TP3Reseaux et synthe`se

de diagramme dantennes

Pour des antennes de communication, on cherche a` optimiser le ratioPU

PT, ou` PU est la puissance

recue par lutilisateur, et PT est la puissance totale emise par lantenne.

On cherche, en dautres termes, a` ce que la plus grande partie de lenergie fournie a` lantennesoit acheminee jusqua` lutilisateur distant.

La directivite de ces antennes est donc un crite`re determinant.

Le contexte actuel du developpement massif des reseaux mobiles (Wi-Fi et GSM principale-ment) rend par ailleurs inadapte le developpement dantennes a` haute directivite statique.

Comme les utilisateurs sont en mouvement et peuvent donc se trouver a priori dans nimportequelle direction vis-a`-vis de lantenne, on a recours a` des antennes rayonnant de facon homoge`nedans toutes les directions de lespace (rayonnement isotrope). Lobjectif initial est dans ce cas loindetre rempli.

Une strategie pour y remedier consiste a` utiliser plusieurs antennes, assemblees en un reseaudantennes, dans le but de pouvoir focaliser le signal, et donc la puissance emise, sur lutilisateur.Le syste`me est alors dautant plus efficace que les interferences entre syste`mes differents sen trouvepar la meme occasion limitees.

On peut ainsi imaginer des syste`mes avec des diagrammes demission a` plusieurs lobes prin-cipaux, un par utilisateur communiquant, et capable de plus de suivre ces utilisateurs dans leurmouvement.

Diagramme de rayonnement dune antenne dipolaire (gauche) et dun reseau de 4antennes (droite).Le rayonnement du reseau est adapte au nombre et la position des utilisateurs(marques par ), qui se repartissent donc plus efficacement la puissance emise.

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1. Rayonnement dun dipole

Le potentiel electrostatique cree en un point M a` la distance

r (OM = r ) par deux charges +q et q distante de a (avec

a d.

Le champ rayonne par lantenne situee en A2 a une avance de phase de kl, ou` k est le nombre

donde (k =2

ou` est la longueur donde),

A1 A2 A3 A4

d

d

d

AN

rr

l

Les parame`tres du reseau sont :

N : nombre dantennes

d : vecteur entre chaque antenne (d =

d est la distance entre chaque antenne)

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n = n ejn est le poids (alimentation) de lantenne n ; n est le gain et n le dephasage

imposes a` lantenne n.

SiE 1 est le champ de lantenne 1, le champ emis par la n

ie`me antenne est :E n = n

E 1.

: angle dobservation

La synthe`se dun diagramme de rayonnement consiste a` determiner les excitations complexesp pour que le champ total emis par le reseau reponde a` des specifications precises (reunies dansun gabarit).

Le champ total rayonne par le reseau est la somme vectorielle de chaque champ emis indivi-duellement par les N antennes :

E =

Nn=1

nE n =

E 1

Nn=1

nej(n1)kl , avec l = d cos

soit, si on suppose dans un premier temps que n = ej(n1), cest-a`-dire quon impose simplement

un dephasage constant entre chaque antenne, alors le champ total devient :

E =

E 1

Nn=1

ej(n1)ej(n1)kl =E 1

N1n=0

ejnejnkl =E 1

N1n=0

ejn(+kl)

qui est la somme des termes dune suite geometrique, soit aussi :

E = N

E1 e

j

2

sin

(N

2

)

N sin

(

2

) avec, = kd r = kd cos

On a ainsi, E = N

E0F , ou` F est le facteur (ou diagramme) du reseau :

F (, d, ) =

sin

(N

2

)

N sin

(

2

)

Exercice 2 On conside`re un reseau dantennes fonctionnant a` la frequence f = 3.108 Hz.

1. Lecart entre chaque antenne est fixe ici a` d =

2; et le dephasage est nul entre elles.

Tracer differents graphiques representant le diagramme du reseau F (, d, ) pour differentesvaleurs de N .

Indiquer comment varie la largeur du lobe principal en fonction du nombre dantennes N dureseau.

2. On conside`re maintenant un reseau de N = 10 antennes alimentees en phase, espacees de

d =

2.

