العددية الفيزياء في محاضراتالتطبيقية االعمال

يدري باديس

شمام رفيق شارب بو عادل

الجزائر عنابة، مختار، باجي جامعة الفيزياء، معهد

2013 جويلية

1

الفهرس

4 مقدمة 0

6 الهواء مقاومة اولر- خوارزمية 1

7 الهواء مقاومة تأثير تحت القذائف حركة 2

8 فيرالت و كرومر اولر- خوارزميات التوافقي- الهزاز 3

10 العددية التكامالت 4

11 رافسون - نيوتن خوارزميات 5

12 الشمسية المجموعة كوتا- - رونج خوارزمية 6

14 عطارد لكوكب الشمسي الحضيض دوران مسألة 7

16 الفراشة تأثير : 1 الفوضوي النواس 8

18 بوانكري مقاطع : 2 الفوضوي النواس 9

20 الدور تضاعف ظاهرة : 3 الفوضوي النواس 10

21 للتناظر التلقائي االنكسار و االنشطار مخططات :4 الفوضوي النواس 11

24 ماكسويل توزيع :1 الجزيئي الديناميك 12

26 االنصهار :2 الجزيئي الديناميك 13

27 العشوائية االعداد 14

28 العشوائي المشاء 15

29 كارلو مونتي و الوسطي النقطة تقريبات 16

31 المنتظمة غير االحتمال توزيعات 17

32 ايزينغ نموذج و ميتروبوليس خوارزمية 18

34 الفيرومغناطيسي الثانية الرتبة من الطوري التغير 19

35 الثنائية (غرين) الربط دالة 20

36 االولي الرتبة من الطوري التغير و الهستريسيس 21

2

37 الفورترون شفرات من عينة ملحق:37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ميتروبوليس خوارزمية و ايزينغ نموذج

3

مقدمة

الحاسوبية باسم ايضا تعرف التي العددية العلوم فروع احد هي العددية الفيزياءالذي الهائل التقدم مع االخيرة سنة 30− 40 خالل تبلورت و ظهرت التي و العلمية

االمريكية. المتحدة الواليات في خاصة الرقمية التكنولوجيا في حصليمكن او النظرية الفيزياء اقسام من قسم العددية الفيزياء اعتبار يمكنحتي هناك و التجريبية الفيزياء و النظرية الفيزياء بين يربط جسر اعتبارهاهناك تقليديا حسب. ال التجريبية الفيزياء لخدمة قائم تخصص يعتبرها منناحية من فهناك للفيزياء. نيوتن، عصر منذ االقل علي متكاملتان، مقاربتانالمؤلف رأي في التجريبية. المقاربة هناك اخري ناحية من و النظرية المقاربةانه يعتبر من غيرهم، من و المجال هذا في العاملين من خاصة االن، الكثير هناكوجهة من العددية. المقاربة هي للفيزياء مختلفة و منفصلة ثالثة مقاربة توجدبالضرورة مرتبط غير بذاته منفصل حقل هي العددية الفيزياء فان هذه النظرفي نتبناها سوف التي النظر وجهة فان هذا رغم التجريبي. و النظري بالحقلينفروع من فرع هو العددية الفيزياء ان يعتبر الذي االول الراي هو المطوية هذه

النظرية. الفيزياءالنظرية الفيزياء خاصة و الفيزياء من عناصر مزج يتم العددية الفيزياء فيعلوم من عناصر مع العددي التحليل مثل التطبيقية الرياضيات من عناصر وليس معينة فيزيائية مسالة حل هو واحد هدف اجل من البرمجة مثل الحاسوب

معروف. حل او كامل حل لهامحاكاة) (جمع المحاكيات اجراء هو الفيزياء في الكمبيوتر استعماالت اهمفيها تتحكم التي الفيزيائية المسائل اكثر تالئم العددية المحاكيات العددية.مضبوط. تحليلي حل علي معظمها في تتوفر ال التي و خطية غير رياضية معادالتالدراسة قيد الفيزيائية للجملة مثالي نموذج هو عددية محاكاة الي البدء نقطةمع منسجم النموذج هذا تصرف كان اذا ما نتأكد ان نريد اننا الطبيعي من واي توفر عدم حالة في اما للمقارنة تجريبية نتائج توفر حالة في ال او المشاهدةاجريت. ما اذا التجربة تعطيه ان يمكن ما استشراف هو الهدف فان تجريبية نتائجاجل من رياضية خوارزمية ايجاد هو الهدف هذا تحقيق اجل من االولي الخطوةكمبيوتر علي االنجاز هذا تنفيذ الكمبيوتر. علي ايضا و نظريا النموذج هذا انجازالرياضية الخوارزمية ترجمة علي يعتمد هو و العددية بالمحاكاة نسميه ما هو

يفهمها. ان للكمبيوتر يمكن البرمجة لغات باحدي مكتوبة شفرة اليالرياضي النموذج يلعب فمثال افتراضية. تجارب اذن هي العددية المحاكياتالخوارزمية اما المعملية التجربة في العينة دور بالضبط العددية المحاكاة فيفي القياس جهاز بدور تقوم فهي العددية المحاكاة تستعملها التي اوالشفرةالفيزيائية الدراسة في العددية المحاكاة استعمال في البدء قبل المعملية. التجربةفي القياس جهاز بمعايرة نقوم اننا كما تماما الشفرة معايرة او اختبار علينا فانهالتجرية في به نقوم الذي القياس قياس. اي اجراء في البدء قبل المعملية التجربةالعمليتين كال نختتم و العددية المحاكاة تجريه الذي الحساب يقابله المعملية

المعطيات. تحليل هو و األمر بنفسالبرمجة. لغات هي العددية الفيزياء وسائل اهم ان الطبيعي من و الواضحجدا منتكتب الفيزيائية البحثية االعمال في نجدها التي العددية المحاكيات معظم في.(C) سي لغة او (Fortran) الفرترون مثل المجمعة اللغات احدي في الشفراتالعددية الروتينات مكتبات مناداة الحاجة عند ايضا يمكن المحاكيات هذه فيماتالب مثل الجاهزة العددية البرمجيات استعمال غيرها. و (Lapack) الباك مثلالتي خاصة العددية، المحاكيات هذه في (Mathematica) ماثيماتيكا و (Matlab)

يؤدي النه بالمرة عملي غير ،(Monte Carlo) كارلو المونتي طريقة علي تعتمدالي بالخصوص راجع هذا و الكمبيوتر علي للشفرة جدا طويل سير زمن اليهناك ليس مجمعة. لغات ليست و مترجمة لغات هي الجاهزة البرمجيات كونال التي العددية الحسابات في للغاية مفيدة الجاهزة البرمجيات ان في شك ادني

4

تعتمد التي العددية المحاكيات في تماما مالئمة غير لكنها التكرار علي تعتمدسوف المطوية هذه في المرات. من هائل عدد الخطوة نفس تكرار علي باالساسنتجنب و مجمعة لغة في شفراتنا جميع نكتب سوف اي الطريق هذا بالضبط نتبععلي 90 او 77 الفرترون بالخصوص نستخدم سوف الجاهزة. البرمجيات استخدام

. (Ubuntu) يوبنتو توزيع (Linux) لينيكس التشغيل نظامبمحاضرات المرفقة التطبيقية االعمال مجموع علي تحتوي المطوية هذه2009 العام منذ الفيزياء معهد في يدري باديس المؤلف القاها التي العددية الفيزياء(ليسانسفيزياء)، العددي التحليل مقاييس اطار في الماستر و الليسانس طلبة عليالماستر). تخصصات (باقي االلي االعالم و نظرية) فيزياء (ماستر العددية الفيزياءاالتصال طريق عن العددية- الفيزياء في -محاضرات مطوية علي الحصول يمكناو badis.ydri@univ− annaba.org االلكتروني البريد عبر يدري باديس بالمؤلف

.http : //www.stp.dias.ie/∼ydri/ علي خاصته الرسمي الموقع تصفحفريق باقي عن و نفسه عن اصالة يدري باديس المؤلف يتقدم الختام فيشهاب بن مصطفي االستاذ الفيزياء لمعهد السابق للمدير الجزيل بالشكر العملالتسهيالت و الجليلة للمساعدات شيباني عالوة االستاذ الحالي للمدير كذلك وفي التطبيقات و المحاضرات هذه ادخال اجل من البداية منذ قدماها التي الكثيرة

للفيزياء. الرسمية البرامج

يدري باديسالجزائر عنابة، سرايدي،2013 جويلية 8 االثنين

5

الهواء مقاومة اولر- خوارزمية

القوة . v بسرعة مسطحة و مستقيمة طريق علي هوائية دراجة رياضي يقودواط 200 تساوي P ثابتة استطاعة تكافئ الدراجة علي الرياضي يطبقها التي(التي الهواء مقاومة قوة واحدة. بساعة تقدر زمنية لفترة الرياضي يوفرها

مع طردا متناسبة و للحركة معاكسة تكون الهوائي) الجر بقوة ايضا تعرفبالعالقة معطاة السرعة مربع

Fdrag = −CρAv2.

المقطع مساحة هي A و الجر معامل هو C الهواء، كثافة هي ρ المعادلة هذه فيالتالي الشكل يأخذ الثاني نيوتن قانون الدراجة. زائد الرياضي لجملة العرضي

dv

dt=

P

mv− CρAv2

m.

المسألة لهذه العددية المقاربة الزمن. في كدالة v السرعة حساب هو المطلوبصغير زمني مجال N الي T الزمني المجال نقطع اولر. خوارزمية علي تعتمد

∆t =T

N

ايt = i∆t , i = 0, ..., N.

نعرفv(i) = v(t−∆t).

الشكل يأخذ اولر بتقريب المعطي الحل

v(i + 1) = v(i) + ∆t

(

P

mv(i)− CρAv2(i)

m

)

. i = 1, ..., N + 1

ب تعطي المرافقة الزمنية اللحظات

t(i + 1) = i∆t , i = 1, ..., N + 1.

