MecanicaIITemas6y7EstaticayDinamicaAnalticaManuel RuizDelgado9demarzode2011Principiodelostrabajosvirtuales:Formulaciongenerica ................................ 2Principiodelostrabajosvirtuales:Formulaciondetallada ................................ 3Principiodelostrabajosvirtuales ................................................ 4Equilibrioysistemasreonomos.................................................. 7PrincipiodeDAlembert ...................................................... 8Ecuaciongeneral delaDinamica................................................ 9Ecuaciongeneral delaDinamica:Ejemplo......................................... 10Ecuaciongeneral deladinamicaenqj........................................... 12Ecuacionesdeequilibrio(S.Holonomos) .......................................... 13Ecuacionesdelmovimiento(S.Holonomos) ........................................ 15Terminoscineticos ......................................................... 16EcuacionesdeLagrange(S.Holonomos) .......................................... 18Sistemasholonomospotenciales................................................ 20Sistemasholonomospotenciales:equilibrio ........................................ 21Sistemasholonomos/noholonomos ............................................. 26Sistemasnoholonomos...................................................... 28Sistemasnoholonomos:qjindependientes ........................................ 29Movimiento:noholonomos,qjindependientes ..................................... 35Equilibrio:noholonomos,qjindependientes ....................................... 36MultiplicadoresdeLagrange .................................................. 39Movimiento:MultiplicadoresdeLagrange......................................... 41Equilibrio:MultiplicadoresdeLagrange ........................................... 42Calculodelasfuerzasdeligadura............................................... 43Ecuaciondelaenergaparasistemasholonomos..................................... 44Integral delaenergaparasistemasholonomos...................................... 51Ecuaciondelaenerga,sistemasnoholonomos ..................................... 541Principiodelostrabajosvirtuales:FormulaciongenericaCondiciondeequilibriodeunsistemaporestaticanewtoniana:FDi(rei, 0, t) +FLi (rei, 0, t) =0, i = 1, . . . , NSon3Ncondicionesindependientes,maslasdeligadura.Sidamosundesplazamientovirtualarbitrarioalsistema:W=N

i=1_FDi+FLi_ ri= 0 riPTVPorserunacombinacionlinealdevectoresnulos.Comolosriformanunespaciovectorial dedimension3N,alexigir ri,tenemos3Ncondicionesindependientesentres,perocombinacionlinealdelas3NecuacionesnewtonianasLaformulaciongenericadel PTVnoaportanadanuevo:igualn umerodeecuacionesquelaEstaticanewtonianasiguenestandolasfuerzasdeligadura,ylasecuacionesdeligaduraPeroalgunaecuacionpuedesermassimplequeotranewtoniana.ManuelRuiz-MecanicaII 2/54Principiodelostrabajosvirtuales:FormulaciondetalladaEl PTVes utilcuandohaygligadurasideales:susfuerzasnotrabajanenlosDVCL(espaciovectorial dedimensionn=GDL)Sistemaenequilibrio: FDi+FLi=0, i = 1, . . . , NDamosundesplazamientovirtualarbitrario:W=

Ni=1_FDi+FLi_ ri= 0 riSielriesunDVCL,

Ni=1FLi ri= 0,W=N

i=1FDi ri= 0 DVCLEcuaciongeneral delaestaticaNoaparecenlasfuerzasdeligaduraDVCLn=GDLecuacionesindependientesEscondicionnecesaria:sededucedelasnewtonianasManuelRuiz-MecanicaII 3/542PrincipiodelostrabajosvirtualesEscondicionsuciente:demostracionporreduccionalabsurdoSupongamosquesecumpleelPTV,peroel sistemanoestaenequilibrio:empezaraamoverseconaceleracionesridistintas decero: FDi+FLi= miriEnuntiempoinnitesimal dt,partiendodelreposo,cadapartculasedesplaza dri= ridt2/2(Desp.Posibles)TomandocomoDVCLlosDPri= ri,dW=N

i=1_FDi+FLi_ ri=N

i=1miri ri =N

i=1miri2 0EncontradelahipotesisLuegonopuedecumplirseelPTVynohaberequilibrio:essuciente.Quedapordemostrarquelos dri= risonDVCLManuelRuiz-MecanicaII 4/54PrincipiodelostrabajosvirtualesSederivanlasecuacionesdelasligaduras;inicialmente ri=0, N

