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INTRODUCCION
Antes de entrar a definir que son los bonos, los tipos de bonos que existen y de
plantear ejercicios, hablemos un poco de las entidades que emiten estos bonos.
Las Instituciones Financieras han sido autorizadas para poder emitir Bonos con el
objeto de incrementar sus recursos externos, invitando a terceros a hacerles un
préstamo colectivo a mediano plazo, a cambio de una rentabilidad en principio fija
y susceptible de mejorarse a través de sorteos, cuando tal sistema está previsto.
La emisión de Bonos efectuada por los Bancos representan títulos valores que
Incorporan una parte alícuota de un crédito colectivo, redimible a mediano plazo, y
a cambio de una remuneración generalmente mayor a la de cualquier otro
depósito bancario.
Constituye una modalidad típica de los llamados títulos valores seriales, que se
emiten y expiden en forma masiva, representando el total de la suma máxima de
endeudamiento previsto y utilizando las series de manera que cada una
corresponda a valores homogéneos de emisión. La modalidad del título serial es
explicable en esta materia porque lo Interesante de la emisión, en cuanto a la
relación contractual, radica en que la oferta se emite a favor de un número
desconocido e indeterminado de posibles tomadores de los títulos, de manera que
la entidad emisora desconoce la suerte de su propuesta en endeudamiento.
MATEMATICA FINANCIERA I
1. DEFINICIÓN DE BONOS:
Los bonos son títulos-valores o activos financieros que son emitidos por empresas
o gobiernos y colocados en los mercados financieros con la finalidad de captar
recursos con los cuales financiaran sus planes de estabilidad o crecimiento.
En el tipo más tradicional de emisión de bonos, el tenedor de un bono se convierte
en un acreedor del emisor y tiene derecho a exigir el pago periódico de los
llamados cupones (intereses) y la devolución del nominal del bono en la fecha de
redención (vencimiento) del mismo.
Dado que en esta modalidad de financiamiento del emisor paga intereses, esta
fuente de financiamiento del emisor paga intereses, esta fuente de financiamiento
se considera vía “deuda”.
Es conveniente aclarar que el proceso de valoración de bonos cuele utilizar dos
tasas de interés.
Una de ellas es la tasa del bono, que puede ser nominal o efectiva. A partir de
esta se debe hallar la tasa efectiva con periodo de vigencia igual al del pago de
cupones. Si multiplicamos la tasa así hallada por el nominal del bono obtendremos
los cupones por pagar.
La otra tasa es la que corresponde al inversionista y debe reflejar sus expectativas
de ganancia sobre el bono; con esta tasa es que se realiza el proceso de
actualización de los flujos futuros.
Por lo tanto, si una persona realiza un desembolso “D” para comprar un bono
recién emitido, de valor nominal “N”, pago de cupones (intereses) “C” por periodo
(calculados aplicando la tasa efectiva del bono”i” por el periodo al valor nominal
del mismo) y con una fecha de redención dentro de “n” períodos, entonces el flujo
de caja de dicha operación será:
2
MATEMATICA FINANCIERA I
0 1 n
Donde deberá cumplirse:
D = VA (de los n cupones C) + VA (del nominal N)
El valor “D” lo podemos interpretar también como el máximo desembolso que
estará dispuesto a realizar el inversionista, con la finalidad de obtener como
mínimo una determinada tasa de rendimiento. En esta última es la que se deberá
utilizar como tasa de descuento para hallar los valores actuales anteriores.
2. CLASES DE BONOS:
En la medida en que se va sofisticando el mercado financiero encontramos
diferentes clases de bonos:
Bonos corporativos: Son aquellos bonos que son emitidos por las empresas no
financieras.
Bonos subordinados: Son emitidos por instituciones del sistema bancario
financiero. Se les denomina subordinados, debido a que los mismos se
encuentran supeditados, en caso de incumplimiento, al pago previo de los
depósitos de los ahorristas.
Bonos de arrendamiento financiero: Son aquellos que tienen por objetivo el
obtener recursos para operaciones de arrendamiento financiero.
Bonos cupón cero: Son aquellos bonos en los cuales no se paga un cupón sino
que se colocan debajo de la par, y que se redimen a su vencimiento a su valor
3
N
D
C = i .N
MATEMATICA FINANCIERA I
nominal, por lo que el interés implícito obtenido es la diferencia entre el menor
valor que se paga y el valor nominal.
Bonos convertibles en acciones: Son bonos que contienen una clausula por la
cual es posible que en lugar de redimir el bono, el mismo se capitalice por
acciones.
Bonos estructurados: Estos bonos se caracterizan porque están vinculados a un
derivado.
3. CONTENIDO DE LOS BONOS
Podemos señalar que los bonos deben contener, entre otros, las siguientes
menciones:
a. Sobre el Banco, como nombre, domicilio, capital, reservas, etc.
b. Sobre la emisión, como cuantía, series, números por sedes, valores, primas,
tipo de interés, forma, lugar y plazo de amortización del capital y de los Intereses.
c. Sobre el cumplimiento de los requisitos legales, como fecha y notaría de la
escritura pública, inscripción en los Registros Públicos, Resolución de la
CONASEV aprobatoria.
Los títulos pueden estar sometidos a otra serie de requisitos e Incluso de
naturaleza formal como puede ser tamaño, utilización de papel de seguridad,
inserción de cupones desprendibles para el cobro de intereses, etc.
Tratándose de bonos emitidos en moneda nacional, su monto debe ser reajustado
necesariamente, y la legislación de la materia obliga a que se indique en el título,
que no pueden ser pagados antes de su vencimiento.
4. ¿POR QUÉ INVERTIR EN BONOS ?
Muchos de los asesores financieros recomiendan a los inversionistas tener un
portafolio diversificado constituido en bonos, acciones y fondos entre otros. Debido
a que los bonos tienen un flujo predecible de dinero y se conoce el valor de este al
final( lo que le van a entregar al inversionista al final de la inversión), mucha gente
invierte en ellos para preservar el capital e incrementarlo o recibir ingresos por
4
MATEMATICA FINANCIERA I
intereses, además las personas que buscan ahorrar para el futuro de sus hijos, su
educación , para estrenar casa, para incrementar el valor de su pensión u otra
cantidad de razones que tengan un objetivo financiero, invertir en bonos puede
ayudarlo a conseguir sus objetivos.
4.1 Claves para escoger el Bono que más le conviene
Hay muchas variables que considerar para tomar la decisión de invertir en
determinado tipo de bonos: su maduración, contratos, pago de los intereses,
calidad del crédito, la tasa de interés, precio, yield , tasas tributarias e impuestos,
etc.
Todos estos puntos ayudan a un inversionista a determinar el tipo de bono que
puede colmar sus expectativas y el grado de inversión que se desea obtener de
acuerdo con los objetivos buscados.
4.2 La tasa de interés:
Los intereses que pagan los bonos pueden ser fijos o variable ( unidos a un índice
como la DTF, LIBOR, etc.). El periodo de tiempo para su pago también es
diferente, pueden ser pagaderos mensualmente, trimestralmente, semestralmente
o anualmente, siendo estas las formas de pago más comunes.
(Cabe anotar que los intereses en la gran mayoría de los países son pagados a su
vencimiento, en Colombia existe esta modalidad y la de pagar los intereses
anticipadamente; la diferencia entre una y otra es que en los bonos con intereses
vencidos le van a entregar el capital más los intereses al final y en la modalidad
anticipada los intereses son pagados al principio).
