2

3. TRANSPORTNI PROBLEMI

LINEARNOGA PROGRAMIRANJA

3.1. TEORIJSKE OSNOVE

Problem transporta javlja se u praksi u razliitim oblicima ovisno o broju vrsta jedinica koje se prevoze ili rasporeuju, broju vrsta i tipova prije-voznih sredstava te broju ishodita i odredita ili pak nainu prijevoza tereta (o tome detaljnije vidjeti u radu Z. Zenzerovi i S. Beli [ ] ).

U ovom je poglavlju obraena jedna vrsta transportnih problema koja se naziva klasinim problemom transporta i koja je sa stajalita operacijskih istraivanja definirana na sljedei nain:

Transportni problem je takva vrsta problema za koji je potrebno programirati prijevoz, odnosno odrediti broj homogenih (istovrsnih) jedinica (tereta, predmeta, osoba, ) koje treba prevesti, odnosno rasporediti iz vie ishodita (mjesta gdje se nalaze jedinice) na vie odredita (mjesta na kojima se podmiruje potranja, odnosno zadovoljava zahtjev) s ciljem da trokovi prijevoza (ili udaljenost, vrijeme, ) budu minimalni, odnosno iznosi prihoda (dobiti, ) maksimalni. Pritom treba uzeti u obzir da ponuda pojedinih ishodita ne smije biti premaena i da potranja svih odredita treba biti zadovoljena.

Primjerice, Prema obliku kojim su matematiki izraeni, u ovom su poglavlju prikazani transportni problemi linearnog programiranja, a to su transportni problemi kod kojih su funkcija cilja kao i ogranienja izraeni u obliku linearnih funkcija, za razliku od transportnih problema nelinearnoga pro-gramiranja kod kojih su u matematikom modelu nelinearne veze.

Svakom transportnom problemu pripada odgovarajua matrica transporta koja izgleda ovako:

Odredite

IshoditeO1O2(OnPonuda

ai

I1x11x12 x1na1

I2x21x22(x2na2

..

.

...

Im xm1xm2( xmnam

Potranja

bjb1b2(bn

Oznake u matrici:

m ukupan broj ishodita (otpremnih postaja); i redni broj ishodita,

i = 1,2,,mn ukupan broj odredita (prijemnih postaja); j redni broj odredita,

j = 1,2,,ncij troak prijevoza (udaljenost, vrijeme ili iznos prihoda, dobiti) jedne jedinice na relaciji od i-tog ishodita do j-tog odredita

xij koliina (ili iznos) koju treba prevesti, prenijeti ili rasporediti iz i-tog ishodita u j-to odredite

ai koliina koja se rasporeuje iz pojedinih ishodita (ponuda ishodita)

bj koliina koja je potrebna pojedinom odreditu (potranja odredita).

Na temelju matrice transporta postavlja se matematiki model koji se sastoji od funkcije kriterija i ogranienja.

Matematiki model transportnog problema glasi:

(1)

uz ogranienja

(2)

(3)

(4)

Model u kojem je odnosi se na zatvoreni transportni problem, za razliku od otvorenog transportnog problema za koji je ukupna ponuda svih ishodita vea ili manja od ukupne potranje ().

Transportni se problemi rjeavaju razliitim metodama: analitikom metodom, simpleks metodom ili pak specijaliziranim metodama za rjeavanje transportnog problema.

Jednostavniji transportni problemi reda 22, odnosno 23 (ili 32) rjeavaju se analitikom metodom.

Iz matematikog je modela vidljivo da je razmatrani problem transporta problem linearnog programiranja koji se moe rjeavati, kao i svaki drugi problem linearnog programiranja, pomou simpleks metode.

Simpleks metoda ovdje nije objanjena iz razloga to je ta metoda u literaturi o linearnom programiranju detaljno opisana (vidjeti [ ], [ ], [ ] u popisu literature) te injenice da je zbog velikog broja varijabli (mn, gdje je m ukupan broj ishodita, a n ukupan broj odredita) rjeavanje trans-portnog problema pomou simpleks metode dugotrajno i ne preporua se za runo rjeavanje problema.