حالة وفي الهواء مقاومة وجود حالة في الزمن في كدالة السرعة احسب (1)C الجر ثابت نأخذ السؤال هذا في تالحظ. ماذا الهواء. مقاومة وجود عدم

القيم ايضا نعطي .0.5 يساوي

m = 70kg , A = 0.33m2 , ρ = 1.2kg/m3 , ∆t = 0.1s , T = 200s.

ب تعطي االبتدائية السرعة

v(1) = 4m/s , t(1) = 0.

عندما تالحظ ماذا االستطاعة. و/او الجر ثابت تغيير حالة في تالحظ ماذا (2)الزمنية. الخطوة تصغير يتم

6

الهواء مقاومة تأثير تحت القذائف حركة

اتجاه عكس تعمل التي الهواء مقاومة قوة تأثير تحت قذيفة حركة نعتبرقانون .B ب التناسب لثابت نرمز السرعة. مربع مع متناسبة تكون و الحركة

التالية الحركة معادالت الي يؤدي الثاني نيوتن

dx

dt= vx , m

dvxdt

= −Bvvx.

dy

dt= vy , m

dvydt

= −mg −Bvvy .

التالي الشكل بأخذ اولر بخوارزمية المعطي التفاضلية المعادالت هذه حل

vx(i+ 1) = vx(i)−∆tBv(i)vx(i)

m.

vy(i + 1) = vy(i)−∆tg −∆tBv(i)vy(i)

m.

v(i+ 1) =√

v2x(i+ 1) + v2y(i+ 1).

x(i+ 1) = x(i) + ∆t vx(i).

y(i+ 1) = y(i) + ∆t vy(i).

.N الي 1 من القيم يأخذ i و i ل 1 القيمة توافق السرعة و للموضع االبتدائية القيم

لمسألة. اولر بخوارزمية المعطي الحل فيها منجز فورترون شفرة اكتب (1)

التالية القيم نأخذ (2)

B

m= 0.00004m−1 , g = 9.8m/s2.

v(1) = 700m/s , θ = 30 degree.

vx(1) = v(1) cos θ , vy(1) = v(1) sin θ.

N = 105 , ∆t = 0.01s.

تالحظ. ماذا الهواء. مقاومة ب و بدون المسار احسب

التصريح هذا القذيفة. مدي تعيين يمكن if الشرطي التصريح باستخدام (3)كالتالي do حلقة داخل يضاف

if(y(i + 1).le.0)exit.

للهواء. مقاومة وجود عدم حالة في و وجود حالة في القذيفة مدي عين

لما له قيمة اعظم يأخذ المدي ان نعرف للهواء مقاومة وجود عدم حالة في (4)باختبار عدديا االمر هذا من تحقق درجة. 45 تساوي االبتدائية الزاوية تكوندراسة ثم الزاوية في do حلقة اضافة ايضا يمكن االبتدائية. للزاوية قيم عدة

العظمي. قيمته عن البحث و الزاوية في كدالة المدي

اعظمي. المدي فيها يكون التي الزاوية احسب الهواء مقاومة وجود حالة في (5)

7

فيرالت و كرومر اولر- خوارزميات التوافقي- الهزاز

في معلق l طوله بخيط مربوطة m كتلة عن عبارة بسيط توافقي هزاز نعتبرالتي الزاوية ان اي خطية الحركة ان نفترض .g الثقالة تأثير تحت ثابث مرتكزالمشتقة االهتزاز معادلة صغيره. دائما تبقي الشاقولي المحور مع النواس يصنعها

الشكل تأخذ الثاني نيوتن قانون من

d2θ

dt2+

g

lθ = 0.

تفاضليتين بمعادلتين تعويضها يمكن الثانيه الرتبه من التفاضلية المعادلة هذهكالتالي االولي الرتبة من

dθ

dt= Ω ,

dΩ

dt= −g

lθ.

اولر بخوارزمية المعطي الحل هو هنا سنعتبره الذي االول العددي الحل

Ωi+1 = Ωi −g

lθi ∆t.

θi+1 = θi +Ωi ∆t.

اولر- بخوارزمية المعطي الحل هو هنا سنعتبره الذي االخر العددي الحلالتالية بالمعادالت يعطي الحل هذا كرومر.

Ωi+1 = Ωi −g

lθi ∆t.

θi+1 = θi +Ωi+1 ∆t.

الشكل يأخذ الذي فيرالت بخوارزمية المعطي الحل ايضا هنا نعتبر

θi+1 = 2θi − θi−1 −g

lθi(∆t)2.

و اولر بخوارزميات المعطاة الحلول فيها منجز فورترون شفرة اكتب (1)التوافقي. الهزاز لمسألة كرومر اولر-

الهزاز طاقة الزمن. في كدوال الطاقة و الزاوية السرعة الزاوية، احسب (2)ب تعطي

E =1

2Ω2 +

1

2

g

lθ2.

العددية القيم نأخذg = 9.8m/s2 , l = 1m .

الزمنية الخطوة و الخطوات عدد نأخذ

N = 10000 , ∆t = 0.05s.

االبتدائيتان الزاوية السرعة و الزاوية نأخذ

θ1 = 0.1radian , Ω1 = 0.

اضعاف بخمسة الحركة زمن تحديد يمكن if الشرطي التصريح باستعمالكالتالي الدور

if(t(i+ 1).ge.5 ∗ period) exit.

8

باولر- المحسوبة الطاقة قيمة و باولر المحسوبة الطاقة قيمة بين قارن (3)تستنتج. ماذا و تالحظ ماذا كرومر.

يمكنها ال الطريقة هذه ان لنالحظ فيرالت. خوارزمية باستخدام الحساب اعد (4)θ2 الزاوية اعطاء ايضا يجب . Ω1 و θ1 االبتدائية القيم من فقط االنطالق

اي اولر طريقة باستعمال حسابها يمكن التي

θ2 = θ1 +Ω1 ∆t.

الزاوية. السرعة حساب الي تحتاج ال فيرالت خوارزمية ان ايضا لنالحظنحسبها التي الزاوية السرعة معرفة الي نحتاج الطاقة حساب اجل من لكن

العبارة باستعمال

Ωi =θi+1 − θi−1

2∆t.

9

العددية التكامالت

الشكل من واحد بعد في التكامالت نعتبر

I =

∫ b

a

dxf(x).

العددي الحل يبقي و تحليليا التكامل اجراء فيها يمكن ال التي العامة الحالة نعتبرو بالمستطيالت التقريب هي سنستعملها التي الخوارزميات . الوحيد الخيار هومجال نقسم الطرق هذه كل في . المكافئ بقطوع التقريب و المنحرف بأشباه

كالتالي ∆x طوله مجال N الي التعريف

xi = x0 + i∆x , i = 0, ..., N , ∆x =b − a

N, x0 = a, xN = b.

ب يعطي بالمستطيالت التقريب

FN = ∆xN−1∑

i=0

f(xi).

ب يعطي المنحرف باشباه التقريب

TN = ∆x

[

1

2f(x0) +

N−1∑

i=1

f(xi) +1

2f(xN )

]

.

يكون ان يجب N هنا ) ب يعطي سيمبسون) (قاعدة المكافئ بقطوع التقريبزوجي)

SN =∆x

3

[

f(x0) + 4

N−2

2∑

i=0

f(x2i+1) + 2

N−2

2∑

i=0

f(x2i) + f(xN )

]

.

. التوالي علي 1/N4 مع و 1/N2 ،1/N مع متناسب الثالث التقريبات هذه في الخطأ

التكامل نأخذ (1)

I =

∫ 1

0

f(x)dx ; f(x) = 2x+ 3x2 + 4x3.

قيمة مع قارن المستطيالت. طريقة باستعمال التكامل هذا قيمة احسب. function او subroutine باستعمال الدالة شفر مالحظة: التحليلية. التكامل

النظري. مع قارن .N بداللة المرتكب الخطأ احسب . N المجاالت عدد غير (2)

سيمبسون. قاعدة و المنحرف اشباه طريقة باستعمال السابقين السؤالين اعد (3)

التالية التكامالت االن خذ (4)

I =

∫ π2

0

cosxdx , I =

∫ e

1

1

xdx , I =

∫ +1

−1

limǫ−→0

(

1

π

ǫ

x2 + ǫ2

)

dx.

10

رافسون - نيوتن خوارزميات

−a من يمتد 2a طوله و V ارتفاعه كمون بئر في يتحرك m كتلة ذو جسيمالحاالت اي البئر ارتفاع من االصغر الطاقات ذات الجملة بحاالت نهتم .+a الي

المرفقة بها المسموح الطاقات فردية. او زوجية تكون قد الجملة حالة المرتبطة.المتسامية المعادلة بحلول تعطي الزوجية الموجية بالدوال

α tanαa = β.

α =

√

2mE

h2 , β =

√

2m(V − E)

h2 .

الحلول نجد الالنهائي الكمون بئر حالة في

En =(n+ 1

2 )2π2h2

2ma2, n = 0, 1....

الوحدات) كتابة اهمال نختار(مع

h = 1 , a = 1 , 2m = 1.

لنا تسمح التي رافسون - نيوتن خوارزمية نستعمل E الطاقات ايجاد اجل منفاننا x0 معين تخمين من انطالقا كالتالي. f(x) = 0 معادلة اي جذور بايجاد

مع x0 النقطة في f(x) الدالة مماس تقاطع بنقطة f(x) = 0 المعادلة حل نقرببالمعادلة يعطي هو و x1 االول التقريب هذا نسمي السينات. محور

x1 = x0 −f(x0)

f ′(x0).

نستخدم ثم x2 الثاني التقريب ايجاد اجل من الخطوة بنفس نقوم x1 من انطالقاالتقريب بداللة يعطي xi+1 التقريب هكذا. و x3 الثالث التقريب ايجاد اجل من x2

بالعالقة xi

xi+1 = xi −f(xi)

f ′(xi).

