Trabajo Colaborativo Momento 6 Grupo 301301 303-1

Algebra Trigonometra y Geometra Analtica

Grupo: 301301_303

Actividades: Manejando el Simulador Geogebra

Trabajo Colaborativo Momento 6

Presentado por:

JUAN CARLOS SEPULVEDA DAZA

Cdigo: 7185224

MARIO LEONARDO SUAREZ VALBUENA

CDIGO: 7188516

JHON DAVID SCHUHAYRE VANEGAS CODIGO: 7.183.686

Presentado a :

Tutor: Diber Vaquiro

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

CEAD Tunja

INTRODUCCIN

En este trabajo colaborativo para el momento 6 pueden encontrar la solucin de

las ecuaciones solicitados en la gua de trabajo las cuales se desarrolla teniendo

en cuenta unidad 3 referente Unidad 3: SECCIONES CNICAS, SUMATORIA Y

PRODUCTORIA. videos , tutoriales, manejando los diversos recursos que nos

brinda la red para poder resolver y comprender cada uno de los ejercicio

propuestos utilizando la herramienta GEOGEBRA.

Encontraran la solucin de diversas ecuaciones para distintos casos como lo

Secciones Cnicas, Sumatoria y Productoria interpretacin de los problemas de caso

en fin este trabajo nos ayud a comprender de una manera ms eficiente lo

correspondiente al momento # 6 de este curso de Algebra Trigonometra y

geometra Analtica.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

Resolver cada uno de los siguientes problemas propuestos:

1. De la siguiente elipse 4 + 8x + 4y 8 = 0. Determine: a. Centro b. Focos c. Vrtices

Desarrollo con el simulador geogebra

Para saber exactamente cules son los requisitos que se nos piden hallar

ingresamos ciertos comandos que nos ayudaran a identificarlos.

Centro = Comando en geogebra = Centro[c] = A = (1,-2) Focos = Comando en geogebra = Foco[c] = C= (1 , 1.46) , (1 , -5.46) Vrtices = Comando en geogebra = Vrtices[c] = ( 1 , -6) , (1 , 2) (3, -2) , (-1 , -2)

Desarrollo del ejercicio

1. De la siguiente elipse 4 + 8x + 4y 8 = 0. Determine: a. Centro b. Focos c. Vrtices

Desarrollo

4 + 8x + 4y 8 = 0. Completando cuadros

4( - 2x +1)+( +4y+4)=8+4+4=16

=

= 1

Eje Mayor

a = = 4 (vertical)

Eje Menor

b = = 2

Distancia Focal

C = - 4 )

C = 3, 46

Centro

C (1,-2)

Vrtices

V1 (1, -2 + 4) = F1 (1, 2); v2 (1, -2, -4) = F (1, -6)

Focos

F (1, -2 + 3,46) = F (1; 1, 46); F (1, -2 -3, 46)

F((1, -5 , 46)

2 . Deduzca una ecuacin canonca de la elipse que satisfaga las condiciones indicadas: Vrtices (3,1) y (3 , 9) y eje menor de longitud = 6 Desarrollo simulador Geogebra: En este ejercicio lo primero que realizamos es ingresar los vrtices solicitados. Vrtices (3,1) y (3 , 9)

Ingresamos el eje menor de longitud = 6 seleccionamos elipse y remarcamos los vrtices de esta forma quedara graficada nuestra elipse.

Para deducir la ecuacin canonca de la elipse que satisface lo solicitado damos click derecho sobre cnica y por tanto nos mostrara la ecuacin

Como podemos apreciar la ecuacin queda planteada as:

=1 Desarrollo del ejercicio:

+

= 1

El centro de esta elipse es el punto medio entre los vrtices.

M= (3,1)(3 , 9)

M = [

,

M = (3, 5)

El centro de los vrtices es (3 ,5)

Eje Menor

2b = 6

b = 3

Eje Mayor

d = (3,1)(3 ,9)

d = + (9

d =

d = 8

2a = 8

a = 4

El ltimo paso que debemos realizar es reemplazar los datos en la

ecuacin general.

