qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfgh

jklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvb

nmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer

tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas

dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx

cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq

wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuio

pasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghj

klzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbn

mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf

ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc

vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmrty

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf

ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc

vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE OAXACA

TRABAJO DE MATEMATICAS

ALUMNO: DAVID JESÚS ZARAGOZA SANTIAGO

21/06/2010

MATEMATICAS

FINANCIERAS

2

Índice

Pág.4------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Porcentajes

Pág.5---------------------------------------------------------------------------------------------------------Interés simple

Pág.6--------------------------- Interés, capital, tasa de interés, tiempo, valor presente de una deuda, monto

Pág.10---------------------------------------------------------------------------------------------------Interés compuesto

Pág.11----------------------------------------------- Interés, tasa de interés, tiempo, periodo, monto compuesto

Pág12.----------------------------------------------------------------------------------------------Tasa nominal y efectiva

Pág.14-------------------------------------------------------------------------------------------------------- Valor presente

Pág.15-------------------------------------------------------------------------------------------------Ecuaciones de valor

Pág.18-----------------------------------------------------------------------------------Anualidades ciertas ordinarias

Pág.19----------------------------------------------------------- Introducción y terminología: tipos de anualidades

Anualidades ciertas ordinarias: valor presente, monto de la anualidad, periodos de interés o número de

Pág.22----------------------------------intervalos de pago, tasa de interés por periodo, pago periódico de una

anualidad

Pág.26------------------------------------------------------------------------- Amortización y fondos de amortización

Pág.27--------------------------Tabla de amortización interés en el valor de un bien adquirido, extinción de

deudas consolidadas.

Pág.29--------------------------------------------------------------------------------- Tabla de fondos de amortización

Pág.30-------------------------------------------------------------------------------------------------------------conclusión

3

INTRODUCCIÓN

“Nos dice Michael Parkin, en su obra Macroeconomía: «El dinero, el fuego y

la rueda, han estado con nosotros durante muchos años. Nadie sabe con

certeza desde cuándo existe -el dinero-, ni de cuál es su origen”

En este trabajo de matemáticas financieras se intentara introducir al alumno

sobre los tipos de interés y todo lo referente a finanzas, se abordara desde

los más sencillo que es el porcentaje que es muy conocido y de uso muy

ordinario para todos nosotros, también se hablara sobre algunos métodos de

pago de deudas que son parecidos a los que usan los bancos.

La mayor parte si no es que toda tiene un solo fin el conocimiento acerca de

las transacciones del dinero y sus ocupaciones como los créditos o

prestamos, así también como devaluaciones por el tiempo entre muchas

otras cosas.

4

4.1 PORCENTAJES

Los porcentajes es algo que está muy asociado a nuestra vida cotidiana, por ejemplo rebajas del 50% pero que quiere decir esto. En matemáticas el porcentaje es una manera de expresar un numero en una fracción del numero 100 y se simboliza con (%) y esto nos quiere decir que un porcentaje es la proporción de una cantidad respecto a otra y representa el numero de partes de un total de 100. Para calcular el porcentaje hay 2 métodos los cuales son parecidos:

1. Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por el número que indica el porcentaje y dividimos el resultado entre 100.

Ejemplo:

El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte. ¿Cuántos estudiantes practican deporte?

Para hallar la respuesta multiplicamos 240 por 20 y dividimos el resultado entre 100:

Por tanto, el 20% de 240 alumnos = 48 alumnos.

2. Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por la expresión decimal de dicho porcentaje.

Ejemplo:

Observa esta igualdad:

Para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por 0,2:

240 · 0,2 = 48

:::PROBLEMA:::

Juan cobra 26.000 € al año y paga 5.200 € de impuestos. ¿Qué porcentaje de impuestos paga? 26000€-----------100% El porcentaje que paga de impuestos es del 20% 5200€-------------(x)

5

4.2 INTERES SIMPLE

Se llama in4terés simple a la operación financiera con un determinado capital, a un tiempo predeterminado de pagos y una tasa de interés, para así obtener un beneficio económico, en este interés simple la principal característica es que el capital sobre el cual se calculan los intereses es siempre el mismo. La fórmula para calcular el interés simple es: Concepto

Nombre

Símbolo

Cantidad prestada Capital (c)

Tiempo del préstamo Tiempo (t)

Beneficio por tanto dinero Rédito (r)

Beneficio del préstamo Interés (l)

si el tiempo esta dado en años

si el tiempo esta dado en meses

si el tiempo esta dado en días PROBLEMA

Se prestan $45 000y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se reciben y $52 500. Calcular el tanto por ciento de interés. 360 + 120 + 20 = 500 días I = 52 500 − 45 000 = 7 500 $ I=c.r.t 36000 r=36000.(I) c.t r=36000(7500) =12% 45000(500)

6

4.2.1 Interés, capital, tasa de interés, tiempo, valor presente de una

deuda, monto.

