Q telle que sous celle-ci, la structure AJD est préservée.

Faisant l’hypothèse que le taux d’actualisation sans risque est constant (R=r), sous

l’hypothèse de l’absence d’arbitrage, les prix Future / Forward à maturité T, sont

donnés par l’anticipation du prix au comptant à la maturité T conditionnée par

l’information disponible à l’instant t, formellement :

( , , ) ( )Q

T t TF t T S E S=


59

On a alors successivement :

( )( , , ) ( ) ( ) ( )

( ) ( , , , )

T

T

Log SQ r Q r r Q r

T t T t T t

uXr Q r r

t

F t T S E S e E e S e E e e

e E e e e u X t T

τ τ τ τ

τ τ τψ

− −

−

= = =

= =

Par conséquent, pour chaque modèle, nous devons calculer l’expression de ψ

i. Exemple : modèle O.U. + sauts

Dans ce modèle étudié par Villaplana[76] , l’évolution du prix spot de l’électricité sous

la mesure empirique est définie par :

( ) ( )

( , ²) ( )

t t

t t X X J

Log S f t X

dX X dt dW J dNκ σ µ σ λ

= +

= − + +

Sous la mesure équivalente donnant la propriété de martingale, nous devons

inclure :

la prime de risque mesurée par le marché associé au prix

une prime de risque relative à l’amplitude moyenne des sauts (µ)

une prime de risque relative à l’occurrence moyenne des sauts (λ)

Dans l’univers risque neutre, selon la formulation de Villaplana[76], la dynamique du

modèle est :

( ) ( )

( ) * ( *, ²) ( *)

t t

t X t X X J

Log S f t X

dX X dt dW J dNφ κ σ µ σ λ

= +

= − + + +


60

Remarque :

- Les paramètres et X X

φ σ sont supposés constant

- Dans ce modèle , par rapport à celui de la page 52 , une composante

saisonnière a été rajoutée, représentée ici par la fonction f.

Cas d’une distribution gaussienne pour la magnitude des sauts (Cf Annexe 9-A)

Sous cette hypothèse, les prix Future / Forward découlent du calcul de l’expression

de ψ, on obtient la formulation suivante en terme de logarithme :

( )

( )

( ) 2 ( )

( ) 2 ( )

( ( , , )) ( ) ( , ) ( , )

1( , ) 1 ² (1 )

4

( , ) exp 0.5 ²

T T

T t T tXX

T

T s T s

J J

t

Log F t T S f T A t T B t T X e

avec

A t T e e

B t T e e ds

κτ

κ κ

κ κ

λτ

φσ

κ κ

λ µ σ

−

− − − −

− − − −

= + + − +

= − − + −

= +∫

La représentation en log est intéressante, car permettant de discerner un facteur

saisonnier et le facteur B associé aux sauts.

Cas où deux types de sauts sont présents (cf Annexe 9-B)

Dans le présent modèle, nous allons considérer des sauts à la hausse (up) et des

sauts (down) à la baisse, l’amplitude de chacun suivant une distribution

exponentielle. Les deux processus de sauts sont supposés indépendants.

En univers risque neutre, la dynamique du modèle est donnée par :

( ) ( )

( ) * ( * ) ( *) ( * ) ( *)

t t

t X t X X u u u d d d

Log S f t X

dX X dt dW J dN J dNφ κ σ η λ η λ

= +

= − + + + +


61

Ici les amplitudes des sauts à la hausse et à la baisse Ju et Jd, suivent une

distribution exponentielle de moyenne ηu et ηd respectivement.

Ici l’expression des termes α et β va prendre en compte l’influence de ces deux types

de sauts :

.

0 0 0 0

1

.

1 1 1 1

1

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ( ), ) 1]

2

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ( ), ) 1]

2

mT T i i

i

mT T i i

i

t K t t H t l t t t

t K t t H t l t t t



=

=

= − − − −

= − − − −

∑

∑

Dans notre cas on a :

0 1

0 1

2

, 0 , 1 ,

2

0. soit , 0

( )

( ( ) ( ) ) ( ) ( )

X

t

i j i j i j X

m

R r X r

X K K X X

X X H H X

ρ ρ

µ φ κ

σ σ σ

=

= + = =

= + = − −

= + =

Apres le calcul des fonctions α , β et θi, on obtient l’expression des prix

Forward/Future :

22

,

( ) (1 ) (1 )4

( , , ) exp* * 1

*

X X

T

i it

i u d i

f T e e

F t T Se

X e Log

κτ κτ

κτκτ

φ σ

κ κ

λ η

κ η

− −

−−

=

+ − + −

= −

+ +

∑


62

ii. Exemple de modèles à deux facteurs + saut

L’avantage de la méthode définie par Duffie, Pan & Singleton[30], est d’être

suffisamment générale en incluant le cas des modèles multi-facteurs.

Exemple basé sur le Log - modèle à deux facteurs de Lucia-Schwartz (cf Annexe

10-A)

La dynamique du processus (basé sur le log du prix spot) est définie à partir de deux

facteurs (deux sources de risque) :

J

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( , )dN( )

( ) ( )

t

X X J

Log S f t X t t

avec

dX t X t dt dZ t J

d t dt dZ tε ε ε

ε

κ σ µ σ λ

ε µ σ

= + +

= − + +

= +

soit en encore en univers risque neutre en simplifiant les notations :

J( ) ( ( ) ) ( ) ( , )dN( )

( ) ( ) ( )

X X X JdX t X t dt dZ t J

d t dt dZ tε ε ε ε

κ φ σ µ σ λ

ε µ φ σ

= − + + +

= − +

Remarque : dans ce modèle, on suppose seulement une seule source de sauts

(premier facteur).

D'autre part, les deux mouvements browniens associés à chaque facteur sont

supposés corrélés :

XdZ dZ dtε ρ=


63

Finalement, la dynamique peut s’écrire sous la forme vectorielle:

J0 ( , )dN( )( ) 0 ( )

( ) 0 0 ( ) 01 ²

XX JJdX t X tdt dZ

d t tε ε ε

σφ µ σ λκ

µ φε ε σ ρ σ ρ

− − = + + + − −

où dZ représente un Mouvement Brownien Standard 2D, ici le processus de saut

bidimensionnel est un cas particulier où la deuxième composante est nulle .

Dans ce modèle, la transformation ψ s’écrit :

1 2( , ( , ), , ) exp( ( , , ) ( , , ) ( , , ) )u X t T u t T u t T X u t Tψ ε α β β ε= + +

Les fonction α et β = (β1 , β2), s’obtiennent toujours à l’aide du système :

.

0 0 0 0

.

1 1 1 1

1( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ( )) 1]

2

1( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ( )) 1]

2

T T

T T

t K t t H t l t

t K t t H t l t



= − − − −

= − − − −

Ici, la « source de sauts » étant unique, un choix particulier pour la transformation θ

est de la définir comme une projection sur la première composante:

1 1 1 1

1 2 1 1 1(( , )) ( ) ( )c z c z

gaussc c e d z e f z dzθ υ= =∫ ∫

Remarque : en toute généralité, pour le cas bi/multidimensionnel, la transformation θ

doit être définie :

Soit arbitrairement, un exemple basé sur une définition arbitraire de θ est

donné dans Duffie, Pan & Singleton[30]. Dans cet exemple, la distribution jointe

du processus à sauts bidimensionnel est définie par une distribution marginale

gaussienne pour la première composante et exponentielle pour la seconde. θ est


64

alors définie comme une moyenne pondérée entre 3 types de sauts (les sauts

« gaussiens », les sauts « exponentiels » et les sauts « corrélés »).

Soit en imposant un structure à la distribution bi/multivariée. Une idée étant

d’utiliser le théorème de Sklar, et de représenter cette distribution à l’aide de ses

distributions marginales et d’une copula1.

Les calcul des fonctions α et β (cf Annexe) permettent alors d’obtenir l’expression

des prix Forward/Future.

2

²( ) (1 e )

2

²(1 e )exp ( )

4

(1 e ) ( )

( , , )

X

X

X

t t

T

f T

B e X

F t T S

κτε

κτ

ε ε

κτ κτε

σ τ φ

κ

σµ φ τ

κ

σ σ ρτ ε

κ

−

−

− −

+ − −

−+ − +

+ − + + +

=

Avec

( ) 2 ( )²( , ) [exp e e 1]

2

T

T s T sJJ

t

B t T dsκ κσ

λ µ − − − − = + −

∫

Modèle basé sur le modèle à 2 facteurs de Gibson-Schwartz (Cf Annexe 10-B)

Nous considérons le modèle suivant en univers risque neutre

1

J

2

( ) ( )

( ) ( , )dN( )

[ ( ) ]

t t

X X S J

c c C

Log S f t X

avec

dX X C dt dZ J

dC C dt dZ

κ φ σ µ σ λ

κ α φ σ

= +

= − − + + +

= − − +

1 cf Nielsen R.B., “An introduction to Copula”, Springer Verlag, 1998


65

Dans cet exemple, le deuxième facteur est associé à la notion de convenience yield,

les deux mouvements browniens intervenant dans l’expression du modèle sont

supposés corrélés :

XdZ dZ dtε ρ=

Toujours par le calcul des fonctions α et β (cf Annexe) on obtient l’expression des

prix Forward/Future :

1

2

2 3

2 ( )

4 5

( ) (1 e )

(1 ) (1 )exp

(1 ) (1 e )

( , ) e

( , , )

X

C X

C C X

X

T

t

f T A

A e A e

A e A

B t T X

F t T S

κ τ

κ τ κ τ

κ τ κ κ τ

κ τ

−

−

−

−

+ − +

− + −

+ − + −

+ +

=

Avec

( )

1 2

3 4

5

( ) 2 ( )

( ) ( )

( )² 2 ( 1) ² ²

4 4

² ²

²( , ) [exp e e 1]

2X X

C C X C C

X C

X C X C C

X C

C X C

C X

T

T s T sJJ

t

C CA A

C C CA A

C CA

B t T dsκ κ

κ α φ φ κ α φ

κ κ

σ σ σ σ ρ σ

κ κ

σ σ σ ρ

κ κ

σλ µ − − − −

− − −= =

+ + −= = −

+=

−

= + −

∫

Et C est une constante proportionnelle à 1/( X Cκ κ+ ).


66

Cas des modèles à trois facteurs

Des modèles AJD à trois facteurs sont étudiés par Bjork et Landen[12], ils

considèrent en particulier :

le modèle de Hilliard-Reis[42], coïncidant au modèle à trois facteur de

Schwarz incluant des sauts dans l’expression du prix spot

un modèle à trois facteur contenant des taux à courts termes positifs

Ce dernier modèle est ainsi défini : l’idée est de partir du modèle à trois facteur de

Schwartz, et de remplacer le 3eme facteur par un processus du Type Cox-Ingersoll-

Ross.

( )

( )

( )

S

t t t t t S t

C

t c c t c t

r

t r r t t r t

dS r c S dt S dW

dc K c dt dW

dr K r dt r dW

σ

α σ

α σ

= − +

= − +

= − +

avec les corrélations :

12

23

13

S C

C r

r S

dW dW

dW dW

dW dW

ρ

ρ

ρ

=

=

=


67

Dans ce modèle, l’expression ( , , )S c rβ β β β= est donnée par (voir Bjork et

Landen[12] ) :

1 2

1 2

( )

( ) ( )

2 1 1 2

( ) ( )

2 1

( , ) 1

1( , ) ( 1)

(2. ²). . (2. ²). .2( , ) .

² (2. ²). (2. ²).

C

S

K T t

c

C

r T t r T t

r rr r T t r T t

r r r

t T

t T eK

r r e r r et T

r e r e

β

β

σ σβ

σ σ σ

− −

− − − −

− − − −

=

= −

+ − += −

+ − +

où :

1

2

² ²

2 4 2

² ²

2 4 2

r r r

r r r

K Kr

K Kr

σ

σ

= + +

= − +

Et α est obtenu par intégration directe en remarquant que :

1 2( ) ( )

2 1

2 '( , ) .

²

(2. ²). (2. ²).

r

r

r T t r T t

r r

gt T

g

avec g r e r e

βσ

σ σ− − − −

= −

= + − +


68

iii. Lien avec les modèles CIR

Nous terminons cette partie en faisant un lien avec les processus du type CIR. En

effet ces processus ont la propriétés d’appartenir à la famille AJD.

A titre d’exemple, considérons le processus de prix dans l’univers « risque neutre »

défini par :

( )

( )

Log S X

dX K m X dt X dWλ

=

= − + Σ

Dans cette formulation sans saut, la différence avec les exemples précédent, réside

dans la structure de la volatilité qui est supposé dépendre du niveau de prix.

Considérons un taux d’actualisation R=r constant, en reprenant les notations

précédentes, nous avons donc :

0 1

0 1

, 0 , 1 ,

0. soit , 0

( )

( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ²t

i j i j i j

R r X r

X K K X Km K X

X X H H X X

ρ ρ

µ λ

σ σ

= + = =

= + = −

= + = Σ

Pour évaluer l’expression des prix Futures, on utilise le même raisonnement que

précédemment :

( )

( , , ) ( )

( ) ( ) ( ) (1, , , )T T

Q

T t T

Log S Xr Q r r Q r r Q r r

t T t t

F t T S E S

e E e S e E e e e E e e e X t Tτ τ τ τ τ τ τψ− − −

=

= = = =


69

La fonction caractéristique de X est défini comme d’habitude par :

( , , ) ( , , )( , , , )

u t T u t T Xu X t T e

α βψ +=

où α et β vérifient les équations de Riccati ci-dessous :

.

.

( ) ( )

1( ) ( ) ² ( )²

2

t r Km t

t K t t

α β

β λβ β

= −

= − Σ

avec les conditions aux bornes : α(T) = 0, et β(T) = u.

Dans notre cas u=1.

La résolution de ces équation est donnée dans l’annexe 11, les expressions

obtenues sont :

( )

( )

2 e ( )

² 2 ² e

K T t

K T t

Kt

K

λ

λ

λβ

λ

−

−= −

Σ − − Σ

( ) ( )

2 2( ) log

² 2 ² e ²K T t

Km Kt r t T

Kλ

λα

λ −

= − −

Σ + Σ − Σ


70

PPPaaarrrtttiiieee 666 ::: UUUnnneee ccclllaaasssssseee gggééénnnééérrriiiqqquuueee dddeee mmmooodddèèèllleeesss mmmuuullltttiii--- fffaaacccttteeeuuurrrsss

Dans cette partie, nous présentons la famille de modèles de prix développée par Les

Clewlow & Strikland[20]. Par rapport aux approches précédentes qui consistaient à

déduire l’expression des prix Forward/Future à partir des prix spot, ici la démarche

est inverse.

Dans un premier temps nous rappelons brièvement le modèle développé par Heath-

Jarrow-Morton dans le cadre des taux d’intérêt qui donne en fait l’idée directrice car

ce modèle permet d’obtenir une expression du taux instantané à partir du taux

Forward. Nous introduisons ensuite le modèle de prix développée par Les Clewlow &

Strikland[20] en donnant quelques exemples permettant de ce ramener à des cas

que nous avons étudié précédemment.


71

1. Le modèle multifacteur de Heath-Jarrow-Morton (HJM)

Nous prenons ici le vocabulaire des taux d’intérêt. Dans le modèle de Heath-Jarrow-

Morton, la dynamique des taux Forward pour toutes maturités T et d’état initial t

appartenant à l’intervalle de vie de l’économie est supposée gouvernée par

l’équation différentielle suivante :

1

( , ) ( , , ( , ) ) ( , , ( , ) ) 0n

i

t s i t s t

i

df t T t T f t s dt t T f t s dW t Tα σ≤ ≤=

= + ≤ ≤∑

(HJM)

Concrètement :

α représente la dérive

les fonctions σ représentent les fonctions de volatilité du taux Forward

n représente le nombre d’incertitudes ou chocs aléatoires représentés par n

processus de Wiener indépendant W sous la probabilité initiale

On a supposé d’autre par connue la structure par terme de taux d’intérêt à l’instant 0

( i.e. : T -> f(0,T)).

Remarques :

Les principaux paramètres du modèle HJM sont :

o Le nombre d’incertitudes

o Les fonctions de volatilité

o La structure par terme de taux au temps initial 0


72

La plus part des modèles de taux d’intérêts dérivent du modèle HJM pour des

choix particuliers de n et des fonctions de volatilité.

En univers risque neutre, l’équation (HJM) alors la forme suivante :

1

( , ) ( , , ( , ) ) ( , , ( , ) ) 0n

i

t s i t s t

i

df t T m t T f t s dt t T f t s dW t Tσ≤ ≤=

= + ≤ ≤∑ %

Les fonctions de volatilités sont laissées inchangées et le drift a été ajustée par la

prise en compte de n primes de risques λ :

1

( , , ( , ) ) ( , , ( , ) ) ( , , ( , ) )n

t s t s i i t s

i

m t T f t s t T f t s t T f t sα λσ≤ ≤ ≤=

= −∑

A noter de plus qu’un relation de non-arbitrage entre les fonctions de volatilité et α

est supposée.

Soit maintenant la fonction y définie par :

1( , ) ( , )

T

ty t T f t s ds

T t=

− ∫

Alors le taux instantané r(t) est obtenu par un passage à la limite :

( ) ( , ) lim ( , )T t

r t f t t y t T→

= =

Le modèle de prix que nous allons présenter s’inspire directement de cette approche


73

2. Le modèle de Cortazar/Schwartz[15] - Les Clewlow/Strikland[12]

A partir des travaux de Cortazar et Schwartz [23], Les Clewlow et Strikland[21] ont

développé un modèle multifacteur général permettant de voir les précédents modèles

(à deux et trois facteurs) comme des cas particuliers.

En suivant l’approche de Cortazar et Schwartz [23], l’idée de départ est de modéliser

les prix spot à partir des prix Future/Forward . Soit S(t) le prix spot de l’électricité

mesuré au temps t, et soit F(t,T) le prix d’un contrat Forward observé au temps t dont

la livraison est prévue pour la date T.

A la maturité T, on obtient alors la relation :

S(T) = F(T,T)

On fait d’autre part l’hypothèse d’univers risque neutre et d’absence de friction dans

le marché.

Dans le modèle étudié par Cortazar et Schwartz [23] et Les Clewlow et Strikland[21],

la dynamique de F est déterminée par n sources d’incertitudes représentées par n

Browniens indépendants Wi pondérés par des volatilités iσ :

1

( , )( , )

( , )

ni

i t

i

dF t Tt T dW

F t Tσ

=

=∑

Cette équation peut être intégrée ce qui donne la relation :

0 01

1( , ) (0, ).exp ( , )² ( , )

2

nt t

i

i i u

i

F t T F T u T du u T dWσ σ=

= − +

∑ ∫ ∫

On en déduit en posant T=t, l’expression pour le prix spot :


74

0 01

1( ) ( , ) (0, ).exp ( , )² ( , )

2

nt t

i

i i u

i

S t F t t F t u t du u t dWσ σ=

= = − +

∑ ∫ ∫

Il suffit alors de différentier cette dernière en appliquant la formule d’Ito pour obtenir

l’équation de la dynamique des prix :

1

0 01

( (0, )

( )( , )

( , ) ( , )( )( , )

ni

i tnt t

i ii ii u

i

Log F t

tdS tdt t t dW

u t u tS tu t du dW

t t

σσ σ

σ =

=

∂ ∂ = +

∂ ∂ − + ∂ ∂

∑∑ ∫ ∫

3. Quelques exemples

Nous donnons maintenant quelques exemples classiques où des choix particuliers

de fonctions de volatilité permettent de retrouver certains des modèles que nous

avons précédemment présenté.

Exemple 1

L’exemple le plus simple consiste à considérer une seule source d’incertitude et une

fonction de volatilité constante :

n=1

( , )u T cteσ σ= =

L’équation de la dynamique du processus de prix donne alors :

( ) ( (0, )

( )t

dS t Log F tdt dW

S t tσ

∂= +

∂


75

On trouve donc un processus du type mouvement Brownien Géométrique à drift

déterministe.

Exemple 2

Considérons maintenant toujours une seule source d’incertitude et une fonction de

volatilité définie par :

( )( , ) . T tt T e

κσ σ − −=

Ce choix va ici aboutir à un modèle du type Lucia & Schwartz[52] à un facteur basé

sur le rendement des prix.

L’expression analytique du processus de prix est donnée par :

2 ( ) ( )

0 0

2 ( )

0

1( ) (0, ).exp ². .

2

²exp log( (0, )) (1 ) .

4

t tt u t u

u

tt t u

u

S t F t e du e dW

F t e e dW

κ κ

κ κ

σ σ

σσ

κ

− − − −

− − −

= − +

= − − +

∫ ∫

∫

Posons X=log(S), on obtient alors :

( )

[ ]

2

0

2 ( )

0

log( (0, )) ².

2

log( (0, )) ²

2

( )

tt t u

u t

tt t u

u t

t

F tdX dt e dt e e dW dt dW

t

F te e dW dt dW

t

g t X dt dW

κ κ κ

κ κ

σσκ σ σ

σκ σ σ

κ σ

− −

− − −

∂= + − +

∂

∂ = + − + ∂

= − +

∫

∫

avec

21 log( (0, )) ²( ) log( (0, )) (1 3 )

4

tF tg t F t e

t

κσ

κ κ−∂

= + − −∂


76

Exemple 3

Nous traitons maintenant le cas d’un modèle à deux facteur. Ainsi par exemple, le

modèles de Schwartz[70] défini par le système :

1

1

2

2

( )

[ ( ) ]

dS r Sdt dW

d m dt dW

δ σ

δ α δ λ σ

= − +

= − − + avec 1 2dW dW ρ=

est un cas particulier où on a les relations suivantes au niveau des volatilités :

1 1 2

2 2

1 exp( ( ))( , )

1 exp( ( ))( , ) 1 ²

T tt T

T tt T

ασ σ ρσ

αα

σ σ ρα

− − −= −

− − −= − −

La démarche pour aboutir à ce résultat consiste à différentier l’expression des prix

Forwards obtenue dans le modèle de Schwartz à deux facteur et d’identifier les

facteurs en question. Une démonstration est donnée dans Les Clewlow &

Strikland.[21]

4. Extension

Outre le caractère général du modèle précédent, l’idée fondamentale est d’obtenir le

prix spot de l’électricité à partir des prix des contrats Forward/Future. Ces derniers

ont de plus la particularité d’être standardisés en durées comme l’affiche de tableau

suivant

Base Load (MWh)

Peak Load (MWh)

Seasons 4368 1560

Block quarters 2184 780

4-week Block Month 672 240

5-week Block Month 840 300

Week 168 60

Day 24 12

Spot 0.5 0.5

source UKPX


77

Ainsi, à partir du modèle précédent, on ne dispose pas d’une unique expression pour

le prix au comptant, car plusieurs stratégies non équivalentes sont possibles pour

acquérir de l’électricité pour une date donnée.

En s’inspirant de la démarche développée par Chiu et Crametz [19] et Reiman et

Sweldens [61] dans le cas du pricing associé à la bande passante, une extension

possible serait alors de définir le prix spot comme combinaison convexe des prix spot

obtenus à partir de chaque type de contrat.

Un des avantages de cette approche, concerne la stabilité du modèle obtenu. En

effet, Reiman et Sweldens [61] remarquent que les fluctuations des prix

Forwards/Futures entraînent des variations moindres sur les prix spot.


78

PPPaaarrrtttiiieee 777 ::: LLLeeesss ppprrroooccceeessssssuuusss dddeee LLLeeevvvyyy

Dans les modèles à sauts précédents que nous avions vu dans la partie 5, nous

sommes en fait face à une difficulté majeure : comment spécifier exactement la

nature des sauts (dont la distribution est arbitraire) ?

Une solution consiste à travailler avec des processus plus généraux que sont les

processus de Lévy récemment utilisés en finance comme évoqué dans Barndoff-

Nielsen[3].

Nous commençons par donner les bases de la théorie assujettie à ces processus

stochastique.

Un processus de Levy peut être représenté par :

1. Sa distribution sous-jacente ou sa fonction de densité

2. Ses moments

3. Le triplet de Levy et la fonction caractéristique

4. Son exposant de Laplace

5. La représentation en tant que mouvement Brownien subordonné

Nous nous intéressons aux deux dernières représentation qui sont fondamentales.

En application :

- nous présentons le processus de prix étudié par Benth et al[33b] basé sur une

structure de « retour à la moyenne généralisée», généralisant le modèle à 1

facteur de Lucia & Schwartz.

- Nous développons ensuite une généralisation du modèle de Les-Clewlow &

Strikland dans le cas unidimensionnel

- Enfin, à partir des processus « Variance-Gamma » développés par Madan,

Carr & Chan[53], nous construisons un processus de prix et donnons une

expression des prix Forward


79

1. Généralités

Définition : Un processus de Lévy est un processus X = ( )t t

X +∈ à valeur dans dIR ,

adapté avec Xo = 0 (presque sûrement), et vérifiant :

les accroissement de X sont indépendant du passé

X est à accroissements stationnaires

X est continu en probabilité

Remarques :

En général, les processus de Levy ne sont pas à trajectoires continues

Un processus de Levy X est caractérisé par la loi de X1, qui doit être

indéfiniment divisible2

On peut démontrer d’autre part que les processus de Levy sont cadlag (continus à

droite et avec limite à gauche), ou qu’à partir de tout processus de Levy on peut

construire une modification unique cadlag. En général, tout processus de Levy peut

se décomposer sous la forme suivante :

11 (SM)

st t t s X

s t

X t W Z Xα σ∆ >

≤

= + + + ∆∑

Où W représente un mouvement Brownien standard, Z une martingale purement

discontinue indépendante de B, et ∆Xs = Xs – Xs- représente le saut à l’instant s. (SM)

est en fait la représentation canonique des semi-martingales.