4.3gMaduración:
La maduración de un bono se refiere a la fecha en la cual el capital o principal será
pagado. La maduración de los bonos maneja un rango entre un día a treinta años.
Los rangos de maduración a menudo son descritos de la siguiente manera:
1. Corto plazo: maduración hasta los cinco años.
2. Plazo intermedio: maduración desde los cinco años hasta los doce años.
3. Largo plazo: maduración de doce años en adelante.
5
MATEMATICA FINANCIERA I
4.4 Bonos con contratos:
Cuando la maduración de un bono es una buena guía de cuanto tiempo el bono
será extraordinario para el portafolio de un inversionista, ciertos bonos tienen
estructuras que pueden cambiar substancialmente la vida esperada del
inversionista. En estos contrato se pueden efectuar las llamadas call provisions, en
las cuales permiten al emisor reembolsar cierto dinero al principal del inversionista
a una fecha determinada. Las operaciones de call para los bonos se usan cuando
las tasas de interés han caído dramáticamente desde su emisión (también son
llamadas call risk). Antes de invertir en un bono pregunte si hay una call provision,
y si la hay asegures de recibir el yield to call y el yield a la maduración. Los bonos
con provisiones de redención por lo general tienen un mayor retorno anual que
compensan el riesgo del bono a ser llamado prontamente.
Por otra parte las operaciones put, le permiten al inversionista exigirle al emisor
recomprar el bono en una fecha determinada antes de la maduración. Esto lo
hacen los inversionistas cuando necesitan liquidez o cuando las tasas de interés
han subido desde la emisión y reinvertirse a tasas más altas.
4.5 Calidad del crédito:
Se refiere al grado de inversión que tengan los bonos así como su calificación
para la inversión. Estas calificaciones van desde AAA (que es la mas alta) hasta
BBB y así sucesivamente determinando la calidad del emisor.
4.6vPrecio:
El precio que se paga por u bono esta basado en un conjunto de variables,
incluyendo tasas de interés, oferta y demanda, calidad del crédito, maduración e
impuestos. Los bonos recién emitidos por lo general se transan a un precio muy
cerca de su valor facial (al que salió al mercado). Los bonos en el mercado
secundario fluctúan respecto a los cambios en las tasas de interés (recordemos
que la relación entre precio y tasas es inversa).
4.7wYield:
La tasa yield es la tasa de retorno que se obtiene del bono basado en el precio
que se pago y el pago de intereses que se reciben. Hay básicamente dos tipos de
6
MATEMATICA FINANCIERA I
yield para los bonos: yield ordinario y yield de maduración.
El yield ordinario es el retorno anual del dinero pagado por el bono y se obtiene de
dividir el pago de los intereses del bono y su precio de compra. Si por ejemplo
usted compro un bono en $ 1.000 y los intereses son del 8 % ( $ 80 ), el yield
ordinario será de 8 % ( $ 80 / $ 1.000); veamos otro ejemplo, si compró un bono a
$ 900 y la tasa de interés es del 8 % ( $ 80) entonces el yield ordinario será de
8.89 % ($ 80/$900).
El yield de la maduración, que es mas significativo, es el retorno total que se
obtiene por tener el bono hasta su maduración . permite comparar bonos con
diferentes cupones y maduraciones e iguala todos los intereses que se reciben
desde la compra más las ganancias o perdidas.
4.8 Tasas tributarias e impuestos.
Algunos bonos presentan más ventajas tributarias que otros, algunos presentan
los intereses libres de impuestos y otros no. Un asesor financiero le puede mostrar
los beneficios de cada bono, así como de las regulaciones existentes para cada
caso.
La relación entre las tasas e interés y la inflación. Como inversionista debe
conocer como los precios de los bonos se conectan directamente con los ciclos
económicos y la inflación. Como una regla general, el mercado de bonos y la
economía en general se benefician de tasas de crecimiento continuo y sostenible.
Pero hay que tener en cuenta que este crecimiento podría llevar a crecimientos en
la inflación, que encarece los costos de los bienes y servicios y conduce además a
un alza en las tasas de interés y repercute en el valor de los bonos. El alza en las
tasas de interés presiona los precios de los bonos a la baja y es por esto que el
mercado de bonos reacciona negativamente
5. VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA EMISIÓN DE BONOS
A) VENTAJAS PARA LAS EMPRESA EMISORAS
7
MATEMATICA FINANCIERA I
Reduce el costo de financiamiento: el interés ofrecido por los bonos es
normalmente menor que el interés de los prestamos bancarios.
El emisor define la modalidad de pago, de acuerdo con su flujo de caja
proyectada. Es un instrumento flexible, que puede ser hecho a la medida.
No se necesitan garantías: no es necesario ofrecer activos en garantía
como en los préstamos bancarios.
Se obtiene una sola subvención fiscal por el uso de acuerdo por parte del
gobierno, al considerarse en el pago de los intereses costos financieros que
se cargan en los estados financieros antes del cálculo del impuesto.
Promueve las negociaciones con la banca.
Puede ser destinada a la restructuración de pasivos.
Control en las decisiones de la empresa.
Maximizar el valor de la empresa.
Gerencia crecimiento económico.
B) VENTAJAS CON LOS INVERSIONISTAS
Mayor rentabilidad de la inversión.
Exoneración del impuesto a la renta sobre intereses generados.
C) DESVENTAJAS PARA LAS COMPAÑÍAS
La compañía estará sujeta a mayor supervisión: CONASEV, inversionistas,
clasificadoras de riesgo.
La duración del proceso de emisión toma alrededor de 10 semanas.
Costos fijos de emisión.
D) DESVENTAJAS PARA LOS INVERSIONISTAS
Ausencia de garantías reales (en algunos casos) .
Marco legal
o Ley general de sociedades
o Ley del mercado de valores
6. TIPOS DE BONOS:
8
MATEMATICA FINANCIERA I
Existen seis tipos de bonos brady cuyas características esenciales se repitan para
cada país:
a. BONOS PAR
Intercambio al valor de los préstamos.
Madurez de 30 años.
El cupón puede ser fijo hasta la fecha de maduración o es posible que
presenten variaciones de acuerdo a un calendario predeterminado.
El monto del principal es colaterizado por bonos cupón cero del tesoro de
EE.UU.
El interés en la mayoría de los casos es respaldo por fondos basados en
instrumentos de corto plazo, con una alta calificación por moody o estándar&
pors.
b. BONOS AL DESCUENTO
Son intercambios por préstamos a descuento del valor oficial.
El cupón es flotante basado en la tasa LIBOR mas una fracción porcentual
extra
El tiempo de maduración es aproximadamente de 30 años
El monto del principal es caracterizado por bonos cupón cero del tesoro de
EEUU
El interés en la mayoría de los casos es respaldados por fondos basados en
instrumentos de corto plazo con una alta crediticia por Moody
c. BONOS DE INTERES CAPITALIZADOS
Estos instrumentos ofrecen tasa de interés variables
El valor oficial crece a través de la vida útil del bono
Estos bonos no poseen colateral
d. CANJE POR BONOS CON DESCUENTO
Los bonos con descuento se distinguen de los bonos ala par porque se
intercambian por un monto mayor de deuda respecto de su valor nominal.
9
MATEMATICA FINANCIERA I
Si cada dólar de deuda se intercambian por 60 centavos en este tipos de
bonos entonces se habla de un descuento de 40 % . El uso de bonos con
descuento es mas conveniente para el país deudor que el de los bonos ala
par , porque un dólar de nueva deuda en bonos reemplaza mas de una
dólar en deuda antigua.
