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Control Estadístico de procesos
La estadística y los métodos estadísticos siguen haciendo grandes progresos,
pero no es necesario saberlo todo para promover el Control de calidad y la
Gestión Empresarial, por el contrario, de hecho, puede ser perjudicial enseñar
demasiadas cosas, por ello la enseñanza de los métodos estadísticos debe
realizarse según el nivel de los usuarios, teniendo en cuenta las condiciones
reales de los puesto de trabajo donde se vayan a utilizar.
Control estadístico de procesos puede considerarse un método efectivo para
monitorizar un proceso a través del uso de gráficos de control.
Los gráficos de control, basándose en técnicas estadísticas, permiten usar
criterios objetivos para distinguir variaciones de fondo de eventos de
importancia. Casi toda su potencia está en la capacidad de monitorizar el
centro del proceso y su variación alrededor del centro. Recopilando datos de
mediciones en diferentes sitios en el proceso, se pueden detectar y corregir
variaciones en el proceso que puedan afectar a la calidad del producto o
servicio final, reduciendo desechos y evitando que los problemas lleguen al
cliente final. Con su énfasis en la detección precoz y prevención de problemas,
SPC tiene una clara ventaja frente a los métodos de calidad como inspección,
que aplican recursos para detectar y corregir problemas al final del producto o
servicio, cuando ya es demasiado tarde.
Además de reducir desechos, SPC puede tener como consecuencia una
reducción del tiempo necesario para producir el producto o servicio. Esto es
debido parcialmente a que la probabilidad de que el producto final se tenga que
re trabajar es menor, pero también puede ocurrir que al usar SPC,
identifiquemos los cuellos de botella, paradas y otros tipos de esperas dentro
del proceso. Reducciones del tiempo de ciclo del proceso relacionado con
mejoras de rentabilidad han hecho del SPC una herramienta valiosa desde el
punto de vista de la reducción de costes y de la satisfacción del cliente final.
En resumen puede decirse que es una herramienta objetiva que ayuda en la
toma de decisiones y facilita el proceso de constante mejora en una empresa.
Se trata de un lenguaje matemático con el cual los administradores y
operadores pueden entender las herramientas básicas
Cada herramienta es simple poner en ejecución. Estas herramientas se utilizan
generalmente para complementarse, más bien que se emplean como técnicas
independientes
ORGANIGRAMAS
· son las herramientas excelentes de la visualización
· Demostración de los organigramas
· El progreso del trabajo
· El flujo del material o de la información con una secuencia de
operaciones
· Los organigramas son útiles en un análisis de proceso inicial
· Los organigramas se deben complementar por los organigramas de
proceso o los organigramas de proceso (detallados) si están disponibles
· Cada uno implicado en el proyecto debe dibujar un organigrama del
proceso que es estudiado para revelar las diversas opiniones de cómo el
proceso funciona.
Organigrama del ejemplo de un procedimiento para asegurar calidad de los datos
Las Gráficas de funcionamiento
Las gráficas de funcionamiento son simplemente diagramas de características
de proceso contra tiempo o en secuencia cronológica. No tienen base
estadística, sino son útiles en revelar
tendencias
relaciones entre las variables
Las gráficas de funcionamiento se pueden utilizar para estudiar relaciones
entre las variables. Por ejemplo, en la carta antedicha, la relación entre las 2
variables es difícil de discernir. Para facilitar esto, los escalamientos apropiados
para los diagramas deben ser elegidos. Si cada uno trazó la variable tiene su
propia escala del y-axis, la gráfica de funcionamiento antedicha entonces se
convierte,
Ahora, la relación entre los dos se convierte en mucho clarificante. Este método
fallará obviamente cuando hay más de dos variables. Sin embargo, si las
variables se estandarizan antes de trazar, sólo un solo eje común es necesario,
y los resultados son justos tan claramente como los anteriores.
Vilfredo Pareto (1848-1923) descubrió eso:
el 80% de la abundancia en Italia fueron llevados a cabo por el 20% de la
población;
el 20% de clientes consideraron el 80% de ventas;
el 20% de piezas consideraron el 80% coste, etc.
Estas observaciones fueron confirmadas por Juran (1960) y dadas lugar a qué
se conoce como el principio de Pareto.
Diagrama de Pareto
El Diagrama de pareto es una gráfica en donde se organizan diversas
clasificaciones de datos por orden descendente, de izquierda a derecha por
medio de barras sencillas después de haber reunido los datos para calificar las
causas. De modo que se pueda asignar un orden de prioridades.
Mediante el Diagrama de pareto se pueden detectar los problemas que tienen
más relevancia mediante la aplicación del principio de Pareto (pocos vitales,
muchos triviales) que dice que hay muchos problemas sin importancia frente a
solo unos graves. Ya que por lo general, el 80% de los resultados totales se
originan en el 20% de los elementos.
La minoría vital aparece a la izquierda de la grafica y la mayoría útil a la
derecha. Hay veces que es necesario combinar elementos de la mayoría útil en
una sola clasificación denominada otros, la cual siempre deberá ser colocada
en el extremo derecho. La escala vertical es para el costo en unidades
monetarias, frecuencia o porcentaje.
La gráfica es muy útil al permitir identificar visualmente en una sola revisión
tales minorías de características vitales a las que es importante prestar
atención y de esta manera utilizar todos los recursos necesarios para llevar a
cabo una acción correctiva sin malgastar esfuerzos.
Algunos ejemplos de tales minorías vitales serían:
La minoría de clientes que representen la mayoría de las ventas.
La minoría de productos, procesos, o características de la calidad
causantes del grueso de desperdicio o de los costos de reelaboración.
La minoría de rechazos que representa la mayoría de quejas de la
clientela.
La minoría de vendedores que está vinculada a la mayoría de partes
rechazadas.
La minoría de problemas causantes del grueso del retraso de un
proceso.
La minoría de productos que representan la mayoría de las ganancias
obtenidas.
La minoría de elementos que representan al grueso del costo de un
inventario.
El principio de Pareto indica:
“no todas las causas de un fenómeno particular ocurren con la misma
frecuencia o con el mismo impacto "
Tales características se pueden destacar usando las Gráficas de Pareto
Cartas y análisis de Pareto
Las gráficas de Pareto demuestran los factores con la más frecuencia
posible que ocurren
El análisis de las gráficas de Pareto ayuda a hacer el mejor uso de recursos
limitados apuntando los problemas más importantes para abordar
Por ejemplo:
Los productos pueden sufrir de diversos defectos, pero
o los defectos ocurren en diversa frecuencia
o solamente algunos explican la mayoría de los defectos presentes
o diversos defectos incurren en diversos costes
Una línea de productos puede experimentar tan una gama de los defectos (A,
B, C... J). Trazando la contribución del porcentaje de cada tipo para sumar el
número de averías, da barra-traza en el diagrama siguiente. Después si, cada
uno de estas contribuciones se suma secuencialmente, se obtiene un diagrama
de línea acumulativa Estos dos diagramas juntos hacen para arriba la gráfica
de Pareto.
Ejemplo de la carta de Pareto
De la información sobre la gráfica, el fabricante podría por ejemplo,
concéntrese en la reducción de los defectos A, B y C puesto que hacen para
arriba el 75% de todos los defectos
céntrese en la eliminación del defecto E, si el defecto E causa el 40% de
pérdida monetaria.
Los diagramas del Causar-y-efecto:
También se llaman:
Diagramas de Ishikawa ( Dr. Kaoru Ishikawa, 1943)
diagramas del fishbone
Los diagramas de causa - efecto no tienen una base estadística, sino son
ayudas excelentes para solucionar de problema y el trouble-shooting
los diagramas del Causar-y-efecto pueden revelar las relaciones
importantes entre varias variables y causas posibles
proporcionar la penetración adicional en comportamiento de proceso
Se le conoce también como diagrama de las cuatro M:
Máquina (machine)
Material (material)
Mano de obra (manpower)
Método (meted)
Los Diagramas de Causa Efecto ilustran la relación entre las características
(los resultados de un proceso) y aquellas causas que, por razones técnicas, se
considere que ejercen un efecto sobre el proceso. Casi siempre por cada
efecto hay muchas causas que contribuyen a producirlo. El Efecto es la
característica de la calidad que es necesario mejorar. Las causas por lo general
se dividen en las causas principales de métodos de trabajo, materiales,
mediciones, personal y entorno. A veces la administración y el mantenimiento
forman parte también de las causas principales. A su vez, cada causa principal
se subdivide en causas menores. Por ejemplo, bajo el rubro de métodos de
trabajo podrían incorporarse la capacitación, el conocimiento, la habilidad, las
características físicas, etc.
El uso de este diagrama facilita en forma notables el entendimiento y
comprensión del proceso y a su vez elimina la dificultad del control de calidad
en el mismo, aun en caso de relaciones demasiado complicadas y promueven
el trabajo en grupo, ya que es necesaria la participación de gente involucrada
para su elaboración y uso.