دراسة عبر البيانية الطريقة باستعمال E الحلول عدد بين V = 10 اجل من (1)الدالتين

f(α) = tanαa , g(α) =β

α=

√

V

α2− 1.

.10−8 من تساوي او اقل بدقة الحلين نيوتن-رافسون طريقة باستعمال جد (2)في نيوتن-رافسون لطريقة االول التخمين نأخذ االول الحل ايجاد اجل منالثاني الحل ايجاد اجل من .α = π/a اي الظل لدالة االولي التباعد نقطة

.α = 2π/a اي الثانية التباعد نقطة في االول التخمين نأخذ

. V = 20 اجل من السؤال اعد (3)

اجل من البيانية بالطريقة استعن .V = اجل100 من االربعة الحلول حدد (4)مرة. كل االول التخمين تحديد

التنصيف. طريقة باستعمال السابقة االسئلة اعد (5)

11

الشمسية المجموعة كوتا- - رونج خوارزمية

الشمس. حول يتحرك واحد كوكب من مشكلة شمسية مجموعة نعتبريمكن بحيث الكوكب كتلة مع بالمقارنة جدا ثقيلة الشمس كتلة ان نفترض

الحركة معادالت يعطي الثاني نيوتن قانون النظام. مركز في ساكنة اعتبارهاالتالية

vx =dx

dt,dvxdt

= −GMs

r3x , vy =

dy

dt,dvydt

= −GMs

r3y.

r =√

x2 + y2.

حيث الفلكية الوحدات نستخدم

GMs = 4π2AU3/yr2.

يأخذ كوتا رونج- بخوارزمية المعطي الذكر االنفة الحركة معادالت حلالشكل

k1 = ∆t vx(i) , p1 = ∆t vy(i).

r(i) =√

x(i)2 + y(i)2.

k3 = −GMs

r(i)3x(i)∆t , p3 = −GMs

r(i)3y(i)∆t.

k2 = (vx(i) +1

2k3)∆t , p2 = (vy(i) +

1

2p3)∆t.

R(i) =

√

(x(i) +1

2k1)2 + (y(i) +

1

2p1)2.

k4 = −GMs

R(i)3(x(i) +

1

2k1)∆t , p4 = −GMs

R(i)3(y(i) +

1

2p1)∆t.

x(i + 1) = x(i) + k2.

vx(i+ 1) = vx(i) + k4.

y(i+ 1) = y(i) + p2.

vy(i + 1) = vy(i) + p4.

و للموضع االبتدائية القيم . N الي 1 من القيم يأخذ i السابقة المعادالت في.i ل 1 القيمة توافق السرعة

كوتا - رونج بخوارزمية المعطي الحل فيها منجز فورترون شفرة اكتب (1)الشمسي. النظام لمسألة

تالحظ ماذا الزمن. في كدوال الطاقة كذلك و السرعة و المسار احسب (2)في الكوكب طاقة فان للتذكير الفلكية. الوحدات استخدم للطاقة. بالنسبة

ب تعطي الكتلة وحدة

E =1

2v2 − GMs

r.

12

وجود مع ناقصة قطوع هي المدارات جميع فان االول كبلر قانون حسب (3)من نعلم التي الكواكب فقط سنعتبر يلي ما في المحرقين. احد في الشمسو الزهرة هي الكواكب هذه كبير. حد الي دائرية مداراتها ان المشاهدةوحدة في تعطي االقطار انصاف ساتورن. و المشتري و المريخ و االرض

ب الفلكية الوحدات

avenus = 0.72 , aearth = 1 , amars = 1.52 , ajupiter = 5.2 , asaturn = 9.54.

الكواكب. هذه كل اجل من االول كبلر قانون من تحققاالبتدائية الشروط نأخذ 3 و 2 السابقين السؤالين علي االجابة اجل من

x(1) = a , y(1) = 0 , vx(1) = 0 , vy(1) = v.

علي الحصول اجل من جدا مهمة االبتدائية السرعة تأخذها التي القيمةدائري فعال هو المسار ان افتراض من مثال تعيينها يتم و الصحيح المسارالمركزي. الطرد قوة مع متوازنة تكون الثقالي الجذب قوة فان بالتالي و

علي نحصل

v =

√

GMs

a.

كاالتي التكرارات عدد و الزمنية الخطوة ايضانأخذ

∆t = 0.01yr , N = 103 − 104.

مكعب مع طردا متناسب يكون الدور مربع فان الثالث كبلر قانون حسب (4)بالضبط يساوي التناسب ثابث فان الدائرية المدارات اجل من القطر. نصفيتم اعاله. المذكورة الكواكب كل اجل من االمر هذا من تحقق واحد.الشمس. عن له نقطة ابعد الي الكوكب يرجع متي بمراقبة مثال الدور قياس

مدار علي الحصول يمكن فانه مناسبة بطريقة االبتدائية السرعة بتغيير (5)االمر. هذا جرب ناقص. قطع

الذي المبسط الشمسي النظام حركة يحكمان الذان االساسيان القانونان (6)جهة من الكتل بين الثقالي للجذب نيوتن قانون هو التمرين هذا في اعتبرناه

جهةاخري. من الثاني نيوتن قانون والكوكب و الشمس بين القوة ان في بنوده اهم في ينص الثقالي الجذب قانونمربع مع عكسا متناسبة و الشمس نحو الكوكب من موجهة مركزيةاس مع عكسا متناسبة هي الثقالي الجذب قوة ان االتي في نفترض المسافة.التصرف هذا اخذ اجل من الشفرة غير اثنين. عن مختلف للمسافة اخرو ثالثة بين اساسات اجل من المدارات احسب االعتبار. بعين للقوة الجديد

تستنتج. ماذا و تالحظ ماذا واحد.

13

عطارد لكوكب الشمسي الحضيض دوران مسألة

ضمنها من و السيارة الكواكب جميع مدارات فان االول كبلر قانون حسبالقانون هذا . المحرقين احد في الشمس وجود مع ناقصة بقطوع تعطي عطارد

مع الشمس مع الكواكب تفاعل علي نيوتن قوانين تطبيق من اشتقاقه يمكنعلي الكواكب تأثير . بينها فيما نفسها الكواكب تفاعل اهمال يمكننا انه افتراضو الشمس حول الناقصة القطوع محاور دوران ظاهرة الي يؤدي البعض بعضها

مسار في نقطة اقرب هو الذي الشمس حول الشمسي الحضيض دوران الي بالتاليلجميع يحدث الشمس حول الشمسي للحضيض الدوران هذا . الشمس من الكوكب

الي دائرية هي المدارات اغلب كون بسبب للغاية صعبة مشاهدته لكن الكواكبالتراكزية ذات ناقصة قطوع مدارات لها عطارد و بلوتو فقط . كبير حد

بمشاهدة تسمح ال المنخفضة المدارية سرعته فان لبلوتو بالنسبة لكن كبيرة.حول حضيضه دوران قياس يمكن الذي عطارد يبقي الشمسي. حضيضه دوران

التالية الدوران سرعة بقياس الفلكيون قام معتبرة. بدقة الشمس

566 arcsecond/century.

جهة من سنة. 240000 كل الشمس حول كاملة دورة يصنع عطارد حضيض ان اياخذ مع الشمس مع عطارد كوكب تفاعل علي نيوتن قوانين بتطبيق فانه اخري

الدوران سرعة نحسب عطارد علي الكواكب باقي تأثير االعتبار بعين

523 arcsecond/century.

هو الفرق43 arcsecond/century.

فهمنا خالل من اي العامة النسبية خالل من اال تفسيرها يمكن ال الكمية هذهانحناء عن الناجمة القوه الفضاء-زمن. انحناء يتوسطها قوة انها علي للثقالة

من غيره من اكثر عطارد يستشعرها والتي الشمس كتلة بسبب الفضاء-زمنب تقريبها يمكن الكواكب

F =GMsMm

r2(1 +

α

r2) , α = 1.1.10−8AU2.

للحضيض دوران كمية الي فعال تؤدي القوة هذه ان من عدديا التحقق هو الهدفالقرن. في ثانية قوس 43 تساوي لعطارد الشمسي

االخذ اجل من السابق التطبيق في استخدمناها التي الفورترون شفرة عدل (1). اعاله المذكورة القوة االعتبار بعين

موضع هو االول االبتدائي الشرط . للغاية مهم االبتدائية الشروط أختيارنختار . عطارد

x0 = (1 + e)a , y0 = 0.

الشمس. عن له نقطة ابعد في االبتدائية اللحظة في الكوكب نختار اننا ايe عطارد التراكزية و فلكية وحدة 0.39 هو لعطارد a الكبير القطر نصفالمحرقين احد في توجد التي الشمس بعد هي ea المسافة . 0.206 تساويفي عطارد سرعة هو الثاني االبتدائي الشرط . الناقص القطع مركز عن

ب تعطي التي االبتدائية اللحظة

vx0 = 0 , vy0 =

√

GMs

a

1− e

1 + e.

14

و الحركي العزم انحفاظ قانوني تطبيق من حسابها يمكن السرعة هذهb حيث (x = 0, y = b) النقطة و اعاله االبتدائية النقطة بين الطاقة انحفاظ

اي لعطارد الصغير القطر نضف هو

b = a√

1− e2.

دوران كمية فان جدا صغيره العامة النسبية تعطيها التي α قيمه الن (2)عددية محاكاه اي في مالحظتها يصعب ضئيلة لعطارد الشمسي الحضيض

مثال α ل بكثير اكبر قيمة نختار محدود. وقت ذات

α = 0.0008AU2.

ايضا نختارN = 20000 , dt = 0.0001.

الشعاع يصنعها التي θ الزاوية احسب . القيم هذه اجل من المدار احسبايضا احسب . الزمن يداللة االفقي المحور مع الشمس و عطارد يربط الذي

اي للزمن بالنسبة مشتقتها و عطارد و الشمس بين المسافة

dr

dt=

xvx + yvyr

.