i=1ift ri +N

i=1if ri +ftt= 0&&&&&&N

i=1Ait ri +N

i=1Ai ri +Bt= 0ParaserDVCL,losridebencumplirlascongeladas,N

i=1if ri= 0;N

i=1Ai ri= 0LosrisolosonDVCLenlossitemasescleronomos,ft B 0Enlosreonomos,soloenlospuntosjos:ft ftt B Bt 0El PTVescondicionsucientesoloenlossistemasescleronomos,yenlospuntosjosdelosreonomos.ManuelRuiz-MecanicaII 5/543PrincipiodelostrabajosvirtualesW=N

i=1FDi ri= 0 DVCLPTV: La condicion necesaria y suciente para que un sistema material sometido a ligadurasideales tengaunaconguraciondeequilibrioes queendichaconguracionseanuleeltrabajo virtual de las fuerzas directamente aplicadas para cualquier desplazamiento virtualcompatibleconlasligaduras.PTVEcuaciongeneral delaestaticaEnsistemasreonomossolosepuedeaplicarenlospuntosenqueft= B= 0Enlosdemasnopuedehaberequilibrio,porquelasligadurassemueven.ManuelRuiz-MecanicaII 6/54EquilibrioysistemasreonomosEquilibrio:unsistemamaterialtieneunaconguraciondeequilibriocuandoabandonadoelsistemaenreposoendichaconguracion, permaneceindenidamenteenreposo:ri(t) =rei; vi(t) =0 tLigadurasnitasnoestacionarias:f(ri, t) = 0f(rei, t) = 0 ;N

i=1$$$$if 0 +ft(rei, t) =0 tCinematicasnoestacionarias:N

i=1Ai (rj, t) vi +B(rj, t) = 00 +B_rej, t_= 0 tSolopuedehaberequilibrioenlospuntosquecumplanestascondiciones:enlosquelasligadurasnosemueven.ManuelRuiz-MecanicaII 7/544PrincipiodeDAlembert2aleydeNewtonparaunsistemadeNpartculas:FDi+FLi= miri= pi, i = 1 . . . NSepuedenponerenlaformaFDi+FLi pi=FDi+FLi+FIi=0 , i = 1 . . . NEquivaleaplantearel equilibriodecadapartcularelativoaunosejesconorigenenlapropiapartcula.PrincipiodeDAlembert:Lasecuacionesdel movimientodeunsistemamaterialseobtienenplanteando, en cada instante, el equilibrio entre las fuerzas dadas, las de ligadura, y las de inercia.Sereduceaunproblemadeestatica:Aplicarel PTVPerolasecuacionessiguensiendodiferenciales,noalgebraicasNoseplanteaelproblemadel equilibriodesistemasreonomos:semueven.ManuelRuiz-MecanicaII 8/54Ecuaciongeneral delaDinamicaAplicamosaunsistemael principiodeDAlembertydamosDV:Fi pi= 0 W=

Ni=1 (Fi pi) ri= 0, riAplicamosahoraelPTV:silosrisonDVCL,lasfuerzasdeligaduranotrabajan,yquedaN

i=1_FDi pi_ ri= 0 DVCLEstaeslaEcuaciongeneral delaDinamicaNoaparecenlasfuerzasdeligadura DVCL:Haynecuacionesindependientes(noGDL)ManuelRuiz-MecanicaII 9/545Ecuaciongeneral delaDinamica:EjemploAplicaremoslaecuaciongeneral deladinamicaalpendulosimple:FD= mg (cos ursin u)FL= urr = (x, z) = R(sin , cos ) = Rurr =r = Rur = Ru r = R2ur +R uzxAplicamoslaEGDW=_f+FDmr_ r = 0, rW=_mg sin mR_ = 0 +gR sin = 0ysellegaalaecuaciondelpenduloqueyaconocemosManuelRuiz-MecanicaII 10/54Ecuaciongeneral deladinamica:EjemploParaunsolido, ri= rG+ GMi,donde =k1 +uN +k0.Seintroduceenlaecuaciongeneral deladinamica:N

i=1_FDi pi__rG+ GMi_== rGN

i=1_FDi pi_+N

i=1GMi_FDi pi_== rGN

i=1_RD pG_+_MDGHG_= 0 DVCLComoenunsolidolibrerGysonarbitrarios,quedaRD= pG= mrGMDG=HGQuesonlasecuacionesdeNewton-Eulerparael solido.ManuelRuiz-MecanicaII 11/546Ecuaciongeneral deladinamicaenqjSiseintroducenlasqj,ri=