2 Une loi µ est indéfiniment divisible, si pour tout n , µ peut s’écrire comme la loi de la somme de n variables iid,

les lois normales, de Poisson, exponentielles .. sont indéfiniment divisibles


80

2. Représentation en terme d’exposant

a. Exposant de Levy-Khintchine

La représentation (SM) n’est pas réellement exploitable en tant que telle, de part la

définition arbitraire de la martingale Z. Une propriété importante des processus de

Levy consiste à prendre la transformée de Fourier de la loi définissant le processus,

ce qui conduit au théorème de Levy-Khintchine (voir Bertoir[9]) qui donne un

expression analytique de la fonction caractéristique d’un processus de Levy X en

terme d’exposant :

( )( ) , t>0t

t X

t

iu X t u

Xu E e e

ψφ = =

La fonction ψX(u) pour u∈IRd est appelée exposant de Levy-Khintching ou exposant

caractéristique et son expression a la propriété de pouvoir être représentée sous la

forme :

1

\0

1( ) ( 1 1 ) ( )

2

t

d

t t i x t

X x

IR

i e i x dxθψ θ µ θ θ θ θ π

<= − + − −∑ ∫

Ainsi tout processus de Levy X est défini par un triplet ( , , )µ π ∑ , où µ est un vecteur

de IRd , Σ est une matrice semi-définie positive de IRdxd et π est une mesure de

Levy3 définie sur IRd\0.

Intuitivement, le premier membre du triplet décrit la dérive du processus, le deuxième

décrit la matrice de covariance de la composante continue du processus et le

troisième membre décrit la structure de « sauts » du processus. En particulier, la

mesure de Lévy π décrit la fréquence d’arrivée des sauts.

3 π n’est pas forcément une mesure de probabilité mais doit vérifier : π(0)=0 et ( )² 1 ( )

dIR

x dxπ∧ < ∞∫


81

b. Exposant de Laplace

A l’instar de la partie précédente, une représentation des processus de Levy en

utilisant la transformation de Laplace est possible moyennant de bonnes hypothèses

(Benhamou[8]). Nous donnons ici les principaux résultats dans le cas

unidimensionnel.

Proposition 2b Soit X un processus de Levy

On suppose qu’il existe T et L tels que pour tout t∈[0,T] et tout u∈]- ∞ ,L], la

transformation de Laplace

[ ]tuXu E e→

est bornée par deux constantes U1 et U2. Alors il existe une fonction φ de ]- ∞ ,U2]

dans IR telle que

( ), ] , 2] [ ]tuX t ut IR u U E e e φ∀ ∈ + ∀ ∈ − ∞ =

Cette fonction est alors dénommée exposant de Levy-Laplace. Une preuve de cette

proposition est donnée dans Benhamou[8].

En application directe de la proposition 2b, considérons le processus de prix défini

par :

0

²exp ( )

2t t tS S r t W X

σσ

= − + +

Où X est un processus de Levy qui vérifie les conditions de la proposition 2b.


82

Le calcul de la fonction génératrice des moments du processus S est direct et

donne :

² ² ²( ) ( )

2 2

0[ ]t r

tE S S e

σ σ λλ φ λ

λ λ

− + + =

c. Généralisation

Les deux représentation précédentes suggèrent une généralisation en utilisant la

fonction complexe génératrice des moments.

Nous rappelons ici quelques résultats de l’analyse complexe.

Soit f une fonction à valeurs complexes, alors f peut s’exprimer sous la forme :

1 2f f if= +

où f1 et f2 sont à valeurs réelles.

Soit A un sous ensemble de , alors l’intégrale de f par rapport à la mesure

canonique µ sur A est définie par :

1 2

A A A

fd f d i f dµ µ µ= +∫ ∫ ∫

Un résultat fondamental est que f est intégrable sur A si et seulement si son module

est intégrable.


83

Considérons maintenant le cas où f(z)=exp(zX) où X est une variable aléatoire réelle,

et z appartient à A. En posant z=u+iv, on obtient alors :

( ) e e e ezX uX ivX uX ivXf z

+= = =

et

| ( ) | euXf z =

et par conséquent :

[ ( )] ( ) [ ]uX

XE f z M u E e< ∞ ⇔ = < ∞

Soit

/ ( )X X

B u M u= ∈ < ∞

Finalement il en découle le résultat suivant :

*( ) e est intégrable / Re( )zX

X Xf z z B z z B= ⇔ ∈ = ∈ ∈

Cette dernière propriété donne l’idée directrice, et la représentation généralisée des

processus de Levy en terme d’exposant est donné par le théorème qui vient :


84

Théorème 2c(Représentation de Levy-Khintchine : cas unidimensionnel)

Soit Xt un processus de Levy, supposons qu’il existe a et b réels, tel que pour z ∈

avec a<Im(z)<b la fonction caractéristique ( )t

zϕ existe. Cette dernière est infiniment

divisible est a la représentation suivante :

1

\0

1² ( 1 1 ) ( )

2

( ) [e ]

izxx

dIRt

t i z z e izx dx

izX

t z E e

µ π

ϕ<

− Σ+ − −

∫= =

3. Processus de Levy et Brownien subordonné

Tout processus de Lévy X étant une semi-martingale, on obtient une représentation

en fonction d’un mouvement Brownien et d’un changement de temps stochastique

(Monroe[55]), ainsi X peut s’écrire sous la forme suivante :

( )t h tX W=

Où W est un mouvement Brownien, h un changement de temps stochastique, en fait

ici h est un processus de Lévy croissant, et le triplet (c, ν, a) associé à h doit avoir

une volatilité nulle (a=0), un drift positif (c≥ 0) pour assurer la croissance et une

mesure de Lévy ν vérifiant :

1

0 0

( ) 0 et ( )dx dxν ν∞

= < ∞∫ ∫

Si le processus X est continu, alors h l’est aussi, si h est purement stochastique alors

X doit être totalement discontinu.


85

Cette représentation effectue en fait une transformation de l’échelle du temps, que

l’on peut interpréter par un changement de la durée économique associée à chaque

pas de temps qui devient variable.

Il est intéressant de faire le lien entre cette représentation et les précédentes.

Notons :

- ( ,0, )a γ le triplet associé au mouvement brownien W

- (0, , )ρ β le triplet associé au processus h

- , X W h

t t tF F et F les distributions associées aux processus X, W et h

- ( , , )X X X

a ν γ le triplet associé au processus X

Alors, Sato[66] à établi les relations suivantes :

(0, )

(0, ) 1 ( )

.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

D

X

W

X s

h

X s

x

a a

B F B ds

ds xF ds

β

ν ρ

γ βγ ρ

∞

∞

=

=

= +

∫

∫ ∫

4. Exemples d’application

Nous considérons les notations suivantes pour la suite :

La forme bilinéaire [,] représente la covariation quadratique

si U est un processus

( )t t

U U± ±= représente sa version continue à droite / gauche


86

( )t t

U U± ±=

∆U représente sa partie purement discontinue i.e. : U U U+ −∆ = −

Uc représente sa partie continue i.e. : cU U U= − ∆

d. Généralisation du modèle à 1 Facteur de Lucia-Schwartz

i. Processus d’Ornstein-Uhlenbeck Généralisé

Une manière naturelle de généraliser les processus d’Ornstein-Uhlenbeck consiste à

substituer dans l’équation de la dynamique du processus, un processus de Lévy au

mouvement Brownien. De ce fait, en suivant la formulation de Barndorff-Nielsen,[3],

un processus S est dit du type Ornstein-Uhlenbeck, si il satisfait à l’équation

différentielle stochastique linéaire suivante :

( )t tdU U dt dLκ α= − + (G.O.U.)

Ici nous considérons un espace de probabilité supposé complet ( )[0, ]

( , , , )t t T

P∈

Ω ℑ ℑ

(l’univers réel) avec l’hypothèse habituelle T<oo. L désigne un processus de Lévy à

variation finie.

En posant :

t t

t

dH dt dL

dX dt

κα

κ

= +

= −


87

Une solution explicite de (G.O.U.) peut être calculée en utilisant l’exponentielle de

Doléans. Ainsi

[ ]( )

[ ]

1

0

0

0

( ) ( ) ,

1 ( ) exp , (1 )exp( )

2

t

t t s s s

c

t t s sts t

U X H X dH d H X

où X X X X X X X

−

≤

= Σ + Σ −

Σ = − − +∆ −∆

∫

∏

Dans notre cas le processus X est purement déterministe et continu, par voie de

conséquence :

Son auto-covariation quadratique est nulle

Le calcul de son exponentielle de Doléans se réduit à son exponentielle

classique.

La covariation entre H et X est nulle

Finalement, on trouve une expression simplifiée pour la solution de l’équation

(G.O.U) :

0 0

0 0 0

( )

0

0

(1 )

t t t

t s t s s

t s s

t

t t t s

s

U e H e dH e H e ds e dL

U e e e dL

κ κ κ κ κ

κ κ κ

κα

α

− − −

− − − −

= + = + +

= + − +

∫ ∫ ∫

∫


88

Remarque : On peut encore approfondir les calculs en utilisant la propriété

suivante (ref Lemme 2.1. Eberlein-Raible[31b]) :

0 0

( )( ) ( )

t t

s t s

df sf s dL f t L L ds

ds= −∫ ∫

où f est une fonction dérivable.

Finalement :

( ) ( )

0

0

t

Kt K s t

t t sU L L e K e L dsα − −= + + − ∫

ii. Modèle de prix

Nous venons de définir une famille de processus d’Ornstein-Uhlenbeck généralisés

par la substitution d’une composante d’incertitude du type « Levy » à la composante

brownienne habituelle ce qui nous amène à la formulation d’un modèle pour les prix

au comptant.

Dans cette optique nous pouvons généraliser le modèle à un facteur de Lucia &

Schwartz basé sur le log des prix spot :

( ) ( )t t

Log S f t U= +

Le processus U suit ici la dynamique précédente.

D’après ce qui précède, l’expression analytique du processus de prix est donc

donnée par :

( )0

0

(1 )

exp( ( )).

t

t t t ssU e e e dL

tS f t e

κ κ κα− − − −+ − +∫=


89

iii. Evaluation des prix Forwards

En suivant l’approche donnée par Espen et al[33b], nous donnons dans un premier

temps les éléments pour le pricing de produits dérivés.

Le processus de Levy L que nous utilisons est caractérisé par son triplet de levy

(µ,σ,π), son exposant caractéristique est donné par :

1

\0

1( ) ² ( 1 1 ) ( )

2

izxx

IR

z i z z e izx dxµ σ π<

Ψ = − + − −

∫

et sa représentation simplifiée est la suivante :

d

t t tL t W Lµ σ= + +

dL représente le « processus à sauts » (ref. équation (SM) ).

Condition L

Il existe une constante k positive telle que la mesure de Levy π vérifie la condition

d’intégration suivante :

1

0

( )kxe dxπ < ∞∫

Autrement dit cette condition est une condition d’existence des moments du

processus L .

De cette condition s’en suit un résultat important :


90

Lemme

Soit un processus de Levy L, nous dénotons par π sa mesure de Levy associée.

Soit une fonction g :[0, ]t → bornée et mesurable, et supposons que la condition

précédente sur la mesure π soit satisfaite pour [0, ]

sup ( )s t

k g s∈

=

Alors :

0 0

[exp( ( ) )] exp ( ( ))

t t

sE g s dL g s dsφ

=

∫ ∫

où la fonction φ est la fonction génératrice des moments de L.

La démonstration de ce lemme repose essentiellement sur la propriété

d’indépendance des incréments et la représentation de Levy-Khintchine de L.

Considérons maintenant une fonction :[0, ]Tθ → mesurable et bornée et

définissons le processus :

0 0

exp ( ) ( ( ))

t t

t sZ s dL s ds

θ θ φ θ

= − ∫ ∫

où la fonction φ représente toujours la fonction génératrice des moments de L Ce

processus est bien défini pour tout t dans l’intervalle [0,T] si la condition (L) sur la

mesure de Levy l de L est satisfaite pour [0, ]

sup ( )s t

k sθ∈

= . On peut facilement montrer

d’autre part que ce processus est une martingale.


91

Suivant la démarche de Espen et al [33b], nous introduisons maintenant la mesure

de probabilité Qθ définie par la transformation dite d’Esscher4 :

( ) [1 ]P

A TQ A E Zθ θ=

Cette mesure de probabilité est équivalente à P et fourni la propriété de martingale.

Espen et al[33b] supposent alors que la mesure risque neutre donnée par le marché

appartient à cette famille paramétrée par θ (qui peut être une fonction déterministe).

Nous en venons alors à l ‘expression des prix Forwards F(T,S) qui en l’absence

d’arbitrage (i.e. sous la mesure Qθ ), sont définis comme l’unique processus

vérifiant :

( )( )0 , |r T t Q Q

T te E S F t Tθ θ− − = − ℑ

et par conséquent :

( ) [ ], |Q Q

T tF t T E Sθ θ

= ℑ

On obtient ainsi :

( ) [ ], | . |Q Q P

T t T T tF t T E S E S Z

θ θ θ = ℑ = ℑ

4 Soit un espace de probabilité ( )

[0, ]( , , )

t t TP

∈Ω ℑ = ℑ , et une variable aléatoire X, la mesure de probabilité Q

de densité dQ/dP=exp(uX-k(u)) définie pour un réel u, est appelée transformation d’Esscher de P.


92

Avant de développer, nous effectuons un calcul intermédiaire qui est le suivant :

( ) ( ) ( )

0

0

( ) ( )

0

0

( ) ( ) ( )

0

0

( ) ( )

0

0

(1 )

( )

(1 1 )

(1 ) ( 1)

t

T t T t t t t s

t s

t

T T t T T s

s

T T

T T t T T s T s

s s

t

T

T T T s T t

s

U e e U e e e dL

U e e e e dL

U e e e e dL e dL

U e e e dL e

κ κ κ κ κ

κ κ κ κ

κ κ κ κ κ

κ κ κ κ

α

α

α

α α

− − − − − − − −

− − − − − −

− − − − − − − −

− − − − − −

= + − +

= + − +

= + − + − + −

= + − + + − −

∫

∫

∫ ∫

∫( )

( ) ( )( 1)

T

T s

s

t

T

T t T s

T s

t

e dL

U e e dL

κ

κ κα

− −

− − − −= + − −

∫

∫

On obtient ainsi la relation qui diffère de celle obtenue par Espen et al.

( ) ( ) ( )( 1)

T

T t T t T s

T t s

t

U U e e e dLκ κ κα− − − − − −= − − + ∫

En substituant cette dernière dans l’expression des prix Forward, il vient :

( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) (

( )

( 1)( ) ( )

( 1)( )

( )

( ) ( 1)

, e e | e e |

e e e |

ee

e e

T

T t T t T st s

tT

T

T ss

T t T tt t

T t T

T t

U e e e dLUQ Q f T Q f T

t t

e dLU e ef T Q

t

e ef TQt

f t e

F t T E E

E

SE

κ κ κ

θ θ θ

κ

κ κ θ

κ κ

θ

κ

α

α

α

− − − − − −

− −

− − − −

− − − −

− −

− − +

− −

−

∫ = ℑ = ℑ

∫ = ℑ

=

)

|

T

ss

t

dL

t

∫ ℑ


93

il reste donc à évaluer le facteur de droite :

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ( ))

( ) ( ( ))

(

e | e | (règle de Bayes)

e e |

e e

e

T T

T s T ss s

t t

T T T

T ss s

t t t

T T T

T ss s

t t t

e dL e dLQ P T

t t

t

e dL s dL s dsP

t

e dL s dL s dsP

ZE E

Z

E

E

κ κ

θ

κ

κ

θ

θ

θ φ θ

θ φ θ

φ

− − − −

− −

− −

−

−

−

∫ ∫ ℑ = ℑ

∫ ∫ ∫ = ℑ

∫ ∫ ∫ =

=

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )) ( )

( ( )) ( )

( ( )) ( )

( ) ( ( ))

e e

e e

e e

e

T T T

T ss s

t t t

T T

T ss

t t

T T

T s

t t

T

T s

t

s ds e dL s dLP

s ds s e dLP

s ds s e ds

s e s ds

E

E

κ

κ

κ

κ

θ θ

φ θ θ

φ θ φ θ

φ θ φ θ

− −

− −

− −

− −

− +

− +

+ −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ =

∫ ∫=

∫=

Finalement on obtient le résultat

( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( ( ))( )

( ) ( 1)

e, e

e e

TT t T s

t

T t

e s e s dsf TQ t

f t e

SF t T

κ κ

θ

κ

φ θ φ θ

α

− − − −

− −

+ −

−

∫ =


94

e. Généralisation du modèle de Les-clewlow & Strikland

Nous rappelons que dans le modèle étudié par Les Clewlow et Strikland[21], la

dynamique des prix Forward F en l’absence d’arbitrage est déterminée par n sources

d’incertitudes représentées par n Browniens indépendants Wi pondérés par des

fonctions de volatilité i

σ supposées différentiables:

1

( , )( , )

( , )

ni

i t

i

dF t Tt T dW

F t Tσ

=

=∑

Il semble naturel de généraliser cette représentation en introduisant des processus

de Levy. Dans notre application, nous reprenons précédente formulation en

considérant une seule source d’incertitude donnée par un processus de Levy, cette

généralisation semble nouvelle. Notre modèle pour les prix Forward est donc

représenté par :

( , )( , )

( , )t

dF t Tt T dL

F t Tσ= (4-1)

Ici le processus L est un processus de Levy de caractéristique ( , , )b c ν à variations

finies et exposant caractéristique Ψ , i.e. :

( ) log( [e ])tizL

tz EΨ =

En représentant L à partir de sa décomposition de Levy-Ito (cf Cherny-Shiryaev[18]

proposition A7), deux sources d’incertitudes indépendantes apparaissent:

1 2( , )( , ) ( , )

( , )t t

dF t Tt T dL t T dL

F t Tσ σ= +


95

Où L1 est un processus de Levy « continu » de caractéristique (b,c,0) , et L2 est un

processus de Levy « à sauts » de caractéristique (0,0,ν).

L’étape suivante consiste à intégrer (4-1) afin d’obtenir une représentation intégrale

de F en vue d’en déduire l’expression du processus des prix au comptant. En

considérant le processus X défini par :

0

( , )

t

t sX s T dLσ= ∫

L’équation (4-1) se réduit à une équation différentielle stochastique linéaire classique

( , ) ( , ) tdF t T F t T dX= (4-2)

En faisant l’hypothèse de connaître F(0,T), une solution analytique de (4-2) est

obtenue à l’aide de l’exponentielle de Doléans ( cf par exemple Revuz-Yor[61b]),

ainsi :

[ ]0

( , ) (0, ) ( ) (4-3)

1( ) exp , (1 )exp( )

2

t

c

t t t t s s

s t

F t T F T X

X X X X X X X≤

= Σ

Σ = − − + ∆ −∆

∏

En utilisant les propriétés suivantes (ref Lemme 2.1. Eberlein-Raible[31b] et

Protter[92]) :

0 0

0 0 0

( )( ) ( )

, [ , ]

t t

s t s

t t t

s s s s s s s

df sf s dL f t L L ds

ds

H dX K dY H K d X Y

= −

=

∫ ∫

∫ ∫ ∫


96

On obtient :

1

0

0 0 0

( , ) ( , )

[ , ] ( , ) , ( , ) ( , )² [ , ]

t

t t s

t t t

t t s s s

X t T L s T L ds

X X s T dL s T dL s T d L L

σ σ

σ σ σ

= − ∂

= =

∫

∫ ∫ ∫

On en déduit alors une forme explicite pour l’exposant de Doléans :

1 0

0 0

1 1

1 0

0 0

1( ) exp ( , ) ( , ) (0, ) ( , )² [ , ] (1 ) exp( )

2

1exp ( , ) ( , ) (0, ) ( , )² [ , ] (1 ( , ) ) exp( ( , ) )

2

exp ( , )

t t

c

t t s s s s

s t

t t

t s s s s

s t

t

X t T L s T L ds T L s T d L L X X

t T L s T L ds T L s T d L L s T L s T L

t T L

σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

σ

≤

≤

Σ = − ∂ − − + ∆ −∆

= − ∂ − − + ∆ − ∆

= − ∂

∏∫ ∫

∏∫ ∫

2 2

1 0

0

1( , ) ( , )² ² (0, ) (1 ( , ) ) exp( ( , ) )

2

t

s s s

s t

s T L s T c ds T L s T L s T Lσ σ σ σ σ≤

+ − + −

∏∫

A partir de (4-3), en utilisant la relation S(t)=F(t,t), on en déduit l’expression du

processus définissant les prix au comptant :

1 0

0

1( , ) ( , ) ( , )² ² (0, )

2 2 2( ) (0, ) (1 ( , ) ) exp( ( , ) )

t

t st t L s t L s t c ds t L

t s s

s t

S t S F t e s t L s t L

σ σ σ σ

σ σ

− ∂ + −

≤

∫= = + −∏

(4-4)

Par exemple, en considérant une fonction de « volatilité » constante : ( , )s tσ σ= ,cette

dernière relation se simplifie pour donner :

0

1² ²

2 22(0, ) (1 ) exp( )tL c t L

t s s

s t

S F t e L Lσ σ σ

σ σ

− −

≤

= + −∏


97

f. Les processus variance-gamma (VG)

i. définitions et propriétés

Les processus variance-gamma développés par Madan-Carr-Chang[53] sont la

combinaison d’un mouvement brownien et d’un processus gamma.

Le mouvement Brownien est donné par l’expression :

( , , )t

Mb t t Wθ σ θ σ= +

Ici θ et σ représentent respectivement le drift et la volatilité instantanée.