بلغ او الشمس عن له نقطة ابعد عطارد بلغ كلما اشارتها تغير المشتقة هذهالمالحظة هذه استخدم . الشمس عن الشمسي) الحضيض (اي له نقطة اقرببداللة الشمس عن له نقطة ابعد في عطارد يكون لما θp الزاوية رسم اجل من

. تالحظ ماذا . الزمنلعطارد الشمسي الحضيض دوران كمية بالضبط هو الذي dθp/dt الميل عين

. اعاله المختارة α قيمة اجل من الشمس حول

نقترح . α ل اخري قيم اجل من السابق السؤال اعد (3)

α = 0.001, 0.002, 0.004.

اوجد . تالحظ ماذا . α بداللة dθp/dt ارسم . dθp/dt احسب مرة كل فيالقيمة اجل من لعطارد الشمسي الحضيض دوران كمية استنتج . الميل

α = 1.1.10−8AU2.

الدالة اوجد السابق السؤال معطيات باستخدام (4)

dθpdt

= f(α).

. االصغرية المربعات طريقة باستعمال

15

الفراشة تأثير : 1 الفوضوي النواس

تحت ثابث مرتكز في معلق l طوله بخيط مربوطة m كتلة عن عبارة نواسالتي الزاوية الن عموما خطية غير حركة هي نواس اي حركة . g الثقالة تأثير

تبلغ ان ويمكن صغيرة بالضرورة ليست الشاقولي المحور مع النواس يصنعهايدور ان يمكن النواس فان بالتالي و −π الصغري القيمة او π العظمي القيمة

قوة تأثير االعتبار بعين نأخذ ارتكازه. نقطة حول درجة 360 تساوي كاملة دورةينص الذي ستوكس بقانون تعطي انها ونفترض m الكتلة علي الهواء مقاومةالسرعة مع خطيا متناسبة و للحركة معاكسه تكون الهواء مقاومة ان علي

:mlq يساوي تناسب ثابت مع dθ/dt

Fdrag = −mlqdθ

dt.

الحركةبعد عن توقفه و النواس حركة تخامد الي يؤدي الهواء مع االحتكاكالنواس حركة علي الحفاظ اجل من . االبتدائية طاقته لكامل النواس استهالك

انها نفترض التي خارجية تحريك قوة اضافة الضروري من الهواء مقاومة ضد: mlFD ثابتة سعة و νD تواتر ذات الزمن في دورية قوة

Fdrive = mlFD sin 2πνDt.

الشكل تأخذ الثاني نيوتن قانون من المشتقة االهتزاز معادلة

d2θ

dt2= −g

lsin θ − q

dθ

dt+ FD sin 2πνDt.

يساوي للنواس البسيطة باالهتزازات المرفق√

g/l الزاوي التواتر دائما نأخذبخوارزمية المعطي الحل هو هنا سنعتبره الذي العددي الحل . l = g اي واحد

كرومر: - اولر

Ωi+1 = Ωi +

(

− g

lsin θi − qΩi + FD sin 2πνDti

)

∆t , θi+1 = θi +Ωi+1 ∆t.

من و (chaotic pendulum) الفوضوي النواس باسم تعرف الديناميكية الجملة هذهتعرف الخاصية هذه . االبتدائية للشروط المفرطة الحساسية به تتميز ما اهم

. (butterfly effect) الفراشة تأثير باسم ايضاالخطية المنطقة في . مختلفتين بطريقتين يتصرف ان للهزازالفوضوي يمكن

الخارجية التحريك قوة دور يساوي دور ذات دورية الحركة الفوضوي للهزازغير الحركة الفوضوية المنطقة في . العابرة االبتدائية الحركة اهملنا اذا

في متناه كان مهما خطأ اي فان ذلك الي باالضافة و ابدا نفسها تكرر ال دورية. بالكامل مختلفة حركة الي يؤدي االبتدائية الشروط تحديد في الصغر

لمسألة كرومر اولر- بخوارزمية المعطي الحل فيها منجز شفرة اكتب (1)في محصورة اخذها دائما يمكن θ الزاوية ان لنالحظ . الفوضوي الهزازباضافة نقوم المجال هذا خارج فيها تكون التي الحالة في و [−π, π] المجال

كالتالي هذا و المجال في حصرها اعادة اجل من ±2π

if(θi.lt.∓ π) θi = θi ± 2π.

االبتدائية الشروط و القيم نأخذ (2)

dt = 0.04s , 2πνD =2

3s−1 , q =

1

2s−1 , N = 1000− 2000.

16

θ1 = 0.2 radian , Ω1 = 0 radian/s.

FD = 0 radian/s2 , FD = 0.1 radian/s2 , FD = 1.2 radian/s2.

لقوة االولي للقيمة بالنسبة تالحظ ماذا الزمن. بداللة θ الزاوية ارسمللقيمة بالنسبة تالحظ ماذا االهتزاز. تواتر ماهو الخارجية، التحريكاالزمنة اجل من االهتزاز تواتر ماهو الخارجية، التحريك لقوة الثانيةبالنسبة تالحظ ماذا االزمنة. باقي اجل من االهتزاز تواتر ماهو و الصغري

. دورية الحركة هل . الثالثة للقيمة

17

بوانكري مقاطع : 2 الفوضوي النواس

في الهزاز تصرف الن حتمية حركة هي الفوضوية المنطقة في الحركةشروط اعطاء مع اعاله الحركة معادلة حل من يحسب الالحقة االزمنة جميع

هو الفوضوي الهزاز ان يعني ال هذا لكن بها. التنبؤ يمكن ال لكن مالئمة ابتدائية. بوانكري مقاطع في بوضوح رؤيتها يمكن خاصية هي و عشوائية جملة

في (θ,Ω) النقاط فقط نرسم ان يمكن االزمنة كل اجل من المدار رسم عوضالتي النقاط مجموعة . νDt = n الشرط تحقق التي االزمنة اجل من الطور فضاء

. بوانكري مقطع تسمي الطريقة بهذه عليها نحصلابتدائية حركة من الهزاز حركة تتكون الفوضوي للهزاز الخطية المنطقة فيال الدوري الجزء . االزمنة باقي في دورية حركة و الصغري االزمنة في عابرة

بالجاذب الطور فضاء في المدار يسمي لذلك و االبتدائية بالشروط يتعلقاهملنا اذا واحدة نقطة من بوانكري مقطع يتكون . الفوضوي للهزاز الدوري

هو المقطع هذا ان الواضح من و الفوضوي للهزاز العابرة االبتدائية الحركة. االبتدائية بالشروط يتعلق ال النه جاذب

ال مدار اي الطور فضاء في جاذب ايضا هو الفوضوية المنطقة في بوانكري مقطعالهزاز ان حقيقة يؤكد مما الغريب بالجاذب يسمي االبتدائية بالشروط يتعلق

الفوضوية المنطقة في بتصرفها التنبؤ يمكن ال حتمية جملة انه رغم الفوضوي. عشوائية بجملة ليس انه اال

شروطهما لكن شئ كل في متماثالن B و A فوضويان هزازان االن نعتبر (1)نأخذ مثال . طفيفا اختالفا مختلفة االبتدائية

θA1 = 0.2 radian , θB1 = 0.201 radian.

:θB و θA الزاويتين بين بالفرق B و A الحركتين بين االختالف يقاس

∆θi = θAi − θBi .

اجل من الزمن بداللة ln∆θ احسب

FD = 0.1 radian/s2 , FD = 1.2 radian/s2.

االزمنة في يحدث ماذا . متماثلتان B و A الحركتان هل . تالحظ ماذا. به التنبؤ يمكن الذي النوع من هي الفوضوي الهزاز حركة هل . الكبري

استعمل الثانية للقيمة بالنسبة

N = 10000 , dt = 0.01s.

اجل من θ الزاوية بداللة Ω الزاوية السرعة احسب (2)

FD = 0.5 radian/s2 , FD = 1.2 radian/s2.

كيف يمثل. ماذا و الصغري االزمنة اجل من الطور فضاء في المدار ماهويتعلق هل . B و A الهزازين بين قارن . الكبري االزمنة في المدار يصبح

. االبتدائية بالشروط الكبري االزمنة في المدار

التي االزمنة في (θ,Ω) النقاط نرسم عدديا بوانكري مقطع علي للحصول (3)الدالةاشارتها: هذه فيها تغير التي االزمنة في اي sinπνDt الدالة فيها تنعدم

if(sinπνDti sinπνDti+1.lt.0)then

18

write(∗, ∗)ti, θi,Ωi.

وحيدة بنقطة معطي هو الخطية المنطقة في بوانكري مقطع ان من تحققمثال خذ . الطور فضاء في

FD = 0.5 radian/s2.

استعمل وN = 104 − 107 , dt = 0.001s.

خذ . جاذب ايضا هو الفوضوية المنطقة في بوانكري مقطع ان من تحققمثال

FD = 1.2 radian/s2.

استعمل وN = 105 , dt = 0.04s.

تالحظ ماذا . B للهزاز بوانكري مقطع و A للهزاز بوانكري مقطع بين قارن. تستنتج ماذا و

19

الدور تضاعف ظاهرة : 3 الفوضوي النواس

ظاهرة هو الفوضوي النواس بها يتميز التي الفوضوية الخصائص اهم منالخارجية التحريك قوة دور نفس لها التي الدورية المدارات الدور. تضاعف

ذات مدارات ايضا توجد لكن . (period-1 motion) واحد الدور ذات الحركة تسمياضعاف اربعة يساوي دور ذات مدارات و الخارجية القوة دور ضعف يساوي دورالقوة دور ضعف 2N يساوي دور ذات مدارات عامة بصفة و الخارجية القوة دورالخارجية التحريك قوة دور ضعف 2N يساوي دورها التي المدارات . الخارجيةاالمواج و االهتزازات عالم في . (period-N motion) N الدور ذات الحركة تسمي

دور تساوي ادوار ذات دورية مدارات هي العادة في عليها نحصل التي المدارات.(mixing) المزج باسم تعرف ظاهرة هي و 2N تقسيم الخارجية التحريك قوةجديدة ظاهرة هي الفوضوي النواس في تشاهد التي الدور تضاعف ظاهرة اذن. N −→ ∞ لما بالضبط يحدث الفوضي الي التحول . الفوضي عالم الي تنتميمن θ للزاوية مختلفة قيمة N توجد ان نتوقع N الدور ذات الحركة اجل من

و (bifurcation) انشطار مخطط تسمي FD بداللة θ الدالة . FD ل قيمة كل اجلالمخطط هذا من الفوضوية. المنطقة في (fractal) منكسرة بنية ذو منحني هو

الفوضي. نحو التحول بالضبط يحدث متي حساب يمكن

االبتدائية الشروط و القيم نأخذ (1)

l = g , 2πνD =2

3s−1 , q =

1

2s−1 , N = 3000− 100000 , dt = 0.01s.

