2do. BATALLÓN 4ta. CIASEC.” G”

CURSO: ESTADISTICA INFERENCIAL

TEMA : TEOREMA DE BAYES

CADETE : C2 PNP HUAMAN VELASQUEZ Carlos

CATEDRATICO: Contadora PEREZ OBREGON Carmen

La Campiña,CHORRILLOS 2012.“ESPARTANOS”

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Índice

Introducción……………………………………………………………3

Marco teórico………………………………………………………….5

Ejercicios…01…………………………………………………………6

Aplicaciones……………………………………………………………8

Ejercicios Resueltos……………………………………………………9

Problemas Propuestos…………………………………………………21

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IntroducciónDesde 3.000 años antes de Cristo, se tienen noticias de los primeros censos hechos

a la población, en la antigua Babilonia, Persia, Egipto y China, se elaboraban censos

de las propiedades de los habitantes con fines impositivos.

El mismo Moisés, que existió en los siglos XV - XIV antes de Cristo, y que era profeta

y legislador hebreo, levantó un censo de su pueblo en el desierto, según lo señala la

Biblia.

Y en Grecia, el censo era algo muy usual en sus principales ciudades democráticas.

También Servio Tulio, que se supone vivió entre 578 y 534 antes de Cristo, y fue el

sexto Rey de Roma, ordenó que se llevara a acabo un censo cada 5 años, y el fin

era el de planificar los impuestos, preparar elecciones y la conscripción militar. Como

ha de recordarse, San José y la Virgen María iban a Belén a inscribirse en el

segundo de estos censos, cuando nació Jesús, según sus discípulos Lucas, y Mateo,

ya en la época del Emperador Augusto.

El primer censo en América fue llevado a cabo por los Incas, y lo más probable es

que haya sido en la época de Pachacútec Yupanqui, Inca que fue llamado "El

Reformador del Mundo" quien organizó el Imperio Incaico económica y socialmente.

El matemático y filósofo italiano GirolanoCardano, que vivió entre los años 1510 y

1576, realizó los primeros estudios sobre probabilidades, y fueron publicados en su

trabajo "Iber de Ludo Alea" que quiere decir "Manual para tirar los dados".

Gottfried Achenwall (Desde 1719 hasta 1772), un reconocido economista

y profesor universitario, de origen alemán, profundizó en estudios que dieron origen a

la Estadística Inductiva.

Juan Pedro Sussmilchi, que vivió desde 1707 hasta 1767, y fue un brillante

matemático, estadístico y teólogo alemán, perfeccionó los estudios demográficos, al

mismo tiempo que Antonio Deparcioux, que vivió entre 1703 y 1768 y fue un gran

matemático francés, aplicó la Estadística para obtener las primeras "Tablas de

Mortalidad", con lo cual se dio inicio el próspero negocio del seguro de vida.

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Jacques Bernouilli (1654-1705) matemático suizo, escribió "ArsCojetandi" que quiere

decir en español, el Arte de Conjeturar, publicado póstumamente en 1713 y formula

la Ley de los Grandes Números, primer paso hacia la Estadística Matemática.

El Marqués Pedro Simón de Laplace que vivió desde 1749 hasta 1827, matemático y

astrónomo francés, anuncia su Teoría Analítica de las Probabilidades en 1812, y este

fue otro gran impulso a la Estadística Matemática.

Lambert Jacques Quetelet (1796-1874), gran astrónomo y matemático de origen

belga, aplicó el método estadístico al estudio de la Economía Social (Características

físicas, intelectuales y morales de los humanos); creando así la Sociometría.

Gregor Johann Mendel, (1822-1884), conocido botánico austríaco, que experimentó

con 34 variedades de arvejas, durante un lapso de 2 años, descubre y enuncia, en el

año de 1865, las Leyes de Mendel; leyes estadísticas que rigen la herencia y la

hibridación de los vegetales, lo cual es considerado el punto de partida de la

biometría.