Ejemplo de un diagrama del Causa-efecto
Histograma de la frecuencia
El histograma de la frecuencia es un método gráfico y fácilmente interpretado
muy eficaz para resumir datos El histograma de la frecuencia es una
herramienta estadística fundamental del proceso estadístico
Proporciona la información alrededor:
el promedio (medio) de los datos
la variación presente en los datos
el patrón de la variación
si el proceso está dentro de lo especificado
Presentación de datos en forma ordenada con el fin de determinar la frecuencia
con que algo ocurre.
El Histograma muestra gráficamente la capacidad de un proceso, y si así se
desea, la relación que guarda tal proceso con las especificaciones y las
normas. También da una idea de la magnitud de la población y muestra las
discontinuidades que se producen en los datos.
Histogramas De Dibujo De la Frecuencia
En histogramas de dibujo de la frecuencia, considere las reglas siguientes:
Los intervalos deben ser espaciados igualmente
Seleccione los intervalos para tener valores convenientes
El número de intervalos está generalmente entre 6 a 20
Las cantidades pequeñas de datos requieren pocos intervalos
10 intervalos son suficientes para 50 a 200 lecturas
Procesos que no están en un estado del control estadístico:
demuestra las variaciones excesivas
exhiba las variaciones que cambian con tiempo
Gráficas de Control
Se utilizan para detectar si un proceso es estadístico estable. Las gráficas del
control distinguen entre las variaciones, eso espera normalmente de las causas
debidas de proceso de la ocasión o del campo común. En un cierto plazo el
cambio debido a las causas asignables o especiales
Variaciones debido a las causas comunes
tenga efecto pequeño en el proceso
sea inherente al proceso debido a: la naturaleza del sistema
- se maneja la manera el sistema
- se organiza y se funciona la manera el proceso
la lata solamente se quite cerca
- fabricación de modificaciones al proceso
- cambiar el proceso
es la responsabilidad de una gerencia más alta
Las variaciones debido a las causas especiales son:
localizado en naturaleza
excepciones al sistema
anormalidades consideradas
a menudo específico a :
- cierto operador
- cierta máquina
- cierta hornada del material, del etc.
La investigación y el retiro de las variaciones debido a las causas especiales
son dominantes a la mejora de proceso.
Nota : A veces la delineación entre las causas comunes y especiales puede no
estar muy clara
Los principios detrás del uso de las gráficas de control son muy simples y se
basan en el uso combinado de
gráficas de funcionamiento
prueba de la hipótesis
El procedimiento es:
muestree el proceso en los intervalos regulares
trace la estadística (o una cierta medida del funcionamiento)
- medio
- gama
- variable
- número de defectos, del etc.
compruebe (gráficamente) si el proceso está bajo control estadístico
si el proceso no está bajo control estadístico, haga algo sobre él
Diversas gráficas se utilizan dependiendo de la naturaleza de las cartas
comúnmente usadas planeadas de los datos son:
para los datos continuos (de las variables):
- Medio de la muestra de Shewhart ( - gráfica)
- Gama de la muestra de Shewhart ( R - gráfica)
- Muestra de Shewhart ( X - gráfica)
- Suma acumulativa (CUSUM)
- Gráfica exponencial cargada del promedio móvil (EWMA)
- Gráficas Mover-medias y de la gama
para ( cualidades y contable) los datos descritos :
- proporción de la muestra defectuosa ( p - gráfica)
- número de la muestra de los defectivos ( np - gráfica)
- número de la muestra de los defectos ( c - gráfica)
- número de la muestra de defectos por la unidad ( u - gráfica -
gráfica)
Las gráficas de control hacen asunciones sobre la estadística trazada, a saber
es independiente, es decir. un valor no es influenciado por su último
valor y no afectará los valores futuros
se distribuye normalmente, es decir los datos tienen una función normal
de la densidad de la probabilidad
Función Normal De la Densidad De la Probabilidad
Las asunciones de la normalidad y de la independencia permiten a
predicciones ser hechas sobre los datos.
La distribución normal N ( , 2) tiene varias características distintas:
La distribución normal es acampanada y es simétrica
El medio, , está situado en el centro
Las probabilidades que un punto, x, mentiras cierta distancia más allá
del medio es:
- Banda (x > + 1,96 ) = banda ( x > - 1,96 ) = 0,025
- Banda (x > + 3,09 ) = banda ( x > 3,09 ) = 0,001
es la desviación de estándar de los datos
Gráficas de control: interpretación
Las gráficas del control son distribuciones normales con una dimensión
agregada del tiempo
Las gráficas del control son cartas de funcionamiento con distribuciones
normales sobrepuestas
Gráficos para probar hipótesis
Las gráficas del control proporcionan los medios gráficos para probar hipótesis
sobre los datos que son supervisados.
Considere la gráfica comúnmente usada de Shewhart como ejemplo.
La gráfica X de Shewhart con límites del control y de la advertencia
La probabilidad de una muestra que tiene un valor particular es dada por su
localización en la gráfica. Si se asume que la estadística trazada está
distribuida normalmente, la probabilidad de un valor que miente más allá de:
los límites amonestadores son la aproximadamente ocasión 0,025 o
2,5%
los límites de control son aproximadamente 0,001 o 0,1% ocasiones,
éste es raro e indica eso
- la variación es debido a una causa asignable
- el proceso esta fuera del control estadístico
Las reglas del funcionamiento
Son las reglas que se utilizan para indicar situaciones fuera del control
estadístico.
Las reglas típicas del funcionamiento para las gráficas X de Shewhart con
límites del control y advertencia son:
un punto que miente más allá de los límites de control
2 puntos consecutivos que mienten más allá de los límites de
advertencia (0.025x0.025x100 = 0,06% oportunidades de ocurrir)
7 puntos o más consecutivos que mienten en un lado del medio (0,5 7
x100 = 0,8% oportunidades de ocurrir e indica un cambio en el medio del
proceso)
5 o 6 puntos consecutivos que entran en la misma dirección (indica una
tendencia)
Otras reglas del funcionamiento se pueden formular usando principios
similares
Las gráficas de CUSUM:
Son excelentes para detectar cambios en medios. Una gráfica de CUSUM es
simplemente un diagrama de la suma de un cierto proceso característico contra
tiempo. Ejemplos de gráficas de control:
En resumen puede decirse que las graficas de control Es una herramienta
estadística que detecta la variabilidad, consistencia, control y mejora de un
proceso.
La gráfica de control se usa como una forma de observar, detectar y prevenir el
comportamiento del proceso a través de sus pasos vitales.
Así mismo nos muestra datos en un forma estática, tienen por supuesto sus
aplicaciones, y es necesario saber sobre los cambios en los procesos de
producción, la naturaleza de estos cambios en determinado período de tiempo
y en forma dinámica, es por esto que las gráficas de control son ampliamente
probadas en la práctica.
Características Generales de las Gráficas de Control
El termino consistencia se refiere a la uniformidad en la salida del proceso; es
preferible tener un producto de un proceso consistente, que tener uno con
calidad superior, pero de un proceso intermitente.
Una gráfica de control se inicia con las mediciones considerando, sin embargo
que las mediciones dependen tanto de los instrumentos, como de las personas
que miden y de las circunstancias del medio ambiente , es conveniente anotar
en las gráficas de control observaciones tales como cambio de turno,
temperatura ambiente.
Tipos de Gráfica y Características Principales
Para construir una gráfica de control, es importante distinguir el tipo de datos a
graficar pueden ser. Datos continuos, datos discretos, dicha gráfica dependerá
del tipo de datos.
Para la utilización de las gráficas se requiere un procedimiento específico:
Decidir la gráfica de control a emplear
Construir gráficas de control para el control estadístico del proceso
Controlar el proceso, si aparece una anormalidad sobre la gráfica de
control, investigar inmediatamente las causas y tomar acciones
apropiadas.
Gráficas de variables
Una gráfica de control X-R, en realidad son dos gráficas en una, una
representa los promedios de las muestras de la (gráfica X) y la otra representa
los rangos (gráfica R), deben construirse juntas, ya que la gráfica X, nos
muestra cualquier cambio en la media del proceso y la gráfica R nos muestra
cualquier cambio en la dispersión del proceso, para determinar las X y R de las
muestras, se basan en los mismos datos.
El uso particular de la grafica X-R es que nos muestra los cambios en el valor
medio y en la dispersión del proceso al mismo tiempo, además es una
herramienta efectiva para verificar anormalidades en un proceso
dinámicamente.
Algunos puntos importantes a considerar previo a la elaboración de esta gráfica
son:
Variable a considerar
Tamaño de la muestra
Tener un criterio para decidir si conviene investigar causas de variación del
proceso de producción.
Familiarizar a l personal con el uso de esta gráfica.
El proceso que se debe seguir para construir una grafica es:
La construcción de una gráfica de rangos y promedio resulta de formar una
unidad, tanto de la gráfica de promedios como de la de rangos, consta de dos
secciones,
Parte superior se dedica a los promedios,
Parte inferior a los rangos, en el eje vertical se establece la escala, a lo largo
del eje horizontal se numeran las muestras.