Navedeni su razlozi utjecali da su za rjeavanje transportnih problema razvijene specijalizirane metode rjeavanja. One se mogu svrstati u dvije skupine:

1) Metode za postavljanje poetnog programa

2) Metode za testiranje programa i dobivanje optimalnog rjeenja,

iako postoje metode koje ne zahtijevaju postavljanje poetnog programa, ali zbog sloenijeg algoritma nisu uzete u obzir.

Poetni se program postavlja pomou ovih metoda:

Metoda sjeverozapadnog kuta (North West Corner Rule)

Metoda najmanjih trokova

Vogelova metoda.

Metodom sjeverozapadnog kuta, tzv. dijagonalnom metodom raspo-reivanje jedinica zapoinje od sjeverozapadnog kuta matrice transporta, tj. od polja (1,1) u koje se stavlja najvei mogui broj jedinica zavisno od ponude prvog ishodita i potranje prvog odredita. Tim se brojem ili iskoristi ponuda prvog ishodita ili podmiri potranja prvog odredita koje se iskljuuje iz daljnjeg rasporeivanja. Postupak se nastavlja na preostalim poljima po dijagonali matrice sve do polja (m,n) dok se ne rasporede raspoloive koliine svih ishodita, odnosno ne zadovolje zahtjevi svih odredita.

Po metodi najmanjih trokova poetni se program dobiva stavljanjem najveeg mogueg broja jedinica (zavisno od ponude i potranje) na najpovoljnije polje u matrici transporta, a to je polje s najmanjim, odnosno najveim cij zavisno od kriterija optimalnosti. Time se ili iscrpi ponuda nekog ishodita ili podmiri potranja nekog odredita, pa se taj redak (ishodite) ili stupac (odredite) izbacuje iz daljnjeg rasporeivanja. Postupak se ponavlja sve dotle dok se sve raspoloive jedinice ne rasporede po pojedinim odreditima.

Poetni program po Vogelovoj metodi dobiva se ovako:

1) Izrauna se razlika izmeu dva najmanja troka (najmanjeg i sljedeeg do njega po veliini) za svaki redak (i) i svaki stupac (j).

2) Odabire se redak ili stupac s maksimalnom razlikom, bilo i ili j iz toke 1), i u najpovoljnije polje (polje s najmanjim cij) tog retka ili stupca stavlja najvei mogui broj jedinica zavisno od ponude i potranje. Time se ili iskoristi ponuda nekog ishodita ili podmiri potranja nekog odredita pa se taj redak ili stupac izbacuje iz daljnjeg rasporeivanja.

3) Postupak se ponavlja, tj. vraa na toku 1) sve dotle dok se ne rasporede sve jedinice. Meutim, ako je u toki 2) izbaen stupac iz daljnjeg rasporeivanja, onda se ponovno izraunava samo razlika retka, jer su razlike preostalih stupaca ostale nepromijenjene, a ako se izbaci redak tada se izraunavaju ponovno samo razlike svakog stupca. Kada se rasporeivanje svede na jedan redak ili jedan stupac ne mogu se raunati razlike, ali se zato rasporeivanje obavlja po poljima preostalog stupca ili retka zavisno od vrijednosti cij.

Za kontrolu zbroj jedinica po recima mora biti jednak ponudi pojedinog ishodita i zbroj jedinica po stupcima potranji pojedinih odredita. Vrijednost funkcije kriterija Z predstavlja zbroj umnoaka cijxij za xij 0, gdje i = 1, ,m i j = 1,,n.

Usporedba vrijednosti funkcije kriterija Z za poetne programe pokazuje razliku izmeu pojedinih metoda: metoda sjeverozapadnog kuta je vrlo jednostavna, ali ne vodi rauna o trokovima (elementima cij) pa je esto poetni program daleko od optimalnog rjeenja. Vogelova metoda je sloenija, ali daje poetni program koji je blii optimalnom rjeenju; zato se jo naziva i aproksimativnom metodom.