EJERCICIOS:
1. Un inversionista desea comprar un bono de valor nominal S/. 15000 y con
fecha de redención a los 5 años. Si el pago de cupones será semestral y
la TEA (tasa efectiva anual) del bono es 15%, hallar el máximo
desembolso que este inversionista estará dispuesto a realizar por la
compra de dicho bono si espera obtener un rendimiento mínimo de 20%
anual por sus inversiones.
Solución:
Primero hallamos el cupón semestral correspondiente:
Tasa efectiva semestral = (1.15)1/2 – 1 = 0.072381
Cupón semestral = (0.072381) (15000) = 1085.72
Si “D” es el desembolso por hallar, entonces el flujo de caja de la operación será:
0 1 10
De acuerdo con lo definido anteriormente, “D” debe ser igual al valor actual del
flujo de ingresos futuros que obtendrá el inversionista; para resolver el problema,
previamente debemos hallar la tasa semestral del inversionista:
10
D = ?
150001085.72
MATEMATICA FINANCIERA I
Tasa de rendimiento semestral = (1.20)1/2 – 1 = 0.095445
Por lo tanto, utilizando calculadora financiera:
1085.72 PMT; 10 n; 9.5445 i%; 15000 FV
PV = 12832.02 = D
2. Un inversionista ha adquirido un bono con las siguientes características:
Valor nominal : S/. 5000
Tasa del bono : 10% pagaderos trimestralmente
Pago de cupones : Trimestral
Redención : A los 3 años.
a) Si el inversionista espera obtener un rendimiento de 15% anual por sus
inversiones, determinar el máximo desembolso “D” que estará dispuesto a
realizar por cada bono.
b) Si otro inversionista ha desembolsado S/. 4088.14 por cada bono, hallar el
rendimiento trimestral que espera obtener como mínimo por sus
inversiones.
Solución:
a) En primer lugar hallamos el cupón que pagara el bono:
Tasa efectiva del bono = 2.5% trimestral
Cupón trimestral del bono = (0.025) (5000) = 125
El flujo de caja de la operación será:
11
MATEMATICA FINANCIERA I
Para realizar la valoración del bono necesitamos hallar el rendimiento trimestral
mínimo que espera obtener el inversionista:
Tasa de rendimiento trimestral = (1.15)1/4 – 1 = 0.035558
Con calculadora financiera:
125 PMT; 12 n; 3.5558 i%; 5000 FV
PV = 4491.54 (máximo desembolso) = D
b) El flujo de caja de la operación será:
Con calculadora financiera:
125 PMT; 12 n; (-) 4088.14 PV; 5000 FV
I% = 4.5 (rendimiento trimestral mínimo) = D
3. Un inversionista adquiere el siguiente bono:
Valor nominal : S/. N
Tasa del bono : 15% pagaderos mensualmente
Pago de cupones : Mensual
12
MATEMATICA FINANCIERA I
Redención : A los 5 años
Si este inversionista desembolso S/. 17805.08 por bono, esperando obtener una
rentabilidad de 20% anual, hallar el valor nominal N del bono.
Solución:
Tasa efectiva mensual del bono = 0.15/12 = 0.0125
Cupón mensual del bono = (0.0125) N
Rendimiento mensual del inversionista = (1.2)1/12 – 1 = 0.01530947
Por lo tanto, el flujo de caja de la operación es:
Por definición:
17805.08 = VA del flujo de ingresos del bono; entonces,
17805.08 = N (factor de actualización)
Hallando el factor de actualización:
0 CFj; 0.0125 CFj; 59 Nj; 1.0125 CFj; 1.5309 i%
NPV = 0.890254
Por lo tanto
17805.08 = N (0.890254)
N = 20000
4. Para el siguiente bono:
13
MATEMATICA FINANCIERA I
Valor nominal : S/. 10000
Tasa del bono : X% pagaderos bimestralmente
Pago de cupones : Bimestral
Redención : A los 5 años
Si se sabe que un inversionista ha adquirido tales bonos a una cotización de 5%
bajo la par, esperando obtener una rentabilidad de 17.6548% anual, hallar la tasa
nominal anual X% del bono.
Solución:
Hallando la rentabilidad bimestral que espera obtener el inversionista:
Tasa de rendimiento bimestral = (1.176548)1/6 – 1 = 0.027468
El flujo de caja de la operación será:
Observemos que el desembolso que realiza el inversionista es S/.9500, pues esta
adquiriendo el bono a una cotización de 5% bajo la par, lo cual debe ser entendido
“con un descuento del 5% sobre el nominal”, dado que el valor nominal debe ser
considerado como “la par”.
Utilizando la calculadora financiera:
2.7468 i%; 30 n; (-) 9500 PV; 10000 FV
PMT = 250 (cupón bimestral del bono)
Por lo tanto, la tasa efectiva bimestral que paga el bono es:
14
MATEMATICA FINANCIERA I
Tasa efectiva bimestral = 250/10000 = 0.02
En consecuencia, la tasa nominal anual X% del bono debe ser:
X% = 6(2.5%) = 15% anual
5. El señor Torres espera obtener como rendimiento mínimo en sus
inversiones una tasa de 10% anual 8tasa costo de oportunidad) y desea
comprar un bono con las siguientes características:
Valor nominal : $ 3000
Tasa de interés : 8% TEA
Pago de cupones : Trimestral
Redención : A los 5 años
a) ¿Cuál es precio máximo que estará dispuesto a pagar por dicho bono?
b) Si luego de un año (después de haber cobrado el cupón correspondiente) el
señor Torres piensa vender el bono al señor Aguilar, quien desea obtener
un rendimiento mínimo de 15% anual por sus inversiones, ¿Cuál es el
máximo precio que podrá cobrarle al señor Aguilar por dicho bono?
Solución:
Cupón = 0.019427 (1500) = 29.14
a) TCOTORRES = 2.4114% trim.
b)
TCOAGUILAR = 3.5558%
15
MATEMATICA FINANCIERA I
6. Luis García ha adquirido bonos con las siguientes características:
Valor nominal : US$ 12000
Tasa del bono : 9% capit. Diariamente
Pago de cupones : cada 50 días.
Redención del bono : A los 5 años.
a) Si Luis espera obtener una rentabilidad de 12% TEA en esta inversión,
¿Qué precio pago por cada bono?
b) Si inmediatamente después de cobrar el cupón numero 20, Luis vende el
bono a José Abanto quien espera obtener una rentabilidad de 15% TEA por
estos bonos, determine el precio que pago José Abanto por estos bonos.
Solución:
a) Tasa efectiva para el bono en 50 días = 1.257687% entonces el cupón será
igual a: 12000*0.1257687 = 150.92 el cual será pagado cada 50 días.
Total de cupones = 36 (periodos de 50 días en los 5 años)
TCO de Luis para los 50 días = 1.586462% (con esta tasa se halla el valor
actual de los 36 cupones y del nominal para hallar el precio).
Resolviendo el precio será igual a 10924.19
16
MATEMATICA FINANCIERA I
b) Numero de cupones que faltan por cobrar 16
TCO de José Abanto para los 50 días = 1.9601% (con esta tasa se halla el
valor actual de los 16 cupones y del nominal para hallar el precio).
Resolviendo el precio será igual a 10851.88
7. Un inversionista compro por S/. 1097.73 un bono de valor nominal S/.
1000, que pagaba una tasa de 9.5& anual. Un baño mas tarde, después de
haber cobrado el cupón correspondiente, lo vende a otro inversionista
que espera obtener por sus inversiones una tasa de 6.5% anual.