Quel dephasage doit-on appliquer entre chaque antenne pour que la direction du lobeprincipal soit 60 ?

3. On conside`re un reseau de 10 antennes alimentees en phase ( = 0).

Quelle est linfluence de la distance d entre chaque antenne ?

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Exercice 3 On conside`re un satellite situe a` une distance de D = 20 000 km de la Terre (satelliteGPS).

0

0

S T

S

R 6 400 km

On souhaiterait emettre a` partir de ce satellite principalement en direction de la Terre, cest-a`-dire focaliser la puissance emise dans [0; 0].

Langle 0 se determine directement par la relation trigonometrique : sin(0) =R

R +D.

On souhaite determiner les coefficients 1, 2, . . ., N qui permettent davoir un diagrammede rayonnement respectant au mieux le gabarit suivant :

F () = 1 pour [0; 0]

F () = 0 pour [

2;0

[]0;

2

]On peut chercher les coefficients n en interpolant au mieux le gabarit ideal souhaite.On echantillonne les angles [pi

2; pi2] en Q valeurs n [

pi2: :

pi2], et de meme le gabarit

souhaite :

g(n) = gn =

{1 si n [0; 0]

0 si n [ pi

2;0

[]0;

pi2

]Si on definit les vecteurs X = [1 2 N ]

T et G = [g1 g2 gQ]T , et la matrice (Q N)

par

M =

1 ej1 ej1 ej(N1)1

1 ej2 ej2 ej(N1)2...

......

...1 ejq ejq ej(N1)q

ou` n = kd cos(n)

alors le syste`me a` resoudre secrit : MX = G, et se resout a` laide de Matlab par X =M \B.

Une fois les coefficients n determines, le diagramme de rayonnement du reseau est donne par

S() =

Nn=1

nejn

2

avec = kd cos()

On choisit un reseau de N = 10 antennes, et Q = 100 points dinterpolation.

Les antennes du reseau fonctionnent a` la frequence f = 3.108 Hz et sont distantes de d =

2.

1) Determiner langle 0.

2) Definir la matrice M .

3) Resoudre le syste`me au sens des moindres carres (X = M \ B, voir help slash et TP1,Ex. 9).

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4) Tracer le diagramme de rayonnement S() obtenu, ainsi que la valeur des alimentations ncorrespondantes.

3. Reseau bidimensionnel dantennes

Le cas des reseau bidimensionnels se trate dune manie`re similaire.

y

z

x

.. .

...

x

y

Si on impose un dephasage constant horizontalementx et verticalement y, alors on obtient

E = NM

E0e

jx+y

2

sin

(Nx

2

)

N sin

(x

2

) sin(My

2

)

M sin

(y

2

)

avec,

{x = k

x

r x = kx cos sin x

y = ky

r y = ky cos sin y

La formation en reseau permet ainsi de mieux focali-ser la puissance globale emise.

Remarque : Dans tous les developpements precedents, les interferences entre les antennesont ete negligees : chaque antenne a ete consideree comme rayonnant un champindependamment des autres antennes.En fait, le champ rayonne par une antenne quelconque induit des courants dansles antennes voisines, modifiant ainsi dune certaine facon son alimentation reelle.

Plus particulie`rement, on peut utiliser un reseau dantennes en nalimentantquun seul de ses elements, celui-ci alimentant les elements voisins par induction,qui eux-memes alimentent leurs voisins . . .La phase de chaque element est dans ce cas uniquement fixe par la geometriedu reseau (distance entre les elements dans le cas dun reseau lineaire).

Cette solution est dailleurs specifiquement mise en uvre dans les antennesde type Yagi-Uda (ou antenne-rateau) qui reposent sur le principe dinductionmutuelle entre les elements proches.

Une autre strategie peut consister a` eviter les interactions parasites entre an-tennes, en utilisant des antennes dont le diagramme de rayonnement est nul dansla direction des elements voisins. Cest le cas par exemple dun reseau lineairedantennes dipolaires disposees convenablement (voir partie I, rayonnement dundipole).

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TP 3 : Rseaux et synthse de diagramme d'antennes1. Rayonnement d'un dipole2. Rseau linaire d'antennes3. Rseau bidimensionnel d'antennes