Mediante este proceso está bajo control cuando no muestra ninguna tendencia
y además ningún punto sale de los límites.
Gráfica de medidas y desviaciones estándar
Esta gráfica es el instrumento estadístico que sirve para estudiar el
comportamiento de un proceso de manufactura, considerando como indicador
la desviación estándar.
La estructura general, está constituida por dos porciones, una se destina al
registro de los promedios de la característica de calidad en consideración y otra
para controlar la variabilidad del proceso.
La ventaja de usar esta gráfica es que para estos valores de n la desviación
estándar es más sensible a cambios pequeños que el rango.
Dentro del procedimiento de construcción para dicha grafica incluye cálculos de
límites de control para las dos partes que constituyen la gráfica y la graficación
de los promedios y desviaciones estándar obtenidos en cada subgrupo.
Es importante la variabilidad del proceso de control, al iniciar la construcción de
la gráfica, si el proceso no muestra estabilidad estadística, entonces la parte
correspondiente a los promedios no será confiable dado que los límites de
control de X dependen del valor medio de s.
Gráficas de medianas y rangos
Es la herramienta estadística que permite evaluar el comportamiento del
proceso a partir de la mediana y del rango. La estructura es la común a todas
las gráficas de control para variables.
La parte superior registra el valor medio de las características de calidad en
estudio, y la parte inferior indica la variabilidad de la misma.
El cálculo de la mediana, es muy sencillo, de modo que utilizar esta gráfica par
monitorear el proceso es atractivo para el usuario.
El uso de esta gráfica en procesos que actualmente muestren estabilidad
estadística. Como toda gráfica de control, el usuario obtendrá, de una manera
continua, información rápida y eficiente del proceso en estudio; para verificar
que el proceso continua en control o bien para reconocer la aparición de
causas especiales de variación.
Para el procedimiento de construcción de esta gráfica es muy similar al de la
gráfica de medias y rangos; estos es calculando los límites de control, luego se
grafican los puntos y se integran los límites de control y líneas centrales, por
último se efectúa la lectura de la gráfica, a fin de ver si el proceso continua
estable o bien percibir alguna situación de anormalidad.
Diagrama de Dispersión
Un Diagrama de Dispersión es la forma más sencilla de definir si existe o no
una relación causa efecto entre dos variables y que tan firme es esta relación,
como estatura y peso. Una aumenta al mismo tiempo con la otra.
El Diagrama de Dispersión es de gran utilidad para la solución de problemas de
la calidad en un proceso y producto, ya que nos sirve para comprobar que
causas (factores) están influyendo o perturbando la dispersión de una
característica de calidad o variable del proceso a controlar.
Los motivos más comunes de este tipo de diagrama son analizar:
La relación entre una causa y un efecto.
La relación entre una causa y otra.
La relación entre una causa y otras dos causas.
Un efecto y otro efecto.
Estratificación
Es un método que permite hallar el origen de un problema estudiando por
separado cada uno de los componentes de un conjunto. Es la aplicación a esta
técnica del principio romano "divide y vencerás" y del principio de Management
que dice: "Un gran problema no es nunca un problema único, sino la suma de
varios pequeños problemas". A veces, al analizar separado las partes del
problema, se observa que la causa u origen está en un problema pequeño.
En la Estratificación se clasifican los datos tales como defectivos, causas,
fenómenos, tipos de defectos (críticos, mayores, menores), en una serie de
grupos con características similares con el propósito de comprender mejor la
situación y encontrar la causa mayor mas fácilmente, y así analizarla y
confirmar su efecto sobre las características de calidad a mejorar o problema a
resolver.
Hojas de Verificación o Comprobación
Es un formato especial constituido para colectar datos fácilmente, en la que
todos los artículos o factores necesarios son previamente establecidos y en la
que los records de pruebas, resultados de inspección o resultados de
operaciones son fácilmente descritos con marcas utilizadas para verificar.
Para propósitos de control de procesos por medio de métodos estadísticos es
necesaria la obtención de datos. El control depende de ellos y, por supuesto,
deben ser correctos y colectados debidamente. Además de la necesidad de
establecer relaciones entre causas y efectos dentro de un proceso de
producción, con propósito de control de calidad de productividad, las Hojas de
Verificación se usan para:
Verificar o examinar artículos defectivos.
Examinar o analizar la localización de defectos.
Verificar las causas de defectivos.
Verificación y análisis de operaciones (A esta última puede llamársele
lista de verificación)
Las Hojas de Verificación se utilizan con mayor frecuencia:
Para obtener datos.
Para propósitos de inspección.
La Hoja de Verificación para la obtención de datos se clasifica de acuerdo con
diferentes características (calidad o cantidad) y se utilizan para observar su
frecuencia para construir gráficas o diagramas. También se utilizan para
reportar diariamente el estado de las operaciones y poder evaluar la tendencia
y/o dispersión de la producción.
Las Hojas de Verificación para propósitos de inspección se utilizan para checar
ciertas características de calidad que son necesarias de evaluar, ya sean en el
proceso o producto terminado.
GRAFICOS DEL CONTROL PARA ATRIBUTOS
Las características de calidad que no pueden ser medidas con una escala
numérica, se juzga a través de un criterio más o menos subjetivo.
En tales casos, cada artículo inspeccionado por lo general se clasifica
como conforme o disconforme respecto de las especificaciones para esas
características de la calidad. A las características de la calidad de este tipo se
les llama atributos.
El término atributos se utiliza en literatura sobre control de calidad para
describir dos situaciones:
1. Cada pieza producida es defectuosa o no defectuosa (cumple las
especificaciones o no).
2. Una sola pieza puede tener uno o más defectos y el numero de estos es
determinado.
En el primer caso, una grafica de control está basada en la distribución
binomial; en el último, la distribución de Poisson es la base para la grafica.
Se presentan dos cartas de control de atributos:
1. Gráfica de control para la fracción disconforme o gráfica p
2. Gráfica de control de disconformidades o gráfica c
Grafica p.- Se clasifica la unidad de observación en una de dos categorías
alternas, por ejemplo pasa o no pasa, cumple con las especificaciones y no
cumple con las especificaciones; Se puede rastrear la producción de
unidades defectuosas en la muestra de observación.
Grafica C.- Cuando una observación consiste en la cantidad de defectos por
unidad de observación, se rastrean la cantidad de los defectos.
Los datos se presentan con periodicidad a la gerencia y con ellos se integran
números índices, que son muy importantes en el desarrollo de una empresa,
estos pueden referirse al producto, desperdicio rechazo de materiales.
Dentro de la clasificación de las características calidad por atributos se
requiere:
De un criterio
De una prueba
De una decisión
El criterio se establece de acuerdo con las especificaciones.
La prueba consiste en la operación que se realiza para averiguar la existencia o
no del criterio establecido. La decisión determina qué título debe darse al
producto, es decir si pasó o no pasa.
Características principales
A continuación se comentan una serie de características que ayudan a
Comprender la naturaleza de la herramienta.
Comunicación
Simplifican el análisis de situaciones numéricas complejas.
Impacto visual
Muestran de forma clara y de un "vistazo" la variabilidad del resultado de un
Proceso, respecto a una determinada característica, con el tiempo.
Sencillez
La naturaleza de los datos necesitados permite recogerlos y tratarlos de forma
Simple y rápida.
Aplicabilidad
Los Gráficos de Control por Atributos se pueden utilizar para cualquier tipo de
proceso, producto o servicio y característica de los mismos, sea esa medible o
no.
Los cuatro tipos de gráficos de control por atributos son:
Gráfico “p” para porcentajes defectuosos
Gráfico “np” para el número de unidades defectuosas
Gráfico “c” para el número de defectos
Gráfico “u” para el número de defectos por unidad inspeccionada
Gráfico “p” para porcentajes defectuosos
"p" es el porcentaje de las unidades no conformes encontradas en la
muestra controlada.
La fracción no conforme de un colectivo se define como el cociente entre el
número de unidades defectuosas y el número total de unidades en dicho
colectivo. Cada unidad de producto puede ser examinada por el inspector
respecto de una o varias características cualitativas. Si la unidad inspeccionada
no es conforme respecto a la especificación en una o más características, se
clasifica como no conforme. Habitualmente, la fracción no conforme se expresa
en forma decimal aunque puede también indicarse en tanto por ciento.
La distribución binomial es la base estadística del gráfico de control por
atributos. Supondremos que el proceso está operando de forma estable y que
la posibilidad de que una unidad de producto sea defectuosa es constante y de
valor p. También, supondremos que las unidades producidas sucesivamente
son independientes. Entonces, si tomamos una muestra de n unidades, y
llamamos x al número de unidades no conformes, la probabilidad de que x
tome los valores 0, 1, 2.... n vendrá determinada por la distribución binomial
con parámetros n, p:
El valor medio y la varianza de esta distribución son :
La fracción muestral no conforme se define como el cociente entre el número
de unidades no conformes en la muestra x y el tamaño de la misma p = x/n.