Les distributions gamma ( , )ς α β sont définies par la famille de densités :

1 /1( )

( )

xf x x e

α β

αβ α− −=

Γ pour x>0

Les paramètres α et β font respectivement référence à la forme et l’échelle de la

distribution. La fonction caractéristique est donnée sur son ensemble de définition

par :

( )( , )

( , )

1( ) [ ]

1

iuu E e

iu

ς α βς α β α

ϕβ

= =−

On a de plus pour l’espérance et la variance :

[ ( , )]

[ ( , )] ²

E

Var

ς α β αβ

ς α β αβ

=

=


98

Un processus gamma ( ; , )tγ µ ν de moyenne µ et variance ν, est un processus

continu à incréments stationnaires , indépendants, distribués selon une loi gamma :

tels que pour tout h positif

( ; , ) ( ; , ) ~ ( ² / , / )h

t h t hγ µ ν γ µ ν ς µ ν ν µΓ = + −

La densité gamma de ces incréments est donc donnée par :

²²

1

²( )

²( )

u hu h

x

h u hf x x e

u h

µνν ν

ν

µ

νν

− −

=

Γpour x>0

La fonction caractéristique de ces incréments est donnée sur son ensemble de

définition par :

²

1( ) [ ]

1

hiu

h hu E e

iuµ

ν

ϕ

ν

µ

Γ= =

−

Un processus VG est alors obtenu en évaluant ce mouvement Brownien sur un

processus gamma ( ;1, )tγ ν définissant le temps t :

( ;1, )( ; , , ) ( ( ;1, ), , ) ( ;1, ) tVG t Mb t t Wγ νθ σ ν γ ν θ σ θγ ν σ= = +

La fonction caractéristique d’un tel processus est alors donnée par (Madan-Carr-

Chan[53]) :

/

( )

( )

1( )

²1 ²

2

t

iuVG t

VG t u E e

i u u

ν

φσ ν

θν

= = − +


99

D’où expression de l’exposant caractéristique :

( )

²log(1 ²)

2( )VG t

i u u

u

σ νθν

ν

− − +Ψ =

Comme le démontrent Madan, Car et Chan[53], le processus VG peut être aussi

représenté comme la différence de deux processus gamma indépendants :

1 1 1 2 2 2( ; , , ) ( ; , ) ( ; , )VG t t tθ σ ν γ µ ν γ µ ν= −

et les paramètres sont définis par les expressions analytiques suivantes :

1

1

2

2

2

2

1 2 ²²

2 2

1 2 ²²

2 2

1 2 ²²

2 2

1 2 ²²

2 2

σ θµ θ

ν

σ θν θ

ν

σ θµ θ ν

ν

σ θν θ ν

ν

= + +

= + −

= + +

= + −


100

ii. Application

A partir des définitions précédentes, Madan, Car et Chan[53] définissent le

processus de prix dans l’univers réel par :

( )0 exp ( ; , , )t

S S t VG tµ θ σ ν= +

L’idée est d’exploiter la représentation des processus de Levy à l’aide de leur

exposant caractéristique afin de décrire le processus de prix en univers risque

neutre. En dénotant par le r le taux d’actualisation supposé constant, en univers

risque neutre, le processus rt

te S doit posséder la propriété de martingale :

0[ ]rt

tE e S S=

Ce qui donne successivement :

( ; , , )

0

( ; , , ) ( )

0 0

[ ] [ e ]

e [e ] e e

rt rt t VG t

t

rt t VG t rt t t i

E e S E e S

e S E e S

µ θ σ ν

µ θ σ ν µ ψ

+

−

=

= =

D’où la condition (cf Levendorskii & Zherder[49]):

( ) 0r iµ ψ+ + − =

soit encore

log(1 0.5 ² )r

θν σ νµ

ν

− −= −


101

A partir des définitions précédentes, Madan, Car et Chan[53] définissent le

processus de prix dans l’univers risque neutre par :

( )0 exp ( ) ( ; , , )tS S t VG tµ ω θ σ ν= + +

où :

o µ représente l’augmentation anticipée sur le prix dans l’univers réel

o ω représente la prime de risque donnée par :

1log(1 0.5 ² )ω θν σ ν

ν= − −

Il est à remarquer d’autre part que ce processus permet

l’asymétrie dans les probabilités de sauts à la hausse et à la baisse,

l’occurrence de nombreux sauts dans un intervalle de temps court

La fréquence d’arrivée de sauts d’amplitude x dans le processus « logarithme du

prix » est donné par la densité (cf Carr et al[16]) :

exp( . ) si x<0

( )exp( . )

si x>0

C G x

xk x

C M x

x

−

= −

Où les expressions analytiques des constantes C, G et M sont :


102

1

1

1

² ² ²

4 2 2

² ² ²

4 2 2

C

G

M

ν

θ ν σ ν θν

θ ν σ ν θν

−

−

=

= + −

= + +

Evaluation des prix Forward / Future

En absence d’arbitrage, des prix Forward ou Future, peuvent être vus comme

l’anticipation du prix au comptant obtenue à la maturité T sachant l’information

disponible à la date t :

( )

( ) ( )0

0

( , , ) [ ]

[ exp ( ) ( ; , , ) ]

exp ( ) [exp ( ; , , ) ]

Q

T t T

Q

t

Q

t

F t T S E S

E S T VG T

S T E VG T

µ ω θ σ ν

µ ω θ σ ν

=

= + +

= +

On considère la représentation du processus VG en tant que différence de deux

processus gamma indépendants, ce qui donne alors :

( ) ( )

( ) ( ) ( )0 1 1 1 2 2 2

0 1 1 1 2 2 2

( , , ) exp ( ) [exp ( ; , ) ( ; , ) ]

exp ( ) [exp ( ; , )) ] / [exp ( ; , ) ]

Q

T t

Q Q

t t

F t T S S T E t t

S T E t E t

µ ω γ µ ν γ µ ν

µ ω γ µ ν γ µ ν

= + −

= +


103

Soit n entier arbitraire, on définit alors l’incrément h = (T-t)/n, ainsi pour chaque

processus i

γ , i=1,2:

[ ]1

0

( ; , ) ( ; , ) ( ; , ) ( ; , )n

i i i i i i i i i i i i

i

T t T ih T ih hγ µ ν γ µ ν γ µ ν γ µ ν−

=

= + − − − −∑

En utilisant les propriétés des incréments des processus gamma apparaissant dans

la somme on peut alors calculer les espérances :

( )

[ ]

( ) [ ]

( )

1

0

1

0

[exp ( ; , ) ]

[exp ( ; , ) ( ; , ) ( ; , ) ]

exp ( ; , ) [exp ( ; , ) ( ; , ) ]

exp ( ; , ) [exp ( ; , ) ( ;

Q

t i i i

nQ

t i i i i i i i i i

j

nQ

i i i t i i i i i i

j

Q

i i i t i i i i i

E T

E t T jh T jh h

t E T jh T jh h

t E T jh T jh h

γ µ ν

γ µ ν γ µ ν γ µ ν

γ µ ν γ µ ν γ µ ν

γ µ ν γ µ ν γ µ

−

=

−

=

= + − − − −

= − − − −

= − − − −

∑

∑

( )

( ) ( )( )

( )

( )

1

0

²

²( )

, ) ]

exp ( ; , ) [exp ( ² / , / ) ]

exp ( ; , ) 1

exp ( ; , ) 1

i

i

i

i

n

i

j

nQ

i i i t i i i i

nh

ii i i

i

T t

ii i i

i

t E h

t

t

µ

ν

µ

ν

ν

γ µ ν ς µ ν ν µ

νγ µ ν

µ

νγ µ ν

µ

−

=

−

−−

=

= −

= −

∏


104

On remplace maintenant cette formulation dans l’expression de départ :

( )

( )

( )

1 2

1 21 1 1 2 2 2

1 2

1 21 1 1 2 2 2

²( ) ²( )

( ; , ) ( ; , )1 20

1 2

²( ) ²( )

( ; , ) ( ; , ) 1 20

1 2

( ; , , ) 10

( , , )

exp ( ) e 1 e 1

exp ( ) e 1 1

exp ( ) e 1

T

T t T t

t t

T t T t

t t

VG t

F t T S

S T

S T

S T

µ µ

ν νγ µ ν γ µ ν

µ µ

ν νγ µ ν γ µ ν

θ σ ν

ν νµ ω

µ µ

ν νµ ω

µ µ

νµ ω

− −−

−

− −−

−

= + − −

= + − −

= + −

( )

1 2

1 2

1 2

1 2

²( ) ²( )

2

1 2

²( ) ²( )

( )( ) ( ; , , ) 1 20

1 2

1

exp ( )( ) e 1 1

T t T t

T t T t

t VG tS T t

µ µ

ν ν

µ µ

ν νµ ω θ σ ν

ν

µ µ

ν νµ ω

µ µ

− −−

− −−

+ +

−

= + − − −

Finalement, l’expression des prix Forward est donnée par :

1 2

1 2

²( ) ²( )

( )( ) 1 2

1 2

( , , ) e 1 1

T t T t

T t

T tF t T S S

µ µ

ν νµ ω ν ν

µ µ

− −−

+ − = − −

avec

1

1

2

2

2

2

1 2 ²²

2 2

1 2 ²²

2 2

1 2 ²²

2 2

1 2 ²²

2 2

σ θµ θ

ν

σ θν θ

ν

σ θµ θ ν

ν

σ θν θ ν

ν

= + +

= + −

= + +

= + −


105

PPPaaarrrtttiiieee 888 ::: llleeesss mmmooodddèèèllleeesss ààà vvvooolllaaatttiiillliiitttééé nnnooonnn cccooonnnssstttaaannnttteee

Intuitivement, dans un modèle, la volatilité représente la part d’incertitude induite par

celui-ci, en ce sens elle défini une composante « risquée ». Dans les modèles de

Black&Scholes et de Vasiceck, celle-ci est constante :

Cas du modèle de Black&Scholes:

( )t BS t BS t tdS t S dt S dWα σ= + (B&S)

le terme d’incertitude est donné par t t

S dW , sa proportion est déterminée par BS

σ

Cas du modèle de Vasiceck :

( )t VS VS t VS tdS S dt dWα µ σ= − + (VS)

l’incertitude est présente au travers du terme aléatoiret

dW représenté avec une

proportion VS

σ

Ces deux modèle classiques possèdent donc une propriété forte qui est le caractère

constant de ce facteur de risque.

Pourquoi envisager une volatilité non constante pour les prix spot de l’électricité ?

Sur les données empiriques, il est assez aisé d’observer des agrégats et des

zones de volatilité élevée, en particulier en fonction des saisons comme évoqué

dans Deng[27].

L’électricité ne peut pas être stockée de manière efficiente …


106

On peut penser à une dépendance « niveau de prix-volatilité » due aux formes

des courbes de l’offre et de la demande, mais l’enquête menée par Tobias

Federico[] ne met pas en avant une corrélation forte, une relation temporelle est

suggérée

La possibilité d’une volatilité présentant une composante saisonnière est peut

être envisageable

On dispose ainsi de moyen supplémentaire pour introduire des variables

exogènes

Les modèles à volatilité stochastiques permettent de mieux mesurer la

volatilité, et d’appréhender la volatilité « future »

1. Cas des modèles continus

a. L’approche classique

Dans le cadre des modèles à volatilité stochastique, il est usuel de définir le terme de

volatilité comme un facteur additionnel à part entière. Ainsi, en partant d’un

processus assez général et en reprenant les notations données dans Fouque et al[],

on peut généraliser les modèle de Vasiceck et Black & Scholes en donnant au

processus de prix la dynamique définie par :

, ,

,

, ,

( , )

( , , )

( ) 1 ²

t t S t S t

S t t t

t Y Y t Y S t Y t

dS g t S dt dW

f t S Y

dY Y dt dW dW

σ

σ

α µ σ ρ ρ

= +

=

= − + + −

Ici les deux processus de Wiener qui apparaissent sont supposés indépendant, la

fonction g est une fonction de « retour » (ex : g(t,x)=K(m-x) ).


107

La formulation que nous venons de donner possède l’avantage de définir

concrètement la corrélation entre le prix S et le terme de volatilité, corrélation définie

à plusieurs niveaux :

le coefficient de corrélation ρ liant les incertitudes liées à S et à Y, que nous

supposons ici constant (en toute généralité il peut être variable)

le facteur Y, le cas particulier Y=S implique que la volatilité est directement

liée au niveau des prix S, suivant l’idée intuitive que la volatilité doit avoir « une

nature bornée » nous adoptons une dynamique du type « mean-reverting » pour

ce facteur

la fonction f défini la sensibilité de la volatilité au facteur Y, des choix usuel

pour cette fonction sont

f(t,s,y)=exp(y) : (modèle logarithmique)

f(t,s,y)= y (modèle « affine »)

Si l’on s’intéresse aux processus de Wiener intervenant dans la définition que nous

venons de donner, on peut remarquer que la corrélation est essentiellement

introduite dans le facteur donnant la volatilité, une représentation équivalente

consiste à la faire intervenir sur le prix:

, , ,

,

,

( , ) 1 ²

( , , )

( )

t t S t S t Y t

S t t t

t Y Y t Y Y t

dS g t S dt dW dW

f t S Y

dY Y dt dW

σ ρ ρ

σ

α µ σ

= + + −

=

= − +


108

On peut encore généraliser ce dernier système d’équation par le suivant:

1 2

, , , ,

,

,

( , )

( , , ) 1,2

( )

t t S t S t S t Y t

i i

S t t t

t Y Y t Y Y t

dS g t S dt dW dW

f t S Y i

dY Y dt dW

σ σ

σ

α µ σ

= + +

= =

= − +

L’avantage de cette approche est de regrouper « la corrélation » entre S et Y au

travers de deux entités uniques que sont les fonction f1 et f2, et cela permet de faire

la distinction entre une volatilité « normale » et une volatilité « instable » ou

« perturbatrice »

Le tableau suivant présente quelques modèles classiques et moins classiques

Hull & White (1987)

Dans cette définition, les deux processus de Wiener intervenant sont supposés indépendants,

le terme de volatilité est gouvernée par une dynamique du type CIR oscillant autour de 0..

Heston (1993)

Dans ce modèle, la volatilité est gouvernée par un processus du type CIR oscillant autour d’un

niveau θ


109

Bates[7] (1996)

0.5

0.5

/ ( )

( )

,P( 1) , log(1 ) ~ (log(1 ) 0.5 ², ²)

v V

V

dS S k dt V dW kdq

dV V dt V dW

dW dW dt dq dt k N k

µ λ

α β σ

ρ λ δ δ

= − + +

= − +

= = = + + −

Ici, des sauts sont introduits dans le processus de prix

Chernov,Galland,Ghysels & Tauchen[17b] (1999)

( ) ( )

( )

( )

10 12 1 10 12 2 13 3 11 1 12 2 13 3

1 20 22 1 20 2

0 2 0 2,3

t t t t t t t

t t t

it i i it i ii it it

dS U dt U U dW dW dW

dU U dt dW

dU U dt U dW i

α α β β β ϕ ϕ ϕ

α α β

α α β β

= + + + + + +

= + +

= + + + =

Ici le terme de volatilité est défini à partir de deux facteurs

Richter & Sorensen[62] (2000)

( )

( )

( )

0.5 ( )

1,

0.5 ( )

2,

3,

/

( )

v t Q

t t t t t

v t Q

t t t t

Q

t t V t t

dS S r dt e V dW

d t dt e V dW

dV V dt V dW

δ

δ

δ α β δ σ

κ θ σ

= − +

= − +

= − +

Dans cette exemple de modèles, le paramètre de volatilité stochastique est associé à la fois au

prix et au deuxième facteur (rattaché à la notion de convenience yield). De plus, Richter et

Sorensen introduisent une saisonnalité dans la volatilité par l’intermédiaire d’une fonction v(t)

périodique.

Chernov,Galland,Ghysels & Tauchen [17c](2002)

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

10 12 1 10 12 2 13 3 11 1 12 2 13 3

1 20 22 1 20 2

0 2 0 2,3i

t t t t t t t

t t t

it i i it i ii it it

dS U dt U U dW dW dW

dU U dt dW

dU U dt U dW iγ

α α β β β ϕ ϕ ϕ

α α β

α α β β

= + + + + + +

= + +

= + + + =

Ici une représentation multifacteur est proposé, la fonction σ peut être du type racine carrée ou

exponentielle, comme extension de ce modèle , des composantes additionnelles du type

« sauts » sont proposées pour les facteurs intervenant dans la définition de la volatilité.

Nous allons maintenant présenter deux exemples tirés de la littérature des marchés

de l’électricité.


110

i. Premier modèle (Kellerhalls, 2001)

Notre premier exemple est celui utilisé par Kellerhalls[46] pour décrire la dynamique

des prix au comptant qui est basé sur le modèle à volatilité stochastique de Heston.

Cette dynamique dans l’univers réel est formulée par le système différentiel

stochastique suivant :

,

,

(1)

( ) (2)

P

t t t t S t

P

t t t v t

dS S dt S v dW

dv v dt v dW

µ

κ θ σ

= +

= − +

L’équation (1) spécifie que la dynamique des prix est gouvernée par un mouvement

brownien géométrique avec une spécification stochastique pour le terme de volatilité.

L’équation (2) indique que ce dernier (terme de volatilité) suit une dynamique du type

CIR lui assurant d’avoir des valeurs positives. D’autre part les deux sources

d’incertitudes gaussiennes sont supposées corrélées :

, ,

P P

S t v tdW dW dtρ=

Dans notre cas nous devons faire face à la situation d’un marché incomplet, et les

deux variables d’états précédentes ne peuvent pas être couvertes. Face à cela,

Kellerhalls propose d’ajuster ces deux variables d’état au risque mesuré par le

marché afin d’être dans une situation de non-arbitrage. Dans cette optique

Kellerhalls utilise la transformation de Girsanov

, , *Q P

S t S t tdW dW v dtλ= +

où la prime de risque mesurée par le marché λ* est indépendante du temps. Ce qui

donne la dynamique « risque-neutre » suivante pour le prix au comptant :

( ) ,* (1)*Q

t t t t t S tdS v S dt S v dWµ λ= − +

En posant X=log(S) et 0.5 *λ λ= + on obtient d’autre part :


111

( ) , (1)**Q

t t t S tdX v dt v dWµ λ= − +

Kellerhals effectue ensuite un ajustement arbitraire pour la deuxième variable d’état,

et la dynamique « risque-neutre » qu’il obtient est donnée par :

( ) ,( ) ( , , ) (2)*Q

t t v t t t v tdv v S v t dt v dWκ θ λ σ= − − +

Kellerhals suppose d’autre part la formulation suivante : ( , , )v t t v t

S v t vλ λ= avec v

λ

constant.

Remarque : A cette étape, il est important de noter que la formulation « risque

neutre » qu’utilise Kellerhals est incorrecte car elle ne tient pas compte de la

corrélation liant les deux facteurs X et t

v . En fait, ( , , )v t t

S v tλ doit être exprimé (Cf

annexe 12-A) par : ( ) ( ) ( ), , 0.5 1 ²t t t t

S tνλ ν λ σρν βσ ρ ν= − + − avec β arbitraire. Pour

la suite, nous considérons le cas particulier ( ) 1,0.5 1 ²

v νλ λ σρ λ ρ= − + − où 1,νλ

est une constante.

Finalement en faisant le lien avec les modèles AJD, on peut remarquer que :

00

0 ( ) 1 ²

tt t Q

vt t t t

vX Xd dt dW

v v v v

λµ

κ λκθ σρ σ ρ

− = + + − + −

Soit encore

( ) ( )

pour U =

Q

t t t

t

t

t

dU U dt U dW

X

v

µ σ= +

Nous sommes donc en présence d’un modèle du type AJD sans saut, où en

reprenant les notations que nous avions introduites :


112

0 1

, 0 , 1 ,

0 1

2 2 x 2 2x2 2 x 2 x 2 2

0 1 0 1 0 1

0( )

0 ( )

( ( ) ( ) ) ( ) ( )

( ) 0

où K=(K ,K ) IR xIR , H=(H ,H ) IR xIR , et l=(l ,l ) IRxIR

t t t

v

t

t t i j i j i j t

t t

U K K U U

U U H H U

U l l U

λµµ

κ λκθ

σ σ

λ

− = + = +

− +

= +

= + =

∈ ∈ ∈

Dans notre cas :

0

1

0

0 ( )v

K

K

µ

κθ

λ

κ λ

=

− =

− +

( ) ( )( ) ( )

1 1,1 1 1,2

1 2,1 1 2,2

0 1 0( ) ( )

² 0 0 ²

( ) ( )

( ) ( )

t t t tt

t t t t

t t

t t

v v U UU U

v v U U

H U H U

H U H U

σρ σρσ σ

σρ σ σρ σ

= =

=

Evaluation des prix Forwards

Nous savons qu’en l’absence d’arbitrage, l’expression des prix Forward est donnée

par l’anticipation des prix au comptant à la date de maturité T sachant l’information

disponible à l’instant t:

( , ) [ | ] [ | ]TXRN RN

T t tF t T E S S E e S= = (3)

Suivant cette approche, Kellerhals obtient l’expression analytique suivante :


113

( )1

1 ²( ) 2( , ) [ | ]

T

vT s

t tt

v v dsX v T tRN

tF t T e E e S

λ κρρ κθ λ ρ ρµ ρ σ σσ σ

+ − − − − − + − − ∫

=

A noter que cette expression est obtenue en utilisant les expressions intégrales des

facteurs X et v, et un deuxième changement de numéraire qui n’est pas explicité

dans Kellerhals[46] (cf Annexe 12-B)

A partir de cette dernière expression, l’expression analytique est obtenue en

appliquant la formule de Feynman-Kac.

Une approche plus élégante consiste à utiliser les résultats que nous avions vu

précédemment sur les modèles AJD. Nous avons :

(1,0),( , )( , ) [ | ] [ | ] [ | ]T TT

X vXRN RN RN

T t t tF t T E S S E e S E e S= = =

L’expression de F(t,T) est alors donnée par :

( , , ) ( , , )( , ) tu t T u t T U

F t T eα β+=

où α et β vérifient les équations de Riccati complexes ci-dessous :

.

0 0 0

.

1 1 1

1( ) ( ) ( ) ( )

2

1( ) ( ) ( ) ( )

2

T T

T T

t K t t H t

t K t t H t

α ρ β β β

β ρ β β β

= − −

= − −

avec les conditions aux bornes : α(T) = 0, et β(T) = (1,0).


114

Plus explicitement :

( ).

1

1 2

2

.

.1 1 1 1

1.2 2 2

2

1 1

2 2

( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )0 1( )

0 ( ) ( ) ( ) ( )2( )

( ) ( )0 0 1

( ) ( ) ( )2

T

TT

v

v

tt t t

t

t t t tt H

t t tt

t t

t t

βµα µβ κθβ

κθ β

β β β βλβ

κ λ β β ββ

β β

λ κ λ β β

= − = − +

− = = − − − +

= − −

− − +

( ) ( )( ) ( )

1

2

1

1 2 2 1 2

1 2

1 2 1 1 2 2

( )0 1 0

0 0 ² ( )

0

0( )0 1

( ) ( ) ( ) ( )2 ( ) ( )

( ) ² ( )

0 01

( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( )) (2

T

T

v

v

t

t

t

t t t t t

t t

t t t t t t

βσρ

σρ σ β

β

λβ κ λ β β β σρβ

σρβ σ β

λβ κ λ β β β σρβ β

= − − − − + + +

= − −

− − + + + 1 2)( ( ) ² ( ))t tσρβ σ β

+

On obtient finalement le système différentiel non linéaire suivant :

.

1 2

.

1

.

2 1 2 1 1 2 2 1 2

( ) ( ) ( )

( ) 0

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )( ( ) ( )) ( )( ( ) ² ( )))

2v

t t t

t

t t t t t t t t t

α µβ κθβ

β

β λβ κ λ β β β σρβ β σρβ σ β

= − −

=

= − − + − + + +

avec les conditions aux bornes : α(T) = 0, et β(T) = (1,0).


115

En utilisant la condition β(T) = (1,0), ce système se simplifie :

.

2

.

1

.

2 2 2

.

2

.

1

.

2 2 2

( ) ( )

( ) 0

( ) ( 0.5) ( ) ( ) 0.5 ² ²( )

( ) ( )

( ) 0 (S1)

( ) ( ) ²( )

( 0.5)

( )

0.5 ²

v

v

t t

t

t t t

t e f t

t

t a b t c t

avec

a

b

c

e

f

α µ κθβ

β

β λ κ λ σρ β σ β

α β

β

β β β

λ

κ λ σρ

σ

µ

κθ

= − −

=

= − + − + + −

⇔

= +

=

= + +

= − +

= − + +

= −

= −

= −

Les expressions de α et β sont donnés dans l’annexe 12-C.


116

ii. Deuxième modèle (Deng, 1991)

Nous présentons ici une version simplifié d’un des modèles développés par

Deng[27], le modèle originel possédant un terme additif de sauts. Ici le logarithme

des prix est , contrairement au modèle précédent, gouvernée par une dynamique du

type « retour à la moyenne ». Concrètement la formulation « risque neutre » du

modèle que nous souhaitons étudier est donné par le système différentiel suivant (ref

Deng[27]):

1 1 ,

2 2 ,

log( )

( ) (1)

( ) (2)

t t

P

t t t X t

P

t t t v t

X S

dX X dt v dW

dv v dt v dW

κ θ

κ θ σ

=

= − +

= − +

Nous choisissons une formulation plus générale en introduisant des coefficients de

sensibilité :

1 1 1 ,

2 2 2 ,

( )

( ) (1)*

( ) (2)*

t t

P

t t t X t

P

t t t v t

X lot S

dX X dt v dW

dv v dt v dW

κ θ µ

κ θ µ σ

=

= − +

= − +

Les deux dernières équations peuvent encore s’écrire la forme regroupée d’une

équation à deux dimensions :

1 1 1 1

2 22 2

00

0 1 ²

tt t Q

t t t t

vX Xd dt dW

v v v v

κ θ κ µ

κ µκ θ σρ σ ρ

− = + + − −

Ainsi le modèle précédent peut être vu comme un cas particulier de la famille de

modèle que nous venons de définir (i.e. 1µ =0).


117

En suivant l’approche de Deng[27], considérons la transformation :

( )

1 2( , , , , ) [ exp( , ) | ]RN r T t

t t t t tu X t T E e u X uϕ ν ν− −= + ℑ

Cette dernière peut s’exprimer sous la forme :

1 2( , , , , ) exp( ( , ) ( , ) ( , ) )t t t t

u X t T u t t u X t u vϕ ν α β β= + +

en utilisant les résultats sur les modèles AJD, les paramètres satisfont au système

différentiels suivant (nous ne donnons pas le détail des étapes intermédiaires):

( )

1 1 1 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2 1 1 2 2 1 2

' ( ) ( )

' ( )

' ( ) 0.5 ( )( ( ) ( )) ( )( ( ) ² ( ))

r t t

t

t t t t t t t

α κ θ β κ θ β

β κ µ β

β κ µ β β β σρβ β σρβ σ β

= − − −

= = − + + +

A cet étape, Deng met en évidence le fait qu’une solution analytique est difficilement

calculable ce qui montre le caractère complexe de ce type de modèle et donc ses

limites calculatoires. La solution adoptée par Deng est l’approximation et la

simulation numérique.


118

b. Deuxième approche et combinaisons

La deuxième approche possible pour définir un processus à volatilité stochastique

consiste à définir un changement de temps stochastique comme suggéré par Car et

al[16]. On peut en effet remarquer que si W désigne un mouvement Brownien

standard, alors pour un incrément de temps t

δ on a la propriété classique :

~ (0,1) (0,1)tt t t t t

W W W t t N Nδ δ δ+∆ = − + − =

Ainsi, de part la représentation en terme de mouvement brownien subordonnée

comme évoquée dans la partie précédente sur les processus de Levy, ces derniers

sont des candidats naturels pour définir des modèles à volatilité stochastique :soit X

un processus de Levy, alors X à la représentation tt h

X W= où h est un « processus

de temps » croissant (« sans retour vers le passé »), l’idée est alors de définir une

famille de modèles à volatilité stochastique par :

( , )

:

t

t t t

t h

t

dS g t S dt dX

X W

h processus stochastique croisssant positif

σ= +

=

Plus généralement, à partir du processus de temps Y :

0

( )

t

t s

s s s s

Y y ds

dy K m y ds y dWλ

=

= − +

∫

Car et al[] introduisent une classe de processus de Levy à volatilité stochastique

(SVLP) en subordonnant le processus Y défini ci-dessus à tout processus de Levy

X , i.e. tt Y

Z X= .