MONTO SIMPLE: Se define como el valor acumulado del capital. Es la suma del capital más el interés su ecuación es: M = C + I CAPITAL: También se le denomina valor actual o presente del dinero, inversión inicial, hacienda. TASA DE INTERÉS: Es el precio del dinero que normalmente se indica en tanto por ciento (%), es una operación comercial donde se hace uso de un capital o de cualquier activo. TIPO DE INTERÉS: Interés simple y compuesto TIEMPO: Es el que normalmente se especifica en el documento o contrato puede ser cualquier unidad de tiempo; días, meses, años, etc.

Valor presente de una deuda: La longitud de una escalera es la misma contada de arriba abajo como de abajo arriba. El valor futuro VF puede considerarse como la cima vista desde abajo y el valor actual VA como el fondo visto desde arriba.El valor actual de una cantidad con vencimiento en el futuro, es el capital que a un tipo de interés dado, en períodos también dados, ascenderá a la suma debida.Si conocemos el monto para tiempo y tasa dados, el problema será entonces hallar el capital, en realidad no es otra cosa que el valor actual del monto. Derivamos el VA de la fórmula general: Siendo ésta la fórmula para el valor actual a interés simple, sirve no sólo para períodos de año, sino para cualquier fracción del año.El descuento es la inversa de la capitalización. Con ésta fórmula calculamos el capital equivalente en un momento anterior de importe futuro.

Otras fórmulas derivadas de la fórmula general: Si llamamos I a los intereses percibidos en el período considerado, convendremos: La diferencia entre VF y VA es el interés (I) generado por VA.

Y también, dada la fórmula general, obtenemos la fórmula del importe de los intereses: I = VA(1+n*i) - VA = VA + VA*n* i - VA I = (principal)*(tasa de interés)*(número de períodos) (Inversiones) I = monto total hoy - inversión original (Préstamos) I = saldo de deuda - préstamo inicial Con la fórmula [8] igual calculamos el interés (I) de una inversión o préstamo. Sí sumamos el interés I al principal VA, el monto VF o valor futuro será.

7

o VF = VA(1+i*n) Despejando éstas fórmulas obtenemos el tipo de interés y el plazo: El tipo de interés (i) y el plazo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo de interés es anual, el plazo debe ser anual, si el tipo de interés es mensual, el plazo irá en meses, etc.). Siendo indiferente adecuar la tasa al tiempo o viceversa.

Al utilizar tasas de interés mensual, el resultado de n estará expresado en meses. En estas fórmulas la tasa de interés (i) está indicada en forma decimal.

Nomenclatura: I = Interés expresado en valores monetarios VA = Valor actual, expresado en unidades monetarias VF = Valor futuro, expresado en unidades monetarias n = Periodo de capitalización, unidad de tiempo, años, meses, diario,...

i =Tasa de interés, porcentaje anual, mensual, diario, llamado también tasa de interés real.

Fórmulas para calcular el monto y valor actual de anualidades simples,

ciertas, vencidas e inmediatas:

Monto

M= R[ (1+i)n - 1]

------------

Valor Actual

C = R[ 1- (1+i)-n]

------------

Donde:

R = Renta o pago por periodo

M = Monto o valor en el momento de su vencimiento, es el valor de todos

los pagos al final de las operaciones.

n = número de anualidades, periodos o pagos.