Poetni program (postavljen po bilo kojoj metodi) treba testirati, tj. ispitati je li dobiveni program optimalan. Ako to nije sluaj, potrebno je poboljavati program promjenom baze, odnosno promjenom rasporeda zauzetih polja sve dok se ne postigne optimalno rjeenje. Testiranje i poboljavanje postojeeg programa obavlja se jednom od metoda iz navedene druge skupine, i to:

1) Metodom skakanja s kamena na kamen (Stepping Stone Method), odnosno metodom relativnih trokova ili

2) MODImetodom.

Obje metode sadre postupak izraunavanja relativnih trokova . Relativni troak je broj koji pokazuje za koliko e se jedinica smanjiti vrijednost programa Z (kad < 0), odnosno poveati Z (kad > 0), ili ostati nepromijenjena (kad = 0) ako se jedna jedinica prebaci na polje (i, j) za koje se izraunava relativni troak . Promjena vrijednosti funkcije Z izraena je u onim jedinicama u kojima su zadane vrijednosti cij (troak, prihod, vrijeme, udaljenost, i sl.). Promjena baze odnosi se na jedinice koje se nalaze u matrici transporta i izraene su u naturalnim ili vrijednosnim jedinicama zavisno od sadraja problema.

Na temelju definicije relativnog troka slijedi da je rjeenje transportnog problema optimalno kad su u matrici transporta svi relativni trokovi na nezauzetim poljima pozitivni ili jednaki nuli.

Metoda skakanja s kamena na kamen (kamen je xij, tj. odreen broj jedinica na nekom zauzetom polju) je postupak kojim se poetni program testira izraunavanjem relativnih trokova na nezauzetim poljima u matrici transporta. Relativni troak se dobije naizmjeninim zbrajanjem i oduzimanjem jedininih trokova (cij), poevi od polja za koje se izraunava relativan troak i dalje nastavlja po poljima koja se nalaze na putanji naizmjeninog skakanja s jednog kamena u nekom retku na kamen u nekom stupcu dok se ne vrati do polja za koje se izraunava relativni troak. Relativni trokovi s predznakom pokazuju da se program moe poboljati.

Promjena se baze obavlja ovako:

1) Odabire se polje s najveim negativnim relativnim trokom u apsolutnom smislu jer pokazuje najvei iznos utede koja se moe postii po jednoj jedinici.

2) U polje iz toke 1) stavlja se najmanji negativno oznaen kamen (to je broj jedinica na nekom zauzetom polju iji se cij oduzimao pri izraunavanju relativnog troka).

3) Ostalo se kamenje (broj jedinica na zauzetim poljima koja su sudjelovala pri izraunavanju relativnog troka) korigira tako da se od negativno oznaenih kamena oduzima iznos kamena iz toke 2), a pozitivno oznaenim kamenima dodaje iznos kamena iz toke 2).

4) Kontrola: Zbroj kamena (vrijednosti xij) u recima i stupcima mora odgovarati ponudi ishodita i potranji odredita. Vrijednost programa Z bit e smanjena za iznos umnoka broja jedinica iz toke 2) i vrijednosti maksimalnog relativnog troka polja iz toke 1) na kojem je obavljena promjena.

Svaka promjena baze iziskuje izraunavanje novoga bazinog rjeenja, odnosno jo jedne iteracije. Broj iteracija zavisi od veliine i sadraja transportnog problema te od metode odabrane za postavljanje poetnog programa.

MODI-metoda takoer testira postavljeni program pomou relativnih trokova samo to ih izraunava na drugaiji nain:

1) Pomou formule za zauzeta polja dobiva se sustav od (m+n1) linearnih jednadbi, rjeenje kojeg predstavljaju vrijednosti varijabli ui i vj .

2) Pomou formule izraunavaju se relativni trokovi za nezauzeta polja.Daljnji postupak testiranja postavljenog programa, promjene baze do konanog optimalnog rjeenja opisan je kod metode skakanja s kamena na kamen.