+

= 1

3. De la siguiente hiprbola 4 -9 16x -18y 29 = 0. Determine a. Centro Centro[c] = A = (2,-1) b. Focos Centro[c] = A = (2,-1)

C. Vrtices Vrtices[c] = D = (-1 , -1) ,E = (5 , -1) Desarrollo simulador Geogebra:

Digitamos la expresin presionamos enter y nos muestra la siguiente grafica donde nos muestra

una elipse para hallar el centro damos el comando centro [c] damos enter, Focos [c] presionamos

enter, vrtices [c] , colocamos c porque es el nombre de la expresin correspondiente si se quiere

ver coordenada seleccionamos los puntos, clip derecho nos muestra propiedades cambiamos a

nmero y smbolo y nos aparece las coordenadas de la expresin.

Desarrollo del ejercicio:

4 -9 16x -18y 29 = 0 4 -16x - 9 18y 29 = 0 Organizando la ecuacin 4 -4x + 4) - 9 + 24 + 1) = 29 +16-9 4(x - - 9(4 + = 36 Se divide por 36

+

= 1

a = 3

b = 2

c =

c =

Coordenadas del centro

C (3, 11) Coordenadas de los focos

F1 (h c; k) = (2 - ; -1)

F2 (h + c; k) = (2 + ; -1)

Coordenadas de los vrtices

V1 = (h a; k) = (2 - 3; -1) = (-1; -1)

V2 = (h + a; k) = (2 + 3; -1) = (5; -1)

4. Deduzca una ecuacin de la hiprbola que satisfaga las condiciones indicadas: Vrtices V1 (1, 11) V2 (1, -15) Focos F1 (1,12) F2 (1, -16). Desarrollo con el simulador Geogebra Lo primero que debemos realizar para la solucin de este ejercicio es ingresar nuestros vrtices y nuestros focos por medio de los siguientes comandos . v1= (1,11) V2 = (1, -15) F1= (1,12) F2= (1,-16)

Despus de haber graficado nuestros vrtices y focos procedemos a seleccionar la opcin de hiprbola y seguido a esto seleccionamos nuestros focos , despus de esto arrastramos la lnea hasta alguno de los 2 vrtices.

Arrastrndola al otro vector.

Por lo tanto al deducir la ecuacin para esta hiprbola queda plasmada de la siguiente forma:

Hiprbola (y+2 (x-1 / 27 = 1

5. Demostrar que la ecuacin x2 + y2 8x - 6y = 0 es una circunferencia. Determinar: a. Centro b. Radio

Desarrollo con el simulador Geogebra

Digitamos la expresin x2 + y2 8x - 6y = 0 presionamos enter y nos muestra la siguiente grafica

donde nos muestra una elipse.

Para hallar el centro damos el comando centro [c] damos enter, Radio [c] presionamos enter,

colocamos c porque es el nombre de la expresin correspondiente.

Centro damos el comando, Centro[c] A = (4,3) Radio damos el Comando, Radio[c] a = 5

Demostramos el radio de la circunferencia desde el punto

Desarrollo.

+ 8x - 6y = 0

8x+ - 6y = 0 Organizamos los trminos dejando x , y al

mismo lado

8x+ 16 + - 6y +9 = 16 + 9 Debemos completar el trinomio cuadrado perfecto (Para esta completacion es necesario que los coeficientes tanto de x como de y sea 1

(x 4 + (y 3 = 25 Confrontamos con el modelo de la ecuacin de la circunferencia con centro en (h ,k) y radio en r (x - 4 + (y - 3 = 25

(x - h + (y - k =

Coordenadas del centro

-h = -4 4

-k = -3 3

Centro = (4, 3)

Coordenadas del Radio

= 25 5

Radio = (5)

6. De la siguiente parbola y2 + 12x + 10y 61 = 0. Determine: a. Vrtice b. Foco c. Directriz


En el desarrollo de este ejercicio debemos ingresar los comandos para la

graficacion de la misma.

Ya que tenemos la ecuacin de la parbola la ingresamos.

De la siguiente parbola

Procedemos a ingresar los comandos para determinar lo requerimientos

Vrtice = Comando en geogebra = Vrtices[c]= A = (3,5) Foco = Comando en geogebra = Foco[c] = B = (6,5) Directriz = Comando en geogebra = Directriz[c]= a:x = 0 Arrastramos hacia la directriz. Y de esta forma nos que da graficada la parbola.


