Trabajo de Conductividad

Laboratorio de Ingeniería Química I Determinación de la Conductividad

Tabla de contenido

PAGINA DEL TITULO…………………………... 1

TABLA DE CONTENIDO……………………….. 2

RESUMEN ......………………………………….. 3

INTRODUCCIÓN………………………………… 4

PRINCIPIOS TEÓRICOS………………………… 5

DETALLES EXPERIMENTALES………… ……. 16

TABULACIÓN DE DATOS Y RESULTADOS…. 22

DISCUSIÓN DE RESULTADOS………………… 23

CONCLUSIONES……………………………….. 24

RECOMENDACIONES…………………………. 25

BIBLIOGRAFÍA………………………………….. 26

APÉNDICE……………………………………….. 36

2


Resumen

El presente informe corresponde a la práctica de la Conductividad Térmica de un sólido.

El proceso de transferencia de calor se lleva a cabo por enfriamiento de una muestra

cilíndrica que se sumerge en un baño de temperatura constante.

La variación de la temperatura con el tiempo de enfriamiento, se determina en el centro

del cilindro con la ayuda de un termómetro digital.

Los cálculos son realizados con el fin de determinar el coeficiente de transferencia de

calor de un cuerpo asumiendo que no variará para otro de igual geometría, cuya

conductividad térmica se quiere encontrar.

Las conductividades halladas por el Método Gráfico fueron de 19.84 W/(m*K) para la

primera corrida, de 55.41 W/(m*K) para la segunda corrida y de 26.8 W/(m*K) para la

tercera corrida.

Podemos concluir que el coeficiente de transmisión de calor por convección varía

fuertemente con la temperatura.

Asimismo se recomienda tener un especial cuidado en la toma de temperaturas ya que

este parámetro es un factor importante para le determinación del coeficiente de

transmisión.

3


Introducción

En la práctica se planteó como problemática, la determinación de la conductividad

térmica para un metal (aluminio) cuya composición es desconocida a partir de un metal

(cobre electrolítico) cuyas propiedades físicas y composición se conocen.

Para la determinación de la conductividad térmica a partir del modelo para un sistema

con resistencia interna despreciable, la que se justifica cuando la resistencia térmica

externa entre la superficie del sistema y el medio que la rodea es grande comparada con

la resistencia interna del sistema que controla el proceso de transferencia de calor.

Al no tener los resultados esperados por el método mencionado anteriormente, se optó

por el método gráfico empleado en la Tesis: Conductividad Térmica de Sólidos de

Fernando Rodrigo Ballón, donde se obtuvo una determinada conductividad térmica la

cual no fue la esperada, y fue de 19.84 W/(m*K) para la primera corrida, de 55.41

W/(m*K) para la segunda corrida y de 26.8 W/(m*K) para la tercera corrida.

4


Fundamento Teórico

Transferencia de Calor:

Es aquella forma de energía que se transmite gracias a una diferencia de temperaturas.

Si 2 cuerpos se hallan en contacto, el calor se transmite de uno al otro directamente por

conducción. Cuando no están en contacto hay también una transmisión de calor, bien

sea por convección o por radicación.

Existen tres formas de transmisión térmica:

La radicación térmica, es un proceso por el cual fluye calor desde un cuerpo de alta

temperatura a un cuerpo de baja temperatura, cuando éstos están separados por un

espacio que incluso puede ser el vacío, el término radiación generalmente aplicado a

todas las clases de fenómenos de ondas electromagnéticas, pero en transferencia de

calor únicamente son de interés los fenómenos que son resultado de la temperatura y por

medio de los cuales se establece un transporte de energía a través del espacio. La

energía transmitida en esta forma recibe el nombre de calor radiante.

La convección térmica, es la transferencia de calor entre una superficie sólida y un

fluido. Se trata de una modalidad combinada, ya que el calor de la interfase sólido el

fluido se transfiere por conducción mediante colisiones o choques entre las moléculas

del sólido y las del fluido. Como resultado de estas acciones se produce en el fluido un

cambio de temperatura, y en consecuencia, una variación de la densidad, de lo que

resulta un movimiento del fluido. Ocurre un proceso de mezcla de las diversas

proporciones a alta y baja temperatura en dicho fluido, y se transfiere así la energía

térmica por transporte de masa de fluido.