Si el bono para cupones anuales y fue vendido faltando tres años para su
redención ¿Cuál es la rentabilidad anual que obtuvo el primer
inversionista en su operación de compra-venta del bono?
Solución:
En primer lugar, calculamos el precio P que paga el segundo inversionista; para
ello consideramos el flujo de caja:
Con calculadora científica:
95 PMT; 3 n; 6.5 i%; 1000 FV
PV = 1079.45 = P (dinero que recibe el primer inversionista)
En consecuencia, el primer inversionista desembolso S/. 1097.73 para obtener
luego de un año: S/. 1079.45 + S/. 95 = S/. 1174.45; por lo tanto, la rentabilidad
anual que obtuvo fue:
17
9595 95
P
1000
1 2 30
MATEMATICA FINANCIERA I
Rentabilidad = 1174.45 – 1097.73 = 6.9890% anual
8. El señor Black compro el día 01/07/2003, en el mercado primario, 20
bonos serie “C” de la segunda emisión de la empresa MERCE S.A.
Las características de estos bonos son:
Valor nominal : S/. 10000
Tasa de interés : 74.9% efectivo anual
Pago de intereses : Trimestral
Fecha de emisión : 01/07/2003
Fecha de Redención : 01/07/2005
El 25 de abril de 2004decide negociarlos en la Bolsa de Valores de Lima. En
ese mimo día, los bonos son comprados por el señor White, de modo tal que
este obtendrá una rentabilidad de 90.12% anual en esta operación.
Si en el precio que pactan los señores Black y White no se incluyen los
intereses corridos y se sabe que la comisión SAB, la cuota a la BVL y el aporte
a la CONASEV suman 2.95% (incluyendo el IGV correspondiente), hallar el
precio pagado por cada bono y la TIR obtenida por el señor Black en esta
operación (asumir meses de 30 días).
Solución:
En primer lugar calcularemos el desembolso (D) realizado por el señor White por
la compra de los bonos deben ser equivalentes con la cantidad que desembolso
por la compra de los mismos.
En otras palabras, deben ser iguales en valor actual o valor futuro a la tasa de
rentabilidad que el señor White desea por su inversión, es decir, a la tasa de
90.12% anual.
Hallando algunos valores:
18
1097.73
MATEMATICA FINANCIERA I
Tasa trimestral = (1.749)1/4 – 1 = 0.15%
Interés trimestral = 1000 (0.15) = 150
Tasa trimestral demandada por el señor White:
I = (1.9012)1/4 – 1 = 17.42% trimestral
Tasa por 65 días:
I = (1.1742)65/90 – 1 = 0.1230 (12.30% por 65 días)
El flujo de caja correspondiente a un bono será:
Hallando equivalencia:
D = VA (flujo de ingresos)
D = 965.42
Sin embargo, cabe mencionar que este desembolso debe incluir, además del
precio pactado, las comisiones y los intereses corridos a la fecha de la
transacción.
Los intereses corridos por los 25 días se calculan utilizando el método
exponencial:
Intereses = 1000 (1.15)25/90 – 1000 = 39.59
Por lo tanto, debe cumplirse la siguiente igualdad:
965.42 = 39.59 + P + (0.00295)P
19
90 días
65 días
D
1000
150150150150150
Interés Precio Comisiones + IGV
MATEMATICA FINANCIERA I
P = 923.11
Por lo tanto, S/. 923.11 es el precio pactado por cada bono.
Dado que la SAP cobra tanto al que vende como al que compra, es de esperar
que el señor Black reciba una cantidad (C) diferente que el precio pactado:
C = 923.11 – (0.0025) 923.11 – 0.18 (0.0025) 923.11 + 39.59
C = 960
El flujo de caja para el señor Black será:
Planteando equivalencia:
i = 4.12% mensual
Por lo tanto, la TIR que obtiene el señor Black es de 4.12% mensual.
9. El 30 de julio de 2002, la empresa Metales Arequipa S.A. (MASA) decidió
adquirir, en el mercado primario de la Bolsa de Valores de Lima, bonos de
2 emisiones subordinadas emitidas por el Banco de Negocios de los
Andes (bonos de la series A y B) esperando obtener el mismo
rendimiento en ambas. En las dos emisiones, los bonos tenían un valor
nominal de US$ 1000por bono y estaban sujetas a una tasa de interés de
12% nominal anual pagaderos trimestralmente. La fecha de redención de
20
1000
150 150150
960
90 días 25 días
MATEMATICA FINANCIERA I
la serie Aes a los 3 años y la de la serie B un año después. La empresa
MASA pago un precio de US$ 1047.23 por cada bono de la serie A. la
comisión del agente de bolsa fue 0.40%, la cuota de la Bolsa de Valores
fue de 0.04%, la contribución a la CONASEV fue 0.08% y suma que se
pago un IGV del 18%. Considere todos los meses de 30 días.
a) ¿Cuál es la tasa de rendimiento anual esperado por MASA sobre ambos
bonos?
b) ¿Cuál fue el desembolso hecho por MASA por los bonos de la serie B?
c) El día 12/11/2003 MASA vendió los bonos, a través de una SAB, a un
inversionista que tenia una tasa de rendimiento esperando del 10% anual,
¿en qué porcentaje sobre (o bajo) la par se colocaron cada uno de los
bonos?
Solución:
a) Si el precio pagado fue US$ 1047.23, el desembolso D que considera a la
suma de las comisiones mas el IGV sobre ellas será:
D = 1047.23 ((0.0052) (1.18) + 1 ) = 1053.66
De este modo el flujo de caja será:
0 1 12
Utilizando calculadora financiera:
(-) 1053.66 CFj; 30 CFj; 11 Nj; 1030 CFj;
21
1053.66
1000
3030
MATEMATICA FINANCIERA I
IRR = 2.4776%
Por lo tanto, el rendimiento trimestral esperado de MASA por ambos bonos fue
2.4776% o, equivalente, 10.2848% anual.
b) El desembolso D pagado por MASA por los bonos de la serie B debe ser:
i = 2.4776% trim.
0 CFj; 30 CFj; 15 Nj; 1030 CFj; 2.4776 i%;
VPN = 1068.32 =D
c) Para el bono de la serie A:
i = 10% anual = 2.4114% trim.
Usando la calculadora financiera primero se actualiza al punto 5 y luego se lleva a
valor futuro por 78 días:
0 CFj; 30 CFj; 6 Nj; 1030 CFj; 2.4114 i%;
VPN = 1037.50 D = 1037.50 (1.024114) 12/90 = 1040.80
Calculo de los intereses corridos por 12 días:
1000 ((1.03)12/90 – 1) = 3.95
22
30
78d
5 6 12
12d
1030
MATEMATICA FINANCIERA I
De este modo deberá cumplirse la siguiente igualdad:
1059.64 = P (1+ 0.0052 * 1.18) + 3.95 P = 1049.25
Por lo tanto, el inversionista compro los bonos de la serie B a una cotización de
4.925% sobre la par.
d) Calculando el desembolso D:
D = 1025.25 (1 + 0.0052 * 1.18) + 3.95 = 1031.54
La ecuación de valor será:
1031.50 = +
Resolviendo y utilizando interpolación se obtiene una tasa de:
i = 2.56% trim. = 10.64% anual.