C = valor actual o capital de la anualidad. Valor total de los pagos en el momento presente.

i = tasa de interés efectiva

m = número de capitalización

j = tasa de interés nominal

Na = Número de años

8

:::Problemas de monto::: Que cantidad se acumularía en un semestre si se depositaran $ 100,000 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 36% anual convertible mensualmente. Al ser una tasa anual convertible mensualmente tenemos: 36/100/12 = .03 i = .03 n = 6 M = R[ (1 + i )n - 1 ] M = 100 000 [ ( 1 + .03 )6 - 1 ] 100 000 [6.468409] = 646 840.98

:::Problemas de valor presente de una deuda::: Cual es el valor actual de una renta de $450 pesos depositados al final de cada uno de 7 trimestres si la tasa de interés es del 9% trimestral. C = ? R = 450 i = 0.09 n = 7 C = R[ 1- (1+i)-n ] C = 450 [1 - ( 1 + .09)-7 ] C=450 (5.03295284) = 2 264.82

9

4.3 Interés compuesto El interés compuesto es aquel en el que el capital de un nuevo periodo es el capital más los intereses del periodo anterior, este tipo de interés se da lugar cuando el deudor no paga a tiempo, y así provoca que los intereses se conviertan en una capital adicional al inicial y este a su vez generas mas intereses. En pocas palabras es el interés sobre más intereses. Fórmula para el interés compuesto:

Problemas

Cierto capital invertido al 2.5% mensual después de 7 meses se convirtió en $ 887500 hallar el capital. M = C (1+i)^n reemplazando se tiene 887500 = C (1 + 0,025)^7 887500 = C . 1,025^7 C = 887500/1,18869 C = 746 622,90

10

4.3.1 Interés, tasa de interés, tiempo, periodo, monto

compuesto

MONTO COMPUESTO: Es el total, el capital, incluyendo los interés, capitalizables;

dicho de otra forma es el capital más los intereses capitalizados

Tasas de Interés Compuesto. Es la tasa de interés simple a la cual se calcula el interés

correspondiente a cada intervalo de acumulación. En este caso si se conocen, entonces:

- El plazo de la operación se considera dividido en t intervalos de acumulación de 1/n años.

- Los intereses se acumulan n veces cada año a la suma que devenga intereses.

- Cada unidad monetaria impuesta en un intervalo de acumulación devenga i unidades

monetarias como interés en dicho intervalo.

Período: El tiempo que transcurre entre el pago de los intereses. El total de períodos se representa

por la letra (n), y los períodos que se presentan dentro de ese total se representa por la letra

(m), de esto se tiene que para hallar la tasa del período debemos dividir el total por el

número de períodos así:

i= j/m

Problemas de monto

¿Cuál es el monto de un capital de $10,000, impuesto a interés compuesto con tasa del 18%

anual en 6 años?

M=C (1 + i)

M=10000 (1+.18)°6

M=$ 343,597.38

11

Problemas de capital

Qué capital produce un monto de 379899.89 a los 6 años si la tasa es del 3.5% trimestral M=$379,899.89 C= 379,899.89 (1 + .035)*-24 C=? C=379,899.89(.437947) I=.035 TRIMESTRAL C=$166,379.86 N= 24 TRIMESTRES PROBLEMAS DE TIEMPO Dentro de cuanto tiempo un capital de $25 600 con tasa del 2.5% trimestral valdra $31,970.89. M=31 970.89 C=25 600 i= .025 trimestral n=?

n= log (31970.89/25600)

log (1 + .025)

n= .096515 =9 trimestres .010724

12

4.3.2 Tasa nominal y efectiva

Tasa Nominal

La tasa nominal es el interés que capitaliza más de una vez por año. Esta tasa convencional o de referencia lo fija el Banco Federal o Banco Central de un país para regular las operaciones activas (préstamos y créditos) y pasivas (depósitos y ahorros) del sistema financiero. Es una tasa de interés simple.

Siendo la tasa nominal un límite para ambas operaciones y como su empleo es anual resulta equivalente decir tasa nominal o tasa nominal anual. La ecuación de la tasa nominal es:

j = tasa de interés por período x número de períodos

Tasa efectiva La tasa efectiva es aquella a la que efectivamente está colocado el capital. La capitalización del interés en determinado número de veces por año, da lugar a una tasa efectiva mayor que la nominal. Esta tasa representa globalmente el pago de intereses, impuestos, comisiones y cualquier otro tipo de gastos que la operación financiera implique. La tasa efectiva es una función exponencial de la tasa periódica. La tasa efectiva anual (TEA) aplicada una sola vez, produce el mismo resultado que la tasa nominal según el período de capitalización. La tasa del período tiene la característica de ser simultáneamente nominal y efectiva.