La conducción térmica, este fenómeno es un proceso de propagación de energía en un

medio sólido, líquido o gaseoso, mediante comunicación molecular directa o entre

cuerpos a distintas temperaturas.

La transferencia del calor por medio de la conducción se logra a través de dos

mecanismos. El primero es la interacción molecular, en el cual las moléculas de niveles

5


energéticos relativamente mayores (indicados por su temperatura) ceden energía a

moléculas adyacentes en niveles inferiores. Este tipo de transferencia sucede en los

Sistemas que tienen moléculas de sólidos, líquidos o gases y en los que hay un gradiente

de temperatura.

El segundo mecanismo de transferencia de calor por conducción es el de electrones

"libres", los cuales se presentan principalmente en los sólidos metálicos puros. La

concentración de electrones libres varía considerablemente para las aleaciones metálicas

y es muy baja para los no metales. La facilidad que tienen los sólidos para conducir el

calor varía directamente con la concentración de electrones libres; en consecuencia, se

espera que los metales puros sean los mejores conductores de calor, hecho confirmado

por la experiencia.

Se ha mencionado que 1a conducción es principalmente un fenómeno molecular que

requiere de un gradiente de temperatura como fuerza motriz. Se atribuye a Fourier una

expresión cuantitativa que relaciona el gradiente de temperatura con 1a naturaleza del

medio conductor y la razón de la transferencia del calor; en 1822 presentó la relación

qx = k dT (5)

A dx

en que qx es la razón del flujo de calor en la dirección de las x en Btu/hr; A es el área

normal a la dirección del flujo de calor en ft2 dT/dx es el gradiente de temperatura en la

dirección de las x en °F-ft. y k es la conductividad térmica, que tiene unidades de

Btu/hr °F ,A 1a relación qx/A, que tiene unidades de Btu/hr-ft2 se le llama el flujo de

calor direccional en x. La expresión completa para el flujo de calor es

q = kVT (6)

A

en donde q es el vector de flujo de calor y VT es el gradiente de temperatura en forma

vectorial. El signo negativo es necesario en las ecuaciones (5) y (6) debido a que el

flujo de calor por conducción sucede en la dirección dé un gradiente de temperatura

decreciente.

6


Estas ecuaciones son respectivamente las formas escalar y vectorial la ecuación de la

relación de Fourier conocida en ocasiones como primera "ley" de Fourier de la

conducción del calor. De acuerdo con la ecuación de la relación de Fourier, el flujo de

calor es proporcional al gradiente de temperatura; dicha proporcionalidad se representa

mediante la conductividad térmica k. La conductividad térmica es una propiedad de un

medio dado, y las ecuaciones (5) y (6) son las relaciones de definición de esta cantidad

La conductividad térmica es una propiedad muy importante un material o medio En

gran parte, el valor de la conductividad determina la adaptabilidad de un material para

un uso determinado es una característica del material o medio conductor (sólido) y al

igual que la viscosidad, esta principalmente en función de la temperatura; En la figura 1

se muestran valores de la conductividad térmica para varios materiales comunes. En

esta figura se puede ver la dependencia de la temperatura en la conductividad térmica.

7


Figura 1. Variación de la conductividad térmica con la temperatura para distintos materiales.

La ley de fourier establece que K es independiente del gradiente de temperatura, pero no

tiene necesariamente por que serlo de la temperatura en si. La experiencia confirma la

independencia de k en un amplio intervalo de gradientes de temperatura, excepto para

sólidos porosos, donde la radiación entre las partículas, que no sigue una ley lineal con

la temperatura, es responsable de una parte importante del flujo total de calor. Por otra

parte, k es una función de temperatura, pero la variación es relativamente pequeña, de

forma que, para pequeños intervalos de temperatura, k puede considerarse constante.

Para intervalos de temperatura mayores, la conductividad calorífica varia linealmente

con la temperatura, de acuerdo a la ecuación:

K = a + bT

Siendo a y b constante empíricas. La línea III de la fig. 10-1 corresponde a un sólido de

k constante cuando b=0. si k varia con la temperatura la línea presenta una cierta

curvatura.

Difusividad Térmica:

Mide la capacidad de un material para conducir energía térmica en relación con su

capacidad para almacenar energía térmica. Materiales de α grande responderán

rápidamente a cambios en su medio térmico, mientras que los materiales de α pequeños

responderán más lentamente y tardan más en alcanzar una nueva condición de

equilibrio.