119

A titre d’exemple, les processus NIG (Normal Inverse Gaussian) introduits

initialement Barndorff-Nielsen[2] sont définis en prenant pour X un mouvement

Brownien arithmétique et Y un processus Inverse Gaussien (voir par exempleTankov

[73]) :

tt YdX dY dWµ σ= +

En suivant l’exemple donné dans Tankov[73], on peut supposer alors que le

paramètre σ qui intervient ci-dessus est aussi stochastique, défini à partir d’une

dynamique du type Orstein-Uhlenbeck à distribution gamma stationnaire, il est alors

possible de trouver une expression analytique de la fonction caractéristique de

Log(X) et donc de caractériser ce processus, pour plus de détail voir Tankov[73].

2. Modèles discrets

Dans ce qui précède, nous avons présenté le cas des modèles à volatilité

stochastique dans un cadre continu. Force est de constater que les versions discrète

de tels modèles sont utilisée dans le développement assujettis aux prix spot de

l’électricité.

c. Les modèles ARCH et GARCH

Dans un premier temps, supposons que nous voulions étudier le processus de prix

défini de manière additive, par un terme d’évolution à court terme et un terme

d’évolution à long terme. Soit

( )t t tS f t X Y= + +


120

Le processus X représente ici les variations à long terme des prix spot de l’électricité,

et le terme f(t) + Xt est donné par :

( ) X

t t X tdX K X dt dWα σ= − +

et

1 2 3 4 5 6 7( ) . .1 .1 .1 .1 .1 .1Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Samedi Dimanchef t a t b b b b b b b= + + + + + + +

Une régression (cf Annexe 14) sur ce terme en utilisant les données de prix fournies

par Powernext permet d’obtenir des informations complémentaires sur le terme

d’erreur qui peut s’interpréter comme des variations à court terme (processus Y).

En effet, d’une part le test d’homoscédasticité de Breusch-Pagan (cf Annexe 14) est

rejeté ce qui implique une variance non constante pour Y.

Les processus à variance non constante sont largement étudiés depuis plusieurs

années, en particulier une classe de base est celle des modèles ARCH.

Les processus ARCH(q) introduits par Engle en 1982, suivent la formulation

suivante :

1

1

1

~ ( )

. . :

r .

~ (0,1)

.

²

t

t t t t

t

t t t

q

t i t i

i

r Arch q

i e

m h e

e N

h e

h

ε

γ α ε

−

−

−=

∆ = +

=

= +∑


121

Le terme t

m désigne ici la moyenne conditionnelle, qui peut prendre une forme du

type « mean reversion », i.e. :

1.t t

m a c m −= +

Ici on remarque que le facteur de volatilité conditionnelle h prend en compte les q

valeurs les plus récente du processus.

Cette classe a ensuite été étendue par Bollerslev en 1987 qui dans ses travaux défini

la famille des processus GARCH(p,q) (ARCH(q) Généralisés), la différence se situant

dans la définition du facteur de volatilité conditionnelle h qui prend la forme suivante :

1 1

²q p

t i t i i t i

i i

h hγ α ε β− −= =

= + +∑ ∑

Ici la présence des terme de retard ht-i implique alors que ht est défini à partir de

toutes les valeurs du processus depuis l’état initial, et les processus GARCH peuvent

être ainsi vu comme des cas limite des processus ARCH(q) quand q tend vers l’infini.

D’autre part, le test LM (cf Annexe 14) sur l’erreur de régression pour détecter la

présence d’un processus ARCH(p) est :

rejeté pour 1<p<13

accepté pour p>12

Compte tenu des remarques précédentes, dans le cas présent il serait judicieux de

s’orienter vers une modélisation du type GARCH de l’erreur.


122

d. Quelques modèles

Une application intuitive des processus GARCH consiste dans l’approximation

discrète d’un modèle continu à volatilité stochastique. Ainsi Hafner[38] modélise les

prix spot de l’électricité à partir d’une dynamique du type « retour à la moyenne » à

volatilité stochastique :

tdlog(S ) ( log( ))t t t tS dt dWκ µ σ= − +

où le terme de volatilité est défini par :

( )² ² ²t t t t td dt dZσ ω θσ δσ= − +

Les approximations discrètes sont alors données dans un choix particulier pour les

paramètres de ce modèle où des composantes saisonnières sont introduites:

1 2 1

2 2( ) cos cos ( )t t tLog S c t t Log S

P P

π πβ β φ ε−

= + + + +

1 2 1

2 2² cos cos ²

t tt t

P P

π πσ ω γ γ αε −

= + + +

Dans cette formulation, on constate que la version « discrète » d’un processus de

« retour à la moyenne » donne un AR(1), tout l’art de la modélisation ARCH/GARCH

consiste à effectuer un « matching » particulier aux données et de définir ensuite une

structure de « variance non constante » pour le terme d’erreur résultant de celui-ci.


123

Dans cet ordre idée, Bystrom[15] incorpore le caractère saisonnier des prix dans

une processus « AR(168) » pour le processus des log-return horaires :

0 1 1 2 24 3 168

0 1 1 2 1² ² ²

t t t t t t

t t t

r a a r a r a r σ η

σ φ φ ε φ σ− − −

− −

= + + + +

= + +

les termes a2 et a3 sont représentatifs des saisonnalité horaire (24h) et

hebdomadaire (168h), l’incertitude η dans le modèle de Bystrom[15] suit une loi

N(0,1) ou une t-distribution de Student de moyenne nulle et variance unitaire à k

degré de liberté.

Comme nous l’avons vu dans pour les modèles continus, il n’est pas trivial d’obtenir

une expression analytique pour les prix Forward / Future.

Dans la classe de modèles définis par Shawky-Marathe –Barrett[], et Worthington-

Higgs[], le prix spot est défini directement à partir du prix Future à maturité et le

terme d’erreur est supposé à variance non constante :

Shawky-Marathe –Barrett [68] Worthington-Higgs[78]

1 2 2

1 1

² ² ²

t t t

p q

t j t j j t j

j j

r F e

e

α α

σ ϖ β γ σ

+

− −= =

= + +

= + +∑ ∑

( )

( )

S

F

r Log Spot

r Log Future

=

=

( )

( 2 )

r Log Spot

F Log Future mois

=

=

Ces deux modèles sont assez semblables et ont été testé sur les marchés

Australien, et nordiques.


124

PPPaaarrrtttiiieee 999 ::: llleeesss mmmooodddèèèllleeesss hhhyyybbbrrriiidddeeesss

Dans cette partie nous présentons un approche complémentaires aux modèles

précédent. Dans notre contexte, l’idée est d’introduire des facteurs physiques ou

exogènes dans un modèle typiquement financier.

Dans un premier temps nous présentons les modèles à changement de régimes,

nous donnons en particulier deux exemples de modèles suivant cette approche :

le modèle de De Jong et Huissman [44] définissant la dynamique à partir d’un

régime stable et d’un régime instable

le modèle de Elliott, Sick et Stein [32] dans lequel le prix est caractérisé par la

capacité de production d’électricité disponible, cette dernière étant modélisée à

partir d’une chaîne de Markov définissant différents niveaux de production.

Nous présentons ensuite les modèles GARCH à changement de régime dont la

définition rigoureuse n’est pas intuitive.

Nous terminons par des modèles alternatifs construits sur des facteur intuitifs (ex :

offre / demande) ou exogènes (ex : température) ayant la possibilité d’être observés.


125

1. Les Modèles à changement de régime : approche par chaîne de Markov

D’une manière pratique, les modèles à changement de régimes permettent de

diversifier le comportement d’une série sur différents intervalle de temps.

En finance, les travaux conduisent rapidement à la théorie des modèles de marchés

à chaîne de Markov, des détails et références plus explicites sont données dans

Ragnar[59].

La formulation basique de ces modèles suit la spécification suivante (Hamilton [39] :

( )

~ (0, )

t

t

t r t

t r

Ln S

N

µ ε

ε σ

= +

Ici, rt représente une variable modélisant l’état du régime au temps t. Dans cette

formulation simplifiée, pour chaque régime donné, le prix est caractérisé par un

niveau et une variabilité spécifique.

Nous donnons dans ce qui suit quelques exemples de modèles utilisant des chaînes

de Markov faisant apparaître des pics de prix.

a. Cas d’un modèle à deux régimes

Un premier exemple de modèle à changement de régime est celui étudié par De

Jong et Huissman [44], qui considèrent deux régimes différents : un stable et un

instable.

Le prix de l’électricité dans le régime stable, est caractérisé par un comportement du

type « retour à la moyenne », c’est à dire d’oscillation autour d’un niveau « normal »

d’équilibre.


126

La formulation de ce régime est donnée par :

1 1( ) ( ) ( ( ))t t t t

Log S Log S Log Sα µ ε− −= + − + (1)

avec 1~ (0, )Nε σ

Le prix de l’électricité dans le régime instable est caractérisé par une distribution log-

normale :

2 2,( )t tLog S µ ε= + (2)

avec 2 2~ (0, )Nε σ

A tout instant t le modèle est caractérisé par l’équation (1) ou (2). Pour définir le

changement de régimes, les auteurs utilisent une chaîne de Markov c(t), dont la

matrice de transition contient les probabilité de passer dans un état ou dans l’autre.

On a :

c(t) = 0 dans le régime stable

= 1 dans le régime instable

Le modèle général est donc donné par :

1 1 2 2, [1-c(t)]*exp( ( ) ( ( )) ) + c(t)*exp( )t t t t tS Ln S Ln Sα µ ε µ ε− −= + − + +

Comme on a définit seulement deux régimes, cette matrice est une matrice 2x2 :

M = 1

1

p p

q q

−

−

p = probabilité de rester dans l’état stable défini par

l’équation (1)

1-p = probabilité de passer de stable à instable

q = probabilité de rester dans l’état instable défini par

l’équation (2)

1-q = probabilité de passer de instable à stable


127

Exemple de Simulation

On considère la matrice de transition suivante :

M = 0.95 0.05

0.99 0.01

Ici le passage du régime stable au régime instable est un événement rare (probabilité

de 0.05), par contre une fois dans cet état le prix va revenir très vite dans le régime

stable (probabilité de 0.99). Ce comportement est effectivement présent dans au

niveau du prix spot de l’électricité : on peut remarquer qu’un pic de prix est toujours

accompagné d’un retour rapide au niveau d’équilibre normal ce qui peut par exemple

s’expliquer par la remise en fonction d’un générateur tombé en panne.

Ce modèle peut être étendu (Huissman et Mahieu [43]) en introduisant un état

transitoire entre l’état instable et l’état stable.

Exemple de simulation :

1

2 2

1 =0.5 0.12

log(10) 0.1

α µ σ

µ σ

= =

= =

Dans cette simulation, la courbe du haut représente l’évolution du prix dans un régime instable, celle du bas (rouge) représente l’évolution dans le régime stable


128

b. Cas d’un modèle à facteur de production

Une autre approche intéressante de modélisation utilisant les chaînes de Markov est

donnée par Elliott, Sick et Stein [32]. Ils proposent en effet un modèles introduisant le

nombre de générateurs électriques fonctionnant à l’instant t, ce nombre étant

variable dans le temps, il est modélisé par une chaîne de Markov. La construction du

modèle est la suivante :

Soit Z = t

Z / t ≥ 0 représentant le nombre de générateurs actifs à l’instant t, ici

tZ prend ses valeurs dans l’ensemble 1, …, N-1, et évolue en tant que chaîne de

Markov homogène. Sans perte de généralité, on peut considérer plutôt la chaîne de

Markov Z = Zt/ t ≥ 0 dont l’espace d’état est l’ensemble des vecteurs unitaires

e1, e2, …, en , ei = (0, ..., 1, ... ,0) de IRN

Soit K le vecteur (0,1,2,…, N-1) de IRN, alors Z est le produit scalaire :

t<K,Z >tZ =

On suppose d’autre part que le logarithme du prix spot « dé-saisonné » Xt suit un

processus de diffusion du type « retour à la moyenne » i.e. :

( )

~ (0,1)

t t t

t

dX X dt dW

avec dW N

α µ σ= − − +

Ainsi le niveau d’équilibre à long terme est µ , la force de rappel est α et la demie-vie

de la déviation du niveau d’équilibre est log(2/α ).


129

On suppose enfin que pour k générateurs, le prix spot est pondéré par un facteur ak,

soit a = (a1, …, ak) dans IRN, le modèle du prix spot est donné par :

exp( ). ,t t tS X a Z= < >

Ainsi, le produit scalaire permet différents niveaux de prix suivant le nombre de

générateurs électriques actifs.

Ce modèle peut encore être amélioré en rajoutant multiplicativement une

composante annuelle ft et hebdomadaire gt.

( ). ( ).exp( ). ,t t tS f t g t X a Z= < >

Exemple de simulation :

On considère que les générateurs sont repartis par tranche de 25%, on suppose que

l’on peut les représenter sur les courbes de l’offre et la demande.

Soit la matrice de transition suivante :

M =

0.005 0.2 0.8 0.005

0.005 0.2 0.8 0.005

0.005 0.2 0.8 0.005

0.005 0.2 0.8 0.005

Dans cet exemple, les probabilité de rester dans un état de faible production sont

très faibles. La situation usuelle est celle où 50-75% sont actifs. On pose a=(5, 0.4 ,

0.09 , 0.001)

offre/demande

0-25%

25-50%

50-75%

75-100%


130

La simulation de la chaîne de Markov fait apparaître ici une prépondérance de l’état

50-75% par rapport aux autres états, les deux états limites ne sont atteint que très

rarement.

Chaîne de Markov Modèle complet

c. Les modèles GRS (Garch Regime Switching)

Nous présentons ici brièvement les éléments théorique dans le cas particulier des

modèles discrets GRS.

Prenons la définition d’un processus r~GARCH(1,1) :

1

1

1

.

~ (0,1)

.

²

t t t t

t

t t t

t t i t

r m h e

e N

h e

h h

ε

γ αε β

−

−

− −

∆ = +

=

= + +

(3)


131

En s’inspirant de la définition donnée par Dueker[28b], le processus r suit un modèle

2-GRS(1,1) (i.e. : GARCH(1,1) à deux régimes), si les paramètres , et α β γ sont

variables et dépendent d’une variable d’état binaire S, i.e. :

1

1

1

.

~ (0,1)

.

( ) ( ) ² ( )

t t t t

t

t t t

t t t t i t t

r m h e

e N

h e

h S S S h

ε

γ α ε β

−

−

− −

∆ = +

=

= + +

(4)

avec :

0 avec une probabilité p

1 avec une probabilité qtS

=

(5)

Si de plus t

m est sous la forme d’un retour à la moyenne i.e. 1.t t

m a c r −= + , on

pourra supposer que les paramètres a et c sont aussi dépendant de la variable d’état

S, i.e. :

1( ) ( ).t t t t

m a S c S r −= + (6)

Un aspect intéressant de cette famille de modèle est le suivant : supposons qu’à un

instant t un changement de régime arrive donnant lieu à un niveau de volatilité élevé,

compte tenu du fait que la valeur à l’instant t+1 du paramètre de volatilité h dépend

de l’ensemble de ses valeurs précédentes, on est alors en droit d’attendre une

certaine persistance de ce saut et donc une période agitée, même si le processus

retourne à l’instant t+1 dans un niveau de faible volatilité.

La spécification donné par (7) n’est toute fois pas encore satisfaisante. Suivant les

remarques de Hamilton et Susmel[39b], celle-ci apparaît pratiquement infaisable

dans la procédure d’estimation du modèle. Cela est dû en particulier à la structure de

la variance conditionnelle ht, qui dépend de l’ensemble des trajectoires de la variable


132

d’état S, d’autant plus que le nombre de régimes possibles croit exponentiellement

avec le temps t.

Pour répondre à se problème tout en gardant une structure GARCH, Gray[1996],

propose en quelque sorte de substituer cette dépendance de trajectoire au profit des

probabilités de changement de régime en segmentant la variance conditionnelle à

chaque état de régime. En effet, si la normalité conditionnelle est supposée entre

chaque régime, alors au temps t, on peut calculer la variance conditionnelle de

changement :

(7)

Et

, , 1 . ² . pour i=0,1i t i i t i i i th hγ α ε β− −= + + (8)

Le modèle que nous retenons est donc donné par les équations (7) et (8).

Pour estimer les paramètres d’un tel modèle, une technique courante consiste à

maximiser la fonction de vraisemblance (Likelihood), dont l’expression est données

par (cf Annexe 13) :

1,

1,

1 1,1,

2,

1,

2,2,

( )²1. exp

22

( )²1 (1 ). exp

22

Nt t

t

t tt

t t

t

tt

r mF p

hh

r mp

hh

π

π

=

− ∆ − =

− ∆ − + −

∏

1 1

0 0, 1 1, 0 1

[ ² | ] [ | ]²

.( ² ) .( ² ) [ . . ]²

t t t

t t

h E r I E r I

p m h q m h p m q m

− −= ∆ − ∆

= + + + − +


133

Soit en prenant le log :

1,

1,2 1,1,

12,

1,

2,2,

( )

( )²1. exp )

22

( )²1(1 ). exp

22

f

t t

t

tt

it t

t

tt

L Log F

r mp

hhLog

r mp

hh

π

π

=

=

− ∆ −

=

− ∆ − + −

∑

d. Autres exemples

Le tableau suivant présente trois autres exemples de modèles à changement de

régime, les deux premiers concernent les prix spot de l’ électricité et le troisième le

prix de la bande passante sur les marchés des télé-commodités.

Modèle mixte (Deng [27])

( )

( )11 1

2 2 2 2

( ) 0( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ²( )

tt

t t t

t t

tK t t XXd dt dW U dN

Y K t t Y t t t t

σθλ

θ ρ σ σ ρ

− = + + − −

Ce modèle introduit tout d’abord une corrélation entre les prix au comptant de

l’électricité (X) et le processus du coût de transformation du pétrole en électricité (Y).

Le processus bidimensionnel de saut qui intervient dans ce modèle, est caractérisé ici

par des intensité définies par une chaîne de Markov U.

Deng[27], indique de plus qu’une solution analytique de ce système existe sous

certaines conditions de régularités.


134

Modèle « Switching Ornstein-Uhlenbeck », Ethier & Mount [33c]

Ce modèle est spécifiée par une formulation discrète :

( )

11

exp( )

t t t

t t

t U t U U

S X

X Xµ φ µ ε−−

=

= + − +

Dans cette formulation, le logarithme des prix (X) est déterminé par un niveau moyen µ

défini par une chaîne de Markov cachée U spécifique à 2 régimes. La variance de la

composante d’incertitude ε dépend aussi de cette chaîne de Markov (i.e. ~ (0, )tt U

Nε σ .

Modèle de Kenyon & Cheliotis [46b]

log( )

( )

X S

dX X GU X dt dW GdU UdV

dX vdt dZ

η σ

ρ

=

= + − + + +

= − +

U = chaîne de Markov à deux états (0 et 1)

G représente une perturbation du niveau d’équilibre , il est défini à partir de la chaîne

de Markov :

( , ) si dU=1

~G sinon

U UGamma g

Gα

V est un processus de poisson de paramètre V

λ , les sauts à la hausse et à la baisse

engendré par ce processus sont répartis équi-probablement, leur amplitude H est

déterminée à partir de leur direction :

( , ) si saut à la hausse

~( , ) sinon

UP UP

DOWN DOWN

Gamma gH

Gamma g

α

α

−


135

e. Modèles à changement de régime Vs Modèles de diffusion à sauts

En théorie, les processus de diffusion à sauts sont généralement utilisés en finance

pour introduire des événements rares, des valeurs extrêmes. De ce fait, il semble

assez paradoxal d’utiliser ce type de modèle pour l’électricité si la présence des

sauts est une caractéristique commune des prix spot ce qui conduit au problème de

l’origine et la prédictibilité de ces pics de prix évoqué par Van Vactor [74].

D’un autre coté, l’utilisation des chaînes de Markov, comme dans le premier exemple

que nous avons donné, permet d’inclure intrinsèquement des brusques variations.

De ce fait le modèle reflète plus la réalité puisque en quelque sorte ces variations ne

sont plus des événements rares mais font partie intégrale du processus. Il est aussi

naturel de penser que dans une période de pics de prix le processus à des

propriétés différentes d’où une séparation des dynamiques.

Reste alors à tester l’existence d’une telle séparation et donc d’une chaîne de

Markov cachée.

D’un point de vue empirique, on constate que les pics de prix dans les données

relevées sont de manière générale toujours accompagné d’un retour rapide au

niveau stable. Il en découle que l’identification des paramètres d’un modèle du type

O.U.+sauts pose problème, l’identification du paramètre de retour à la moyenne

(force de rappel) ne va pas représenter au mieux la dynamique du processus.

2. Autres approches

a. Changement de régime et fonction à seuil

Une manière alternative d’introduire un changement de régime, est d’utiliser une

fonction à seuil et une variable auxiliaire.


136

L’idée générale est la suivante : reprenons la formulation due à Hamilton que nous

avions donnée en supposant qu’un seul paramètre est affecté par le changement de

régime (ex : le paramètre de localisation ou de moyenne µ) :

( )

~ (0, )

tt r t

t

Ln S

N

µ ε

ε σ

= +

Précédemment, nous avions défini la variable discrète de changement de régime t

r à

partir d’une chaîne de Markov. Considérons maintenant une variable auxiliaire t

E

observable ou non observable, corrélée ou non corrélée à S, l’idée est alors

d’exprimer t

r à partir de cette variable en introduisant une fonction à seuil, i.e.

( )t tr f E= .

Exemple de fonction à seuil: Considérons le choix de fonction suivant :

( )] [0 si 0.5, 4

1 sinon

xf x

∈ −=

si l’on pose ( )t tr f E= , l’appartenance à un régime particulier va être déterminé si E

sort ou ne sort pas du tunnel défini par la fonction f

Régime 0

Régime 1

Régime 1


137

Exemple de modèle de prix

Une propriété forte des modèles à changement de régime et des modèles à sauts

vus dans les parties antérieures, concerne la transition de régimes ou le retour vers

un niveau stable (cas des modèles du type Ornstein-Uhlenbeck + sauts) qui sont

réalisés brutalement. Empiriquement, on peut observer que dans les séries de prix

spot d’électricité, un pic de prix s’accompagne successivement d’un retour rapide

vers un niveau stable ainsi que d’une période de variabilité que Roncoroni[64]

associe à un balancement ou réajustement des courbes d’offre et de demande. Afin

de modéliser cette dernière particularité de la dynamique des prix, Roncoroni[64]

propose une famille de modèles combinant les processus à sauts, les changement

de régimes et une fonction à seuil.

Cette famille est définie par l’équation différentielle stochastique suivante pour le

prix :

( ( ) ) ( )t t t t t

mdS dt K m t S dt dW h S dJ

tσ

∂= + − + +

∂ (RC)

La composante continue de ce modèle est du type « retour à la moyenne », le

coefficient K représente la force de rappel, la fonction déterministe m(t) correspond

au niveau d’équilibre à long terme (pouvant présenter des périodicités) autour duquel

oscille le processus de prix.

La composante discontinue de ce modèle est composée d’un processus à saut dont

les sauts sont caractérisés par :

une amplitude

une fréquence

une direction


138

Pour les détails concernant les deux premières caractéristiques, se référer à

Roncoroni[64] ; la troisième caractéristiques est représenté par la fonction h qui est

une fonction du prix S, elle est définie de la manière suivante :

1 si ( )

1 sinon

t t

t

S Th S

<=

−

Ici T est défini par l’auteur comme une translation du niveau d’équilibre à long terme

m :

( )

avec 0

tT m t= + ∆

∆ >

Le processus T représente ici une barrière de séparation de régime dans le sens où

celui-ci induit un changement de comportement dans la dynamique du processus de

prix quand cette barrière est franchie. Cette construction entraîne des saut vers le

bas dés que le processus est dans un régime de prix élevé, inversement tans que ce

niveau n’est pas atteint, les saut pouvant survenir vont être dirigé vers le haut.

D’autres justifications plus orientées vers les propriétés statistiques des prix spot de

l’électricité sont données dans Roncoroni[64].

b. Le modèle BSM (Bid-based Stochastic Model)

Partant de la constatation que les prix spot de l’électricité sont obtenus comme

l’intersection des courbes agrégées de l’offre et de la demande, Skanje, Gubina &

Ilic[69] construisent un processus de prix (horaire et quotidien) défini directement à

partir de ces deux facteurs :

t taL b

tS e

+=

L : processus d’offre, b : processus de demande


139

L’utilisation de la fonction exponentielle dans cette formulation, est suggérée suite à

une approximation réalisée par Skanje, Gubina & Ilic[69] sur les courbes agrégées

de demande pour le marché californien avant la crise.

Les processus L et b sont supposés stochastiques et la modélisation qui est

proposée repose essentiellement sur leurs principales caractéristiques telles que :

la saisonnalité

l’effet de « retour à la moyenne »

la croissance stochastique

Intégré au processus d’offre, un facteur supplémentaire est modélisé : celui de la

mise en / hors service des générateur électriques spécifié comme un processus de

Bernoulli pouvant introduire des variation brusques.

Au final le modèle proposé peut sembler complexe, sa formulation (journalière) est

donnée dans le tableau suivant :

t taL b

tS e

+=

L’ Offre : L

1 1 1

1 1

L L L

t m t m

L L L

t t t

L L L L L L

t t t m t

L L L L L

t t m t

L W v

W e

e e e z

K zδ δ

µ

δ

α σ

δ δ σ

− − −

− −

= +

= +

= − +

= + +

L

mv : vecteur de coefficient mensuels permettant

d’amplifier ou de réduire la variabilité du

processus

L

mµ : vecteur mensuel correspondant au niveau

moyen de l’offre mensuelle

L

tW : processus stochastique représentant

l’incertitude sur l’offre, suite à une analyse en

composante principale, Skanje, Gubina & Ilic

construisent L

tW à partir de deux facteurs


140

et L L

t te δ .