El valor medio y la varianza de p serán respectivamente :
Como consecuencia de la relación p = x/n
Operativa del gráfico de control “p”
La base estadística para definir los límites de control es común con los
restantes gráficos de Shewhart: Si W es un estadístico que describe una
determinada característica de calidad siendo mw y sw2 su media y su varianza,
los límites de control se definen como :
K es la distancia de los límites de control a la línea central expresada como un
múltiplo de sw. Habitualmente escogeremos K = 3.
Supongamos que conocemos o se especifica la fracción p no conforme de un
proceso de producción. Entonces los limites de control resultan:
La operativa consiste en tomar sucesivas muestras de n unidades, contar
dentro de cada muestra el número de unidades no conformes y calcular =
D/n llevando este valor al gráfico. En tanto permanezca dentro de los límites
de control y la secuencia de puntos no señale ninguna pauta distinta a la que
puede surgir por mero azar, diremos que el proceso está bajo control al nivel p
de fracción no conforme. Si por el contrario, observamos algún punto fuera de
control o un patrón inusual diremos que la fracción defectuosa ha cambiado a
un nivel diferente y que el proceso está fuera de control.
Cuando se desconoce p, debe estimarse a partir de los datos. El procedimiento
a seguir es seleccionar m muestras preliminares, cada una de tamaño n. Como
norma general, m estará comprendido entre 20 y 25. Si Di es el número de
unidades defectuosas en la muestra i, calcularemos la fracción defectuosa en
la muestra cómo ; i = 1, 2... .n y la media de estas fracciones,
estimará la media p del proceso siendo los límites de
control:
Frecuentemente se utiliza solo el límite superior.
Estos límites de control se consideran como limites de prueba y sirven para
determinar si el proceso estaba bajo control cuando las m muestras iniciales
fueron seleccionadas. Si todos los puntos caen dentro de los límites de control
y no se observa ninguna pauta anormal dictaminaremos que el proceso estaba
bajo control a la toma de las m muestras y los límites de prueba serán validos
para controlar la producción actual y la futura.
Los límites de control para la producción actual deben basarse en datos
obtenidos de una situación estable. Por ello, cuando alguno de los puntos
iniciales está fuera de control se hace necesario revisar los límites de control.
Esto se realiza examinando cada punto fuera de control y buscando las causas
asignables. Si se localiza la causa asignable se descarta el punto
correspondiente y se vuelven a calcular los límites de control con los puntos
restantes. Puede darse el caso que alguno de estos restantes puntos se
encuentre ahora fuera de control respecto de los nuevos límites ya que estos
serán, normalmente, más estrechos que los iniciales. Entonces, deben
repetirse los pasos dados anteriormente hasta que todos los puntos se
encuentren dentro de control con lo que ya podremos adoptar los límites hasta
entonces provisionales como límites definitivos.
Si el gráfico de control se basa en un valor estándar conocido (un objetivo) para
la fracción no conforme p, entonces el cálculo de límites de prueba es,
generalmente, innecesario aunque deben tomarse ciertas precauciones en el
sentido de comprobar si el proceso está bajo control a un valor de p diferente
de i indicado en el objetivo. Por ejemplo, supongamos que la Dirección señala
como valor objetivo p = 0,01 pero que el proceso se encuentra realmente bajo
control a p = 0,05.
Utilizando el gráfico correspondiente a p = 0,01 encontraremos muchos puntos
fuera de control sin que aparezca causa asignable. No obstante, suele ser útil
esta opción para mejorar el nivel de calidad llevando el proceso al nivel
adecuado, sobre todo en procesos donde la fracción no conforme puede ser
controlada mediante un proceso sencillo de ajuste.
Diseño del gráfico p
El gráfico p tiene tres parámetros a especificar: Tamaño y frecuencia del des
muestre y distancia entre límites de control.
Es frecuente calcular el gráfico de control a partir de la inspección realizada a lo
largo de un periodo de tiempo determinado. Un día, un turno, etc. En este caso,
la frecuencia y el tamaño de la muestra están relacionados. Generalmente, se
selecciona inicialmente la frecuencia del des muestre apropiada para la
producción a inspeccionar y de ahí resulta el tamaño de la muestra,
Los subgrupos racionales pueden jugar también un papel importante en
determinar la frecuencia del des muestre. Por ejemplo, si hay tres turnos y
Sospechamos que entre turnos puede variar el nivel de calidad utilizaremos
cada turno como un subgrupo sin mezclarlos para obtener una fracción diaria
no conforme. Si p es pequeño n deberá ser suficientemente grande para
encontrar, al menos una unidad defectuosa en la muestra.
Se ha sugerido que el tamaño de muestra debe ser lo bastante grande para
tener una probabilidad de aprox. 50% de detectar un cambio de una
determinada magnitud. Por ejemplo, supongamos que p = 0,01 y que
queremos que la probabilidad de detectar un cambio a p = 0,05 sea del 50%.
Suponiendo que aproximamos la distribución binomial respecto de la normal,
escogeremos de tal forma que el límite de Control Superior coincide con la
fracción no conforme en la situación de fuera de control. Si 6 es la magnitud del
cambio del proceso, entonces n debe satisfacer
En nuestro ejemplo, p = 0,01, d = 0,05-0,01 = 0,04 y con K=3 n = 56
Los límites 3s son los que se usan con más frecuencia aunque pueden
adaptarse otros más sensibles a costa de exponerse a situaciones más
frecuentes de falsa alarma.
A veces, suelen usarse límites más estrechos (por ejemplo 2s) dentro de una
situación de urgencia para mejorar la calidad de un proceso. Estos límites
deben utilizarse con precaución porque las falsas alarmas destruyen la
confianza de los operadores en los gráficos de control.
Hay que tener en cuenta que los límites de control estudiados se basan en la
distribución binomial que considera constante la proporción defectuosa “p’ y
que los valores sucesivos son independientes. En procesos en los que las
unidades no conformes están agrupadas o en los que la probabilidad de
Producir una unidad defectuosa depende de que la anterior unidad producida
haya sido no defectuosa, no son aplicables este tipo de gráficos.
Deben examinarse con cuidado aquellos puntos situados por debajo del límite
de control inferior. Estos puntos no suelen ser lo que aparentemente indican:
Una mejora en la calidad del proceso por disminución de a sino que suelen
originarse por errores en la inspección o por causa de aparatos de medida mal
calibrados. También puede deberse a que los operadores hayan registrado
datos ficticios para cubrir su responsabilidad.
Calculando los límites de control para gráficos p
Las finalidades principales de conocer los límites de control de la gráfica p, son:
Poner a la atención de la dirección cualesquiera cambios en el grado
promedio de calidad.
Descubrir los puntos altos fuera de control que requieren actuar
Descubrir los puntos bajos fuera de control que indiquen normas menos
estrictas para inspección o causas erráticas de mejoramiento de calidad
Las fórmulas que nos permiten encontrar los valores de los límites cuando el
tamaño de la muestra es igual son:
_________ _________
*LCL = p - 3 √ _p (1- p ) *UCL = p + 3 √ _p (1- p )_
n n
_________
*Sp = √ _p (1- p ) (conocido como Error estándar de la proporción)
n
Cuando el tamaño de la muestra es diferente, la n se encuentra con la fórmula
n- = Número total de elementos en consideración
Número total de subgrupos
A continuación se aplicarán estas fórmulas en el desarrollo del gráfico p.
Creando un gráfico p
En base al ejemplo anterior de las muestras de gasas, se creará un nuevo
gráfico siguiendo los pasos para un gráfico p.
Para este tipo de gráfico de disconformidad, la diferencia radica que en lugar
de tomar el número de elementos disconformes como Y, se utiliza la proporción
disconforme de la tabla en cada observación.
Los límites se obtienen con las fórmulas correspondientes, obteniendo
LCL = -0.015 Sp = 0.0078
UCL = 0.062
De este modo la gráfica obtenía es
Hay algunos casos en los que el tamaño de las muestras es distinto cada vez.
En esos casos se utiliza la fórmula de n- (mencionada anteriormente) para
sacar un promedio del tamaño muestral, y posteriormente se hace la
sustitución en las fórmulas.
1 2 3 4 5 6 7 8 90
0.010.020.030.040.050.060.07
Gráfico p para esponjas de gasas n=600
Muestras
Pro
po
rció
n
Gráfico np para unidades defectuosas
Es equivalente al gráfico anterior, pero aplicable solamente si todas las
muestras son del mismo tamaño "n". "np" = Nº de unidades no conformes.
Supongamos un proceso que fabrica tornillos. Una manera de ensayar cada
tornillo sería probarlo con una rosca calibrada.
El resultado de este ensayo sólo tiene dos posibles resultados:
Defectuoso - No Defectuoso (ó Conforme-No Conforme )
. Si el tornillo no entra en la rosca, se lo considera defectuoso o no
conforme.