nj=1riqjqj(qjarbitrariosparasist.holonomos)Sustituyendoenlaecuaciongeneral deladinamica,N

i=1_FDi pi_ ri=N

i=1___FDi pi_n

j=1riqjqj__==n

j=1_N

i=1_FDi pi_riqj_qj=n

j=1(QjPj) qj= 0 DVCLFuerzasgeneralizadas: Qj=

Ni=1FDiriqj= f(qj, qj, t)Terminoscineticos: Pj=

Ni=1 piriqj= f(qj, qj, qj, t)ManuelRuiz-MecanicaII 12/54Ecuacionesdeequilibrio(S.Holonomos)Laecuaciongeneral delaestaticaqueda,W=n

j=1Qjqj= 0 qjComolosqjsonindependientesyarbitrarios(sist.holonomo),solosecumplesiloscoecientessontodoscero,Qj= 0 j= 1, . . . , nQuedaunsistemadenecuacionesalgebraicas,engeneral nolineales,connincognitas.Seresuelvenparaobtenerlasposicionesdeequilibrioqej(t).Lasecuacioneshanquedadoreducidasalnomnimo:n =GDLNoaparecenlasfuerzasdeligaduraManuelRuiz-MecanicaII 13/547Ecuacionesdeequilibrio(S.Holonomos)Ej:dospartculas,varilla,corredera;(x1, 0);(x1 +Lcos , Lsin)r1= [1, 0] x1r2= [1, 0] x1 + [Lsin, Lcos ] xz12x1Qx1= m1g k [1, 0] m2g k [1, 0] = 0Q= m1g k [0, 0] m2g k [Lsin , Lcos ] = m2gLcos Lasecuacionesdeequilibrioson0 = 0 m2gLcos = 0 = 2 x1Hayinnitas soluciones:encualquierx1,verticalhaciaarriba(/2)ohaciaabajo(/2).ManuelRuiz-MecanicaII 14/54Ecuacionesdel movimiento(S.Holonomos)Laecuaciongeneral deladinamicaqueda,W=n

j=1(QjPj) qj= 0 qjComolosqjsonindependientesyarbitrarios(sist.holonomo),solosecumplesiloscoecientessontodoscero,Pj= Qjj= 1, . . . , nQuedaunsistemadenecuacionesdiferencialesde2oorden,connincognitas.Seintegranconlascondicionesinicialesdecadacasoparaobtenerlasqj(t).Lasecuacioneshanquedadoreducidasalnomnimo:n =GDLNoaparecenlasfuerzasdeligaduraManuelRuiz-MecanicaII 15/548TerminoscineticosLosPjsepuedenobtenerdirectamentedelaenergacinetica:N

i=1 pi ri=N

i=1miri__n

j=1riqjqj__=n

j=1_N

i=1miririqj_qjririqj=ddt_ ririqj_. .a) riddt_riqj_. .b)a) ri=n

j=1riqj qj+rit ri qj=riqj ri ri qj= qj_12 r2i_b)ddt__riqj__=qj_dridt_= riqj ri riqj=qj_12 r2i_ManuelRuiz-MecanicaII 16/54TerminoscineticosSustituyendoenlaecuaciongeneral deladinamica,Pj=n

i=1mi_ddt_ ririqj_ riddt_riqj__==ddt_ qj_N

i=112mi r2i__qj_N

i=112mi r2i_=ddt_T qj_TqjDondelaT(qj, qj, t)eslaenergacinetica.DoblepersonalidaddelaTenestecalculo:Enlasderivadasparciales,lasqjy qjseconsideranparametrosindependientesEnladerivadatotalddt,seconsideranfuncionesdel tiempoManuelRuiz-MecanicaII 17/549EcuacionesdeLagrange(S.Holonomos)GdLn3NgSustituyendoestasPjenlaecuaciongeneral deladinamica,W=n

j=1_ddt_T qj_TqjQj_qj= 0 qjSellegaalasEcuacionesdeLagrange:ddt_T qj_Tqj= Qjj= 1 . . . nSonnecuacionesdiferencialesconnincognitas:qj(t)SecalculanlasQjyseponeTenfunciondelasqjylas qj.Lasecuacionessalenautomaticamente:solohayquederivar.ManuelRuiz-MecanicaII 18/54EcuacionesdeLagrange(S.Holonomos)ej.:Puntosobrecilindro: r = Rur +z uz,r = R u +z uzFD= mg k Q= 0 ; Qz= mgT=12m_ z2+R2 2_yzRzxEcuaciongeneral deladinamica,directamente:W=_mg uzm_R2ur +R u + z uz__ (R u +z uz) == R2 + (mg m z) z= 0 , z _ = 0 z= gMediantelasecuacionesdeLagrange:T z= m zT z= m z Tz= 0 m z 0 = mgT= mR2 T= mR2 T= 0 mR2 0 = 0ManuelRuiz-MecanicaII 19/5410SistemasholonomospotencialesSitodaslasfuerzasdadasderivandeunpotencialordinario:FDi= iV(r1, . . . , rN, t)Lasfuerzasgeneralizadasvalen:Qj=N