Formulas para las tasas y simbolos:

e= tasa real o efectiva J= tasa nominal anual M= numero de capitalizaciones año(j) I= tasa nominal anual P=numero de capitalizaciones(i)

Tasa Nominal = Tasa Periodica X Numero de periodos compuestos

Tasa Efectiva Anual = (1+ i / m)m

-1

13

::: PROBLEMAS TASA NOMINAL :::

¿A que tasa nominal convertible trimestralmente, un capital de $30000.00 crecerá a

$100,000.00 en cinco años?

M = C (1 + i)n

100000 / 30000 = (1 + i)n

Pero (1 + i)n = (1 + j/m)mn

Donde n = 5 años, y n = 4

Así, (1 + j/4)20 = 100000 / 30000

(1 + j/4) = (3.333333)1/20

j = 4{(3.333333)1/20 - 1)}

j = 4(1.062048 - 1)

j = 0.24819

Se requiere una tasa nominal de 24.82% convertible trimestralmente para que un capital de

$3,000.00 se convierta en un monto de $10,000.00 en un plazo de 5 años.

PROBLEMA TASA EFECTIVA

¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancario de $1000.00, pactado a

18% de interés anual convertible mensualmente?

M = 1000 (1+0.015)12

M = 1000(1.195618)

M = 1195.62ç

I = M - C

I = 1195.62 - 1000

I = 195.62

i = I / C

i = 195.62 / 1000

i = 0.1956

La tasa efectiva de interés ganada es de 19.56%

14

4.3.3 Valor presente

El valor presente de una suma que se recibirá en una fecha futura es aquel Capital que a una tasa dada alcanzará en el período de Tiempo, contado hasta la fecha de su recepción, un monto igual a la suma a recibirse en la fecha convenida. Para ilustrar el concepto de Valor Presente, supongamos que se recibirán $ 1.000 después de un año. Si el Costo de oportunidad de los fondos es 8%, la pregunta es: ¿qué suma de Dinero de hoy llegará a ser igual a $ 1.000 después de un año con un Interés de 8%? Para encontrar el valor presente (VP)se divide el valor final por la tasa de interés, operación que se conoce como actualización o Descuento, de la siguiente forma: VP = $1.000 /1.07 = $ 934,58 De manera similar, el valor presente de $ 1.000 que se recibirán dentro de dos años es igual a: $1.000 /(1.07)2 = $ 873,44 Generalizando la fórmula, el valor presente (VP) de un Capital K, que se recibirá al final del año n, a una tasa de interés r, es igual a: VP =K/(1+r)n El concepto de valor presente permite apreciar las diferencias que existen por el hecho de poder disponer de un Capital en distintos momentos del Tiempo, actualizados con diferentes tasas de descuento. Es así que el valor presente varía en forma inversa el período de Tiempo en que se recibirán las sumas de Dinero, y también en forma inversa a la tasa de Interés utilizada en el descuento.

15

4.3.4 Ecuaciones de valor

Por cualquier situación el deudor decide cambiar algo sobre el acuerdo de préstamo y para esto tiene que usar algo llamado ecuaciones de valor y se hace uso de un concepto "Fecha Focal", la cual significa la fecha en las cual se capitalizan o actualizan las viejas y nuevas obligaciones. Para ello, el deudor y acreedor tienen que convenir: 1. La nueva tasa de interés a la que se hará la sustitución de las deudas originales. 2. La fecha de valuación, conocida como la fecha focal. Para calcular esto se siguen unos pasos: 1.- calcular el monto a pagar de cada obligación 2.-hacer la grafica de tiempo-valor que considere las fechas de vencimiento. 3.-debajo de la grafica de tiempo, se colocan pagos parciales también deudas con fechas 4.-se determina la grafica de la fecha total 6.-se soluciona, para esto se trasladan todas las cantidades alas fecha focal 7.-se resuelven las operaciones.

PROBLEMA

El señor Juan Pelico firmó el primero del mes de febrero un pagaré por 15,000 quetzales a

120 días, con 9.7% de interés anual. 90 días después suscribió otro pagaré por 12,000

quetzales a 120 días, sin pagar intereses. 90 días después de esa fecha inicial, conviene con

su acreedor, el señor Juan Miguel Solís, sustituir estas dos obligaciones en la siguiente

forma.