10.La compañía Teléfonos Nacionales emitió bonos de $ 100 que vencen a la
par el 1 de julio de 2012, con intereses del 10.4% anual pagaderos el
primer día de los meses de enero, abril, julio y octubre de cada año, es
decir, cada trimestre ¿Cuánto deberá pagarse por cada bono el 1 de
octubre de 2007 si se pretenden rendimientos del 15% anual compuesto
por trimestre? ¿A cuanto ascienden las utilidades para el inversionista
que los compra?
a) Para encontrar el precio de compraventa C del bono, se reemplazan los
siguientes valores en la ecuación.
M por 100, el valor de redención.
i por 0.15, la tasa de rendimiento anual.
p por 4, porque los cupones y la frecuencia de conversión son trimestrales.
i/p = 0.15/4 = 0.0375 por trimestre.
R por 2.60, ya que R depende del valor nominal y de la tasa de interés r y
R = 100(0.104/4)
23
10001 - (1/1 + i) 730
(1 + i) 78/90 1 - (1/1 + i) (1 + i) 618/90
MATEMATICA FINANCIERA I
R = $2.60
El plazo en trimestres es np = 19, los que faltan para la redención del bono, es
decir, los trimestres que hay entre el 1 de octubre de 2007 y el 1 de julio de 2012,
inclusive.
El valor de compraventa de cada bono es, por lo tanto:
C = 100(1 + 0.104/4)-19 + 2.60 1 – (1.0375)-19
C = 100(0.496850805) + 2.60 (13.41731187)
C = 49.6850805 + 34.88501086
C = 84.57009135
C = $84.57 redondeando
b) Para conocer la utilidad neta para el inversionista, es decir, los intereses, se
reta el valor de compraventa del bono total que recibirá después por el bono
y los 19 cupones.
Utilidad = 100 + 19(2.60) – 84.57 = $64.83
Bono cupones inversión utilidad
11.Obtenga la tasa de interés semestral con la que Petróleos de la Nación
emitió bonos con valor nominal de $100, si se adquieren con un
descuento total del 18%, 3 años antes de su redención. Suponga que se
generan rendimientos del 21% anual capitalizable por semestre.
Solución:
Entonces, al reemplazar en la ecuación queda:
82 = 100(1 + 0.21/2)-6 + R
82 = 54.93211643 + R (4.292179388)
24
1 - (0.105)-6
0.0375
0.105
MATEMATICA FINANCIERA I
De donde:
R = (82 – 54.93211643)/4.292179388 o
R = 6.306326258, es el valor de cada cupón semestral. Entonces redondeando R,
la tasa de interés semestral es:
6.3063 = 100 (r/2) R =N(r/p)
De donde:
6.3063 (2)/100 = r
R = 0.126126 o 12.6126% anual, aproximadamente
Note que r es menor que i, ya que se compraron con descuento.
12.Calcular la prima o descuento y las utilidades que genera para un
inversionista cada bono que emitió la compañía Ferrocarriles de la
Nación, con valor nominal de $100. Suponga que se redimen a 117. El 7
de agosto de 2014, que pagan intereses del 13.9% en cupones que
vencen el séptimo día de los meses de febrero y agosto de cada año, que
la tasa de rendimiento es del 12.5% compuesto por semestre y que se
negocian el 7 de febrero de 2007.
Solución:
El plazo es de 15 semestres, los que hay entre el 7 de febrero de 2007 y el 7 de
agosto de 2014.
El valor de cada cupón es:
R = 100(0.139/2) R = N (r/p)
R = 6.95
Porque se redimen a 117, el monto al final del plazo es:
M = 100(1.17) o M = 117
25
MATEMATICA FINANCIERA I
El valor de compraventa es entonces:
C = 117 (0.402778165) + 6.95 (9.555549357)
C = 47.12504533 + 66.41106803
C = 113.5361134
C = $ 113.5361
El descuento es la diferencia entre este valor y el de redención:
Descuento = 117 - 113.5361 o $3.4639
La utilidad para el inversionista por cada bono que compra es:
U = 15(6.95) + 117 – 113.5361
U = $107.7139
13.Hallar el precio que debe pagarse el 10 de abril, por un bono de $500 que
se cotiza a 92, si el valor del cupón es de $20 pagaderos el 1ro. De enero
y el 1ro. de julio.
Solución:
Valor de cotización = 500(0,92) = $460
Del 1ro. de enero al 10 de abril, han transcurrido 100 de los 180 días del
periodo, o sea, k=5/9; aplicando la fórmula (69), tenemos,
P= 460 + 5/9 (20) = $471,11
14.Hallar el rendimiento de un bono de $1,000 al 18%, con cupones
trimestrales, redimible a la par dentro de 5 años si se cotizan a 92. Se
supone en fecha de cupón.
Solución:
26
MATEMATICA FINANCIERA I
P = C + (Fr – Ci) 1−(1+i)−n
i
P = 920; C=1,000 ;Fr=1000 (0,18)4
= 45, n=5(4) = 20 trimestres
900=1000 + (45-1000i).1−(1+i)−20
i
15.Un bono de $1000 al 6% anual convertible semestralmente, con
vencimiento el 1ro. de julio, puede ser redimido a la par el 1ro. de julio de
1990 o en cualquier fecha posterior. Hallar el precio de compra en enero
1ro. de 1985 para que el rendimiento sea del 5%. Se escoge como fecha
de redención la más cercana, o sea, el 1ro. de julio de 1990.
Solución:
P= C+(Fr – Ci) a n i
C=1000; F=1000; r=0,03; i=0,025, n=11
P=1000+(30-25) a 11 0,025
P= 1000 + 5 (9,5142) = $1047,57
16. ¿Cuánto se puede pagar el 1ro. de julio de 1981 por un bono de $1000 al
8% nominal convertible semestralmente, redimible con premio del 5% el
1ro. de julio de 1995, para obtener un rendimiento del 14% efectivo
anual?
Solución:
27
MATEMATICA FINANCIERA I
P = C + (Fr-Ci) a n i
C= 1050; Fr=1000(0,04) = 40, n028; i=√1,14 - 1 = 0,0677
P=1050 + (1000(0,04) – 1050(0,0677) a 28 0,0677
a 28 0,0677 = 1−(1,0677 )−28
0,0677 = 12,4114805
P= $664,19
17.Para un bono de $1000 con 27%, con cupones mensuales, hacer una
tabla de liquidación por días transcurridos.
Operando con una calculadora con función Xy y memoria.
Solución:
Interés mensual= 0,2712
= 0,0225
Cupón diario = 1000 (0,0225) = $22,50
Interés efectivo diario = (1,0225) 130
-1 = 0,000742
Se lleva a memoria 1,000742
Día Operaciones Intereses $ (valor
cupón)
1
1,000742
0,74
2 1,000742(MR)= 1,40
28
MATEMATICA FINANCIERA I
1,001485
3 1,001485(MR)=
1,002228
2,23
4 1,002228(MR)=
1,002971
2,97
.
.
.
Así sucesivamente
29 =1,0217
43
21,74
30 1,021743(MR)
=1,022500
22,50
DíaTasa efectiva
%
Valor cupón
según día
1
2
3
4
.
.
.
0,000742
0,001485
0,002228
0,002971
.
.
.
0,74
1,40
2,23
2,97
.
.
.
29
MATEMATICA FINANCIERA I
29
30
0,021743
0,022500
21,74
22,50
Completa los valores de los días 5 al 28
18.Un bono de $1000 al 6%, convertible semestralmente, es redimible al
105% de su valor nominal, opcionalmente, en abril 1ro. de 1990, con
vencimiento en abril 1ro. del año 2000. Hallar el valor en abril 1ro. de
1974, para que dé un rendimiento del 8%.
