7/18/2019 TPN - Seminarski Rad

http://slidepdf.com/reader/full/tpn-seminarski-rad 1/7

DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU

DEPARTMAN: TEHNIČKE NAUKE

Studijski program: GRAĐEVINARSTVO

TEORIJA POVRŠINSKIHNOSAČA

I Grafički Rad

 

Mentor:

Petar Knežević, dip!ing!gra"!

Student:

#a$tijarević Emir 08-001/12

7/18/2019 TPN - Seminarski Rad

http://slidepdf.com/reader/full/tpn-seminarski-rad 2/7

I GRAFIČKI RAD %NA&'ER(ovo re)enje*

Potre+ni podai -a prora.un:

 λ=1m

a= λ=1m

b= λ+1.5m=2.5m

 p1=5+ λ kN /m2=6kN /m2

 p2=3+ λ kN /m2=4 kN /m2

 X  A=a

4m=0.25m

Y  A=3 · b

4m=1.875m

 E=30GPa

h=25 cm

ν=0.2

7/18/2019 TPN - Seminarski Rad

http://slidepdf.com/reader/full/tpn-seminarski-rad 3/7

Dekomponovanjem ukupnog opterećenja, do+ijamo:

Re)enje di/erenijane jedna.ine:

ω( x , y )=∑m

∑n

 Amn · sin m·π·x

a  ·sin

 n·π·y

b

Koe/iijent A mn  se de/ini)e kao:

 A mn=  Z mn

k· π 4(

m2

a2 +

n2

b2)

2

0a usvojen prvi .an 1urijeovog reda%  m=n=1

*, imamo:

ω= A11

· sin π·x

a  ·sin

 π·y

b

7/18/2019 TPN - Seminarski Rad

http://slidepdf.com/reader/full/tpn-seminarski-rad 4/7

 A11=

  Z 11

k· π 4 ( 1

a2+ 1

b2)2

Pri .emu je ukupno opterećenje: Z 11=Z 11

1

+Z 11

2

Prvi dekomponovani deo opterećenja se odre"uje prema o+rasu:

Z 11

1 =4 · p

1

a·b ∫

0

1

sin π·x

a  dx ·∫

0

2.5

sin π·y

b  dy

Z 11

1 =4 · p

1

a·b  ·(−a

π  )cos π·x

1 |1

0·(−b

π  ) cos π·y

2.5|2.5

0

Z 11

1 =4 · p1

π 2

  · (cos π −1 ) · (cos π −1 )=16 · p1

π 2

Drugi dekomponovani deo opterećenja se odre"uje kao:

Z 11

2 =4 · p

2

a·b  ·∫

0

2.5

sin π·y

b  dy ·∫

0

a

b y

sin π·x

a  dx

'ntegra I 

1  se odre"uje:

 I 1=∫

0

a

b y

sin π·x

a  dx=

−a

π   cos

 π·x

a |a

b y

0

=−a

π   ·(cos

 π·y

b −1)

Pa -amenom do+ijamo da je Z 11

2

:

Z 11

2 =4 · p

2

a·b  ·∫

0

2.5

sin π·y

b  · I 

1dy=

4 · p1

a·b  ·∫

0

2.5

sin π·y

b  ·(−a

π  ) ·(cos π·y

b −1)dy

Z 11

2 =−4 · p

2

b·π   · [∫

0

2.5

sin π·y

b  · cos

 π·y

b  dy−∫

0

2.5

sin π·y

b  dy]

Z 11

2 =−4 · p

2

b·π   · [∫

0

2.5

sin π·y

b  · cos

 π·y

b  dy−∫

0

2.5

sin π·y

b  dy]

7/18/2019 TPN - Seminarski Rad

http://slidepdf.com/reader/full/tpn-seminarski-rad 5/7

Z 11

2 =−4 · p

2

b·π   · [ 1

2∫

0

2.5

sin(2· π·y

b  )dy+

b

π   cos

 π·y

2.5|2.5

0 ]

Z 11

2 =−4 · p

2

b·π 

  ·

[−1

2·

  b

2· π 

  cos 2 · π·y

2.5

 |

  2.5

0

+

 b

π 

(cos π −1)

]Z 

11

2 =−4 · p

2

b·π   · [ −b

4 · π  ·(cos2π −1)−

2 ·b

π  ]=8· p

2

π 2

Pa kona.no do+ijamo da jeZ 

11 :

Z 11=Z 

11

1 +Z 11

2 =16 · p

1

π 2  +

8 · p2

π 2  =

  8

π 2 (2· p

1+ p

2 )

