INDICEPROLOGO 2PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER3REPRESENTACION ESQUEMATICA4FUNDAMENTO TEORICO..5HOJA DE DATOS..7REFERENCIAS DEL OBJETO A ANALIZAR.8CALCULOS, GRAFICOS, Y ANALIZIS DE RESULTADOS9CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA 10CALCULO DEL PERIODO MINIMO...12COMPARACION DE LOS VALORES TEORICO Y EXPERIMENTAL DE L PARA T MINIMO .13PUNTOS DE OSCILACION CON EL MISMO PERIODO.15 FRMULA DE MINIMOS CUADRADOS (I VS L2)..16 PENDULO SIMPLE EQUIVALENTE AL HUECO N518OBSERVACIONES.18CONCLUSIONES.18RECOMENDACIONES18BIBLIOGRAFIA.19

INTRODUCCIN:El estudio y entendimiento de fenmenos fsicos por el cual se nos permite predecir ciertos comportamientos se ven reflejados en diversos teoras fsicas las cuales son analizadas y puestas a prueba en diversos experimentos que son metdicamente expuestos para su apreciacin intelectual. Una de estos fenmenos cuyo estudio y corroboracin se exponen en este informe es el estudio del PENDULO FISICO cuyas relaciones tericas y experimentales se ponen en comparacin y anlisis. Este laboratorio titulado PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER es de gran importancia debido a sus relaciones entre momentos de inercia, periodo, masa, etc. Que nos facilitan ciertos clculos que de otra forma seran mucho ms complicados.

PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER

OBJETIVOS:OBJETIVO TEMTICO: Estudiar las caractersticas del movimiento oscilatorio de un slido rgido haciendo uso de los conceptos del oscilador armnico, centro de masa, momento de inercia, radio de giro, torque, momento angular.OBJETIVO ESPECFICO: Estudiar la dependencia del periodo de oscilacin de un pndulo compuesto con respecto a la distancia desde el centro de gravedad al eje de giro. Determinacin experimental del momento de inercia del pndulo fsico. Comparar los momentos de inercia experimentales y los momentos de inercia hallados tericamente, con un previo anlisis de las variables que determinan el ensayo.

FUNDAMENTO TERICO: PENDULO FSICO:

Se llama pndulo fsico a aquel cuerpo rgido capaz de pivotar a travs de un eje horizontal fijo; como se muestra en la figura (a), este al ser desplazado de su posicin de equilibrio, figura (b), aparece un torque ejercido por la fuerza de gravedad teniendo como lnea de accin al eje horizontal en el que se suspende el cuerpo rgido y con direccin contraria al desplazamiento angular , y de esta forma llevar al cuerpo rgido a su posicin de equilibrio, posicin que no logra obtener debido a la inercia del cuerpo rgido, llevndola as a una nueva posicin, donde nuevamente aparece un torque recuperador repitindose este movimiento oscilatorio.En el pndulo fsico se cumple las siguientes:

Dnde:T: periodo.Io: momento de inercia respecto al eje.IG: momento de inercia con respecto al centro de gravedad (cte.).M: masal: longitud del centro de gravedad al eje que pasa por O.

MOMENTO DE INERCIA:Dado un eje arbitrario, para un sistema de partculas se define como la suma de los productos entre las masas de las partculas que componen un sistema, y el cuadrado de las distancia r de cas partcula al eje escogido. Representa la inercia de un cuerpo a rotar. Matemticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (medio continua) lo anterior se generaliza como:

MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA DE UN PARALELEPPEDO DE MASA M Y LADOS A, B, C.

MOMENTO DE INERCIA DE UN CILINDRO Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje.

MATERIALES:Una barra metalica de lomngitud L con agujeros circulares ( tiene 21 huecos )L

Un soporte de madera con cuchilla

Dos mordazas simples

Un cronometro digital

Una regla milimetrada

PROCEDIMIENTO Sobre la mesa y apoyado sobre su base mayor, sujete el soporte de madera con las mordazas simples Hallar el centro de masa de la barra suspendindola horizontalmente en la cuchilla( el punto de apoyo de la barra en equilibrio ser su centro de gravedad CG) Ahora suspenderla verticalmente por 10 de los 21 huecos en la cuchilla y hacerla oscilar separndola ligeramente de su posicin de equilibrio (usar un ngulo pequeo). Hacer 3 veces 5 oscilaciones para cada uno de los 10 huecos que estn ms cercanos al CG. (hacemos 3 veces para disminuir el % de error). Anotar el tiempo para luego hallar el periodo (T) y tambin medir las distancias del eje de oscilacin hacia el CG. Medimos las dimensiones de la barra y hallamos su masa.