θ1 = 0.2 radian , Ω1 = 0 radian/s.

القيم اجل من الحركة دور عين

FD = 1.35 radian/s2 , FD = 1.44 radian/s2 , FD = 1.465 radian/s2.

FD ل الثانيتان القيمتان هل .FD قيمة في نزيد عندما للدور يحدث ماذاالفوضوي. للهزاز الفوضوية المنطقة في ام الخطية المنطقة في تقعان

.2πνDt = 2nπ الشرط تحقق التي االزمنة اجل من FD بداللة θ الزاوية احسب (2)المجال في FD نأخذ

FD = (1.34 + 0.005k) radian/s2 , k = 1, ..., 30.

الي تنتمي المدارات فيه تكون الذي الخارجية التحريك قوة مجال عيناربعة. و اثنان واحد، الدور ذات الحركات

البدء قبل العابرة االبتدائية الحركة ازالة جدا المهم من السؤال هذا فيبحساب نقوم كالتالي. االمر هذا انجاز يمكن االنشطار. مخطط قياس فياالخيرة خطوة N ال فقط االعتبار بعين نأخذ ثم خطوة 2N لمدة الحركة

. FD ل قيمة كل اجل من بوانكري مقطع حساب عند

20

التلقائي االنكسار و االنشطار مخططات :4 الفوضوي النواسللتناظر

الحركة بمعادلة يعطي الفوضوي الهزاز

d2θ

dt2= − sin θ − 1

Q

dθ

dt+ FD cos 2πνDt.

التالية القيم المحاكاة هذه كل عبر نأخذ

FD = 1.5 radian/s2 , 2πνD =2

3s−1.

كوتا: - رونج خوارزمية المرة هذه نستخدم اعلي عددية دقة تحري اجل من

k1 = ∆t Ω(i).

k3 = ∆t

[

− sin θ(i)− 1

QΩ(i) + FD cos 2πνD∆t(i − 1)

]

.

k2 = ∆t

(

Ω(i) +1

2k3

)

.

k4 = ∆t

[

− sin

(

θ(i) +1

2k1

)

− 1

Q

(

Ω(i) +1

2k3

)

+ FD cos 2πνD∆t(i − 1

2).

]

.

θ(i + 1) = θ(i) + k2.

Ω(i+ 1) = Ω(i) + k4.

t(i+ 1) = ∆t i.

بالتناظر تتميز ناقصة قطوع هي المدارات الخطية المنطقة في

θ −→ −θ.

القوة دور يساوي TD دور ذات دورية كونها الي باالضافة المدارات هذهالوقت فان بالتالي و اليسار و اليمين بين كامل بتناظر تتميز فهي الخارجية

الذي الوقت يساوي الشاقولي محوره يمين الي حركته في النواس يصرفه الذيالشاقولي. محوره يسار الي حركته في يصرفه

دورية الفوضوي الهزاز حركة لمعادالت اخري حلول وجود لالهتمام المثير منان نجد الحلول هذه في .θ −→ −θ بالتناظر تتميز ال لكنها TD يساوي دور ذاتيمكن . θ > 0 المنطقة في او θ < 0 المنطقة في اما وقته معظم يصرف الهزاز

انشطار بمخطط المتناظرة غير الحلول هذه وصف

Ω = Ω(Q).

Ω و θ قيم اي بوانكري مقطع نحسب فاننا Q الجودة لمعامل قيمة كل اجل منQ∗ معينة قيمة اجل من ينشطر بوانكري مقطع ان نالحظ . t = nTD اللحظات فيفوق و TD دور ذات الحركة الن واحد خط علي نحصل القيمة هذه تحت . Q ليقابالن الخطان .TD يساوي زال ما دورالحركة ان رغم خطين علي نحصل Q∗

او (θ > 0) اليمني المنطقة في وقته اغلب الهزاز فيهما يصرف اللذان الحالنالمتناظر الحل من انطالقا الحلين احد الي الوصول .(θ < 0) اليسري المنطقة

21

لظاهرة مثال هذا تدريجيا. Q قيمة زيادة عبر يكون و االبتدائية بالشروط يتعلقللتناظر. التلقائي االنكسار

الدور تضاعف ظاهرة وصف ايضا يمكن السابقة المحاكاة في رأينا كماللتناظر. التلقائي االنكسار لظاهرة مثال ايضا هي الظاهرة هذه انشطار. بمخطط

هو ينكسر الذي التناظر فان الحالة هذه في

t −→ t+ TD.

الحركات ان لنالحظ التناظر. بهذا تتميز TD يساوي دورها التي الحركات فقطبالتناظر ايضا تتميز ال 2NTD يساوي دور لها التي المدارات اي N الدور ذات

.θ −→ −θالتي القيمة هي QN ان اي . N رقم االنشطار فيها يحدث التي Q قيمة QN لتكنيساوي دور ذو مدار الي 2N−1TD يساوي دور ذو مدار من المدار عندها يتحول

كالتالي تعرف فاينباوم نسبة .2NTD

FN =QN−1 −QN−2

QN −QN−1.

من بسرعة يقترب FN فان N −→ ∞ لما اي الفوضوية المنطقة من نقترب لماالثابثة القيمة

F = 4.669.

الفوضوية. الجمل من غيره دون الفوضوي بالهزاز تختص ال عامة النتيجة هذهمن منتهية غير سلسلة عبر الفوضي الي تتحول ان يمكنها ديناميكية جملة اي فيالقيمة نفس من يقترب فاينباوم ثابت فان للدور بتضاعف المرفقة االنشطارات

. N −→ ∞ لما 4.669

كوتا. - رونج باستخدام الشفرة كتابة اعد (1)

االبتدائية الشروط من مختلفتين مجموعتين نأخذ (2)

θ = 0.0 radian , Ω = 0.0 radian/s.

θ = 0.0 radian , Ω = −3.0 radian/s .

القيم اجل من المدار طبيعة ادرس

Q = 0.5s , Q = 1.24s , Q = 1.3s.

تالحظ. ماذاالمجال في Q قيم اجل من بوانكري مقطع احسب

[1.2, 1.3].

التناظر فيها ينكسر التي Q∗ القيمة ماهي .Ω = Ω(Q) االنشطار مخطط ارسمتلقائيا. θ −→ −θ

اجل من بوانكري مقطع و المدار احسب (3)

Q = 1.36s.

المدار هل .t −→ t+ TD تأثير تحت متناظر المدار هل الحركة. دور ماهواجل من Ω = Ω(Q) االنشطار مخطط ارسم .θ −→ −θ تأثير تحت متناظر

االبتدائية. الشروط من مختلفتين مجموعتينالتناظر فيها ينكسر التي القيمة اي الدور فيها يتضاعف التي Q1 القيمة ماهي

. t −→ t+ TD

22

االبتدائية الشروط نستخدم يليه الذي و السؤال هذا في (4)

θ = 0.0 radian , Ω = 0.0 radian/s.

من Ω = Ω(Q) االنشطار مخطط ارسم و بوانكري مقطع و المدار احسبالمجال في Q قيم اجل

[1.34, 1.38].

ثابت احسب . N = 1, 2, 3, 4, 5 اجل من QN االنشطارالقيم مخطط من عينالفوضي. نحو التحول عندها يحدث التي Q∞ التراكم نقطة و فاينباوم

فوضويان هزازان نعتبر افضل بطريقة الفوضي نحو التحول نفهم حتي (5)نأخذ مثال طفيفا. اختالفا مختلفان

∆θ = 10−6 radian , ∆Ω = 10−6 radian/s.

من ln |∆Ω| احسب كذلك و الدور عين و بوانكري مقطع و المدار احسبالتالية Q قيم اجل

Q = 1.372s , 1.375s , 1.3757s , 1.376s.

الفوضي. منطقة من نقترب لما تالحظ ماذا

23

ماكسويل توزيع :1 الجزيئي الديناميك

بين التفاعل طاقة .L2 مساحتها علبة داخل بعدين في ارغون ذرة N حركة نعتبرب المعرف u لينارد-جونز بكمون تعطي r بمسافة مفصولتين ذرتين اي

u = 4ǫ

[(

σ

r

)12

−(

σ

r

)6]

.

هي i الذرة علي k الذرة تطبقها التي القوة

fk,i =24ǫ

rki

[

2

(

σ

rki

)12

−(

σ

rki

)6]

.

ب تعطي i الذرة حركة معادالت

d2xi

dt2= ax,i =

1

m

∑

k 6=i

fk,ixi − xk

rki,d2yidt2

= ay,i =1

m

∑

k 6=i

fk,iyi − ykrki

.

هي التفاضلية المعادالت هذه لحل سنستعملها التي العددية الخوارزميةبالمعادالت تعطي التي قيرالت خوارزمية

xi,n+1 = 2xi,n − xi,n−1 + (∆t)2ax,i,n , yi,n+1 = 2yi,n − yi,n−1 + (∆t)2ay,i,n.

التالية المعادالت باستعمال السرعات ايضا سنحسب

vx,i,n =xi,n+1 − xi,n−1

2∆t, vy,i,n =

yi,n+1 − yi,n−1

2∆t.

