TRABAJO PRÁCTICO

Seminario de Economía Laboral.

M aestría en Economía - UNLP

Amendolaggine J. - Barril D. � Sarmiento I.

Considere el siguiente modelo de regresión:

yi = β0 + β1xi + ui

donde Cov(x, u) 6= 0. Disponemos de un instrumento z de naturaleza binaria y que cumple

con los requisitos para ser un instrumento válido.

1. Mostrar que el estimador de variables instrumentales es equivalente al estimador de Wald:

βIV =y1 − y0

x1 − x0

donde y0 (y1) y x0 (x1) indican el promedio de y y x cuando z = 0 (z = 1).

Para desarrollar la prueba, utilizar las siguientes de�niciones:

βIV = Cov(y,z)Cov(x,z)

Cov(x, y) = E [(y − E (y)) (x− E (x))] = 1N

∑i (yi − y) (xi − x)

N1 =∑

i zi

2. ¾Cuál es la interpretación de este estimador cuando x también es una variable binaria?

Desarrollo

El estimador por IV puede escribirse como

βIV =Cov(y, z)

Cov(x, z)

Partiendo de la de�nición

βIV =Cov(y, z)

Cov(x, z)=

1N

∑i (yi − y) (zi − z)

1N

∑i (xi − x) (zi − z)

βIV =

∑i (yi − y) (zi − z)∑i (xi − x) (zi − z)

Reordenando

βIV =

∑i (yizi − yiz − yzi + yz)∑i (xizi − xiz − xzi + xz)

βIV =

∑i yizi −

∑i yiz −

∑i yzi +

∑i yz∑

i xizi −∑

i xiz −∑

i xzi +∑

i xz

Puesto que zi es una variable binaria, tenemos que1

TRABAJO PRÁCTICO 2

βIV =

N1y1︷ ︸︸ ︷∑i

yizi −

N1N

∑i yi=N1y︷ ︸︸ ︷∑i

yiz −

yN1︷ ︸︸ ︷∑i

yzi +

yzN=yN1N

N=yN1︷ ︸︸ ︷∑i

yz∑i

xizi︸ ︷︷ ︸N1x1

−∑i

xiz︸ ︷︷ ︸N1x

−∑i

xzi︸ ︷︷ ︸xN1

+∑i

xz︸ ︷︷ ︸xN1

βIV =N1y1 −N1y − yN1 + yN1

N1x1 −N1x− xN1 + xN1

donde y1es el promedio de yi cuando zi = 1

βIV =N1y1 − yN1

N1x1 − xN1

βIV =y1 − yx1 − x

Teniendo en cuenta que

y = N1N y1 + (N−N1)

N y0

x = N1N x1 + (N−N1)

N x0

donde y0 (x0) es la media de yi (xi) cuando zi = 0. Reemplazando

βIV =y1 − N1

N y1 − (N−N1)N y0

x1 − N1N x1 − (N−N1)

N x0

βIV =Ny1 −N1y1 − (N −N1) y0

Nx1 −N1x1 − (N −N1) x0

βIV =(N −N1) y1 − (N −N1) y0

(N −N1) x1 − (N −N1) x0

βIV =y1 − y0

x1 − x0

Por lo que queda demostrado

Cuando x también es una variable binaria estamos en presencia de un Local Average Treatment

E�ect (LATE). El parámetro estimado mide el efecto promedio de la variable x sobre la variable

y, es decir, el efecto promedio de x sobre los que recibieron el �tratamiento� porque eran elegibles,

pero que no hubieran recibido el tratamiento de no ser elegibles. En otras palabras, mide el efecto

promedio para el grupo cuyo status de tratamiento puede ser cambiado con el instrumento, esto

es el efecto sobre los �compliers�.