i=1FDiriqj= N

i=1iVriqj= V (qj, t)qjPuestoqueVqj=Vx1x1qj+Vy1y1qj+ +VzNzNqj== 1Vr1qj+ +NVrNqjManuelRuiz-MecanicaII 20/54Sistemasholonomospotenciales:equilibrioLasecuacionesdeequilibriosepuedenescribircomo:Qj= Vqj= 0 ;Vqj= 0 j= 1 . . . nEj.:dosvarillaspesadasunidasporunmuelleV= mgzABG+mgzBCG+12kAC2== mga2 cos +mga2 cos +12k4a2sin2 == V () = mga cos + 2ka2sin2A CByxdVd= mga sin + 4ka2sin cos _ = 0, = cos1 mg4kaManuelRuiz-MecanicaII 21/5411Sistemasholonomospotenciales:movimientoEcuacionesdeLagrangeparasistemaspotenciales(pot.ordinario):ddt_T qj_Tqj= 0 +Qj=0 Vqj=ddt_V qj_VqjSisedenelafuncionlagrangianaL = TV ,L = TVddt_L qj_Lqj= 0 j= 1 . . . nTambienhaypotencialesgeneralizados,Qj= Vqj+ddt_V qj_Si hayfuerzaspotencialesynopotenciales,las potencialesseincluyenenLylas nopotencialesenQjddt_L qj_Lqj=Qjj= 1 . . . nManuelRuiz-MecanicaII 22/54Sistemasholonomospotenciales:movimientoEj.:puntosobrecilindro,elpotencialeseldel peso, V= mgz ,queyaestaenfunciondeunacoordenadageneralizada.Podemosescribirlalagrangiana:L =12m_ z2+R2 2_mgzConestosepuedenyaescribirlasecuacionesdeLagrange,L z= m zL z= m z Lz= mg m z +mg= 0L= mR2 L= mR2 L= 0 mR2 0 = 0Lageneraciondelasecuacionesesbastantemasdirecta,puesenmuchoscasosel potencialesconocido.Envezdecalcularlasfuerzasgeneralizadaspuntoporpunto,sehallanlasderivadasparcialesdel potencial.ManuelRuiz-MecanicaII 23/5412Sistemasholonomospotenciales:movimientoEj.:Fuerzasnopotenciales: osciladorarmonicoamortiguado.Elpotencialdel muelleseincluyeenlalagrangiana:L = TV=12m x212kx2ddtL xLx=QxSecalculalaQxdelafuerzanopotencial,disipativa:F = c xi, r = xi, W= c xx =Qxx Qx= c xEcuaciondeLagrange, unicaporquesolohayungradodelibertad:L x= m xL x= m x Lx= kx m x +kx = c xPorMecanicaNewtoniana: m x +c x +k x = 0.ManuelRuiz-MecanicaII 24/54Sistemasholonomospotenciales:movimientoEj.:Movimientokepleriano: Lafuerzagravitatoriaespotencial:F = mr3r V (r) = mrL =12m_ r2+r2 2_+mrLr= mr2mr2; L r= m r ;L r= m r m r mr2+mr2= 0L= 0 ; L= mr2 ;L= mr2 + 2mr r mr2 + 2mr r = 0 r2 = CSellegaalasmismasecuacionesdeMecanicaNewtoniana./ L Coordenadacclicaoignorable IntegralprimeraManuelRuiz-MecanicaII 25/5413Sistemasholonomos/noholonomosSistemasholonomos:Npartculas,gligadurasnitas,GDL=n = 3Ngn=GDLcoordenadasgeneralizadasindependientesqjDVCLespaciovectorial dedimensionn=GDLDVCL: ri=

nj=1riqjqjTodoslosqjarbitrariosqjarbitrarios,loscoecientestienenquesertodosnulosEstatica Dinamica indepte.n