α = k / ρ x Cp

Numero de Biot:

Es un parámetro adimensional que indica donde ocurre la mayor resistencia a la

transferencia de calor en medio conductor, de volumen V y área de transferencia A, se

define así:

8


Proporciona una medida de la caída de temperatura en el sólido en relación con la

diferencia de temperaturas entre la superficie y el fluido.

Numero de Fourier:

Es la razón de la rapidez de conducción de calor a la rapidez de almacenamiento de

energía térmica en un sólido.

Es un tiempo adimensional que caracteriza a la conducción transitoria.

CONDUCCIÓN DE CALOR EN ESTADO INESTABLE

Se llama proceso de estado inestable o transitorio al que depende del tiempo.

a. Conducción transitoria de calor en sistema unidimensionales sin generación:

La ecuación dominante es:

donde i toma los valores de 0, 1 y 2 en las coordenadas rectangulares, cilíndricas y

esféricas respectivamente. El parámetro es la difusividad térmica que mide la

capacidad de un material para conducir energía térmica en relación con su capacidad

para almacenar energía térmica :

donde

K = Conductividad térmica

= Densidad

Cp = Capacidad calorífica

9


De la ecuación general de energía podemos deducir:

Se considera que la temperatura es función del tiempo:

No se hace trabajo de flecha

No hay flujo dentro del sistema; por lo tanto no se efectúa trabajo viscoso

No hay masa que cruce la frontera del volumen del control

La diferencia de calor es por convección desde el medio al volumen de control.

Por tanto el mosaico aplicable a la ecuación de energía es:

Haciendo (t) = T(t) - T donde T = constante

Integrando obtenemos;

Reacomodando

=

El módulo de Biot es la razón de la resistencia (interna) conductiva a la transferencia de

calor y la resistencia convectiva (externa) a la transferencia de calor. Un pequeño valor

10


de Biot representa el caso de resistencia interna despreciable, hay mayor capacidad de

transferir calor por conducción que por convección.

El módulo de Fourier representa una variable adimensional del tiempo:

METODO DE LA RESISTENCIA INTERNA DESPRECIABLE:

La conducción transitoria es aquel en que un sólido experimenta un cambio súbito en su

ambiente térmico. Considere una pieza forjada de metal caliente que inicialmente está a

una temperatura uniforme Ti y que se templa por inmersión en un líquido de

temperatura más baja T < Ti (figura 2). Si decimos que el templado comienza en el

tiempo t = 0, la temperatura del sólido disminuirá en el tiempo t > 0, hasta que

finalmente alcance T. Esta reducción se debe a la transferencia de calor por

convección en la interfaz sólido-líquido.

La esencia del método de resistencia interna despreciable es la suposición de que la

temperatura del sólido es espacialmente uniforme en cualquier instante durante el

proceso transitorio. Esta suposición implica que los gradientes de temperatura dentro del

sólido son insignificantes y que la temperatura varia solo en funcion del tiempo esta

suposición es posible bajo las siguientes condiciones:

· Cuerpo de dimensiones pequeñas

· Alta conductividad térmica del cuerpo

· Bajo coeficiente de transferencia de calor por convección.

ANALISIS DE PARAMETROS DE MOSAICO – RESISTENCIA INTERNA

DESPRECIABLE:

Para el análisis de conducción transitoria se parte de la ecuación general de conducción

de calor para k = cte.

11


Para esta ecuación las propiedades térmicas fueron consideradas independientes de la

posición y del tiempo, sin embargo, la rapidez de generación interna, q, puede variar

respecto a ambos. Un cilindro circular calentado en un extremo, con una condición fija

de frontera, mostrara una variación de temperatura en las direcciones radial y axial, así

como con respecto al tiempo. Si el cilindro tiene una longitud grande comparada con su

diámetro, o si esta fabricado de un material de alta conductividad térmica, la

temperatura variara solamente con la posición axial y con el tiempo. Si a un espécimen

metálico, cuya temperatura sea, inicialmente uniforme se le expone a un medio que esta

a diferente temperatura, puede ser que su tamaño, forma y conductividad térmica se

combinen de tal modo que la temperatura del material varíe con el tiempo, es decir no

en función de la posición. Estas son las características de mosaico, en las cuales la

temperatura de un cuerpo varía solo respecto al tiempo.