Se calcula el precio en ambas fechas, la opcional de redención y la de vencimiento
y se escoge el menor valor. Fecha abril 1ro. de 1990.
Solución:
P = C + (Fr – Ci) a n i
C = 1000(1,05) = 1,050; Fr = 1000(0,03) = 30; i= 0,04; n = 16(2) = 32
30
MATEMATICA FINANCIERA I
P=1050 + (30 – 42)a 32 0,04 = 1050 – 12 (17,8735) = $835,52
Para la fecha de vencimiento abril 1ro. del 2000; n = 52
P = 1050 – 12 a 52 0,04 = 1050 – 12(21,7476) = $789,03
El comprador debe pagar el menor valor o sea $789,03 y así asegura, por lo
menos, el rendimiento del 8% para su inversión.
19. Un bono de $1000 al 5% convertible semestralmente, es redimible a la
par el 1ro. de enero de 1991. Es comprado el 1ro. de julio de 1988 por un
inversionista que desea un rendimiento del 7%. Hacer el cuadro de
acumulación.
Solución:
Calculamos el precio de compra:
P = 1000 + (25-35)a 5 0,035
P = 1000 – 10(4,515) = $954,85
Perio
do
Valor
en
libros
a
princi
pio
Intere
ses
sobre
invers
ión
Intere
ses
del
bono
Acumula
ción
Valo
r en
libro
s a
final
de
31
MATEMATICA FINANCIERA I
de
perio
do
perio
do
1
2
3
4
5
954,8
5
963,2
7
971,9
8
981,0
0
990,3
4
33,42
33,71
34,02
34,34
34,66
25,00
25,00
25,00
25,00
25,00
8,42
8,71
9,02
9,34
9,66
963,
27
971,
98
981,
00
990,
34
1000
,00
20. Resolver el problema 7 por interpolación utilizando los precios en la
fecha de cupón más próxima. Por el método de los promedios se obtuvo
el rendimiento 5,51%. Calculamos el precio de compra para j(2) = 6% y
j(2) = 5%
Solución:
El precio P1 en julio 1ro. de 1985, para el 55 de rendimiento, es:
P1=C+(Fr – Ci) a n i = 1000 + (25-25) a 38 0,025=$1000
Para el rendimiento del 6% se tiene el precio P2
P2= 1000 + (25-30) a 38 0,03=1000 – 5(22,4925) =$887,54
Interpolando entre P1 y P2 se tiene:
1000 correspon
de a
0,0
5
937,5
0
correspon
de a
X
887,5 correspon 0,0 887,5 correspon 0,06
32
MATEMATICA FINANCIERA I
4 de a 6 4 de a
112,5
4
es a -0,01 como 49,96 es X=0,0
6
112,46 = 49,96
-0,01 x – 0,06
x-0,06 = −0,01(49,96)112,46
= - 0,004442
21.Un bono de $1000 al 16% con fechas de cupón 1ro. de febrero y 1ro. de
agosto, vence a la par el 1ro. de agosto del año 2010, pero puede ser
redimido desde el 1ro. de agosto del año 2000. Hallar el precio de compra
el 1ro. de agosto de 1984, para que dé un rendimiento del 28% por lo
menos, y hallar la utilidad del inversionista si el bono es redimido el 1ro.
de agosto del año 2005.
Solución:
Puesto que el interés que paga el bono es menor que el rendimiento deseado,
debe calcularse el precio en la última fecha de redención que es, indudablemente,
el más bajo.
P = C + (Fr – C) a n i
C = 1000; Fr = 1000(0,08) = 80; i= 0,14; n052 semestres.
33
MATEMATICA FINANCIERA I
P=1000 + (80 – 140) – 1−(1,14 )−52
0,14
P = 1000 + (-60)(7,135008)
P = $571,90
El 1ro. De agosto del año 2005 el valor en libros es
P=1000 + (80 – 140) – 1−(1,14 )−10
0,14
P = 1000 – 60 (5,216116)
P = 687,03
Puesto que el bono es redimido por $1000, la utilidad es de $312,97
22.Una compañía a emitido bonos para refinanciar su pasivo de corto plazo.
el valor nominal de casa bono es de $y ofrece una TEA por cupón anual
de % su fecha de redención es de años. La tasa del mercado es una TEA
de %
I = 15%(1000) =150
M =1000
Kb =15%
B0 = 150 1-(1+0,15)-15 +1000(1+0,15) -15
0,15
B0 =150(5,8474)+ 1000(0,1229)
B0 = 877,1 +122,89
B0 = $ 999,98 =$ 1000
0 1 2 15
34
MATEMATICA FINANCIERA I
B0 $150 $150 $150
$150
$1150
23.Considerando los datos del ejemplo anterior, el costo de oportunidad de
alternativas del mercado de similar riesgo (Kb) permanece constante a
una TEA de 15% ¿Cuál debería ser el valor del bono un año después?
B0 =150 1-(1+0,15) -14 +1000(1+0,15) -14
0,15
B0 =150(5,7245)+ 1000(0,1413)
B0 = $ 999,99 =$ 1000
24.Con los mismos datos del ejemplo anterior: La tasa de la economía cae
un año después que los bonos fueron emitidos y como resultado Kb cae
de 15 % a 10%.
35
B 0 = VALOR DEL BONO HOY O VALOR DE COTIZACION
I = IMPORTE DE INTERES GANADO CADA AÑO
M = VALOR NOMINAL PAR DE MADURACION DEL BONO
Kb = TASA DE INTERES DEL MERCADO O COSTO DE OPORTUNIDAD
DE ALTERNATIVAS DE SIMILAR RIESGO
N = NUMERO DE PERIODOS HASTA QUE EL BONO
MATEMATICA FINANCIERA I
B0 =150 1-(1+0,10)-14 +1000(1+0,10) -14
0,10
B0 =150(7,3667)+ 1000(0,2633)
B0 = $ 1368,33
DATOS
0 CF
150 CFJ
13MJ
1150 CFJ
10 i%
NPV= 1368,33
25.Asumamos que la de interés del Mercado de alternativas de similar riesgo
permanecen constantes a una TEA de 10 % para los próximos 13 años
¿Qué pasara con el precio de los bonos?
Solución:
B0 = 150 1-(1+0,15)-13 + 1000(1+0,10) -13
0,10
B0 = 150(7,1034)+ 1000(0,2897)
B0 = $ 1355,16
36
MATEMATICA FINANCIERA I
El valor del bono cayo en $1368,33 - $1355,16 =$13,17
26. Si usted compra el bono al precio de $1368,33 y lo vende un año mas
tarde, recibirá $ 150 de ingresos por interés, pero perderá $13,17 o un
retorno total de $136.90.
Interés o rentabilidad ganadas: $150/ $1368,33 =0,1096 =10,96 %
Capital ganado: $13,17/ $1368,33=0,0096 =0,96 %
CALCULO TASA DE INTERES DEL BONO
Total tasa de retorno: $ 136,90 / $ 1368,33 =0,100 =10 %
27.Usted tiene un bono que se redime a 14 años a una TEA de 15% de
interés por cupón, al valor par de $1000. El precio del bono es $ 1368,31
¿Cuál es la tasa de interés que usted ganaría si mantuviera en su poder
del bono hasta su maduración o reducción.