L

te représente l’évolution à court terme de cette

incertitude qui est supposée du type « retour à la

moyenne »

L

tδ représente l’évolution à long terme, qui prend

la forme, selon la terminologie de Skanje, Gubina

& Ilic d’une croissance stochastique.

Il est à remarquer la variabilité / volatilité des ces

deux facteurs est définie à partir de deux

vecteurs mensuels L

mσ et L

m

δσ

La demande : b

1 1 1

1 1

b b b i i

t m t m t m

i

b b b

t t t

b b b b b b

t t t m t

b b b b b

t t m t

b W v

W e

e e e z

K zδ δ

µ π

δ

α σ

δ δ σ

− − −

− −

= + + Ψ

= +

= − +

= + +

∑

La description des facteurs intervenant dans ce

modèle est similaire à la précédente mais vue du

coté de l’offre. La différence vient dans l’ajout du

terme discontinu i i

t m

i

π Ψ∑

Le modèle que nous venons de présenter, de part son nombre de facteurs important

peut sembler complexe, voire exhaustif. En contrepartie, ce nombre de facteurs n’est

pas un obstacle dans l’étape de « calibration » moyennant que les processus d’offre

et de demande L et b soient observable ce qui est le cas dans le cadre de l’étude

menée par Skanje, Gubina & Ilic .

c. Le modèle de Pirrong - Jermakyan

Dans le même ordre d’idée que le modèle précédent, Pirrong et Jermakyan [57]

construisent un processus de prix au comptant à partir des deux variables d’états

que sont :

l’offre

le prix Forward du carburant (fuel)


141

Dans l’approche de Pirrong et Jermakyan [57], le processus de demande est vu

comme un processus contrôlé en ce sens qu’il est soumis aux contraintes de

capacités du parc de production et du réseau de transmission de l’électricité. Si l’on

désigne ce processus par q, et X la capacité physique de production et de

transmission d’électricité, alors :

t tq X<

Comme le font remarquer Pirrong et Jermakyan [57] si le processus de demande

dépasse cette capacité, alors le système peut être mis en échec impliquant alors des

coûts élevés pour les usagers de l’électricité : tant au niveau de la production, de la

transmission et par voie de conséquence de la consommation. Compte tenu de ces

remarques, mathématiquement, Pirrong et Jermakyan [57] construisent ce processus

de demande en suivant la formulation suivante :

( , ) u

t q t t q t t tdq q t q dt q du dLα σ= + −

La capacité physique X (production + transmission) est introduite par Pirrong et

Jermakyan [57] au travers du processus discontinu L :

est croissant

0 sinon

t tL q X

dL

⇔ >

=

Dans ce modèle, Pirrong et Jermakyan [57] expriment le terme de dérive α afin

d’impliquer un effet de « retour à la moyenne » :

( , ) ( ) log( ) ( )q t t q

q t t k q tα µ θ = + −

Comme dans les modèles présentés auparavant, les auteurs suggèrent d’inclure des

composantes calendaires dans le niveau d’équilibre à long terme et dans le terme de

volatilité q

σ .


142

Comme nous l’avions évoqué plus haut, la deuxième variable d’état utilisée par les

auteurs pour déterminer le prix spot de l’électricité, est celle du prix « Forward

marginal » du carburant (marginal fuel price). Dans son cadre d’étude (Marché Nord-

Américain, réseau PJM), cette variable d’état est justifiée par:

la dépendance régionale des prix du gaz naturel et / ou du charbon avec celui

du carburant marginal

la production régionale de l’électricité à partir du gaz et / ou du charbon

La dynamique de cette variable d’état est donnée selon Pirrong et Jermakyan par

l’équation différentielle stochastique suivant, où les paramètres α et σ ont les

interprétations classiques de dérive et volatilité :

/ ( , ) ( , )t t f t t t tdf f f t dt f t dZα σ= +

ici f représente le prix Forward de livraison à une date donnée T du carburant pour

un contrat de livraison de carburant établit à la date t.

A partir de cela, les auteursdéfini le processus de prix au comptant de l’électricité

comme fonction de ces deux variables d’état ce qui - en utilisant la formule d’Ito -

permet d’obtenir une expression de l’équation différentielle régissant la dynamique

de ce processus. Pour plus de détail concernant la forme de cette équation , les

propriétés et l’approximation de la-dite fonction voir Pirrong et Jermakyan [57]


143

d. Le modèle de Barlow[]

A l’instar du modèle BSM, Barlow[1] tente de reproduire la dynamique des prix au

comptant de l’électricité à partir des variables d’états que sont l’offre et la demande.

Suivant l’idée directrice que le processus est déterminé comme l’intersection des

courbes agrégées, en désignant par :

ut(x) l’offre disponible à l’instant t si le prix est x$

dt(x) la demande à l’instant t si le prix est x$

Alors le processus de prix à l’instant t est déterminé par l’égalité :

( ) ( )t t t tu S d S=

Ici les restrictions faites par Barlow sont choix suivants :

le processus de demande est déterminé par un processus stochastique

( )t t t

d S D= régit par une dynamique du type « retour à la moyenne »

1 1

t

t

D a Y

avec dY Ydt dW

σ

λ

= −

= +

le processus d’offre est exprimé comme une fonction déterministe du

processus de prix i.e. ( ) ( )t t t

u S g S=

sous ces conditions, le processus de prix s’exprime alors par :

1( )t t

S g D−=


144

En remarquant d’autre part, que physiquement, le processus d’offre est limité, Barlow

améliore en ce sens cette modélisation en imposant une contrainte sur cette limite

physique M , ainsi :

1

t

( ) si S

si

t t

t

g D D M

K D M

ε

ε

− < −=

≥ −

Dans son étude, Barlow considère le choix suivant :

0

1/

1( ) ( ) pour 0

( ) log( )

tg t g t t

g t t

K

α

α

α

α

ε

−= = >

=

=

Remarque :

Ici le paramètre ε indique que l’on ne souhaite pas que la demande atteigne le

niveau maximum possible. En effet, comme nous l’avions évoqué plus haut, le fait

de mettre le système de Production/Distribution électrique à sa capacité

maximale, peut le mettre en échec. Dans cette optique, le paramètre K

représente un niveau de prix relativement élevé par rapport au niveau « normal »,

est constitue en quelque sorte un frein au processus de demande.

Comme le fait remarquer Barlow, cette famille de modèles peut être étendue

dans l’optique d’un meilleur ajustement à la réalité :

o en rendant variables les paramètres définis comme constant

o en rajoutant des comportements périodiques

o …


145

e. Le modèle SMaPS

Le modèle SmaPS développé par Burger, Klar, Muller et Schindlmayr[54] propose

une approche supplémentaire dans la modélisation des prix au comptant de

l’électricité en partant de ses fondamentaux.

Les composantes utilisée pour ce modèle sont les suivantes :

un processus assujetti à la réserve L

un facteur à court terme X

un facteur à long terme Y

le logarithme de la courbe de réserve f(t,.) qui est supposée déterministe

la disponibilité en moyenne des générateurs électriques supposée

déterministe

L’équation fondamentale du modèle SMaPS est en fait une variante du modèle à

deux facteurs de Lucia & Schwartz[52] dans lequel est ajoutée une composante

« physique » ( , / )t t

f t L v , celle équation est définie par :

( )exp ( , / )t t t t t

S f t L v X Y= + +

Remarques :

la fonction f décrit la relation non linéaire entre les prix au comptant et les

réserves, en toute généralité celle-ci n’est pas déterministe et dépend de

plusieurs sources d’incertitudes telles que le prix du pétrole, du gaz naturel, la

situation économique … Le choix de fonction utilisée par les auteurs provient

d’une estimation entre les prix horaires et les données de réserve.


146

Le rapport /t t

L v est interprété par les auteurs comme la réserve relative, soit

encore la répartition moyenne des réserves par générateur

Enfin, le terme ( , / )t t

f t L v représente la composante du prix expliquée par les

données de réserves et les techniques de production d’électricité.

Pour les processus d’évolution (X) à court terme, et de réserve (L), des formulation

discrètes du type SARIMA sont utilisées. Pour le terme d’évolution à long terme Y,

une formulation continue du type mouvement brownien géométrique, permet aux

auteurs après quelques étapes intermédiaire d’estimer ce facteur à l’aide des

données sur les Futures.

f. Introduction de données climatiques

Comme alternative à leur modèle, Pirrong et Jermakyan font remarquer que le

processus de demande en électricité peut être vu comme dépendant de données

climatiques dont essentiellement la température.

Dans cet ordre d’idée, Hjalmarsson[42b] propose un modèle incluant ce facteur

exogène, la formulation générale est la suivante :

1 11 12

222

( , ) ( , ) ( , )

0 ( , )( )

t t t t t t t

t

t tt t

S S T S T S Td dt dB

S TT T

µ σ σ

σµ

= +


147

Ici , le facteur associé à la température T se retrouve dans le terme de dérive du

processus de prix ainsi que dans la volatilité de celui-ci. Dans cette formulation

certaines remarques sont à faire :

La volatilité de la température est indépendante des prix de l’électricité

La volatilité du processus de prix est séparées en deux composantes

distinctes, le premier terme peut refléter un comportement « stable ». A l’opposé

le deuxième terme peut s’apparenter à une volatilité amplifiée par un

comportement extrême de la température, et par voie de conséquence entraîner

des brusques variation de prix.

Dans cette famille de modèle, l’auteur ne donne pas explicitement d’expression

analytique pour les termes de dérive, et les fonction de volatilité, une estimation

empirique est par contre effectuée. Il est à noter cependant que les résultats

provenant de cette estimation, suggèrent une relation convexe entre la température

et la fonction définissant le deuxième terme de volatilité

g. La relation prix Future / Spot dans le cadre d’un marché hydroélectrique

Nous donnons ici une idée de modélisation qui ressort des travaux de Gjolberg &

Johnsen [36] dans le cadre d’un marché hydroélectricité. Dans ce cas particulier de

marché, l ‘électricité peut être considéré comme stockable en tant que « volume

d’eau » dans les réservoir. Ainsi Gjolberg & Johnsen [36] exploitent les résultats

classiques sur la parité Future / Spot (e.g. Hull, 1998) pour les marchés de

commodité stockable:

( ) (1 )T

t tF T S r W≤ + +

Ici :

( )t

F T représente le prix Future observé au temps t d’un contrat de maturité T


148

le terme de droite de cette inégalité s’interprète comme le coût d’achat,

transformation, stockage … de la commodité

S représente le prix spot

r le taux d’intérêt sans risque

W la valeur future des coûts de stockage durant la vie du contrat

Comme l’indique Gjolberg & Johnsen [36], en faisant la différence entre le terme de

gauche et le terme de droite, on obtient le convenience yield CY, soit encore le

bénéfice fourni par la possession de cette commodité. En conséquence, en incluant

ce facteur supplémentaire, la parité Future / Spot est alors donnée par une égalité :

( ) (1 )T

t tF T S r W CY= + + −

Le convenience Yield est directement rattaché aux capacité de stockage et à

l’inventaire :

si l’inventaire est à son maximum, alors celui-ci n’implique à priori pas de

difficulté de livraison dans le futur proche, ainsi CY aurait tendance à être faible

voire nul

en contrepartie, si l’inventaire est faible, CY tend à être plus élevé que le coût

de portage (« cost of carry »)

Revenons maintenant à notre cas particulier de marché hydroélectrique. Nous avions

évoqué la propriété que l’hydroélectricité peut être considérée comme stockable, en

effet même si la construction d’un barrage présente un coût élevé, le coût marginal

de la production électrique et du stockage de l’eau est minimal aussi longtemps que

la capacité du réservoir n’est pas entièrement sollicitée. Ainsi, le coût marginal de

stockage par unité de production (i.e. 1 unité = quantité d’eau pour produire 1MW/h)

peut présenter des sauts.


149

Suivant ces remarques, Gjolberg & Johnsen [36] donnent une parité plus précise :

[ ]

(1 ) si le niveau d'eau dans les barrages est faible( )

(1 ) . sinon

T

t

t T

t t T

S r CYF T

S r P E S

+ −=

+ +

Dans cette formulation, le coefficient P représente la probabilité d’être dans une

situation de niveau d’eau maximal avant la date T.

En inversant cette dernière relation on obtient un modèle pour le processus de prix

régit par deux dynamiques :

[ ]

[ ]

1( ) si le niveau d'eau dans les barrages est faible

(1 )

1( ) . sinon

(1 )

tT

t

t t TT

F T CYr

S

F T P E Sr

+ +

= − +

le processus de prix que l’on peut définir à partir des travaux de sur la parité Spot-

Future de Gjolberg & Johnsen [36] est défini à partir de trois facteurs :

Le prix d’un contrat de livraison à maturité T

Le convenience yield

Le prix Future à maturité T

Le problème auquel il faudra alors faire face est double :

cette formulation fait en quelque sorte intervenir une « relation de récurrence » entre les prix spot et les prix anticipés

le convenience yield n’est à priori pas observable


150

AAAnnnnnneeexxxeee 111 ::: EEExxxppprrreeessssssiiiooonnn aaannnaaalllyyytttiiiqqquuueee dddaaannnsss llleee MMMooodddèèèllleee dddeee BBBlllaaaccckkk &&&

SSSccchhhooollleeesss

Résolution de :

( ) ( )t t t tdX b t X dt t X dBσ= − +

Où b et σ sont des fonctions déterministes continues de IR dans IR, en vertu du

théorème de Ito, cette équation différentielle stochastique admet une solution unique

X sur tout intervalle de temps [0,T] moyennant un bon choix pour les fonctions b et

σ (…).

Etudions tout d’abord le cas b(t) ≡0, l’équation dans ce cas se présente sous la

forme :

( )t t tdX t X dBσ=

Posons

00 0

1( ) ² ' )

2

t t

t sZ Z s dB s dsσ σ= + −∫ ∫

Appliquons la formule d’Ito au processus Z avec la fonction exponentielle, on obtient

successivement :

00 0

00 0

00

1exp( ) exp( ) exp( ) ( )² ,

2

1exp( ) exp( ) [ ²( ) ²( )] exp( ) ( )

2

exp( ) exp( ) ( )

t t

t s s s s

t t

s s s

t

s s

Z Z Z dZ s d Z Z

Z Z s s ds Z s dB

Z Z s dB

σ

σ σ σ

σ

= + + < >

= + − + +

= +

∫ ∫

∫ ∫

∫

On a donc pour des raisons d’unicité de solution


151

0 0( ) 0.5 ² ' )

0exp( )

t t

ss dB s ds

t tX Z X e

σ σ−∫ ∫= =

Pour déterminer la solution de l’équation de départ, appliquons la formule

d’intégration par partie au processus .

0exp( ( ) ).Y b s ds X= −∫ , on obtient

successivement :

0 0

0

exp( ( ) ) . ( exp( ( ) )) exp( ( ) ),

exp( ( ) ). ( ) ( ).exp( ( ) ) exp( ( ) ),

( ) ( ) 0

t t

t t t t

t

t t t t

t t t

dY b s ds dX X d b s ds d b s ds X

b s ds t X dB b t b s ds X dt d b s ds X

t Y dB b t Y dt

σ

σ

= − + − + < − >

= − − − + < − >

= − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Autrement dit, le processus Y est solution de l’équation de départ et donc l’unique

solution de cette équation s’écrit sous la forme suivante :

t t

s0 0[ ( ) 0.5 ²( )] (s)dB

0 b s s ds

tX X e

σ σ− − +∫ ∫=

Dans le cas particulier où b et σ sont constantes, et en posant a=-b, on obtient :

( 0.5 ²)

0ta t B

tX X e

σ σ− +=


152

AAAnnnnnneeexxxeee 222 ::: MMMooodddèèèllleee ddduuu tttyyypppeee rrreeetttooouuurrr vvveeerrrsss uuunnneee mmmoooyyyeeennnnnneee

1. Résolution de :

( ) ( )t t t

dX b t X dt t dBσ= +

Où b et σ sont des fonctions déterministes continues de IR dans IR, en vertu du

théorème de Ito, cette équation différentielle stochastique admet une solution unique

X sur tout intervalle de temps [0,T] moyennant un bon choix pour les fonctions b et

σ (…).

On considère le processus :

.

0exp( ( ) ).Y b s ds X= ∫

En appliquant la formule d’intégration par partie, on obtient successivement :

0 0

0

0

exp( ( ) ) . ( exp( ( ) )) exp( ( ) ),

exp( ( ) ).( ( ) ( ) ) ( ).exp( ( ) ) exp( ( ) ),

( ) ( ) exp( ( ) ) ( ) 0

t t

t t t t

t

t t t t

t

t t t

dY b s ds dX X d b s ds d b s ds X

b s ds b t X dt t dB b t b s ds X dt d b s ds X

b t Y dt t b s ds dB b t Y dt

σ

σ

= − + − + < − >

= − + − − + < − >

= + − − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

D’où en simplifiant les calculs :

0( ) exp( ( ) )

t

t tdY t b s ds dBσ= −∫

En intégrant cette dernière équation et en utilisant la relation liant X et Y, on arrive

facilement à l’expression de X :

0 0( ) ( )

00

.( ( ) )

t stb u du b u du

t sX e X e s dBσ−∫ ∫= + ∫


153

Un cas particulier intéressant est celui où b(t)=b=cte et ( )t cteσ σ= = , ce qui donne

l’expression simplifiée suivante :

( )

00

tbt b t s

t sX X e e dBσ −= + ∫

2. Résolution de :

( )t t tdX X dt dBκ α σ= − +

On suppose ici que , et κ α σ sont des constante.

Compte tenu de ce qui précède, on considère le changement de variable :

t tY Xα= − , le processus Y vérifie alors l’équation :

[ ( ) ]

t t t

t t

dY dX X dt dB

Y dt dB

κ α σ

κ σ

= − = − − +

= − −

L’expression de Y est donc donnée par :

( )

00

tt t s

t sY Y e e dBκ κσ− − −= − ∫

soit encore

( )

00

( )t

t t s

t sX X e e dBκ κα α σ− − −− = − − ∫

Ce qui donne après simplification, l’expression de X :

( )

00

(1 )t

t t s t

t sX X e e e dBκ κ κα σ− − −= + − + ∫


154

D’où l’expression de l’espérance conditionnelle :

0 0[ ] [ ] T

TE X X eκα α −= + −

L’expression de la variance est donné par :

2

0

²( ) (1 )

2

T

TVar X eκσ

κ−= −


155

AAAnnnnnneeexxxeee 333 ::: CCCaaalllcccuuulllsss aaauuutttooouuurrr ddduuu ppprrroooccceeessssssuuusss CCCIIIRRR

1. Cas du processus réel

Soit donc X le processus défini par Cox, Ingersoll et Ross, sa dynamique est donnée

par l’équation différentielle stochastique suivante :

( ) (C.I.R.)dX X dt X dWκ α σ= − +

Calcul de l’espérance conditionnelle

L’expression sous forme intégrale de l’équation (C.I.R.) donne :

0 0 0

0

( ) ( )

T

T uE X X T E X duκα κ= + − ∫

Posons US= 0 ( )SE X on constate que U vérifie l’équation différentielle classique :

dU Uκα κ= −

On en déduit facilement l’expression recherchée :

0 0( ) ( )T TE X e X e

κ κα α −= + −


156

Calcul de la variance conditionnelle

On va tout d’abord calculer X² en appliquant la formule d’Ito :

3

2

1( . ) 2 .2 ² 2 [ ( ) ] ²

2

( ² 2 ) 2 ² 2

d X X XdX Xdt X X dt X dW Xdt

X dt X dt X dW

σ κ α σ σ

σ κα κ σ

= + = − + +

= − − +

La forme intégrale de cette équation donne l’expression de X² :

3

20² ² ( ² 2 ) 2 ² 2X X X dt X dt X dWσ κα κ σ= + − − +∫ ∫ ∫

On prend l’espérance conditionnelle :

0 0 0 0( ²) ² 2 ( ²) ( )( ² 2 )s s

E X X E X ds E X dsκ σ κα= − + −∫ ∫

En différentiant :

00 0 0 0

( ²)2 ( ²) ( ² 2 ) ( ) 2 ( ²) ( ² 2 ) t

s s s

dE XE X E X E X X e

dt

κκ σ κα κ σ κα −= − + − = − + −

On en déduit la relation :

2

2 200 0 0 0

( ( ²))[ 2 ( ²) ( ² 2 ) ] 2 ( ²) ( ² 2 )

tt t t t

s s

d e E Xe E X X e e E X X e

dt

κκ κ κ κκ σ κα κ σ κα−= − + − + = −

En intégrant on obtient l’expression de l’espérance conditionnelle de X² utile pour le

calcul de la variance :

2

0 00 2

( 1) ( )( ²) ( ² 2 ) ( ² 2 )

t t t

t

X e X e eE X

e

κ κ κ

κσ κα σ κα

κ κ

− −− −= − = −

On en déduit le calcul de la variance :

220

0 0 0 0

( )( ) ( ²) ( )² ( ² 2 ) ( )²

t tT TX e e

Var X E X E X e X eκ κ

κ κσ κα α ακ

− −−−

= − = − − + −


157

AAAnnnnnneeexxxeee 444 ::: MMMooodddèèèllleee dddeee LLLuuuccciiiaaa &&& SSSccchhhwwwaaarrrtttzzz eeettt ppprrroooccceeessssssuuusss dddeee rrreeetttooouuurrr

vvveeerrrsss uuunnneee mmmoooyyyeeennnnnneee

Expression de l’EDS vérifiée par S sachant que :

( ) ( )

(*)

t t

t t

Log S f t X

dX X dt dZκ σ

= +

= − +

On a se ramène tout d’abord à une expression en S :

exp( ( )).exp( )

t tS f t X=

En différenciant et en utilisant la formule d’Ito on obtient alors successivement :

(exp( )).exp( ) exp( )exp( )

(exp( )).exp( )

1exp( )[exp( ) exp( ) , ]

2

1[ ] ,

2

t

t

fdS d X f f X dt

t

fd X f Sdt

t

ff X dX X d X X Sdt

t

fS Xdt dZ Sd X X Sdt

tκ σ

∂= +

∂

∂= +

∂

∂= + < > +

∂

∂= − + + < > +

∂

D’après (*), , ²td X X dtσ< > = , la poursuite des calculs donne :

1[ ] ²

2

1[ ( ( ) ) ] ²

2

1 ². ( )

2

fdS S Xdt dZ S dt Sdt

t

fLog S f dt dZ S S dt Sdt

t

ff Log S Sdt SdZ

t

κ σ σ

κ σ σ

σκ σ

κ κ

∂= − + + +

∂

∂= − − + + +

∂

∂ = + + − +

∂

Bref S vérifie l’équation :

( ( ))dS b Log S Sdt Sdtκ σ= − +

avec

1 ²( ) ( ) ( )

2

fb t t f t

t

σ

κ

∂ = + +

∂


158

AAAnnnnnneeexxxeee 555 ::: CCCaaalllcccuuulllsss aaauuutttooouuurrr ddduuu mmmooodddèèèllleee ààà dddeeeuuuxxx fffaaacccttteeeuuurrrsss dddeee LLLuuuccciiiaaa &&&

SSSccchhhwwwaaarrrtttzzz

Le modèle que nous considérons est défini par :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (O.U.)

( ) ( ) (ABM)

t

X X

Log S f t X t t

avec

dX t X t dt dZ t

d t dt dZ tε ε

ε

κ σ

ε µ σ

= + +

= − +

= +

Les deux processus de Wiener X et dZdZε sont supposés corrélés selon la relation :

.XdZ dZ dtε ρ=

( )tLog S suivant une distribution normale, on a la relation :

0 0[ ( )] 0.5 [log( )]

0 ( ) t tE Log S Var S

tE S e+=

Et

0 0 0( [ ( )] [ ( )]) [ ( )]

0[ ] .( 1)t t tE Log S Var Log S Var Log S

tVar S e e+= −

On sait calculer l’espérance conditionnelle de ( )tLog S dans l’univers risque neutre :

0 0 * 0[ ( )] ( ) (1 )t t

tE Log S f t X e e tκ κα µ ε− −= + + − + +

Pour le calcul de la variance conditionnelle, on utilise la propriété de la variance :

0 0 0 0[ ( )] [ ] [ ] 2 ( , )t t t t tVar Log S Var X Var Cov Xε ε= + +

Connaissant 0 0[ ] [ ]t tVar X Var ε+ , nous avons besoin de calculer 0 ( , )t tCov X ε , à cet

effet nous utilisons la méthode donnée par Schwartz et Smith [71].