El científico inglés, Francis Galton (1822-1911), primo de Darwin y creador de la

Eugenesia, de nuevos métodos antropométricos, de la moderna teoría de la

Estadística y su aplicación a la Sociometría y a la Biometría. Ideó los deciles y

centiles.

Karl Pearson (1857-1936), matemático inglés, crea el método de los momentos, la

Prueba de chicuadrana, los conceptos de Curva normal, y de Desviación normal.

Publica sus trabajos bajo el epígrafe de Contribución a la teoría matemática de

la evolución, y en total, da un gran impulso a lastécnicas usadas en estudios de

fenómenos sociales (Sociometría) y biológicos (Biometría).

Hoy en día la Estadística ha llegado a tal grado de perfeccionamiento y

especialización, que casi no existe disciplina científica, o técnica, de

investigación, control o planificación, en la cual no se apliquen los métodos

estadísticos como una herramienta de trabajo valiosísima e insustituible.

La fórmula del Teorema de Bayes es:

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MARCO TEORICO

Teorema de Bayes

El Teorema de Bayesviene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total:

Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).

Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).

En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 17631 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorioA dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber -si se tiene algún dato más-, la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.

Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que vamos a intentar explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio, recordar que este teorema también exige que el suceso A forme un sistema completo.

Fórmula de Bayes

Además, unido a la definición de Probabilidad condicionada, obtenemos la Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:

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 EJERCICIO 1º

El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:

a) Que llueva: probabilidad del 50%.

b) Que nieve: probabilidad del 30%

c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.

Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:

a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.

b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%

c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.

Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nevó, llovío o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:

Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).

Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".

Vamos a aplicar la fórmula:

a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:

La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.

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b) Probabilidad de que estuviera nevando:

La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.

c) Probabilidad de que hubiera niebla:

La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.

Sea un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales

. Entonces, la probabilidad viene dada por la expresión:

donde:

son las probabilidades a priori.

es la probabilidad de en la hipótesis .

son las probabilidades a posteriori.

Thomas Bayes (1763)

APLICACIONES

El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten

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probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de

filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.Como observación, se tiene y su demostración resulta trivial.

EJERCICIOS RESUELTOS

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7. Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, cual es la probabilidad de haber sido extraña de la urna A? 

Llamemos R al suceso "sacar bola roja" y N al suceso "sacar bola negra" de una urna.

La probabilidad de cualquiera de las urnas es 1/3, las tres son equiprobables.

Haz el diagrama de arbol para ver las probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada urna.

El ejercicio en concreto te pide p(A | R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

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8. Tres maquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fabrica. Los porcentajes de produccion defectuosa de estas maquinas son del 3%, 4% y 5%

1. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.

2. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la B.

3. Que maquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?

4. Sea D el suceso "la pieza es defectuosa" y sea N el suceso "la pieza no es defectuosa". La informacion del problema puede expresarse en el diagrama de arbol adjunto.

5. 1. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, p(D), por la propiedad de la probabilidad total,p(D) = p(A) . p(D|A) + p(B) p(D|B) + p(C) p(D|C) = 0.45 . 0.03 + 0.30 0.04 + 0.25 . 0.05 = 0.038

6.7.

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2. Debemos calcular p(B|D). Es sencillo aplicando el teorema de Bayes,

8. 3. Calculamos p(A|D) y p(C|D), comparandolas con el valor de p(B|D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

9.10.De donde deducimos que la maquina con mayor probabilidad de haber

producido la pieza defectuosa es A.

9. En una clase hay 40 alumnos entre chicos y chicas, cuya cantidad puedes variar. Se escoge una comisión de tres personas. Calcular

1. Probabilidad de que la formen dos hombres y una mujer. 2. Probabilidad de que la segunda persona elegida sea mujer 3. Probabilidad de obtener hombre, mujer y hombre, en este orden. 4. Si la segunda persona elegida ha sido una mujer, cual es la probabilidad de

que la primera fuera un hombre.

10. En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los

niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24

meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.

a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.