Solución:
B0 =1368,31 = 150 + 150 +… + 150 + 1000
(1+ Kb) 1 (1+ Kb) 2 (1+ Kb) 14 (1+ Kb) 14
$ 1368, 31 = 150 1-(1+ Kb)-14 + 1000 (1+ kb) -14
Kb
37
MATEMATICA FINANCIERA I
28.Lo que tenemos que hallar es Kb
Cuando no se cuenta con una calculadora financiera ni alguna formula de
aproximación, se tiene que hallar el valor “tanteando” .Se debe calcular
con diferentes tasas de hasta el valor aproximado.
Solución:
Iniciemos con 12%
$1368,33 =150 1- (1+ 0.12) -14 + $1000 (1+0,12)-14
0.12
$1368,33 = 150 (6,6262) +$ 1000(0,2046)
$1368,33 =$ 1198,63 por lo tanto no es 12%
Calculemos con 10%
$1368.33 = 150 1- (1+ 0.10)-14 + $ 1000 (1+0,10)-14
0.10
$1368,33 = $1368.33
29.Un bono de minera santa Rita se cotiza hoy al 109,246 % de su valor
nominal. Al bono le resta 6 años y la rentabilidad al vencimiento 8% anual
¿Cuál debe ser el tipo el interés por cupón de esos bonos? El valor
nominal del bono es $ 1000.
$ 1092,46 = x 1- (1+ 0.08)-6 + $ 1000 (1,08)-6
0.08
38
MATEMATICA FINANCIERA I
X= $100
30.Se ha adquirido un bono a $ 948,46 que ofrece una TEA de 6% de interés
por cupón , con una redención de 3 años
a) ¿Cuál es la nueva rentabilidad al vencimiento del bono?
0 1 2 3
-$948,46 $ 60 $ 60 $60 +
$1000
1060
31.Compañías unidad emitió bonos por la suma de 2000000, aun valor
nominal de $ 1000 cada uno ofrece un interés por cupón de una TEA de
7% y le queda cinco años para su redención.
a) ¿Cuál es el interés por cupón que reciben los bonistas?
I = 0,07 ($ 1000) =$7000
b) Si los intereses se pagan anualmente ¿Cuál es el precio del bono, si al tentativas de bonos de similar riesgo ofrecen una TEA de 9 %?
B0 = $70 (1-(1+0,09) -5) + $ 1000 (1,09) -50,09
B0 =$272,28+ $ 649,983
B0=$922,21
RENTABILIDAD DE UN BONO DE CUPON SEMESTRAL
32.Calcular la rentabilidad de un bono a 5 años, cupón del 5% semestral que
se adquiere por el nominal.
39
MATEMATICA FINANCIERA I
Solución: TIR 10.25 efectivo anual
Cupón% 5%
Nominal 100.00
Cupón 5.00
semestre Flujo caja
0 -100
1 5.00
2 5.00
3 5.00
4 5.00
5 5.00
6 5.00
7 5.00
8 5.00
9 5.00
10 105.00
PRECIO DEUN BONO EN EL MERCADO SECUNDARIO
33.Determinar el precio de adquisición de un bono en el mercado secundario
que cotiza al 3,4% efectivo anual y al que restan para su amortización 3
años y 9 meses. El cupón es del 1,5% semestral.
TIR 3.40%efectivo anual
TIR 0.8394% efectivo
40
Por ser un bono estándar la TIR se puede calcular simplemente dividiendo el cupón entre el nominal. o bien diciendo que la TIR coincide con el cupón expresado en porcentaje . Pero en este caso al ser semestral los flujos , la TIR es semestral .Finalmente hemos de anualizarla
TIR semestral 5%
TIR 10.25%
MATEMATICA FINANCIERA I
trimestral trimestral
Tiempo3 años y 9
mesesTrimestres 15 TrimestresCupón % 1.50% semestralCupón 1.50 semestralesNominal 100.00 (*)
(*)El enunciado no da el nominal. Supondremos que es de 100 €, así el precio se
podrá interpretar como un porcentaje del nominal.
Precio = 99.45
El precio del bono es el Valor Actual de los Flujos de Caja
que promete el bono a futuro, descontados a su TIR .Ha
sido necesario trabajar con periodicidad trimestral porque
el tiempo más pequeño entre dos flujos de caja es el
trimestre. Concretamente, el tiempo entre la adquisición y
el cobro del primer cupón. Además para que el VAN
funcione es imprescindible poner flujo de caja cero en los
trimestres donde no se paga cupón. Si esas celdas se
dejan vacías la formula no funciona bien.
Sabemos que el tiempo entre la adquisición y el cobro del
primer cupón es de un trimestre ya que la amortización del
bono coincide con el pago del último cupón, y contando
los periodos hacia atrás en el tiempo llegamos a la
conclusión de que el bono se adquiere en t=1/2
semestres.
PRIMA DE AMORTIZACION
34.Un inversor adquiere un bono en el mercado secundario por el nominal.
El bono paga un cupón semestral del 6% nominal anual, venciendo el
41
Trimestre
Flujos Caja
0 - P1 1.50 €2 0.00 €3 1.50 €4 0.00 €5 1.50 €6 0.00 €7 1.50 €8 0.00 €9 1.50 €
10 0.00 €11 1.50 €12 0.00 €13 1.50 €14 0.00 €15 101.50 €
MATEMATICA FINANCIERA I
próximo dentro de 6 meses, y se amortiza dentro de 18 meses, con una
prima de amortización de 10 €. El nominal del bono es de 1.000 €. Calcular
la rentabilidad del bono.
Solución:
TIR 6.7554 Efectivo anual
TIR Semestral 3.32% efectivo semestral
NOMINAL DE BONO
35.Se puede adquirir un bono en el mercado secundario por P €. Su nominal
es N € y vence dentro de 3 años y 2 meses. El bono proporciona un
cupón semestral del 8% nominal anual. El primer cupón por importe de 50
€ se cobrará dentro de p meses. Calcular N.
Solución: Nominal 1250.00
Cupón nominal % 8% nominal anualm 2 numero de sub periodos contenidos en el periodoCupón semestral % 4%Cupón 50 €
Cupón = cupón(%) x nominal
42
Cupón nominal % 6%
nominal anual
Cupón % 3% semestralNominal 1,000.00Cupón 30.00 semestralPrima Amort. 10.00Precio % 100%Precio 1,000.00
Semestre
Flujo Caja
0- 1,000.00
1 30.00
2 30.00
3 1,040.00
MATEMATICA FINANCIERA I
Nominal 1250.00
DEUDA PERPETUA
36.Determinar el precio de mercado de un bono de deuda perpetua con
cupón anual del 3%, TIR del 10%, nominal de 1.000 € y sabiendo que hoy
cobrará el cupón.
Solución: Precio 330.00
El precio de un bono es el valor actual de los flujos de caja futuros descontados a su TIR.
43
Cupón % 3% anualNominal 1,000.00Cupón 30.00 anualesTIR 10%
Año PrestaciónContraprestació
n0 - P 301 302 303 304 305 306 307 308 309 30
10 3011 3012 3013 3014 3015 30: :: :: :
∞ 30
MATEMATICA FINANCIERA I
37.Una inversión ofrece rendir $3000 el primer año, $ 4000 el segundo y $
3000 el tercero. Hoy esos flujos esperados valen $ 9076.77 considerando
una tasa de descuento del 5%.
Solución:
La fórmula para calcular el valor presente de una cantidad de dinero es:
VP = F
(1 + r)T
Donde:
F=Cantidad futura
r = Tasa de descuento
T = Tiempo
El VP permite conocer el valor de diferentes pagos futuros.