Z 11=

  8

π 2 (2 · 4+2 )=8.11 kN /m

2

Krutost po.e K se odre"uje prema o+rasu:

 K =  E· h

3

12·(1−ν2)=

3 · 107· 0.25

3

12 ·(1−0.22)=40690.1 kNm

Potom imamo da je koe/iijent A

11 :

 A11=

  Z 11

 K· π 4(

12

a2+

12

b2)

2=

  8.11

40690.1 · π 4 (

  1

12+

  1

2.52)

2=1.521 ·10

−6

2gi+ ω  je de/inisan o+rasem:

ω= A11

· sin π·x

a  ·sin

 π·y

b

Pa su njegovi parijani i-vodi:

∂ ω

∂ x = A

11· π 

a cos

 π·x

a  · sin

 π·y

b

∂ ω

∂ y = A

11· π 

b sin

 π·x

a  · cos

 π·y

b

7/18/2019 TPN - Seminarski Rad

http://slidepdf.com/reader/full/tpn-seminarski-rad 6/7

∂2ω

∂ x2= A

11·(−π 

2

a2  )sin

 π·x

a  · sin

 π·y

b

∂2ω

∂ y2= A

11·(−π 

2

b2  )sin

 π·x

a  · sin

 π·y

b

∂2ω

∂ x ∂ y= A

11·  π 

2

a·b cos

 π·x

a  ·cos

 π·y

b

∂3ω

∂ x3 = A

11·(−π 

3

a3 )cos

 π·x

a  · sin

 π·y

b

∂3ω

∂ y3= A

11·(−π 

3

b3  )sin

 π·x

a  · cos

 π·y

b

∂3

ω

∂ x2

∂ y= A

11· (−π 

3

a2

· b)sin

 π·x

a  · cos

 π·y

b

∂3

ω

∂ x ∂ y2= A

11· (−π 

3

a·b2)cos

 π·x

a  · sin

 π·y

b

Ui! "a #ačk$ %%A&'

ω A=ω  x=0.25

 y=1.875

=1.521·10−6

·sin π·0.25

1·sin π· 1.875

2.5=7.60510

−7m

Potre+ni podai -a odredjivanje sia u preseima:

sin

 π·x

a  =sin

 π· 0.25

1 =sin

 π 

4 =√ 2

2

cos π·x

a =cos

 π·0.25

1=cos

 π 

4=√ 2

2

sin π·y

b =sin

 π· 1.875

2.5=sin

 3 π 

4=√ 2

2

 x=0.25 m a=1 m

 y=1.875m b=2.5m

 K· A11=   Z 11

π 4   1

2

+1

2 2=0.0618741

7/18/2019 TPN - Seminarski Rad

http://slidepdf.com/reader/full/tpn-seminarski-rad 7/7

cos π·y

b =cos

 π· 1.875

2.5=cos

3 π 

4=−√ 2

2

Si() $ *r)+),i-a'

 M  x=− K (∂2

ω

∂ x2 +ν·

 ∂2

ω

∂ y2 )=− K· A

11(−π 2

a2

  sin π·x

a  ·sin

 π·y

b −ν·

 π 2

b2

 sin π·x

a  · sin

 π·y

b )=0.0618741 ·√ 2

2· √ 2

2·( π

1

 M  y=− K (∂2

ω

∂ y2+ν·

 ∂2ω

∂ x2 )=− K· A

11(−π 2

b2

  sin π·x

a  · sin

 π·y

b −ν·

π 2

a2

 sin π·x

a  · sin

 π·y

b )=0.0618741 ·√ 2

2·√ 2

2·(   π

2

 M  xy=− K  (1−ν ) ·  ∂

2ω

∂ x ∂ y=− K· A

11·  π 

2

a·b cos

 π·x

a  · cos

 π·y

b  (1−ν )=−0.0618741 ·

  π 2

1 ·2.5·√ 2

2·(−√ 2

2   ) · (1−0.2

T  x=− K (∂3

ω

∂ x3 +ν

  ∂3

ω

∂ x ∂ y2 )=− K· A

11·(−π 

3

a3

  cos π·x

a  · sin

 π·y

b  −ν

  π 3

a·b2

cos π·x

a  sin

 π·y

b )=−0.0618741 · √ 2

2· √

2

T  y=− K (∂3

ω

∂ y3+ν

  ∂3ω

∂ x2∂ y )=− K· A

11(−π 3

b3

  sin π·x

a  ·cos

 π·y

b  −ν

  π 3

a2· b

sin π·x

a  · cos

 π·y

b )=−0.0618741 ·√ 2

2·(