Pagar 6,000 quetzales el 1 de mayo y recoger los dos pagarés, sustituyéndolo por uno solo a

150 días, contados a partir de la fecha en que se cancelan los 6,000 quetzales. El señor Juan

Miguel Solís indicó estar de acuerdo con dicha renovación, siempre y cuando logre un

rendimiento del 11.2% anual. ¿Qué pago único deberá realizar el señor Juan Pelico, al

vencer los 240 días, considerando esta como la fecha focal? Utilice el año comercial.

a) ELABORANDO EL DIAGRAMA DE TIEMPO-VALOR

16

b) HACIENDO LOS CALCULOS PARA EL VENCIMIENTO DE LOS PAGARES

El Segundo pagaré no genera intereses.

c) LLEVANDO LOS VIEJOS MONTOS A LA FECHA FOCAL

d) LLEVANDO LAS NUEVAS OBLIGACIONES A LA FECHA FOCAL

Se realizó un pago de 6,000 quetzales, los cuales ganan intereses en la fecha focal. Los

cálculos son:

17

El otro pago, o sea el último pago no gana intereses, dado que se paga en la fecha focal, por

lo que se tiene la siguiente ecuación:

VIEJAS OBLIGACIONES = NUEVAS OBLIGACIONES

16,063.11+12,122 = 6,280 + X

28,175.11-6,280 = X

X = 21,895.11

e) RESPUESTA

El pago único que deberá hacer Juan Pelico será de 21,895.11 quetzales.

18

4.1 Anualidades ciertas ordinarias Anualidad: es un conjunto de pagos realizados a determinados intervalos de tiempo iguales, cualquier pago con importe constante por intervalos regulares aunque sean mas pequeños que el año. Anualidades ciertas: son aquellas cuyo pago se determina con acuerdos o términos precisos y sus fechas fijas, y estas se establecen de antemano. Formula para el monto ordinario es: M= R ( ( (1 + i)-1)* n)

PROBLEMA

¿Cuál es el monto de $20,000 semestrales depositados durante cuatro años y medio en una

sola cuenta bancaria que rinde el 18% capitalizable semestralmente?

R = 20,000

i = 0.18 / 2 = 0.09

n = 4.5(2) = 9

M = 20,000[(1.09)9 -1] = 260,420.73

0.09

19

4.4.1 Introducción y terminología: tipos de anualidades

a) Tiempo Ciertas contigentes

b) Intereses Simples, generales

c) Pagos Vencidas, anticipadas

d) Iniciación Inmediatas, diferidas

Este criterio de clasificación se refiere a las fechas de iniciación y de terminación de las

anualidades:

Anualidad Cierta. Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano, Por ejemplo: al

realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el primer

pago, como la fecha para efectuar el último.

Anualidad Contingente. La fecha del primer pago, la fecha del último pago, o

ambas no se fijan de antemano; depende de algún hecho que se sabe que ocurrirá,

pero no se sabe cuándo. Un caso común de este tipo de anualidad son las rentas

vitalicias que se otorgan a un cónyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se

da al morir el cónyuge y se sabe que éste morirá, pero no se sabe cuando.

b) En este segundo criterio (intereses) tenemos lo siguiente:

Anualidad Simple. Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de

los intereses. Un ejemplo sería: el pago de una renta mensual “x” con intereses al

18% anual capitalizable mensualmente.

Anualidad General. A diferencia de la anterior, el periodo de pago no coincide con

el periodo de capitalización: el pago de una renta semestral con intereses al 30%

anual capitalizable trimestralmente.

c) De acuerdo con los pagos:

Anualidad Vencida. También se le conoce como anualidad ordinaria y, cono su

primer nombre lo indica, se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su

vencimiento, es decir, al final de cada periodo.

Anualidad Anticipada. Es aquella en la que los pagos se realizan al principio de

cada periodo.

d) De acuerdo con el momento en que se inicia:

Anualidad Inmediata. Es el caso más común. La realización de los cobros o pagos

tiene lugar en el periodo que sigue inmediatamente a la formalización del trato: hoy

20

se compra a crédito un artículo que se va a pagar con mensualidades, la primera de

las cuales habrá de realizarse en ese momento o un mes después de adquirida la

mercancía (anticipada o vencida).