-y + 12x + 10y 61 = 0

No se acostumbra que la ecuacin general o en su forma explcita inicie

con un nmero negativo es por eso que se debe realizar el cambio de

signos

Por tal razn determinamos en esta ecuacin que debemos dejar

nuestro exponente -y como positivo y esto lo hacemos multiplicando

ambos lados de la igualdad por (-1)

y - 12 x - 10 y + 61 = 0

y - 10 y + 25 = 12 x - 61 + 25

(-y - 5) = 12 x - 36 = 12 (x - 3)

Para determinar el foco debemos calcular 3 unidades hacia la derecha

este se encuentra en las mismas coordenadas del vrtice

F(3, 6)

Para determinar la directriz debemos calcular 3 unidades despus del

vrtice hacia la izquierda.

El vrtice es V(3, 5)

El parmetro p es 6

7. Determine la ecuacin de la recta que cumple las condiciones dadas. Pasa por: (1, 7); Paralela a la recta que pasa por (2, 5) y (-2, 1). Desarrollo con el simulador Geogebra:

Para la solucin de este ejercicio lo primero que realizamos es ingresar los datos o puntos de la recta que en nuestro caso serian: Recta que pasa por (2, 5) y (-2, 1).

Seguido a esto seleccionamos la opcin de recta y seleccionamos segmento ya seleccionado unimos nuestros puntos A y B.

El siguiente paso es ingresar el punto que pasa por: (1, 7);

En la opcin de paralela seleccionamos paralela. y luego que nos creo la paralela la tomamos desde cualquier segmento de la recta y la arrastraos hasta el punto que se nos dio el cual es (1,7)

Ya tenemos graficado nuestro ejercicio pero nos hace falta determinar la ecuacin de la recta que cumple las condiciones dadas , para esto solo tenemos que dar click derecho sobre recta la cual se encuentra en la vista algebraica ac nos mostrara la ecuacin que en nuestro caso queda as : Ecuacin : y = a x + b

Desarrollo:

Lo primero que realizamos es identificar nuestras coordenadas.

P(1 , 7)

C(2 , 5) D(-2 , 1)

Para solucionar este ejercicio organizamos la informacin de esta forma:

L1= Recta Conocida

L2 = Recta Solicitada

La recta conocida es la que pasa por los puntos C y D es decir:

L1= Recta Conocida = C (2 , 5) D(-2 , 1)

L2 = Recta Solicitada = P(1 ,7)

Para resolver este ejercicio la recta solicitada(L2) debe ser paralela a

la recta conocida(L1).

Debemos conocer la pendiente de la recta conocida (L1)

Frmula para la pendiente de una recta:

m =

Diferencia de coordenadas sobre

Diferencia de abscisas

Utilizamos los puntos C y D.

C ( 2 , 5) D(-2 , 1)

x1 y1 x2 y2

Reemplazamos valores.

m =

m1 =

m1 =

m1 =

Recta paralela m2=m1 m2 =

Para nuestro caso como las dos rectas son paralelas se cumple que la

pendiente de la recta dos tiene que ser igual a la pendiente de la recta uno

esta condicin se debe cumplir en las rectas paralelas es decir sus pendientes

deben ser paralelas es decir sus pendientes deben ser iguales por lo tanto la

pendiente 2(m2) es igual a m2 =

Por lo tanto:

L2 L1 m2 = m1 m2 =

8. Calcular las siguientes sumatorias:

A .


Seleccionamos la opcin vista clculo simblico

Damos la el comando: Suma [ , , , ]

En donde reemplazamos el comando por la expresin Suma [ 2i,i ,1,300]

En donde el resultado es : 90300

B .

Seleccionamos la opcin vista clculo simblico

Damos la el comando: Suma [ , , , ]

En donde reemplazamos el comando por la expresin Suma[ (2i+ 1) ^2,i , 1, 3 ]

En donde el resultado es : 83


A .

Para hallar la sumatoria de este ejercicio utilisare varios mtodos.

= 2(1)+2(2)+2(3)+2(4)2(300)

Este mtodo es muy extenso y por tal razn utilisare otros mtodos o

formulas.

Utilizare esta frmula. Solo para hallar el valor de i

=

=

Simplificamos

=

= 45.150

i = 45.150

Aplicamos otra propiedad

= Reemplazamos valores

=

= 2 * el valor de i que en nuestro caso es 45.150

= 2 * 45.150

= 90.300

B .

Desarrollo

Para la solucin de este ejercicio aplicare ciertas propiedades o formulas

.