CALCULOS Y RESULTADOSTABLA 1:L: distancia del punto de oscilacin al centro de gravedad (c.g)# de huecoL(m)t1(s)t2 (s)t3(s)#oscilacionesT(promedio)(s)

10,508,288,258,4451,665

20,458,027,948,1751,608

30,407,998,027,7651,584

40,357,707,747,8351,568

50,307,817,887,8451,551

60,258,017,817,8351,576

70,208,077,868,0651,599

80,158,388,458,4051,682

90,109,9710,099,5951,976

100,0512,7712,7812,9552,566

T=

GRAFICA T(S) VS L(m)

TABLA 2:Usamos el pndulo equivalente: lp(longitud equivalente)

lp=

# de huecoL(m)lpT(promedio)(s)

150,81,665

245,81,608

340,81,584

435,81,568

530,81,551

625,81,576

720,81,599

815,81,682

910,81,976

105,82,566

GRAFICA lp VS L

HOJA DE DATOSTABLA N1

# de huecol(cm)t1 (s)t2 (s)t3 (s)# de oscilacionesPeriodo T (promedio)

150.530.2030.1230.28181.68

245.729.7329.8129.52181.65

340.529.0828.8628.95181.61

435.528.9529.0828.96181.61

530.528.9228.3928.94181.60

625.529.3229.4629.00181.63

720.530.0930.5030.12181.68

815.516.4315.9616.0591.79

910.518.7018.418.5292.06

105.524.8224.6424.8692.75

REFERENCIAS DEL OBJETO A ANALIZARLa siguiente figura muestra la barra usada para el experimento:

Los clculos y anlisis que a continuacin se harn, se basaran considerando a la barra con los agujeros que esta presenta, cuyo numero es de 21.La barra es homognea y tiene las siguientes dimensiones y medidas.CAB

FACULTAD DE INGENIERA CIVIL-UNI LABORATORIO DE FSICA II

UNI-2011Pgina 9

VOLUMENV1=VOLUMEN DE LA BARRA CON AGUJEROS

Reemplazando los datos:V1=(0.7)(4.8)(110)-21(3.14)(0.752)(0.7)V1=343.54cm3

DENSIDAD()

M=masa de la barra con agujeros m= masa de un cilindro solido, cuyo volumen es igual al volumen de un agujero de la barra y cuya densdidad es la misma que la de la barra. M+21m=masa de una barra solida sin agujeros. Z= distancia entre los centros de dos agujeros consecutivos. L=distancia entre el c.g de la barra y el eje de giro o.CALCULOS, GRAFICOS, Y ANALIZIS DE RESULTADOS

Grafico T vs L.

CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA

El momento de inercia de la barra mostrada respecto al eje que pasa por O ser() igual al Momento de inercia de la barra solida ( sin agujeros ) respecto al eje que pasa por O menos el Momento de inercia del conjunto de cilindros solidos (agujeros de la barra )respecto al eje que pasa por O.Entonces la ecuacin sera:

..(I)

Hallando :Usando el momento de inercia de un paraleleppedo y el teorema de Steiner, tenemos :

(II)Donde L es igual a la distancia entre el centro de gravedad C.G y el eje de giro o

Ahora hallamos .Sea el siguiente grafico la representacin de todos los cilindros solidos, faltantes en la barra con huecos. Centro de gravedad del conjunto de cilindros C.G

Datos:El cilindro a se encuentra de color rojo para diferenciarlo por coincidir con el C.G

m= masa de cada cilindro

r=radio=0.75Z=distancia entre los centros de dos cilindros consecutivos.Z=5 cmEl momento de inercia del conjunto de cilindros slidos respecto al centro de gravedad del conjunto, ser igual a la suma de los momentos de cada uno de los cilindros respecto del centro de gravedad del conjunto de cilindros.Las siguientes ecuaciones representan los momentos de inercia respecto del centro de gravedad C.G (utilizando momento de inercia de un cilindro y el teorema de Steiner).

Se tendrn que duplicar, pues solo representan los cilindros slidos ubicados al lado derecho del centro de gravedad y para tener en cuenta los del lado izquierdo( por ser simtrica la barra) solo tendremos que multiplicar por dos.

Sea =momento de inercia del conjunto de cilindros respecto su centro de gravedad.

entonces ser la sumatoria de todos los momentos de inercia de todos los cilindrosrespecto C.G:

Por lo tanto:

Ahora mediante el teorema de Steiner hallamos el momento de inercia del conjunto de cilindros respecto de un centro de giro o( ) paralela al C.G.

.(III)Reemplazando (II) y (III) en (I) tenemos:

=-()

Por lo tanto representa el momento de inercia de la barra con agujeros respecto un eje que pasa por O.