j=1Qj qj= 0n

j=1(QjPj) qj= 0 qjQj= 0 Pj= Qjj= 1 . . . nManuelRuiz-MecanicaII 26/54Sistemasholonomos/noholonomosSistemasnoholonomos:gligadurasnitas,hcinematicasn.i.,GDL=m = 3Ng h3Ng= n >GDL qjnoindependientesDVCLespaciovectorial dedimensionm=GDL< nDVCL: ri=

nj=1riqjqjlosqjnosonarbitrariosqjnoarbitrarios,loscoecientesnotienenquesernulosEstatica Dinamica DVCLn

j=1Qj qj= 0n

j=1(QjPj) qj= 0 qj? = 0 ? =? j= 1 . . . ?ManuelRuiz-MecanicaII 27/5414SistemasnoholonomosDoscaminosparaobtenerlasecuaciones:Desplazamientosindependientes:Seescogenm = 3Ng h qjindependientessesustituyenlosdependientesseponeWsoloenfunciondelosindependienteslosnuevoscoecientess tienenquesercero.MultiplicadoresdeLagrange:Sesustituyenlasligadurasnointegrablesporsusfuerzasesasfuerzasdeligadurasecuentanentrelasdirectamenteaplicadasdesaparecenlasligadurasnointegrables:susfuerzashacenquesecumplanseaplicanlasecuacionesdesistemasholonomosManuelRuiz-MecanicaII 28/54Sistemasnoholonomos: qjindependientesSetomann >GDLcoordenadasgeneralizadasnoindependientes:ri= ri(qj, t) vi=

nj=1riqj qj+ritLasvitienenquecumplirtambienlasligadurasnointegrablesgkN

i=1Aki vi +Bk=N

i=1Aki__n

j=1riqj qj +rit__+Bk==n

j=1_N

i=1Akiriqj. ._Ckj qj +_N

i=1Akirit+Bk. .Bk_==n

j=1Ckj qj +Bk= 0 k= 1 . . . hManuelRuiz-MecanicaII 29/5415Sistemasnoholonomos: qjindependientesLas qjcumplenlasligadurasnointegrablesn

j=1Ckj qj +Bk= 0 , k= 1 . . . hLosdesplazamientosposiblescumplenn

j=1Ckj dqj +Bk dt = 0 , k= 1 . . . hLosDVCLcumplenlasligadurascongeladasn

j=1Ckj qj+Bk t = 0 , k = 1 . . . hhcondiciones:solon hseranindependientes.ManuelRuiz-MecanicaII 30/54Sistemasnoholonomos: qjindependientesDespejarhqjdependientesenfuncionden hindependientes:

nj=1C1j qj= 0...

nj=1Chj qj= 0h___n .. Ckj1 h nq1...qhqh+1...qn=0...0___h h___h .. Ckjq1...qh= h___n h .. Ckjqh+1...qnManuelRuiz-MecanicaII 31/5416Sistemasnoholonomos: qjindependientesLamatrizh hdecoecientesdelosdependientessepuedeinvertir,q1...qh= h___h .. Ckj1n h .. Ckjqh+1...qn=n h .. Dkjqh+1...qnDeestemodopodemosdespejarhqjdependientes:qk=n

j=h+1Dkjqj, k= 1 . . . henfunciondelosn hindependientesManuelRuiz-MecanicaII 32/54Sistemasnoholonomos: qjindependientesEj.:patn.Escogemosxcomoindependiente,despejamosyg1 A1 r = sin x + cos y = 0 y = tan xEj.:rodadurasindeslizamiento.Lasligadurasnointegrableseran:g1 x a cos = 0 x = a cos g2 y a sin = 0 y= a sin Enestecasoesobvioqueeldesplazamientoindependientevaaser.Cuandoseproyectanenejes1,lacosayanoestatanclara: g1 cos x + siny +a = 0 g2 sin x + cos y= 0__ = 1a_cos +sin cos _xy= tan xManuelRuiz-MecanicaII 33/5417Sistemasnoholonomos, qjindependientesSesustituyenlosdependientesenW,llamandoLj= QjPjW=hdep. .. L1q1 + +Lhqh +nhindep. .. Lh+1qh+1 + +Lnqn=hdep. .. L1n

j=h+1D1jqj+ +Lhn

j=h+1Dhjqj+nhindep. .. Lh+1qh+1 + +Lnqn==_Lh+1+h

k=1LkDk,h+1_qh+1 + +_Ln+h

k=1LkDk,n_qn= 0 qjAhoratodoslosqjsonarbitrarios,porquesonindependientes:Loscoecientestienenquesertodosnulos.ManuelRuiz-MecanicaII 34/54Movimiento:noholonomos, qjindependientesnGdL3NghSustituyendoLj= QjPj,sellegaalasEcuacionesdel movimientoparasistemasnoholonomos,pordesplazamientosindependientesPjQj+h