Dado que tenemos un binomio cuadrado perfecto utilisamos

su formula

= a +2ab +

Utilizamos la formula de la sumatoria al cuadrado

= +

Reemplazamos valores

=

+ + +

+ + +

Aplicamos otra propiedad para el caso de

=

De esta forma ya organizamos nuestros trminos y nos arrojo 3 sumatorias

+ + +

Sumatoria 1 =

Utilizamos la formula .

= =

=

Simplificamos

=

1 * 2 * 7 = 21

Sumatoria 2 =

Utilizamos la frmula para saber el valor de i

=

= =


=

=

=

= 6

i = 6

Sumatoria 3

Aplicamos otra propiedad para el caso de

=

= 4 (i)

= 4 (i)

=24

Sumatoria 3

Utilizamos la formula

c*(n)

1 *(3)

= 4

Por lo tanto el resultado de esta sumatoria seria

=

21 + 24 + 4 =

49

9. Calcular las siguientes productorias:

A.

B.

+ 3


A.

Para el desarrollo de este ejercicio nuevamente seleccionamos la opcin de

vista y calculo simbolico y procedemos a ingresar el comando en geogebra

El comando en geogebra es el siguiente:

Producto [ , , , ]

Procedemos a cambiar los valores y presionamos enter para que nos genere

el resultado.

Producto [ 3i+7, i, -1, 4]

Como se puede apreciar nos arroja el resultado de esta productoria el cual

es: 1106560

B.

+ 3

El proceso para este literal es el mismo del literal A.

Procedemos a ingresar el comando en geogebra

El comando en geogebra es el siguiente :

Producto [ , , , ]

Procedemos a cambiar los valores y presionamos enter para que nos genere

el resultado.

Producto [ i/(i-1)+3, i, 2, 4 ]

Como se puede apreciar nos arroja el resultado de esta productoria el cual

es: 97.5


Existen otras reglas o frmulas para el caso de la productoria pero no

las utilice sencillamente part del principio que se debe hacer una

multiplicacin

A. Desarrollo:

=

i = -1 i = 0 i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 Reemplasamos valores

3 3 18 * 21 * 24 * 27 * 30 * 33 =

242.494,560

B.

+ 3

Desarrollo:

+ 3 =

(

+ 3) (

+ 3) (

+ 3)

i = 2 i = 3 i = 4 Reemplazamos valores

(

+ 3) (

+ 3) (

+ 3) =

(

+ 3) (

+ 3) (

+ 3)

Para la suma de fraccionarios con un entero utilizamos la formula

+

=

Para esto debemos convertir nuestro entero a fraccionario que en mi caso el entero es 3 para esto le ponemos a nuestro entero como denominador el

1 convertido a fraccin nos quedara =

+

)

+

)

+

)

Utilizamos la formula de suma de fraccionarios

+

=


+

=

=

+

=

=

+

=

=

Para la multiplicacin de las 3 fracciones tenemos que ensamblar la Operacin

*

*

*

*

=

=

= 117

Al Hacer la multiplicacin podemos darnos cuenta que el resultado es muy grande pero para esto podemos simplificar la expresin para poder ahorrar tiempo

Simplificamos

=

Infografa

https://www.youtube.com/watch?v=jf-DBlnw0NY&feature=youtu.be

https://www.youtube.com/watch?v=672ymJsl5DQ&spfreload=10

https://www.youtube.com/watch?v=MzaZ4H6LOEA

https://www.youtube.com/watch?v=HQIj2nTgMHU

https://www.youtube.com/watch?v=_KufORmC34w

https://www.youtube.com/watch?v=wSVjFifDRLE

https://www.youtube.com/watch?v=2_kh3TPke-c

https://www.youtube.com/watch?v=7qiCDR5u_XM https://www.youtube.com/watch?v=Zg1ASF3C6uc https://www.youtube.com/watch?v=Vqo9hm1_rjw https://www.youtube.com/watch?v=ZnC6D7pm3qk https://www.youtube.com/watch?v=BZxLTQwFZKo https://www.youtube.com/watch?v=U3C59ycF_rM https://www.youtube.com/watch?v=oHvdRLgVpS0 https://www.youtube.com/watch?v=fP493F0Bb9A https://www.youtube.com/watch?v=nbyWtItRo5o https://www.youtube.com/watch?v=uFIenLL4NQQ

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