Otvoreni transportni problem je problem u kojem postoji neravnotea izmeu ukupne koliine ponude ishodita i ukupne koliine potranje odredita.

Postoje dva tipa otvorenih transportnih problema (OTP):

1) OTP sa suvikom u otpremi, odnosno kad je .

Standardni oblik matematikog modela ovog tipa transportnog problema izgleda ovako:

(5)

uz ogranienja

(6)

(7)

(8)

Takav se otvoreni transportni problem rjeava tako da se svede na zatvoreni transportni problem uvoenjem novoga fiktivnog odredita potranja kojeg sadri razliku izmeu ukupne ponude i potranje. Fiktivno odredite Of nalazi se u (n+1). stupcu, a koliina koju e primiti oznaava se sa xi,n+1. Budui da se u ovom sluaju radi o viku kapaciteta ishodita, to znai da se te jedinice ne prevoze u nijedno odredite pa ne prouzrokuju nikakve trokove prijevoza. Zato su jedinini trokovi prijevoza od svih ishodita do fiktivnog odredita ci,n+1= 0.

Uvoenjem dopunskih varijabli u standardni oblik matematikog modela dobiva se kanonski oblik matematikoga modela:

(9)

uz ogranienja

(10)

(11)

(12)

(13)

Otvoreni transportni problem sa suvikom u otpremi koristi se pri analizi lokacije nekog ishodita (skladita, mjesta proizvodnje, odnosno izvora odakle se rasporeuju jedinice). Budui da je ponuda vea od potranje optimalno rjeenje pokazuje koja se ishodita mogu eliminirati ili pak moraju smanjiti ponudu, jer su, s obzirom na trokove, nepovoljnija od ostalih ishodita.

2)OTP sa suvikom u primitku, odnosno kad je

Standardni oblik matematikog modela izgleda ovako:

(14)

uz ogranienja

(15)

(16)

(17)

Kod ovog se tipa otvorenog transportnog problema zatvoreni transportni model dobiva uvoenjem fiktivnog ishodita ponuda kojeg sadrava razliku izmeu ukupne ponude i potranje. Fiktivno ishodite If nalazi se u (m+1). retku, a jedinini trokovi prijevoza od tog ishodita do svih odredita su, analogno prethodnom tipu otvorenog transportnog problema, cm+1,j = 0. Uvoenjem dopunskih varijabli u model dobiva se kanonski oblik matematikoga modela:

(18)

uz ogranienja

(19)

(20)

(21)

(22)

Otvoreni transportni problem sa suvikom u primanju se koristi pri analizi lokacije nekog odredita (potroaa, utovarnog mjesta, ). Budui da je potranja vea od ponude sva odredita nee biti podmirena, a to znai da e optimalno rjeenje pokazati koja se odredita mogu eliminirati jer su, s obzirom na trokove, nepovoljnija od ostalih odredita.

Iz navedenog slijedi da otvoreni transportni problem treba najprije prevesti u zatvoreni transportni problem, a zatim ga rjeavati pomou prethodno navedenih metoda za zatvorene transportne probleme.

Pri rjeavanju transportnog problema (bilo zatvorenog ili otvorenog) moe se pojaviti tzv. degeneracija. Degenerirano bazino rjeenje je svako rjeenje koje ima manje od (m+n1) pozitivnih xij. Degeneracija se javlja kad su u transportnom problemu jednake parcijalne sume pojedinih ishodita, odnosno pojedinih odredita. Takvo se rjeenje ne moe poboljavati i dovesti do optimalnog rjeenja prije nego se ne prevede u nedegenerirano bazino rjeenje.

Grafiki prikaz degeneriranog rjeenja moe izgledati ovako:

I1

I2

I3

O1

O2

O3

O4

x11 x12 x22 x23 x33 x34Rjeenje iz grafikog prikaza je degenerirano jer broj zauzetih polja xij ne zadovoljava uvjet da broj bazinih varijabli iznosi (m+n1). Problem uklanjanja degeneracije sastoji se u pronalaenju polja i broja jedinica koje se smjetaju u to polje. Najjednostavnije je na prethodnom grafikom prikazu povezati ishodite I2 s odreditem O3 (isprekidana linija).