Ejemplo de anualidades inmediatas según diferentes empresas a para ofrecerlas a sus

clientes en seguros.

Straight Life annuity es un programa que provee un flujo de dinero constante por el resto de

la vida del comprador. Los pagos se terminan con la muerte del comprador.

Ingreso de por vida con periodo seguro Life Income with period certain

Esta anualidad le provee un flujo de dinero por el resto de la vida del comprador y le

garantiza que el pago se le hará al beneficiario por un periodo de tiempo aun cuando el

comprador muera antes del final del periodo seleccionado. Los periodos pueden ser de 5,

10, 15, o 20 años.

Ingreso de por vida con reembolso

Esta anualidad le provee un flujo de dinero por el tiempo que el comprador viva y le

garantiza que por lo menos el precio de compra de la anualidad será pagado en beneficios al

beneficiario nombrado, si el comprador muere antes de que el número total de beneficios

pagados sea igual al precio de compra.

Joint and Survivor

La anualidad Joint and survivor le provee una serie de pagos periódicos a dos o más

individuos hasta que ambos o todos de ellos mueran.

Periodo seguro/Periodo fijo

Esta anualidad le provee que en un periodo específico de tiempo, el ingreso de la anualidad

termina.

¿Por qué comprar una anualidad inmediata?

Provee un flujo de dinero estable

No conlleva riesgo ya que está garantizada de por vida por una compañía de seguros

Anualidad Diferida. Se pospone la realización de los cobros o pagos: se adquiere

hoy un artículo a crédito, para pagar con abonos mensuales, el primer pago habrá de

hacerse 6 meses después de adquirida la mercancía.

Existen dos tipos de anualidades diferidas: fijas y variables

21

¿Qué es una anualidad fija? En una anualidad fija la compañía aseguradora garantiza el

pago de una tasa de interés mediante un contrato por un periodo de tiempo específico. La

compañía asume el riesgo de inversión del contrato.

¿Qué es una anualidad variable? En una anualidad variable los fondos pagados son

puestos en una cuenta aparte que se invierte en acciones, bonos y otros instrumentos de

inversión. El valor de la cuenta fluctúa de acuerdo con el mercado. El dueño del contrato

asume el riesgo de la inversión asociado con la misma.

¿Por qué comprar una anualidad diferida?

El interés o la ganancia del contrato es diferido de contribuciones. En otras palabras, usted

no paga contribuciones en el interés que genera, hasta que retire el dinero de la cuenta. Su

dinero crecerá más rápido ya que el interés es acreditado al principal, el interés es

acreditado al interés y el interés es acreditado al ahorro contributivo.

Usted nombra su propio beneficiario. Esto simplifica todo el costo legal.

No está sujeto a reclamos del acreedor.

Liquidez (hasta 10% al año).

De todos los tipos de anualidades el más común es el de las simples, ciertas, vencidas en

inmediatas que, por esa razón analizaremos a continuación:

MONTO

Dada su importancia, destacaremos casa una de las características de éste tipo de

anualidades:

Simples.- El periodo de pago coincide con el de capitalización.

Ciertas.- Las fechas de los pagos son conocidas y fijadas con anticipación.

Vencidas.- Los pagos se realizan al final de los correspondientes periodos.

Inmediatas.- Los pagos se comienzan a hacer desde el mismo periodo en que se

realiza la operación.

22

4.4.2 Anualidades ciertas ordinarias: valor presente, monto de la anualidad, periodos de interés o número de intervalos de pago, tasa de interés por periodo, pago periódico de una anualidad

VALOR PRESENTE

Fórmula para calcular el valor actual:

C=R 1-(1+i)-n

i

Ejemplo:

¿Cuál es el valor efectivo de una anualidad de $1000.00 al final de cada tres meses durante

5 años, suponiendo un interés anual del 16% convertible trimestralmente?