Para controlar este proceso, se puede tomar una muestra de tornillos y contar
el número de defectuosos presentes en la muestra.
La variable aleatoria número de defectuosos es una variable aleatoria discreta,
porque puede tomar un número finito de valores, o infinito numerable. Los
gráficos np se utilizan para controlar el número de defectuosos en una muestra.
Para controlar este proceso, un inspector se coloca al final de la línea de
producción y cada hora retira una muestra de n=50 tornillos (por ejemplo),
Comprueba cada uno con la rosca y anota el número de defectuosos.
Este resultado se anota en un gráfico hora por hora denominado gráfico np.
Si se tomara del proceso un sólo tornillo ¿Cuál es la probabilidad de que sea
defectuoso? Imaginando la población de tornillos que podría fabricar el proceso
trabajando siempre en las mismas condiciones, una cierta proporción p de
estos serían defectuosos. Entonces, la probabilidad de tomar un tornillo y que
sea defectuoso es p.
En una muestra de n tornillos, la probabilidad de encontrar:
0 defectuosos; 1 defectuoso; 2 defectuosos;...; n
defectuosos
Está dada por una distribución binomial con parámetros n y p.
Como sabemos, el promedio de la población es p y la varianza es n.p.(1-p).
Para construir los gráficos de control np, en una primera etapa se toman N
muestras (más de 20 ó 25) a intervalos regulares, cada una con n tornillos. Se
cuenta en cada muestra el Número de Defectuosos y se registra. Se obtendría
una Tabla como la siguiente:
En cada muestra, la fracción de defectuosos es Di/n, siendo Di el número de
elementos defectuosos en la muestra i, y n el número de elementos en la
Muestra i
A partir de la tabla podemos calcular p como promedio de las fracciones de
defectuosos en las muestras:
Siendo N el número de muestras, y luego la Desviación Standard s:
Con esto podemos calcular los Límites de Control para el gráfico np:
Construimos entonces un Gráfico np de prueba y representamos el número de
defectuosos en las muestras.
Si no hay puntos fuera de los límites de control y no se encuentran patrones no
aleatorios, se adoptan los límites calculados para controlar la producción futura.
Para las personas con poco entrenamiento estadístico, este gráfico suele ser
Más fácil de interpretar que el gráfico p. Frecuentemente se utiliza solo el límite
superior.
En algunos procesos interesa medir la cantidad de defectos que presentan las
unidades de producto que se están fabricando. Por ejemplo, se fabrican
teléfonos celulares y entonces se toma uno de ellos y se cuenta el número total
de defectos. Estos podrían ser:
Rayas en la superficie.
grietas en el plástico
Antena defectuosa
Botón defectuoso.
Etc.
Los defectos pueden ser de diferentes tipos y se cuenta el total de todos estos
defectos en la unidad inspeccionada. Obtenemos un resultado que es el
Número de Defectos por unidad de inspección.
A medida que el proceso genera las unidades (Teléfonos móviles), retiramos
una unidad a intervalos regulares y contamos el número total de defectos. En
cada unidad podemos encontrar: 0 defectos
1 defecto
2 defectos
...
n defectos
Los resultados obtenidos al contar el Número de Defectos en unidades de
inspección tomadas a intervalos regulares constituyen una variable aleatoria
discreta, porque puede tomar los valores discretos 0, 1, 2, ... n.
Esta variable aleatoria tiene una distribución de Poisson:
Los gráficos C se utilizan para controlar el número de defectos en una muestra
del producto o unidad de inspección. Para controlar este proceso, un inspector
se coloca al final de la línea de producción y cada cierto intervalo retira una
unidad de inspección, verifica y anota el número total de defectos.
Este resultado se anota en un gráfico denominado gráfico C. De acuerdo a la
Distribución de Poisson, si denominamos C al parámetro de la función de
distribución, el promedio de la población es C y la varianza también es C.
Una unidad defectuosa puede tener uno o más defectos. Sin embargo, es
posible que una unidad de producto tenga varios defectos y que no sea
clasificada como defectuosa debido a la naturaleza poco importante del
defecto. Existen en la práctica muchas situaciones en las que es preferible
trabajar con el número de defectos que con el porcentaje o el número de
unidades defectuosas. Por ejemplo, el número de soldaduras defectuosas en
un tubo de conducción de gas, el número de defectos funcionales es un
dispositivo electrónico, etc.
Se pueden efectuar gráficos de control para el número total de defectos por
unidad de producto o para el número de defectos en la muestra. Estos gráficos
de control se basan en la distribución de Poisson que exige un número de
puntos donde potencialmente podría producirse el defecto infinitamente grande,
así como que la probabilidad de que el defecto aparezca en un determinado
punto sea muy pequeña y constante.
La unidad de inspección debe ser la misma en cada muestra. Es decir cada
unidad de inspección debe representar siempre una probabilidad igual de que
se produzcan los defectos. En la mayor parte de las situaciones prácticas,
estas condiciones no se satisfacen exactamente. El número de oportunidades
(puntos) para los defectos suele ser finito y la probabilidad de aparición de
defectos puede no ser constante. Si las desviaciones respecto de la situación
ideal no son importantes, puede usarse el modelo de Poisson. Existen, sin
embargo, casos en los que las desviaciones respecto de las condiciones del
modelo son considerables y en los que la utilización de la distribución de
Poisson es inadecuada.
Calculando los límites de control para gráficos np
Se deberá estimar la probabilidad, p, de que el proceso produzca un elemento
disconforme. Para obtener una buena estimación, se necesita evaluar al menos
de 20 a 25 muestras o subgrupos y contar el número de elementos
disconformes en cada uno.
La mejor estimación para p será p-, la media proporcional de elementos
disconformes. Las fórmulas para calcular los límites de control, la media
proporcional y la línea central del gráfico son las siguientes:
* p- = Número total de elementos disconformes en todos los grupos
Número total de elementos en todos los grupos
* Línea central = np- , donde n = el tamaño del subgrupo común
_________
* UCL = np- + 3√ np- (1 – p-)
___________
* LCL = np- - 3√ np- (1 – p-)
A continuación, se verá un ejemplo para comprender con más detalle el
funcionamiento de las fórmulas y el desarrollo de los histogramas np.
Creando un gráfico np
Para realizar un gráfico de este tipo, se siguen principalmente 4 pasos básicos:
1) Captura de datos en Excel
2) Cálculo de la proporción disconforme
3) Sustitución en las fórmulas
4) Creación del gráfico en Excel
Los datos se capturan primeramente en Excel, creando las columnas
necesarias. Es importante aclarar que los gráficos np se utilizan cuando el
tamaño de las muestras es el mismo cada vez que se toman; de ahí que el
tamaño de la muestra, n, es constante.
Para aplicar estos conocimientos se utilizará el siguiente ejemplo.
Una manufacturera de esponjas de gasa toma una muestra de 600 esponjas
diariamente, las inspecciona y registra el número de esponjas defectuosas. En
total hay 9 muestras de esponjas, representados en la siguiente tabla:
=21/600
=22/600
=20/600
.
.
.
.
NUMERO DE ESPONJAS DE GASA DISCONFORMES EN 32
MUESTRAS DE TAMAÑO n =32
DíaElementos
disconformesn
Proporción
disconforme
p- = (x/n)
1 21 600 0.035
2 22 600 0.037
3 20 600 0.036
4 21 600 0.035
5 23 600 0.038
6 39 600 0.065
7 18 600 0.030
8 24 600 0.040
9 20 600 0.033
Y así sucesivamente.
La proporción disconforme es el resultado de la división de los elementos
disconformes entre el tamaño de la muestra, en este caso, 600.
A continuación, se sustituyen los valores en las fórmulas para calcular los
valores de los límites. Así, se tiene que
p- = Número total de elementos disconformes en todos los grupos
Número total de elementos en todos los grupos
p- = 208 (suma de la columna ‘Elementos disconformes’)
9(600) (suma de los elementos muestreados)
p- = 0.0385
Línea central = np- , donde n = el tamaño del subgrupo común
Línea central = (600)(0.0385) = 23.1*
_________
UCL = np- + 3√ np- (1 – p-)
UCL = 23.1 + 3√ 23.1 (1 – 0.0385) = 37.8* =
___________
LCL = np- - 3√ np- (1 – p-)
LCL = 23.1 - 3√ 23.1 (1 – 0.0385) = 8.96 *
* Estos valores se usarán en la creación del gráfico np. Para realizar el
histograma, siga los pasos del subtema “4.3 GRÁFICAS X Y R”, en la sección
‘Crear el gráfico R’. Los pasos son básicamente los mismos, sólo basta sustituir
el valor de los elementos disconformes en lugar de los valores de R como eje x,
y los valores de los límites nuevos.
La gráfica resultante es
Gráficos “c” para tamaño de muestra constante
Es equivalente al gráfico anterior, pero aplicable solamente si todas las
muestras son del mismo tamaño n.
Este Gráfico es utilizado, además, cuando las disconformidades se hallan
dispersas en un flujo más o menos continuo de producto.