اجل من ايضا .σ = ǫ = m = 1 المختزلة الوحدات نستخدم التبسيط اجل منالتي العلبة نعتبر اي الدورية. الحدية الشروط نسعمل الحواف اثار من التقليل

ذرة تصطدم عندما فانه بالتالي و حواف بدون تورص انها علي الغاز علي تحتويذلك في العلبة طول ننقص او نزيد فاننا اتجاه اي في العلبة بجدران ارغون

يلي كما االتجاه

if (xi > L) then xi = xi − L , if (xi < 0) then xi = xi + L

if (yi > L) then yi = yi − L , if (yi < 0) then yi = yi + L.

ذرتين اي بين x االتجاه في العطمي ألمسافة فان الدورية الحدية الشروط بسببيتم .L/2 هو ذرتين اي بين y االتجاه في العظمي المسافة كذلك و L/2 فقط هو

كالتالي االمر هذا تنفيذ

if (xij > L/2) then xij = xij − L , if (xij < −L/2) then xij = xij + L

if (yij > L/2) then yij = yij − L , if (yij < −L/2) then yij = yij + L.

الخطوة بطول تتميز الشبكة تام. مربع N و فردي L نأخذ المسألة هذه في

a =L√N

.

بحيث N و L نختار .a2 هي منها كل مساحة خلية N من تتشكل الشبكة اذنفي توضع k =

√N(i − 1) + j الذرة كالتالي. الذرات نختارمواضع .a > 2σ

24

بعد نقوم .(i+ 1, j + 1) و (i, j + 1) ،(i + 1, j) ،(i, j) االركان ذات الخلية مركزاضافة طريق عن االبتدائية الوضعيات هذه علي عشوائي اضطراب بادخال ذلكالسرعات نختار الذرات. احداثيات الي [−a/4,+a/4] المجال في عشوائية اعدادالذرات. جميع اجل من v0 تساوي بطويلة لكن عشوائية اتجاهات في االبتدائية

،N = 25 ،L = 15 خذ اعاله. الخطوات باتباع جزيئي ديناميك شفرة اكتب (1)الكلية الطاقة ان من تحقق اولي كاختبار .v0 = 1 و Time = 500 ،∆t = 0.02

تالحظ. ماذا الجسيمات. مسارات ارسم منحفظة. للجملة

كيفية مالحظة طريق عن الحرارة درجة قياس نقترح ثاني كاختبار (2)التي للطاقة المتساوي التقسيم نظرية استعمل التوازن. من الغاز اقتراب

ب تعطي

kBT =m

2N

N∑

i=1

(v2i,x + v2i,y).

حرارة درجة ماهي .Time = 1000 − 1500 خذ الزمن. في كدالة T ارسمالتوازن. عند الغاز

السرعات. هيستوغرام انشاء طريق عن االرغون ذرات سرعات توزيع احسب (3)

اللحظات. كل في الجسيمات كل سرعات نعتبر .Time = 2000 القيمة نأخذالعينة هذه هيستوغرام ننشئ العينة. هذه في للسرعة قيمة Time.N هناك

طريق: عن

الصغري. القيمة و العظمي القيمة ايجاد سالت. الي المجال تقسيم

معينة. سلة داخل للسرعة معينة قيمة فيها تقع التي المرات عدد تحديد التوزيع. تنظيم

ماكسويل توزيع مع قارن

PMaxwell(v) = Cv2

kBTe− mv2

2kBT .

ب تعطي التي للتوزيع العظمي القيمة من الحرارة درجة استنتج

kBT = mv2peak.

للطاقة. المتساوي التقسيم نظرية من عليها المحصل الحرارة درجة مع قارناالبتدائية. السرعة زدنا اذا يحدث ماذا

25

االنصهار :2 الجزيئي الديناميك

الحالة من الطوري التحول هو الذي االنصهار دراسة المسألة هذه في نريدالصلبة. للحالة الصحيحة الشروط نحدد ان اوال علينا السائلة. الحالة الي الصلبةالكثافة و الكفاية فيه بما منخفضة تكون ان يجب الحرارة درجة ان الواضح منالحرارة درجة خفض اجل من صلبة. الحالة تكون حتي الكفاية فيه بما مرتفعةحالة في الجسيمات جميع فيها تكون التي الحالة من نبدأ ممكن حد اقصي اليمساوية كثافة نختار الذرات بين اعظمي تجاذب علي الحصول اجل من سكون.

.L = 4 و N = 16 بالخصوص نختار مختزلة. مساحة وحدة كل في واحد لجسيم

حالة علي نحصل فاننا اعاله المذكورة االبتدائية الشروط باستعمال انه بين (1)مثلثية. شبكة ذات بلورية صلبة

الطاقة زيادة طريق عن الجملة تسخين يجب االنصهار مشاهدة اجل من (2)تغيير طريق عن مثال االمر هذا تحقيق يمكننا يدويا. للذرات الحركية

كالتالي خطوة 1000 كل الجسيمات مواضع

hh = int(n/1000)

if (hh ∗ 1000.eq.n) thenx(i, n) = x(i, n+ 1)−R(x(i, n+ 1)− x(i, n))

y(i, n) = y(i, n+ 1)−R(y(i, n+ 1)− y(i, n))

endif.

.R = 1.5 نختار .R بالقيمة السرعات ضرب الي تؤدي العملية هذهللطاقة يحدث ماذا الطريقة. بهذه االنصهار علي بالفعل نحصل اننا من تحقق

الحرارة. درجة و

26

العشوائية االعداد

المتبقيات طريقة علي يعتمد عشوائية شبه اعداد مولد نعتبر االول الجزءالعالقة في المتمثلة

ri+1 = remainder

(

ari + c

M

)

.

العشوائي العدد التوالي. علي الطويلة و المضاف الضارب، هم M و c ،a الثوابتالقيم نعطي البذرة. يسمي ri االبتدائي

a = 899, c = 0,M = 32768, r1 = 12 ”good”

a = 57, c = 1,M = 256, r1 = 10 , ”bad”.

كالتالي الفورترن في تنفذ remainder الدالة

remaindera

b= mod(a, b).

انشئ .i بداللة ri ارسم اعاله. القيم باستعمال العشوائية االعداد سلسلة احسب (1).(xi = r2i, yi = r2i+1) التناثر مخطط

تالحظ. ماذا العشوائية. االعداد متوسط احسب (2)

الربط دوال احسب المولدة. العشوائية االعداد عدد N ليكن (3)

sum1(k) =1

N − k

N−k∑

i=1

xixi+k , sum2 =sum1(k)− < xi >

2

sum1(0)− < xi >2.

.k في الدوال هذه تصرف ماهو

اعاله. العشوائية المولدات دور احسب (4)

مجال K الي نقسمه الذي [0, 1] المجال في عشوائي عدد N نأخذ الثاني الجزءالتي العشوائية االعداد عدد Ni ليكن .δ = 1/K هو واحدة كل طول سلة او صغير

العشوائية االعداد عدد منتظمة عشوائية اعداد سلسة اجل من .i السلة في تقعكالتالي χ2− احصائية تعرف .nideal = N/K هو سلة كل في المتوقع

χ2 =1

nideal

∑

i

(Ni − nideal)2.

المكتبة في نجده الذي rand المولد اجل من nideal = N/K النتيجة من تحقق (1)بداللة Ni ارسم .N = 1000 و K = 10 القيم خذ للفورترن. المعيارية

.i للسلة xi الموضع

تحقق .ν هي χ2 ل احتماال االكثر القيمة .ν = K − 1 هو الحرية درجات عدد 2)و L = 1000 يساوي السلة اختبارات من كلي عدد اجل من النتيجة هذه مناختبار L = 1000 ال بين من Li المرات عدد احسب مرة كل في .K = 11

تالحظ. ماذا .χ2 بداللة Li ارسم .χ2 ل معينة قيمة علي فيها نحصل التي سلة

27

العشوائي المشاء

الحركة يمكنه المشاء واحد. بعد في عشوائي مشاء حركة نعتبر االول الجزءsi = −a تساوي خطوة اليسار الي او p باحتمال si = a تساوي خطوة اليمين اليالقيم نأخذ . xN =

∑

i si يصبح المشاء موضع خطوة N بعد .q = 1− p باحتمال

p = q =1

2, a = 1.

في العشوائية. لالعداد مولد الي نحتاج العشوائي المشاء حركة محاكاة اجل منللفورترن. المعيارية المكتبة في نجده الذي rand المولد نستخدم المسألة هذه

التالي االمر اصدار طريق عن المولد هذا نستدعي

call srand(seed)

rand()

التالية بالشفرة العشوائي المشاء حركة نستنسخ ان يمكن

if (rand() < p) then

xN = xN + a

else

xN = xN − a

endif.

نأخذ .i الخطوة رقم بداللة عشوائية مشاءات لثالث xi المواضع احسب (1)الثالثة. المسارات ارسم .i = 1, 100

المتوسطات احسب .K = 500 حيث عشوائي مشاء K حركة االن نعتبر (2)

< xN >=1

K

K∑

i=1

x(i)N , < x2

N >=1

K

K∑

i=1

(x(i)N )2.

ادرس خطوة. N بعد i العشوائي المشاء موضع هو x(i)N اعاله المعادالت في

النظرية. الحسابات مع قارن .N في كدوال المتوسطات هذه تصرف

منتهية. غير نقاط شبكة علي بعدين في عشوائي مشاء االن نعتبر الثاني الجزءمن نقطة اي الي الوصول للمشاء يمكن الشبكة علي (i, j) نقطة اي من انطالقا

باحتماالت (i, j − 1) و (i, j + 1) ،(i− 1, j) ،(i + 1, j) االربعة االقرب الجوار نقاطنفترض التبسيط اجل من .px + qx + py + qy = 1 حيث التوالي علي qy و py ،qx ،px

.px = qx = py = qy = 0.25 ان

اجل من N الخطوات عدد في كدوال < ~r2N > و < ~rN > المتوسطات احسب (1).N = 10, ..., 1000 القيم نعتبر عشوائي. مشاء L = 500

28

كارلو مونتي و الوسطي النقطة تقريبات

بالعالقة بعد d في R قطرها نصف كرة حجم يعطي االول الجزء

Vd =

∫

x2

1+...+x2

d≤R2

dx1...dxd

= 2

∫

dx1...dxd−1

√

R2 − x21 − ...− x2

d−1

=Rd

d

2πd2

Γ(d2 ).