Para este estudio se deforman parámetros adimensionales, el primero de estos es el

modulo de Biot (Bi), que se define como:

Se ve que el modulo de Biot es la razón de (V/A)/k, la resistencia conductora (interna) a

la transferencia de calor, a l/h, la resistencia convectiva (externa) a la transferencia de

calor. La magnitud de Bi, tiene, por lo tanto significado físico, ya que indica donde

ocurre la mayor resistencia a la transferencia de calor, un valor grande de Bi indica que

la resistencia conductora es la que controla el proceso, esto es que existe una mayor

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capacidad para que el calor abandone la superficie por conveccion que para que llegue a

ella por conducción. Un pequeño valor de Bi representa el caso en el que la resistencia

interna es despreciable pequeña y existe una mayor capacidad para transferir calor por

conducción que por conveccion.

En este ultimo caso, el fenómeno que rige la transferencia es la conveccion y los

gradientes de temperatura del medio son muy pequeños.

El término del modulo de Fourier (Fo):

Se suele utilizar como parámetro adimensional de tiempo.

ECUACIONES PARA CILINDROS:

La ecuación de transferencia de Colen para cilindros es como sigue:

y para cilindro infinito :

Se debe considerar lo siguiente:

1.- La distribución inicial de temperatura en el cilindro es uniforme e igual a T0, es decir

en el cilindro es uniforme e igual a T0, es decir, en = 0 , T = T0.

2.- A partir de = 0, el cilindro se expone a un fluido a temperatura T , esta es la

temperatura de referencia

3.- La conductancia por unidad de tiempo entre la superficie del cuerpo y el fluido (h),

es uniforme y constante.

De acuerdo con la ley de Fourier, la conducción de calor en ausencia de un gradiente de

temperatura implica la existencia de una conductividad térmica infinita. Esta condición

es claramente imposible. Sin embargo, aunque la condición nunca se satisface de forma

exacta, se acerca mucho a ello si la resistencia a la conducción dentro del sólido es

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pequeña comparada con la resistencia a la transferencia de calor entre el sólido y sus

alrededores. Por ahora suponga que, de hecho, este es el caso.

Al no tomar en cuenta los gradientes de temperatura dentro del sólido, ya no es

posible considerar el problema desde dentro del marco de la ecuación de difusión de

calor. En su lugar, la respuesta de temperatura transitoria se determina realizando un

balance global de energía en el sólido. Este balance debe relacionar la velocidad de

perdida de calor en la superficie con la rapidez de cambio de la energía interna.

Al aplicar un balance de energía en el volumen de control se obtiene lo siguiente:

o

Al introducir la diferencia de temperaturas

al aceptar que (d/dt)=(dT/dt), se sigue que

Separando variables e integrando desde la condición inicial, para la que T=0 y T(0)=Ti,

obtenemos entonces:

Donde

...................................(4)

Al evaluar las integrales se sigue que

.................................(5)

o

..........................(6)

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La ecuación 5 sirve para determinar el tiempo que requiere el sólido para alcanzar una

temperatura T0 , a la inversa , la ecuación 6 es útil para calcular la temperatura que

alcanza el sólido en algún tiempo t.

Los resultados anteriores que la diferencia entre al sólido y del fluido deben de caer

exponencialmente a cero conforme t se aproxima a infinito. Este comportamiento se

muestra en la figura 2 .También es evidente, de la ecuación 6, que la cantidad

(Vc/hAs) se interpreta como una constante térmica de tiempo.

Esta constante de tiempo se expresa como

...............................(7)

Donde Rt es la resistencia a la transferencia de calor por convección, y Ct es la

resistencia interna despreciable del sólido. Cualquier aumento en R t o en ct ocasionara

que un sólido responda mas lentamente a cambios en su ambiente térmico y aumentara

el tiempo que se requiere para alcanzar el equilibrio térmico (=0). Este

comportamiento es análogo a la disminución del voltaje que ocurre cuando un capacitor

se descarga a través de un resistor

En un circuito eléctrico RC.

Para determinar la transferencia total de energía Q que tiene lugar hasta algún tiempo t,

escribimos

Al sustituir para de la ecuación 6 e integrar, obtenemos

.....................................(8a)

La cantidad Q, por supuesto, esta relacionada con el cambio de la energía interna del

sólido.

