TP e Lista de Exercícios para CÁLCULO III − Prof. Sérgio − 1º semestre/2015

1. Em um tanque, estão dispersos homogeneamente 40 kg de sal em 300 litros de água. Abrimos uma torneira para alimentar o tanque de água limpa a 10 L/min e drenamos o tanque, também a 10 L/min. a) Que função S(t) dá a quantidade de sal no tanque no instante t? (40e−t/30) b) Quanto sal há no tanque após 30min? (14,7 kg) c) Com que velocidade o sal deixa o tanque no instante t = 30min? (−0,5 kg/min) 2. Uma cidade tem 5 bilhões de cédulas monetárias em papel-moeda em circulação. Trinta milhões delas são levadas diariamente aos bancos para depósitos e essa mesma quantidade é devolvida pelos bancos à comunidade. Em virtude de uma mudança de regime, o Governo decidiu emitir outro tipo de cédula, e assim, sempre que uma cédula velha chega aos bancos, ela é destruída e substituída pela cédula nova. Quanto tempo levará para que 90% do papel-moeda em circulação sejam substituídos? (384 dias) 3. Um corpo, inicialmente a 25 ºC, é colocado numa estufa com temperatura constante de 200 ºC e, após 20 min, o corpo aqueceu 55 ºC. a) Ache T(t) = temperatura do corpo após t minutos; (R: T(t) = 200−175e−0,0189.t) b) Qual a temperatura do corpo após 40 e 60 min? (R: 117,8 e 143,7 ºC) c) Quanto tempo leva para o corpo atingir 160 ºC? (R: 78 min) d) A que velocidade está subindo a temperatura do corpo após 1 hora? (R: 1,06 ºC/min) 4. Problemas ambientais têm afetado determinada espécie de ave e elas vêm perecendo a uma taxa proporcional à sua própria população. Um pesquisador estimou 5000 aves no final de 2000, e após um ano, apenas 4500 delas. Calcule: a) A função Q(t) que dá a quantidade de aves, t anos após o final de 2000; (R.: Q = 5000e−0,1054.t) b) A quantidade de aves prevista para o final de 2005. (R.: 2952 aves aprox) c) Ao final de 2005, com qual velocidade as aves estão perecendo? (R.: 311 aves/ano) 5. Calcule:

1. (3 2 )D

x y dxdy+∫∫ onde 1 3

.1 1

xD

y x

≤ ≤= ≤ ≤ + R.: 128/3

2. 2(6 1)D

x y dxdy+∫∫ onde 0 1

1 3

xD

y

≤ ≤= ≤ ≤ R.: 10

3. 2 2( )D

x y x dxdy+ +∫∫ onde D é a porção do primeiro quadrante do interior da circunferência de

centro (0,0) e raio 2. R.: 83

2π+

4. ( )D

x yz dxdydz+∫∫∫ , onde D é o sólido: 0 1x≤ ≤ ; 0 y x≤ ≤ ; 0 10z xy≤ ≤ . R.: 3914

5. 2 2( 1)D

x y zdxdydz+ +∫∫∫ , onde D é o interior do cilindro (de altura 10 e base centrada na origem

e de raio 4) situado nos dois primeiros octantes. R. 3600π

6. O paralelepípedo da figura tem densidade volumétrica de carga elétrica em cada ponto (x,y,z) dada por

2 2 2( , , )x y z x y zδ = + + (em 3/C mmµ ). Calcule a quantidade de carga neste paralelepípedo. (as dimensões estão em mm) (R.: 3080Cµ ) 7. Calcule o centro de massa da placa plana abaixo com densidade superficial de massa ( , )x y x yδ = + .

(R.: 11 928 4( , ) )

8. Calcule o centro de massa da placa abaixo, com densidade superficial de massa δ constante.

R.: ( )20 824 3 24 3,π π− −

9. Considere a metade superior da esfera de centro na origem e raio 2, e admita que cada ponto seu

tem densidade 2 2 2( , , )x y x x y zδ = + + . Calcule seu centro de massa. R. 45

(0, 0, )

Caros Alunos, Espero não ter errado em nenhuma resposta! Este é o nosso TP para a P2. Resolva-a em papel sulfite ou almaço e o entregue no dia de nossa prova. Bons estudos! Sérgio.

x

z

y

5

4

6

x

y

1

3 D

x

y

1

D

1

2