i=1(PiQi) Dij= 0, j= h + 1, . . . , nn

j=1Ckj qj +Bk= 0, k = 1, . . . , hnecuacionesdiferencialesconnincognitas,lasqj(t)Lj= PjQj=___ddtT qjTqjQjgeneralddtL qjLqjsolopotencialesddtL qjLqjQjpotencialesynopotencialesManuelRuiz-MecanicaII 35/5418Equilibrio:noholonomos, qjindependientesParalasecuacionesdeequilibrio,seanulanlasPjylas qj,Qj+h

i=1QiDij= 0, j= h + 1, . . . , nBk= 0, k = 1, . . . , hEcuacionesdeequilibrioparasistemasnoholonomosmediantedesplazamientosindependientesTenemosn hecuacionesalgebraicasnolinealesconnincognitas,lasqej:sihaysolucion,engeneral seranEnlossistemasreonomos,soloseaplicanenlospuntosenquesecumpleBk= 0ManuelRuiz-MecanicaII 36/54Equilibrio:noholonomos, qjindependientesEj.:Esqu sobrelanievehorizontal,unidoporunmuellealorigen.Solopuedemoverseensupropiadireccion:g1 A1 v = [sin , cos ] [ x, y] = 0 == sin x + cos y + 0 == C1x x +C1y y +C1 = 0FL1xyLasfuerzasdadasydeligaduratendranlaformaFm= k [x, y] FL1= 1A1= 1[sin , cos ]DVCLdelpuntodeaplicaciondelafuerza,GrG=n

j=1rGqjqj= [1, 0]x + [0, 1]y + [0, 0]FuerzasgeneralizadasQx=FmrGx= kx Qy=FmrGy= ky Q=FmrG= 0ManuelRuiz-MecanicaII 37/5419Equilibrio:noholonomos, qjindependientesdesplazamientosindependientes:delaligaduracinematicag1 sin x + cos y= C1xx +C1y y +C1 = 0podemosescogerxcomoindependiente,demodoquey= tan x.Sustituimoseneltrabajovirtual:W= Qxx +Qy y= (Qx +Qytan )x = 0 DVCLComoxesarbitrario,pueslohemostomadocomoindependiente,tendr aqueserceroelcoeciente:(Qx +Qy tan ) = k x k ytan = 0 tan = xyPara que haya equilibrio el muelle tiene que estar perpendicular al esqu, como diceelsentidocom un.Sisetomaycomoindependiente,elresultadoeselmismo.ManuelRuiz-MecanicaII 38/54MultiplicadoresdeLagrangeSistemacongligadurasnitasyhcinematicasnointegrablesConlasnitasseintroducenn = 3Ng qjnoindependientesri=ri(qj, t) vi=

nj=1riqj qj +ritLasnointegrablestienenunasfuerzasdeligaduraN

i=1Aki vi +Bk= 0 FLi=h

k=1kAki_i = 1 . . . Nk = 1 . . . hPodemosincluirestasfuerzasdeligaduraentrelasfuerzasdadas,yolvidarlasecuacionesdesusligaduras.As tenemosunsistemaholonomo,conunasfuerzasdadasqueseranlasnecesariasparaquesecumplanlasligaduras.LosksellamanmultiplicadoresdeLagrangeManuelRuiz-MecanicaII 39/5420MultiplicadoresdeLagrangeLasfuerzasgeneralizadastendranqueincluir,ademasdelasQjdadas,lasfuerzasdelasligadurasnointegrables:N

i=1_FDi+h

k=1kAki_ ri=N

i=1_FDi+h

k=1kAki_n

j=1riqjqj==n

j=1Qjqj+n

j=1_h

k=1k_N

i=1Akiriqj_. .Ckj_qj==n

j=1_Qj+h

k=1kCkj_qj= 0 DVCLLosCkjsonlosmismosqueenlasecuacionesdelasligadurasManuelRuiz-MecanicaII 40/54Movimiento:MultiplicadoresdeLagrangenGdL3NghConesasfuerzas,seplanteanlasecuacionescomosifuerahol onomo.Ademas,tienenquecumplirselasligadurascinematicas,Pj= Qj+h