......................................(8b)

Para el templado Q es positiva y el sólido experimenta una disminución de energía.

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Las ecuaciones 5,6 y 8a también se aplica a situaciones donde el sólido se calienta

(<0), en cuyo caso Q es negativa y la energía interna del sólido aumenta.

Validez del método de la resistencia interna despreciable

De los resultados precedentes es fácil ver porque hay una fuerte preferencia por el uso

del método de la resistencia interna despreciable. Es en verdad el, método mas sencillo

y conveniente para resolver problemas de conducción transitoria. Por ello es importante

determinar en que condiciones se puede usar con precisión razonable.

Para desarrollar un criterio aplicable considere la conducción en estado estable a través

de una pared plana de área A (figura 3). Aunque estamos suponiendo condiciones de

estado estable, este criterio se extiende fácilmente e los procesos transitorios.

Una superficie se mantiene a una temperatura Ts y la otra se expone a un fluido de

temperatura Tx < TS,1. La temperatura de esta ultima superficie será un valor intermedio,

TS,2, para el que Tx<TS,2< TS,1. de aquí, en condiciones de estado estable, el balance de

energía de la superficie, y se obtiene la siguiente ecuación:

Donde k es la conductividad térmica del sólido. Al reacomodar, obtenemos

.........................(9)

La cantidad (hL/k) que aparece en la ecuación 9 es un parámetro adimensional se

denomina número de Biot, y desempeña un papel fundamental en problemas de

conducción que implica efectos de convección superficial.

De acuerdo con la ecuación 9: Si Bi<< 1, la resistencia a la conducción dentro de un

sólido es mucho menor que la resistencia a la convección a través de la capa límite del

fluido. En consecuencia, es razonable la suposición de una distribución de temperaturas

uniformes. Introdujimos el número de Biot debido a su significado para los problemas

de conducción transitoria. Considere la pared plana en la figura 4, que inicialmente esta

a una Temperatura uniforme Ti y experimenta enfriamiento por convección cuando se

sumerge en un fluido con Too < Ti . Es posible tratar el problema como unidimensional

en x, y estamos interesados en la variación de temperaturas con la posición y el tiempo,

T(x,t). Esta variación es una función fuerte del número de Biot, y se muestra tres

condiciones en la figura 4. para Bi << 1 el gradiente de temperatura en el sólido es

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pequeña y T(x,t) = T(t). De hecho todas las diferencias de temperaturas está entre el

sólido y el fluido, la temperatura del sólido permanece casi uniforme conforme

desciende a Too. No obstante para valores de moderados a grandes de números de Biot,

los gradientes de temperaturas dentro del sólido son significativos. Por ello T=T (x,t).

Observe que Biot >> 1, la diferencia de Temperaturas del sólido es ahora mucho mas

grande que la que hay entre la superficie y el fluido.

Concluimos esta sección recalcando la importancia del método de la resistencia interna

despreciable.

Su simplicidad inherente lo hace el método preferido para resolver problemas de

conducción transitoria. Por tanto, cuando que enfrentar un problema de esta clase, lo

primero que debe hacerse es calcular el número de Biot. Si satisface su siguiente

condición.

Detalles experimentales

A. Descripción del Equipo:

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El equipo experimental usado en la presente práctica consistió de:

- Un termómetro digital.

- Un tanque con agua a temperatura constante.

- Dos muestras de cobre y aluminio respectivamente de 5 cm de diámetro y 15.1

cm de largo. Ambas presentaban un orificio central en la base superior por la

que se introducía el termómetro digital.

- Un cronómetro calibrado.

- Un horno eléctrico.

- Guantes y pinzas metálicas.

B. Procedimiento Experimental:

Se coloca el cilindro metálico en el horno de calentamiento, el cual es

previamente calentado hasta una temperatura determinada. Luego se anota la

lectura del termómetro del baño de temperatura constante.

Se introduce el termómetro digital en el orificio central de la base superior del

cilindro y se anota la lectura. Rápidamente se introduce el cilindro metálico

dentro del baño de temperatura constante y al mismo tiempo se activa el

cronómetro dejándose sobrenadar una porción de aproximadamente medio

centímetro por el orificio central de la parte superior.