159

Considérons le processus U=[X,ε ], avec un pas de temps ∆t=t/n, l’approximation

discrète de ce processus donne la relation 1t t tU c QU η−= + +

Où

0 1 0 Q=

0 1

tc

t

κ

µ

− ∆ =

∆

et ηt est une gaussienne bivariée de matrice de variance-covariance W

²

²

x x x

x x

t tW

t tε

σ ρσ σ

ρσ σ σ

∆ ∆ =

∆ ∆

Avec ce processus, la matrice de variance-covariance nV s’exprime facilement de

manière récursive :

n n-1V V ' Q Q W= +

D’autre part en remarquant que 0V 0= et en développant la récurrence on arrive à la

relation :

21

n

0

² (1 ) (1 )V

(1 ) ²

i inx x x

ii x x

t t t t

t t tε

σ κ ρσ σ κ

ρσ σ κ σ

−

=

∆ − ∆ ∆ − ∆=

∆ − ∆ ∆ ∑

Le calcul des sommes à l’intérieur de la matrice donne alors :

1 2

2

²

²

x x x

n

x x

K KV

K n tε

σ ρσ σ

ρσ σ σ

=

∆

avec 2( 1) 1

1 22

1 (1 ) 1 (1 ) et

1 (1 ) 1 (1 )

n nt t

K t K tt t

κ κ

κ κ

− −− − ∆ − − ∆= ∆ = ∆

− − ∆ − − ∆


160

On passe à la limite quand n tend vers l’infini :

2

1 2

1 1 et

t te e

K Kκ κ

κ κ

− −− −→ →

On a donc l’expression de V et l’expression de 0 ( , )t tCov X ε :

0

(1 )( , )

t

Xt t

eCov X

κεσ σ ρ

εκ

−−=

Une autre méthode pour calculer 0 ( , )t tCov X ε consiste à utiliser le calcul d’Ito.

Par définition :

0 0 0 0( , ) ( ) ( ) ( )Cov X E X E X Eε ε ε= −

On connaît les valeurs des espérances conditionnelles sachant l’état initial de X et ε :

0 0 0( ) et ( )KtE X X e E tε µ−= =

Par la formule d’Ito on a l ‘expression du produit Xε :

0 0

0 0 ( ) ( )

X

X X X

X X Xd dX dt

X X dt dW Xdt dW dt

ε

ε ε ε

ε ε ε ε σ σ ρ

ε µ σ ε κ σ σ σ ρ

= + + +

= + + + − + +

On peut ainsi déterminer l’expression de l’espérance conditionnelle sachant l’etat initial :

0 ( )E Xε = 0 0 ( ) ( ) XX E X dt E X dt tεε µ κ ε σ σ ρ+ − +∫ ∫

En dérivant par rapport à t :

00 0

( )( ) ( ) X

dE XE X E X

dtε

εµ κ ε σ σ ρ= − +


161

On a aussi :

0 00 0

[ ( ) ( )]( ) td E X E

E X tX edt

κεµ κµ −= −

Il en découle l’expression de la dérivée par rapport à t de 0 ( , )t tCov X ε :

00 0

( , )( )tt t

X

dCov XtX e E X

dx

κε

εκµ κ ε σ σ ρ−= − +

On en déduit alors une expression simple de 0(exp( ). ( , )) /t td t Cov X dtκ ε :

00 0 0 0 0

0 0 0

[ ( , )]( ( ) ) ( ( ) ( ) ( ))

( ) ( ) ( )

tt t tt t

X

t t t

X

t

X

d e Cov XtX e E X e e E X E X E

dx

tX e e e E X E

e

κκ κ κ

ε

κ κ κε

κε

εκµ κ ε σ σ ρ κ ε ε

κµ σ σ ρ κ ε

σ σ ρ

−

−

= − + + −

= + −

=

On intègre pour obtenir l’expression recherchée :

0

( 1) (1 )( , )

t t

X Xt t t

e eCov X

e

κ κε ε

κ

σ σ ρ σ σ ρε

κ κ

−− −= =


162

AAAnnnnnneeexxxeee 666 ::: AAAuuutttooouuurrr ddduuu mmmooodddèèèllleee ààà dddeeeuuuxxx fffaaacccttteeeuuurrrsss dddeee PPPiiillliiipppooovvviiiccc

A. Résolution du SEDS définissant le modèle à deux facteurs de Pilipovic

Le système est donc le suivant :

1

2

( ) (1)

(2)

dS L S dt SdW

dL Ldt LdW

α σ

µ γ

= − +

= +

Où 1 et ²dW dW sont les incréments indépendants de deux mouvements Brownien

Standard: 1 ² 0dW dW = .

1ere étape

La résolution de l’équation (2) donne :

2( 0.5 ²)

0

t W

tL L eµ γ γ− +=

2eme étape

On résout l’équation homogène issue de (1) :

1' ( ') ' (1)'dS S dt S dWα σ= − +

La solution de (1)’ est :

1( 0.5 ²)

0' ' t W

tS S eα σ σ− + +=

3eme étape

Posons S = S’.Y, avec 0 0'S S= et Y désigne un processus tel que Corr(S’,Y)=0


163

On remplace alors S dans (1), on obtient successivement :

1

1

' ' , '

= [ ' ' ] ' ( , ')

( )

dS YdS S dY d Y S

Y S dt S dW S dY Corr Y S dt

L S dt SdW

α σ

α σ

= + + < >

− + + +

= − +

On en déduit donc que le processus Y doit vérifier la relation :

'S dY Ldtα=

Soit encore :

'

LdtdY

S

α=

Il suffit alors d’intégrer cette dernière relation pour obtenir l’expression de Y :

2 1( 0.5 ²) ( 0.5 ²)00 0

00 0' '

s s

t t

s W s Wst

s

L ds LY Y Y e e

S S

µ γ γ α σ σαα − + + −= + = +∫ ∫

On a alors l’expression de la solution :

2 11 ( 0.5 ²) ( 0.5 ²)( 0.5 ²) 00 0

0 0

' ''

s s

t

s W s Wt W

t t t

LS S Y S e Y e e

S

µ γ γ α σ σα σ σ α − + + −− + +

= = +

∫

Avec S0=S’0 on en déduit Y0=1, d’où l’expression finale de S :

2 11 ( 0.5 ²) ( 0.5 ²)( 0.5 ²) 00

0 0

1 s s

t

s W s Wt W

t

LS S e e e

S

µ γ γ α σ σα σ σ α − + + −− + +

= +

∫


164

B. Calcul de l’espérance

A partir de l’expression précédente, on peut calculer l’espérance conditionnelle

sachant l’etat initial.

On a donc successivement :

1 2 1

1 2 11

( 0.5 ²) ( 0.5 ²) ( 0.5 ²)00 0

0 0

( 0.5 ²) ( 0.5 ²) ( 0.5 ²)( 0.5 ²) 00 0 0

0 0

(00 0 0

0

1t s s

t s s

t

t W s W s W

t

t W s W s Wt W

t

LE S e e e ds

S

LS E e E e e e ds

S

LS e S E e

S

α σ σ µ γ γ α σ σ

α σ σ µ γ γ α σ σα σ σ

µα

α

α

α

− + + − + + −

− + + − + + −− + +

−

+

= +

= +

∫

∫

2 1 1

2 1 1

2 1

0.5 ²) ( 0.5 ²) ( 0.5 ²)

0

( 0.5 ²) ( 0.5 ²)( ) ( )

0 0 0

0

( 0.5 ²) ( 0.5 ²)( )

0 0 0

0

0 0 0

s s t

s t s

s t s

t

s W s W t W

t

s W t s W Wt

t

s W t s Wt

t

e e ds

S e E L e e ds

S e E L e e ds

S e L E

γ γ α σ σ α σ σ

µ γ γ α σ σα

µ γ γ α σ σα

α

α

α

α

−

− + + − − + +

− + − + − − −−

− + − + − −−

−

= +

= +

= +

∫

∫

∫

2 1( 0.5 ²) ( 0.5 ²)( )

0

s t s

t

s W t s We e ds

µ γ γ α σ σ −− + − + − − ∫

On utilise le fait que l’on a deux processus indépendant :

2 1( 0.5 ²) ( 0.5 ²)( )

0 0 0 0 0

0

( ) ( )

0 0 0 0

0 0

( ) ( )

0 0 0 0

0 0

[ ] s t s

t

s W t s Wt

t

t t

t s t s t t s s

t t

t t s t t s

E S S e L E e E e ds

S e L e e ds S e L e ds

S e L e ds S e L e ds

µ γ γ α σ σα

α µ α α α µ

α α µ α α α µ α

α

α α

α α

−− + − + − −−

− − − − − − +

− − + + − − + +

= +

= + = +

= + = +

∫

∫ ∫

∫ ∫

En calculant l’intégrale on trouve l’expression recherchée :

0 0 0[ ] t t t

tE S S e L e eα µ αα

µ α− − = + − +


165

AAAnnnnnneeexxxeee 777 ::: CCCaaalllcccuuulllsss aaauuutttooouuurrr ddduuu mmmooodddèèèllleee ààà dddeeeuuuxxx fffaaacccttteeeuuurrrsss dddeee GGGiiibbbsssooonnn

eeettt SSSccchhhwwwaaarrrtttzzz

Soit le système

1

2

( )

[ ( ) ]

S

C

dS r C Sdt SdW

dC C dt dW

σ

κ α λ σ

= − +

= − − +

Et soit G = log(S)

Pour simplifier à un changement de variable prés on peut considérer que C vérifie :

2( ) CdC C dt dWκ α σ= − +

A. Calcul de Et(G(T))

On détermine d’abord la dynamique de G à partir de celle de S, par la formule d’Ito

on obtient :

1

1

1 ²,

2 ²

1 1 1( ) ² ²

2 ²

1²

2

S S

S S

G G GdG dt dS d S S

t S S

r C Sdt SdW S dtS S

r C dt dW

σ σ

σ σ

∂ ∂ ∂= + + < >

∂ ∂ ∂

− = − + +

= − − +

On suppose que le taux r est constant et on intègre :

G(T)= 11( ) ² ( ) ( )

2

T T

S St t

G t r T t C s ds dWσ σ

+ − − − +

∫ ∫


166

La composition avec l’espérance conditionnelle donne alors successivement :

( )( )

( )

1( ( )) ( ) ² ( ) [ ( )]

2

1( ) ² ( ) [ ( ) ]

2

1( ) ² ( ) [ ( ) ]

2

T

t S tt

Ts t

St

Ts t

St

E G T G t r T t E C s ds

G t r T t C t e ds

G t r T t C t e ds

κ

κ

σ

σ α α

σ α α

− −

− −

= + − − −

= + − − + − −

= + − + − − −

∫

∫

∫

Finalement :

( )1 1[ ( )] ( ) ² ( ) [ ( ) ].

2

T t

t S

eE G T G t r T t C t

κ

σ α ακ

− −− = + − + − − −

B. Calcul de la variance

On a successivement :

1

0 0

1

00 0

1 1

0 0 00 0 0 0

1

0 00

1[ ( )] ( ) ² ( ) ( )

2

( )

( ) 2 ( ) ,

( ) 2

T T

S St t

T T

S

T T T T

S S

T

S T S

Var G T Var G t r T t C s ds dW

Var C s ds dW

Var C s ds Var dW Cov C s ds dW

Var C s ds Var W

σ σ

σ

σ σ

σ σ

= + − − − +

= − +

= + −

= + −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫1

00

1

0 00 0

( ) ..

( ) ² 2 ( ) ..

T

T

T T

S S T

E C s ds W

Var C s ds T E C s ds Wσ σ

= + −

∫

∫ ∫

Posons :

1

0 00 0

( ) et ( ) ..T T

TA Var C s ds B E C s ds W = = ∫ ∫


167

Calcul de A

En utilisant la définition de dC :

2 2

0 00

( ) (0) ( )

TT T

C Ct t

t

C s ds dt dW dC T dW C C Tσ σ

α ακ κ

= + − = + + −

∫ ∫ ∫

A partir de cette expression, on obtient :

[ ]

[ ]

2

0 00

0

2 2

0 0 0

0 0

2

0 0

0

[ ( ) ] (0) ( )

( ) 2 , ( )

² ( ) 2

²

TT

Ct

T T

C Ct t

T

C Ct

A Var C s ds Var T dW C C T

Var C T Var dW Cov dW C T

Var C T T E dW

σα

κ

σ σ

κ κ

σ σ

κ κ

= = + + −

= + −

= + −

∫ ∫

∫ ∫

. ( )C T ∫

Il faut donc calculer le dernier terme de cette expression

Par la formule d’Ito on obtient :

2 2 2 ( )

0 0 0 0

. ( ) ( ) ( )

T T T T

s T

t t t CdW C T C t dW W dC t e dsκσ −= + +∫ ∫ ∫ ∫

On compose avec l’espérance conditionnelle sachant l’état initial

( )

( )

( )

2 2 ( )

0 0

0 0 0

2

0

0

2 2

0

0

2

0

0

. ( ) ( )

( ) 1

1 ( ( ))

1 ( )

T T T

s T

t t C

T

TCt

T

TCt C t

T

TCt

E dW C T E W dC t e ds

E W dC t e

e E W C t dt dW

e E W C t dt

κ

κ

κ

κ

σ

σ

κ

σκ α σ

κ

σκ

κ

−

−

−

−

= +

= + −

= − + − +

= − −

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

Donc 2

0

0

. ( )

T

tE dW C T ∫ vérifie une l’équation différentielle suivante :

T

C

dYe Y

dT

κσ κ−= −


168

La résolution de cette dernière équation par la méthode de la variation de la constante donne :

2

0

0

. ( )

T

T

t CE dW C T Teκσ −

=

∫

On en déduit donc l’expression de A :

[ ]0

2

²( ) 2

²

² ² ²(1 ) 2

2 ²

TC CC

T TC C C

A Var C T T Te

e T Te

κ

κ κ

σ σσ

κ κσ σ σ

κ κ κ

−

− −

= + −

= − + −

Finalement :

2² ²(1 ) (1 2 )

2 ²

T TC CA e T eκ κσ σ

κκ κ

− −= − + −

Calcul de B

En utilisant l’expression de dC :

1 2 1

0 0

2 1

0

( ) .. .

( ) (0) .

T TC

T t T

TC

t T

C s ds W dt dW dC W

T C T C dW W

σα

κ

σα

κ

= + −

= − + +

∫ ∫

∫


169

On compose avec l’espérance conditionnelle sachant l’état initial :

1 2 1

0 00 0

2 1

00

2 1 1

00 0

1

0

( ) .. ( ) (0) .

( ) .

. ( ).

( ).

T TC

T t T

TC

t T

T TC

t t T

CT

B E C s ds W E T C T C dW W

E dW C T W

E dW dW C T W

T E C T W

σα

κ

σ

κ

σ

κ

ρσ

κ

= = − + +

= −

= −

= −

∫ ∫

∫

∫ ∫

Il faut donc calculer 1

0 ( ). TE C T W , en suivant le même processus que

précédemment on trouve :

1

0 C( ). = T

TE C T W Te κρσ −

L’expression de B est donc :

C TCB T Teκρσ

ρσκ

−= −

L’expression recherchée de la variance est donc la suivante :

2

0 C

² ²[ ( )] (1 ) (1 2 ) ² 2

2 ²

T T TC C CS SVar G T e T e T T Te

κ κ κσ σ ρσκ σ σ ρσ

κ κ κ− − −

= − + − + − −

Ce qui donne en factorisant :

( )2

0

² ² 2[ ( )] (1 ) (1 2 ) ² 1

2 ²

T T TC C S CSVar G T e T e e

κ κ κσ σ ρσ σκ σ κ

κ κ κ− − −

== − + − + − −


170

AAAnnnnnneeexxxeee 777bbb ::: MMMooodddèèèllleeesss mmmuuullltttiiifffaaacccttteeeuuurrrsss eeettt ccchhhaaannngggeeemmmeeennnttt dddeee ppprrrooobbbaaabbbiiillliiitttééé

A. Cas des modèles à deux facteurs de Lucia & Schwartz

Nous reprenons ici la formulation dans l’univers réel de ces modèles :

( ( )) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (O.U.)

( ) ( ) (AMB)

G(t)=t ou Log(t)

X X

G S t f t X t t

avec

dX t X t dt dZ t

d t dt dZ tε ε

ε

κ σ

ε µ σ

= + +

= − +

= +

avec la corrélation :

.XdZ dZ dtε ρ=

Pour travailler avec des processus de Wiener indépendants, nous pouvons poser :

1 ² 'XdZ dZ dZε ερ ρ= + −

avec

. ' 0XdZ dZε =

Le système différentiel stochastique intervenant dans la définition de la dynamique

du processus devient est donc donnée par :

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1 ² ' ( )

X X

X

dX t X t dt dZ t

d t dt dZ t dZ tε ε

κ σ

ε µ σ ρ ρ

= − +

= + + −


171

Nous envisageons maintenant le changement de probabilité suivant ( suggérée par

la formulation « risque neutre » donnée par les auteurs) :

' '

X X X X X XdZ dZ dt dZ dZ dt

dZ dZ dt dZ dZ dtε ε ε ε ε ε

λ λ

λ λ

= + = − ⇔

= + = −

% %

% %

Avec ce changement de probabilité, le système différentiel stochastique intervenant

dans la définition de la dynamique du processus devient :

( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

1 ² '

1 ²

1 ² 1 ²

XX X X X X X X

X

X X

X X

dX Xdt dZ X t dt dZ dt X t dt dZ

d dt dZ dZ

dt dZ dt dZ dt

dt dZ dZ

ε ε

ε ε ε

ε ε ε ε ε

λκ σ κ σ λ κ σ

κ

ε µ σ ρ ρ

µ σ ρ λ ρ λ

µ σ λ ρ λ σ ρ σ ρ ρ

= − + = − + − = − − +

= + + −= + − + − −

= − − − + + −

% %

% %

% %

Soit encore

( )( )

*

* 1 ²

X X

X

X

X

dX m X t dt dZ

d dt dZ

avec

m

dZ dZ dt

ε ε

ε ε ε

ε

κ σ

ε µ σ

λ

κ

µ µ σ λ ρ λ σ ρ

ρ

= − +

= +

= −

= − − −

=

%

%%

%% %

Bref, compte tenu de ce résultat, la formulation « risque neutre » proposée par les

auteurs correspond au cas où ρ =0.


172

B. Cas du modèle à deux facteurs de Gibson et Schwartz

Nous rappelons que la dynamique dans l’univers réel est définie par le système

différentiel stochastique suivant :

( )

( )

1

2

S

C

dS C Sdt SdW

dC C dt dW

µ σ

κ α σ

= − +

= − +

avec la corrélation

1 2dW dW dtρ=

Comme précédemment, nous introduisons dans cette formulation des processus

indépendants :

( )

( ) ( )

1

3 11 ²

S

C

dS C Sdt SdW

dC C dt dW dW

µ σ

κ α σ ρ ρ

= − +

= − + + −

avec

1 3 0dW dW =

Toujours, dans le même ordre d’idée que celui des auteurs, pour le passage à

l’univers risque neutre, nous considérons le changement de probabilité suivant :

1 1 1 1

1 1

3 3 3 3

2 2

dW dW dt dW dW dt

dW dW dt dW dW dt

λ λ

λ λ

= + = − ⇔

= + = −

% %

% %


173

Avec ce changement de probabilité, le système différentiel stochastique intervenant

dans la définition de la dynamique du processus devient :

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

1

1

3 1

2 11 ²

S

C

dS C Sdt S dW dt

dC C dt dW dt dW dt

µ σ λ

κ α σ ρ λ ρ λ

= − + −

= − + − + − −

%

% %

Soit en simplifiant :

( )

( ) ( )

1

1

3 1

1 1

2 1

1 ²

1 ²

S

C

S

C C

dS C Sdt SdW

dC m C dt dW dW

avec

m

µ σ

κ σ ρ ρ

µ µ σ λ

σ λ ρ σ λ ρα

κ

= − +

= − + + −

= −

+ −= −

%

% %

D’où en utilisant des processus corrélés :

( )

( )

1

1

2

1 1

2 1

2 1

1 ²

0

S

C

S

C C

dS C Sdt SdW

dC m C dt dW

avec

m

dW dW

µ σ

κ σ

µ µ σ λ

σ λ ρ σ λ ρα

κ

= − +

= − +

= −

+ −= −

=

%

%

% %

Ainsi, le cas paramètre λ que nous avions introduit dans la formulation risque neutre

initiale (p47) correspond au prix mesuré sur le marché du risque associé au facteur C

seulement dans le cas où la corrélation ρ est nulle.


174

AAAnnnnnneeexxxeee 888 ::: UUUnnn cccaaasss sssiiimmmpppllleee dddeee dddiiiffffffuuusssiiiooonnn aaavvveeeccc sssaaauuutttsss

Considérons le modèle suivant :

dSdt dW Udq

Sµ σ= + +

Ici, on suppose que le prix spot S présente des sauts 1 2, ,... nU U U aux instants

1 2 t , t , ..., tn

Sur les intervalles de temps [ti, t i+1 [, le modèle ne présente pas de sauts et est donc

donné par :

dS

dt dWS

µ σ= +

à l’instant ti, le saut de St est donné par :

i i i it t t t iS S S S U− −∆ = − =

On a donc (1 )

i it t iX X U−= + .

Pour 1[0, [t t∈ :

( 0.5 ²)

0tt W

tS S eµ σ σ− +=

La limite à gauche donne :

1 1

1

( 0.5 ²)

0

tt W

tS S eµ σ σ− +

− =

Et par conséquent :

1 1

1

( 0.5 ²)

0 1(1 ) tt W

tS S U eµ σ σ− +

= +


175

Puis pour 1 2[ , [ :t t t∈

1 1

1

1 1

1

1 11 1

( 0.5 ²)( ) ( )

( 0.5 ²)( ) ( )

1

( 0.5 ²) ( 0.5 ²)( ) ( )

0 1

( 0.5 ²)

0 1

(1 )

(1 )

(1 )

t t

t t

t t t

t

t t W W

t t

t t W W

t

t W t t W W

t W

S S e

S U e

S e U e

S U e

µ σ σ

µ σ σ

µ σ σ µ σ σ

µ σ σ

− − + −

− − + −

−

− + − − + −

− +

=

= +

= +

= +

On obtient ainsi de proche en proche :

( )( 0.5 ²)

0

1

(1 ) t

N tt W

t j

j

S S U eµ σ σ− +

=

= +

∏

Où N(t) représente le nombre de sauts avant l’instant t. pour N(t)=0, on impose par

convention l’égalité à 1 du produit entre crochets.

On peut encore écrire :

0tV

tS S e=

avec :

( )

1

( 0.5 ²) où (1 )N t

t t j j j

j

V t W Y Y Log Uµ σ σ=

= − + + = +∑


176

AAAnnnnnneeexxxeee 999 ::: EEExxxeeemmmpppllleeesss dddeee MMMooodddèèèllleeesss AAAJJJDDD

A. O.U. + sauts : cas de la distribution gaussienne ( ) ( )

( ) * ( *, ²) ( *)

t t

t X t X X J

Log S f t X

dX X dt dW J dNφ κ σ µ σ λ

= +

= − + + +

L’ expression du prix des Futures est donnée par l’expression :

( )( , , ) (1, , , )r f T

TF t T S e e X t T

τ ψ=

D’après la représentation de (1, , , )X t Tψ , il faut trouver les expressions de α et β :

.

0 0 0 0

.

1 1 1 1

1( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ( )) 1]

2

1( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ( )) 1]

2

T T

T T

t K t t H t l t

t K t t H t l t



= − − − −

= − − − −

Ici, on a :

0 1

0 1

0 1

0 1

,

( ) , 0

( ) , 0

( ) , 0

X

X

K K

X H H

X l l

R X r

φ κ

σ σ

λ λ

ρ ρ

= − = −

= = =

= = =

= = =

Les équations différentielles se simplifient donc :

.

.

1 1( ) ( ) ( ) ( )² ² [ ( ( )) 1] ( ) ( )² ² [ ( ( )) 1]

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

X X X Xt r t t t r t t t

t t t

α φ β β σ λ θ β φ β β σ λ θ β

β κ β κβ

= − − − − − = + − − −

= − − =

D’autre par il faut connaître l’expression de la fonction θ qui est la fonction

caractéristique d’une gaussienne usuelle :


177

0.5 ² ²( ) J Jc c

c eµ σθ +=

La résolution des équations différentielles donne alors :

( )

( ) 2 ( )

( ) 2 ( )

1 1

( , , )

1( , , ) ² ² [ ( ( )) 1]

2

11 ² ² (1 ) [ ( ( )) 1]

4

( , ) [ ( ( )) 1] ( , ) ( , )

T

T s T s

X X

t

T

T t T tXX

t

T

t

t T u ue

t T u r ue u e s ds

ur e u e s ds

t T s ds t T C t T

κτ

κ κ

κ κ

β

α φ σ λ θ β

φτ σ λ θ β

κ κ

α λ θ β α

−

− − − −

− − − −

=

= − − + + −

= − − − + − + −

= + − = +

∫

∫

∫

Finalement on obtient l’expression recherchée pour le prix des Futures/Forwards

( )

( )

2 2

2 2

1² ² ( ) [ ( ( )) 1]

4( ) ( )

1² ² ( ) [ ( ( )) 1]

4( )

( , , ) ( , , , )

T

T t T tXX T

t

T

T t T tXX T

t

ur e e u e e s ds ue X

r f T r f T

T T

ue e u e e s ds X ue

f T

F t T S e e u S t T e e e

e e

κ κ κ κ κτ

κ κ κ κ κτ

φτ σ λ θ β

κ κτ τ

φσ λ θ β

κ κ

ψ

− − − − −

− − − − −

− + − − − + − +

− − − + − +

∫= =

∫=

Soit en terme de Log :

( ) 2 21( ( , , )) ( ) ² ² ( ) [ ( ( )) 1]

4

T

T t T tXT X T

t

uLog F t T S f T e e u e e s ds X ue

κ κ κ κ κτφσ λ θ β

κ κ− − − − −= + − − − + − +∫

ici u=1, donc :

( )( ) 2 ( ) 21( ( , , )) ( ) 1 ² (1 ) [ ( ( )) 1]

4

T

T t T T t tXT X T

t

Log F t T S f T e e e e s ds X ueκ κ κ κ κτφσ λ θ β

κ κ− − − − − −= + − + − + − +∫

Et en utilisant les expressions de β et θ :

( )( ) 2 ( )0.5 ²2 2

( ( , , ))

1( ) 1 ² (1 ) [ 1]

4

T s T sJ J

T

T

e eT tXX T

t

Log F t T S

f T e e e e e ds X eκ κµ σκτ κ κτ κ κτφ

σ λκ κ

− − − −+− − − −= + − + − + − +∫


178

B. O.U. + sauts : cas de deux types de sauts

En univers risque neutre, la dynamique du modèle est donnée par :

( ) ( )

( ) * ( * ) ( *) ( * ) ( *)

t t


Log S f t X


= +

= − + + + +

Ici les amplitudes des sauts à la hausse et à la baisse Ju et Jd, suivent une

distribution exponentielle de moyenne ηu et ηd respectivement.