R = 1000

n = 5(4) = 20 (cuatro trimestres por cada año)

i = 0.16/4 = 0.04

C = 1000 1-(1.04)-20 = 13,590.33

C=0.04

TASA DE INTERES

-n

(C )= 1 – (1 + i)

R i

23

PROBLEMAS A QUE TASA CUATRIMESTAL SE APLUCO UNA DEUDA DE 122,933.10 QUE SE LIQUIDO EN 6 PAGOS CUATRIMESTRALES DE 25 000? C= 122 933.10 i = ?? R= 25 000 CUATRIMESTRALES n = 6 cuatrimestres 122,933.10 = 1 – (1 + i ) 25000 i 4.917324 = 1 – (1+ i) Se hace el diagrama 4.841014 4.917324 4.995530 |-------------------------------------|---------------------------------------------------- | .065 ¿? .055 Factor de -- factor de la = tasa buscada – tasa mayor La búsqueda tasa mayor Factor - tactor de la tasa menor tasa mayor 4.917324 -4.841014= i - .065 4.995530 -4.841014 .055-.065 -.0049939= i -.065 =i= .060061

24

Problema pago periódico

La empresa KRATOS desea acumular 25,000 quetzales durante los próximos 12 años, para

reemplazar parte de su equipo de computación. ¿Qué cantidad de dinero debe invertir al

final de cada año en un fondo que paga el 4% efectivo para lograr su objetivo?

Los 25,000 quetzales son el monto que se debe reunir en los siguientes 12 años, lo cual

sugiere que debemos usar la primera fórmula. Veamos pues:

Problemas de pagos

Número de pagos

Para determinar el número de pagos para las anualidades, se utilizan las mismas fórmulas

determinadas en los incisos anteriores. Veamos un par de ejemplos.

Ejemplo 8. El señor Carlos Enrique Ajtún, obtiene un préstamo de 3,750 quetzales,

acordando pagar capital e intereses al 6%, convertible semestralmente, mediante pagos

semestrales de 225 quetzales cada uno, haciendo el primero en 6 meses. ¿Cuántos pagos

deberá hacer?

La anualidad es de 225 quetzales. La tasa de interés es de 6%, convertible semestralmente,

o sea: 6%/2=3.% (0.03). Se utiliza la fórmula de valor actual, quedando:

25

La respuesta sugiere, que si se hacen 23 pagos periódicos de 225 quetzales, no se llega a

sumar los 3,750 quetzales y si hacemos 24 pagos de 225 quetzales, nos pasamos de los

3,750 quetzales. Lo que se acostumbra en estos casos es hacer 23 pagos de 225 quetzales y

un último pago menor, seis meses después. Lo resolveremos así:

Sea X, el pago número 24. La grafica de Tiempo-valor, queda así:

26

4.5 Amortización y fondos de amortización

En matemática financiera amortizar significa pagar una deuda y sus intereses por medio de una serie de pagos periódicos, generalmente de igual valor. Al amortizar una deuda cada pago efectuado se divide en dos partes: en primer lugar se pagan los intereses adeudados al momento en que se efectúa el pago y el resto se aplica a disminuir el capital. Como cada pago reduce el capital, los intereses que se pagan en cada periodo van disminuyendo; por tanto, resulta evidente que la amortización de una deuda se lleva a cabo calculando los intereses sobre el saldo insoluto∗. La amortización es una de las aplicaciones más importantes de las anualidades. En efecto, cuando se amortiza una deuda efectuando pagos periódicos iguales, la deuda es el valor actual de una anualidad. El valor de la anualidad o pago periódico se calcula utilizando la fórmula de valor presente correspondiente al tipo de anualidad utilizada, vencida o anticipada. Fondo de Amortización. Cantidad de recursos monetarios que se acumulan con el objetivo de amortizar una inversión o deudas a través de una imposición cierta con tasa y plazos preestablecidos

FORMULA DE AMORTIZACION PROBLEMA Un préstamo de $ 4,000.00 se va a amortizar por medio de 8 pagos mensuales iguales. Hallar el valor del pago mensual si la tasa de interés es del 34% capitalizable mensualmente. SOLUCIÓN En este problema se nos pide que calculemos el valor de una anualidad cuyo valor actual es de $4,000.00. Dado que el enunciado del problema no menciona el tipo de anualidad, se supone que se trata de una anualidad ordinaria. Despejando A de la ecuación se tiene:

Se necesitan S pagos mensuales de $ 565.85 cada uno con el fin de amortizar la deuda de $ 4,000.0

27

4.5.1 Tabla de amortización interés en el valor de un

bien adquirido, extinción de deudas consolidadas.