النقطة طريقة باستعمال ابعاد ثالث في اعاله التكامل يحسب برنامج اكتب (1)عدد و R = 1 القطر نصف ،h = 2R/N الخطوة طول نأخذ الوسطي.

.p = 1, 15 حيث N = Nx = Ny = 2p يساوي اتجاه كل في الخطوات

للخطأ المطلقة القيمة لوغاريتم ارسم .1/N مثل يتصرف الخطأ ان بين (2).N لوغاريتم بداللة المطلق

للمستوي الموجب الربع فقط استعمل بعدين. في التكامل حساب جرب (3).p = 1, 15 ،N = 2p و R = 1 حيث h = R/N الخطوة طول خذ و الحقيقيهذه في الخطأ ماهو .1/N2 مثل يتصرف ان يجب الخطأ ان النظري من نعلم

االختالف. لماذا و الحالةمما x = R عند معرفة غير التكامل داخل للدالة الثانية المشتقة ملحوظة:

.1/N1.5 الي 1/N2 من الخطأ تصرف يغير

عالقة نستعمل عدديا d بعد اي في الكرة حجم حساب اجل من الثاني الجزءالتكرار

Vd =Vd−1

Rd−1

∫ +R

−R

dxd (R2 − x2d)

d−1

2 .

المضبوطة بالنتيجة قارن .11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4 = d االبعاد في الحجوم احسب (1)اعاله. المعطاة

الثالث الجزء

الخطأ او االصابة طريقة المسماة كارلو لمونتي المعاينة طريقة استعمل (1)طريقة استعمال هل .d = 10 و 4, 3, 2 = d االبعاد في التكامالت حساب اجل من

بعد. اي في الوسطي النقطة طريقة استعمال من اسهل هذه كارلو مونتي

حساب اجل من كارلو لمونتي للعينة الوسطي القيمة طريقة استعمل (2)قياس M نجري d كل اجل من .d = 10 و 4, 3, 2 = d االبعاد في التكامالتحيث N = 2p و 1, 10, 100, 150 = M نعتبر عينة. N من مشكل واحد كل

.1/√N مثل يتصرف المضبوط الخطأ ان من تحقق .p = 10, 19

مع الحالة هذه في معروف هو الذي المضبوط الخطأ قارن ملحوظة:االنحراف هو σ حيث σ/

√N مع و σM للمتوسط المعياري االنحراف

متساوية. تكون ان يجب الثالثة الكميات هذه واحد. قياس في المعياري

29

الرابع الجزء

بالتكامل π قيمة تعطي ان يمكن (1)

π =

∫

x2+y2≤R2

dx dy.

لحساب الخطأ) او االصابة (طريقة كارلو لمونتي المعاينة طريقة استعمل.π ل تقريبية قيمة

الشكل علي يكتب ان ايضا يمكن اعاله التكامل (2)

π = 2

∫ +1

−1

dx√

1− x2.

تقريبية قيمة لحساب كارلو لمونتي للعينة الوسطي القيمة طريقة استعمل.π ل

30

المنتظمة غير االحتمال توزيعات

ب يعطي غوس توزيع االول الجزء

P (x) =1√2πσ2

exp− (x− µ)2

2σ.

المعياري. لالنحراف التربيعي الجذر اي التفاوت هو σ و المتوسط هو µ الوسيط.σ = 1 و µ = 0 نختار

P (x) حسب موزعة x العشوائية االعداد من سلسلة يحسب برنامج اكتب (1)المعطاة مولر) و بوكس (خوارزمية العكسي التحويل طريقة باستعمال

بالمعادالت

x = r cosφ.

r2 = −2σ2 ln v , φ = 2πw.

.[0, 1] المجال في منتظمة عشوائية اعداد هي w و v االعداد

باتباع السابق السؤال في عليها المحصل العشوائية لالعداد هيستوغرام ارسم (2)التالية: الخطوات

السابق. السؤال في عليها المحصل العشوائية االعداد مجال عين -aنأخذ .h = interval/u هو واحدة كل طول سلة u الي المجال نقسم -b

.u = 100

عدد فيها نجد مرة كل السالت. بين x عشوائي عدد كل موضع نحدد -cالسلة. بهذه المرفق العداد الي واحد نزيد معينة سلة في عشوائي

نسبة .x الموضع بداللة سلة كل في العشوائية االعداد نسبة نرسم -dتقع العشوائيةالتي االعداد عدد تساوي سلة كل في العشوائية االعدادنأخذ العشوائية. لالعداد الكلي العدد هو N حيث hN علي السلة هذه في

.N = 10000

.x2 بداللة log(fraction) ارسم اي لوغاريتمي سلم علي الهيستوغرام ارسم (3)النظرية. مع قارن و الفت اوجد

الثاني الجزء

اعاله. المسألة علي كارلو لمونتي القبول و الرفض طريقة طبق (1)

كالتالي: هي الخطوات اعاله. المسالة علي كريادو و فرنانداز طريقة طبق (2)

.xi = σ حيث xi نقطة N من نبدأ -aنقوم و السلسلة من (xi, xj) النقاط من زوج عشوائي بشكل نختار -b

بالتغيير

xi −→xi + xj√

2

xj −→ −xi +√2xj .

الثانية الخطوة كرر مثال التوازن. الي نصل حتي الثانية الخطوة نكرر -c.M = 10, 100, ... حيث مرة M

31

ايزينغ نموذج و ميتروبوليس خوارزمية

في الشبكة مواقع عدد هو L حيث مربعة شبكة علي سبين N نعتبر االول الجزءsi = +1 القيمتين احدي يأخذ ان يمكنه سبين كل .N = L2 ان اي اتجاه كلجيرانه مع فقط يتفاعل سبين كل سفلي). (سبين si = −1 او علوي) (سبين

بعدين في ايزينغ نموذج .H خارجي مغناطيسي حقل مع ايضا و االقرب االربعةالطاقة بدالة يعطي

E = −J∑

<ij>

sisj −H∑

i

si.

المصفوفة بعنصر يمثل j العمود و i الخط تقاطع نقطة في الموجود السبينب اذن تعطي ان يمكن الطاقة .φ(i, j)

E = − J

2

L∑

i,j=1

φ(i, j)

(

φ(i + 1, j) + φ(i − 1, j) + φ(i, j + 1) + φ(i, j − 1)

)

− H∑

i=1

φ(i, j).

اي للتورص الموافقة الحدية الشروط نفرض

φ(0, j) = φ(n, j) , φ(n+ 1, j) = φ(1, j) , φ(i, 0) = φ(i, n) , φ(i, n+ 1) = φ(i, 1).

حرارة درجة ذو حرارة خزان مع حراري توازن حالة في الجملة ان ايضا نفترضميتروبوليس. بخوارزمية تحاكي للجملة الحرارية التقلبات .T

لنموذج φ التمثيلة في M المغنظة و E الطاقة يحسب جزئي روتين اكتب (1)كالتالي معرف هو و الجملة ترتيب وسيط هو المغنطة ايزينغ.

M =∑

i

si =∑

i,j=1

φ(i, j).

في الفرق الجملة. لهذه ميتروبوليس خوارزمية ينفذ جزئي روتين اكتب (2)ب يعطي φ(i, j) السبين قلب عن الناجم الطاقة

∆E = 2Jφ(i, j)(

φ(i + 1, j) + φ(i − 1, j) + φ(i, j + 1) + φ(i, j − 1))

+ 2H∑

i=1

φ(i, j).

و الباردة حالةاالنطالقة نعتبر .β = 1/T و J = 1 ،H = 0 ،L = 10 نختار (3)ب التوالي علي المعرفتان الساخنة االنطالقة حالة كذلك

φ(i, j) = +1 ∀ i, j : Cold Start.

φ(i, j) = rand() : Hot Start.

ادرس و TTH = 26 موازنة زمن اجل من ميتروبوليس خوارزمية شغلالمغنظة و الطاقة مختلفة. حرارة درجات اجل من المغنطة و الطاقة تاريخو E = −2JN القيم من و T −→ ∞ لما M = 0 و E = 0 القيم من تقتربان

.T −→ 0 لما M = +1

32

المغنطة. و الطاقة متوسطات احسب و مونتيكارلو خطوة TTM = 210 ضف (4)

ب المعرفان الجملة لهذه المغناطيسية الحساسية و الحرارية السعة احسب (5)

Cv =∂

∂β< E >=

β

T(< E2 > − < E >2) , χ =

∂

∂H< M >= β(< M2 > − < M >2).

المضبوطة النظرية بالنتيجة قارن و الحرجة النقطة احسب (6)

kBTc =2J

ln(√2 + 1)

.

اجل من المطواة طريقة ينفذ اخر جزئي روتين الشفرة الي ضف الثاني الجزءو الحرارية السعة المغنطة، الطاقة، في االخطاء احسب القياسات. من مجموعة اي

المطواة. طريقة باستعمال ايزينغ لنموذج المغناطيسية الحساسية

33

الفيرومغناطيسي الثانية الرتبة من الطوري التغير

اي ،α = 0 ب يعطي الحرارية بالسعة المرفق الحرج االساس االول الجزء

Cv

L2∼ (Tc − T )−α , α = 0.

شكل علي يظهر وهذا T = Tc عند لوغاريتميا تتباعد الحرارية السعة ان يعني هذااي لوغاريتميا L مع االعظمية) (القيمة الحرارية السعة لقمة تزايد

Cv

L2|peak ∼ logL.

،TTH = 210 و L = 10− 30 بين شبكات استخدم . عدديا التصرف هذا من تحققالمجال في تؤخذ الحرارة درجات .TMC = 213

T = Tc − 10−2step , step = −50, 50.

