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Trabajo Aplicativo Estadistica

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Escuela de Oficiales de la PNP

Espartanos

2do. BATALLN

4ta. CIA SEC. G

CURSO: ESTADISTICA INFERENCIALTEMA : TEOREMA DE BAYES

CADETE : C2 PNP HUAMAN VELASQUEZ Carlos CATEDRATICO: Contadora PEREZ OBREGON Carmen

La Campia,CHORRILLOS 2012. ESPARTANOS

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ndiceIntroduccin3

Marco terico.5

Ejercicios016

Aplicaciones8

Ejercicios Resueltos9 Problemas Propuestos21

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IntroduccinDesde 3.000 aos antes de Cristo, se tienen noticias de los primeros censos hechos a la poblacin, en la antigua Babilonia, Persia, Egipto y China, se elaboraban censos de las propiedades de los habitantes con fines impositivos. El mismo Moiss, que existi en los siglos XV - XIV antes de Cristo, y que era profeta y legislador hebreo, levant un censo de su pueblo en el desierto, segn lo seala la Biblia. Y en Grecia, el censo era algo muy usual en sus principales ciudades democrticas. Tambin Servio Tulio, que se supone vivi entre 578 y 534 antes de Cristo, y fue el sexto Rey de Roma, orden que se llevara a acabo un censo cada 5 aos, y el fin era el de planificar los impuestos, preparar elecciones y la conscripcin militar. Como ha de recordarse, San Jos y la Virgen Mara iban a Beln a inscribirse en el segundo de estos censos, cuando naci Jess, segn sus discpulos Lucas, y Mateo, ya en la poca del Emperador Augusto. El primer censo en Amrica fue llevado a cabo por los Incas, y lo ms probable es que haya sido en la poca de Pachactec Yupanqui, Inca que fue llamado "El Reformador del Mundo" quien organiz el Imperio Incaico econmica y socialmente. El matemtico y filsofo italiano GirolanoCardano, que vivi entre los aos 1510 y 1576, realiz los primeros estudios sobre probabilidades, y fueron publicados en su trabajo "Iber de Ludo Alea" que quiere decir "Manual para tirar los dados". Gottfried Achenwall (Desde 1719 hasta 1772), un reconocido economista y profesor universitario, de origen alemn, profundiz en estudios que dieron origen a la Estadstica Inductiva. Juan Pedro Sussmilchi, que vivi desde 1707 hasta 1767, y fue un brillante matemtico, estadstico y telogo alemn, perfeccion los estudios demogrficos, al mismo tiempo que Antonio Deparcioux, que vivi entre 1703 y 1768 y fue un gran matemtico francs, aplic la Estadstica para obtener las primeras "Tablas de Mortalidad", con lo cual se dio inicio el prspero negocio del seguro de vida.ESTADISTICAINFERENCIAL Pgina3

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Jacques Bernouilli (1654-1705) matemtico suizo, escribi "ArsCojetandi" que quiere decir en espaol, el Arte de Conjeturar, publicado pstumamente en 1713 y formula la Ley de los Grandes Nmeros, primer paso hacia la Estadstica Matemtica. El Marqus Pedro Simn de Laplace que vivi desde 1749 hasta 1827, matemtico y astrnomo francs, anuncia su Teora Analtica de las Probabilidades en 1812, y este fue otro gran impulso a la Estadstica Matemtica. Lambert Jacques Quetelet (1796-1874), gran astrnomo y matemtico de origen belga, aplic el mtodo estadstico al estudio de la Economa Social (Caractersticas fsicas, intelectuales y morales de los humanos); creando as la Sociometra. Gregor Johann Mendel, (1822-1884), conocido botnico austraco, que experiment con 34 variedades de arvejas, durante un lapso de 2 aos, descubre y enuncia, en el ao de 1865, las Leyes de Mendel; leyes estadsticas que rigen la herencia y la hibridacin de los vegetales, lo cual es considerado el punto de partida de la biometra. El cientfico ingls, Francis Galton (1822-1911), primo de Darwin y creador de la Eugenesia, de nuevos mtodos antropomtricos, de la moderna teora de la Estadstica y su aplicacin a la Sociometra y a la Biometra. Ide los deciles y centiles. Karl Pearson (1857-1936), matemtico ingls, crea el mtodo de los momentos, la Prueba de chicuadrana, los conceptos de Curva normal, y de Desviacin normal. Publica sus trabajos bajo el epgrafe de Contribucin a la teora matemtica de la evolucin, y en total, da un gran impulso a lastcnicas usadas en estudios de fenmenos sociales (Sociometra) y biolgicos (Biometra). Hoy en da la Estadstica ha llegado a tal grado de perfeccionamiento y especializacin, que casi no existe disciplina cientfica, o tcnica, de investigacin, control o planificacin, en la cual no se apliquen los mtodos estadsticos como una herramienta de trabajo valiossima e insustituible. La frmula del Teorema de Bayes es:

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MARCO TEORICO

Teorema de BayesEl Teorema de Bayesviene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total: Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente). Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (estaba lloviendo o haca buen tiempo?). En la teora de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 17631 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorioA dado B en trminos de la distribucin de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribucin de probabilidad marginal de slo A. En trminos ms generales y menos matemticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podra saber -si se tiene algn dato ms-, la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestin para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculacin ntima con la comprensin de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados. Tratar de explicar estar frmula con palabras es un galimatas, as que vamos a intentar explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio, recordar que este teorema tambin exige que el suceso A forme un sistema completo. Frmula de Bayes Adems, unido a la definicin de Probabilidad condicionada, obtenemos la Frmula de Bayes, tambin conocida como la Regla de Bayes:

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EJERCICIO 1 El parte meteorolgico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana: a) Que llueva: probabilidad del 50%. b) Que nieve: probabilidad del 30% c) Que haya niebla: probabilidad del 20%. Segn estos posibles estados meteorolgicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente: a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%. b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20% c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%. Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nev, llovo o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades: Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%). Una vez que incorporamos la informacin de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori". Vamos a aplicar la frmula:

a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:

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La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el da del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%. b) Probabilidad de que estuviera nevando:

La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%. c) Probabilidad de que hubiera niebla:

La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.

Sea un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales . Entonces, la probabilidad viene dada por la expresin:

donde:

son las probabilidades a priori. es la probabilidad de en la hiptesis . son las probabilidades a posteriori.

Thomas Bayes (1763)

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APLICACIONES El teorema de Bayes es vlido en todas las aplicaciones de la teora de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadstica tradicional slo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmacin emprica mientras que los llamados estadsticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cmo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos informacin adicional de un experimento. La estadstica bayesiana est demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en funcin de la evidencia emprica es lo que est abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicacin de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.Como observacin, se tiene y su demostracin resulta trivial.

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