"c" = Nº de disconformidades
En el gráfico ‘c’ se representan el número de defectos existentes en cada
unidad de inspección. En la mayor parte de los casos, la unidad de inspección
será una unidad de producto aunque esto no es absolutamente necesario ya
que la unidad de inspección constituye simplemente una porción de producción
sobre la que es conveniente registrar el número de defectos encontrados.
1 2 3 4 5 6 7 8 905
1015202530354045
Gráfico np para esponjas de gasas n=600
Número muestral
Cu
en
ta m
ue
str
al
Puede ser un grupo de 1,5 6 10 unidades de producto. Supongamos que los
defectos tienen lugar en esta unidad de inspección de acuerdo con la
Distribución de Poisson
Donde x es el número de defectos en la unidad de inspección y C es el
parámetro de la distribución, Sabemos que la media y la varianza de la
distribución de Poisson son ambas iguales a C. En consecuencia, los límites de
control 3 sigma para el número de defectos serán:
Hay que tener en cuenta que la probabilidad de producir una falsa alarma por
situarse el punto por encima del límite de control superior es diferente que la de
situarse por debajo del límite inferior (colas superior e inferior diferentes). Si no
se conoce el parámetro c, debe estimarse a partir de una muestra preliminar de
unidades de inspección. El valor obtenido en la estimación, O sustituirá al valor
O en los límites arriba indicados.
Análisis de defectos
Los datos sobre defectos aportan siempre mayor información que los relativos
a unidades defectuosas ya que habitualmente existen diversos tipos de
defectos.
Al analizar por conteo la frecuencia de cada tipo de defecto observamos que,
en muchas ocasiones, los resultados están acordes con la distribución de
PARETO y que un pequeño número de defectos es causa de la mayor parte de
los problemas. Si somos capaces de eliminar las causas de unos pocos tipos
de defectos, habremos conseguido una drástica mejora en la calidad.
Gráfico “u”
Se emplea cuando pueden aparecer varias disconformidades independientes
(Defectos) en una misma unidad de producto o servicio.
(Ejemplos: Montaje de componentes complejas como televisores, ordenadores,
o prestación de servicios con múltiples puntos de contacto con el cliente).
"u" = Nº de disconformidades de una unidad
Supongamos que se está controlando el número de defectos en un proceso de
ensamblado de licuadoras y se define una unidad de inspección de 5
licuadoras. En este caso es posible trabajar con un gráfico C, como ya hemos
visto. Pero tal vez se desea controlar el promedio de defectos por cada
licuadora (unidad de producción) en lugar del total de defectos para las 5
licuadoras (unidad de inspección):
Siendo ni la cantidad de Defectos por Unidad de Inspección y m el número de
Unidades de Producción en la Unidad de Inspección.
En nuestro ejemplo, si encontramos ni defectos en la unidad de inspección (5
licuadoras), la cantidad promedio de defectos por licuadora será
Se debe tener en cuenta que x es una nueva variable aleatoria discreta que
toma valores 0, 1/m, 2/m,…etc., y cuya distribución de probabilidades se puede
calcular a partir de la Distribución de Poisson.
Como en el caso de los gráficos C, en una primera etapa se toman N unidades
de inspección (más de 25 ó 30) a intervalos regulares. Se cuenta en cada
unidad de inspección el Número de Defectos y se registra. Luego se divide el
Número de Defectos de cada unidad de inspección por m (Número de
unidades de producción en cada unidad de inspección).
En nuestro ejemplo (m = 5) la Tabla quedaría así:
Entonces, a partir de la tabla podemos calcular el parámetro U, como promedio
del Número de Defectos por licuadora, y la Desviación Standard:
;
siendo: ni la cantidad de Defectos por Unidad de Inspección, m el Número de
Unidades de Producción en la Unidad de Inspección y N el Número de
Unidades de Inspección
Con esto podemos calcular los Límites de Control para el gráfico U:
Utilización de las graficas de control
Los Gráficos de Control se pueden utilizar para cualquier tipo de proceso, sea
de producción o no.
Para utilizarlos de esta forma es necesario, una vez construidos los Gráficos
básicos, preparar nuevos Gráficos, en los que se incluirán las medias y los
límites de control aceptados en el paso 11 del proceso de construcción.
Se continuará con la recogida de muestras según el plan de muestreo
establecido en el paso 4, y se representarán los datos correspondientes en
dichos Gráficos.
Una vez identificado un cambio en el proceso se investigará su causa y se
adoptarán las medidas necesarias para su eliminación y, si es posible, para la
prevención de su aparición.
Utilización en las fases de un proceso de solución de problemas
- Pueden identificar posibles oportunidades de mejora.
- Es una herramienta útil en la comprobación de teorías sobre las causas de un
problema.
- Puede utilizarse para el diseño y prueba de soluciones.
- Está especialmente indicada para controlar el comportamiento de las mejoras
introducidas en los procesos y mantener las ganancias derivadas de las
mismas.
GRAFICOS DE CONTROL POR VARIABLES
Gráficos de control ( , R)
Gráfico basado en estudio inicial
Gráficos basados en valores estándar
Gráficos de control para valores individuales
Gráficos de control de media móvil (desgaste de herramientas)
Recogida de datos e interpretación
Establecimiento de límites del Proceso
Líneas generales para el diseño del grafico ( , R)
Interpretación de los gráficos ( , R)
Eficacia de los gráficos ( , R)
Gráficos de control ( , S)
Gráficos de control de sumas acumuladas (CUSUM)
Gráfico basado en estudio inicial
Muchas características de calidad pueden expresarse en términos de medida
numérica. Por ejemplo, el diámetro de una pieza puede medirse con un
micrómetro y expresarse en milímetros. Una característica cualitativa que sea
medible tal como un volumen, un peso, o cualquier dimensión, en general, es
una variable.
Cuando nos referimos a una variable, es una práctica normal el controlar tanto
el valor medio como la dispersión. El control del valor medio se realiza,
habitualmente, con el gráfico de control para medias, o gráfico .
El control de la dispersión puede efectuarse bien con el gráfico de control de la
desviación típica (gráfico S) o con el gráfico de control de rangos (gráfico R). El
uso del gráfico R está más extendido que el del gráfico S.
Debemos señalar que es necesario mantener el control sobre ambos: Media y
dispersión del proceso. La figura 2 representa la situación de un proceso. En a)
tanto la media m como la desviación típica s están bajo control a sus valores
nominales (m o, so) y en consecuencia la mayor parte de la producción del
proceso cae dentro de los límites de especificación. En la figura b) la media se
ha trasladado m 1 > mo dando como resultado una cierta fracción de la
producción fuera de especificación. En la figura c) la desviación típica ha
Cambiado s 1 > so lo que origina también que un parte de la producción esté
fuera de norma.
Los gráficos X-R se utilizan cuando la característica de calidad que se desea
controlar es una variable continua.
A.- Gráfico de la media
Supongamos que una variable está normalmente distribuida con media m y
desviación típica s y que ambas son conocidas. Si X1, X2, ... son mediciones de
una muestra de tamaño n, la media muestral, dada por :
está normalmente distribuida con media m y desviación típica .
Además, la probabilidad de que cualquier media muestral caiga en el intervalo
es 1 - a, siendo a el error tipo I o Nivel de significación (probabilidad de decir
que el proceso se ha descorregido cuando en realidad el proceso sigue la
distribución N (m, s)),
Por consiguiente, si m y s son conocidos la expresión
anterior puede utilizarse para determinar los límites de
control de la media muestral. Habitualmente usaremos los
límites 3s reemplazando Za/2 por 3. Si la media muestral
cae fuera de estos límites, esto indicará que la media del
proceso no permanece en m.
Hemos supuesto que la distribución original era normal.
Si no lo fuera, los anteriores resultados serían también
aproximadamente válidos por aplicación del teorema
central del límite.
En la práctica no conocemos m ni s, por consiguiente,
debemos estimarlas a partir de muestras previas
obtenidas del proceso cuando se cree que éste está bajo
control. Esta estimación debe basase como mínimo en 20
o 25 muestras.
Supongamos que disponemos de (m) muestras, cada una de ellas con (n)
observaciones. Típicamente, n será pequeño 4 ó 5. En esa situación, el mejor
estimador de la media del proceso será
se utilizará como valor de la línea central del gráfico.
Para construir los límites de control, necesitamos un estimador de la desviación
típica s. Podemos estimar s a partir de los rangos o de las desviaciones típicas
de las (m) muestras. De momento, haremos la estimación a partir de los
Rangos. Si X1, X2,..., Xn, son mediciones de una muestra de tamaño n, el rango
de la muestra es R =Xmax - Xmin.