Pour simplifier les écritures, on écrit plutôt :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t t


Log S f t X


= +

= − + + + +

Ici l’expression des termes α et β va prendre en compte l’influence de ces deux types

de sauts :

.

0 0 0 0

1

.

1 1 1 1

1

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ( ), ) 1]

2

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ( ), ) 1]

2

mT T i i

i

mT T i i

i

t K t t H t l t t t

t K t t H t l t t t



=

=

= − − − −

= − − − −

∑

∑

Dans notre cas on a :

0 1

0 1

2

, 0 , 1 ,

2

0. soit , 0

( )

( ( ) ( ) ) ( ) ( )

X

t

i j i j i j X

m

R r X r

X K K X X

X X H H X

ρ ρ

µ φ κ

σ σ σ

=

= + = =

= + = − −

= + =


179

On obtient donc :

.2

2

.

1( ) ( ) ² [ ( , 1] [ ( , 1]

2

1² [ ( , 1] [ ( , 1]

2

( ) ( )

u d

X X u d

u d

X X u d

t r u u

r u u

t

α φ β β σ λ θ β λ θ β

φ β β σ λ θ β λ θ β

β κ β κβ

= − − − − − − −

= + − − − − −

= − − =

Avec les conditions terminales : ( ) , ( ) 0T u Tβ α= =

On trouve alors :

( )

2 2

0

( , )

²( , , ) [ ( , ( , ) 1] [ ( , ( , ) 1]

2

T t

T t T

s s u d

X X u d

t

u t ue

uu t T r ue e ds u u s u u s ds

κ

κ κ

β

α φ σ λ θ β λ θ β

− −

−− −

=

= − − + + − + − ∫ ∫

On sait facilement calculer le premier terme intégral intervenant dans l’expression de

α, il reste à calculer le deuxième terme.

Pour une distribution exponentielle de fréquence 1/α η= , on a :

1

( ) exp( ) ( ) exp( ) exp( )1

c cz d z cz z dzc c

αθ ν α α

α η= = − = =

− −∫ ∫


180

On peut donc calculer les terme du type .

.[ ( , ( , ) 1]

T

t

u u s dsλ θ β −∫ , on a successivement :

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

1[ ( , ( , ) 1] [ 1]

1 ( , )

1[ 1]1

1 11

1 1

1 1

1

T T

t t

T

T s

t

T TT s T s TT s

T s T st

t t

T T T t

u u s ds dsu s

dsue

ue ueds ds Log ue

ue ue

Log ue Log ue

Log

κ

κ κκ

κ κ

κ κ

λ θ β ληβ

λη

η η λλ λ η

η η κ

λη η

κλ

κ

− −

− − − −− −

− − − −

− − − −

− = −−

= −−

− + = = = − − − −

= − − − −

= − −

∫ ∫

∫

∫ ∫

( ) ( )( )

( )

1

1

1

T t

T t

u Log ue

ueLog

u

κ

κ

η η

λ η

κ η

− −

− −

− −

−=

−

On en déduit en conséquence l’expression de la fonction α :

( ) ( )

2 2

0

2

²( , , ) [ ( , ( , ) 1] [ ( , ( , ) 1]

2

1 1²( ) 1 1

4 1 1

T t T

s s u d

X X u d

t

u u d dX

u d

uu t T r ue e ds u u s u u s ds

ue ueu ur T t e e Log Log

u u

κ κ

κτ κτκτ κτ

α φ σ λ θ β λ θ β

λ η λ ηφ

κ κ κ η κ η

−− −

− −− −

= − − + + − + −

− −= − − + − + − + +

− −

∫ ∫

On en déduit alors l’expression de ψ dans ce modèle :

( ) ( )2²( , , ) exp ( ) 1 1 ( , )

4

X u uu X r T t e e C u Xue

κτ κτ κτφψ τ τ

κ κ− − −

= − − + − + − + +

Avec

1 1( , )

1 1

u u d d

u d

ue ueC u Log Log

u u

κτ κτλ η λ ητ

κ η κ η

− − − −= +

− −

On obtient ainsi l’expression des prix Forward/Future :

( )( , , ) (1, , )r f T

T tF t T S e e Xτ ψ τ=


181

AAAnnnnnneeexxxeee 111000 ::: AAAJJJDDD ààà dddeeeuuuxxx fffaaacccttteeeuuurrrsss

A. Ajout de sauts dans le « Log – modèle » à deux facteurs de Lucia-Schwartz

Le modèle à étudier est défini par :

J

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( , )dN( )

( ) ( )

t

X X J

Log S f t X t t

avec

dX t X t dt dZ t J

d t dt dZ tε ε ε

ε

κ σ µ σ λ

ε µ σ

= + +

= − + +

= +

Soit en encore en univers risque neutre en simplifiant les notations :

J( ) ( ( ) ) ( ) ( , )dN( )

( ) ( ) ( )

X X X JdX t X t dt dZ t J

d t dt dZ tε ε ε ε

κ φ σ µ σ λ

ε µ φ σ

= − + + +

= − +

J0 ( , )dN( )( ) 0 ( )

( ) 0 0 ( ) 01 ²

XX JJdX t X tdt dZ

d t tε ε ε

σφ µ σ λκ

µ φε ε σ ρ σ ρ

− − = + + + − −

où dZ représente un Mouvement Brownien Standard 2D, ici le processus de saut bi-

dimensionnel est un cas particulier où la deuxième composante est nulle, l’amplitude

des sauts suit une distribution gaussienne .

Dans ce modèle, la transformation ψ s’écrit :

1 2( , ( , ), , ) exp( ( , , ) ( , , ) ( , , ) )u X t T u t T u t T X u t Tψ ε α β β ε= + +


182


.

0 0 0 0

.

1 1 1 1

1( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ( )) 1]

2

1( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ( )) 1]

2

T T

T T

t K t t H t l t

t K t t H t l t



= − − − −

= − − − −

Dans le modèle en question :

0 1

0

0,

0 0

0 ²et =

²1 ² 0 1 ²

X

X X X X

X

K K

H x

ε

ε ε

ε εε ε ε

φ κ

µ φ

σ σ σ ρ σ σ σ ρ

σ σ ρ σσ ρ σ ρ σ ρ

− − = =

−

= − −

Les équations différentielles deviennent alors :

[ ] [ ].

1 2 1 2 1 2

.1

1( ) ( ) ² ² ² ² 2 [ ( ( )) 1]

2

( )0

X X Xt r t

t

ε ε ε εα φ β µ φ β σ β σ β σ σ ρβ β λ θ β

κββ

= − − + − − + + − −

− = −

Compte tenu de la condition β(T)=u, la résolution de la deuxième équation

différentielle est immédiate :

.

11 1

1 2

2

exp( ( ))( ) (( , ), )

0 0

u T tt u u t

u

κκβ κββ β

− −− = − = ⇒ =


183

L’expression de θ se calcule aisément :

1 2 1 2 1 1 1 1( , ),( , )

1 2 1 2 1 1 1

²

(( , )) ( , ) ( ) ( )

²exp ²

2

c c z z c z c z

gauss

JJ

c c e d z z e d z e f z dz

c c

θ υ υ

σµ

< >= = =

= +

∫ ∫ ∫

Il reste donc à calculer α, on obtient successivement avec la condition α(T)=0:

[ ] [ ]1 2 1 2 1 2

( ) 2 ( ) ( )

1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ( ) ² ( )² ² ( )² 2 ( ) ( ) [ ( ( )) 1]

2

1e ( ) ² e ² ² 2 e [ ( ( )) 1]

2

T

X X X

t

T

T s T s T s

X X X

t

t T t

r s s s s s s s ds

r u u u u u u s ds

ε ε ε ε

κ κ κε ε ε ε

α α α

φ β µ φ β σ β σ β σ σ ρβ β λ θ β

τ φ µ φ σ σ σ σ ρ λ θ β− − − − − −

− =

= − − − + − − + + − −

= − + − + − + + + + −

∫

2 1 212 2 1

2 1 212 2 1

1 1² ² (1 e ) ( ) ² ²(1 e ) (1 e )

2 4

[ ( ( )) 1]

1 1² ² (1 e ) ( ) ² ²(1 e ) (1 e ) ( , , )

2 4

XXX

T

t

XXX

u uur u u u

s ds

u uur u u u B u t T

κτ κτ κτεε ε ε

κτ κτ κτεε ε ε

σ σ ρφτ σ τ µ φ τ σ

κ κ κ

λ θ β

σ σ ρφτ σ τ µ φ τ σ

κ κ κ

− − −

− − −

= − + − − + − + − + −

+ −

= − + − − + − + − + − +

∫

∫

avec

( ) 2 ( )

1 1

²( , , ) [exp e ² e 1]

2

T

T s T sJJ

t

B u t T u u dsκ κσ

λ µ − − − − = + −

∫

B. Modèle de Gibson & Schwartz + sauts

Le deuxième modèle s’écrit en univers risque neutre sous la forme suivante :

1

J

2

( ) ( )

( ) ( , )dN( )

[ ( ) ]

t t

X X S J

c c C

Log S f t X

avec

dX X C dt dZ J

dC C dt dZ

κ φ σ µ σ λ

κ α φ σ

= +

= − − + + +

= − − +

L’amplitude des sauts J suit une distribution gaussienne


184

Comme précédemment, il convient d’écrire la dynamique des variables d’état sous

une forme matricielle :

J01 ( , )dN( )( ) ( )

0( ) ( ) 01 ²

XX X J

CC C C C

JdX t X tdt dZ

dC t C t

σφ κ µ σ λ

κκ α φ σ ρ σ ρ

− − = + + + −− −


.

0 0 0 0

.

1 1 1 1

1( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ( )) 1]

2

1( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ( )) 1]

2

T T

T T

t K t t H t l t

t K t t H t l t



= − − − −

= − − − −

On a de plus :

0

0 ²=

²1 ² 0 1 ²

X X C X X C

X C CC C C

H xσ σ σ ρ σ σ σ ρ

σ σ ρ σσ ρ σ ρ σ ρ

= − −

Le système différentiel devient alors :

[ ] [ ].

1 2 1 2 1 2

.1

1 2

1( ) ( ) ² ² ² ² 2 [ ( ( )) 1]

2

( )

X C C X X

X

C

t r t

t

ε εα φ β κ α φ β σ β σ β σ σ ρβ β λ θ β

κ ββ

β κ β

= − − + − − + + − −

− = −

−

En utilisant condition β(T)=u, l’expression de β1 est aisément calculable :

( )

1 1( ) e X T tt u

κβ − −=

En utilisant la méthode de la variation de la constante, on en déduit l’expression de β2 :

( ) ( )1 12 ( ) X C C CXT t t t tT t

C X C X

Au Aut e B e e Be

κ κ κ κκβκ κ κ κ

− − + − −− − = + = +

+ +

où A et B sont des constantes à déterminer.


185

Il reste donc à calculer α, on obtient successivement avec la condition α(T)=0:

[ ] [ ]1 2 1 2 1 2

211 2

1 2

( ) ( ) ( )

1( ) ² ² ² ² 2 [ ( ( )) 1]

2

² ²² ²( )

2 2

[ ( ( )) 1]

T

X C C X C X C

t

T T

CXX C C

t t

T T

X C

t t

t T t

r s ds

r ds ds

ds s ds

α α α

φ β κ α φ β σ β σ β σ σ ρβ β λ θ β

σ βσ βτ φ β κ α φ β

σ σ ρβ β λ θ β

− =

= − − − + − − + + − −

= − + − + + − +

+ + −

∫

∫ ∫

∫ ∫

On utilise les expression de β1 et β2 calculées précédemment :

( )

2 ( )( ) 21

1 2

( )

1 2

2

1 1 1

² ²² e( ) e ( )

2 2

e [ ( ( )) 1]

² (1 e )(1 e ) ( ) (1 ) (

4

X

X

X

CX

X X

T TT sT s X

X C C

t t

T T

T s

X

t t

T

X XC C

X X X C X C

ut r u ds ds

u ds s ds

u u Au Ber e

κκ ε

κε

κκ τκ τ κ τ

σ βσα τ φ κ α φ β

σ σ ρ β λ θ β

φ στ κ α φ

κ κ κ κ κ κ

− −− −

− −

−−− −

= − + − + + − +

+ + −

−= − − − + + − − −

+

∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )

( )

22 ( )21 1

( )21 1

1 )

² ² ² 2²(1 ) (1 ) (1 e )

2 2 ² 2 ² ²

(1 ) (1 e )2

[ ( ( )) 1]

C

CC

C C XX

C

C XX

TT

X C X C X C

T

X

X C X X C

T

t

e

A u ABu eB ee e

Au Bu ee

s ds

κ τ

κκκ τ κ κ τκ τε

κκ κ τκ τ

ε

σ

κ κ κ κ κ κ

σ σ ρκ κ κ κ κ

λ θ β

−−−−

−−−

−

+ − − − + − + −

+ − + − + −

+ −∫

Dans notre cas u2=0, ce qui donne en utilisant l’expression de β2 la relation suivante

entre A et B :

1 CT

XC

AuBe κ

κ κ−= −

+

Posons d’autre part 1

XC

CAu

κ κ=

+


186

On obtient alors successivement avec u1=1:

( )

2

2 ( )2

( )2

²(1 e )( ) (1 e ) ( ) (1 ) (1 )

4

² ² ² 2 ²(1 ) (1 ) (1 e )

2 2 2

(1 ) (1 e )2

[ ( ( ))

X

CX X

C C XX

C XX

X XC C

X X X C

C

X C X C

X C

X X C

C Ct r e e

C C Ce e

C Ce

s

κ τκ τκ τ κ τ

κ τ κ κ τκ τ

κ κ τκ τ

φ σα τ κ α φ

κ κ κ κ

σ

κ κ κ κ

σ σ ρκ κ κ

λ θ β

−− −

−−

−−

−= − − − + + − − + −

+ − − − − − −

+ − − −

−

+ −

( )

22

( )

1]

( ) ( )(1 e ) (1 )

( )² 2 ( 1) ² ²(1 ) (1 )

4 4

² ²(1 e ) [ ( ( )) 1]

CX

CX

C X

T

t

C C X C C

X C

X C X C

X C

T

X C

C X t

ds

C Cr e

C C Ce e

C Cs ds

κ τκ τ

κ τκ τε

κ κ τε

κ α φ φ κ α φτ

κ κ

σ σ σ σ ρ σ

κ κ

σ σ σ ρλ θ β

κ κ

−

−

−

− − −= − + − + −

+ + −+ − − −

++ − + −

−

∫

∫

On peut alors calculer l’expression des prix Future/Forward :

2 ( )2

1 2 3 4 5( ) (1 e ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 e )

exp( , ) e

( , , )C C C XX X

XT

t

f T A A e A e A e A

B t T XF t T S

κ τ κ τ κ κ τκ τ κ τ

κ τ

−− −

−

+ − + − + − + − + −

+ +

=

Avec :

( )

1 2

3 4

5

( ) 2 ( )

( ) ( )

( )² 2 ( 1) ² ²

4 4

² ²

²( , ) [exp e e 1]

2

C C X C C

X C

X C X C C

X C

C X C

C X

T

T s T sJJ

t

C CA A

C C CA A

C CA

B t T dsκ κ

κ α φ φ κ α φ

κ κ

σ σ σ σ ρ σ

κ κ

σ σ σ ρ

κ κ

σλ µ − − − −

− − −= =

+ + −= = −

+=

−

= + −

∫


187

AAAnnnnnneeexxxeee 111111 ::: AAAJJJDDD eeettt CCCIIIRRR

Le but de cette annexe est de résoudre le système suivant

.

.

( ) ( )

1( ) ( ) ² ( )²

2

t r Km t

t K t t

α β

β λβ β

= −

= − Σ

A. Cas de la deuxième équation

On commence par factoriser le membre de droite :

. 1 ² 2( ) ( ) ² ( )² ( ) ( )

2 2 ²

Kt K t t t t

λβ λβ β β β

Σ = − Σ = − −

Σ

Posons maintenant le changement de variable suivant :

( )

( )

( )

( ) 2 e( ) log ( )

2 ² 1 e( )²

u t

u t

t Ku t t

Kt

β λβ

λβ

= ⇔ = − Σ − −

Σ

(CV)

Remarque : La condition aux bornes ( ) 1Tβ = , est donc équivalente à

( ) ( )1 ² 2

( ) log =-log =log ² log ² 22 ²

1²

Ku T K

K

λλ

λ

Σ −

= Σ − Σ − Σ −

Σ

En dérivant la relation (CV) :

2 ( ) ' ² 2( ) ' *

2² 2 ²( ) ( )

²

K t Ku t K

Kt t

λ β λλ

λβ β

Σ = − = − − =

Σ Σ − Σ


188

on a donc

( ) ( ) ( )u t u T K T tλ= + −

soit encore

( ) ( )( ) log ² log ² 2 ( )u t K K T tλ λ= Σ − Σ − + −

En effectuant le changement de variable pour revenir à l’équation d’origine, on

obtient alors :

( ) ( )

( ) ( )( )

log ² log ² 2 ( ) ( )

( )log ² log ² 2 ( )

2 e 2 e ( )

² 2 ² e² 1 e

K K T t K T t

K T tK K T t

K Kt

K

λ λ λ

λλ λ

λ λβ

λ

Σ − Σ − + − −

−Σ − Σ − + −= − = −

Σ − − ΣΣ −

B. Résolution de la première équation

Nous rappelons sont expression :

.

( ) ( )t r Km tα β= −

En l’intégrant et en utilisant la condition aux bornes, on obtient successivement :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t t t

T T T

t T r Km s ds r Km s ds r t T Km s dsα α β β β= + − = − = − −∫ ∫ ∫La difficulté revient donc à évaluer l’intégrale dans le dernier terme de droite

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 e 2 e( )

² 2 ² e ² 2 ² e

2 log ² 2 ² e 2 log ² 2 ² e2log 2

² ² ²

t t TK T s K T s

K T s K T s

T T t

TK T s K T t

t

K Ks ds ds ds

K K

K KK

λ λ

λ λ

λ λ

λ λβ

λ λ

λ λλ

− −

− −

− −

= − =Σ − − Σ Σ − − Σ

Σ − − Σ Σ − − Σ− = = −

Σ Σ Σ

∫ ∫ ∫

On obtient finalement pour α l’expression suivante :

( ) ( )

2 2( ) log

² 2 ² e ²K T t

Km Kt r t T

Kλ

λα

λ −

= − −

Σ + Σ − Σ


189

AAAnnnnnneeexxxeee 111222 ::: AAAuuutttooouuurrr ddduuu mmmooodddèèèllleee dddeee KKKeeelllllleeerrrhhhaaalllsss

A. Changement de probabilité

Le modèle dans l’univers réel utilisé par Kellerhals[] est formulé par le système

différentiel suivant :

( )

,

,

P

t t t t S t

P

t t t t

dS S dt S dW

d dt dWν

µ ν

ν κ θ ν σ ν

= +

= − +

Où les deux processus de Wiener intervenant ci-dessus sont supposés corrélés :

, ,

P P

S t tdW dW dtν ρ=

Dans un premier temps, nous intégrons cette corrélation dans la formulation du

modèle réel en introduisant un processus indépendant ,

P

tWν% de ,

P

tWν . Nous écrivons

donc :

( ) ( ),

, ,1 ²

P

t t t t S t

P P

t t t S t t

dS S dt S dW

d dt dW dWν

µ ν

ν κ θ ν σ ν ρ ρ

= +

= − + + − %

A propos du passage au processus « risque neutre », dans son approche, Kellerhals

néglige un point qui est la prise en compte de cette corrélation. En effet, l’auteur

considère le changement de probabilité défini par :

*

, ,

, ,

Q P

S t S t t

Q P

t t t

dW dW dt

dW dW dtν ν ν

λ ν

λ ν

= +

= +


190

Où νλ et λ sont supposés constant. Cependant, νλ dépend nécessairement de la

corrélation ρ car si ce paramètre est nul, le changement de probabilité n’a aucun effet

sur le deuxième facteur.

Nous considérons maintenant le changement de probabilité défini par

* *

, , , ,

, , , ,

Q P P Q

S t S t t S t S t t

Q P P Q

t t t t

dW dW dt dW dW dt

dW dW dt dW dW dtν ν ν ν

λ ν λ ν

β β

= + = − ⇔

= + = − % % % %

où β est arbitraire.

Pour le premier facteur (le prix S), l’équation obtenue est inchangée par rapport à

celle proposée par l’auteur :

( )*

,

Q

t t t t t S tdS S dt S dWµ λ ν ν= − +

La différence intervient sur le deuxième facteur, on obtient successivement :

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

, ,

, ,

, ,

, ,

1 ²

1 ²

1 ² 1 ²

1 ² 1 ²

P P

t t t S t t

Q Q

t t S t t t

Q Q

t t t t S t t

Q Q

t t t t S t t t

d dt dW dW

dt dW dt dW dt

dt dW dW

dt dW dW

ν

ν

ν

ν

ν κ θ ν σ ν ρ ρ

κ θ ν σ ν ρ λ ν ρ β

κ θ ν λσρν βσ ρ ν σ ν ρ ρ

κ θ ν λσρν βσ ρ ν σρ ν σ ρ ν

= − + + −

= − + − + − −

= − − + − + + −

= − − + − + + −

%

%

%

%

Si l’on pose

( ), , ,1 ²Q Q Q

t S t tdW dW dWν νρ ρ= + − %

On trouve alors

( ) ( )( )*

,1 ² Q

t t t t t td dt dWνν κ θ ν λ σρν βσ ρ ν σ ν = − − + − +


191

avec la relation de corrélation

, ,

Q Q

t S tdW dW dtν ρ=

Remarques :

- avec ce qui précède, le changement de probabilité univers réel / « risque

neutre » est donné par :

( )

*

, ,

*

, , 1 ²

Q P

S t S t t

Q P

t t t

dW dW dt

dW dW dtν ν

λ ν

ρλ ν β ρ

= +

= + + −

- avec les choix particuliers :

( ) ( )*, , 1 ²

0

t t t tS tνλ ν λ σρν βσ ρ ν

ρ

= + −

=

on retombe sur une équation « risque neutre » pour le deuxième facteur

identique à celle proposée par l’auteur, a ceci près que si l'on ajuste les

facteurs il faut tenir compte de la dépendance avec la corrélation de λv

( ) ( ) ,, , Q

t t t t t td S t dt dWν νν κ θ ν λ ν σ ν= − − +


192

Concernant l’évaluation des prix forward, compte tenu de ce qui précède, la

dynamique du processus risque neutre est exprimée par le système différentiel

stochastique suivant :

( )

( ) ( )( )

*

,

*

,1 ²

Q

t t t t t S t

Q

t t t t t t

dS S dt S dW

d dt dWν

µ λ ν ν

ν κ θ ν λ σρν βσ ρ ν σ ν

= − + = − − + − +

Dans le même ordre d’idée que Kellerhals[], nous considérons le choix particulier

( ) ( )1 ² 1 ²t tνβσ ρ ν λ ρ ν− = −

Avec νλ supposé constant. Le système devient donc :

( )

( ) ( )( )

*

,

*

,1 ²

Q

t t t t t S t

Q

t t t t t t

dS S dt S dW

d dt dWν ν

µ λ ν ν

ν κ θ ν λ σρν λ ρ ν σ ν

= − + = − − + − +

En posant X=log(S), et *0.5λ λ= + on peut se ramener à une formulation équivalente

du type AJD :

( )( )0 0

0 0.5 1 ² 1 ²

tt t Q

t t t t

X Xd dt dW

ν

λ νµ

κ λ σρ λ ρν κθ ν σρ ν σ ρ ν

− = + + − + − + − −

Posons

( )0.5 1 ²νλ σρ λ ρϒ = − + −

Avec ce dernier changement de variable, on retombe sur la « formulation AJD » qui

va nous servir à obtenir les prix forward.