k=1kCkj, j= 1 . . . nn

j=1Ckj qj +Bk= 0, k = 1 . . . h_qj(t)k(t)EcuacionesdeLagrangeparasistemasnoholonomosn +hecuacionesdiferencialesconn +hincognitasPj=ddtT qjTqjo,sisonpotenciales, PjQj=ddtL qjLqjSecalculantambienlasfuerzasdelasligadurasnointegrablesManuelRuiz-MecanicaII 41/5421Equilibrio:MultiplicadoresdeLagrangeLasecuacionesdeequilibriosonlasmismas,peroanulandolasvelocidadesylosterminoscineticos:Qj +h

k=1kCkj= 0, j= 1 . . . nBk= 0, k = 1 . . . h_qejekEcuacionesdeequilibrioparasistemasnoholonomosn ecuacionesalgebraicasconn +hincognitas:lassoluciones,siexisten,seranengeneral Ensistemasreonomos,soloseplanteandondesecumplanlashcondicionesBk= 0SecalculantambienlasfuerzasdelasligadurasnointegrablesManuelRuiz-MecanicaII 42/54CalculodelasfuerzasdeligaduraEn mecanicaanaltica desaparecenlas fuerzas de ligadura y se reduceel n umerode ecuacionesa:noGDL,ensistemasholonomosnoGDL+noligadurasnointegrables,ensistemasnoholonomosporelmetododelosdesplazamientosindependientesAparecenlasfuerzasdeligaduraenelmetododelosmultiplicadoresdeLagrange,perosololasdelasligadurascinematicasnointegrables.Siinteresaalgunafuerzadeligaduraintegrable,sepuedeliberar:Sederivaesaligaduraysetratacomosifueranointegrable.Sea nadenlaqjylakcorrespondientes.SetratacomonoholonomopormultiplicadoresdeLagrange.Sisonmuchas,seramejorhacerlopornewtoniana.ManuelRuiz-MecanicaII 43/5422EcuaciondelaenergaparasistemasholonomosEj.:PartculasobreplanogiratorioOxz:queseconserva?Movimientoabsoluto: Noseconservalaenerga:lareacciondel planomoviltrabaja.Siselanzacon x = 0,laenergacineticadel giro12m2x2crececonxT+V=12m_ x2+ y2+ 2x2_+mgz= Cte.y1z1x1tPzx x zxmgm2xmgP zx xzMovimientorelativo:Sseconservalaenerga.Lafuerzacentrfugaespotencial,ladeCoriolisnotrabaja:T+V=12m_ x2+ z2_-12m2x2+mgz= Cte.Esel mismomovimiento!conservativoono?ManuelRuiz-MecanicaII 44/54EcuaciondelaenergaparasistemasholonomosEstructuradelaenergacineticaen sistemasescleronomos :ri=ri (q1, . . . , qn) ri=n

j=1riqj qjT=12N

i=1mi r2i=12N

i=1mi__n

j=1n

k=1riqjriqk qj qk__==12n

j=1n

k=1_N

i=1miriqjriqk_ qj qk=12n

j=1n

k=1Ajk qj qk=T= T2Funcionhomogeneadesegundoorden(cuadratica)delasvelocidadesgeneralizadas qjAjk (q1, . . . , qn)ManuelRuiz-MecanicaII 45/5423EcuaciondelaenergaparasistemasholonomosSistemasreonomos :ri=ri (q1...qn, t) ; ri=

nj=1riqj qj +ritT=12N

i=1mi__n

j=1n

k=1riqjriqk qj qk + 2n

j=1riqjrit qj +ritrit__==12n

j=1n

k=1_N

i=1miriqjriqk_ qj qk +n

j=1_12N

i=12 miriqjrit_ qj++12N

i=1mirit2=12n

j=1n

k=1Ajk qj qk. .T2+n

j=1Bj qj..T1+ C..T0==T= T2 +T1 +T0Ajk(q1, . . . , qn, t), Bj(q1, . . . , qn, t), C(q1, . . . , qn, t)ManuelRuiz-MecanicaII 46/54EcuaciondelaenergaparasistemasholonomosVariacionde T(qj, qj, t) conel tiempo:dTdt=n

j=1T qj qj. .(a)+n

j=1Tqj qj+TtDerivadadelproducto:ddt_T qj qj_=ddt_T qj_ qj +(a) .. T qj qjdTdt=n

j=1ddt_T qj qj_+n

j=1_Tqjddt_T qj__. .(b) qj +Tt==n

j=1ddt_T qj qj_. .(c)n

j=1Qj..(b) qj +TtManuelRuiz-MecanicaII 47/5424EcuaciondelaenergaparasistemasholonomosT= T2 +T1 +T0,homogeneasdegrados2,1y0en qj :n