.lnL بداللة Cv/L2 ل االعظمية القيمة ارسم

كالتالي تتصرف الحرجة الحرارة درجة تحت لكن بجوار المغنظة الثاني الجزء

< M >

L2∼ (Tc − T )−β , β =

1

8.

هذا تحقيق اجل من عدديا. β قيمة تعيين اجل من Tc بجوار المغنطة دراسة نقترحالمجال في يؤخذ T حيث Tc − T بداللة | < M > | ارسم الهدف

T = Tc − 10−4step , step = 0, 5000.

درجة ان نذكر .TTH = TMC = 210 مع L = 30− 50 بين كبيرة شبكات نعتبرب تعطي بعدين في ايزينغ نموذج في الحرجة الحرارة

kBTc =2J

ln(√2 + 1)

.

نموذج في الحرجة الحرارة درجة بجوار المغناطيسية الحساسية الثالث الجزءكالتالي تتصرف بعدين في ايزينغ

χ

L2∼ |T − Tc|−γ , γ =

7

4.

في الحرارة درجة خذ و L = 50 ،TMC = 213 ،TTH = 210 استعمل . عدديا γ عينالمجالين

T = Tc − 5.10−4step , step = 0, 100.

T = Tc − 0.05− 4.5.10−3step , step = 0, 100.

34

الثنائية (غرين) الربط دالة

بالخصوص الفيرومغناطيسي. الطوري التغير دراسة نواصل المسألة هذه فيبالعبارة المعرفة الثنائية (غرين) الربط دالة المسالة هذه في نحسب سوف

f(n) = < s0sn >

= <1

4L2

∑

i,j

φ(i, j)

(

φ(i+ n, j) + φ(i − n, j) + φ(i, j + n) + φ(i, j − n)

)

> .

ب يعطي T = Tc عند f(n) الدالة تصرف ان تحقق (1)

f(n) ≃ 1

nη, η =

1

4.

ب يعطي Tc من اقل T اجل من f(n) الدالة تصرف ان تحقق (2)

f(n) =< M >2 .

ب يعطي Tc من اكبر T اجل من f(n) الدالة تصرف ان تحقق (3)

f(n) ≃ a1

nηe−

nξ .

.LL = Lبين20−50 = 2LL+1اي فردية شبكات نأخذ اعاله االسئلة جميع في.TTC = 213 ،TTH = 210 القيم ايضا نعتبر

كالتالي الربط طول يتباعد Tc من بالقرب (4)

ξ ≃ 1

|T − Tc|ν, ν = 1.

و TTC = 215 ،TTH = 210 القيم ايضا نعتبر .LL = 20 نأخذ السؤال هذا فيالحرارة درجات

T = Tc + 0.1.step , step = 0, 10.

يعطون ان يمكن n مسافة عنه يبعدون الذين i الدليل جيران ان الحظالتالية بالشفرة

do i=1,L

do n=1,LL

if (i+n.le.L)then

ipn(i,n)=i+n

else

ipn(i,n)=(i+n)-L

endif

if ((i-n).ge.1)then

imn(i,n)=i-n

else

imn(i,n)=i-n+L

endif

enddo

enddo

35

االولي الرتبة من الطوري التغير و الهستريسيس

سوف ايزينغ. نموذج فيزياء علي مغناطيسي حقل تأثير نعتبر المسألة هذه فيكذلك و H = 0 من بالقرب االولي الرتبة من طوري تغير بالخصوص نالحظ

هستريسيس. ظاهرة

تجري مختلفة. حرارة درجات اجل من H بداللة الطاقة و المغنطة نحسب (1)المغنطة حساب بعد و المغناطيسي للحقل االولي القيمة اجل من الموازنةبطيء بشكل اي ادياباتيكي بشكل المغناطيسي الحقل بتغيير نبدأ المتوسطةالسؤال هذا في نعتبر الجملة. موازنة نخسر ال حتي صغيرة خطوات عبر جدا

.0.25 تساوي خطوات مع H = −5, 5 المجال

من الطوري التغير موقع (T = 1.5 و T = (مثال0.5 T < Tc اجل من عين -الطاقة عندها) تقفز التي (النقطة استمرارية ال نقطة من االولي الرتبةللحقل منعدمة غير قيمة عند يحدث الطوري التغير هذا المغنطة. وعند الطاقة في نالحظها التي القفزة الهستريسيس. بسبب المغناطيسيالكامنة. الحرارة لكمية منعدمة غير قيمة توافق الطوري التغير موقع

سلسة دالة تصبح (T = 5 و T = 3 (مثال T > Tc اجل من المغنطة ان بين -من بالقرب المرات) من كيفي عدد لالشتقاق قابلة و مستمرة (دالةالفيرومغناطيسية الحاالت بين فرق اي يوجد ال انه يعني هذا و H = 0

.M ≤ 0 الفيرومغناطيسية الحاالت و M ≥ 0

ايابا. و ذهابا 5 الي −5 من المجال اجل من H في كدالة المغنطة حساب نعيد (2)هستريسيس. حلقة نالحظ ان يجب

بعد او الحرارة درجة بزيادة تضيق الهستريسيس نافذة ان من تحقق -كارلو. مونتي خطوات من اكبر عدد تراكم

الشبكة. حجم زيادة عند يحدث ماذا -

و االبتدائية بحالتها يتعلق الجملة تصرف ان الي الهستريسيس ظاهرة تشيرمستقرة. شبة حاالت في عالقة الجملة ان او تاريخها

36

الفورترون شفرات من عبنة ملحق:

ميتروبوليس خوارزمية و ايزينغ نموذج

االخطاء بحساب نقوم ال و rand العشوائية االعداد مولد نستعمل الشفرة هذه فيالعددية.

program Ising_model_basic

integer L,tthi,TTH,ttmi,TTM,i,j,k,seed

parameter(L=10,TTH=2**13,TTM=2**13,seed=1375927)

doubleprecision exch,H,beta,T,r

parameter (exch=1.0d0)

doubleprecision E,en(1:TTM),en_mean,en_error

doubleprecision M,mag(1:TTM),mag_mean,mag_error

doubleprecision cv(1:TTM),cv_mean,cv_error

doubleprecision chi(1:TTM),chi_mean,chi_error

doubleprecision phi(1:L,1:L)

c.....call to the random numbers generator..

call srand(seed)

c.....theoretical prediction of the critical temperature..

TC=2.0d0*exch/dlog(dsqrt(2.0d0)+1.0d0)

c.....magnetic field..........

H=0.0d0

c.....vary the temperature...

do k=-22,30,1

T=TC+0.1*k

beta=1.0d0/T

c.....initialization (hot start)....

do i=1,L

do j=1,L

r=rand()

if (r.le.0.5d0) then

phi(i,j)=+1.0d0

else

phi(i,j)=-1.0d0

endif

enddo

enddo

c.....initialization (cold start)..

do i=1,L

do j=1,L

phi(i,j)=+1.0d0

enddo

enddo

c.....thermalization....

do tthi=1,TTH

call metropolis(L,exch,H,beta,phi)

call Energy(L,exch,H,phi,E,M)

write(9,*)tthi,E,M

enddo

c.....monte carlo evolution....

en_mean=0.0d0

mag_mean=0.0d0

37

do ttmi=1,TTM

en(ttmi)=0.0d0

mag(ttmi)=0.0d0

call metropolis(L,exch,H,beta,phi)

call Energy(L,exch,H,phi,E,M)

en(ttmi)=en(ttmi)+E

mag(ttmi)=mag(ttmi)+M

en_mean=en_mean+E

mag_mean=mag_mean+M

enddo

c.....en=energy, mag=magnetization....

en_mean=en_mean/TTM

mag_mean=mag_mean/TTM

write(10,*)T,en_mean/(L*L),mag_mean/(L*L)

c.....cv=specific heat..

cv_mean=0.0d0

do ttmi=1,TTM

cv_mean=cv_mean+(en(ttmi)-en_mean)*(en(ttmi)-en_mean)

enddo

cv_mean=cv_mean/TTM

cv_mean=(beta/T)*cv_mean/(L*L)

write(11,*)T,cv_mean

c.....chi=susceptibility..

chi_mean=0.0d0

do ttmi=1,TTM

chi_mean=chi_mean+(mag(ttmi)-mag_mean)*(mag(ttmi)-mag_mean)

enddo

chi_mean=chi_mean/TTM

chi_mean=beta*chi_mean/(L*L)

write(12,*)T,chi_mean

enddo

return

end

subroutine Energy(L,exch,H,phi,E,M)

double precision exch,H,E,M

integer i,j,L,ip(1:L),im(1:L)

doubleprecision phi(1:L,1:L)

do i=1,L

ip(i)=i+1

im(i)=i-1

enddo

ip(L)=1

im(1)=L

E=0.0d0

M=0.0d0

do i=1,L

do j=1,L

E=E-0.5d0*exch*phi(i,j)*(phi(ip(i),j)+phi(im(i),j)

& +phi(i,ip(j)) +phi(i,im(j)))-2.0d0*H*phi(i,j)

M=M+phi(i,j)

enddo

enddo

end

38

subroutine metropolis(L,exch,H,beta,phi)

doubleprecision exch,H,beta,phi(1:L,1:L)

doubleprecision probability,r

integer i,j,ip(1:L),im(1:L),accept,reject

do i=1,L

ip(i)=i+1

im(i)=i-1

enddo

ip(L)=1

im(1)=L

do i=1,L

do j=1,L

deltaE=2.0d0*exch*phi(i,j)*(phi(ip(i),j)+phi(im(i),j)

& +phi(i,ip(j))+phi(i,im(j)))+ 2.0d0*H*phi(i,j)

if (deltaE.ge.0)then

probability=dexp(-beta*deltaE)

r=rand()

if (r.le.probability)then

phi(i,j)=-phi(i,j)

accept=accept+1

else

reject=reject+1

endif

else

phi(i,j)=-phi(i,j)

accept=accept+1

endif

enddo

enddo

end

39