CALCULO DEL PERIODO MINIMO

A partir de la ecuacin

Con =-()Encontramos un valor L para el cual el periodo sea minimo.Reemplazando las ecuaciones tenemos:

Para que el periodo sea minimo aplicamos el criterio de la primera derivada:Derivando:

Si

Despejando L tenemos .()Analizando la anterior relacin: L es igual a la raz cuadrada de la relacin entre el momento de inercia ,del objeto en anlisis respecto su centro de gravedad, y su masa.Reemplazando datos en ():

hallamos T en reemplazando datos:

COMPARACION DE LOS VALORES TEORICO Y EXPERIMENTAL DE L PARA T MINIMODel siguiente grafico experimental se elige L para un T minimo.

Un acercamiento de la imagen nos permite visualizar de mejor manera el periodo mnimo.

Periodo mnimo experimental

Hallamos el periodo mnimo experimental mediante proporcionalidadPor lo tanto: Experimentalmente.Tericamente

T mnimo =1.59s

T mnimo = 1.6

L=30.96 cmL=31.9 cm

PUNTOS DE OSCILACION CON EL MISMO PERIODO

Las intersecciones de las dos lneas rojas (verticales) con el eje L, nos representan a dos puntos cuyos periodos son los mismos.Hallamos los puntos mediante proporcionalidad.Resultando: L1=22.5cmL2=46.2cm

TABLA N 2# de huecoeje de oscilacin L(cm)T*T(s2)Momento de inercia (gr/cm2)L*L (cm2)

150.52.816477612.732550.25

245.72.725664333.142088.49

340.52.594778172.491640.25

435.52.604197920.611260.25

530.52.553545563.38930.25

625.52.643070425.33650.25

720.52.822635915.00420.25

815.53.202263041.33240.25

910.54.242030385.32110.25

105.57.561895321.1230.25

FRMULA DE MINIMOS CUADRADOS (I VS L2)

Reemplazando valores FUNCION RESULTANTE:

POR COMPARACIN:M=1818.7 grIC.G=1812596.55 gr/cm2

GRAFICA MOMENTO DE INERCIA VS (LONGITUD)2

Comparando valores terico y experimental. Pndulo simple equivalente al hueco N5

OBSERVACIONES. Los resultados presentados en este ensayo fueron elaborados con el mayor cuidado posible pues se intento reducir la mayor cantidad de variaciones en el laboratorio, como pueden ser : Tener distintos ngulos iniciales de oscilacin, para evitar ello se uso un transportador, de modo que se puede tener un mayor control sobre los ngulos iniciales antes de iniciar la oscilacin. en nuestra experiencia se trato de tener, para todas nuestras pruebas, un Angulo aproximado de 15. Considerar a la barra tal y como se est usando en el laboratorio, en nuestro caso la barra contaba con 21 agujeros. Esto nos permiti tener valores tericos muy cercanos a los experimentales. Existen ciertas variables que difcilmente se pueden controlar, como por ejemplo la friccin entre el eje de rotacin y la barra, resistencia del aire, temperatura, malas mediciones, aparatos deficientes, etc.CONCLUSIONES. este ensayo nos muestra el comportamiento del pndulo fsico cada ves que varia la distancia del C.G al eje de giro. Podemos ver segn las graficas que mientras el centro de giro se acerque al C.G el periodo tiende a aumentar , sin embargo tambin mientras la distancia supera cierto periodo mnimo el periodo aumentara mientras tambin la longitud de c.g a eje de giro aumente. La facilidad de poder hallar momentos de inercia usando la teora del pndulo fsico es de gran importancia pues ya no es necesario tener en cuenta la geometra exacta del objeto. Un pndulo fsico puede ser equivalente a un pndulo simple con una cierta longitud y un cierto periodo experimentalRECOMENDACIONES Tener presente la mayor cantidad posible de variaciones que puedan afectar el ensayo e intentar homogenizar las pruebas para tener menos error. Probar el funcionamiento correcto de los instrumentos a utilizar antes de empezar el laboratorio.

BIBLIOGRAFIA Manual de laboratorio de fsica general (UNI- FACULTAD DE CIENCIAS) /2004 ; pag81 Fisica universitaria- Young Freedman- sears zemansky pag303; pag438.

APENDICEMomento de inercia de un paralelopipedoDividimos el paraleppedo en placas rectangulares de ladosayby de espesordx.Elmomento de inercia de cada una de las placasrespecto de su eje de simetra es

Aplicando elteorema de Steiner,calculamos el momento de inercia de esta placa respecto de un eje paralelo situado a una distanciaxes

El momento de inercia del slido en forma de paraleppedo es

Momento de inercia de un cilindroVamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masaM, radioR1y longitudLrespecto de su eje.Tomamos un elemento de masa que distaxdel eje de rotacin. El elemento es una capa cilndrica cuyo radio interior esx, exteriorx+dx, y de longitudL, tal como se muestra en la figura. La masadmque contiene esta capa es

El momento de inercia del cilindro e