j=1_T qj qj_= 2 T2 + 1 T1 + 0 T0= 2T2 +T1TeoremadeEulerdelasfuncioneshomogeneas: siFesunafuncionhomogenea degradondelasmvariablesxj,secumpleque

mj=1Fxjxj= nF.F= x2+y2+xy, n = 2 ,Fxx +Fyy= (2x +y) x + (2y +x) y = 2 F.F= x + 3y, n = 1 ,Fxx +Fyy= 1 x + 3 y = 1 Fddt_

T2 +

T1 +T0_=ddt_2 T2 +

T1_n

j=1Qj qj +Ttddt (T2T0) =n

j=1Qj qjTtManuelRuiz-MecanicaII 48/54EcuaciondelaenergaparasistemasholonomosVeamosahoraladerivadadelpotencial,quesuponemosordinario:ddtV (qj, t) =n

j=1Vqj qj +VtLasfuerzasgeneralizadaspodrantenerunapartequederivadeunpotencialyotraqueno,Qj= Vqj+Qj.Alsumarlasderivadasdeambasenergas,quedaransololasnopotenciales:ddt (T2T0 +V ) =n

j=1_

Vqj+Qj_ qjTt+n

j=1

Vqj qj +Vtddt (T2T0 +V ) =n

j=1Qj qjTt+VtManuelRuiz-MecanicaII 49/5425Ecuaciondelaenergaparasistemasholonomosddt (T2T0 +V ) =n

j=1Qj qjTt+VtPotencial ordinario:V (qj, t) = V0L = TV= T2 +T1 +T0V0= L2 +L1 +L0Deestemodolaecuaciondelaenergasepuedeescribirddt (L2L0) =n

j=1Qj qjLtManuelRuiz-MecanicaII 50/54Integral delaenergaparasistemasholonomosddt (T2T0 +V ) =n

j=1Qj qjLtSistemasconservativosgeneralizados:L nodependeexplcitamentedet :Lt= 0Fuerzasconservativas/giroscopicas:

nj=1Qj qj= 0Integral dePainleve/Jacobi:T2T0 +V= h = Cte.h =valornumericodelhamiltoniano,enotrasvariablesManuelRuiz-MecanicaII 51/5426Integral delaenergaparasistemasholonomosddt (T2T0 +V ) =n

j=1Qj qjTt+VtSistemasconservativos:Sistemaescleronomo: T1= T0=Tt= 0,T2 TPotencial estacionario:Vt= 0Fuerzasconservativas/giroscopicas:

nj=1Qj qj= 0Integral delaenerga:T+V= h = E= Cte.E =Energamecanica, h =valornumericodelhamiltonianoManuelRuiz-MecanicaII 52/54Integral delaenergaparasistemasholonomosEj.:PartculasobreplanogiratorioOxz:T= T2 +T0,L = f(t)sistemaconservativogeneralizado,integraldePainleve:T2T0 +V=12m_ x2+ z2_12m2x2+mgz= h = Cte.y1z1x1tPzx x zxmgm2xmgP zx xzMovimientorelativo:escleronomo,fuerzaspotenciales(centrfufa,peso)/giroscopicas(Coriolis)conservativo:T+V=12m_ x2+ z2_+mgz 12m2x2= E= h = Cte. T0(abs) =Vcent(relat) Erelat= habs= hrelat= EabsManuelRuiz-MecanicaII 53/5427Ecuaciondelaenerga,sistemasnoholonomosSistemasnoholonomos:multiplicadoresdeLagrangecontarlasfuerzasdeligaduraQLj=

gk=1kCkjytratarloscomoholonomos.ddt (L2L0) =n

j=1Qj qj+n

j=1QLj qjLt=n

j=1Qj qj++n

j=1g

k=1kCkj qjLt=n

j=1Qj qj +g

k=1k__n

j=1Ckj qj__LtEstacionarias:

nj=1Ckj qj= 0 Noestac.:

nj=1Ckj qj= Bkddt (L2L0) =n

j=1Qj qjg

k=1kBkLtConservativogeneralizado:fuerzaspotenciales/giroscopicas,ligadurasnointegrablesestacionarias,Lnodependedet:h =Cte.ManuelRuiz-MecanicaII 54/5428