Tim postupkom zadovoljen je uvjet za nedegenerirano rjeenje da je broj zauzetih polja (m+n1), a zatim je potrebno jo odrediti vrijednost kamena x23. Taj iznos treba biti toliko malen da ne utjee na vrijednost programa pa se stoga u to polje stavlja nula i u daljnjem postupku se tretira kao i svako drugo zauzeto polje. Na taj je nain degenerirano bazino rjeenje svedeno na nedegenerirano te se moe dalje nastaviti postupak rjeavanja problema. U praksi je poznat jo jedan nain otklanjanja degeneracije pomou ( o tome detaljnije vidjeti u [ ],[ ] iz popisa literature).

Originalnom transportnom problemu, kao i svakom problemu linearnog programiranja, pridruen je njegov dual.

Dual transportnog problema dobiva se uvoenjem dualnih varijabli ui za ishodita i vj za odredita i izgleda ovako:

(23)

uz ogranienja

(24)

Za dual transportnog problema ne vrijedi uvjet nenegativnosti jer su u primalu ogranienja u obliku jednadbi. Varijable duala mogu poprimiti i negativne vrijednosti i pritom ne gube na smislu i uporabljivosti [ ].

Varijable duala nisu jednoznano odreene; to su zapravo potencijali dobiveni rjeavanjem transportnog problema pomou MODI-metode.

Dualne varijable daju odgovor na pitanje kako promjene u matrici transporta djeluju na iznos optimalnog rjeenja. Utjecaj promjene ponude (ai) i potranje (bj) na vrijednost programa, ovisno o vrijednosti dualnih varijabli, moe se prikazati u obliku tablice:

Stavkaui > 0ui < 0vj > 0vj < 0

ai (W (W (--

ai (W (W (--

bj (--W (W (

bj (--W (W (

Na temelju ove tablice mogue je zakljuiti kako e promjena ponude ili potranje utjecati na promjenu vrijednosti programa Z.

Iz toga slijedi da su varijable duala transportnog problema ui i vj vrlo znaajne za analizu kapaciteta i lokacije ishodita, odnosno analizu lokacije i potreba odredita (vidjeti detaljnije u radu [ ] ).

Optimalno rjeenje transportnog problema sadri relativne trokove s predznakom "+" i s vrijednosti 0. Postojanje nula na nezauzetim poljima matrice transporta ukazuje da za promatrani transportni problem postoji jo jedno, alternativno optimalno rjeenje.

Alternativna rjeenja imaju jednaku vrijednost funkcije kriterija samo se meusobno razlikuju prema rasporedu jedinica u matrici transporta. Iz jednog optimalnog rjeenja dobiva se drugo, alternativno rjeenje promjenom baze na polju s relativnim trokom 0 na isti nain kao i u sluaju najveega negativnog relativnog troka u apsolutnom smislu.

U praksi se pojavljuju posebni sluajevi transportnih problema s homogenim jedinicama, primjerice:

obvezne ili zabranjene relacije,

maksimalna vrijednost funkcije kriterija,

sloeni transportni problemi,

vieindeksni transportni problemi,

viefazni transportni problemi, i sl. te

problemi linearnog programiranja koji se prema sadraju ne odnose na problem prijevoza, ali se mogu transformirati u probleme transporta.

Obvezne relacije

Ako se neke jedinice (teret, predmeti, osobe,) moraju ili ele usmjeriti prema nekim odreditima, u tom se sluaju radi o tzv. "obveznim" relacijama, tj. relacijama koje obvezno moraju biti ukljuene u optimalno rjeenje promatranog problema. Taj je cilj mogue postii, suprotno od "zabranjenih" relacija, tako da se "obveznim" relacijama pridrue najnii mogui jedinini trokovi, a to su vrijednosti 0.