Una vez que ele cilindro esta sumergido, se procede a registrar la variación de la

temperatura del centro del mismo con respecto al tiempo sin detener el

cronómetro.

Posteriormente se saca el cilindro del baño, al mismo tiempo que se determina

por medio del termómetro la temperatura final del baño.

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Conclusiones

El coeficiente de transmisión de calor por conveccion varía fuertemente con la

temperatura

En intervalos cortos de temperatura se puede tomar un valor se puede tomar un valor

constante del coeficiente de transmisión d calor

El valor de las medidas de la temperatura del sólido influye en la determinación de la

conductividad (K)

19


Recomendaciones

Se debe tener especial cuidado en la toma de temperaturas, esta medida se realizo

haciendo uso de un termopar que mide la temperatura del aceite dentro de un orificio en

el sólido. La medida mas exacta del la temperatura del sólido seria a través del uso de

una termocupla con mayor sensibilidad

Se debe tener cuidado de no ensuciar la superficie del sólido con el aceite, ya que este

produciría un cambio en la transferencia de calor del sólido al fluido

Debido a que en la experiencia descrita se hace uso de un termopar revestido con el cual

no es posible medir la temperatura exacta en la pared del sólido, por lo que se

recomienda tomar las temperaturas en intervalos más grandes de tiempo por encima de

20 seg.

Bibliografía

20


1. Kreith Frank. “Principios de transferencia de calor”. Editorial Herrero

Hermanos .México 1970. Páginas: 135-143

2. Welty James; “Transferencia de calor aplicada a la ingeniería” Editorial

Limusa; Méjico 1981; Páginas: 121 - 134

3. Incropera Frank, David P. DeWitt; “Fundamentos de transferencia de calor”;

Editorial Prentice may, México 1999; Páginas: 213-230.

Ejemplo de Cálculos

Método Resistencia Interna Despreciable

21


1. Determinación de las propiedades de los materiales:

Al = 2702 Kg/m3 Cu = 8933 Kg/m3

Cp Al = 926.14 J/ Kg. K Cp Cu =385 J/ Kg. K

K Al = 237 W/ m. K K Cu = 401 W/ m. K

D Al = 5,0cm D Cu = 5,0 cm

L Al = 15,1 cm L Cu = 15,1 cm

...............(1)

.........................(2)

De (1) y (2) obtenemos ....................(3)

2. Ahora con los datos de temperatura :

T = Temperatura infinita (H2O) To = Temperatura inicial del sólido

T (t) = Datos de temperatura para cada tiempo

.......................(4)

Se grafica :

Ln(T(t)-T) (To-T)

t(s)

De la gráfica se tiene una ecuación lineal de la forma : y =-mx +b

donde m (pendiente) = ..........................(5)

de (5) se obtiene el coeficiente de convección h.

Luego:

..........................(6)

sacando logaritmo :

22


........(7)

reordenando obtenemos:

.......................(8)

y se procede a graficar:

t(s)

Del gráfico se obtiene una ecuación de la forma : y = -mx + b

donde obtenemos ..................(9)

De (9) obtenemos k , si este coincide con el k asumido terminan los cálculos,

sino tomar el nuevo k y calcular desde (7).

Desarrollo

Tomando el ejemplo de calculo para la barra de Cobre (1ra. corrida)

- Calculo del coeficiente de transferencia de calor convectivo (h).

Se sabe que: Ln =

Donde: T = Temperatura en un tiempo “t” (oC.) Ti = Temperatura Inicial (°C) T∞ = Temperatura del agua (°C) = densidad del Aluminio Cp = calor específico del Aluminio V = Volumen de la barra As = Superficie de la barra

Esta ecuación indica que al efectuar la gráfica Ln vs t la pendiente

23


será

Entonces : T = 129.2°C Ti = 129.7°C T∞ = 19°C

Obtenemos Ln = -0,004569

De la gráfica se tiene una ecuación lineal de la forma : y =-mx +b

m = -0,017

Luego :

Calculando la superficie de la barra:

S = 0,02764 m2

Entonces :

Tenemos de tablas: Cp = 385 . ,

Reemplazando en (II):

- Calculo de la conductividad termica (K) de la barra de Aluminio

Se sabe que: , ; Biot = a

Biot Fourier

Luego:

24


Reemplazando : Ln =

*Ln =

La ecuación indica que al graficar *Ln vs t, la pendiente es

,. Asumimos un valor de K: K asumido = 237 W/m°K

Luego

a (1/a) = 35.53

Graficamos *Ln vs. t . y hallamos la pendiente

m =

Como K asumido K calculado; entonces se procede a:

Segunda iteración : (K asumido) = 215.40 W/m°K

a = -0.0309 (1/a) = 32.29

La curva para la segunda iteración se obtiene haciendo análogamente a la anterior donde la pendiente es:

25


Kcalculado = 195.977W / m2K

Como K asumido K calculado; entonces se detiene la iteración:

Los resultados de las iteraciones finales para cada corrida se encuentran en la tabla 5.