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b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea

una niña.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso H: seleccionar una niña.

Suceso V: seleccionar un niño.

Suceso M: infante menor de 24 meses.

En los ejercicios de probabilidad total y teorema de bayes, es importante identificar

los sucesos que forman la población y cuál es la característica que tienen en común

dichos sucesos. Estos serán los sucesos condicionados.

a. En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es que

sean menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante

menor de 24 meses es un ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad será:

 

b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de bayes,

hay que partir de reconocer esta es una probabilidad condicionada y que la

característica común de los sucesos condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la

probabilidad de que sea niña una infante menor de 24 meses será:

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11.Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus pacientes, el

20% se realizan correcciones faciales, un 35% implantes mamarios y el restante en

otras cirugías correctivas. Se sabe además, que son de genero masculino el 25% de

los que se realizan correcciones faciales, 15% implantes mamarios y 40% otras

cirugías correctivas. Si se selecciona un paciente al azar, determine:

a. Determine la probabilidad de que sea de género masculino

b. Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad que se haya

realizado una cirugía de implantes mamarios.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso F: pacientes que se realizan cirugías faciales

Suceso M: pacientes que se realizan implantes mamarios

Suceso O: pacientes que se realizan otras cirugías correctivas

Suceso H: pacientes de género masculino

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a. La probabilidad de que sea de género masculino se refiere a un problema de

probabilidad total, ya que es el suceso condicionado y las cirugías los

condicionantes. Dicho valor será:

b. Como el suceso condicionado ha ocurrido entonces se aplica el teorema de bayes,

luego, el valor de la probabilidad será:

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12.Un Doctor disp.one de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El

uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el

tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3%

respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que

tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso P: seleccionar el primer aparato

Suceso S: seleccionar el segundo aparato

Suceso T: seleccionar el tercer aparato

Suceso E: seleccionar un resultado con error

Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un

examen errado sea del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto,

debemos recurrir al teorema de bayes. Claro está, que es necesario de igual forma

obtener la probabilidad de que los aparatos produzcan un resultado erróneo, por lo

tanto:

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13 .Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.

a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.

b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B.

c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?

Solución:

Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.

a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total,

P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) =

= 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038

b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,

c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

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La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A

15 .Tres máquinas denominadas A, B y C, producen un 43%, 26% y 31% de la producción total de una empresa respectivamente, se ha detectado que un 8%, 2% y 1.6% del producto manufacturado por estas máquinas es defectuoso, a. Se selecciona un producto al azar y se encuentra que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el producto haya sido fabricado en la máquina B?, b. Si el producto seleccionado resulta que no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la máquina C?

Solución:

Para resolver este problema nos ayudaremos con un diagrama de árbol;

 8% D

43% A92% ND

26% B 2% D

98% ND

31% C 1.6% D

98.4% ND

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a. a.       Definiremos los eventos;

D = evento de que el producto seleccionado sea defectuoso (evento que condiciona)

A = evento de que el producto sea fabricado en la máquina A

B = evento de que el producto sea fabricado por la máquina B

C = evento de que el producto sea fabricado por la máquina C

 

P(B½D) = p(BÇD)/p(D) = p(B)p(D½B)/p(A)p(D½A) + p(B)p(D½B) + p(C)p(D½C)

P(B½D) = (0.26*0.02)/(0.43*0.08 + 0.26*0.02 + 0.31*0.016)

= 0.0052/0.04456

=0.116697

 

b. b.      ND = evento de que el producto seleccionado no sea defectuoso (evento que condiciona)

A = evento de que el producto sea fabricado en la máquina A

B = evento de que el producto sea fabricado por la máquina B

C = evento de que el producto sea fabricado por la máquina C

 

P(C½ND)=p(CÇND)/p(ND)=p(C)p(ND½C)/p(A)p(ND½A) + p(B)p(ND½B) + p(C)p(ND½C)

= 0.31*0.984/(0.43*0.92 + 0.26*0.98 + 0.31*0.984)

= 0.30504/0.95544

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