Zabranjene relacije

Ako se neke jedinice (teret, predmeti, osobe,) ne mogu ili ne ele uputiti na neko odredite, ili pak ne postoji mogunost povezivanja nekog ishodita s nekim odreditem, u tom se sluaju radi o tzv. "zabranjenim" relacijama. Matematiki model mora voditi rauna da "zabranjena" relacija ne ue u optimalno rjeenje. To je mogue provesti tako da se "zabranjenim" relacijama pridrue jedinini trokovi s proizvoljno velikim brojem M (umjesto M moe se uvrstiti po volji odabrani velik broj, vei od ostalih jedininih trokova u matrici transporta) koji e destimulirati da na tim relacijama u optimalnom rjeenju vrijednosti varijable xij budu vee od 0.

Maksimalna vrijednost funkcije kriterija

Sloeni transportni problemi

Vieindeksni transportni problemi

Vieindeksni transportni problem (VITP) je problem linearnog programiranja za koji treba odrediti vrijednosti xijk (onda je to troindeksni transportni problem), gdje je i = 1,,m; j = 1,,n; k = 1,,l , tj. broj jedinica koje se prevoze, odnosno rasporeuju iz i-tog ishodita u j-to odredite pomou k-tog prijevoznog sredstva s ciljem da se postignu minimalni trokovi prijevoza.

U teoriji operacijskih istraivanja razraene su metode za runo rjeavanje VITP, i to metode za postavljanje poetnoga programa, a zatim dalje metode za testiranje programa i dobivanje optimalnog rjeenja.

Meutim, u radu Z. Zenzerovi [ ] autorica predlae umjesto prethodno navedenih metoda uporabu simpleks metode jer, zahvaljujui razvoju programske podrke, postupak izrade pojedinih iteracija ne predstavlja vei problem, a simpleks metoda omoguuje, za razliku od drugih metoda, i postoptimalnu analizu.

Viefazni transportni problemi

Dvo ili viefazni transportni problem je vrsta transportnog problema kod kojeg se jedinice ne prevoze, odnosno rasporeuju direktno od ishodita do odredita, ve posredno preko raznih "meustanica", odnosno vorova. Primjerice, prijevoz robe iz proizvodnih centara do skladita, a zatim do potroaa; uvoz tereta sa stranih trita morskim putem do luke, iskrcaj i nastavak prijevoza cestovnim ili eljeznikim putem do korisnika; i sl.

Viefazni transportni problemi rjeavaju se na dva naina. Prvi je nain da se viefazni proces ralani na odreen broj faza, a tada svaka faza rjeava sama za sebe da bi se na kraju zbrojili rezultati svih faza promatranog transportnog procesa. Drugi je nain da se sve faze viefaznog procesa spoje u jedan jedinstveni transportni problem. Prvi nain bi trebalo odbaciti jer zbroj parcijalnih optimalnih rjeenja (optimalnih rjeenja pojedinih faza) je najee nepovoljniji od globalnog optimuma jedinstvenoga transportnog problema.

Dvo i viefazni transportni problemi rjeavaju se Orden-Maovom metodom prema kojoj se za sve faze jednog problema sastavlja jedna matrica transporta i time viefazni problem svodi na klasian transportni problem. O nainu rjeavanja takvih problema vidjeti u radovima [ ], [ ], [ ], [ ], [ ], [ ] iz popisa literature.

c1nm

c12

c11

c21

c22

c2n

cm2

cm1

cmn

11

_1075098282.unknown

_1075103170.unknown

_1075104166.unknown

_1075105163.unknown

_1075107448.unknown

_1153564632.unknown

_1075193933.unknown

_1075105408.unknown

_1075104588.unknown

_1075104642.unknown

_1075105048.unknown

_1075104441.unknown

_1075103443.unknown

_1075103982.unknown

_1075104082.unknown

_1075103288.unknown

_1075101049.unknown

_1075103041.unknown

_1075103089.unknown

_1075100491.unknown

_1075026312.unknown

_1075097397.unknown

_1075097438.unknown

_1075026594.unknown

_1075025438.unknown

_1075025943.unknown

_1075025293.unknown