La variable aleatoria W = R/s sigue una distribución conocida denominada
distribución del rango relativo. Los parámetros de esta distribución son función
del tamaño de muestra (n). La media de W es (d2) y la desviación típica (d3). En
consecuencia, un estimador de s es R/d2. Los valores de d2 están tabulados
(Tablas II y III). Si
la mejor estima de s será
Cuando el tamaño de la muestra es pequeño: n = 4 ó 5 el método de estimar a
partir del rango da casi tan buen resultado como estimarla a partir de la
varianza muestral. Sin embargo, para valores de n, digamos no mayores de 10,
pierde rápidamente eficiencia ya que ignora toda la información comprendida
entre Xmax y Xmin.
Si usamos como estimador de m y como estimador de s entonces los
límites de control del gráfico de medias quedarían:
Za/2 lo obtendríamos de las tablas de Distribución Normal (Tabla I), una vez
elegido a (error tipo I).
Normalmente Za/2 = 3 (a = 0,0027), en este caso la cantidad esta
tabulada y el cálculo de los límites de control da:
Gráficos basados en valores estándar
Cuando es posible especificar valores desviación típica del proceso, usaremos
límites de control del gráfico , R, sin Supongamos que los estándar dados son
m y s. Entonces los parámetros del gráfico son:
Donde a es el error tipo I elegido.
Normalmente Za/2 = 3 (a = 0,0027), la cantidad , que solo depende de
n, esta tabulada en la tabla I, por lo que los parámetros quedarán:
Para construir el gráfico R con un valor estándar s, tendremos en cuenta los
valores tabulados d2 y d3 que son, respectivamente, el valor central y la
desviación típica de la distribución del rango relativo W = R/s. Por consiguiente,
(utilizando el criterio 3 sR) los parámetros serán:
También están tabulados los valores:
Con lo que los límites de control serán
Si definimos un error tipo I determinado, utilizamos las tablas de la distribución
del rango relativo para calcular los límites.
La utilización de los gráficos basados en valores estándar debe ejercerse con
cuidado ya que puede ser que estos valores no sean realmente aplicables al
Proceso y que, en consecuencia, resulten muchos puntos fuera de control.
Si el proceso está en realidad bajo control para una media y unas desviaciones
típicas diferentes podemos gastar un esfuerzo considerable en buscar causas
asignables inexistentes. En aquellos procesos en los que la característica
cualitativa se controle mediante ajustes de la máquina este tipo de gráficos
suele dar buenos resultados para conseguir los objetivos propuestos.
Ejemplo.- Supongamos que una especificación señala que debemos fabricar
un material granular de diámetro exterior 10,8 ± 0,2 mm y que nos aceptan
alrededor de 5.5% de granos defectuosos.
El colectivo debe seguir una Distribución Normal de media 10,8 y s = 0,1 (si queremos dejar cuando el proceso está centrado un 4% (<5,5) de granos defectuosos.
Para elegir el gráfico de control de medias muestrales:
Elijo a (Probabilidad de detectar un cambio en el proceso cuando en realidad no se ha producido, error tipo 1).a = 2. 7 o/oo (criterio 3s).
Elijo n (tamaño de la muestra). Con el tamaño de la muestra controlo el error tipo II (Probabilidad de no detectar cambios en el proceso cuando los hay). Ver curvas características y ARL en el punto. 2.2.2. Normalmente n = 5.
Para elegir el gráfico de control del recorrido:
Elijo el error tipo I, por ejemplo a = 2. 7o/oo. Luego 1-a = 0,9975. En la tabla de la distribución del rango relativo (tablas II y III), para n = 5 obtengo y = 5,25, luego LSC = 5,25 x 0,1 = 0,52
Gráficos de control para valores individuales
Existen muchas situaciones en las que el tamaño de muestra utilizado para el
control del proceso es n = 1. Esto ocurre con frecuencia cuando la inspección
está automatizada y se mide cada unidad producida. También se utiliza cuando
el ratio de producción es demasiado bajo para esperar a tomar una decisión
hasta tener muestras de tamaño n > 1. También, por ejemplo, en procesos
químicos en los que las medidas sucesivas que pudieran hacerse sobre
muestras tomadas en un corto intervalo de tiempo solo difieren por razón del
error experimental del análisis.
Para estimar la variabilidad del proceso se puede utilizar el recorrido entre dos
observaciones sucesivas. También es posible establecer un gráfico de control
para el recorrido móvil de dos observaciones sucesivas.
Gráficos de control de media móvil (desgaste de herramientas)
Si durante el proceso de investigación se presentan ciertas causas de variación
que, aunque identificadas por los gráficos de control como causas especiales, y
en calidad de tales son “asignables”, son consideradas una característica
integral del proceso (por ejemplo herramientas que se desgastan en el
transcurso del tiempo sin ser reemplazadas para conseguir máxima
productividad, o una solución química cuyos elementos constituyentes son,
dejados que cambien progresivamente de nivel antes de reemplazar la solución
completa). Tal vez no resulte práctico eliminar estos cambios de nivel
completamente, por lo que habrá de tenerse esto en cuenta en el trazado del
gráfico de control para un proceso que demuestre dicha tendencia.
Recogida de datos e interpretación
Los datos deben ser recogidos en el gráfico de control de la forma
acostumbrada, mientras el proceso marcha bajo condiciones normales de
producción, anotando cualesquiera acontecimientos o cambios que puedan
afectar al proceso.
Una vez recogidos suficientes datos que abarquen por lo menos un ciclo
completo del proceso (es decir el período entre cambios de herramienta o
solución), será necesario identificar cualesquiera causas especiales de
cambios en el proceso, aparte de la tendencia prevista, mediante la búsqueda
De pautas inusuales en el gráfico con los límites diagonales situados a una
distancia encima de la línea de tendencia y debajo de la línea de
tendencia (línea de regresión).
Establecimiento de límites del Proceso
Para poder utilizar el gráfico de control como indicador de cuándo deben
hacerse los cambios del proceso, ahora es necesario calcular el movimiento
promedio de la media observada. El proceso debe marchar en condiciones de
trabajo normales durante varios ciclos del proceso. El movimiento de la media
correspondiente a cada ciclo, se calcula de la siguiente forma:
Movimiento de media = observado - observado
Entonces se calcula el Movimiento Promedio de la Media como promedio de
estos valores. Posteriormente se pueden trazar los límites sobre el gráfico de
control de la siguiente manera:
= +(0,5) x Movimiento promedio de media +
= - (0,5) x Movimiento promedio de media -
LCI y LCS son establecidos como para un gráfico de control basado en valores
estándar.
Gráfico de control de media móvil
Los gráficos de control de media móvil son también muy efectivos para detectar
pequeños cambios en el proceso, Como los CUSUM, estos gráficos son muy
adecuados para implantar en procesos automatizados.
Supongamos que se han tomado muestras de tamaño n y que
indiquen las correspondientes medias muestrales. La media móvil de amplitud
W en el momento t se define como
Es decir, en cada momento t se elimina la muestra vieja y se sustituye por la
más reciente.
La varianza de Mt, es:
Y los límites de control con criterio “3s” serán:
El procedimiento de control consistirá en calcular con cada nuevo valor de la
nueva Mt y llevarla al gráfico con límites de control dados por (II) concluyendo
que el proceso está fuera de control si se exceden los puntos del gráfico. En
general, la magnitud del cambio a detectar y la amplitud de W están
inversamente relacionados: La detección de un cambio pequeño se garantiza
mejor con una muestra de tamaño elevado.
El uso simultaneo de y Mt puede dar buenos resultados. En este caso,
habrá situación de fuera de control cuando , Mt, o ambos caigan fuera de los
límites de control respectivos. La media móvil es también muy adecuada para
usar cuando el tamaño de muestra es n = 1.
Gráficos de Control Multidimensional
Existen muchas situaciones en las que es necesario el control simultáneo de
dos o más características de calidad. Por ejemplo supongamos una pieza con
un diámetro interior y otro exterior que juntos determinen la conformidad de la
pieza. Podríamos aplicar los gráficos de control habituales a las características
y considerar que el proceso está bajo control solamente cuando ambas medias
estuvieran dentro de los respectivos límites de control, esto es
equivalente a que el punto caiga dentro del área rayada en la figura.
Controlar ambas características independientemente puede ser engañoso. La
probabilidad de que excedan sus límites de control “3s” es 0,0027, sin
embargo la probabilidad de que ambas variables excedan los limites cuando el
proceso está bajo control es (0,0027)x(0,0027) = 0,00000729 que es muy
inferior a 0,0027. Es decir, el error de tipo I es muy diferente de los de los
gráficos individuales. Esta distorsión se incrementa cuando aumenta el número
de variables.
Si existen P características independientes y se elabora un gráfico X para cada
una con error de tipo I = a, el error de tipo I conjunto es s’ = 1- (1- a)p y la
probabilidad de que las P medias caigan dentro de sus respectivos límites (1-
a)p. El problema se complica más todavía si existe correlación entre las
diferentes características (caso frecuente). Problemas como estos constituyen
el llamado control de calidad multidimensional y fueron estudiados inicialmente
por Hotelling.