( )00

0 1 ²

tt t Q

t t t t

X Xd dt dW

νλµ

κν κθ ν σρ ν σ ρ ν

− = + + − + ϒ −


193

B. Expression des prix Forward

Nous voulons trouver une expression analytique des prix Forward à partir de la

définition que nous avions évoquée précédemment :

( , ) [ | ] [ | ]TXRN RN

T t tF t T E S S E e S= =

où les processus X et v sont définis par les équations suivantes :

( ) , (1)**Q

t t t S tdX v dt v dWµ λ= − +

( ) ( ), ,( ) ( , , ) = ( ) (2)*Q Q

t t v t t t v t t v t t v tdv v S v t dt v dW v v dt v dWκ θ λ σ κ θ λ σ= − − + − − +

En intégrant la première équation on obtient :

,( )

T T

Q

T t s s S s

t t

X X T t v ds v dWµ λ= + − − +∫ ∫

On introduit maintenant la corrélation entre les deux processus :

( ), ,( ) 1 ²

T T

Q Q

T t s s v s X s

t t

X X T t v ds v dW dWµ λ ρ ρ= + − − + + −∫ ∫

où , , et Q Q

v s X sW W sont indépendant.


194

En intégrant maintenant l’équation (2)*, on en déduit :

( ) ( ) , (2)*

T T

Q

T t v s s v s

t t

v v T t v ds v dWκθ κ λ σ− = − + + +∫ ∫

d’où :

( ) ( ),

1T T

Q

s v s T t v s

t t

v dW v v T t v dsκθ κ λσ

= − − − − +

∫ ∫

Il en découle alors :

( ) ( )

, ,

,

( ) 1 ²

( ) 1 ²

( )

( , ) [ | ] [ | ]

[ | ]

[

T T

QQt s s v s s X s

t tT

T T T

Qt s T t v s s X s

t t t

T

s Tt t

t

X T t v ds v dW v dWXRN RN

t t

X T t v ds v v T t v ds v dW

RN

t

v ds vX T t v

RN

F t T E e S E e S

E e S

e E e

µ λ ρ ρ

ρµ λ κθ κ λ ρ

σ

ρκθρ ρ λ κ λµ σσ σ

+ − − + + −

+ − − + − − − − + + −

− + − ++ − − −

∫ ∫= =

∫ ∫ ∫=

∫=

( ) ,1 ²

| ]

T T

Qv s s X s

t t

v ds v dW

tS

ρ + −

∫ ∫

En considérant le processus Z défini par :

( ) ( )2 2,

0 0

11 1

2

t t

Qs sX sv dW v ds

tZ e

ρ ρ− − −∫ ∫=

On peut uniformiser la dernière expression obtenue :

( )( )

11 ²( ) 2

( , ) [ | ]

T

vs T

t tt

v ds vX T t vRN T

t

t

ZF t T e E e S

Z

ρ κ λκθρ ρ λ ρµ σσ σ

+ − + − − + + − − −

∫=

Il suffit alors d’effectuer un deuxième changement de mesure pour obtenir la formule

recherchée.


195

C. Résolution du système (S1)

Nous rappelons que le système considéré est le suivant :

.

2

.

1

.

2 2 2

( ) ( ) (1)

( ) 0 (2)

( ) ( ) ²( ) (3)

( 0.5)

( )

0.5 ²

v

t e f t

t

t c b t a t

avec

c

b

a

e

f

α β

β

β β β

λ

κ λ σρ

σ

µ

κθ

= +

=

= + +

= − +

= − + +

= −

= −

= −

a. résolution de (3)

On commence par factoriser le polynôme de degré 2

1 2' ² ' ( )( )2 2

² 4

b by c by ay y a y y a y y y y

a a

avec b ac

− + ∆ − − ∆= + + = − − = − −

∆ = −

L’équation (3) est donc équivalente à

1 2

'

( )( )

ya

y y y y=

− −

On pose maintenant le changement de variable :

1 1 2

2

exp( ) log

1 exp( )

y y y v yv y

y y v

− −= ⇔ =

− −


196

par dérivation on a aussi :

( ) ( )

1

2 1 2

1 1 2

2

''( )

'

y y

y y y y yv

y y y y y y

y y

−

− − = =− − −

−

Avec ce changement de variable, l’équation (3) est donc équivalente à :

1 2' ( )v a y y= −

On peut facilement intégrer cette nouvelle équation :

1 2( ) ( )v t a y y t K= − +

On effectue le changement de variable inverse :

1 2 1 1 2 2

1 2

exp( ) exp( ( ) )

1 exp( ) 1 exp( ( ) )

y v y y a y y t K yy

v a y y t K

− − − += =

− − − +

De plus on peut remarque que :

1 22 2

b by y

a a a

− + ∆ − − ∆ ∆− = − =


197

et que :

( )( )

2 2 2

2 2 2

1 e

22 1 e

e e e c2

coth2 2 2 2 2

22 e e e2

t K

t K

t K t K t K

t K t K t K

b

aa

t Kh

b b t K b

a a a at Kasha

∆ +

∆ +

∆ + ∆ + ∆ +−

∆ + ∆ + ∆ +−

∆ +−

−

∆ +∆ + ∆ ∆ ∆ + = − = − − = − − ∆ +

−

Finalement la solution de (1) est donnée par :

coth ( )2

( )²

v

t K

y t

κ λ σρ

σ

∆ +∆ − + +

=

avec

( )² ²(2 1)vκ λ σρ σ λ∆ = + + − +

On utilise maintenant la condition au borne ( ) 0y T = pour déterminer la constante K,

on obtient successivement les équivalences suivantes:

coth ( )2

( ) 0 coth ( ) 0² 2

coth ( ) coth2 2

coth 2 coth2

v

v

vv

v v

T K

T Ky T

T K T K

T KArc K Arc T

κ λ σρ

κ λ σρσ

κ λ σρκ λ σρ

κ λ σρ κ λ σρ

∆ +∆ − + +

∆ + = = ⇔ ∆ − + + =

+ +∆ + ∆ +⇔ ∆ = + + ⇔ = ∆

+ + + +∆ + ⇔ = ⇔ = − ∆

∆ ∆


198

La constante K est donc donnée par

2 coth vK Arc Tκ λ σρ+ +

= − ∆ ∆

On remplace cette expression dans celle obtenue pour y(t) :

( )

( )

( )

coth 0.5( ) coth ( )

( )²

coth 0.5( ) *coth coth 1

( )

coth 0.5( ) coth coth

²

coth 0.5( ) *

vv

v

v

v

T t Arc

y t

T t Arc

T t Arc

T t


σ

κ λ σρ


σ

κ

+ + ∆ − − ∆ + − + +

∆ =

+ + − − ∆ +

∆ ∆ − + + + +

− − ∆ + ∆ =

− − ∆

∆

=

( )

( ) ( )

( )

( )( )

1

( )

coth 0.5( )

²

coth 0.5( ) *( )

coth 0.5( )

²

( )²

² coth 0.5( )

v

v

v

v

v

v

v

v

T t

T t

T t

T t

λ σρ


σ


κ λ σρ

σκ λ σρ

σ κ λ σρ

+ + +

∆ − + ++ +

− − ∆ + ∆

− − ∆ + + + ∆ − + +

+ + − − ∆ + ∆ =

∆ − + +=

∆ − − ∆ + + +

Finalement, la solution de (3) est

( )( )2

( )²( ) ( )

² coth 0.5( )

v

v

t y tT t

κ λ σρβ

σ κ λ σρ

∆ − + += =

∆ − − ∆ + + +


199

b. résolution de (1)

Compte tenu de la condition aux bornes, la résolution de cette équation ce ramène à

l’intégration suivante :

[ ] [ ]2 2( ) ( ) ( ) ( )

T T

t t

t T e f u du e f u duα α β β= − + = − +∫ ∫

On va donc utiliser l’expression précédemment calculée pour 2 ( )uβ , successivement

on trouve :

[ ]

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

2

( )

0

( )

0

2 ( )

( ) ( )

( )²

² coth 0.5( )

coth ( )

( )coth

1( )

coth

1 1 2log

1 1( )

T

t

T

v

t v

T

t

D T t

D T t

D T t

t e f u du

e f duT u

Ae du

B D T u C

Ae t T du

DB x C

Ae t T du

DB x C

C e

C eAe t T

DB

α β

κ λ σρ

σ κ λ σρ

−

−

− −

= − +

∆ − + + = − +

∆ − − ∆ + + +

= − +

− +

= − −+

= − −+

− − −

− −= − −

∫

∫

∫

∫

∫

( )( )

( )

( )( )( ) ( )

( )

0

2 ( )

( ) 12

1 ²

log 2 1 1 ( ) 1 log(2)( )

1 ²

D T t

D T t C

C

C e D T t CAe t T

DB C

− −

+ − − −

−

− − − + − − −= − −

−


200

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1log 2 1 1

( )²( ) *

0.5 ² 1 ² 10.5 ( ) 1 log(2)

1log 2 1 1( )²

( ) *0.5 ² 1 ²

T tv

v

v v

T tv

v

v

e

e t T

T t

ee t T

κ λ σρ

κ λ σρ

σ κ λ σρ κ λ σρ


σ κ λ σρ

∆ −

∆ −

− + + − − −

∆∆ − + + = − − − − + + − + + − ∆ − − − ∆

− + + − − − ∆ − + + ∆ = − −

− − + +− ( )0.5( ) 1 log(2)vT t κ λ σρ

− ∆ − + − − −

posons : 1v

B κ λ σρ= − + + alors

( ) ( )( )( 2 1)²( ) ( ) * log 2 1 0.5( ) log(2)

0.5 ² ²

T tB Bt e t T e T t B

B

κα

σ∆ −

∆ − + − ∆ − = − − − − − − ∆ − − − ∆


201

AAAnnnnnneeexxxeee 111333 ::: GGGRRRSSS eeettt LLLiiikkkeeellliiihhhooooooddd

Expression de la fonction de Likelihood du modèle GRS

Notons 1tφ − l’information disponible à l’instant t, la fonction de Likelihood s’exprime

comme le produit des distribution conditionnelles :

1

1

( | )N

t t

t

F f r φ −=

= ∆∏

Notons d’autre part que r∆ est soumis à un changement de régime, donc :

2

1 1

1

2

1 1

1

2

1 ,

1

1 1, 1 2,

( | ) ( , | )

( | , ) P( | )

( | , )

( | 1, ) ( | 2, )

t t t t t

i

t t t t t

i

t t t i t

i

t t t t t t t t

f r f r S i

f r S i S i

f r S i p

f r S p f r S p

φ φ

φ φ

φ

φ φ

− −=

− −=

−=

− −

∆ = ∆ =

= ∆ = =

= ∆ =

= ∆ = + ∆ =

∑

∑

∑

1 1, 1 1, ( | 1, ) ( | 2, )(1 )t t t t t t t tf r S p f r S pφ φ− −= ∆ = + ∆ = −

Par conséquent, la distribution de r∆ conditionnée par l’information disponible à

chaque instant peut s’exprimer en terme de changement de régime :

1 1,

1

1 2,

( , 1| ) avec proba | ~

( , 2 | ) avec proba

t t t t

t t

t t t t

f r S pr

f r S p

φφ

φ

−

−

−

∆ =∆

∆ =

En supposant l’hypothèse de normalité, on a alors :

,

1

,,

( )²1( , | ) exp

22

t i t

t t t

i ti t

r mf r S i

hhφ

π−

− ∆ − ∆ = =


202

Nous devons donc trouver l’ expression des probabilités conditionnelles.

Compte tenu de la structure de chaîne de Markov, le régime à l’instant t est

seulement conditionné par le régime à l’instant t-1, nous pouvons donc écrire :

2

1 2 1 1 2 1 1 2

1

( 1| , ,...) ( 1| , , ,...) ( | , ,...)t t t t t t t t t t

i

P S r r P S S i r r P S i r r− − − − − − − −=

= = = = =∑

et dans chaque cas :

1 1 2 1( 1| , , ,...) ( 1| )t t t t t t

P S S i r r P S S i− − − −= = = = =

D’autre part, on a :

1

1

1

1

( 1| 1)

( 1| 2) 1

( 2 | 1) 1

( 1| 2)

t t

t t

t t

t t

P S S p

P S S p

P S S q

P S S q

−

−

−

−

= = =

= = = −

= = = −

= = =

On en déduit donc que :

1 1 2

1 2 1 2

( 1| ) ( 1| , ,...)

. ( 1| , ,...) (1 )(1 ( 1| , ,...)

t t t t t

t t t t t t

P S P S r r

p P S r r q P S r r

φ − − −

− − − −

= = =

= = + − − =

En utilisant la règle de Bayes :

1 1 2 1 1 2

1 1 2 1 2

2

1 1 2 1 2

1

( 1| , ,...) ( 1| , ,...)

( | 1, ,...) ( 1| ,...)

( | , ,...) ( | ,...)

t t t t t t

t t t t t

t t t t t

i

P S r r P S r r

f r S r P S r

f r S i r P S i r

− − − − − −

− − − − −

− − − − −=

= = = ∆

∆ = ==

∆ = =∑

où 1 1 2 1 1( | , ,...) ( | )t t t t t

f r S i r f r S i− − − − −∆ = = ∆ =


203

On en déduit donc que la probabilité conditionnelle 1,tp satisfait une simple relation

de récurrence donnée par :

2, 1 1, 1 1, 1 1, 1

1,

1, 1 1, 1 2, 1 1, 1 1, 1 1, 1 2, 1 1, 1

(1 )(1 ). .

. (1 ) . (1 )

t t t t

t

t t t t t t t t

g p g pp q p

g p g p g p g p

− − − −

− − − − − − − −

−= − +

+ − + −

où on a posé :

1,

2,

( | 1)

( | 2)

t t t

t t t

g f r S

g f r S

= ∆ =

= ∆ =

La fonction de Likelihood s’écrit donc :

1

1

1 1, 1 1,

1

1, 1,

1

1, 2,

1, 1,

1, 2,1, 2,

( | )

( | 1, ) ( | 2, )(1 )

( | 1) ( | 2)(1 )

( )² ( )²1 1. exp (1 ). exp

2 22 2

N

t t

t

N

t t t t t t t t

t

N

t t t t t t

t

t t t t

t t

t tt t

F f r

f r S p f r S p

f r S p f r S p

r m r mp p

h hh h

φ

φ φ

π π

−=

− −=

=

= ∆

= ∆ = + ∆ = −

= ∆ = + ∆ = −

− ∆ − − ∆ − = + −

∏

∏

∏

1

N

t=

∏


204

AAAnnnnnneeexxxeee 111444 ::: RRRééégggrrreeessssssiiiooonnn eeettt ttteeesssttt

Regression du type AR + trend + variables binaires Dependent variable: Y = ElectricitySpot Characteristics: ElectricitySpot First observation = 1(=1.1) Last observation = 448(=64.7) Number of usable observations: 448 Minimum value: 4.9300000E+000 Maximum value: 7.3500000E+001 Sample mean: 2.2141607E+001 X variables: X(1) = LAG1[ElectricitySpot] X(2) = t (1.1 = 1) X(3) = Seasonal dummy 1 X(4) = Seasonal dummy 2 X(5) = Seasonal dummy 3 X(6) = Seasonal dummy 4 X(7) = Seasonal dummy 5 X(8) = Seasonal dummy 6 X(9) = 1 Model: Y = b(1)X(1) +.....+ b(9)X(9) + U, where U is the error term, satisfying E[U|X(1),...,X(9)] = 0. OLS estimation results Parameters Estimate t-value H.C. t-value(*) [p-value] [H.C. p-value] b(1) 0.49553 11.996 6.459 [0.00000] [0.00000] b(2) 0.00714 3.232 2.992 [0.00123] [0.00277] b(3) 12.41965 11.911 11.730 [0.00000] [0.00000] b(4) 9.35710 8.907 8.383 [0.00000] [0.00000] b(5) 8.39047 7.814 8.971 [0.00000] [0.00000] b(6) 7.39113 6.876 7.099 [0.00000] [0.00000] b(7) 6.27650 5.902 7.344 [0.00000] [0.00000] b(8) 1.63663 1.563 2.422 [0.11816] [0.01544] b(9) 3.10637 2.938 2.258 [0.00330] [0.02392] (*) Based on White's heteroskedasticity consistent variance matrix. [The two-sided p-values are based on the normal approximation]


205

Effective sample size (n) = 447 Variance of the residuals = 33.497755 Standard error of the residuals = 5.787725 Residual sum of squares (RSS)= 14672.016664 Total sum of squares (TSS) = 29326.524639 R-square = 0.499701 Adjusted R-square = 0.490564 Overall F test: F(8,438) = 54.68 p-value = 0.00000 Significance levels: 10% 5% Critical values: 1.68 1.96 Conclusions: reject reject Test for first-order autocorrelation: Durbin-Watson test = 2.266614 WARNING: Since the model contains a lagged dependent variable, the Durbin-Watson test is NOT valid! REMARK: A better way of testing for serial correlation is to specify ARMA errors and then test the nullhypothesis that the ARMA parameters are zero. Jarque-Bera/Salmon-Kiefer test = 7749.737425 Null hypothesis: The errors are normally distributed Null distribution: Chi-square(2)) p-value = 0.00000 Significance levels: 10% 5% Critical values: 4.61 5.99 Conclusions: reject reject Breusch-Pagan test = 176.183931 Null hypothesis: The errors are homoskedastic Null distribution: Chi-square(8) p-value = 0.00000 Significance levels: 10% 5% Critical values: 13.36 15.51 Conclusions: reject reject


206

If the model is correctly specified, in the sense that the conditional expectation of the model error U relative to the X variables and all lagged dependent (Y) variables and lagged X variables equals zero, then the OLS parameter estimators b(1),..,b(9), minus their true values, times the square root of the sample size n, are (asymptotically) jointly normally distributed with zero mean vector and variance matrix: 7.62727689E-01 -1.12941243E-02 3.30702797E+00 -4.39341177E+00 -6.01530831E+00 -6.08147871E+00 -5.35179045E+00 -4.13979609E+00 -1.11009312E+01 -1.12941243E-02 2.17933765E-03 -4.39387160E-02 7.51161381E-02 9.71203442E-02 9.60880661E-02 8.32710750E-02 6.33123151E-02 -2.93375078E-01 3.30702797E+00 -4.39387160E-02 4.85986587E+02 2.14937118E+02 2.07899883E+02 2.07607951E+02 2.10766697E+02 2.16016621E+02 -2.83236583E+02 -4.39341177E+00 7.51161381E-02 2.14937118E+02 4.93278696E+02 2.68650091E+02 2.69021181E+02 2.64808020E+02 2.57816712E+02 -1.72306822E+02 -6.01530831E+00 9.71203442E-02 2.07899883E+02 2.68650091E+02 5.15394132E+02 2.81947059E+02 2.76184270E+02 2.66617738E+02 -1.48243578E+02 -6.08147871E+00 9.60880661E-02 2.07607951E+02 2.69021181E+02 2.81947059E+02 5.16429503E+02 2.76644540E+02 2.66974874E+02 -1.46822764E+02 -5.35179045E+00 8.32710750E-02 2.10766697E+02 2.64808020E+02 2.76184270E+02 2.76644540E+02 5.05481434E+02 2.63012391E+02 -1.56985079E+02 -4.13979609E+00 6.33123151E-02 2.16016621E+02 2.57816712E+02 2.66617738E+02 2.66974874E+02 2.63012391E+02 4.90393017E+02 -1.74166998E+02 -1.11009312E+01 -2.93375078E-01 -2.83236583E+02 -1.72306822E+02 -1.48243578E+02 -1.46822764E+02 -1.56985079E+02 -1.74166998E+02 4.99665356E+02 provided that the conditional variance of the model error U is constant (U is homoskedastic), or 2.63138927E+00 -2.38421075E-02 9.07071290E+00 -1.07298662E+01 -1.86101894E+01 -1.85261983E+01 -1.77468142E+01 -1.41460157E+01 -4.14089493E+01 -2.38421075E-02 2.54224488E-03 3.97508643E-01 3.69250784E-01 2.06845478E-01 3.93009114E-01 2.49013966E-01 1.51407299E-01 -1.73490376E-01 9.07071290E+00 3.97508643E-01 5.01087116E+02 3.47917784E+01 4.51933835E+00 5.09795213E+00 5.41252495E+00 1.66779731E+01 -3.16423277E+02 -1.07298662E+01 3.69250784E-01 3.47917784E+01 5.56924052E+02 1.38475077E+02 1.38265376E+02 1.36991508E+02 1.22658507E+02 4.15222346E+01 -1.86101894E+01 2.06845478E-01 4.51933835E+00 1.38475077E+02 3.91019657E+02 1.94905106E+02 1.90179515E+02 1.64871817E+02 2.19025610E+02 -1.85261983E+01 3.93009114E-01 5.09795213E+00 1.38265376E+02 1.94905106E+02 4.84562083E+02 1.89817931E+02 1.64571247E+02 1.75157021E+02 -1.77468142E+01 2.49013966E-01 5.41252495E+00 1.36991508E+02 1.90179515E+02 1.89817931E+02 3.26469606E+02 1.60302787E+02 1.94279631E+02 -1.41460157E+01 1.51407299E-01 1.66779731E+01 1.22658507E+02 1.64871817E+02 1.64571247E+02 1.60302787E+02 2.04116663E+02 1.52488957E+02 -4.14089493E+01 -1.73490376E-01 -3.16423277E+02 4.15222346E+01 2.19025610E+02 1.75157021E+02 1.94279631E+02 1.52488957E+02 8.45646019E+02 if the conditional variance of the model error U is not constant (U is heteroskedastic).

Test LM - ARCH(p) sur l’erreur de régression

p = 1 Test statistic = 0.00 Null distribution: Chi-square with 1 degrees of freedom p-value = 0.97969 Significance levels: 10% 5% Critical values: 2.71 3.84 Conclusions: accept accept


207

p = 2 Test statistic = 9.61 Null distribution: Chi-square with 2 degrees of freedom p-value = 0.00818 Significance levels: 10% 5% Critical values: 4.61 5.99 Conclusions: reject reject p = 3 Test statistic = 9.84 Null distribution: Chi-square with 3 degrees of freedom p-value = 0.02000 Significance levels: 10% 5% Critical values: 6.25 7.81 Conclusions: reject reject p = 4 Test statistic = 16.53 Null distribution: Chi-square with 4 degrees of freedom p-value = 0.00239 Significance levels: 10% 5% Critical values: 7.78 9.49 Conclusions: reject reject p = 5 Test statistic = 16.64 Null distribution: Chi-square with 5 degrees of freedom p-value = 0.00523 Significance levels: 10% 5% Critical values: 9.24 11.07 Conclusions: reject reject p = 6 Test statistic = 16.63 Null distribution: Chi-square with 6 degrees of freedom p-value = 0.01076 Significance levels: 10% 5% Critical values: 10.64 12.59 Conclusions: reject reject p = 7 Test statistic = 16.98 Null distribution: Chi-square with 7 degrees of freedom p-value = 0.01755 Significance levels: 10% 5% Critical values: 12.02 14.07 Conclusions: reject reject p = 8 Test statistic = 18.54 Null distribution: Chi-square with 8 degrees of freedom p-value = 0.01754 Significance levels: 10% 5% Critical values: 13.36 15.51 Conclusions: reject reject p = 9 Test statistic = 18.49 Null distribution: Chi-square with 9 degrees of freedom


208

p-value = 0.02990 Significance levels: 10% 5% Critical values: 14.68 16.92 Conclusions: reject reject p = 10 Test statistic = 18.57 Null distribution: Chi-square with 10 degrees of freedom p-value = 0.04613 Significance levels: 10% 5% Critical values: 15.99 18.31 Conclusions: reject reject p = 11 Test statistic = 18.74 Null distribution: Chi-square with 11 degrees of freedom p-value = 0.06588 Significance levels: 10% 5% Critical values: 17.27 19.67 Conclusions: reject accept p = 12 Test statistic = 18.70 Null distribution: Chi-square with 12 degrees of freedom p-value = 0.09601 Significance levels: 10% 5% Critical values: 18.55 21.03 Conclusions: reject accept p = 13 Test statistic = 18.79 Null distribution: Chi-square with 13 degrees of freedom p-value = 0.12979 Significance levels: 10% 5% Critical values: 19.81 22.36 Conclusions: accept accept p = 14 Test statistic = 19.75 Null distribution: Chi-square with 14 degrees of freedom p-value = 0.13837 Significance levels: 10% 5% Critical values: 21.06 23.68 Conclusions: accept accept p = 15 Test statistic = 20.08 Null distribution: Chi-square with 15 degrees of freedom p-value = 0.16897 Significance levels: 10% 5% Critical values: 22.31 25. Conclusions: accept accept p = 16 Test statistic = 20.20 Null distribution: Chi-square with 16 degrees of freedom p-value = 0.21147 Significance levels: 10% 5% Critical values: 23.54 26.3 Conclusions: accept accept


209

p = 17 Test statistic = 20.33 Null distribution: Chi-square with 17 degrees of freedom p-value = 0.25747 Significance levels: 10% 5% Critical values: 24.77 27.59 Conclusions: accept accept p = 18 Test statistic = 20.60 Null distribution: Chi-square with 18 degrees of freedom p-value = 0.29991 Significance levels: 10% 5% Critical values: 25.99 28.87 Conclusions: accept accept p = 19 Test statistic = 22.85 Null distribution: Chi-square with 19 degrees of freedom p-value = 0.24417 Significance levels: 10% 5% Critical values: 27.2 30.14 Conclusions: accept accept p = 20 Test statistic = 22.81 Null distribution: Chi-square with 20 degrees of freedom p-value = 0.29807 Significance levels: 10% 5% Critical values: 28.41 31.41 Conclusions: accept accept


210

RRRéééfffeeerrreeennnccceeesss

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Toward Modelling Electricity (French)