El precio de adquisición está formado por el precio por el cuál nos venden el bien más, si

los hubiera, los costes que se le apliquen (los portes, seguros, aduanas y gastos de puesta en

marcha).

Estos costes aumentarán el valor del bien.

Ejemplo:

- Compramos un mueble por valor de $600

El vendedor nos dice que van incluidos dentro de los $600 como mayor valor del bien, el

transporte y el montaje.

- La empresa prevé que dentro de 5 años el mueble tendrá un valor residual de $200.

- El valor amortizable será la diferencia entre el precio de adquisición y el valor residual:

600 - 200 = $300

- El valor contable será la diferencia entre el precio de adquisición y la suma de las cuantías

amortizdas en cada ejercicio: 600 - 300 = $200

Esto quiere decir, que el valor que tendrá el bien registrado en contabilidad dentro de 5

años será el valor residual previsto para esa fecha (200 $).

Y el valor que se puede amortizar durante los 5 años será 300 $, que será la depreciación de

valor máxima que pueda tener el bien durante esos años.

Amortización lineal

Existen diferentes métodos de amortización de los bienes materiales e inmateriales de la

empresa, pero el más común, es el método lineal.

El método lineal consiste en el cálculo de la depreciación del bien adquirido por la empresa

en cuotas fijas y constantes.

Coste de adquisición - valor residual / tiempo de amortización

Con el ejemplo del ejercicio anterior obtendríamos:

600 € - 200 € / 5 años = 60 €

Significa que anualmente y durante 5 años el mueble adquirido (inmovilizado material)

tendrá una depreciación de 60 €.La adquisición de este bien y su amortización se deberá

reflejar en contabilidad de la siguiente manera:

Debe Cuenta Concepto concepto Cuenta Haber

$600 231 Compra

mobiliario

Pendiente de

pago

234 600

28

Problema

El 31 de Diciembre, se realizará el asiento de amortización del primer año pero tenemos

que fijarnos que el mueble se compró el 1 de marzo, por lo tanto, en este primer año no han

pasado 12 meses y no serían 60 € sino qué habría que calcular los 10 meses que tenemos el

inmovilizado con una simple regla de tres:

Si a 12 meses equivale 60 € de pérdida de valor

a 10 meses equivaldrá X de pérdida de valor

Resultado: 60 x 10 = 600 / 12 = 50 € de pérdida de valor tendrá el 1º año (1/03 a 31/12), los

restantes tendrán 60 €.

29

4.5.2 Tabla de fondos de amortización

En este método al igual que la amortización, se usa una matriz en donde: Las columnas se forman asi: 1.-la primera son los peridos(n) 2.-los pagos o rentas(r) 3.-los intereses del periodo 4.-la cantidad que se acumula 5.-el saldo final PROBLEMA CUAL SERA EL DEPOSITO ANUAL PARA ACUMULAR AL CABO DE 6 AÑOS UN MONTO DE 240000 SI DICHAS RENTAS OBTIENEN UN RENDIMIENTO DE 8 % ANUAL? R= M*i ((1+ i)-1)*n R= 240000(.08) = 32 715.69 (1.08)-1 *6

N Rentas Intereses (M*i) Cantidad acumulada (R+i)

M anterior mas acumulado

1 32,715.69 ------------------ 32,715.69 32,715.69

2 32,715.69 2617.26 35 332.95 68048.64

3 32,715.69 5443.89 38,159.89 106208.22

4 32,715.69 8496.66 41,212.35 147420.57

5 32,715.69 11793.65 44,509.34 191 929.91

6 32,715.69 15354.39 48070.08 239 999.99

total 196,294.14 43,705.85 239,999.99

30

Conclusión Desde mi punto de vista esto tipo de matematicas no son de

gran dificultad pero si son de gran utilidad debido a que

cuando pides un préstamo,compras un auto cualquier

situación de la vida que incluya dinero se debe conocer

este tipo de matematicas para que sepas en realidad que

es lo que vas a pagar y si en verdad te conviene, porque no

saber nada acerca de esto puede causar un gran

problema para nuestra economía. Asi que esto para mi me

fue de gran utilidad por varias razones ya soy mayor de

edad y es importante saber esto, por si algún dia deseo un

préstamo y también para pasar matematicas …