METODO GRÁFICO:

1. Cálculo de del Coeficiente de Transferencia de Calor:

a. Variación de Temperatura y Modulo de Fourier:

ΔT = F0 =

Donde:T0 = Temperatura inicialT = Temperatura en el tiempo t.

= Temperatura del fluido.K = Conductividad térmica del fluido.ρ = Densidad del fluido.Cp = Capacidad calorífica del sólido.

Se toma el cobre como metal de conductividad térmica conocida.

- Para el Primer Tiempo en la Primera corrida (Cobre 1)

ΔT =

ΔT = 0.995

F0 =

F0 = 1.07

Ver tabla # 6 para los demás valores.

26


Se grafica “ΔT vs F0” para la muestra de conductividad térmica conocida (Cu) en papel semilogarítmico que tiene previamente graficada los parámetros de los módulos inversos de Biot (Ver grafica N° )

b. Módulo Inverso de Biot y Módulo de Fourier:

Con los valores obtenidos se grafica “Bi-1 vs F0” en papel logarítmico y se obtiene una recta (Ver tabla # 7 )

Teniendo el valor del módulo de fourier conocido, por un simple ploteó se determina el valor del módulo inverso de Biot.

Bi-1 =

Donde:h = Coeficiente de transferencia de calor.

En la recta experimental de la gráfica N° para Cu (ΔT = 0.5) se tiene un valor de F0 = 9.9 con una inversa de Biot desconocido, ploteando se determina el valor de la inversa de Biot = 24 y con este valor se calcula el coeficiente de transferencia de calor.

Bi -1 = = 4.5

h =

h =

h = 668.3 W/m.K

Los valores de h para cada ΔT se encuentran en la tabla # 8 , para los cálculos posteriores se trabaja con el valor promedio.

hprom = 944.35 W/m2.K

2. Determinación de la Conductividad Térmica del Aluminio por Iteraciones :

El valor de h se mantiene constante.

Asumiendo un valor de conductividad térmica para el aluminio se determina el módulo de Biot inverso. Con este valor se determina el modulo de Fourier en la gráfica logarítmica “Bi-1 vs F0”, teniendo como parámetros la variación de la

27


temperatura. Se calcula el nuevo valor y se itera hasta cuando el valor asumido sea igual al calculado.

Para el Aluminio 1:

Bi-1 =

Bi-1 =

Bi-1 = 0.0424K

Para un valor determinado de ΔT = 0.3228 queda fijado el tiempo t = 60.725 s

F0 =

F0 =

F0 = 0.0388K

Asumiendo un valor de K = 230 W/mK

Bi-1 = 0.0424 x 230

Bi-1 = 9.752

De la gráfica , F0 = 5.8

Entonces el nuevo valor de K sería:

F0 = 0.0388K = 5.8

K = 149.5 W/mK

Se sigue el mismo procedimiento hasta que Kasumido sea igual al Kcalculado:

Kasumido = Kcalculado = 19.84 W/mK

28


Tablas de algo

Arreglar

cobre 1 corridatiempo(seg) ln temperatura(°C) delta fo

29


0 0 117.5 1 0

10 -0.17812 101.6 0.836839 1.468

20 -0.44658 82.4 0.639815 2.936

30 -0.95101 57.7 0.386352 4.404

40 -1.63227 39.1 0.195485 5.872

50 -1.88134 34.9 0.152386 7.34

60 -2.37657 29.1 0.092868 8.808

70 -2.77928 26.1 0.062083 10.276

80 -3.15623 24.2 0.042586 11.744

90 -3.60478 22.7 0.027193 13.212

100 -3.96415 21.9 0.018984 14.68

110 -4.43958 21.2 0.011801 16.148

120 -4.74186 20.9 0.008722 17.616

130 -5.01012 20.7 0.00667 19.084

140 -5.17718 20.6 0.005644 20.552

150 -5.62916 20.4 0.003592 22.02

160 -5.62916 20.4 0.003592 23.488

170 -5.96563 20.3 0.002565 24.956

180 -5.96563 20.3 0.002565 26.424

190 -5.96563 20.3 0.002565 27.892

200 -5.96563 20.3 0.002565 29.36

cobre 2 corrida

tiempo(seg) ln temperatura(°C) delta fo0 0 109.4 1 0

10 -0.19483652 93.6 0.82296919 1.46820 -0.64449041 67 0.52492997 2.93630 -1.13280365 48.9 0.32212885 4.40440 -1.6150559 37.9 0.19887955 5.87250 -2.08901099 31.2 0.12380952 7.3460 -2.45673577 27.8 0.08571429 8.80870 -2.87205318 25.2 0.05658263 10.27680 -3.22449382 23.7 0.03977591 11.74490 -3.55534806 22.7 0.02857143 13.212

100 -3.82361205 22.1 0.02184874 14.68110 -4.11987786 21.6 0.0162465 16.148120 -4.35167948 21.3 0.01288515 17.616130 -4.44265126 21.2 0.01176471 19.084140 -4.54273472 21.1 0.01064426 20.552150 -4.65396035 21 0.00952381 22.02160 -4.77912349 20.9 0.00840336 23.488170 -4.77912349 20.9 0.00840336 24.956180 -4.77912349 20.9 0.00840336 26.424190 -4.77912349 20.9 0.00840336 27.892

datos de aluminio 1 corrida

Tiempo(seg) ln Temp(°C)delta de t fo0 0 100.4 1 0

30


10 -0.14166406 89.8 0.86791277 1.46820 -0.579596 65.1 0.56012461 2.93630 -1.07643023 47.5 0.34080997 4.40440 -1.54899656 37.2 0.21246106 5.87250 -2.03854478 30.6 0.13021807 7.3460 -2.60175554 26.1 0.0741433 8.80870 -2.98642988 24.2 0.05046729 10.27680 -3.23774431 23.3 0.03925234 11.74490 -4.3363566 21.2 0.01308411 13.212

100 -4.54766569 21 0.0105919 14.68110 -4.67282883 20.9 0.00934579 16.148120 -4.81592968 20.8 0.00809969 17.616130 -5.18365446 20.6 0.00560748 19.084140 -5.43496889 20.5 0.00436137 20.552150 -5.77144112 20.4 0.00311526 22.02160 -6.28226675 20.3 0.00186916 23.488170 -6.28226675 20.3 0.00186916 24.956180 -7.38087904 20.2 0.00062305 26.424190 -7.38087904 20.2 0.00062305 27.892200 -7.38087904 20.2 0.00062305 29.36210 -7.38087904 20.2 0.00062305 30.828

2 corrida aluminiotiempo seg

Tiempo(seg) LN Temperatura(°C) delta fo0 0 125.1 1 0

10 -0.14758186 110.7 0.86279181 1.46820 -0.30643713 97.4 0.73606479 2.93630 -0.59390348 78.1 0.5521677 4.40440 -0.92418268 61.8 0.39685565 5.87250 -1.24729912 50.3 0.28727966 7.3460 -1.59712715 41.4 0.20247737 8.80870 -1.90301313 35.8 0.14911863 10.27680 -2.36601259 30 0.09385422 11.74490 -2.80502923 26.5 0.060505 13.212

100 -3.3054109 24 0.03668414 14.68110 -3.79906872 22.5 0.02239162 16.148120 -4.15270876 21.8 0.01572177 17.616130 -4.5137221 21.3 0.0109576 19.084140 -4.70477734 21.1 0.00905193 20.552150 -4.94116612 20.9 0.00714626 22.02160 -5.08426696 20.8 0.00619343 23.488170 -5.08426696 20.8 0.00619343 24.956180 -5.08426696 20.8 0.00619343 26.424190 -5.25132105 20.7 0.00524059 27.892200 -5.25132105 20.7 0.00524059 29.36210 -5.25132105 20.7 0.00524059 30.828220 -5.25132105 20.7 0.00524059 32.296

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Documents

Trabajo de Conductividad