VP =$ 2857.14+$ 3628.12+$ 2591.51
VP
=
$ 9076.77
Hablando de bonos, el valor presente permite conocer su precio
considerando los diferentes pagos de intereses y del principal al
44
VP =
$ 3000
(1 +
0.05)
+ $ 4000
(1 + 0.05) 2
+ $ 3000
(1 + 0.05) 3
MATEMATICA FINANCIERA I
vencimiento. La tasa de descuento es la tasa pagada por la alternativa de
ahorro más atractiva.
38.Se tiene un bono de $10,000 que paga el 5% anual y vence dentro de dos
años. ¿Cuánto se debería pagar por el bono si la tasa que ofrecen los
depósitos bancarios es del 6%?. Los diferentes flujos del bono deben
traerse al presente a la tasa del 6% como sigue
Solución:
VP = F
(1 + r)T
VP =
$ 500
(1 +
0.06)
+ $ 500
(1 + 0.06) 2
+ $ 10000
(1 + 0.06) 2
VP =$
471.70
+$ 445+$ 8899.97
VP =$ 9816.67
39.El precio del bono debería ser como máximo: $ 9816.67. Un bono tiene
un valor nominal o principal de $20,000 y paga intereses del 5%. La yield-
to-maturity (YTM) es 4% y el vencimiento es dentro de cinco años. El
bono pagará su primer cupón de $1000 dentro un año, $1000 dentro de
dos años, $1000 dentro de tres años, $1000 dentro de cuatro años, $1000
y $20,000 al final del quinto año.
45
MATEMATICA FINANCIERA I
A continuación se calcula el valor presenta de cada uno de los pagos descontados
al YTM de 4%:
Solución:
$ 10000
1.04= $ 961.54
$ 10000
1.04 2= $ 924.56
$ 10000
1.04 3= $ 888.99
$ 10000
1.04 4= $ 854.80
$ 10000
1.04 5= $ 812.93
$ 20000
1.04 5= $ 16438.54
La duración será igual al promedio ponderado de los diferentes pagos:
D =1*$961.54 + 2*$924.56 + 3*$888.99 + 4*$854.80 + 5*$821.93 + 5*$16438.54
$961.54 + $924.56 + $888.99 + $854.80 + $821.93 + $16438.54
D = 4.56 años
Cupón que percibe el inversor
40.Don Andrés adquiere un bono en el mercado primario por 970. El bono es
de 1.000 nominales y proporciona un cupón de C durante 4 años,
amortizándose por el nominal. Todos los cupones se ingresan en una
cuenta corriente bancaria que proporciona una rentabilidad del 2%
efectivo anual. Si Don Andrés obtiene una rentabilidad del 4% efectivo
anual durante los 4 años por sus 970 , determinar el importe del cupón
46
MATEMATICA FINANCIERA I
Solución:
Año Flujo Caja Flujos Caja V.F. C/C0 -970 - 970.00 €1 C 32.70 € 34.70 €2 C 32.70 € 34.02 €3 C 32.70 € 33.35 €4 1000+C 1,032.70 € 1,032.70 €
Meses transcurridos
41.Doña Isabel adquiere un bono de deuda perpetua en el mercado
secundario por 1.349,89. El bono paga un cupón semestral de 20 . La TIR
del bono en el momento de la compra es del 3%. Calcular cuantos meses
transcurren desde la compra hasta el cobro del primer cupón.
Solución:
SemestreFlujos Caja
0
47
Precio 970.00 €Nominal 1,000.00 €Tiempo 4 años
C/C 2%efectivo anual
Rentabilidad inversor 4%Cupón 32.70 €
Precio 1,349.89 €Cupón 20 € semestralTIR 3% efectivo anualTIR semestral 1.4889%
efectivo semestral
TIR mensual 0.2466% efectivo mensualVencimiento Perpétua
MATEMATICA FINANCIERA I
1 202 203 204 205 20: :
∞ 20+N
Valor Actual de la Renta Perpetua en t=1 semestres 1,363.26 0
1 Valor de la Renta 1 mes antes 1,359.91 1
2Valor de la Renta 2 meses antes 1,356.56 2
3Valor de la Renta 3 meses antes 1,353.22 3
4Valor de la Renta 4 meses antes 1,349.89 4
5Valor de la Renta 5 meses antes 1,346.57 5
6Valor de la Renta 6 meses antes 1,343.26 6
7Valor de la Renta 7 meses antes 1,339.95 7
8Valor de la Renta 8 meses antes 1,336.66 8
Precio de venta
42.Se compra un bono de nominal 1.000 en el mercado secundario el 1 de
julio de 2004 por 922. El cupón semestral es del 5% nominal anual y el
próximo pago se efectuará el 1 de enero de 2005. Se vende el bono el 1 de
mayo de 2005 por un precio P, obteniéndose una rentabilidad del 5%
efectivo anual. Calcular P.
Solución:
Nominal 1,000.00Fecha Compra 01/07/2004Precio 922.00Fecha cobro 1er cupón 01/01/2005Fecha Venta 01/05/2005
48
MATEMATICA FINANCIERA I
Rentabilidad obtenida % 5% efectivo anualCupón semestral nominal 5% nominal anual
Cupón semestral % 2.5%efectivo semestral
Cupón semestral 25.00
Fecha Flujo Caja Flujos de Caja01/07/2004 - 922.00 - 922.0001/01/2005 25.00 25.0001/05/2005 +P 934.83
Cupón corrido:
43.Se adquiere el 17 de octubre de 2004 un Bono del Estado que cotiza a un
precio ex cupón del 105,874% (1058,74 €). Cupón del 4,3% pagadero el 15
de junio de cada año, y con vencimiento el 15 de junio de 2007. Calcule el
cupón corrido, el precio de adquisición del bono y su TIR.
Solución:
TIR 2.0066%efectivo anual
Precio 1,073.35 €Cupón Corrido 14.61 €
Nº de días desde el último cupón 124Nº de días del periodo de cupón 241Total días del periodo entre cupones 365
Fecha Flujos caja15-jun-04
17-oct-04- 1,073.35 €
49
Fecha adquisición 17-oct-04Pex % 105.874%Pex 1,058.74 €Nominal 1,000.00 €Cupón % 4.30%Cupón 43.00 €Pago cupón 15-junVencimiento 15-jun-07
MATEMATICA FINANCIERA I
15-jun-05 43.00 €15-jun-06 43.00 €15-jun-07 1,043.00 €
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN 2
1. DEFINICIÓN DE BONOS 3
2. CLASES DE BONOS 4
3. CONTENIDO DE LOS BONOS 5
4. ¿POR QUÉ INVERTIR EN BONOS? 5
4.1 Claves para escoger el Bono que más le conviene 6
4.2 La tasa de interés: 6
4.3gMaduración: 6
4.4 Bonos con contratos: 6
4.5 Calidad del crédito: 7
4.6vPrecio: 7
4.7wYield: 7
4.8 Tasas tributarias e impuestos. 8
5. VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA EMISIÓN DE BONOS 8
A) Ventajas para las empresa emisoras 8
B) Ventajas con los inversionistas 9
C) Desventajas para las compañías 9
D) Desventajas para los inversionistas 9
6. TIPOS DE BONOS: 9
a. Bonos par 10
b. Bonos al descuento 10
c. Bonos de interés capitalizados 10
d. Canje por bonos con descuento 10
50
MATEMATICA FINANCIERA I
EJERCICIOS 11
BIBLIOGRAFIA 50
51