Supongamos que existen dos característica cualitativas X1 y X2 que se
distribuyen de acuerdo con una distribución normal bivariada siendo X1 y X2 sus
valores nominales, S12 y S2
2 sus varianzas y S12 su covarianza (la covarianza
mide el grado de dependencia entre X1 y X2). Si es la media muestral
calculada para un subgrupo de tamaño n, el estadístico:
se distribuye según una distribución T2 de Hotelling con 2 y (n-1) grados de
libertad.
Si al menos de una de las dos características está fuera de control.
T2a/2, n-1 es el percentil de la distribución de Hotelling que deja una cola a la
derecha de valor a.
Representando en secuencia los valores resultantes de la ecuación anterior
para cada muestra, como si se tratase de un gráfico de control, podemos
investigar pautas y otras tendencias no aleatorias del gráfico.
La mayoría de los paquetes de software de control de Calidad permiten
analizar con facilidad estos gráficos multidimensionales referidos a dos ó más
variables.
Eficacia de los gráficos , R
La eficacia de estos gráficos se describe a través de las curvas ARL (Longitud
de racha media) y curva característica.
A) cálculo de las curvas características y ARL del gráfico
- Curva característica
Suponemos la desviación típica conocida y constante. Si
la medía cambia desde el valor objetivo mo hasta otro m1
= mo + K. s ,la probabilidad de no detectar el cambio en la
primera muestra que se tome será:
Con:
por lo cual:
Normalmente se elige a = 0,0027 (Error tipo I) Z a/2 = 3. Esta curva (Probabilidad
de que el siguiente punto caiga dentro de los límites de control en función del
Descentrado del proceso) viene representada (con a = 0,0027), para distintos
tamaños de muestra (n) en la figura C.
Curva ARL
La probabilidad de no detectar el cambio en la 1ª muestra es 1- b. La de no
detectarlo en la 2ª es b (1- b). La probabilidad de no detectarlo en la muestra K
será: bk-1 (1- b). Esta es una distribución geométrica de media 1/(1- b).
Conocida la curva característica, la construcción de la ARL es inmediata ya
que:
B) Cálculo de las curvas características y ARL del gráfico R
Curva característica.
Hay que utilizar la distribución del rango relativo. La probabilidad de que una
muestra caiga dentro de los límites de control será:
Para un a determinado (error tipo 1) y dando valores a a (variación en la
dispersión del proceso) obtenemos tos valores de b.
La curva ARL la
obtenemos mediante la
fórmula 1/(1- b)
Gráficos de control ( , S)
Cuando crece el tamaño de muestra (n = 10 a12) el método del rango para
estimar s pierde eficiencia. En este caso es mejor reemplazar los gráficos ( ,
R) por los ( , S) y calcular para cada subgrupo la media y la desviación típica
S. Aunque,
Es un estimador centrado de s 2 S no lo es respecto de s, ya que realmente
estima C4s ya que E(s) = C4s; C4 es una constante que depende del tamaño de
muestra.
Por otra parte la desviación típica de S es
Con esta información ya podemos establecer los límites de control con criterio
“3s ”:
Y poniendo:
Tendremos:
Los parámetros B5, B6 están en la tabla IV
Si no se conoce s, lo estimaremos de los datos pasados. A partir de (m)
subgrupos obtenemos:
Siendo un estimador centrado de s.
Los límites de control, resultarán:
Y poniendo:
Tendremos:
En cuanto al gráfico , cuando utilizamos como estimador de s a , los
límites de control “3s” resultarán:
Y poniendo:
Tendremos:
Gráficos de control de sumas acumuladas (CUSUM)
Los gráficos de control que hemos visto hasta ahora se conocen como gráficos
de Shewhart. Un punto débil de los gráficos de Shewhart es que solo se utiliza
la información contenida en la última muestra representada e ignora la
información dada por el conjunto de muestras. Es cierto que la incorporación de
límites de atención y el estudio de pautas trata de mejorar la sensibilidad del
gráfico Shewhart utilizando más el conjunto de la información pero a costa de
complicar algo el gráfico reduciendo la sencillez de la Interpretación
El gráfico de sumas acumuladas (CUSUM) se presenta como una alternativa al
grafico de Shewhart. Incorpora directamente toda la información representando
las sumas acumuladas de las desviaciones de los valores muestrales respecto
de un valor objetivo. Por ejemplo, supongamos que se toman muestras de
tamaño igual o mayor que 1, siendo la media muestral de la muestra i.
Si suponemos que o es el objetivo para la media del proceso, el gráfico de
sumas acumuladas se formará representando la cantidad
respecto al número de orden (m) de la muestra.
Por combinar la información de varias muestras, los gráficos de sumas
acumuladas son más efectivos que los gráficos de Shewhart para detectar
pequeños cambios. Son particularmente eficaces cuando el tamaño de muestra
es n = 1 y, por consiguiente, adecuados para su utilización cuando la
tecnología permite inspeccionar y medir cada unidad producida usando a la vez
un microordenador en el puesto de trabajo.
Si el proceso se mantiene bajo control en el objetivo o , la suma acumulable
variará aleatoriamente respecto del valor cero. Sin embargo,
si la media asciende a 1 > o se apreciará una tendencia ascendente en la
suma acumulada Sm. Por el contrario, si la media se desplaza a 2 < o se
Apreciara una tendencia decreciente en Sm. Por consiguiente, una tendencia
determinada (positiva o negativa) se considerará como una evidencia de que la
media del proceso se ha desplazado debido a la presencia de alguna causa
asignable que hay que investigar y eliminar.
Existen dos criterios para establecer formalmente que el proceso está fuera de
control. Uno de ellos es un procedimiento gráfico: La máscara V propuesta por
Barnhard en 1959 y otro es un procedimiento numérico muy adecuado para
establecer en conjunción con un microordenador. Aquí veremos este segundo
procedimiento.
En cada toma de muestra hay que calcular los 2 valores siguientes :
Donde:
Es la media muestral en la toma i-ésima.
o es el valor objetivo (media centrada)
F es un parámetro de la carta de control que normalmente
vale o/2 siendo o el cambio que queremos detectar con
prontitud.
, siendo normalmente f = 0,5 ya que queremos detectar
normalmente cambios del orden de (n es el tamaño muestral).Como
veremos más adelante, F se puede seleccionar también en algún juego de
cartas ARL.
Cuando algún valor Si ó Ti cumple que Si > H ó Ti < -H (H elegido de acuerdo a
la curva ARL que nos interese siendo h normalmente 5) el proceso se
considera fuera de control. Si Si se hace negativo o se pone a 0, de igual forma
si Ti se hace positivo o se pone a 0.
Una vez corregido el proceso los contadores Si y Ti se pondrían a 0.
Las curvas ARL de los gráficos CUSUM, se calculan a partir de los parámetros
del grafico, h y f (y del tamaño de la muestra, que está implícito en el
desplazamiento) utilizando cadenas de Markov.
En la tabla 2.3 se dan valores de h y f más comunes en función del
desplazamiento de la media a detectar y sus curvas ARL.
Ejemplo CUSUM
Consideremos el peso de cartuchos de cierta fabricación sigue siendo una
distribución Normal (ver ejemplo anterior) de media 1,3917 y desviación típica
0,005. Valores que resultaban cuando el proceso estaba bajo control.
Si utilizamos las muestras de tamaño 5 del ejemplo anterior y queremos
detectar desplazamientos de la medía del orden de ,
elegimos h = 5 y f = 0,5 con lo que obtenemos
F = 0,5 x 0,0022 = 0,0011; H = 5 x 0,0022 = 0,01
En el sexto subgrupo Ti <-0,01 por lo tanto es un punto fuera de control y
deberíamos corregir el proceso.
Para controlar la variabilidad dentro de las muestras se pueden utilizar los
gráficos de Shewart del recorrido o de la desviación típica, en conjunción con el
CUSUM de medias.
No obstante también es posible diseñar una carta de control CUSUM
específicamente por los gráficos de recorridos o de desviaciones típicas. La
forma de realizarlos es muy similar al CUSUM de medias. Los parámetros h y f
con sus curvas ARL del CUSUM para recorridos o desviaciones típicas están
recogidos en la norma británica BS 5703.
TABLA 2.3
Valores de h y f recomendados para detectar un desplazamiento de la media
de magnitud (*)
TABLAS PARA LA ELABORACIÓN DE GRÁFICOS
TABLA 1.- DISTRIBUCION NORMAL
Probabilidades acumulativas de la distribución de probabilidad normal (áreas
bajo la curva desde - infinito hasta z)
TABLAS II y III.- DISTRIBUCION RANGO RELATIVO
Puntos de porcentaje de la distribución de la amplitud relativa w = R/s’,
universo normal
Obsérvese que en contraste con la tabla C estas probabilidades están
acumuladas desde el extremo inferior de la distribución.
n = Tamaño de la muestra
TABLA IV - GRAFICOS POR VARIABLES
FACTORES PARA CONSTRUIR LIMITES DE CONTROL
ESTUDIO INICIAL - RESUMEN DE FORMULAS
CONTROL RESPECTO A ESTANDAR - RESUMEN DE FORMULAS
